Rettevejledning til Økonomisk Kandidateksamen 2008II. Kvantitative Metoder 2: Tag-hjem eksamen

Transkript

1 Rettevejledning til Økonomisk Kandidateksamen 008II Kvantitative Metoder : Tag-hjem eksamen Der skal for hver studerende foretages en samlet bedømmelse af tag-hjem gruppeopgaven og den individuelle -timers prøve uden hjælpemidler. Vurderingsgrundlaget for tag-hjem eksamen er selve opgavebesvarelsen og bilaget. Programmer og data bedømmes som sådan ikke, men er anvendt f.eks. til at opklare eventuelle følgefejl og lignende i besvarelsen og til at checke at der ikke er sket samarbejde udenfor den enkelte gruppe. Det indgår i vurderingen, om besvarelsen samlet set er konsistent og indenfor de angivne rammer formår at belyse den overordnede problemstilling, der rejses i opgaven. I opgaveteksten er det anført, at besvarelsen højst bør fylde 1 sider (inkl. forsiden) og derudover 0 sider bilag. Overskrides dette omfang, skal det vægtes negativt i den samlede bedømmelse. Hvor der udføres hypotesetest forventes der redegjort for de opstillede hypoteser, den anvendte teststatistik og fordeling samt signifikansniveauet for testet (i rettevejledningen benyttes 5% signifikansniveau hvis ikke andet er nævnt). Henvisninger i rettevejledningen henviser til lærebogen Wooldridge Introductory Econometrics, 3. udgave, hvis intet andet er nævnt. Opgaven besvares ud fra individualiserede datasæt. Hvor der i vejledningen er angivet konkrete numeriske resultater og konklusioner, er disse baseret på afleveringsnummer 117. Resultater for andre eksamensnumre kan fås ved at køre det vedlagte SAS program VEJL008II.sas med det relevante afleveringsnummer og de udleverede macro- og data-filer. Konklusioner med andre afleveringsnumre vil derfor kunne afvige fra denne vejledning. Opgave 1 a) Data beskrives ved en tabel, som angiver gennemsnit, varians (eller standardafvigelse) samt evt. min og max for variablerne i model (1.1). Hovedtræk i data og eventuelle afvigende observationer kommenteres. For de klimarelaterede variabler bør gennemsnit og variation kommenteres. For de jordbundmæssige forhold bør karakteren af de enkelte variabler kommenteres (indeks eller andel, min/max). Tabellerne kan evt. opdeles efter værdierne af dry og antallet/andelen i hver kategori kommenteres. b) Standardafvigelsen beregnes eller aflæses af tabellen fra 1 a). 700 ekstra graddage svarer til en ændring i dd på 7. Variationen over amter målt på standardafvigelsen er 13,5. Den forventede ændring i nedbør er 1, tommer og variationen over amter for nedbørsmængden målt på standardafvigelsen er 8,7 tommer. For begge klimarelaterede variabler ligger den forventede ændring altså indenfor rammerne af den nuværende variation over tværsnittet. c) Graddage-ændringen dd_pred-dd_7000 skal beregnes og opdeles på de nævnte intervaller. Kompliceres af, at værdien af dd_7000 er uoplyst for visse amter som bør sorteres fra i beregningen. En ukorrigeret beregning vil give for mange amter med temperaturfald. 1

2 Opgave Kontingens tabel opstilles for graddage-intervaller og regionerne north, cent, south, west. Der udføres et χ -test for nulhypotesen, at fordeling mellem graddage-intervaller er homogen over regioner overfor et generelt alternativ. Testet har en meget lav p-værdi. Nulhypotesen om homogenitet afvises meget klart. Tendens til generelt høje værdier i south og west, relativt lave værdier af temperaturændringen i north og cent. Det forventede antal amter er lavt i kategorierne med forventede temperaturfald og ligger under det krævede for gyldigheden af χ -testet. Man kan evt. slå de to laveste kategorier sammen. Konklusionen på testet er uændret. Alle observationer skal anvendes. a) Model (1.1) skal beskrives med konkret henvisning til de variabler, der indgår (kontinuerte variabler, kvadratiske transformationer, interaktionseffekt med dummyvariabler så der er separate effekter af klimarelaterede variabler for dry og irr amter) uden at inddrage estimerede værdier af koefficienter, standardfejl, forklaringsgrad, eller lignende. Alt andet lige fortolkning af β 1 er den forventede profitforskel i USD i samme periode mellem et amt uden hhv. med udbredt kunstvanding, givet at værdierne af graddage og nedbør begge er nul og jordbundsforhold holdes uændrede i sammenligningen. Parameteren er således svær at fortolke (på linie med konstantleddet). β 13 er alt andet lige forskellen i forventet profit mellem et amt, som alene har sandjord og et amt helt uden (en ændring på én i salt). β og β 3 er parametre i en parabel, som angiver sammenhængen mellem profit og graddageantal (målt i hundreder) for et amt uden udbredt kunstvanding. Må betragtes under et. Den marginale effekt er β + β 3 dd, som er lig nul for dd = β /( β 3). Hvis der er positiv marginalprofit (som følge af øget afgrødevækst) ved lave værdier af dd, men afgrøderne lider skade af alt for høje temperaturer, forventes en parabel med benene nedaf og maksimum for en positiv værdi af dd, svarende til at de forventede fortegn er β > 0 ogβ 3 < 0. b) Tabellen skal opstilles med begge typer standardfejl. Kommentarerne bør gå på forventet fortegn. Hvis der kommenteres på signifikans må det ske med udgangspunkt i de robuste standardfejl, da MLR.5 endnu ikke er afprøvet. c) Nulhypotesen er homoskedasticitet, alternativhypotesen er at variansen afhænger af de forklarende variabler. i) Plottet udføres og kommenteres konkret i relation til MLR.5. Spredningen på residualerne er tydeligt voksende i den forventede profit. Konklusion: Heteroskedasticitet. ii) Alle de indledningsvist nævnte forhold vedr. det anvendte test skal kommenteres. Hypotesetest udføres jf SAS programmet og på baggrund af F-test størrelsen eller nr må det konkluderes, at der er heteroskedasticitet.

3 d) Testene bør udføres på grundlag af den robuste kovariansmatrix for OLS estimatoren i lyset af konklusionen under c). Alle tre hypoteser omfatter flere restriktioner og må derfor testes med et robust Wald test. F-test på grundlag af den almindelige OLS kovarians bør betragtes som en væsentlig mangel ved besvarelsen. Nulhyposen afvises på et 5 % signifikansniveau i alle tre tilfælde. e) i) På grundlag af OLS estimaterne skal der laves en graf som sammenligner den estimerede sammenhæng mellem forventet profit og dd i de to grupper af amter og tilsvarende for forventet profit og prcp. ii) OLS estimaterne viser en parabel med benene nedaf undtagen for nedbørsmængden for amter med kunstvanding. De profitmaksimerende niveauer er defineret ved dd max = βˆ ˆ /( β 3 ) hhv. prcp max = βˆ ˆ 4 /( β 5 ) for dry amter og dd max = βˆ ˆ 6 /( β 7 ) for irr amter. Der eksisterer ikke noget profitmaksimerende nedbørsniveau for amter med kunstvanding. iii) De konkrete værdier af de profitmaksimerende niveauer skal beregnes. For dry (amter uden udbredt kunstvanding) ligger det optimale graddageantal tæt på gennemsnittet, mens den optimale nedbørsmængde er højere end gennemsnittet og tæt på maksimum for disse amter. For irr (amter med udbredt kunstvanding) ligger det optimale graddageantal langt over gennemsnittet. f) i) Amterne opdeles på grundlag af dry status i 00. Gennemsnit af dd_7000 og prcp_00 beregnes. Da dd_7000 er uoplyst for nogle amter kan man enten beregne gennemsnit på al tilgængelig information eller kun for de amter, hvor alle nødvendige oplysninger foreligger. Beregn den forventede ændring ved at indsætte de beregnede gennemsnit hhv. gennemsnit plus IPCC-1 ændringerne 7 (i hundreder graddage) og 1, (tommer nedbør) og beregne forskellen (idet alt andet holdes uændret). Både for dry og irr amter finder man et fald i profitten. ii) Kommentaren bør bemærke: (Gyldighed) Ikke alle de estimerede koefficienter som indgår i beregningen er signifikante. (Relevans) De forudsatte IPCC-1 ændringer ligger indenfor variationen i de observationer, som modellen er beregnet på (der er således ikke tale om at extrapolere udenfor stikprøveværdierne). Men estimationen bygger på det sammensatte tværsnit og udnytter både variationer over amter og over tid indenfor det enkelte amt. (Gyldighed/relevans) Variationer over tid indenfor det enkelte amt kan givetvis betragtes som exogene (ikke korrelerede med uobserverede forhold med betydning for profitten). Tvivlsom antagelse for variationen over amter. Eksempelvis varierer afgrødetyper og dyrkningsmetoder (ud over kunstvanding eller ej): Afgrødevalget er ikke tilfældigt men optimeres ud fra temperatur- og nedbørsforhold (hvede dyrkes mod nord og appelsiner mod syd), men den maksimale profit pr. acre er ikke nødvendigvis lige stor for begge afgrøder. Afgrødetype kunne således være en potentiel udeladt variabel og gyldigheden af MLR.4 antagelsen er tvivlsom. I givet fald giver OLS et parameterskøn som er skævt i forhold til at forudsige effekten af klimaforandringer over tid. Der bør nævnes mindst et eksempel. (Gyldighed) Andre årsager til manglende konsistens: De øvrige MLR.1,,3 betingelser bør kort kommenteres. 3

4 Opgave 3 a) Profitten er opgjort som et gennemsnit over alle dyrkede arealer i et amt. Dvs. et gennemsnit af de tilfældige variationer, som indgår i et tænkt mark-specifikt fejlled. Problemstillingen svarer til Wooldridge p. 89: Hvis gennemsnittet beregnes over et større areal vil de individuelle variationer i nogen grad blive jævnet ud og i højere grad jo større areal. Derfor kan man forvente heteroskedasticitet på amtsbasis. En metode der korrigerer for dette er weighted least squares med 1/fland som variansstyrende variabel. Metoden skal beskrives. b) Weighted least squares med 1/areal som variansstyrende variabel svarer til at udføre en proc reg med fland som weight variabel. Der skal opstilles en tabel med estimerede WLS koefficienter og standardfejl/t-værdier og tilsvarende OLS resultater fra opgave (her bør de robuste standardfejl/t-værdier angives; mindre betydende fejl hvis de almindelige OLS standardfejl/t-værdier anvendes). Forskelle mellem estimater og estimaternes signifikans skal kommenteres. c) WLS er konsistent under de samme betingelser som OLS (MLR.1-4). Kritikken af OLS vedrørende gyldigheden af MLR.4 gælder også for WLS. Hvis vægtningen i WLS netop fjerner heteroskedasticiteten, vil WLS være efficient mens OLS er inefficient og WLS foretrækkes i så fald. Besvarelsen skal skelne mellem konsistens og efficiens. Vurderingen af WLS kan evt. underbygges med et test eller et grafisk tjek for heteroskedasticitet i den vægtede regression. Opgave 4 a) Standardafvigelsen på ændringen fra 1997 til 00 for hver variabel rapporteres i tabel. De jordbundsmæssige forhold ændrer sig ikke over tid. Kan derfor ikke indgå i en førstedifferens estimation. Øvrige variabler fra (1.1) viser nogen variation over tid. Ved sammenligning med tværsnitsvariationen i 00 fra opgave 1 fremgår det, at variationen over tid er væsentligt mindre. b) Regressionen udføres uden de tids-invariante variabler. Tabel til sammenligning af estimater på tids-varierende variabler i opgave 3 og 4 opstilles. For første-differens estimaterne bør de robuste standardfejl rapporteres i lyset af opgave. Evt. kan der anvendes WLS inspireret af opgave 3 (kompliceres af, at det dyrkede areal indenfor det enkelte amt varierer mellem årene). Forskelle mellem estimater og estimaternes signifikans skal kommenteres. Der er nu omvendt parabel for nedbør både i dry og irr amter, om end ikke alle effekter er signifikante. c) i) For: Hvis der er en fixed effect i fejlleddet, som er korreleret med eller flere forklarende variabler vil OLS eller WLS på det sammensatte tværsnit ikke være konsistent. En førstedifferens estimation vil derimod automatisk korrigere for enhver tidsinvariant faktor (observeret eller uobserveret). Imod: Koefficienter til tids-invariante variabler (fx jordbundsforhold) er ikke identificeret i første-differens modellen. Hvis der faktisk ingen amtspecifik effekt er, vil OLS på det 4

5 sammensatte tværsnit vil være efficient (givet at MLR.1-5 holder for niveaumodellen ). Hvis der er klassiske målefejl i de forklarende variabler bliver begge estimatorer inkonsistente. Målefejlsbiasen forstærkes af første-differens transformationen. I den konkrete problemstilling: Der er udeladte variabler (ex afgrødetype) som givetvis er korrelerede med variationer i temperatur og nedbør over tværsnittet, fx mellem nordlige stater og sydlige stater. I det omfang at de er konstante over tid forsvinder sådanne forhold ved første-differens estimation. Variationer i temperatur og nedbør over tid er mere sandsynlige kandidater til exogene variabler set i forhold til ændringer over tid i fejlleddet i (1.1). Målefejlsproblemet: Temperatur og nedbør måles formentlig kun i et vist antal målestationer indenfor det enkelte amt. Påvirkningen af den enkelte mark er således målt med fejl. ii)der skal her tages udgangspunkt i førstedifferens estimater af β1, β,..., β9og konsekvenser for profit pr. acre af IPCC ændringen beregnes som i opgave f (alt andet holdes uændret). Resultatet er, at den negative effekt for dry amter bliver halveret, mens den negative effekt i irr amter noget nær ti-dobles ifølge første-differens estimaterne. Bør her eller andetsteds i opgaven ledsages af kommentar til, at resultatet delvist bygger på insignifikante estimater. iii)der skal igen tages udgangspunkt i førstedifferens estimater af β1, β,..., β9og konsekvenser af Hadley- fremskrivningen set i forhold til 00-udgangspunktet beregnes for hvert amt og summeres over alle.50 amter. Resultatet er negativt. Opgives i milliarder USD. Bør her eller andetsteds i opgaven ledsages af kommentar til, at resultatet delvist bygger på insignifikante estimater. Opgave 5 Her fokuseres på et konkret resultat af den hidtidige analyse. Det afgørende er at det præciseres, hvilket resultat det er man efterprøver, at valget motiveres (hvorfor det kan være interessant at se på netop dette aspekt af resultaterne, se fx i introduktionen), og at analysen kan gennemføres ud fra det givne datasæt. Den valgte model bør skrives op med symboler. Det mest oplagte valg er at fokusere på den gennemsnitlige profiteffekt i IPCC-1 scenariet eller den samlede profitændring i Hadley- scenariet. Variablerne i datasættet giver blandt andet mulighed for at undersøge, om modellen kan antages at have ens parametre på tværs af de fire regioner, north, cent, south, west. Første-differens modellen fjerner enhver konstant regionseffekt, men der kan være forskelle i effekten af klimarelaterede variabler mellem regionerne. Analysen kan udføres på grundlag af en model med interaktioner med regionsdummyer. Alternativt kan man fx se på, om der skulle være outliers i data med stor betydning for de estimerede effekter. Endelig vil det være relevant at analysere en udgave af første-differens modellen, hvor insignifikante led er udeladt. 5

6 Opgave 6 I dette spørgsmål skal de studerende vise, at de har overblik over de forskellige modeller og resultaterne. For at kunne udpege det foretrukne sæt af estimater skal de kunne gøre rede for, hvordan de enkelte modeller forholder sig til hinanden. Denne diskussion vil trække på svarene fra opgave f, 3c og 4c. De analyserede modeller har hver deres svagheder, men første-differens estimaterne er robuste overfor udeladte tidsinvariante faktorer og foretrækkes derfor. Selvom de forventede klimaændringer ligger indenfor rammerne af den aktuelle tidsvariation i temperatur og nedbør, må man være skeptisk overfor at bruge første-differens estimaterne på grundlag af kortsigtede variationer som grundlag for at forudsige 100 år frem i tiden. Klimaændringerne vil antageligt ske gradvist og have en permanent karakter. Landbruget vil derfor i nogen grad kunne tilpasse sig med hensyn til afgrøder og dyrkningsmetoder. Ud fra dette argument vil det beregnede fald i profitten være et underkantsskøn. Hertil kommer effekten af permanente priseffekter som følge af klimaændringerne, som modellen ikke tager højde for. 6