Vejledning om besvarelse af skriftlige opgaver i matematik på htx. - med særlig henblik på anvendelse af IT.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Vejledning om besvarelse af skriftlige opgaver i matematik på htx. - med særlig henblik på anvendelse af IT."

Transkript

1 Vejledning om besvarelse af skriftlige opgaver i matematik på ht. - med særlig henblik på anvendelse af IT. Baggrund Ved anvendelse af diverse matematikprogrammer i forbindelse med de skriftlige prøver i matematik - det gælder såvel computerprogrammer som diverse lommeregnere - stilles der stadig krav om, at løsningen skal dokumenteres og begrundes. Den store ændring i hvad hjælpemidlerne kan i forhold til matematikopgaverne medfører, at det er nødvendigt med en revurdering af begreberne at dokumentere og begrunde set i forhold til de anvendte hjælpemidler. Der blev derfor nedsat en udviklingsgruppe under FoU-programmet, der gennem projektet Udvikling af vejledningsmateriale til lærer og censor i forbindelse med opgaveretning i matematik A og B på ht skulle - lave en faglig udredning af begrebet dokumentation - udarbejde en vejledning med eksempler på forskellige former for dokumentation. Det var ikke projektets opgave at komme med en endegyldig tolkning af begrebet dokumentation. Projektgruppens deltagere var: Michael Jensen, Inga Bjørnskov-Christensen, Peter Ingeman, Marit Hvalsøe Schou og Knud Flemming Andersen (fagkonsulent). Forord I bekendtgørelsens bilag 8 (den skriftlige prøve) til ht-uddannelsen kan læses: Ved karaktergivningen lægges vægt på de anvendte metoder og beregningers korrekthed, idet det forudsættes, at elevens tankegang klart fremgår af besvarelsen. Omskrivning af symboludtryk, mellemregninger og mellemresultater skal i et rimeligt omfang medtages i besvarelsen, så regne-, indtastnings- og aflæsningsfejl ikke fremtræder som forståelsesfejl. Efterhånden som de tekniske hjælpemidler vinder større indpas i faget, er det vigtigt at kommentere ovenstående uddrag. Kravene til elevernes viden og færdigheder vil i det store og hele være de samme nu som før den udstrakte brug af grafregner og edb-programmer. Det vil stadig være elevernes evne til at forstå, analysere og dokumentere matematiske problemstillinger, der skal bedømmes. Det er elevens vej frem til løsningen, der er under stor forandring. Elevernes IT-værktøjer kan indeholde procedurer til løsning af sammensatte grafiske og algebraiske problemer. Her er det vigtigt, at eleven er i stand til at analysere problemet og redegør e for den fremgangsmåde han/hun har anvendt. Det er stadig elevens opgave at vise matematisk viden fremfor teknisk kunnen. Som lærer bør man være opmærksom på at mange elever vil føle, at faget bliver vanskeligere, da der fremover i langt større grad vil blive lagt vægt på analysen fremfor formelrytteri. Det efterfølgende materiale indeholder eksempler og kommentarer til dokumentation af løsninger. Det er klart, at et vejledningsmateriale ikke kan indeholde svar på alle spørgsmål, men det er udviklingsgruppens mål, at materialet kan være med til at begrænse problemfeltet. Det skal bemærkes at nedenstående opgaver, kan besvares på mange andre måder, der er fuldt ud lige så korrekte, som de her viste. Besvarelsen Det er vigtigt at slå fast, at eleven i sin besvarelse kan bruge IT-værktøjer, hvor det er muligt. Når dette er sagt, er det naturligvis vigtigt at gøre det klart, at der i stedet for de mange af de tidligere mellemregninger nu kræves en anden form for dokumentation af den matematiske forståelse. Ved en god opgavebesvarelse skal følgende punkter være opfyldt: a) Det opstillede problem er tilstrækkeligt analyseret. b) Brugen af de anvendte løsningsmetoder fremgår tydeligt af besvarelsen c) Resultatet er korrekt og formuleret så læseren ikke lades i tvivl om hvad der menes.

2 Ad. a) Eleven bør inden den egentlige problemløsning overveje hvilke metoder, der er hensigtsmæssige at benytte i det foreliggende tilfælde. Disse overvejelser kan føre til opstilling af en løsningsmodel f.eks. i form af en ligning/et ligningssystem, et integral, osv. Løsningsmodellen bør derefter overvejes med hensyn til det forventede antal løsninger til ligningen/ligningssystemet, definitionsinterval for den opstillede funktion, valg af integrationsgrænser etc. Ad. b) De enkelte trin i løsningsprocessen sammenkædes med tekst, hvor den matematiske forståelse er beskrevet med ord eller ved hjælp af skitser, der understøtter beregningerne. Benytter eleven et matematikprogram, kan figurerne med fordel vedlægges som bilag - gerne som håndtegninger. I besvarelsen medtages passende mellemregninger, således at eventuelle regne-/ og indtastningsfejl ikke fremstår som forståelsesfejl.tastesekvenser fra det anvendte IT-værktøj er ikke gyldig beskrivelse af mellemregningerne og bør ikke medtages. Der medtages hjælpetegninger, hvor indførte symboler er anført. Anvendes specielle formler fra formelsamlinger o.lign. bør disse angives i en form, der passer til den aktuelle opgave, så forvirring i betegnelser ikke fremstår som forståelsesfejl. Ad. c) Det producerede resultat må ikke kunne fejllæses/misfortolkes, og skal angives i korrekt matematisk notation. Ved opgaver af praktisk natur vil det ofte være hensigtsmæssigt at ledsage besvarelsen med en forklaring, så som Det søgte areal er. eller I hallen kan der være personer. At resultatet skal være korrekt synes en selvfølge, dog med det forbehold, at mindre regnefejl ikke bør trække meget ned, med mindre fejlen fører til et usandsynligt resultat. Eleven bør derfor altid til slut reflektere over resultatet og eventuelt kommentere dette i forhold til et forventet resultat (se Ad. a). Resultater bør så vidt muligt afleveres i reduceret form. Grafer/figurer Ved skitsering af grafer i et koordinatsystem må man som minimum forvente, at akserne er medtaget, og at der er fornuftige inddelinger på akserne. Ved vektorfunktioner kan man, når det er muligt, kræve at inddelingerne på akserne er den samme. Dette er ikke nødvendigvis påkrævet for reelle funktioner. Ved skitsering af grafer (uden brug af computer) bør der angives passende støttepunkter. Disse kan f.eks. aflæses på lommeregnerens grafvindue eller findes vha. en tabel. Mere præcist kan eleven bestemme maksimum- og minimumspunkter samt skæringer med akser (og mellem grafer, hvor dette er relevant). Ved ligningsløsning, ekstremumsbestemmelse etc. er aflæsning på grafer/figurer ikke tilstrækkelig, men hvis eleverne ved aflæsning samt eventuel forklarende tekst demonstrerer matematisk forståelse, kan man give point for det. Notation Ethvert matematisk IT-værktøj har sin egen notationsform. Det vil sædvanligvis være tilladt at anvende denne notation ved mellemregninger i en opgavebesvarelse, hvis den matematiske tankegang fremgår. Det er derimod ikke acceptabelt hvis eleven i slutresultatet skriver notationen af fra computer eller lommeregner (f.eks. e^() i stedet for benyttes. e ). Med hensyn til brug af decimalkomma/-punktum kan begge notationer Eksempler på opgavebesvarelser I det følgende er der gennemgået nogle af de områder, hvor diskussionen om tilstrækkelig dokumentation har været størst. De gennemgåede emner er illustreret med eksempler på forskellige typer dokumentation, nogle ved brug af et matematikprogram (her Mathcad og Maple) andre vha. lommeregnere. Bemærk at nogle emner, der både findes på A- og B-niveau kun er illustreret på det ene niveau i nedenstående eksempler. Det kan derfor være nødvendigt at arbejde alle eksempler igennem, skønt man kun underviser på det ene niveau. Opgaverne er primært hentet fra tidligere stillede skriftlige prøver. Bemærk at der kan være ændringer i forhold til den oprindelige prøve.

3 Matematik B Ved bedømmelse af opgaver på B-niveau bør man tage hensyn til hvad HTX-bekendtgørelsen skriver om fagets mål: I matematik niveau B er det overordnede mål at give indsigt i funktioner, geometri, trigonometri, vektorer, rumlige figurer, differentialregning og integralregning, så eleven kan anvende matematiske begreber, metoder og informationsteknologiske hjælpemidler i forbindelse med formulering, analyse og løsning af teoretiske og praktiske problemer især med udgangspunkt i de øvrige fagområder og især med henblik på videregående uddannelse. I opgaver med praktiske problemstillinger må man ved bedømmelsen tage hensyn til, at elevens abstraktionsniveau (f.eks. brug af symbolmanipulation) ikke kan forventes at være så højt som i rent teoretiske opgaver. Geometri, trigonometri og rumlige figurer Ved disse emner er det særlig vigtigt at eleven laver arbejdstegninger, hvor benyttede symboler er vist. Benyttes (specielle) formler bør disse angives. Generelt er aflæsning/opmåling på figurer ikke tilstrækkelig dokumentation (programmer som SmartSketch, Autocad, Euclid eller lignende), men hvis eleverne ved aflæsning samt eventuel forklarende tekst demonstrerer matematisk forståelse, kan man give point for det. Matematik B, juni 00, opgave Figur 4 viser en tegning af konstruktionen af et cykelstativ med mål angivet i meter. Den buede overside fra punkt A til punkt D er en cirkelbue med radius r =,70 meter og med centrum i punkt E. a) Bestem vinklen v (se figur 4). b) Bestem højden h. c) Bestem den samlede længde af de på figur 4 viste konstruktionsdele. løsning a) Da trekanten E-B-C er ligesidet ses umiddelbart at vinklen: v = 60 0 b) Vha. Pythagoras fås fra skitsen til højre: h 0. = h =. 4m h-0,0

4 c) Først bestemmes længden af cirkelbuen fra A til D. Denne bue spænder over en vinkel u der kan findes vha. cosinusrelationen cos u = u = Herefter fås buelængden fra A til D Den samlede længde er bue AD = π.70 = 4. 50m 0 60 L = buead + r + EF = 4.50m +.70m + 0.0m = 0. 0m Vektorer og analytisk plangeometri Som noget nyt kan der stilles opgaver med ligningssystemer udover ligninger med ubekendte. De nye ITværktøjer giver mulighed for at løse denne type lineære ligningssystemer. I opgaver med ligninger med ubekendte kræves det ikke, at eleven kan opskrive determinanten, eller at mellemregninger medtages. Derimod skal ligningssystemet naturligvis stadig opskrives, inden man får lommeregner eller computer til at løse det. Mange matematikprogrammer har problemer med vektornotation. Her må man derfor acceptere andre notationsformer, blot disse er defineret som vektorer i besvarelsen. Som i trigonometriske opgaver er aflæsning på figurer (evt. ved hjælp af et tegneprogram) ikke tilstrækkelig besvarelse. Matematik B, september 00, opgave Et vejskilt med en tyngde G r med størrelsen kn (kilonewton) skal hænges på plads ved hjælp af en mobilkran. På figur 4 er vist en skitse med mål. På figur 5 er vist, hvordan tyngden G r bliver overført til wiren gennem kraftvektorerne F r og F r. På figur 6 er vist, hvordan tyngden G r bliver overført til kraftvektoren F r, der påvirker mobilkranens arm. a) Bestem vinklen v. b) Bestem størrelsen af kraftvektorerne F r og F r. c) Bestem størrelsen af kraftvektoren F r. 4

5 Løsning a) Vinklen v bestemmes i en ligebenet trekant, hvor højden er og grundlinjen er,5. Trekanten deles i to retvinklede trekanter: tan( v ) =,75 dvs. v = 0,5 r r F og F b) Størrelsen af de to kraftvektorer r F r F + r = G F cos(70 ( F sin( 70 ( 0.86 F 0,496 F v v )) + )) + + 0,86 F 0,496 F skal bestemmes. v F cos(70 + ( )) G cos 70 = v F sin( 70 + ( )) G sin 70 0 = Der løses to ligninger med to ubekendte: 0.86 F + 0,86 F = 0,496 F 0,496 F 0 = F =. 0kN og F =. 0kN Man kan også vælge at regne numerisk dvs. nøjes med at kigge på vinkler under 80 og derefter selv sætte fortegn på vektorernes koordinater. c) Pythagoras benyttes. På figuren nedenfor ses at da vinklen er 45 vil den anden katete også være dvs. F = + 4, 4kN = 45 5

6 Matematik B, juni 00, opgave 5a Figur 5 viser punkterne A, B og D indlagt i et retvinklet koordinatsystem. Figur 5 Punkterne har koordinaterne A(, 5), B(, ) og D(6, ). a) Bestem koordinaterne til vektor AB og til vektor AD, og bestem vinklen mellem vektor AB og vektor AD. Der skal placeres et punkt C, således at punkterne A, B, C og D er beliggende i hjørnerne af parallelogrammet ABCD. b) Bestem koordinaterne til punkt C. c) Bestem arealet af parallelogrammet ABCD. Løsning Først defineres stedvektorer for de givne punkter: 6 OA := OB := OD := 5 a) De søgte vektorer kan nu findes ved vektordifferens: AB := OB OA AB = AB AD AD := OD OA 4 AD = AB AD cos( v) Vinklen mellem de to vektorer er altså: v = 8,87 o solve, v acos = 8.87 deg 6

7 b) Hvis vektor AD lægges til vektor OB må vi få stedvektoren for punkt C: OC := OB + AD 5 OC = 0 Dvs punkt C(5, 0) c) Parallellelogrammets areal kan findes som det dobbelte af arealet af trekant ABD: Areal := AB AD sin ( 8.87deg ) Dvs parallelogrammets areal bestemmes til Areal = 4 Ligninger/uligheder og funktioner (differential- og integralregning) Ved ligningsløsning bør antallet af løsninger i definitionsmængden overvejes, gerne vha. en skitse eller tegning. Man må som minimum forvente at eleven opskriver den/de ligning(er), der skal løses. Selve beregningen kan derefter foretages på lommeregner eller computer. Integration er et område der har særlige problemer med dokumentationen, fordi computeren /lommeregneren kan finde stamfunktioner og bestemme integralerne. Som hovedregel kræves det ikke, at eleven viser en integration ved detaljeret brug af kendte regneregler. Hvis der forlanges en stamfunktion, vi l det fremgå af opgaveformuleringen. Matematik B, Maj 00, opgave 4 Et terræn følger i intervallet 0 til 00 meter tilnærmelsesvis en funktion f givet ved: f() = 0, , ,8 +, hvor er i meter. Gennem terrænet skal der anlægges en vej, der følger grafen for en funktion g givet ved: g() = 0,0 + a) Skitser graferne for f og g i samme koordinatsystem. b) Bestem koordinaterne til skæringspunkterne mellem f og g. Vejen skal være 8 meter bred, og der kan regnes med, at terrænet inden for denne bredde følger grafen for f c) Bestem rumfanget af den jordmængde, der skal fjernes ved anlæg af vejen. d) Bestem rumfanget af den jordmængde, der skal påfyldes ved anlæg af vejen. Løsning a) Lad funktionerne f og g været givet ved f( ) := g( ) := := 0, Skitse af graferne for f og g i ovennævnte interval: 7

8 4.5 f( ) g( ) b) Vi skal finde de -værdier for hvilke der gælder f()=g(). Der fremkommer en trediegradsligning, dvs. der kan maksimalt være tre løsninger. := f( ) g( ) solve, f( 0) = f( 4.4) =.865 f( 00) = De to grafer vil altså skære hinanden i punkterne (0, ) (4.4,.865) (00, 4) c) Mellem = 0 og = 4. 4 kan jordmængden findes ved det bestemte integral: 4.4 V bort := 8 ( f( ) g( ) ) d 0 V bort =.674 skal der bortgraves jord. Da der i hele intervallet gælder f ( ) g ( ) m d) Mellem = 4. 4 og = 00 funktionernes rækkefølge i integrationen ombyttes: 00 V til := 8 ( g( ) f( ) ) d 4.4 V til = m skal der tilføres jord. Da der i dette interval gælder g( ) f ( ) skal 8

9 Matematik B, september 00, opgave. Billedet viser et læskur til et busholdested. Figur viser læskurets endeflade. Endefladen er afgrænset af to lodrette stænger og en krum linie, der har form som en del af en parabel. Målene på figuren er i meter. a) Indlæg et koordinatsystem på figuren og bestem en ligning for parablen. b) Bestem arealet af læskurets endeflade. c) Bestem vinklen v (se figur ), som er beliggende mellem tangenten til parablen og den lodrette stang i punkt A. Løsning a) Figur indlægges i et koordinatsystem og parablens ligning kan bestemmes. Parablen indlægges, så der er symmetri om y-aksen (b=0) og toppunktet ligger i (0, /4 ) (c=/4). Dette medfører, at y=a +0,5. Et af punkterne anvendes da til bestemmelse af a. Punktet (4/5,0) anvendes 0 = a(4/5) + 0,5 dvs. a = -5/64 = -0,9 y= -0,9 +0,5 9

10 b) Arealet vil bestå af arealet mellem -aksen og parabelkurven (A) samt et rektangel (A) Da funktionen er positiv fra 0,8 til 0,8 kan A beregnes som det bestemte integral fra 0,8 til 0,8 0.8 A = d = D.v.s. at det samlede areal er A = A = + A = 0.7m +.6m.47m Hvor arealet kan findes på lommeregneren på forskellig vis skal ove n- stående beregninger medtages som minimum. En figur som denne er altså ikke at betragte som tilstrækkelig dokumentation: c) Tangenten i punktet A danner en vinkel v med den lodrette side i skuret. Vinklen findes via tangentens vinkel til vandret, v T. Der gælder følgende sammenhæng: Tan(v T ) = α T (tangenthældning) = differentialkvotientens størrelse i A. Først findes et udtryk for differentialkvotienten: Givet at y = - 0,9 +0,5 Dette medfører at y = (-0,9) =-0,78 Tangenthældning i A(-4/5,0) : α T = -0,78 (-0,8) = 0,64 d.v.s. at tan(v T )= 0.64 altså v T =,96 Vinklen v = 90 + v T Vinklen v findes hermed til v = Matematik B, september 000, opgave Et firma skal fremstille en metaldåse uden låg som vist på figur 7. Firmaet anvender to metalplader til fremstillingen: En rektangulær plade som vist på figur 8 til den krumme overflade og en kvadratisk plade som vist på figur 9 til bunden. Den rektangulære plade koster øre/cm, og den kvadratiske plade koster 0 øre/cm. Metaldåsens rumfang skal være 500 cm. a) Vis at materialeomkostningerne, der medgår til dåsens fremstilling inklusive spildet kan udtrykkes ved følgende funktion: M(r) = 000 r r b) Bestem ved hjælp af differentialregning metaldåsens radius r og højde h, når metaldåsen skal fremstilles med mindst mulig materialomkostning. 0

11 Løsning a) Da dåsens rumfang skal være 500 kan vi opstille følgende sammenhæng mellem h og r: π r h h π r Da en dåse fremstilles af en rektangulær plade og et kvadrat kan følgende funktion opstilles for materialeforbruget: M( r) := π r h + r r 0 Heri indsættes udtrykket for h: 500 M( r) := π r π r + r r 0 Dette kan også skrives: M( r) := 000 r + 80 r 000 r + 80 r b) For at bestemme ovenstående funktions minimum bestemmes differentialkvotienten: d M ( r) dr M( r) 000 := r + 60 r Differentialkvotienten sættes lig med nul: M ( r) 0 solve, r i 75 = i.09.65i 75 i 75 Der findes kun en reel løsning: r := 4.7 Vi undersøger differentialkvotientens fortegnsvariation ved at indsætte en værdi umiddelbart til venstre hhv. højre for differentialkvotientens nulpunkt: M ( 4.) = M ( 4.) = 9.00 Da differentialkvotientens fortegn varierer -, 0, + kan vi konludere at funktionen har et minimum for radius r = 4.7 m Dette svarer til en højde på 500 h := π r eller h = 8.95 m

12 Matematik B, typeopgave 7B Der er givet et. gradspolynomium med forskriften f ( ) = a + b + c + d Polynomiet har lokalt maimum i punkt A(,) og lokalt minimum i punkt B(,). a) Bestemt konstanterne a, b, c og d. Løsning a) At funktionen har etremum i de to punkter (, ) hhv. (, ) betyder, at den indeholder de to punkter og at dens differentialkvotient er 0 i de to punkter. Dette kan opstilles i et ligningssystem: a + b a a a + b + c = 0 + b + c + d = + c + d = + b + c = 0 Løsningen findes på grafregneren (matriregning) til a = 0.5, b = -.5, c =.5 og d = dvs. forskriften for f bliver f ( ) = Regression Regression er ikke pensum på HTX, men kan anvendes ved bestemmelse af funktionsforskrifter i forbindelse med matematiske modeller, idet eleverne ofte allerede har stiftet bekendtskab med begrebet i andre fag. Det er stadig vigtigt at eleven først dokumenterer/sandsynliggør at der er tale om en bestemt type model ved anvendelse af f.eks logaritmisk papir, men derefter kan grafregner eller matematikprogram benyttes til bestemmelse af modellens konstanter. Matematik B, juni 00, opgave 4 I et spiringsprojekt udført af en HTX-elev indgår nogle bygplanter. Eleven har i en periode målt bladlængden på bygplanterne. Målingerne er foretaget i den første del af vækstperioden, inden der skete en buskning af planten. Følgende måleresultater er fremkommet. Tid i døgn Længde af bladet i cm.,5,, 4,7 7,0 0, 5, a) Vis at regne forskriften for en funktion h, der beskriver bladlængden som funktion af tiden tilnærmelsesvis kan skrives som h(t) =,5.,47 t, t [0,6] hvor h(t) angiver bladlængden målt i centimeter og t er tiden målt i døgn fra det tidspunkt, hvor bladlængden var,5 cm. b) Efter døgn er bladlængden, cm. Bestem det tidspunkt, hvor bladlængden er gange denne længde.

13 Løsning De opgivne målepunkter indtastes i en tabel og plottes M := Bladlængde M M 0 Tid i døgn a) Det ses, at når tabellen afbildes i et semilogaritmisk koordinatsystem fremkommer t en ret linie. Der er altså tale om en eksponentiel udvikling h( t) = b a. Konstanterne a og b kan enten findes ved at aflæse punkter på den rette linie t t h( t ) = b a og h( t ) = b a og deraf bestemme a og b eller v.h.a. regression på grafregneren. Man indtaster måledata og beder om en eksponentiel regression. Løsningen bliver ved denne metode a =.4705 og b =.496. Forskriften bliver herefter h( t) = Hvilket passer udmærket med den i opgaven givne: t h( t) = b) Vi skal bestemme fordoblingskonstanten: log( ) T := log(.47) Da målingen er startet efter to døgn skal der lægges to til: T slut := + T T slut =.799 døgn t

14 c) Vi skal finde det tidspunkt hvor bladlængden h(t) er : t :=.5.47 t solve, t Tidspunktet (i døgn) hvor bladlængden er bestemmes til t = 5.97 Matematik A Ved bedømmelsen af en besvarelse i matematik A bør man i sin vurdering tage hensyn til bekendtgørelsens ord om fagets mål: I matematik niveau A er det overordnede mål ud over det, der er nævnt om matematik niveau B, at give indsigt i differentialregning, integralregning, differentialligninger, vektorfunktioner, vektorer i rummet og et valgfrit emne, så - eleven kan anvende matematiske teorier og metoder til selvstændigt at formulere, matematisere, analysere og løse teoretiske og praktiske problemer samt dokumentere løsninger - elevens viden om matematiske modeller inden for tekniske, naturvidenskabelige og samfundsmæssige områder udbygges med henblik på anvendelse og kritisk vurdering. Det bemærkes blandt andet at abstraktionsniveauet forventes højere på A-niveau end på B-niveau, og dette bør afspejle sig i elevens besvarelse. Differential- og integralregning Generelt vil et IT-værktøjs bestemmelse af minimum og maksimum være at sammenligne med aflæsning på graf/benyttelse af trace-funktionen, og dette er således ikke tilstrækkelig dokumentation. I stedet kræves det, at man for at bestemme maksimum og minimum benytter differentialregning til bestemmelse af den afledede funktion, som derefter sættes lig med 0. Ved meget komplicerede funktioner stilles der ikke krav, om at den afledede funktion opskrives. Se f.eks. eksemplet nedenfor (Matematik A, maj 00, opgave 4). Det forventes at eleven reflekterer over arten af ekstremer f.eks. ud fra en fortegnsundersøgelse af den afledede, tegning af graf etc. Eleven skal være opmærksom på, at ekstremumspunkterne kan ligge udenfor en eventuel vist del af grafen. Som allerede beskrevet under matematik B vil man ikke længere kræve at eleven viser en integration ved detaljeret brug af kendte regneregler. Forlanges en stamfunktion, vil dette fremgå af opgaveformuleringen. I visse rent teoretiske opgaver kan det endvidere forlanges, at eleven kan redegøre for hvilken metode, der er anvendt (f.eks. partiel integration eller integration ved substitution med visning af den tilhørende substitution). Matematik A, maj 00 (obligatorisk grafregner), opgave Der er givet en funktion f, hvor 4 f ( ) =, > a) Tegn en skitse af grafen for f. b) Vis, at F( ) = ln, > er en stamfunktion til f. Grafen for f, -aksen, samt de to rette linier med ligningerne = og = 5 c) Bestem arealet af M. afgrænser et område M. 4

15 Området M drejes 60 om -aksen, hvorved der fremkommer et omdrejningslegeme. d) Bestem volumenet af det fremkomne omdrejningslegeme. Løsning 4 Givet en funktion f ( ) =, > a) Grafen er tegnet i intervallet fra til 5. (Det ses at for gående mod uendelig går f() mod 0, dvs. der er en vandret asymptote, y=0. For gående mod fra højre vil f() gå mod uendelig, så der er en lodret asymptote, =.) b) Vi skal vise, at stamfunktionen til f er: F ( ) = ln( ), > Det vil sige at differentieres F() fås f(). Da F() er en sammensat funktion fås følgende differentiation: f ( ) = F ( ) = ( ) idet Nu fås f ( ) = 4 4 = = = dvs. F er en stamfunktion til f. c) Da funktionen er positiv i hele sin definitionsmængde og dermed også fra til 5, kan arealet findes ved hjælp af det bestemte integral fra til A = d = ln( ) 5 5 = ln( ) ln( ) 5 = eller alternativt: A = F( 5) F () =, 76 d) Omdrejningslegemets rumfang bestemmes som V b = π ( f ( )) d = π a 5 4 d=,667,76 Grænseværdier/asymptoter Det er tilladt at bruge computeren til bestemmelse af grænseværdier. Herefter skal eleven selv kunne fortolke resultatet evt. i forbindelse med bestemmelse af asymptoter. 5

16 Matematik A, maj 00 (obl. grafregner), opgave 5A En del af grafen for funktionen f defineret ved er vist på figur. + + f ( ) = +, R, Figur a) Vis, at grafen for f har en vandret asymptote, og find en ligning for denne. b) Bestem ved differentialregning størsteværdien for f. Løsning + + Givet f ( ) = + a) Har f en vandret asymptote, skal grænseværdien for f være en konstant for gående mod uendelig: lim lim = = + + dvs. f har en vandret asymptote y= ± ± b) Størsteværdien for f skal findes: Funktionen defineres: > y:=(^++)/(^+); y := differentialkvotient findes > f:=unapply(diff(y,),); + f := + ( + + ) ( + ) f () =0 løses > evalf(solve(f()=0,)); ,.4456 Det vil sige, der findes løsninger: =. 44 og = Af grafen ses det, at der er tale om et lokalt maksimum for = Maksimum beregnes > subs(=0.44,y); Maksimum er f(0,4) =, 6

17 Matematik A, maj 00, opgave 5B y Figur 6 På figur 6 er vist en del af grafen for en funktion f, der er givet ved f ( ) = +, R a) Bestem værdimængden for f. b) Vis, at grafen for f har en skrå asymptote og bestem en ligning for denne. Løsning a) For at bestemme funktionens værdimængde vil vi først bestemme dens maksimum. Hertil differentieres: f ( ) := d d f( ) Differentialkvotientens nulpunkter findes ln ln( ) f ( ) 0 solve, =.59 ln( ) Af den viste graf ses, at der må være tale om et maksimum, nemlig y ma := f(.59) y ma =.7 Funktionen er ikke nedadtil begrænset idet lim f( ) Heraf ses at funktionens værdimængde er Vm(f) = ] ;. 7 ] b) Idet lim 0 ses at leddene + vil være dominerende for. Vi prøver derfor at undersøge forskellen mellem funktionen og linien y + For gælder: lim f ( ) ( + ) 0 Dette viser at f har en skrå asymptote, og at dennes ligning er y + Lader man vil f () som, og der er derfor ikke flere asymptoter end den fundet ovenfor. 7

18 Vektorfunktioner, vektorer i rummet Her må det atter pointeres, at elevens eventuelle brug af tegneprogrammer sædvanligvis ikke kan bruges som selvstændig dokumentation, men naturligvis kan anvendes ved skitsering og illustration af beregninger. Ved skitser af parameterkurver forventes der at være nogenlunde overensstemmelse mellem den skitse eleven laver, og parameterkurvens skæringspunkter med akserne samt lodrette og vandrette tangenter. Ved beregninger af f.eks. krydsprodukt vil man ikke længere forlange at eleven opskriver mellemregninger, men de vektorer, som indgår i krydsproduktet, bør altid opskrives. Matematik A, maj 00, opgave 4 En cykelrytters tur på en cykelbane følger en banekurve givet ved vektorfunktionen t () 5 cos(0,6 t), t [0;9,7]. yt () = 90 sin(0.6 t) hvor koordinaterne og y måles i meter, og t er tiden målt i sekunder. a) Tegn en skitse af cykelrytterens banekurve i et retvinklet koordinatsystem. b) Bestem koordinaterne til de punkter, hvor banekurven skærer y-aksen. Cykelrytterens træner står i punket P(0 ; 50). c) Bestem den korteste afstand mellem cykelrytterens banekurve og punktet P. Løsning Givet en cykelrytters tur på en cykelbane: ( t) 5 cos(0,6t ) =, y( t) 90 sin( 0, 6t) t [0; 9,7] hvor og y er i meter og t i sekunder a) V.h.a. grafregneren tegnes en skitse af banekurven b) Banekurvens skæring med y aksen beregnes ved at finde nulpunkterne for (t): (t) = 0 dvs. 5cos(0.6t)= 0 Denne ligning løses (se illustrationen nedenfor), og man får = 9,87 eller = 9,45 Punkterne (0, y(9,87)) og (0,y(9,45)) bestemmes, og man får skæring med y-aksen i punkterne (0,-90) og (0,90) 8

19 c) Lad P(0,50). Man skal bestemme den korteste afstand fra P til cykelrytternes banekurve. Først opstilles en funktion A(t), der beskriver afstanden fra P til et vilkårligt punkt på banekurven: A(t) = ( y ( t) 50) + ( ( t) 0) = (90 sin( 0,6t) 50) + (5 cos(0,6t) 0) Den mindste afstand findes ved at løse ligningen A (t) =0 Differentialkvotientens nulpunkter findes vha. grafregneren. Løsningen er vi st grafisk nedenfor. Den mindste afstand findes til t = 4,4 sekunder, hvor afstanden A(4,4) = 8,9m Samme opgave løst ved hjælp af MAPLE: > y:=sqrt((5*cos(0.6*t)-0)^+(90*sin(0.6*t)-50)^); > Y:=diff(y,t);.0 ( 5 cos (.6 t) 0 ) sin (.6 t ) ( 90 sin (.6 t) 50 ) cos (.6 t ) Y := ( 5 cos (.6 t) 0 ) + ( 90 sin (.6 t) 50 ) > solve(y=0); , , , Værdien t = 0 er udenfor definitionsmængden Fortegnsbestemmelse: t Y dvs. minimum afstand fås for t = 4,4 og for t = 4,74. Afstanden er hhv. A(4,4) =8,4m og A(4,74) = 7,m dvs. den mindste afstand forekommer til t = 4,4 sekunder og afstanden er på det tidspunkt 8,4 m 9

20 Matematik A, september 00, opgave I et hjørne af en baggård skal der opsættes et halvtag over en kældernedgang. For at regnvandet nemt kan løbe af, har man besluttet at lade taget hælde i to retninger. z D C A B,5,7,5,0,,0,5 y Figur Figur viser tagfladen indlagt i et rumligt retvinklet koordinatsystem. De fire hjørner betegnes med A, B, C og D. a) Angiv koordinaterne for hjørnerne A, B, og C i det viste koordinatsystem. b) Bestem en ligning for den plan, tagfladen er en del af. c) Beregn den spidse vinkel som tagfladen danner med den husmur, der ligger i -z-planen. Tagfladen danner et parallelogram. d) Hvor stort er arealet af tagfladen? Løsning a) Punkternes koordinater findes ved aflæsning på figuren til A(.5; 0:.7), B(.5;.0;.) og C(0;.0;.5) b) Planens normalvektor findes som krydsproduktet mellem vektorerne BA og BC. Krydsproduktet findes på lommeregneren til n = BA BC = =.0 0 = Hermed bliver planens ligning:.(-.5) 0. 6(y-0) + 4.5(z-.7) = 0 eller i reduceret form. 0.6y + 4.5z 9.45 = 0 0

21 c) Vinklen mellem mur og tag findes som vinklen mellem de tilhørende normalvektorer. En normalvektor til taget er fundet i opgave b) og en normalvektor til muren kan direkte aflæses som Herefter fås vinklen cos( v ) = v = = 0 n mur. Differentialligninger. De fleste tilgængelige IT-værktøjer er ikke stærke differentialligningsløsere. Men har man adgang til et mere avanceret program, er det naturligvis tilladt at benytte det ved besvarelsen. Af nedenstående eksempler er den ene løst vha. et sådant program (MAPLE), mens den anden opgave er løst vha. grafregneren, hvor løsningen bestemmes i flere trin. Ved løsning af differentialligninger skal eleven overveje om alle løsninger er fremkommet ved den anvendte metode (oftest seperation af de variable). Nedenfor ses et eksempel, hvor den trivielle løsning y=0 forkommer. Denne løsning bliver ofte glemt, men skal naturligvis medtages i den fuldstændige løsning. Eksempel på en opgave med differentialligning. Bestem den fuldstændige løsning til nedenstående differentialligning dy = y = f ( ) g( y) d Løsning Da f() = - er en kontinuert funktion gælder at løsningsintervallet for er alle reelle tal. For at kunne foretage separation af de variable, må vi forudsætte at g(y) = y er forskellig fra 0 dvs. vi skal arbejde med løsninger for hhv. y=0, y>0 og y<0 Nedenfor ses en MAPLE løsning af problemet. > differentialligning:= diff(y(),)=-**y(); differentialligning := = y( ) y( ) > odeadvisor(differentialligning); > dsolve(differentialligning); [_separable] y( ) = _C e ( ) Dette er den generelle løsning til differentialligningen. Det ses at for y>0 er _C >0, for y<0 er _C <0 og for y =0 er _C=0 Matematik A, maj 00 (obl. grafregner), opgave Temperaturen T som funktion af tiden t af et legeme, der opvarmes i en ovn med konstant temperatur A, opfylder med god nøjagtighed differentialligningen dt dt = k( A T ), hvor k er en konstant, der afhænger af legemets form og materiale. I denne opgave regnes T i grader Celsius ( C) og t i minutter.

22 En oksesteg, der har temperaturen 0 C, sættes til tiden t = 0 i en ovn med temperaturen A = 50 C. For stegen er k = 0,005. a) Bestem stegens temperatur T(t) for t 0. b) Hvor mange minutter skal stegen have, hvis den er færdig når temperaturen er 65 C? Løsning a) Den givne differentialligning løses ved separation af de variable. Her bemærkes at A T > 0. Man kan enten indsætte de givne konstanter fra starten, eller man kan regne symbolsk og først indsætte konstanterne til sidst. Sidstnævnte rækkefølge er brugt i denne besvarelse. dt = k( A T ) dt dt = kdt A T ln( A T ) = kt + c A T = e T = A ce kt c kt Nu indsættes de givne konstanter T ( t) = 50 ce 0,005t Tilslut kan c bestemmes ud fra begyndelsesbetingelsen T ( 0) = 0 0 = 50 c c = 0 Stegens temperatur er dermed givet ved følgende forskrift T ( t) = 50 0e 0,005t Denne opgave kan løses i Maple på følgende måde: Da der er tale om opvarmning vil der gælde A -T > 0 og tiden t = 0. Først defineres differentialligningen > differentialligning:= diff(t(t),t)=k*(a-t(t)); differentialligning := T( t ) = k ( A T( t )) t Dernæst løses den med begyndelsesbetingelsen T(0) = 0 > dsolve({differentialligning,t(0)=0}); T( t ) = A + e ( k t ) ( A + 0 ) Tilslut indsættes talværdierne for konstanteren A og k og man får løsningen > subs({k=0.005,a=50},%);.005t T( t ) = 50 0 e ( ) b) Her skal bestemmes, hvornår stegen har nået en temperatur på 65 0 C. 0,005t Man skal altså løse ligningen 65 = 50 0e. Ligningen løses på grafregneren, og man får resultatet t = 4,54. Det tager altså stegen ca. 44 min. at blive færdig.

STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 2007 2014 MATEMATIK A-NIVEAU. Prøveform b. Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA

STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 2007 2014 MATEMATIK A-NIVEAU. Prøveform b. Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 007 014 MATEMATIK A-NIVEAU Prøveform b 014 Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Grønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen

Grønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen Grønland Matematik A Højere teknisk eksamen Onsdag den 12. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 014 f x x 4x 6. maj 014. maj 014: Delprøven UDEN hjælpemidler Koordinatsættet til parablens toppunkt bestemmes ved først at udregne diskriminanten for

Læs mere

Evaluering Matematik A på htx

Evaluering Matematik A på htx Evaluering af Matematik A på htx Sommeren 2013 1 Indholdsfortegnelse Forord... 3 Generelle bemærkninger... 4 Omsætningstabel... 6 Årets prøve i tal... 6 Vurdering af opgavesættet... 9 Forberedelsesmaterialet...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Uddannelsescenter

Læs mere

GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK A. Onsdag den 13. maj 2009. Kl. 9.00 14.00 GL091-MAA. Undervisningsministeriet

GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK A. Onsdag den 13. maj 2009. Kl. 9.00 14.00 GL091-MAA. Undervisningsministeriet GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK A Onsdag den 13. maj 2009 Kl. 9.00 14.00 Undervisningsministeriet GL091-MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 10A, 10B, 10C og

Læs mere

Der anvendes ikke blandet tal, men uægte brøker. Ikke så vigtigt (bortset fra beløb). Alle decimaler skal med i mellemregninger.

Der anvendes ikke blandet tal, men uægte brøker. Ikke så vigtigt (bortset fra beløb). Alle decimaler skal med i mellemregninger. Faglige Områder Tal og brøker Der anvendes blandet tal. Der anvendes ikke blandet tal, men uægte brøker. Anvender brøker Anvender både blandet tal og brøker. Antal cifre Der skal afrundes til et passende

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN AUGUST 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Onsdag den 12. august 2009. Kl. 09.00 14.00 STX092-MAA. Undervisningsministeriet

STUDENTEREKSAMEN AUGUST 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Onsdag den 12. august 2009. Kl. 09.00 14.00 STX092-MAA. Undervisningsministeriet STUDENTEREKSAMEN AUGUST 009 MATEMATIK A-NIVEAU Onsdag den 1. august 009 Kl. 09.00 14.00 STX09-MAA Undervisningsministeriet Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5

Læs mere

Matematikprojekt Belysning

Matematikprojekt Belysning Matematikprojekt Belysning 2z HTX Vibenhus Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Belysning. Dokumentationen Din dokumentation skal indeholde forklaringer mm, således at din tankegang

Læs mere

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning Gratis anvendelse - læs betingelser!

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning  Gratis anvendelse - læs betingelser! Matematik A STX december 2016 vejl. løsning www.matematikhfsvar.page.tl Gratis anvendelse - læs betingelser! Opgave 1 Lineær funktion. Oplysningerne findes i opgaven. Delprøve 1: Forskrift Opgave 2 Da

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Mandag den 11. maj 2009. Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA. Undervisningsministeriet

STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Mandag den 11. maj 2009. Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA. Undervisningsministeriet STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU Mandag den 11. maj 2009 Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA Undervisningsministeriet Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd www.matematikhjaelp.tk Opgave 7 - Eksponentielle funktioner I denne opgave, bliver der anvendt eksponentiel regression, men først defineres

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2010-juni 2013 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00

Læs mere

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over. Opsamling Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.. Brøkregning, parentesregneregler, kvadratsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående

Læs mere

GUX. Matematik. B-Niveau. Fredag den 29. maj 2015. Kl. 9.00-13.00. Prøveform b GUX151 - MAB

GUX. Matematik. B-Niveau. Fredag den 29. maj 2015. Kl. 9.00-13.00. Prøveform b GUX151 - MAB GUX Matematik B-Niveau Fredag den 29. maj 2015 Kl. 9.00-13.00 Prøveform b GUX151 - MAB 1 Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Matematik B. Studentereksamen

Matematik B. Studentereksamen Matematik B Studentereksamen st10-mat/b-108010 Torsdag den 1. august 010 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2011-juni 2014 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2016. Afsluttes: 27/05-2016 Institution Den Jydske Haanværkerskole Uddannelse EUX Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

UVB. Skoleår: 2013-2014. Claus Vestergaard og Franka Gallas

UVB. Skoleår: 2013-2014. Claus Vestergaard og Franka Gallas UVB Skoleår: 2013-2014 Institution: Fag og niveau: Lærer(e): Hold: Teknisk Gymnasium Skive Matematik A Claus Vestergaard og Franka Gallas 3. A Titel 1: Rep af 1. og 2. år + Gocart Titel 2: Vektorer i rummet

Læs mere

Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg

Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg Dette dokument er en sammenskrivning af uddrag af følgende skrifter: Undervisningsvejledning nr. 21 for matematik i HF (september 1995); findes på adressen: http://us.uvm.dk/gymnasie/almen/vejledninger/undervishf/hfvej21.htm;

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2014-2017 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Rybners HTX Esbjerg HTX Matematik A Henrik Lambæk

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Vejledende Matematik A

Vejledende Matematik A Vejledende Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 10A, 10B, 10C og 10D skal kun én opgave afleveres til bedømmelse. Hvis flere end én opgave afleveres, bedømmes

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen stx123-mat/a-07122012 Fredag den 7. december 2012 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2013-2016 Institution Uddannelse Fag og niveau Rybners HTX Esbjerg HTX Matematik A Lærer(e) Helle Kruchov

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse for Matematik A 2. E 2011/2012

Undervisningsbeskrivelse for Matematik A 2. E 2011/2012 Undervisningsbeskrivelse for Matematik A 2. E 2011/2012 Termin Undervisningen afsluttes den 16. maj 2012 Skoleåret hvor undervisningen har foregået: 2011-2012 Institution Skive Teknisk Gymnasium Uddannelse

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2008-juni 2011 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold December 2015 vinter VUC Vestegnen stx Mat A Gert Friis

Læs mere

Matematik A studentereksamen

Matematik A studentereksamen Xxxx Side 1 af 11 Opgave 7 Jeg aflæser af boksplottet for personbeskatningen i 2007 medianen til. Første og anden kvartil aflæser jeg til hhv. og. Den mindst observerede personbeskatning i år 2007 var

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 2015 HTX Vibenhus

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2018 Uddannelsescenter

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen 2stx101-MAT/A-01062010 Tirsdag den 1. juni 2010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Evaluering Matematik på htx

Evaluering Matematik på htx Evaluering af Matematik på htx Sommeren 2006 1 Indholdsfortegnelse Forord... 3 Eksamensresultaterne i tal... 4 Matematik B... 4 Matematik A (ordinær prøve)... 5 Matematik A (forsøgsprøve)... 6 Vurdering

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net

MATEMATIK A-NIVEAU-Net STUDENTEREKSAMEN STUDENTEREKSAMEN PRØVESÆT MAJ 22007 2010/2011 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Prøvesæt 2 2010/2011 Kl. 09.00 14.00 Prøvesæt 2 2010/2011 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: 2 timer med autoriseret

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MAJ AUGUST 2007 2009 MATEMATIK B-NIVEAU. onsdag 12. august 2009. Kl. 09.00 13.00. STX092-MABx

STUDENTEREKSAMEN MAJ AUGUST 2007 2009 MATEMATIK B-NIVEAU. onsdag 12. august 2009. Kl. 09.00 13.00. STX092-MABx STUDENTEREKSAMEN MAJ AUGUST 007 009 MATEMATIK B-NIVEAU onsdag 1. august 009 Kl. 09.00 13.00 STX09-MABx Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5 med i alt 5 spørgsmål.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2010 HTX Vibenhus

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

GUX. Matematik. A-Niveau. August 2015. Kl. 9.00-14.00. Prøveform a GUX152 - MAA

GUX. Matematik. A-Niveau. August 2015. Kl. 9.00-14.00. Prøveform a GUX152 - MAA GUX Matematik A-Niveau August 05 Kl. 9.00-4.00 Prøveform a GUX5 - MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Prøven består af opgaverne til 0 med i alt 5 spørgsmål. De 5 spørgsmål indgår med lige vægt

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 1stx121-MATn/A-25052012 Fredag den 25. maj 2012 kl. 09.00-14.00 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele: Delprøve

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen stx11-mat/a-310501 Torsdag den 31. maj 01 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 29. maj 2009 kl. 9.00-14.00 Matematik A 2009 Prøvens varighed er 5 timer.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Kommentarer til matematik B-projektet 2015

Kommentarer til matematik B-projektet 2015 Kommentarer til matematik B-projektet 2015 Mandag d. 13/4 udleveres årets eksamensprojekt i matematik B. Dette brev er tænkt som en hjælp til vejledningsprocessen for de lærere, der har elever, som laver

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen stx11-mat/a-310501 Torsdag den 31. maj 01 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Kofi Mensah 7Ama1S15

Læs mere

Matematik B. Studentereksamen

Matematik B. Studentereksamen Matematik B Studentereksamen 1stx101-MAT/B-26052010 Onsdag den 26. maj 2010 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2013/14 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen 7Ama1V13

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven med hjælpemidler består af opgave 7-14 med i alt 19 spørgsmål.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin aug 2014 - jun 2015 Institution Vid Gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik A Klavs

Læs mere

Undervisningsplan Side 1 af 9

Undervisningsplan Side 1 af 9 Undervisningsplan Side 1 af 9 Lektionsantal: 12 UV lektioner pr. uge I alt ca. 220 lektioner. Fordelt mellem underviserne således: Erik Kyster (EK) 9 lektioner pr. uge og Regnar Andersen (RA) 3 lektioner

Læs mere

Matematik B. Højere forberedelseseksamen

Matematik B. Højere forberedelseseksamen Matematik B Højere forberedelseseksamen hfe131-mat/b-31052013 Fredag den 31. maj 2013 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Supplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo

Supplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo SO 1 Supplerende opgaver De efterfølgende opgaver er supplerende opgaver til brug for undervisningen i Matematik for geologer. De er forfattet af Hans Jørgen Beck. Opgaverne falder i fire samlinger: Den

Læs mere

Ugesedler til sommerkursus

Ugesedler til sommerkursus Aalborg Universitet - Adgangskursus Ugesedler til sommerkursus Matematik B til A Jens Friis 12 Adgangskursus Strandvejen 12 14 9000 Aalborg tlf. 99 40 97 70 ak.aau.dk sommer Matematik A 1. Lektion : Mandag

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2009-juni 2012 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2015 Institution Kolding HF og VUC, Kolding Åpark 16, 6000 Kolding Uddannelse Flexhold Matematik

Læs mere

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2010-juni 2013 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 3. semester efterår 2010 Titel 5 til og med Titel 10 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex

ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET Formelsamling Brush-up Flex 2016 Indholdsfortegnelse 1. Brøkregning... 2 2. Parenteser... 3 3. Kvadratsætningerne:... 3 4. Potensregneregler... 4 5. Andengradsligninger...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj 2015 Institution Skive Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik A Niveau A Emil Hartvig emh@skivets.dk 1bhtx13 Oversigt over gennemførte

Læs mere

Matematik A. Højere teknisk eksamen

Matematik A. Højere teknisk eksamen Matematik A Højere teknisk eksamen Matematik A 215 Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladte. Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet, det er tilladt at skrive med blyant. Notatpapir

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Torsdag den 22. maj 2014 kl. 09.00-14.00. Digital eksamensopgave med adgang til internettet. 1stx141-MATn/A-22052014

Matematik A. Studentereksamen. Torsdag den 22. maj 2014 kl. 09.00-14.00. Digital eksamensopgave med adgang til internettet. 1stx141-MATn/A-22052014 Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 1stx141-MATn/A-22052014 Torsdag den 22. maj 2014 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Som 2015 Institution VUC Vest Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Mat B Niels Johansson 14MACB11E14

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2014 Københavns

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2013

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2013 Løsningerne er hentet på www.szymanskispil.dk Quizspillene ASHRAM, MIR og SPORTSNØRD Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 013 4. maj 013: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Udtrykket reduceres

Læs mere

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer.

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer. MATEMATIK A Indhold Differentialligninger... 2 Differentialregning... 3 Eksamen... 3 Hvorfor Matematik?... 3 Integralregning... 3 Regression... 4 Statistik... 5 Trigonometriske funktioner... 5 Vektorer

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1) Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant. a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Terminsprøve 2010. Kl. 09.00 14.00. STX0310-MAA-net

MATEMATIK A-NIVEAU. Terminsprøve 2010. Kl. 09.00 14.00. STX0310-MAA-net NETADGANGSFORSØGET STUDENTEREKSAMEN I MATEMATIK TERMINSPRØVE MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU Terminsprøve 2010 Kl. 09.00 14.00 STX0310-MAA-net Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: 2 timer med autoriseret

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Valghold 2011 2012 Matematik A

Undervisningsbeskrivelse Valghold 2011 2012 Matematik A Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2011-2012 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik A Valghold Henrik Pedersen HtxmatA311

Læs mere

gl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 22. maj 2014 kl gl-1stx141-mat/a

gl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 22. maj 2014 kl gl-1stx141-mat/a gl. Matematik A Studentereksamen gl-1st141-mat/a-05014 Torsdag den. maj 014 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Jeg ønsker at aflægge prøve på nedenstående eksaminationsgrundlag. Jeg har foretaget ændringer i vejlederens fortrykte forslag: nej ja Dato: Underskrift HUSK at

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 14 Institution VUC Thy-Mors Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Matematik niveau A Knud Søgaard

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2017 Institution HANSENBERG Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold htx Matematik A Irina Kristensen

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Skolens eksaminationsgrundlag:

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Skolens eksaminationsgrundlag: Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Skolens eksaminationsgrundlag: Jeg ønsker at gå til eksamen i nedennævnte eksaminationsgrundlag (pensum), som skolen har lavet. Du skal ikke foretage dig yderligere

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj / Juni 2016 Institution Den Jyske Håndværkerskole Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold EUX - Tømre Matematik

Læs mere

Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1

Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Opgave 1 Af trekanterne ABC og DEF ses ABC med b = 6 og c = 10. Der bestemmes for a. Tallene indsættes Så sidelængden er regnet til 8. For at bestemme

Læs mere

Matematik A August 2016 Delprøve 1

Matematik A August 2016 Delprøve 1 Anvendelse af løsningerne læses på hjemmesiden www.matematikhfsvar.page.tl Sættet løses med begrænset tekst og konklusion. Formålet er jo, at man kan se metoden, og ikke skrive af! Opgave 1 - Vektorer,

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st f f ( ),8 0 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st Funktion, forskrift, definitionsmångde Find forskrift StÇrste og mindste vårdi

Læs mere

Teknisk. Matematik FACITLISTE. Preben Madsen. 4. udgave

Teknisk. Matematik FACITLISTE. Preben Madsen. 4. udgave Teknisk Preben Madsen Matematik 4. udgave FACITLISTE Indhold TAL OG ALGEBRA... LIGNINGER OG ULIGHEDER... GEOMETRI... 4 TRIGONOMETRI... 5 CIRKLEN... 5 6 OVERFLADER UDFOLDNINGER... 5 7 RUMFANG... 8 8 ANALYTISK

Læs mere

Differentialligninger. Ib Michelsen

Differentialligninger. Ib Michelsen Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Tirsdag den 27. maj 2014 kl Digital eksamensopgave med adgang til internettet. 2stx141-MATn/A

Matematik A. Studentereksamen. Tirsdag den 27. maj 2014 kl Digital eksamensopgave med adgang til internettet. 2stx141-MATn/A Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 2stx141-MATn/A-27052014 Tirsdag den 27. maj 2014 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin august 2015 maj 2016 Institution Rybners Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik A Steffen Podlech 3F Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1

Læs mere

Uddrag af studieordningen for Adgangskursus til Ingeniøruddannelserne

Uddrag af studieordningen for Adgangskursus til Ingeniøruddannelserne Uddrag af studieordningen for Adgangskursus til Ingeniøruddannelserne 21 Matematik B Kurset svarer til det gymnasiale niveau B 21.2.2 Kernestof Kernestoffet er: regningsarternes hierarki, det udvidede

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4 Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 016 4. maj 016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 3x 6 x 3x x 6 4x 4 x 1 4 Opgave : f x x 3x P,10 Punktet ligger på grafen for f, hvis dets koordinater indsat

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Juni 2017 HANSENBERG

Læs mere

Vejledning til bedømmelse af eksamensopgaver i matematik

Vejledning til bedømmelse af eksamensopgaver i matematik Vejledning til bedømmelse af eksamensopgaver i matematik I Læreplanen for Matematik stx A og Matematik stx B er der i afsnit 4.3 angivet en række bedømmelseskriterier, som alle lægges til grund for vurderingen

Læs mere