Vejledning om besvarelse af skriftlige opgaver i matematik på htx. - med særlig henblik på anvendelse af IT.

Transkript

1 Vejledning om besvarelse af skriftlige opgaver i matematik på ht. - med særlig henblik på anvendelse af IT. Baggrund Ved anvendelse af diverse matematikprogrammer i forbindelse med de skriftlige prøver i matematik - det gælder såvel computerprogrammer som diverse lommeregnere - stilles der stadig krav om, at løsningen skal dokumenteres og begrundes. Den store ændring i hvad hjælpemidlerne kan i forhold til matematikopgaverne medfører, at det er nødvendigt med en revurdering af begreberne at dokumentere og begrunde set i forhold til de anvendte hjælpemidler. Der blev derfor nedsat en udviklingsgruppe under FoU-programmet, der gennem projektet Udvikling af vejledningsmateriale til lærer og censor i forbindelse med opgaveretning i matematik A og B på ht skulle - lave en faglig udredning af begrebet dokumentation - udarbejde en vejledning med eksempler på forskellige former for dokumentation. Det var ikke projektets opgave at komme med en endegyldig tolkning af begrebet dokumentation. Projektgruppens deltagere var: Michael Jensen, Inga Bjørnskov-Christensen, Peter Ingeman, Marit Hvalsøe Schou og Knud Flemming Andersen (fagkonsulent). Forord I bekendtgørelsens bilag 8 (den skriftlige prøve) til ht-uddannelsen kan læses: Ved karaktergivningen lægges vægt på de anvendte metoder og beregningers korrekthed, idet det forudsættes, at elevens tankegang klart fremgår af besvarelsen. Omskrivning af symboludtryk, mellemregninger og mellemresultater skal i et rimeligt omfang medtages i besvarelsen, så regne-, indtastnings- og aflæsningsfejl ikke fremtræder som forståelsesfejl. Efterhånden som de tekniske hjælpemidler vinder større indpas i faget, er det vigtigt at kommentere ovenstående uddrag. Kravene til elevernes viden og færdigheder vil i det store og hele være de samme nu som før den udstrakte brug af grafregner og edb-programmer. Det vil stadig være elevernes evne til at forstå, analysere og dokumentere matematiske problemstillinger, der skal bedømmes. Det er elevens vej frem til løsningen, der er under stor forandring. Elevernes IT-værktøjer kan indeholde procedurer til løsning af sammensatte grafiske og algebraiske problemer. Her er det vigtigt, at eleven er i stand til at analysere problemet og redegør e for den fremgangsmåde han/hun har anvendt. Det er stadig elevens opgave at vise matematisk viden fremfor teknisk kunnen. Som lærer bør man være opmærksom på at mange elever vil føle, at faget bliver vanskeligere, da der fremover i langt større grad vil blive lagt vægt på analysen fremfor formelrytteri. Det efterfølgende materiale indeholder eksempler og kommentarer til dokumentation af løsninger. Det er klart, at et vejledningsmateriale ikke kan indeholde svar på alle spørgsmål, men det er udviklingsgruppens mål, at materialet kan være med til at begrænse problemfeltet. Det skal bemærkes at nedenstående opgaver, kan besvares på mange andre måder, der er fuldt ud lige så korrekte, som de her viste. Besvarelsen Det er vigtigt at slå fast, at eleven i sin besvarelse kan bruge IT-værktøjer, hvor det er muligt. Når dette er sagt, er det naturligvis vigtigt at gøre det klart, at der i stedet for de mange af de tidligere mellemregninger nu kræves en anden form for dokumentation af den matematiske forståelse. Ved en god opgavebesvarelse skal følgende punkter være opfyldt: a) Det opstillede problem er tilstrækkeligt analyseret. b) Brugen af de anvendte løsningsmetoder fremgår tydeligt af besvarelsen c) Resultatet er korrekt og formuleret så læseren ikke lades i tvivl om hvad der menes.

2 Ad. a) Eleven bør inden den egentlige problemløsning overveje hvilke metoder, der er hensigtsmæssige at benytte i det foreliggende tilfælde. Disse overvejelser kan føre til opstilling af en løsningsmodel f.eks. i form af en ligning/et ligningssystem, et integral, osv. Løsningsmodellen bør derefter overvejes med hensyn til det forventede antal løsninger til ligningen/ligningssystemet, definitionsinterval for den opstillede funktion, valg af integrationsgrænser etc. Ad. b) De enkelte trin i løsningsprocessen sammenkædes med tekst, hvor den matematiske forståelse er beskrevet med ord eller ved hjælp af skitser, der understøtter beregningerne. Benytter eleven et matematikprogram, kan figurerne med fordel vedlægges som bilag - gerne som håndtegninger. I besvarelsen medtages passende mellemregninger, således at eventuelle regne-/ og indtastningsfejl ikke fremstår som forståelsesfejl.tastesekvenser fra det anvendte IT-værktøj er ikke gyldig beskrivelse af mellemregningerne og bør ikke medtages. Der medtages hjælpetegninger, hvor indførte symboler er anført. Anvendes specielle formler fra formelsamlinger o.lign. bør disse angives i en form, der passer til den aktuelle opgave, så forvirring i betegnelser ikke fremstår som forståelsesfejl. Ad. c) Det producerede resultat må ikke kunne fejllæses/misfortolkes, og skal angives i korrekt matematisk notation. Ved opgaver af praktisk natur vil det ofte være hensigtsmæssigt at ledsage besvarelsen med en forklaring, så som Det søgte areal er. eller I hallen kan der være personer. At resultatet skal være korrekt synes en selvfølge, dog med det forbehold, at mindre regnefejl ikke bør trække meget ned, med mindre fejlen fører til et usandsynligt resultat. Eleven bør derfor altid til slut reflektere over resultatet og eventuelt kommentere dette i forhold til et forventet resultat (se Ad. a). Resultater bør så vidt muligt afleveres i reduceret form. Grafer/figurer Ved skitsering af grafer i et koordinatsystem må man som minimum forvente, at akserne er medtaget, og at der er fornuftige inddelinger på akserne. Ved vektorfunktioner kan man, når det er muligt, kræve at inddelingerne på akserne er den samme. Dette er ikke nødvendigvis påkrævet for reelle funktioner. Ved skitsering af grafer (uden brug af computer) bør der angives passende støttepunkter. Disse kan f.eks. aflæses på lommeregnerens grafvindue eller findes vha. en tabel. Mere præcist kan eleven bestemme maksimum- og minimumspunkter samt skæringer med akser (og mellem grafer, hvor dette er relevant). Ved ligningsløsning, ekstremumsbestemmelse etc. er aflæsning på grafer/figurer ikke tilstrækkelig, men hvis eleverne ved aflæsning samt eventuel forklarende tekst demonstrerer matematisk forståelse, kan man give point for det. Notation Ethvert matematisk IT-værktøj har sin egen notationsform. Det vil sædvanligvis være tilladt at anvende denne notation ved mellemregninger i en opgavebesvarelse, hvis den matematiske tankegang fremgår. Det er derimod ikke acceptabelt hvis eleven i slutresultatet skriver notationen af fra computer eller lommeregner (f.eks. e^() i stedet for benyttes. e ). Med hensyn til brug af decimalkomma/-punktum kan begge notationer Eksempler på opgavebesvarelser I det følgende er der gennemgået nogle af de områder, hvor diskussionen om tilstrækkelig dokumentation har været størst. De gennemgåede emner er illustreret med eksempler på forskellige typer dokumentation, nogle ved brug af et matematikprogram (her Mathcad og Maple) andre vha. lommeregnere. Bemærk at nogle emner, der både findes på A- og B-niveau kun er illustreret på det ene niveau i nedenstående eksempler. Det kan derfor være nødvendigt at arbejde alle eksempler igennem, skønt man kun underviser på det ene niveau. Opgaverne er primært hentet fra tidligere stillede skriftlige prøver. Bemærk at der kan være ændringer i forhold til den oprindelige prøve.

3 Matematik B Ved bedømmelse af opgaver på B-niveau bør man tage hensyn til hvad HTX-bekendtgørelsen skriver om fagets mål: I matematik niveau B er det overordnede mål at give indsigt i funktioner, geometri, trigonometri, vektorer, rumlige figurer, differentialregning og integralregning, så eleven kan anvende matematiske begreber, metoder og informationsteknologiske hjælpemidler i forbindelse med formulering, analyse og løsning af teoretiske og praktiske problemer især med udgangspunkt i de øvrige fagområder og især med henblik på videregående uddannelse. I opgaver med praktiske problemstillinger må man ved bedømmelsen tage hensyn til, at elevens abstraktionsniveau (f.eks. brug af symbolmanipulation) ikke kan forventes at være så højt som i rent teoretiske opgaver. Geometri, trigonometri og rumlige figurer Ved disse emner er det særlig vigtigt at eleven laver arbejdstegninger, hvor benyttede symboler er vist. Benyttes (specielle) formler bør disse angives. Generelt er aflæsning/opmåling på figurer ikke tilstrækkelig dokumentation (programmer som SmartSketch, Autocad, Euclid eller lignende), men hvis eleverne ved aflæsning samt eventuel forklarende tekst demonstrerer matematisk forståelse, kan man give point for det. Matematik B, juni 00, opgave Figur 4 viser en tegning af konstruktionen af et cykelstativ med mål angivet i meter. Den buede overside fra punkt A til punkt D er en cirkelbue med radius r =,70 meter og med centrum i punkt E. a) Bestem vinklen v (se figur 4). b) Bestem højden h. c) Bestem den samlede længde af de på figur 4 viste konstruktionsdele. løsning a) Da trekanten E-B-C er ligesidet ses umiddelbart at vinklen: v = 60 0 b) Vha. Pythagoras fås fra skitsen til højre: h 0. = h =. 4m h-0,0

4 c) Først bestemmes længden af cirkelbuen fra A til D. Denne bue spænder over en vinkel u der kan findes vha. cosinusrelationen cos u = u = Herefter fås buelængden fra A til D Den samlede længde er bue AD = π.70 = 4. 50m 0 60 L = buead + r + EF = 4.50m +.70m + 0.0m = 0. 0m Vektorer og analytisk plangeometri Som noget nyt kan der stilles opgaver med ligningssystemer udover ligninger med ubekendte. De nye ITværktøjer giver mulighed for at løse denne type lineære ligningssystemer. I opgaver med ligninger med ubekendte kræves det ikke, at eleven kan opskrive determinanten, eller at mellemregninger medtages. Derimod skal ligningssystemet naturligvis stadig opskrives, inden man får lommeregner eller computer til at løse det. Mange matematikprogrammer har problemer med vektornotation. Her må man derfor acceptere andre notationsformer, blot disse er defineret som vektorer i besvarelsen. Som i trigonometriske opgaver er aflæsning på figurer (evt. ved hjælp af et tegneprogram) ikke tilstrækkelig besvarelse. Matematik B, september 00, opgave Et vejskilt med en tyngde G r med størrelsen kn (kilonewton) skal hænges på plads ved hjælp af en mobilkran. På figur 4 er vist en skitse med mål. På figur 5 er vist, hvordan tyngden G r bliver overført til wiren gennem kraftvektorerne F r og F r. På figur 6 er vist, hvordan tyngden G r bliver overført til kraftvektoren F r, der påvirker mobilkranens arm. a) Bestem vinklen v. b) Bestem størrelsen af kraftvektorerne F r og F r. c) Bestem størrelsen af kraftvektoren F r. 4

5 Løsning a) Vinklen v bestemmes i en ligebenet trekant, hvor højden er og grundlinjen er,5. Trekanten deles i to retvinklede trekanter: tan( v ) =,75 dvs. v = 0,5 r r F og F b) Størrelsen af de to kraftvektorer r F r F + r = G F cos(70 ( F sin( 70 ( 0.86 F 0,496 F v v )) + )) + + 0,86 F 0,496 F skal bestemmes. v F cos(70 + ( )) G cos 70 = v F sin( 70 + ( )) G sin 70 0 = Der løses to ligninger med to ubekendte: 0.86 F + 0,86 F = 0,496 F 0,496 F 0 = F =. 0kN og F =. 0kN Man kan også vælge at regne numerisk dvs. nøjes med at kigge på vinkler under 80 og derefter selv sætte fortegn på vektorernes koordinater. c) Pythagoras benyttes. På figuren nedenfor ses at da vinklen er 45 vil den anden katete også være dvs. F = + 4, 4kN = 45 5

6 Matematik B, juni 00, opgave 5a Figur 5 viser punkterne A, B og D indlagt i et retvinklet koordinatsystem. Figur 5 Punkterne har koordinaterne A(, 5), B(, ) og D(6, ). a) Bestem koordinaterne til vektor AB og til vektor AD, og bestem vinklen mellem vektor AB og vektor AD. Der skal placeres et punkt C, således at punkterne A, B, C og D er beliggende i hjørnerne af parallelogrammet ABCD. b) Bestem koordinaterne til punkt C. c) Bestem arealet af parallelogrammet ABCD. Løsning Først defineres stedvektorer for de givne punkter: 6 OA := OB := OD := 5 a) De søgte vektorer kan nu findes ved vektordifferens: AB := OB OA AB = AB AD AD := OD OA 4 AD = AB AD cos( v) Vinklen mellem de to vektorer er altså: v = 8,87 o solve, v acos = 8.87 deg 6

7 b) Hvis vektor AD lægges til vektor OB må vi få stedvektoren for punkt C: OC := OB + AD 5 OC = 0 Dvs punkt C(5, 0) c) Parallellelogrammets areal kan findes som det dobbelte af arealet af trekant ABD: Areal := AB AD sin ( 8.87deg ) Dvs parallelogrammets areal bestemmes til Areal = 4 Ligninger/uligheder og funktioner (differential- og integralregning) Ved ligningsløsning bør antallet af løsninger i definitionsmængden overvejes, gerne vha. en skitse eller tegning. Man må som minimum forvente at eleven opskriver den/de ligning(er), der skal løses. Selve beregningen kan derefter foretages på lommeregner eller computer. Integration er et område der har særlige problemer med dokumentationen, fordi computeren /lommeregneren kan finde stamfunktioner og bestemme integralerne. Som hovedregel kræves det ikke, at eleven viser en integration ved detaljeret brug af kendte regneregler. Hvis der forlanges en stamfunktion, vi l det fremgå af opgaveformuleringen. Matematik B, Maj 00, opgave 4 Et terræn følger i intervallet 0 til 00 meter tilnærmelsesvis en funktion f givet ved: f() = 0, , ,8 +, hvor er i meter. Gennem terrænet skal der anlægges en vej, der følger grafen for en funktion g givet ved: g() = 0,0 + a) Skitser graferne for f og g i samme koordinatsystem. b) Bestem koordinaterne til skæringspunkterne mellem f og g. Vejen skal være 8 meter bred, og der kan regnes med, at terrænet inden for denne bredde følger grafen for f c) Bestem rumfanget af den jordmængde, der skal fjernes ved anlæg af vejen. d) Bestem rumfanget af den jordmængde, der skal påfyldes ved anlæg af vejen. Løsning a) Lad funktionerne f og g været givet ved f( ) := g( ) := := 0, Skitse af graferne for f og g i ovennævnte interval: 7

8 4.5 f( ) g( ) b) Vi skal finde de -værdier for hvilke der gælder f()=g(). Der fremkommer en trediegradsligning, dvs. der kan maksimalt være tre løsninger. := f( ) g( ) solve, f( 0) = f( 4.4) =.865 f( 00) = De to grafer vil altså skære hinanden i punkterne (0, ) (4.4,.865) (00, 4) c) Mellem = 0 og = 4. 4 kan jordmængden findes ved det bestemte integral: 4.4 V bort := 8 ( f( ) g( ) ) d 0 V bort =.674 skal der bortgraves jord. Da der i hele intervallet gælder f ( ) g ( ) m d) Mellem = 4. 4 og = 00 funktionernes rækkefølge i integrationen ombyttes: 00 V til := 8 ( g( ) f( ) ) d 4.4 V til = m skal der tilføres jord. Da der i dette interval gælder g( ) f ( ) skal 8

9 Matematik B, september 00, opgave. Billedet viser et læskur til et busholdested. Figur viser læskurets endeflade. Endefladen er afgrænset af to lodrette stænger og en krum linie, der har form som en del af en parabel. Målene på figuren er i meter. a) Indlæg et koordinatsystem på figuren og bestem en ligning for parablen. b) Bestem arealet af læskurets endeflade. c) Bestem vinklen v (se figur ), som er beliggende mellem tangenten til parablen og den lodrette stang i punkt A. Løsning a) Figur indlægges i et koordinatsystem og parablens ligning kan bestemmes. Parablen indlægges, så der er symmetri om y-aksen (b=0) og toppunktet ligger i (0, /4 ) (c=/4). Dette medfører, at y=a +0,5. Et af punkterne anvendes da til bestemmelse af a. Punktet (4/5,0) anvendes 0 = a(4/5) + 0,5 dvs. a = -5/64 = -0,9 y= -0,9 +0,5 9

10 b) Arealet vil bestå af arealet mellem -aksen og parabelkurven (A) samt et rektangel (A) Da funktionen er positiv fra 0,8 til 0,8 kan A beregnes som det bestemte integral fra 0,8 til 0,8 0.8 A = d = D.v.s. at det samlede areal er A = A = + A = 0.7m +.6m.47m Hvor arealet kan findes på lommeregneren på forskellig vis skal ove n- stående beregninger medtages som minimum. En figur som denne er altså ikke at betragte som tilstrækkelig dokumentation: c) Tangenten i punktet A danner en vinkel v med den lodrette side i skuret. Vinklen findes via tangentens vinkel til vandret, v T. Der gælder følgende sammenhæng: Tan(v T ) = α T (tangenthældning) = differentialkvotientens størrelse i A. Først findes et udtryk for differentialkvotienten: Givet at y = - 0,9 +0,5 Dette medfører at y = (-0,9) =-0,78 Tangenthældning i A(-4/5,0) : α T = -0,78 (-0,8) = 0,64 d.v.s. at tan(v T )= 0.64 altså v T =,96 Vinklen v = 90 + v T Vinklen v findes hermed til v = Matematik B, september 000, opgave Et firma skal fremstille en metaldåse uden låg som vist på figur 7. Firmaet anvender to metalplader til fremstillingen: En rektangulær plade som vist på figur 8 til den krumme overflade og en kvadratisk plade som vist på figur 9 til bunden. Den rektangulære plade koster øre/cm, og den kvadratiske plade koster 0 øre/cm. Metaldåsens rumfang skal være 500 cm. a) Vis at materialeomkostningerne, der medgår til dåsens fremstilling inklusive spildet kan udtrykkes ved følgende funktion: M(r) = 000 r r b) Bestem ved hjælp af differentialregning metaldåsens radius r og højde h, når metaldåsen skal fremstilles med mindst mulig materialomkostning. 0

11 Løsning a) Da dåsens rumfang skal være 500 kan vi opstille følgende sammenhæng mellem h og r: π r h h π r Da en dåse fremstilles af en rektangulær plade og et kvadrat kan følgende funktion opstilles for materialeforbruget: M( r) := π r h + r r 0 Heri indsættes udtrykket for h: 500 M( r) := π r π r + r r 0 Dette kan også skrives: M( r) := 000 r + 80 r 000 r + 80 r b) For at bestemme ovenstående funktions minimum bestemmes differentialkvotienten: d M ( r) dr M( r) 000 := r + 60 r Differentialkvotienten sættes lig med nul: M ( r) 0 solve, r i 75 = i.09.65i 75 i 75 Der findes kun en reel løsning: r := 4.7 Vi undersøger differentialkvotientens fortegnsvariation ved at indsætte en værdi umiddelbart til venstre hhv. højre for differentialkvotientens nulpunkt: M ( 4.) = M ( 4.) = 9.00 Da differentialkvotientens fortegn varierer -, 0, + kan vi konludere at funktionen har et minimum for radius r = 4.7 m Dette svarer til en højde på 500 h := π r eller h = 8.95 m

12 Matematik B, typeopgave 7B Der er givet et. gradspolynomium med forskriften f ( ) = a + b + c + d Polynomiet har lokalt maimum i punkt A(,) og lokalt minimum i punkt B(,). a) Bestemt konstanterne a, b, c og d. Løsning a) At funktionen har etremum i de to punkter (, ) hhv. (, ) betyder, at den indeholder de to punkter og at dens differentialkvotient er 0 i de to punkter. Dette kan opstilles i et ligningssystem: a + b a a a + b + c = 0 + b + c + d = + c + d = + b + c = 0 Løsningen findes på grafregneren (matriregning) til a = 0.5, b = -.5, c =.5 og d = dvs. forskriften for f bliver f ( ) = Regression Regression er ikke pensum på HTX, men kan anvendes ved bestemmelse af funktionsforskrifter i forbindelse med matematiske modeller, idet eleverne ofte allerede har stiftet bekendtskab med begrebet i andre fag. Det er stadig vigtigt at eleven først dokumenterer/sandsynliggør at der er tale om en bestemt type model ved anvendelse af f.eks logaritmisk papir, men derefter kan grafregner eller matematikprogram benyttes til bestemmelse af modellens konstanter. Matematik B, juni 00, opgave 4 I et spiringsprojekt udført af en HTX-elev indgår nogle bygplanter. Eleven har i en periode målt bladlængden på bygplanterne. Målingerne er foretaget i den første del af vækstperioden, inden der skete en buskning af planten. Følgende måleresultater er fremkommet. Tid i døgn Længde af bladet i cm.,5,, 4,7 7,0 0, 5, a) Vis at regne forskriften for en funktion h, der beskriver bladlængden som funktion af tiden tilnærmelsesvis kan skrives som h(t) =,5.,47 t, t [0,6] hvor h(t) angiver bladlængden målt i centimeter og t er tiden målt i døgn fra det tidspunkt, hvor bladlængden var,5 cm. b) Efter døgn er bladlængden, cm. Bestem det tidspunkt, hvor bladlængden er gange denne længde.

13 Løsning De opgivne målepunkter indtastes i en tabel og plottes M := Bladlængde M M 0 Tid i døgn a) Det ses, at når tabellen afbildes i et semilogaritmisk koordinatsystem fremkommer t en ret linie. Der er altså tale om en eksponentiel udvikling h( t) = b a. Konstanterne a og b kan enten findes ved at aflæse punkter på den rette linie t t h( t ) = b a og h( t ) = b a og deraf bestemme a og b eller v.h.a. regression på grafregneren. Man indtaster måledata og beder om en eksponentiel regression. Løsningen bliver ved denne metode a =.4705 og b =.496. Forskriften bliver herefter h( t) = Hvilket passer udmærket med den i opgaven givne: t h( t) = b) Vi skal bestemme fordoblingskonstanten: log( ) T := log(.47) Da målingen er startet efter to døgn skal der lægges to til: T slut := + T T slut =.799 døgn t

14 c) Vi skal finde det tidspunkt hvor bladlængden h(t) er : t :=.5.47 t solve, t Tidspunktet (i døgn) hvor bladlængden er bestemmes til t = 5.97 Matematik A Ved bedømmelsen af en besvarelse i matematik A bør man i sin vurdering tage hensyn til bekendtgørelsens ord om fagets mål: I matematik niveau A er det overordnede mål ud over det, der er nævnt om matematik niveau B, at give indsigt i differentialregning, integralregning, differentialligninger, vektorfunktioner, vektorer i rummet og et valgfrit emne, så - eleven kan anvende matematiske teorier og metoder til selvstændigt at formulere, matematisere, analysere og løse teoretiske og praktiske problemer samt dokumentere løsninger - elevens viden om matematiske modeller inden for tekniske, naturvidenskabelige og samfundsmæssige områder udbygges med henblik på anvendelse og kritisk vurdering. Det bemærkes blandt andet at abstraktionsniveauet forventes højere på A-niveau end på B-niveau, og dette bør afspejle sig i elevens besvarelse. Differential- og integralregning Generelt vil et IT-værktøjs bestemmelse af minimum og maksimum være at sammenligne med aflæsning på graf/benyttelse af trace-funktionen, og dette er således ikke tilstrækkelig dokumentation. I stedet kræves det, at man for at bestemme maksimum og minimum benytter differentialregning til bestemmelse af den afledede funktion, som derefter sættes lig med 0. Ved meget komplicerede funktioner stilles der ikke krav, om at den afledede funktion opskrives. Se f.eks. eksemplet nedenfor (Matematik A, maj 00, opgave 4). Det forventes at eleven reflekterer over arten af ekstremer f.eks. ud fra en fortegnsundersøgelse af den afledede, tegning af graf etc. Eleven skal være opmærksom på, at ekstremumspunkterne kan ligge udenfor en eventuel vist del af grafen. Som allerede beskrevet under matematik B vil man ikke længere kræve at eleven viser en integration ved detaljeret brug af kendte regneregler. Forlanges en stamfunktion, vil dette fremgå af opgaveformuleringen. I visse rent teoretiske opgaver kan det endvidere forlanges, at eleven kan redegøre for hvilken metode, der er anvendt (f.eks. partiel integration eller integration ved substitution med visning af den tilhørende substitution). Matematik A, maj 00 (obligatorisk grafregner), opgave Der er givet en funktion f, hvor 4 f ( ) =, > a) Tegn en skitse af grafen for f. b) Vis, at F( ) = ln, > er en stamfunktion til f. Grafen for f, -aksen, samt de to rette linier med ligningerne = og = 5 c) Bestem arealet af M. afgrænser et område M. 4

15 Området M drejes 60 om -aksen, hvorved der fremkommer et omdrejningslegeme. d) Bestem volumenet af det fremkomne omdrejningslegeme. Løsning 4 Givet en funktion f ( ) =, > a) Grafen er tegnet i intervallet fra til 5. (Det ses at for gående mod uendelig går f() mod 0, dvs. der er en vandret asymptote, y=0. For gående mod fra højre vil f() gå mod uendelig, så der er en lodret asymptote, =.) b) Vi skal vise, at stamfunktionen til f er: F ( ) = ln( ), > Det vil sige at differentieres F() fås f(). Da F() er en sammensat funktion fås følgende differentiation: f ( ) = F ( ) = ( ) idet Nu fås f ( ) = 4 4 = = = dvs. F er en stamfunktion til f. c) Da funktionen er positiv i hele sin definitionsmængde og dermed også fra til 5, kan arealet findes ved hjælp af det bestemte integral fra til A = d = ln( ) 5 5 = ln( ) ln( ) 5 = eller alternativt: A = F( 5) F () =, 76 d) Omdrejningslegemets rumfang bestemmes som V b = π ( f ( )) d = π a 5 4 d=,667,76 Grænseværdier/asymptoter Det er tilladt at bruge computeren til bestemmelse af grænseværdier. Herefter skal eleven selv kunne fortolke resultatet evt. i forbindelse med bestemmelse af asymptoter. 5

16 Matematik A, maj 00 (obl. grafregner), opgave 5A En del af grafen for funktionen f defineret ved er vist på figur. + + f ( ) = +, R, Figur a) Vis, at grafen for f har en vandret asymptote, og find en ligning for denne. b) Bestem ved differentialregning størsteværdien for f. Løsning + + Givet f ( ) = + a) Har f en vandret asymptote, skal grænseværdien for f være en konstant for gående mod uendelig: lim lim = = + + dvs. f har en vandret asymptote y= ± ± b) Størsteværdien for f skal findes: Funktionen defineres: > y:=(^++)/(^+); y := differentialkvotient findes > f:=unapply(diff(y,),); + f := + ( + + ) ( + ) f () =0 løses > evalf(solve(f()=0,)); ,.4456 Det vil sige, der findes løsninger: =. 44 og = Af grafen ses det, at der er tale om et lokalt maksimum for = Maksimum beregnes > subs(=0.44,y); Maksimum er f(0,4) =, 6

17 Matematik A, maj 00, opgave 5B y Figur 6 På figur 6 er vist en del af grafen for en funktion f, der er givet ved f ( ) = +, R a) Bestem værdimængden for f. b) Vis, at grafen for f har en skrå asymptote og bestem en ligning for denne. Løsning a) For at bestemme funktionens værdimængde vil vi først bestemme dens maksimum. Hertil differentieres: f ( ) := d d f( ) Differentialkvotientens nulpunkter findes ln ln( ) f ( ) 0 solve, =.59 ln( ) Af den viste graf ses, at der må være tale om et maksimum, nemlig y ma := f(.59) y ma =.7 Funktionen er ikke nedadtil begrænset idet lim f( ) Heraf ses at funktionens værdimængde er Vm(f) = ] ;. 7 ] b) Idet lim 0 ses at leddene + vil være dominerende for. Vi prøver derfor at undersøge forskellen mellem funktionen og linien y + For gælder: lim f ( ) ( + ) 0 Dette viser at f har en skrå asymptote, og at dennes ligning er y + Lader man vil f () som, og der er derfor ikke flere asymptoter end den fundet ovenfor. 7

18 Vektorfunktioner, vektorer i rummet Her må det atter pointeres, at elevens eventuelle brug af tegneprogrammer sædvanligvis ikke kan bruges som selvstændig dokumentation, men naturligvis kan anvendes ved skitsering og illustration af beregninger. Ved skitser af parameterkurver forventes der at være nogenlunde overensstemmelse mellem den skitse eleven laver, og parameterkurvens skæringspunkter med akserne samt lodrette og vandrette tangenter. Ved beregninger af f.eks. krydsprodukt vil man ikke længere forlange at eleven opskriver mellemregninger, men de vektorer, som indgår i krydsproduktet, bør altid opskrives. Matematik A, maj 00, opgave 4 En cykelrytters tur på en cykelbane følger en banekurve givet ved vektorfunktionen t () 5 cos(0,6 t), t [0;9,7]. yt () = 90 sin(0.6 t) hvor koordinaterne og y måles i meter, og t er tiden målt i sekunder. a) Tegn en skitse af cykelrytterens banekurve i et retvinklet koordinatsystem. b) Bestem koordinaterne til de punkter, hvor banekurven skærer y-aksen. Cykelrytterens træner står i punket P(0 ; 50). c) Bestem den korteste afstand mellem cykelrytterens banekurve og punktet P. Løsning Givet en cykelrytters tur på en cykelbane: ( t) 5 cos(0,6t ) =, y( t) 90 sin( 0, 6t) t [0; 9,7] hvor og y er i meter og t i sekunder a) V.h.a. grafregneren tegnes en skitse af banekurven b) Banekurvens skæring med y aksen beregnes ved at finde nulpunkterne for (t): (t) = 0 dvs. 5cos(0.6t)= 0 Denne ligning løses (se illustrationen nedenfor), og man får = 9,87 eller = 9,45 Punkterne (0, y(9,87)) og (0,y(9,45)) bestemmes, og man får skæring med y-aksen i punkterne (0,-90) og (0,90) 8

19 c) Lad P(0,50). Man skal bestemme den korteste afstand fra P til cykelrytternes banekurve. Først opstilles en funktion A(t), der beskriver afstanden fra P til et vilkårligt punkt på banekurven: A(t) = ( y ( t) 50) + ( ( t) 0) = (90 sin( 0,6t) 50) + (5 cos(0,6t) 0) Den mindste afstand findes ved at løse ligningen A (t) =0 Differentialkvotientens nulpunkter findes vha. grafregneren. Løsningen er vi st grafisk nedenfor. Den mindste afstand findes til t = 4,4 sekunder, hvor afstanden A(4,4) = 8,9m Samme opgave løst ved hjælp af MAPLE: > y:=sqrt((5*cos(0.6*t)-0)^+(90*sin(0.6*t)-50)^); > Y:=diff(y,t);.0 ( 5 cos (.6 t) 0 ) sin (.6 t ) ( 90 sin (.6 t) 50 ) cos (.6 t ) Y := ( 5 cos (.6 t) 0 ) + ( 90 sin (.6 t) 50 ) > solve(y=0); , , , Værdien t = 0 er udenfor definitionsmængden Fortegnsbestemmelse: t Y dvs. minimum afstand fås for t = 4,4 og for t = 4,74. Afstanden er hhv. A(4,4) =8,4m og A(4,74) = 7,m dvs. den mindste afstand forekommer til t = 4,4 sekunder og afstanden er på det tidspunkt 8,4 m 9

20 Matematik A, september 00, opgave I et hjørne af en baggård skal der opsættes et halvtag over en kældernedgang. For at regnvandet nemt kan løbe af, har man besluttet at lade taget hælde i to retninger. z D C A B,5,7,5,0,,0,5 y Figur Figur viser tagfladen indlagt i et rumligt retvinklet koordinatsystem. De fire hjørner betegnes med A, B, C og D. a) Angiv koordinaterne for hjørnerne A, B, og C i det viste koordinatsystem. b) Bestem en ligning for den plan, tagfladen er en del af. c) Beregn den spidse vinkel som tagfladen danner med den husmur, der ligger i -z-planen. Tagfladen danner et parallelogram. d) Hvor stort er arealet af tagfladen? Løsning a) Punkternes koordinater findes ved aflæsning på figuren til A(.5; 0:.7), B(.5;.0;.) og C(0;.0;.5) b) Planens normalvektor findes som krydsproduktet mellem vektorerne BA og BC. Krydsproduktet findes på lommeregneren til n = BA BC = =.0 0 = Hermed bliver planens ligning:.(-.5) 0. 6(y-0) + 4.5(z-.7) = 0 eller i reduceret form. 0.6y + 4.5z 9.45 = 0 0

21 c) Vinklen mellem mur og tag findes som vinklen mellem de tilhørende normalvektorer. En normalvektor til taget er fundet i opgave b) og en normalvektor til muren kan direkte aflæses som Herefter fås vinklen cos( v ) = v = = 0 n mur. Differentialligninger. De fleste tilgængelige IT-værktøjer er ikke stærke differentialligningsløsere. Men har man adgang til et mere avanceret program, er det naturligvis tilladt at benytte det ved besvarelsen. Af nedenstående eksempler er den ene løst vha. et sådant program (MAPLE), mens den anden opgave er løst vha. grafregneren, hvor løsningen bestemmes i flere trin. Ved løsning af differentialligninger skal eleven overveje om alle løsninger er fremkommet ved den anvendte metode (oftest seperation af de variable). Nedenfor ses et eksempel, hvor den trivielle løsning y=0 forkommer. Denne løsning bliver ofte glemt, men skal naturligvis medtages i den fuldstændige løsning. Eksempel på en opgave med differentialligning. Bestem den fuldstændige løsning til nedenstående differentialligning dy = y = f ( ) g( y) d Løsning Da f() = - er en kontinuert funktion gælder at løsningsintervallet for er alle reelle tal. For at kunne foretage separation af de variable, må vi forudsætte at g(y) = y er forskellig fra 0 dvs. vi skal arbejde med løsninger for hhv. y=0, y>0 og y<0 Nedenfor ses en MAPLE løsning af problemet. > differentialligning:= diff(y(),)=-**y(); differentialligning := = y( ) y( ) > odeadvisor(differentialligning); > dsolve(differentialligning); [_separable] y( ) = _C e ( ) Dette er den generelle løsning til differentialligningen. Det ses at for y>0 er _C >0, for y<0 er _C <0 og for y =0 er _C=0 Matematik A, maj 00 (obl. grafregner), opgave Temperaturen T som funktion af tiden t af et legeme, der opvarmes i en ovn med konstant temperatur A, opfylder med god nøjagtighed differentialligningen dt dt = k( A T ), hvor k er en konstant, der afhænger af legemets form og materiale. I denne opgave regnes T i grader Celsius ( C) og t i minutter.

22 En oksesteg, der har temperaturen 0 C, sættes til tiden t = 0 i en ovn med temperaturen A = 50 C. For stegen er k = 0,005. a) Bestem stegens temperatur T(t) for t 0. b) Hvor mange minutter skal stegen have, hvis den er færdig når temperaturen er 65 C? Løsning a) Den givne differentialligning løses ved separation af de variable. Her bemærkes at A T > 0. Man kan enten indsætte de givne konstanter fra starten, eller man kan regne symbolsk og først indsætte konstanterne til sidst. Sidstnævnte rækkefølge er brugt i denne besvarelse. dt = k( A T ) dt dt = kdt A T ln( A T ) = kt + c A T = e T = A ce kt c kt Nu indsættes de givne konstanter T ( t) = 50 ce 0,005t Tilslut kan c bestemmes ud fra begyndelsesbetingelsen T ( 0) = 0 0 = 50 c c = 0 Stegens temperatur er dermed givet ved følgende forskrift T ( t) = 50 0e 0,005t Denne opgave kan løses i Maple på følgende måde: Da der er tale om opvarmning vil der gælde A -T > 0 og tiden t = 0. Først defineres differentialligningen > differentialligning:= diff(t(t),t)=k*(a-t(t)); differentialligning := T( t ) = k ( A T( t )) t Dernæst løses den med begyndelsesbetingelsen T(0) = 0 > dsolve({differentialligning,t(0)=0}); T( t ) = A + e ( k t ) ( A + 0 ) Tilslut indsættes talværdierne for konstanteren A og k og man får løsningen > subs({k=0.005,a=50},%);.005t T( t ) = 50 0 e ( ) b) Her skal bestemmes, hvornår stegen har nået en temperatur på 65 0 C. 0,005t Man skal altså løse ligningen 65 = 50 0e. Ligningen løses på grafregneren, og man får resultatet t = 4,54. Det tager altså stegen ca. 44 min. at blive færdig.