Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 1 09-04-011 1 Eksmensopgve ugust 009 Opgve 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 Givet ovenstående ensvinklede treknter. D treknterne er ensvinklede, er de også ligednnede, dvs. t der findes en forstørrelsesfktor k. Beregning f k D siderne og 1 svrer til hinnden (idet de ligger over for lige store vinkler), kn k beregnes med 1 formlen k =. De oplyste tl indsættes: 17 k = 10, Beregning f A 1 B 1 D siderne c og c 1 svrer til hinnden fås med formlen c1 = k c ved indsætning: 17 c 1 = 5,7 = 9,50 10, A B = 9,5 1 1 Beregning f AC b1 D siderne b og b 1 svrer til hinnden fås med formlen b = ved indsætning: k 16,5 16,5 10, b = = = 9,90 17 17 10, A B = 9,9 1 1 Opgve Det er oplyst, t ntllet f dibetikere (y) er en lineær funktion f ntllet f år efter 001 (x) i perioden 001-005. For perioden er følgende oplyst:
Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 09-04-011 3 4 5 6 7 8 9 30 31 3 33 34 35 36 37 38 39 40 41 4 43 Beregning f prmetre y y1 D der er tle om en lineær funktion, benyttes formlen: =. Heri indsættes de oplyste tl, idet x x1 årstllene omregnes til x-værdier ved t beregne differensen mellem årstllet og 001: 06000 156000 = 4 0 = 1500 D b er begyndelsesværdien for en lineær funktion, fås umiddelbrt, t b = 156.000 Hvornår psserer ntl dibetikere 75.000? k b Først beregnes hvilken x-værdi der svrer til y-værdien 75.000 med formlen: x =. De kendte tl indsættes: 75000 156000 x = = 9,5 1500 Det vil sige, t 9,5 år efter 001 forudsiger modellen, t ntllet f dibetikere vil være 75.000. Hvis udviklingen fortsætter, psserer ntllet f dibetikere 75.000 i løbet f 010. Forudsætning: De oplyste tl gælder pr. 1/1. 1 Opgve 3 Om et indestående på en bnkbog er det oplyst: K = K 0? n = 16.593, 71 n = 5 r =,04% Beløbet, der blev st ind (K 0 ) Kn Formlen K0 = Benyttes; ved indsætning f de oplyste tl fås: n (1 + r) 16593, 71 K 0 = = 14.999,999 5 (1 + 0, 004) Der blev indst 15.000,00 kr. 1 I denne type opgver er svret flydende, fordi det ikke er oplyst, om de oplyste tl er pr. 1/1 eller pr. 31/1 eller gennemsnitstl eller noget helt 4.
Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 3 09-04-011 44 45 46 47 Renten den nye bnk I den nye bnk gælder: K0 = 16.593, 71 K = 18.749, 00 n n = 4 r =? Rentestsen beregnes med formlen: Kn r = n 1; de kendte tl indsættes: K 0 48 49 50 r = 18.749,00 4 1 = 1,0309 1 = 0,0309 16.593, 71 I den nye bnk er rentestsen 3,1 % Opgve 4 51 5 53 54 55 56 Histogrm Histogrmmet tegnes med GeoGebr. De benyttes en liste L_1 ={15,, 0,, 50}med intervlgrænserne og en liste L_={,5 ; 9,1; ; 0,9} med intervlfrekvenserne. Det bemærkes, t lle intervlbredder er lig store ( nemlig 5). Histogrmmet tegnes med kommndoen histogrm[l_1,l_] 57
Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 4 09-04-011 58 Medin 77 50 3 59 60 61 6 63 64 65 66 67 68 På sumkurven flæses med de røde pile fr 50 % til lderen 3 år, t medinen er 3 år Det betyder, t hlvdelen f kvinderne, der blev indlgt for spontn bort, vr under 3 år (og t hlvdelen vr over (præcist) 3 år.) Procentdelen over 37 år Med de blå pile (strtende i 37 år) ses, t 77 % f kvinderne vr under 37 år: Herf følger., t resten (f 100 %) er over 37 år. Dvs.: 3 procent f kvinderne vr over 37 år Opgve 5 69
Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 5 09-04-011 70 71 7 73 74 75 76 77 78 79 80 81 8 83 84 85 86 87 88 89 90 91 9 93 94 95 96 97 98 Antl indbyggere i 009 D 009 er 14 år efter 1995, benyttes modellen og y-værdien svrende til x=14 beregnes: 14 y = 10,5 1,044 = 19,18 Ifølge modellen er indbyggertllet Lgos i 009 19, mio. indbyggere Fordoblingstiden log() Fordoblingstiden for en eksponentiel funktion beregnes med formlen: T = log( ). Heri indsættes værdien for, som den fremgår f modellen: = 1,044: log() T = = 16,09 log(1, 044) Fordoblingstiden er ltså 16,1 år Prmetrenes betydning 10,5 (b) er ntllet f indbyggere (i millioner) i Lgos i modellens begyndelsesår: 1995. 1,044 () er vækstfktoren, dvs. det tl, mn skl multiplicere årets indbyggertl med for t finde det følgende års indbyggertl. Det svrer til, t indbyggertllet i Lgos vokser med 4,4 % hvert år. Opgve 6 Beregning f v v beregnes i den retvinklede ADC. D treknten er retvinklet, kn jeg benytte: 1 hk hk = hyp cos( v) v = cos. De oplyste tl indsættes: hyp 1 4,5 v = cos = 5,84 5 v = 5,8 Beregning f relet f ABC hk Først beregnes AB i den retvinklede ABC. Jeg benytter igen hk = hyp cos( v) hyp =, hvori cos( v) de oplyste tl indsættes: 4, 5 4,5 AB = 7,58 7,3 cos( A) = cos( 5,8 ) = = Arelet beregnes nu med formlen (der gælder for lle treknter): T = ½ b c sin( A), hvori de kendte tl indsættes: T = ½ 4,5 7,3 sin( 5,8) = 1,81 Dvs. relet f ABC er 1,8
Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 6 09-04-011 99 100 101 10 103 104 105 106 107 108 109 110 111 11 113 114 115 116 117 118 119 Opgve 7 For en potensfunktion y = b x, hvis grf går gennem punkterne P(10,19)og Q(5,11) beregnes prmetrene. y log y1 For en potensfunktion benyttes formlen: = ; de kendte koordinter indsættes: x log x1 11 log 19 = = 0,596 5 log 10 = 0,60 y1 b beregnes med formlen: b =, hvori indsættes de kendte tl: x1 10 b = = 75, 08 0,60 19 b = 75,03 Opgve 8 Hos et mobiltelefonselskb koster er der en fst månedlig fgift på 30 kr.; desuden betles 0,85 kr. pr smtleminut. Model Ld x være ntl smtleminutter i en måned og f(x) den tilsvrende (totle) udgift (målt i kroner). f(x) = 0,85x + 30 Den lineære model er vlgt, fordi udgiften stiger med det smme beløb for hvert minut der tles mere. Smmenligning f to selskber Helt tilsvrende kn regneforskriften for det ndet selskb findes: g(x) = 0,99x + 0 De minuttl, hvor selskberne er lige dyre findes ved t løse ligningen: f(x) = g(x) f ( x) = g( x) 0,85x + 30 = 0, 99x 0,85x + 30 0,85x = 0,99x 0,85x 30 0,14x 30 0,14x = 0,14 0,14 14, = x
Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 7 09-04-011 10 11 Regnet i hele minutter, skl mn mindst tle i 15 minutter pr. måned, hvis det første selskb skl være billigst.