Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011"

Transkript

1 Differentiation Frank Nasser 11. juli Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

2 Indhold 1 Introduktion 1 2 Definitoner Differentiabilitet Afledet funktion Tangenter Højere afledede Sætninger om differentiation Basale funktionstyper Regneregler En udfordring Tangenter og approksimationer Tangentens ligning Det approksimerende førstegradspolynomium Den relative fejl og linearitet til første orden Monotoni og Ekstremer 38 6 Avancerede anvendelser 40

3 Resumé I dette dokument laver vi en præcis definition af hvad det vil sige at differentiere en funktion, og bagefter gennemgår vi nogle sætninger om hvordan differentiation foregår i praksis. Til sidst kommer vi forbi nogle meget vigtige anvendelser af differentiation, nemlig optimering og begrebet vækstrate. 1 Introduktion Differentiation er nok det mest succesfulde begreb der nogensinde er indført i matematikken 1. Det blev udviklet i løbet af 1600-tallet og for alvor gjort præcist af Newton og Leibnitz lige omkring år I dette dokument definerer vi helt præcist hvad differentiation er. Bagefter gennemgår vi nogle sætninger om differentiation og giver eksempler og uddybende forklaringer på disse sætninger. Til sidst skal det handle om hvad differentiation kan bruges til. Beviser for sætningerne bliver gennemgået i seperate dokumenter. Forudsætninger For at forstå dette dokument er det nødvendigt at du har styr på funktionsbegrebet 3 og begrebet grænseværdier 4. Hvis du aldrig har hørt om differentiation før, og du er den utålmodige type, kan det godt være svært at holde koncentrationen fordi 1 Måske bortset fra selve talbegrebet, men det kan dårligt siges at være indført i matematikken. 2 Sjovt nok blev denne utroligt store opdagelse gjort samtidigt af Newton som var fysiker og Leibnitz som var matematiker. Det er en lang og underholdende historie som du kan læse mere om her 3 Læs en hurtig gennemgang af funktionsbegrebet her 4 Læs om grænseværdier her side 1

4 fremstillingen er så grundig. I så fald er det en god ide at læse dokumentet pointen med differentiation først, for at få en ide om hvad det hele egentlig handler om 5. Terminologi Når vi i dette dokument taler om en funktion, så vil det hele tiden være underforstået at det er en funktion med de reelle tal, R, som både primærmængde og sekundærmængde. 2 Definitoner Allerførst har vi brug for en teknisk definition, fordi vi vil gøre forskel på elementerne i en funktions definitionsmængde. Definition 1 (Indre punkt). Hvis f er en funktion, så vil vi sige at et element x 0 i definitionsmængden er et indre punkt i definitionsmængden hvis vi kan vælge et åbent interval, I =]a;b[ sådan at x 0 ligger inde i intervallet, og hele intervallet er indeholdt i definitionsmængden. Kort skrevet: x 0 I og I Dm(f ) 5 Læs om pointen med differentiation her side 2

5 Eksempel 1. Hvis Dm(f ) =] 2;2] (se figur 1) så er 0 et indre punkt i definitionsmængden. Vi kan nemlig f.eks. lade I være det åbne interval: I =] 1;1[ Et andet indre punkt er 1,99. Her kan vi nemlig f.eks. lade I være det åbne interval: I =](1,987);(1,995)[ Derimod er 2 ikke et indre punkt, fordi vi aldrig kan finde et åbent interval som indeholder 2, og som holder sig inden for Dm(f ) =] 2;2] Man siger derimod at 2 er et randpunkt. Med i mængden, men ikke et indre punkt Ikke med i mængden Indre punkter R Figur 1: Indre punkter i et interval Bemærk at så længe definitionsmængden er et interval, så er alle andre punkter end endepunkterne indre punkter. Eftersom langt de fleste af vores funktioner vil være defineret på et interval, så kan vi næsten tillade os at tænke på et indre punkt som det modsatte af et intervalendepunkt. side 3

6 Der findes dog funktioner med så skøre definitionsmængder at vi er nødt til at være mere præcise når vi laver vores definitioner. Ellers risikerer vi at definitionerne ikke giver mening for disse funktioner, og det har vi ikke lyst til. Øvelse 1. Beskriv hvilke punkter som er indre punkter i definitionsmængderne for følgende funktioner. f 1 (x) = cos(x) f 2 (x) = 1 x x R x 0 f 3 (x) = x x 0 f 4 (x) = x 2 x {1,8,17,99} 2.1 Differentiabilitet Definition 2. Hvis f er en funktion og x 0 er et indre punkt i definitionsmængden, Dm(f ), så siger vi at f er differentiabel i x 0 hvis størrelsen: d(x) = f (x) f (x 0) har et reelt tal som grænseværdi når x x 0 Bemærkninger Dén definition er svær at læse! Hvis man skal forstå hvad der står, er man nødt til at se grundigt på betydningen af størrelsen d(x): side 4

7 Den brøk som det hele handler om: d(x) = f (x) f (x 0) kaldes for en differenskvotient for f, fordi det er en kvotient (en brøk) med differenser (minus-operationer) i både tæller og nævner. Når vi kalder den for d, og betragter den som en funktion af x, så er det vigtigt at gøre sig klart at den selvfølgelig også afhænger af x 0 og af hvilken funktion f vi har med at gøre. Grunden til at vi alligevel fremhæver at det er en funktion af x er selvfølgelig at vi senere skal tale om grænseværdien af d når x nærmer sig x 0. Punktet x 0 skal man tænke på som et helt fast udgangspunkt. Nu vælger vi så punktet x et sted i nærheden af x 0 (og lader senere x nærme sig x 0 ). Med valget af x har vi to punkter på grafen for f, nemlig: og (x 0 ; f (x 0 )) (x; f (x)) (se figur 2). Mellem disse to punkter giver det mening at trække en ret linje. Sådan en ret linje kaldes en sekant til grafen. Hvis man nu læser definition 2 igen, kan man se at størrelsen d(x) ganske enkelt er lig med hældningen af sekanten mellem de to punkter (x 0 ; f (x 0 )) og (x; f x)). Nu er det nemmere at se hvad definitionen siger nemlig at sekanthældningerne skal have en grænseværdi når man lader punktet x nærme sig x 0. Eksempel 2. Betragt funktionen f defineret ved: f (x) = x 2 side 5

8 3 2 1 y=f(x) x 0 x -1 Figur 2: Sekanten mellem to punkter på en graf og det indre punkt x 0 = 17 i definitionsmængden. Hvis vi skal undersøge om f er differentiabel i x 0, skal vi se på differenskvotienten: f (x) f (17) x 17 = x x 17 Hvis vi på snedig vis bruger den tredie kvadratsætning til at omskrive tælleren, så får vi: x x 17 = (x + 17) (x 17) x 17 = x + 17 Og nu er det nemt at se hvad der sker med differenskvotienten når x nærmer sig 17. Den nærmer sig nemlig: = 34 Man har ikke forstået begrebet differentiabilitet før man har set et side 6

9 y=x x 15 x 0 Figur 3: Differentiabilitet af funktionen fra eksempel 2 eksempel på en funktion som ikke er differentiabel. side 7

10 Eksempel 3. Betragt funktionen f defineret ved: Og betragt det specielle punkt { x, x 0 f (x) = x = x, x < 0 x 0 = 0 Hvis vi kigger på differenskvotienter for denne funktion, så kommer de til at se forskellige ud, alt efter om det andet punkt x ligger på højre eller venstre side af x 0. Hvis x < 0, bliver differenskvotienten: d(x) = f (x) f (x 0) x 0 = x 0 = x x = 1 Men hvis x > 0 bliver differenskvotienten: d(x) = f (x) f (x 0) x 0 = x 0 = x x = 1 side 8

11 og at Vi ser altså at: d(x) 1,når x 0 d(x) 1,når x 0 + Eftersom differenskvotienten har en forskellig grænseværdi, alt efter om x nærmer sig x 0 fra højre eller venstre, kan den ikke siges at have en reel grænseværdi. Derfor er funktionen f ikke differentiabel i x 0. Hvis man ser på grafen (se figur 4), er det også klart at det ikke giver mening at tale om grafens hældning i x 0 = 0. 3 y=f(x) Figur 4: Nummerisk værdi-funktionen er ikke differentiabel i nul Definition 3. Hvis en funktion f er differentiabel i alle indre punkter x 0 i definitionsmængden, så siger man at funktionen f er differentiabel. side 9

12 Øvelse 2. Betragt kubikrodsfunktionen f defineret ved: f (x) = 3 x = x 1 3, x R Denne funktion er ikke differentiabel, fordi der er præcis et indre punkt x 0 i dens definitionsmængde hvor den ikke er differentiabel. Find det punkt x 0 hvor f ikke er differentiabel. Det kan du gøre ved at tegne grafen for f og spørge dig selv hvorhenne der er problemer med at tale om hældningen af grafen. Bevis at f ikke er differentiabel i dette punkt ved at betragte differenskvotienten. 2.2 Afledet funktion Definition 4. Hvis f er en funktion som er differentiabel i et indre punkt x 0 Dm(f ), så vil vi omtale grænseværdien af differenskvotienterne: f (x) f (x 0 ) lim x x 0 som grafhældningen af f eller den afledede af f i punktet x 0, og den skrives som: f (x 0 ) Dette læses som: Eller simpelt hen som: f differentieret i x 0 f - mærke - i x 0 side 10

13 Bemærkninger Bemærk at den afledede (eller grafhældningen) af f kan udregnes i alle indre punkter hvor f er differentiabel. På den måde bliver f en ny funktion som er defineret i alle disse punkter. De fleste af vores funktioner vil være defineret på åbne intervaller og være differentiable i alle punkter, så i disse tilfælde bliver f defineret i præcis de samme punkter som f. Idet vi betragter f som en ny, selvstændig funktion, er det mere naturligt at angive dens værdi i et punkt ved navn x i stedet for x 0 (også selvom x spillede en helt anden rolle i selve definitionen af f ). Således vil vi f.eks. fremover oplyse at for funktionen f (x) = x 2 er den afledede funktion givet ved: for alle x R. (Se eksempel 2.) f (x) = 2x Grafhældningen af en funktion f i et punkt x 0 er et kært barn med mange navne. En anden meget udbredt måde at skrive dens værdi i et punkt x på er følgende: f (x) = d f d f (x) (x) = d x d x De sidste to skrivemåder er på mange måder smartere, men de er også meget sværere at bruge korrekt. Vi vil i dette dokument holde os fuldstændigt til den første skrivemåde 6 Den afledede funktion, f siger noget om hvor hurtigt den oprindelige funktion ændrer sig. Hvis den oprindelige funktion angiver en position som funktion af tiden, så kan man altså tænke på f som hastigheden af denne bevægelse. 6 Læs om historien bag og anvendelsen af de andre to skrivemåder her side 11

14 Øvelse 3. Betragt den konstante funktion, f, givet ved: f (x) = 8 Hvad er f ( )? (Tænk på hvordan grafen ser ud!) 2.3 Tangenter Den rette linje som går gennem punktet (x 0 ; f (x 0 )) og har hældningen f (x 0 ) kaldes tangenten til grafen for f i x 0. (Se figur 5) Man kan således (lidt upræcist) sige at... sekanterne nærmer sig tangenten når de to punkter kommer meget tæt på hinanden y=f(x) -1 x 0 Figur 5: Tangenten til grafen for f i x 0 fra figur 2 side 12

15 2.4 Højere afledede Når man differentierer en funktion, f, så opstår der en ny funktion, nemlig den afledede funktion, f. Hvis ellers f er differentiabel, så kan man differentiere en gang mere, og dermed fremkommer den såkaldte anden afledede funktion af f, og den skrives som: f (Det læses som f-dobbeltmærke.) Det kræver ikke meget fantasi at forestille sig at dette kan fortsætte. Dermed får man en hel familie af funktioner: f, f, f, f,... Hvis man differentierer en funktion 22 gange, så kan det være uoverskueligt at sætte (eller for den sags skyld læse) alle de mærker. Derfor har man opfundet notationen: f (22) (bemærk parentesen!) som betyder den 22. afledede af f eller hvad man oftere har brug for: f (n) som betyder den n te afledede af f (hvis n er et naturligt tal.) Det er meget sværere at se hvad de højere afledede har med den oprindelige funktion at gøre. Men f.eks. f siger jo noget om hvor hurtigt f ændrer sig. Så hvis f angiver en position som funktion af tiden, og man tænker på f som en hastighed, så vil f være accelerationen i denne bevægelse. 3 Sætninger om differentiation Nu skal vi i gang med at vise sætninger om hvordan man differentierer i praksis. Vi beviser kun nogle få af dem her. De øvrige beviser kan findes i seperate dokumenter. Den allerførste sætning handler om hvilke funktioner der er differentiable. side 13

16 Sætning 5. Hvis en funktion f er differentiabel i et indre punkt, x 0, så er den også kontinuert i x 0. Bevis. Den eneste måde hvorpå brøken: d(x) = f (x) f (x 0) kan have en grænseværdi når x x 0 er hvis tælleren går imod nul. 7 Men at tælleren nærmer sig nul er det samme som at sige at f (x) f (x 0 ), når x x 0 Hvilket præcis er hvad det vil sige at f er kontinuert i x 0. Hvis en funktion er differentiabel, er den altså også kontinuert. Sagt på en anden måde: De differentiable funktioner udgør en delmængde af de kontinuerte funktioner. Der findes masser af kontinuerte funktioner som ikke er differentiable. Det mest oplagte eksempel er nummerisk værdifunktionen fra eksempel Basale funktionstyper 7 Dette er temmelig svært at argumentere for, fordi vores grænseværdibegreb ikke er helt præcist nok. Men løst sagt er det fordi nævneren under alle omstændigheder går mod nul, og derfor vil brøken blive uendeligt stor medmindre tælleren også går mod nul. side 14

17 Sætning 6 (Konstante funktioner). Hvis a R, så er den konstante funktion f givet ved: f (x) = a differentiabel, og dens afledede funktion er: f (x) = 0 Eller på sloganform: En konstant funktion differentieret giver nul. Dette er meget logisk hvis man tænker på hvordan grafen for en konstant funktion ser ud (det er en vandret linje), og samtidigt husker at differentiation handler om at finde grafhældning. Beviset er da også lige ud af landevejen: Bevis. Differenskvotienten i et hvilket som helst punkt x 0 bliver: d(x) = f (x) f (x 0) = a a = 0 Det er derfor klart at d(x) har grænseværdien nul, når x nærmer sig x 0. Dermed har vi vist at: f (x 0 ) = 0 Sætning 7 (Identitetsfunktionen). Hvis f er identitetsfunktionen givet ved: f (x) = x side 15

18 så er f differentiabel, og dens afledede funktion er: f (x) = 1 Igen er dette meget indlysende, når man tænker på grafen (en ret linje med hældningskoefficient 1.) Bevis. Differenskvotienten i et hvilket som helst punkt, x 0 bliver: Så det er klart at d(x) = f (x) f (x 0) = = 1 d(x) 1, når x x 0 Altså har vi vist at f (x 0 ) = 1 Indtil videre har beviserne været meget lette, fordi differenskvotienten ved nærmere eftersyn har været fuldstændig uafhængig af hvorhenne punkterne x og x 0 måtte ligge. Det bliver lidt sværere nu, så derfor vil resten af sætningerne i dette afsnit blive præsenteret uden bevis. Sætning 8 (Potensfunktioner). Hvis f er en potensfunktion givet ved: f (x) = x a (hvor a R \ {0} er et givet tal), så er: f (x) = a x a 1 i alle de punkter x hvor f er differentiabel. side 16

19 Bemærkninger Bemærk at vi ikke siger noget om hvilke punkter potensfunktioner er differentiable i. Det er fordi det er en temmelig indviklet historie. (Se f.eks. opgave 2). Hvis du er nysgerrig efter disse detaljer, kan du finde dem i det dokument hvor sætningen bliver bevist 8. I praksis kan man godt glemme detaljerne om hvorhenne potensfunktionerne er differentiable, fordi man næsten altid arbejder med en begrænsning af definitionsmængden til de positive reelle tal, hvor alle potensfunktioner er differentiable. Selve reglen er ret nem at huske hvis man får en fornemmelse af at differentiationen piller potensen ned foran samtidigt med at man gør den oprindelige potens 1 mindre. Bemærk at tilfældet hvor a = 1 allerede er bevist i sætning 7, og at a = 2 stort set er klaret i eksempel 2. Sætning 9 (Trigonometriske funktioner). Hvis f (x) = si n(x) så er f differentiabel i alle reelle tal x, og: Og hvis f (x) = cos(x) f (x) = cos(x) så er f differentiabel i alle reelle tal og: f (x) = si n(x) 8 Læs et bevis for sætning 8 her side 17

20 Bemærkninger Bemærk fortegnet når man differentierer cosinus. Man kan huske dette ved at huske det lille rim: Der skal minus foran sinus (når man differentierer) En anden god metode til at huske sætning 9 på er cirklen på figur 6. Man skal blot huske at cosinus har noget med x-aksen at gøre, at sinus har noget med y-aksen at gøre, og at differentiation foregår i urets retning. Fortegnene giver sig selv. Engang for længe siden har du muligvis fået at vide at den rigtige definition af de trigonometriske funktioner kræver at man angiver vinkler i radianer. Denne sætning er lige præcis grunden til dette! Hvis man måler vinkler i grader, så svarer det til at tage graferne for cosinus og sinus og skrive forkerte enheder på x-aksen. (Der hvor der står 2π skriver man f.eks. 360.) På den måde bliver hældningen af graferne for cosinus og sinus næsten vandret, og det er helt klart at sætning 9 ikke længere er rigtig! Sætning 10 (Den naturlige eksponentialfuntion). Hvis f (x) = e x så er f differentiabel i alle reelle tal x og: f (x) = e x Bemærkninger På sloganform kan denne sætning formuleres som: Den naturlige eksponentialfunktion er uændret ved differentiation side 18

21 sin Differentiation -cos cos -sin Figur 6: Differentiation af de trigonometriske funktioner. Denne sætning er præcis grunden til at den naturlige eksponentialfunktion kaldes naturlig. At en funktion differentieret giver sig selv betyder at dens grafhældning er lige så stor som dens funktionsværdi. Denne egenskab er en meget almindelig opførsel af funktioner som forekommer i naturen. Hvis f.eks. funktionen angiver en fysisk størrelse som afhænger af tiden (antallet af celler i en cellekultur, antallet af dyr i en dyrebestand, mængden af frigivet energi ved en ustabil kædereaktion i et radioaktivt materiale,... ), så svarer egenskaben til at størrelsen vokser hurtigere jo større den er. Sætning 11 (Den naturlige logaritme). Hvis f (x) = ln(x) side 19

22 så er f differentiabel i alle positive reelle tal, x og: f (x) = 1 x = x 1 Bemærkninger Den tager vi også lige på sloganform: Den naturlige logaritmefunktion differentieret giver reciprokfunktionen! Hvis man kigger grundigt efter i sætning 8, så er reciprokfunktionen den eneste potensfunktion som ikke kan fremkomme 9 ved differentiation af en anden potensfunktion. (Hvis man differentierer x 0 giver det jo nul). Man kan derfor tænke på at den naturlige logaritme lige præcis udfylder det hul som mangler blandt potensfunktionerne, nemlig en såkaldt stamfunktion til reciprokfunktionen (se figur 7) Vi slutter afsnittet med en oversigt: (Lær den udenad!) 9 Sådan næsten, da... Vi tillader os lige at glemme at potensen også skal trækkes ned foran og ganges på. Dette lille problem er dog let klaret. Du kan læse mere om hvordan man helt præcist finder stamfunktioner til potensfunktioner her side 20

23 ln(x) x -2 x-1 x 0 x 1 x 2 x 3 0 Figur 7: Differentiation af potensfunktioner og den naturlige logaritme (idet vi glemmer konstanterne som skal ganges på) f (x) f (x) Bemærkninger k 0 For konstanter k R x a a x a 1 For potenser a 0 og for alle de x hvor f er differentiabel. sin(x) cos(x) cos(x) sin(x) Der skal minus foran sinus e x e x Den naturlige eksponentialfunktion differentieret giver sig selv ln(x) 1 x For x > 0. Den naturlige logaritme differentieret giver reciprokfunktionen side 21

24 Øvelse 4. Betragt funktionen f defineret ved: Find den afledede funktion til f. f (x) = x 4 Bestem værdien af den afledede funktion i x = 2. For at du kan kontrollere dig selv, afslører vi at svaret på det sidste spørgsmål er: f (2) = Regneregler Sætning 12 (Summer). Hvis f og g er to differentiable funktioner, og h er summen af de to funktioner givet ved: h(x) = f (x) + g (x) så er h differentiabel, og dens afledede funktion er: h (x) = f (x) + g (x) Sætning 13 (Differenser). Hvis f og g er to differentiable funktioner, og h er differensen af de to funktioner givet ved: h(x) = f (x) g (x) så er h differentiabel, og dens afledede er: h (x) = f (x) g (x) side 22

25 På sloganform siger disse to sætninger at: Summer og differenser af funktioner differentieres led for led Vi beviser kun sætningen om summer. Den anden kan bevises på præcis samme måde. Bevis. Antag at f og g er to funktioner, og at x 0 er et punkt hvor de begge er differentiable. Vi vil vise at f + g er differentiabel i x 0, så vi opskriver differenskvotienten: d(x) = (f + g )(x) (f + g )(x 0) = f (x) + g (x) (f (x 0) + g (x 0 )) Efter en hurtig ombytning af led i tælleren kan dette skrives som: d(x) = f (x) f (x 0) + g (x) g (x 0 ) = f (x) f (x 0) + g (x) g (x 0) Men disse to led er jo differenskvotienter for henholdsvis f og g i x 0, og da f og g er differentiable i x 0, ved vi at disse differenskvotienter nærmer sig henholdsvis f (x 0 ) og g (x 0 ) når x x 0. Dermed har vi vist at: d(x) f (x 0 ) + g (x 0 ), når x x 0 side 23

26 Eksempel 4. Hvis f er funktionen defineret ved: f (x) = x 3 + sin(x) så differentieres f ved at differentiere hvert af de to led. Altså: f (x) = 3x 2 + cos(x) Eksempel 5. Hvis en funktion består af mere end to led, som f.eks. funktionen f defineret ved: f (x) = x 2 cos(x) + e x 5 så differentieres f stadig bare led for led. Dette kan forklares med flere anvendelser af sætning 12 og 13, idet funktionsforskriften læses med nogle fornuftige parenteser: f (x) = ( x 2 cos(x) ) + ( e x 5 ) Sætning 14 (Produkter). Hvis f og g er to differentiable funktioner, og h er produktet af de to funktioner, defineret ved: h(x) = f (x) g (x) så er h differentiabel, og dens afledede funktion er: h (x) = f (x) g (x) + f (x) g (x) side 24

27 Denne regel er meget mere indviklet end det første man ville finde på. Men den er nem at huske hvis man får en god fornemmelse af hvordan man differentierer et produkt ved at: Differentiere den ene og lade den anden stå plus Lade den første stå og differentiere den anden Bevis. Lad x 0 være et indre punkt i definitionsmængden for både f og g. Vi ser på en differenskvotient for h: d(x) = h(x) h(x 0) = f (x) g (x) f (x 0) g (x 0 ) Nu skal vi bruge et smart lille trick for at komme videre. Hvis vi trækker noget fra oppe i tælleren og øjeblikkeligt lægger det til igen, så har vi ikke ændret på brøken. Vi har lyst til at gøre dette med udtrykket: f (x 0 ) g (x) (Bemærk at det er en slags mellemting mellem de to led der i forvejen står i tælleren). Dermed får vi: d(x) = f (x) g (x) f (x 0) g (x) + f (x 0 ) g (x) f (x 0 ) g (x 0 ) = f (x) g (x) f (x 0) g (x) + f (x 0) g (x) f (x 0 ) g (x 0 ) = f (x) f (x 0) g (x) + f (x 0 ) g (x) g (x 0) Nu er vi i en situation, hvor vi kan se hvad der sker med d(x) når x nærmer sig x 0. For det første vil: g (x) g (x 0 ), når x x 0 fordi g er kontinuert i x 0. For det andet er de to brøker bare differenskvotienter for henholdsvis f og g, så når x nærmer sig x 0, vil de gå imod henholdsvist f (x 0 ) og g (x 0 ). Alt i alt har vi: d(x) f (x 0 ) g (x 0 ) + f (x 0 ) g (x 0 ), når x x 0 side 25

28 Hvilket er det samme som at sige at h (x 0 ) = f (x 0 ) g (x 0 ) + f (x 0 ) g (x 0 ) Eksempel 6. Hvis f er funktionen defineret ved: f (x) = (x 2 1) sin(x) Så er f et produkt af to funktioner. Når f således skal differentieres, får vi: f (x) = 2x sin(x) + (x 2 1) cos(x) Bemærk at vi fik brug for sætning 13 til at differentiere den første af de to funktioner i produktet. Sætning 15 (Brøker). Hvis f og g er differentiable funktioner, og h er brøken af de to funktioner defineret ved: h(x) = f (x) g (x) differentiabel i alle de punkter x hvor g (x) 0, og dens afledede funktion er: h (x) = f (x) g (x) f (x) g (x) g (x) 2 Eksempel 7. Lad os differentiere en meget vigtig brøk af to funktioner, nemlig: f (x) = tan(x) = sin(x) cos(x) side 26

29 Umiddelbart giver sætning 15 at: f (x) = cos(x) cos(x) sin(x) ( sin(x)) cos(x) 2 = cos(x)2 + sin(x) 2 cos(x) 2 Men hvis man husker den såkaldte idiotformel, kan dette omskrives til: f 1 (x) = cos(x) 2 Hvis ikke man har lyst til det, kan man i stedet dividere nævneren op i begge leddene. Det giver: f (x) = cos(x)2 cos(x) 2 + sin(x)2 cos(x) 2 = 1 + tan(x)2 Begge disse (fuldstændig ens) funktionsudtryk er almindelige måder at skrive den afledede af tangens på. Den sidste regneregel kaldes ofte for kædereglen. Den handler om hvordan man differentierer sammensætninger af funktioner, og når man første gang kommer til at bruge den flere gange inde i hinanden 10, f.eks. til at differentiere funktionen f defineret ved: ( ) f (x) = ln sin(e (x2) ) så forstår man hvor kælenavnet kommer fra. Sætning 16 (Sammensatte funktioner). Hvis f og g er to funktioner, så er sammensætningen h = f g defineret ved: h(x) = f (g (x)) 10 Du kan se en nydelig illustration af kædereglen på figur 8 side 27

30 differentiabel i alle de punkter x som opfylder at g er differentiabel i x f er differentiabel i g (x) Dens afledede funktion i disse punkter er givet ved: h (x) = f (g (x)) g (x) Bemærkninger Denne regel tager rigtig lang tid at vænne sig til. Det kan hjælpe at tænke på den på følgende måde: I en sammensat funktion altså hvor h = f g h(x) = f (g (x)) omtaler man som regel g som den indre funktion og f som den ydre funktion. Hver gang man ser en sammensat funktion, skal man starte med at gøre sig klart hvilken funktion der er den indre og hvilken der er den ydre. Når man så skal differentiere sammensætningen, så starter man med at lægge en hånd 11 hen over den indre funktion og tænke at der står f af snik-snak. Når dette skal differentieres, så giver det naturligvis f af snik-snak, men i det øjeblik man skriver snik-snak -delen, skal man lige huske at bagefter skal den differentieres og ganges på det hele. 11 eller en arm eller en finger, alt efter hvor stort man skriver... side 28

31 Eksempel 8. Hvis h er den sammensatte funktion givet ved: h(x) = sin(cos(x)) så spiller cosinus rollen som den indre funktion, og sinus spiller rollen som den ydre. Når man differentierer sinus til snik-snik så får man cosinus til snik-snak. Men snik-snak er i dette tilfælde funktionen cosinus som lige skal differentieres og ganges på. Det giver: h (x) = cos(cos(x)) ( sin(x)) Øvelse 5. Differentier funktionerne f 1, f 2,... f 6 defineret ved: f 1 (x) = cos(x) + sin(x) ln(x) + x 5, x > 0 f 2 (x) = e x x 2, x R f 3 (x) = 5 x 2, x R f 4 (x) = 5 x, x R f 5 (x) = e sin(x), x R ( ) f 6 (x) = ln sin(e (x2) ) 3.3 En udfordring Her er en udfordrende opgave hvis du mener at have styr på at differentiere: side 29

32 Figur 8: En illustration af kædereglen. side 30

33 Øvelse 6. Start med at betragte funktionen f (x) = cos(x) og find de fire første afledede af f, altså: Bemærk at f, f, f og f f = f altså at cosinus giver sig selv når den differentieres fire gange. Husk også at den naturlige eksponentialfunktion giver sig selv allerede første gang man differentierer den. Spørgsmålet er nu: Findes der en funktion som giver sig selv når den differentieres to gange (men ikke før)? Altså: Findes der en differentiabel funktion, g, som opfylder at g = g, men hvor g g? Og nu det helt store spørgsmål: Hvad med tre gange? ;) 4 Tangenter og approksimationer 4.1 Tangentens ligning Den første anvendelse af differentiation er en direkte konsekvens af noget som allerede er nævnt flere gange 12 : 12 Bemærk blot at vi har skiftet bogstavet x ud med x 0, fordi vi vil bruge x til noget andet her. side 31

34 f (x 0 ) angiver hældningen af grafen for f i punktet (x 0 ; f (x 0 )). Det betyder at grafen for f i punktet (x 0 ; f (x 0 )) hælder på samme måde som den rette linje der går gennem det samme punkt og har hældning f (x 0 ). Denne rette linje kaldes tangenten til grafen for f i punktet (x 0 ; f (x 0 )), og den kan selvfølgelig beskrives med en ligning af formen: y = ax + b hvor hældningskoefficienten allerede er kendt, nemlig: a = f (x 0 ) og skæringen med y-aksen, b, nemt kan udregnes idet vi bruger at linjen går gennem punktet (x 0 ; f (x 0 )): dvs. Dermed bliver linjens ligning: f (x 0 ) = ax 0 + b b = f (x 0 ) ax 0 = f (x 0 ) f (x 0 ) x 0 Eller som ligningen ofte skrives: y = f (x 0 ) x + f (x 0 ) f (x 0 ) x 0 Sætning 17. Hvis f er en funktion som er differentiabel i et punkt x 0 R, så er tangenten til grafen for f i punktet (x 0 ; f (x 0 )) beskrevet ved følgende ligning: y = f (x 0 ) + f (x 0 ) ( ) side 32

35 Eksempel 9. Betragt funktionen f, defineret ved: f (x) = x Vi vil finde en ligning for tangenten i punktet Først differentierer vi funktionen: Herefter kan vi udregne: x 0 = 1 f (x) = 2x f (x 0 ) = f (1) = = 5 f (x 0 ) = 2 1 = 2 Dermed er den ønskede tangent beskrevet ved ligningen: y = f (x 0 ) + f (x 0 ) ( ) = (x 1) Eller hvis man har lyst: y = 2x + 3 Øvelse 7. Tegn grafen for funktionen i eksempel??, og indtegn den rette linje med ligningen: y = 2x Det approksimerende førstegradspolynomium Tangenten kan også ses som graf for funktionen p 1 defineret ved: side 33

36 p 1 (x) = f (x 0 ) + f (x 0 ) ( ) Denne funktion har et meget fint navn, nemlig det approksimerende førstegradspolynomium til f omkring punktet x 0. Det er selvfølgelig fordi der også findes approksimerende polynomier af højere grad, men den historie gemmer vi til et andet dokument 13. Eksempel 10. Funktionen f defineret ved: f (x) = sin(x) + e x er differentiabel. Dens afledede funktion er: f (x) = cos(x) + e x Vi vil bestemme det approksimerende førstegradspolynomium omkring punktet x 0 = 0. Derfor udregnes: f (x 0 ) = sin(0) + e 0 = 1 f (x 0 ) = cos(0) + e 0 = 2 Dermed er det approksimerende førstegradspolynomium p 1 omkring x 0 givet ved: p 1 (x) = (x 0) = 2x + 1 Se graferne for f og for p 1 på figur 9 Bemærkning 1. Resten af dette afsnit er meget teknisk, og indholdet har ikke ret mange 13 Læs om Taylorpolynomier her side 34

37 7 y=f(x) 6 y=p 1 (x) Figur 9: Grafen for funktionen f og for dens approksimerende førstegradspolynomium p 1 omkring 0 praktiske anvendelser. Derimod er det meget interessant fra et teoretisk synspunkt, idet det giver en ny måde at tænke på differentiabilitet på. Desuden skal det bruges i beviset for kædereglen (sætning 16). Men hvis du er mest interesseret i praktiske anvendelser, bør du springe resten af dette afsnit over og i stedet læse om monotoni og optimering i afsnit Den relative fejl og linearitet til første orden Det approksimerende førstegradspolynomium har den samme funktionsværdi som f i selve punktet x 0, fordi p 1 (x 0 ) = f (x 0 ) + f (x 0 ) (x 0 x 0 ) = f (x 0 ) side 35

38 Men ikke nok med det: Grafen for p 1 er tangent til grafen for f, så derfor vil den have næsten de samme funktionsværdier som f i punkter som ligger tæt på x 0. Dette næsten vil vi gøre mere præcist med den følgende definition: Definition 18. Hvis f er en funktion som er differentiabel i et punkt, x 0, og p 1 er det approksimerende førstegradspolynomium til f omkring x 0, så definerer vi den relative 14 fejl omkring x 0 til at være funktionen ε givet ved: ε(x) = f (x) p 1(x), x x 0 For en god ordens skyld definerer vi også at: ε(x 0 ) = 0 Den relative fejl har to meget vigtige egenskaber. Dem formulerer vi i en sætning. Sætning 19. Lad f være en funktion som er differentiabel i et punkt x 0, og lad p 1 være det approksimerende førstegradspolynomium til f omkring x 0. Den relative fejl ε opfylder at: f (x) = p 1 (x) + ε(x) ( ), for alle x (1) ε(x) 0, når x x 0 (2) Bemærkninger Disse to egenskaber afslører helt præcist hvor godt p 1 og f stemmer overens når man kommer tæt på x 0. Egenskab 1 siger at forskellen på side 36

39 de to funktioner er: ε(x) ( ) og egenskab 2 siger hvor hurtigt denne forskel nærmer sig nul når x nærmer sig x 0. Det viser sig nemlig at både ε(x) og (x x 0 ) går imod nul når x nærmer sig x 0. Det betyder at forskellen går hurtigere imod nul end ( ). Man siger at funktionen f og funktionen p 1 er ens til første orden eller at f er lineær til første orden omkring x 0. Disse udtryk bliver brugt meget i teoretisk fysik. Man kan let vise at hvis en funktion er lineær til første orden omkring et punkt x 0, så er den differentiabel i dette punkt. At være lineær til første orden er altså præcis det samme som at være differentiabel. Bevis (Bevis for sætning 19). Den første påstand er klart rigtig når x = x 0, og når x x 0 bevises den ved en direkte udregning af højresiden: p 1 (x) + ε(x) ( ) = p 1 (x) + f (x) p 1(x) ( ) = p 1 (x) + (f (x) p 1 (x)) = f (x) Den anden påstand er en smule mere tricky. Det handler om at se på definitionen af ε for x x 0, idet vi indsætter definitionen af p 1 : ε(x) = f (x) p 1(x) = f (x) ( f (x 0 ) + f (x 0 ) ( ) ) = f (x) f (x 0) f (x 0 ) ( ) = f (x) f (x 0) f (x 0 ) side 37

40 Men brøken er jo bare en differenskvotient for f i x 0, så den vil nærme sig f (x 0 ) når x x 0. Derfor vil ε(x) 0, når x x 0 5 Monotoni og Ekstremer Den næste anvendelse er lidt mere dybsindig, og meget mere nyttig i praksis. Faktisk er anvendelsen af differentiation til bestemmelse af monotoniforhold og ekstremer så vigtig en metode at den gennemgås i sit eget dokument 15. Her vil vi blot gennemgå de centrale sætninger som ligger til grund for metoden. Definition 20. En funktion f kaldes en C1-funktion hvis f er differentiabel og dens afledede funktion f er en kontinuert funktion. Bemærkning Lige som definition 1 er denne definition temmeligt teknisk, og eftersom alle de mest almindelige funktioner er kontinuerte, kan man godt tillade sig at tænke på at alle differentiable funktioner er C1-funktioner, selvom dette ikke er korrekt 16. Sætning 21. Hvis f er en C1-funktion, og x 0 er et indre punkt i Dm(f ), så gælder at: 15 Læs om monotonianalyse og optimering her 16 Se et eksempel på en funktion som er differentiabel, men som ikke er en C1- funktion her side 38

41 Hvis f (x 0 ) > 0 så er f voksende i et interval omkring x 0. Hvis f (x 0 ) < 0 så er f aftagende i et interval omkring x 0. Hvis f (x 0 ) = 0 så har grafen for f en vandret tangent i punktet (x 0 ; f (x 0 )). Bemærkninger Bemærk at konklusionen i det sidste tilfælde er meget svagere end de to andre. Man kan ikke konkludere at f er konstant i et lille interval omkring x 0, bare fordi f (x 0 ) = 0. Tænk på funktionen f defineret ved: f (x) = x 3 Den opfylder at f (0) = 0, men den er absolut ikke konstant på noget som helst interval (faktisk er den voksende). At de to første tilfælde er så forskellige fra det sidste hænger sammen med at et positivt/negativt tal forbliver positivt/negativt når man ændrer det en lille smule. Dette er ikke tilfældet med et tal som er lig med nul. Det er ekstremt svært at se hvorfor man har brug for antagelsen om at funktionen er en C1-funktion, og ikke bare at funktionen er differentiabel. Men ikke desto mindre findes der funktioner som er differentiable, har positiv tangenthældning i et punkt, og som ikke er voksende på noget som helst interval omkring punktet. Sætning 22. Hvis f er en differentiabel funktion og x 0 er et indre punkt i definitionsmængden for f som er et lokalt ekstremumssted for f, så er f (x 0 ) = 0 side 39

42 Bemærkninger Læg godt mærke til hvilken vej logikken vender! Det er meget nemt at komme til at tro at det omvendte gælder altså at et punkt, x 0 hvor f (x 0 ) = 0 automatisk er et lokalt ekstremumssted. Men dette er slet ikke rigtigt. Man behøver blot at tænke på funktionen f givet ved: f (x) = x 3 Sætningen er alligevel meget nyttig, når man skal finde lokale ekstremumssteder. Det skyldes at man som regel af en eller anden årsag ved at ens funktion har et eller flere ekstremumssteder. I stedet for så at skulle undersøge samtlige funktionsværdier og se hvilken en der er størst eller mindst, så siger sætningen at vi kun behøver at undersøge punkter x 0 som enten ikke er indre punkter (f.eks. intervalendepunkter) eller som er løsninger til ligningen: f (x 0 ) = 0 6 Avancerede anvendelser Differentiation kan anvendes på masser af andre smarte måder til at løse problemer. Et par eksempler som du kan læse om i andre dokumenter er: Nummerisk ligningsløsning 17 Bestemmelse af specielle grænseværdier 18 Teoretisk modellering ved hjælp af differentialligninger 19 Approksimationer af komplicerede funktioner med polynomier Læs om iterative metoder til nummerisk ligningsløsning her 18 Læs om l Hôpitals regel her 19 Læs om teoretisk modellering her 20 Læs om Taylorapproksimationer her side 40

Differentiation af Trigonometriske Funktioner

Differentiation af Trigonometriske Funktioner Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Grænseværdier og Kontinuitet

Grænseværdier og Kontinuitet Grænseværdier og Kontinuitet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Differentiation i praksis

Differentiation i praksis Differentiation i praksis Frank Villa 7. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

BEVISER TIL KAPITEL 3

BEVISER TIL KAPITEL 3 BEVISER TIL KAPITEL 3 Alle beviserne i dette afsnit bruger følgende algoritme fra side 88 i bogen. Algoritme: Fremgangsmåde til udledning af forskellige regneregler for differentiation af forskellige funktionstyper

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 23. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011 Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Kapitel 2. Differentialregning A

Kapitel 2. Differentialregning A Kapitel 2. Differentialregning A Indhold 2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer... 2 2.3 Sammensat funktion, eksponential-, logaritme- og potensfunktioner... 7 2.4 Regneregler for differentiation

Læs mere

Differentiation af Logaritmer

Differentiation af Logaritmer Differentiation af Logaritmer Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

1 Differentialkvotient

1 Differentialkvotient gudmandsen.net Ophavsret Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er tilladt i ikke-kommercielle sammenhænge, sålænge dette foregår med tydelig kildeangivelse. Al anden

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 23. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Stamfunktionsproblemet

Stamfunktionsproblemet Stamfunktionsproblemet Frank Villa 19. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier

Læs mere

10. Differentialregning

10. Differentialregning 10. Differentialregning Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 10.1 Grænseværdibegrebet I afsnit 7. Funktioner på side

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 25. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit

Læs mere

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3 eks. Intro til differentialregning side 1 Opvarmningsopgaver 10. november 2012 12:58 Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3 Gang parentesen ud: Forkort brøken (x

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Funktionsfamilier. Frank Villa. 19. august 2012

Funktionsfamilier. Frank Villa. 19. august 2012 Funktionsfamilier Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Funktioner. Frank Nasser. 12. april 2011

Funktioner. Frank Nasser. 12. april 2011 Funktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en arkiveret

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Funktioner. Frank Villa. 23. januar 2014

Funktioner. Frank Villa. 23. januar 2014 Funktioner Frank Villa 23. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 2

Læs mere

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011 Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Integration. Frank Villa. 8. oktober 2012

Integration. Frank Villa. 8. oktober 2012 Integration Frank Villa 8. oktober 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Vektorfunktioner. Frank Villa. 23. april 2013

Vektorfunktioner. Frank Villa. 23. april 2013 Vektorfunktioner Frank Villa 23. april 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

M A T E M A T I K A 2

M A T E M A T I K A 2 M A T E M A T I K A 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f 4 () Matematik A2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

User s guide til cosinus og sinusrelationen

User s guide til cosinus og sinusrelationen User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

11. Funktionsundersøgelse

11. Funktionsundersøgelse 11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2014-2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF-E Matematik B Kenneth

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

matx.dk Mikroøkonomi

matx.dk Mikroøkonomi matx.dk Mikroøkonomi Dennis Pipenbring 31. august 2011 Indold 1 Udbuds- og efterspørgselskurver 3 1.1 Lineær.............................. 4 1.2 Eksponentiel........................... 5 1.3 Potens..............................

Læs mere

Differentialligninger med TI-Interactive!

Differentialligninger med TI-Interactive! Differentialligninger med TI-Interactive! Jan Leffers (2008) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...3 1. ordens differentialligninger... 4 Den fuldstændige løsning... 4 Løsning med bibetingelse...4

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Københavns

Læs mere

Matematikprojekt. Differentialregning. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 4 Oktober 2010

Matematikprojekt. Differentialregning. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 4 Oktober 2010 Matematikprojekt om Differentialregning Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen 4 Oktober 2010 Indhold I Del 1................................ 3 I Differentialregningens

Læs mere

Flere ligninger med flere ukendte

Flere ligninger med flere ukendte Flere ligninger med flere ukendte Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

Studieplan. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Studieplan. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Studieplan Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 10-juni 11 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik B2 Klavs Skjold

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Uddannelsescenter

Læs mere

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium

Læs mere

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner. Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).

Læs mere

M A T E M A T I K B 2

M A T E M A T I K B 2 M A T E M A T I K B 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f a x b () Matematik B2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Omskrivningsgymnastik

Omskrivningsgymnastik Omskrivningsgymnastik Frank Villa 29. december 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse

Læs mere

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner FUNKTIONER del Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse FUNKTIONSBEGREBET... 3 Funktioner beskrevet ved mængder...

Læs mere

Betydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2

Betydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2 PeterSørensen.dk Differentiation Indold Betydningen af ordet differentialkvotient... Sekant... Differentiable funktioner...3 f (x) er grafens ældning i punktet med første-koordinaten x....3 Ikke alle grafpunkter

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns

Læs mere

Problemløsning i retvinklede trekanter

Problemløsning i retvinklede trekanter Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Matematik B2. Mike Auerbach. (2) f (1)

Matematik B2. Mike Auerbach. (2) f (1) Matematik B2 Mike Auerbach (2) f a b () Matematik B2. udgave, 205 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet vha. tekstformateringsprogrammet

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2014 Københavns

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation

Læs mere

Funktioner af to variable

Funktioner af to variable enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,

Læs mere

Komplekse Tal. Frank Villa. 15. februar 2013

Komplekse Tal. Frank Villa. 15. februar 2013 Komplekse Tal Frank Villa 15. februar 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

Komplekse Tal. Frank Nasser. 15. april 2011

Komplekse Tal. Frank Nasser. 15. april 2011 Komplekse Tal Frank Nasser 15. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik 2y 07/08

Oversigt over undervisningen i matematik 2y 07/08 Oversigt over undervisningen i matematik 2y 07/08 side Der undervises efter: AB Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik AB ( Forlaget HAX) B2 Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik B2 ( Forlaget HAX) EKS Knud

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Logaritmiske Transformationer

Logaritmiske Transformationer Logaritmiske Transformationer Frank Nasser 23. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Løsningsforslag MatB Jan 2011

Løsningsforslag MatB Jan 2011 Løsningsforslag MatB Jan 2011 Opgave 1 (5 %) Funktionen f er givet ved forskriften f (x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). Løsning: a) f (x) = ln(x 2) + x 2 Da den naturlige

Læs mere

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2013/2014 Institution Frederiksberg hf-kursus Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik B (hf-enkeltfag)

Læs mere

Omskrivningsgymnastik

Omskrivningsgymnastik Omskrivningsgymnastik Frank Villa 16. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Ordbog over Symboler

Ordbog over Symboler Ordbog over Symboler Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4 Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 016 4. maj 016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 3x 6 x 3x x 6 4x 4 x 1 4 Opgave : f x x 3x P,10 Punktet ligger på grafen for f, hvis dets koordinater indsat

Læs mere

Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner

Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011 Pythagoras Sætning Frank Nasser 20. april 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Partielle afledede og retningsafledede

Partielle afledede og retningsafledede Partielle afledede og retningsafledede 1 Partielle afledede, definitioner og notationer Bertragt en funktion af to reelle variable f : D R, hvor D R 2 er et åbent område Med benyttelse af tilvækstfunktionen

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Afstandsformlen og Cirklens Ligning

Afstandsformlen og Cirklens Ligning Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere