Undervisningsnotat. Matricer

Transkript

1 Undervisningsnotat. Matricer januar, C Definition En matrix er en ordnet mængde tal opstillet i m rækker og n søjler. Matricen A kunne være defineret som vist nedenfor. Hvert element i matricen er forsynet med et index, der angiver rækkernummer og søjlenummer. Det første element, der står i række og søjle er derfor benævnt: a. Når antallet af søjler og rækker er ens, er matricen kvadratisk. a a a... a a a a... a.. A a a a... a m m m mn n n En kvadratisk matrix, der kun har elementer forskellig fra i diagonalen, hedder en Diagonalmatrix: A En enheds matrix er en diagonal matrix, hvor alle elementer på diagonalen er lig med : I Regneregler Matricer kan lægges sammen, trækkes fra hinanden og ganges med hinanden. Adition kan lade sig gøre, hvis matricer har det samme antal rækker og søjler. Elementerne lægges sammen hvert for sig. Eksempel: A 7 B C A B C 7 7 Subtraktion foregår helt på samme måde.

2 Multiplikation er lidt mere omstændigt. Dette kan kun lade sig gøre, hvis antallet af søjler i den første matrix er lig med antallet af rækker i den anden matrix. A og B er x matricer. Produktet C A B ønskes. Multiplikationen foregår på følgende måde: a A a a a B b b b C AB a a a a a b b b b b b C a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b A er en x matrice og B er en x matrice. Produktet A B og B A ønskes. Multiplikationen foregår på følgende måde: a A a a B a a a b b b b b b A B og B A er således begge definerede, da antallet af søjler i den første er lig antallet af rækker i den anden. a a a a a a b b b b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b b b b b a a a a a a a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b Som det ses, er de resultater ikke ens, og der gælder derfor, at faktorernes orden ikke er ligegyldig, når det handler om matricer. Taleksempel A 7 B AB 7 B A 7 7 Taleksempel Et andet taleksempel: A og B. Hverken A B eller B A er defineret, da antallet af søjler i den første er og antallet af rækker i den anden er. of

3 Determinanter Determinanten for en matrix er en talværdi. a a A B a a b b b b b b b b b A B C 7 Determinanten for A: A a a a a A A Determinanten for en x matrix kan beskrives som et areal: Determinanten for B: B b b b b b b b b b B b b b b b b b b b b b b b b b b b b Hvor determinanten for en x matrix kunne beskrives som et areal. kan determinnanten for en x matrix beskrives som et rumfang på tilsvarende vis. Determinanten for C er noget mere omstændig at regne ud, og ingen ved deres fulde fem ville i dag gøre det ved håndkraft. 7 C C. Determinanten for en matrix er hvis den indeholder en række eller søjle. Hvis rækker eller søjler er ens, er determinanten også. of

4 ineære ligningssystemer a x a x a x a y a y a y a z a z a z c c c ineære ligningssystemer kan løses ved hjælp af matricer. igningssystemet ovenfor kan skrives som: Axyz C a a a a a a a a a x y z c c c Dette kan man overbevise sig selv om ud fra reglerne for multiplikation af matricer. xyz kan da findes ved at gange med A's inverse matrix på begge sider: A Axyz A C A A I Ixyz xyz xyz A C Dette kræver så, at man kan finde den inverse til A. Inverse matrix: Den inverse matrix til A er defineret ved: AA I ( Enhedsmatricen) For en x matrix: A a a a a A a a A A a a a a a a a a a a of

5 Generelt gælder at A A adjat Elementerne i adja findes på følgende måde: - adj A har samme størrelse som A - Tallet på plads, findes ved at stryge den række og søjle, som plads, står i. - Herefter tages determinanten af det, der bliver tilbage. Her en x matrix. - Hvert element opløftes til ( ) i j, hvor i og j er nummeret på rækken og søjlen. Dette betyder, at hvert andet led bliver negativt. - Når alle pladser er fyldt ud, transponeres matricen. Hvilket betyder, at der byttes om på rækker og søjler: A T. - Til sidst divideres med determinanten til A - Heraf følger, at hvis determinanten er, har matricen ikke en invers matrix. - Matricen siges da at være singulær. A A a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a T Taleksempel. En x matrix A haves. Der ønskes den iverse matrix til A: a a a a a a a 7 a a a a a. A a a a A A a a a A A a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a T of

6 Reduktion af lineære ligningssystemer a a a A a a a x B a a a D x b x b Ax B x og x er ubekendte mens D er en kendt størrelse. a x a a D b a x a a D x a x a a D b Da anden række i x er, vil resultatet i A x derfor være o i anden række. Så kan vi ligeså godt undvære denne række. Når vi fjerner en række, kan vi fjerne den tilsvarende søjle. Række- og søjle nummer fjernes fra A Vi danner derfor et modificeret system: A mod x mod B mod a a x b A mod x mod B mod a a D b A mod x mod B mod x mod A mod B mod Herved findes x (og D). Disse kan nu indsættes i den oprindelige ligning: a a a a a a a a a x D b x og herefter kan x findes, så begge ubekendte nu er fundet. b of

7 Eksempel i løsning af lineære ligningssystemer F A B C u A r A R A M A u B r B R B M B u C r C R C M C u betegner en deformation, r betegner en vinkeldrejning, R betegner en lodret kraft, mens M betegner et moment. For en bjælke gælder følgende ligning: Ku U. Dette tages som et postulat på nuværende tidspunkt. K matricen tages også blot som givet på nuværende tidspunkt. K EI u r U u r R A M A R B F Vi har altså et ligningssystem bestående af ligninger med ubekendte. Såfremt understøtningsforholdene ændrer sig, vil antallet af ubekendt stadig være og kun. Se opgaven på sidste side. 7 of

8 Ku U EI r u r R A M A R B F De kendte værderi i ligningen er, I, E, F. Ku U u K U Nu er problemet bare, at K er singulær, da determinmanten er. Prøv selv. Når K og u ganges sammen, vil første søjle i K blive ganget sammen med første række i u. Da første række i u er, vil resultatet i K u derfor være o i første række. Så kan vi ligeså godt undvære denne række. Når vi fjerner en række, kan vi fjerne den tilsvarende søjle.det samme gælder. - og. række i K u. Række- og søjle nummer,, og fjernes fra K Vi danner derfor et modificeret system: K mod u mod U mod r K mod EI u mod u r U mod F K mod u mod U mod u mod K mod U mod Her findes så elementerne i u mod, hvilket vil sige element nummer,, og i u. Hele u vektoren er nu kendt, så vi kan blot løse den oprindelige ligning: Ku resultaterne i U, og alle de ubekendte er nu fundet. U. Dette giver os alle u mod EI F F Vinkeldrejning i knude E I 7F Udbøjning i knude EI F E I vinkeldrejning i knude of

9 EI F EI 7 F EI F EI F F F F odret reaktion i A Indspændingsmoment i A odret reaktion i B Belastningen N E mm I. mm mm F N Reaktioner regnes positivt nedad Vinkeldrejning i B: F.7 deg EI 7 F 7. mm EI Vinkeldrejning i C: Udbøjning i C: F. deg odret reaktion i A: EI F kn Indspændingsmoment i A: F knm odret reaktion i B: F kn of

10 Opgaver ) Udregn manuelt disse multiplikationer og kontrollér resultaterne ( ) ( ) ) Find determinanten og den inverse matrix af disse matricer manuelt og kontroller resultatet: 7 ) øs følgende ligningssystem: x y z x y z x x y z ) Gennemgå eksemplet ovenfor med bjælken hvor K-matricen er uændret og u-vektoren samt U-vektoren er ændrede: (Hvilken ændring betyder dette for bjælkens statiske system) u r r u r of