3.1 Baser og dimension
|
|
- Amanda Laursen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V ikke har en endelig basis, så er det af uendelig dimension Definition 32 Et F-vektorrum V er endeligt frembragt, hvis der findes v,, v n V, så V = Span(v,, v n ) Et endeligt frembragt vektorrum er af endelig dimension, fordi en endelig udspændende mængde kan udtyndes til en basis: Sætning 33 Lad V være et F-vektorrum, V {0}, som er udspændt af endeligt mange vektorer v,, v n Da har V en basis indeholdt i {v,, v n } Vi argumenterer ved induktion over antallet af vektorer i den udspændende mængde Udsagnet holder, når n =; for når V {0} og V = Span(v ), så er v 0, så {v } er en basis Vi antager så, at udsagnet gælder for vektorrum udspændt af n elementer, og må vise, at det gælder for vektorrum udspændt af n elementer Lad så V = Span(v,, v n ) Hvis v,, v n er uafhængige, udgør de en basis for V, som ønsket Hvis v,, v n er afhængige, så kan én af dem skrives som en lineærkombination af de andre; efter omnummerering kan vi antage, at v n = c v + + c n v n Men så er V = Span(v,, v n ), og induktionsantagelsen giver, at V har en basis indeholdt i {v,, v n } I begge tilfælde har V en basis indeholdt i {v,, v n }, så induktionsskridtet er taget, og beviset er fuldført 39
2 SEKTION 3 BASER OG DIMENSION Et endeligt frembragt vektorrum har faktisk mange baser: Sætning 34 ([L], 343) Lad V være et F-vektorrum af dimension n>0 Enhver mængde bestående af n uafhængige vektorer fra V udspænder V (og er derfor en basis) 2 Enhver mængde af n vektorer, som udspænder V, består af uafhængige vektorer (og er derfor en basis) Antag, at v,, v n V er uafhængige Lad v V V har en basis med n elementer, som så udspænder V, så Sætning 225 fortæller, at de n +vektorer v, v,, v n er afhængige der findes c, c,, c n F ikke alle 0 så cv + c v + + c n v n = 0 c 0: for hvis c =0så er c v + + c n v n =0 med mindst en c i 0, i modstrid med, at v,, v n er uafhængige Vi har da så cv =( c )v +( c n )v n, v =( c c )v + +( c n c )v n Span(v,, v n ) Da v V er arbitrært valgt er V = Span(v,, v n ) 2 Lad v,, v n udspænde V Antag, at de er afhængige Så kan en af dem skrives som linearkombination af de andre Efter omnummerering, lad os sige v n = c v + + c n v n Men så er V = Span(v,, v n ) Lad u,, u n være en basis for V Ifølge Sætning 225 er u,, u n afhængige Modstrid! Så v,, v n kunne ikke være afhængige 40
3 SEKTION 3 BASER OG DIMENSION Vi kan brodere lidt videre: Sætning 35 ([L], 344) Lad V være et F-vektorrum af dimension n>0 Ingen mængde med færre end n elementer kan udspænde V 2 Enhver mængde, der består af færre end n uafhængige elementer, kan udvides til en basis for V 3 Enhver udspændende mængde kan udtyndes til en basis for V Ifølge Sætning 33 kan en udspændende mængde for V udtyndes til en basis, så må have mindst dim V elementer 2 Lad v,, v k V være lineært uafhængige, k < n Span(v,, v k ) V (ifølge ()), så der findes v k+ V \ Span(v,, v k ) v,, v k+ er uafhængige: (for antag c v + + c k+ v k+ =0 Hvis c k+ 0er v k+ =( c k+ c )v + +( c k+ c k)v k Span(v,, v k ) Modstrid Så c k+ =0, så c v + +c k v k = 0 Men dette indebærer c = = c k =0 fordi v,, v k er uafhængige) Vi fortsætter på denne måde, ved at finde successivt v k+2 V \ Span(v,, v k+ ) v n V \ Span(v,, v n ) Når vi har v,, v n V uafhængige så er de en basis, ifølge Sætning 34, 3 Dette er Sætning 34 4
4 SEKTION 3 BASER OG DIMENSION Et underrum af et endeligt frembragt vektorrum er selv af endelig dimension: Lemma 36 Lad V være et F-vektorrum af dimension n>0 Lad U V være et underrum Så er dim U dim V ; og dim U = dim V U = V Hvis U = {0}, er dim U =0og dim U<dim V Hvis U {0}, lad M = max{p : der findes p uafhængige elementer i U} Hvis u,, u p U er uafhængige, så er de også uafhængige elementer i V Sætning 225 fortæller så, at p n, idet V er udspændt af n elementer Så M n Lad så u,, u M U være uafhængige Vi påstår, at {u,, u M } er en basis for U Vi må altså vise, at U = Span(u,, u M ) Antag, modsætningsvis, at U Span(u,, u M ), lad u M+ U \ Span(u,, u M ), og betragt en identitet c u + + c M u M + c M+ u M+ =0med c,, c M+ F c M+ =0: fordi hvis c M+ 0, så var u M+ = c M+ ( c u c M u M ), så indeholdt i Span(u,, u M ) Men så er c u + + c M u M =0; så c =0,, c M =0, idet u,, u M er uafhængige Så u,, u M, u M+ U er uafhængige Dette strider mod definitionen af M, så vores antagelse var forkert, U = Span(u,, u M ), og {u,, u M } er en basis for U Så dim U = M n Hvis dim U = n, så har U en basis {u,, u n } u,, u n er da n uafhængige elementer i V, som har dimension n, så Sætning 34, (I) fortæller, at de udgør en basis for V Specielt er V = Span(u,, u n )=U 42
5 SEKTION 32 UNDERRUM ASSOCIEREDE TIL EN MATRIX 32 Underrum associerede til en matrix Lad A Mat m,n (F) Nulrummet for A er N(A) ={x F n Ax = 0} Vi har tidligere set, i Proposition 52, at N(A) er et underrum af F n Rækkerummet for A = a (,:) a (m,:) er Søjlerummet for A = [ a (:,),, a (:,n) ] er Ræ(A) = Span(a (,:),, a (m,:) ) F m Sø(A) = Span(a (:,),, a (:,n) ) F n ( F n ) At Ræ(A) og Sø(A) er underrum følger af Sætning 223 Lad os finde baser for disse rum: Sætning 32 Lad A Mat m,n (F); lad A H i RREF Antag, som i Lemma 27, at H har pivot er i søjlerne j < <j k, og at de pivotfrie søjler er i < <i n k Da har N(A) en basis b,, b n k, hvor, for p =,, n k, b p er løsningen til Hx = 0, hvor den p te frie variabel z ip er sat til, og de andre frie variable z iq,q p, er sat til 0 Ifølge Lemma 27 er en løsning til Hx = 0 af formen z = kan vælges frit, og z j z jk = = l:i l >j h,il z il l:i l >j k h k,il z il z z n F n, hvor z i,, z in k F Bemærk, at z = z i b + + z in k b n k, hvor b p, p =,, n k, er som givet i sætningsudsagnet Vi har da, at {b,, b n k } udspænder N(H) =N(A) Bemærk også, at z = 0 hvis og kun hvis z i =0,, z in k =0 Da z = z i b + +z in k b n k, fås, at z i b + + z in k b n k = 0 hvis og kun hvis z i =0,, z in k =0; så b,, b n k er uafhængige Så b,, b n k udgør en basis for N(A) 43
6 SEKTION 32 UNDERRUM ASSOCIEREDE TIL EN MATRIX Bemærkning 322 Ved at indsætte z ip =,z iq =0for p q fås (b p ) js = h s,ip for s k { q = p (b p ) iq = 0 q p Sætning 323 Lad A Mat m,n (F); lad A H i RREF De ikke-nul rækker i H udgør en basis for Ræ(A) Vi har brug for et hjælpelemma: Lemma 324 ([L], Sætning 36) Rækkeækvivalente matricer har ens rækkerum Hvis A B, så dannes B fra A ved at anvende en følge af ERO er Så rækkevektorerne i B er lineære kombinationer af rækkevektorerne i A og Ræ(B) Ræ(A) Men A dannes fra B ved at anvende en følge af ERO er (inverserne til dem brugt til at danne B fra A), så Ræ(A) Ræ(B) Så Ræ(A) =Ræ(B) for Sætning 323 Ifølge lemmaet er det nok at vise, at H s ikke-nul rækker udgør en basis for Ræ(H) Det er klart, at Ræ(H) er udspændt af dens ikke-nul rækker Antag, at H har k pivot er, så k ikke-nul rækker; lad pivot erne være i søjlerne j < <j k Betragt en lineær relation c h (,:) + + c k h (k,:) = 0 Den j s te indgang giver c s =0 for s =,, k Så H s ikke-nul rækker er uafhængige, og udgør så en basis for Ræ(H) 44
7 SEKTION 32 UNDERRUM ASSOCIEREDE TIL EN MATRIX Addendum 325 Lad A Mat m,n (F); lad A U i REF De ikke-nul rækker i U udgør en basis for Ræ(A) Lad U H i RREF; U og H har lige mange ikke-nul rækker; lad os sige k ikke-nul rækker Ræ(A) =Ræ(U) =Ræ(H) er af dimension k; da det udspændes af U s k ikke-nul rækker, må disse være en basis (ifølge Sætning 34, ) Sætning 326 Lad A = [ a (:,),, a (:,n) ] Matm,n (F); lad A H i REF Lad j < <j k være numrene på de søjler i H, som indeholder en pivot Da er {a (:,j),, a (:,jk )} en basis for Sø(A) En lineær relation blandt søjlerne i H med koefficienter r,, r n (dvs en ligning r h (:,) + + r n h (:,n) = 0) findes hvis, og kun hvis, der findes en lineær relation blandt søjlerne i A med de samme koefficienter, idet Hr = 0 Ar = 0 (Proposition 22) Vi kan antage, at H er i RREF, idet reduktion fra REF til RREF ikke ændrer på pivot ernes placering For s =,, k er h (:,js), den j s te søjle i H, da lig med standardbasisvektoren 0 e s = s te plads 0 Specielt er den eneste lineære relation blandt h (:,j),, h (:,jk ) den trivielle De sidste m k rækker i H er nul, så søjlerne i H er lineære kombinationer af e,, e k, altså af h (:,j),, h (:,jk ) Bemærkningen, der indledte beviset, viser nu, at den eneste lineære relation blandt a (:,j),, a (:,jk ) er den trivielle, og at søjlerne i A er lineære kombinationer af a (:,j),, a (:,jk ) Så {a (:,j),, a (:,jk )} er en basis for Sø(A) 45
8 SEKTION 32 UNDERRUM ASSOCIEREDE TIL EN MATRIX Eksempel 327 (se [L], ex 4, s 66) Lad Find baser for Sø(A), Ræ(A) og N(A) Ifølge [L] er Så Sø(A) har basis 2 2 A = A U = i REF A = 0,A 2 = 3,A 5 = Ræ(A) har basis de tre ikke-nul rækker i U, eller, når der reduceres til RREF, U H = de tre ikke-nul rækker i H Ax = 0 har løsninger x = 3x 3 7x 4 x 2 = x 3 3x 4 x 5 =0 3x 3 7x x 3 3x 4 dvs x 3 x 4 = x x og 0, 3 0 udgør en basis for N(A)
9 SEKTION 32 UNDERRUM ASSOCIEREDE TIL EN MATRIX Mere overordnet, har vi: Proposition 328 (se også [L], 365, 366) Lad A Mat n,m (F), lad A U i REF dim N(A) =antallet af søjler uden pivot i U 2 dim Ræ(A) =antallet af ikke-nul rækker i U 3 dim Sø(A) =antallet af søjler med pivot i U Der gælder, at dim Ræ(A) = dim Sø(A), og at dim N(A) + dim Sø(A) =n, antallet af søjler i A (),(2),(3) følger umiddelbart af baserne fundet ovenfor Da antallet af ikke-nul rækker i H er lig med antallet af pivot er (der er én i hver ikke-nul række) er Ræ(A) =Sø(A) Hvis k er antallet af søjler med pivot er dim N(A) =n k, dim Sø(A) =k, og dim N(A) + dim Sø(A) = (n k)+k = n Notation 329 dim Ræ(A) = dim Sø(A) kaldes rangen af A, rang(a) dim N(A) kaldes nulliteten af A, nul(a) Lad A Mat m,n (F) Vi har tidligere set, i Lemma 224, at ligningssystemet Ax = b er konsistent b Sø(A) Dette kan elaboreres: Proposition 320 ([L], 363) Lad A Mat m,n (F) Systemet Ax = b er konsistent for alle b F m F m = Sø(A) 2 Systemet Ax = b har én løsning b Sø(A) og søjlerne i A er uafhængige 47
10 SEKTION 32 UNDERRUM ASSOCIEREDE TIL EN MATRIX følger umiddelbart af Lemma Hvis b / Sø(A) så har systemet ingen løsning Hvis b Sø(A), lad c F n være således at Ac = b Lad z N(A) Så er A(c + z) =Ac + Az = b + 0 = b, så c + z er en løsning til Ax = b Det følger at c er den eneste løsning til Ax = b N(A) ={0} der er ingen frie variabler for systemet Hx = 0 hvor A H i RREF der er en pivot i hver søjle i H søjlerne i A er uafhængige Addendum 32 Lad A Mat n,n (F) være en kvadratisk matrix Følgende udsagn er ækvivalente: Systemet Ax = b har en løsning for alle b F n 2 Systemet Ax = b har præcis een løsning for alle b F n 3 A er invertibel 4 Søjlerne i A er uafhængige 5 Sø(A) =F n () (5): Proposition 320, (2) (): Oplagt! (2) (3): Korollar 49 (3) (4): 228 (5) (4): F n har dimension n; hvis det er udspændt af A s n søjler, må disse være uafhængige, ifølge 34, 2 48
11 SEKTION 32 UNDERRUM ASSOCIEREDE TIL EN MATRIX Vi kan bruge vores metode til at finde baser for et søjlerum til at finde baser i andre sammenhænge: Lemma 322 Lad W = Span(w,, w n ) F m Skriv A =[w w n ] i søjleform, og lad A U i REF Hvis U har pivot er i søjlerne j,, j k, så er w j,, w jk en basis for W W = Sø(A); resten følger af Sætning 326 Eksempel 323 Find en basis for underrummet W R 4 udspændt af 2 w =, w 2 =, w 3 = 0 0, w 4 = Lad A = R 3 R 3 R R 2 R 2 R, R R 4 R 2 Først 0 2 R 2 R 4, 0 0 så R 3 R R 2 R 2, 0 0 R R 3 De første tre søjler har pivot er, den 4 har ikke; så {w, w 2, w 3 } er en basis for W 49
12 SEKTION 32 UNDERRUM ASSOCIEREDE TIL EN MATRIX Lemma 324 Lad v,, v k F n være uafhængige Skriv A =[v,, v k, e,, e n ] i søjleform og lad A U i REF Da har U pivot er i søjlerne,, k og i yderligere n k søjler l,, l n k ; {v,, v k, e l,, e ln k } er en basis for F n De første k søjler i U er en reduktion af [v,, v k ] til REF Da v,, v k er uafhængige, må der være pivot er i alle disse k søjler (Lemma 320) Sø(A) =F n, fordi e,, e n udspænder F n, så H må have n pivot er (Lemma 320); i søjlerne,, k, l,, l n k Lemma 320 fortæller, at {v,, v k, e l,, e ln k } er en basis for Sø(A) =F n Eksempel Udvid v = i, v 2 = i til en basis for C4 0 Det er klart, at {v, v 2, e,, e 4 } udspænder C 4 Vi udtynder til en basis i i i i i i i i i i i i i i i i i 0 0 i i i i i i i i i i i 2i {v, v 2, e, e 2 } er en basis for C 4 50
13 SEKTION 33 KOORDINATER OG KOORDINATSKIFT 33 Koordinater og koordinatskift Der er mange baser for et endeligt-dimensionalt vektorrum Det er ofte en fordel at anvende forskellige baser for forskellige problemstillinger det kan simplificere tingene betragteligt at anvende et egnet koordinatsystem! Der er et eksempel i [L] s 53-4, som gør det klart, at et smart valg af basis kan være helt afgørende for forståelsen Ideen er at modellere befolkningsflytning i et større byområde, hvor indbyggertallet er konstant, mens hvert år 6% flytter fra centrum til forstæderne og 2% flytter den anden vej Hvis 30% bor i centrum, 70% i forstæderne til at begynde med, hvad sker efter 5 år, 0 år,, 00 år? [ ] 030 Begyndelse: x 0 = 070 En beregning viser, at Au = u [ ] (094)(030) + (002)(070) Efter et år: x = (006)(030) + (098)(070) [ ] = Ax 0, hvor A = Når man regner videre, x n = A n x 0 [ ] 025 Eksperimenteres der, finder man at x n for n stor 075 [ ] 025 Lad os kalde u = ; 075 Vælg nu også u 2 = Endnu en beregning viser, at Au 2 = [ ] Vi ser, at u, u 2 er uafhængige, så er basis for R 2, idet [ ] [ ] [ ] [ ] /4 4 4 u u 2 = 3/ så er invertibel [ ] [ ] = =092u 2 [ ] /4, 0 A n (c u + c 2 u 2 )=c A n u + c 2 A n u 2 = c u + c 2 (092) n u 2 5
14 SEKTION 33 KOORDINATER OG KOORDINATSKIFT En beregning viser så x 0 = Det var valget af basis, som gav indsigt! [ ] 030 = u u 2, x n = u 005(092) n u 2 u for n Definition 33 Lad V = {v,, v n } være en ordnet basis for V Lad v V ; v kan skrives entydigt som lineær kombination af v,, v n, v = c v + + c n v n Der er således et entydigt element det kaldes koordinatvektoren for v mht V, og vi skriver c F n, som angiver koordinaterne for v mht V; c n [v] V = c c n Koordinatisering bevarer lineær struktur, dvs Lemma 332 [v + w] V =[v] V +[w] V 2 [rv] V = r [v] V Lad v, w V, skriv v = c v + + c n v n og w = d v + + d n v n Da er v + w =(c + d )v + +(c n + d n )v n, og vi har c + d d [v + w] V = = c + =[v] V +[w] V c n + d n c n d n 2 rv =(rc )v + +(rc n )v n, så [rv] V = rc rc n = r[v] V 52
15 SEKTION 33 KOORDINATER OG KOORDINATSKIFT Addendum 333 Der gælder også, at [v] V = 0 v = 0 : 0 =0v + +0v n, så [0] V = 0 : [v] V = 0 v =0v + +0v n = 0 Som vi har set, kan problemstillinger i lineær algebra ofte gøres mere overskuelige med et godt valg af basis En regnemæssig nødvendighed bliver så, at finde ud af, hvordan man regner om fra koordinatsystemet mht en basis til koordinatsystemet mht en anden? Eksempel 334 ([L], s 55, Ex 2) Lad u = [ [ 3, u 2] 2 = R ] 2 Vi ser, at u, u 2 er uafhængige; så U = {u, u 2 } er en ordnet basis for R 2 Hvad er [x] U for x R 2? Vi må altså finde c,c 2 R, så [ ] c x = c u + c 2 u 2 =[u, u 2 ] = Uc, c 2 hvor U =[u, u 2 ]; c er da [x] U [ ] 3 U = er invertibel, så [x] 2 U = U x U = [ ] [ ] x x, så [x] 2 3 U = 2 2x +3x 2 Dette kan gøres mere generelt: Lemma 335 Lad U = {u,, u n } være en ordnet basis for F n Lad U =[u,, u n ] Mat n,n (F) U er invertibel, og for alle x F n gælder U [x] U = x, [x] U = U x 53
16 SEKTION 33 KOORDINATER OG KOORDINATSKIFT Lad [x] U = c c n, så x = c u + + c n u n =[u,, u n ] c c n = U[x] U U er invertibel (Sætning 228) så U eksisterer, og U x = U U[x] U =[x] U Vi kan også skifte koordinater mellem to ordnede baser i F n : Korollar 336 (se [L], s 56 når n =2) Lad U = {u,, u n }, V = {v,, v n } være to ordnede baser for F n Lad U =[u,, u n ],V =[v,, v n ] Mat n,n (F) U, V er invertible, og [x] U = U V [x] V, [x] V = V U [x] U For alle x F n, U[x] U = x = V [x] V (Lemma 335) U, V er invertible (Lemma 335) så [x] U = U V [x] V, [x] V = V U[x] U Vi kan gøre noget lignende i et generelt endelig frembragtt F-vektorrum: Proposition 337 ([L], s 58-9) Lad U = {u,, u n }, V = {v,, v n } være to ordnede baser for et F-vektorrum W Lad K Mat n,n (F) være givet i søjleform som Der gælder: K er invertibel 2 For alle w W, [w] V = K [w] U [[u ] V,, [u n ] V ] 3 K er den entydige matrix i Mat n,n (F) således at (2) gælder 54
17 SEKTION 33 KOORDINATER OG KOORDINATSKIFT Antag, at K x x n = 0; så 0 = x [u ] V + + x n [u n ] V =[x u + + x n u n ] V, idet koordinatisering bevarer lineær struktur Så x u + + x n u n = 0, og derved er x =0,, x n =0fordi u,, u n er uafhængige Ligningssystemet Kx = 0 har derfor 0 som eneste løsning og (40) K er invertibel 2 Vi har, for i =,, n, at hvor er den i te søjle i K Skriv w = c u + + c n u n, så Vi har da u i = k i v + + k ni v n, k i k ni [w] U = =[u i ] V, c c n w = c (k v + + k n v n )+ + c n (k n v + + k nn v n ) =(c k + + c n k n )v + +(c k n + + c n k nn )v n Så k c + + k n c n [w] V = = K k n c + + k nn c n c c n = K [w] U 3 Antag, at [w] V = K [w] U for alle w F n Dette gælder specielt for u i,i=,, n, så {den i te søjle i K} =[u i ] V = K [u i ] U = K e i = {den i te søjle i K } for i =,, n Så K, K har de samme søjler; de er ens 55
18 SEKTION 33 KOORDINATER OG KOORDINATSKIFT Notation 338 K kaldes koordinattransformationsmatricen til V-koordinater fra U-koordinater; vi vil ofte skrive K V,U Vi har altså K V,U = [[u ] V,, [u n ] V ]; og [w] V = K V,U [w] U for alle w W Læg mærke til, at K U,V =(K V,U ), fordi K V,U er invertibel, så (K V,U ) [w] V =(K V,U ) K V,U [w] U =[w] U Bemærk også: Hvis U = {u,, u n },V = {v,, v n }, er ordnede baser for F n, og U =[u,, u n ],V =[v,, v n ], så er ifølge Korollar 336 K V,U = V U, K U,V = UV, 2 Hvis er en ordnet basis for F n, og U = {u,, u n } E = {e,, e n } er standardbasen for F n, givet ved 0 e i = i te plads, 0 så er Hvis vi skriver K E,U = [[u ] E,, [u n ] E ] = [u,, u n ] U =[u,, u n ], så har vi da K E,U = U og K U,E = U, som er egentlig hvad Lemma 335 foretæller 56
19 SEKTION 33 KOORDINATER OG KOORDINATSKIFT Eksempel 339 ([L], s 59 ex 6) Lad U = {, 2x, 4x 2 2}, V = {, x, x 2 } Disse er ordnede baser for P 3 (R) K V,U = [[u ] V, [u 2 ] V, [u 3 ] V ]= idet u ==v u 2 =2x =2v 2 u 3 =4x 2 2= 2v +4v 3 Således er for alle p P 3 (R) Man beregner [p] V = K V,U [p] U, [p] U =(K V,U ) [p] V, 0 2 (K V,U ) = = Så, hvis p = a + bx + cx 2, så [p] V = og a b, fås c 0 2 [p] U = a a + 2 c b = 2 b 0 0 c 4 4 c p =(a + 2 c) +( 2 b) 2x +( 4 c) (4x2 2) 57
Lineær Algebra F08, MØ
Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder
Læs mereLineær algebra 1. kursusgang
Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra
Læs mere4.1 Lineære Transformationer
SEKTION 41 LINEÆRE TRANSFORMATIONER 41 Lineære Transformationer Definition 411 ([L], s 175) Lad V, W være F-vektorrum En lineær transformation L : V W er en afbildning, som respekterer lineær struktur,
Læs mereFigur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller
Læs mere1.1 Legemer. Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal.
SEKTION 11 LEGEMER 11 Legemer Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal Definition 111 Et legeme F er en mængde udstyret
Læs mere9.1 Egenværdier og egenvektorer
SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der
Læs mereOversigt [LA] 11, 12, 13
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar
Læs mereUnderrum - generaliserede linjer og planer
1 Om miniprojekt 2 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer. Systematisk information om grafer/netværk (som i Dagens anvendelse kursusgang 9): Flyforbindelser. Skemalægning.
Læs mereLineær Algebra, kursusgang
Lineær Algebra, 2014 12. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg November 2014 Om miniprojekt 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer.
Læs mereTidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra
Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Læs mereLineær Algebra eksamen, noter
Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,
Læs mereNøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar
Læs mere6.1 Reelle Indre Produkter
SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II
Læs mere(Prøve)eksamen i Lineær Algebra
(Prøve)eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt bestaår af 9 nummererede sider med ialt 15 opgaver.
Læs mereOversigt [LA] 6, 7, 8
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen
Læs mereLineær Algebra, TØ, hold MA3
Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereLineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed
Lineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Linearkombinationer. Spænd Definition Givet et antal vektorer a 1,..., a p R n. En vektor v = c 1 a 1
Læs mereLinAlg 2013 Q3. Tobias Brixen Mark Gottenborg Peder Detlefsen Troels Thorsen Mads Buch 2013
LinAlg 2013 Q3 Tobias Brixen Mark Gottenborg Peder Detlefsen Troels Thorsen Mads Buch 2013 1 Lineær algebra Dispositioner - Dispo 0 2013 Contents 1 Løsninger, og MKL, af lineære ligningssystemer 3 2 Vektorrum
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Juni 28 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereLigningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet
Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemet Ax = 0 har mere end en løsning (uendelig mange) hvis og kun hvis nullity(a) 0 Løsningerne til et konsistent ligningssystem Ax
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske tekst på bagsiden, hvis du følger den danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra Første
Læs mereMatrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra
Matrx-vektor produkt [ ] 1 2 3 1 0 2 1 10 4 Rotationsmatrix Sæt A θ = [ ] cosθ sinθ sinθ cosθ At gange vektor v R 2 med A θ svarer til at rotere vektor v med vinkelen θ til vektor w: [ ][ ] [ ] [ ] cosθ
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereDiagonalisering. Definition (diagonaliserbar)
1 Diagonalisering 2 Definition (diagonaliserbar) Lad A være en n n-matrix. A siges at være diagonaliserbar hvis A er similær med en diagonal matrix, dvs. A = PDP 1, hvor D er en n n diagonal matrix og
Læs mereMatematik for økonomer 3. semester
Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske tekst på bagsiden, hvis du følger den danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra Første
Læs mere12.1 Cayley-Hamilton-Sætningen
SEKTION 12.1 CAYLEY-HAMILTON-SÆTNINGEN 12.1 Cayley-Hamilton-Sætningen Sætning 12.1.1 (Cayley-Hamilton) Lad A Mat n,n (C). Så gælder p A (A) =. Sætningen gælder faktisk over et vilkårligt legeme, men vi
Læs mereDefinition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Læs mereNøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse
Læs mere(Prøve)eksamen i Lineær Algebra
(Prøve)eksamen i Lineær Algebra Maj 016 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 10 nummererede sider med ialt
Læs mereMatematik: Struktur og Form Spænd. Lineær (u)afhængighed
Matematik: Struktur og Form Spænd. Lineær (u)afhængighed Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University 2017 1 / 8 Linearkombinationer. Spænd Definition Givet et antal vektorer a1,...,
Læs mereLineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære
Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C =
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Reeksamen August 2016
Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen - 9. August 26 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Fredag
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra fortsat
Kursusgang 3 fortsat - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12. september 2008 1/31 Nødvendige betingelser En nødvendig betingelse
Læs mereOversigt [LA] 3, 4, 5
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem
Læs mereLøsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni 2000 og Juni 2001.
Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni og Juni. Preben Alsholm 9. november 9 Juni Opgave 3 f : P (R) R 3 er givet ved f (P (x)) P () a + P () b, hvor a (,, ) og b (, 3, ). Vi viser,
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 6. januar,
Læs mereLineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl
Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,
Læs mereMatematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu
Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2012 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på modsatte side hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra
Læs mereDesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Læs mereLineære normale modeller (1) udkast. 1 Flerdimensionale stokastiske variable
E6 efterår 999 Notat 8 Jørgen Larsen 22. november 999 Lineære normale modeller ) udkast Ved hjælp af lineær algebra kan man formulere og analysere de såkaldte lineære normale modeller meget overskueligt
Læs mereDefinition 13.1 For en delmængde af vektorer X R n er det ortogonale komplement. v 2
Oersigt [LA],, Komplement Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på ektor Projektion på basis Kortest afstand August 00, opgae 6 Tømrermester Januar
Læs mereChapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Læs mereOversigt [LA] 6, 7, 8
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereMatematik og FormLineære ligningssystemer
Matematik og Form Lineære ligningssystemer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2014 Ligningssystemer og matricer Til et ligningssystem svarer der en totalmatrix [A b] bestående af koefficientmatrix
Læs mere2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010
1 of 7 31-05-2010 13:18 2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 Welcome Jens Mohr Mortensen [ My Profile ] View Details View Grade Help Quit & Save Feedback: Details Report [PRINT] 2010 Matematik
Læs mereSkriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)
SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige
Læs mereVektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor
enote 7 1 enote 7 Vektorrum I denne enote opstilles en generel teori for mængder, for hvilke der er defineret addition og multiplikation med skalar, og som opfylder de samme regneregler som geometriske
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på modsatte side hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra
Læs mereDesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær.
er DesignMat Uge 2 er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II Efterår 2010 Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge).
Læs mereEksamen i Lineær Algebra. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 4. januar 9 kl. 9:-: Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider
Læs mereModule 1: Lineære modeller og lineær algebra
Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........
Læs mereSylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder
Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme
Læs mereMatematik: Stuktur og Form Lineære ligningssystemer
Matematik: Stuktur og Form Lineære ligningssystemer Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University 2016 1 / 10 Ligningssystemer og matricer Ligningssystem totalmatrix Til et ligningssystem
Læs mereMat10 eksamensspørgsmål
Mat10 eksamensspørgsmål Martin Geisler 9. januar 2002 Resumé Dette dokument er en gennemgang af de eksamensspørgsmål der blev stillet til den mundtlige eksamen i Mat10, januar 2002
Læs mereLineær algebra Kursusgang 6
Lineær algebra Kursusgang 6 Mindste kvadraters metode og Cholesky dekomposition Vi ønsker at finde en mindste kvadraters løsning til det (inkonsistente) ligningssystem hvor A er en m n matrix. Ax = b,
Læs mereLineær Algebra - Beviser
Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner
Læs mereDet Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version
Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Opgaven består af et antal delopgaver Disse er af varierende omfang Der er også en
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Tirsdag den 4 januar, 2 Kl 9-3 Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination og span Test linearkombination Hvad er en matrix Matrix multiplikation Test matrix multiplikation
Læs mereReeksamen i Lineær Algebra
Reeksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 8 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mere13.1 Matrixpotenser og den spektrale radius
SEKTION 3 MATRIXPOTENSER OG DEN SPEKTRALE RADIUS 3 Matrixpotenser og den spektrale radius Cayley-Hamilton-sætningen kan anvendes til at beregne matrixpotenser: Proposition 3 (Lasalles algoritme) Lad A
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix
Læs mereDesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer
DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum
Læs mereMatematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet
Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonform Rang og nullitet Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 11.2.2013 Reduktion til (reduceret) echelonmatrix Et eksempel Et ligningssystem
Læs mereLineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl
Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl 2. udgave, oktober 207 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan
Læs mereNoter til Lineær Algebra
Noter til Lineær Algebra Eksamensnoter til LinAlg Martin Sparre, www.logx.dk, August 2007, Version π8 9450. INDHOLD 2 Indhold 0. Om disse noter.......................... 3 Abstrakte vektorrum 4. Definition
Læs mereLidt alment om vektorrum et papir som grundlag for diskussion
Definition : vektorrum, vektorer Et vektorrum er en mængde af elementer med operationerne sum (+) og numerisk multiplikation (), så følgende regler gælder for alle a, b, c og for alle reelle tal s, t R.
Læs mereMASO Uge 8. Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning. Jesper Michael Møller. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 8 Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 43 Formålet med MASO Oversigt Invertible og lokalt invertible
Læs mereDesignMat Uge 11 Lineære afbildninger
DesignMat Uge Lineære afbildninger Preben Alsholm Forår 008 Lineære afbildninger. Definition Definition Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge). Afbildningen
Læs merez 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2
M å l e p u n k t R i e m a n n s k G e o m e t r i E 8 J a ko b L i n d b l a d B l a ava n d 2 5 3 6 7 5 27 oktober 28 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fag A a r h u s U n i v e r s i t e t indledning
Læs mereEgenværdier og egenvektorer
enote 9 enote 9 Egenværdier og egenvektorer Denne note indfører begreberne egenværdier og egenvektorer for lineære afbildninger i vilkårlige generelle vektorrum og går derefter i dybden med egenværdier
Læs mereEgenværdier og egenvektorer
1 Egenværdier og egenvektorer 2 Definition Lad A være en n n matrix. En vektor v R n, v 0, kaldes en egenvektor for A, hvis der findes en skalar λ således Av = λv Skalaren λ kaldes en tilhørende egenværdi.
Læs mereDesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant
DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant Preben Alsholm Uge 5 Forår 010 1 Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant 1.1 Invers matrix I Invers matrix I Definition. En n n-matrix
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mereModulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system
Læs mereMatricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
Læs mere1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier
MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne en mængde af opgaver, som tilsammen dækker 100 point. De små opgaver giver hver 5 point,
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Onsdag
Læs mereDesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II
DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem
Læs mereLineære ligningssystemer og Gauss-elimination
Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm 18 februar 008 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Et eksempel Et eksempel 100g mælk Komælk Fåremælk Gedemælk Protein g 6g 8g
Læs mereMatematik: Struktur og Form Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer
Matematik: Struktur og Form Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University 2017 1 / 12 Matrixmultiplikation Am n = [aij ], Bn
Læs mereLiA 5 Side 0. Lineær algebra Kursusgang 5
LiA 5 Side 0 Lineær algebra Kursusgang 5 LiA 5 Side 1 Ved bestemmelse af mindste kvadraters løsning til (store) ligningssystemer vil man gerne anvende en metode der opfylder to krav: antallet af regneoperationer
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016
Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 206 Mikkel Findinge http://findinge.com/ Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan.
Læs mereReeksamen i Lineær Algebra. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet
Reeksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 9 kl. 9:-: Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider
Læs mereTo ligninger i to ubekendte
Oversigt [LA] 6, 7 Nøgleord og begreber Løs ligninger Eliminer ubekendte Rækkereduktion Reduceret matrix Enten-eller princippet Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Beregn invers matrix Calculus
Læs mereNøgleord og begreber
Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 6. juni, 26. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af nummererede sider med ialt 5 opgaver. Alle opgaver er multiple
Læs mereFejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder
Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Denne note er skrevet med udgangspunkt i [, p 24-243, 249 Et videre studium kan eksempelvis tage udgangspunkt i [2 Eventuelle kommentarer kan sendes til olav@mathaaudk
Læs mereOversigt [LA] 11, 12, 13
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalitet Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Pythagoras formel Kortest afstand August 2002, opgave 6 Cauchy-Schwarz ulighed Calculus
Læs mere