Funktionsfamilier. Frank Nasser. 12. april 2011

Transkript

1 Funktionsfamilier Frank Nasser 12. april 2011 c Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en arkiveret udgave af dokumentet som muligvis ikke er den nyeste tilgængelige.

2 Indhold 1 Introduktion 1 2 Potensfunktioner 3 3 Potensielle udviklinger 5 4 Polynomielle funktioner 7 5 Harmoniske svingninger 9 6 Eksponentialfunktioner 11 7 Eksponentielle udviklinger 13 8 Logaritmer 15 9 Logistiske funktioner 17

3 Resumé Dette er en oversigt over nogle almindelige funktionsfamilier. 1 Introduktion Velkommen til MatBog s funktions zoologiske have! I dette afsnit har vi samlet en masse funktioner og organiseret dem i familer dvs. samlinger af funktioner der har samme udseende. Du kan forestille dig hver familie som en flok dyr af samme art, samlet i et bur i en zoologisk have. Vi vil stoppe ved hvert bur og gennemgå hvordan sådan nogle dyr kan se ud, hvad de har til fælles og hvad der adskiller dem fra andre dyr. Hver af familierne har en eller flere såkaldte frie parametre. Det nogle talstørrelser som svarer nogenlunde til DNA strengene i et dyr: Man kan vælge mere eller mindre frit hvad de skal være (hvis der er begrænsninger på hvad man må vælge, så er det oplyst), og alt efter hvad man vælger dem til, så får man en forskellig funktion fra den samme familie. Man siger at man fastlægger de frie parametre. Det er meget vigtigt at kende forskel på de frie parametre og funktionens variabel, som jo netop ikke skal fastægges. Funktionens variabel (som regel betegnet med bogstavet x ) er jo bare et symbol for noget som funktionen kan tages på, og det bliver kun brugt fordi det nu engang er nemmere at sige (om funktionen f) at: end det er at sige at: f(x) = x 2 f er den funktion som opløfter tal i anden potens. side 1

4 Forudsætninger: For at have glæde af dette dokument bør du have et godt kendskab til funktioner og den terminologi som bruges når man taler om funktioner 1. Specielt begreberne: grafer, definitions og værdimængde, monotoni, ekstremer og injektivitet. 1 Du kan finde en grundig introduktion til funktionsbegrebet her side 2

5 2 Potensfunktioner Funktionsforskrift Parametre f(x) = x a a er et reelt tal, kaldet eksponenten eller bare potensen. Definitionsmængde For nemhedens skyld vedtages at Dm(f) =]0; [ selvom den for visse værdier af a kan gøres større. Eksempler på grafer Værdimængde, monotoni, ekstremer og specielle værdier f(1) = 1 Hvis a 0 er Vm(f) =]0; [ Hvis a > 0 er f voksende side 3

6 Hvis a < 0 er f aftagende Hvis a 0 er f injektiv, og den inverse funktion til f er også en potensfunktion, givet ved: f 1 (x) = x 1 a side 4

7 3 Potensielle udviklinger Funktionsforskrift f(x) = b x a Parametre a er et reelt tal, kaldet eksponenten eller bare potensen. b er et positivt reelt tal. Definitionsmængde For nemhedens skyld vedtages at Dm(f) =]0; [ Eksempler på grafer Værdimængde, monotoni, ekstremer og specielle værdier f(1) = b Hvis a 0 er Vm(f) =]0; [ side 5

8 Hvis a > 0 er f voksende Hvis a < 0 er f aftagende Hvis a 0 er f injektiv, og den inverse funktion til f er også en potensiel udvikling, givet ved: f 1 (x) = ( ) b 1 1 a x a side 6

9 4 Polynomielle funktioner Funktionsforskrift Parametre f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n n = a i x i i=0 n er et naturligt tal, kaldet graden af f. a 0, a 1,... a n er reelle tal, kaldet koefficienterne i polynomiet. Bemærk at den sidste koefficient, a n, ikke må være nul. Definitionsmængde Alle reelle tal. Eksempler på grafer side 7

10 Værdimængde, monotoni, ekstremer og specielle værdier f har mellem 0 og n nulpunkter. f har mellem 1 og n monotoniintervaller (hvis n 1). f har mellem 0 og n 1 lokale ekstremumssteder (hvis n 1). Hvis n er ulige har f ingen globale ekstremer, og Vm(f) = R. Hvis n er lige og a n < 0, så har f en global maksimumsværdi, M, og Vm(f) =] ; M]. Hvis n er lige og a n > 0, så har f en global minimumsværdi, m, og Vm(f) = [m; [ side 8

11 5 Harmoniske svingninger Funktionsforskrift f(x) = A sin(ω x + φ) + k Parametre A er et positivt reelt tal, kaldet amplituden ω er et positivt reelt tal, kaldet vinkelfrekvensen φ er et reelt tal, kaldet faseforskydningen k er et reelt tal, kaldet offset værdien eller middelværdien Definitionsmængde Alle reelle tal. Eksempler på grafer side 9

12 Værdimængde, monotoni, ekstremer og specielle værdier Vm(f) = [k A; k + A] Funktionsværdien til x = φ ω giver altid k Funktionsværdierne gentager sig med en periode, T, hvor T = 2π ω f har uendeligt mange globale minimumssteder og maksimumssteder. Mellem ekstremumsstederne er f monoton. side 10

13 6 Eksponentialfunktioner Funktionsforskrift f(x) = a x Parametre a er et positivt reelt tal, kaldet grundtallet. Definitionsmængde Alle reelle tal. Eksempler på grafer Værdimængde, monotoni, ekstremer og specielle værdier f(0) = 1 og f(1) = a Hvis a 1 er Vm(f) =]0; [ side 11

14 Hvis a > 1 er f voksende Hvis a < 1 er f aftagende Hvis a er lig med Eulers tal: e 2, så kaldes f den naturlige eksponentialfunktion, og den er karakteriseret ved at grafens hældning i punktet (0; 1) er 1. For alle reelle tal, x og y, gælder regnereglen: f(x + y) = f(x) f(y) side 12

15 7 Eksponentielle udviklinger Funktionsforskrift Parametre f(x) = b a x a er et positivt reelt tal, kaldet grundtallet eller i forbindelse med renteudviklinger: fremskrivningsfaktoren b er et positivt reelt tal, kaldet startværdien eller i forbindelse med renteudviklinger: hovedstolen. Definitionsmængde Alle reelle tal. Eksempler på grafer Værdimængde, monotoni, ekstremer og specielle værdier f(0) = b Hvis a > 1 så defineres den såkaldte fordoblingskonstant ved: T 2 = log(2) log(a) side 13

16 (hvor log betegner en valgfri logaritmefunktion). Den opfylder for alle reelle tal, x, at: f(x + T 2 ) = 2 f(x) Hvis a < 1 så defineres den såkaldte halveringskonstant tilsvarende ved: T 1 = log ( ) log(a) side 14

17 8 Logaritmer Funktionsforskrift f(x) = log a (x) (Den kan ikke opskrives ved hjælp af sædvanlige regneoperationer.) Parametre a er et positivt tal som er forskelligt fra 1, kaldet grundtallet Definitionsmængde Dm(f) =]0; [ Eksempler på grafer Værdimængde, monotoni, ekstremer og specielle værdier f(1) = 0 og f(a) = 1 Hvis a > 1 er f voksende Hvis a < 1 er f aftagende side 15

18 f er den inverse funktion til eksponentialfunktionen med grundtal a f opfylder de vigtige logaritmeregneregler: f(x y) = f(x) + f(y) og f(x y ) = y f(x) side 16

19 9 Logistiske funktioner Funktionsforskrift Parametre f(x) = M 1 + k e α x M er et positivt reelt tal, kaldet den øvre grænse eller i nogle sammenhænge populationen k er et positivt reelt tal, kaldet integrationskonstanten α er et positivt reelt tal, kaldet proportionalitetsfaktoren eller i nogle sammenhænge udbredelseshastigheden Definitionsmængde Alle reelle tal. Værdimængde, monotoni, ekstremer og specielle værdier Vm(f) =]0; M[ f er voksende f opfylder differentialligningen: f (x) = α M f(x) (M f(x)) side 17