Borel-σ-algebraen. Definition (EH 1.23)

Transkript

1 Borel-σ-algebraen Definition (EH 1.23) Borel-σ-algebraen B k på R k er σ-algebraen frembragt af de åbne mængder O k. Andre frembringersystemer for B k : De afsluttede mængder. De åbne kasser I k (k = 1, de åbne intervaller). De åbne kasser I k 0 med rationale hjørner (EH 1.24). For k = 1, intervallerne af formen (, b], se EH opgave 1.6(d). Generelt, kasserne af formen (, b 1 ]... (, b k ], se EH opgave 4.7 til på mandag. I EH omtales mængder af mængder, såsom O k og I k såvel som σ-algebraer o.a. som brolægninger (pavings). Slide 1/11 Niels Richard Hansen MI forelæsninger November 10, 2014

2 Lebesguemålet på R k Definition (EH 2.20) Lebesguemålet m k på (R k, B k ) er det mål, der opfylder m k ((a 1, b 1 )... (a k, b k )) = for a i < b i, i = 1,..., k. k (b i a i ) (1) i=1 For at definitionen er meningsfuld kræves det at vi beviser at (1) entydigt bestemmer lebesguemålet (onsdag), og at vi beviser eksistensen af et mål på B k med egenskaben (1) (Kapitel 6 i Schilling). Slide 2/11 Niels Richard Hansen MI forelæsninger November 10, 2014

3 Det abstrakte lebesgueintegral (X, E, µ) er et målrum. Theorem (Konsekvens af EH 6.12) For f : X [0, ] målelig gælder f dµ = lim n s n dµ med s n erne simple funktioner, og s n f for n. Definition (EH 7.1) En målelig funktion f : X R er integrabel hvis f dµ <, og i så fald defineres f dµ = f + dµ f dµ. Slide 3/11 Niels Richard Hansen MI forelæsninger November 10, 2014

4 Lebesgueintegralet mht. lebesguemålet på R Konkret beregning af lebesgueintegralet mht. m på (R, B) udføres via riemannintegraler og stamfunktioner. Theorem (EH 7.15) Hvis f : R R er målelig og egentligt riemannintegrabel over [a, b], så er b f dm = f (x) dx. [a,b] Ovenfor betegner højresiden riemannintegralet. I dette kursus skelner vi ikke fremadrettet mellem riemanintegralet og lebesgueintegralet notationsmæssigt, når de er ens. I praksis når f er kontinuert på [a, b]. a Slide 4/11 Niels Richard Hansen MI forelæsninger November 10, 2014

5 Planintegraler R y f B B f dm 2 =? x Slide 5/11 Niels Richard Hansen MI forelæsninger November 10, 2014

6 Planintegraler Lebesgueintegralet B f dm 2 = 1 B f dm 2 er veldefineret for B B 2 og f målelig og positiv eller integrabel. Men I har umiddelbart ingen værktøjer til konkret udregning af integralet... Slide 6/11 Niels Richard Hansen MI forelæsninger November 10, 2014

7 Eksempler Ladet materiale: Mængden B repræsenterer et ladet objekt, f.eks. et stykke metal, og funktionen f er ladningstætheden (coulomb per kvadratmeter, Cm 2 ) hen over objektet. Størrelsen 1 f dm 2 m 2 (B) B er den gennemsnitlige ladning over objektet. Forurening: Mængden B repræsenterer en grund, der er blevet brugt til imprægnering af jernbanesveller med tjære. Tjære indeholder en række sundhedsskadelige kemikalier, bl.a. PAHs (polycyclic aromatic hydrocarbons). Funktionen f er koncentrationen af PAHs (gram per kvadratmeter, gm 2 ). Størrelsen 1 f dm 2 m 2 (B) B er den gennemsnitlige forurening af grunden. Slide 7/11 Niels Richard Hansen MI forelæsninger November 10, 2014

8 Målinger af ladningstætheden y x Slide 8/11 Niels Richard Hansen MI forelæsninger November 10, 2014

9 Prøver fra byggegrund y x Fem jordprøver: 25, 0, 42, 89, 57 gm 2 PAH. Slide 9/11 Niels Richard Hansen MI forelæsninger November 10, 2014

10 Beregning og approksimation af integralet Hvis vi har en analytisk formel for f ønsker vi analytiske værktøjer til beregning af integralet f dm 2. B Hvis vi derimod kun har målinger/observationer af f (x i, y i ) i visse punkter (x i, y i ) hvorledes kan vi så approksimere integralet? Er gennemsnittet 1 n f (x i, y i ). n brugbart? i=1 Slide 10/11 Niels Richard Hansen MI forelæsninger November 10, 2014

11 Sandsynlighedsmål En stor del af kurset handler om målrum (X, E, ν) hvor ν(x ) = 1. Sådanne mål kaldes sandsynlighedsmål. Gennemsnittet 1 f dm 2 = f dν m 2 (B) B er et integral mht. sandsynlighedsmålet ν = m 2 (B) 1 m 2 B. Vi skal diskutere fortolkningen af sandsynlighedsmål som modeller for data, indføre deskriptive værktøjer til at sammenholde data med mål, konstruere væsentlige eksempler, herunder den flerdimensionale normalfordeling, og vise to klassiske hovedresultater; store tals lov og den centrale grænseværdisætning. Slide 11/11 Niels Richard Hansen MI forelæsninger November 10, 2014