Sandsynlighedsregning & Statistik

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Sandsynlighedsregning & Statistik"

Transkript

1 Sandsynlighedsregning & Statistik for matematikstuderende Jørgen Larsen 2006 Roskilde Universitet

2 Teksten er sat med skriften Kp-Fonts ved hjælp af KOMA- Script og LATEX. Tegningerne er fremstillet med METAPOST. Oktober 2010.

3 Indhold Forord 7 I Sandsynlighedsregning 11 Indledning 13 1 Endelige udfaldsrum Grundlæggende definitioner Punktsandsynligheder 17 Betingede sandsynligheder og fordelinger 18 Uafhængighed Stokastiske variable Uafhængige stokastiske variable 28 Funktioner af stokastiske variable 30 Fordelingen af en sum Eksempler Middelværdi Varians og kovarians 40 Eksempler 43 Store Tals Lov Opgaver Tællelige udfaldsrum Grundlæggende definitioner Punktsandsynligheder 50 Betingning, uafhængighed 51 Stokastiske variable Middelværdi Varians og kovarians Eksempler Den geometriske fordeling 56 Den negative binomialfordeling 58 Poissonfordelingen Opgaver Kontinuerte fordelinger Grundlæggende definitioner Transformation af fordelinger 68 Betingning Middelværdi Eksempler

4 4 Indhold Eksponentialfordelingen 71 Gammafordelingen 72 Cauchyfordelingen 73 Normalfordelingen Opgaver Frembringende funktioner Grundlæggende egenskaber Sum af et stokastisk antal stokastiske variable Forgreningsprocesser Opgaver Generel teori Hvorfor generalisere og aksiomatisere? II Statistik 97 Indledning 99 6 Den statistiske model Eksempler Enstikprøveproblemet for 01-variable 102 Den simple binomialfordelingsmodel 103 Sammenligning af binomialfordelinger 104 Multinomialfordelingen 105 Enstikprøveproblemet i poissonfordelingen 107 Ligefordeling på et interval 108 Enstikprøveproblemet i normalfordelingen 108 Tostikprøveproblemet i normalfordelingen 110 Simpel lineær regression Opgaver Estimation Maksimaliseringsestimatoren Eksempler Enstikprøveproblemet for 01-variable 117 Den simple binomialfordelingsmodel 118 Sammenligning af binomialfordelinger 118 Multinomialfordelingen 119 Enstikprøveproblemet i poissonfordelingen 120 Ligefordeling på et interval 120 Enstikprøveproblemet i normalfordelingen 121 Tostikprøveproblemet i normalfordelingen 122 Simpel lineær regression Opgaver Hypoteseprøvning Kvotienttestet Eksempler Enstikprøveproblemet for 01-variable 129 Den simple binomialfordelingsmodel 129 Sammenligning af binomialfordelinger 130 Multinomialfordelingen 132 Enstikprøveproblemet i normalfordelingen 133 Tostikprøve-

5 Indhold 5 problemet i normalfordelingen Opgaver Nogle eksempler Rismelsbiller Grundmodellen 139 En dosis-respons model 141 Estimation 142 Modelkontrol 143 Hypoteser om parametrene Lungekræft i Fredericia Situationen 147 Modelopstilling 147 Estimation i den multiplikative model 149 Den multiplikative models beskrivelse af data 151 Ens byer? 152 En anden mulighed 154 Sammenligning af de to fremgangsmåder 156 Om teststørrelser Ulykker på en granatfabrik Situationen 158 Den første model 158 Den anden model Den flerdimensionale normalfordeling Flerdimensionale stokastiske variable Definition og egenskaber Opgaver Lineære normale modeller Estimation og test, generelt Estimation 171 Test af hypotese om middelværdien Enstikprøveproblemet Ensidet variansanalyse Bartletts test for varianshomogenitet Tosidet variansanalyse Sammenhængende modeller 181 Projektionen på L Test af hypoteser 183 Et eksempel Regressionsanalyse Formulering af modellen 190 Estimation af parametrene 191 Hypoteseprøvning 193 Om faktorer 193 Et eksempel Opgaver A En udledning af normalfordelingen 199 B Nogle resultater fra lineær algebra 203 C Tabeller 207 D Ordlister 217 Litteraturhenvisninger 221

6 6 Indhold Alfabetisk register 223

7 Forord Sandsynlighedsregning og statistik er to emneområder der dels studeres på deres egne betingelser, dels optræder som støttefag eller hjælpefag i en række sammenhænge, og den måde man bør formidle fagenes indhold på, afhænger i høj grad af hvem der er målgruppen. Denne bog er ikke skrevet til personer der specialiserer sig i sandsynlighedsregning og/eller statistik, og heller ikke til personer der har brug for statistik som støttefag, men derimod til personer der som led i en generel matematikuddannelse skal vide noget om sandsynlighedsregning og statistik. Forskellige udkast til bogen har i en årrække været anvendt på RUCs matematikuddannelse. Ved tilrettelæggelsen af undervisningsforløb der introducerer til sandsynlighedsregning, er det et stadigt tilbagevendende spørgsmål hvor meget (eller måske snarere hvor lidt) vægt man skal lægge på en generel aksiomatisk fremstilling. Hvis der er tale om en almen introduktion der henvender sig til en ikke nødvendigvis matematisk interesseret eller kvalificeret målgruppe, er der ikke så meget at være i tvivl om den målteoretiske aksiomatisering à la Kolmogorov skal ikke med, eller den kan måske blive nævnt i en diskret fodnote. Men når der er tale om en del af en matematikuddannelse, stiller sagen sig anderledes; her kan der være en god pointe i at studere hvordan den almindeligvis»genstandsløse«matematikformalisme fungerer når man ønsker at etablere et sæt byggesten til en helt bestemt slags modelleringsopgaver (modellering af tilfældighedsfænomener), og det kan derfor være på sin plads at beskæftige sig med fundamentet for den matematiske teoribygning. Sandsynlighedsregning er afgjort en matematikdisciplin, og statistik må siges at være overordentlig matematik-involveret. Men begge emneområder er, hvad angår deres matematikindhold, organiseret væsentlig anderledes end»almindelige«matematiske emneområder (i hvert fald dem som normalt indgår i undervisningsprogrammer), fordi de i overvejende grad er styret/reguleret af at de skal kunne bestemte ting, f.eks. bevise Store tals Lov og Den centrale Grænseværdisætning, og kun i mindre grad af de gældende internt matematiske normer for hvordan teoriområder skal opbygges og præsenteres, og man vil eksempelvis gå fejl af mange pointer hvis man tror at sandsynlighedsregningen (den målteoribasererede sandsynlighedsregning)»bare«er et specialtilfælde af 7

8 8 Forord emneområdet mål- og integralteori. Endvidere vil den der skal sætte sig ind i emneområderne sandsynlighedsregning og statistik, hurtigt opleve at man skal benytte begreber, metoder og resultater fra vidt forskellige»traditionelle«matematikområder, og dette er formentlig én grund til at sandsynlighedsregning og statistik opfattes som svært. Fremstillingen er på traditionel vis delt op i en sandsynlighedsregningsdel og en statistikdel. De to dele er temmelig forskellige i stil og opbygning. Del I præsenterer sandsynlighedsregningens grundlæggende begrebsdannelser og tankegange og de sædvanlige eksempler, men sådan at stofmængden holdes i meget stramme tøjler. Først vises hvordan sandsynlighedsregning i Kolmogorovs aksiomatisering ser ud når man holder sig til endelige udfaldsrum derved holdes mængden af matematiske besværligheder på et minimum, uden at man behøver give afkald på at kunne bevise de formulerede sætninger ved hjælp af det givne teoriapparat. Derefter udvides teorien til tællelige udfaldsrum, eller i hvert fald til udfaldsrummet N 0 forsynet med σ-algebraen af alle delmængder; her er det stadig muligt at bevise»alle«sætninger, selv med et beskedent matematisk apparatur (det forventes at læseren har kendskab til teorien for uendelige rækker), men man får dog indblik i nogle af vanskelighederne ved uendelige udfaldsrum. Den formalistiske aksiomatiske tilgang fortsættes imidlertid ikke i kapitlet om kontinuerte fordelinger på R og R n, dvs. fordelinger som har en tæthedsfunktion, og nu er der ikke længere tale om at alle påstande bevises (blandt andet ikke sætningen om transformation af tætheder, der snarere bør bevises i et analysekursus). Del I afsluttes med to lidt anderledes kapitler, dels et kapitel der behandler et mere afgrænset område, nemlig frembringende funktioner (inklusive lidt om forgreningsprocesser), dels et kapitel der kort giver nogle antydninger af hvordan og hvorfor man beskæftiger sig med sandsynlighedsmål på generelle udfaldsrum. Del II præsenterer den klassiske matematiske statistik baseret på likelihoodfunktionen: de statistiske modeller er bygget op af almindelige standardfordelinger og et beskedent antal parametre, estimatorerne er som hovedregel maksimaliseringsestimatorer, og hypoteserne testes med likelihoodkvotienttests. Fremstillingen er bygget op med et kapitel om begrebet statistisk model, et kapitel om estimation og et kapitel om hypoteseprøvning; disse kapitler er forsynet med en række eksempler der viser hvordan teorien tager sig ud når den anvendes på bestemte modeltyper eller modeller, og eksemplerne fortsætter ofte fra det ene kapitel til det andet. Efter denne teoriorganiserede fremstilling følger et eksempelorienteret kapitel med tre større gennemregnede eksempler der illustrerer den generelle teori. Del II afsluttes med en introduktion til teorien for lineære normale modeller formuleret i lineær algebra-sprog, i god overensstem-

9 9 melse med en henved 40-årig tradition inden for dansk matematisk statistik. Roskilde i august 2006 Jørgen Larsen

10 10

11 Del I Sandsynlighedsregning

12

13 Indledning Sandsynlighedsregning er en disciplin der beskæftiger sig med en matematisk formalisering af dagligdagsbegreberne sandsynlighed og tilfældighed og dertil knyttede delbegreber. I første omgang kan man måske studse over at der overhovedet skulle kunne gives en matematisk formalisering af tilfældighed: hvis noget er tilfældigt, er det så netop ikke unddraget muligheden for en eksakt beskrivelse? Ikke ganske. Erfaringen viser at i hvert fald nogle typer af tilfældighedsfænomener og tilfældighedseksperimenter udviser betydelige grader af regelmæssighed når man gentager dem et stort antal gange, det gælder f.eks. kast med terninger og mønter, roulettespil og andre former for»lykkespil«. For at kunne tale nærmere om tingene er vi nødt til at indføre forskellige begreber og betegnelser; i første omgang er de lidt upræcise, men senere vil de få en præcis matematisk betydning (som forhåbentlig ikke er alt for fjern fra dagligsprogets). Tilfældighedseksperimentet giver når det udføres, et resultat af en slags, f.eks. resulterer terningkastet i at terningen viser et bestemt antal øjne; et sådant resultat kaldes et udfald. Mængden af mulige udfald kaldes udfaldsrummet. Sandsynligheder er reelle tal der giver en kvantitativ beskrivelse af visse træk ved tilfældighedseksperimentet. Et simpelt eksempel på et sandsynlighedsudsagn kunne være»sandsynligheden for at terningkastet giver udfaldet fem øjne, er 1 / 6 «; et andet eksempel kunne være»sandsynligheden for at det bliver snevejr juleaften, er 1 / 20 «. Hvad betyder sådanne udsagn? Nogle mennesker hævder at sandsynlighedsudsagn skal fortolkes som udsagn der beskriver forudsigelser om udfaldet af et bestemt fremtidigt fænomen (f.eks. snevejr juleaften). Andre mener at sandsynlighedsudsagn beskriver den relative hyppighed hvormed det pågældende udfald indtræffer når tilfældighedseksperimentet (f.eks. terningkastet) gentages igen og igen. Den måde som sandsynlighedsregningen formalisereres/aksiomatiseres på, er i høj grad inspireret af at sandsynlighed skal kunne fortolkes som relativ hyppighed i det lange løb, men den er ikke bundet til denne bestemte fortolkning. Sandsynlighedsregningen benytter sig af den simple mængdelæres notationer og begreber dog med visse ændrede betegnelser, jf. oversigten på næste side. En sandsynlighed eller mere præcist et sandsynlighedsmål vil blive defineret som en afbildning fra en vis definitionsmængde ind i de reelle tal. Hvad definitions- 13

14 14 Indledning Oversigt over forskellige begreber fra mængdelæren og deres betegnelse inden for sandsynlighedsregningen. Typisk notation Sandsynlighedsregning Mængdelære Ω udfaldsrum; grundmængde, univers den sikre hændelse den umulige hændelse den tomme mængde ω udfald element i Ω A hændelse delmængde af Ω A B både A og B fællesmængden af A og B A B enten A eller B foreningsmængden af A og B A \ B A men ikke B differensmængde A c den modsatte hændelse til A komplementærmængden til A, dvs. Ω \ A mængden skal være, er måske ikke ganske klart; eller rettere, i første omgang ville man jo nok tro at den ganske enkelt skulle være udfaldsrummet, men det giver problemer i situationer hvor udfaldsrummet er overtælleligt (f.eks. de reelle tal). Det har vist sig at den rigtige måde at gøre tingene på, er at tale om sandsynligheder for hændelser, dvs. visse nærmere fastlagte delmængder af udfaldsrummet. Et sandsynlighedsmål bliver derfor en afbildning der til visse delmængder af udfaldsrummet knytter et reelt tal.

15 1 Endelige udfaldsrum I dette kapitel vil vi studere sandsynligheder på endelige udfaldsrum. Det vil foregå på den måde at vi præsenterer de generelle definitioner, men forsimplet til det endelige tilfælde. I forbindelse med mere generelle udfaldsrum dukker der forskellige matematiske besværligheder op som man i det endelige tilfælde helt slipper for. 1.1 Grundlæggende definitioner Definition 1.1: Sandsynlighedsrum over en endelig mængde Et sandsynlighedsrum over en endelig mængde er et tripel (Ω,F,P) bestående af 1. et udfaldsrum Ω, som er en ikke-tom, endelig mængde, 2. mængden F af alle delmængder af Ω, 3. et sandsynlighedsmål på (Ω,F ), dvs. en afbildning P : F R som er positiv: P(A) 0 for alle A F, normeret: P(Ω) = 1, og additiv: hvis A 1,A 2,...,A n F er parvis disjunkte hændelser, så er ( n ) P A i = i=1 n P(A i ). Her er to simple eksempler, der i øvrigt også kan bruges til at demonstrere at der faktisk findes matematiske objekter der opfylder definitionen: Eksempel 1.1: Ligefordeling Lad Ω være en endelig mængde med n elementer, Ω = {ω 1,ω 2,...,ω n }, lad F være mængden af delmængder af Ω, og lad P være givet ved P(A) = n 1 #A, hvor #A står for»antal elementer i A«. Så opfylder (Ω,F,P) betingelserne for at være et sandsynlighedsrum (additiviteten følger af additiviteten af antalsfunktionen). Sandsynlighedsmålet P hedder ligefordelingen på Ω (fordi det fordeler»sandsynlighedsmassen«ligeligt ud over udfaldsrummet). Eksempel 1.2: Etpunktsfordeling Lad Ω være en endelig mængde, og lad ω 0 Ω være et udvalgt punkt. Lad F være mængden af delmængder af Ω, og sæt P(A) = 1 hvis ω 0 A og P(A) = 0 ellers. Så opfylder (Ω,F,P) betingelserne for at være et sandsynlighedsrum. Sandsynlighedsmålet P i=1 15

16 16 Endelige udfaldsrum hedder etpunktsfordelingen i ω 0 (fordi det placerer al sandsynlighedsmassen i dette ene punkt). Vi går straks i gang med at vise nogle resultater: Lemma 1.1 For vilkårlige hændelser A og B i sandsynlighedsrummet (Ω,F,P) gælder: 1. P(A) + P(A c ) = P( ) = Hvis A B, så er P(B \ A) = P(B) P(A) og dermed P(A) P(B). (Dette udtrykkes undertiden på den måde at man siger at P er voksende.) 4. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Bevis Ad 1: De to hændelser A og A c er disjunkte, og deres forening er Ω; derfor er ifølge additivitetsaksiomet P(A) + P(A c ) = P(Ω), og P(Ω) er lig 1. Ad 2: Da = Ω c, er ifølge det netop viste P( ) = 1 P(Ω) = 1 1 = 0. Ad 3: Hændelserne A og B \ A er disjunkte og deres forening er B; derfor er P(A) + P(B \ A) = P(B); da P(B \ A) 0, fås at P(A) P(B). Ad 4: De tre hændelser A \ B, B \ A og A B er parvis disjunkte og deres forening er A B. Derfor er P(A B) = P(A \ B) + P(B \ A) + P(A B) A A \ B A B B \ A B = ( P(A \ B) + P(A B) ) + ( P(B \ A) + P(A B) ) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). I fremstillinger af sandsynlighedsregningen inddrager man altid møntkast og terningkast som eksempler på tilfældighedsfænomener, så det gør vi også her. Eksempel 1.3: Møntkast Antag at vi kaster én gang med en mønt og ser efter om den viser Plat eller Krone. Udfaldsrummet er topunktsmængden Ω = {Plat, Krone}. Mængden af hændelser er F = {Ω,{Krone},{Plat}, }. Det sandsynlighedsmål P der svarer til at mønten er symmetrisk, altså har lige stor sandsynlighed for at falde på enhver af de to sider, er ligefordelingen på Ω: P(Ω) = 1, P({Krone}) = 1 / 2, P({Plat}) = 1 / 2, P( ) = 0. Eksempel 1.4: Terningkast Antag at vi kaster én gang med en almindelig terning og ser efter hvor mange øjne den viser.

17 1.1 Grundlæggende definitioner 17 Udfaldsrummet er mængden Ω = {1,2,3,4,5,6}. Mængden F af hændelser er mængden af delmængder af Ω (så der er 2 6 = 64 forskellige hændelser). Det sandsynlighedsmål P der svarer til at terningen er symmetrisk, er ligefordelingen på Ω. Dermed er eksempelvis sandsynligheden for hændelsen {3, 6} (antallet af øjne er deleligt med 3) givet som P({3,6}) = 2 / 6, fordi hændelsen består af to udfald, og der er seks mulige udfald i alt. Eksempel 1.5: Simpel stikprøveudtagning Man har en kasse (eller urne) med s sorte og h hvide kugler, og herfra udtager man en k-stikprøve, dvs. en delmængde med k elementer (det forudsættes ( ) at k s + h). s + h Kuglerne tænkes udtaget ved simpel stikprøveudtagning, dvs. alle forskellige k delmængder med k elementer (jf. definitionen af binomialkoefficienter side 32) har samme sandsynlighed for at blive udtaget. Her er altså tale om en ligefordeling på mængden Ω bestående af alle disse delmængder. Sandsynligheden for hændelsen»netop x sorte kugler«er derfor lig antal k-stikprøver med x ( sorte )( kugler ) og k x hvide kugler divideret med det samlede antal stikprøver, / ( ) s h s + h altså. Se også side 34, herunder sætning x k x k Punktsandsynligheder Læseren kan med nogen ret undre sig over den noget kringlede måde at matematificere sandsynligheder på, hvorfor kan man ikke bare have en funktion der til hvert udfald knytter sandsynligheden for at det indtræffer? Så længe man opererer med endelige (og tællelige) udfaldsrum kunne man faktisk godt gribe sagen an på den måde, men med overtællelige udfaldsrum går det helt galt (fordi overtælleligt mange positive tal ikke kan summere til noget endeligt). Men da vi nu er i det endelige tilfælde, er følgende definition og sætning af interesse. Definition 1.2: Punktsandsynligheder Lad (Ω,F,P) være et sandsynlighedsrum over en endelig mængde Ω. Funktionen kaldes punktsandsynlighederne for P. p : Ω [0 ; 1] ω P({ω}) Punktsandsynligheder anskueliggøres ofte som sandsynlighedspinde. Sætning 1.2 Hvis p er punktsandsynlighederne for sandsynlighedsmålet P, så gælder for en vilkårlig hændelse A at P(A) = p(ω). ω A A

18 18 Endelige udfaldsrum Bevis Vi skriver A som disjunkt forening af sine etpunkts-delmængder og bruger additiviteten: P(A) = P ( {ω} ) = P({ω}) = p(ω). ω A ω A Bemærkninger: En konsekvens af sætningen er at to forskellige sandsynlighedsmål ikke kan have samme punktsandsynlighedsfunktion. En anden konsekvens er at p summerer til 1, dvs. p(ω) = 1; det ser man ved at sætte A = Ω. ω Ω Sætning 1.3 Hvis p : Ω [0 ; 1] summerer til 1, dvs. ω Ω ω A p(ω) = 1, så findes netop et sandsynlighedsmål P på Ω der har p som sine punktsandsynligheder. Bevis Vi kan definere en funktion P : F [0 ; + [ ved P(A) = p(ω). Denne funktion er positiv fordi p 0, og normeret fordi p summerer til 1. Den er desuden additiv: hvis A 1,A 2,...,A n er parvis disjunkte hændelser, så er P(A 1 A 2... A n ) = ω A 1 A 2... A n p(ω) ω A = p(ω) + p(ω) p(ω) ω A 1 ω A 2 ω A n = P(A 1 ) + P(A 2 ) P(A n ), En etpunktsfordeling En ligefordeling hvor det andet lighedstegn følger af den associative lov for regneoperationen +. Altså opfylder P betingelserne for at være et sandsynlighedsmål. Pr. konstruktion er P s punktsandsynligheder p, og som nævnt i bemærkningen til sætning 1.2 er der kun ét sandsynlighedsmål der kan have p som punktsandsynligheder. Eksempel 1.6 Punktsandsynlighederne for etpunktsfordelingen i ω 0 (jf. eksempel 1.2) er givet ved p(ω 0 ) = 1, og p(ω) = 0 når ω ω 0. Eksempel 1.7 Punktsandsynlighederne for ligefordelingen på {ω 1,ω 2,...,ω n } (jf. eksempel 1.1) er givet ved p(ω i ) = 1/n, i = 1,2,...,n. Betingede sandsynligheder og fordelinger Man er ofte interesseret i sandsynligheden for at en hændelse A indtræffer, givet at en anden hændelse B vides at indtræffe (eller at være indtruffet) man taler om den betingede sandsynlighed for A givet B.

19 1.1 Grundlæggende definitioner 19 Definition 1.3: Betinget sandsynlighed Lad (Ω,F,P) være et sandsynlighedsrum, lad A og B være hændelser, og antag at P(B) > 0. Tallet P(A B) P(A B) = P(B) kaldes den betingede sandsynlighed for A givet B. Eksempel 1.8 Man slår Plat eller Krone med to mønter, en 10-krone og en 20-krone, på én gang. Hvad er sandsynligheden for at 10-kronen viser Krone, givet at mindst en af de to mønter viser Krone? Der er (iflg. standardmodellen) fire mulige udfald, og udfaldsrummet er Ω = {(Plat,Plat),(Plat,Krone),(Krone,Plat),(Krone,Krone)}, hvor vi skriver 10-kronens resultat først; hvert af disse fire udfald antages at have sandsynlighed 1 / 4. Den betingende hændelse B (mindst en Krone) og den omspurgte hændelse A (at 10-kronen viser Krone) er hhv. B = {(Plat,Krone),(Krone,Plat),(Krone,Krone)} A = {(Krone,Plat),(Krone,Krone)}, og så den betingede sandsynlighed for A givet B er P(A B) = Af definition 1.3 følger umiddelbart P(A B) P(B) = 2 / 4 3/ 4 = 2 / 3. Sætning 1.4 Hvis A og B er hændelser, og hvis P(B) > 0, så er P(A B) = P(A B) P(B). P Definition 1.4: Betinget fordeling Lad (Ω,F,P) være et sandsynlighedsrum, og lad B være en hændelse med den egenskab at P(B) > 0. Funktionen B P( B) : F [0 ; 1] A P(A B) P( B) kaldes den betingede fordeling givet B. B Bayes formel Antag at Ω kan skrives som en disjunkt forening af de k hændelser B 1,B 2,...,B k (eller som man også siger: B 1,B 2,...,B k er en klassedeling af Ω). Desuden er der en hændelse A. Det antages endvidere at vi forlods (eller a priori) kender

20 20 Endelige udfaldsrum Thomas Bayes engelsk matematiker og teolog ( ).»Bayes formel«(der hidrører fra Bayes (1763)) spiller i vore dage en altafgørende rolle i den såkaldte bayesianske statistik og i bayesianske netværk. A B 1 B2... B j... B k sandsynlighederne P(B 1 ),P(B 2 ),...,P(B k ) for de enkelte klasser i klassedelingen, og desuden kendes også alle de betingede sandsynligheder P(A B j ) for A givet B j. Opgaven er nu at bestemme sandsynlighederne P(B j A) for de enkelte B j -er, givet at hændelsen A vides at være indtruffet; disse sandsynligheder kaldes a posteriori sandsynligheder. (Som illustration kan man eksempelvis tænke på en medicinsk diagnosticeringssituation: A er det sæt af symptomer man observerer på patienten, og B-erne er forskellige (hinanden udelukkende) sygdomme der kunne forklare symptomerne. Lægerne har bud på de hyppigheder hvormed sygdommene forekommer, og på sandsynlighederne for at en patient udviser netop symptombilledet A, givet at patienten har sygdommen B i, i = 1,2,...,k. Lægerne er interesserede i de betingede sandsynligheder for at den patient som har symptomerne A, fejler sygdommen B i.) k Da A = A B i hvor der er tale om en disjunkt forening, er i=1 P(A) = k P(A B i ) = i=1 k P(A B i ) P(B i ), og da P(B j A) = P(A B j )/ P(A) = P(A B j ) P(B j )/ P(A), er dermed i=1 P(B j A) = P(A B j) P(B j ) k. (1.1) P(A B i ) P(B i ) i=1 Formel (1.1) kaldes Bayes formel; den fortæller hvordan man udregner a posteriori sandsynlighederne P(B j A) ud fra a priori sandsynlighederne P(B j ) og de betingede sandsynligheder P(A B j ). Uafhængighed Hændelser kaldes uafhængige hvis det er sådan at sandsynlighedsudsagn om nogle af dem ikke ændres af kendskabet til hvorvidt andre af dem er indtruffet eller ej. Man kunne overveje at definere uafhængighed af hændelserne A og B til at betyde at P(A B) = P(A), hvilket ved anvendelse af definitionen på betinget sandsynlighed bliver til P(A B) = P(A)P(B); den sidste formel har den fordel at den er meningsfuld også når P(B) = 0, samt at A og B indgår symmetrisk. Man definerer derfor uafhængighed af to hændelser A og B til at betyde at P(A B) = P(A)P(B). Hvis man vil gøre tingene ordentligt, skal man imidlertid

21 1.1 Grundlæggende definitioner 21 kunne tale om uafhængighed af k hændelser. Den generelle definition ser sådan ud: Definition 1.5: Uafhængighed af hændelser Hændelserne A 1,A 2,...,A k siges at være uafhængige hvis der for enhver delmængde ( m ) m {A i1,a i2,...,a im } af disse hændelser gælder at P A ij = P(A ij ). Bemærk: Når man skal undersøge uafhængighed af hændelser, er det ikke tilstrækkeligt at tjekke at de er parvis uafhængige, jf. eksempel 1.9. Det er heller ikke tilstrækkeligt at kontrollere at sandsynligheden for fællesmængden af alle hændelserne er lig produktet af sandsynlighederne for de enkelte hændelser, jf. eksempel Eksempel 1.9 Lad Ω = {a,b,c,d} og lad P være ligefordelingen på Ω. De tre hændelser A = {a,b}, B = {a,c} og C = {a,d} har hver især sandsynlighed 1 / 2. Hændelserne A, B og C er parvis uafhængige, f.eks. er P(B C) = P(B)P(C), idet P(B C) = P({a}) = 1 / 4 og P(B)P(C) = 1/ 2 1/ 2 = 1 / 4, og tilsvarende er P(A B) = P(A)P(B) og P(A C) = P(A)P(C). Derimod er de tre hændelser ikke uafhængige, eksempelvis gælder at P(A B C) P(A)P(B)P(C), idet P(A B C) = P({a}) = 1 / 4 og P(A)P(B)P(C) = 1 / 8. Eksempel 1.10 Lad Ω = {a,b,c,d,e,f,g,h} og lad P være ligefordelingen på Ω. De tre hændelser A = {a,b,c,d}, B = {a,e,f,g} og C = {a,b,c,e} har hver især sandsynlighed 1 / 2. Da A B C = {a}, er P(A B C) = P({a}) = 1 / 8 = P(A)P(B)P(C), men hændelserne A, B og C er ikke uafhængige; eksempelvis er P(A B) P(A)P(B) (fordi P(A B) = P({a}) = 1 / 8 og P(A)P(B) = 1 / 2 1/ 2 = 1 / 4 ). j=1 j=1 Uafhængighed Termen uafhængig bruges i forskellige betydninger i forskellige delområder af matematikken, så undertiden kan det være nødvendigt med en præcisere sprogbrug. Den her præsenterede form for uafhængighed er stokastisk uafhængighed. Uafhængige delforsøg; produktrum De tilfældighedsfænomener der skal modelleres, består meget ofte af et antal separate delfænomener (f.eks. kan ét kast med fem terninger opfattes som sammensat af fem udgaver af»et kast med én terning«). Hvis delfænomenerne antages uafhængige af hverandre, kan man let sammensætte modeller for delfænomenerne til en stor model for det samlede fænomen. I de indledende overvejelser vil vi for nemheds skyld antage at det sammensatte fænomen består af to delfænomener I og II. Lad os sige at de to delfænomener kan modelleres med sandsynlighedsrummene (Ω 1,F 1,P 1 ) hhv. (Ω 2,F 2,P 2 ). Vi søger et sandsynlighedsrum (Ω,F,P) der kan modellere det sammensatte fænomen bestående af I og II. Det er nærliggende at sige at udfaldene i det sammensatte forsøg skal skrives på formen (ω 1,ω 2 ) hvor ω 1 Ω 1 og ω 2 Ω 2, altså at Ω skal være produktmængden Ω 1 Ω 2, og F kan så være mængden af alle delmængder af Ω. Men hvad skal P være?

22 22 Endelige udfaldsrum Ω 2 A 1 Ω 2 A 1 A 2 A 2 Ω 1 A 2 Ω 1 A 1 Tag en I-hændelse A 1 F 1 og dan hændelsen A 1 Ω 2 F svarende til at i det sammensatte fænomen giver I-delen et udfald i A 1 og II-delen hvad som helst, det vil sige at i det sammensatte fænomen interesserer man sig kun for hvad første delfænomen giver. De to hændelser A 1 Ω 2 og A 1 svarer til det samme fænomen, blot i to forskellige sandsynlighedsrum, og derfor skulle det sandsynlighedsmål P som vi er på jagt efter, gerne være indrettet sådan at P(A 1 Ω 2 ) = P 1 (A 1 ). På samme måde må man forlange at hvis A 2 F 2, så er P(Ω 1 A 2 ) = P 2 (A 2 ). Hvis det sammensatte fænomen skal have den egenskab at delfænomenerne er uafhængige af hinanden, så må det betyde at de to hændelser A 1 Ω 2 og Ω 1 A 2 (der jo vedrører hver sit delfænomen) skal være uafhængige hændelser, og da deres fællesmængde er A 1 A 2, skal der derfor gælde at P(A 1 A 2 ) = P ( (A 1 Ω 2 ) (Ω 1 A 2 ) ) = P(A 1 Ω 2 )P(Ω 1 A 2 ) = P 1 (A 1 )P 2 (A 2 ), dvs. vi har et krav til P som vedrører alle produktmængder i F. Da etpunktsmængder er produktmængder (fordi {(ω 1,ω 2 )} = {ω 1 } {ω 2 }), har vi specielt et krav til punktsandsynlighederne for P; med nærliggende betegnelser er kravet at p(ω 1,ω 2 ) = p 1 (ω 1 )p 2 (ω 2 ) for alle (ω 1,ω 2 ) Ω. Inspireret af denne analyse af problemstillingen kan man nu gå frem som følger: 1. Lad p 1 og p 2 være punktsandsynlighederne for hhv. P 1 og P Definér så en funktion p : Ω [0 ; 1] ved p(ω 1,ω 2 ) = p 1 (ω 1 )p 2 (ω 2 ) for (ω 1,ω 2 ) Ω. 3. Der gælder at p summerer til 1: p(ω) = p 1 (ω 1 )p 2 (ω 2 ) ω Ω (ω 1,ω 2 ) Ω 1 Ω 2 = p 1 (ω 1 ) p 2 (ω 2 ) ω 1 Ω 1 ω 2 Ω 2 = 1 1 = Ifølge sætning 1.3 findes derfor et entydigt bestemt sandsynlighedsmål P på Ω der har p som sine punktsandsynligheder. 5. Dette sandsynlighedsmål opfylder det stillede krav om at P(A 1 A 2 ) = P 1 (A 1 )P 2 (A 2 ) for alle A 1 F 1 og A 2 F 2, idet P(A 1 A 2 ) = p 1 (ω 1 )p 2 (ω 2 ) (ω 1,ω 2 ) A 1 A 2 = p 1 (ω 1 ) p 2 (ω 2 ) = P 1 (A 1 )P 2 (A 2 ). ω 1 A 1 ω 2 A 2

23 1.2 Stokastiske variable 23 Hermed har vi løst det stillede problem. Det fundne sandsynlighedsmål P kaldes i øvrigt produktet af P 1 og P 2. Man kan udvide ovenstående betragtninger til situationer med n delfænomener og derved nå frem til at hvis et tilfældighedsfænomen er sammensat af n uafhængige delfænomener med punktsandsynligheder p 1,p 2,...,p n, så er den samlede punktsandsynlighedsfunktion givet ved p(ω 1,ω 2,...,ω n ) = p 1 (ω 1 )p 2 (ω 2 )...p n (ω n ), og om de tilsvarende sandsynlighedsmål gælder P(A 1 A 2... A n ) = P 1 (A 1 )P 2 (A 2 )...P n (A n ). Man kalder i slige forbindelser p og P for den simultane punktsandsynlighedsfunktion hhv. fordeling, og p i -ene og P i -erne for de marginale punktsandsynlighedsfunktioner hhv. fordelinger. Eksempel 1.11 Hvis man kaster én gang med en mønt og én gang med en terning, så har udfaldet (Krone,5 øjne) sandsynlighed 1 / 2 1/ 6 = 1 / 12, og hændelsen»krone og mindst fem øjne«sandsynlighed 1 / 2 2/ 6 = 1 / 6. Hvis man kaster 100 gange med en mønt, så er sandsynligheden for at de 10 sidste kast alle giver Krone, lig ( 1 / 2 ) Stokastiske variable En af grundene til matematikkens store succes er utvivlsomt at den i meget vid udstrækning betjener sig af symboler. Når man vil sætte talen om sandsynlighed og tilfældighed på matematiksprog, handler det blandt meget andet om at vælge en hensigtsmæssig notation. Det er uhyre praktisk at kunne operere med symboler der står for»det tilfældige numeriske udfald som tilfældighedseksperimentet nu leverer når vi udfører det«. Sådanne symboler kaldes stokastiske variable; stokastiske variable betegnes oftest med store bogstaver (især X, Y, Z). Vi vil benytte stokastiske variable som om de var almindelige reelle tal og altså lade dem indgå i udtryk som X + Y = 5 eller Z B. Eksempel: I forbindelse med kast med to terninger kan man indføre stokastiske variable X 1 og X 2 som skal stå for antal øjne som terning nr. 1 hhv. 2 viser. At terningerne viser samme antal øjne, kan da kort skrives som X 1 = X 2, og at summen af øjnene er mindst 10, kan skrives som X 1 + X 2 10, osv. Selv om ovenstående måske antyder hvad meningen med en stokastisk variabel skal være, så er det jo afgjort ikke nogen klar definition af hvad det er for et matematisk objekt. Omvendt fortæller nedenstående definition ikke meget om hvad meningen er:

24 24 Endelige udfaldsrum Definition 1.6: Stokastisk variabel Lad (Ω,F,P) være et sandsynlighedsrum over en endelig mængde. En stokastisk variabel på (Ω,F,P) er en afbildning X af Ω ind i de reelle tal R. Mere generelt er en n-dimensional stokastisk variabel på (Ω,F,P) en afbildning X af Ω ind i R n. Vi skal i det følgende studere det matematiske begreb en stokastisk variabel. Allerførst må vi præcisere hvordan det kan indgå i sproget: Lad X være en stokastisk variabel på det aktuelle udfaldsrum. Hvis u er et udsagn om reelle tal sådan at for hvert x R er u(x) enten sandt eller falsk, så skal u(x) forstås som et meningsfuldt udsagn om X, og dette er udsagn er sandt hvis og kun hvis hændelsen {ω Ω : u(x(ω))} indtræffer. Derved bliver vi i stand til at tale om sandsynligheden P(u(X)) for at u(x) er sandt; denne sandsynlighed er pr. definition P(u(X)) = P({ω Ω : u(x(ω))}). Skrivemåden {ω Ω : u(x(ω))} er præcis, men temmelig omstændelig og ofte unødigt detaljeret. Derfor skriver man næsten altid den pågældende hændelse på den kortere form {u(x)}. Eksempelvis svarer udsagnet X 3 til hændelsen {X 3} der mere udførligt er lig med {ω Ω : X(ω) 3}, og man skriver P(X 3) hvilket pr. definition er P({X 3}) eller mere udførligt P({ω Ω : X(ω) 3}). Dette udvides på oplagt måde til situationer med flere stokastiske variable. Hvis B er en delmængde af R, svarer udsagnet X B til hændelsen {X B} = {ω Ω : X(ω) B}. Sandsynligheden for dette udsagn (eller denne hændelse) er P(X B). Hvis vi ser på P(X B) som funktion af B, så opfylder den betingelserne for at være et sandsynlighedsmål på R; dette sandsynlighedsmål vil matematikere kalde det transformerede mål og sandsynlighedsteoretikere og statistikere vil kalde det fordelingen af X. Det foregående skal lige korrigeres en smule: Faktisk kan vi på dette sted ikke tale om et sandsynlighedsmål på R, al den stund vi endnu kun er nået til sandsynligheder på endelige mængder. Derfor må vi»nøjes med«at opfatte sandsynlighedsmålet med de to navne som et sandsynlighedsmål på den endelige mængde X(Ω) R. Lad os for en kort bemærkning betegne det transformerede sandsynlighedsmål X(P); så er X(P)(B) = P(X B) når B er en delmængde af R. Denne tilsyneladende ganske uskyldige formel fortæller at alle sandsynlighedsudsagn vedrørende X kan omskrives til sandsynlighedsudsagn der alene involverer (delmængder af) R og sandsynlighedsmålet X(P) på (den endelige delmængde X(Ω) af) R. Vi kan altså helt se bort fra det oprindelige sandsynlighedsrum Ω.

25 1.2 Stokastiske variable 25 Eksempel 1.12 Lad Ω = {ω 1,ω 2,ω 3,ω 4,ω 5 } og lad P være det sandsynlighedsmål på Ω som har punktsandsynlighederne p(ω 1 ) = 0.3, p(ω 2 ) = 0.1, p(ω 3 ) = 0.4, p(ω 4 ) = 0, og p(ω 5 ) = 0.2. Vi definerer en stokastisk variabel X : Ω R ved X(ω 1 ) = 3, X(ω 2 ) = 0.8, X(ω 3 ) = 4.1, X(ω 4 ) = 0.8, og X(ω 5 ) = 0.8. Værdimængden for X er X(Ω) = { 0.8,3,4.1}, og fordelingen af X er det sandsynlighedsmål på X(Ω) der har punktsandsynlighederne 0.3, 0.3 og 0.4, fordi P(X = 0.8) = P({ω 2,ω 4,ω 5 }) = p(ω 2 ) + p(ω 4 ) + p(ω 5 ) = 0.3, P(X = 3) = P({ω 1 }) = p(ω 1 ) = 0.3, P(X = 4.1) = P({ω 3 }) = p(ω 3 ) = 0.4. Eksempel 1.13: Fortsættelse af eksempel 1.12 Vi indfører nu to yderligere stokastiske variable Y og Z, sådan at situationen alt i alt er som følger ω p(ω) X(ω) Y (ω) Z(ω) ω ω ω ω ω Det ses at X, Y og Z er forskellige, eksempelvis er X(ω 1 ) Y (ω 1 ), X(ω 4 ) Z(ω 4 ) og Y (ω 1 ) Z(ω 1 ), men de har samme den værdimængde, nemlig { 0.8,3,4.1}. Almindelig udregning viser at P(X = 0.8) = P(Y = 0.8) = P(Z = 0.8) = 0.3, P(X = 3) = P(Y = 3) = P(Z = 3) = 0.3, P(X = 4.1) = P(Y = 4.1) = P(Z = 4.1) = 0.4, dvs. X, Y og Z har samme fordeling. Vi ser at P(X Z) = P({ω 4 }) = 0, dvs. X = Z med sandsynlighed 1, og at P(X = Y ) = P({ω 3 }) = 0.4. Fordelingen af en stokastisk variabel X kan da der er tale om en fordeling på en endelig mængde beskrives (og anskueliggøres) ved sine punktsandsynligheder. Da fordelingen»lever«på en delmængde af de reelle tal, kan vi imidlertid også beskrive og anskueliggøre den på en anden måde, nemlig ved hjælp af dens fordelingsfunktion. Definition 1.7: Fordelingsfunktion Fordelingsfunktionen for en stokastisk variabel X er funktionen F : R [0 ; 1] x P(X x). Fordelingsfunktioner har altid bestemte egenskaber:

26 26 Endelige udfaldsrum Lemma 1.5 Hvis den stokastiske variabel X har fordelingsfunktion F, så er 1 en»vilkårlig«fordelingsfunktion 1»vilkårlig«fordelingsfunktion, endeligt udfaldsrum Om voksende funktioner Lad F : R R være en funktion som er voksende, dvs. for alle x og y gælder at x y medfører F(x) F(y). Da gælder at F i ethvert punkt x har en grænseværdi fra venstre F(x ) = lim h 0 F(x h) og en grænseværdi fra højre F(x+) = lim h 0 F(x + h), og der gælder at F(x ) F(x) F(x+). Hvis F(x ) F(x+), er x et springpunkt for F (og ellers er x et kontinuitetspunkt for F). for vilkårlige reelle tal x og a < b. P(X x) = F(x), P(X > x) = 1 F(x), P(a < X b) = F(b) F(a), Bevis Den første ligning er en gentagelse af definitionen af fordelingsfunktion. De to andre ligninger følger af punkterne 1 og 3 i lemma 1.1 (side 16). Sætning 1.6 Fordelingsfunktionen F for en stokastisk variabel X har følgende egenskaber: 1. Den er ikke-aftagende, dvs. hvis x y, så er F(x) F(y). 2. lim F(x) = 0 og lim F(x) = 1. x x + 3. Den er højrekontinuert, dvs. F(x+) = F(x) for alle x. 4. I ethvert punkt x gælder P(X = x) = F(x) F(x ). 5. Et punkt x er et diskontinuitetspunkt for F hvis og kun hvis P(X = x) > 0. Bevis Ad 1: Hvis x y, så er F(y) F(x) = P(x < X y) ifølge lemma 1.5, og da sandsynligheder er ikke-negative, er dermed F(x) F(y). Ad 2: Da X kun antager endeligt mange forskellige værdier, findes to tal x min og x max således at x min < X(ω) < x max for alle ω. Da er F(x) = 0 for alle x < x min, og F(x) = 1 for alle x > x max. Ad 3: Da X kun antager endeligt mange forskellige værdier, gælder for et givet x at for alle tilstrækkeligt små tal h > 0 kan X ikke kan antage nogen værdi i intervallet ]x ; x + h], dvs. hændelserne {X x} og {X x + h} er identiske, altså er F(x) = F(x + h). Heraf følger det ønskede. Ad 4: For et givet x ser vi på den del af X s værdimængde som ligger til venstre for x, altså mængden X(Ω) ] ; x[. Hvis denne mængde er tom, sætter vi a =, og ellers sætter vi a lig det største element i X(Ω) ] ; x[. Da X(ω) ikke ligger i ]a ; x[ for noget ω, er det sådan at for ethvert tal x ]a ; x[ er hændelserne {X = x} og {x < X x} identiske, dvs. P(X = x) = P(x < X x) = P(X x) P(X x ) = F(x) F(x ). For x x fås det ønskede. Ad 5: Det følger af 4 og 3. Stokastiske variable vil komme til at optræde igen og igen, og læseren vil hurtigt nå til at jonglere aldeles ubesværet med selv avancerede eksemplarer af slagsen. Men på dette sted må vi hellere præsentere nogle simple (men ikke ligegyldige) eksempler på stokastiske variable.

27 1.2 Stokastiske variable 27 Eksempel 1.14: Konstant stokastisk variabel Den simpleste type stokastiske variable er dem som altid har den samme værdi, altså stokastiske variable af formen X(ω) = a for alle ω Ω; her er a et reelt tal. Dens fordelingsfunktion er 1 når a x F(x) = 0 når x < a. Faktisk kunne vi her erstatte betingelsen»x(ω) = a for alle ω Ω«med betingelsen»x = a med sandsynlighed 1«, altså P(X = a) = 1; fordelingsfunktionen ville være uændret. Eksempel 1.15: 01-variabel Den næstsimpleste type stokastiske variable må være dem der kun antager to forskellige værdier, som man ofte kalder for 0 og 1. Sådanne variable benyttes blandt andet i forbindelse med (modeller for) binære forsøg, dvs. forsøg med to mulige udfald (Plat/Krone, Succes/Fiasko, Gunstig/Ikke-gunstig,... ), og de kaldes 01-variable eller Bernoulli-variable. Fordelingen af en 01-variabel kan specificeres ved hjælp af en parameter p der angiver sandsynligheden for værdien 1, dvs. p for x = 1 P(X = x) = 1 p for x = 0 hvilket også kan skrives som P(X = x) = p x (1 p) 1 x, x = 0,1. (1.2) Fordelingsfunktionen for en 01-variabel med parameter p er 1 når 1 x F(x) = 1 p når 0 x < 1 0 når x < 0. Eksempel 1.16: Indikatorfunktion Hvis A er en hændelse (dvs. en delmængde af Ω), så er dens indikatorfunktion funktionen 1 når ω A 1 A (ω) = 0 når ω A c. En sådan indikatorfunktion er en 01-variabel med parameter p = P(A). Hvis omvendt X er en 01-variabel, så er X indikatorfunktionen for hændelsen A = X 1 ({1}) = {ω : X(ω) = 1}. Eksempel 1.17: Ligefordelt stokastisk variabel Hvis x 1,x 2,...,x n er n forskellige reelle tal og X en stokastisk variabel som antager enhver af disse værdier med samme sandsynlighed, dvs. 1 1 a 0 1 P(X = x i ) = 1 n, i = 1,2,...,n,

28 28 Endelige udfaldsrum 1 1 f F så siger man at X er ligefordelt på mængden {x 1,x 2,...,x n }. Som måske allerede ovenstående eksempler antyder, er (grafen for) fordelingsfunktionen ikke overvældende velegnet til at give et informativt visuelt indtryk af fordelingen af en stokastisk variabel X. Det er langt bedre at beskæftige sig med sandsynlighedsfunktionen for X, dvs. funktionen f : x P(X = x), betragtet som funktion defineret på X s værdimængde eller en ikke alt for voldsom udvidelse heraf. I situationer der modelleres med endelige sandsynlighedsrum, er de interessante stokastiske variable meget ofte sådanne der tager værdier i de hele ikke-negative tal; i så fald kan man betragte sandsynlighedsfunktionen som defineret enten på X s faktiske værdimængde eller på mængden N 0 af hele ikke-negative tal. Definition 1.8: Sandsynlighedsfunktion Sandsynlighedsfunktionen for en stokastisk variabel X er funktionen f : x P(X = x). Sætning 1.7 Sammenhængen mellem fordelingsfunktion F og sandsynlighedsfunktion f er f (x) = F(x) F(x ), F(x) = f (z). z :z x Bevis Udtrykket for f er en omformulering af Punkt 4 i sætning 1.6. Udtrykket for F følger af sætning 1.2 side 17. Uafhængige stokastiske variable Man er ofte interesseret i at studere mere end én stokastisk variabel ad gangen. Hvis X 1,X 2,...,X n er stokastiske variable på det samme sandsynlighedsrum, så kalder man funktionen f (x 1,x 2,...,x n ) = P(X 1 = x 1,X 2 = x 2,...,X n = x n ) for den simultane sandsynlighedsfunktion for X-erne, hvorimod eksempelvis funktionen f j (x j ) = P(X j = x j ) kaldes den marginale sandsynlighedsfunktion for X j. Hvis {i 1,i 2,...,i k } er en ikke-triviel delmængde af {1,2,...,n}, så kaldes funktionen f i1,i 2,...,i k (x i1,x i2,...,x ik ) = P(X i1 = x i1,x i2 = x i2,...,x ik = x ik )

29 1.2 Stokastiske variable 29 den marginale sandsynlighedsfunktion for X i1,x i2,...,x ik. Vi har tidligere (side 20f) defineret uafhængighed af hændelser. Det kan man bygge videre på i form af Definition 1.9: Uafhængige stokastiske variable Lad (Ω, F, P) være et sandsynlighedsrum over en endelig mængde. De stokastiske variable X 1,X 2,...,X n på (Ω,F,P) siges at være uafhængige hvis det er sådan at hændelserne {X 1 B 1 },{X 2 B 2 },...,{X n B n } er uafhængige, ligegyldigt hvordan man vælger delmængderne B 1,B 2,...,B n af R. Et nemt og mere overskueligt kriterium for uafhængighed er Sætning 1.8 De stokastiske variable X 1,X 2,...,X n er uafhængige hvis og kun hvis Uafhængighed Termen uafhængig bruges i forskellige betydninger i forskellige delområder af matematikken, så undertiden kan det være nødvendigt med en præcisere sprogbrug. Den her præsenterede form for uafhængighed er stokastisk uafhængighed. P(X 1 = x 1,X 2 = x 2,...,X n = x n ) = n P(X i = x i ) (1.3) for alle valg af tal x 1,x 2,...,x n således at x i tilhører X i s værdimængde, i = 1,2,...,n. Korollar 1.9 De stokastiske variable X 1,X 2,...,X n er uafhængige hvis og kun hvis deres simultane sandsynlighedsfunktion er lig produktet af de marginale sandsynlighedsfunktioner: i=1 f 12...n (x 1,x 2,...,x n ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 )... f n (x n ). Bevis for sætning 1.8 Lad os først vise»kun hvis«. Vi antager altså at X 1,X 2,...,X n er uafhængige ifølge definition 1.9 og skal vise at (1.3) gælder. Sæt B i = {x i }; så er {X i B i } = {X i = x i } (i = 1,2,...,n), og vi har ( n ) P(X 1 = x 1,X 2 = x 2,...,X n = x n ) = P {X i = x i } = i=1 n P(X i = x i ), dvs. (1.3) gælder. Derefter skal vi vise»hvis«, så vi antager at (1.3) gælder, og skal vise at for vilkårlige B 1,B 2,...,B n er {X 1 B 1 },{X 2 B 2 },...,{X n B n } uafhængige. For en vilkårlig delmængde B af R n er P ( (X 1,X 2,...,X n ) B ) = P(X 1 = x 1,X 2 = x 2,...,X n = x n ). (x 1,x 2,...,x n ) B i=1

30 30 Endelige udfaldsrum Anvendt på B = B 1 B 2 B n giver dette ved brug af (1.3) at ( n ) P {X i B i } = P ( (X 1,X 2,...,X n ) B ) i=1 =... P(X 1 = x 1,X 2 = x 2,...,X n = x n ) x 1 B 1 x 2 B 2 x n B n n n =... P(X i = x i ) = P(X i = x i ) x 1 B 1 x 2 B 2 x n B n i=1 i=1 x i B i n = P(X i B i ), i=1 dvs. {X 1 B 1 },{X 2 B 2 },...,{X n B n } er uafhængige. Hvis de enkelte X-er har samme sandsynlighedsfunktion og dermed samme fordeling, taler man om at de er identisk fordelte, og i det følgende vil vi ofte møde vendingen uafhængige identisk fordelte stokastiske variable. Ω X t X R R t Funktioner af stokastiske variable Hvis (Ω,F,P) er et endeligt sandsynlighedsrum, X en stokastisk variabel på (Ω,F,P) og t en funktion der afbilder X s værdimængde ind i de reelle tal, så er den sammensatte funktion t X igen en stokastisk variabel. Normalt skriver man ikke t X, men t(x). Fordelingen af t(x) kan i princippet let findes, idet P(t(X) = y) = P ( X {x : t(x) = y} ) = x :t(x)=y f (x) (1.4) hvor f er sandsynlighedsfunktionen hørende til X. På tilsvarende måde taler man om t(x 1,X 2,...,X n ) hvor t en funktion af n variable og X 1,X 2,...,X n er n stokastiske variable. Funktionen t behøver ikke være voldsomt avanceret; vi skal om lidt se på hvordan det ser ud når X-erne er uafhængige, og t er funktionen +, men først en ikke overraskende sætning. Sætning 1.10 Lad X 1,X 2,...,X m,x m+1,x m+2,...,x m+n være uafhængige stokastiske variable, og lad t 1 og t 2 være funktioner af henholdsvis m og n variable. Så er de stokastiske variable Y 1 = t 1 (X 1,X 2,...,X m ) og Y 2 = t 2 (X m+1,x m+2,...,x m+n ) uafhængige. Vedr. bevis for sætningen: opgave 1.22.

31 1.2 Stokastiske variable 31 Fordelingen af en sum Lad X 1 og X 2 være to stokastiske variable på (Ω,F,P), og lad f 12 (x 1,x 2 ) være deres simultane sandsynlighedsfunktion. Da er t(x 1,X 2 ) = X 1 + X 2 ligeledes en stokastisk variabel på (Ω,F,P), og den generelle formel (1.4) giver at P(X 1 + X 2 = y) = P(X 1 + X 2 = y og X 2 = x 2 ) = = x 2 X 2 (Ω) x 2 X 2 (Ω) x 2 X 2 (Ω) P(X 1 = y x 2 og X 2 = x 2 ) f 12 (y x 2,x 2 ), dvs. sandsynlighedsfunktionen for X 1 + X 2 fås ved at summere f 12 (x 1,x 2 ) over de talpar (x 1,x 2 ) for hvilke x 1 + x 2 = y. Dette generaliseres uden videre til summer af mere end to stokastiske variable. Hvis X 1 og X 2 er uafhængige, er deres simultane sandsynlighedsfunktion produktet af de marginale sandsynlighedsfunktioner, så vi får Sætning 1.11 Hvis X 1 og X 2 er uafhængige stokastiske variable med sandsynlighedsfunktioner f 1 og f 2, så har Y = X 1 + X 2 sandsynlighedsfunktion f (y) = f 1 (y x 2 )f 2 (x 2 ). x 2 X 2 (Ω) Eksempel 1.18 Lad X 1 og X 2 være uafhængige identisk fordelte 01-variable med parameter p. Hvad er fordelingen af X 1 + X 2? Den simultane sandsynlighedsfunktion f 12 for (X 1,X 2 ) er (jf. bl.a. (1.2) side 27) f 12 (x 1,x 2 ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) = p x 1 (1 p) 1 x1 p x 2 (1 p) 1 x 2 = p x 1+x 2 (1 p) 2 (x 1+x 2 ) når (x 1,x 2 ) {0,1} 2, og 0 ellers. Sandsynlighedsfunktionen for X 1 + X 2 er derfor f (0) = f 12 (0,0) = (1 p) 2, f (1) = f 12 (1,0) + f 12 (0,1) = 2p(1 p), f (2) = f 12 (1,1) = p 2. Som kontrol kan vi se efter om de fundne sandsynligheder summerer til 1: f (0) + f (1) + f (2) = (1 p) 2 + 2p(1 p) + p 2 = ( (1 p) + p ) 2 = 1. Eksemplet rummer oplagte generalisationsmuligheder.

32 32 Endelige udfaldsrum 1.3 Eksempler Binomialkoefficient Antallet af forskellige k-delmængder, : delmængder med netop k elementer, som kan udtages fra en mængde G med( n) elementer, n betegnes. Denne k størrelse kaldes en binomialkoefficient. ( ) n Der gælder at = 1 0 ( ) ( ) n n og at = for k n k 0 k n. Man kan udlede en rekursionsformel for binomialkoefficienterne: Lad g 0 være et element i G; der er nu to slags k-delmængder af G: 1) de k-delmængder der ikke indeholder g 0 og som derfor kan opfattes som k-delmængder af G \ {g 0 }, og 2) de k-delmængder der indeholder g 0 og som derfor er af formen en (k 1)-delmængde af G \ {g 0 } forenet med {g 0 }. Det samlede antal k-delmængder er lig summen af antallene af de to slags, altså: ( ) ( ) ( ) n n 1 n 1 = + k k k 1 (gælder når 0 < k < n). c Sandsynlighedsfunktionen for en 01-variabel med parameter p er (fra formel (1.2) side 27) f (x) = p x (1 p) 1 x, x = 0,1. Hvis X 1,X 2,...,X n er uafhængige 01-variable med parameter p, er deres simultane sandsynlighedsfunktion derfor (når (x 1,x 2,...,x n ) {0,1} n ) f 12...n (x 1,x 2,...,x n ) = n p x i (1 p) 1 x i = p s (1 p) n s (1.5) i=1 hvor s = x 1 + x x n (jf. korollar 1.9). Definition 1.10: Binomialfordeling Fordelingen af summen af n uafhængige identisk fordelte 01-variable med parameter p kaldes binomialfordelingen med antalsparameter n N og sandsynlighedsparameter p [0 ; 1]. Vi vil finde sandsynlighedsfunktionen for binomialfordelingen med parametre n og p. Lad derfor X 1,X 2,...,X n være uafhængige 01-variable med parameter p, dvs. deres simultane sandsynlighedsfunktion er givet ved (1.5). Pr. definition er Y = X 1 + X X n binomialfordelt med parametre n og p. Hvis y er et heltal mellem 0 og n, er P(Y = y) = = = x 1 +x x n =y x 1 +x x n =y x 1 +x x n =y f 12...n (x 1,x 2,...,x n ) p y (1 p) n y ( ) n = p y (1 p) n y y 1 py (1 p) n y ( ) n fordi der er forskellige talsæt x y 1,x 2,...,x n bestående af y 1-er og n y 0-er. Sandsynlighedsfunktionen for binomialfordelingen med parametre n og p er altså ( ) n f (y) = p y (1 p) n y, y = 0,1,2,...,n. (1.6) y

Sandsynlighedsregning & Statistik

Sandsynlighedsregning & Statistik Jørgen Larsen Sandsynlighedsregning & Statistik for matematikstuderende 2006 Indhold Forord 5 Del I Sandsynlighedsregning 7 Indledning 9 Endelige udfaldsrum. Grundlæggende definitioner.....................

Læs mere

Sandsynlighedsregning & Statistik

Sandsynlighedsregning & Statistik Sandsynlighedsregning & Statistik for matematikstuderende Jørgen Larsen 2006 Roskilde Universitet Teksten er sat med skriften Kp-Fonts ved hjælp af KOMA- Script og LATEX. Tegningerne er fremstillet med

Læs mere

Elementær sandsynlighedsregning

Elementær sandsynlighedsregning Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en

Læs mere

Elementær sandsynlighedsregning

Elementær sandsynlighedsregning Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder

Læs mere

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt: SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve

Læs mere

Nanostatistik: Stokastisk variabel

Nanostatistik: Stokastisk variabel Nanostatistik: Stokastisk variabel JLJ Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 1/29 Repetition Ω: udfaldsrummet: alle de mulige udfald af et experiment P(A): ss for hændelsen A = frekvens i uafhængige gentagelser

Læs mere

Binomialfordelingen. Binomialfordelingen. Binomialfordelingen

Binomialfordelingen. Binomialfordelingen. Binomialfordelingen Statistik og Sandsynlighedsregning 1 MS kapitel 3 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Definition 3.2.1 Lad X 1, X 2,..., X n være uafhængige

Læs mere

Definition. Definitioner

Definition. Definitioner Definition Landmålingens fejlteori Lektion Diskrete stokastiske variable En reel funktion defineret på et udfaldsrum (med sandsynlighedsfordeling) kaldes en stokastisk variabel. - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/

Læs mere

Nanostatistik: Stokastisk variabel

Nanostatistik: Stokastisk variabel Nanostatistik: Stokastisk variabel JLJ Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 1/34 Repetition Ω: udfaldsrummet: alle de mulige udfald af et experiment P(A): ss for hændelsen A = frekvens i uafhængige gentagelser

Læs mere

Nogle grundlæggende begreber

Nogle grundlæggende begreber BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:

Læs mere

Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Uafhængighed og reelle transformationer Helle Sørensen Uge 8, mandag SaSt2 (Uge 8, mandag) Uafh. og relle transf. 1 / 16 Program I dag: Uafhængighed af kontinuerte

Læs mere

Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger

Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger Tue Tjur Marts 2007 Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger Stat. MØK 2. år Kapitel : Sandsynlighedsfordelinger og stokastiske variable En sandsynlighedsfunktion på en mængde E (udfaldsrummet)

Læs mere

Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)

Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition) Program: 1. Repetition: sandsynlighedsregning 2. Sandsynlighedsregning fortsat: stokastisk variabel, sandsynlighedsfunktion/tæthed, fordelingsfunktion. 1/16 Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)

Læs mere

Modul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable

Modul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable 2.1 Sandsynlighedsbegrebet............................... 1 2.1.1

Læs mere

Noget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet

Noget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet Random Walk-kursus 2014 Jørgen Larsen 14. oktober 2014 Noget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet Dette notat giver et bevis for at en symmetrisk random walk på Z eller Z 2 og

Læs mere

INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c

INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c AALBORG UNIVERSITET FREDRIK BAJERS VEJ 7 G 9220 AALBORG ØST Tlf.: 96 35 89 27 URL: www.math.aau.dk Fax: 98 15 81 29 E-mail: bjh@math.aau.dk Dataanalyse Sandsynlighed og stokastiske

Læs mere

1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable

1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder

Læs mere

TØ-opgaver til uge 46

TØ-opgaver til uge 46 TØ-opgaver til uge 46 Først laver vi en liste over de ligninger med mere i [ITP], der skal bruges: [1]: Ligning (2.5) på side 4. [2]: Sætning 3.1, ligning (3.3) på side 7. [3]: Sætning 3.1, ligning (3.4)

Læs mere

Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Helle Sørensen Uge 6, mandag SaSt2 (Uge 6, mandag) Tætheder og kont. fordelinger 1 / 19 Program Velkommen I dag:

Læs mere

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet. Til gengæld kan vi prøve at sige noget om,

Læs mere

Program. Statistik og Sandsynlighedsregning. Eksempler. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål

Program. Statistik og Sandsynlighedsregning. Eksempler. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål Program Statistik og Sandsynlighedsregning Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Varians og middelværdi Normalfordelingen Susanne Ditlevsen Uge 48, tirsdag Tætheder og fordelingsfunktioner

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:

Læs mere

Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1)

Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1) ; C ED 6 > Billedbehandling og mønstergenkendelse Lidt elementær statistik (version 1) Klaus Hansen 24 september 2003 1 Elementære empiriske mål Hvis vi har observationer kan vi udregne gennemsnit og varians

Læs mere

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere

Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål

Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål Program Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume fra i mandags og et par eksempler mere om sammenhængen

Læs mere

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6.1 og 6.2 Betingede diskrete

Læs mere

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6.1 og 6.2 Betingede diskrete

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Negativ binomialfordeling, Afsnit 4.4 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte

Læs mere

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 0. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6. og 6. Betingede diskrete

Læs mere

Statistiske modeller

Statistiske modeller Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder

Læs mere

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x) Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen

Læs mere

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 11, 2016 1/22 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring

Læs mere

Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede

Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede fordelinger (kap. 4) Middelværdi og varians (kap. 3-4) Fordelingsresultater

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Sandsynlighedsregning - Lektion 1

Landmålingens fejlteori - Sandsynlighedsregning - Lektion 1 Landmålingens fejlteori Sandsynlighedsregning Lektion 1 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 23. april 2009 1/28 Landmålingens

Læs mere

Opgaver i sandsynlighedsregning

Opgaver i sandsynlighedsregning Afdeling for Teoretisk Statistik STATISTIK Institut for Matematiske Fag Preben Blæsild Aarhus Universitet 9. januar 005 Opgaver i sandsynlighedsregning Opgave Lad A og B være hændelser således at P(A)

Læs mere

Statistik Lektion 2. Betinget sandsynlighed Bayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV Binomialfordelingen

Statistik Lektion 2. Betinget sandsynlighed Bayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV Binomialfordelingen Statistik Lektion etinget sandsynlighed ayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV inomialfordelingen Repetition Udfaldsrum S Hændelse S Simpel hændelse O i 1, 3 4,

Læs mere

Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable

Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/41 Landmålingens fejlteori - lidt om kurset

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006. Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006. Dagens program Dagens program Afsnit 2.4-2.5 Bayes sætning Uafhængige stokastiske variable - Simultane fordelinger - Marginale fordelinger - Betingede fordelinger Uafhængige hændelser - Indikatorvariable Afledte stokastiske

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsregning Udfaldsrum og hændelser Udfald e:resultatetafetforsøg. Udfaldsrum S: Mængden af de mulige udfald af forsøget. Hændelse A: En delmængde af udfaldsrummet. Tilfældigt fænomen S e (eks.)

Læs mere

Statistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen

Statistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Statistik Lektion 3 Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition En stokastisk variabel er en funktion defineret på S (udfaldsrummet, der antager

Læs mere

Sandsynligheder. Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder

Sandsynligheder. Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder Sandsynligheder Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder Sandsynligheder En sandsynlighed er et kvantitativt mål for usikkerhed et mål der udtrykker styrken af vores tro på forekomsten

Læs mere

TØ-opgaver til uge 45

TØ-opgaver til uge 45 TØ-opgaver til uge 45 Først laver vi en liste over de ligninger med mere i [IPT], der skal bruges: [1]: Ligning (2.5) på side 4. [2]: Ligning (2.6) på side 5. [3]: Sætning 3.1, ligning (3.3) på side 7.

Læs mere

Note om Monte Carlo metoden

Note om Monte Carlo metoden Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at

Læs mere

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab. Statistisk Model

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab. Statistisk Model Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Statistisk Model Indhold Binomialfordeling Sandsynlighedsfunktion Middelværdi og spredning 1 Aalen: Innføring i statistik med medisinske eksempler

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007 Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte

Læs mere

Teoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition

Teoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition 1 Uge 8 Teoretisk Statistik, 16. februar 2004 1. Generel teori, repetition 2. Diskret udfaldsrum punktssh. 3. Fordelingsfunktionen 4. Tæthed 5. Transformationer 6. Diskrete vs. Kontinuerte stokastiske

Læs mere

Hvad skal vi lave i dag?

Hvad skal vi lave i dag? p. 1/1 Hvad skal vi lave i dag? Repeterer lidt om diskrete sv. Standardfordelinger (binomial, Poisson, geometrisk) Stokastiske vektorer Diskrete stokastiske vektorer p. 2/1 Repetition Heltallige sv er

Læs mere

Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel

Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel I eksperimenter knyttes ofte en talværdi til hvert udfald. S s X(s) R Definition: En stokastisk variabel X er en funktion defineret på S, der antager værdier på

Læs mere

Hvad skal vi lave i dag?

Hvad skal vi lave i dag? p. 1/2 Hvad skal vi lave i dag? Eksempler på stokastiske variable. Ventetid på krone ved møntkast. Antal plat ved n kast. Antal radioaktive henfald. Ventetiden på en flyulykke. Udtrækning af tal i et interval.

Læs mere

Kombinatorik. Eksempel 2: En mand har 7 par bukser og 10 skjorter. Skal han både vælge en skjorte og et par bukser, så har han 10. 7=70 mulige valg.

Kombinatorik. Eksempel 2: En mand har 7 par bukser og 10 skjorter. Skal han både vælge en skjorte og et par bukser, så har han 10. 7=70 mulige valg. Noter til Biomat, 005. Kombinatorik. - eller kunsten at tælle. Alle tal i kombinatorik-afsnittet er hele og ikke-negative. Additionsprincippet enten - eller : Antag vi enten skal lave et valg med m muligheder

Læs mere

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 28. September, 2007 Stokastiske variable Betragt 3 kast med en mønt. Så er udfaldsrummet Ω = {(p, p, p), (p, p, k), (p, k, p), (p, k, k), (k, p, p), (k, p, k),

Læs mere

Praktiske ting og sager: Forelæsninger tirsdag og torsdag kl i Kirkesalen, Studiestræde 38 Øvelser

Praktiske ting og sager: Forelæsninger tirsdag og torsdag kl i Kirkesalen, Studiestræde 38 Øvelser Uge 36 Velkommen tilbage Praktiske ting og sager: Forelæsninger tirsdag og torsdag kl. -2 i Kirkesalen, Studiestræde 38 Øvelser Hold -4 og 6: mandag og onsdag kl. 8-; start 3. september Hold 5: tirsdag

Læs mere

For nemheds skyld: m = 2, dvs. interesseret i fordeling af X 1 og X 2. Nemt at generalisere til vilkårligt m.

For nemheds skyld: m = 2, dvs. interesseret i fordeling af X 1 og X 2. Nemt at generalisere til vilkårligt m. 1 Uge 11 Teoretisk Statistik 8. marts 2004 Kapitel 3: Fordeling af en stokastisk variabel, X Kapitel 4: Fordeling af flere stokastiske variable, X 1,,X m (på en gang). NB: X 1,,X m kan være gentagne observationer

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program Dagens program Estimation: Kapitel 9.7-9.10 Estimationsmetoder kap 9.10 Momentestimation Maximum likelihood estimation Test Hypoteser kap. 10.1 Testprocedure kap 10.2 Teststørrelsen Testsandsynlighed 1

Læs mere

Aarhus Universitet 5. februar Meddelelse 2

Aarhus Universitet 5. februar Meddelelse 2 fdeling for Teoretisk Statistik IOSTTISTIK Institut for Matematiske Fag Preben læsild arhus Universitet 5. februar 2003 Meddelelse 2 Forelæsningerne i uge 6 (3-7.2) Ved forelæsningen den 4.2 gav Frank

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007 Dagens program Kapitel 4: Diskrete fordelinger Hypergeometrisk fordeling, Afsnit 4.3 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Geometrisk fordeling og Negativ binomialfordeling (Inverse Sampling), Afsnit 4.4 Approksimation

Læs mere

Sandsynlighedsregning 8. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 8. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 8. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner 5.1 og 5.2 Ligefordeling med to

Læs mere

Teoretisk Statistik, 13 april, 2005

Teoretisk Statistik, 13 april, 2005 Poissonprocessen Teoretisk Statistik, 13 april, 2005 Setup og antagelser Fordelingen af X(t) og et eksempel Ventetider i poissonprocessen Fordeling af ventetiden T 1 til første ankomst Fortolkning af λ

Læs mere

Side 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik

Side 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik Side 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik Advarsel: I denne artikel gives udtryk for holdninger til sandsynlighedsregningens grundlag. Disse er forfatterens

Læs mere

Indblik i statistik - for samfundsvidenskab

Indblik i statistik - for samfundsvidenskab Indblik i statistik - for samfundsvidenskab Læs mere om nye titler fra Academica på www.academica.dk Nikolaj Malchow-Møller og Allan H. Würtz Indblik i statistik for samfundsvidenskab Academica Indblik

Læs mere

Sandsynlighedsregning og statistik

Sandsynlighedsregning og statistik og statistik Jakob G. Rasmussen, Institut for Matematiske Fag jgr@math.aau.dk Litteratur: Walpole, Myers, Myers & Ye: Probability and Statistics for Engineers and Scientists, Prentice Hall, 8th ed. Slides

Læs mere

Teoretisk Statistik, 2. december 2003. Sammenligning af poissonfordelinger

Teoretisk Statistik, 2. december 2003. Sammenligning af poissonfordelinger Uge 49 I Teoretisk Statistik, 2. december 2003 Sammenligning af poissonfordelinger o Generel teori o Sammenligning af to poissonfordelinger o Eksempel Opsummering om multinomialfordelinger Fishers eksakte

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte fordelinger, Afsnit 5.1-5.2: - Fordelingsfunktion - Tæthedsfunktion - Eksempel:

Læs mere

Statistik Lektion 2. Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var.

Statistik Lektion 2. Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var. Statistik Lektion Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var. Repetition Stikprøve Stikprøvestørrelse n Stikprøvemiddelværdi Stikprøvevarians s Population

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program Dagens program Kontinuerte fordelinger Simultane fordelinger Kovarians og korrelation Uafhængighed Betingede fordelinger - Middelværdi og varians - Sammenhæng med uafhængighed 1 Figur 1: En tæthedsfunktion

Læs mere

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0. Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Repetition:

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program Dagens program Afsnit 3.1-3.2 Middelværdi -Definition - Regneregler Betinget middelværdi Middelværdier af funktioner af stokastiske variable Loven om den itererede middelværdi Eksempler 1 Beskrivelse af

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program Dagens program Afsnit 3.1-3.2 Middelværdi -Definition - Regneregler Betinget middelværdi Middelværdier af funktioner af stokastiske variabler Loven om den itererede middelværdi Eksempler 1 Beskrivelse

Læs mere

Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 136

Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 136 Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 36 Det er besværligt at regne med binomialfordelingen, og man vælger derfor ofte at bruge en approksimation med normalfordeling. Man

Læs mere

Oversigt over nyttige fordelinger

Oversigt over nyttige fordelinger Oversigt over nyttige fordelinger Helene Regitze Lund Wandsøe November 14, 2011 1 Bernoulli-fordelingen 1 Når et eksperiment har to mulige udfald: succes eller fiasko. X er en stokastisk variabel med følgende

Læs mere

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 Indledning 2 Sandsynlighed i binomialfordelingen 3 Normalfordelingen 4 Modelkontrol

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices

Læs mere

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte

Læs mere

Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/

Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/ Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/ JLJ Nanostatistik: sandsynlighederkursushjemmeside:http://www.imf.au.dk/kurser/nanostatistik/ p. 1/16 Højder

Læs mere

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Introduktion Kasper K. Berthelsen, Inst f. Matematiske Fag Omfang: 8 Kursusgang I fremtiden

Læs mere

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable

Landmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition:

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler

Læs mere

Meddelelse 2. Forelæsningerne i uge 6 ( ) Gennemgangen af BPT fortsættes. Vi afslutter Kapitel 4 og når sikkert et godt stykke ind i Kapitel 5.

Meddelelse 2. Forelæsningerne i uge 6 ( ) Gennemgangen af BPT fortsættes. Vi afslutter Kapitel 4 og når sikkert et godt stykke ind i Kapitel 5. Institut for Matematiske Fag arhus Universitet STTISTIK(2003-ordning) Jens Ledet Jensen Jørgen Granfeldt 2. februar 2006 Meddelelse 2 Forelæsningerne i uge 5 (30.1 5.2) Ved forelæsningen mandag den 30.

Læs mere

Binomialfordelingen. X ~ bin(n,p): X = antal "succeser" i n uafhængige forsøg, der alle har samme sandsynlighed p for at ende med succes.

Binomialfordelingen. X ~ bin(n,p): X = antal succeser i n uafhængige forsøg, der alle har samme sandsynlighed p for at ende med succes. Uge 9 Teoretisk Statistik 23. februar 24 1. Binomialfordelingen 2. Den hypergeometriske fordeling 3. Poissonfordelingen 4. Den negative binomialfordeling 5. Gammafordelingen Binomialfordelingen X ~ bin(n,p):

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program Dagens program Afsnit 6.1. Ligefordelinger, fra sidst Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler

Læs mere

Sandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner Stokastiske variable: udfald

Læs mere

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides 01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen

Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 / 22 Generalisering fra stikprøve til population Idé: Opstil en model for populationen

Læs mere

Kønsproportion og familiemønstre.

Kønsproportion og familiemønstre. Københavns Universitet Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Projektopgave forår 2005 Kønsproportion og familiemønstre. Matematik 2SS Inge Henningsen februar 2005 Indledning I denne opgave undersøges,

Læs mere

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,

Læs mere

Statistik. Hjemmeside: kkb. Statistik - lektion 1 p.1/22

Statistik. Hjemmeside:  kkb. Statistik - lektion 1 p.1/22 Statistik Kursets omfang: 2 ECTS Inklusiv mini-projekt! Bog: Complete Business Statistics, AD Aczel & J. Sounderpandian Software: SPSS eller Excel?? Forelæser: Kasper K. Berthelsen E-mail: kkb@math.aau.dk

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Juni 2013 Roskilde

Læs mere

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

Teoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts.

Teoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. Teoretisk Statistik, 9 marts 2005 Empiriske analoger (Kap. 3.7) Normalfordelingen (Kap. 3.12) Opsamling på Kap. 3 nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. 1 Empiriske analoger Betragt

Læs mere

StatDataN: Middelværdi og varians

StatDataN: Middelværdi og varians StatDataN: Middelværdi og varians JLJ StatDataN: Middelværdi og varians p. 1/33 Repetition Stokastisk variabel: funktion fra udfaldsrum over i de hele tal eller over i de reelle tal Ex: Ω = alle egetræer,

Læs mere

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013 Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik

Læs mere