Nøgleord og begreber
|
|
- Agnete Berg
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel Potensreglen Entydig løsning Test entydig løsning Calculus Uge
2 Nem vej til areal Eksempel 9.1 Areal b 2 a 1 b 1 a 2 Calculus Uge
3 Nem vej til areal Eksempel 9.1 Areal b 2 a 1 b 1 a 2 Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2 Calculus Uge
4 Nemme determinanter Eksempel 9.3 Determinanten af en kvadratisk matrix Calculus Uge
5 Nemme determinanter Eksempel 9.3 Determinanten af en kvadratisk matrix 1-matrix a 11 = a 11 Calculus Uge
6 Nemme determinanter Eksempel 9.3 Determinanten af en kvadratisk matrix 1-matrix 2-matrix a 11 = a 11 a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 Calculus Uge
7 Nemme determinanter Eksempel 9.3 Determinanten af en kvadratisk matrix 1-matrix 2-matrix a 11 = a 11 a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 3-matrix a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 22 a 23 = a 11 a 32 a 33 a 12 a 21 a 23 a 31 a 33 +a 13 a 21 a 22 a 31 a 32 Calculus Uge
8 Udregn determinanter Eksempel = ( 1) = Calculus Uge
9 Udregn determinanter Eksempel = ( 1) = = = ( ) 2( ) +3( ) = = 12 Calculus Uge
10 Spejling og drejning Eksempel 9.5 Determinanten af en spejling cos 2θ sin 2θ Matr(S θ ) = sin 2θ cos 2θ = cos 2 2θ sin 2 2θ = 1 Calculus Uge
11 Spejling og drejning Eksempel 9.5 Determinanten af en spejling cos 2θ sin 2θ Matr(S θ ) = sin 2θ cos 2θ Determinanten af en drejning Matr(D θ ) = = cos 2 2θ sin 2 2θ = 1 cosθ sin θ sinθ cosθ = cos 2 θ + sin 2 θ = 1 Calculus Uge
12 Determinant ved rækkeudvikling Definition 9.6 Lad A ij være den (m 1) (n 1)-matrix, der fremkommer ved at slette i-te række og j-te søjle i en m n-matrix A. Calculus Uge
13 Determinant ved rækkeudvikling Definition 9.6 Lad A ij være den (m 1) (n 1)-matrix, der fremkommer ved at slette i-te række og j-te søjle i en m n-matrix A. Determinanten af en kvadratisk n n-matrix A er givet ved rækkeudvikling efter 1-te række A = n ( 1) 1+j a 1j A 1j j=1 Calculus Uge
14 Determinant ved rækkeudvikling Definition 9.6 Lad A ij være den (m 1) (n 1)-matrix, der fremkommer ved at slette i-te række og j-te søjle i en m n-matrix A. Determinanten af en kvadratisk n n-matrix A er givet ved rækkeudvikling efter 1-te række A = n ( 1) 1+j a 1j A 1j j=1 Kan skrives A = ( 1) 1+1 a 11 A 11 + ( 1) 1+2 a 12 A 12 + Calculus Uge
15 Determinant Eksempel 9.8 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Calculus Uge
16 Determinant Eksempel 9.8 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 23 a 32 a 33 a 12 a 21 a 23 a 31 a 33 + a 13 a 21 a 22 a 31 a 32 Calculus Uge
17 Determinant Eksempel 9.8 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 23 a 12 a 21 a 23 + a 13 a 21 a 22 a 32 a 33 a 31 a 33 a 31 a 32 a 22 a 23 = a 11 a 32 a 33 a a 21 a a 31 a 33 + a a 21 a a 31 a 32 Calculus Uge
18 Determinant mange veje Sætning Determinanten kan beregnes ved rækkeudvikling efter i-te række n A = ( 1) i+j a ij A ij j=1 Calculus Uge
19 Determinant mange veje Sætning Determinanten kan beregnes ved rækkeudvikling efter i-te række n A = ( 1) i+j a ij A ij j=1 2. Determinanten kan beregnes ved søjleudvikling efter j-te søjle n A = ( 1) i+j a ij A ij i=1 Calculus Uge
20 Søjleudvikling Eksempel 9.10 Beregn determinant ved udvikling efter anden søjle = Calculus Uge
21 Søjleudvikling Eksempel 9.10 Beregn determinant ved udvikling efter anden søjle = = Calculus Uge
22 Søjleudvikling Eksempel 9.10 Beregn determinant ved udvikling efter anden søjle = = = 2( ) + 5( ) 8( ) = = 0 Calculus Uge
23 Udregn determinant af orden 4 Eksempel = ( 1) Calculus Uge
24 Udregn determinant af orden 4 Eksempel = ( 1) = ( 1) Calculus Uge
25 Udregn determinant af orden 4 Eksempel = ( 1) = ( 1) = 1 Calculus Uge
26 Trekantsmatrix Eksempel række/søjle 0 a 12 0 a = 0 0 a 21 a = 0 Calculus Uge
27 Trekantsmatrix Eksempel række/søjle 0 a 12 0 a = 0 0 a 21 a = 0 øvre trekantsmatrix a 11 a 12 a 1n 0 a 22 a 2n a nn = a 11 a 22 a nn Calculus Uge
28 Rækkeoperationsmatricer Bemærkning 9.13 Ombytning af to rækker: = 1 Calculus Uge
29 Rækkeoperationsmatricer Bemærkning 9.13 Ombytning af to rækker: = 1 Multiplikation af række med tal 0: s = s Calculus Uge
30 Rækkeoperationsmatricer Bemærkning 9.13 Ombytning af to rækker: = 1 Multiplikation af række med tal 0: s = s Addition af et multiplum af en række til en anden: 1 s 0 1 = 1 Calculus Uge
31 Rækkeregneregler Sætning 9.14 Beregning af determinant Calculus Uge
32 Rækkeregneregler Sætning 9.14 Beregning af determinant Ombytning af to rækker: Determinanten skifter fortegn Calculus Uge
33 Rækkeregneregler Sætning 9.14 Beregning af determinant Ombytning af to rækker: Determinanten skifter fortegn Multiplikation af række med tal: Determinanten multipliceres med samme tal Calculus Uge
34 Rækkeregneregler Sætning 9.14 Beregning af determinant Ombytning af to rækker: Determinanten skifter fortegn Multiplikation af række med tal: Determinanten multipliceres med samme tal Addition af et multiplum af en række til en anden: Determinanten er uændret Calculus Uge
35 Søjleregneregler Sætning fortsat Beregning af determinant Calculus Uge
36 Søjleregneregler Sætning fortsat Beregning af determinant Ombytning af to søjler: Determinanten skifter fortegn Calculus Uge
37 Søjleregneregler Sætning fortsat Beregning af determinant Ombytning af to søjler: Determinanten skifter fortegn Multiplikation af søjle med tal: Determinanten multipliceres med samme tal Calculus Uge
38 Søjleregneregler Sætning fortsat Beregning af determinant Ombytning af to søjler: Determinanten skifter fortegn Multiplikation af søjle med tal: Determinanten multipliceres med samme tal Addition af et multiplum af en søjle til en anden: Determinanten er uændret Calculus Uge
39 Skalering af række eller søjle Eksempel 9.15 ( ) = = 2 7 Calculus Uge
40 Skalering af række eller søjle Eksempel 9.15 ( 1 7 ( ) = 1 7 ) = = = 2 7 Calculus Uge
41 Transponering og skalering Bemærkning 9.17 Udvikling efter række er udvikling efter søjle i den transponerede matrix, så determinanten er den samme A T = A Calculus Uge
42 Transponering og skalering Bemærkning 9.17 Udvikling efter række er udvikling efter søjle i den transponerede matrix, så determinanten er den samme A T = A Bemærkning 9.18 En n n-matrix A skaleres med λ ved at skalere hver række. Så anvendes rækkeskalerings reglen n-gange fås λa = λ n A Calculus Uge
43 Determinanten er nul Bemærkning 9.20 Observationer om determinant nul Calculus Uge
44 Determinanten er nul Bemærkning 9.20 Observationer om determinant nul En 0-række eller en 0-søjle: Determinanten er 0 Calculus Uge
45 Determinanten er nul Bemærkning 9.20 Observationer om determinant nul En 0-række eller en 0-søjle: Determinanten er 0 To ens rækker eller to ens søjler: Determinanten er 0 Calculus Uge
46 Determinanten er nul Bemærkning 9.20 Observationer om determinant nul En 0-række eller en 0-søjle: Determinanten er 0 To ens rækker eller to ens søjler: Determinanten er 0 Eksempel = 0 Calculus Uge
47 Test determinant nul Test Gælder der altid, at determinanten 1 x 1 3 y 3 0 z 0 = 0. Afkryds: ja nej Calculus Uge
48 Test determinant nul Test Gælder der altid, at determinanten 1 x 1 3 y 3 0 z 0 = 0. Afkryds: ja nej Løsning Første og tredje søjle er ens. Calculus Uge
49 Test determinant nul Test Gælder der altid, at determinanten 1 x 1 3 y 3 0 z 0 = 0. Løsning Første og tredje søjle er ens. Afkryds: ja nej Calculus Uge
50 Udregn determinanter Eksempel 9.22 Reducer til øvre trekantsmatrix (1) = 1 2 = ( 1) 10 = Calculus Uge
51 Udregn determinanter Eksempel 9.22 Reducer til øvre trekantsmatrix (1) = 1 2 = ( 1) 10 = (2) = = = 1 ( 3) ( 4) = 12 Calculus Uge
52 Determinant af matrixprodukt Sætning Produktreglen For to kvadratiske n n-matricer A,B gælder AB = A B Calculus Uge
53 Determinant af matrixprodukt Sætning Produktreglen For to kvadratiske n n-matricer A,B gælder AB = A B Bevis For B fast og A en rækkeoperationsmatrix er produktreglen netop rækkeregnereglerne. Ved rækkereduktion kan A skrives som produkt af rækkeoperations-matricer samt enten identitetsmatricen eller en matrix med en 0-række nederst. Produktreglen følger heraf. Calculus Uge
54 Brug produktreglen Eksempel 9.24 A = = 12 Calculus Uge
55 Brug produktreglen Eksempel A = = AA = = AA = A A = = Calculus Uge
56 Determinant af potens Eksempel 9.25 Potensers determinant 1 2 = ( 1) = Calculus Uge
57 Determinant af potens Eksempel 9.25 Potensers determinant 1 2 = ( 1) = ( ) k = k = ( 10) k Calculus Uge
58 Determinant af invers matrix Sætning Inversreglen En kvadratisk matrix A er invertibel, hvis og kun hvis A 0. Der gælder A 1 = 1 A hvis A 0. Calculus Uge
59 Determinant af invers matrix Sætning Inversreglen En kvadratisk matrix A er invertibel, hvis og kun hvis A 0. Der gælder A 1 = 1 A hvis A 0. Bevis Hvis A er invertibel så giver produktreglen formlen. Hvis A 0 så kan A skrives som produkt af rækkeoperationsmatricer, som hver er invertible. A er da invertibel. Calculus Uge
60 Brug inversreglen Eksempel 9.27 Matricen A = har determinant A = 12 Calculus Uge
61 Brug inversreglen Eksempel 9.27 Matricen A = har determinant A = 12 A er invertibel og den inverse har determinant A 1 = A 1 = 1 12 Calculus Uge
62 Test inversregel Test Determinanten af en invertibel matrix er altid 0. Afkryds: ja nej Calculus Uge
63 Test inversregel Test Determinanten af en invertibel matrix er altid 0. Løsning Sætning 12 giver svaret direkte. Afkryds: ja nej Calculus Uge
64 Test inversregel Test Determinanten af en invertibel matrix er altid 0. Løsning Sætning 12 giver svaret direkte. Afkryds: ja nej Calculus Uge
65 Test produktreglen Test Givet en kvadratisk matrix A. Hvis det(a 2 ) = 0, så er det(a) = 0. Afkryds: ja nej Calculus Uge
66 Test produktreglen Test Givet en kvadratisk matrix A. Hvis det(a 2 ) = 0, så er det(a) = 0. Løsning Af produktreglen følger det(a) 2 = det(a 2 ) = 0 Afkryds: ja nej Calculus Uge
67 Test produktreglen Test Givet en kvadratisk matrix A. Hvis det(a 2 ) = 0, så er det(a) = 0. Løsning Af produktreglen følger det(a) 2 = det(a 2 ) = 0 Afkryds: ja nej Calculus Uge
68 Determinant af negative potenser Eksempel 9.28 Negative potensers determinant = ( 1) = 10 Calculus Uge
69 Determinant af negative potenser Eksempel 9.28 Negative potensers determinant = ( 1) = 10 ( ) = 1 10 Calculus Uge
70 Determinant af negative potenser Eksempel 9.28 Negative potensers determinant = ( 1) = 10 ( ) = 1 10 ( ) k = 1 ( 10) k Calculus Uge
71 Determinant af alle potenser Eksempel 9.29 Potensreglen for determinant Calculus Uge
72 Determinant af alle potenser Eksempel 9.29 Potensreglen for determinant Hvis A 0 så for alle hele tal k. A k = A k Calculus Uge
73 Determinant af alle potenser Eksempel 9.29 Potensreglen for determinant Hvis A 0 så for alle hele tal k. Hvis A = 0 så for alle hele tal k > 0. A k = A k A k = 0 Calculus Uge
74 Cofaktormatricen Definition 9.30 Lad A være en n n-matrix og A ij fremkomme ved at slette i-te række og j-te søjle. Cofaktormatricen Cof(A) er n n-matricen: n = 1: identitetsmatricen Cof(A) = I 1. n > 1: med ij-te indgang ( 1) i+j A ji Calculus Uge
75 Cofaktormatricen Eksempel matricen A = ( ) 10 har Cof(A) = ( ) 1 Calculus Uge
76 Cofaktormatricen Eksempel matricen A = ( ) 10 har Cof(A) = ( ) matricen A = ( ) har Cof(A) = ( ) Calculus Uge
77 Cofaktorformlen Sætning 9.32 Lad A være en n n-matrix. Så er produktet A Cof(A) = Cof(A)A = A I n Hvis A 0, så er A invertibel og der gælder A 1 = 1 A Cof(A) Calculus Uge
78 Cofaktormatricen Eksempel 9.33 ( ) a b For matricen A = er cofaktormatricen c d ( ) d b Cof(A) =. Hvis ad bc 0 så er A invertibel med c a A 1 = 1 ad bc Cof(A). Altså ( ) 1 a b = c d 1 ad bc ( d c ) b a Calculus Uge
79 Ligningssystem og determinant Sætning Entydig løsning 1. Et homogent ligningssystem med en kvadratisk koefficientmatrix A har en egentlig løsning ( 0) (uendelig mange), hvis og kun hvis A = 0. Calculus Uge
80 Ligningssystem og determinant Sætning Entydig løsning 1. Et homogent ligningssystem med en kvadratisk koefficientmatrix A har en egentlig løsning ( 0) (uendelig mange), hvis og kun hvis A = Det inhomogen ligningssystem Ax = b har en og kun en løsning, hvis og kun hvis A 0. Calculus Uge
81 Bestem entydig løsning Eksempel 9.35 For hvilke tal t har det homogene ligningssystem med koefficientmatrix A = 1 t t en entydig løsning. Find løsningsrummet for alle t. Calculus Uge
82 Bestem entydig løsning Eksempel løsning Beregn determinanten A = 1 t 1 = 1 1 t t t 1 = (t 1) 2 Calculus Uge
83 Bestem entydig løsning Eksempel løsning Beregn determinanten A = 1 t 1 = 1 1 t t t 1 = (t 1) 2 For t 1 har det homogene ligningssystem entydig løsning x = 0. Ax = 0 Calculus Uge
84 Bestem alle løsninger Eksempel løsning For t = 1 er den reducerede form af ligningssystemet x 1 + x 2 + x 3 = 0 Calculus Uge
85 Bestem alle løsninger Eksempel løsning For t = 1 er den reducerede form af ligningssystemet Dette giver løsninger x 1 x 2 x 3 x 1 + x 2 + x 3 = 0 = x x Calculus Uge
86 Test entydig løsning Test Gælder der altid, at alle ligningssystemer med koefficientmatrix 1 a b har en entydig løsning Afkryds: ja nej Calculus Uge
87 Test entydig løsning Test Gælder der altid, at alle ligningssystemer med koefficientmatrix 1 a b har en entydig løsning Afkryds: ja nej Løsning 1 a b = ( 1) 1 2 = 2 0 Calculus Uge
88 Test entydig løsning Test Gælder der altid, at alle ligningssystemer med koefficientmatrix 1 a b har en entydig løsning Løsning 1 a b Afkryds: = ( 1) 1 2 = 2 0 ja nej Calculus Uge
89 Cramers regel Sætning 9.36 Lad A være en kvadratisk n n-matrix med determinant A 0. Det inhomogen ligningssystem Ax = b har løsningen x = A 1 b, hvor den j-te koordinat er givet ved Cramers regel x j = a 1 a j 1 b a j+1 a n A Tælleren er determinanten af den matrix der fremkommer ved at erstatte j-te søjle med søjlevektoren b. Calculus Uge
90 Cramers regel Eksempel Ligningssystemet med a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 0, a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 har løsning Calculus Uge
91 Cramers regel Eksempel Ligningssystemet med a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 0, a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 har løsning x 1 = b 1 a 12 b 2 a 22 a 11 a, x 2 = 12 a 21 a 22 a 11 b 1 a 21 b 2 a 11 a 12 a 21 a 22 Calculus Uge
Eksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge
Oversigt [LA] 8 Her skal du lære om 1. Helt simple determinanter 2. En udvidelse der vil noget 3. Effektive regneregler 4. Genkend determinant nul 5. Produktreglen 6. Inversreglen 7. Potensreglen 8. Entydig
Læs mereEksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2
Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel
Læs mereEksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2. Eksempel = ( 1) = 10
Oversigt [LA] 9 Nem vej til rel Nøgleord og begreber Helt simple determinnter Determinnt defineret Effektive regneregler Genkend determinnt nul determinnt nul Produktreglen Inversreglen inversregel og
Læs mereOversigt [LA] 3, 4, 5
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Læs mereDefinition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Læs mereNøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse
Læs mereTo ligninger i to ubekendte
Oversigt [LA] 6, 7 Nøgleord og begreber Løs ligninger Eliminer ubekendte Rækkereduktion Reduceret matrix Enten-eller princippet Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Beregn invers matrix Calculus
Læs mereFigur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller
Læs mereOversigt [LA] 10, 11; [S] 9.3
Oversigt [LA] 1, 11; [S] 9.3 Nøgleord og begreber Repetition: enhedsvektor og identitetsmatrix Diagonalmatricer Diagonalisering og egenvektorer Matrixpotens August 22, opgave 2 Skalarprodukt Længde Calculus
Læs mereOversigt [LA] 6, 7, 8
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination og span Test linearkombination Hvad er en matrix Matrix multiplikation Test matrix multiplikation
Læs mereLigningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet
Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemet Ax = 0 har mere end en løsning (uendelig mange) hvis og kun hvis nullity(a) 0 Løsningerne til et konsistent ligningssystem Ax
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Læs mereOversigt [LA] 6, 7, 8
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra fortsat
Kursusgang 3 fortsat - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12. september 2008 1/31 Nødvendige betingelser En nødvendig betingelse
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Læs mereDesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant
DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant Preben Alsholm Uge 5 Forår 010 1 Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant 1.1 Invers matrix I Invers matrix I Definition. En n n-matrix
Læs mereMatricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
Læs mereOversigt [LA] 3, 4, 5
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers matrix Matrix potens Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens
Læs mereLineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære
Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C =
Læs mereMatematik for økonomer 3. semester
Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix
Læs mereDet Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version
Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Opgaven består af et antal delopgaver Disse er af varierende omfang Der er også en
Læs mereMatematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu
Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2012 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C
Læs mereKvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer
enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,
Læs mereNote om endelige legemer
Note om endelige legemer Leif K. Jørgensen 1 Legemer af primtalsorden Vi har i Lauritzen afsnit 2.1.1 set følgende: Proposition 1 Lad n være et positivt helt tal. Vi kan da definere en komposition + på
Læs mereLineær algebra 1. kursusgang
Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra
Læs mereMatricer og Matrixalgebra
enote 3 1 enote 3 Matricer og Matrixalgebra Denne enote introducerer matricer og regneoperationer for matricer og udvikler hertil hørende regneregler Noten kan læses uden andet grundlag end gymnasiet,
Læs mereLINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH
LINALG JULENØD 203 SUNE PRECHT REEH Resumé I denne julenød skal vi se på lineær algebra for heltallene Z Hvad går stadig godt? og hvad går galt? I de reelle tal R kan vi for ethvert a 0 altid finde R som
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Juni 28 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereModulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 1 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 1.1 Indledning - typer af ligningesystemer og løsninger Den lineære ligning 2x=3 kan løses umiddelbart ved at dividere med 2 på begge sider, så vi får:
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereMatrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra
Matrx-vektor produkt [ ] 1 2 3 1 0 2 1 10 4 Rotationsmatrix Sæt A θ = [ ] cosθ sinθ sinθ cosθ At gange vektor v R 2 med A θ svarer til at rotere vektor v med vinkelen θ til vektor w: [ ][ ] [ ] [ ] cosθ
Læs mereCarl Friedrich Gauß ( ), malet af Christian Albrecht Jensen. Lineær algebra. Ib Michelsen
Carl Friedrich Gauß 777 8, malet af Christian Albrecht Jensen Lineær algebra Ikast Ikast Version Hæftet her skal ses som et supplement til Klaus Thomsens forelæsninger på Aarhus Universitet og låner flittigt
Læs mereMatematik H1. Lineær Algebra
Matematik H Forelæsningsnoter til Lineær lgebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af smus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk fdeling ugust ii oplag, juli 4 Forord Gennem en særlig aftale varetages
Læs mereIndhold. 5. Vektorrum og matricer Koordinattransformationer
Indhold Lineære afbildninger og matricer Talrummene R n, C n Matricer 8 3 Lineære afbildninger 4 Matrix algebra 8 5 Invers matrix 6 6 Transponeret og adjungeret matrix 9 Række- og søjleoperationer Lineære
Læs mereForelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling
Forelæsningsnoter til Lineær Algebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af Asmus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk Afdeling August Revideret 9 ii udgave, oktober 9 Forord Gennem en særlig aftale varetages
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereMatematik: Struktur og Form Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer
Matematik: Struktur og Form Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University 2017 1 / 12 Matrixmultiplikation Am n = [aij ], Bn
Læs mereLineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl
Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,
Læs mereTeoretiske Øvelsesopgaver:
Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere
Læs mereNøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereMCG - 2. Regneoperationer der kan bruges på vektorer: Vektoraddition: hvis v og w er vektorer så er v + w en vektor.
MCG - 2 Regneoperationer der kan bruges på vektorer: Vektoraddition: hvis v og w er vektorer så er v + w en vektor. (v 0, v 1,..., v n 1 )+(w 0, w 1,..., w n 1 ) = (v 0 +w 0, v 1 +w 1,..., v n 1 +w n 1
Læs mereLineær Algebra eksamen, noter
Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,
Læs mereLineær Algebra. Differentialligninger
Lineær Algebra og Differentialligninger til Calculus 1 og 2 Århus 2005 Anders Kock og Holger Andreas Nielsen Indhold 1 Koordinatvektorer........................ 1 2 Matricer..............................
Læs mereDesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Læs mere1.1 Legemer. Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal.
SEKTION 11 LEGEMER 11 Legemer Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal Definition 111 Et legeme F er en mængde udstyret
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Reeksamen August 2016
Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen - 9. August 26 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereNøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning
Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion
Læs mereSætning (Kædereglen) For f(u), u = g(x) differentiable er den sammensatte funktion F = f g differentiabel med
Oversigt [S] 3.5, 11.5 Nøgleord og begreber Kædereglen i en variabel Kædereglen to variable Test kædereglen Kædereglen i tre eller flere variable Jacobimatricen Kædereglen på matrixform Test matrixform
Læs mereMat10 eksamensspørgsmål
Mat10 eksamensspørgsmål Martin Geisler 9. januar 2002 Resumé Dette dokument er en gennemgang af de eksamensspørgsmål der blev stillet til den mundtlige eksamen i Mat10, januar 2002
Læs mereUndervisningsnotat. Matricer
Undervisningsnotat. Matricer januar, C Definition En matrix er en ordnet mængde tal opstillet i m rækker og n søjler. Matricen A kunne være defineret som vist nedenfor. Hvert element i matricen er forsynet
Læs mereLINEÆR ALGEBRA DIFFERENTIALLIGNINGER
LINEÆR ALGEBRA DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 006 NIELSEN - SALOMONSEN INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG AARHUS UNIVERSITET 006 Indhold Forord 5. Vektorer og linearkombinationer 7. Basis og dimension
Læs mereChapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Læs mereUdeladelse af én observation. Note til kapitlerne 4, 5 og 6
Udeladelse af én observation Note til kapitlerne 4, 5 og 6 I de følgende resultater 1-10 bevises en række resultater, der alle vedrører udeladelse af én observation. Derved bevises og uddybes en række
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske tekst på bagsiden, hvis du følger den danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra Første
Læs mereSylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder
Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme
Læs mereSandt/falsk-opgave: Diskuter opgave 23 side 12 i gruppen, men husk at begrunde jeres svar, som teksten før opgave 23 kræver!
LINEÆR ALGEBRA 28. januar 2005 Oversigt nr. 1 I kurset i skal vi bruge D. C. Lay: Linear algebra and its applications, 3. udgave Addison Wesley 2003; i store træk bliver det kapitel 1 3 og 5.1 5.3. Som
Læs mereModulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system
Læs mereDesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination
DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm Uge Forår 010 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Om talrummet R n Om talsæt bestående af n tal R n er blot mængden
Læs mereUge 6 Store Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Opgave 1 Udregning af determinant. Håndregning Der er givet matricen A =
OPGAVER Opgaver til Uge 6 Store Dag Opgave Udregning af determinant. Håndregning 0 Der er givet matricen A = 0 2 2 4 0 0. 2 0 a) Udregn det(a) ved opløsning efter en selvvalgt række eller søjle. b) Omform
Læs mereCalculus Uge
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 6. juni, 26. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af nummererede sider med ialt 5 opgaver. Alle opgaver er multiple
Læs mereMatematik og FormLineære ligningssystemer
Matematik og Form Lineære ligningssystemer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2014 Ligningssystemer og matricer Til et ligningssystem svarer der en totalmatrix [A b] bestående af koefficientmatrix
Læs mereOversigt Matematik Alfa 1, August 2002
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereOversigt [LA] 11, 12, 13
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar
Læs mereKøbenhavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4
Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Afleveringsopgave 4 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte forsider
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske tekst på bagsiden, hvis du følger den danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra Første
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på modsatte side hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra
Læs mereMatematik: Stuktur og Form Lineære ligningssystemer
Matematik: Stuktur og Form Lineære ligningssystemer Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University 2016 1 / 10 Ligningssystemer og matricer Ligningssystem totalmatrix Til et ligningssystem
Læs mereLineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl
Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl 2. udgave, oktober 207 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan
Læs mereDESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over
Læs mereMATRICER LINEÆRE LIGNINGER
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER 6. udgave 2016 FORORD Dette notat viser hvorledes man kan løse lineære ligningssystemer ved Gaussmetode dels uden regnemidler dels med regnemidler.
Læs mereMatematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet
Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonform Rang og nullitet Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 11.2.2013 Reduktion til (reduceret) echelonmatrix Et eksempel Et ligningssystem
Læs mereMatematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.
Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger
Læs mere3.1 Baser og dimension
SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V
Læs mereMatrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86. Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com
Matrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86 Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com 28. august 2002 1 Indledning Matrix algebra er et uundværligt redskab til økonometri, herunder
Læs mereEgenværdier og egenvektorer
1 Egenværdier og egenvektorer 2 Definition Lad A være en n n matrix. En vektor v R n, v 0, kaldes en egenvektor for A, hvis der findes en skalar λ således Av = λv Skalaren λ kaldes en tilhørende egenværdi.
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Onsdag den. januar,. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede
Læs mereSelvstudium 1, Diskret matematik
Selvstudium 1, Diskret matematik Matematik på første studieår for de tekniske og naturvidenskabelige uddannelser Aalborg Universitet I dette selfstudium interesserer vi os alene for tidskompleksitet. Kompleksitet
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på modsatte side hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra
Læs mereNøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 14, 15 Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Calculus 2-2005
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Onsdag
Læs mereNoter til LinAlgNat på KU (Lineær Algebra i Naturvidenskab)
Noter til LinAlgNat på KU (Lineær Algebra i Naturvidenskab) Nikolai Plambech Nielsen, LPK331 Version 10 2 februar 2016 Indhold 1 Introduktion, lineære afbildninger og matricer 3 11 Talrum (R & C) 3 12
Læs mereMATRICER LINEÆRE LIGNINGER
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER 0 4 4 0 0 0 4 x x x x 6 udgave 06 FORORD Dette notat viser hvorledes man kan løse lineære ligningssystemer ved Gaussmetode dels uden regnemidler
Læs mere9.1 Egenværdier og egenvektorer
SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der
Læs mereSymmetriske og ortogonale matricer Uge 7
Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7 Preben Alsholm Efterår 2009 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = [ a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji
Læs mereLinAlgDat 2014/2015 Google s page rank
LinAlgDat 4/5 Google s page rank Resumé Vi viser hvordan lineære ligninger naturligt optræder i forbindelse med en simpel udgave af Google s algoritme for at vise de mest interessante links først i en
Læs mereJ n (λ) = dvs. n n-jordan blokken med λ i diagonalen. Proposition 1.2. For k 0 gælder. nullity (J n (λ) λi) k 1) 1 for 1 k n. n for k n.
. Jordan normalform Målet med dette notat er at vise hvorledes man ud fra en given matrix beregner dens Jordan normalform. Definition.. For n og λ C sættes λ 0... 0. 0 λ... J n λ).......... 0....... λ
Læs mereVektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor
enote 7 1 enote 7 Vektorrum I denne enote opstilles en generel teori for mængder, for hvilke der er defineret addition og multiplikation med skalar, og som opfylder de samme regneregler som geometriske
Læs mereSymmetriske og ortogonale matricer Uge 6
Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Preben Alsholm Efterår 2010 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Det sædvanlige
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet Forberedelsesmateriale frs-matn/a-270420 Onsdag den 27. april 20 Forberedelsesmateriale til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes
Læs mere