Risikoholdning og valg af porteføljeandele

Handelshøjskolen i København Institut for Produktion og Erhvervsøkonomi Projektvejleder: Lars Thorlund-Petersen Kandidatafhandling på Erhvervsøkonomi-Matematik-Studiet 2004 Risikoholdning og valg af porteføljeandele Af Lau Larsen 080378 Anders Plum 050878

1 Summary in English The main objective of this thesis is to develop models that can choose optimal asset proportions. These models are basing the choice of optimal asset proportions on the use of utility maximization for investors with exponential utility functions. To solve the different models, we have implemented each one in a computersolution. The first step in the solution is obtained, by simulating the returns of risky assets, assuming that the returns are normally distributed. The second step is to simulate the utility that a riskaverse investor will have of different asset proportions. After completing the simulations it is possible to find the asset proportions that maximize the utility of the investor. The theory behind the development of the models includes relations, stochastic dominance, utility theory and risk profiles. To give an overview of the computational basis of the solution, a description of Monte-Carlo simulation is given. In the section about Procentual rules, we give a solution on how it s possible to set up rules to choose asset proportions, especially a 50%-rule. The proportions given are the least amount an investor should invest in one asset, in a portfolio of two assets. The models we have evolved have the objective, to give one optimal solution in a situation where the investor has to choose between two risky assets. One model includes a riskless asset as well, to enhance the investment possibilities. We have named this model the (2+1)-model, while the first is named the 2-asset model. With these models we have shown, that they give a satisfactory solution. This is shown by analysis of different changes in the parameters of the model, which shows how the asset proportions and utility is affected. The two models are then compared with CAPM, where it is shown that the model with the riskless asset included, performs better than the marketportfolio in CAPM, from a utility-maximizing point of view. To make it possible to construct portfolios with more than two risky assets in this framework, we have constructed a method that can combine the solutions from our 2- asset model, to form solutions with a higher number of assets than two. 1

Indholdsfortegnelse 1 SUMMARY IN ENGLISH... 1 2 PROBLEMFORMULERING... 5 3 INDLEDNING... 7 3.1 BASALE BEGREBER... 7 3.2 OPBYGNING AF OPGAVEN... 8 4 RELATIONER... 10 4.2 SPECIFIKKE RELATIONER... 12 5 STOKASTISK DOMINANS... 14 5.1 STOKASTISK DOMINANS AF 1. GRAD... 14 5.1.1 Eksempel på førstegrads dominans... 18 5.2 STOKASTISK DOMINANS AF 2. GRAD... 20 5.2.1 Eksempel på andengrads Stokastisk dominans... 24 5.3 STOKASTISK DOMINANS AF HØJERE GRAD... 28 6 RISIKO PRÆFERENCER...30 6.1 RISIKONEUTRAL... 31 6.2 RISK LOVERS... 32 6.3 RISIKOAVERS... 33 6.4 ANDRE RISIKOTYPER... 34 7 DIVERSIFICERING... 37 7.1 DIVERSIFICERING MED MARKOVITZ MIDDELVÆRDI-VARIANS BEGREB... 37 7.2 BETINGELSER FOR DIVERSIFICERING... 41 7.2.1 Taleksempel... 42 8 PROCENT-REGLER... 45 8.1 50%-REGLEN... 45 8.2 ANDRE REGLER... 50 9 MONTE-CARLO SIMULATION... 52 9.1 METODE... 52 9.1.1 Eksempler... 53 10 PORTEFØLJEVALGSMODEL MED 2 AKTIVER... 60 10.1 METODEBESKRIVELSE... 60 2

10.1.1 Eksempel med fælles tæthed... 62 10.1.2 Grundlag for brug af normalfordeling... 64 10.1.3 Nyttefunktioner...64 10.1.4 Antagelser for 2-aktiv modellen... 65 10.2 METODE TIL AT FINDE RISIKOTOLERANCEN R... 66 10.3 IMPLEMENTERING I MATLAB... 68 10.3.1 Test af præcisionen... 69 10.4 ÆNDRING I PARAMETRENE... 72 10.4.1 Ændring i Standardafvigelsen på begge aktiver... 72 10.4.2 Ændring i Middelværdi på Y... 75 10.4.3 Ændring i Standardafvigelsen på Y... 79 10.4.4 Ændring af Risikotolerancen... 86 10.4.5 Ændring af korrelationen... 88 10.5 KONKLUSION PÅ 2-AKTIV MODELLEN... 99 10.6 FORBEDRINGER TIL PROGRAMMET... 100 11 (2+1)-MODELLEN... 101 11.1 METODEBESKRIVELSE... 102 11.2 IMPLEMENTERING I MATLAB... 103 11.2.1 Nyttefunktion... 104 11.2.2 Gennemgang af programmet... 104 11.3 ANALYSE AF METODEN... 106 11.3.1 Ændring i Middelværdi på Y... 106 11.3.2 Ændring i standardafvigelsen på aktiv Y... 109 11.3.3 Ændring af risikotolerancen... 112 11.3.4 Ændring af korrelationen... 114 11.4 KONKLUSION PÅ (2+1)-MODELLEN... 117 12 TEST AF (2+1)-MODELLEN MOD CAPM... 119 12.1 BESKRIVELSE AF CAPM... 119 12.1.1 Antagelser for CAPM... 119 12.1.2 CML... 120 12.1.3 Metode til at finde markedsporteføljen... 121 12.2 RESULTATER... 122 12.2.1 Porteføljeandele af Microsoft og McDonalds... 122 12.2.2 Porteføljeandele af Pepsi Cola og Coca-Cola... 124 12.3 KONKLUSION PÅ SAMMENLIGNING MED CAPM... 125 13 FLERAKTIVSMODELLEN... 126 3

13.1 TRE AKTIVER... 126 13.1.1 Metode... 126 13.1.2 Normalfordelingsteori... 131 13.1.3 Metode til at udlede porteføljevægtene... 132 13.1.4 Eksempel med Coca-Cola, Pepsi og Microsoft... 133 13.1.5 Løsning... 138 13.2 LØSNING AF FLERAKTIVMODELLEN MED MERE END 3 AKTIVER... 139 13.3 KONKLUSION PÅ FLERAKTIVSMODELLEN... 141 14 KONKLUSION... 143 15 LITTERATURLISTE... 145 16 BILAG 1: MATLAB-KODE TIL 2-AKTIV MODELLEN... 148 17 BILAG 2: MATLAB-KODE TIL (2+1)-MODELLEN... 151 4

2 Problemformulering I denne kandidatafhandling viser vi, at det er muligt, at opstille en model for valg af porteføljer, med udgangspunkt i bestemte nyttefunktioner, der giver et bedre resultat end CAPM. Vi fokuserer på metoder til at vælge mellem to aktiver X og Y. Blandt andet viser vi, at der er generelle regler, der kan anvendes af grupper af agenter med samme risikoprofil. Som eksempel på sådan en regel, kan nævnes 50%-reglen: Kan det siges om en risikoavers person (u 0) at denne altid vil vælge mindst 50% af aktiv X, hvis han har valget mellem aktiv X og Y. Som værktøj til metoderne i afhandlingen, benyttes stokastisk dominans af første, anden og tredje grad, samt nyttefunktioner. Til udledning af fordelinger tages computersimulation i brug og der benyttes optimeringsmetoder til at løse problemer omkring porteføljevalg. Vi beskriver teorien bag stokastisk dominans og risikotype hos agenter samt områder inden for diversificering. Derudover beskrives også anden teori, når vi finder det nødvendigt. Vi udvikler en model, der kan løse porteføljevalgsproblemer for 2 risikofyldte aktiver. Denne model undersøges og det vurderes om den kan benyttes til at finde optimale porteføljer. Dernæst udvikler vi en model der også inkluderer et risikofrit aktiv. Dette er med henblik på at øge valgmulighederne for en investor og for at kunne sammenligne med CAPM-modellen (Markedsporteføljen). Grunden til, at vi udvikler disse to modeller er, at vi ikke kender modeller til valg af porteføljer, med mere end et risikofyldt aktiv, som benytter nytteoptimering til at finde aktivernes vægte. Derudover giver denne type model en potentiel investor en eksakt løsning på porteføljevalgsproblemet. 5

For at sætte de fundne modeller i perspektiv, vil vi sammenligne dem med porteføljevalgsmodellen CAPM, idet den er den mest udbredte og kendte porteføljevalgsmodel. Målet er, at vise, at de modeller vi udvikler, er mere optimale, at bruge for en risikoavers investor. Det gør vi ved at beskrive, hvorledes vores model tager højde for den enkelte investors nyttefunktion, i modsætning til CAPM. Som en afslutning vil vi vise, hvordan de udviklede modeller kan udvides til, at benyttes til valg af porteføljer med mere end to risikofyldte aktiver. Her er målet at finde en enkel metode, der kan benyttes på empiriske afkast for kendte aktier. 6

3 Indledning Der vil ofte være investerings-situationer, hvor beslutninger skal foretages på et usikkert grundlag. Forkerte beslutninger kan koste dyrt. Det er derfor hensigtsmæssigt at finde metoder til at vurdere, hvilke beslutninger der er bedst at tage. Vores fokus i denne opgave er at finde nye metoder til at beslutte, hvordan en investor skal sammensætte en portefølje af finansielle aktiver. Der er flere metoder at vælge imellem til dette formål, og den mest udbredte er CAPM. Det har dog vist sig empirisk, at CAPM ikke er fejlfri, og ikke giver en entydig portefølje, idet der blot findes en efficient rand, hvor alle porteføljer er lige gode. Vi ønsker at finde metoder, der kan undgå disse problemer og give et mere entydigt resultat. Derfor har vi valgt at udvikle metoder, der med udgangspunkt i bestemte grupper af investorers nyttefunktioner kan beregne det optimale valg af porteføljesammensætning. 3.1 Basale begreber Der er tre basale begreber i nytte-teori. Det er nyttefunktioner, forventet nytte og risikopræferencer, der belyses i opgaven. Dette er essentielt, da der er en sammenhæng imellem disse begreber. Nyttefunktioner repræsenterer, hvilken nytte et individ opnår ved at besidde en bestemt formue, det kan være penge eller andre værdifulde aktiver. Det forudsættes, at ethvert individ ønsker, at opnå den størst mulige nytte, og dette vil influere på enhver beslutning. Hvis der skal investeres i et sikkert aktiv, vil aktøren vide hvilken nytte, der vil opnås ved denne investering, og han vil foretage investeringen, hvis nytten er større, end hvis investeringen ikke foretages. Så længe der kun arbejdes med sikre investeringer, er optimering af nytten nogenlunde ligetil. Når der kommer et usikkerhedselement ind i billedet, da er det nødvendigt at vurdere, hvad den forventede nytte af en investering er. Den forventede nytte findes ved at finde nytten af alle sandsynlige udfald af en investering og derefter vægte dem med deres sandsynlighed. Ved at finde den forventede nytte af en investering kan en investor sammenligne med 7

nytten af ikke at investere, og derved vælge om den usikre investering skal foretages. Forventet nytte kan også anvendes til at sammenligne forskellige usikre investeringer. Ved at finde den forventede nytte for to usikre investeringer, kan investoren se, hvilken han vil få størst forventet nytte af, og derved hvilken han bør vælge. Det lyder ligetil at finde den forventede nytte af usikre investeringer, men det kan ofte være vanskeligt at finde en investors nøjagtige nyttefunktion. Der er nogen overordnede kategorier, som investorens potentielle nyttefunktioner kan findes i. Han kan være risikoavers, risiko-neutral eller risiko-lover. Disse kategorier dækker meget bredt, og der er mange forskellige typer nyttefunktioner, som en investor kan have. De omtalte kategorier er de, der kaldes individets risikopræferencer. Investorer med forskellige risikopræferencer vil ikke have samme forventede nytte af en usikker investering. Derfor er det vanskeligt at anbefale en bestemt type investering til alle investorer, da det langt fra er sikkert, at alle vil få øget nytten. 3.2 Opbygning af opgaven Målgruppen til denne kandidatafhandling forventes at have en indsigt i økonomi, matematik og statistik, der svarer til niveauet på en højere universitetsuddannelse, hvor matematik og økonomi indgår. Teorien som beskrives her, er den som menes at gå udover, hvad der forventes af målgruppens faglige viden. Store dele af teorien bygger på følgende litteratur: (Sydsæter 1, 1996), (Sydsæter 2, 1996), (Tjur, 1998) og (Tjur, 1999). Der vil, så vidt det er muligt omfang, blive benyttet danske udtryk og betegnelser, men da ikke alle udtryk har en korrekt dansk oversættelse, vil der forekomme engelske udtryk i teksten. For at lette forståelsen af metoderne til valg af porteføljesammensætning, starter vi med en gennemgang af den benyttede teori. Denne teori er beskrevet fra afsnit 4 til afsnit 7. 8

I afsnit 4 gennemgås vigtige begreber inden for relationer. Afsnit 5 behandler teorien omkring stokastisk dominans, med beskrivelser af de forskellige grader af dominans. I afsnit 6 gennemgås risikopræferencer og forskellige risikotyper for investorer. Diversificering bliver beskrevet og analyseret i afsnit 7. Efter teoriafsnittene, gennemgås i afsnit 8, procent-regler for porteføljevalg, med fokus på 50%-reglen. I afsnit 9, gennemgås teorien omkring Monte-Carlo, der er baggrund for computerberegningerne til løsning af de udviklede modeller. Afsnit 10, 11 og 13 gennemgås de modeller vi har udviklet til valg af porteføljeandele. Det er henholdsvis 2-aktivs modellen, (2+1)-modellen og fleraktivsmodellen, der bliver beskrevet. I afsnit 12, sammenlignes vores (2+1)-model og 2-aktiv model med CAPM. Konklusion og litteraturliste er at finde i afsnit 14 og 15 og herefter følger bilagene med programkoderne. For at opnå en kontinuitet i metodebeskrivelserne, vil vi i opgaven arbejde os fra de simple modeller frem til de mere avancerede modeller. Vi arbejder os fra modeller med 2 aktiver frem til n aktiver. For at få et resultat der er nemt at fortolke på, har vi valgt primært at beskæftige os med den klasse af nyttefunktioner, der hedder eksponentielle nyttefunktioner. Det gør vi da denne type nyttefunktioner kun har en variabel, der bestemmer en investors risikoprofil. Denne variabel er let at udlede. På baggrund af den beskrevne teori og disse nyttefunktioner udvikles modellerne til porteføljevalg. 9

4 Relationer For at give en forståelse af, hvordan agenters præferencer kan rangordnes, bliver præferencerelationer gennemgået i det følgende. Disse præferencerelationer er et vigtigt grundlag for teorien omkring stokastisk dominans og risikoholdning, så de bliver beskrevet, da det er vigtigt at have definitionerne på plads. Vi tager udgangspunkt i teori beskrevet af Kreps (Kreps, 1988). Både hvordan han fremstiller relationer samt deres egenskaber. Der beskrives egenskaber for forskellige relationer, hvor B står for en givet relation (Eksempelvis relationen = ) og B står for den negerede relation (Eksempelvis ). Der findes en lang række egenskaber som relationer kan besidde. I det følgende er beskrevet begreber om relationer der er værd at kende: Refleksiv, hvis xbx for alle x X Irrefleksiv, hvis x B ~ x for alle x X Symmetrisk, hvis xby medfører ybx Asymmetrisk, hvis xby medfører y B ~ x Antisymmetrisk, hvis xby og ybx medfører x = y Transitiv, hvis xby og ybz medfører xbz Negativt transitiv, hvis x B ~ y og y B ~ z medfører x B ~ z Komplet/Forbundet, hvis der gælder for alle x, y X at xby eller ybx eller begge dele. Svagt komplet/svagt forbundet, hvis der gælder for alle x, y X at xby eller ybx eller x = y Acyklisk hvis x1 Bx2, x2bx3, x n 1Bxn medfører x1 xn For at lette forståelsen af ovenstående begreber beskrives en række illustrative eksempler. Der gennemgås 4 simple eksempler, som illustrerer sammenhænge hvor de fleste af relationerne optræder, samt hvilke restriktioner de overholder og hvorfor de gør det. 10

4.1.1.1 Eksempel: X er lig med alle mennesker i Danmark og B er relationen deler mindst et navn Her kan det se at relationen B er refleksiv og symmetrisk. Den er refleksiv, da alle personer, x, står i relation med sig selv, fordi alle x deler mindst et navn med sig selv. Den er symmetrisk, da hvis person x deler mindst et navn med person y, så deler person y også mindst et navn med person x. 4.1.1.2 Eksempel: X er lig med alle naturlige tal, og B er relationen større end eller lig med ( ) Her er relationen B refleksiv, antisymmetrisk, transitiv, negativt transitiv, komplet og svagt komplet. Denne relation er refleksiv, fordi et tal x altid er lig med sig selv. Den er antisymmetrisk, da et naturligt tal x, der er større end et tal y ikke også vil være mindre end y. Hvis et tal x er større end eller lig et tal y, som så samtidig er større end eller lig med et tredje tal z, så vil x være større end eller lig med z, hvilket gør relationen transitiv. Relationen er negativt transitiv, da det gælder at hvis et tal x er mindre end eller lig et tal y, som samtidig er mindre end eller lig et tal z, så vil x være mindre end eller lig z. Relationen er komplet og svagt komplet, da et tal x altid vil værre større end eller lig med et andet tal y eller omvendt. 4.1.1.3 Eksempel: X R og B er relationen xby hvis x y > 1 Her er relationen B irrefleksiv og symmetrisk. Den er irrefleksiv, fordi den numeriske værdi af to tals difference skal være større end 1, da må de to tal i alle tilfælde være forskellige. Relationen er symmetrisk, da den numeriske værdi af forskellen på x og y altid vil være ens, selvom x og y byttes. 11

4.1.1.4 Eksempel: X R og B er relationen xby hvis x y Z Her er relationen B refleksiv, symmetrisk og transitiv. B er refleksiv da et tal x fratrukket sig selv altid giver 0, som er et heltal. Relationen er symmetrisk, da det gælder, at hvis et tal y subtraheret fra et andet tal x giver et helt tal, så vil x subtraheret fra y også give et heltal. Transitiviteten skyldes, at hvis x y skal give et helt tal, så skal alle decimaler være ens. Det samme gælder for y z og derved vil dette også gælde for x z. Eksempelvis vil 5,3 4,3 være et helt tal og 4,3 2,3 være et helt tal. Så vil 5,3 2,3 også være et helt tal. I afsnit 5 beskrives Stokastisk dominans, som er en præferencerelation, der er refleksiv, antisymmetrisk, transitiv og negativt transitiv. 4.2 Specifikke relationer En meget brugbar relation i forbindelse med nyttefunktioner er stærkt foretrækker. Det skrives som x y, hvis x er stærkt foretrukket frem for y, samt som x / y, hvis x ikke er stærkt foretrukket frem for y. Denne relation har følgende egenskaber: Asymmetri: Hvis x foretrækkes frem for y, så foretrækkes y ikke også frem for x. Denne egenskab gør det muligt at rangordne x og y. Transitivitet: Denne egenskab gør, at alle medlemmer af en mængde kan rangordnes, da det gælder, at når x y og y z, så er x z. Irrefleksivitet: Et element vil ikke foretrækkes frem for sig selv, da det ikke gælder, at x x. Negativ transitivitet: Dette gør, at x ikke foretrækkes stærkt frem for z, når det gælder at x / y og y / z. 12

En interessant egenskab er, at man ud fra relationen kan konstruere to andre relationer, som er interessante i denne sammenhæng: x y : Denne relation konstrueres ud fra y / x x ~ y : Denne relation svarer til x / y x / y I megen litteratur bliver relationen konstrueret udfra, altså omvendt af hvad vi gør. Dette gælder især inden for den mikroøkonomiske litteratur, hvor sammenhængen er beskrevet som: x y : bliver konstrueret ud fra x y x / y Relationen kaldes for svagt foretrukket, og den er komplet og transitiv. Denne relation bruges om elementer, hvor x y blot betyder, at x altid foretrækkes mindst lige så meget som y. Den anden relation ~ kaldes for indifferens, og den har egenskaberne refleksiv, symmetrisk og transitiv. Dette er for de tilfælde, hvor et element ikke foretrækkes frem for et andet. Man kan ud fra disse tre relationer udlede følgende egenskaber: x y x y x~ y x y hvis x y x~ y w x, x~ y, y z w y x z Vi vil løbende i opgaven benytte de beskrevne relationer og begreber, uden at komme videre ind på det. 13

5 Stokastisk Dominans I dette afsnit opsummeres teorien bag stokastisk dominans, med udgangspunkt i artikler omhandlende stokastisk dominans af Haim Levy (Levy, 1992), af J. Mayer (Mayer, 1977) samt (Hadar, Russell og Seo, 1988). Stokastisk dominans er et vigtigt værktøj i de analyser og modeller, der opstilles senere og det er som tidligere nævnt en præferencerelation, hvilket vil fremgå af den følgende gennemgang. Stokastisk dominans er en metode til at rangordne fordelinger og den findes i varianter fra 1. grads dominans til n te grads dominans. Det er en partiel relation, der er refleksiv, antisymmetrisk, transitiv og negativt transitiv. Dette følger af, at det er en relation mellem to kontinuerte fordelinger af reelle tal. Vi har valgt at belyse den svage form for stokastisk dominans, hvor der ikke er krav om, at A altid foretrækkes strengt frem for B, der skal blot være indifferens. Den svage form vælges da det også er interessant at medtage relationer mellem aktiver, hvor der kan eksistere indifferens. Dette betyder så i princippet, at A vil kunne stokastisk dominere A. Det vil derfor forudsættes i følgende gennemgang, at stokastisk dominans kun vil gælde, hvis A B. Når der forekommer stokastisk dominans af en bestemt grad, vil alle højere grader af stokastisk dominans være gældende. F.eks. hvis A førstegrads dominerer B, så vil A også andengrads dominere B osv. 5.1 Stokastisk dominans af 1. grad For at få et overblik over hvad stokastisk dominans er, beskrives 1. grads dominans først. 1. grads dominans er den stærkeste form for dominans og der er færrest krav der skal være opfyldt for at den gælder. For at beskrive 1. grads dominans (FSD), kigges på to aktiver, X og Y. X har tæthedsfunktionen f(x) og Y har tæthedsfunktionen g(x). Så er Y 1. ordens domineret af X, hvis og kun hvis: 14

c c 5.1.1 g( x) dx f ( x) dx c u ' 0 Fordelingsfunktionen for g(x) skal være større end eller lig fordelingsfunktionen for f(x). Dette betyder med andre ord, at X altid har større sandsynlighed end Y for at give det største afkast. For at dette skal gælde, skal det samtidig gælde at alle agenter har mindst lige så stor nytte ved et øget afkast, hvilket vil sige at den 1. afledte af nytten skal være større end eller lig 0 (u 0). En anden måde at se FSD på er ved at betragte den forventede nytte for alle afkast, da skal det gælde at: 5.1.2 Eu( X ) Eu( X ) F G u U1 Hvor U 1 er alle u, hvor u 0. Hvis dette gælder vil X dominere Y. Det er muligt at opstille sammenhængen mellem (5.1.1) og (5.1.2), ved at betragte ekstreme funktioner der er elementer i den repræsentative mængde U 1. Et sådant element defineres som: 5.1.3 0 for ( ) w u c c w = 1 for w> c Dette er en såkaldt trappefunktion, der er en ægte delmængde af mængden af positivt voksende funktioner. Dette er en ekstrem funktion, da den kun betragter agenter, som enten har en nytte på nul eller på en, alt efter om værdien w af et aktiv ligger over eller under en bestemt værdi c. Der findes ingen nyttefunktioner i mængden af positivt voksende ikke-stigende funktioner, med en mindre hældning end trappefunktionen, da c den har en 1. afledt på u' = 0, w c. Alle agenter med en u ( w ) nyttefunktion vil have en nytte, der ikke falder med afkastet, og de er derfor med i U 1. 15

0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 u(w) 0,3 0,2 0,1 0-0,1-0,2 w Figur 5.1.1 Tre ekstreme trappefunktioner givet ved u c (w) Ved at betragte flere trappefunktioner, kan man få et billede som i Figur 5.1.1. Her ses tre forskellige trappefunktioner. Ved at kombinere disse trappefunktioner opnås en sammensat nyttefunktion, som vist i Figur 5.1.2. Ved at betragte denne sammensatte funktion ses det, at man ved at øge antallet af trappefunktioner, kommer tættere på en differentiabel og konkav nyttefunktion, som vil være perfekt ved et uendeligt antal trappefunktioner. Derved illustrerer figuren, at en trappefunktion er en tilnærmelse til en differentiabel funktion, og det ses at trappefunktionen kan bruges som ekstrem-funktion for u 1 (w). 16

1,6 1,4 1,2 1 u(w) 0,8 0,6 0,4 0,2 0-0,2 w Figur 5.1.2 Kombinationer af trappefunktioner fra u c (w) c Ved at betragte nyttefunktionen u ( w ) fra 5.1.3 for aktiv X og Y, kan det ses at nytten ved aktiv Y vil være mindst lige så stor som nytten ved aktiv X, hvis værdien af Y højst er den samme som værdien af X. Dette gælder for alle værdier af c. Derfor vil det også gælde for alle andre positive ikke-stigende nyttefunktioner, da denne trappefunktion er mest ekstrem i U 1. Denne relation for den forventede nytte ses i 5.1.2, der ved omskrivning giver: 5.1.4 Eu( X ) Eu( X ) Eu( X ) Eu( X ) 0 F G F G Ligeledes kan man slutte, at hvis aktiv X har en tæthedsfunktion, der for alle afkast op til en værdi c altid er mindre end tæthedsfunktionen for aktiv Y, så vil en investor med en C u ( w) - nyttefunktion altid foretrække X mindst lige så meget som Y, da værdien af aktiv X altid vil være mindst lige så stor som for aktiv Y. Denne svage relation er den samme som ses i 5.1.1. En omskrivning af 5.1.1 giver: 17

c c c 5.1.5 g( x) dx f ( x) dx ( g( x) f ( x)) dx 0 c Det følger dermed at 5.1.4 og 5.1.5 er analoge med hinanden. Dette er et interessant resultat, da man derved kan vælge både at betragte stokastisk dominans ud fra en investors forventede nytte af to aktiver, eller man kan afgøre stokastisk dominans ved hjælp af fordelingen af afkast for de to aktiver. 5.1.1 Eksempel på førstegrads dominans For bedre at kunne forstå idéen bag stokastisk dominans følger her et lille eksempel med 2 aktiver, X og Y. Vi har benyttet et eksempel med afkastet for de to aktiver over otte tidsperioder. De to aktivers afkast ses i Tabel 5.1.1, aktiv X har en middelværdi på 0,01625, mens aktiv Y har en middelværdi på 0,00625. Der er benyttet ækvidistante afkast til at repræsentere de to aktiver. Hver observation vægter med 1/n, altså 1/8 i dette tilfælde. Denne metode er før beskrevet af Fishburn og Lavalle (Fishburn og Lavalle, 1995) Tid X Y 1-0,01-0,02 2-0,02 0,03 3 0,04 0,02 4 0,03 0,02 5 0-0,03 6 0,04-0,01 7 0,02 0,01 8 0,03 0,03 Tabel 5.1.1 Afkast for de to aktiver 18

Det undersøges nu om et af aktiverne dominerer det andet, for at afgøre om det ene kan siges at foretrækkes frem for det andet, ud fra definitionen for FSD. For at undersøge stokastisk dominans af første grad antages det, at alle agenter har en nytte, der stiger med afkastet. De kumulative sandsynligheder findes ved at rangordne observationerne. Fordelingen af afkastene kendes ikke, hvilket gør, at der bruges diskrete observationer for den kumulative sandsynlighed. x X Y -0,03 0 0,125-0,02 0,125 0,25-0,01 0,25 0,375 0 0,375 0,375 0,01 0,375 0,5 0,02 0,5 0,75 0,03 0,75 1 0,04 1 1 Tabel 5.1.2 Akkumulerede punktsandsynligheder I Tabel 5.1.2 ses de akkumulerede punktsandsynligheder ved hver x-værdi. Det gælder for alle x-værdier at Y(x) X(x). Dermed er kravet i 5.1.6 opfyldt, hvormed aktiv A stokastisk dominerer aktiv B af første grad. Det er i eksemplet antaget at fordelingen er kontinuert, selvom den i virkeligheden er diskret. c c 5.1.6 g( x) dx f ( x) dx x u ' 0 Grafisk ser den akkumulerede sandsynlighed ud som i følgende figur: 19

1,2 Akkumulerede punktsandsynligheder 1 0,8 0,6 0,4 0,2 Y X 0-0,03-0,02-0,01 0 0,01 0,02 0,03 0,04 x Figur 5.1.3 Eksempel på diskret akkumuleret sandsynlighedsfunktion for 2 aktiver Som det kan ses så er den akkumulerede sandsynlighed for Y altid mindst lige så stor som for X. Af grafen kan intuitionen ses ved at sandsynlighedsmassen for afkast på Y ligger mere i den negative del af x-aksen end afkast på X. Derfor vil en investor med u 0 altid foretrække X frem for Y, da Y, for alle afkast altid har en mindst lige så stor sandsynlighed som X, for at få det laveste afkast. 5.2 Stokastisk dominans af 2. grad FSD tager ikke højde for agenternes risikopræferencer, idet deres nytte blot skal øges, hvis afkastet øges. Hvis agenter med en mere specifik type risikoprofil skal inkluderes i konceptet om stokastisk dominans, skal der tilføjes yderligere restriktioner på agenternes nyttefunktioner. For risikoaverse agenter gælder, at nyttefunktionen er konkav, dvs. den anden afledte af nyttefunktionen er negativ (u 0). Det skal også stadig gælde at u 0. 20

Den Stokastiske dominans af 2. grad (SSD) er som tidligere nævnt en svagere form for dominans end FSD, der stiller et krav om, at agenterne er risikoaverse. Ved at afgrænse dominans-begrebet til investorer med en bestemt risikoprofil, vil der være en større mængde aktiver, hvor Stokastisk dominans begrebet kan bruges til at rangordne dem end ved FSD alene. For SSD gælder, at alle risikoaverse agenter foretrækker aktiv X frem for aktiv Y, hvis og kun hvis: c c 5.2.1 G( x) dx F( x) dx c u ' 0, u '' 0 F(x) og G(x) er stamfunktionerne for f(x) og g(x) fra afsnit 5.1, der er fordelingsfunktionerne for hhv. aktiv X og aktiv Y. Disse betingelser angiver Stokastisk dominans af 2. grad. Ved i stedet at betragte den forventede nytte, vil det gælde, at SSD er opfyldt når: 5.2.2 Eu( X ) Eu( X ) F G u U 2 Hvor U 2 er alle u, hvor u 0 og u 0. Dette kan fortolkes således, at SSD er opfyldt, når nytten for F(x) er større end nytten for G(x) for alle nyttefunktioner tilhørende risikoaverse agenter. Det er muligt at opstille sammenhængen mellem 5.2.1 og 5.2.2 ved følgende fremgangsmetode. Mængden af alle risikoaverse agenter er repræsenteret ved U 2 = {u u er ikke-aftagende, kontinuert og konkav på [0,1] og ' u + (0) < }. Én ægte delmængde af U 2 er defineret som U c, hvor det gælder om alle elementer: 21

5.2.3 c w-c for w c u ( w) =, hvor 0 < c< 1 0 for w> c Denne funktion ser ud som i Figur 5.2.1 1 0,5 0 c u(w) -0,5-1 -1,5-2 w Figur 5.2.1 Graf for u c (w), med et knæk i punktet c Man kan kombinere flere ekstreme funktioner fra u c (w), hvorved man får en funktion som vist i Figur 5.2.2. Det kan ses, at dette giver en mere glat funktion og ved sammensætning af uendeligt mange ekstreme funktioner fra u c (w) fås en differentiabel og konkav nyttefunktion. 22

u(w) w Figur 5.2.2 Kombination af ekstremfunktioner fra u c (w) Theorem 1 (Hadar og Seo, 1988) siger, at enhver agent i U c foretrækker X frem for Y, hvis og kun hvis enhver agent i U 2 foretrækker X frem for Y. Beviset for dette er at lade F og G repræsentere tæthedsfunktionen for hhv. aktiv X og aktiv Y. Så kan den forventede nytte for X skrives som: 5.2.4 1 c u ( x) df( x) = ( x c) df( x) 0 0 c Ved at foretage en partiel integration af højresiden fås: 5.2.5 c ( x c) df( x) = F( x) dx 0 0 c 23

Dette kan også udledes for aktiv Y, derved fås: 5.2.6 1 u ( x) d[ F( x) G( X)] = [ G( x) F( x)] dx 0 c 0 c Ved en omskrivning af 5.2.1 fås c c c 5.2.7 G( x) dx F( x) dx [ G( x) F( x)] dx 0 Og af 5.2.2 da den forventede nytte for en investor fra U c er u c (w) fås sammenhængen i 5.2.8 5.2.8 c Eu( X ) Eu( X ) Eu( X X ) = u ( x) d( F( x) G( x)) 0 F G F G 1 0 Dermed følger det af 5.2.6, at der er en sammenhæng mellem 5.2.1 og 5.2.2, ved kun at betragte 5.2.1 for værdier af x > 0. 5.2.1 Eksempel på andengrads Stokastisk dominans Til dette eksempel på 2. grads dominans benyttes samme type eksempel som i afsnit 5.1.1. Det, som vi ønsker at vise er, at selvom der ikke eksisterer dominans af 1. grad imellem to aktiver, så kan der stadig eksistere dominans af højere grad. Dette skyldes, at FSD er den stærkeste form for stokastisk dominans, mens SSD er svagere, da denne type har et større krav på typen af risikopræferencer, som en investor skal besidde. Kravet er, at investoren er risikoavers (u 0 og u 0), hvilket er den risikoprofil, der er mest fremherskende blandt investorer. Der er blevet ændret lidt på afkastene i forhold til eksemplet i afsnit 5.1.1, da FSD ikke skal være opfyldt her. De nye afkast for aktiv X og Y i 8 perioder ses i Tabel 5.2.1. 24

Tid X Y 1-0,01-0,02 2-0,02 0,03 3 0,04 0,02 4 0,01 0,02 5 0-0,03 6 0,04-0,01 7 0,02 0,02 8 0,01 0,03 Tabel 5.2.1 Afkast for aktiv X og Y Der er igen tale om 8 diskrete ækvidistante observationer, hvilket vil sige at der er samme afstand mellem udfaldende. Alle betragtninger i det følgende er foretaget fra disse diskrete observationer. Fordelingen af disse afkast er vist i Tabel 5.2.2, hvor det ses at aktiv X er mest repræsenteret med afkast i midten af afkast-intervallet, mens aktiv Y s afkast mest ligger i yderpunkterne. Middelværdien for aktiv X er 0,0125 og for aktiv Y er den 0,0075. x X Y -0,03 0 0,125-0,02 0,125 0,25-0,01 0,25 0,375 0 0,375 0,375 0,01 0,625 0,375 0,02 0,75 0,75 0,03 0,75 1 0,04 1 1 Tabel 5.2.2 Akkumulerede punktsandsynligheder 25

Det undersøges først om der er et af aktiverne der stokastisk dominerer det andet. Betingelsen i 5.2.9 skal være opfyldt, for at der eksisterer FSD. Hvis betingelsen er opfyldt vil aktiv X stokastisk dominere aktiv Y (1. grad). Hvis g(x) byttes med f(x) vil aktiv Y dominere aktiv X. c c 5.2.9 g( x) dx f ( x) dx c u ' 0 Her er g(x) fordelingsfunktionen for aktiv Y og f(x) for aktiv X, hvor hvert afkast har fået en sandsynlighed på 1/n. FSD gælder derfor hvis integralet for g(x) er mindst lige så stort som integralet for f(x). Den grafiske fremstilling af de to integraler ses i Figur 5.2.3. 1,2 1 Sandsynlighed 0,8 0,6 0,4 X Y 0,2 0-0,03-0,02-0,01 0 0,01 0,02 0,03 0,04 Afkast Figur 5.2.3 Akkumuleret sandsynlighedsfunktion for aktiv X og Y 26

Det ses tydeligt, at ingen af aktiverne har en akkumuleret fordelingsfunktion, der er mindst lige så stor som det andet aktivs, for alle værdier af c fra 5.2.9, hvor c her er afkastet. Det betyder, at der ikke er et af aktiverne der stokastisk dominerer det andet af 1. grad. Da FSD ikke gælder, er det næste skridt et krav om at investorerne er risikoaverse, der er et svagere dominanskrav. Med dette krav er betingelsen for stokastisk dominans som i 5.2.10. c c 5.2.10 G( x) dx F( x) dx c u ' 0, u '' 0 G(x) er stamfunktionen for aktiv Y s fordelingsfunktion, mens F(x) er stamfunktion for aktiv X s fordelingsfunktion. Hvis integralet for det første aktivs stamfunktion er mindst lige så stor som integralet for det andet aktivs stamfunktion, så vil det andet aktiv dominere det første. Hvis 5.2.10 er opfyldt, så er det således aktiv X, der dominerer aktiv Y. I Figur 5.2.4 er indtegnet integralerne for de 2 stamfunktioner. 27

4,5 4 3,5 3 2,5 2 X Y 1,5 1 0,5 0-0,03-0,02-0,01 0 0,01 0,02 0,03 0,04 Afkast Figur 5.2.4 Integralet af den akkumulerede sandsynlighedsfunktion for aktiv X og Y Det ses tydeligt af Figur 5.2.4 at den anden afledte for aktiv Y er større end den anden afledte for aktiv X, for alle afkast. Hermed er det vist, at for alle risikoaverse investorer vil aktiv X stokastisk dominere aktiv Y af 2. grad. Det er hermed vist at SSD godt kan være opfyldt, selvom FSD ikke er opfyldt. Dette resultat opnås ved at afgrænse mængden af investorer, som dominansbegrebet skal gælde for, til kun at omhandle de risikoaverse typer. 5.3 Stokastisk dominans af højere grad Tredje grads stokastisk dominans (TSD) bygger videre på SSD, således at det skal gælde om agenternes nyttefunktioner, at den tredje afledte er større end eller lig med 0 (u 0), samtidig med at u U 2. Ved at definere U 3 som mængden af nyttefunktioner hvor u 0, u 0 og u 0, gælder det at. 28

c v c v 5.3.1 F( x) dxdv G( x) dxdv x E( X ) E( X ) F G Det sidste led er et krav om at middelværdien for F skal være større end eller lig middelværdien for G. Nyttefortolkningen kan udledes som: Eu( X ) Eu( X ) u U E ( X ) E ( X ) 5.3.2 3 F G F G Her er der tilsvarende før tilføjet et krav på middelværdierne. Den generelle version af stokastisk dominans op til n te grad er en videreudvikling af TSD og den er under antagelse om at alle ulige afledte (u, u, osv) er større end eller lig med 0, samt at alle lige afledte (u, u, osv) er mindre end eller lig med 0. Kravet ser ud som følgende: c v n c v n 5.3.3... F( x) dxdv... dn... G( x) dxdv... dn for alle x og EX ( ) EX ( ) F G Dominans af højere grad vil vi ikke beskæftige os yderligere med i denne afhandling, da stokastisk dominans op til tredje grad er fyldestgørende for de metoder der bliver arbejdet med. 29

6 Risiko præferencer Forskellige individer har forskellige holdninger til risiko. Nogen er villige til at påtage sig mere risiko end andre, hvilket ydermere varierer alt efter hvilken situation, der er tale om. Nogen individer vil dog være meget tæt på hinanden i specifikke situationer. Det betyder, at aktørerne vil kunne inddeles i større grupper, der kan behandles ens. Nogle mennesker skal have penge for at tage en usikkerhed på sig, hvor andre er villige til at betale for den. I visse ekstreme situationer vil næsten alle aktører handle ens. Eksempelvis i et lotteri, hvor man med en indsats på 1 kr, med en sandsynlighed på 99,9999% vinder en million kr. og med sandsynligheden 0,0001% vinder 0 kroner. Den store gevinst gør, at et individ skal have en ekstrem uvillighed overfor risiko for at sige nej til de overvældende gode sandsynligheder. Den dybere forklaring på, at en aktør ikke nødvendigvis vil gøre det samme som en anden bliver gennemgået i dette afsnit, hvor fokus vil være på de tre hovedgrupper inden for risikopræferencer, samt et par blandede typer. Forskellen på hvilken risiko en person vil tage i et lotteri, afhænger udover individets nyttefunktion også af lotteriets udformning, for eksempel hvis man sammenligner lotto med russisk roulette. I lotto har mange mennesker lyst til at deltage, selvom det er kendt at udbetalingen kun ligger på 80% af den samlede indsats, hvorved det forventede afkast er negativt. Derimod er det et fåtal, der vil deltage i en omgang russisk roulette med en indsats på en krone, selvom man laver en udbetaling på en million kroner til vinderen (dette er en antagelse, har intet empirisk grundlag). Et spil med et højt forventet afkast vil ikke foretrækkes af langt flertallet af individer, hvis risikoen ved spillet er for stor, som f.eks. 1/6 sandsynlighed for at dø. Når vi ser på aktører som foretager investeringer, kan de for det meste opdeles i 3 hovedgrupper: Risikosøgere (RL) også kaldet Risk Lovers Risikoneutrale (RN) også kaldet Risk Neutrals 30

Risikoaverse (RA) også kaldet Risk Averse I det følgende beskrives, hvad aktører fra hver af de tre grupper vil give for en investering, hvor der vil blive udbetalt 100 kr med sandsynlighed x og 0 kr med sandsynlighed x-1. 6.1 Risikoneutral En RN investor har en lineær sammenhæng mellem størrelsen på risiko, og den præmie han kræver for denne risiko. Sammenhængen kan skrives som i 6.1.1. 6.1.1 c= x 100 + (1 x) 0 Her er c er den pris, RN er villig til at betale for investeringen. Her har c den samme værdi, som den forventede værdi E(x) af investeringen. Grafisk vil det se således ud: Figur 6.1.1 RN s betalingsvillighed for en investering med usikkerhed 31

Investors nytte vil også være en lineær voksende funktion af den forventede værdi af en investering, hvilket betyder at det skal gælde, at u' 0 u'' = 0. Indenfor finansiel litteratur er det udbredt at benytte RN agenter for at simplificere teoretiske modeller. En RN investor er dog ikke realistisk i de fleste investeringssituationer, da de fleste investorer forventer en præmie for at påtage sig risiko. 6.2 Risk Lovers For en RL investor forholder det sig sådan, at han er villig til at betale mere for ovennævnte investering end dens forventede værdi, da den indeholder usikkerhed. Den pris, RL er villig til at betale er: 6.2.1 c= x 100 + (1 x) 0+ P Omskrevet vil det give: 6.2.2 c= E( x) + P Her står P for den pris, aktøren er villig til at betale for at opnå noget risiko. Tegnes dette ind i en graf fås følgende billede: 32

Figur 6.2.1 RL s betalingsvillighed for en investering med usikkerhed For investors nytte vil det gælde at u' 0 u'' 0. Kun i specielle investeringssituationer ses investorer der er RL. Der tænkes på lotterier, kasinoer m.v., hvor det investerede beløb er relativt lavt i forhold til investors formue, samtidig med at tabet er minimalt, med mulighed for høje gevinster. 6.3 Risikoavers En RA investor vil kræve en risiko præmie, for at være villig til at investere i en risikofyldt investering. For den ovenstående investering betyder det, at aktøren er villig til at betale beløbet i 6.3.1. 6.3.1 c= x 100 + (1 x) 0 P Hvilket også kan omskrives til: 6.3.2 c= E( x) P 33

Hvor P er prisen, RA skal have for risikoen i investeringen. Indtegnet i Figur 6.3.1 er en RA investors betalingsvillighed på en usikker investering. Figur 6.3.1 RA s betalingsvillighed for en investering med usikkerhed For den RA investor vil det for nytten være gældende at u' 0 u'' 0. Gruppen af RA investorer er fremherskende i almindelige investeringsituationer, idet langt det fleste investorer ønsker en kompensation for at påtage sig en risiko. 6.4 Andre risikotyper Ved overvejelse af hvilken type af rationelle aktører, der findes på markedet, kan man hurtigt blive overbevist om, at RL og RN kun vil kunne findes indenfor den type af investeringer, hvor der er en ekstrem høj risiko i forhold til prisen, og hvor der er mulighed for at få en unormal høj gevinst udbetalt. Disse risikotyper er ikke særlig udbredte i ren form, da der er en stor andel af investorer, der vil have en kompensation for den risiko de tager i form af en risikopræmie. 34

Det forholder sig sådan, at en RA s risikopræmie ikke nødvendigvis er lig andre RA investorers risikopræmier, da aktørerne kan være mere eller mindre risikoaverse, hvor det gælder at jo mere avers, des større risikopræmie kræver investoren. Vi vil i resten af denne rapport se på RA investorer, da de er mest repræsentative for almindelige investorer. Men i virkeligheden er det mere nærliggende at de fleste individer har en blandet form for risiko præferencer (Friedman- Savage 1948), som kan ses på Figur 6.4.1 og Figur 6.4.2 Figur 6.4.1 Figur 6.4.1 viser, at den givne aktør er RL ved en lille investering, mens han ved større investeringer er en RA-type. Dette er typisk for en aktør, som vælger at investere i en lotto-kupon til 20 kr, samtidig med at han køber en afbestillingsforsikring på en rejse til 4.000 kr. 35

Figur 6.4.2 En anden blandet risikotype ses i Figur 6.4.2. For denne type ses, at den givne aktør er RA ved små investeringer, mens han er stærkt RL ved de store investeringer. Blandt disse to typer af risikoprofiler, der er den mest sandsynlige investor, ham der er RL ved små beløb, og RA når det begynder at gælde store beløb, da investorer der er villige til at foretage usikre investeringer ved små beløb og sikre investeringer ved store beløb, er mest udbredt af de to. 36

7 Diversificering I forbindelse med investering i finansielle aktiver er den gængse opfattelse, at investere i et enkelt aktiv er at pådrage sig forholdsvis høj risiko. Ved at fordele sin investering på mere end et aktiv kan risikoen mindskes. Dette er baseret på teorien om, at alle aktiver har en kendt middelværdi og varians. Markovitz (Levy og Sarnat, 1990) udformede Middelværdi-varians reglen som en metode til at vurdere aktiver baseret på deres Middelværdi og Varians, hvor et Aktiv X vil være at foretrække for et aktiv Y, hvis en af følgende betingelser er opfyldt: 1. X s forventede afkast er større end eller lig Y s forventede afkast, og variansen af X er mindre end variansen af Y 2. X s forventede afkast er større end Y s forventede afkast, og variansen af X er mindre end eller lig med variansen af Y Dette giver en simpel regel til at vælge mellem to aktiver, hvis middelværdi og varians er kendt på begge aktiver. 7.1 Diversificering med Markovitz Middelværdi-varians begreb Det er nu interessant at undersøge, om man i stedet for at skulle vælge imellem aktiverne vil få en fordel af at fordele sin investering på både X og Y. Der er i det følgende taget udgangspunkt i beskrivelser af Levy og Sarnat (Levy og Sarnat, 1990). De første to momenter af en sådan portefølje kan findes ud fra momenterne fra hvert aktiv, samt deres indbyrdes korrelation (R). Middelværdien beregnes som: 7.1.1 µ = kµ + (1 k) µ P X Y 37

Dette er et vægtet gennemsnit og variansen udregnes som: 7.1.2 σ = k σ + (1 k) σ + 2 k(1 k) Rσ σ, hvor k 0 og 1 R 1. 2 2 2 2 2 p X Y X Y Ved en korrelation på R = 1 er: 7.1.3 σ = k σ + (1 k) σ + 2 k(1 k) σ σ = ( kσ + (1 k) σ ) 2 2 2 2 2 2 p X Y X Y X Y Det medfører at: 7.1.4 σ =± ( kσ + (1 k) σ ) P X Y Hvilket er et vægtet gennemsnit af de to aktivers standardafvigelser. Da standardafvigelsen skal være positiv, ses der bort fra den negative løsning og standardafvigelsen er derfor 7.1.5 σ = kσ + (1 k) σ P X Y I en situation hvor korrelationen mellem to aktiver er 1, vil der være en lineær sammenhæng mellem vægten på aktiverne og både middelværdi og standardafvigelsen, der vil derfor ikke være nogen fordel ved at diversificere, som det kan ses af Figur 7.1.1. I det andet ekstrempunkt, hvor korrelationen tænkes at være R = -1 fås: 7.1.6 σ = k σ + (1 k) σ 2 k(1 k) σ σ = ( kσ (1 k) σ ) 2 2 2 2 2 2 p X Y X Y X Y Standardafvigelsen for denne portefølje er 7.1.7 σ =± ( kσ (1 k) σ ) =± (( σ + σ ) k σ ) P X Y X Y Y 38

Porteføljens standardafvigelse vil være nul, der hvor 7.1.8 gælder. σy 7.1.8 σp = ( σ X + σy) k σy = 0 k = σ + σ X Y Da standardafvigelsen skal være positiv er løsningen: 7.1.9 σy ( σ X + σy) k σy for k σ X + σy σ P =,hvor σ X σy σ Y ( σ X + σy) k + σy for k< σ X + σy For denne portefølje vil standardafvigelsen kunne reduceres til 0, ved diversificering og uanset vægt vil der være en fordel ved diversificering. For alle tilfælde af korrelationer mellem de to ekstremer -1 og 1, vil der være en fordel ved diversificering, som bliver mere udtalt jo tættere man kommer på en korrelation på - 1. Dette kan illustreres rent grafisk som det ses i Figur 7.1.1: Figur 7.1.1 Sammenhæng mellem risiko og afkast ved forskellige korrelationer 39

For alle risikoaverse investorer vil det gælde hvis der diversificeres, at ved en korrelation der er mindre end 1, opnås en nytte der større end eller lig nytten ved en korrelation på 1. Dette kan ses ved at indsætte indifferenskurverne for enhver risikoavers investor. Ved at indføre yderligere et aktiv, vil gevinsten ved diversificering være endnu større, blot korrelationen mellem aktiverne er mindre end 1. Det kan ifølge Markovitz model altid betale sig for en risikoavers investor at diversificere, men man kan ikke derved sige noget om, hvorvidt der eksisterer porteføljer, som vil foretrækkes af alle risikoaverse investorer frem for nogen andre. Der bliver i de næste tre eksempler givet en nærmere forklaring på de 3 særtilfælde af korrelationen, altså hvor den har værdien -1, 0 eller 1. 7.1.1.1 Korrelationen er 0: Aktiverne er ikke korreleret, hvilket betyder, at afkastet mellem de to aktiver ikke har en lineær sammenhæng. Det betyder, at det er muligt at fjerne risiko ved tilstrækkelig stor diversificering. Dette kan vises med de Store Tals lov, der siger, at hvis man har mange ukorrelerede stokastiske variable (uafhængige) med middelværdi µ og varians σ 2, så vil der gælde følgende: N 1 7.1.10 xn µ for N N N = 1 Altså gennemsnittet går mod en fast værdi, og det medfører at usikkerheden formindskes, når antallet af variable går mod uendelig. 40

7.1.1.2 Korrelationen er 1: Her vil afkastene for de to aktiver have en komplet lineær sammenhæng. De kan dog stadig godt have forskellig risiko og afkast. Der er derfor ikke en fordel i at holde flere aktiver frem for et, når korrelationen er 1, da man blot holder det aktiv, der har den laveste risiko, når variansen ønskes minimeret. 7.1.1.3 Korrelationen er 1: En ændring i det ene aktiv besvares af en identisk ændring med modsat fortegn i det andet aktiv. Kombineres to aktiver i det rette forhold, bortdiversificeres al risiko og der opnås et afkast, der er gennemsnittet af de to aktivers afkast. Korrelationerne i et aktiemarked ligger oftest over 0, da fleste aktier følger udviklingen i den generelle økonomi. Det er dog meget usandsynligt, at to aktiver skulle være perfekt korrelerede. Aktiver inden for samme branche vil normalt have en højere korrelation end meget forskelligartede aktiver. 7.2 Betingelser for diversificering I foregående afsnit blevet beskrev vi, i hvilke tilfælde det kan betale sig at diversificere ifølge Markovitz Middelværdi-Varians regel. Som beskrevet vil det kunne betale sig at diversificere imellem to aktiver, hvis korrelationen imellem dem er mindre end 1. Det kan vises, at hvis aktiverne er fuldstændig uafhængige, dvs. at korrelationen er 0, da vil en risikoavers investor altid diversificere. 41

Men hvad nu hvis de to aktiver ikke er uafhængige? Vil det så altid gælde at en risikoavers investor vil diversificere? I det følgende gennemgås et taleksempel, der viser, at dette ikke altid vil være tilfældet. 7.2.1 Taleksempel I det følgende vises et eksempel på to aktiver, hvor det ikke er optimalt at diversificere, selv om aktiverne har en negativ korrelation. Aktiv X er uniformt fordelt på [0;1] Aktiv Y har fordelingen Y = -12x 2 + 10x ½ 1 Kovariansen imellem aktiverne er 6, hvilket betyder, at der en negativ korrelation imellem dem. X og Y har samme middelværdi. Umiddelbart betyder den negative kovarians, at det er en fordel at diversificere for alle risiko-averse investorer. Vi kigger nu på en investor med den konkave nyttefunktion som vist i 7.2.1: 7.2.1 x U ( x) = 1 20 hvis hvis x x 1 20 1 20 Dette er en ekstrem funktion, som er en konkav, ikke-aftagende og differentiabel nyttefunktion, lige bortset fra i punktet x = 1 20 For at vise at det ikke er optimalt at diversificere, er det tilstrækkeligt at vise at investorens marginale forventede nytte mht. vægten k af porteføljen kx + (1 k) Y er positiv ved k = 1. Da nyttefunktionen er konkav og ikke-aftagende betyder en positiv marginalnytte, at ved en værdi af k under 1 er nytten højst den samme som ved k = 1. 42

Den marginale forventede nytte af porteføljen er: 7.2.2 du EUkX ( + (1 ky ) ) = EU '( kx + (1 ky ) ) dk Ved k = 1 antager den værdien 7.2.3 k = 1 E[ U'( kx + (1 k) Y)( X Y)] = E[ U'( X)( X Y)] Da U ikke er differentiabel i punktet 1 20, da skal nyttefunktionen differentieres stykvist. For at beregne den marginale forventede nytte ved k = 1 udregnes leddene i ovenstående ligning. Det gælder for den marginale forventede nytte at: 7.2.4 1 hvis U'( x) = 0 hvis x x 1 20 1 20 1 Ved at udnytte at U (x) er 0 for x 20, kan de to led i formel 7.2.3 udregnes til: 7.2.5 1 1 20 E( XU'( X)) = xdx 1= 0 800 1 13 20 EYU ( '( X)) = ydy 1= 0 1000 Ved at indsætte disse værdier i 7.2.3 fås: 7.2.6 5 52 57 EU [ '( X)( X Y)] = E( XU'( X)) EYU ( '( X)) = = 4000 4000 4000 Som det ses er der en positiv forventet marginal-nytte for k = 1. Dvs. at det er optimalt kun at investere i aktiv X. Dette viser, at det under visse omstændigheder kan være optimalt ikke at diversificere for en risiko-avers investor, selvom aktiverne har en negativ 43

korrelation. Man kan derfor ikke sige, at man altid bør diversificere, hvis korrelationen mellem to aktiver er negativ, selvom om almindelig finansiel intuition siger, at man bør diversificere. Dette er også tidligere blevet vist (Brumelle, 1974), med samme resultat. 44

8 Procent-regler Når en investering skal foretages, og der er en mulighed for at diversificere mellem 2 aktiver (X og Y), kan man vælge at investere alene i et af aktiverne. Men som beskrevet tidligere i afsnittet om diversificering, vil det ofte kunne betale sig at investere i begge aktiver for den risikoaverse investor. For en risikoavers investor er diversificering i sig selv ikke en stærk investeringsregel, da reglen ikke fortæller investor, hvor stor en andel han egentlig bør sætte i hvert aktiv. Derfor er det interessant at undersøge, om man kan opstille en regel, der for alle risikoaverse investorer tilsiger, at man skal have mindst en bestemt andel af et af aktiverne. Vi vil i det følgende afsnit beskrive 50% reglen, og derefter kort komme ind på andre regler, der kan opstilles for porteføljevalg. 8.1 50%-reglen Idéen bag 50% - reglen er, om man kan sige, at man altid skal investere minimum 50% i det ene af to aktiver, udfra nogle givne forudsætninger. Vi vil tage udgangspunkt i en artikel Clark og Jokung (Clark og Jokung, 1999). Når man som investor diversificerer mellem to aktiver (X og Y), får man en portefølje, som vi kalder Z, der kan opskrives som 8.1.1. 8.1.1 w( kx + (1 k) Y) = wz kx + (1 k) Y = Z da w = 1 w er den totale formue, der investeres i porteføljen. Ved at sætte formuens værdi til 1 kan problemet simplificeres, hvorved de følgende beregninger bliver mere overskuelige. 45

En investor ønsker at maksimere sin forventede nytte, og når han skal foretage et investeringsvalg sker det ud fra denne maksimeringsfunktion. 8.1.2 [ + (1 k) Y ] [ 0;1] Max Eu kx k Der er ikke mulighed for at foretage long- eller short- sale, da vægten k [ 0;1]. Der kigges kun på risiko averse agenter, hvor nyttefunktionen er konkav ( u '' 0). For at 50%-reglen skal gælde, skal k 0,5 for alle investorer og den forventede nytte af porteføljen differentieres. Samtidig forudsættes det, at den forventede nytteværdi er mindre end uendelig. 8.1.3 [ 0;1] ( 1 ) Eu kx k Y + + k {( ) ' + ( 1 ) } E X Y u kx k Y k [ 0;1] Den maksimale vægt k* findes, hvor førsteordensbetingelsen er nul, da nyttefunktionen er konkav. { X Y u kx k Y } 8.1.4 ( ) ( ) ' + 1 = 0 Da vægten k skal ligge i intervallet fra 0 til 1( k [ 0;1] ), vil der kun være en løsning, hvis følgende gælder: 8.1.5 Φ'(1) 0 og Φ'(0) 0 hvor Φ ( ) = + ( 1 ) k Eu kx k Y Ved at sætte k = 0,5 vil værdien af Z være det ligevægtede gennemsnit af X og Y, 46

8.1.6 Z = X + Y 2 Det gælder, at hvis det betingede kumulative forventede udbytte af X er større end af Y, så vil enhver investor investere mindst 50% i aktiv X. Eller skrevet formelt: 8.1.7 k * 0,5 z, z z ( ) γ( ) ( ) γ( ) 0 0 0 E X z z dz E Y z z dz hvor γ ( z) er tæthedsfunktionen af Z Beviset for dette resultat kan vises ved løsning af følgende maksimeringsproblem: 8.1.8 k [ 0;1] ( ) Max u kx 1 k y + h( x, y) dx dy Hvor h( x, y ) er den fælles tæthedsfunktion for (X,Y). Pga. 8.1.3 er det muligt at permutere differentialet under hensynstagen til k og integralet, så første ordensbetingelsen for maksimeringsproblemet kommer til at se ud som følger: 8.1.9 ( ) ( ) ( ) Φ uk, = x yu' kx 1 k yhxy + (, ) dxdy= 0 Da vi ønsker at finde 50% reglen sætter vi: k = 50% = 0,5 Hvilket indsat i 8.1.9 giver følgende: 47

1 x y u', x y u' + h( x, y) dx dy 2 2 8.1.10 Φ = ( ) Da vi er matematikere og husker på et gamle matematiske tricks, kan det vises at omskrivningen i 8.1.11 gælder. 8.1.11 x + y x+ y x y= x y 2 2 Ved at benytte dette lille trick i 8.1.10 fås: 8.1.12 1 x+ y x+ y Φ u ', = x u ' h( x, y) dx dy 2 2 2 x+ y x+ y y u' h( x, y) dx dy 2 2 Og da det ligevægtede afkast var som i 8.1.6, bruger vi denne viden til at indsætte dette i 8.1.12, hvorved følgende gør sig gældende: 1 u ', x z u ' z g( x, z) dx dy y z u ' z f ( y, z) dx dy 2 8.1.13 Φ = ( ) ( ) ( ) ( ) Udtrykket i 8.1.14 gør sig pr. definition gældende, for tæthedsfunktionen for (x,z), den som vi også kalder gxz. (, ) 8.1.14 g( x, z) = g ( x z) γ( z) 1 Dette gælder også for tæthedsfunktionen for (y,z), her kaldet f ( xz, ), som det ses i nedenstående: 48

8.1.15 f ( yz, ) = f( yz) γ( z) 1 Her er γ ( z) tæthedsfunktionen af Z i ligningerne 8.1.14 og 8.1.15. Indsættes dette i ligning 8.1.13, så giver det at: 8.1.16 1 Φ u', = E( X z z) u' ( z) γ( z) dz E( Y z z) u' ( z) γ( z) dz= 2 + ( ) '( ) γ( ) E X Y z u z z dz Som vi har argumenteret for i afsnittet om stokastisk dominans, og som Hadar og Seo viste (Hadar og Seo, 1988), benyttes den ekstreme trappefunktion i 8.1.17 til at definere nyttefunktionen. 8.1.17 1 for w c vc ( w) = 0 for w> c Derved fås, at følgende vil gøre sig gældende: 1 + c v, E X Y z v z z dz E X Y z z dz 2 8.1.18 Φ c = ( ) c( ) γ( ) = ( ) γ( ) Ved at benytte 8.1.7 fås at 8.1.18 vil være ikke-negativ for alle værdier af z 0 og c. Ydermere ved vi, at for risiko-averse agenter gælder c 8.1.19 ( ) c ( ) γ( ) 0 E X Y z v z z dz c Da vi har at gøre med en risiko avers agent, så gælder det, at den marginale nyttefunktion er en positiv og ikke stigende funktion, hvilket giver: 49

c 8.1.20 ( ) ( ) γ( ) E X Y z u' z z dz 0 c Og da vi husker på at: 1 + u E X Y z u z z dz 2 8.1.21 Φ ', = ( ) '( ) γ( ) Dette ses af 8.1.16, og med dette i mente, gør følgende sig også gældende: 8.1.22 + ( ) ( ) γ( ) E X Y z u' z z dz 0 1 Φ u ', 0 2 * 1 k 2 Hermed ses det at 50%-reglen gælder når det er opfyldt at 8.1.22 gælder. 8.2 Andre regler Efter gennemgangen af 50% reglen, vil det være rimeligt at nævne, at det er muligt at opstille regler for andre andele, såsom 10-, 20-, 25- o.s.v. % regler. I denne forbindelse skal det nævnes, at selvom aktiv X opfylder 10% reglen, så gælder det ikke, at 90% reglen for Y er opfyldt. Dog med en undtagelse om, at hvis der altid skal investeres præcis 10% i X, så vil det gælde, at 90% skal investeres i Y, hvilket er det eneste tilfælde, hvor begge regler er opfyldt. Men disse er svære at løse, da man skal finde et matematisk trick lignende det i 8.1.11. En af de måder, hvorpå man så kan finde andre % regler, er ved at tillade at aktiv X og aktiv Y ikke nødvendigvis kun består af et aktiv. Ved at lade et af aktiverne bestå af en 50

kombination af aktiv X og Y, fås et nyt aktiv Y som består af X og Y. Hvis man lader aktiv Y være givet ved: 1 4 Y = X + Y 5 5 Ved at løse på samme måde som for 50% reglen, hvor man sammenligner X med Y fås en 60%-regel. Da man kan sammensætte Y af vilkårligt mange kombinationer af aktiv X og Y, da vil man kunne lave alle regler fra 50% til 100%-regler. Ved at tillade at man indfører et aktiv X, da kan man også beregne regler, der er mindre end 50%. Det vi mangler ved denne model er, at vi ikke får et entydigt svar på, hvad vi skal investere i de forskellige scenarier, for at få den optimale nytte ved de givne aktiver. Her gives blot en grænse for hvor meget der skal investeres. I de næste afsnit gives forskellige bud på modeller til løsning af dette problem. 51

9 Monte-Carlo simulation Monte-Carlo simulation er et værktøj til at udføre analyser på forskellige typer fordelinger. Nogle af disse vil kunne behandles og analyseres med almindelige analytiske metoder. Det vil dog for langt størstedelen af de fordelinger, der kan konstrueres eller findes empirisk, ikke være tilfældet. Her vil det være nødvendigt at benytte andre metoder. En meget anvendt og effektiv metode er Monte-Carlo simulation. Denne metode genererer tilfældige stier ud fra komplicerede fordelinger, hvor visse af parametrene er konstanter, mens andre er tilfældige tal genereret fra kendte fordelinger. Styrken er således, at man med udgangspunkt i kendte fordelinger kan simulere ukendte fordelinger. Ved at udføre et stort antal gentagelser af en simulation på samme fordeling, vil en gennemsnitlig værdi af disse simulationer give en god tilnærmelse til den virkelige fordeling. Det er udfra dette muligt at simulere den forventede værdi for en fordeling, hvor det ikke er muligt at finde den analytisk. Det vil dog stadig være problematisk at finde en fordeling, der passer på empiriske data, da de ofte vil følge fordelinger, der vil være umulige at udlede. Derfor vil man være nødsaget til at opstille tilnærmede fordelinger, hvor de statistiske parametre kan bestemmes ved hjælp af simulation. Monte-Carlo simulation vil være baggrund for de computer-modeller, der beskrives i senere afsnit. 9.1 Metode I Monte-Carlo simulation simuleres kontinuerte fordelinger. Dette gøres ved at konstruere en fordeling baseret på en standard uniform fordeling (U[0,1]). Man kan konstruere en normalfordeling ved en transformation af fordelingen. Box-Muller metoden (Greene, 1997) giver en N(0,1)-fordelt værdi ved transformationen ½ 9.1.1 z = 2ln x 1 ) cos(2πx ) ( 2 52

hvor x 1 og x 2 er to uafhængige udtrækninger fra U[0,1]-fordelingen. Langt det meste analytiske software der findes vil have denne eller lignende transformationer indbygget som en funktion, således at det ikke vil være nødvendigt at beskæftige sig med denne slags transformation i en analyse. Når der trækkes et stort antal tal fra en fordeling X, vil middelværdien af de udtrukne tal (x 1, x 2, x 3,...) konvergere mod middelværdien af X. Dette følger af de store tals lov, der siger: ( 1 x + x +... + x + x ) X n n 1 2 n n 9.1.2 µ for Hvis man ønsker at simulere en fordeling, som er afledt af X, kaldet f(x), da er der tilfælde, hvor fordelingsfunktionen for f(x) ikke kendes. Det vil gælde ifølge de Store Tals lov at: f ( x ) + f ( x ) +... + f ( x ) + f ( x )) n n ( 1 1 2 n n 9.1.3 E( f ( X )) for I de følgende eksempler vil vi konstruere fordelinger baseret på standardnormalfordelingen. 9.1.1 Eksempler 9.1.1.1 Eksempel på simulation af en normalfordeling For at illustrere idéen og præcisionen i Monte-Carlo simulationen, laves en simulation i analyse programmet Matlab, af en standardnormalfordeling med 1.000 observationer og 500 trækninger. Det vil med andre ord sige, at der laves 500 tidsserier, hvor hver af dem 53

har 1000 observationer. For hver af disse tidsserier beregnes middelværdien og variansen, som vil afvige mere eller mindre fra (µ,σ 2 ) = (0,1), der er de teoretiske statistiske parametre. Når disse 1000 par af middelværdier og varianser er fundet, beregnes gennemsnittet, og der fås en middelværdi og en varians for Monte-Carlo simulationen. Ved en beregning i Matlab fås følgende resultater: Middelværdi = 0,0015 Varians = 1,0038 Som det ses ligger de simulerede værdier meget tæt på de sande værdier for normalfordelingen. Ved nye kørsler af simulationen opnås andre resultater, men de vil med stor sandsynlighed ligge meget tæt på den sande værdi. Man kan for at øge præcisionen i simulationen, blot vælge at benytte flere tidsserier. Den eneste forhindring for dette vil være mængden af tilgængelig computerkraft, så man er nødt til at vurdere præcision kontra tidsforbrug. Det lille eksempel med simulation af en normalfordeling er blot ment som illustration på, at Monte-Carlo simulation virker, da vi allerede kender de statistiske parametre for denne. 9.1.1.2 Eksempel på simulation af fraktil for en fordeling En anden mulighed med Monte-Carlo er at beregne, hvor en bestemt fraktil for en fordeling ligger. Den fordeling, der simuleres, er: f(x) = a + X, hvor X ~ N(0,1) Værdien af a sættes til 0,2. Der simuleres vha. Matlab 500 trækninger af denne fordeling, hvorefter 90%-fraktilen for disse 500 observationer beregnes. Dette gentages 10000 gange. Herunder ses et histogram over fordelingen af de simulerede værdier for fraktilen: 54

Figur 9.1.1 Fordeling af 90%-fraktilen i f(x) = 0,2 + X Den sande værdi for 90%-fraktilen for denne fordeling er 1,4816 (Udregnet i Matlab), og det fremgår af histogrammet, at observationerne fordeler sig, i hvad der ligner en normalfordeling omkring denne værdi. Middelværdien af de simulerede værdier beregnes til 1,4812, hvilket er meget tæt på den faktiske værdi. 95%-konfidensintervallet for de simulerede fraktiler er [1,3328; 1,6347], hvilket man også kan få en fornemmelse af ved at studere histogrammet. Der er en pæn spredning i værdierne, hvilket retfærdiggør et højt antal simulationer, da der ellers ville være for stor usikkerhed i estimaterne. Den lille øvelse har vist, at med et stort antal simulationer opnås en høj præcision på den estimerede middelværdi og samtidig kan man finde en næsten hvilken som helst fraktil i en fordeling. 9.1.1.3 Eksempel på simulation af aktiekurser Da Monte-Carlo er et værktøj til at finde statistiske parametre på specielle fordelinger, kigger vi på en model, der ofte benyttes til at prisfastsætte aktier. Dette er Brown ske 55

bevægelser, der oprindeligt er blev benyttet til at forklare kaos-fænomener i fysikken. Da udviklingen i en aktiekurs ikke er deterministisk, er det interessant at benytte en sådan metode til prisfastsættelse. Metoden beregner ændringen i prisen på en aktie til (Hull, 2000): 9.1.4 S = µ S t + σsε t Hvor ε er en tilfældig trækning fra en standard normalfordeling. Middelværdien og standardafvigelsen er de estimerede historiske værdier for aktien, mens S er den nuværende pris på aktien. For at finde fordelingen på en bestemt akties afkast, kan man nu simulere udviklingen i prisen på aktien. Da en enkelt trækning blot simulerer en helt tilfældig sti for prisen, er det mere interessant at simulere flere således, at der fås et overblik over tendensen i kursen. Når afkastene er fundet, beregnes prisen ved at finde det geometriske gennemsnit af afkastene. Det er muligt at finde en tilnærmet fordeling ved at benytte de fundne afkast. Man kan ved hjælp af et histogram se, hvorledes afkastene fordeler sig. Da det er en diskret fordeling, er det nødvendigt for at finde en kontinuert fordeling, at estimere en funktion der tilnærmer sig den diskrete funktion. I dette eksempel beregnes 10 stier for kursen på en aktie med en pris på 100, en middelværdi på 10% p.a. og en standardafvigelse på 25% p.a. Tidsintervallet t er sat til en uge og der simuleres 100 ugers aktiekurser med 10 trækninger. Beregningerne udføres i Matlab. Parametre der bruges i programmet: S = 100 mean_s = 0,1000 sigma_s = 0,2500 delta_t = 1/52 56

Nedenstående er de 10 beregnede slutkurser til tidspunkt T (t = 100 uger) S_T = 68,9829 254,6519 115,2182 162,1642 139,3239 120,4776 121,0534 139,0191 118,8573 87,0308 Heraf ses, at der er en stor variation i slutkursen. Ved at optegne de 10 simulerede kursstier i en graf, kan det ses hvor den store observation opstår. Figur 9.1.2 Simulation af 10 aktiekurser Det ses tydeligt, at simulationen giver en stor variation i slutkursen fra gang til gang. Der er ikke noget bestemt tidspunkt variationen opstår, den øges blot over tid. Da variationen er så stor, er det nødvendigt med mere end 10 stier, for at kunne få en pålidelig estimation af en middelværdi for udviklingen i kursen. 57

Derfor køres simulationen igen med 10000 stier, hvilket vil øge pålideligheden betydeligt, hvorefter middelkursen efter 100 uger findes til 120,84. Hvilket er et afkast på 20,84% på 100 uger, som stemmer med et årligt afkast på 10%, med ugentlige rentetilskrivninger. For at se hvordan de Brown ske bevægelser er anderledes end en almindelig normalfordeling, kan man se på fordelingen af afkastene fundet ved Monte-Carlo simulationen. I det nedenstående histogram er optegnet afkastene på de 10000 stier, der blev simuleret tidligere: Figur 9.1.3 Fordeling af afkast efter 100 uger Fordelingen af afkastene er tydeligvis ikke normalfordelte, da fordelingen har en lang højre hale. Dette følger af konstruktionen af fordelingen, hvor ændringen pr. tids enhed 58

findes som en procentvis ændring og ikke som en absolut ændring. Det skaber en højreskæv fordeling som i Figur 9.1.3. 59

10 Porteføljevalgsmodel med 2 aktiver 10.1 Metodebeskrivelse Det næste skridt i analysen af aktiver er at finde en metode, hvormed man kan bestemme hvilke andele man skal have i hvert aktiv. Til dette formål har vi lavet en løsningsmodel, der bliver implementeret i en computer-løsning. Metoden benytter en agents nyttefunktion, samt værdier for afkast på de to aktiver, der vil blive benævnt aktiv X og aktiv Y. Ligning 8.1.8 er vist i 10.1.1 og den giver et udtryk for en investors samlede nytte ved en investering i en portefølje af aktiverne X og Y. 10.1.1 k [ 0;1] ( ) Max u kx 1 k y + h( x, y) dx dy Indholdet i dette udtryk er som beskrevet nedenfor. x og y Er afkastet på hhv. aktiv X og Y. ( ( 1 k) y) u kx+ Er udtrykket for nytten af enhver kombination af x og y. hxy (, ) Er en fælles tæthedsfunktion for x og y. Målet er at finde det k, som løser 10.1.1, men da vores computeranalyse kun kan tilnærme sig kontinuerte værdier ved at simulere et stort antal værdier fra en tilsvarende diskret fordeling, må vi definere en sådan tilsvarende fordeling. En diskret fordeling vil se ud som i 10.1.2 10.1.2 k [ 0;1] ( ) Max u kxt 1 k y + t h( xt, yt) x y 60

Integralerne erstattes som det ses i 10.1.2 af summationstegn, hvorved den tilsvarende diskrete fordeling er defineret. Ved at lade antallet af x og y-værdier gå mod uendelig fås den kontinuerte fordeling. Vi har i valgt at benytte normal-fordelingen til at beskrive afkastenes fordeling. I metoden beskrives de to aktivers afkast med en fælles normalfordeling, (Greene, 1997) for to variable. Tætheden for en fælles Normal-fordeling er defineret som: 10.1.3 m e hxy (, ) = 2 2πσ σ 1 ρ x y Hvor 2 2 ε x + εy ρεxεy m = 0,5 2 1 ρ x µ x ε x = σ x ε y = y µ σ y y Denne fordeling gør det muligt at finde tætheden for ethvert punkt defineret ved x og y, samtidig med at korrelationen mellem x og y er inkluderet. Korrelationen er defineret som ρ, og den kan antage en værdi mellem -1 og 1, ikke inklusiv endepunkterne, da man i så fald vil dividere med 0 i m. Tæthedsfunktionen for en fælles normalfordeling med parametrene (, ) ( 0,1;0,25) µ σ = og (, ) ( 0,1;0,25) X 10.1.1. X µ σ = og en korrelation på 0,25 ses i Figur y y 61

Figur 10.1.1 Fælles normalfordelt tæthedsfunktion for X og Y Som det ses er tætheden jævnt fordelt omkring punktet (0,1;0,1), da korrelationen er temmelig lav med en værdi på 0,25. Ved en korrelation nær 1 vil tætheden være koncentreret om linien x = y. 10.1.1 Eksempel med fælles tæthed Her vises et eksempel, hvor to aktiver X og Y begge er ligefordelte på udfaldene 1 og 2, hvilket vil sige, at der kun er fire forskellige udfald, nemlig (1,1), (1,2),(2,1) og (2,2). Dette betyder at man meget nemt kan finde den fælles tæthed for de forskellige udfald. Der opstilles en 2x2 matrice indeholdende frekvensen af udfaldende, som kan bruges som fælles tæthedsfunktions. Som eksempel vil vi benytte udfaldsmatricen i Tabel 10.1.1, der indeholder 100 observationer af udfald. 62

X\Y 1 2 1 20 25 2 28 27 Tabel 10.1.1 Udfaldsmatrix Man kan finde den fælles tæthed for en af de givne muligheder ved at beregne: 10.1.4 Observationer i punktet X,Y hxy (, ) = Antal Observationer i alt Som nyttefunktion benyttes: 10.1.5 1 2 q 1 2 uq ( ) = q= q u'( q) = Ligningen der skal løses for at finde k er: ( ) ( ) ( ) ( ) 20 ½ 25 ½ 1 1 ( k*1 1 k *1) * + ( 1 2 )*( k*1 ( 1 k) *2) * + 100 100 28 ½ 27 ½ 2 1 *( k*2 1 k *1) * + ( 2 2 )*( k*2 ( 1 k) *2) * = 0 100 100 Det kan ses at der hvor x og y har samme afkast fås en værdi på 0, hvorved udtrykket kan forkortes til: 1 1 2 2 ( k ( k) ) k ( k) ( ) 0,25* *1 1 *2 * + 0,28* *2 1 *1 = 0 63

Ved udregning fås at k 0,669 løser udtrykket. Hermed vises det, at man kan finde porteføljeandele ved hjælp af den fælles tæthed. 10.1.2 Grundlag for brug af normalfordeling Som fælles tæthedsfunktion er benyttet den fælles tæthed for to normalfordelinger. Dette sker under den antagelse af, at afkastene på de aktiver vi kigger på er normalfordelte. Denne antagelse er realistisk i mange henseender, og er brugt i meget litteratur omkring dette emne. 10.1.3 Nyttefunktioner En sidste ting, der mangler, er, at definere hvilke nyttefunktioner der skal benyttes i analysen. Vi har valgt at benytte eksponentielle nyttefunktioner, der er udformet som i 10.1.6: w = > R 10.1.6 u( w) 1 exp, hvor R 0 Denne type nyttefunktion har nogle nyttige egenskaber. Den er voksende og konkav, hvilket vil sige at u' ( w) 0 og ( ) u'' w 0, og det er derfor en risiko-avers nyttefunktion. En anden egenskab ved denne funktion er at den angiver en investor med konstant absolut risikoaversion (CARA). Dette betyder, at en investor vil investere samme absolutte beløb i risikofyldte aktiver, selvom hans formue ændrer sig. En nyttefunktion med egenskaben CARA vil ikke kunne dække særlig mange investorer, da man rent intuitivt kan tænke sig til situationer, hvor en kraftig forøgelse af en investors formue, vil betyde, at han investerer et ændret absolut beløb i et risikofyldt aktiv. Da nyttefunktionen 64

alligevel benyttes, skyldes det, at vi kun kigger på afkast inden for et lille interval, hvor investors formue ikke ændrer sig drastisk, således at antagelsen om CARA er fuldt acceptabel. Derved vil den dække en større andel af potentielle investorer, samtidig med at den investerede andel ikke ændrer sig, hvis investors formue ændrer sig lidt. Emner omkring absolut risikoaversion er også gennemgået af Stiglitz (Stiglitz, 1972). Variablen R kan siges at angive graden af risikotolerance for en agent, og jo lavere den er, des mere risiko-avers er agenten og ved en værdi af R tilstrækkelig tæt på 0, da vil nyttefunktionen have egenskaben af at være en trappefunktion. Ved at lade R gå mod uendelig, vil nyttefunktionen gå mod at være en risikoneutral nyttefunktion. Ved at variere R kan man opstille en række agenter, som går fra at være meget risiko-averse til at være næsten risiko-neutrale. Disse agenter er nemme at sammenligne, da det eneste der adskiller dem er værdien på R. Værdien af R er skala-afhængig, hvilket betyder, at den skal defineres i forhold til, hvilke beløb man vil finde nytten af, således at den skal skaleres op, hvis de beløb der arbejdes med også skaleres op. Konstanten 1 gør blot, at nytten ved en værdi på w = 0 er nul. Denne type nyttefunktion er på grund af disse egenskaber meget benyttet i den økonomiske litteratur. Stokastisk dominans i præference-relationer baseret på denne type nyttefunktion vil være dominans af anden grad. 10.1.4 Antagelser for 2-aktiv modellen Her er en opsummering af de antagelser der er for vores model: Der findes ikke transaktions-omkostninger. Alle agenter er pristagere, da deres formue er lille i forhold til universets samlede formue. 65

Agenterne er risikoaverse og optimerer deres portefølje ud fra deres givne nyttefunktion. Det er ikke muligt at lave short- og long-sale for alle aktiver. Agenterne har konstant absolut risikoaversion. Afkast er normalfordelte. 10.2 Metode til at finde risikotolerancen R Som tidligere beskrevet repræsenterer R i 10.1.6 investors risikotolerance. For bedre at kunne forholde sig til, hvad værdi R skal antage, viser vi hvorledes den kan udledes ved hjælp af et simpelt beslutningstræ, hvilket er blevet vist i Spreadsheet Modelling and Applications (Albright og Winston, 2005). Man skal dog være opmærksom på, at dette er en approksimativ metode til udledning af R. I beslutningstræet vælges et R, således at investor er indifferent mellem to investeringsmuligheder. Disse muligheder er: 1. Afkast på 0 kroner. 2. Afkast på R kroner med sandsynlighed 1 og afkast på - R 2 2 kroner med sandsynlighed 1 2. Dette betyder, at R vælges, så det løser 10.2.1 10.2.1 1 1 w u( 0) = 2u( w) + 2u 2 w w 1 = + R 1 1 0 2 1 exp 2 1 exp R 2 66

En tilnærmet løsning til 10.2.1 er, at R = w, men dette giver dog en lille afvigelse således at højresiden ikke er præcis 0. Man kan dog løse implicit for R ved brug af et optimeringsværktøj, såsom Solver-funktionen i Microsoft Excel. Definitionen af R er givet i et fast pengebeløb, men da vi arbejder med afkast i procent, vil vi benytte et R defineret på basis af dette. Her er w så et afkast givet ved et decimaltal, og R findes så hvor der er et afkast w, så 10.2.1 er opfyldt for en bestemt investor. Dette kan igen defineres ved en beslutning mellem to muligheder, som nu ser ud som følgende: 1. Afkast på 0. 2. Afkast på R med sandsynlighed 1 og afkast på - R 2 2 med sandsynlighed 1. 2 Dette er ganske lig mulighederne fra før, bortset fra at kronebeløbene er blevet erstattet med procentuelle afkast. En måde at finde R som afkast, er ved at indføre et budget w. Derefter findes R ved at dividere R fundet i kronebeløb med budgettet w, hvorved R i afkast findes. En anden måde, at finde R, er ved at definere et spil for afkastene. For at give et eksempel på, hvordan R skal vælges, kan man tænke sig en, investor som er indifferent mellem et afkast på 0 og spil, hvor han får enten 20% eller -10% i afkast med sandsynlighed 1 2 på hver. Dette giver følgende ligning: 10.2.2 1 0, 2 1 0,1 1 0 = 2 1 exp + 2 1 exp = R 2 R 0, 2 0,05 1 exp + 1 exp R R 1 1 2 2 Den tilnærmede løsning til dette er, at R = 0,2, men denne er som før nævnt ikke helt præcis. Vi løser derfor 10.2.2 med Solver-funktionen i Microsoft Excel. Ved at løse i 67

Excel fås denne investors risikotolerance til at være R = 0,2078, hvilken er en afvigelse på omkring 4% fra den rigtige værdi. Af denne udledning ses det, at der fås en mere retvisende risikotolerance ved at finde R analytisk. Dog er det en meget god tommelfingerregel at vide, at R svarer nogenlunde til w i spillet for investoren. Ved at vise hvorledes R kan udledes, er det også intuitivt nemmere at forstå baggrunden for dens værdi. Det gør desuden, at det er muligt at finde risikotolerancen hos en investor i det virkelige liv, hvilket kan komme til gavn, hvis man som investor ønsker at benytte sig af den beskrevne metode. 10.3 Implementering i Matlab For at løse den beskrevne metode og derved finde den værdi af vægten i aktiv X, betegnet ved k, der maksimerer ligning 10.1.2, implementeres metoden i matematik-programmet Matlab. Implementeringen tager udgangspunkt i metoderne, der er beskrevet i afsnit 9. Her er det muligt at justere præcisionen af k, ved at vælge antallet af decimaler. Det er desuden muligt at vælge middelværdi og standard-afvigelsen for hhv. aktiv X og Y, samt deres indbyrdes korrelation. Den sidste variabel, der kan sættes af brugeren, er R fra nyttefunktionen, således at forskellige grader af risikotolerancen dækkes. Til beregning af den fælles tæthed laves to lige-fordelte variable x og y, gående fra -1 til 1, hvilket kan ændres alt efter hvilke tests vi udfører. Det er muligt at variere intervallængden i denne ligefordeling. Hvert punkt h(x,y) i den fælles tæthed udregnes ved at gennemløbe to løkker for hhv. x og y, hvor værdien beregnes for hver værdi af x og y. Den udregnede værdi ganges med kvadratet på interval-længden. Herved fås en 2-dimensionel matrice, der indeholder punkterne i en diskret tæthedsfunktion. Der gennemkøres derefter en løkke en gang for hvert decimal, hvor k varieres. Først udregnes værdien for ligning 10.1.2, for k med en decimal, således, at der udregnes en 68

værdi for hvert k fra 0 til 1 med et interval på 0,1. Derved fås 11 værdier for ligning 10.1.2, og den bedste vælges. Der køres nu endnu en løkke til beregning af maksimeringsfunktionen i intervallet ±0,1 omkring den bedste værdi, men nu med en intervallængde på 0,01. Herved fås 21 løsninger til k med to decimaler. Hvis flere decimaler end to ønskes, så fortsættes proceduren omkring den nye bedste værdi, således at der opnås en ekstra decimal hver gang. Grunden til at det kan lade sig gøre at søge sig ind på løsningen skyldes, at maksimeringsfunktionen er konkav og kontinuert for alle værdier af k, hvorved det kan lade sig gøre at spore sig ind på maksimum, ved hele tiden at afsøge intervallet omkring den hidtil bedste løsning, hvorved k konvergerer mod den optimale værdi. Når beregningerne er gennemført vil der være en vektor indeholdende forskellige værdier for ligningen tilknyttet til hvert k. Den maksimale værdi, i den vektor og den tilhørende k-værdi, er den k-værdi, der maksimerer ligningen med forbehold for præcisionen på beregningerne. Programkoden for dette kan ses i bilag 1. 10.3.1 Test af præcisionen For at kunne vælge præcisionen på de senere gennemkørsler optimalt, vil vi udføre et par præcisionstests, til at vurdere hvilke værdier det bedst kan betale sig at bruge. Grunden til, at dette er nødvendigt, er, at der skal foretages et meget stort antal beregninger. En for stor præcision gør at computeren skal regne i lang tid for at finde en løsning. Som eksempel kan man tage tæthedsfunktionen for den fælles fordeling. Hvis man går fra at have en interval-længde på 0,01 til 0,001, så vil man ca. 100-doble antallet af beregninger. I den matrice vi beregner, er der med ovenstående præcision hhv. 40401 og 4004001 værdier. Grunden til, at der ikke er præcis 100 gange flere værdier, er, fordi der er hhv. 201 og 2001 værdier i x og y-vektorerne, som så er blevet kvadreret. For at beregne nytten for et interval på 0,001 ved en bestemt k-værdi, skal der altså foretages ca. 4 mio. beregninger, og med 3 decimaler giver det ca 200 mio. beregninger 69

(Første decimal kræver 11 beregninger, hver af de efterfølgende 21 beregninger). At foretage 200 mio. beregninger tager et vist stykke tid på en almindelig hjemmecomputer, så for at økonomisere med computerkraften vil vi finde en tilfredsstillende afvejning mellem beregningstid og præcision. For at illustrere præcisionen ved valg af interval-værdier har vi lavet gennemkørsler med forskellige interval-længder, for at se hvilken effekt det har på resultaterne. Alle beregninger er lavet med 3 decimaler på k. I den første test er beregningerne foretaget med følgende parametre: Middelværdi for X = 0,1 Middelværdi for Y = 0,05 Standardafvigelse X = 0,25 Standardafvigelse Y = 0,26 Korrelation = 0,45 Risikofaktoren R = 0,2 Antal decimaler = 3 Ved at variere på interval-længden i denne opsætning, fås resultaterne i Tabel 10.3.1 Interval k Nytte 1 0,695-0,0002 0,5 0,651-0,0158 0,25 0,643-0,0200 0,1 0,643-0,0200 0,05 0,643-0,0200 0,01 0,643-0,0199 0,005 0,643-0,0199 Tabel 10.3.1 Resultater af ændring i præcision 70

Af tabellen ses, at ved en interval-længde på 0,25 opnås samme præcision på k, som ved kortere interval-længder. Dette er interessant, da der da blot vil være 64 observationer i den fælles fordeling, og der derved går en del information tabt. Værdien af nytten ændrer sig dog ved interval-længden på 0,01, hvilket viser, at der er lidt at opnå ved en mindre interval-længde. Da disse resultater hverken skal eller bør stå alene, har vi kørt samme test med andre start-parametre, som ses her: Middelværdi for X = 0,1 Middelværdi for Y = 0,03 Standardafvigelse X = 0,25 Standardafvigelse Y = 0,23 Korrelation = -0,80 Risikofaktoren R = 0,05 Antal decimaler = 3 Der er sket en ændring i parametrene for y, samt korrelationen og risikoaversionsgraden. Resultaterne kan ses i Tabel 10.3.2 Interval k nytte 1 0,437 0,0000 0,5 0,491-0,0225 0,25 0,520-0,1287 0,1 0,521-0,1300 0,05 0,521-0,1300 0,01 0,521-0,1300 0,005 0,521-0,1300 Tabel 10.3.2 Resultater af ændring i præcision 71

Igen kan det ses at en interval-længde på 0,25 giver en god tilnærmelse, men man skal dog ned på en interval-længde på 0,1 for at få samme værdi på k som ved de lavere interval-længder. Ud fra disse kørsler må det konkluderes, at når der ønskes 3 decimaler på estimationen af k, så skal interval-længden højest være 0,1. Ved at sætte længden lavere øges beregningsmængden, men der er kun en lille og ikke altid målbar effekt på resultatet. Vi vil i de følgende eksempler benytte intervallængder, der giver en tilfredsstillende præcision, hvilket betyder en værdi på højst 0,1. 10.4 Ændring i parametrene Vi analyserer i dette afsnit hvordan det påvirker porteføljevægten k, når der ændres på parametrene på de to aktiver samt korrelation og risikoaversion. Desuden ser vi på hvordan udviklingen i nytten bliver påvirket. Til dette formål anvender vi det beskrevne Matlab-program til at beregne vores resultater med. Følgende er interessant at undersøge: Ændringer af usikkerheden (standardafvigelsen) Ændringer af middelværdien Ændring på korrelationen mellem aktiverne Ændringer i risikotolerancen 10.4.1 Ændring i Standardafvigelsen på begge aktiver Her ses på en ændring af standardafvigelsen på begge aktiver, hvor den er ens for de to aktiver. Det er specielt interessant at se, om vægten k vil blive påvirket, og om hvordan 72

nytten (U) bliver påvirket. For at undersøge om ændringen i standardafvigelsen påvirker k og U tester vi på tallene i Tabel 10.4.1 og med følgende faste parametre: Middelværdi for X = 0,1 Middelværdi for Y = 0,1 Korrelation = 0,25 Risikotolerance = 0,2 Antal decimaler = 3 Ved brug af disse parametre fås resultatet som ses i Tabel 10.4.1. Standardafvigelse k U 0,01 0,5 0,3836 0,02 0,5 0,3824 0,05 0,5 0,3740 0,1 0,5 0,3430 0,15 0,5 0,2877 0,2 0,5 0,2022 0,25 0,5 0,0763 0,4 0,5-0,7522 0,5 0,5-2,17120 0,6 0,5-5,61750 Tabel 10.4.1 Resultater Om disse tal er repræsentative for virkeligheden kan diskuteres. Men resultatet er brugbart, idet k altid er 0,5, hvilket Paul A. Samuelsen (Samuelson, 1967) netop viser. Han viser, at en investor, der står over for valget mellem n identiske aktiver, altid vil vælge 1 af hver. Da n = 2 i dette tilfælde, da vil en investor altid vælge 1 n 2 af hver. Hvilket også umiddelbart kan ses af Figur 10.4.1 73

0,6 0,5 0,4 K 0,3 0,2 0,1 0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 Standardafvigelse Figur 10.4.1 Værdien af k som funktion af aktivernes standardafvigelse Resultaterne viser, at programmet kommer med de resultater, som kan forventes teoretisk. De valgte standardafvigelser betragter vi som repræsentative, således har vi valgt ikke at teste for større eller mindre standardafvigelser. I Figur 10.4.2 ses det, at nytten falder jo højere standardafvigelsen er. 74

1 0-1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 Nytte -2-3 -4-5 -6 Standardafvigelse Figur 10.4.2 Værdien af nytten som funktion af aktivernes standardafvigelse Faldet i nytten skyldes, at vi kigger på nytten for en risikoavers agent (RA), som vil have større betaling for større usikkerhed på et aktiv. Da vi her arbejder med faste forventede afkast, så vil en RA få en lavere nytte ud af sin investering, når standardafvigelsen stiger? Dette skyldes at agenten har en eksponentiel nyttefunktion og dette giver en eksponentielt aftagende graf. Dette underbygger også, at en RA agent vil få højere nytte af en portefølje med lavere risiko. 10.4.2 Ændring i Middelværdi på Y Som før er det specielt interessant at se, hvordan k bliver påvirket, og om hvordan nytten bliver påvirket ved en ændring i middelværdien på aktiv Y. Vi har igen valgt at teste på nogle udvalgte tal. De faste parametre er: Middelværdi for X = 0,1 75

Standardafvigelse for X = 0,25 Standardafvigelse for Y = 0,25 Korrelation = 0,25 Risikofaktoren R = 0,2 Antal decimaler = 3 Når disse parametre bruges opnås følgende resultater: Forventet Forventet afkast af X afkast af Y k Nytte 0,1 1 0 0,9621 0,1 0,5 0 0,8073 0,1 0,35 0,02 0,6192 0,1 0,28 0,15 0,4849 0,1 0,25 0,212 0,4199 0,1 0,2 0,308 0,3076 0,1 0,15 0,404 0,1913 0,1 0,11 0,481 0,0989 0,1 0,1 0,5 0,0763 0,1 0,09 0,519 0,054 0,1 0,05 0,596-0,0312 0,1 0 0,692-0,1248 0,1-0,05 0,788-0,1986 0,1-0,15 0,98-0,2691 0,1-0,4 1-0,2697 0,1-0,9 1-0,2697 Tabel 10.4.2 Resultater Når det forventede afkast for Y går ned, så stiger andelen af X (k). Dette ses også i Figur 10.4.3, hvor forløbet af k er aftegnet. 76

1,2 1 0,8 k 0,6 0,4 0,2 0-1 -0,5 0 0,5 1 Forventet værdi for Y Figur 10.4.3 Værdien af k som funktion af det forventede afkast på aktiv Y Heraf kan vi se, at værdien af k falder, når den forventede værdi af Y stiger, og omvendt stiger k, når den forventede værdi falder. Værdien af k, varierer mellem 0 og 1. Ved meget høje eller lave værdier af den forventede værdi af Y vil k være 0 eller 1, fordi alt investeres i det ene aktiv. Beregningerne giver et resultat, der stemmer fint overens med, hvad man måtte forvente, idet at når et aktiv bliver mere attraktivt (pga. højere forventet værdi men samme standardafvigelse), vil man også investere mere i dette aktiv og omvendt for et mindre attraktivt aktiv. Ved en høj værdi af middelværdien for Y vil man investere alt i dette aktiv, og det hele i X for meget lave værdier af den forventede værdi. Hvis der ikke var begrænsning på værdien af k, så ville resultatet være, at k kunne være større end 1 eller mindre end 0. Grafen for nytten i forhold til den forventede værdi af y ses i Figur 10.4.4 77

1,2 1 0,8 0,6 Nytte 0,4 0,2 0-1 -0,5 0 0,5 1-0,2-0,4 Forventet værdi for Y Figur 10.4.4 Værdien af nytten som funktion af det forventede afkast på aktiv Y Heraf kan vi se, at nytten er på et fast niveau, indtil at den forventede værdi af Y bliver attraktiv nok til, at der skal investeres i aktiv Y. Grunden til at nytten er fast på dette stykke skyldes, at der kun investeres i aktiv X, som har de samme parametre for alle beregninger i denne test. Ved de forventede værdier for Y, hvor der bliver investeret i Y, øges nytten, når den forventede værdi øges. Men ved de forventede værdier, hvor der kun bliver investeret i Y, stiger nytten stadig. Grunden til at stigningen i nytten er størst, hvor de to forventede værdier er ens, er, at der her bliver diversificeret mest risiko bort, hvilket øger nytten, da vores investor er RA. Dernæst undersøger vi om vægten k er skala-uafhængig med hensyn til den forventede værdi på aktiverne. Det gør vi ved at teste flere par af 2 aktiver, hvor de 2 aktiver har den samme indbyrdes afstand i forventet værdi. Når dette testes med de samme parametre som før, på nær at vi nu også ændrer på den forventede værdi af X, så den indbyrdes afstand mellem den forventede værdi på X og Y forbliver den samme, fås resultaterne i Tabel 10.4.3 78

Forventet afkast af X Forventet afkast af Y k 0,11 0,1 0,519 0,21 0,2 0,519 0,31 0,3 0,519 0,41 0,4 0,519 0,51 0,5 0,519 0,61 0,6 0,519 0,71 0,7 0,519 0,81 0,8 0,519 0,91 0,9 0,519 1,01 1 0,519 1,11 1,1 0,519 Tabel 10.4.3 Resultater for test af skalauafhængighed Heraf kan det umiddelbart ses, at metoden ser ud til at være skala-uafhængig med hensyn til værdien k, hvis man ser på det forventede afkast. Vi har valgt ikke at teste for nytten, da det er trivielt, at den vil stige i takt med at den forventede værdi på X og Y stiger. 10.4.3 Ændring i Standardafvigelsen på Y Vi tester nu for værdien af k og nytten ved at ændre på standardafvigelsen på aktiv Y. Derved ser vi, hvorledes en ændring i risikoen påvirker disse faktorer. Vi tester på nogle udvalgte tal, der ses i Tabel 10.4.4. De faste parametre i analysen er: Middelværdi for X = 0,1 Middelværdi for Y = 0,1 Standardafvigelse for X = 0,25 Korrelation = 0,25 79

Risikofaktoren R = 0,2 Antal decimaler = 3 Efter kørsel i Matlab-programmet fås følgende resultater. Standardafvigelse på X Standardafvigelse på Y k Nytte 0,25 2 1-0,2696 0,25 1 0,968-0,2544 0,25 0,75 0,932-0,2308 0,25 0,5 0,833-0,1591 0,25 0,4 0,735-0,0914 0,25 0,3 0,602 0,0069 0,25 0,26 0,522 0,0614 0,25 0,25 0,5 0,0763 0,25 0,24 0,477 0,0915 0,25 0,2 0,375 0,1562 0,25 0,15 0,236 0,2398 0,25 0,1 0,104 0,3147 0,25 0,05 0,015 0,3662 Tabel 10.4.4 Resultat af analyse af ændring i standardafvigelsen på aktiv Y For at få et bedre overblik over, hvad ændringen i standardafvigelsen har af indvirkning på værdni af k, kan man se på Figur 10.4.5. 80

1,2 1 0,8 k 0,6 0,4 0,2 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Standardafvigelse for Y Figur 10.4.5 Værdien af k som funktion af standardafvigelsen på aktiv Y Her ses det at jo højere standardafvigelsen er på Y, jo højere nytte får investor ved at investere i aktiv X, hvilket skyldes, at investor er risikoavers. Man kan også se at grafen flader ud i højre side, hvor den er tæt på vandret ved en høj standardafvigelse, hvilket skyldes, at der er begrænsninger på værdien af k, som skal ligge mellem 0 og 1. I vores metode er det ikke muligt at teste for en standardafvigelse, der er lig med nul, da der vil optræde en division med 0 i den fælles tæthed for normalfordelingen. Den laveste standardafvigelse der testes for er lig med 0,05, men den kunne godt være sat tættere på 0. Ser man på, hvordan standardafvigelsen har indflydelse på nytten fås Figur 10.4.6. 81

0,4 0,3 Nytte 0,2 0,1 0-0,1-0,2-0,3 0 0,5 1 1,5 2-0,4 Standardafvigelse for Y Figur 10.4.6 Værdien af nytten som funktion af standardafvigelsen på aktiv Y Ud fra grafen kan det ses, at når standardafvigelsen er lav, så er nytten stor, og omvendt for en højere standardafvigelse, men dog kun indtil et vist punkt. Det er ganske logisk, at nytten falder, når standardafvigelsen stiger, hvilket igen skyldes at vi beskæftiger os med en risikoavers investor, der får en lavere nytte, hvis standardafvigelsen stiger. Hvorfor nytten kun bliver lavere til et vist punkt, når standardafvigelsen stiger, skyldes at vi kommer ud i en situation, hvor aktiv Y bliver så lidt attraktivt, at investor kun vil investere i X, og derfor vil vi have en fast minimums grænse på, hvad nytten kan blive. Hvilket er den samme værdi som nytten ved kun at investere i X. I det følgende undersøger vi, om vægten af k er skala-uafhængig med hensyn til standardafvigelserne på aktiverne. Dette gøres ved at teste flere par af 2 aktiver, hvor de 2 aktiver har den samme absolutte afstand på standardafvigelsen. I testen benyttes samme parametre som før, dog ændres der også på standardafvigelsen på X, så den indbyrdes afstand mellem standardafvigelsen på X og Y forbliver den samme. Resultaterne ses i Tabel 10.4.5 82

Standardafvigelse på X Standardafvigelse på Y k 0,1 0,11 0,554 0,2 0,21 0,528 0,3 0,31 0,519 0,4 0,41 0,514 0,5 0,51 0,511 0,6 0,61 0,509 0,7 0,71 0,508 0,8 0,81 0,507 0,9 0,91 0,506 1 1,01 0,505 1,1 1,11 0,504 1,2 1,21 0,503 1,3 1,31 0,503 Tabel 10.4.5 Resultat af test for skalauafhængighed af standardafvigelsen Baseret på resultaterne kan man tegne en graf over k s udvikling, hvilket kan ses i Figur 10.4.7 83

0,56 0,55 0,54 k 0,53 0,52 0,51 0,5 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Standardafvigelse for Y Figur 10.4.7 Test for absolut skalauafhængighed med hensyn til k Heraf kan det ses, at k ikke er skalauafhængig med hensyn til standardafvigelserne. Det fremgår, at jo mindre forskel der er procentuelt mellem standardafvigelserne, des mindre er ændringerne. Derfor undersøger vi nu, om der eksisterer skalauafhængighed, hvis der er den samme relative afstand mellem de to aktivers standardafvigelser. Resultaterne for dette ses i Tabel 10.4.6. Standardafvigelse på X Standardafvigelse på Y k 0,1 0,11 0,554 0,2 0,22 0,554 0,3 0,33 0,554 0,4 0,44 0,554 0,5 0,55 0,554 0,6 0,66 0,554 0,7 0,77 0,554 0,8 0,88 0,553 0,9 0,99 0,55 84

1 1,1 0,545 1,1 1,21 0,54 1,2 1,32 0,535 Tabel 10.4.6 Resultat for relativ skalauafhængighed for standardafvigelsen Ifølge disse resultater er der igen en ændring i værdien af k, hvilket kan ses i Figur 10.4.8. 0,555 0,55 0,545 k 0,54 0,535 0,53 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 Standardafvigelse for Y Figur 10.4.8 Test for relativ skalauafhængighed med hensyn til k Igen kan det ses, at der ikke eksisterer skalauafhængighed med hensyn til standardafvigelserne, dog er der meget små ændringer i k ved en lav standardafvigelse, som så vokser med størrelsen på standardafvigelsen. Følsomheden er forholdsvis lille, f.eks. er der ændring på k på under 2%, selvom standardafvigelsen ændres med hhv. 1 og 1,21 på aktiverne X og Y. 85

10.4.4 Ændring af Risikotolerancen Det næste vi undersøger er, hvorledes risikotolerancen (R) påvirker vægtningen af de to aktiver. Da risikotolerancen er afgørende for, hvor meget ekstra afkast agenten kræver for at påtage sig risiko, så har den stor betydning for valget af k. Som tidligere beskrevet så er størrelsen af risikotolerancen omvendt proportional med graden af risikoaversion, hvilket vil sige, at en lav R betyder, at nyttefunktionen repræsenterer en meget risikoavers agent, mens en meget høj værdi af R repræsenterer en agent, der er tilnærmelsesvis risikoneutral. Det må derfor forventes at ved lave værdier af R, der vil nytten ved at investere i risikofyldte aktiver være meget lav, og k vil vælges, så mest mulig risiko bliver bortdiversificeret. Ved at øge værdien af R, er det optimalt at investere en større andel i det aktiv der har den højeste forventede værdi. For at teste om vores program har disse egenskaber, har vi kørt programmet med en lang række forskellige værdier af R og med følgende faste parametre: Middelværdi for X = 0,11 Middelværdi for Y = 0,1 Standardafvigelse for X = 0,25 Standardafvigelse for Y = 0,25 Korrelation = 0,25 Risikofaktoren R = 0,2 Antal decimaler = 3 Resultaterne af kørslen ses i nedenstående tabel. R k Nytte 0,01 0,501-1*10^33 0,025 0,502-2,4*10^8 0,05 0,505-89,060 0,075 0,507-3,710 86

0,1 0,510-0,842 0,15 0,514-0,043 0,2 0,519 0,099 0,3 0,529 0,148 0,5 0,548 0,131 1 0,596 0,083 2 0,692 0,047 3 0,788 0,032 4 0,884 0,025 4,5 0,932 0,022 5 0,980 0,020 5,5 1,000 0,018 7,5 1,000 0,014 10 1,000 0,010 Tabel 10.4.7 Resultat for ændring af risikotolerancen Det ses umiddelbart af Figur 10.4.9, at når R bliver større så øges k indtil k = 1, da aktiv X har den højeste middelværdi. 87

1,2 1,0 0,8 k 0,6 0,4 0,2 0,0 0 1 2 3 4 5 6 7 Risikotolerance Figur 10.4.9 Værdien af k som funktion af Risikotolerancen Når agenten bliver mindre risikoavers, så er nødvendigheden for diversificering ikke så stor, da den højere middelværdi på aktiv X kompenserer for den øgede risiko. Dette er fordi u(w) (10.1.6) bliver mindre krum, hvorved agentens krav om risikopræmie bliver meget lille. Resultaterne viser, at man ved hjælp af den eksponentielle nyttefunktion kan indfange alt fra stærkt risikoaverse investorer til næsten risikoneutrale investorer, hvilket er en yderst nyttig egenskab, da metoden således kan bruges af investorer fra hele spektret af risikoaversion, hvis deres nyttefunktion er eksponentiel. 10.4.5 Ændring af korrelationen 88

I dette afsnit analyseres, hvordan ændringer i korrelation mellem de to aktiver, influerer på værdien af k og nytten for den i punktet optimale portefølje. For at få en ide om hvad korrelation betyder for en porteføljes sammensætning, kan man evt. kigge på Figur 7.1.1. Vi har denne gang valgt at teste over tre gange for bedre at kunne se, hvordan de forskellige parametre spiller ind. De tre forskellige analyser vi laver er: Første gang med forskellige forventede middelværdier på de to aktiver Anden gang med forskellige standardafvigelser på de to aktiver Tredje gang med forskellige forventede middelværdier og standardafvigelser på de to aktiver 10.4.5.1 Forskellige middelværdier I den første analyse undersøger vi, hvorledes k og nytten opfører sig ved forskellige værdier af korrelationen, når middelværdien af aktiv X er højere end middelværdien af aktiv Y. Vi benytter de værdier af korrelationen som ses i Tabel 10.4.8. De faste parametre i denne analyse er: Middelværdi for X = 0,1 Middelværdi for Y = 0,07 Standardafvigelse for X = 0,25 Standardafvigelse for Y = 0,25 Risikofaktoren R = 0,2 Antal decimaler = 3 Ved kørsel med disse parametre i Matlab-programmet fås følgende resultater: 89

Korrelation mellem X og Y k Nytte -0,99 1 0,0618-0,97 0,918 0,0991-0,95 0,758 0,1214-0,9 0,639 0,1557-0,75 0,569 0,188-0,5 0,548 0,1579-0,25 0,545 0,0954-0,1 0,546 0,0583 0 0,548 0,0374 0,1 0,551 0,0216 0,25 0,558 0,0106 0,4 0,569 0,0186 0,5 0,58 0,0354 0,6 0,598 0,0607 0,75 0,651 0,1072 0,9 0,866 0,1328 0,95 1 0,1174 0,99 1 0,0618 Tabel 10.4.8 Baseret på resultaterne kan man tegne en graf over k s sammenhæng med korrelationen, hvilket kan ses i Figur 10.4.10. 90

1,2 1 0,8 k 0,6 0,4 0,2 0-1 -0,5 0 0,5 1 Korrelation Figur 10.4.10 Værdien af k som funktion af korrelationen Af figuren ses at værdien af k er nogenlunde jævn ved en korrelation mellem -0,75 og 0,75, hvor k har en værdi på mellem 0,54-0,61. Årsagen til forløbet af k skyldes at den investor, der er i betragtning, er risikoavers, hvilket betyder, at han ønsker at diversificere sig ud af risikoen. Grunden til, at k = 1, når korrelationen er -1, skyldes, at når der er en korrelation på -1, så fungerer aktiverne som en form for perfekt forsikring. Det vil sige, at når det ene aktiv går ned, så går det andet op. Men da det ene aktiv giver lavere afkast end det andet, så er forsikringen for dyr for investor. Når korrelationen er 1, så er det ikke interessant at investere i det aktiv, der har den dårligste forventede middelværdi, da aktiverne har samme standardafvigelse og følger hinandens bevægelser med hensyn til afkast fuldstændigt. Hvilket følger af afsnit 7 om diversificering. I Figur 10.4.11 ses en graf over nytteudviklingen i analysen. 91

0,2 0,18 0,16 0,14 0,12 Nytte 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0-1 -0,5 0 0,5 1 Korrelation Figur 10.4.11 Nytten som funktion af korrelationen Heraf ser man at investor har lav nytte ved porteføljer med en korrelation på -1 eller 1. Ydermere ser vi, at investor ikke er interesseret i at have en korrelation, der er svagt positivt, da nytten er lavestved en værdi på korrelationen på ca. 0,25. Figuren viser også, at der er to lokale maksima for nytten, hvor korrelationen er i området omkring 0,75 og - 0,9. Hvorfor nyttemaksimum er højest, hvor korrelationen er tæt på -1, skyldes en stor del af risikoen bliver diversificeret væk grundet den negative korrelation. Denne gevinst ved diversificeringen forsvinder dog ved -1, da gevinsten ved at diversificere udhules af tabet i forventet værdi på porteføljen. Ved en negativ korrelation kan de to aktiver betragtes som forsikringer for hinanden, hvor graden afhænger af, hvor tæt værdien er på -1. Ved en korrelation på -1 vil de være perfekte forsikringer for hinanden. Dette skyldes, at her vil alle bevægelser være præcist modsatrettede. Resultatet i denne test er ganske interessant, da det kan bruges som værktøj til at vælge imellem forskellige aktiver. I en tænkt situation, hvor man har et aktiv, der skal kombineres med et af to andre aktiver, kan man benytte resultatet i Figur 10.4.11 til at 92

udvælge det aktiv, der giver højst nytte. Dette forudsætter, at de 2 aktiver har ens middelværdi og standardafvigelse, hvorved det er muligt at vælge det aktiv, der har en korrelationsværdi med det tredje aktiv, der giver den største nytte. Dette kan udvides til at gælde et vilkårligt stort antal aktiver, der blot adskiller sig ved at have en forskellig korrelation i forhold til sammenligningsaktivet, hvorved man vælger at kombinere med det aktiv, der giver størst nytte. Den andel, hvert af aktiverne skal indgå med, er angivet ved værdien af k ved denne korrelation. 10.4.5.2 Forskellige standardafvigelser I den anden analyse undersøger vi, hvorledes en ændring i korrelationen påvirker andelen af aktiv X og Y, hvor standardafvigelsen på aktiv Y er højere end for aktiv X. Det er ikke entydigt, hvordan ændringen i korrelationen påvirker k og nytten. Til testen bruges følgende faste parametre: Middelværdi for X = 0,1 Middelværdi for Y = 0,1 Standardafvigelse for X = 0,25 Standardafvigelse for Y = 0,35 Risikofaktoren R = 0,2 Antal decimaler = 3 Efter kørsel med disse parametre i Matlab-programmet fås følgende resultater: Korrelation mellem X og Y k Nytte -0,99 0,61 0,0632-0,97 0,611 0,1058-0,95 0,612 0,132-0,9 0,614 0,1709 93

-0,75 0,62 0,202-0,5 0,631 0,1511-0,25 0,642 0,0617-0,1 0,651 0,0107 0 0,658-0,0171 0,1 0,665-0,0373 0,25 0,679-0,0491 0,4 0,696-0,0337 0,5 0,71-0,0073 0,6 0,725 0,0309 0,75 0,751 0,0989 0,83 0,767 0,1284 0,9 0,782 0,1368 0,95 0,794 0,119 0,99 0,805 0,062 Tabel 10.4.9 Resultater Sammenhængen mellem k og korrelationen kan betragtes i Figur 10.4.12, som viser en stigende tendens. 94

0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 k 0,4 0,3 0,2 0,1 0-1 -0,5 0 0,5 1 Korrelation Figur 10.4.12 Sammenhæng mellem k og korrelationen Her ses en helt anden sammenhæng mellem k og korrelationen end i den første analyse. Her er investor aldrig interesseret i at have en portefølje, der kun består af et aktiv, med en undtagelse. Det skyldes, at det i denne situation altid kan betale sig at bortdiversificere en del af risikoen, da man får samme forventede afkast på begge aktiver. At værdien af k øges med korrelationen, skyldes at aktiverne har forskellige standardafvigelser. k er lavest, hvor korrelationen er lav, da øges betydningen af divercificering. Det skal bemærkes, at når korrelationen nærmer sig 1, så vil k gå mod en værdi på 1. Dette er blot ikke muligt at vise med metoden, da den fælles tæthedsfunktion ikke er defineret ved en korrelation på 1 eller -1. Dette kan man også slutte sig til rent intuitivt, da aktiverne vil opføre sig fuldkommen ens ved en korrelation på 1, da vil en risikoavers investor kun vælge det aktiv, der har mindst standardafvigelse, fordi det ikke er muligt at bortdiversificere nogen form for risiko. Nyttens sammenhæng med korrelationen giver følgende: 95

0,25 0,2 0,15 Nytte 0,1 0,05 0-1 -0,5 0 0,5 1-0,05-0,1 Korrelation Figur 10.4.13 Sammenhæng mellem nytte og korrelation Denne figur ligner i høj grad Figur 10.4.11, og værdien af nytten har samme udledning som for denne figur. 10.4.5.3 Forskellige middelværdier og standardafvigelser I den tredje analyse med korrelationen, undersøges sammenhængen mellem k og korrelationen med to aktiver, hvor der er forskel på både deres middelværdi og standardafvigelse. Der bruges følgende faste parametre i analysen: Middelværdi for X = 0,1 Middelværdi for Y = 0,05 Standardafvigelse for X = 0,25 Standardafvigelse for Y = 0,35 96

Risikotolerancen R = 0,2 Antal decimaler = 3 Efter kørsel med disse parametre i Matlab-programmet fås følgende resultater: Korrelation mellem X og Y k Nytte -0,99 1 0,0618-0,97 1 0,0989-0,95 0,908 0,1182-0,9 0,773 0,1456-0,75 0,698 0,1565-0,5 0,685 0,0856-0,25 0,692-0,015-0,1 0,702-0,0688 0 0,711-0,0968 0,1 0,721-0,1157 0,25 0,743-0,1224 0,4 0,772-0,0979 0,5 0,798-0,0629 0,6 0,832-0,0143 0,75 0,916 0,0728 0,83 1 0,1143 0,9 1 0,1315 0,95 1 0,1174 0,99 1 0,0618 Tabel 10.4.10 Resultater Det er nu interessant at se, om der er en af parametrene (ændring i middelværdi eller ændring i standardafvigelsen), der påvirker k mere end den anden. Sammenhængen mellem korrelationen og k kan ses i Figur 10.4.14. 97

1,2 1 0,8 k 0,6 0,4 0,2 0-1 -0,5 0 0,5 1 Korrelation Figur 10.4.14 Sammenhæng mellem k og korrelationen Figur 10.4.14 er relateret til Figur 10.4.10 og Figur 10.4.12. En egenskab fra Figur 10.4.10, som går igen i Figur 10.4.14 er, at der i de ekstreme punkter (-1 og 1) er en k-værdi på 1. Det skyldes for en korrelation tæt på 1, at risikoen kan bortdiversificeres er meget lille, hvorfor det giver det bedste resultat at sætte alt på det bedste aktiv, som i dette tilfælde er aktiv X. For korrelationer tæt på -1 skyldes det, at det koster for meget at benytte det dårligere aktiv Y som en forsikring og alt sættes derfor i aktiv X. En egenskab fra Figur 10.4.12, som går igen i Figur 10.4.14, er en stigning i det mellemliggende stykke. Den stigende tendens for de mellemliggende korrelationsværdier skyldes, at der er en afvejning mellem diversificeringsmuligheder og middelværdi. Jo højere korrelation, des mere skal der investeres i det bedste aktiv, hvilket skyldes, at mindre risiko bliver bortdiversificeret, jo højere korrelationen er. 98

10.5 Konklusion på 2-aktiv modellen Her følger en opsummering, på hvordan de forskellige analyser af parameterændringer har indflydelse på en risikoavers investors porteføljevægte og investors samlede nytte. Ved ændringer i det forventede afkast viste det sig, at når det forventede afkast på et aktiv steg, så steg investors andel i aktivet også, hvilket er i overenstemmelse med almindelig sund fornuft. Nytten vokser også, når det forventede afkast øges på det ene aktiv, mens alle andre parametre holdes fast. En stigning i standardafvigelsen på et aktiv mindsker den andel investor vil sætte i aktivet. Resultaterne for ændring på risikotolerancen var ganske interessante, idet dette er en ændring i, hvor risikoavers investor er. Jo tættere investor er på at være risikoneutral, jo mindre ønsker han at diversificere, da han kun investerer i det aktiv, der har det højeste afkast. Konklusionen på resultaterne for en ændring på korrelationen er langt mere tvetydig. For korrelationer tæt på 1 og -1, da vil investor være tilbøjelig til kun at investere i det "bedste" aktiv, hvorimod han er mere villig til at diversifice mellem aktiverne for værdier, der ligger længere fra de to yderpunkter. Der er store udsving i nytten. For aktiver med en korrelation tæt på enten 1 eller -1 opnår investor en lav nytte. Dog ikke så lav som ved en korrelation der er en smule positiv (0,25 i vores eksempel), da der i dette tilfælde er et globalt minimum. Samtidig er der to lokale maksima, der hvor korrelationen har en værdi der er tæt på hhv. 1 og -1. Korrelationen tæt på -1 kan betragtes som et globalt maksimum. Ændringerne i k, når der ændres på middelværdi og variansen, er ikke overraskende. Det samme gælder for resultaterne på ændringen på risikotolerancen, idet diversificering bliver ligegyldig, når investor er næsten risikoneutral. Hvordan værdien af k og nytten reagerer på en ændring af korrelationen, er ikke entydig, hvilket gør resultaterne ganske interessante. De giver en viden om, hviken korrelation en investor skal gå efter, når han skal udvælge to aktiver at investere i. 99

De gennemførte analyser har vist, at modellen reagerer korrekt på ændringer i de forskellige parametre, og den har samtidig vist sig yderst brugbar for en investor, der står overfor at skulle investere i to aktiver. 2-aktiv modellen giver de eksakte andele, som investor bør investere i de to aktiver, givet at investors risikotolerance kendes. 10.6 Forbedringer til programmet I det computerprogram, der bruges til løsning af 2- aktiv modellen, benyttes en ganske simpel søgemetode til at finde den maksimale værdi af nytten. I det maksimeringsfunktionen er konkav, da vil det være muligt at implementere en hurtigere søgemetode, hvis hastigheden på computerløsningen føles for langsom. Til dette formål kan eksempelvis benyttes Newton-Rhapsons metode, til at finde maksimum. Da den søgemetode, vi har benyttet, er hurtig nok til alle de beregningstilfælde, vi har opstillet, har vi valgt ikke at foretage en yderligere optimering. Men hvis modellen skal udvikles til udføre beregninger for mange par af aktiver, da kan det være en god ide at foretage denne optimering. 100

11 (2+1)-modellen Som en udvidelse til den tidligere beskrevne 2-aktiv model til valg af porteføljeandele, har vi i dette afsnit valgt at introducere et risikofrit aktiv, hvorved modellen vil bestå af to risikofyldte aktiver, samt et risikofrit aktiv. Denne model vil fremover blive benævnt (2+1)-modellen. Antagelserne for denne model er de samme som for 2-aktiv modellen. Disse antagelser er beskrevet i afsnit 10.1.4. Indførelsen af et risikofrit aktiv, giver mulighed for at vurdere hvor stor en andel af sin formue en given investor bør sætte i hhv. et risikofrit aktiv og to risikofyldte aktiver. Dette tilgodeser en risikoavers investor, da en sådan skal have en risikopræmie af en hvis størrelse, for at sætte hele sin investering i risikofyldte aktiver. Der er tidligere blevet udviklet modeller med aktiver, der er både risikofyldte og risikofrie. En model der er værd at nævne er beskrevet af Arrow (Arrow 1964). Heri har investor et valg mellem et risikofyldt aktiv og et risikofrit aktiv, fremover kaldet (1+1)- modellen. Denne model benytter dog nyttefunktioner med egenskaben aftagende absolut risikoaversion (DARA), hvilket er en antagelse der kan anses for mere realistisk i forhold til normale investorer, men denne type nyttefunktioner er også langt mere komplekse. DARA betyder at hvis investors formue øges, så vil han være villig til at påtage sig mere risiko i sine investeringer. Hvis X er et risikofyldt aktiv og Z er det risikofrie aktiv, kommer Arrow i sin (1+1)- model frem til, at hvis afkastet på Z er større end eller lig med det forventede afkast på X, så vil en risikoavers investor kun investere i Z. Mens det vil gælde at når det forventede afkast af X er større end for Z, da vil en risikoavers investor sætte en andel større end 0 i X. For et tilstrækkeligt stort forventet afkast på X, vil en investor sætte hele sin investering i X. Denne (2+1)-model vil i særtilfælde være sammenlignelig med (1+1)-modellen. Dette vil f.eks ske når et af de to risikofyldte aktiver har et forventet afkast der er lavere end afkastet på det risikofrie aktiv. Da vil investor stå i en situation, hvor han kun vælger mellem et risikofrit og et risikofyldt aktiv. 101

En anden fordel ved (2+1)-modellen er at det nu bliver muligt at udlede et resultat, der er sammenligneligt med tangentporteføljen i CAPM-modellen, hvilket vi vil komme nærmere ind på i afsnit 12. 11.1 Metodebeskrivelse For at løse tre-aktivs modellen skal en ny maksimeringsfunktion defineres, der også inkluderer det risikofrie aktiv. Fra 10.1.2 som også ses i 11.1.1 ved vi, at tætheden ved hver værdi af afkastet på aktiv X og Y er defineret ved den fælles tæthedsfunktion h(x,y). 11.1.1 k [ 0;1] ( ) Max u kxt 1 k y + t h( xt, yt) x y For at medtage det risikofrie aktiv, kaldet Z, skal den fælles tæthedsfunktion defineres for de tre aktiver. Derfor defineres h(x,y,z) som fælles tæthedsfunktion for de tre aktiver. Under antagelse af at aktiv X og Y er normalfordelte korrelerede aktiver, kan den fælles tæthed findes forholdsvis nemt. Z har en standardafvigelse på nul og ingen korrelation med de andre aktiver. Dette betyder at tætheden af Z alene, er 1 ved den forventede værdi og 0 for alle andre værdier af afkastet. Dette giver følgende udtryk for h(x,y,z): 11.1.2 m e, hvis µ 2 Z hxyz (,, ) = 2πσ xσ y 1 ρ 0 ellers = z Hvor 2 2 ε x + εy ρεxεy m = 0,5 2 1 ρ 102

ε = x x µ x σ x ε y = y µ σ y y Som det ses minder dette udtryk meget om udtrykket for 2-aktivs modellen, hvilket skyldes, at det indførte aktiv er risikofrit. Med en definition af tæthedsfunktionen kan maksimeringsudtrykket bestemmes som i 11.1.3. 11.1.3 k, k [ 0;1] 1 2 [ + + ] Max u k x k y (1 k k ) z h( x, y, z ) x y z 1 t 2 t 1 2 t t t t Det er den samlede nytte for alle afkast for aktiv X, Y og Z, der maksimeres, hvor de enkelte værdier er vægtet med den fælles tæthed. Som det ses er der 2 vægte i maksimeringsfunktionen, hvor k 1 er andelen af aktiv X, og k 2 er andelen af aktiv Y, hvorved andelen af aktiv Z er defineret som 1-k 1 -k 2. Vægten for Z vil også blive refereret til som k 3. Vægtene skal antage en værdi i intervallet 0 til 1, da negative vægte eller vægte større end 1 ikke er tilladt. Nyttefunktionen u(w) er ligesom i 2-aktiv modellen en eksponentiel nyttefunktion, som har en egenskab af at være en konkav nyttefunktion, hvilket kan udnyttes i udledningen af den maksimale værdi. 11.2 Implementering i Matlab Det næste skridt med modellen er at implementere den i en computerløsning for således at beregne en løsning. Implementeringen foretages ligesom før i matematik-programmet Matlab. Løsningsmetoden er en videreudvikling af 2-aktiv modellen, og den bliver i det følgende beskrevet udførligt. 103

Middelværdi og standardafvigelsen på afkastene for de to risikofyldte aktiver X og Y, bruges som input i programmet. Derudover benyttes korrelationen mellem X og Y samt afkastet på det risikofrie aktiv. 11.2.1 Nyttefunktion Som nyttefunktion benyttes den tidligere beskrevne eksponentielle nyttefunktion, der har den egenskab, at graden af risikoaversion bestemmes af en faktor R, kaldet risikotolerancen (Se afsnit 10.2). Funktionen har følgende udseende: w = > R 11.2.1 u( w) 1 exp, hvor R 0 Den har, som tidligere beskrevet, egenskab af et have konstant absolut risikoaversion (CARA). Dette kan antages at gælde i investeringsproblemer, som en tilnærmelse til en aftagende absolut risikoaversion, idet investors formue sjældent ændrer sig så drastisk, at det vil betyde en mærkbar ændring i det beløb, der ønskes investeret. 11.2.2 Gennemgang af programmet Opbygningen af programmet, som kan ses i sin helhed i bilag 2, følger samme mønster som i 2-aktiv modellen. Først udregnes en matrice der indeholder en mængde diskrete værdier af h(x,y,z), der er den fælles tæthed. Antallet af elementer i denne matrix bestemmes af brugerinput, hvor afstanden mellem punkterne samt en øvre og nedre grænse for hvert aktiv bestemmes. Det sidste gøres for at begrænse beregningsmængden, og det sker under den antagelse, at værdier i en normalfordelings tæthedsfunktion der 104

ligger mere end 4 standardafvigelser væk er 0. Dette er ikke helt korrekt, men det er en acceptabel antagelse, da værdierne er meget tæt på 0. Herved er der beregnet en fælles tæthed for aktiv X, Y og Z. I input er valgt, hvor mange decimaler k 1 og k 2 skal beregnes med, hvilket også har betydning for antallet af decimaler på k 3 (= 1 k 1 k 2 ). Dette udnyttes i, hvor mange gange beregningsløkken gennemkøres. For første decimal udregnes en matrix, hvor alle mulige kombinationer af k 1 og k 2, med et spring på 0,1 beregnes. Det giver 66 værdier for maksimeringsfunktionen, hvor den største værdi findes. Grunden til, at der findes 66 værdier, er, at k 1 + k 2 1, således at ikke alle de mulige kombinationer medtages. I næste skridt, hvor anden decimal skal findes, udnyttes det, at nyttefunktionen fra 11.2.1 er konkav og kontinuert. Herved benyttes det fundne maksimumpunkt med en decimal som centrum i en ny analyse, hvor k-værdier beregnes med en indbyrdes afstand på 0,01 ud til ± 0,1 fra det tidligere maksimum. I de fleste tilfælde vil det flytte maksimumpunktet lidt væk fra det tidligere maksimum, da præcisionen er øget. Som eksempel er fundet et maksimum for første decimal på (k 1, k 2 ) = (0,1; 0,4). Beregningen af anden decimale regner derefter punkter ud i intervallet [0,00; 0,01;...; 0,19; 0,20] for k 1 og i intervallet [0,30; 0,31;...; 0,49; 0,50] for k 2. Grundet konkaviteten vil maksimumværdien ligge i dette område, og der fås en maksimumværdi i punktet (k 1, k 2 ) = (0,06; 0,47). Til beregning af yderligere decimaler gentages denne beregningsmetode med det fundne maksimumpunkt som centrum. Beregningsområdet indskrænkes for hvert trin med en faktor 10, og antal decimaler på beregningen af k-værdier øges med 1. Hvis en k-værdi i beregningen har værdien 0 eller 1, beregnes kun værdier indenfor det tilladte område, således at man ikke risikerer negative vægte. I sidste del af programmet gives et output i form af værdien af nytten i maksimumpunktet samt værdien af vægtene k 1, k 2 og k 3, hvor k 3 er udregnet ud fra k 1 og k 2. 105

Det er dermed muligt med dette program at maksimere nyttefunktionen i 11.1.3, således at man finder de optimale vægte dog med forbehold for præcisionen, da beregningerne foretages i en diskret og ikke kontinuert verden. 11.3 Analyse af metoden I dette afsnit analyseres, hvorledes en ændring i udvalgte parametre vil påvirke investors valg af porteføljeandele, særligt investors andel i det risikofrie aktiv bliver belyst. Derudover analyseres sammenhængen med nytten, og der bygges videre på resultaterne fra afsnit 10.4. Det sker med henblik på at vurdere, hvilke forskelle der er mellem situationerne med og uden det risikofrie aktiv. 11.3.1 Ændring i Middelværdi på Y Den første analyse belyser, hvorledes det påvirker andelen i det risikofrie aktiv, hvis der sker en ændring i afkastet på det ene risikofyldte aktiv. Det blev belyst for to-aktiv modellen i afsnit 10.4.2, hvor resultatet var, at jo højere middelværdi på Y jo større skulle andelen i Y være. Nu er det interessante at se, hvordan andelen af det risikofrie aktiv påvirkes, idet forholdet mellem X og Y har samme udvikling som tidligere. Herudover bliver det belyst, hvordan nytten påvirkes. Umiddelbart må man forvente, at når middelværdien på Y øges, så falder andelen af Z. De faste parametre i analysen er: Middelværdi for X = 0,1 Standardafvigelse for X = 0,25 Standardafvigelse for Y = 0,25 Korrelation = 0,25 106

Risikofaktoren R = 0,2 Antal decimaler = 3 Afkast for Z = 0,02 Parametrene er de samme som i afsnit 10.4.2, da det skal være muligt at sammenligne resultaterne. Ved at løse for disse parametre opnås følgende resultater: Forventet Forventet afkast for X afkast for Y k 1 k 2 k 3 Nytte 0,1 1 0 1 0 0,9621 0,1 0,5 0 1 0 0,8073 0,1 0,35 0,02 0,98 0 0,6192 0,1 0,28 0,154 0,846 0 0,4849 0,1 0,25 0,175 0,751 0,074 0,4212 0,1 0,2 0,196 0,58 0,224 0,3215 0,1 0,15 0,218 0,409 0,373 0,2356 0,1 0,11 0,235 0,273 0,492 0,1834 0,1 0,1 0,239 0,239 0,522 0,1734 0,1 0,09 0,243 0,205 0,552 0,1643 0,1 0,05 0,26 0,068 0,672 0,1419 0,1 0,02 0,269 0 0,731 0,139 0,1 0 0,269 0 0,731 0,139 0,1-0,05 0,269 0 0,731 0,139 0,1-0,15 0,269 0 0,731 0,139 Tabel 11.3.1 Resultat af ændring i forventet afkast for aktiv Y Som forventet falder andelen af aktiv Y, når det forventede afkast går ned, samtidig falder nytten, da det forventede afkast på den samlede investering falder. Faldet i andelen af Y resulterer i, at investor investerer først i aktiv X og dernæst også i aktiv Z. For en tilstrækkelig lav værdi af afkastet på Y, da vil investor kun investere i aktiv X og Z. Dette svarer til problemstillingen i Arrows (1+1)-model (Arrow, 1964), hvor investor netop 107

skal sammensætte en portefølje af et risikofyldt og et risikofrit aktiv. For en investor med en eksponentiel nyttefunktion kan Arrows problem løses med denne metode, blot afkastet på det ene risikofyldte aktiv sættes lavere end afkastet på det risikofrie aktiv. 0,8 0,7 0,6 0,5 k3 0,4 0,3 0,2 0,1 0-1 -0,5 0 0,5 1 Forventet værdi for Y Figur 11.3.1 Værdien af k 3 som funktion af det forventede afkast på aktiv Y Figur 11.3.1 viser at værdien af k3 falder, når det forventede afkast på Y stiger. Beregningerne giver et resultat, der stemmer fint overens med resultaterne i afsnit 10.4.2, idet at når et aktiv bliver mere attraktivt (pga. højere forventet afkast og samme standardafvigelse), vil man investere mere i dette aktiv. Omvendt for et aktiv der bliver mindre attraktivt, der vil man investere mere i de andre aktiver (X og Z). 108

1,2 1 0,8 Nytte 0,6 0,4 0,2 0-1 -0,5 0 0,5 1 Forventet værdi for Y Figur 11.3.2 Værdien af nytten som funktion af det forventede afkast på aktiv Y Hvis man sammenligner grafen for nytten som ses i Figur 11.3.2 med den tilsvarende graf i afsnit 10.4.2, kan man se, at graferne er næsten lig hinanden, dog er minumumsværdien af nytten blevet hævet på grund af eksistensen af det risikofrie aktiv. For høje afkast på Y er nytten uændret i forhold til to-aktiv modellen. Det er for investor kun en fordel, at det nu er muligt at medtage et risikofrit aktiv i porteføljen, da det giver mulighed for en øget nytte af investeringen. 11.3.2 Ændring i standardafvigelsen på aktiv Y Her udføres en analyse af, hvordan ændringer i standardafvigelsen på det ene risikofyldte aktiv påvirker andelen af det risikofrie aktiv. Resultatet bliver sammenlignet med resultaterne i afsnit 10.4.3, der belyser samme problem uden det risikofrie aktiv. Nytten bliver også udledt og sammenlignet med resultaterne i to-aktiv modellen. De faste parametre i denne analyse er: 109

Middelværdi for X = 0,1 Middelværdi for Y = 0,1 Standardafvigelse for X = 0,25 Korrelation = 0,25 Risikofaktoren R = 0,2 Antal decimaler = 3 Afkast på Z = 0,02 Ved optimering med varierende standardafvigelser på Y, fås følgende resultater: Standardafvigelse Standardafvigelse på X på Y k1 k2 k3 Nytte 0,25 2 0,269 0 0,731 0,1376 0,25 1 0,265 0,008 0,727 0,1394 0,25 0,75 0,262 0,019 0,719 0,1411 0,25 0,5 0,256 0,051 0,693 0,1455 0,25 0,4 0,252 0,085 0,663 0,1504 0,25 0,3 0,245 0,161 0,594 0,1611 0,25 0,26 0,24 0,22 0,54 0,1703 0,25 0,25 0,239 0,239 0,522 0,1732 0,25 0,24 0,237 0,261 0,502 0,1765 0,25 0,2 0,23 0,384 0,386 0,1949 0,25 0,15 0,216 0,702 0,082 0,2409 0,25 0,1 0,104 0,896 0 0,3147 0,25 0,05 0,015 0,985 0 0,3662 Tabel 11.3.2 Resultater ved ændring af standardafvigelsen på aktiv Y En grafisk udvikling af værdien af k 3 kan ses i Figur 11.3.3 110

0,8 0,7 0,6 0,5 k3 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Standardafvigelse for Y Figur 11.3.3 Værdien af k 3 som funktion af standardafvigelsen på aktiv Y Det ses, at jo højere standardafvigelsen er på aktiv Y, jo større andel vil investor sætte i det risikofrie aktiv. Det skyldes, at investor er risikoavers, således at han søger væk fra Y og over i Z, når standardafvigelsen vokser, hvorved risikoen på investeringen holdes nede med et lavere forventet afkast til følge. I metoden er det ikke muligt at teste for en standardafvigelse, der er lig med nul, da der i den fælles normalfordeling vil være en division med nul. Den laveste standardafvigelse der derfor testes for er større end 0. Figuren viser, at værdien af k 3 ikke nærmer sig en værdi på 1. Det skyldes, at det er mest optimalt at investere både i X og Z, når k2 er 0. Dette er igen et eksempel på, at når det ene af de risikofyldte aktiver bliver for uattraktivt, da vil problemet gå fra at være et (2+1)-problem til et (1+1)-problem, hvor den optimale portefølje af et risikofyldt og et risikofrit aktiv findes. Standardafvigelsens indflydelse på investors nytte, når der er mulighed for at investere i et risikofrit aktiv, ses i Figur 11.3.4. 111

0,4 0,35 0,3 0,25 Nytte 0,2 0,15 0,1 0,05 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Standardafvigelse for Y Figur 11.3.4 Værdien af nytten som funktion af standardafvigelsen på aktiv Y Sammenlignes denne med Figur 10.4.6 viser det sig, at udviklingen i nytte med og uden det riskofrie aktiv har samme tendens. Nytten har dog samme egenskab, som da der blev ændret på middelværdien, idet den maksimale nytte er den samme, men at den minimale værdi af nytten er vokset, da det nu er muligt at fjerne noget af risikoen med aktiv Z. 11.3.3 Ændring af risikotolerancen I det følgende undersøges, hvorledes risikotolerancen (R) påvirker vægtningen af det risikofrie aktiv k 3. Som tidligere beskrevet i afsnit 10.4.4, så er størrelsen af risikotolerancen omvendt proportional med graden af risikoaversion. Det vil sige, at en lav R betyder, at nyttefunktionen repræsenterer en meget risikoavers agent, mens en meget høj værdi af R repræsenterer en agent, der nærmer sig at være risikoneutral. For at teste, hvordan k 3 udvikler sig ved forskellige værdier af R, bruges følgende faste parametre: 112

Middelværdi for X = 0,11 Middelværdi for Y = 0,1 Standardafvigelse for X = 0,25 Standardafvigelse for Y = 0,25 Korrelation = 0,25 Risikotolerancen R = 0,2 Antal decimaler = 3 Z = 0,02 Resultaterne af kørslen med ændring af risikotolerancen ses i Tabel 11.3.3. R k1 k2 k3 Nytte 0,01 0,014 0,012 0,974 0,8572 0,025 0,034 0,029 0,937 0,5822 0,05 0,068 0,059 0,873 0,3887 0,075 0,102 0,088 0,81 0,305 0,1 0,137 0,117 0,746 0,2588 0,15 0,205 0,176 0,619 0,2094 0,2 0,273 0,235 0,492 0,1834 0,3 0,41 0,352 0,238 0,1565 0,35 0,478 0,411 0,111 0,1487 0,4 0,538 0,462 0 0,1428 0,5 0,548 0,452 0 0,1303 1 0,596 0,404 0 0,0828 1,5 0,624 0,376 0 0,0595 2 0,692 0,308 0 0,0464 Tabel 11.3.3 Det ses umiddelbart af Figur 11.3.5, at når R øges, så falder k3. 113

1,2 1,0 0,8 k3 0,6 0,4 0,2 0,0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Risikotolerance Figur 11.3.5 Værdien af k 3 som funktion af risikotolerancen Ud fra resultaterne kan man konkludere, at når agenten bliver mindre risikoavers, så er nødvendigheden for diversificering ikke så stor, hvorved det risikofrie aktiv bliver mindre attraktivt. Den højere middelværdi på aktiv X er mere attraktiv, når risikoen bliver mindre relevant. Samtidig gælder det, at hvis investor er meget risikoavers med en R tæt på nul, så vil værdien af k 3 være meget tæt på 1. Dette er meget indlysende, da den risikoaverse investor helt kan undgå risiko ved at investere i aktiv Z. 11.3.4 Ændring af korrelationen I dette afsnit undersøges det, hvorledes ændringer i korrelationen mellem de to aktiver, vil indvirke på valget af k 3. Nytten ved de forskellige værdier af korrelationen findes ligeledes. Det er ikke umiddelbart til at forudsige, hvorledes en ændring i korrelationen påvirker valget af det risikofrie aktiv. Det kan også ses i afsnit 10.4.5, hvor korrelationen 114

havde en interessant indvirkning på andele i porteføljen og nytte. Vi benytter i denne analyse følgende faste parametre, hvor aktiv X er mere attraktivt end aktiv Y: Middelværdi for X = 0,1 Middelværdi for Y = 0,05 Standardafvigelse for X = 0,25 Standardafvigelse for Y = 0,35 Risikofaktoren R = 0,2 Antal decimaler = 3 Z = 0,02 Ved løsning med disse parametre i (2+1)-modellen fås resultaterne som ses i Tabel 11.3.4. Korrelation mellem X og Y k1 k2 k3 Nytte -0,99 1 0 0 0,0618-0,97 1 0 0 0,0989-0,95 0,908 0,092 0 0,1182-0,9 0,773 0,227 0 0,1456-0,75 0,644 0,269 0,087 0,1572-0,5 0,364 0,126 0,51 0,1487-0,25 0,282 0,076 0,642 0,1453-0,1 0,262 0,057 0,681 0,1436 0 0,256 0,048 0,696 0,1425 0,1 0,255 0,039 0,706 0,1413 0,25 0,264 0,027 0,709 0,1392 0,4 0,288 0,014 0,698 0,1368 0,5 0,318 0,004 0,678 0,135 0,6 0,364 0 0,636 0,1329 115

0,75 0,503 0 0,497 0,1296 0,83 0,681 0 0,319 0,129 0,9 1 0 0 0,1315 0,95 1 0 0 0,1174 Tabel 11.3.4 Resultater ved ændring af korrelationen Baseret på resultaterne kan man tegne en graf over k 3 s sammenhæng med korrelationen, hvilket kan ses i Figur 11.3.6. 0,8 0,7 0,6 0,5 k3 0,4 0,3 0,2 0,1 0-1 -0,5 0 0,5 1 Korrelation Figur 11.3.6 Værdien af k 3 som funktion af korrelationen Figuren viser, at når korrelationen er 1 eller -1, da er det ikke optimalt at investere i det risikofrie aktiv. Investor investerer i det risikofrie aktiv, når korrelationen rykker væk fra yderpunkterne. Investor investerer maksimalt i k 3, når korrelationen er tæt på 0,25. I Figur 11.3.7 ses en graf over nytteudviklingen i analysen. 116

0,18 0,16 0,14 0,12 Nytte 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0-1 -0,5 0 0,5 1 Korrelation Figur 11.3.7 Ændring i nytten når korrelationen ændrer sig Ved en sammenligning af Figur 11.3.7 med Figur 10.4.11 ses det, at investor foretrækker porteføljer som ikke har en korrelation på -1 eller 1. Ved indførelse af det risikofrie aktiv rykker det midterste stykke af grafen op på et højere niveau end situationen uden det risikofrie aktiv. Det betyder at der ikke er tydelige lokale minimumspunkter i nytten. Man kan sige, at det vil være mest attraktivt for investor, hvis han har to aktiver med en korrelation på omkring -0,8. 11.4 Konklusion på (2+1)-modellen Vi har med (2+1)-modellen vist, at det er muligt, at introducere et risikofrit aktiv i vores nytteoptimeringsmetode. Selve konklusionerne omkring parameterændringer er de samme som for 2-aktiv modellen, dog med den undtagelse, at det risikofrie aktiv ofte vil løfte nytten for den risikoaverse investor. Nytten øges i de situationer, hvor de to andre aktiver ikke kompenserer tilstrækkelig for den risiko de har. Det viser sig også at nytten 117

aldrig vil blive forværret, når der indføres et risikofrit aktiv. Dette var forventet, da investor er risikoavers, og han vil samtidig altid have muligheden for helt, at fravælge det risikofrie aktiv. (2+1)-modellen er derfor mere anvendelig for en risikoavers investor, idet den giver flere valgmuligheder for investoren. 118

12 Test af (2+1)-modellen mod CAPM For at stille (2+1)-modellen i et større perspektiv, vil vi teste den mod en kendt porteføljevalgsmodel. En af de mest benyttede modeller til porteføljevalg er CAPM, også kaldet Capital Asset Pricing Model (Levy og Sarnat, 1990), der giver mulighed for at finde vægten på de risikofyldte aktiver, hvor et risikofrit aktiv eksisterer. Da det er en kendt model, tester vi vores metode mod denne. Før testen gives en beskrivelse af de vigtige egenskaber ved CAPM. Vi har valgt at se bort fra andre porteføljevalgsmodeller, da de ikke anvendes i nær samme grad som CAPM. 12.1 Beskrivelse af CAPM Modellen prisfastsætter aktiver i et marked, hvor man har en kendt markedsportefølje, og antagelserne der ligger til grund for modellen, beskrives i det følgende. 12.1.1 Antagelser for CAPM I CAPM er der indført nogle antagelser om det univers, som modellen skal beskrive: Der findes ikke transaktions-omkostninger. Der findes ingen skatter. Alle agenter er pristagere, da deres formue er lille i forhold til universets samlede formue. Der er fuld og simultan information for alle agenter. Ind- og udlånsrenten er ens uanset beløbet. Det er ikke muligt at gå konkurs. Der er givet én identisk investeringsperiode for alle agenter. Agenterne er risiko averse og optimerer deres portefølje ud fra middelværdi og varians. 119

12.1.2 CML Hvis man indfører et risikofrit aktiv, dvs et afkast/lån med en fast forrentning og nul risiko, er det muligt at kombinere en risikobehæftet portefølje med dette risikofrie aktiv. Det er med det risikofrie aktiv muligt at få et større afkast ved den samme risiko, ved at kombinere dette med en portefølje på den efficiente rand. Den bedste portefølje at kombinere med vil være den, hvor en linie i et risiko/afkast-diagram, tangerer den efficiente rand. Denne kombination beskriver en ny efficient rand, der kaldes Capital Market Line (CML). På nedenstående figur ses et eksempel på CML. Figur 12.1.1 CML der tangerer den efficiente rand Den del af CML der ligger til venstre for tangentpunktet, består af en kombination af en risikofri investering og af tangentporteføljen. I selve tangentpunktet består porteføljen kun af risikobehæftede aktiver, denne portefølje kaldes markedsporteføljen. Til højre for tangentpunktet ligger porteføljer, der er skabt ved at låne penge til den risikofrie rente. 120

CML kan beskrives med følgende ligning, hvor r p er afkastet på porteføljen, r m er afkastet på markedsporteføljen, og r f er det risikofrie afkast: rm rf 12.1.1 rp rf σ p σ = + m 12.1.3 Metode til at finde markedsporteføljen Metoden, der vises her er en af mange metoder til at finde markedsporteføljen (Benninga, 2000). Metoden er temmelig ligetil at implementere i et regneark e.l. Markedsporteføljen kan findes som den vektor x, hvorom det gælder for hvert element at: 12.1.2 x i = N z j= 1 i z j Vektoren z er givet ved: ( ) 1 z = S R c Hvor S er aktivernes fælles kovariansmatrice, og R er en vektor med aktivernes middelværdi. Det er således forholdsvis enkelt at finde markedsporteføljen, blot man kender middelværdierne og kovariansmatricen for alle de involverede aktiver. Værdien af x i er vægten på aktiv i. 121

12.2 Resultater Til beregningerne er benyttet 10 års ugentlige data for 4 forskellige aktier, der er valgt udfra det krav. at det skal være kendte virksomheder med tilstrækkelig historik. De 4 benyttede aktier er tilfældig valgt ud fra disse kriterier. Historikken går fra september 1993 til august 2003, hvilket giver 521 observationer pr. aktiv. De 4 aktier er Microsoft, Pepsi Cola, Coca-Cola og McDonalds, som er aktier med en meget høj omsætning på børsen. Dette gør, at kurserne afspejler de faktiske priser på aktivet. De to første momenter beregnes ud fra de historiske data på aktiverne, således at alle 10 år er inkluderet i beregningerne. Vi sammenligner resultaterne fra vores modeller med resultatet af markedsporteføljen i CAPM. Grunden til, at vi sammenligner med markedsporteføljen, er, at denne portefølje er optimal i kombination med et risikofrit aktiv i CAPM. Udregningerne udføres i Microsoft Excel, hvor vi har opstillet metoden i 12.1.2 til at beregne markedsporteføljen ud fra de ugentlige afkast fra de 4 aktier. Da vi sammenligner med modellen med to risikofyldte aktiver, beregnes CAPM kun for 2 aktiver af gangen samt det risikofrie aktiv. 12.2.1 Porteføljeandele af Microsoft og McDonalds I den første sammenligning er Microsoft og McDonalds blevet valgt som de to aktiver, der skal indgå. Som risikofrit aktiv er sat en årlig bankrente på 2%. Det forudsættes i det følgende, at der er kontinuert rentetilskrivning. Da der arbejdes med ugentlige data, er alle værdier opgivet på ugentlig basis. I Tabel 12.2.1 er vist middelværdi og standardafvigelse for de 2 aktiver. Microsoft McDonalds Middelværdi 0,00464 0,00109 Standardafvigelse 0,04915 0,03845 Tabel 12.2.1 Middelværdi og standardafvigelser 122

Korrelationen imellem aktierne er 0,17163. Til brug for udregningerne benyttes følgende værdier for risikotolerancen og det risikofrie afkast, som er et realistisk bud på hvad de normalt kan være. Risikotolerance = 0,05 Risikofrit afkast, ugentligt = 0,000385 I Tabel 12.2.2 ses resultaterne for markedsporteføljen, 2-aktiv modellen, samt (2+1)- metoden. (2+1)-metoden testes for to forskellige situationer. Først situationen hvor kun de risikofyldte aktivers andel undersøges. Dernæst situationen hvor det risikofrie aktiv er taget med. Nytten udregnes i alle fire tilfælde. For CAPM og der hvor der kun kigges på de to aktiers andel i (2+1)-modellen, udregnes nytten ved hjælp af de rigtige afkast, hvor deres frekvens bruges som tætheden. I de to andre tilfælde benyttes nytteværdien, der udregnes i Matlab-programmet. Beregningerne giver følgende resultater: CAPM 2-aktiv model 2+1-model, risikofrit 2+1-model aktiv tvunget = 0 Middelværdi 0,0045 0,0026 0,0041 0,00078 Standardafvigelse 0,047 0,033 0,043 0,0045 k1 0,949 0,420 0,859 0,089 k2 0,051 0,580 0,142 0,015 k3 0 0 0 0,896 Nytte -0,548-0,154-0,438 0,011 Tabel 12.2.2 Resultat for de 4 modeller Af disse resultater kan det ses, at ved at inkludere det risikofrie aktiv opnås den bedste nytte for agenten, hvilket skyldes, at han er risikoavers. CAPM giver den portefølje, som har den laveste nytte for investor. Dette er ikke et overraskende resultat, da vores metode netop finder porteføljeandelene ved nyttemaksimering, og det er derfor i overensstemmelse hermed, at markedsporteføljen giver en lavere nytte. 123

Et andet interessant resultat er, at investor opnår en højere nytte ved (2+1)-modellen end ved 2-aktiv modellen. Dette skyldes, at indførelsen af det risikofrie aktiv giver den risikoaverse investor bedre mulighed for at undgå risiko, hvilket er med til at øge nytten. 12.2.2 Porteføljeandele af Pepsi Cola og Coca-Cola I denne analyse belyses to andre aktiver for at undersøge, om dette giver samme resultater. Som det ses af Tabel 12.2.3, så er Pepsi Cola bedre end Coca-Cola, da middelværdien er højere og standardafvigelsen lavere. Forskellen er dog relativ lille, hvorfor det forventes at der stadig er fordele i at diversificere. Coca-Cola Pepsi Cola Middelværdi 0,00160 0,00202 Standardafvigelse 0,03902 0,03766 Tabel 12.2.3 Middelværdi og standardafvigelser Disse to aktier er kendetegnet ved, at de er fra samme branche, og det er derfor oplagt, at den indbyrdes korrelation er højere end før. Værdien er udregnet til følgende: Korrelation = 0,4134 Det samme risikofrie afkast benyttes i denne analyse, som i afsnit 12.2.1 og risikotolerancen er igen 0,05. Beregningerne udføres med de fire metoder, hvilket giver følgende resultat: CAPM 2-aktiv model 2+1-model, 2+1-model risikofyldt isoleret Middelværdi 0,0019 0,0018 0,0019 0,00052 Standardafvigelse 0,033 0,032 0,032 0,0030 124

k1 0,294 0,467 0,367 0,034 k2 0,706 0,533 0,633 0,059 k3 0,000 0,000 0,000 0,907 Nytte -0,223-0,116-0,214 0,0084 Tabel 12.2.4 Resultat for de 4 modeller Ligesom eksemplet før giver beregningerne, at nytten ved CAPM er lavest, mens den er højest ved at benytte (2+1)-modellen. 12.3 Konklusion på sammenligning med CAPM Som vist i eksemplerne vil markedsporteføljen, som findes med CAPM, ikke være den portefølje, som giver den højeste nytte. CAPM giver kun den portefølje, som det er mest optimalt at kombinere det risikofrie aktiv med. Det giver en højere nytte ved at finde den rigtige andel af det risikofrie aktiv, men den nytte vil være lavere end nytten fundet med (2+1)-modellen. Set fra et nytte-synspunkt, fås den optimale portefølje, med to risikofyldte aktiver og et risikofrit aktiv, for en investor med en eksponentiel nyttefunktion, ved at benytte (2+1)-modellen frem for CAPM. Det betyder at (2+1)- modellen, giver et bedre resultat end CAPM, når investor har som mål, at optimere sin nytte. 125

13 Fleraktivsmodellen I de foregående afsnit har vi løst modeller, hvor det har været muligt at finde porteføljeandele med to risikofyldte aktiver. I den ene model var der tillige et risikofrit aktiv. Det, vi ønsker nu, er at vise en metode der bygger på 2-aktiv modellen, hvorved man kan udlede porteføljeandele for mere end to risikofyldte aktiver. Vi beskriver i dette afsnit en metode til at finde porteføljeandele for mere end to risikofyldte aktiver. Modellen beskrives i to dele. I den første del beskriver vi, hvordan man løser for 3 risikofyldte aktiver, mens vi i anden del beskriver hvorledes modellen også kan benyttes hvor der skal investeres i mere end 3 aktiver. 13.1 Tre aktiver I den første beskrivelse af vores metode til porteføljevalg af mere end to risikofyldte aktiver, viser vi, hvordan man kan udlede en optimal porteføljesammensætning for tre risikofyldte aktiver. 13.1.1 Metode For at få et overblik over hvordan fleraktivsmodellen bygges op, starter vi med den simpleste udgave, som er en model med 3 aktiver (X, Y og Z), og hvor en vektor k betegner med hvilke vægte, disse aktiver skal indgå i en portefølje. Modellen tager udgangspunkt i løsningen for 2-aktiv modellen, idet den beregner optimale porteføljer for hver to-aktivs kombination af de tre aktiver. Hver af disse porteføljer opfattes her som nye kunstige aktiver, der igen kan indgå i en løsning i 2-aktiv modellen. Herved findes et område hvori den optimale løsning ligger, da den eksponentielle nyttefunktion er strengt konkav. 126

For at skabe overblik over problemstillingen, opstilles de 3 aktiver i en såkaldt Simplex for 3 variable. En Simplex er en enhedstrekant, hvor hvert hjørnepunkt er en af de tre variable, fremover kaldet X, Y og Z. Alle punkter indenfor de tre hjørnepunkter repræsenterer en linearkombination af de tre variable, hvor det gælder, at summen af vægtene på de variable skal have en værdi på 1. Figur 13.1.1 Simplex med tre variable I Figur 13.1.1 ses, hvordan en Simplex med tre variable tager sig ud. Da hvert hjørnepunkt repræsenterer en vægt på 1 af den tilhørende variabel, da repræsenterer det modstående sidestykke en vægt på 0 i samme variabel. Det betyder, at liniestykket XY betegner alle mulige kombinationer af X og Y, hvor Z har en vægt på nul. Hvis man tænker på de variable som aktiver, da vil liniestykket repræsentere to-aktiv porteføljen P= k X + (1 k ) Y for k1 [0,1]. Analogt vil liniestykket XZ betegne alle 1 1 kombinationer af aktiv X og Z alene, og liniestykket YZ betegner alle to-aktiv porteføljekombinationer mellem Y og Z. For at give et overblik kan den generelle opskrivning ses her: Xt + Yt X ( t + 1) Xt + Zt Y ( t + 1) Yt + Zt Z ( t + 1) Her vises for aktiver på trin t, der kombineres til nye aktiver på trin t + 1. 127

Dermed kan hvert af disse to-aktiv problemer løses med vores to-aktiv model, så der fremkommer tre forskellige løsninger. Indtegnes de tre løsninger i det viste Simplex, ser tegningen ud som i Figur 13.1.2. De tre løsninger indtegnes på hver af sidestykkerne, hvor de således repræsenterer de tre optimale kombinationsmuligheder af hvert par fra de tre aktiver. Figur 13.1.2 Løsninger for de tre to-aktiv problemer indtegnet i Simplex Det er nu muligt at betragte disse tre porteføljer som kunstige aktiver, således at det kunstige aktiv X1 består af den beregnede optimale andel af aktiv X og Y. Med denne løsning får man tre kunstige aktiver X1, Y1 og Z1, der hver repræsenterer den optimale portefølje for de respektive to-aktiv problemer. De nye aktiver navngives på følgende måde. Porteføljen som opstår mellem aktiv X i-1 og Y i-1 kommer til at hedde X i Porteføljen som opstår mellem aktiv X i-1 og Z i-1 kommer til at hedde Y i Porteføljen som opstår mellem aktiv Y i-1 og Z i-1 kommer til at hedde Z i Her skal i'et opfattes som, at det bliver større for hver iteration, som beregnes. Man kan forbinde disse kunstige aktiver, hvilket vil resultere i en ny trekant med de kunstige aktiver som hjørnepunkter. Det er en ny enhedssimplex, der indeholder den 128

optimale portefølje for de 3 aktiver. Det skyldes, at nyttefunktionen er strengt konkav, hvorved den optimale portefølje er en linearkombination af de tre kunstige aktiver. Hvis dette ikke var tilfældet, da ville de kunstige porteføljer ikke have været optimale i første omgang. Figur 13.1.3 Nyt Simplex ved kombination af de tre kunstige aktiver Det ses af Figur 13.1.3, at de 3 kunstige aktiver kan kombineres i et nyt enhedssimplex. Her vil liniestykket X1Y1 betegne alle de mulige kombinationer af den optimale portefølje for aktiv X og Y (X1) og den optimale portefølje for aktiv X og Z (Y1). For de to andre sider gælder dette også for de respektive kunstige aktiver. For at komme nærmere en optimal løsning for en kombination af alle tre aktiver, benyttes samme fremgangsmåde som før med kunstige aktiver. Med to-aktiv modellen findes de tre optimale to-aktivs porteføljer ud fra de kunstige aktiver. Derved fås nye kunstige aktiver (X2, Y2 og Z2) som igen kan kombineres til en ny enhedssimplex som i Figur 13.1.4. 129

Figur 13.1.4 Nyt Simplex efter to trin i løsningen Formålet med metoden bliver nu klar, da det er tydeligt, at hvert nyt Simplex opstået på grundlag af to-aktivs porteføljer fra et andet Simplex vil være mindre, hvorved man kommer tættere på den optimale løsning, idet nyttefunktionen er strengt konkav. Derved er det også muligt at øge præcisionen ved at øge antallet af gange, man konstruerer et nyt Simplex. Størrelsen af Simplex indsnævres, således at det konvergerer mod den optimale løsning, der kommer til at ligge inde for et mindre og mindre løsningsområde. Kun i særtilfælde, hvor andelen i to af aktiverne skal være nul, vil det være muligt at finde den helt præcise løsning. Der fås dog en god approksimation, hvilket bør ses i lyset af, at der i forvejen er usikkerhed på estimeringen af parametre i modellen. Her tænkes på forventet afkast, standardafvigelsen og korrelation, der bliver estimeret med en hvis usikkerhed. Som nævnt kan et eksakt optimum findes i det tilfælde, hvor løsningen til to af de tre toaktivs problemer giver en andel i et af aktiverne på 0. F.eks. vil det i et to-aktivs problem mellem X2 og Y2 give en optimal løsning, der ligger på den røde linie i Figur 13.1.5, såfremt resultatet giver, at optimum ligger i en andel på 1 af X2 og af Y2 i forhold til Z2. Dette skyldes konkaviteten på nyttefunktionen, og løsningen fås nu som den optimale løsning i to-aktiv modellen med aktiverne X2 og Y2. 130

Figur 13.1.5 Eksakt løsning ved en andel på 0 i Y2 Men det er dog langt fra altid, vi kommer i denne situation, hvor vi finder en entydig løsning 13.1.2 Normalfordelingsteori Ved kombination af to normalfordelte aktiver fås et nyt normalfordelt aktiv. Den generelle sammenhæng ved kombination af flere normalfordelinger ses her: (, ) 13.1.1 X N µ z Z = DX Her er X, n normalfordelte variable, med middelværdier givet ved vektoren µ og kovariansmatricen z. Z er en portefølje af de n variable, med vægte som er defineret i vektoren Z. Porteføljen Z vil nu være fordelt med parametrene der ses i 13.1.2. 13.1.2 Z N( Dµ, DzD') Dette er taget fra An introduction to multivariate statistical analysis (Anderson, 1958). 131

13.1.3 Metode til at udlede porteføljevægtene I hvert trin i løsningsmetoden findes den optimale vægt på de to kunstige aktiver, der indgår i porteføljen. Problemet er så at finde de sande aktivers vægt ud fra vægtene på disse kunstige aktiver. Metoden til dette er, at man for hvert trin finder vægtene på aktiverne X, Y og Z fra det foregående trin. For det første trin er det ganske simpelt, da hvert af de kunstige aktiver X1, Y1 og Z1 består af kombinationer af to af de rigtige aktiver. I næste trin ved vi, at X2 er en kombination af X1 og Y1, der igen er kombinationer af X og Y, hhv. X og Z. Det betyder, at X2 er en kombination af alle tre aktiver. Vægten på disse tre aktiver findes ved at udnytte, at X2 blot er en linearkombination af X1 og Y1. Derved fås vægten af X i X2 til at være den vægtede sum af vægten af X i X1 og Y1. For at tydeliggøre dette er her et eksempel: X1 Y1 X2 = 0,3X1 + 0,7Y1 X 0,25 0,6 0,495 Y 0,75 0 0,225 Z 0 0,4 0,28 I dette eksempel består X2 af 0,3X1 og 0,7X2. Vægten af aktiverne i X1 og Y1, ses i anden og tredje søjle, mens vægtene i X2, ses i fjerde søjle. Andelen der indgår i X2 er fundet ved udregningerne: X = 0,3 0, 25 + 0,7 0,6 = 0, 495 Y = 0,3 0,75 + 0,7 0 = 0,225 Z = 0,3 0 + 0,7 0, 4 = 0, 28 Heraf ses, at aktiv X1 og Y1 er vægtet med deres respektive andel i X2. Summen af vægtene er 1. 132

Den viste procedure gentages for alle tre kunstige aktiver på hvert trin, hvor man blot benytter vægtene fundet på det foregående trin. Så derfor er det vigtigt at opstille nogle regler for hvornår resultatet er tilfredsstillende. Det er typisk, når nytten ligger inden for en hvis afstand af de tre hjørnepunkter i en Simplex, og at korrelationen er tilpas høj. Afstanden mellem hjørnepunkterne afspejler hvor præcist resultatet er. 13.1.4 Eksempel med Coca-Cola, Pepsi og Microsoft I dette afsnit gennemgås et eksempel, hvor vi løser den viste model med 3 virkelige aktiver. Til dette har vi brugt 10 års ugentlige afkastdata for Coca-Cola (X), Pepsi Cola (Y) og Microsoft (Z). For at kunne bruge data i modellen, har vi estimeret middelværdi og standardafvigelse ud fra disse historiske data under antagelse om, at afkastene er normalfordelte, der er en rimelig antagelse jævnfør afsnit 10.1.2. Værdien af de to første momenter i normalfordelingen for de tre aktiver ses i Tabel 13.1.1. Coca-Cola Pepsi Microsoft Middelværdi 0,001602 0,002023 0,004644 Standardafvigelse 0,039015 0,037663 0,049153 Tabel 13.1.1 Estimation af de første to momenter for aktiverne For at benytte to-aktiv modellen til at finde de tre optimale porteføljer skal korrelationen mellem aktierne også estimeres for de 10 års data. Den estimerede korrelation ses i Tabel 13.1.2, hvor korrelationsmatricen er opstillet. Investors risikotolerance benyttes også som input. Den sættes til 0,03, hvilket betyder, at den er lidt lavere end standardafvigelserne. Korrelation Coca-Cola Pepsi Microsoft Coca-Cola 1 0,413363 0,103821 Pepsi 0,413363 1 0,104348 133

Microsoft 0,103821 0,104348 1 Tabel 13.1.2 Korrelationsmatrix for de 3 aktier Ved at løse for de tre forskellige to-aktie kombinationer fås resultaterne i Tabel 13.1.3. Her betegner k 1 den optimale andel af det førstnævnte aktiv, eksempelvis Pepsi i Pepsi- Microsoft porteføljen. Andelen i den anden aktie fås som 1-k 1. Cola-Pepsi Cola-Microsoft Pepsi-Microsoft Nye Navn X1 Y1 Z1 k 1 0,4715 0,5949 0,6152 Nytte -0,4106-0,5618-0,5154 Tabel 13.1.3 Løsning for de tre porteføljer Af resultaterne ses også nytten af de tre porteføljer. Denne bør øges for hvert trin da nyttefunktionen er konkav. De tre porteføljer betragtes nu som nye normalfordelte aktiver med betegnelserne X1, Y1 og Z1. Middelværdien og standardafvigelsen kan udregnes på disse kunstige aktiver og værdierne er vist i Tabel 13.1.4. X1 Y1 Z1 Middelværdi 0,001825 0,002834 0,003032 Standardafvigelse 0,032207 0,032111 0,031401 Tabel 13.1.4 Middelværdi og standardafvigelse på de kunstige aktiver Disse nye kunstige aktiver har også en korrelation med hverandre, som er vist i matrixform i Tabel 13.1.5. Her ses det, at korrelationen imellem dem er højere end før, hvilket skyldes, at de kunstige aktiver er mere identiske end de almindelige aktiver. X1 Y1 Z1 X1 1 0,674243 0,704788 Y1 0,674243 1 0,686893 Z1 0,704788 0,686893 1 134

Tabel 13.1.5 Korrelationsmatrix for de kunstige aktiver Nu beregnes de tre mulige to-aktivs kombinationer af de tre kunstige aktiver. Derved fås den optimale andel af aktiverne i alle 3 tilfælde. Disse resultater ses i Tabel 13.1.6, hvor k 1 igen er andelen af det førstnævnte aktiv i søjleoverskriften. Således består X2 af ( ) 0,4619 X1+ 1-0,4619 Y1. X1-Y1 X1-Z1 Y1-Z1 Nye Navn X2 Y2 Z2 k 1 0,4619 0,4324 0,4755 Nytte -0,1343-0,11-0,1051 Tabel 13.1.6 Andele af de kunstige aktiver i trin 2 Sammenlignes nytten på de tre porteføljer, kan man se, at værdierne er kommet tættere på hinanden, samtidig med at de er højere. Den optimale løsning er kommet nærmere, da sammensætningen af de kunstige aktiver er mere ens. Der beregnes i det nye trin igen middelværdi og standardafvigelse for de kunstige aktier, hvilket ses i Tabel 13.1.7. X2 Y2 Z2 Middelværdi 0,002368 0,00251 0,002938 Standardafvigelse 0,029437 0,029351 0,029153 Tabel 13.1.7 Middelværdi og standardafvigelse i trin 2 Middelværdi og standardafvigelse er i dette trin kommet tættere på hinanden, og det ses af Tabel 13.1.8, at korrelationen er vokset. Disse ting er en klar indikation af, at de kunstige aktiver er mere ens end i de foregående trin. X2 Y2 Z2 X2 1 0,888706 0,91493 Y2 0,888706 1 0,91801 135

Z2 0,91493 0,91801 1 Tabel 13.1.8 Korrelationsmatrix for trin 2 Der udføres nu et tredje trin, da de kunstige aktiver stadig er tydeligt forskellige. Der laves igen 3 kombinationer af de kunstige aktier og andelene ses i Tabel 13.1.9. De tre porteføljer med andelene angivet ved k 1, bliver de nye kunstige aktiver. X2-Y2 X2-Z2 Y2-Z2 Nye Navn X3 Y3 Z3 k1 0,4804 0,4019 0,4241 Nytte -0,0049 0,0080 0,0098 Tabel 13.1.9 De kunstige aktiver i trin 3 Det fremgår, at nytten igen er øget for de tre kunstige aktier, da disse er kommet tættere på den optimale løsning. Der udregnes igen middelværdi og standardafvigelse på de kunstige aktiver. Af værdierne i Tabel 13.1.10 ses, at middelværdien og især standardafvigelsen kommer meget tæt på hinanden. X3 Y3 Z3 Middelværdi 0,002442 0,002709 0,002756 Standardafvigelse 0,028564 0,028661 0,028645 Tabel 13.1.10 Middelværdi og standardafvigelse i trin 3 Korrelationerne i trin 3 er ganske tæt på at have en værdi på 1. De kunstige aktier er nu temmelig ens, som det ses i Tabel 13.1.11. X3 Y3 Z3 X3 1 0,973969 0,975981 Y3 0,973969 1 0,980025 136

Z3 0,975981 0,980025 1 Tabel 13.1.11 Korrelationsmatrix i trin 3 Der løses nu et fjerde trin. X3-Y3 X3-Z3 Y3-Z3 Nye Navn X4 Y4 Z4 k1 0,3617 0,3223 0,4671 Nytte 0,0160 0,0160 0,0160 Tabel 13.1.12 Andele og nytte i de nye aktiver Som det kan ses i Tabel 13.1.12 er nytten nu ens og højere end før. Da nytten nu er ens, tyder det på, at de nye kunstige aktier er meget tæt på hinanden og den optimale løsning. Derfor stopper vi for yderligere trin, da vi er tilfredse med den opnåede præcision. X4 Y4 Z4 Middelværdi 0,002612 0,002655 0,002734 Standardafvigelse 0,028454 0,028469 0,02851 Tabel 13.1.13 Middelværdi og standardafvigelse i løsningen I Tabel 13.1.13 ses, at de to første momenter for de tre aktiver er endnu mere ens end før. Af korrelationerne kan det nu ses, at de kunstige aktiver er stort set ens, da den er meget tæt på en værdi på 1. X Y Z X 1 0,991256 0,995114 Y 0,991256 1 0,995811 Z 0,995114 0,995811 1 Tabel 13.1.14 Korrelationsmatrix for løsningsaktiverne 137

Vi er nu i en situation, hvor vi har valgt at stoppe for yderligere trin i analysen, da vi allerede har indskrænket løsningsområdet væsentligt. Da vi er tilfredse med præcisionen, er det næste problem at udlede vægtene af de rigtige aktier i de forskellige kunstige aktier, hvilket gennemgås i det følgende. 13.1.5 Løsning I eksemplet udregnes vægtene af Coca-Cola, Pepsi og Microsoft som linearkombinationer af vægtene i det foregående trin, derved fås de vægte der ses i Tabel 13.1.15. X4 Y4 Z4 X 0,3778 0,2864 0,3129 Y 0,3368 0,4265 0,3656 Z 0,2854 0,2871 0,3215 Tabel 13.1.15 Vægtene af de rigtige aktier i løsningen De 3 kunstige aktiver X4, Y4 og Z4 udgør derved hjørnepunkterne i det område, der indeholder løsningen. Ved at beregne yderligere et trin vil man kunne indsnævre intervallet yderligere, men da nytten på de 3 portføljer er ens ned til 4. decimal er resultatet tilfredsstillende. Hvis man ønsker en eksakt vægt, kan man vælge at kombinere X4, Y4 og Z4 således, at man har 1/3 af hver. Dette giver følgende porteføljeandele. Løsning Vægte Coca-Cola 0,3257 Pepsi Cola 0,3763 Microsoft 0,2980 138

Tabel 13.1.16 Gennemsnitsløsning Man kan ikke sige, at denne løsning er mere optimal end enhver anden i løsningsområdet, men det er et brugbart bud på, hvilke andele investor skal holde af hvert aktiv. I dette eksempel har vi arbejdet med en risikotolerance på 0,03, hvilket er valgt, da det giver resultater, der illustrerer metoden godt. Hvis man forestiller sig, at R er meget stor, så investor er nærmest risikoneutral, da må det forventes, at en meget stor andel skal investeres i Microsoft, idet de har det højeste forventede afkast. Hvis man derimod nedsætter værdien af R, da vil det være sværere at sige noget eksakt om andelene. Men det er sandsynligt, at der vil blive investeret mest i det aktiv, der har lavest standardafvigelse og mindst i det med højest standardafvigelse. Korrelationen kan have en indvirkning i modsatte retning, således at det ikke er muligt at give et eksakt svar. 13.2 Løsning af fleraktivmodellen med mere end 3 aktiver Det er muligt, at generalisere vores model, så den kan benyttes for n aktiver. For hvert ekstra aktiv der medtages i beregningerne, skal der foretages yderligere beregninger, da dette aktiv skal indgå i kunstige porteføljer med hvert af de andre aktiver. Dette vil øge den regnemæssige belastning, og det vil i praksis sætter en øvre grænse for antallet af aktiver, som fleraktivmodellen kan løses med. Det er muligt at øge det antal aktiver, der kan løses for, ved at optimere computerberegningerne, så de tager mindre tid. For at give et bedre overblik over, hvorledes man kan øge antallet af aktiver i modellen, beskrives kort hvordan modellen løses for 4 aktiver. Vi starter med at lave et 3D-Simplex, bestående af 4 aktiver, som vist i Figur 13.2.1. 139

Figur 13.2.1 3D-Simplex Det fremgår at denne simpleks i 3 dimensioner, er opbygget af fire 2-dimensionelle Simplexer. Det kan betragtes som, at man løser fire 3-aktivs problemer. Det viser at kompleksiteten øges, idet hvert af de fire 3-aktivs problemer skal løses med tilstrækkelig høj præcision, i hvert trin. Antagelsen om, at nyttefunktionen er konkav og kontinuert gør, at den fundne løsning vil konvergere mod den optimale løsning. Ved at løse de fire 3-aktivs problemer, fås fire porteføljer af de 4 aktiver. De 4 porteføljer defineres til at være nye kunstige aktiver. De kunstige aktiver sættes som hjørnepunkter i et nyt 3D-Simplex, hvor der igen løses fire tre-aktiv problemer. Den nye under 3D- Simplex ses i Figur 13.2.2. Figur 13.2.2 En 3D simpleks med en under 3D-Simplex 140

Når den nye 3D-Simplex er fundet, starter man forfra ligesom i 3-aktivs modellen. Der løses igen, indtil der er fundet et acceptabelt løsningsområde. Det er muligt at benytte metoden til porteføljeproblemer, hvor antallet af aktiver er større end 4. Her skal der for hvert trin løses for n kombinationer af (n-1)-aktivs problemer. Disse (n-1)-aktiv problemer løses som kombinationer af (n-2)-aktivs problemer og så fremdeles indtil man når kombinationer af 2-aktiv problemer. Det kan fornemmes, at det antal beregninger, der skal udføres i hvert trin, vokser stort med antallet af aktiver. Der er ikke nogen faste øvre grænse for hvor mange aktiver, det er muligt at medtage i beregningerne. Det vil afhænge af den computerkraft man har til rådighed, samt hvor optimeret computerprogrammet er. 13.3 Konklusion på fleraktivsmodellen Vi har i dette afsnit vist at man kan benytte vores 2-aktiv model, til at udlede porteføljeandele for mere end 2 aktiver. Det blev først vist, ved en udførlig gennemgang af et porteføljevalgsproblem med 3 aktiver, der var almindelige aktier med ugentlige afkastdata. Resultatet blev, at der ikke blev fundet en eksakt løsning, men der blevet fundet en tilnærmet løsning, der i de fleste henseender er fuldt acceptabel. Det skyldes at vi har valgt først at stoppe metoden, når nytten på de tre løsninger er ens, og de tre korrelationer mellem de tre kunstige aktiver er på over 0,99. Efter at have vist hvordan modellen løstes for tre aktiver, blev det vist at det er muligt at udvide modellen til mere end tre aktiver. Det eneste der er en forhindring for, at udvide modellen til et stort antal aktiver, er at mængden af beregninger vokser med antallet af aktiver, således at beregningerne vil tage længere tid, for hvert nyt aktiv. I vores program vil det ikke være tilrådeligt at løse for mere end fire aktiver. Det skyldes at metoden i så fald vil tage meget lang tid at udføre, hvilket delvist kan afhjælpes ved en 141

optimering af vores program, med hensyn til søgefunktion, som er beskrevet i afsnit 10.6, hvor der beskrives forbedringsforslag til programmet for løsning af 2-aktiv modellen. 142

14 Konklusion I denne kandidatafhandling har vi udviklet flere modeller til valg af porteføljeandele. Vi har benyttet den beskrevne teori til, at udvikle disse modeller. Der er blevet vist hvordan generelle regler for valg af porteføljeandele kan opstilles. Her tænkes på 50%-reglen samt de regler der er afledt af denne. Det er vist, at det er muligt at udvikle en model til, at sammensætte en portefølje af to aktiver, ved at benytte optimering af en investors nytte. Denne model, som kendes under navnet 2-aktiv modellen, kan udlede de optimale porteføljevægte for 2 risikofyldte aktiver, ved at maksimere en investors nytte. Resultaterne for analysen af denne model viser blandt andet, at porteføljesammensætningen afhænger af hvilken risikotolerance investor har. Jo mere risikoavers en investor er, jo mere ønsker han at diversificere. Et andet interessant resultat kommer fra analysen på ændring af korrelationen. Den viser at det ikke er optimalt at vælge porteføljer, hvor aktiverne har en korrelation, der er meget tæt på 1 eller -1. Maksimum ligger i testen på en korrelationsværdi omkring -0,75. Dette resultat kan bruges til udvælge to aktiver blandt mange, som en investeringsmulighed. Svagheder ved denne model, er dens begrænsning på mængden af aktiver, at aktivernes afkast skal være normalfordelte og at nyttefunktionen har egenskaben af konstant absolut risikoaversion. Mængden af aktiver øges i de næste modeller vi udvikler. Vi udvikler yderligere en model med to risikofyldte aktiver og et risikofrit aktiv. I (2+1)- modellen findes et interresant resultat, idet den minimale nytte, der opnås ved sammensætning af en portefølje med et risikofrit aktiv, altid er mindst ligeså stor, som uden det risikofrie aktiv. Hvis det ene risikofyldte aktiv er dårligere end det risikofrie aktiv, da kan problemet betragtes som et (1+1)-problem. Ved sammenligning af de udviklede modeller med CAPM, fik vi, at vores model finder porteføljeandele, der giver investor større nytte end den løsning der findes med CAPM. Størst nytte opnås med (2+1)-modellen, idet den både overgår 2-aktiv modellen og 143

markedsporteføljen fra CAPM. (2+1)-modellen giver således et bedre resultat end CAPM ud fra et nyttesynspunkt. Med udgangspunkt i 2-aktiv modellen, har vi konstrueret en metode til, at finde optimale porteføljeandele for mere end to risikofyldte aktiver. Vi har vist at en sådan løsning kan findes ud fra et taleksempel med virkelige aktiver. Det betyder, at det på trods af, at 2- aktiv modellen løser for to aktiver, alligevel er muligt at finde løsninger for mere end 2 aktiver. Selvom modellen kan være regnetung for et større antal aktiver, har vi vist at den giver en brugbar optimal løsning. 144

15 Litteraturliste Albright, S. C., Winston, W. L., 2005. Spreadsheet modeling and applications, Essentials of practical management science. Thomson, 1. udgave, 2005. (Albright og Winston, 2005) Anderson, T. W., 1958. An introduction to multivariate statistical analysis. Wiley. (Anderson, 1958) Arrow, K. J., 1964. Aspects of the theory of risk-bearing. Yrjö Jahnssom Lectures, 1964. (Arrow, 1964) Benninga, S., 2000. Financial modeling.the MIT press, 2. udgave, 2000. (Beninga, 2000) Brumelle, S. L., 1974. When does diversification between two investments pay? The journal of financial and quantitative analysis, vol. 9, no. 3 (juni 1974), s. 473 483. (Brumelle, 1974) Cass, D., Stiglitz, J. E., 1972. Risk aversion and wealth effects on portfolios with many assets. The review of economic studies, vol. 39, no.3, juli 1972, s. 331-354. (Stiglitz, 1972) Clark, E., Jokung, O., 1999. A note on Asset Proportions, Stochastic Dominance, and the 50% rule. Management Science, Vol. 45, No.12, December 1999 s. 1724 1727. (Clark og Jokung, 1999) Fishburn, P. C., Lavalle, I. H., 1995. Stochastic Dominance on Unidimensional Grids. Mathematics of Operations Research, vol. 20, no.3, august 1995. (Fishburn og Lavalle, 1995) 145

Friedman, M., Savage, L. J., 1948. The utility analysis of choices involving risk. The journal of political economy, vol. 56, no. 4, august 1948, s. 279-304. (Friedman-Savage, 1948) Greene, W. H., 1997. Econometric Analysis. Prentice-Hall, 3. udgave, 1997. (Greene, 1997) Hadar, J., Seo, T. K., 1988. Asset proportions in optimal portfolios. The review of economic studies, vol. 55, no. 3 (juli 1988), s. 459 468. (Hadar og Seo, 1988) Hadar, J., Seo, T. K., Russell, W. R., 1977. Gains from diversification. The review of economic studies, vol. 44, no. 2 (juni 1977), s. 363 368. (Hadar, Russell og Seo, 1977) Hull, J. C., 2000. Options, Futures & Other Derivatives. Prentice-Hall International Ltd., 4. udgave, 2000. (Hull, 2000) Kreps, D. M., 1988. Notes on the Theory of Choice. Westview Press /Boulder And London. 1. udgave, 1988 (Kreps, 1988) Kronborg, D., Frederiksen, K., Gabrielsen, G., 1998. Fordelinger i Statistik. Institut for Matematisk Erhversøkonomi og Statistik, 2. udgave, 1998. (Kronborg, 1998) Levy, H., 1992. Stochastic dominance and expected utility: Survey and analysis. Management Science, vol. 38, no. 4 (April 1992). (Levy, 1992) Levy, H., Sarnat, M., 1990. Capital Investment & Financial Decisions. Prentice Hall, 4. udgave, 1990 (Levy og Sarnat, 1990) Mayer, J., 1977. Second Degree Stochastic Dominance with Respect to a Function. International economic review, vol. 18, no. 2 (juni 1977), side 477 487. (Mayer, 1977) 146

Samuelson, P. A., 1967. General Proof that Diversification Pays. Journal of Financial and Quantitative Analysis, vol. 2, issue 1 (marts 1967), s. 1 13. (Samuelson, 1967) Sydsæter, K., 1996. Matematisk Analyse, bind 1. Universitetsforlaget, 6. udgave, 2. oplag, 1996. (Sydsæter 1, 1996) Sydsæter, K.,, 1996. Matematisk Analyse, bind 2. Universitetsforlaget, 3. udgave, 4. oplag, 1996. (Sydsæter 2, 1996) Tjur, T., 1998. Sandsynlighedsregning. Institut for Matematisk Erhversøkonomi og Statistik, 4. udgave, 1998. (Tjur, 1998) Tjur, T., 1999. Statistik. Institut for Matematisk Erhversøkonomi og Statistik, 1999. (Tjur, 1999) 147

16 Bilag 1: Matlab-kode til 2-aktiv modellen %Antal simulationer antal_dec=3; %Input af parametrene for X og Y my_x=0.1; sigma_x=0.25; my_y=0.02; sigma_y=0.25; corr=0.25; %Risikotolerance r=0.05; %Intervaller og definition af n interval=0.01; x=-1:interval:1; y=-1:interval:1; n1=length(x); n2=length(y); f=zeros(n1*n2,1); joint_dist=zeros(n1,n2); %Løkke til at finde den fælles fordeling for alle punkterne i x og y for i=1:n1 for j=1:n2; eps_x=(x(i)-my_x)/sigma_x; eps_y=(y(j)-my_y)/sigma_y; m=-1/2*((eps_x.^2+eps_y.^2-corr*eps_x.*eps_y)/(1-corr^2)); h_x_y=exp(m)/(2*pi*sigma_x*sigma_y*(1-corr^2)^(1/2)); joint_dist(i,j)=(interval^2)*h_x_y; end 148

end %Definerede værdier start_k=0; slut_k=1; precision=0.1; antal=(slut_k-start_k+precision)/precision; max_k=zeros(antal,2); %Løkke for 1. decimal index_val=0; for k=start_k:precision:slut_k for i=1:n1 for j=1:n2 w=k*x(i)+(1-k)*y(j); u=1-exp(-w/r); f((i-1)*n1+j,1)=u*joint_dist(i,j); end end index_val=index_val+1; max_k(index_val,1)=sum(f); max_k(index_val,2)=k; end max_k; %Fund af maksimum-værdier max_val=max(max_k(:,1)); [i]=find(max_k==max_val); k=max_k(i,2); %Løkke for flere decimaler for t=2:antal_dec 149

start_k=max(0,k-precision); slut_k=min(1,k+precision); precision=1/10^t; antal=(slut_k-start_k+precision)/precision; max_k=zeros(antal,2); %Løkke til beregning af k index_val=0; for k=start_k:precision:slut_k for i=1:n1 for j=1:n2 w=k*x(i)+(1-k)*y(j); u=1-exp(-w/r); f((i-1)*n1+j,1)=u*joint_dist(i,j); end end index_val=index_val+1; max_k(index_val,1)=sum(f); max_k(index_val,2)=k; end max_k; %Fund af maksimum-værdier max_val=max(max_k(:,1)); [i]=find(max_k==max_val); k=max_k(i,2); end max_val k %Graf af den fælles fordeling mesh(x,y,joint_dist),xlabel('y'),ylabel('x'),zlabel('tæthed (h(x,y))') 150

17 Bilag 2: Matlab-kode til (2+1)-modellen %Antal simulationer antal_dec=3; %Input af parametrene for X og Y my_x=0.1; sigma_x=0.25; my_y=0.02; sigma_y=0.25; corr=0.25; %Afkast på risikofrit aktiv z=0.02; %Risikotolerance r=0.2; %Intervaller og definition af n interval=0.005; x=-1:interval:1; y=-1:interval:1; n1=length(x); n2=length(y); f=zeros(n1*n2,1); joint_dist=zeros(n1,n2); %Løkke til at finde den fælles fordeling for alle punkterne i x og y for i=1:n1 for j=1:n2; eps_x=(x(i)-my_x)/sigma_x; eps_y=(y(j)-my_y)/sigma_y; m=-1/2*((eps_x.^2+eps_y.^2-corr*eps_x.*eps_y)/(1-corr^2)); 151

h_x_y=exp(m)/(2*pi*sigma_x*sigma_y*(1-corr^2)^(1/2)); joint_dist(i,j)=(interval^2)*h_x_y; end end %Definerede værdier start_k1=0; slut_k1=1; start_k2=0; precision=0.1; antal=0; for i=start_k1:precision:slut_k1 antal=antal+(1-i-start_k2+precision)/precision; end max_k=zeros(antal,3); %Løkke for 1. decimal index_val=0; for k1=start_k1:precision:slut_k1 for k2=start_k2:precision:1-k1 for i=1:n1 for j=1:n2 w=k1*x(i)+(k2)*y(j)+(1-k1-k2)*z; u=1-exp(-w/r); f((i-1)*n1+j,1)=u*joint_dist(i,j); end end index_val=index_val+1; max_k(index_val,1)=sum(f); max_k(index_val,2)=k1; max_k(index_val,3)=k2; end 152

end max_k; %Fund af maksimum-værdier max_val=max(max_k(:,1)); [i]=find(max_k==max_val); k1=max_k(i,2); k2=max_k(i,3); %Løkke for 2. decimal for t=2:antal_dec start_k1=max(0,k1-precision); slut_k1=min(1,k1+precision); start_k2=max(0,k2-precision); slut_k2=min(1,k2+precision); precision=1/10^t; antal=0; for i=start_k1:precision:slut_k1 antal=antal+(min(1-k1,slut_k2)-start_k2+precision)/precision; end max_k=zeros(antal,3); %Monte-Carlo løkke index_val=0; for k1=start_k1:precision:slut_k1 for k2=start_k2:precision:min(1-k1,slut_k2) for i=1:n1 for j=1:n2 w=k1*x(i)+(k2)*y(j)+(1-k1-k2)*z; u=1-exp(-w/r); f((i-1)*n1+j,1)=u*joint_dist(i,j); 153

end end index_val=index_val+1; max_k(index_val,1)=sum(f); max_k(index_val,2)=k1; max_k(index_val,3)=k2; end end %Fund af maksimum-værdier max_val=max(max_k(:,1)); [i]=find(max_k==max_val); k1=max_k(i,2); k2=max_k(i,3); end max_val k1 k2 k3=1-k1-k2 %Graf af den fælles fordeling %mesh(x,y,joint_dist),xlabel('y'),ylabel('x'),zlabel('tæthed (h(x,y))'),... % title('fælles fordeling for X og Y') andel_x=k1/(k1+k2) andel_y=k2/(k1+k2) 154