Statistik Obligatorisk opgave

Transkript

1 13. maj 2008 Stat 2 / EH Statistik Obligatorisk opgave Formelle forhold: Opgaven stilles tirsdag d. 13. maj Rapporten skal afleveres til mig personligt. Afleveringsfristen er mandag d. 2. juni kl For sent indleverede besvarelser vil ikke blive rettet. Rapporten skal skrives ind i et tekstbehandlingsanlæg (eller på maskine). Håndskrevne besvarelser vil ikke blive accepteret. Opgaven kan besvares i grupper af 1-3 studerende. Grupperne må gerne samarbejde undervejs, men den endelige rapport skal være selvstændigt arbejde for hver gruppe. Software: I princippet er valget af software frit. Det anbefales dog at man bruger R. Rapportens indhold: Besvarelsen skal indeholde tekst, formler og grafer, men ikke program-kode. Ernst Hansen 1

2 At vælge skole Data i denne opgave stammer fra den store undersøgelse med titlen High school and beyond, som blev gennemført af det amerikanske National Center for Education Statistics i årene Man fulgte over amerikanske unges overgang fra det sekundære uddannelsessystem (det gymnasiale niveau) til det tertiære (videregående uddannelser, faglige uddannelser, etc.). Vi fokuserer på en delundersøgelse fra 1982, hvor man testede en stor del af de unge i blandt andet matematik, og forsøgte at sammenholde resultaterne med socio-økonomiske data. I karikeret form viser det sig at unge fra en velhavende baggrund klarer sig bedre end unge fra en fattig baggrund. Men der kan tænkes flere niveauer i denne mekanisme. For eksempel går de rige typisk i bedre skoler end de fattige. Det behøver således ikke at være det enkelte barns økonomiske baggrund, der er altafgørende - det kan lige så godt være det miljø som barnet bliver placeret i. Men det er et åbent spørgsmål om de fattige ville have glæde af at blive flyttet til de riges skoler, for de har måske ikke den baggrund som undervisningen tager for givet, og derfor risikerer man at de ikke er i stand til at få udbytte af undervisningen. Nettoresultatet kan meget vel være værre end hvis de var blevet i en fattig skole. Opgaven går ud på at rådgive forældre om hvilken skole de egentlig skal placere deres barn i, når der tages hensyn til den individuelle socio-økonomiske situation og de faktiske valgmuligheder. Der er adgang til data fra kursushjemmesiden, erhansen/stat2 08/ hvor det kan findes under menupunktet Rapportopgaver. Der er to datasæt. Det første har individuelle oplysninger for 7185 elever. Skole Minoritet Køn SES Math Et identificeringsnummer for elevens skole En faktor med niveauerne ja og nej En faktor med to niveauer Et mål for elevens families socio-økonomiske status Elevens resultat i en matematikprøve 2

3 Vi vil ikke her gå nøjere ind på konstruktion af SES - blot sige at det er en sammenvejning af mange oplysninger til et enkelt tal. Denne type skalakonstruktion er meget almindelig i sociologiske sammenhænge, og der er en relativt veludviklet metodologi, der skal sikre at skalaen er meningsfuld og faktisk måler det, man hævder at den måler. I den aktuelle sammenhæng er skalaen normaliseret i forhold til datamaterialet, så en SES-værdi på 0 svarer til en typisk elev i undersøgelsen. Variablen Math er iøvrigt blevet konstrueret ved en lignende arbejdsgang: eleverne er blevet udsat for et større antal små opgaver, og bedømmelserne af disse små opgaver er blevet sammenvejet i en proces, der også har involveret en normalisering. De 7185 elever stammer fra ialt 160 skoler - der er typisk elever fra hver skole, men det varierer en del. I et andet datasæt er der oplysning om disse 160 skoler, nemlig Skole Sektor SkoleSES Et identificeringsnummer for elevens skole En faktor med niveauerne Katolsk og Offentlig Et mål den socio-okonomiske baggrund for skolens elever Variablen SkoleSES er meget tæt på at være gennemsnittet af SES-værdierne for skolens elever i første datasæt, men ikke helt identisk. Man vil forestille sig at variablen Sektor er væsentlig i denne sammenhæng, blandt andet fordi det som regel koster penge at have børn gående på en katolsk privatskole, hvorimod de offentlige skoler er gratis. Som udgangspunkt vil vi antage at elevens Math-værdi kan modelleres ved en simpel lineær regression ud fra SES-scoren. Dog vil vi tillade at intercept og hældning varierer frit med produktfaktoren Skole Køn Minoritet Hver skole har således fire separate linier, der oversætter SES-scorer til forventet Math-værdi, alt efter elevens køn og race. I et effektsprog kan vi skrive X = (Skole Køn Minoritet, 1) + (Skole Køn Minoritet, SES) + ǫ hvor vi antager at fejlleddet ǫ består af uafhængige N(0, σ 2 )-fordelte variable. 3

4 Opgave 1. Estimer denne grundmodel. Forklar dimensionen af middelværdiunderrummet og udfør modelkontrol (QQ-plot af residualer, plot af residualer mod fittede værdier, etc.). Kommenter. Tag et par skoler ud og undersøg om den lineære modellering overhovedet er rimelig. Opgave 2. Reducer i beskrivelsen af hældningen. Men kan f.eks. starte med at forsøge at erstatte med (Skole Køn Minoritet, SES) (Skole Køn, SES) + (Skole Minoritet, SES) + (Køn Minoritet, SES) og se hvor langt man kan fortsætte reduktionen. Før det forsøges at fjerne Skole-bidraget til hældningen fuldstændigt, så prøv at erstatte det med en effekt af SkoleSES. For eksempel i form af at et led af formen (Skole, SES) erstattes af (1, SkoleSES SES) Kommenter din endelige model for hældningen. Opgave 3. Reducer tilsvarende i beskrivelsen af interceptet. Det lykkes næppe af fjerne effekten af Skole i disse reduktioner. Det betyder at vi må råde forældre til at sætte deres børn i helt bestemte skoler - et noget verdensfjernt råd, når skolerne er spredt ud over det meste af det amerikanske kontinent. For at kunne komme med et bredere anvendeligt råd erstatter vi modelleringen med faste effekter med visse varianskomponenter. Erstat alle Skole-led i interceptbeskrivelsen med tilsvarende tilfældige virkninger. Tilføj til gengæld faste effekter for SkoleSES og for Sektor. Opgave 4. Se om der kan reduceres yderligere i beskrivelsen af de faste effekter. Opgave 5. Undersøg om antallet af tilfældige effekter kan mindskes. 4

5 Opgave 6. For hver af de fire elev-typer Køn Minoritet skal der laves en tegning, der opsummerer denne elevtypes muligheder: Optegn i et (SES, Math)-koordinatsystem 6 linier, svarende til en forventet oversættelse for henholdsvis en fattig, en neutral og en rig offentlig skole, og for en fattig, en neutral og en rig katolsk privatskole. Hvilket råd skal forældre have? 5