Ølopgaver i lineær algebra
|
|
- Astrid Toft
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer sammen og gange dem med skalarer samt afbildninger mellem disse, der opfører sig pænt med hensyn til disse vektorrumsegenskaber; afbildningerne skal med andre ord være lineære. Studiet af lineære afbildninger (på endeligdimensionale) vektorrum reducerer efter et basisvalg til studiet af de tilhørende matrixrepræsentationer. Et gennemgående tema i de følgende opgaver er sammenhængen mellem de lineære afbildninger og deres matrixrepræsentationer. Hvis I er interesserede i løsninger af opgaverne, men ikke selv kan finde på nogen, skal I selvfølgelig bare sige til. Øllet kan vindes en uge efter opgaven er stillet, men I skal selvfølgelig være velkomne til at give besvarelser efterfølgende disse præmieres så med et navn i en pdf-fil på nettet. Ølopgave 1. Bemærk: Opgaven her er i et vist omfang overflødiggjort af noterne (om end formuleret lidt anderledes deri). Sidste del står dog ingen steder (endnu) og er ganske vigtig. (a) Betragt R n med det sædvanlige indre produkt. Vis at en n n-matrix A er symmetrisk, hvis og kun hvis der for alle x, y R n gælder Ax, y = x, Ay. (b) Betragt C n med det sædvanlige indre produkt. Vis at en n n-matrix A er hermitisk/hermitesk/selvadjungeret, hvis og kun hvis der for alle x, y C n gælder Ax, y = x, Ay. (c) Lad A være en selvadjungeret n n-matrix, og lad S = n i=1 {λ i} betegne matricens spektrum: Samlingen af egenværdier for A. Vis at spektret er reelt; med andre ord, vis at S R. Resultatet af denne opgave er følgende: Betragt et generelt (endeligdimensionalt) vektorrum V med et indre produkt og en lineær afbildning L : V V. Hvorimens begrebet selvadjungeret giver god mening for matricer, er det ikke klart, hvad det vil sige for en generel lineær afbildning at være selvadjungeret. Opgaven ovenfor leder os til følgende definition: L kaldes selvadjungeret, hvis der for alle v, w V gælder L(v), w = v, L(w) (sml. noternes def ). Ølopgave 2 (Mads (MA2)). Lad L : V V være en lineær afbildning på et endeligdimensionalt vektorrum V og lad A være en matrixrepræsentation for L. Definer nu det(l) := det(a) og tr(l) := tr(a). Vis at det(l) og tr(l) er veldefinerede; det vil sige, at de ikke afhænger af den valgte matrixrepræsentation. Ølopgave 3 (Kenneth (MA2), Mads (MA2)). Lad S være et underrum af R n og betragt projektionen P : R n R n af en vektor ned på S. (a) Gør rede for, at der findes en ortonormalbasis (u 1,..., u k ) for S og bevis, at denne kan udvides til en ortonormalbasis (u 1,..., u k, u k+1,..., u n ) for R n. 1
2 (b) Bevis at matrixrepræsentationen for projektionen i denne basis er givet ved ( ) Ik Dette eksempel giver en intuition om, hvordan generelle projektioner virker: Givet en tilstrækkeligt smart basis, vil projektionen blot glemme de sidste n k indgange i den vektor, den virker på. Sammen med ølopgave 2 kan vi let udregne forskellige egenskaber ved projektionsafbildninger: Deres spor er f.eks. tr(p ) = k, og der gælder det(p ) = 0, hvis k < n. Det er ligeledes ikke længere overraskende, at projektioner af idempotente, eller at de er ikke-invertible for k < n. Ølopgave 4 (Tobias (MA1), Mads (MA2)). Ofte i matematikken er man interesserede i såkaldte invarianter. En invariant er en egenskab, der knyttes til en samling matematiske objekter, og som forbliver uændret, når objekterne udsættes for en transformation af en bestemt type. Vi har i ølopgave 2 set, at determinanten og sporet er eksempler på egenskaber ved matricer, der ikke ændres ved koordinatskift: Hvis to matricer har forskellig determinant eller spor, er de altså ikke relateret ved et koordinatskift. Determinanten og sporet kan ses som (særligt interessante) specialtilfælde af de såkaldte elementære symmetriske polynomier evalueret i egenværdierne. De elementære symmetriske polynomier i n variable x 1,..., x n er defineret således: eller generelt for k = 1,..., n. e 0 (x 1,..., x n ) = 1 e 1 (x 1,..., x n ) = e 2 (x 1,..., x n ) =. 1 j n x j 1 j<k n e n (x 1,..., x n ) = x 1 x 2 x n e k (x 1,..., x n ) = 1 j 1<j 2< <j k n x j x k x j1 x j2 x jn (a) Lad A være en 2 2-matrix, reel eller kompleks, med (ikke nødvendigvis forskellige) egenværdier λ 1, λ 2 C. Vis at det karakteristiske polynomium for A er givet ved p A (x) = x 2 e 1 (λ 1, λ 2 )x + e 2 (λ 1, λ 2 ) = x 2 tr(a)x + det(a). (b) Lad A være en n n-matrix, reel eller kompleks, med (ikke nødvendigvis forskellige) egenværdier λ 1, λ 2,..., λ n C. Vis at det karakteristiske polynomium for A er givet ved n p A (x) = e i (λ 1,..., λ n )( x) n i. i=0 2
3 Bevis at n det(a + I) = e i (λ 1,..., λ n ). i=0 (c) Vis at e k (λ 1,..., λ n ) er invariant under koordinatskift. Lad L : V V være en lineær operator på et reelt n-dimensionalt reelt eller komplekst vektorrum med en matrixrepræsentation A i en given basis, og lad λ 1,..., λ n være de tilhørende egenværdier. Konkluder af det foregående, at c k (L) := e k (λ 1,..., λ n ) ikke afhænger af valget af basis. Forklar hvordan dette generaliserer ølopgave 2. Ølopgave 5 (Mads (MA2), Tobias (MA1)). Spektralsætningen kan formuleres på flere forskellige måder. Vi ser her på den reelle udgave af den. Betragt R n med det sædvanlige indre produkt og lad A være en n n-matrix. Lad λ 1,..., λ m være alle egenværdierne for A, med λ i λ j for i j. Lad P λi være projektionen på egenrummet E λi (A). Vis at de følgende er ækvivalente. (a) A er symmetrisk. (b) Der findes en ortogonalmatrix U så U T AU = diag(λ 1,..., λ m ), hvor λ i optræder Alg(λ i ) gange, og hvor søjlerne i U er egenvektorer for A. (c) Der findes en ortonormalbasis for R n bestående af egenvektorer for A. (d) Egenrummene er ortogonale, og der gælder A = λ 1 P λ1 + + λ m P λm. Opskrivningen i (d) i ovenstående kaldes spektraldekompositionen af A. Sætningen gælder også i det uendeligdimensionale tilfælde, hvor summen erstattes af et integral med hvad der hører til af teknikaliteter; dette tilfælde undersøges nærmere i forskellige kurser i funktionalanalyse på matematik. Spektralopløsningsformuleringen af spektralsætningen dukker ofte op i matematisk fysik; her følger en (meget) grov forklaring af hvorfor: I klassisk fysik er vi vant til at tænke på partikler, som noget der lever i R 3 og observable (postion, impuls, energi,...) er noget, der tager en partikel (og dens hastighed) og giver et tal. I kvantemekanik er sagen lidt mere kompliceret (om end ganske nydelig). Her erstattes partikler med tilstande, der er vektorer i et indre produkt-rum H, hvor det underliggende metriske rum 1 er fuldstændigt (i analyse-forstand); et såkaldt Hilbertrum. Observable repræsenteres i dette billede af selvadjungerede afbildninger; det vil sige, at spektralsætningen gælder for dem, og deres spektrum (se ølopgave 1) er reelt. De mulige udfald af en observation er så præcis egenværdierne, og observation svarer til projektion ned på et egenrum, jf. spektralopløsningen. Navnet spektrum er ikke tilfældigt: På fig. 1 (som jeg har stjålet fra nettet) ses f.eks. spektret for brintatomet de sorte streger svarer til mulige forskelle i energiniveauer, og disse niveauer svarer igen til egenværdierne for en bestemt selvadjungeret afbildning kaldet Hamiltonoperatoren. 1 Husk at et indre produkt giver en metrik ved d(v, w) = v w, v w. 3
4 Figur 1: Brints spektrum Ølopgave 6 (Åben). I denne opgave ser vi nærmere på den såkaldte funktionalkalkyle: Hvis vi betragter en vilkårlig matrix A og en vilkårlig funktion f, er det ikke klart, hvad vi vil forstå med f(a). Ved hjælp af diagonalisering kan vi dog slippe af sted med det: Antag at A er en diagonaliserbar n n-matrix, så A = Xdiag(λ 1,..., λ n )X 1 for et passende X og lad f være en kompleks funktion defineret på spektret af A (se opg. 1). Sæt nu f(a) = Xdiag(f(λ 1 ),..., f(λ n ))X 1. (a) Lad os først indse, at dette begreb giver den rigtige mening for polynomier. Lad A være en diagonaliserbar n n-matrix og lad f : C C være polynomiet f(z) = a m z m + a 1 z + a 0. Vis at f(a) = a m A m + + a 1 A + a 0 I. (b) Herfra sætter kun fantasien grænser; lad os for eksempel kaste et fornyet blik på ugeseddelopgaven på ugeseddel 12. Lad Re : C R og Im : C R betegne realdel og imaginærdel af et komplekst tal. Lad A, H, S og U være som i opgaven. Vis at Re(A) = H og iim(a) = S, så A = Re(A)+iIm(A). (c) Lad os i samme tråd betragte den såkaldte polardekomposition af en invertibel matrix, der svarer til polærdekompositionen af et komplekst tal z = z e iθ : Vis nemlig at enhver reel invertibel matrix A kan skrives A = QP, hvor Q er ortogonal og P er symmetrisk og positiv definit. (Vink: Vis at matricen A T A giver mening i forhold til ovenstående, og at den er symmetrisk og positiv definit.) Til den næste opgave får vi brug for et par definitioner Definition. En kvadratisk form Q : F n F (i n variable) over et legeme F er et homogent symmetrisk polynomium af grad 2 med n variable; dvs. n Q(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, i,j=1 4
5 hvor a ij er elementer i F og a ij = a ji. Som i det reelle tilfælde kan vi til enhver kvadratisk form knytte en symmetrisk matrix A = (a ij ) ij, og som vi har set, er kravet om symmetri ikke essentielt, da x i x j = x j x i og vi generelt kunne betragte matricen ( 1 2 (a ij + a ji )) ij. Definition. En bilineær form på et F-vektorrum V er en afbildning B : V V F, der er lineær i hver variabel. B kaldes symmetrisk, hvis B(v, w) = B(w, v) for alle v, w V. B kaldes ikkedegenereret, hvis følgende betingelse er opfyldt: Hvis der for et v V gælder, at B(v, w) = 0 for alle w V, så er v = 0. Hvis V er endeligdimensionalt, og {v 1,..., v n } er en basis for V, kan vi knytte en matrix A til en bilineær form ved at definere A ij = B(v i, v j ). Ølopgave 7 (Åben). Lad os i denne opgave betragte sammenhængen mellem kvadratiske former og symmetriske bilineære former. (a) Lad B være en symmetrisk bilineær form på F n, hvor F er et vilkårligt legeme. Vis at Q(x) = B(x, x) definerer en kvadratisk form i n variable over F. (b) Lad Q være en kvadratisk form i n variable over F og antag, at der i F gælder Vis at udtrykket B(x, y) = 1 2 (Q(x + y) Q(x) Q(y)) definerer en symmetrisk bilineær form på F n. Forklar hvorfor det er vigtigt, at (c) I (a) har vi defineret en afbildning {symmetriske bilineære former} {kvadratiske former}, og i (b) har vi, når , defineret en afbildning {kvadratiske former} {symmetriske bilineære former}. Vis at de to afbildninger er hinandens inverse, og dermed at de begge er bijektioner. 3 Teorien for kvadratiske former og symmetriske bilineære former er derfor den samme, og ofte skelner man ikke mellem de to. (d) Lad os nu rette vores opmærksomhed mod det reelle tilfælde. Her har vi i hovedaksesætningen set, at vi ved at rotere vort koordinatsystem kan bringe en vilkårlig kvadratisk form på en særligt pæn form. Mere præcist gælder, at vi givet en kvadratisk form Q over R kan finde en rotationsmatrix R, så Q(Rx) = λ 1 x λ n x 2 n, hvor λ 1,..., λ n er egenværdierne for A. Overvej at Q R er en kvadratisk form med tilhørende matrix diag(λ 1,..., λ n ). Hvis vi tillader andre koordinatskift end rotationer, kan vi forsimple udtrykket yderligere: Lad 2 Det mindste naturlige tal m så summen af m 1-taller i F giver 0 kaldes karakteristikken af legemet og betegnes char(f). Hvis intet sådant n findes (tænk på R og C) sætter vi char(f) = 0. Tilfældet char(f) = 2 giver som i opgaven her anledning til en række besynderligheder. 3 Den sidste afbildning kaldes undertiden polarisering. 5
6 Q være en kvadratisk form over R. Vis at der findes en invertibel matrix X, så Q(Xx) = x x 2 r x 2 r+1 x 2 r+s + 0x 2 r+s x 2 n, for passende r og s og hermed, at Q X er en kvadratisk form med tilhørende matrix diag(1,..., 1, 1,..., 1, 0,... 0). (e) Vis at tallene r og s, der blev fundet i det ovenstående er invarianter af Q. Med andre ord, vis at hvis Q(Y x) = x x 2 r x2 r +1 x 2 r +s + 0x2 r +s x 2 n for en invertibel matrix Y, så er r = r og s = s. Resultatet i opgave (e) er kendt som Sylvesters træghedslov og blev bevist i Parret (r, s) indgår i flere sammenhænge og kaldes signaturen af den kvadratiske form/symmetriske bilineære form. 4 Et velkendt eksempel på en symmetrisk bilineær form er det indre produkt på R 3, der har signatur (3, 0), da matricen for denne bilineære form i standardbasen blot er I = diag(1, 1, 1). Det indre produkt spiller en nøglerolle i forståelsen af geometrien af R 3 : Ud fra det indre produkt kan vi få begreber som vinkel, afstand og længde. En af hovedpointerne i den fysiske teori kaldet relativitetsteorien er, at dette i virkeligheden er utilstrækkeligt, og at vi i stedet tvinges til at betragte en symmetrisk bilineær ikkedegenereret form med signatur (3, 1). Mængden R 4 udstyret med det letteste eksempel på en sådan form, nemlig Q(x 0, x 1, x 2, x 3 ) = x 0 x 0 +x 1 x 1 +x 2 x 2 +x 3 x 3, kaldes Minkowskis rumtid 5 og betegnes ofte R 3,1. Formen Q er på flere punkter forskellig fra det sædvanlige indre produkt: F.eks. er den ikke positiv definit, og udtrykket x 2 = Q(x) definerer ikke en norm, som det sædvanligvis ville gøre. 4 Nogle steder defineres signaturen til at være heltallet r s. 5 Se også 6
Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016
Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 206 Mikkel Findinge http://findinge.com/ Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan.
Læs mereLineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering
Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Egenvektorer og egenværdier Mål: Forståelse af afbildningen x Ax fra R n R n for en n n-matrix
Læs mereEgenværdier og egenvektorer
1 Egenværdier og egenvektorer 2 Definition Lad A være en n n matrix. En vektor v R n, v 0, kaldes en egenvektor for A, hvis der findes en skalar λ således Av = λv Skalaren λ kaldes en tilhørende egenværdi.
Læs mereTidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra
Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereDiagonalisering. Definition (diagonaliserbar)
1 Diagonalisering 2 Definition (diagonaliserbar) Lad A være en n n-matrix. A siges at være diagonaliserbar hvis A er similær med en diagonal matrix, dvs. A = PDP 1, hvor D er en n n diagonal matrix og
Læs mereSymmetriske og ortogonale matricer Uge 7
Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7 Preben Alsholm Efterår 2009 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = [ a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji
Læs mereSymmetriske og ortogonale matricer Uge 6
Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Preben Alsholm Efterår 2010 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Det sædvanlige
Læs mereSkriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)
SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige
Læs mereLineær Algebra eksamen, noter
Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereVejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009
Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,
Læs mereSymmetriske matricer
Symmetriske matricer Preben Alsholm 17. november 008 1 Symmetriske matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji for alle i og j. Altså hvis A
Læs mereDesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer
DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum
Læs mereEksamen i Lineær Algebra. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 4. januar 9 kl. 9:-: Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider
Læs mereDesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II
DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 6. juni, 26. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af nummererede sider med ialt 5 opgaver. Alle opgaver er multiple
Læs mereNøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereEkstremum for funktion af flere variable
Ekstremum for funktion af flere variable Preben Alsholm 28. april 2008 1 Ekstremum for funktion af flere variable 1.1 Hessematricen I Hessematricen I Et stationært punkt for en funktion af flere variable
Læs mere9.1 Egenværdier og egenvektorer
SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der
Læs mereChapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Læs mereOversigt [LA] 10, 11; [S] 9.3
Oversigt [LA] 1, 11; [S] 9.3 Nøgleord og begreber Repetition: enhedsvektor og identitetsmatrix Diagonalmatricer Diagonalisering og egenvektorer Matrixpotens August 22, opgave 2 Skalarprodukt Længde Calculus
Læs mere1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier
MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober 2017 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne de små opgaver i afsnittene 1 5 i løbet af de første 4 halve dage. Dernæst tilføjes
Læs mere6.1 Reelle Indre Produkter
SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Reeksamen August 2016
Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen - 9. August 26 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereOversigt Matematik Alfa 1, August 2002
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereOversigt [LA] 11, 12, 13
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar
Læs mereSylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder
Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske tekst på bagsiden, hvis du følger den danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra Første
Læs mere1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier
MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne en mængde af opgaver, som tilsammen dækker 100 point. De små opgaver giver hver 5 point,
Læs mereDESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
Læs mereOpgave 1 Lad R betegne kvartcirkelskiven x 2 + y 2 4, x 0, y 0. (Tegn.) Udregn R x2 y da. Løsning y. Opgave 1 - figur. Calculus 2-2006 Uge 50.
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereModulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Juni 28 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereUge 11 Lille Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Det ortogonale komplement
OPGAVER 1 Opgaver til Uge 11 Lille Dag Opgave 1 Det ortogonale komplement a) I R 2 er der givet vektoren (3, 7). Angiv en basis for det ortogonale komplement. b) Find i R 3 en basis for det ortogonale
Læs mereLokalt ekstremum DiploMat 01905
Lokalt ekstremum DiploMat 0905 Preben Alsholm Institut for Matematik, DTU 6. oktober 00 De nition Et stationært punkt for en funktion af ere variable f vil i disse noter blive kaldt et egentligt saddelpunkt,
Læs mereCalculus Uge
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Tirsdag den 8 januar, Kl 9- Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede sider
Læs mereKomplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Læs mereHilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum
Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Læs mereEgenværdier og egenvektorer
enote 9 enote 9 Egenværdier og egenvektorer Denne note indfører begreberne egenværdier og egenvektorer for lineære afbildninger i vilkårlige generelle vektorrum og går derefter i dybden med egenværdier
Læs mereOm første og anden fundamentalform
Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt
Læs mereDesignMat Uge 4 Systemer af lineære differentialligninger I
DesignMat Uge Systemer af lineære differentialligninger I Preben Alsholm Efterår 008 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden I Lineært differentialligningssystem
Læs mereKøbenhavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Forelæsningsnote 8. (NB: Noten er ikke en del af pensum)
Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Forelæsningsnote 8 NB: Noten er ikke en del af pensum Eksempel på brug af egenværdier og egenvektorer Måske er det stadig
Læs mereLinAlg 2013 Q3. Tobias Brixen Mark Gottenborg Peder Detlefsen Troels Thorsen Mads Buch 2013
LinAlg 2013 Q3 Tobias Brixen Mark Gottenborg Peder Detlefsen Troels Thorsen Mads Buch 2013 1 Lineær algebra Dispositioner - Dispo 0 2013 Contents 1 Løsninger, og MKL, af lineære ligningssystemer 3 2 Vektorrum
Læs mereLineær Algebra, TØ, hold MA3
Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet
Læs mereExponentielle familer, ark 2
1 Exponentielle familer, ark 2 Eksponentielle familier OPGAVE 21 Beksriv den eksponentielle familie på (R, B) givet ved følgende data: V er R med det sædvanlige indre produkt, den kanoniske stikprøvefunktion
Læs mereKlassisk Taylors formel
p. 1/17 Klassisk Taylors formel Sætning Lad f : (a, b) R være n gange differentiabel. For x 0, x (a, b) findes et ξ mellem x 0 og x der opfylder at f(x) = f(x 0 )+ f (x 0 ) 1! (x x 0 )+...+ f(n 1) (x 0
Læs mereModule 1: Lineære modeller og lineær algebra
Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........
Læs mereTaylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Læs merez 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2
M å l e p u n k t R i e m a n n s k G e o m e t r i E 8 J a ko b L i n d b l a d B l a ava n d 2 5 3 6 7 5 27 oktober 28 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fag A a r h u s U n i v e r s i t e t indledning
Læs mereReeksamen i Lineær Algebra. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet
Reeksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 9 kl. 9:-: Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider
Læs mereEndeligdimensionale vektorrum
Endeligdimensionale vektorrum I det følgende betegner X, Y og Z endeligdimensionale vektorrum Gerne udstyret med en norm, evt et indre produkt Eksempel: En skævt beliggende plan i rummet, X = {v R 3 v,
Læs mereSymmetriske matricer. enote Skalarprodukt
enote 19 1 enote 19 Symmetriske matricer I denne enote vil vi beskæftige os med et af de mest benyttede resultater fra lineær algebra den såkaldte spektralsætning for symmetriske matricer. Den siger kort
Læs mereNøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar
Læs mereDesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Læs mereOversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote 7 enote 7 Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses Der bruges egenværdier og egenvektorer i løsningsproceduren,
Læs mereMatricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
Læs mere2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010
1 of 7 31-05-2010 13:18 2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 Welcome Jens Mohr Mortensen [ My Profile ] View Details View Grade Help Quit & Save Feedback: Details Report [PRINT] 2010 Matematik
Læs mereDesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær.
er DesignMat Uge 2 er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II Efterår 2010 Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge).
Læs mereAnvendt Lineær Algebra
Anvendt Lineær Algebra Kursusgang 4 Anita Abildgaard Sillasen Institut for Matematiske Fag AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 1 / 32 Vægtet mindste kvadraters metode For et lineært ligningssystem (af m ligninger
Læs mereLineær Algebra F08, MØ
Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Tirsdag den 4 januar, 2 Kl 9-3 Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede
Læs mere(Prøve)eksamen i Lineær Algebra
(Prøve)eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt bestaår af 9 nummererede sider med ialt 15 opgaver.
Læs merex 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet
Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen
Læs mere4.1 Lineære Transformationer
SEKTION 41 LINEÆRE TRANSFORMATIONER 41 Lineære Transformationer Definition 411 ([L], s 175) Lad V, W være F-vektorrum En lineær transformation L : V W er en afbildning, som respekterer lineær struktur,
Læs mereNoter til Lineær Algebra
Noter til Lineær Algebra Eksamensnoter til LinAlg Martin Sparre, www.logx.dk, August 2007, Version π8 9450. INDHOLD 2 Indhold 0. Om disse noter.......................... 3 Abstrakte vektorrum 4. Definition
Læs mereDet Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version
Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Opgaven består af et antal delopgaver Disse er af varierende omfang Der er også en
Læs mere3.1 Baser og dimension
SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V
Læs mereOversigt [LA] 6, 7, 8
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen
Læs mereNøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 14, 15 Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Calculus 2-2005
Læs mereLidt alment om vektorrum et papir som grundlag for diskussion
Definition : vektorrum, vektorer Et vektorrum er en mængde af elementer med operationerne sum (+) og numerisk multiplikation (), så følgende regler gælder for alle a, b, c og for alle reelle tal s, t R.
Læs mereBesvarelse af Eksamensopgaver Juni 2005 i Matematik H1
Besvarelse af Eksamensopgaver Juni 5 i Matematik H Opgave De fire vektorer stilles op i en matrix som reduceres: 4 4 4 8 4 4 (a) Der er ledende et-taller så dim U =. Som basis kan f.eks. bruges a a jfr.
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Onsdag den. januar,. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede
Læs mereAppendiks 6: Universet som en matematisk struktur
Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes
Læs mereTeoretiske Øvelsesopgaver:
Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere
Læs mereOpgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. 3) Angiv en enhedsvektor u så at den retningsafledede D u f(5, 2) er 0.
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereKomplekse tal og algebraens fundamentalsætning.
Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes
Læs mere5 opgaver er korrekt besvarede.
KØbenhavns universitet N a turvidenskab e lig embeqsek~a!,!len vfnteren,1963-64... ----- MATEMATIK 1. Skriftlig prøve 2, (algebra og geometri).. Alle hjælpemidler er tilladt. En besvarelse betragtes som
Læs mereOpgave 1 - løsning 1) De partielle afledede beregnes. Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. f x = y 1 (x + y) 2.
Oversigt Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereEksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2
Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel
Læs mereMat10 eksamensspørgsmål
Mat10 eksamensspørgsmål Martin Geisler 9. januar 2002 Resumé Dette dokument er en gennemgang af de eksamensspørgsmål der blev stillet til den mundtlige eksamen i Mat10, januar 2002
Læs mereLineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl
Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereMaj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål)
Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål) Alternativ besvarelse (med brug af Maple til beregninger, incl. pakker til VektorAnalyse2 og Integrator8). Jeg gider ikke håndregne i de simple spørgsmål! Her
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Læs mere12.1 Cayley-Hamilton-Sætningen
SEKTION 12.1 CAYLEY-HAMILTON-SÆTNINGEN 12.1 Cayley-Hamilton-Sætningen Sætning 12.1.1 (Cayley-Hamilton) Lad A Mat n,n (C). Så gælder p A (A) =. Sætningen gælder faktisk over et vilkårligt legeme, men vi
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f
GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på modsatte side hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra
Læs mereReeksamen i Lineær Algebra
Reeksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 8 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mereFraktaler Mandelbrots Mængde
Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................
Læs mereLINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH
LINALG JULENØD 203 SUNE PRECHT REEH Resumé I denne julenød skal vi se på lineær algebra for heltallene Z Hvad går stadig godt? og hvad går galt? I de reelle tal R kan vi for ethvert a 0 altid finde R som
Læs merePunktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013
Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske tekst på bagsiden, hvis du følger den danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra Første
Læs mere