Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05"

Transkript

1 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side 14 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien introduktion og eksempler TGF side Det gyldne snit Definition af det gyldne snit: liniestykke AB deles i det gyldne snit, hvis forholdet mellem den korte del (b) og den lange del (a) er lig med forholdet mellem den lange del og hele liniestykket: b/a = b/ a+b Man kan vise ( se min note om det gyldne snit ) at a b = ,618 ( tallet benævnes ofte med φ ) Altså er forholdet mellem det største og det mindste stykke ca. 1,618 Forholdet mellem det mindste og det største stykke er Det gyldne rektangel 2 (1+ 5) 0,618 Da dette også er lig med forholdet mellem største stykke og hele stykket, ser vi at liniestykkets gyldne snit ligger 61,8 % inde på liniestykket. (Bemærk at 1/φ = φ 1) Et gyldent rektangel er et rektangel, hvor forholdet mellem den længste side og den korteste side er φ A4 formatet ( denne sides format ) er ikke gyldent forholdet mellem den længste og den korteste side er 2 1,41 Det gyldne rektangel er behandlet i min note om det gyldne snit. De menneskelige proportioner Øvelse i de menneskelige proportioner Se evt.

2 Funktioner Sammenhænge. Forskellige eksempler på afhængige størrelser. I forbindelse med funktionsbegrebet tales der om uafhængig variabel og afhængig variabel. Funktionsbegrebet. Definition: side 15 Funktions - begrebet En funktion er en forskrift, der til ethvert element i en given mængde knytter præcis ét tal. Funktionsværdi: Definitionsmængde: y = f(x) Dm(f) Værdimængde: Vm(f) Eksempler på forskellige måder hvorpå en forskrift for en funktion kan angives. en regneforskrift et grafisk billede en tabel en sproglig beskrivelse Definition af grafen for en funktion. Ved grafen for en funktion forstås mængden af de punkter (x, y) i et koordinatsystem, hvor y er funktionsværdien af x ( y = f(x) ) Til fremstilling af en graf for en funktion udarbejdes en tabel over sammenhæng mellem den afhængige og den uafhængige variabel. Den uafhængige variabel benævnes normal med x og afsættes ud af 1.-aksen. Den afhængige variabel benævnes normalt med y og afsættes op ad 2.-aksen. Kender vi regneforskriften for funktionen, vælges en række x -værdier i Dm(f) og de tilsvarende y -værdier udregnes. Disse afsættes som støttepunkter i koordinatsystemet. Gennem disse punkter tegnes grafen for f. Aflæsning på graf. Du skal kunne aflæse: 1) funktionsværdier y = f(x) ( fra x-aksen til grafen og ind på y-aksen) 2) løsning til ligningen f(x) = a ( fra y-aksen til grafen og ned på x-aksen) 3) definitionsmængden Dm(f) (på x-aksen) 4) værdimængden Vm(f) (på y-aksen) Definitionsmængden og værdimængden angives som et interval

3 Tegning af grafer m.m. på TI-84 side 16 Eksempel på anvendelse af TI-84 til graftegning, fremstilling af tabel, bestemmelse af nulpunkter, skæring mellem grafer mm. Det anbefales at læse kapitel 2 Grafer og grafværktøjer i hæftet TI-84 familien - Introduktion og eksempler. Gruppearbejde med spiritus og promille. Fra Fakta om promiller (kilde: Rådet for Større Færdselssikkerhed ) har vi følgende tommelfingerregel: antal genstande 12 Mænds promilleberegning: kropsvækst 0,68 antal genstande 12 Kvinders promilleberegning: kropsvækst 0,55 Forbrændingen er ca. 0,15 promille pr. time både for mænd og for kvinder. spritformlen : x antal genstande ( 1 genstand 12g alkohol = 15 ml alkohol ) v vægt t tid i timer p alkoholpromille Mænd: Kvinder: p = p = 12x v 0,1 t v 0,68 12x v 0,085 t v 0,55 Her regnes med en forbrænding på 0,1 g alkohol i timen pr. kg. kropsvægt for mænd 0,085 g for kvinder. Vi har haft besøg af Jacob Jessen biologi og dramalærer på TG for at fortælle om spiritus indvirkning på kroppen. Funktioners variation Definition på voksende og aftagende funktioner (monotone funktioner). For en ikke monoton funktion kan man angive funktionens monotoniforhold ved at opskrive monotoni-intervallerne ( intervaller hvori funktionen enten er aftagende eller voksende). Maksimum ( størsteværdi ) og minimum ( mindsteværdi ) for funktioner. Tallet hvori funktionen antager sit maksimum eller minimum kaldes maksimumsstedet h.h.v. minimumsstedet ( fællesbetegnelse: ekstremumssteder )

4 Lokale og globale ekstremum. Ekstremum er en fællesbetegnelse for maksimum og minimum. side 17 Opgaver i aflæsning på graf. Bestemmelse af ekstremumspunkter på TI-84 Tegning af grafer ved hjælp af graftegningsprogrammer. Lineære funktioner Der findes et hav af udmærkede graftegningsprogrammer. Her skal blot nævnes nogle få stykker. Grafik.exe Findes på skolens netværk og kan downloades fra min hjemmeside. Winplot Et freeware program i Peanut - serien. Link findes på min hjemmeside. GraphMatica Findes på skolens netværk. MathCad Et integreret tekstbehandlingsprogram og matematikværktøj. Findes på skolens netværk. Skolen har licens til hjemmebrug til alle elever. Det skal bemærkes, at Excel er ret uegnet til graftegning. Lineær funktion En funktion, der har en regneforskrift der kan skrives på formen: f(x) = ax + b hvor a og b er reelle tal kaldes en lineær funktion. Disse funktioner har grafer, der ligger på en ret linie. Eksempler på lineære funktioner. Alle rette linier, undtagen lodrette, kan være graf for en lineær funktion. Eksempler: f(x) = 2x 3 (2 x + ( 3)) a = 2 b = 3 f(x) = x +1 ( 1 x + 1) a = 1 b = 1 f(x) = x ( 1 x + 0 ) a = 1 b = 0 f(x) = 5 ( 0 x + 5 ) a = 0 b = 5 Betydning af konstanterne a og b: a: kaldes hældningskoefficienten eller stigningstallet og er den tilvækst i y-koordinat der svarer til tilvæksten 1 i x-koordinat. b: angiver liniens skæring med 2. aksen. Beregning af a og b i ligningen y = ax + b Hvis der er givet to punkter A= (x 1, y 1 ) og B = (x 2, y 2 ) er hældningskoefficienten givet ved : a = y 2 y 1 x 2 x 1

5 b beregnes ved at indsætte et af punkterne A eller B og den beregnede værdi for a i ligning y = ax + b side 18 b = y 1 ax 1 Lineære modeller Lineær vækst er karakteriseret ved, at der til lige store tilvækster på den uafhængige variabel svarer lige store tilvækster på den afhængige variabel. Man kan undersøge om der er en lineær sammenhæng mellem to størrelser ved at afsætte sammenhørende værdier i et koordinatsystem. Hvis punkterne tilnærmelsesvis ligger på ret linie, kan vi konstatere en lineær sammenhæng. Forskriften for den lineære funktion bestemmes ved at tegne en ret linie, der " bedst muligt " passer til punkterne. METODE til tegning af den " bedste rette linie ": 1) Vælg en enhed på akserne, så figuren bliver så stor som muligt. 2) Afsæt punkterne og vurder om der "tilnærmelsesvis er lineær sammenhæng". Husk at respektere de enheder, der er valgt på akserne. 3) Placer linien sådan at punkternes samlede afvigelse fra linien er mindst mulig, og så afvigelsen er ligelig fordelt på begge sider af linien. 1) Bestem forskriften ud fra to punkter på grafen. Punkterne skal vælges langt fra hinanden. Husk at der ofte er valgt forskellig enheder på akserne! På TI-84 kan man beregne forskriften for den bedste rette linie. Metoden kaldes lineær regression. Metoden er gennemgået og er beskrevet i detaljer i den udleverede Eksempelsamling til TI-84. Der findes et program på skolens netværk - REGRESS - der gør det samme. Programmet kan downloades fra min hjemmeside. Facilitet er også indbygget i regnearket EXCEL. Nedenfor er et skærmbillede fra TI-84 fra opgaven med USA s befolkningstal i perioden Hvis man bruger TI-84 til at beregne modellen, skal der foreligge en grafisk dokumentation på, at modellen med rimelighed kan anvendes ( dvs. at punkterne skal tilnærmelsesvis ligge på en ret linie ).

6 Løsning af ligninger og uligheder side 19 Beregning af løsningsmængden til en ligning eller en ulighed foretages ved at omforme ligningen eller uligheden, så den ubekendte isoleres på den ene side af lighedstegnet eller ulighedstegnet. Om disse omformninger gælder følgende regler: Regneregler for omformning af ligninger Regneregler for omformning af uligheder 1) Man må trække det samme tal fra eller lægge det samme tal til på begge sider af et lighedstegn 2) Man må gange og dividere med samme tal på begge sider af et lighedstegn, undtagen med nul. 1) Man må trække det samme tal fra eller lægge det samme tal til på begge sider af et ulighedstegn 2) Man må gange og dividere med samme positive tal på begge sider af et ulighedstegn. 3) Man må gange og dividere med samme negative tal på begge sider af et ulighedstegn når ulighedstegnet samtidig vendes Når ovenstående regneregler anvendes, får man en ligning eller ulighed hvor løsningsmængden er den samme som den oprindelige. Man siger at udsagnene er ensbetydende. Man bruger symbolet imellem ensbetydende udsagn. Metode til at beregne løsningsmængden til simple ligninger og uligheder: 1) gang parenteser ud. 2) fjern brøker ved at gange med fællesnævneren for brøkerne i udsagnet. 3) saml alle x ' erne på den ene side af lighedstegnet eller ulighedstegnet og alle tallene på den anden. 4) divider på begge sider af lighedstegnet eller ulighedstegnet med det tal,der står foran x. 5) opskriv løsningsmængden. Grafisk løsning af ligninger og uligheder. I forbindelse med løsning af uligheder kræves der, at I kan løse simple lineære uligheder. Andre ikke simple uligheder løses ved følgende metode - skitseret ved et eksempel : Løs uligheden x 1 x Først løses den tilsvarende ligning x = 1 x (evt. v.h.a TI-84)

7 Tegn graferne for funktionerne f(x) = x og g(x) = 1 på TI-84 x side 20 Tast CALC efterfulgt af INTERSECT for at få beregnet skæringspunktet Af det grafiske billede fås så løsningen L = ]0,1] I forbindelse med grafisk løsning af ligninger er der arbejdet med stykvis definerede funktioner gaffelforskrift el. Tuborg funktion Eks. 2x+ 1 for x 1 f(x) = 2 x 6x+ 8 for x> 1 Grafen kan tegnes på TI-84, som det fremgår af nedenstående figurer: (Tegnene =, <, m.fl. fås i 2nd MATH ( TEST ) Den numeriske værdi af x : f(x) = R S 0 T x x for x > 0 for x = 0 for x < 0 betegnes enten som x eller som abs(x) ( den absolutte værdi af x) - på TI-84 fås den ved at taste MATH, NUM, 1 Angående løsning af ligninger skal I kunne løse ligninger, der kan omskrives til lineære ligninger eller andengradsligninger. Andre ligninger løses med TI-84.

8 side 21 Ved uligheder hvor der indgår brøker skal man først isolere alt på den ene side af lighedstegnet og sætte på fælles brøkstreg. Uligheden løses herefter ved at undersøge fortegnsvariationen for tæller, nævner og brøken ( jf. eks. 35 og 36 side i Tal, geometri og funktioner ) Uligheder med produkter løses også ved hjælp af en fortegnslinie. Husk! Nulreglen a b = 0 a = 0 b = 0 a/b = 0 a = 0 ( b 0 ) Der kan i forbindelse med løsning af ligninger optræde specielle situationer : Eks. Udsagnene 0 = 0 og 1 < 2 er altid sande - derfor er løsningsmængden lig med hele grundmængden Udsagnene 2 = 3 og 4 2 er aldrig sande derfor er løsningsmængden tom ( L = Ø ) Interaktive øvelser på nettet : Flytning af grafer: Der gælder følgende sætning, om hvordan flytning af grafer påvirker funktioners forskrift. Parallelforskydn ing af en graf Forskriften for den funktion, g, hvis graf er en parallelforskydning af grafen for f med talsættet (a,b), er givet ved: g(x) = f(x a) + b Parallelforskydning af graf med talsættet ( a,b) Eksempler på flytning af grafer

9 Andengradspolynomier - Parabel side 22 En funktion, der har en regneforskrift der kan skrives på formen: f(x) = ax 2 + bx + c hvor a, b og c er reelle tal og a 0 kaldes et Andengradspolynomium. Indledning med symmetri og parallelforskydning Definition : En kurve der har ligningen y = a x 2 og alle parallelforskydninger af sådanne kaldes en parabel. Tegning af grafen for f(x) = a x 2 på TI-83 for forskellige værdier af a. Hvis a > 0 vender grenene opad Hvis a < 0 vender de nedad. Parablen er "smal" for a numerisk stor og "bred" for a numerisk lille. Begreberne toppunkt og symmetriakse er indført. a = 2 a = 0,5 a = 1 a = - 0,2 a = - 3 Parallelforskydning af parablen y = a x 2 Andengradspolynomier Parallelforskydning af y = x 2 Parallelforskydes parablen y = x 2 med koordinatsættet (p,q) fås en parabel med toppunkt i (p,q) med ligningen: y = a(x p) 2 + q

10 Toppunkt for parablen: side 23 Sætning om parablens toppunkt Ligningen y = ax 2 + bx + c, a 0, beskriver en parabel med toppunkt i -b 2a, -d 4a, hvor d er deskriminanten: d = b2 4ac y = ax 2 + bx + c, a 0 beskriver altså en parabel. Konstanterne a, b og c kaldes koefficienterne. Deres betydning for det grafiske billede fremgår af ovenstående sætninger. Skal man tegne parablen i et koordinatsystem, skal man først finde toppunktet og så tegne y = ax 2, som om toppunktet er koordinatsystemets begyndelsespunkt. c er skæringen med y-aksen. Deskriminanten har betydning parablens skæring med x- aksen) : Ved at se på toppunktets andenkoordinat kan vi få følgende placeringer af parablen for forskellige fortegn for a og d: d < 0 d = 0 d > 0 a > 0 a < 0 Andengradsligningen En ligning af type y = ax 2 + bx +c = 0, a 0, kaldes en andengradsligning. Løsninger til den kaldes andengradsligningens rødder Sætning om rødderne i andengrads ligningen Om andengradsligningen y = ax 2 + bx + c = 0 a 0, gælder, at antallet af rødder afhænger af deskriminanten : d < 0: ingen løsning d = 0: én løsning bestemt ved x = b 2a d > 0: to løsninger bestemt ved x = -b ± d 2a

11 side 24 Øvelser i tegning af parabler i et koordinatsystem og løsningen af andengradsligninger. For ikke at skyde spurve med kanoner ved simple andengradsligninger er nulreglen nævnt: Et produkt er nul hvis og kun hvis én af faktorerne er nul. Eks.: (x 2)(2x + 4) = 0 x 2 = 0 2x + 4 = 0 x = 2 x = 1 2 L = { 1 2, 2 } Løsning af andengradsligninger med TI-83 Indtast formlerne for d, og rødderne og gem dem i formellagrene u,v eller w. Gem værdierne for a, b og c i lagrene A, B og C Nedenstående display viser hvordan formlen for d og den ene rod indtastes, hvordan polynomiet indtastes samt grafen for andengradspolynomiet. I kan læse mere om det i den udleverede TI-84 familien introduktion og eksempler ( 4) Det er også muligt at lægge et program ind i TI-84 til bestemmelse af rødderne: TI Graph Link - er et program til bl.a. overførsel af programmer til TI-84.Programmet ligger på den CD i modtog sammen med lommeregneren. I kan søge efter programmer til TI-84 på internettet. På min hjemmeside under matematik har jeg lagt nogle links til forskellige adresser. På min hjemmeside kan i hente et program til løsning af 2.gradsligninger : ANDENGRA under klasser/1x (http://home5.inet.tele.dk/hhhsdrh/ ) Eksempler på opgaver med familier af andengradspolynomier. Eksempler på optimering af andengradspolynomier ( fåreindhegning mm. ) Andengradsuligheder Løses grafisk sammen med en løsning af den tilsvarende andengradsligning. Skæring mellem linie og parabel og mellem to parabler Metode: Indsæt udtrykket for y i liniens ligning i parablens ligning. Herved fremkommer en andengradsligning, der kan have enten : 1) ingen løsning ingen skæring 2) én løsning linien er tangent til parablen eller cirklen 3) to løsninger linien skærer to steder. y-koordinaten til skæringspunkterne findes ved at indsætte de fundne x-værdier i liniens ligning. Samme metode bruges ved skæring mellem to parabler.

12 Polynomier side 25 Polynomium Definition Et polynomium af grad n er en funktion hvis forskrift kan skrives på formen: f(x) = a n x n + a n-1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 hvor a n 0 Eks: 2x 3 x + 1 a 3 = 2, a 2 = 0, a 1 = 1, a 0 = 1 (x +1) 4 omskrives: (x +1) 4 = x 4 + 4x 3 + 6x 2 + 4x + 1 dvs. a 4 = a 3 = a 2 = a 1 = a 0 = 1 Man kan vise at et n'te gradspolynomium har højst n rødder ( nulpunkter ) Der findes formler til at finde de eksakte rødder i 3. og 4. gradspolynomier, og man kan vise at der ikke findes generelle formler til bestemmelse af rødder i polynomier af højere grad end 4. På min hjemmeside kan i finde et program til TI-84 til bestemmelse af rødder i et vilkårligt 3.gradspolynomium. Med TI-84 kan man numerisk bestemme rødder til alle polynomier. Faktorisering af andengradspolynomier: faktorisering Hvis et andengradspolynomium har rødderne α og β kan det faktoriseres: ax 2 + bx + c = a( x α )(x β) Sætningen er klar, da højresiden af ligningen er et andengradspolynomium med rødderne α og β, hvis graf er en parallelforskydning af y = ax 2 Omskrivningen ax 2 + bx + c = a( x α )(x β) a( x 2 + b a x + c a ) = a ( x2 αx βx + α β ) x 2 + b a x + c a = x2 + ( α β) x + α β viser at α + β = b/a og α β = c/a Specielt gælder der, hvis a = 1 : røddernes sum er lig med koefficienten foran x med modsat fortegn røddernes produkt er lig med sidste led. Anvendelser af faktorisering: forkortning af brøker af polynomier. Andengradspolynomiet afsluttes med en projektopgave: Afstandsregulering en trafikmodel.

13 Omvendt funktion. side 26 Definition af omvendt funktion, herunder begrebet injektiv funktion. Grafen for den omvendte funktion. Øvelser og eksempler En funktion f kaldes injektiv, hvis der gælder: x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) for alle x 1, x 2 Dm(f) Hvis en funktion f er injektiv, er den omvendte funktion f 1 defineret ved: f 1 (y) = x f(x) = y Grafen for f 1 fremkommer ved at spejle grafen for f i linien y = x Eksponentiel vækst bevis: (x,y) graf(f) y = f(x) f 1 (y) = x (y,x) graf(f 1 ) og da (y,x) netop fremkommer ved spejling af (x,y) i linien x = y følger sætningen. Den omvendte funktion til x 2 for x > 0 er funktionen x Indledning med gruppearbejde hvor begreberne absolut tilvækst, relativ tilvækst og fremskrivningsfaktor bliver forklaret. Procent og fremskrivningsfaktor Vækstrate = relativ tilvækst = rentefod I det meste litteratur betegnes ovenstående med bogstavet r. Angives rentefoden i procent skrives r% - eks. 7% = 0,07 Vækstfaktor = fremskrivningsfaktor Sammenhæng mellem fremskrivningsfaktor og rente i % :

14 side 27 Eksempel: Kapitalfremskrivning a = 1 + r Fremskrivningsfaktor Rentefod i % 1,1 10% 1,07 7% 1,001 0,1% 1,5 50% 2 100% 4,5 350% 0,85-15% Vigtig formel i forbindelse med procent - og rentesregning: Slutværdi = Startværdi Fremskrivningsfaktor Formlen kan omskrives til: Startværdi = Slutværdi / Fremskrivningsfaktor eller Fremskrivningsfaktor = Slutværdi/ Startværdi Udledelse ( på grundlag af et eksempel ) af kapitalfremskrivningsformlen: K n = K 0 ( 1+r) n K n = Slutværdi K 0 = Startværdi r = rentefod pr. termin n = antal terminer En termin er den perioder der går mellem to rentetilskrivninger. Formlen kan anvendes når 3 af de 4 størrelser, der indgår i formlen, er kendt. Det giver 4 forskellige anvendelser af formlen: 1) K n ubekendt - kapitalfremskrivning K 0 = 3000 r = 0,14 ( 14%) n = 5 lommeregner: ^ 5 =

15 2) K 0 ubekendt - kapitaltilbageførsel side 28 K n = r = 0,07 n = 20 lommeregner: ^ 20 = ) r ubekendt K n = 5, K 0 = 3, n = 18 Vi får ved isolation af r i formlen K n /K 0 = (1+r) n 1+r = n K n /K 0 r = n K n /K 0-1 lommeregner: 5.1 EE EE 9 ^ 18 x -1 1 = ( 2,1 %) 4) n ubekendt K n = 1000 K 0 = 500 r = 0,02 Vi får ved isolation af n i formlen (1+r) n = K n /K 0 her 1,02 n = 2 Metoden består i at prøve sig frem på lommeregneren. Da 1,02 35 = 2 er n = 35 Ligningen kan løses på en anden måde idet man kan bruge sætningen ( som I skal lære senere ): a = b n n = log(a) log(b)

16 Gennemsnitlig procent side 29 Bemærk at rentefoden 16% p.a. ikke svarer til 4% pr. kvartal på grund af rentes rente. Af samme grund svarer 2% pr. måned ikke til 24% p.a. Vi har 1 + R = (1 + r) n n 1 + R = 1 + r R er rentefoden for det lange tidsrum og r er rentefoden for det korte tidsrum Eks. : Hvis R = 16% = 0,16 er den årlige rente. 1+r = 4 1,16 = 1,0378 r = 0,0378 = 3,78 % er renten pr. kvartal Hvis r = 2% = 0,02 er den månedlige rente 1+R = 1,02 12 = 1,268 R = 0,268 = 26,8% er den årlige rente Gennemsnitlig rentefod Den gennemsnitlige rentefod, r, af rentesatserne r 1, r 2,..r n er givet ved: 1 + r = n (1 + r 1 ) (1 + r 2 ). (1 + r n ) (1+r) n = (1 + r 1 ) (1 + r 2 ). (1 + r n ) Hvis den månedlige rentefod er 2%, siger man at den nominelle rente pro anno er 24 %. Derimod er den effektive rente 26,8%. Vi når ikke længere dette semester. Det var oprindelig planlagt, at vi skulle beskæftige os med eksponentiel vækst. Det bliver så det emne, vi skal starte med i august. 25/5 kl er der årsprøve i skriftlig matematik. Alle hjælpemidler er tilladte. Prøven består af to dele. En uden og en med hjælpemidler. Prøven uden hjælpemidler skal afleveres kl. 10. Først herefter må hjælpemidlerne tages frem. 9-10/6 - kl er der årsprøveprojekt i Geometriske konstruktioner. Til projektet skal vi anvende programmet Geometer. I skal have jeres lærebog, samt passer og lineal med til årsprøveprojektet.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik 2y 07/08

Oversigt over undervisningen i matematik 2y 07/08 Oversigt over undervisningen i matematik 2y 07/08 side Der undervises efter: AB Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik AB ( Forlaget HAX) B2 Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik B2 ( Forlaget HAX) EKS Knud

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Brug af TI-83. Løsning af uligheder: Andre ikke simple uligheder løses ved følgende metode - skitseret ved et eksempel : Løs uligheden

Brug af TI-83. Løsning af uligheder: Andre ikke simple uligheder løses ved følgende metode - skitseret ved et eksempel : Løs uligheden Brug af TI-83 Løsning af andengradsligninger med TI-83 Indtast formlerne for d, og rødderne og gem dem i formellagrene u,v eller w. Gem værdierne for a, b og c i lagrene A, B og C Nedenstående display

Læs mere

11. Funktionsundersøgelse

11. Funktionsundersøgelse 11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj- juni 2012 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C Lene Thygesen

Læs mere

Løsning til aflevering - uge 12

Løsning til aflevering - uge 12 Løsning til aflevering - uge 00/nm Opg.. Længden af kilerem til drejebænk. Hjælp mig med at beregne den udvendige, længde af kileremmen, der er anvendt på min ældre drejebænk. Største diameter på det store

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg

Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg Dette dokument er en sammenskrivning af uddrag af følgende skrifter: Undervisningsvejledning nr. 21 for matematik i HF (september 1995); findes på adressen: http://us.uvm.dk/gymnasie/almen/vejledninger/undervishf/hfvej21.htm;

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj / juni 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C Lene Thygesen

Læs mere

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin juni 2011 Institution Campus Bornholm Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hhx Matematik C Peter Seide 1AB

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4 Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 016 4. maj 016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 3x 6 x 3x x 6 4x 4 x 1 4 Opgave : f x x 3x P,10 Punktet ligger på grafen for f, hvis dets koordinater indsat

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik B ( Valghold ) Lærer(e) LSP (

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

Det grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. En parabels skæring med x-aksen kaldes nulpunkter eller rødder.

Det grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. En parabels skæring med x-aksen kaldes nulpunkter eller rødder. Parabler En funktion med grundformlen y = ax 2 + bx + c kaldes en andengradsfunktion. Det grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. 1. Hvis a = 0, er det ikke en andengradsfunktion.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2011 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2010 Institution Handelsskolen Sjælland Syd, Campus Vordingborg Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Parallelle linjer En linje l går gennem punktet og er parallel med linjen m der er givet ved:

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 12/13 Institution VID Gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik C Hasse Rasmussen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj / Juni 2013 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C Lene Thygesen

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

Eksempler på problemløsning med differentialregning

Eksempler på problemløsning med differentialregning Eksempler på problemløsning med differentialregning 004 Karsten Juul Opgave 1: Monotoniforhold = 1+, x 3 3 x Bestem monotoniforholdene for f Besvarelse af opgave 1 Først differentierer vi f : (3 x) (3

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 side1 Der undervises efter: MatC Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik C ( Forlaget HAX) EKS Knud Nissen : TI-82 stat introduktion og eksempler Ovenstående

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B (Valghold) PEJE

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C PEJE (Pernille

Læs mere

Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen. IX Funktioner Side 1

Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen. IX Funktioner Side 1 Side 1 Funktion Opgaverne med svar starter på side 2, og deres numre har et s efter nummeret. Deres nummerering starter forfra. Svarene står fra side 3 med et s foran nummeret. 1001 Figuren viser grafen

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau HHX Matematik C Lærer(e) LSP ( Liselotte Strange-Pedersen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 12/13 Institution Grenaa Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik C Ann Risvang

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2011 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik niv.c Ejner Husum

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C MIHY (Michael

Læs mere

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 10/11 Institution Grenaa Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik B Hasse Rasmussen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 08/09 Institution Grenaa Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik C Sanne Schyum

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 2014 Institution VID Gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik C Hasse Rasmussen

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik 1m 07/08

Oversigt over undervisningen i matematik 1m 07/08 Oversigt over undervisningen i matematik 1m 07/08 side1 Der undervises efter: MatC Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik C ( Forlaget HAX) EKS Knud Nissen : TI-82 stat introduktion og eksempler Ovenstående

Læs mere

Oversigt over gennemførte flerfaglige forløb disse hentes via hjemmesiden

Oversigt over gennemførte flerfaglige forløb disse hentes via hjemmesiden Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni, 15/16 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer e-mailadresse Hold Handelsgymnasiet Ribe HHX Matematik

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj 2011 Institution Handelsskolen Tradium, Hobro afd. Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik A Kenneth Berg k708hhxa3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 12/13 Institution VID Gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik C Hasse Rasmussen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2011 juni 2012 Institution Handelsgymnasiet Tradium, Rådmands Boulevard Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni, 2012/13

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj 2011 Institution Handelsskolen Tradium, Hobro afd. Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik C Kenneth Berg k710hhxa1 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 ZBC

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2012 Institution Vejle Handelsskole Uddannelse Fag og niveau HHX Matematik B Lærer(e) LSP ( Liselotte

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2011 Institution Vejle Handelsskole Uddannelse Fag og niveau HHX Matematik C Lærer(e) LSP ( Liselotte

Læs mere

Løsningsforslag Mat B August 2012

Løsningsforslag Mat B August 2012 Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2011 juni 2012 Institution Handelsgymnasiet Tradium, Rådmands Boulevard Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2014 IBC-Kolding

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2016 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B (Valghold) SIPE

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2011 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C Jarl Mølgaard

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Løsningsforslag MatB Jan 2011

Løsningsforslag MatB Jan 2011 Løsningsforslag MatB Jan 2011 Opgave 1 (5 %) Funktionen f er givet ved forskriften f (x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). Løsning: a) f (x) = ln(x 2) + x 2 Da den naturlige

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2016/17 Institution VID Gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik C Hasse Rasmussen

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2012

Løsningsforslag MatB Juni 2012 Løsningsforslag MatB Juni 2012 Opgave 1 (5 %) a) Isolér t i følgende udtryk: I = I 0 e k t t = I = I 0 e k t I I 0 = e k t ln( I I 0 ) = k t ln(e) ln( I I 0 ) k = ln(i) ln(i 0) k Opgave 2 (5 %) En funktion

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra juni 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra juni 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Løsningsvejledning til eksamenssæt fra juni 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Reducering Reducér følgende udtryk: Vi ganger dividerer med i både nævner og begge led i tælleren:

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 10/12 Institution Frederikshavn Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2015/16 Institution VID Gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik C Hasse Rasmussen

Læs mere

Matematik Grundforløbet

Matematik Grundforløbet Matematik Grundforløbet Mike Auerbach (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Matematik: Grundforløbet 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Spørgsmål Nr. 1. Spørgsmål Nr. 2

Spørgsmål Nr. 1. Spørgsmål Nr. 2 Spørgsmål Nr. 1 TITEL: Statistik Definition af beskrivende statistik Opdeling af beskrivende statistik i grupperede observationer og ikke grupperede observationer Deskriptorerne typetal og middelværdi

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side1 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Som 2015 Institution VUC Vest Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Mat B Niels Johansson 14MACB11E14

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen C-niveau y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4

gudmandsen.net 1 Parablen C-niveau y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 10/11 Institution Frederikshavn Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Brugervejledning til Graph (1g, del 1)

Brugervejledning til Graph (1g, del 1) Graph (brugervejledning 1g, del 1) side 1/8 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph (1g, del 1) Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2010 Institution Holstebro Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik niveau C

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2016 Institution Videndjurs - Handelsgymnasium Grenaa Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2016 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B MANY (Mads Schulz

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2013

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2013 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2013 Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau

Læs mere

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Opgave 1 (5 %) En linje er givet ved: y = 3 4 x + 3 En trekant er afgrænset af linjen og koordinatakserne i første kvadrant. a) Beregn trekantens sider og areal.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2012 Institution ZBC Ringsted Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Jacob Debel

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 10/11 Institution Frederikshavn Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Klasse/hold Fag og niveau Lærer at2hhcmkb11 Matematik B Birgit Paulsen Oversigt over undervisningsforløb 1 Beskrivende statistik 2 Funktioner generelt 3 Lineære funktioner 4 Andengradsfunktioner

Læs mere

Undervisningsplan. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over planlagte undervisningsforløb

Undervisningsplan. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over planlagte undervisningsforløb Undervisningsplan Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleåret 2015-2016 Institution Svendborg Erhvervsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C Jesper

Læs mere

MATEMATIK B. Videooversigt

MATEMATIK B. Videooversigt MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj / juni 2012 Institution Vejen Handelsskole og Handelsgymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution VUC Fredericia Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik B Susanne Holmelund

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin aug-juni 13/14 Institution Campus Vejle VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Matematik C Lars Therkelsen

Læs mere

Sammenhæng mellem variable

Sammenhæng mellem variable Sammenhæng mellem variable Indhold Variable... 1 Funktion... 2 Definitionsmængde... 2 Værdimængde... 2 Grafen for en funktion... 2 Koordinatsystem... 3 Koordinatsæt... 4 Intervaller... 5 Løsningsmængde...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2006 Institution Selandia-CEU Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) hhx Matematik, niveau C Jens Hviid Hold

Læs mere