Termisk modellering af højspændningskabler

Transkript

1 Termisk modellering af højspændningskabler P3 Projekt Gruppe EN3-303 Institut for Energiteknik Aalborg Universitet 19. december 2012

2

3 Institut for Energiteknik Pontoppidanstræde Aalborg Telefon Fax Synopsis: Titel: Termisk modellering af højspændningskabler Tema: Modellering og analyse af simple elektriske og termiske systemer Projektperiode: P3, Efterårssemesteret 2012 Projektgruppe: EN3-303 Gruppemedlemmer: Asger Bjørn Jørgensen Bjørn Steen Bernes Eddy Iciragiye Kristian Frederiksen Nicklas Christensen Simon Dyhr Sønderskov Vejleder: Filipe Faria da Silva Oplagstal: 8 Sidetal: 94 Bilag: 1 CD Afsluttet: 19. december 2012 Projektet omhandler modellering og tests af relevante områder indenfor højspændingskabler. Politikernes målsætning, er at alle nye højspændingsforbindelser skal være nedgravet, mens størstedelen af det nuværende højspændingsnet skal lægges i jorden inden år Dette medfører dog visse udfordringer, både elektriske og termiske. Denne rapport omhandler det termiske aspekt. Indledningsvist undersøges det, hvor stor en strøm, der stationært kan belaste et 150 kv kabel - både i luft og jord. Dette belyser en række termiske problematiker ved nedgravning af højspændingsnettet. Den omkringliggende jord fungerer som en isolator for varme, og derfor kan det have betydning for, hvor stor en strømstyrke kablet kan belastes med. Derfor testes en jordtypes varmeledningsevne. Derudover udarbejdes modeller der viser varmefordelingen i et kabel, ved kongurationer som kurver og ere kabler i termisk kontakt. Da strømmen igennem et kabel sjældent er konstant, undersøges det også, hvordan varmen ændres over tid, ved en transient model. Resultater af de udviklede modeller og tests, kan bidrage i processen ved nedgravning af 150 kv jordkabler. Rapportens indhold er frit tilgængeligt, men oentliggørelse (med kildeangivelse) må kun ske efter aftale med forfatterne.

4

5 Institute of Energy Technology Pontoppidanstræde Aalborg Phone Fax Abstract: Title: Thermal modelling of high-voltage cables Theme: Modeling and analysis of simple electrical and thermal systems Project-period: P3, Fall-semester 2012 Projectgroup: EN3-303 Groupmembers: Asger Bjørn Jørgensen Bjørn Steen Bernes Eddy Iciragiye Kristian Frederiksen Nicklas Christensen Simon Dyhr Sønderskov Supervisor: Filipe Faria da Silva Copies: 8 Pages: 94 Attachment: 1 CD Ended: 19. December 2012 The project is concerned with modelling and tests of topics regarding high-voltage cables. The Danish politicians want all new high-voltage to be underground cables, and the majority of the power grid is to be underground before the year Initially the maximum load of a 150 kv high voltage connection in steady state is examined - both overhead lines and underground cables. This examination shows thermal problems occurring when the power grid is underground. The surrounding soil works as insulation for the heat dissipated from the cable - a test rig to determine the heat conductivity of soil created. Furthermore, theoretical models of the heat dissipation in a cable with curves and congurations including several cables are created using COMSOL Multiphysics. Since the temperature and current changes during time, a numerical transient model to calculate these changes is made in MATLAB. The results of the models and tests, can be used in the process of planning and executing the undergrounding of high voltage cables. The report is freely available, but publication may only take place in agreement with the authors.

6

7 Forord Følgende rapport er udarbejdet af gruppe EN3-303, på 3. semester af Energi-studiet på Aalborg Universitet. Der rettes først og fremmest tak til Filipe Faria da Silva, der har fungeret som vejleder for gruppen, samt Carsten Bojesen og værkstedspersonale på Energiteknik, Aalborg Universitet, for hjælp til projektets praktiske tests i laboratoriet. Læsevejledning I rapporten vil der optræde adskillige kildehenvisninger, som henvises til ved Harvardmetoden, og leder hver til litteraturlisten bagerst i rapporten. I rapporten henvises der til kilderne på formen [Navn, År]. Litteraturlisten er opsat i alfabetisk orden efter kildens navn. I litteraturlisten er der yderligere information om kilden, som for bøger vil være forfatter, titel, år, udgave. For hjemmesider: titel, forfatter, periode hjemmesiden er besøgt, hyperlink. Flere kilder med samme navn vil blive adskilt med efterfølgende bogstavsindeks: a, b, c og så videre. Derudover vil der henvises til gurer, billeder og tabeller, som er nummereret med hensyn til kapitel. Det betyder at den første gur i kapitel 1, vil være nummereret 1.1, den anden 1.2 og så videre. Forklarende tekst til gurer ndes umiddelbart under guren. Figurernes kilder vil optræde sidst i gurteksten. I tilfælde af at der ingen kildehenvisning optræder i gurteksten, er guren udarbejdet af gruppen. Figurer og ligninger nummereres hver for sig. Der kan derfor optræde både en gur 2.1, samt en ligning 2.1. I rapporten vil der også optræde følgende henvisning:, som fortæller at det omtalte materiale kan ndes på rapportens vedlagte CD. Materialets placering på CD'en kan ses som fodnote på samme side som referencen optræder. Asger Bjørn Jørgensen Bjørn Steen Bernes Eddy Iciragiye Kristian Frederiksen Nicklas Christensen Simon Sønderskov vii

8

9 Indholdsfortegnelse Kapitel 1 Indledning Nuværende elnet Leveringssikkerhed Fluktuerende energikilder Nedgravning af kabler Kapitel 2 Teknisk analyse Opbygning af HV-jordkabel og -luftledning Jordkabel Luftledning Stationær model af jordkabel Varmestrøm Termisk netværk Udarbejdelse af simulering Delkonklusion for simulering af jordkabel Stationær model af luftledning Varmestrålinger Konvektion Udarbejdelse af model for luftledning Delkonklusion for luftledning Sammenligning Kapitel 3 Problemformulering 29 Kapitel 4 Materialeanalyse Formål Opbygning af testbænk Betingelser for korrekte målinger Usikkerhed og fejlkilder Resultater Kapitel 5 Kongurationsanalyse Kontrol af model Sving på kabel Opbygning af model Resultater Kongurationer med ere kabler ix

10 Gruppe EN3-303 INDHOLDSFORTEGNELSE Linje konguration Trekants konguration Opsamling Kapitel 6 Transient analyse Numerisk løsning Diskussion af variable Verikation Elektrisk ækvivalent Elektriske kredsløb Laplace transformation Sammenligning Resultat af transiente model Praktisk scenarie Kortslutning Kapitel 7 Konklusion 69 Kapitel 8 Perspektivering 71 Litteratur 73 Appendiks A MATLAB A.1 Stationær simulering af jordkabel A.1.1 Optegning af kontur A.2 Stationær simulering af luftledning A.3 Numerisk simulering af jordkabel Appendiks B Forsøgsjournal B.1 Udførelse B.2 Teori B.2.1 LabVIEW B.2.2 Bestemmelse af jordtype B.3 Resultater og beregninger x

11 Symbolliste Symbol Værdi Enhed Navn A [m 2 ] Areal J c [ kg K C [F] Kapacitans D [m] Diameter g 9,82 [ m ] Tyngdeaccelerationen s Gr - 2 Grashofs tal W h [ m 2 K ] Varmeovergangstal I [A] Strømstyrke k [ W m K Termisk varmeledningsevne L [m] Længde p - Van Wormer koecient Pr - Prandtls tal Q [J] Varmemængde r [m] Radius R [ K m W ] Termisk modstand Re - Reynolds tal S 900 [ W ] Varmestråling fra solen m T [K] 2 Temperatur v [ m] Hastighed s V [V ] Spændingsforskel α [ m2 s Termisk diusitet β [Ω] Elektrisk modstand δ [m] Grænselagstykkelse γ [K 1 ] Temperaturkoecient ɛ r - Relativ permeabilitet N u - Nusselts tal ϖ - Absorptionsevne ρ [ kg ] Densitet m 3 ϱ [Ω m] Elektrisk resistivitet σ 5, W [ m 2 T ] Stefan-Boltzmann's konstant 4 ς [ S m ] Elektrisk konduktivitet υ [ m2 s Kinematisk viskositet ϕ [ 1 ] Volumeekspansionnskoecient K Tabel 1. Liste over begreber med tilhørende betegnelse og benævnelse, som vil optræde i rapporten. xi

12

13 Indledning 1 Størstedelen af den danske befolkning har i dag strøm til de mest basale ting som lys, støvsuger, ovn, komfur og så videre. Strømmen bliver ofte taget for givet, og det er måske de færreste, der tænker over, hvorfra den kommer, og hvordan den kommer ud til forbrugeren. Det kan blandt andet skyldes at luftledninger idag ikke fylder så meget i gadebilledet, som de tidligere har gjort. Størstedelen af elnettet til de private hjem er i dag gravet ned i form af jordkabler. Der ndes dog stadig en række forbindelser, som ikke er gravet ned endnu, og som ofte ses på landet udenfor byerne. Det er store ledninger, som håndterer spændinger mellem 132 og 400 kv. De høje spændinger kræver kabler, som er meget større og dyrere end dem, som bruges i en normal husholdning [Energistyrelsen, 2012]. Udover de dyre højspændingskabler, er der også en række andre faktorer, som er forbundet med nedgravning af højspændingskabler. Blandt andet er der et termisk aspekt, som denne rapport vil omhandle. Et højspændingskabels termiske egenskaber har stor betydning for, hvordan det skal dimensioneres. Idet en strøm løber igennem kablet, vil en del af energien blive omdannet til varme, som resultat af kablets elektriske modstand. En længerevarende strøm over den tolerante grænse i et kabel vil kunne forårsage overophedning og ødelægge det. Det er derfor vigtigt at kablet dimensioneres således, at det kan klare varmeudviklingen fra strømmen igennem det, eller at kablet kun overbelastes kortvarigt. Elnettets opbygning, hvor meget kablerne belastes og hvordan denne belastning helt præcist påvirker kablerne, er altså vigtig således at elnettet kan opfylde alle de dertilhørende krav. 1

14 Gruppe EN3-303 KAPITEL 1. INDLEDNING 1.1 Nuværende elnet Der ligger meget arbejde i at få strømmen transporteret ud til forbrugeren. Strømmen bliver blandt andet produceret af vindmøller og kraftværker. Herefter skal den producerede strøm transporteres ud til kunden. Dette foregår igennem en række transformerstationer, og herefter ud i elnettet gennem ledninger eller kabler. Ledninger er monteret på de master, som ses rundt omkring i landet, hvorimod kabler er nedgravet, og ikke kan ses. Elnettet er bygget op således, at alle store kraftværker er forbundet til 400 kv nettet, mens mindre og decentrale kraftværker hovedsageligt er koblet på 150 kv eller 132 kv, afhængig af om det er Vest- eller Østdanmark. Det danske elnet er i grove træk delt op i Øst- og Vestdanmark, som deles af Storebælt. Det vestlige Danmark bruger 150 kv mens det østlige Danmark bruger 132 kv. Generelt er landets interne højspændingskabler vekselstrøm (AC), mens forbindelser der går til udlandet hovedsageligt er jævnstrøm (DC). Energinet.dk ejer hele nettet, med spændinger på 132 kv og over, mens ledninger og kabler under 132 kv ejes af lokale forsyningsselskaber. [Energinet.dk, 2012a] På gur 1.1 ses et kort over det nuværende elnet. Det ses at Danmark er bundet sammen i øst og vest, ved hjælp af et 600 MW DC-kabel over storebælt. Fra Sjælland er der forbindelser til Sverige og Tyskland. Kabler til udlandet er en del af det liberaliserede elmarked, som giver mulighed for at sælge og købe elektricitet i perioder, hvor der enten er overskud eller underskud, eller elprisen er lav. Jylland har kabler og ledninger til Norge, Sverige og Tyskland. Det dominerende transmissionsnet er to 400 kv AC luftledninger, som løber gennem Jylland. Disse ledninger forbinder i grove træk Tyskland med henholdsvis Norge og Sverige. Energinet.dk oplyser, at der kan løbe 1500 MW i sydgående retning og 950 MW i nordgående retning [Energinet.dk, 2012b]. Dette er et udtryk for, at der løber mere strøm syd på til Tyskland, end der løber til Norge og Sverige. Dette ses generelt også på Nord Pool Spot, som er et marked for el, hvor 370 rmaer fra 20 lande kan købe og sælge el. Samtidig viser Nord Pool Spot, hvilket el-ow der er igennem for eksempel Norden. Ved at analysere tallene, ses det at der generelt bliver overført mere strøm fra Sverige og Norge til Danmark, end der bliver fra Danmark til Norge og Sverige. [Nord Pool Spot, 2012] For det nuværende elnet gælder det, at hele 89,7 % er nedgravet, hvilket også kan ses i tabel 1.1, 1. Det skyldes at langt størstedelen af elnettet er lavspænding, som er gravet ned til de este private huse. Det ses at langt størstedelen af nettet, der ligger mellem 20 kv og 0,4 kv, er nedgravet, og det er samtidig også disse ledninger og kabler, der er langt est af. For mellem- og højspændingsnettet ( kv) ses det at andelen af nedgravede kabler her er langt mindre. Det skyldes blandt andet, at det ikke er velset set at sætte ledninger og master op inde i byerne. Derfor graves lavspænding i langt de este tilfælde ned i jorden. Der ud over er det i en rapport fra Elinfrastrukturudvalget en række scenarier omhandlende nedgravning af det nuværende elnet. For hvert scenarie viser det sig dyrere at nedgrave kabler, end at beholde luftkablerne. 2. Alligevel er planen for fremtiden at alt højspændingsnet graves ned, hvilket beskrives i afsnit kilder/kabelogluftledningsnettetslaengdeoktober kilder/nedgravningafhøjspændingskabler.pdf 2

15 1.1. NUVÆRENDE ELNET Aalborg Universitet Figur 1.1. Opbygning af det danske elnet som Energinet.dk ejer. [Energinet.dk, 2011] Kabel- og luftledningsnettets længde Spænding Kabler (km) Luftledning (km) Kabellægning i % kv , kv , kv ,0 0,4 kv ,9 Total ,7 Tabel 1.1. Tabellen viser hvordan hvordan det danske elnet var udformet i

16 Gruppe EN3-303 KAPITEL 1. INDLEDNING 1.2 Leveringssikkerhed En af forudsætningerne for at have et godt elnet, er at leveringssikkerheden er god. Det vil sige at forbrugeren har så få afbrydelser som muligt, og i tilfælde af afbrydelser, at de er så korte som muligt. For at kunne sammenligne forskellige elnets leveringssikkerheder benyttes to internationale standarder: System average interruption frequency index (SAIFI) og System average interruption duration index, (SAIDI). Disse to standarder beskriver henholdsvis antallet af afbrud forbrugerne i gennemsnit oplever per år, samt antal minutter forbrugerne oplever at elforsyningen er ude af drift per år. De tilsvarende danske betegnelser, der benyttes, er afbrudshyppighed og afbrudsvarighed. Figur 1.2. Afbrudsvarighed pr. kunde i [Dansk Energi, 2010b,p. 52] En række europæiske landes afbrudsvarighed (SAIDI), er vist på gur 1.2. Som det ses, er den danske leveringssikkerhed helt i top, når der sammenlignes med andre europæiske lande. De højere afbrudsvarigheder hos de øvrige skandinaviske lande kan i høj grad tilskrives hårdere vejrforhold. Derudover kan den længere afbrudsvarighed i Tyskland skyldes ere planlagte afbrydelser, grundet vedligeholdelse og udbygning af deres elnet, som på længere sigt kan resultere i et bedre og mere stabilt elnet. Dog påpeger Dansk Energi, at den høje leveringssikkerhed i Danmark, på hele 99,996 %, er resultatet af en målrettet indsats for at få det danske elnet ombygget fra luftledninger til jordkabler. Jordkablerne er bedre beskyttet imod vind og vejr, som dermed giver færre fejl og afbrydelser i tilfælde af for eksempel storm [Dansk Energi, 2010a]. Derfor arbejdes der fortsat på at nedgrave endnu mere af elnettet. 4

17 1.3. FLUKTUERENDE ENERGIKILDER Aalborg Universitet 1.3 Fluktuerende energikilder Fremtidens elnet vil blive udsat for udfordringer, idet vedvarende energikilder som vind og sol kommer til at fylde mere og mere i den samlede elproduktion, og disse energikilder betragtes som værende "uktuerende". At en energikilde er uktuerende betyder, at dens produktion varierer. Det passer med den generelle forståelse omkring, at solen ikke altid skinner på samme sted, og vinden ikke altid blæser lige meget. [Energinet.dk, 2012c] Denne store, og i fremtiden større variation i elproduktionen, stiller fortsat større krav til elnettet. Det betyder blandt andet, at kablerne skal kunne klare store strømstyrker i korte perioder, ellers kan det forårsage at linien lukker, eller kablerne bliver ødelagt. På gur 1.3 ses to grafer med henholdsvis den estimerede elproduktion fra vindmøller og elforbruget i år Det fremgår af guren, at elproduktionen fra vindmøller er uktuerende. Denne udfordring bliver imidlertid løst ved at lægge ere og bedre dimensionerede kabler. Omkostningerne i denne forbindelse kan muligvis reduceres, ved at optimere kablernes egenskaber. Eksempelvis kan materialerne analyseres, så kablerne kortvarigt kan udholde en større strøm, og derved er det muligt at mindske kablernes størrelse og antal. [Energinet.dk, 2012c] Figur 1.3. Fluktuerende vindproduktion i år 2025 fra 1. april til 1. juli. [Energinet.dk, 2012c] 5

18 Gruppe EN3-303 KAPITEL 1. INDLEDNING 1.4 Nedgravning af kabler Højspændingsnettet i Danmark består i dag hovedsageligt af ledninger og master over jorden, som det ses i tabel 1.1. Dette har en række ulemper, med det æstetiske aspekt som den største. Derudover er luftledninger i høj grad udsat for vind og vejr, hvilket kan føre til afbrud på nettet. Flere af disse ulemper kan afhjælpes ved at lægge nettet i jorden i form af kabler. Samtidig med at kabler løser mange af problemerne ved luftledninger, kan det dog medføre en række nye udfordringer. I et notat af Energistyrelsen fremgår det, at alle nye 132 og 150 kv forbindelser som udgangspunkt skal etableres i jordkabler. Derudover skal det eksisterende 132 og 150 kv samt alle luftledninger under 100 kv kabellægges. Dette ønskes hovedsageligt af æstetiske årsager, men medfører samtidigt en større leveringssikkerhed, som nævnt i afsnit 1.2 [Energistyrelsen, 2008]. I forbindelse med jordlægningen af elnettet, tages der også højde for fremtidens elproduktion og -forbrug, som vil se anderledes ud end det gør i dag, som nævnt i afsnit 1.3. Energinet.dk's langsigtede plan for det fremtidige elnet kan ses på gur 1.4. Denne plan skal efter hensigten være udført i år [Energinet.dk, 2011] Som det fremgår på gur 1.4, er alle forbindelser, pånær det centrale 400 kv net og enkelte DC forbindelser, kabellagt. Der er dog visse udfordringer i forbindelse med at etablere et underjordisk transmissionsnet. Blandt andet er jordlagte kabler dyrere end luftledninger, både i prisen per kilometer, men også i vedligeholdelse. Dertil kommer det termiske aspekt, som har meget at sige i forskellige kabeltypers design. Det termiske aspekt vil undersøges senere i rapporten. [Kenneth L. Hall] 6

19 1.4. NEDGRAVNING AF KABLER Aalborg Universitet Figur 1.4. Fremtidens elnet ifølge Energinet.dk. [Energinet.dk, 2011] 7

20

21 Teknisk analyse 2 Kabellægningen af det danske højspændingsnet er allerede igang, som det er blevet beskrevet i indledningen til rapporten. Ved nedgravning af kabler, kræver det en bedre isolering af lederen i forhold til en luftledning. Dette skyldes at luftledninger er ophængt i elmaster, og bruger luften som elektrisk isolering. Jordkablet er derimod i kontakt med jorden, og hvis kablet ikke er isoleret, vil der ske en kortslutning. Derfor er det nødvendigt med en isolering, så der ikke opstår elektrisk kontakt mellem lederen og jorden. Isoleringen giver dog udfordringer i forhold til det termiske aspekt. Generelt er en dårlig elektrisk leder også en dårlig varmeleder, hvilket er et problem, da isoleringsmaterialet kun kan holde til en vis temperatur [Cengel, 2012,s. 638]. En leder har en elektrisk modstand, som forårsager, at der bliver afsat en eekt i form af varme. Det er et problem, fordi isoleringen er en dårlig varmeleder, og derfor vil der ske en opvarmning af materialet. Når lederen bliver meget varm, kan isoleringen i værste tilfælde overstige den kritiske temperatur, som vil medføre at kablet bliver beskadiget, og der vil dermed være risiko for kortslutninger. Derfor er der nogle forhold, som skal overvejes, når højspænding skal yttes fra luftledninger til nedgravede kabler. Der vil i følgende afsnit blive beskrevet henholdsvis et jordkabel og en luftledning. Disse vil blive sammenlignet med hensyn til deres termiske egenskaber. For at beskrive de termiske egenskaber for henholdsvis jordkablet og luftledningen, skal der kigges på varmestrømninger. For jordkablet er varmestrømmen afhængig af varmeledningsevnen for diverse isoleringsmaterialer rundt om lederen. Varmeledningsevne er et udtryk for, hvor god et materiale er til at lede varme. For luftledningen skal der kigges på konvektion og varmestråling. Konvektion beskriver en varmestrøm med en uid i bevægelse. I dette tilfælde at den omkringliggende luft transporterer varme væk fra luftledningen, og dermed forårsager nedkøling. Strålingen har to betydninger for luftledningen. For det første bliver ledningen opvarmet af solens stråling, derudover udsender ledningen også selv varmestråling til omgivelserne. På baggrund af resultatet i følgende afsnit, samt iagttagelser gjort i forbindelse med indledningen, afsnit 1, opstilles der efterfølgende en problemformulering. 9

22 Gruppe EN3-303 KAPITEL 2. TEKNISK ANALYSE 2.1 Opbygning af HV-jordkabel og -luftledning Der vil i dette afsnit blive gennemgået opbygningen af henholdsvis et jordkabel og en luftledning. Herunder beskrives størrelser, materialer samt relevante konstanter i forhold til deres termiske egenskaber. Funktion, radius og termiske egenskaber vil blive forklaret og fremstillet for hvert lag i både kabel og ledning Jordkabel Der ndes mange producenter af jordkabler. I dette projekt tages der udgangspunkt i et jordkabel fremstillet af Nexans. Kablet er et 87/150 (170) kv kabel med et sektionsareal på 1600 mm kv angiver spændingen kablet er beregnet til at have på én fase, hvor kablet ved en trefaset strøm har en spænding på 150 kv. 170 kv angiver at kablet er dimensioneret til 170 kv. Opbygningen af et sådan jordkabel, kan beskrives med en generel model som kan ses herunder på gur r1 r2 Leder Isolering Skjold Ydre isolering r3 r4 Figur 2.1. Illustrationen viser et eksempel på opbygningen af et jordkabel, bestående af 4 lag. Da der ndes mange forskellige kongurationer for kablerne, er denne model simpliceret ved kun at tage de mest generelle lag med. Funktionen og betydningen af disse lag, som er vist på gur 2.1.1, er beskrevet herunder. Leder: Formålet med lederen er at transportere elektroner. Den består oftest af aluminium eller kobber. Lederen har en indre modstand, som oftest opgives i [ Ω m ]. Denne modstand er grunden til, at der produceres varme i kablet. Isolering: Isoleringlagets formål er at isolere strømmen i lederen således, at strømmen ikke løber ud i omgivelserne. Det er vigtigt, at der ikke er luft i og omkring isoleringslaget, da luften vil blive ioniseret på grund af en høj spændingsforskel over en lille afstand. Hvis der er ioniseret luft mellem lagene, vil elektronerne vandre gennem luften som lyn og forårsage kortslutninger i kablet. Skjoldet: Skjoldets funktion er at indelukke den elektriske stråling fra lederen og undgå at eventuelle lækagestrømme løber ud i den omkringliggende jord. En lækagestrøm er en passage af elektroner gennem et lag, som ikke er lederen. Ved en lækage sørger skjoldet for, at strømmen går gennem en direkte forbindelse til et referencepunkt og ikke ud til jorden der omgiver kablet, da dette vil forårsage aadning, som vil beskadige isoleringen omkring lederen. [Edvard, 2010] Ydre isolering: Denne isolering sørger for elektrisk, mekanisk og kemisk beskyttelse af 10

23 2.1. OPBYGNING AF HV-JORDKABEL OG -LUFTLEDNING Aalborg Universitet kablet, så det kan modstå forholdene i jorden. [OpenElectrical, 2010] Tekniske data for jordkabel Isoleringen består af XLPE (Cross-linked polyethylen), som er normalt at bruge i nyere højspændingskabler. Temperaturen i XLPE-laget må ikke overstige 90 C ved konstant driftstemperatur [Nexans, 2012,s. 40] 1. En driftstemperatur på 90 C, vil også blive benyttet i simuleringen (afsnit 2.2). Skjoldet består af et tyndt lag af kobberledninger og aluminium. Til sidst er der den yderste isolering, som består af polyethylen (PE). Værdier og radiusser for det givne kabel fra Nexans er vist i tabel 2.1. [Nexans, 2012,s. 51] Lag Materiale r [mm] k [ W K m ] Leder Kobber 24, Isolering XLPE 40,85 0,285 Skjold Kobber og bly 41,16 0,285 Ydre isolering PE 52 0,285 Tabel 2.1. Koecienterne for de enkelte lag i et 150 kv jordkabel fra Nexans er fundet ved hjælp af EES, [Moore, 1997,s. 128] og [Nexans, 2012,s. 51]. Som det ses i tabel 2.1, har de 3 ydre lag samme termiske konduktivitet. Den indre og den ydre isolering har ifølge tabelopslag samme termiske konduktivitet [Moore, 1997,s. 128]. Da skjoldet er 0,31 mm tykt, bliver dette lag antaget som værende en del af isoleringslaget, og er derfor angivet til samme termiske konduktivitet. Denne antagelse kan gøres fordi det ikke vil have stor indydelse på beregningerne, da laget kun er 0,31 mm tykt. Jorden omkring jordkablet, antages at have en starttemperatur på henholdsvist 0 C, 15 C og 30 C, som vil blive brugt i simuleringen senere. Jordens varmeledningsevne vil i udregningerne fastsættes til k = 1 W K m, da dette også benyttes i samtlige eksempler i den litteratur, projektet har taget sit udgangspunkt i. Fundamentals of Thermal Fluid Sciences Cengel [2008] samt Rating of Electric Power Cables [Anders, 1997]. Lederens modstand er 11, Ω m ved 20 C. Da det antages, at kablet bliver varmere end 20 C, skal der bruges en ny resistans, β, som beregnes med formel 2.1. β(t ) = β 20 C (1 + γ (T 20 C)) (2.1) Modstanden i kablet er altså afhængig af temperaturen, som kan beskrives med temperaturkoecienten γ. γ er et udtryk for, hvor meget resitiviteten stiger per grad celcius. For kobber er temperaturkoecienten 0,0039 C 1 [C.R Nave - Georgia State University, 2012]. Udregning af den endelige modstand vil blive vist senere. 1 kilder/undergroundpowercables.pdf 11

24 Gruppe EN3-303 KAPITEL 2. TEKNISK ANALYSE Luftledning For at sammenligne et jordkabel med en luftledning skal der være ens vilkår. Derfor antages det, at luftledningens størrelse svarer til størrelsen på jordkablets leder. Altså en kobberledning, med en radius på 24,45 mm 2.1. Den eneste isolering for ledningen er luften omkring den. Opbygningen af luftledningen er illustreret på gur Leder r1 Figur 2.2. Illustrationen viser et eksempel på opbygningen af en luftledning, bestående af en kobberleder. Dimensionen af luftledningen samt de relevante koecienter for den termiske analyse er vist i tabel 2.2. Koecienterne er specik varmeledningsevne, emissivitet og materialets sol absorptionskoecient. Emissivitet har en værdi mellem 0 ε 1. Denne værdi fortæller noget om, hvor tæt en overade er på en "black body"(ε = 1), som er en overade, der udsender al varmestråling. Sol absorptionskoecienten, fortæller hvor godt et legeme optager stråling fra solens varmestråling. Lag Matrialer Radius [mm] k [ W K m ] (363 K) ε (300 K) Sol absorption Leder Kobber 24, Tabel 2.2. Koecienter til brug i forbindelse med beregninger af luftledning. EES og [Joseph M. Zulovich, 2012] 12

25 2.2. STATIONÆR MODEL AF JORDKABEL Aalborg Universitet 2.2 Stationær model af jordkabel Det præsenterede materiale her i afsnit 2.2 tager udgangspunkt i kapitel 16 og 17 fra Fundamentals of Thermal-Fluid Sciences [Cengel, 2008]. Inddrages andre sider og kapitler fra bogen eller helt andre kilder, vil dette fremgå tydeligt. I dette afsnit vil en simulering af et 150kV jordkabel blive gennemgået. De forskellige termodynamiske begreber der indgår vil blive introduceret og forklaret og efterfølgende blive anvendt direkte på kablet, der analyseres. Simuleringen vil være en stationær model, hvilket betyder, at der ikke er nogen ændring i systemet over tid. Der vil ikke være ophobning af energi i systemet, og derfor ingen temperaturændringer i systemet. Dette kan skrives som i ligning 2.2. Q in Q out = de dt = 0 (2.2) Altså, at mængden af energi, der går ind i systemet er lig med den, som går ud af systemet. Det betyder også, at den samlede mængde af energi i systemet er uændret. Derudover vil modellen være 1-dimensionel, hvilket vil sige, at temperaturen kun ændres i forhold til en variabel. Da jordkablet er rundt, vil variablen i dette tilfælde være radius. Temperaturen kan derfor skrives som en funktion af radius, T(r), og temperaturen ændrer sig derfor efter, hvor langt der er fra midten af kablet, hvor radius er lig Varmestrøm Et af de vigtigste begreber i analysen er varmestrøm, der beskriver mængden af varmeenergi per tid igennem et materiale. En større varmeenergi er et resultat af mere bevægelse og vibration i materialets molekyler. Det vil sige at energi fra molekylernes bevægelser og vibrationer, bliver overført fra molekyler med meget energi til molekyler med mindre energi. Dette medfører dermed også en temperaturforskel igennem et materiale, som vist på gur 2.3. Varmestrømmen igennem et materiale afhænger af temperaturforskellen på tværs af materialet, dets tykkelse samt materialets evne til at lede varme. Tilsammen kan det skrives på følgende måde, der også er kendt som Fourier's lov i én dimension: Q = ka dt dr (2.3) Da kablets lag kan betragtes som lange cylindere, skrives overadearealet som A = 2πrL, hvor r er radius og L længden af kablet. r2 r 1 Q T2 2πrL dr = kdt (2.4) T 1 Udregnes integralet, kan varmestrømmen for cylindere skrives som. Q = 2πLk T 1 T 2 ln( r 2 r 1 ) (2.5) Betydningen af ligning 2.5 er illusteret på gur

26 Gruppe EN3-303 KAPITEL 2. TEKNISK ANALYSE Figur 2.3. Varmestrøm, Q, igennem en cirkulær overade med tykkelsen r Her er det muligt at indføre et nyt begreb kaldet termisk modstand, R. Dette er et fællesudtryk for mediets geometri og specikke varmeledningsevne, og et cylinderlags termiske modstand kan dermed skrives på følgende måde: R = ln( r 2 r 1 ) 2πLk Udnyttes denne omskrivning, kan varmestrømmen skrives som: Q = T 1 T 2 R (2.6) (2.7) Termisk netværk Jordkablet, der analyseres, består dog af mere end blot et enkelt lag. Det ønskes altså nu at udvide modellen til en cylinderform med for eksempel 3 lag, alle med forskellige termiske egenskaber og tykkelser. Dette er illusteret på gur 2.4, som viser et eksempel på hvordan jordkablet kunne skitseres. Der er altså ere lag i forbindelse med hinanden, som varmestrømmen, Q, bevæger sig igennem. Her refereres til ligning 2.2, der beskriver at varmestrømmen ind i et lag er den samme som går ud, altså er der ingen ophobning af energi imellem lagene. Med udgangspunkt i gur 2.4, benyttes nu den stationære betingelse og ligning 2.7, hvorved der opstilles følgende for varmestrømmen igennem hvert lag. Q = T 0 T 1 R 1 = T 1 T 2 R 2 = T 2 T 3 R 3 Hvis tællere og nævnere lægges sammen, fås: Q = T 0 T 1 + T 1 T 2 + T 2 T 3 R 1 + R 2 + R 3 = T 0 T 3 R total, R total = R 1 + R 2 + R 3 (2.8) Hvis der kigges nærmere på ligning 2.8, kan der ses en lighed med den elektriske terminologi, nærmere bestemt Ohms lov I = V β. Varmestrømmen kan også ses som den 14

27 2.2. STATIONÆR MODEL AF JORDKABEL Aalborg Universitet Figur 2.4. Et termisk netværk af ere lag med en varmestrøm, Q, igennem. elektriske strøm igennem en termisk modstand, der ligeledes kan erstattes af elektrisk modstand. Når dette sker dannes en temperaturdierens mellem de forskellige lag, ligesom der er en spændingsforskel over de forskellige modstande i et elektrisk kredsløb. Sammenligningen er illusteret på gur 2.5. Denne forklaring kan være med til at gøre det nemmere at forstå de termiske begreber, ved at udnytte noget tilsvarende viden fra det elektriske område. V 0 T 0 R 2 R 4 Figur 2.5. Det termiske system repræsenteret med ækvivalent elektrisk terminologi. 4 Ligesom det er interessant at kende forskellige spændingspunkter i et elektrisk kredsløb, er det også interessant at kende forskellige temperaturer i det termiske netværk. Med udgangspunkt i gur 2.5 og den elektriske terminologi, hvor en spændingsforskel kan ndes ved hjælp af strømmen og den elektriske modstand, kan det gøres tilsvarende for et termisk netværk. Ved at benytte temperaturen i midten af kablet, T 0 på gur 2.4, som et reference punkt, kan de øvrige temperaturer i kablet bestemmes. Dette gøres ved at bruge referencepunktet, og derefter nde temperaturforskellen ved hjælp af varmestrømmen og den termiske modstand. Hvis det for eksempel ønskes at nde T 2 på gur 2.4, vil dette gøres på følgende måde. T 2 = T 0 Q (R 1 + R 2 ) (2.9) Her er R 1 og R 2 den termiske modstand i serie ud til det punkt i det termiske netværk, hvor det ønskes at udregne temperaturen. 15

28 Gruppe EN3-303 KAPITEL 2. TEKNISK ANALYSE Udarbejdelse af simulering De nødvendige termiske begreber og ligninger er nu deneret, og det er muligt at udarbejde en simuleringsmodel, der på baggrund af en række indskrevne værdier, kan udregne de forskellige temperaturer i kablet. Inden det er muligt at udarbejde simuleringen, er det dog nødvendigt at gøre en række antagelser. I beregningerne af den termiske modstand, R, ligning 2.6, og den elektriske modstand, β, indgår kablets længde, L. For at få et specikt udtryk benyttes der i denne model en længde på 1 meter. Det vil sige at resultaterne vil være per meter kabel, og hvis nødvendigt kan de ganges op til den ønskede længde efterfølgende. Da det er en stationær model, er der en konstant varmestrøm, Q. Denne varmestrøm kommer på baggrund af Joules første lov, og beskriver varmetabet når en elektrisk strøm løber igennem en modstand, og er givet ved Q = I 2 β, hvor β er den elektriske modstand (for her ikke at blive forvekslet med den termiske modstand R). Den varmestrøm, Q, kablet maksimalt kan afgive, sætter derfor samtidig en begrænsning for hvor stor en strøm, I, der kan løbe i kablet. Normalt er der en aftagelse/forøgelse af temperatur igennem materialerne, men da der afgives varme i hele kablets midte, gøres en antagelse om at hele kablets midterste lag har samme temperatur. Dette skyldes at elektronerne, som afsætter noget energi som varme, er fordelt ligeligt over hele kablets tværsnit. Det vil derfor være forkert at antage, at al energien stammer fra et enkelt punkt i midten af kablet. Selvom det ikke kan udelukkes, at der kan være en mindre temperaturforskel over kablets midterste lag, vurderes det at være mere korrekt at have samme temperatur i hele kablets leder. Derudover skal det bestemmes hvor stort et område, der skal analyseres, også kaldet kontrolvolumenet. Her benyttes en antagelse om, at den omkringliggende jord (i en tilstrækkelig længde fra kablet) samt den strømmende luft over jordoveraden har en konstant temperatur, og at de er i stand til at fjerne al den varmestrøm der kommer fra kablet. Alt uden for kontrolvolumet er altså analysens kølereservoir (på engelsk "heat sink"), hvor varmestrømmen kan absorberes uden at temperaturen ændres. Dette er et krav for at analysen er stationær. Derfor vil varmestrømmen der dannes inde i kablet, som resultat af den elektriske modstand i kablet, Q in = I 2 β, også bevæge sig ud af kontrolvolumenet Q in = Q out. Analysens kontrolvolumen er skitseret på gur 2.6. Figur 2.6. Det markede område på guren viser analysens kontrolvolumen. 16

29 2.2. STATIONÆR MODEL AF JORDKABEL Aalborg Universitet Med disse antagelser er det muligt at udarbejde en simulering, som laves i MATLAB. I MATLAB-koden benyttes de opstillede værdier for kablet, fra afsnit 2.1, og indsættes i de netop opstillede ligninger. Hvordan dette gøres rent praktisk i MATLAB er forklaret i appendiks A.1, og len er vedlagt på CD Delkonklusion for simulering af jordkabel Resultatet af MATLAB koden bliver herved en kontur som set på gur 2.7. Den viser temperaturen i kablet og den omkringliggende jord. Det ses at temperaturen på 90 C er i hele kablets midte, og at der er en temperaturdierens på 35 C over jordkablets tre isoleringslag. Temperaturdierensen over jordlaget er 40 C, selvom tykkelsen er mange gange større end for kablet. Dette er dog forventet da isoleringslagene har en lavere varmeledningsevne, og vil derfor have en større temperaturdierens i forhold til lagets tykkelse. Figur 2.7. Konturplot som beskriver temperaturen i forhold til radius. Selve betydningen af konturen vil blive forklaret og sammenlignet i afsnit 2.4. De øvrige resultater, der fås fra denne simulering, er at der per meter kabel afgives en eekt på Q = 80W i form af varme, hvilket svarer til at kablet gennemløbes af en strøm på i alt I = 2363A. For at have en viden om størrelsen af disse tal, vil der i afsnit 2.3 opbygges en model for en luftledning, hvor varmetransmission bliver beregnet. I afsnit 2.4, kan resultaterne fra jordkablet blive sammenlignet med tilsvarende resultater fra luftledningen, og det kan ses, hvordan de to kabeltyper opererer under forskellige scenarier. 2 matlab/steadystatejordkabel.m 17

30 Gruppe EN3-303 KAPITEL 2. TEKNISK ANALYSE 2.3 Stationær model af luftledning Det præsenterede materiale her i afsnit 2.3 tager udgangspunkt i kapitel 19 og 20 fra Fundamentals of Thermal-Fluid Sciences [Cengel, 2004]. Inddrages andre sider og kapitler fra bogen eller helt andre kilder, vil dette fremgå tydeligt. Formålet med dette afsnit er at udregne den maksimalt tilladte strøm gennem en luftledning, for senere at kunne sammenligne resultatet med et jordkabel. Der vil blive præsenteret teori og formler efterfulgt af korte forklaringer, for slutteligt at kunne lave de nødvendige udregninger. Som beskrevet i afsnit består en luftledning kun af en leder. Derfor er der ingen varmestrøm igennem andre lag. Nedkølingen består af varmestråling og konvektion, mens opvarmningen af luftledningen er forårsaget af strømmen igennem lederens modstand, der skaber et eekttab i form af varme, samt varmestråling fra solen. Energibalancen i en luftledning kan derfor opdeles i re grupper og kan beskrives med formel I 2 β + Q s = Q c + Q r (2.10) I 2 β er den afsatte eekt i luftledningen som resultat af den elektriske modstand i kablet. Q s er varmestråling fra solen. Q c er varmeafgivelsen fra luftledningen i form af konvektion. Q r er varmestråling fra luftledningen. Figur 2.8 illustrerer formel Metoderne til at udregne disse re udtryk gennemgås herunder, samt en mere uddybende forklaring af, hvilke faktorer, der har betydning for energibalancen i en luftledning. Figur 2.8. Varmetransmissionen for luftkablet, som udtrykt i formel Denne rdelte metode til at udregne energibalancen i en luftledning er fra rapporten Natural Convection udarbejdet af DTU. [Oersted-DTU, 2005] Varmestrålinger I en luftledning er der to faktorer, som spiller ind vedrørende varmestråling. Kablet både modtager og udsender varmestråling. Solen skinner på ledningerne, som derved bliver opvarmet, og ledningen udstråler varmestråling når den bliver opvarmet på grund af modstanden i ledningen. De to faktorer, som spiller ind, er også nævnt i formel 2.10, hvor Q r er varmestråling fra luftledningen og Q s er varmestråling fra solen. Det adskiller sig fra andre strålinger som for eksempel røntgen- eller gammastråler, ved at den er temperatur afhængig. Den maksimale termiske stråling, som en overade kan udsende kan udregnes med Stefan-Boltzmann's lov [Cengel, 2012,p. 646] Q r = εσa s T 4 s (2.11) 18

31 2.3. STATIONÆR MODEL AF LUFTLEDNING Aalborg Universitet Hvor ε er materialets emissivitet, som kan antage værdier mellem 0 ε 1 og er et udtryk for hvor meget en overade ligner et black body (ε = 1). Jo tættere ε er på 1, jo mere varmestråling udstråler legemet. σ er Stefan-Boltzmann's konstant som er 5, W. m 2 K 4 A s er arealet af overaden og T s er temperaturen af materialet i Kelvin. Q r er altså en form for køling, som det også er angivet i formel Udover at luftledningen udstråler varme, vil den også blive opvarmet af solens stråler. Eekten, hvormed ledningen vil blive opvarmet, er givet ved formel Q s = ϖsa [Rashid, 2011,p. 1361] (2.12) Hvor ϖ er absorptionsevnen af materialet. Absorptionsevnen er et udtryk for, hvor stor en andel af solens varmestråling, der absorberes af legemet. Absorptionsevnen af kobber er antaget at være 0,65 [Cengel, 2004,s. 977]. S er den globale varmestråling fra solen, som er et udtryk for den mængde varme fra solen, der rammer jorden per areal og antages til at have en værdi på S = 900 W m 2. [Thanos krontiris, 2010]. A er tværsnitsarealet af lederen, som vist på gur 2.9. L D Figur 2.9. Stråling fra solen på en leder og dets areal Konvektion Konvektion er en form for varmeoverførsel ligesom varmeledning og varmestråling. Konvektion omhandler varmeoverførsel fra et fast stof til en uid i bevægelse, og kan deles op i to forskellige typer. Naturlig konvektion og tvungen konvektion. Naturlig konvektion tager udgangspunkt i, at den varmere uid søger opad, og en koldere uid søger nedad, også kendt under navnet Buoyancy-eekten eller opdrift. Konkret betyder det, at der vil ske en naturlig nedkøling, fordi der hele tiden bliver tilføjet ny kold luft, omkring luftledningen. Tvungen konvektion tager udgangspunkt i at en pumpe, ventilator eller en vind forårsager en hastighedsforøgelse af en uid over en overade, og dermed øger varmeoverførslen. Der vil altid være naturlig konvektion, hvor der er tvunget konvektion, men ikke omvendt. Hvilken type af konvektion, der er dominerende er forskelligt alt efter hvilken situation, der er tale om, og vil blive diskuteret i afslutningen af dette afsnit. Begge typer konvektion vil blive beskrevet, og slutteligt vil en metode til at vurdere betydningen af konvektionstyperne blive præsenteret. For at beregne konvektion for både naturlig og tvungen, udnyttes Newtons afkølingslov, som vist i formel 2.13 Q c = h A (T s T ) (2.13) 19

32 Gruppe EN3-303 KAPITEL 2. TEKNISK ANALYSE Hvor Q c er varmen overført ved konvektion, h er konvektionskoecienten, A er overadearealet for varmeoverførslen. T s er overadetemperaturen og T er temperaturen af den strømmende uid før termisk kontakt med legemet. Konvektionskoecienten h, som er den eneste ubekendte, er deneret ved varmeoverførselshastigheden i watt mellem et fast stof og en uid, per enhed overareareal per enhed temperaturforskel og kan ndes ud fra formel h = k D Nu (2.14) Hvor k er den specikke varmeledningsevne, som er opgivet i afsnit D er længden af den berørte overade. N u er Nusselts tal og udtrykker forholdet mellem konvektion og varmeledning mellem uiden og det faste stof. Nusselts tal er den eneste ubekendte i formel Nusselts tallet er forskellig ved henholdsvist naturlig og tvungen konvektion, og vil derfor blive udledt enkeltvist herunder. Tvungen konvektion For at bestemme Nusselts tallet for tvungen konvektion, er det godt at have en ide om, hvad Nusselts tallet betyder. Det er tidligere nævnt, at der ikke var nogen varmeledning i forbindelse med luftledningen, men Wilhelm Nusselt viste i starten af det 20. århunderede, at der sagtens kan ske en varmeledning, selvom uiden er i bevægelse. Det skyldes at uiden næsten er stillestående i grænselaget, og derfor er det en varmeledning i stedet for konvektion. Nusselts tal beskriver forholdet mellem varmen overført af konvektion og varmeledning som vist i formel Nu = Q c Q v (2.15) Hvor Q c er konvektionen og Q v er varmeledningen. Nusselts tal afhænger også af geometrien. Churchill og Bernstein udformede i 1977 et udtryk for Nusselts tallet over en cylinder, hvilket en luftledning i denne rapport betragtes som. Dette kan udtrykkes med formel Nu cyl,t = 0, Re 1 2 P r 1 3 (1 + (( 0.4 P r ) 2 3 )) 1 4 ( 1 + ( ) 5 ) 4 5 Re (2.16) Hvor Nu cyl,t er Nusselts tallet for en cylinder ved tvungen konvektion. Re er Reynolds tal og Pr er Prandtls tal, som er de eneste ubekendte i formel Derfor er det nødvendigt at have kendskab til disse to størrelser. Prandtls tal Prandtls tal er et udtryk for, hvor hurtig varmen kan brede sig i en uid. Generelt er det forholdet mellem hastighedsgrænselaget (δ V ) og temperaturgrænselaget (δ T ), som det er vist på gur Dette er også udtrykt i formel P r = δ V δ T (2.17) 20

33 2.3. STATIONÆR MODEL AF LUFTLEDNING Aalborg Universitet Formel 2.17 er et generelt udtryk for Prandtls tal. I termodynamikkens verden, er det også udtrykt som i formel P r = c p µ (2.18) k Hvor c p er den specikke varmekapacitet, µ er den dynamiske viskositet og k er den termiske konduktivitet for uiden. Udtrykket, viser forholdet mellem den diusivitet, der fremkommer af uidens moment, og diusiviteten af varmen, som spreder sig i selve uiden. På gur 2.10 vises to scenarier, ved forskellige Prandtls tal. Hvis Prandtls tal er mindre end 1, er det et udtryk for at meget af varmen diunderer ved hjælp af varmeledning. Det betyder også at varmen er mere spredt, i forhold til afstanden fra arealet under. Dette kommer til udtryk, ved at hastighedsprolen har et meget lille grænselag, hvilket skyldes at den dynamiske viskositet, µ, er lav. Derfor sker der en større varmeoverførsel i forbindelse med varmeledning. Hvis Prandtls tal er større end 1, er det et udtryk for at meget af varmen diunderer ved hjælp af konvektion. Det betyder at meget af varmen bender sig tæt ved overaden, og ikke spreder sig op gennem uiden. Dog er hastighedsgrænselaget større, hvilket er et udtryk for at den dynamiske viskositet er høj, hvilket betyder at uiden "klistrer" sig mere sammen. Figur Varmestranmissionen for luftledningen, som udtrykt i formel Prandtls tal er altså et udtryk for, hvordan varmen bliver ført væk. Ved et lavt Prandtls tal er det hovedsageligt varmeledningen, som fører varmen igennem uiden, hvorimod ved et højt Prandtls tal, er det konvektionen, der fører varmen igennem uiden. Generelt er Prandtls tal lavt for gasser og ydende metaller, mens det er højt for, for eksempel, olier. Reynolds tal Udover Prandtls tal, er det også nødvendigt at kende til Reynolds tal, for at kunne bestemme Nusselts tal. Reynolds tal beskriver forholdet mellem inerti og de viskøse kræfter i en uid. Formel 2.19 beskriver Reynolds tal. Re = Inerti kraft V iskose kraft = v D ν (2.19) Hvor v er uidens hastighed i forhold til overaden, D er diameteren af kablet og ν er den kinematiske viskositet. Et højt Reynolds tal, er et udtryk for store inertikræfter. Det vil 21

34 Gruppe EN3-303 KAPITEL 2. TEKNISK ANALYSE sige at der er meget af uiden, som vil rotere om sig selv, eller vil være i uorden. Derimod er der, ved et lavt Reynolds tal, større viskøse kræfter. De viskøse kræfter afhænger af uiden som luftledningen bender sig i, hvilket er luft i dette tilfælde. Derfor er Reynolds tallet udelukkende bestemt af uidens hastighed, da både diameteren og den kinematiske viskositet er konstant. Da der nu ikke er ere ubekendte variable, kan det hele sammenholdes, således Q c for tvungen konvektion kan bestemmes, ved først at bestemme Prandtls og Reynolds tallet med henholdsvis formel 2.18 og Derefter er det muligt at bestemme Nusselts tallet ved hjælp af Chuchill og Bernsteins formel fra Når den er bestemt er det muligt at bestemme konvektionskoecient, h, ved hjælp af formel 2.14, og til sidst er det muligt at bestemme den samlede varmetransmission ved tvungen konvektion med Newtons afkølingslov fra formel Da der, som tidligere nævnt, også er en naturlig konvektion vil den blive gennemgået efterfølgende. Naturlig konvektion Som tidligere beskrevet er naturlig konvektion et resultat af Buoyancy-eekten. Et eksempel på dette er en kop varm kae, der står i en koldere stue og langsomt afkøles. Naturlig konvektion tager også udgangspunkt i Newtons afkølingslov som vist i formel Konvektionskoecienten, h, bestemmes på samme måde, men Nusselts tal for naturlig konvektion er anderledes. Nusselts tal for naturlig konvektion udregnes ved formel 2.20, som blev fremsat af Churchill og Chu i Nu cyl,n = 0, 6 + 0, 387(GrP r) 1 6 ( 1 + ( 0,559 P r ) 9 16 ) (2.20) Hvor Nu cyl,n er Nusselts tal for naturlig konvektion, Pr er Prandtls tal, og har samme værdi som ved tvungen konvektion, eftersom uidens hastighed ikke indgår i formlen Gr er Grashofs tal, som vil blive forklaret herunder. Grashofs tal Grashofs tal beskriver forholdet mellem Buoyancy-eekten og de viskøse kræfter. Grashofs tal ved naturlig konvektion svarer til Reynolds tal for tvungen konvektion, og udregnes ved formel Gr = g ϕ (T s T ) D 3 ν 2 (2.21) Hvor g er tyngdeaccelerationen, ϕ er volumenekspansionskoecienten (ϕ = 1 T for idealgas), T s er overadetemperaturen og T er temperaturen på uiden i det omkringliggende miljø. D er den karakteriske længde af geometrien og slutteligt ν, som er den kinematiske viskositet af uiden. Det er nu muligt at beregne Nusselts tal for naturlig konvektion. Da Nusselts tal er beregnet, er det muligt at beregne konvektionskonstanten, h, med formel Endeligt er det muligt at beregne varmen, der bliver overført ved naturlig konvektion med Newtons afkølingslov på formel

35 2.3. STATIONÆR MODEL AF LUFTLEDNING Aalborg Universitet Naturlig eller tvunget konvektion Som tidligere nævnt vil der altid være naturlig konvektion hvor der er tvunget konvektion, men ikke nødvendigvis omvendt. Fremgangsmåden, der vil give det mest korrekte svar med hensyn til varmeoverførslen, kan besluttes ved at se på forholdet mellem Reynoldstal og Grashofs tal. Forholdet vil indikere om en af konvektionstyperne kan vurderes som værende ubetydelig, og derfor ikke behøves medregnet. I nogle tilfælde kan der ses bort fra den naturlige konvektion, for eksempel hvis der er en stor tvungen konvektion. For at bestemme, hvornår det er muligt at antage at en af konvektionerene er ubetydelig, eller om begge har indydelse, bruges forholdet mellem Grashofs tallet og kvadratet af Reynoldstallet. Betingelserne er vist herunder: [Cengel, 2004,s. 933] 0, 1 > Gr Naturlig konvektion ubetydelig (2.22) Re2 0, 1 < Gr < 10 En kombination af begge (2.23) Re2 10 < Gr T vunget konvektion ubetydelig (2.24) Re2 Det ses, at hvis Grashofs tal over kvadratet af Reynoldstal ligger under 0,1 vurderes den naturlige konvektion til at være ubetydelig, som vist på gur Hvis Grashofs tal over kvadratet af Reynoldstal ligger imellem 0,1 og 10, bør både den naturlige og tvungne konvektion indgå i udregningen af varmetransmissionen som vist på gur 2.12a. Slutteligt, hvis tallet er større end 10, er den tvungne konvektion ubetydelig, som det er vist på gur 2.12b. Vind Ledning Varmeafgivelse Figur Illustration af tvungen konvektion I tilfælde af at betingelse 2.23 er opfyldt, har eksperimentielle data vist en sammenhæng imellem den tvungne og den naturlige konvektion. Sammenhængen kan beskrives ved formlen [Cengel, 2004,s. 934] Nu kombi = (Nu n tvungen ± Nu n naturlig ) 1 n (2.25) Om den tvungne og naturlige konvektion adderes eller substraheres, afhænger af påvirkningsretningen af nævnte. Den naturlige konvektion forekommer altid i modsat 23

36 Gruppe EN3-303 KAPITEL 2. TEKNISK ANALYSE Varmeafgivelse Varmeafgivelse Vind Ledning Ledning a Figur a) Illustration af en kombination af naturlig og tvungen konvektion. b) Illustration af naturlig konvektion b retning af tyngdekraften. Hvis uiden, der skaber den tvungne konvektion, sker i samme retning, som den naturlige konvektion adderes Nusselts tal. Dette er også tilfældet hvis uidbevægelsen er vinkelret på den naturlige konvektion, da det også øger uidblandingen og dermed varmetransmissionen. Hvis uidens bevægelse er i modsat retning af den naturlige konvektion, substraheres de to Nusselts tal, da den tvungne konvektion så vil modvirke den naturlige konvektion. Da det antages at vinden kommer vinkelret ind på kablet i forhold til den naturlige konvektion, som stiger opad, skal Nusselts tallene adderes, som det også er illustreret på gur 2.12a. n-værdien i formel 2.25 ligger mellem 3 og 4 alt efter hvilken geometrisk overade, der er tale om. Eksperimentielle data viser at n=3 passer bedst på vertikale overader og n=4 passer bedst på horisontale overader. Hvilken n-værdi der vil blive brugt og hvor stor en fejlmarginen der vil være, vil blive diskuteret i afsnit Konvektionen omkring luftledningen kan nu udregnes med udgangspunkt i både tvungen konvektion, naturlig konvektion og en kombination af disse. Der er altså teoretisk grundlag for en mere korrekt Q c til energibalanceformel Udarbejdelse af model for luftledning Formlerne der er nødvendige for at udregne varmestrømmen for en luftledning er blevet gennemgået i forrige del af dette afsnit. For at den samlede varmestrøm fra luftledningen kan beregnes, er det nødvendigt at fastsætte en række betingelser og antagelser. I beregningerne af forskellige værdier, som for eksempel overadeareal, vil lederens længde i denne model også indgå, her antages den til 1 meter, identisk med modellen for jordkablet i afsnit 2.2. Formålet med at lave denne model, er at kunne sammenligne jordkablet og luftledningen, men da forholdene for en luftledning kan ændre sig, tages der udgangspunkt i to scenarier. Det første scenarie med en vindhastighed på 0,6 m s, for at få det værste scenarie for varmeafgivelse. Dernæst et scenarie med vindhastigheden 5,8 m, s som er den gennemsnitlige vindhastighed i Danmark [DMI, 2012]. For kobbers emmissivitetskoecient og solabsorptionskoecient, anvendes worst case, da de varierer alt afhængig af den præcise type af kobber. Der tages derfor udgangspunkt i de 24

37 2.3. STATIONÆR MODEL AF LUFTLEDNING Aalborg Universitet værdier der vil give luftledningen de dårligste betingelser for varmeafgivelse. Det betyder at emmissivitetskoecienten (ε) bliver sat til 0,2 og solabsorptionskoecienten (α) bliver sat til et maksimum, 0,65. Værdierne er fra tabel 2.2. Derudover er der også temperaturafhængige uidkoecienter for luften, der strømmer omkring luftledningen. Som gur 2.13 illustrerer, er der en temperaturændring af uiden, som funktion af afstanden fra lederen. 90 o C 15 o C Figur Viser at der er en temperatur variation af luften der strømmer omkring lederen afhængig af afstanden dertil. For at give det mest retvisende resultat, benyttes gennemsnitstemperaturen af luftlederen (90 C) og luften (15 C), til at beregene de temperaturafhængige uidkoecienter. Antagelsen forsvares ved en temperaturdierens på 75 C, og det antages at denne approksimation ikke er grund til betydelig fejlberegning, da temperaturdierensen ikke er større. Programmet EES er benyttet til opslag af uidkoecienterne i modellen 3. I modellen skal Nusselts tallet udregnes, hvor der kan optræde en kombination af tvungen og naturlig konvektion, som kan udtrykkes med formel I formel 2.25 benyttes konstanten n, som kan antage en værdi mellem 3 og 4 afhængig af den geometriske overade. Da n ikke kendes for den cylinderiske luftledning der tages udgangspunkt i, skal betydningen af valget af n = 3.5 belyses, ved at teste fejlmarginen. Ved at indsætte forskellige n- værdier i den stationære model for luftledningen ved en vindhastighed på v = 0, 6 m, fås s en dertilhørende strømstyrke: I n=3 = A I n=3.5 = 2891A I n=4 = A For at udregne den procentvise afvigelse fra n = 3.5, regnes afvigelsen for n = 3 og 4 ud. Afvigelse n=3 = I n=3 I n=3.5 I n= % = A 2891A 2891A 100% = 1.16% Afvigelse n=4 = I n=4 I n=3.5 I n= % = A 2891A 2891A 100% = 0.75% Ved at antage en n-værdi til 3.5 har strømstyrken en maksimal afvigelse på ±1.2% i følge beregningerne ved en vindhastighed på 0,6 m s. Ud fra dette vises det at en n-værdi på 3.5 ikke bidrager med en betydelig fejlkilde. Når alle disse antagelser indføres og koecienterne udregnes, kan modellen opstilles ved hjælp af formlerne, gennemgået i afsnit 2.3. Disse antagelser gør det muligt at udarbejde en model, som er lavet i MATLAB. I MATLAB-koden anvendes de antagede værdier for luftlederen i afsnit og indsættes 3 ees/koefficienter konvektion.ees 25

38 Gruppe EN3-303 KAPITEL 2. TEKNISK ANALYSE i de ligninger, der blev præsenteret i afsnit 2.3. Hvordan dette udføres rent praktisk i MATLAB er forklaret i appendiks A.2, og den færdige programkode kan ndes på den vedlagte CD Delkonklusion for luftledning Da temperaturfaldet i uiden ikke aftager radialt-symmetrisk, som er tilfældet ved varmeledning i jordkablet, er der ikke udarbejdet et konturplot for luftledningen. Modellen angiver istedet de konkrete værdier for den tilladte strømstyrke i lederen ved den stationære model og den totale varmestrøm fra luftledningen. Disse værdier giver de nødvendige data til sammenligning af jordkablet med luftledningen. Disse værdier er udregnet ved en vindhastighed på 0,6 m s, og hvor værdierne er bestemt ud fra at varmestrømmen fra luftledningen, skal have dårlige forhold for varmeafgivelse: Q total = 120W I = 2891A 4 matlab/steadystateluftledning.m 26

39 2.4. SAMMENLIGNING Aalborg Universitet 2.4 Sammenligning Det ønskes nu at sammenligne betydningen af at benytte sig af et jordkabel i forhold til en luftledning. Dette gøres for at se, hvor stor forskel der er på de termiske betingelser. Det første opstillede scenarie for jordkablet er ved en temperatur i jorden på 15 C, og en kontinuert drifttemperatur i midten af lederen højest må være 90 C. Ud fra den opstillede model, som forklaret i afsnit 2.2, fås herved en stationær varmestrøm på Q = 80W. Dette betyder samtidig at jordkablet kan udsættes for en kontinuert elektrisk strøm på I = 2363A. Den omkringliggende lufts hastighed kan variere. Derfor vil der her analyseres for 2 scenarier, som vil være den gennemsnitlige vindhastighed i Danmark, som er v = 5, 8 m s [DMI, 2012], samt et scenarie med en lav vindhastighed på v = 0, 6 m s. Temperaturen antages i begge scenarier til at være 15 C. Ved indsættelse af disse vindhastigheder i modellen, som beskrevet i afsnit 2.3, fås resultaterne vist i tabel 2.3. Her er det ydermere udregnet, hvor stor en procentvis forøgelse af strømmen, der er mulig i forhold til jordkablet. Scenarie Varmestrøm, Q Strøm, I[A] Forøgelse strøm, % Jordkabel 80 W 2363 A - Luftledning (0, 6 m s ) 131 W 3023 A 28 % Luftledning (5, 8 m s ) 446 W 5566 A 136 % Tabel 2.3. Resultater for varmestrøm og elektrisk strøm ved forskellige scenarier med en ydre temperatur på 15 C. Sammenligningen bygger på samme tværsnitsareal, materiale og elektrisk modstand af lederen. Derudover er alle analyser udregnet for samme drifttemperatur i lederen på 90 C, og en temperatur af det omkringliggende miljø på 15 C. Det er altså udelukkende de termiske betingelser der er forskellige i scenarierne. Foruden vindhastigheder vil temperaturen i det omkringliggende miljø også være varierende. Derfor ønskes det undersøgt, hvilken eekt forskellige temperaturer har på den maksimale strøm i luftledninger i forhold til jordkabler. Først undersøges jordkabel, luftledning ved en vindhastighed på 0,6 m s og luftledning ved en vindhastighed på 5,8 m når det omkringliggende miljø har en temperatur på s 0 C. Analogt til tabel 2.3 er resultaterne opstillet i tabel 2.4. Scenarie Varmestrøm, Q Strøm, I[A] Forøgelse strøm, % Jordkabel 96 W 2589 A - Luftledning (0, 6 m s ) 164 W 3379 A 31 % Luftledning (5, 8 m s ) 542 W 6137 A 137 % Tabel 2.4. Resultater for varmestrøm og elektrisk strøm ved forskellige scenarier med en ydre temperatur på 0 C. På samme måde undersøges scenarierne ved en temperatur på 30 C for det omkringliggende miljø. Se tabel

40 Gruppe EN3-303 KAPITEL 2. TEKNISK ANALYSE Scenarie Varmestrøm, Q Strøm, I[A] Forøgelse strøm, % Jordkabel 64 W 2114 A - Luftledning (0, 6 m s ) 99 W 2625 A 24 % Luftledning (5, 8 m s ) 350 W 4933 A 133 % Tabel 2.5. Resultater for varmestrøm og elektrisk strøm ved forskellige scenarier med en ydre temperatur på 30 C. Ved at sammenligne de procentvise forøgelser af den maksimale strøm, igennem en ledning ved v = 0, 6 m s fra tabellerne 2.3, 2.4 og 2.5 ses at forøgelsen af strøm, i forhold til jordkablets, falder som temperaturen af det omkringliggende miljø stiger. Dette skyldes at der ved lave vindhastigheder er høj grad af naturlig konvektion. Når temperaturen i miljøet omkring ledningen er lav, vil der være stor forskel på temperaturen i lederen og temperaturen i miljøet. Dette vil bevirke at mere varme vil stige til vejrs, som konsekvens af Buoyancy-eekten, og ledningen vil dermed blive afkølet mere. Hvis temperaturen derimod er høj i det omkringliggende miljø, vil temperaturforskellen imellem ledning og miljø være lav, hvilket forårsager at mindre varme stiger til vejrs, og dermed vil varmen have sværere ved at slippe væk. Det fremgår også af tabellerne, at ved en vindhastighed på v = 5, 8 m s har temperaturen mindre indvirkning på den maksimale strøm igennem en ledning. Dette skyldes at det her er den tvungne konvektion, der er dominerende og har derfor størst indydelse på afkølingen af ledningen. Ud fra disse undersøgelser kan det konkluderes, at der er en større begrænsning for strømmen i jordkabler end i luftledninger uanset temperaturen i det omkringliggende miljø og vindhastigheder. Det er derfor vigtigt at overveje det termiske aspekt i forbindelse med jordkablerne, da der her kan opstå en askehals i det elektriske transmissionsnetværk, når den strøm, der kan overføres, er mindre i jordkabler. Det fortsatte arbejde i rapporten vil derfor fokusere på, hvilke termiske overvejelser der bør gøres, idet et jordkabel gennemløbes af en elektrisk strøm. 28

41 Problemformulering 3 I forbindelse med den indledningsvise beskrivelse af det danske elnet, kapitel 1 Indledning, samt kapitel 2 Teknisk analyse, af de termiske principper vedrørende luftledninger og jordkabler, er der grundlag for yderligere undersøgelse af mere specikke emner. I den tekniske analyse, kapitel 2, deneres den termiske modstand i forhold til materialekonstanter og geometri. Denne termiske modstand har indydelse på varmeledningen igennem et materiale. Derfor ønskes det i en mere dybdegående materialeanalyse at besvare følgende spørgsmål: ˆ Hvor stor betydning har den omkringliggende jords termiske konduktivitet i forhold til kablets varmeledning - og hvordan kan den bestemmes? Som netop nævnt har kablets geometri indydelse på varmeledningen. I kapitel 2 er kablet dog kun beskrevet i forhold til et 2D-tværsnit af et enkelt kabel. I realiteten bevæger kablet sig dog i 3 dimensioner igennem jorden, og har derfor en ekstra dimension i forhold til den hidtidige beskrivelse. Derudover kan der optræde ere kabler i umiddelbar nærhed af hinanden, og derfor være i termisk kontakt. Derfor ønskes følgende spørgsmål besvaret: ˆ Hvilken termisk indydelse har det, at højspændingskablet har kurver - og at ere kabler er i termisk kontakt med hinanden? Derudover ønskes det at analysere problematikken vedrørende uktuerende energiproduktion, som nævnt i afsnit 1.3. Derfor vil det undersøges, hvordan de nuværende elkabler kan klare den fremtidige uktuerende elproduktion, ved besvarelse af: ˆ Hvor meget kan højspændingskabler overbelastes i kortere perioder, uden at blive beskadiget? Ovenstående 3 spørgsmål danner grundlaget for en undersøgelse af forskellige termiske aspekter forbundet med højspændingskabler. Undersøgelsen kan resultere i en række vigtige overvejelser, som bør gøres inden højspændingskabler produceres, lægges i jorden og senere tages i brug i det danske transmissionsnetværk. 29

42

43 Materialeanalyse 4 Som vist i den tekniske analyse, er den maksimale strømstyrke, som kablet kan klare i stationær tilstand, afhængig af hvor meget varme kablet kan afgive. Den varme, som lederen maksimalt kan afgive afhænger af de omkringliggende lags termiske varmeledningsevne. Omkring lederen er det materialer som for eksempel XLPE der isolerer, derefter er det jorden, omkring kablet, der isolerer. XLPE har en vigtig elektrisk funktion og er derfor ikke let at modicere, de andre materialer i kablet opfylder ligeledes en funktion og er derfor heller ikke nemme at modicere. Jordens egenskab har derimod ikke betydning for kablets elektriske funktion, og en ændring af jordtypen har dermed kun betydning for kablets termiske egenskaber. I den stationære model var jorden omkring kablet medregnet, og havde en værdi på 1 W m K. Denne værdi er en antaget værdi, for den gennemsnitlige jords termiske varmeledningsevne. Varmeledningsevnen for jord kan dog variere, afhængigt af jordtype, fugtighed, densitet med mere. Dette giver derfor et incitament til at undersøge forskellige jordtypers varmeledningsevne. Formålet og fremgangsmåden vil blive forklaret i de følgende afsnit. 4.1 Formål Jordlaget omkring kablet er det største lag i den stationære model. Det har en tykkelse på cirka 1,2m, og er markant større end de andre lag omkring lederen. Det vurderes derfor, at en følsomhedsanalyse, der undersøger indydelsen af varmeledningsevnen for den omkringliggende jord, er nødvendig. Formål: At bestemme forskellige jordtypers varmeledningsevne Til formålet fremstilles en testbænk, der kan måle varmeledningsevnen for jord. Herefter kan værdien for varmeledningsevnen bruges i en simulering, til at udregne den maksimalt tilladte strøm for et kabel, der ligger i den givne jordtype. Dataene fra modellen skal så skabe et grundlag for udregning af strømstyrker i områder, hvor kablet er udsat for størst termisk belastning og dermed give en følsomhedsanalyse for kablet. 31

44 Gruppe EN3-303 KAPITEL 4. MATERIALEANALYSE 4.2 Opbygning af testbænk For at bestemme jordens varmeledningsevne, vil der blive bygget en testbænk, som vil blive brugt til forsøget. Forsøget går ud på at teste et jordmateriales varmeledningsevne, og til det bruges en testbænk, som er skitseret på gur 4.1. Kølende fluid Isolering Prøve dx dx dx dt dt dt Varmekilde Prøve dx dx dx dt dt dt Figur 4.1. Skitse af testbænk. Testbænken fungerer ved at en varmekilde i midten og en konstant temperatur i henholdsvis top og bund forårsager en varmestrøm gennem de to materialeprøver. Det antages at varmen kun kan bevæge sig gennem jorden, da testbænken er isoleret. Når en konstant varmestrøm er opstået måles temperaturforskellen over en given længde. Varmestrømmen er konstant når temperaturgradienten er linæer gennem hele testbænken. En mere detaljeret beskrivelse af modellen ndes i appendiks B. Til at bestemme den termiske varmeledningsevne, anvendes en omskrevet udgave af Fouriers lov som er vist i formel 4.1 (Udledningen ndes i appendiks B.2). k = Q 2 x A T (4.1) Hvor k er den termiske varmeledningsevne, Q er varmestrømmen, A er tværsnitsarealet af jordprøven, x er afstanden mellem termoelementerne og T er temperaturen mellem dem. Q deles med to, fordi varmestrømmen fra varmekilden antages at dele sig ligeligt gennem de to identiske prøver, i henholdsvis bund og top. Til at måle temperaturforskellen T, bruges termoelementer med LabVIEW som opsamlingsprogram, der er programmeret til at beregne den termiske konduktivitet. LabVIEW programmet kan ndes på den vedlagte CD 1. På gur 4.3 ses front panelet fra LabVIEW, som blev brugt til at opsamle data. Læg mærke til, at der er et enkelt termoelement, som ikke fungerer. Front panelet 1 labview/thermocouples.vi 32

45 4.2. OPBYGNING AF TESTBÆNK Aalborg Universitet viser hvert enkelt termoelements temperatur, og nder T mellem dem. Dette omregner den så til en termisk konduktivitet ved hjælp af formel 4.1. Den udregner så gennemsnittet for toppen og bunden af testbænken, og til sidst udregner LabVIEW programmet, den samlede termiske konduktivitet for hele jordprøven. Varmestrømmen Q kan beregnes ved at a æse spændingen på strømforsyningen og når modstanden i varmekilden er kendt. Ved hjælp af disse værdier udregnes e ekten med formel varmekilden og β P = V2 β, hvor V er spændingen over er den elektriske modstand i varmekilden. E ekten skal deles med to, da det antages at e ekten fordeler sig ligeligt på begge sider af varmekilden. Figur 4.2. Forsøgsopstillingen. For at sammenligne forskellige jordtypers termiske konduktivitet er det nødvendigt at kende den speci kke jordtype. Til at klassi cere jordtypen bruges en jordteksturklassi ceringsmetode. Ved hjælp af denne metode kan forholdet af sand, silt og ler i en jordprøve udregnes, og jordtypen kan derved bestemmes og klassi ceres. Jordteksturklassi ceringsmetoden er nærmere beskrevet i forsøgsjournalen i appendiks B. Et billede af selve forsøgopstillingen ses på gur

46 Gruppe EN3-303 KAPITEL 4. MATERIALEANALYSE Figur 4.3. Front panelet i LabVIEW, som er blevet brugt til dataopsamling. Bemærk til at der er et enkel termoelement, som ikke virker. Panelet viser forskellige konduktiviteter, som tegn på at stationær tilstand ikke er indtruet. 34

47 4.2. OPBYGNING AF TESTBÆNK Aalborg Universitet Betingelser for korrekte målinger For at testbænken på gur 4.1, skal give korrekte målinger, er der i opbygningen af testbænken re betingelser, som skal være opfyldt bedst muligt, for at den passer bedst overens med den teoretiske model. Nogle er betingelserne er nævnt på de forrige sider, men bliver beskrevet konkret her. De re betingelser er nævnt herunder: Betingelse 1: Den kølende uid skal have en konstant temperatur. Dette er nødvendig for at den termiske ligevægt kan indtræe. Hvis denne ligevægt ikke er indtruet, så passer den stationære model ikke på de opsamlede data. Betingelse 2: Isoleringen tillader ingen varmestrøm. Praktisk betyder dette at isoleringen rundt om testbænken skal tillade så lav en varmestrøm som muligt. Dette er nødvending for at testbænken opfylder den teoretiske opstillede model. Testbænken vil derfor blive isoleret med et matriale, der har en lav varmeledningsevne. Betingelse 3: Varmekilden skal fordele varmen uniformt over dens kontaktade med prøverne Dette vil betyde at målepunkterne ikke har betydning for de data der vil blive opsamlet. Hvis varmekilden ikke fordeler varmen uniformt, ville dette kunne løses ved at indlægge et lag af for eksempel kobber eller anden metal mellem prøven og varmekilden, da den høje varmeledningsevne i kobber, vil sørge for en uniform fordeling af varmen. Opbygningen af dette kan ses på Figur 4.4. Kølende fluid Isolering Prøve Metal Varmekilde Figur 4.4. Der kan lægges en god varmeleder oven på varmekilden, for at fordele varmen jævnt. Betingelse 4: Varmestrømmen skal være konstant gennem begge prøver. Dette krav skal være opfyldt, før at ligevægten er opnået. Hvis dette ikke er opnået, er ligevægten ikke indtruet og den stationære model vil ikke give et retvisende resultat for den termiske varmeledningsevne. 35

48 Gruppe EN3-303 KAPITEL 4. MATERIALEANALYSE For at løse hvert enkel betingelse, er der herunder skrevet, hvordan gruppen har behandlet hvert enkel betingelse: Betingelse 1 er blevet forsøgt opfyldt ved at lave kølehoveder til top og bund på testbænken. Disse kølehoveder er direkte forbundet til et kølesystem med en konstant temperatur og højt tryk. Dette bevirker at temperaturen på kølevandet på den måde holdt tilnærmelsesvis konstant. Betingelse 2 er blevet forsøgt opfyldt ved at isolere testbænken med tre lag glasuld. Betingelse 3 er blevet forsøgt opfyldt ved at lægge en tilskåret jernplade på hver side af varmekilden. For at sikre en god varmeovergang mellem varmekilde og jernplade, er der tilføjet TIM (Thermal Interface Material) på hver side af varmekilden. Betingelse 4 er forsøgt opfyldt, ved at lade testen køre i så lang tid som muligt. Grundet laboratoriets åbningstider, er den maksimale forsøgstid dog på 7 timer og 30 minutter. 4.3 Usikkerhed og fejlkilder De betingelser, som er nævnt herover, kan være potentielle fejlkilder. Det vil sige, at hvis betingelserne ikke er opfyldt, er der tale om en fejlkilde. Efter forsøget, blev hver betingelse vurderet og om det havde afgørende betydning for forsøgets resultat: Betingelse 1 er, at den kølende uid, som i dette forsøg er vand, skal have konstant temperatur. I dette forsøg er testbænken koblet op til et stort kølesystem. Der blev kørt med konstant ow og en køletemperatur på omkring 10 C. Køletemperaturen blev målt uden på kølehovedet efter 6 timer i drift. Herudfra vurderes betingelse 1 til at være tilstrækkelig opfyldt og dermed ikke være en fejlkilde, som har indydelse på slutresultatet. Betingelse 2 er at isoleringen omkring testbænken skal være 100% isolerende. Jo dårligere isolering omkring testbænken, jo mindre varmeeekt Q går igennem jordprøven. Dette resulterer dermed i en lavere termisk konduktivitet, som det fremgår af ligning 4.1. Temperaturforskellen mellem varmekilden og kølehovedet uden på isoleringen måltes til 0,1 C. Herudfra vurderes betingelse 2 til at være tilstrækkelig opfyldt og dermed ikke være en fejlkilde, som har indydelse på slutresultatet. Betingelse 3 er, at varmekilden skal fordele varmen uniformt over kontaktoveraden med jordprøven. Dette blev løst ved at sætte en jernplade, med testbænkens indre diameter, på hver side af varmekilden. De eneste fejlkilder forbundet hermed ville være, hvis jernpladen ikke passede 100% til den indre diameter, og den termiske konduktivitet for jern er for lav til at fordele varmen uniformt. Jernpladen vurderes til at være et næsten perfekt t. Betingelse 3 vurderes derfor opfyldt, med mindre fejlkilder. Betingelse 4 er, at varmestrømmen skal være konstant, altså skal den stationære tilstand være indtruet. På grund af den begrænsede forsøgstid, vurderes betingelse 4 til ikke at være tilstrækkelig opfyldt og dermed være en fejlkilde, som har indydelse på slutresultatet. Udover de overstående betingelser, er der andre fajlkilder som kan have relevans. Afstanden mellem termoelementerne x kan være blevet større eller mindre end det opmålte, på 36

49 4.3. USIKKERHED OG FEJLKILDER Aalborg Universitet grund af påfyldning og komprimering af sand. Dette kan resultere i en højere eller lavere termisk konduktivitet, som det fremgår af ligning 4.1, alt efter om afstanden, x er blevet større eller mindre. Da testbænken var opbygget og målingerne skulle til at begynde, viste det sig, at et af termoelementer ikke virkede. Det var termoelementet tættest på varmekilden i den øverste del af testbænken. Termoelementet er sandsynligvis blevet beskadiget inden i testbænken under opbygningen. Resultatet heraf er, at der er et målepunkt mindre og der kan være usikkerhed for slutresultatet. Det vurderes, at et enkelt manglende målepunkt ikke har fatal betydning for slutresultatet. 37

50 Gruppe EN3-303 KAPITEL 4. MATERIALEANALYSE 4.4 Resultater Ud fra resultaterne fra forsøget, er det muligt at bestemme konduktiviteten for jordprøven. Efter prøven var blevet analyseret, blev det dokumenteret at jordprøven er klassiceret som sand. Af tidsnød har det kun været muligt at teste én jordprøve, og som nævnt i forrige afsnit, har kun været muligt at lade prøven køre i 7 timer og 30 minutter, da gruppen ikke havde adgang til laboratoriet længere tid ad gangen. Derfor har det ikke været muligt at opnå en stationær tilstand Temperaturplot for testbænk (bund) Forsøgsdata Linæer regression af data Temperatur [degc] Termoelement nummer Figur 4.5. Temperaturplot med linæer regression fra forsøget foretaget d. 12/ Hvis den stationære tilstand er nået, vil der være en linæer temperatur gradient gennem jordlaget, som også er den fjerde antagelse i appendiks Dette er ikke opnået for forsøget, og kan ses på gur 4.5, hvor punkterne er slut temperaturen efter 7 timer og 30 minutter. Hældningen mellem hver enkel temperatur viser temperatur gradienten mellem termoelementerne, som er placeret med et mellemrum på 5 cm af hinanden. Da ligevægten ikke er indtruet, er der lavet en linæer regression af punkterne, for at undersøge hvor langt fra en linæer temperaturgradient forsøget. Her ses det at alle termoelementerne måler cirka ±5 C fra den linæere regression, og ud fra dette kan det siges at forsøget ikke er tæt på den stationære tilstand. Der vil derfor stadig kunne ske betydelige ændringer i forsøget over tid, som vil ændre på den udregnede konduktivitet. Selvom den stationære tilstand ikke er opnået, analyseres resultaterne stadig. Jordprøven er blevet testet to gange, og prøverne viste ved test, at den termiske konduktivitet var henholdsvis 0,457 W W m K og 0,465 m K, efter at forsøget havde kørt i 7 timer og 30 minutter. Det giver et gennemsnit på 0,461 W m K. Disse resultater kan bruges til at udregne, hvor stor den maksimale strøm igennem kablet kan være. Ved at sætte jordens termiske konduktivitet til 0,461 W m K i MATLAB modellen, 38

51 4.4. RESULTATER Aalborg Universitet beskrevet i afsnit 2.2 2, kan den maksimale strøm være 1843 A. Dette er en væsentlig forringelse i forhold til en termisk konduktivitet på 1 W m K, som er blevet brugt tidligere i rapporten, hvor strømstyrken var oppe på 2363 A. Det vil sige at strømmen i kablet ved jord med en termisk konduktivitet på 0,461 W m K er 22% lavere end hvis jordens termiske konduktivitet er på 1 W m K. Forsøgets resultat skal dog ikke ligge til grund for den anvendte konduktivitet, da det ikke var muligt at opnå den stationære tilstand. Men antydninger viser at tørt sands termiske konduktivtet er lavere end mange andre jordtyper. Dette kan skyldes ere ting, som for eksempel indholdet af organisk materiale, som denne rapport ikke vil gå dybere ind i. Dog har det betydning at sandet er tørt og ikke fugtigt, som det sandsynligvis ville have været hvis det var blevet gravet direkte op. Imellem sandpartiklerne vil der dannes små hulrum, som kan udfyldes af for eksempel vand eller luft. Den højere varmeledningsevne for fugtig sand, skyldes dermed at vand er en bedre varmeleder (5,56 W W m K ) end luft (0,22 m K ). Derfor kan fugtigheden af jorden have stor betydning, hvilket diskuteres yderligere i appendiks B, og en graf for hvordan konduktiviteten afhænger af jordens fugtighed kan ses på gur B.5. Da det ikke har været muligt at teste ere jordtyper, er der på gur 4.6, indsat forskellige konduktiviteter, for at se hvordan strømstyrken, I, afhænger af jordtypens varmeledningsevne, k. Det ses, at en større varmeledningsevne, giver mulighed for en større strøm igennem kablet. Derfor kan det have stor betydning, hvilken jordtype, som ligger omkring kablet. Sammenhæng mellem maksimal stationær strøm og jordens konduktivitet Stationær strøm [A] Jordprøve Bakkegrus Beregningsværdi Konduktivitet [W/mK] Figur 4.6. Sammenhængen mellem jordens termiske konduktivitet og den maksimale stationære strøm i 150 kv kabel. 2 matlab/steadystatejordkabel.m 39

52 Gruppe EN3-303 KAPITEL 4. MATERIALEANALYSE Ved mail korrespondance med Unnur Stella Gudmundsdottir fra Energinet.dk, blev det oplyst at de bruger bakkegrus med en fugtighed på 4-6% og med en termisk konduktivitet på 1,67 W m K som opfyldning. Opfyldning betyder at jorden, som er gravet op, for at nedlægge kablet, bliver erstattet med bakkegrus, når kablet skal dækkes til igen. Derfor er hele kablet ikke omgivet af bakkegrus. Derfor oplyste hun også at Energinet.dk benytter en beregningsværdi på 1 W m K for den omkringliggende jords termiske varmeledningsevne. Dette passer overens med en termisk varmeledningsevne på 1 W m K, som også bliver brugt gennem hele denne rapport for den omkringliggende jord. Som nævnt blev bakkegruset brugt som opfyldning, og dækker derfor ikke hele kablet. Hvis det antages at kablet udelukkende er omgivet af bakkegrus med en termisk konduktivitet på 1,67 W m K, vil det være muligt at have en strømstyrke på 2648 A. Dette er en forøgelse på 12,2% i forhold til en termisk konduktivitet på 1 W m K, som er blevet brugt i rapporten og, hvor den maksimale strømstyrke ved 90 C er 2363 A. Ved at sammenligne bakkegruset med jordprøven, kan der løbe 43,7 % mere strøm i et kabel udelukkende omgivet af bakkegrus i forhold til et kabel udelukkende omgivet af jord fra forsøget. Både jord fra forsøget, bakkegruset og beregningsværdien er afbilledet på gur 4.6. Dog kunne det være relevant at undersøge andre jordtyper, med en eventuel højere termisk konduktivitet. 40

53 Konfigurationsanalyse 5 I rapportens tidligere model er der undersøgt opvarmning af et enkelt, lige kabel. Men i praksis vil der kunne forekomme sving når kabler er lagt i jorden. Derudover har Nexans angivet forskellige kongurationer til nedgravning af ere kabler i nærhed af hinanden [Nexans, 2012]. Derfor vil det være interessant at undersøge, hvilken eekt disse betingelser vil have på strømmen igennem et kabel, uden at temperaturen overskrider 90 C. Modeller i dette kapitel er alle konstrueret i programmet COMSOL Multiphysics. 5.1 Kontrol af model Dette afsnit er til for at vericere COMSOL modellerne ved sammenligning med MATLAB modellen fra afsnit 2.2. Der er to typer modeller, som skal vericeres i dette afsnit (begge kan ndes på den vedlagte CD 1 ). Den første model er et højspændingskabel omgivet af jord i en cylinderformet geometri, den anden model er, hvor jorden omkring kablet har en rektangulær geometri. Den rektangulære model er anvendt, da der i nogle af de efterfølgende modeller vil være ere højspændingskabler i samme model. Det er derfor hensigtsmæssigt at arbejde med den omgivne jord som en rektangulær kasse. Hvis der i disse tilfælde var anvendt cylindrisk geometri til jorden, ville afstanden fra nogle af kablerne til jordens rand være forskellig. 1,3 m D Figur 5.1. Nedgravning af enkelt højspændingskabel, efter Nexans anvisninger For at undersøge betydningen af en ændring i geometrien af jorden, og at vericere at COMSOL modellen er plausibel, opbygges to modeller med et højspændingskabel med forskellige jord geometrier. I begge modeller vil strømstyrken gennem lederen være I = 2363A, som blev fundet gennem den stationære model i afsnit For at validere 1 comsol/enkeltlige 41

54 Gruppe EN3-303 KAPITEL 5. KONFIGURATIONSANALYSE modellen, sammenholdes temperaturer fra disse modeller med den givne temperatur i MATLAB-modellen. Den første model, er et højspændingskabel i jord med en cylindrisk geometri. Temperaturplottet, som blev udarbejdet i COMSOL kan ses på gur 5.2 Den højeste temperatur i lederen er 90,008 C, som er sammenlignelig med temperaturen fra den stationære model. Modellen antages derfor at være plausibel. Den samme model laves, hvor den omkringliggende jord er konstrueret som en rektangulær geometri. De samme betingelser som anvendtes i den forrige model kan indsættes her. Temperaturplot ses på gur 5.2. Som det ses på gur 5.2, er temperaturen gået fra 90 C i den tidligere model til 91 C, dette kan skyldes, at den rkantede geometri har indvirkning på isoleringsevnen, og derfor skaber en temperaturstigning. Som det fremgår af gur 5.2, er der et større tværsnitsareal i den rkantede geometri, som dermed øger den termiske modstand i jorden, hvilket kan være årsag til den højere temperatur. Det kan også skyldes at det mesh, der er lavet over geometrien kan have unøjagtigheder. Da fremgangsmåden og værdier i denne model er de samme som i foregående, kan de 91 C i den rektangulære model antages at være ækvivalent til de 90 C i modeller med cylindrisk form. Figur 5.2. Højspændingskabel med henholdsvist cylindrisk og rektangulær geometri. 42

55 5.2. SVING PÅ KABEL Aalborg Universitet 5.2 Sving på kabel I dette afsnit vil det blive undersøgt, hvilken indydelse et sving på et kabel vil have på temperaturen, når der er en strøm igennem. Der tages, som tidligere, udgangspunkt i Nexans 150kV kabel [Nexans, 2012] Opbygning af model Modellen er opbygget i COMSOL, hvor der er deneret geometri, materialer og randbetingelser. Modellen kan ndes på den vedlagte CD 2. Materialeegenskaber I følgende modeller er der anvendt ere materiale egenskaber end beskrevet tidligere. De brugte værdier ses i tabel 5.1, og er fundet via EES (Engineering Equation Solver), tabel opslag [Moore, 1997,s. 128], eller er angivet for kablet [Nexans, 2012,s. 51]. Materiale ς[ S m ] c p[ J kg K ] ɛ r ρ[ kg m 3 ] k[ W m K ] Kobber ς kobber (T ) XLPE 1e , ,285 PE 1e , ,285 Jord Tabel 5.1. Materiale konstanter. ς er elektrisk konduktivitet, c p er varmekapacitet, ɛ r er relativ permeabilitet, ρ er densitet og k er varmeledningsevne. Det fremgår af tabel 5.1 at konduktiviteten for kobber, ς kobber, afhænger af temperaturen, T. Sammenhængen er beskrevet i ligning 5.1. ς kobber (T ) = (ϱ 20 (1 + γ(t 20 C))) 1 (5.1) Hvor ϱ 20 er den elektriske resistivitet ved 20 C i Ωm, og γ er en temperaturkoecient, som er 0, C for kobber [C.R Nave - Georgia State University, 2012]. Nexans har opgivet kablets modstand til 11, Ω m, ved 20 C, hvilket giver en resistivitet som i udregning 5.2. [Nexans, 2012] ϱ 20 = 11, [ Ω m ] A = 11, Ω m π (0, 02445m)2 = 2, Ωm (5.2) Når ϱ 20 og γ er kendte, kan ς kobber (T ) skrives som ligning 5.3. ς kobber (T ) = (2, [Ωm]( [ 1 C ](T 20[ C]))) 1 (5.3) Geometri På gur 5.3 er der lavet en todimensionel skitse af et kabel med diameteren D, som efter en meter begynder at bøje med en kurveradius R. Nexans kabel er opgivet med en minimal kurveradius på 15D (efter installation, med kabelklemmer) [Nexans, 2012]. En kurveradius på 15D giver i dette tilfælde en kurveradius på 1560mm, eftersom diameteren på kablet er 104mm. 2 comcol/kurve 43

56 Gruppe EN3-303 KAPITEL 5. KONFIGURATIONSANALYSE R D Figur 5.3. Skitse af et kabel med diameter D, som bøjer med radius R Dette scenarie er opstillet i COMSOL med et jordlag med radius på 1,3 meter omkring. Hvert lag i modellen er tildelt et materiale (henholdsvist kobber, XLPE, PE og jord) som deneret i tabel 5.1. Randbetingelser Herefter speciceres de enkelte elektriske og termiske randbetingelser. En ende af lederen er tildelt et elektrisk potentiale, V 1, på volt. For den anden ende af lederen, beregnes et potentiale ved brug af modstanden i kablet og strømmen igennem det, som blev udregnet i afsnit 2.2. Potentialet V 2 udregnes udfra ligning 5.4. V 2 = V 1 (Iβ 90 ) (5.4) Hvor I er strømmen gennem kablet, β 90 er kablets modstand ved 90 C udregnet i ligning 5.7. Heri skal benyttes β 20, der er modstanden ved 20 C, og da denne værdi er målt i Ω m ganges der med den tilsvarende længde, og udregnes derfor som vist i ligning 5.6. β T = β T0 (1 + γ(t T 0 )) (5.5) β 20 = 11, Ω 2 π 1, 56m (1m + ) = 38, Ω m 4 (5.6) β 90 = 38, Ω(1 + 0, 0039 C 1 C 20 C)) = Ω (5.7) Udfra strømmen på 2363A, kan V 2 nu udregnes udfra formel 5.4: V 2 = V (2363A Ω) = , 8827V (5.8) Så V 2, der er deneret efter en meter lige strækning og et sving på 90 med en kurveradius på 1,56 meter, er ,8827 volt. På ydersiden af XLPE laget er der deneret ground, da XLPE laget er det elektrisk isolerende lag og al spændingen skal dermed afsættes over laget. På ydersiden af jordlaget er der deneret en fast temperatur på 15 C, da det i denne afstand fra kablet, antages at temperaturen ikke vil ændres grundet opvarmning fra kablet. Slutteligt er der deneret en varmekilde, som automatisk omdanner det elektriske tab i kablet til varme. Modellen er nu fuldendt. 44

57 5.2. SVING PÅ KABEL Aalborg Universitet Resultater 15D er som nævnt den minimale kurveradius, hvis der anvendes kabelklemmer. Men hvis der ikke anvendes kabelklemmer må kurveradiussen ikke være under 20D. Derfor ønskes det undersøgt hvilken indydelse forskellige kurveradiusser har på temperaturen og dermed den maksimale kontinuerte strøm igennem kablet. Scenarie 1 Det første scenarie er det, der er anvendt i forklaringen af modellen tidligere i afsnittet, nemlig med en kurveradius på 15D eller 1,56 meter, som er den anbefalede minimale radius med kabelklemmer. På gur 5.4 ses temperaturfordelingen i kabel og jord. Det fremgår heraf at den højst opnåede temperatur er 90,699 C, som ikke er betydeligt højere end temperaturen i det lige kabel, som var 90,008 C. Det antydes også, i gur 5.4, at varmefordelingen er anderledes i den buede ende af kablet, hvor konturen er trukket til den ene side. a b Figur 5.4. a) Konturplot af varmefordeling i kabel og jord set fra den lige ende af kablet b) Konturplot af varmefordeling i kabel og jord set fra den buede ende af kablet Præcist hvor meget varmere kongurationen er på indersiden kan ses på gur 5.5, hvor der er sammenholdt temperaturer for starten af det lige stykke af kablet og temperaturen efter en meter og et 45 sving. På gur 5.5 er midten af kablet indtegnet ved 1,3 meter. Dermed er ydersiden af kurven på venstre side af 1,3 meter mærket og indersiden af kurven er på højre side af 1,3 meter mærket. Derudover er der trukket to streger i en afstand af en halv meter fra midten af kablet. Skæringspunkter med graferne viser netop at indersiden af kablet bliver varmere i et sving end, hvis der var tale om et lige kabel. Samtidig viser grafen at kablet i et sving, er varmere på indersiden end på ydersiden, hvor den er koldere end tilfældet ville være i et lige kabel. For at dette scenarie skal holdes under 90 C, skal strømmen igennem kablet maksimalt være 2349A, hvilket ifølge modellen giver en temperatur på 89,975 C. 45

58 Gruppe EN3-303 KAPITEL 5. KONFIGURATIONSANALYSE Figur 5.5. Tværsnits plot af temperatur henholdsvist i starten af kablet og efter 45 sving, ved en radius på R = 1,56m. Scenarie 2 Det andet scenarie er med en kurveradius på 20D eller 2,08 meter, som er den anbefalede minimale radius uden kabelklemmer. Dette undersøges analogt til undersøgelsen for scenarie 1. Her er den højst opnåede temperatur 90,483 C ved en strøm på 2363A. Fordelingen af temperatur igennem kablet ved start og efter 45 ses på gur 5.6, hvor der, som tidligere, er indtegnet værdier for 0,5 meter fra kablets center. Figur 5.6. Tværsnits plot af temperatur henholdsvist i starten af kablet og efter 45 sving, her med en radius, R = 2,08m. For at denne konguration holder temperaturen under 90 C skal strømmen holdes under 2353A, som giver en temperatur på 89,967 C. Scenarie 3 Det tredje scenarie er med en kurveradius, som er mindre end den mindst anbefalede kurveradius, nemlig 1,3 meter. Det er den mindste kurveradius, der kan anvendes i denne model, grundet geometriens opsætning. Denne kurveradius er mindre end de anbefalede, men det vurderes at det kan være realistisk i praksis. 46

59 5.2. SVING PÅ KABEL Aalborg Universitet Temperaturen kommer her op på 90,917 C ved 2363A. Grafer for temperatur i det lige stykke og efter 45 kan ses på gur 5.7. Figur 5.7. Tværsnits plot af temperatur henholdsvist i starten af kablet og efter 45 sving, med en radius, R = 1,3m. Den maksimale strøm bliver herved 2345A, som giver en temperatur på 89,983 C. Scenarie 4 Til sidst er kurveradius sat til 2D eller 0,208 meter. For at vise denne kurveradius, har det været nødvendigt at ændre i modellens geometri. Det er derfor ikke helt sikkert at dette scenarie er retvisende, da modellen ikke er sammenholdt med andre modeller. Scenariet er ikke et realistisk scenarie, da en kurve med så lille radius sandsynligvis ikke vil være praktisk muligt uden at forvolde skade på kablet. Det er dog medtaget for at vise hvilken eekt det ville have at kurveradiussen er meget lav. Her bliver kablet 99,717 C ved 2363 ampere. Dette betyder at den maksimale strøm igennem kablet er reduceret til 2190A, som resulterer i en temperatur på 89,964 C. Sammenligning Resultater fra de re scenarier er opstillet i tabel 5.2. Af tabellen fremgår det at en kurve, der følger Nexans regulativer for mindste kurveradius, vil den maksimale strøm være henholdsvist 0,42% og 0,59% mindre end et lige kabel. Hvis der bøjes med 1,3 meter, altså mere end det Nexan anbefaler, vil afvigelsen stadig være under en procent. Hvis der derimod bøjes med 0,208 meter vil strømmen blive reduceret med 6,93%, dette er dog baseret på en usandsynlig, hvis ikke umulig, kurveradius. Kurveradius, R Strøm, I Temperatur, I Procent Lige kabel 2363A 90 C 100% 2,08m 2353A 89,967 C 99,58% 1,56m 2349A 89,975 C 99,41% 1,30m 2345A 89,983 C 99,24% 0,208m 2190A 89,964 C 93,07% Tabel 5.2. Sammenligning af maksimal strøm ved forskellige kurveradiusser. 47

60 Gruppe EN3-303 KAPITEL 5. KONFIGURATIONSANALYSE Det vil sige at i følge modellen, vil en kurve på et kabel have en indydelse på den maksimale strøm igennem kablet, men indydelsen er meget lille i forhold til følgende kongurationer. Ved en afvigelse på 1% for de angivne minimale kurveradiusser, må det siges at sving på kabler ikke er en afgørende faktor, når kabler skal graves ned. 5.3 Kongurationer med ere kabler I de tidligere modeller, er den maksimale strømstyrke i et enkelt kabel, og hvilken temperaturpåvirkning det vil have, blevet undersøgt. Men da et højspændingskabel ikke altid er isoleret fra andre varmekilder, vil der også være et grundlag for at undersøge, hvilken indydelse ere kabler samlet i forskellige kongurationer påvirker den tilladte strømstyrke. Da der i modellerne er taget udgangspunkt i et kabel fra Nexans, vil der blive taget udgangspunkt i, hvilke kongurationer Nexans angiver at kablerne skal graves ned i, for at kontrollere om dette påvirker den maksimale tilladte strømstyrke i en stationær analyse. For at regne dette bruges igen programmet COMSOL, og det gøres på baggrund af, at kablernes varmeafgivelse afhænger af hinanden og for at kunne udregne dette skal en varmelednings-formfaktor ndes. Da denne faktor ikke kendes for de kongurationer Nexans angiver, vurderes det at udregninger i COMSOL vil give et mere retvisende resultat. De kongurationer, som Nexans opgiver er med 3 kabler, som er placeret i en trekant eller på en linje [Nexans, 2012] 3. Disse kongurationer vil blive undersøgt i de følgende to modeller. De nævnte kongurationer vil i resten af rapporten blive omtalt som trekant konguration og linje kongurationen Linje konguration Under dette afsnit, vil modellen for linje kongurationen blive præsenteret, samt en gennemgang af resultaterne af modellen, som ndes på den vedlagte CD 4. Linje kongurationen er en nedgravning af højspændingskabler som Nexans foreslår [Nexans, 2012], denne konguration består af 3 kabler, der ligger på en lige række med 2 Diameter i afstand mellem kablernes centrum, som vist på gur ,3 m D 2 x D Figur 5.8. Linjekonguration nedgravningskonguration angivet af Nexans. 3 kilder/undergroundpowercables.pdf 4 comsol/linje 48

61 5.3. KONFIGURATIONER MED FLERE KABLER Aalborg Universitet Denne konguration bliver konstrueret på samme måde, som den tidligere model, hvor jordlaget er konstrueret rektangulært. Men i denne model, bliver der indsat 3 højspændingskabler i stedet for en, og dermed er der 3 varmekilder i modellen. Ved, at indsætte et spændingsfald over alle 3 ledere og en elektrisk modstand i ledermaterialet, bliver der dannet 3 varmekilder og randbetingelserne opsættes, hvorefter modellen køres. Gennem COMSOL kan der udarbejdes et temperaturplot, hvorved følgende plot er opnået, som ses på gur 5.9. Figur 5.9. Linjekonguration af højspændingskabler med en strømstyrke på 1818A. Dette konturplot er lavet ved en strømstyrke på I = 1818 A og giver en maksimal temperatur på 91,04 C. Det betyder at hvis kablerne er nedgravet i denne konguration, er den maksimale strøm i hvert kabel reduceret til 1818A. Denne model er udført med forskellige afstande mellem kablerne, dataene for disse kan ses i tabel 5.3. Ved hjælp af COMSOL er der lavet et tværsnitsplot langs kablernes midte, som viser temperaturen ved de forskellige afstande. På gur 5.10 er der vist temperatur i forhold til afstand i et tværsnit igennem kabel og jord. På guren er der indsat temperature for et enkelt kabel, for en linje konguration med en afstand på 2D og for en linje konguration med en afstand på 5D. Som det ses på gur 5.10, skaber linjekonguration en højere temperatur i jorden omkring det midterste kabel. Da temperaturen er højere omkring det midterste kabel, tillader det en mindre varmestrøm end ved det enkelte kabel. Dette gør at den maksimale strøm igennem det midterste kabel sænkes. På gur 5.10 fremgår det ikke tydeligt at kablerne der ligger ved siden af det midterste, ikke har samme temperatur ved 2D og 5D afstande. Videre analyse med større afstande viser, at disse kabler stiger i temperatur som afstanden 49

62 Gruppe EN3-303 KAPITEL 5. KONFIGURATIONSANALYSE Figur Tværsnits plot af temperatur ved et enkelt kabel og linje konguration med en afstand af 2D og 5D. stiger, idet den maksimale tilladte strømstyrke også øges. Denne stigning forekommer også mellem de to afstande, men er ikke tydelige på guren Trekants konguration Trekants kongurationen er som den forrige model, også en konguration, som fremgår af Nexans katalog [Nexans, 2012]. Modellen for trekants kongurationen ndes på den vedlagte CD 5. I denne model ligger der 3 højspændingskabler helt op ad hinanden, som er illustreret på gur Det er denne konguration der i dette afsnit vil blive lavet en model af. 1,3 m D Figur Trekantskonguration. konguration angivet af Nexans 5 comsol/trekant 50

63 5.3. KONFIGURATIONER MED FLERE KABLER Aalborg Universitet Modellen er blevet udarbejdet på samme måde som de foregående modeller. Temperaturplottet, der kommer ud af denne kon guration kan ses på gur Dette plot er lavet Figur Trekants kon guration med en strømstyrke på 1691A ved en strømstyrke i hvert kabel på 1691A og giver en maksimal temperatur på 91 C, som er den maskimale drifttemperatur i den stationære model, når jorden har en rektangulær geometri. 51

64 Gruppe EN3-303 KAPITEL 5. KONFIGURATIONSANALYSE Opsamling Der er lavet 3 modeller for et højspændingskabel omgivet af jord i rektangulær form, hvoraf 2 af modellerne er med ere kabler. Den første model med et kabel i afsnit 5.1, giver et sammenligningsgrundlag for modellerne omgivet af jord i en cylinderisk geometri. Alle modellerne omgivet af rektangulær jord bliver sammenlignet efter, hvor stor en strømstyrke de kan transportere ved 91 C, disse sammenligninger ses i tabel 5.3. Konguration Afstand Strømstyrke Temperatur Procentvise ændring Enkelt A % Linje 1D 1685 A ,3% Linje 1,5D 1766 A ,7% Linje 2D 1818 A ,9% Linje 5D 2022 A ,6% Trekant A 91 71,6% Tabel 5.3. Sammenligning af maksimal strømstyrke ved forskellige linje- og trekantskongurationer Ud fra tabellen ses det, at ved en linje konguration med en afstand på 2D mister kablerne 23,1% af deres strømkapacitet, hvor der ved en trekants konguration mistes 28,4%. Det ses at selvom kablerne yttes en halv meter fra hinanden (5D), vil det stadig have betydning for strømstyrken, da den her falder 14,4%. De udviklede modeller kan bruges til at analysere den maksimale strømstyrke, som et kabel kan klare, ved forskellige kongurationer. Den har desuden gjort opmærksom på at hvis ere kabler graves ned i umiddelbar nærhed af hinanden, har det betydelig indydelse på et kabels temperatur og maksimale stationære strømstyrke. 52

65 Transient analyse 6 I de hidtidige afsnit har der været arbejdet med stationære analyser, hvor der ikke sker ændringer over tid. Dette er også tilstrækkeligt hvis det ønskes at nde den maksimale kontinuerte belastning, men som forklaret i afsnit 1.3, er der med stadig ere vedvarende energikilder også mere uktuerende elproduktion. Derfor ønskes det at undersøge, hvordan disse varmeændringer opfører sig i forbindelse med højspændingskabler. Det ønskes at udarbejde en simulering, der kan vise hvor lang tid kablet kan holde til en given belastning. Idéen er dermed, at kablerne i kortere tidsperioder kan belastes mere end deres maksimale kontinuerte belastning, dog uden at temperaturen i kablet stiger til over 90 grader celsius, hvor kablet begynder at blive beskadiget. Herved behøves nogle kabler ikke at blive dimensioneret til høje strømstyrker, hvis disse kun forekommer i korte intervaller. For den transiente model, opstilles en energibalance for et lag i jordkablet, som skitseret på gur 6.1. Varmeoverførsel ind og ud af laget sker ved konduktion, og sker som følge af en temperaturforskel mellem de forskellige lag. Inde fra kablet er der en varmestrøm ind i det analyserede lag. Derudover vil laget også have en varmestrøm, som overføres til det ydre lag. Hvis varmestrømmen inde i laget er større eller mindre end varmestrømmen ud, vil der således være en ændring af lagets indre energi. Energi kan ikke forgå eller opstå, og derfor må energibalancen nødvendigvis være følgende. de dt = Q in Q out (6.1) I denne ligning indsættes det generelle udtryk for varmestrømmen, ligning 2.3, som blev nævnt i afsnit 2.2, samt ændringen af den indre energi, E. Med udgangspunkt i gur 6.1, hvor det ønskes at beskrive temperaturen i det grålige lag 2. m 2 c 2 T 2 dt dt 2 = k 2 A 2 dr k dt 3 3A 3 dr (6.2) Ligningens højreside består, som tidligere af varmeledningsevnen, k, overadearealet, A, og temperaturdierensen, dt, mellem de to lag, der har afstanden dr fra hinanden. Det nye i udtrykket er leddet til venstre, der beskriver ændringen af den indre energi E, der udtrykkes ved hjælp af lagets masse, m, dets specikke varmekapacitet, c, og temperaturændringen T. Varmekapaciteten beskriver et materiales evne til at J opbevare varmeenergi, og enheden er derfor kg K. Alternativt kan det siges at være den energimængde målt i Joule, det kræves for at øge temperaturen 1 Kelvin per 1 kg af materialet. [Cengel, 2008]. Bemærk at ligning 6.2 dog ikke gælder for kablets midte! Som 53

66 Gruppe EN3-303 KAPITEL 6. TRANSIENT ANALYSE Figur 6.1. Illustration for energibalancen i transient varmeanalyse. før nævnt er det her den elektriske strøm løber, og derved afsætter en varme. For det inderste lag gælder det altså at Q in = I 2 β. Som det kan ses, er ligning 6.2 en dierentialligning, hvor der indgår udtryk, som afhænger af temperatur, dt, radius, dr, og tid, dt. Der er forskellige muligheder for at få løst denne ligning for hvert lag, som vil blive emnet i de efterfølgende afsnit. Den transiente analyse tager udgangspunkt i det samme kabel som tidligere, og bruger derfor værdierne for kablet fra afsnit 2.1. Da analysen nu er tidsafhængig, kræves dog også materialernes densitet, ρ = [ kg J ], og varmekapacitet, c = [ m 3 kgk ]. Analysens benyttede materialekonstanter ses i tabellen herunder. Tabel 6.1. Lag r [m] k [ W K m ] ρ [ kg J ] c [ m 3 kg K ] Leder 0, Isolering 0,052 0, * Jord 1, Materialekonstanter benyttet i den transiente analyse. * Værdien er temperaturafhængig, yderligere information ndes umiddelbart under tabellen. De viste værdier i tabellen er i intervallet 20 C til 90 C. Kablets dimensioner er fra Nexans produktkatalog [Nexans, 2012,s. 51]. Værdierne for kobber og jord er fra programmet EES (Engineering Equation Solver), der dog ikke har data for XLPE. Varmekapaciteten for XLPE er temperaturafhængig, og på baggrund af eksperimentielle tests 1 fra en seperat undersøgelse af XLPE foretaget på Wonkwang University, Korea [Kyong, 2006], benyttes der for varmekapaciteten af XLPE: c = 1563 exp( T ) i intervallet C, samt c = 1683 exp( T ) for C. Da det ikke vides hvad der sker uden for dette interval, benyttes c = 1915 J kg K for temperaturer under 20 C og c = 4049 J kg K over 90 C. 1 kilder/xlpetest.pdf 54

67 6.1. NUMERISK LØSNING Aalborg Universitet 6.1 Numerisk løsning En måde at løse den opstillede energibalance, givet ved en dierentialligning som nævnt i introduktionen til afsnit 6, er ved hjælp af numerisk analyse. I stedet for at løse dierentialligningen analytisk, omskrives den til en ligning, der indeholder bestemte numeriske værdier. Ved at kende en række begyndelsesbetingelser for problemet, er det muligt at approksimere en løsning for dierentialligningen. Til dette formål benyttes Eulers metode (Bemærk at denne rapport er udarbejdet på 3. semester på Energi-studiet, hvor faget Numeriske metoder først undervises i på 5. semester, derfor vil brugen af Eulers metode kun tage udgangspunkt i grundidéen og hovedsageligt blive forklaret ud fra et grask synspunkt - i stedet for en teoretisk matematisk udledning). Først bestemmes et begyndelsespunkt T 1, som vist på gur 6.2. Ud fra de kendte værdier i T 1, skal det være muligt at nde den aedte (hældningen) i netop dette punkt, T 1. Det næste punkt, T 2, kan nu bestemmes med start i begyndelsespunktet, samt hældningen i et lille tidsinterval, t. Hvis tidsintervallet, t, gøres tilstrækkelig lille kan der opnås en meget præcis approksimation til den analytiske løsning. [Paul Dawkings, 2012] Dette kan opskrives matematisk på følgende måde: T 2 = T 1 + T 1 t (6.3) Figur 6.2. Grask illustration af idéen bag Eulers metode. Som nævnt i introduktionen til afsnit 6 er energibalancen for kablets ydre lag givet ved: m 2 c 2 T 2 dt 2 = k 2 A 2 dt dr k dt 3 3A 3 dr Her integreres højresiden af ligningen på samme måde som i afsnit 2.2, og der fås følgende. m 2 c 2 T 2 (T 1 T 2 ) (T 2 T 3 ) = 2πLk 2 dt ln( r2 r1 ) 2πLk 3 ln( r3 r2 ( ) ) (T 1 T 2 ) (T 2 T 3 ) m 2 c 2 T 2 = 2πL k 2 ln( r2 r1 ) k 3 ln( r3 r2 ) dt (6.4) Her ønskes det at isolere temperaturændringen T 2, da den indgår i brugen af Eulers metode, og fortæller noget om ændringen (hældningen) af temperaturkurven. ( ) (T 2πL k 1 T 2 ) (T 2 k 2 T 3 ) ln( T 2 = r2 r1 ) 3 dt ln( r3 r2 ) (6.5) m 2 c 2 55

68 Gruppe EN3-303 KAPITEL 6. TRANSIENT ANALYSE Denne ligning for temperaturændringen, T 2 af laget, er dog stadig afhængig af tiden, dt. Dette udtryk kan nemt integreres, hvis alle de andre led i ligningen er uafhængige af tiden. Men temperaturene for de forskellige lag afhænger jo af tiden, da de opvarmes fra den eekt, der stammer fra jordkablets leder: Q = I 2 β. Dette problem kan dog løses, ved at bruge følgende approksimationer, der er helt essentielle for den numeriske analyse. Hvis tidsintervallet, t, gøres tilstrækkelig lille ændrer temperaturene sig ikke. Det betyder at det eneste led i ligningen der er tidsafhængig er dt, som kan integreres: dt = t 2 t 1 = t. t2 t 1 T 2 = ( 2πL t k 2 (T 1 T 2 ) ln( r2 (T k 2 T 3 ) r1 ) 3 ln( r3 (6.6) m 2 c 2 r2 ) ) Hvis alle betingelserne er kendt fra start, kan de altså nu indsættes i ligningen, og en temperaturændring T kan udregnes, og lægges til den gamle temperatur: T ny 2 = T gammel 2 + T 2 (6.7) Dette kræver dog endnu en betingelse for den numeriske analyse! Ligning 6.7 giver kun en enkelt temperatur til laget 2, og temperaturændringen adderes også til hele laget uniformt. Det kræver derfor at der i laget ikke er en temperaturgradient. Denne betingelse kan opfyldes på 2 måder. Enten skal materialets varmeledningsevne, k være uendeligt høj ellers skal lagets tykkelse, dr, være innitesimalt lille. Jordkablets isoleringslag og den omkringliggende jord har en meget lav varmeledningsevne, så derfor kræves det at de splittes op i meget små lag, der hver har en tykkelse på r. Bemærk at ovenstående ikke gælder for jordkablets leder! Her gælder en anden energibalance, da Q in er forårsaget af varmetab, når der løber en strøm i lederen. Energibalancen bliver derfor følgende: T 1 = I 2 β t 2πLk 2 (T 1 T 2 ) ln( r2 r1 ) t m 1 c 1 (6.8) Figur 6.3. Illustration af systemet, der modelleres i den numeriske analyse. Ydermere anses lederen som et enkelt lag, som derfor ikke har innitesimal lille tykkelse. Denne antagelse gøres af 2 årsager. Først og fremmest opvarmes kablet nemlig uniformt, da elektronerne afsætter deres energi over hele tværsnittet. Derudover er varmeledningsevnen, k, for kobber mange gange større end for de øvrige materialer i analysen, og kan derfor anses som uendelig høj i forhold til isoleringslag og jord. 56

69 6.1. NUMERISK LØSNING Aalborg Universitet Nu er grundlaget for den numeriske metode lavet. Jordkablets leder opvarmes af en strøm, og varmen overføres til de ydre lag. Jordkablets isoleringslag og jorden omkring deles op i små lag af tykkelse r. For hvert lag opstilles en energibalance, og temperaturændringen kan udregnes for et lille tidsinterval, t. Analysen fortsætter med at regne for små tidsintervaller t, indtil kablets leder har nået den kritiske temperatur på 90 C. Dette kræver potentielt mange udregninger, og gøres derfor ved brug af MATLAB. Hvordan ligningerne i praksis udregnes ved hjælp af MATLAB, er forklaret i appendiks A.3. Koden kan desuden ndes på den vedlagte CD 2. Et eksempel på hvilket resultat, der kan fås ud fra MATLAB-koden, ses på gur 6.4, som er en gennemregning ved en strømstyrke på I = 3000A. Første plot (øverst til venstre) viser temperaturen i jordkablets leder, som funktion af tiden. Fra starttemperaturen på 15 C varede det 25594s = 7, 1timer før lederens temperatur nåede 90 C. Andet plot (øverst til højre) viser temperaturen som funktion af radius, i det øjeblik kablet har nået de 90 C i lederen. De to resterende plots (de to nederste), er blot konturplot af temperaturprolen over radius når de 90 C i lederen er opnået, men kan give et bedre visuelt billede af situationen. Bemærk at dette blot er et eksempel. Simuleringen vil benyttes på mere praktiske scenarier, i afsnit 6.3. Figur 6.4. Temperatur over tid og radius, ved transient analyse med en strømstyrke på 3000A. 2 matlab/transientjordkabel.m 57

70 Gruppe EN3-303 KAPITEL 6. TRANSIENT ANALYSE Diskussion af variable Som tidligere nævnt i teorien vedrørende den numeriske analyse, skal de to variable, r og t, være innitesimale, altså uendeligt små. En problemstilling er dog at den numeriske analyse, kræver et reelt tal. Det er altså ikke muligt med matematiske indgreb at få modiceret udtrykket til ikke at indeholde de innitesimale udtryk. Værdierne kunne blot sættes til et så lille tal som computeren vil tillade og regne igennem. Dette giver dog samtidig en så lang beregningstid, at det ikke vil være praktisk anvendeligt. Der er derfor lavet en analyse, som er vist på gur 6.5. Her er den transiente analyse udregnet ved en strømstyrke på I = 5000A, da der her er store ændringer imellem hver udregning, og vil cirka være et maksimum for hvad der benyttes i gruppens analyser. Grafen viser tiden, som analysen har udregnet, det tager for at temperaturen i jordkablets leder er steget fra 15 C til 90 C, ved forskellige lagtykkelser, r. Der er lavet tre grafer i gur 6.5, som gælder forskellige tidsintervaller t. På gur 6.5, kan det ses at der sker en numerisk fejl idet lagtykkelsen, r, bliver meget lille. Dette skyldes at lagenes størrelse og dermed termiske kapacitet (mc T) falder. Det vil sige at en lille energimængde, pludselig vil få temperaturen til at stige drastisk, hvormed analysen stopper, da den er nået den kritiske temperatur på 90 C. Dette kan undgås ved at sænke tidsintervallet t. Når dette sker sænkes energimængden, der tilføres under en udregning, og det er således muligt samtidig at benytte mindre r, der giver mere præcise udregninger. Lavere t og r kræver dog ere og ere udregninger, der kan tage uhensigtsmæssig lang tid. Gruppen har grundet den beregningskraft, der har været til rådighed, valgt et kompromis hvor der benyttes r = 1mm samt t = 0.25ms. Dette giver forholdvist præcise udregninger, og som set på gur 6.5 er variablerne ikke for tæt på et knæk af grafen, hvorved den numeriske fejl minimeres. Figur 6.5. Betydning ved ændring af de variable r og t. 58

71 6.1. NUMERISK LØSNING Aalborg Universitet Verikation Den numeriske model er udarbejdet, men det ønskes at vericere at modellen er korrekt, og viser samme resultater som tidligere analyser. Først og fremmest ønskes det at vise, at modellen stemmer overens med den tidligere udviklede stationære model som beskrevet i afsnit 2.2. Den stationære model er et tilfælde hvor der ikke sker ændringer over tid, og systemet derfor er i ligevægt. Dette skal derfor også ske for den transiente analyse når t. Ved indsættelse af den stationære strøm på I = 2363A, bør der ses en temperatur i jordkablets leder på 90 C. Derudover kan temperaturen som funktion af radius sammenlignes med den stationære model. På gur 6.6 ses temperaturen over tid, når der i den numeriske model indsættes en strøm på I = 2363A. Den numeriske model stoppes efter at have udregnet hvad der svarer til 7 dage, og her er temperaturen nået 88,9 C, som indikation på overensstemmelse med den stationære model. Bemærk at temperaturen forventes, yderligere, at nærme sig 90 C, hvis simuleringen fortsættes i længere tid. Figur 6.6. Temperaturforløb ved strøm på I = 2363A ved tid op til 7 dage. Ydermere kan temperaturprolerne for både den stationære og numeriske analyse sammenlignes, som vist på gur 6.7. Det ses at gurene umiddelbart er identiske, og det er ikke muligt at udpege forskelle på de to gurer. Det er altså vericeret at den numeriske model passer overens med den stationære model når tiden går imod uendelig. Det ønskes dog også at vericere at det transiente forløb er korrekt, altså mens der stadigvæk er ændringer i systemet over tid. Dette er dog ikke muligt at eftervise ved sammenligning med den stationære model, og kræver derfor yderligere undersøgelse. 59

72 Gruppe EN3-303 KAPITEL 6. TRANSIENT ANALYSE Figur 6.7. Temperaturprol for stationær og numerisk analyse efter 7 dage ved I = 2363A. 6.2 Elektrisk ækvivalent I dette afsnit er varmeledningslignigner løst ved et ækvivalent elektrisk kredsløb. Som nævnt i afslutningen af afsnit 6.1, skal det elektriske kredsløb benyttes til at validere den første del af temperaturforløbet, altså inden systemet kommer i ligevægt og dermed stationær. Det skal gøres ved at regne det med et ækvivalent elektrisk kredsløb af det termiske system. Som tidligere beskrevet i afsnit 2.2, gur 2.5, kan den termiske varmeledning beskrives som et netværk af termisk modstand og termisk kapacitans. Dette kan overordnet set overføres direkte til elektrisk modstand, elektrisk kapacitans og varmestrømmen, Q, som kan beskrives ved den elektriske strøm, I. Temperaturene i det termiske netværk bliver således ækvivalent til elektrisk potentiale, V. De udregnede udtryk for spænding i det elektriske kredsløb, kan derefter sammenlignes med det indledende temperaturforløb i den numeriske analyse, og be- eller afkræfte, hvorvidt den numeriske model er korrekt Elektriske kredsløb Hvert lag i den termiske model skal erstattes med en modstand og en kondensator. Den termiske modstand siger noget om, hvorledes et materiale modstår en varmestrøm. Jo højere modstand, jo bedre er materialet til at isolere. Ud fra de førnævnte betragtninger og ligheder mellem de to systemer, vil det termiske netværk kunne optegnes som et elektrisk kredsløb, som vist på gur 6.8. Her er C 1,C 2 og C 3 kondensatorer, der svarer til den R 2 R 3 I C 1 C 2 C 3 Figur 6.8. Det ækvivalente elektriske kredsløb. 60

73 6.2. ELEKTRISK ÆKVIVALENT Aalborg Universitet termiske kapacitet af lederen, isolator og jorden, mens R 2 og R 3 står for den termiske modstand af isolator og jorden - bemærk at den termiske modstand af lederen, ligesom i afsnit 2.2 og 6.1, antages at være nul. De tilsvarende modstande udregnes på følgende måde [Anders, 1997,p. 35]. R = ln( r 2 r 1 ) 2 π k (6.9) Hvor R er den termiske modstand, r 2 og r 1 er henholdsvis ydre- og indre radius af laget. Indsættes der tal i disse formler fås følgende værdier. R 2 = 0, 42 k m W, R 3 = 0, 512 k m W Hvis det ønskes at udregne strømmen i kredsløbet, er denne lig med varmestrømmen, som er et resultat af Jouletab i kablet. I dette afsnit vil den benyttede strøm i jordkablet være 3000A. Udfra strømmen i kablet udregnes en varmestrøm, der repræsenterer en strøm, I, i det ækvivalente kredsløb. Q = (3000A) 2 1, Ω I = 101, 7A (6.10) Udregning af kapacitansen, C, vil for lineære termiske netværk udregnes på den simple form C = m c, hvor m er massen af laget, og c den specikke varmekapacitet. Dette er dog problematisk, da lederen, isoleringen og jordlaget er cirkulære. Når isoleringslagene er cirkulære er kapaciteten ikke fordelt lineært over radius. For at øge præcisionen i udregninger, er det derfor nødvendigt at ombygge kredsløbet. Dette gøres ved hjælp af en omskrivning udviklet af Van Wormer. Der ndes forskellige omskrivninger af kredsløbet, afhængig af hvor lang en tidsperiode, der analyseres. Da dette kredsløb skal vericere den numeriske analyse for korte transiente forløb, benyttes en model, der normaltvis gælder for tidsperioder op til t = 1t = 3600s [Anders, 1997,p. 43]. Omskrivningen af kredsløbet er vist på gur 6.9 Ved Van Wormers kort-tids model, ½R ½R pc i1 (1-p)C i1 pc i2 (1-p)C i2 Figur 6.9. Kredsløb ved brug af Van Wormer-koecient for et kort-tids transient kredsløb. bliver modstanden af isolatoren delt i to lige store dele. Kapacitansen udregnes ved at nde Van wormer-koecienten, som benyttes til fordeling af kapacitansen af isoleringen i 4 kondensatorer, som antages at de ligger på grænselaget af begge modstande. Van Wormer koecienten udregnes på følgende måde [Anders, 1997,p. 41]: p = 1 ln( r 2 r 1 ) 1 ( r 2 r 1 ) 1 (6.11) 61

74 Gruppe EN3-303 KAPITEL 6. TRANSIENT ANALYSE Hvor r 2 er ydre radius og r 1 den indre radius af isoleringslaget. Efterfølgende skal kapacitansen deles op i følgende størrelser. C i1 = π (r 2 r 1 r 2 1) l ρ c (6.12) Ved brug af Van wormer-koecienten deles C i1 i to parallele termiske kapacitanser, hvor p C i1 vil ligge i grænsen til lederen og (1 p) C i1 vil være i parallel med den anden modstand, som vist på gur 6.9. Den anden kapacitans regnes på følgende måde. C i2 = π (r 2 2 r 2 r 1 ) l ρ c (6.13) Endnu engang benyttes Van Wormer-koecienten, til at dele denne værdi op i to parallele kondensatorer. Her er p C i2 imellem de to modstande inde i selve isoleringslaget, mens (1 p) C i2 vil være parallel til endnu et ydre lag, der i dette tilfælde vil være jordlaget. Proceduren er forklaret i forhold til isoleringslaget. Bemærk dog at i princippet fungerer jordlaget på præcis samme måde som et isoleringslag, og derfor skal en Van Wormer omskrivning også laves på jordlaget. [Anders, 1997,p. 44]. Ved brug af Van Wormer, der benyttes til at lave en omskrivning af både isolerings og jordlag, fås adskillige kondensatorer i parallel - disse kan blot summeres. Hvis Van Wormer benyttes, og de parallele kondensatorer summeres, fås et kredsløb som vist på gur Laplace transformation Ved benyttelse af Van Wormer-koecienten af lagene omkring lederen, altså både isolering og jord, fås et kredsløb som vist på gur R 1 R 2 V mω V mω V 3 R mω V 4 R mω 101.7u(t) A C I kf C kf C kf C MF C MF 15V Figur Det ækvivalente kredsløb ved benyttelse af Van Wormer-koecient. I dette tilfælde, hvor det ønskes at løse et kredsløb, der indeholder kondensatorer, opstår der transiente forløb, hvilket betyder at spændingen i systemet ikke ændres momentant. For at udregne kredsløbet, kan der med fordel benyttes Laplace transformationen, der transformerer kredsløbet fra tidsdomænet, t, til det komplekse frekvensdomæne, også kaldet s-domænet eller Laplace-domænet. Det er muligt selv at udregne Laplace transformationen for alle komponenterne, men der kan med fordel benyttes tabelopslag for alle komponenterne i gur 6.10 [J. David Irwin, 2008,p. 708]. Bemærk iøvrigt at strømkilden i gur 6.10 er benævnt med funktionen u(t), som er Heaviside-trinfunktionen. Funktionen beskriver blot at funktionen er lig 0, indtil tiden t = 0, hvorefter heavisidetrinfunktionen tager værdien 1. Den fungerer altså som en kontakt, der bliver slået til ved tiden t = 0. Denne funktion Laplace-transformeres ligeledes til det komplekse frekvens domæne ved tabelopslag [J. David Irwin, 2008,p. 682]. Slutteligt skal der tages højde for startbetingelserne i kredsløbet. I den numeriske analyse starter samtlige temperaturer i 62

75 6.2. ELEKTRISK ÆKVIVALENT Aalborg Universitet systemet på 15 C. For at det elektriske kredsløb har tilsvarende begyndelsesbetingelser, indsættes der en jordforbindelse i kredsløbet, der har værdien V = 15V. Dette betyder at før tiden t = 0, hvor strømkilden aktiveres, vil samtlige spændinger i kredsløbet være 15V, og svarer derfor til det termiske systems begyndelsestemperatur. Ved at Laplacetransformere hele kredsløbet, fås et tilsvarende kredsløb som vist på gur R 1 R 2 R 3 R 4 V V V V s I C 1 1 C 1 2 C s 8877s s C 1 4 C 1 1.9Ms Ms 15 Figur Kredsløbet i det komplekse frekvensdomæne, s. Da det er spændingen V 1, som det ønskes at udregne, kan denne fås direkte ved at løse kredsløbet med knudepunkts-metoden. Her udregnes alle strømmene, der går ind eller ud af hvert knudepunkt. Ligningssystemet for kredsløbet, vist i gur 6.11, bliver herved følgende. V 1 V 2 + V 1 15 = I (6.14) R 1 C 1 V 2 V 1 + V 2 V 3 + V 2 15 = 0 R 1 R 2 C 2 V 3 V 2 + V 3 V 4 + V 3 15 = 0 R 2 R 3 C 3 V 4 V 3 + V V 4 15 = 0 R 3 C 4 R 4 + C 5 Disse ligninger kan indskrives i Maple. Herefter indsættes værdierne for strømmen, modstandene og kondensatorene i udtrykkene, og ligningerne løses for de 4 knudepunkter. I dette tilfælde er det løsningen for V 1, der er interessant, da denne spænding repræsenterer temperaturen i jordkablets leder, som er den, der ønskes sammenlignet med den numeriske model. Løses ligninger fås følgende udtryk for spændingen V 1 : V 1 (s) = 0.06( s s s s s s ) s 2 ( s s s s ) Denne ligning er dog stadig udtrykt i det komplekse frekvens domæne, s, og der skal derfor udføres en invers Laplace transformation på udtrykket, for at få det tilbage i tidsdomænet, t. Dette gøres ligeledes i Maple, hvorved der for spændingen V 1 fås følgende udtryk. V 1 (t) =15 u(t) t e t 26 e t (6.15) e t e t Denne funktion, som afhænger af tiden, t, kan nu tegnes. Funktionsværdien V 1 (t) vil da svare til en temperatur i jordkablets leder. 63

76 Gruppe EN3-303 KAPITEL 6. TRANSIENT ANALYSE Sammenligning På gur 6.12 ses to kurver, der viser temperaturen som funktion af tiden for henholdsvis den numeriske og elektriske analysemetode, og det ses at der umiddelbart er en god overensstemmelse mellem de to kurver. MATLAB-koden, som er udarbejdet til sammenligningen, kan desuden ndes på den vedlagte CD Temperatur over tid i kernen (I = 3000A) Temperatur [C] Numerisk model Elektrisk analog Tid [s] Figur Temperaturen i jordkablets leder, som funktion af tiden, vist for både den numeriske analyse samt det ækvivalente elektriske kredsløb. For at få et bedre billede af de to kurvers forhold, er der på gur 6.13, tegnet en graf der viser forskellen på de to kurver i procent. Som det kan ses stiger fejlen med tiden. Dette er dog også forventet, da usikkerheden ved at benytte sig af Van Wormers-koecient for korte tidsperioder bliver større som tiden øges. På grafen ses det at den maksimale fejl er under 4 %. Med denne sammenligning, der overordnet set giver samme transiente forløb i 2 forskellige udregningsmetoder, kan det konkluderes at den numeriske analysemetode fungerer. Da den numeriske analysemetode er mere eksibel, og kan tage hensyn til ere aspekter, som for eksempel ikke-konstante materialeegenskaber, vil det være denne model, som det videre arbejde vil tage udgangspunkt i. Dog har den elektriske analyse eftervist at den numeriske model er korrekt! 3 matlab/sammenligningelektriskkredslob.m 64

77 6.3. RESULTAT AF TRANSIENTE MODEL Aalborg Universitet 4 Fejl mellem numeriske og elektriske metode Fejl [%] Tid [s] Figur Den procentvise forskel mellem den numeriske og elektriske analyse-metode. 6.3 Resultat af transiente model I følgende afsnit vil den numeriske model, der netop er blevet vericeret for både det transiente og stationære forløb, blive benyttet til at udregne forskellige scenarier. Først og fremmest vil den transiente model benyttes direkte til at se, hvor lang tid det tager for at jordkablets temperatur stiger fra 15 C til 90 C ved forskellige strømstyrker. Derfor indsættes forskellige strømstyrker, og tiden det tager før at temperaturen er nået 90 C gemmes. Et sådant plot, med strømstyrken, I, af den horisontale akse og den udregnede tid, t, på den vertikale akse, er vist i gur Som det kan ses på gur 6.14, har en 35 Tid før kritisk temperatur, ved forskellige strømstyrker Tid [timer] Strøm [A] Figur Tid for kablets leder ændres fra 15 til 90 C, ved forskellige strømstyrker. 65

78 Gruppe EN3-303 KAPITEL 6. TRANSIENT ANALYSE lille forøgelse af strømstyrken, stor indydelse på, hvor lang tid det tager før kablet når en kritisk temperatur. Forskellige værdier for hvor stor en forøgelse af strømmen, betyder for tiden, er vist i tabel 6.2 Strøm [A] Strømændring [%] Tid [timer] Tidsændring [%] 2500A - 29,4-2600A +4% 17,4-40,8% 3000A +20% 5,6-80,9% 5000A +100% 0,83-97% Tabel 6.2. Sammenligning af tid før kablet opnår kritisk temperatur ved forskellige strømstyrker. Det kan derfor ses at hvis der i kortere perioder benyttes højere strømstyrker i kablerne end den stationære strømstyrke på I = 2363A, er det nødvendigt at overvåge dem. Tabel 6.2 og gur 6.14, giver et overblik for, hvor lang tid det er muligt at belaste kablet ved forskellige strømstyrker. Dette blev nævnt i problemformuleringen, afsnit 3, som værende et af de spørgsmål, der ønskes besvaret i projektet Praktisk scenarie Resultaterne i det forrige afsnit 6.3, var af mere teoretisk karakter og benyttede kun den transiente model, til direkte af udregne en tid før kablet opnåede en kritisk temperatur, når begyndelsestemperaturen i og omkring kablet var 15 C. I praksis vil kablet dog være gennemløbet af en mindre strøm i en periode, inden det muligvis oplever et scenarie hvor det overbelastes i en kort periode. Derfor vil den stationære model benyttes til først at udregne temperaturen i og omkring kablet ved en bestemt strømstyrke under stationære betingelser, og disse temperaturer vil dernæst fungere som begyndelsestemperaturer for den transiente model. I den transiente model vil der indsættes en højere strømstyrke, som overbelaster kablet i en kort periode. MATLAB-koden, hvor den stationære og transiente model er sat sammen, kan ndes på den vedlagte CD 4. Da uktuerende energiproduktion omtales i afsnit 1.3, vil der nu tages udgangspunkt i fremtidens elnet som vist på gur 1.4 i afsnit 1.4. På guren ses det at der i fremtiden vil være 3 hav-vindmølleparker, Anholt (400 MW), Ringkøbing Fjord (600 MW) og Jammerbugten (800 MW), der ifølge gur 1.4 vil være forbundet til land med et enkelt 150 kv kabel. Der vil nu regnes på temperaturen i dette kabel, hvis det først er belastet ved den maksimale kontinuerte strøm, altså 2363A der, resulterer i en temperatur i jordkablets leder på 90 C, der netop er temperaturen jordkablet kan klare ved kontinuert belastning. Udover den kontinuerte belastning, er der opgivet en temperatur på 105 C, som jordkablet må udsættes for i nødsituationer [Nexans, 2012,p. 40]. Temperaturene fra den stationære kontinuerte belastning udregnes og benyttes som udgangspunkt for den videre analyse. Herefter indsættes strømmen svarende til vindmølleparkernes maksimale kapacitet, og tiden, det tager for at nå denne nød-temperatur, noteres. Strømmen udregnes ved I = P V, idet alle kablerne er 150kV. 4 matlab/transientwithinitialsteadystate.m 66

79 6.3. RESULTAT AF TRANSIENTE MODEL Aalborg Universitet Navn Strøm [A] Tid [timer] Anholt (400MW) ,05 Ringkøbing Fjord (600MW) ,28 Jammerbugten (800MW) ,107 Tabel 6.3. Tabellen viser resultater fra et scenarie, hvor kablet først udsættes for stationær belastning på 2363A, hvorefter en strøm svarende til vindmølleparkens maksimale kapacitet udregnes, før temperaturen i kablet når dets nødstemperatur på 105 C. Den stationære strøm er svarende til en eekt på P = 150kV 2363A = 354MW. Med udgangspunkt i resultaterne i tabel 6.3, vurderer gruppen at det ikke er hensigtmæssigt for Ringkøbing Fjord og Jammerbugten vindmøllepark kun at benytte sig af en enkelt 150kV forbindelse, da de kun vil kunne køre på fuld kapacitet i henholdsvis 17 og 6 minutter. Derudover er den kontinuerte belastning på 354MW kun cirka halvdelen af den fulde kapacitet, som ikke kan regnes som tilfredsstillende. Derfor kan det konkluderes at vindmølleparkerne i fremtiden, når de er bygget, bør få en anden tilslutning end den overordnede fremtidsplan, som vist på gur 1.4, foreslår. Med hensyn til Anholt vindmøllepark, vil den kunne køre på fuld belastning i cirka 7 timer, og her vil det kræve større og dybere undersøgelse af vindmøllerne, for at kunne fastslå om en enkelt 150kV forbindelse i dette tilfælde er tilstrækkeligt, da det ikke vides hvor ofte vindmøllerne er tæt på fuld kapacitet i løbet af et år. Derudover er det ikke hos Nexans opgivet, hvor ofte eller hvor lang tid kablerne kan klare nødstemperaturen. Selvom det muligvis vil være teoretisk muligt at tilslutte 400MW Anholt vindmølleparken med et 150kV, vurderes at det sikkerhedsmæssigt vil være mere ansvarligt hvis temperaturen ikke når op over de anbefalede 90 C. Det bør derfor ikke være nødvendigt at udnytte nødstemperaturen ved maksimal kapacitet. Derfor undersøges Anholt vindmøllepark mere specikt, hvilket også viser at anlægget skal tilsluttes via et enkelt 220kV kabel [Energinet, 2012]. Dette vil derfor resultere i en strømstyrke på I = P V = 400MW 220kV = 1818A, som altså er under den maksimale stationære strøm på 2363A, forudsat at kablet på 220kV har samme opbygning som det analyserede 150kV kabel. Ud fra dette, samt de tidligere resultater i tabel 6.3, vurderes det også at Ringkøbing Fjord og Jammerbugten, i praksis må få en større nettilslutning end vist på gur 1.4, som ellers er fra Energinet.dks egen Systemplan 2011 Energinet.dk [2011] Kortslutning I de tidligere afsnit er der indsat en strømstyrke, samt en temperatur som kablets leder ikke må overskride, hvorefter resultatet har været en tid. Ifølge Nexans produktkatalog for et 150kV kabel, kan XLPE isoleringen i tilfælde af en kortslutning i kablet, holde til en temperatur på maksimal 250 C i under 5 sekunder [Nexans, 2012,p. 40]. Det betyder at der i dette afsnit vil indsættes en maksimal temperatur, som skal nås inden for en bestemt tid. Resultatet vil således være, hvor stor en kortslutningsstrøm, som kablet kan holde til. Det antages dog endnu engang, at kablet indledningsvist har været stationært belastet med en strøm på 2363A. Herefter stiger temperaturen til 250 C over 5 sekunder. Grundet 67

80 Gruppe EN3-303 KAPITEL 6. TRANSIENT ANALYSE den måde som modellen er opbygget på, er det nødvendigt at indsætte forskellige strømstyrker, og herefter noteres den strømstyrke, hvor temperaturen er tættest på 250 C efter de 5 sekunders belastning. Bemærk iøvrigt at da der kun skal udregnes 5 sekunder, og kortslutnings-strømstyrkerne kan risikere at blive meget høje, benyttes der i disse udregninger et tidsinterval i den numeriske model på kun t = 0, 001s. Resultatet bliver da at kortslutningsstrømmen bliver I = A, som giver en temperatur på 249, 998 C efter de 5 sekunder. Kortslutningsstrømmen på I = 108kA er således 46 gange større end den maksimale kontinuerte strøm på 2363A. Dette afslutter således forskellige anvendelsesmuligheder for den numeriske analysemetode for transient varmetransmission i jordkablet. 68

81 Konklusion 7 I konklusionen sammenfattes projektarbejdet ved besvarelse af problemformuleringen. Problemformuleringens spørgsmål besvares enkeltvist. ˆ Hvor stor betydning har den omkringliggende jords termiske konduktivitet i forhold til kablets varmeledning - og hvordan kan den bestemmes? Hvor stor indydelse, jordens termiske konduktivitet har i forhold til kablets varmeledning er analyseret i kapitel 4 Materialeanalyse. Derudover er det beskrevet, hvordan denne kan bestemmes i en forsøgsopstilling, ligeledes opstillet i kapitel 4. Det har dog, grundet tidsnød, ikke været muligt at lave en dybdegående analyse af resultater af forsøget. I rapportens modeller er der anvendt en termisk konduktivitet for jord på 1 W m K, som giver en maksimal kontinuær strømstyrke på 2363 ampere. Gennem forsøget blev der målt en termisk konduktivitet på 0,461 W m K for tørt sand. Dette fald i termisk konduktivitet vil i den stationære model betyde et fald i strømstyrken på 22,0 %. Dog opnåede forsøget ikke en stationær tilstand, og derfor er forsøgets resultat nødvendigvis ikke 100 % retvisende i forhold til den korrekte værdi, der kunne være opnået, hvis forsøget havde opnået en stationær tilstand. Dermed konkluderes det, at den termiske konduktivitet af materialet omkring kablet har betydelig indydelse på kablets varmeledning og dermed den maksimale strøm i kablet. ˆ Hvilken termisk indydelse har det at højspændingskablet har kurver - og at ere kabler er i termisk kontakt med hinanden? Dette spørgsmål er besvaret i rapportens kapitel 5, Kongurationsanalyse. Første undersøgte konguration er kurver på kabler. Det fremgik af resultaterne, at dette vil have en minimal eekt på opvarmningen af kablet og dermed strømmen igennem kablet. Ved anbefalede kurveradiusser er strømmen igennem kablet, reduceret med under 1%. Dernæst er det undersøgt to forskellige kongurationer for tre kabler i termisk kontakt. Linje konguration og trekants konguration. Begge tilfælde viste at have betydelig indydelse på temperaturforøgelsen og dermed strømmen, som reduceres med op mod 30%. Hvis der anvendes den anbefalede afstand mellem kablerne i linje kongurationen, vil denne konguration reducere strømmen med 23,1%, hvor trekantskongurationen vil reducere strømmen med 28,4%. Altså har trekants kongurationen en større eekt på den maksimale strøm igennem kablet. 69

82 Gruppe EN3-303 KAPITEL 7. KONKLUSION På baggrund af dette vil det termiske aspekt være en væsentlig faktor, når ere kabler graves ned således at de er i termisk kontakt. Derimod vil det ikke være videre problematisk med sving på kabler. ˆ Hvor meget kan højspændingskabler overbelastes i kortere perioder, uden at blive beskadiget? Spørgsmålet vedrørende korte perioder med overbelastning af kabler er besvaret i kapitel 6, Transient analyse. I kapitlet er der undersøgt hvor lang tid et kabel kan holde til forskellige strømme, og der er opstillet en række realistiske scenarier.det kan konkluderes at selv en lille forøgelse af strømmen, der føres igennem kablet, vil forårsage at temperaturen opnår den kritiske temperatur betydeligt hurtigere. Et af de praktiske scenarier der opstilles, er forskellige vindmølleparker der nettilsluttes med et 150kV jordkabel. Det vises således her, at Anholt vindmøllepark (400MW) kun vil kunne køre på fuld kapacitet i 7 timer, mens tiden for Jammerbugten (800MW) kun er 0,1 timer, før jordkablet opnår en kritisk temperatur. Slutteligt undersøges jordkablet for kortslutning, hvor det er opgivet at kablet kan klare 250 C i 5 sekunder, hvilket udregnes til at svare til en strøm på I = 108kA. Det kan være svært at sige noget generelt om resultaterne, da spørgsmålet om hvor længe og hvor meget kablet, kan overbelastes i korte perioder, afhænger af den specikke situation, og hvilke variable der er forudbestemt. Overordnet set kan det dog konkluderes at en større strøm, forårsager en hurtigere forøgelse af temperaturen i kablet, og dermed kortere tid at kablet kan belastes. 70

83 Perspektivering 8 Projektets faglige indhold har hovedsageligt været at belyse forskellige problemstillinger i forbindelse med jordkabler. Disse problemstillinger tager udgangspunkt i virkelige scenarier, der kunne forekomme i forbindelse med nedlægning af jordkabler. Hvert analyserede scenarie resulterer i en vurdering af, hvor stor en indydelse det vil have på, hvordan hele kablet maksimalt præsterer. Disse analysemodeller kan tilpasses mange forskellige situationer, og dermed være anvendelige for en række aktører inden for højspændings-branchen. Dette gør projektets materialeanalyse og modeller for forskellige kongurationer, anvendelige for rmaer eller personer, der beskæftiger sig med at dimensionere og lave beregninger på jordkabler, eller overvejelser, der skal gøres, når de rent praktisk lægges i jorden. De tidsafhængige, transiente, modeller kan vise sig at have større betydning for elnetsobservatører og automatiserede systemer, der kan vurdere, hvor lang tid et jordkabel kan overbelastes af en strøm, som transmissionsnettet kræver, der bliver transporteret i kablet. Derudover kan det anvendes idet, der skal dimensioneres en nettilslutning af uktuerende energikilder, da resultaterne for, hvor meget et kabel kan overbelastes, kan give øget ydeevne, og give mulighed for benyttelse af et mindre kabel, der stadig kan klare de nødvendige krav. Det er ikke blot modellerne, som har anvendelsesmuligheder i virkeligheden. Selve resultaterne fra projektet, kan udløse en række idéer som er innovative og har potentiale i fremtidens tænkning af energi-infrastrukturen. I afsnit 5.3 blev der regnet på scenarier, hvor ere varmekilder; i dette tilfælde ere jordkabler, var i termisk kontakt med hinanden. De andre varmekilder kunne også have været i form af fjernvarmerør, der også er nedgravet i jorden. I afsnittet blev de eksterne varmekilder regnet som et problem, der sænker strømmen igennem højspændingskablet. I forbindelse med fjernvarmerør eller varmepumper, kan der dog være en synergieekt! Spildvandet i forbindelse med fjernvarmerør og varmepumper, kunne nemlig fungere som kølesystemer til højspændingskablerne i tilfældet, hvor spildvandet er under den stationære temperatur som ville være, hvor røret er placeret. Eftersom højspændingskablerne nedkøles, vil spildvandet også opvarmes af højspændingskablerne, og der vil derfor være en forvarmning af spildvandet, hvorved der kan spares energi! Det er dog tvivlsomt om højspændingskabler på 150kV eller over, bender sig i umiddelbar nærhed af fjernvarmerør. Denne højspænding ses oftest til transport over længere distancer. Fjernvarme optræder oftest lokalt, hvor der elektrisk set er tale om distributionsnettet med lavere spændingsniveau. 71

84 Gruppe EN3-303 KAPITEL 8. PERSPEKTIVERING I forbindelse med projektet har der været en række begrænsninger, eller ting, der ikke er taget højde for. Dette kan have indydelse på projektets resultater, og kunne være emner til videre bearbejdelse i fremtidige projekter. En af begrænsningerne har været at den jord, der fyldes tilbage i hullet, der er gravet til højspændingskablerne, normalt er en bestemt slags jord, kaldet bakkegrus, med højere termisk konduktivitet. Dette er ikke inddraget i udregninger, da det giver uhensigtsmæssig geometri i forbindelse med de analytiske beregninger i den stationære og transiente model, afsnit 2.2 og 6. Dette bevirker dog kun at den udregnede strøm i jordkablerne er mindre, end hvis der var benyttet bakkegrus som er et mere termisk ledende materiale. En anden begrænsning, som kunne være interessant i videre projekter, er vericering af alle modellerne i praksis. Dette kræver dog meget tid og koordinering med værkstedspersonale, og har derfor ikke været muligt i dette projekt, grundet den lange udarbejdningstid af de teoretiske modeller. Slutteligt bør det nævnes at projektets hovedfokus har været det termiske aspekt vedrørende højspændingskablerne. Der har således ikke været en elektrisk materialeanalyse, der for eksempel kunne give en idé, om jordkablet kunne dimensioneres på en anden måde, og stadigvæk være elektrisk sikkerhedsmæssigt ansvarligt. Det isolerende XLPE materiale kunne for eksempel erstattes med et materiale med højere termisk varmeledningsevne, men stadigvæk sikre elektrisk sikkerhed ved 150kV. Overordnet set er gruppens vurdering af fremtidsperspektivet for højspændingskabler, at området i stadig større grad bliver et vigtigt emne indenfor energisektoren. Nye energiteknologier, større energiforbrug og uktuerende energikilder, sætter nye krav til kablerne, og med øgede materialepriser er der også et ønske om at forbedre ydeevnen for kablerne! Dette gør højspændingskablerne et interessant tema at udvikle og forske indenfor. Grundet de tusindvis af kilometer kabel, der kræves for at distribuere strømmen, kan selv en lille forbedring have stort økonomisk og teknisk afkast! 72

85 Litteratur Abdul Hamid Elbakly - Alexandria Electricity Distribution Company, May Abdul Hamid Elbakly - Alexandria Electricity Distribution Company. New backlling material for underground cables, Anders, George J. Anders. Rating of Electric Power Cables. IEEE, 2. ed edition, Cengel, Yunus A. Cengel. Fundamentals of Thermal-Fluid Sciences. McGraw-Hill, 2nd edition edition, Cengel, Yunus A. Cengel. Fundamentals of Thermal-Fluid Sciences. McGraw-Hill, 3rd edition edition, Cengel, Yunus A. Cengel. Fundamentals of Thermal-Fluid Sciences. McGraw-Hill, 4rd edition edition, C.R Nave - Georgia State University, November C.R Nave - Georgia State University. Resistance: Temperature Coecient., URL Dansk Energi, October 2010a. Dansk Energi. Danske elselskaber sikrer leveringssikkerhed i topkvalitet, URL Dansk Energi, May 2010b. Dansk Energi. Dansk Elforsyning Statistik '09, URL Statistik_2009.pdf.ashx. DMI, DMI. Vind i Danmark, URL klima/klimaet_indtil_nu/vind_og_vandstand_i_danmark.htm. Edvard, October Edvard. Shielding Of Power Cables, URL Energinet, November Energinet. Strømmens vej fra havvindmøllerne til elnettet., URL Nettilslutning-af-Anholt-havmoellepark/Sider/Anlaegget.aspx. Energinet.dk, December Energinet.dk. Systemplan 2011, URL Systemplan_2011.pdf. 73

86 Gruppe EN3-303 LITTERATUR Energinet.dk, September 2012a. Energinet.dk. Generelt om elanlæg, URL Sider/default.aspx. Energinet.dk, September 2012b. Energinet.dk. Elforbindelser til udlandet, URL Sider/Elforbindelser-til-udlandet.aspx. Energinet.dk, September 2012c. Energinet.dk. uk vind, URL Elforbrugsfremskrivning% pdf. Energistyrelsen, October Energistyrelsen. Nye retningslinjer for kabellægning og udbygning af transmissionsnettet, URL Kabell%C3%A6gning%20og%20udbygning%20af%20transmissionsnet.pdf. Energistyrelsen, January Energistyrelsen. Kabellægning af eltransmissionsnettet - udsættelse eller lavere ambitionsniveau?, URL regeringensklimaogenergipolitik/forhandlinger11/forhandlinger_om_vores_ energi/documents/kabellaegning%20af%20eltransmissionsnettet%20%e2%80%93% 20udsaettelse%20eller%20lavere%20ambitionsniveau.pdf. Fluke.com, December Fluke.com. Fluke Accuracy, URL 10-reasons-to-upgrade.htm. J. David Irwin, R. Mark Nelms J. David Irwin. Basic Engineering Circuit Analysis. Wiley, 9. ed edition, Joseph M. Zulovich, Joseph M. Zulovich. Active Solar Collectors for Farm Buildings, URL Kenneth L. Hall. Kenneth L. Hall. Out of Sight, Out of Mind Revisited. Kyong, Yong Lee Kyong. Specic Heat and Thermal Conductivity Measurement of XLPE Insulator and Semiconducting Materials. IEEE, 1. ed edition, URL Microlink, july Microlink. thermocouple accuracy, URL MITEHippoCampus, MITEHippoCampus. soiltesting, URL Moore, G.F. Moore. Electric Cables Handbook. Blackwell Science, 3. ed edition, National Instruments, December 2012a. National Instruments. NI 9211, URL 74

87 LITTERATUR Aalborg Universitet National Instruments, December 2012b. National Instruments. NI 9213, URL Nexans, Nexans kv High Voltage Underground Power Cables. Nexansl, ukendt edition, Nidal H. Abu-Hamdeh, dec Nidal H. Abu-Hamdeh. density inuence, URL Nord Pool Spot, September Nord Pool Spot. Elspot ow, URL NRCS, NRCS. Guide to texture by Feel, URL Oersted-DTU, Oersted-DTU. Natural Convection, URL http: // OpenElectrical, October OpenElectrical. Cable Construction, URL Overall_Screen_.28Instrument_Cables.29. Paul Dawkings, November Paul Dawkings. Euler's Method, URL Rashid, Muhammad Rashid. Power Electronics. Elsevier Inc, 3. ed edition, URL X2ludGVybmFsX0ZsYXNoUmVhZGVyP3htbGlkPTk3ODAxMjM4MjAzNjUlMkYxMzYz. T. L. Brandon, December T. L. Brandon. Factors inuencing thermal resistivity of sands, URL Files/03_1989_Brandon_Mitchell_Thermal_Resistivity.pdf. Thanos krontiris, Thanos krontiris. weather based loading of overhead lines consideration of conductor's heat capacity, URL Univesity-Florida, Univesity-Florida. Jordtekstur, URL 75

88

89 MATLAB A I forbindelse med projektet er der benyttet forskellige MATLAB scripts. Da det kan være for omfattende og forståelsesmæssigt vanskeligt at forklare adskillige linjers kode i selve rapporten, gøres det mere udførligt her i appendiks. A.1 Stationær simulering af jordkabel I dette afsnit vil der blive gennemgået hvordan den stationære model af et jordkabel fra kapitel 2.2 er udført. Først og fremmest skal der deneres en række værdier for kablet, som blev beskrevet i afsnit 2.1. Først deneres kablets længde og hvilken maksimal temperatur der er i midten af kablet, samt temperaturen af omgivelserne udenfor kablet. 1 l = 1 ; % [m] Analysen er per meter k a b e l 2 3 % D r i f t s t e m p e r a t u r 4 T0 = 9 0 ; % [ 'C] Maximum d r i f t t e m p e r a t u r 5 Te = 1 5 ; % [ 'C] Temperatur a f omkringliggende m i l j o e ( environment ) Herefter deneres en radius for hvert lag i kablet, samt den tilhørende specikke varmeledningsevne for laget. 6 % K a b l e t s dimensioner ( begyndende i n d e f r a ). 7 % A l l e r a d i u s er maalt f r a midten a f k a b l e t 8 r1 = ; % [m] r a d i u s a f 1. l a g ( midten / kernen ) 9 r2 = ; % [m] r a d i u s a f 2. l a g ( i s o l e r i n g ) 10 r3 = ; % [m] r a d i u s a f 3. l a g ( h a l v l e d e r ) 11 r4 = ; % [m] r a d i u s a f 4. l a g ( i s o l e r i n g ) 12 r5 = 1. 3 ; % [m] Jorddybde ( laengde f r a centrum t i l j o r d o v e r f l a d e ) % S p e c i f i k varmeledningsevne 15 k1 = ; % [W/m*K] kobber, kerne i k a b e l 16 k2 = ; % [W/m*K] i s o l e r i n g 17 k3 = ; % [W/m*K] h a l v l e d e r l a g 18 k4 = ; % [W/m*K] i s o l e r i n g 19 k5 = 1 ; % [W/m*K] j o r d Da alle disse værdier er deneret for kablet, er det med brug af ligning 2.6, muligt at beregne den termiske modstand i hvert lag. Dette gøres på følgende måde: 20 % Udregning a f termisk modstand 21 % Bemaerk l o g ( x ) er n a t u r l i g l o g a r i t m e i MATLAB e l l e r s : l o g 10 ( x ) 22 R1 = 0 ; % [K/W]!!! Antagelse f o r midten a f k a b l e t. Konstant temp. 23 R2 = log ( r2 / r1 )/(2 * pi * l *k2 ) ; % [K/W] 24 R3 = log ( r3 / r2 )/(2 * pi * l *k3 ) ; % [K/W]

90 25 R4 = log ( r4 / r3 )/(2 * pi * l *k4 ) ; % [K/W] 26 R5 = log ( r5 / r4 )/(2 * pi * l *k5 ) ; % [K/W] R_total = R1+R2+R3+R4+R5 ; % [K/W] Herefter benyttes ligning 2.8 til at udregne den samlede varmestrøm igennem jordkablet. 29 % Udregn varmestroemmen 30 Q = (T0 Te)/ R_total ; % [W] Varmestroem igennem a l l e l a g. Kablet gennemløbes nu af en bestemt varmestrøm. Denne varmestrøm kommer, som tidligere nævnt, fra de tab, der opstår når strømmen løber igennem lederen i midten af jordkablet. For at udregne hvor stor en strøm, I, der svarer til varmestrømmen, Q, benyttes Q = I 2 β, som omskrives til I = kablet benyttes ligning 2.1. Q β. For at nde den elektriske modstand i 31 % Dette s v a r e r t i l f o e l g e n d e e l e k t r i s k e stroem. 32 beta_20 = 11. 3* 10^( 6); % [Ohm/m] Modstand a f k a b l e t s kerne 20 C. 33 a l f a = ; % T e m p e r a t u r k o e f f i c i e n t 34 beta = beta_20 *(1+( a l f a *(T0 2 0 ) ) ) ; % [Ohm/m] Modstand ved 90 C I = sqrt (Q/beta ) ; Den elektriske strøm kan nu benyttes til at sammenligne med andre kabler, som har samme elektriske modstand, hvorved det er varmestrømmen, Q, der ændrer sig. Varmestrømmen er afhængig af hvilke materialer som kablet er opbygget af og hvilke medier det er omgivet af. Jo større mulighed kablet har for at afgive varmen (en lav termisk modstand, R), jo større strøm vil det være muligt at have igennem kablet. Når de forskellige temperaturer i hvert lag er udregnet, er det muligt at tegne en kontur, der viser temperaturen i forhold til jordkablets radius. Det kræver dog umiddelbart lidt yderligere arbejde i MATLAB. A.1.1 Optegning af kontur Følgende afsnit forklarer hvorledes tallene udregnet i afsnit A.1, omsættes til en kontur. Først skal der dimensioneres et koordinatsystem hvor konturen af jordkablets termiske prol skal tegnes. Da den yderste radius betegner kontrolvolumet, vil det være passende at bruge disse ydre dimensioner. Temperaturen udbreder sig lige meget i alle retninger, og er altså kun afhængig af radius. I 2D-konturen skal der dog både være en x og y- retning, som efterfølgende omsættes til en radius. x og y koordinaterne oprettes ved brug af meshgrid-kommandoen. 37 % Opret e t koordinatsystem der p a s s e r t i l r a d i u s. 38 [ x_coor, y_coor ] = meshgrid( r5 : : r5, r5 : 0.01: r5 ) ; 39 r = sqrt ( x_coor.^2+y_coor. ^ 2 ) ; % Udregn r a d i u s Et eksempel på hvordan meshgrid kommandoen fungerer, og hvad udregningen af radius gør, kan ses på gur A.1 Koordinatsystemets koordinater er nu fastsat. For at kunne tegne konturen, er det dog nødvendigt at vide hvorledes temperaturen ændres i forhold til radius. Her benyttes en fourier-funktion af 8. grad, til at have en funktion, som funktion af radius. Først udregnes temperaturudviklingen, og derefter oprettes en tilsvarende fourierfunktion.

91 Figur A.1. Simpelt eksempel på brugen af meshgrid kommandoen, samt udregning af radius 40 % Find de r e s t e r e n d e temperaturer 41 T1 = T0 0* x1 ; % Temperaturen konstant 42 T2 = T0 Q*( log ( x2/ r1 )/(2 * pi * l *k2)+r1 ) ; 43 T3 = T0 Q*( log ( x3/ r2 )/(2 * pi * l *k3)+r1+r2 ) ; 44 T4 = T0 Q*( log ( x4/ r3 )/(2 * pi * l *k4)+r1+r2+r3 ) ; 45 T5 = T0 Q*( log ( x5/ r4 )/(2 * pi * l *k5)+r1+r2+r3+r4 ) ; T = [ T1, T2, T3, T4, T5 ] ' ; % Fourier f u n c t i o n 8. grad. 50 % T( r ) Temperatur som f u n k t i o n a f r a d i u s. 51 f 8 = f i t ( [ x2, x3, x4, x5 ] ', [ T2, T3, T4, T5 ] ', ' f o u r i e r 8 ' ) ; Denne funktion kan nu bruges til at nde temperaturen for enhver radius. Radius, r, er opskrevet i en matrix, og for hver indgang i denne matrix skal der udregnes en temperatur ved brug af fourier-funktionen. Dette er en lang række udregninger, som skal gøres for samtlige indgange i radius-matricen. Til dette formål benyttes en løkke (på engelsk, og mere populært, kaldet et loop), der systematisk gennemgår alle indgange i matricen. Inden løkken kan køres, skal den have nogle betingelser. Blandt andet at udregningerne starter i indgang r(1,1) af matricen, og der oprettes en Temperatur-matrix hvor de tilhørende temperaturer gemmes. 52 % Goer k l a r t i l l o o p e t 53 m = 1 ; % S t a r t loop i raekke m = 1 54 n = 1 ; % S t a r t loop i s o e j l e n = 1 55 T_matrix = zeros ( size ( r ) ) ; % Dimensioner matricen f r a s t a r t 56 %... d e t t e saenker p r o c e s t i d e n, da den i k k e dimensionerer hver gennemregning. Løkken er nu klar til at blive kørt. Løkken går ind i hver indgang af radiusmatricen. I hver indgang bruges den givne radius i fourier-funktionen, hvorefter temperaturen udregnes og indsættes i temperatur-matricen. Løkken sørger for at gennemgå hver indgang i alle søjler og rækker i radius-matricen. Et owdiagram af løkken kan ses på gur A.2 57 for m = 1 : length ( r_coor ) 58 for n = 1 : length ( r_coor ) 59 i f r_coor (m, n ) > r ( length ( r ) ) % Udenfor vores f o u r i e r f u n k t i o n 60 T_matrix (m, n ) = 1 5 ; 61 e l s e i f r_coor (m, n ) > % I k a b l e t 62 T_matrix (m, n ) = f 8 ( r_coor (m, n ) ) ; % Fourier f u n k t i o n e n T( r ) 63 else % E l l e r s i midten. 64 T_matrix (m, n ) = T( 1 ) ; 65 end 66 end 67 end Nu er der til enhver x og y position (der giver en radius, r) udregnet en temperatur, T, som er gemt i hver sin matrix, disse plottes nu i forhold til hinanden. Dette bliver gjort med contourf-kommandoen, og der vælges antal farver i konturen samt dens udseende. 68 % Tegn kontur

92 Ja m = i n = j r(i,j) > r5 T(i,j) = Te Nej Udenfor yderste radius. m = i + 1 n = 1 n = j + 1 r(i,j) > r1 Ja T(i,j) = f8(r(i,j) Nej Imellem benyttes fourier-funktionen. Nej T(i,j) = T(1) Ja n = sidste indgang? I lederen er der uniform temperatur Figur A.2. Flowdiagram for løkken, der benyttes til at udregne temperaturen til konturplottet. 69 hold a l l 70 c o n t o u r f ( x_coor, y_coor, T_matrix, 8 0,... % 80 f a r v e r 71 ' Edgecolor ', ' none ' ) ; Udover selve temperaturen, er det smart at kunne se hvor i konturen at kablet faktisk optræder. Derfor tegnes der en cirkel svarende til hver radius af kablets lag, så udviklingen igennem selve kablet kan ses mere tydeligt. 72 % Optegn k a b l e t s l a g 73 hold a l l 74 phi = 0 : : 2 * pi ; x_circ = r1 *cos ( phi ) ; y_circ = r1 * sin ( phi ) ; 75 plot ( x_circ, y_circ, ' Color ', ' black ', ' LineWidth ', 2 ) phi = 0 : : 2 * pi ; x_circ = r2 *cos ( phi ) ; y_circ = r2 * sin ( phi ) ; 78 plot ( x_circ, y_circ, ' Color ', ' black ', ' LineWidth ', 2 ) phi = 0 : : 2 * pi ; x_circ = r3 *cos ( phi ) ; y_circ = r3 * sin ( phi ) ; 81 plot ( x_circ, y_circ, ' Color ', ' black ', ' LineWidth ', 2 ) phi = 0 : : 2 * pi ; x_circ = r4 *cos ( phi ) ; y_circ = r4 * sin ( phi ) ; 84 plot ( x_circ, y_circ, ' Color ', ' black ', ' LineWidth ', 2 ) Slutteligt navngives kontur-grafens akser, den tildeles en titel, og temperaturskalaen får tildelt en titel med tilhørende enhed. 85 % Saet f i g u r e n s udseende 86 t i t l e ( ' Termisk p r o f i l f o r j o r d k a b e l ' ) ; 87 xlabel ( ' r a d i u s [m] ' ) ; 88 ylabel ( ' r a d i u s [m] ' ) ; 89 colorbar ( ' l o c a t i o n ', ' e a s t o u t s i d e ' ) ; 90 t i t l e ( colorbar, ' Temperatur [C] ' ) ; Et eksempel på det færdige resultat kan ses på gur 2.7 i afsnit 2.2.

93 A.2 Stationær simulering af luftledning I dette afsnit er der gennemgået hvordan modellen, anvendt i afsnit 2.3, er konstrueret. Først fastlægges en række værdier for luftledningen og dens omgivelser. 1 % Vindhastighed 2 V_min=0.6; %[m/ s ] Laveste v i n d h a s t i g h e d 3 %Laengde 4 l =1; % [m] Analysen er per meter k a b e l 5 % D r i f t s t e m p e r a t u r 6 T0=363.15; %[K] (90 C) Maximum d r i f t t e m p e r a t u r 7 T2=288.15; %[K] (15 C) Temperatur a f omkringliggende m i l j o e 8 % Ledningsens dimensioner 9 r1 = ; %[m] Lederens r a d i u s 10 D1=2* r1 ; %[m] Lederens diameter 11 % O v e r f l a d e a r e a l 12 A_s=D1* pi * l ; %[m^2] Lederens o v e r f l a d e a r e a l u. e n d e s t y k k e r Herefter ndes en række koecienter, som har betydning for varmestrømmen til og fra luftledningen. Disse værdier er fundet gennem eksterne kilder eller beregnet ved hjælp af programmet EES: Engineering Equation Solver. 13 % F o r s k e l l i g e K o e f f i c i e n t e r 14 e_rad =0.2; % E m i s s i o n s k o e f f i c i e n t f o r kobber ( Worst case ) 15 a_abs =0.65; % Kobbers a b s o r p t i o n s k o e f f i c i e n t ( Worst case ) 16 sigma =5.6704*10^ 8; % [W/(m^2 * K^4)] Stefan Boltzmanns konstant 17 s =900; % [W/m^2] Solens v a r m e s t r a a l i n g ( Worst case ) 18 g =9.82; % [m/ s ^2] Tyngdeacceleration 19 % EES beregnede v a e r d i e r ved K og 101,3kPA 20 Cp=1008; % [ J /( kg *K) ] S p e c i f i k varmekapacitet f o r l u f t 21 mu_luft = ; % [ kg /(m* s ) ] Dynamisk v i s k o s i t e t f o r l u f t 22 v_luft = ; % [m^2/ s ] K i n e t i s k v i s k o s i t e t f o r l u f t 23 k_ luft = ; % [W/m*K] L u f t s varmeledningsevne 24 p h i _ l u f t = ; % [ 1 / [K] ] V o l u m e e k s p a n s i o n k o e f f i c i e n t 25 % Beregning a f Prandtls t a l 26 Pr=(Cp*mu_luft )/ k_luft ; % Prandtls t a l 27 %Modstand i l e d e r e n beregnes 28 a l f a =0.0039; % [1/K] T e m p e r a t u r k o e f f i c i e n t f o r kobber 29 beta_20 =11.3*10^( 6); % [Ohm/m] Modstand i l e d e r 30 beta_90=beta_20 *(1+( a l f a *(T ) ) ) ; % [Ohm/m] modstand ved 90 C Ligningen for energibevarelse, ligning 2.10, der blev opstillet i den indledende del af afsnit 2.3, bruges som udgangspunkt for beregningerne. Først udregnes varmestrømmen fra luftledningen i form af stråling, ligning 2.11, og den varmestrøm som ledningen modtager fra solens stråling, ligning % Udregning a f v a r m e s t r a a l i n g f r a l e d n i n g e n 32 Q_rad=e_rad* sigma *A_s* ( ( T0^4) (T2 ^ 4 ) ) ; %[W] % Udregning a f v a rmestraalingen a b s o r b e r e t a f k a b l e t f r a s o l e n 35 Q_sol=a_abs* s *D1* l ; %[W] For at udregne varmestrømmen ved konvektion, skal en række værdier udregnes først, for at afgøre om, vi har at gøre med naturlige konvektion, tvungen konvektion eller en kombination af begge. Derfor udregnes Grashofs og Reynolds tallet, og herefter forholdet mellem dem, Gr Re %Grashofs t a l 37 Gr=(g* p h i _ l u f t *(T0 T2)*D1^3)/( v_luft ^ 2 ) ;

94 38 %Reynolds t a l 39 Re=V_min*D1/ v_ luft ; %Forhold mellem Grashofs og Reynolds t a l beregnes 42 Forhold=Gr/(Re ^ 2 ) ; Herefter regnes Nusselts tallet for tvungen og naturlig konvektion, for senere at aæse hvilken værdi forholdet tager og hvilken fremgangsmetode for beregning af Nusselts tal, der skal benyttes. Til sidst beregnes konvektionskoecienten h ud fra Nusselts tallet. 43 %N u s s e l t s t a l : Tvungen konvektion 44 Nu_tvungen =0.3+((0.62*Re ^ ( 1 / 2 ) ) * ( Pr ^ ( 1 / 3 ) ) ) / ( ( 1 + ( ( 0. 4 / Pr ) ^ ( 2 / 3 ) ) ) ^ ( 1 / 4 ) ) 45 *(1+(Re / ) ^ ( 5 / 8 ) ) ^ ( 4 / 5 ) ; %N u s s e l t s t a l : N a t u r l i g konvektion 48 Nu_naturlig =(0.6+(0.387*(Gr*Pr )^(1/6))/(1+(0.559/ Pr ) ^ ( 9 / 1 6 ) ) ^ ( 8 / 2 7 ) ) ^ 2 ; i f Forhold < Nu = Nu_tvungen ; 52 e l s e i f Forhold < Nu = ( ( Nu_tvungen ^3.5)+( Nu_naturlig ^ 3. 5 ) ) ^ ( 1 / 3. 5 ) ; %Nu: Kombination 54 else 55 Nu = Nu_naturlig ; 56 end %Beregning a f h 59 h=(nu* k_ luft )/D1 ; %[W/(m^2 * K) ] Da konvektionskoecienten nu er beregnet, kan varmestrømmen ved konvektion beregnes. 60 Q_konv=h*A_s*(T0 T2 ) ; %[W] Den sidste beregning, fremkommer ved at isolere strømstyrken i luftledningen i energibevarelsesligningen, ligning I=sqrt ( ( Q_konv + Q_rad Q_sol )/ beta_90 ) % [A] Den maksimalt tilladte kontinuere strømstyrke i luftledningen er I = 3023 A. Ved denne beregning tages der udgangspunkt i en vindhastighed på 0.6 m s og lederens sol absorptionskoecient sættes til den højeste værdi for kobber og emissivitetskoecienten sættes til den laveste værdi for kobber. Dette gøres for at give luftlederen de dårligste betingelser for at afgive varme, og derved beregne et Worst case scenarie til at sammenligne luftledningeren med jordkablet.

95 A.3 Numerisk simulering af jordkabel I følgende afsnit vil MATLAB-koden tilhørende den numeriske løsning blive forklaret. Selve teorien tilknyttet til koden kan ses i afsnit 6.1. Først og fremmest skal der indledningsvis deneres en række variable. Strømstyrken, I, tidsintervallet, t, samt lagtykkelsen r, skal først og fremmest deneres. Derefter oprettes automatisk lag igennem systemet med tykkelsen r, og der oprettes variable til lagenes materialekonstanter. 1 I = 2363; % [A] Stroem i k a b l e t 2 3 L = 1 ; % [m] Analysen g a e l d e r per meter k a b e l 4 5 % T i d s i n t e r v a l ( dt ) og l a g t y k k e l s e ( dr ). 6 dt = 1 ; % [ s ] 7 dr = ; % [m] 8 9 % Radius 10 r = ( : dr : 1. 3 ) ' ; % [m] % Definer s t o e r r e l s e paa de v a r i a b l e. 13 [ c, rho, Ac, As,m, k,t, dt ] = d e a l ( zeros ( size ( r ) ) ) ; Herefter skal materialekonstanterne for hvert lag bestemmes. Dette gøres ved hjælp af en for-løkke, der på baggrund af lagets radius, r, fastsætter materialekonstanter svarende til enten lederen, isolering eller jord. 14 % Definer k o n s t a n t e r f o r h v e r t l a g. 15 for i = 1 : length ( r ) 16 i f r ( i ) <= % kobber 17 c ( i ) = ; % [ J/kgK ] 18 rho ( i ) = 8933; % [ kg /m^3] 19 Ac( i ) = pi * r ( i ) ^ 2 ; % [m^2] 20 As ( i ) = 2* pi * r ( i ) ; % [m^2] 21 m( i ) = Ac( i )*L* rho ( i ) ; % [m] 22 k ( i ) = ; % [W/m*K] 23 T( i ) = 1 5 ; % [K] 24 e l s e i f r ( i ) <= % XLPE 25 c ( i ) = 2976; % [ J/kgK ] 26 rho ( i ) = ; % [ kg /m^3] 27 Ac( i ) = pi *( r ( i )^2 r ( i 1)^2); % [m^2] 28 As ( i ) = 2* pi * r ( i ) ; % [m^2] 29 m( i ) = Ac( i )*L* rho ( i ) ; % [m] 30 k ( i ) = ; % [W/m*K] 31 T( i ) = 1 5 ; % [K] 32 else % j o r d 33 c ( i ) = ; % [ J/kgK ] 34 rho ( i ) = 1490; % [ kg /m^3] 35 Ac( i ) = pi *( r ( i )^2 r ( i 1)^2); % [m^2] 36 As ( i ) = 2* pi * r ( i ) ; % [m^2] 37 m( i ) = Ac( i )*L* rho ( i ) ; % [m] 38 k ( i ) = 1 ; % [W/m*K] 39 T( i ) = 1 5 ; % [K] 40 end 41 end Alle variable er deneret, og nu kan en løkke køres til at udregne temperaturene. Inden dette sker deneres 2 variable, som bruges inde i løkken. 42 % Foer l o e k k e n k o e r e s d e f i n e r e s s t a r t t i d og s t a r t t e m p e r a t u r. 43 t = 0 ; 44 temp = 1 5 ;

96 Løkken skal først have betingelser for hvor længe den skal blive ved med at udregne. Som udgangspunkt sættes det til at løkken køres så længe temperaturen i midten af lederen er under 90 grader celsius. Først udregnes det inderste lag, som har en anden energibalance end de andre lag, da der her er opvarmning. Den elektriske modstand udregnes på baggrund af temperaturen, og herefter udregnes eekten, der afsættes i midten af kablet ved brug af strømmen. Derudover udregnes varmeoverførslen til næste lag, på baggrund af deres temperaturdierens. Nu er første lag udregnet, og varmeoverførslen mellem alle de øvrige lag udregnes nu ved hjælp af en løkke, der udregner varmeoverførslen lag efter lag. Der er dog den betingelse at det yderste lag i analysen kan afgive al energi, og at der derfor ingen opvarmning er her. Slutteligt gemmes temperaturen i midten af kablet en variabel, og en tilsvarende tid. Disse 2 variable har ingen indydelse på selve varmeudregningerne, men benyttes til senere at kunne lave en graf der viser temperaturen i midten af kablet med hensyn til tiden. 45 % Temperaturene kan nu udregnes. 46 while T( 1 ) <= 90 % Koerer i n d t i l midten a f k a b l e t <= 90 grader c e l s i u s % Foerste l a g er s p e c i e l da der er opvarmning. 49 beta = 11.3*10^( 6)*(1+(0.0039*(T( 1 ) 2 0 ) ) ) ; % [Ohm] % Udregn temperaturaendringen, og + nuvaerende temperatur. 52 dt(1)= dt *( I ^2*beta+2*pi *L*k ( 2 ) * (T(2) T( 1 ) ) / log ( r ( 2 ) / r ( 1 ) ) ) / (m( 1 )* c ( 1 ) ) ; 53 T( 1 ) = T( 1 ) + dt ( 1 ) ; % E l l e r s g a e l d e r f o e l g e n d e 56 for i = 2 : length ( r ) 57 i f r ( i ) > && r ( i ) <= % Tjek om det er i s o l e r i n g s l a g 58 i f T( i ) <= c ( i ) = 1915; % [ J/ kg *K] 60 e l s e i f T( i ) <= c ( i ) = 1563*exp ( *T( i ) ) ; % [ J/ kg *K] 62 e l s e i f T( i ) <= c ( i ) = 1683*exp( *T( i ) ) ; % [ J/ kg *K] 64 else 65 c ( i ) = 4049; % [ J/ kg *K] 66 end 67 end i f i == length ( r ) % S i d s t e l a g 70 dt( length ( r ) ) = 0 ; % Den kommer a f med a l varmen. 71 T( length ( r ) ) = T( length ( r ) ) ; % Konstant temperatur. 72 else 73 dt( i )=dt *2* pi *L *... % Samme a r e a l og laengde, t i d = ( k ( i ) * (T( i 1) T( i ) ) / log ( r ( i )/ r ( i 1 ) )... % Q_in 75 +k ( i +1)*(T( i +1) T( i ) ) / log ( r ( i +1)/ r ( i ) ) )... % Q_out 76 /(m( i )* c ( i ) ) ; % Delt med varmekapacitet T( i )=T( i ) + dt( i ) ; 79 end 80 end % Gem data i v a r i a b l e 83 temp = [ temp ;T ( 1 ) ] ; 84 t = t + dt ; disp (T( 1 ) ) ; % S k r i v temperaturen i command window. 87 end

97 Når løkken er stoppet har den altså gemt temperatur i lederen i forhold til tiden, og temperaturene i hvert lag lige idet analysen er stoppet er ligeledes gemt i variable. Det eneste, der er tilbage er lave grafer over resultaterne. Første graf viser temperaturen i lederen i forhold til tiden. For at undgå at matricer skal re-dimensioneres hver gang den forrige løkke køres, deneres tidsvariablen først nu, på baggrund af sluttiden og tidsintervallet. 88 time = 0 : dt : t ; % Definer t i d e n b a g e f t e r 89 %... f o r at undgaa at re dimensionere matricen hver gang i l o o p e t % Definer f i g u r e n. 92 FigHandle = figure ( ' P o s i t i o n ', [ 1 0 0, 100, 950, ] ) ; subplot ( 2, 2, 1 ) % Foerste p l o t. 95 plot ( time, temp ) ; 96 hold a l l ; 97 t i t l e ( ' Temperatur over t i d i kernen ' ) ; 98 xlabel ( ' Tid [ s ] ' ) 99 ylabel ( ' Temperatur [C] ' ) ; 100 ylim ( [ ] ) ; 101 set ( plot ( time, temp ), ' Color ', ' blue ', ' LineWidth ', 2 ) ; 102 grid on ; 103 hold a l l Den anden graf, der viser temperaturen som funktion af radius, idet analysen er stoppet gøres på følgende måde. Bemærk at der er indsat 0-værdier til radius og temperaturen. Dette er gjort da det første lag har en radius på 24,45mm, hvilket betyder at kurven først tegnes herfra. Ved indsættelse af disse nulpunkter ved r = 0 fås en lige linie, der skal visualisere antagelsen om at der er uniform temperatur i hele lederen. 104 subplot ( 2, 2, 2 ) % Tegn andet p l o t. 105 % I n d s a e t 0 v a e r d i e r t i l p l o t. 106 r = [ 0 ; r ] ; 107 T = [T( 1 ) ;T ] ; plot ( r,t) ; 110 hold a l l ; 111 t i t l e ( ' T e m p e r a t u r p r o f i l over r a d i u s ' ) ; 112 xlabel ( ' Radius [m] ' ) 113 ylabel ( ' Temperatur [C] ' ) ; 114 set ( plot ( r,t), ' Color ', ' blue ', ' LineWidth ', 2 ) 115 grid on ; Det er også muligt at lave konturplots over temperaturen i forhold til radius, som gøres på præcis samme måde som tidligere forklaret i appendiks A.1.1. Et eksempel på de grafer, der produceres ud fra MATLAB-koden kan ses på gur 6.4 i afsnit 6.1.

98

99 Forsøgsjournal B Formål Formålet med forsøget er at bestemme forskellige jordtypers termiske varmeledningsevne. Beskrivelse Til formålet skal der bruges en testbænk, som bygges af gruppen. Dertil mindst én jordprøve, som graves op, hvis jordtype vil blive bestemt ved hjælp af en jordteksturklassiceringsmetode. Forsøgsopstilling og materialer ˆ 8 stk. termoelementer (type-t) ˆ 1 stk. plexiglas (125x60cm) ˆ 1 stk. Holdebænk af træ ˆ 1 stk. (100W) varmeelement ˆ 1 stk. strømforsyning (260 V) ˆ 2 stk. kølehoveder ˆ 8 stk. køleslanger ˆ 2 stk. Runde metalplader (D=40cm) ˆ 1 stk. Glasuld (4x0,45m) ˆ 10 m. malertape ˆ 1 stk. multimeter ˆ 50 L af den ønskede jordtype ˆ 2 stk. NI 9211 [National Instruments, 2012a] eller 1 stk. NI 9213 [National Instruments, 2012b] ˆ Computer med LabVIEW (software) ˆ 240 V (stikkontakt) ˆ Kølevandssystem B.1 Udførelse Udførelse af forsøget kan tage lang tid, da der skal nå at optræde en stationær tilstand, før selve målingen kan tages. På gur B.1 ses forsøgsopstillingen som den ser ud under forsøg. Selve testbænken er til højre, med køleslanger og 8 termoelementer, som kan ses på

100 Figur B.1. Forsøgsopstillingen under forsøg. venstre side af testbænken. Disse termoelementer er koblet til computeren i programmet LabVIEW, ved hjælp af 2 NI 9211 bokse. Strømforsyningen består af en regulator, som kan levere en spænding mellem 0 og 260 V, og kan a æses mere præcist på multimeteret til højre i billedet. Selve testbænken er fyldt med den givne jordtype, og termoelementerne ligger med en afstand ( x) på 5 cm. I midten ligger varmelegemet, som bliver forsynet af en strømforsyning. Varmelegemet er omgivet af to metalplader, hvis egenskab er at fordele varmen jævnt. Under forsøget skal varmelegemet levere konstant e ekt. Samtidig skal kølehovedet køle med samme temperatur under hele forsøget. Under forsøg skal varmelegemet levere en e ekt på cirka 20 W, hvis konduktiviteten for prøven er omkring 0,5 W m K, da temperaturen i forsøget dermed ikke bliver problematisk høj. Jorden i testbænken er bestemt ud fra en jordtypetest, som bliver beskrevet senere i afsnit B.2.2. Jordens fugtighed har betydning for målingerne, så derfor skal fugtigheden af jorden også kendes. Ved forsøgene i denne rapport er jorden blevet tørret ved stuetemperatur i over en uge, og den antages derfor til at være helt tør. I afsnit B.2 beskrives det nærmere, hvilken ind ydelse fugtigheden af jorden har på resultaterne. )

101 Testbænken Testbænkens skitse er vist på gur B.2. Det ses at termoelementerne sidder med afstanden dx. Varmelegemet får tilført en eekt, P, som antages at blive ligeligt fordelt igennem de to jordprøver. Kølende fluid Isolering Prøve dx dx dx dt dt dt Varmekilde Prøve dx dx dx dt dt dt Figur B.2. Skitse af testbænk. Den anden ende af jordprøverne skal have konstant temperatur, hvilket gøres ved konstant køling. Varmestrømmen fra varmekilden vil da gå mod det nedkølede område, og der vil til sidst være en stationær tilstand, hvor varmekildens varme eekt, er den samme som den nedkølede eekt fra den kølende uid. Når varmeeekten er den samme som den nedkølede eekt, vil der være en stationær tilstand, og temperaturene kan bestemmes ved hjælp af termoelementerne. Herefter kan jordens varmledningsevne, bestemmes ud fra teorien herunder. B.2 Teori For at bestemme den termiske varmeledningsevne, skal Fouriers lov bruges, som er vist i formel B.1: Q = ka dt dx (B.1) Hvor Q er varmestrømmen, k er den termiske varmeledningsevne, A er tværsnitsarealet af jordprøven og dt dt T dx er temperatur gradienten. dx kan omskrives til x, da varmestrømmen igennem jorden er stationær og derfor er temperaturgradienten lineær, dette gør at formel B.2 gælder. Q = ka T x (B.2)

102 Da det ønskes at bestemme den termiske konduktivitet, skal k isoleres, således at formel B.3 kan anvendes til at udregne den termiske konduktivitet: k = Q x A T (B.3) Med formel B.3 er det muligt at beregne den termiske konduktivitet, da de yderligere variable, kan bestemmes igennem forsøget. Q kan bestemmes ved at måle eekten som varmekilden leverer, og dele den med to, da det antages at varmen fordeler sig ligeligt på begge sider af kilden. Arealet kan beregnes ved at måle de indre dimensioner på testbænken. x bestemmes ved at måle afstanden mellem termoelementerne og sidst er der T, som måles af termoelementerne. B.2.1 LabVIEW For at kunne måle temperaturforskellen ( T) bruges LabVIEW og to NI 9211 opsamlings moduler, som er beregnet til måling af temperaturer. Til forsøget skal LabVIEW kunne opsamle temperature, og kunne omsætte dem til en termisk konduktivitet. På gur 4.3, som er vist i afsnit 4.2, ses front panelet, som bruges under selve dataopsamlingen. Block diagrammet, som er grundstenen for front panelet er bygget op, omkring grundlæggende LabVIEW programmering og vil ikke blive forklaret yderligere i rapporten, men kan ndes på den vedlagte CD 1. Front panelet indeholder temperaturen for det enkelte termoelement, og ud fra formel B.3 kan den termiske varmeledningevne beregnes. Først mellem to termoelementer, derefter for hele bunden eller toppen og til sidst for hele testbænken. For at dette skal beregnes, skal afstanden mellem, hver enkelt termoelement ( x) kendes, tværsnitsarealet (A) af jordprøven og eekten ( Q) som leveres af varmekilden. B.2.2 Bestemmelse af jordtype Der vil i dette afsnit kort blive redegjort for hvad jord er for en størrelse, hvordan det kan klassiceres, samt hvilke faktorer, der har indydelse på jords varmeledningsevne. Ordet jord bruges i dagligdagen som en fællesbetegnelse for alt det, der ligger under vores fødder. Jord består overordnet af jordpartikler, vand og luft. Jordpartikler er klassiceret efter deres størrelse i diameteren og inddeles således. Sand er partikler med størrelsen 0,063-2mm, silt er 0,002-0,063mm og partikler mindre end 0,002mm kaldes ler. Større partikler end sand betegnes som grus eller sten. [Univesity-Florida, 2003]. Partikelstørrelsen gør, at 1cm 3 sand har et gennemsnitsligt overadeareal på 45cm 2, hvor imod 1cm 3 ler har et gennemsnitsligt overadeareal på cm 2. Den væsentlige større overadekontakt giver bedre varmeoverførsel ved konduktivitet. Dette betyder også, at den specikke partikelstørrelse har betydning for den termiske konduktivitet. I jorden ndes også forskellige organiske materialer. Disse materialer har en negativ indydelse på den termiske konduktivitet, da træ eksempelvis har en termisk konduktivitet på cirka 0,125 W m K. Vand i jorden har tilmed betydning for den termiske konduktivitet. Vandet, udfylder tomrummet mellem jordpartiklerne, som alternativt vil være luft. Eftersom vand har en termisk varmeledningsevne på cirka 5,56 W W K m og luft på cirka 0,22, vil K m vandholdigt jord være en bedre varmeleder end tør jord. Jordpartikler er også opbygget af 1 labview/thermocouples.vi

103 forskellige mineraler. Disse mineraler har også forskellige termiske konduktiviter, og har derved indydelse på jordens samlede konduktivitet. [Abdul Hamid Elbakly - Alexandria Electricity Distribution Company, 2012] I praksis er jord oftest en blanding af både sand, silt og ler. Blandingsforholdet, og derved jordtypen, kan bestemmes ved at lave et jordteksturklassiceringsforsøg. Dette forsøg er en simpel metode til at bestemme, hvilken type jord der tale om. Der skal bruges et glas (et måleglas er ideelt) med rent vand, og den ønskede jordtype. [MITEHippoCampus, 2008] ˆ Fyld glasset cirka 1 3 op med den ønskede jordprøve. ˆ Fyld resten af glasset med vand og kom låg på. ˆ Ryst glasset grundigt og lad det så stå natten over. Når alt jorden er faldet til bunds, lægger det sig i lag. Sandet vil ligge nederst, så kommer silten, og leret vil lægge sig øverst. De tre materialer vil altid lægge sig i den rækkefølge, og vil have forskellige størrelse, afhængig af jordtypen. Ved at måle højden af de forskellige lag i forhold til hele jordprøvens højde, fås hvor stor en procentdel af prøven, der er henholdsvis sand, silt og ler. Når forholdet er fundet, er det muligt at bestemme jordtypen, ved hjælp af en trekantsoversigt, som vist på gur B.3. Ved at nde andelen af hvert enkel materiale i jordprøven, kan der trækkes streger fra %-tallet i gur B.3 og til den modsatte side. På den måde mødes de tre streger i ét punkt, og jordtypen kan aæses. Figur B.3. Jordteksturtrekant til bestemmelse af jordtype. [NRCS, 2012]

104 B.3 Resultater og beregninger Jordprøven er blevet behandlet efter ovenstående beskrivelse af teksturklassiciferingsmetoden, og følgende resultater dokumenteres. Blandingsprøven måler 39mL i alt, hvoraf de 38mL er sand og 1mL er ler. Det svarer til 97% sand og 3% ler. Det har ikke været muligt at kunne identi cere noget silt i jordprøven. Eftersom silt- og ler-procenten ligger under 10, har det ikke nogen ind ydelse på teksturklassi ceringen, og blandingsjorden vil hermed blive klassi ceret som sand. Glasset med jordprøven kan ses på gur B.4. Sand Silt Ler Volumen (ml) Procent (%) Ler Sand Figur B.4. Klassi cering af jordprøven Måleusikkerhed De benyttede T-type termoelementer har en nøjagtighed på 0,5 C til 1 C indenfor det temperaturområde hvori dette forsøg udføres. [Microlink, 2012] Det anvendte multimeter er af typen Fluke 179 (Digital multimeter), og har en nøjagtighed på 0,03% [Fluke.com, 2012]. Dette vurderes til at være en høj præcision, og at måleudstyret dermed ikke medfører til store unøjagtigheder i forsøgets resultater.