Risikoholdning og valg af porteføljeandele

Handelshøjskolen i København Institut for Produktion og Erhvervsøkonomi Projektvejleder: Lars Thorlund-Petersen Kandidatafhandling på Erhvervsøkonomi-Matematik-Studiet 2004 Risikoholdning og valg af porteføljeandele Af Lau Larsen 080378 Anders Plum 050878

1 Summary in English The main objective of this thesis is to develop models that can choose optimal asset proportions. These models are basing the choice of optimal asset proportions on the use of utility maximization for investors with exponential utility functions. To solve the different models, we have implemented each one in a computersolution. The first step in the solution is obtained, by simulating the returns of risky assets, assuming that the returns are normally distributed. The second step is to simulate the utility that a riskaverse investor will have of different asset proportions. After completing the simulations it is possible to find the asset proportions that maximize the utility of the investor. The theory behind the development of the models includes relations, stochastic dominance, utility theory and risk profiles. To give an overview of the computational basis of the solution, a description of Monte-Carlo simulation is given. In the section about Procentual rules, we give a solution on how it s possible to set up rules to choose asset proportions, especially a 50%-rule. The proportions given are the least amount an investor should invest in one asset, in a portfolio of two assets. The models we have evolved have the objective, to give one optimal solution in a situation where the investor has to choose between two risky assets. One model includes a riskless asset as well, to enhance the investment possibilities. We have named this model the (2+1)-model, while the first is named the 2-asset model. With these models we have shown, that they give a satisfactory solution. This is shown by analysis of different changes in the parameters of the model, which shows how the asset proportions and utility is affected. The two models are then compared with CAPM, where it is shown that the model with the riskless asset included, performs better than the marketportfolio in CAPM, from a utility-maximizing point of view. To make it possible to construct portfolios with more than two risky assets in this framework, we have constructed a method that can combine the solutions from our 2- asset model, to form solutions with a higher number of assets than two. 1

Indholdsfortegnelse 1 SUMMARY IN ENGLISH... 1 2 PROBLEMFORMULERING... 5 3 INDLEDNING... 7 3.1 BASALE BEGREBER... 7 3.2 OPBYGNING AF OPGAVEN... 8 4 RELATIONER... 10 4.2 SPECIFIKKE RELATIONER... 12 5 STOKASTISK DOMINANS... 14 5.1 STOKASTISK DOMINANS AF 1. GRAD... 14 5.1.1 Eksempel på førstegrads dominans... 18 5.2 STOKASTISK DOMINANS AF 2. GRAD... 20 5.2.1 Eksempel på andengrads Stokastisk dominans... 24 5.3 STOKASTISK DOMINANS AF HØJERE GRAD... 28 6 RISIKO PRÆFERENCER...30 6.1 RISIKONEUTRAL... 31 6.2 RISK LOVERS... 32 6.3 RISIKOAVERS... 33 6.4 ANDRE RISIKOTYPER... 34 7 DIVERSIFICERING... 37 7.1 DIVERSIFICERING MED MARKOVITZ MIDDELVÆRDI-VARIANS BEGREB... 37 7.2 BETINGELSER FOR DIVERSIFICERING... 41 7.2.1 Taleksempel... 42 8 PROCENT-REGLER... 45 8.1 50%-REGLEN... 45 8.2 ANDRE REGLER... 50 9 MONTE-CARLO SIMULATION... 52 9.1 METODE... 52 9.1.1 Eksempler... 53 10 PORTEFØLJEVALGSMODEL MED 2 AKTIVER... 60 10.1 METODEBESKRIVELSE... 60 2

10.1.1 Eksempel med fælles tæthed... 62 10.1.2 Grundlag for brug af normalfordeling... 64 10.1.3 Nyttefunktioner...64 10.1.4 Antagelser for 2-aktiv modellen... 65 10.2 METODE TIL AT FINDE RISIKOTOLERANCEN R... 66 10.3 IMPLEMENTERING I MATLAB... 68 10.3.1 Test af præcisionen... 69 10.4 ÆNDRING I PARAMETRENE... 72 10.4.1 Ændring i Standardafvigelsen på begge aktiver... 72 10.4.2 Ændring i Middelværdi på Y... 75 10.4.3 Ændring i Standardafvigelsen på Y... 79 10.4.4 Ændring af Risikotolerancen... 86 10.4.5 Ændring af korrelationen... 88 10.5 KONKLUSION PÅ 2-AKTIV MODELLEN... 99 10.6 FORBEDRINGER TIL PROGRAMMET... 100 11 (2+1)-MODELLEN... 101 11.1 METODEBESKRIVELSE... 102 11.2 IMPLEMENTERING I MATLAB... 103 11.2.1 Nyttefunktion... 104 11.2.2 Gennemgang af programmet... 104 11.3 ANALYSE AF METODEN... 106 11.3.1 Ændring i Middelværdi på Y... 106 11.3.2 Ændring i standardafvigelsen på aktiv Y... 109 11.3.3 Ændring af risikotolerancen... 112 11.3.4 Ændring af korrelationen... 114 11.4 KONKLUSION PÅ (2+1)-MODELLEN... 117 12 TEST AF (2+1)-MODELLEN MOD CAPM... 119 12.1 BESKRIVELSE AF CAPM... 119 12.1.1 Antagelser for CAPM... 119 12.1.2 CML... 120 12.1.3 Metode til at finde markedsporteføljen... 121 12.2 RESULTATER... 122 12.2.1 Porteføljeandele af Microsoft og McDonalds... 122 12.2.2 Porteføljeandele af Pepsi Cola og Coca-Cola... 124 12.3 KONKLUSION PÅ SAMMENLIGNING MED CAPM... 125 13 FLERAKTIVSMODELLEN... 126 3

13.1 TRE AKTIVER... 126 13.1.1 Metode... 126 13.1.2 Normalfordelingsteori... 131 13.1.3 Metode til at udlede porteføljevægtene... 132 13.1.4 Eksempel med Coca-Cola, Pepsi og Microsoft... 133 13.1.5 Løsning... 138 13.2 LØSNING AF FLERAKTIVMODELLEN MED MERE END 3 AKTIVER... 139 13.3 KONKLUSION PÅ FLERAKTIVSMODELLEN... 141 14 KONKLUSION... 143 15 LITTERATURLISTE... 145 16 BILAG 1: MATLAB-KODE TIL 2-AKTIV MODELLEN... 148 17 BILAG 2: MATLAB-KODE TIL (2+1)-MODELLEN... 151 4

2 Problemformulering I denne kandidatafhandling viser vi, at det er muligt, at opstille en model for valg af porteføljer, med udgangspunkt i bestemte nyttefunktioner, der giver et bedre resultat end CAPM. Vi fokuserer på metoder til at vælge mellem to aktiver X og Y. Blandt andet viser vi, at der er generelle regler, der kan anvendes af grupper af agenter med samme risikoprofil. Som eksempel på sådan en regel, kan nævnes 50%-reglen: Kan det siges om en risikoavers person (u 0) at denne altid vil vælge mindst 50% af aktiv X, hvis han har valget mellem aktiv X og Y. Som værktøj til metoderne i afhandlingen, benyttes stokastisk dominans af første, anden og tredje grad, samt nyttefunktioner. Til udledning af fordelinger tages computersimulation i brug og der benyttes optimeringsmetoder til at løse problemer omkring porteføljevalg. Vi beskriver teorien bag stokastisk dominans og risikotype hos agenter samt områder inden for diversificering. Derudover beskrives også anden teori, når vi finder det nødvendigt. Vi udvikler en model, der kan løse porteføljevalgsproblemer for 2 risikofyldte aktiver. Denne model undersøges og det vurderes om den kan benyttes til at finde optimale porteføljer. Dernæst udvikler vi en model der også inkluderer et risikofrit aktiv. Dette er med henblik på at øge valgmulighederne for en investor og for at kunne sammenligne med CAPM-modellen (Markedsporteføljen). Grunden til, at vi udvikler disse to modeller er, at vi ikke kender modeller til valg af porteføljer, med mere end et risikofyldt aktiv, som benytter nytteoptimering til at finde aktivernes vægte. Derudover giver denne type model en potentiel investor en eksakt løsning på porteføljevalgsproblemet. 5

For at sætte de fundne modeller i perspektiv, vil vi sammenligne dem med porteføljevalgsmodellen CAPM, idet den er den mest udbredte og kendte porteføljevalgsmodel. Målet er, at vise, at de modeller vi udvikler, er mere optimale, at bruge for en risikoavers investor. Det gør vi ved at beskrive, hvorledes vores model tager højde for den enkelte investors nyttefunktion, i modsætning til CAPM. Som en afslutning vil vi vise, hvordan de udviklede modeller kan udvides til, at benyttes til valg af porteføljer med mere end to risikofyldte aktiver. Her er målet at finde en enkel metode, der kan benyttes på empiriske afkast for kendte aktier. 6

3 Indledning Der vil ofte være investerings-situationer, hvor beslutninger skal foretages på et usikkert grundlag. Forkerte beslutninger kan koste dyrt. Det er derfor hensigtsmæssigt at finde metoder til at vurdere, hvilke beslutninger der er bedst at tage. Vores fokus i denne opgave er at finde nye metoder til at beslutte, hvordan en investor skal sammensætte en portefølje af finansielle aktiver. Der er flere metoder at vælge imellem til dette formål, og den mest udbredte er CAPM. Det har dog vist sig empirisk, at CAPM ikke er fejlfri, og ikke giver en entydig portefølje, idet der blot findes en efficient rand, hvor alle porteføljer er lige gode. Vi ønsker at finde metoder, der kan undgå disse problemer og give et mere entydigt resultat. Derfor har vi valgt at udvikle metoder, der med udgangspunkt i bestemte grupper af investorers nyttefunktioner kan beregne det optimale valg af porteføljesammensætning. 3.1 Basale begreber Der er tre basale begreber i nytte-teori. Det er nyttefunktioner, forventet nytte og risikopræferencer, der belyses i opgaven. Dette er essentielt, da der er en sammenhæng imellem disse begreber. Nyttefunktioner repræsenterer, hvilken nytte et individ opnår ved at besidde en bestemt formue, det kan være penge eller andre værdifulde aktiver. Det forudsættes, at ethvert individ ønsker, at opnå den størst mulige nytte, og dette vil influere på enhver beslutning. Hvis der skal investeres i et sikkert aktiv, vil aktøren vide hvilken nytte, der vil opnås ved denne investering, og han vil foretage investeringen, hvis nytten er større, end hvis investeringen ikke foretages. Så længe der kun arbejdes med sikre investeringer, er optimering af nytten nogenlunde ligetil. Når der kommer et usikkerhedselement ind i billedet, da er det nødvendigt at vurdere, hvad den forventede nytte af en investering er. Den forventede nytte findes ved at finde nytten af alle sandsynlige udfald af en investering og derefter vægte dem med deres sandsynlighed. Ved at finde den forventede nytte af en investering kan en investor sammenligne med 7

nytten af ikke at investere, og derved vælge om den usikre investering skal foretages. Forventet nytte kan også anvendes til at sammenligne forskellige usikre investeringer. Ved at finde den forventede nytte for to usikre investeringer, kan investoren se, hvilken han vil få størst forventet nytte af, og derved hvilken han bør vælge. Det lyder ligetil at finde den forventede nytte af usikre investeringer, men det kan ofte være vanskeligt at finde en investors nøjagtige nyttefunktion. Der er nogen overordnede kategorier, som investorens potentielle nyttefunktioner kan findes i. Han kan være risikoavers, risiko-neutral eller risiko-lover. Disse kategorier dækker meget bredt, og der er mange forskellige typer nyttefunktioner, som en investor kan have. De omtalte kategorier er de, der kaldes individets risikopræferencer. Investorer med forskellige risikopræferencer vil ikke have samme forventede nytte af en usikker investering. Derfor er det vanskeligt at anbefale en bestemt type investering til alle investorer, da det langt fra er sikkert, at alle vil få øget nytten. 3.2 Opbygning af opgaven Målgruppen til denne kandidatafhandling forventes at have en indsigt i økonomi, matematik og statistik, der svarer til niveauet på en højere universitetsuddannelse, hvor matematik og økonomi indgår. Teorien som beskrives her, er den som menes at gå udover, hvad der forventes af målgruppens faglige viden. Store dele af teorien bygger på følgende litteratur: (Sydsæter 1, 1996), (Sydsæter 2, 1996), (Tjur, 1998) og (Tjur, 1999). Der vil, så vidt det er muligt omfang, blive benyttet danske udtryk og betegnelser, men da ikke alle udtryk har en korrekt dansk oversættelse, vil der forekomme engelske udtryk i teksten. For at lette forståelsen af metoderne til valg af porteføljesammensætning, starter vi med en gennemgang af den benyttede teori. Denne teori er beskrevet fra afsnit 4 til afsnit 7. 8

I afsnit 4 gennemgås vigtige begreber inden for relationer. Afsnit 5 behandler teorien omkring stokastisk dominans, med beskrivelser af de forskellige grader af dominans. I afsnit 6 gennemgås risikopræferencer og forskellige risikotyper for investorer. Diversificering bliver beskrevet og analyseret i afsnit 7. Efter teoriafsnittene, gennemgås i afsnit 8, procent-regler for porteføljevalg, med fokus på 50%-reglen. I afsnit 9, gennemgås teorien omkring Monte-Carlo, der er baggrund for computerberegningerne til løsning af de udviklede modeller. Afsnit 10, 11 og 13 gennemgås de modeller vi har udviklet til valg af porteføljeandele. Det er henholdsvis 2-aktivs modellen, (2+1)-modellen og fleraktivsmodellen, der bliver beskrevet. I afsnit 12, sammenlignes vores (2+1)-model og 2-aktiv model med CAPM. Konklusion og litteraturliste er at finde i afsnit 14 og 15 og herefter følger bilagene med programkoderne. For at opnå en kontinuitet i metodebeskrivelserne, vil vi i opgaven arbejde os fra de simple modeller frem til de mere avancerede modeller. Vi arbejder os fra modeller med 2 aktiver frem til n aktiver. For at få et resultat der er nemt at fortolke på, har vi valgt primært at beskæftige os med den klasse af nyttefunktioner, der hedder eksponentielle nyttefunktioner. Det gør vi da denne type nyttefunktioner kun har en variabel, der bestemmer en investors risikoprofil. Denne variabel er let at udlede. På baggrund af den beskrevne teori og disse nyttefunktioner udvikles modellerne til porteføljevalg. 9

4 Relationer For at give en forståelse af, hvordan agenters præferencer kan rangordnes, bliver præferencerelationer gennemgået i det følgende. Disse præferencerelationer er et vigtigt grundlag for teorien omkring stokastisk dominans og risikoholdning, så de bliver beskrevet, da det er vigtigt at have definitionerne på plads. Vi tager udgangspunkt i teori beskrevet af Kreps (Kreps, 1988). Både hvordan han fremstiller relationer samt deres egenskaber. Der beskrives egenskaber for forskellige relationer, hvor B står for en givet relation (Eksempelvis relationen = ) og B står for den negerede relation (Eksempelvis ). Der findes en lang række egenskaber som relationer kan besidde. I det følgende er beskrevet begreber om relationer der er værd at kende: Refleksiv, hvis xbx for alle x X Irrefleksiv, hvis x B ~ x for alle x X Symmetrisk, hvis xby medfører ybx Asymmetrisk, hvis xby medfører y B ~ x Antisymmetrisk, hvis xby og ybx medfører x = y Transitiv, hvis xby og ybz medfører xbz Negativt transitiv, hvis x B ~ y og y B ~ z medfører x B ~ z Komplet/Forbundet, hvis der gælder for alle x, y X at xby eller ybx eller begge dele. Svagt komplet/svagt forbundet, hvis der gælder for alle x, y X at xby eller ybx eller x = y Acyklisk hvis x1 Bx2, x2bx3, x n 1Bxn medfører x1 xn For at lette forståelsen af ovenstående begreber beskrives en række illustrative eksempler. Der gennemgås 4 simple eksempler, som illustrerer sammenhænge hvor de fleste af relationerne optræder, samt hvilke restriktioner de overholder og hvorfor de gør det. 10

4.1.1.1 Eksempel: X er lig med alle mennesker i Danmark og B er relationen deler mindst et navn Her kan det se at relationen B er refleksiv og symmetrisk. Den er refleksiv, da alle personer, x, står i relation med sig selv, fordi alle x deler mindst et navn med sig selv. Den er symmetrisk, da hvis person x deler mindst et navn med person y, så deler person y også mindst et navn med person x. 4.1.1.2 Eksempel: X er lig med alle naturlige tal, og B er relationen større end eller lig med ( ) Her er relationen B refleksiv, antisymmetrisk, transitiv, negativt transitiv, komplet og svagt komplet. Denne relation er refleksiv, fordi et tal x altid er lig med sig selv. Den er antisymmetrisk, da et naturligt tal x, der er større end et tal y ikke også vil være mindre end y. Hvis et tal x er større end eller lig et tal y, som så samtidig er større end eller lig med et tredje tal z, så vil x være større end eller lig med z, hvilket gør relationen transitiv. Relationen er negativt transitiv, da det gælder at hvis et tal x er mindre end eller lig et tal y, som samtidig er mindre end eller lig et tal z, så vil x være mindre end eller lig z. Relationen er komplet og svagt komplet, da et tal x altid vil værre større end eller lig med et andet tal y eller omvendt. 4.1.1.3 Eksempel: X R og B er relationen xby hvis x y > 1 Her er relationen B irrefleksiv og symmetrisk. Den er irrefleksiv, fordi den numeriske værdi af to tals difference skal være større end 1, da må de to tal i alle tilfælde være forskellige. Relationen er symmetrisk, da den numeriske værdi af forskellen på x og y altid vil være ens, selvom x og y byttes. 11

4.1.1.4 Eksempel: X R og B er relationen xby hvis x y Z Her er relationen B refleksiv, symmetrisk og transitiv. B er refleksiv da et tal x fratrukket sig selv altid giver 0, som er et heltal. Relationen er symmetrisk, da det gælder, at hvis et tal y subtraheret fra et andet tal x giver et helt tal, så vil x subtraheret fra y også give et heltal. Transitiviteten skyldes, at hvis x y skal give et helt tal, så skal alle decimaler være ens. Det samme gælder for y z og derved vil dette også gælde for x z. Eksempelvis vil 5,3 4,3 være et helt tal og 4,3 2,3 være et helt tal. Så vil 5,3 2,3 også være et helt tal. I afsnit 5 beskrives Stokastisk dominans, som er en præferencerelation, der er refleksiv, antisymmetrisk, transitiv og negativt transitiv. 4.2 Specifikke relationer En meget brugbar relation i forbindelse med nyttefunktioner er stærkt foretrækker. Det skrives som x y, hvis x er stærkt foretrukket frem for y, samt som x / y, hvis x ikke er stærkt foretrukket frem for y. Denne relation har følgende egenskaber: Asymmetri: Hvis x foretrækkes frem for y, så foretrækkes y ikke også frem for x. Denne egenskab gør det muligt at rangordne x og y. Transitivitet: Denne egenskab gør, at alle medlemmer af en mængde kan rangordnes, da det gælder, at når x y og y z, så er x z. Irrefleksivitet: Et element vil ikke foretrækkes frem for sig selv, da det ikke gælder, at x x. Negativ transitivitet: Dette gør, at x ikke foretrækkes stærkt frem for z, når det gælder at x / y og y / z. 12

En interessant egenskab er, at man ud fra relationen kan konstruere to andre relationer, som er interessante i denne sammenhæng: x y : Denne relation konstrueres ud fra y / x x ~ y : Denne relation svarer til x / y x / y I megen litteratur bliver relationen konstrueret udfra, altså omvendt af hvad vi gør. Dette gælder især inden for den mikroøkonomiske litteratur, hvor sammenhængen er beskrevet som: x y : bliver konstrueret ud fra x y x / y Relationen kaldes for svagt foretrukket, og den er komplet og transitiv. Denne relation bruges om elementer, hvor x y blot betyder, at x altid foretrækkes mindst lige så meget som y. Den anden relation ~ kaldes for indifferens, og den har egenskaberne refleksiv, symmetrisk og transitiv. Dette er for de tilfælde, hvor et element ikke foretrækkes frem for et andet. Man kan ud fra disse tre relationer udlede følgende egenskaber: x y x y x~ y x y hvis x y x~ y w x, x~ y, y z w y x z Vi vil løbende i opgaven benytte de beskrevne relationer og begreber, uden at komme videre ind på det. 13

5 Stokastisk Dominans I dette afsnit opsummeres teorien bag stokastisk dominans, med udgangspunkt i artikler omhandlende stokastisk dominans af Haim Levy (Levy, 1992), af J. Mayer (Mayer, 1977) samt (Hadar, Russell og Seo, 1988). Stokastisk dominans er et vigtigt værktøj i de analyser og modeller, der opstilles senere og det er som tidligere nævnt en præferencerelation, hvilket vil fremgå af den følgende gennemgang. Stokastisk dominans er en metode til at rangordne fordelinger og den findes i varianter fra 1. grads dominans til n te grads dominans. Det er en partiel relation, der er refleksiv, antisymmetrisk, transitiv og negativt transitiv. Dette følger af, at det er en relation mellem to kontinuerte fordelinger af reelle tal. Vi har valgt at belyse den svage form for stokastisk dominans, hvor der ikke er krav om, at A altid foretrækkes strengt frem for B, der skal blot være indifferens. Den svage form vælges da det også er interessant at medtage relationer mellem aktiver, hvor der kan eksistere indifferens. Dette betyder så i princippet, at A vil kunne stokastisk dominere A. Det vil derfor forudsættes i følgende gennemgang, at stokastisk dominans kun vil gælde, hvis A B. Når der forekommer stokastisk dominans af en bestemt grad, vil alle højere grader af stokastisk dominans være gældende. F.eks. hvis A førstegrads dominerer B, så vil A også andengrads dominere B osv. 5.1 Stokastisk dominans af 1. grad For at få et overblik over hvad stokastisk dominans er, beskrives 1. grads dominans først. 1. grads dominans er den stærkeste form for dominans og der er færrest krav der skal være opfyldt for at den gælder. For at beskrive 1. grads dominans (FSD), kigges på to aktiver, X og Y. X har tæthedsfunktionen f(x) og Y har tæthedsfunktionen g(x). Så er Y 1. ordens domineret af X, hvis og kun hvis: 14

c c 5.1.1 g( x) dx f ( x) dx c u ' 0 Fordelingsfunktionen for g(x) skal være større end eller lig fordelingsfunktionen for f(x). Dette betyder med andre ord, at X altid har større sandsynlighed end Y for at give det største afkast. For at dette skal gælde, skal det samtidig gælde at alle agenter har mindst lige så stor nytte ved et øget afkast, hvilket vil sige at den 1. afledte af nytten skal være større end eller lig 0 (u 0). En anden måde at se FSD på er ved at betragte den forventede nytte for alle afkast, da skal det gælde at: 5.1.2 Eu( X ) Eu( X ) F G u U1 Hvor U 1 er alle u, hvor u 0. Hvis dette gælder vil X dominere Y. Det er muligt at opstille sammenhængen mellem (5.1.1) og (5.1.2), ved at betragte ekstreme funktioner der er elementer i den repræsentative mængde U 1. Et sådant element defineres som: 5.1.3 0 for ( ) w u c c w = 1 for w> c Dette er en såkaldt trappefunktion, der er en ægte delmængde af mængden af positivt voksende funktioner. Dette er en ekstrem funktion, da den kun betragter agenter, som enten har en nytte på nul eller på en, alt efter om værdien w af et aktiv ligger over eller under en bestemt værdi c. Der findes ingen nyttefunktioner i mængden af positivt voksende ikke-stigende funktioner, med en mindre hældning end trappefunktionen, da c den har en 1. afledt på u' = 0, w c. Alle agenter med en u ( w ) nyttefunktion vil have en nytte, der ikke falder med afkastet, og de er derfor med i U 1. 15

0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 u(w) 0,3 0,2 0,1 0-0,1-0,2 w Figur 5.1.1 Tre ekstreme trappefunktioner givet ved u c (w) Ved at betragte flere trappefunktioner, kan man få et billede som i Figur 5.1.1. Her ses tre forskellige trappefunktioner. Ved at kombinere disse trappefunktioner opnås en sammensat nyttefunktion, som vist i Figur 5.1.2. Ved at betragte denne sammensatte funktion ses det, at man ved at øge antallet af trappefunktioner, kommer tættere på en differentiabel og konkav nyttefunktion, som vil være perfekt ved et uendeligt antal trappefunktioner. Derved illustrerer figuren, at en trappefunktion er en tilnærmelse til en differentiabel funktion, og det ses at trappefunktionen kan bruges som ekstrem-funktion for u 1 (w). 16

1,6 1,4 1,2 1 u(w) 0,8 0,6 0,4 0,2 0-0,2 w Figur 5.1.2 Kombinationer af trappefunktioner fra u c (w) c Ved at betragte nyttefunktionen u ( w ) fra 5.1.3 for aktiv X og Y, kan det ses at nytten ved aktiv Y vil være mindst lige så stor som nytten ved aktiv X, hvis værdien af Y højst er den samme som værdien af X. Dette gælder for alle værdier af c. Derfor vil det også gælde for alle andre positive ikke-stigende nyttefunktioner, da denne trappefunktion er mest ekstrem i U 1. Denne relation for den forventede nytte ses i 5.1.2, der ved omskrivning giver: 5.1.4 Eu( X ) Eu( X ) Eu( X ) Eu( X ) 0 F G F G Ligeledes kan man slutte, at hvis aktiv X har en tæthedsfunktion, der for alle afkast op til en værdi c altid er mindre end tæthedsfunktionen for aktiv Y, så vil en investor med en C u ( w) - nyttefunktion altid foretrække X mindst lige så meget som Y, da værdien af aktiv X altid vil være mindst lige så stor som for aktiv Y. Denne svage relation er den samme som ses i 5.1.1. En omskrivning af 5.1.1 giver: 17

c c c 5.1.5 g( x) dx f ( x) dx ( g( x) f ( x)) dx 0 c Det følger dermed at 5.1.4 og 5.1.5 er analoge med hinanden. Dette er et interessant resultat, da man derved kan vælge både at betragte stokastisk dominans ud fra en investors forventede nytte af to aktiver, eller man kan afgøre stokastisk dominans ved hjælp af fordelingen af afkast for de to aktiver. 5.1.1 Eksempel på førstegrads dominans For bedre at kunne forstå idéen bag stokastisk dominans følger her et lille eksempel med 2 aktiver, X og Y. Vi har benyttet et eksempel med afkastet for de to aktiver over otte tidsperioder. De to aktivers afkast ses i Tabel 5.1.1, aktiv X har en middelværdi på 0,01625, mens aktiv Y har en middelværdi på 0,00625. Der er benyttet ækvidistante afkast til at repræsentere de to aktiver. Hver observation vægter med 1/n, altså 1/8 i dette tilfælde. Denne metode er før beskrevet af Fishburn og Lavalle (Fishburn og Lavalle, 1995) Tid X Y 1-0,01-0,02 2-0,02 0,03 3 0,04 0,02 4 0,03 0,02 5 0-0,03 6 0,04-0,01 7 0,02 0,01 8 0,03 0,03 Tabel 5.1.1 Afkast for de to aktiver 18

Det undersøges nu om et af aktiverne dominerer det andet, for at afgøre om det ene kan siges at foretrækkes frem for det andet, ud fra definitionen for FSD. For at undersøge stokastisk dominans af første grad antages det, at alle agenter har en nytte, der stiger med afkastet. De kumulative sandsynligheder findes ved at rangordne observationerne. Fordelingen af afkastene kendes ikke, hvilket gør, at der bruges diskrete observationer for den kumulative sandsynlighed. x X Y -0,03 0 0,125-0,02 0,125 0,25-0,01 0,25 0,375 0 0,375 0,375 0,01 0,375 0,5 0,02 0,5 0,75 0,03 0,75 1 0,04 1 1 Tabel 5.1.2 Akkumulerede punktsandsynligheder I Tabel 5.1.2 ses de akkumulerede punktsandsynligheder ved hver x-værdi. Det gælder for alle x-værdier at Y(x) X(x). Dermed er kravet i 5.1.6 opfyldt, hvormed aktiv A stokastisk dominerer aktiv B af første grad. Det er i eksemplet antaget at fordelingen er kontinuert, selvom den i virkeligheden er diskret. c c 5.1.6 g( x) dx f ( x) dx x u ' 0 Grafisk ser den akkumulerede sandsynlighed ud som i følgende figur: 19

1,2 Akkumulerede punktsandsynligheder 1 0,8 0,6 0,4 0,2 Y X 0-0,03-0,02-0,01 0 0,01 0,02 0,03 0,04 x Figur 5.1.3 Eksempel på diskret akkumuleret sandsynlighedsfunktion for 2 aktiver Som det kan ses så er den akkumulerede sandsynlighed for Y altid mindst lige så stor som for X. Af grafen kan intuitionen ses ved at sandsynlighedsmassen for afkast på Y ligger mere i den negative del af x-aksen end afkast på X. Derfor vil en investor med u 0 altid foretrække X frem for Y, da Y, for alle afkast altid har en mindst lige så stor sandsynlighed som X, for at få det laveste afkast. 5.2 Stokastisk dominans af 2. grad FSD tager ikke højde for agenternes risikopræferencer, idet deres nytte blot skal øges, hvis afkastet øges. Hvis agenter med en mere specifik type risikoprofil skal inkluderes i konceptet om stokastisk dominans, skal der tilføjes yderligere restriktioner på agenternes nyttefunktioner. For risikoaverse agenter gælder, at nyttefunktionen er konkav, dvs. den anden afledte af nyttefunktionen er negativ (u 0). Det skal også stadig gælde at u 0. 20

Den Stokastiske dominans af 2. grad (SSD) er som tidligere nævnt en svagere form for dominans end FSD, der stiller et krav om, at agenterne er risikoaverse. Ved at afgrænse dominans-begrebet til investorer med en bestemt risikoprofil, vil der være en større mængde aktiver, hvor Stokastisk dominans begrebet kan bruges til at rangordne dem end ved FSD alene. For SSD gælder, at alle risikoaverse agenter foretrækker aktiv X frem for aktiv Y, hvis og kun hvis: c c 5.2.1 G( x) dx F( x) dx c u ' 0, u '' 0 F(x) og G(x) er stamfunktionerne for f(x) og g(x) fra afsnit 5.1, der er fordelingsfunktionerne for hhv. aktiv X og aktiv Y. Disse betingelser angiver Stokastisk dominans af 2. grad. Ved i stedet at betragte den forventede nytte, vil det gælde, at SSD er opfyldt når: 5.2.2 Eu( X ) Eu( X ) F G u U 2 Hvor U 2 er alle u, hvor u 0 og u 0. Dette kan fortolkes således, at SSD er opfyldt, når nytten for F(x) er større end nytten for G(x) for alle nyttefunktioner tilhørende risikoaverse agenter. Det er muligt at opstille sammenhængen mellem 5.2.1 og 5.2.2 ved følgende fremgangsmetode. Mængden af alle risikoaverse agenter er repræsenteret ved U 2 = {u u er ikke-aftagende, kontinuert og konkav på [0,1] og ' u + (0) < }. Én ægte delmængde af U 2 er defineret som U c, hvor det gælder om alle elementer: 21

5.2.3 c w-c for w c u ( w) =, hvor 0 < c< 1 0 for w> c Denne funktion ser ud som i Figur 5.2.1 1 0,5 0 c u(w) -0,5-1 -1,5-2 w Figur 5.2.1 Graf for u c (w), med et knæk i punktet c Man kan kombinere flere ekstreme funktioner fra u c (w), hvorved man får en funktion som vist i Figur 5.2.2. Det kan ses, at dette giver en mere glat funktion og ved sammensætning af uendeligt mange ekstreme funktioner fra u c (w) fås en differentiabel og konkav nyttefunktion. 22

u(w) w Figur 5.2.2 Kombination af ekstremfunktioner fra u c (w) Theorem 1 (Hadar og Seo, 1988) siger, at enhver agent i U c foretrækker X frem for Y, hvis og kun hvis enhver agent i U 2 foretrækker X frem for Y. Beviset for dette er at lade F og G repræsentere tæthedsfunktionen for hhv. aktiv X og aktiv Y. Så kan den forventede nytte for X skrives som: 5.2.4 1 c u ( x) df( x) = ( x c) df( x) 0 0 c Ved at foretage en partiel integration af højresiden fås: 5.2.5 c ( x c) df( x) = F( x) dx 0 0 c 23

Dette kan også udledes for aktiv Y, derved fås: 5.2.6 1 u ( x) d[ F( x) G( X)] = [ G( x) F( x)] dx 0 c 0 c Ved en omskrivning af 5.2.1 fås c c c 5.2.7 G( x) dx F( x) dx [ G( x) F( x)] dx 0 Og af 5.2.2 da den forventede nytte for en investor fra U c er u c (w) fås sammenhængen i 5.2.8 5.2.8 c Eu( X ) Eu( X ) Eu( X X ) = u ( x) d( F( x) G( x)) 0 F G F G 1 0 Dermed følger det af 5.2.6, at der er en sammenhæng mellem 5.2.1 og 5.2.2, ved kun at betragte 5.2.1 for værdier af x > 0. 5.2.1 Eksempel på andengrads Stokastisk dominans Til dette eksempel på 2. grads dominans benyttes samme type eksempel som i afsnit 5.1.1. Det, som vi ønsker at vise er, at selvom der ikke eksisterer dominans af 1. grad imellem to aktiver, så kan der stadig eksistere dominans af højere grad. Dette skyldes, at FSD er den stærkeste form for stokastisk dominans, mens SSD er svagere, da denne type har et større krav på typen af risikopræferencer, som en investor skal besidde. Kravet er, at investoren er risikoavers (u 0 og u 0), hvilket er den risikoprofil, der er mest fremherskende blandt investorer. Der er blevet ændret lidt på afkastene i forhold til eksemplet i afsnit 5.1.1, da FSD ikke skal være opfyldt her. De nye afkast for aktiv X og Y i 8 perioder ses i Tabel 5.2.1. 24