Volatilitets Dynamik og Risikostyring
|
|
- Joachim Madsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Volatilitets Dynamik og Risikostyring David Skovmand Jan Kloppenborg (DTU), Peter Nystrup (DTU), Sinan Gabel (RiskButler), Jonas Hal og Johan Gade, Saxo Bank Copenhagen Fintech Innovation and Research (CFIR) 1 / 17
2 Introduktion CFIR Mini-Projekt - Samarbejde mellem to akademiske institutioner (DTU + KU) og to private virksomheder (RiskButler + Saxo) Funding : Virksomheder levererer tid/data. Akademikernes tid nansieres af CFIR Mål : at udvikle ideer der har både akademisk og kommerciel relevans 2 / 18
3 Ideen Standardmodellen for nansiel usikkerhed( Random Walk(Diskret tid), Black-Scholes(kontinuert tid)) er for simpel. Den har konstant 'volatilitet', og forudsiger for få ekstreme hændelser. Meeen, simplicitet er også en fordel : estimation er nem, modellen kan nemt 'skaleres op', mange tusinder af aktiver/risikofaktorer kan nemt modelleres og beregninger kan laves i 'realtid'. Bedre modeller ndes. Estimation, prisfastsættelse risikostyring og porteføljevalg bliver ofte meget sværere og kræver skræddersyede og problemspecikke løsninger. Vores ide har været at udvikle et model 'framework' som giver: bedre beskrivelse af virkeligheden, ikke er uoverkommelig beregningsmæssigt 3 / 18
4 Agenda En kort beskrivelse af volatilitet Denition, data mm. Oversigt over modeller Modeller i diskret tid, GARCH mm. Modeller i kontinuert tid, Stokastisk Volatilitet mm. Modeller i ere dimensioner Risikostyring og backtesting Fra model til nøgletal Eksempel på beregning 4 / 18
5 At måle volatilitet Volatilitet forstås normalt som synonym for variabilitet det har dog en en præcis denition Standard denition: Et annualiseret mål for log-afkastests standardarvigelse. Jo mere data (højere frekvens) jo bedre og mere nøjagtigt bliver dit mål - i teorien. Daglige log-afkast r 1,..., r T ˆσ = T T (r i ˆr) 2 Implicit volatilitet. Har du prisen C 0 på en call option C T = max(s T K, 0): i=1 C 0 = BS(S 0, K, T, P(0, T ), σ) Løs for σ i ovenstående formel (skal ndes numerisk). Denne kan tolkes som markedets bedste gæt for hvad volatiliteten skal være henover perioden [0, T ] Hvad σ er afhænger dog både af hvad strike prisen K er samt tid til udløb T - ikke helt konsistent med Black-Scholes modellen men det er heller ikke meningen. VIX er et index som kondenserer information fra alle handledede optioner med S& P 500 som underliggende og med omkring 30 dage til udløb. Dvs mange strikes. Det er et mere nøjagtigt (og modeluafhængigt) gæt på hvad markedets bud på standardafvigelsen. Toneangivende mål for det overordnede risiko på (det amerikanske) marked 5 / 18
6 At måle volatilitet Volatilitet forstås normalt som synonym for variabilitet det har dog en en præcis denition Standard denition: Et annualiseret mål for log-afkastests standardarvigelse. Jo mere data (højere frekvens) jo bedre og mere nøjagtigt bliver dit mål - i teorien. Daglige log-afkast r 1,..., r T ˆσ = T T (r i ˆr) 2 Implicit volatilitet. Har du prisen C 0 på en call option C T = max(s T K, 0): i=1 C 0 = BS(S 0, K, T, P(0, T ), σ) Løs for σ i ovenstående formel (skal ndes numerisk). Denne kan tolkes som markedets bedste gæt for hvad volatiliteten skal være henover perioden [0, T ] Hvad σ er afhænger dog både af hvad strike prisen K er samt tid til udløb T - ikke helt konsistent med Black-Scholes modellen men det er heller ikke meningen. VIX er et index som kondenserer information fra alle handledede optioner med S& P 500 som underliggende og med omkring 30 dage til udløb. Dvs mange strikes. Det er et mere nøjagtigt (og modeluafhængigt) gæt på hvad markedets bud på standardafvigelsen. Toneangivende mål for det overordnede risiko på (det amerikanske) marked 5 / 18
7 At måle volatilitet Volatilitet forstås normalt som synonym for variabilitet det har dog en en præcis denition Standard denition: Et annualiseret mål for log-afkastests standardarvigelse. Jo mere data (højere frekvens) jo bedre og mere nøjagtigt bliver dit mål - i teorien. Daglige log-afkast r 1,..., r T ˆσ = T T (r i ˆr) 2 Implicit volatilitet. Har du prisen C 0 på en call option C T = max(s T K, 0): i=1 C 0 = BS(S 0, K, T, P(0, T ), σ) Løs for σ i ovenstående formel (skal ndes numerisk). Denne kan tolkes som markedets bedste gæt for hvad volatiliteten skal være henover perioden [0, T ] Hvad σ er afhænger dog både af hvad strike prisen K er samt tid til udløb T - ikke helt konsistent med Black-Scholes modellen men det er heller ikke meningen. VIX er et index som kondenserer information fra alle handledede optioner med S& P 500 som underliggende og med omkring 30 dage til udløb. Dvs mange strikes. Det er et mere nøjagtigt (og modeluafhængigt) gæt på hvad markedets bud på standardafvigelsen. Toneangivende mål for det overordnede risiko på (det amerikanske) marked 5 / 18
8 'Stylized Facts' om Volatilitet 1 Ændrer sig over tid(stiger i recessioner, falder i opsving(sådan da) ) 2 Volatilitet er persistent. Store bevægelser, følger store bevægelser i det underliggende aktiv. Medfører vol. har stor autokorrelation. 3 Volatilitet og afkast har ofte negativ korrelation 4 Store opadgående bevægelser i vol er ofte efterfulgt af lignende hurtige nedadgående bevægelser Du kan nemt udvide standardmodellen til at kunne fange (1)+(2) (GARCH(1,1)), (3) lidt sværere, (4) ret svært. Lad os se på data 6 / 18
9 'Stylized Facts' om Volatilitet 1 Ændrer sig over tid(stiger i recessioner, falder i opsving(sådan da) ) 2 Volatilitet er persistent. Store bevægelser, følger store bevægelser i det underliggende aktiv. Medfører vol. har stor autokorrelation. 3 Volatilitet og afkast har ofte negativ korrelation 4 Store opadgående bevægelser i vol er ofte efterfulgt af lignende hurtige nedadgående bevægelser Du kan nemt udvide standardmodellen til at kunne fange (1)+(2) (GARCH(1,1)), (3) lidt sværere, (4) ret svært. Lad os se på data 6 / 18
10 Empiri Daglig afkast fra for en værdi-vægtet portefølje af alle (oentligt handlede) amerikanske aktier Store bevægelser følger hinanden Ovenstående scenarie kunne umuligt være genereret af random walk/black scholes med konstant vol. 7 / 18
11 Empiri, VIX Vol har tydeligvis autokorrelation, (ligner lidt AR(1) type) med store outliers, som ligner spring men er det ikke - 'spikes' som er et lidt anderledes. Hurtige opadgående bevægelser efterfulgt af nedadgående. 8 / 18
12 Modellering Random walk/diskret tids Black-Scholes r t+1 = µ + ɛ t+1, ɛ t IIDN(0, σ 2 ) (1) Vi kan erstatte den konstante σ med en tidsvarierende process. Den mest populære metode (G)ARCH, udviklet af Robert Engle og Tim Bollerslev. Den fungerer i sin simpleste form på følgende måde Denne type konstruktion har mange fordele r t+1 =µ + η t+1, η t+1 N(0, σ 2 t ) (2) σ 2 t =ω + ασ 2 t 1 + βη 2 t (3) Den betingede fordeling af r t fra t til t + 1 er normalfordelt - nemt at udregne VaR og Expected shortfall Betinget fordeling fra t til t + s er IKKE normalfordelt for s > 1. Variation i vol er genereret alene udfra tidligere afkast da η t = r t µ Erstat uden problemer varians ligningen og normalfordelingsantagelsen med noget andet - Extreme value fordeling, EGARCH, tidsvarierende µ osv. Estimation er (relativt) ligetil. 9 / 18
13 Modellering Random walk/diskret tids Black-Scholes r t+1 = µ + ɛ t+1, ɛ t IIDN(0, σ 2 ) (1) Vi kan erstatte den konstante σ med en tidsvarierende process. Den mest populære metode (G)ARCH, udviklet af Robert Engle og Tim Bollerslev. Den fungerer i sin simpleste form på følgende måde Denne type konstruktion har mange fordele r t+1 =µ + η t+1, η t+1 N(0, σ 2 t ) (2) σ 2 t =ω + ασ 2 t 1 + βη 2 t (3) Den betingede fordeling af r t fra t til t + 1 er normalfordelt - nemt at udregne VaR og Expected shortfall Betinget fordeling fra t til t + s er IKKE normalfordelt for s > 1. Variation i vol er genereret alene udfra tidligere afkast da η t = r t µ Erstat uden problemer varians ligningen og normalfordelingsantagelsen med noget andet - Extreme value fordeling, EGARCH, tidsvarierende µ osv. Estimation er (relativt) ligetil. 9 / 18
14 Modellering Random walk/diskret tids Black-Scholes r t+1 = µ + ɛ t+1, ɛ t IIDN(0, σ 2 ) (1) Vi kan erstatte den konstante σ med en tidsvarierende process. Den mest populære metode (G)ARCH, udviklet af Robert Engle og Tim Bollerslev. Den fungerer i sin simpleste form på følgende måde Denne type konstruktion har mange fordele r t+1 =µ + η t+1, η t+1 N(0, σ 2 t ) (2) σ 2 t =ω + ασ 2 t 1 + βη 2 t (3) Den betingede fordeling af r t fra t til t + 1 er normalfordelt - nemt at udregne VaR og Expected shortfall Betinget fordeling fra t til t + s er IKKE normalfordelt for s > 1. Variation i vol er genereret alene udfra tidligere afkast da η t = r t µ Erstat uden problemer varians ligningen og normalfordelingsantagelsen med noget andet - Extreme value fordeling, EGARCH, tidsvarierende µ osv. Estimation er (relativt) ligetil. 9 / 18
15 SDE Modeller -Kontinuert tid, Stokastisk Volatilitet Ulemper ved diskret tid Diskret tid. Modellen er naturligt bygget på et ækvidistant tidsgitter - typisk handelsdage- hvad med weekender? og hvis man ønsker at set på afkast fordelingen ere dage frem i tid? Intradag data er især et problem Der ndes løsninger (quick-xes) men de er ikke elegante Hvis man istedet formulerer sin model i kontinuert tid er det noget nemmere. Kontinuert tidsmodeller er generelt beskrevet ved en ved følgende SDE(Stochastic Dierential Equation) T T ds t = µ ts tdt + S tσ tdw t, S T = S 0 + µ ts tdt + σ tdw t (4) 0 0 Dvs en modellens fordeling og dynamik er beskrevet henover et vilkårligt tidsinterval [0, T ]. Sættes µ, σ konstant fås Black-Scholes modellen (Geometrisk Brownsk Bevægels). ds t = µs tdt + S tσdw t, S T = S 0 exp((µ 1 2 σ2 )T + σw T ) 10 / 18
16 SDE Modeller -Kontinuert tid, Stokastisk Volatilitet Ulemper ved diskret tid Diskret tid. Modellen er naturligt bygget på et ækvidistant tidsgitter - typisk handelsdage- hvad med weekender? og hvis man ønsker at set på afkast fordelingen ere dage frem i tid? Intradag data er især et problem Der ndes løsninger (quick-xes) men de er ikke elegante Hvis man istedet formulerer sin model i kontinuert tid er det noget nemmere. Kontinuert tidsmodeller er generelt beskrevet ved en ved følgende SDE(Stochastic Dierential Equation) T T ds t = µ ts tdt + S tσ tdw t, S T = S 0 + µ ts tdt + σ tdw t (4) 0 0 Dvs en modellens fordeling og dynamik er beskrevet henover et vilkårligt tidsinterval [0, T ]. Sættes µ, σ konstant fås Black-Scholes modellen (Geometrisk Brownsk Bevægels). ds t = µs tdt + S tσdw t, S T = S 0 exp((µ 1 2 σ2 )T + σw T ) 10 / 18
17 Stokastisk Volatilitet Standard modellen for Stokastisk Vol. i kontinuert tid er Heston modellen. Her er modellen for aktiekursen ds t = µs t dt + S t σ t dw t (5) dσt 2 = κ(θ σt 2 )dt + η σt 2 dw t (6) Denne model lider dog ofte at variationen i σt 2 'nemt' ændres til ikke bliver stor nok. Det kan dσ 2 t = κσ 2 t (θ σ 2 t )dt + ησ 2α t dw t (7) Her har vi nu kvadratisk drift og power scaling i diusionsleddet. Det kan generere de hurtige spring lignende bevægelser vi så i data. Primær udfordring: Estimation 11 / 18
18 Stokastisk Volatilitet Standard modellen for Stokastisk Vol. i kontinuert tid er Heston modellen. Her er modellen for aktiekursen ds t = µs t dt + S t σ t dw t (5) dσt 2 = κ(θ σt 2 )dt + η σt 2 dw t (6) Denne model lider dog ofte at variationen i σt 2 'nemt' ændres til ikke bliver stor nok. Det kan dσ 2 t = κσ 2 t (θ σ 2 t )dt + ησ 2α t dw t (7) Her har vi nu kvadratisk drift og power scaling i diusionsleddet. Det kan generere de hurtige spring lignende bevægelser vi så i data. Primær udfordring: Estimation 11 / 18
19 Stokastisk Volatilitet Standard modellen for Stokastisk Vol. i kontinuert tid er Heston modellen. Her er modellen for aktiekursen ds t = µs t dt + S t σ t dw t (5) dσt 2 = κ(θ σt 2 )dt + η σt 2 dw t (6) Denne model lider dog ofte at variationen i σt 2 'nemt' ændres til ikke bliver stor nok. Det kan dσ 2 t = κσ 2 t (θ σ 2 t )dt + ησ 2α t dw t (7) Her har vi nu kvadratisk drift og power scaling i diusionsleddet. Det kan generere de hurtige spring lignende bevægelser vi så i data. Primær udfordring: Estimation 11 / 18
20 Mange Aktiver Modellerne er indtil videre beskrevet kun i een dimension. Hvis deres afhængighedstruktur skal beskrives er der mange muligheder at skabe afhængihedstrukturen strukturelt som Multivariate GARCH (Tidsvarierende Kovariansmatricer), Wishart Stokastisk Volatilets modeller, osv. Disse strukturelle tilgange fungerer nt for 2-3 aktiver men de skalerer dårligt op til de tusindvis af mulige aktiver - Hvis hver afhængighed mellem to aktiver beskrives af een parameter fås (n 2 n)/2 parametre for n aktiver. n = parametre! Hvis de kan estimeres uafhængigt af hinanden er det ikke det store problem men hvis ikke bliver du nød til at reducere dimensionen af afhængighedsstrukturen. Men selv hvis du kan det er det en meget stor fordel at kunne dekoble afhængighedstrukturen fra de marginale modeller således du kan bryde estimations problemet op i en serie uafhængige estimationsproblemer. 12 / 18
21 Pragmatisk tilgang, til multidimensionsproblemet Index modeller, hvert aktiv beskrives ud fra dets afhængighed med et mindre antal k systematisk faktorer (CAPM, APT) r i,t = α i + β i F 1,t + + β k F k,t + ɛ i,t Denne type model er ofte for reduceret og den lineære afhængighed bliver for upræcis for det enkelt aktiv. Desuden er specikationen af de systematiske faktorerer (S& P 500, VIX etc) heller ikke ligetil. Alternativt kan man koble sine enkelte modeller sammen med en copula-funktion Generelt er det bedst med en struktur som tillader en to-trins estimation 1) Estimer een model per aktiv/risikofaktor 2) Estimer afhængighedsstrukturen 1)+2) skal helst foretages uafhængigt af hinanden. Vi har i dette projekt beskæftiget os med 1 trin (mini-projekt) 13 / 18
22 Fra model til portefølje Antag du har estimeret en model med n aktiver. Dette giver dig prisdynamikken for en stokastisk vektor S t = [S t,1,..., S t,n], som hvis du kender din portefølje w = [w 1,..., w n]. Prisprocessen er derfor givet som en lineær funktion af dit model output som S p,t = w S t Dette er dog en forsimplet tilfælde. Ofte modelleres ikke kun priser, men renter, volatiliteter og nøgletal som alle er med til at bestemme porteføljens pris - men på en ikke-lineær facon. Antag istedet vi laver en model for n, risikofaktorer Z t = [Z 1,t,..., Z n,t]. Vi lader porteføljens pris være bestemt gennem en ikke-lineær funktion f : R + R n R. S p,t = f (t, Z t) f er så en generel funktion der udover at ligge vores positioner sammen transformerer volatileter, renter etc, om til priser 14 / 18
23 Fra model til portefølje Antag du har estimeret en model med n aktiver. Dette giver dig prisdynamikken for en stokastisk vektor S t = [S t,1,..., S t,n], som hvis du kender din portefølje w = [w 1,..., w n]. Prisprocessen er derfor givet som en lineær funktion af dit model output som S p,t = w S t Dette er dog en forsimplet tilfælde. Ofte modelleres ikke kun priser, men renter, volatiliteter og nøgletal som alle er med til at bestemme porteføljens pris - men på en ikke-lineær facon. Antag istedet vi laver en model for n, risikofaktorer Z t = [Z 1,t,..., Z n,t]. Vi lader porteføljens pris være bestemt gennem en ikke-lineær funktion f : R + R n R. S p,t = f (t, Z t) f er så en generel funktion der udover at ligge vores positioner sammen transformerer volatileter, renter etc, om til priser 14 / 18
24 Risikostyring Med en model for Z t har vi en model for alle relevante porteføljer S p,t = f (t, Z t) Med modellen kan vi beregne alle vores relevante risikotal. Eksempelvis hvis vi denerer P&L-fordelingen: P&L t+1 = (S p,t+1 S p,t) Value-at-risk 1 periode frem : P(P&L t+1 < VaR α Z t) = α VaR α = F 1 P&L t+1 (α) Expected Shortfall 1 periode frem : VaR I() a ES α = E[P&L t+1 P&L t+1 < VaR α, Z t) Disse tal mm kan direkte oversættes til kapitalkrav i en nansiel institition. 15 / 18
25 ES α vs VaR α ES α er som risikomål bedre end VaR α VaR α er mindre følsom overfor ekstreme tab. I altså α procent af tilfældende er dit tab jo større end VaR α. Hvor store? Det siger VaR ikke noget om. VaRα er ikke subaddivt. Dvs VaR er ikke nødvendigvis konsistent med at der er diversikations gevinst i.e VaR α (w 1 S 1 + w 2 S 2 ) w 1 VaR α (S 1 ) + w 2 VaR α (S 2 ) ES α er subaddivt og siger jo netop noget om hele halen af fordelingen. Det er dog lidt sværere at backteste. Dog ES α > VaR α. Højere kapitalkrav? Ikke nødvendigvis. Benyt en anden fraktil for ES (2.5% i stedet for 1%) for at sænke det lidt 16 / 18
26 Eksempler på beregning i GARCH Lad os sige vi har 1 pris på en portefølje, enkelt aktiv etc. S t+1 = S t + µ + η t+1, η t+1 N(0, σ 2 t ) Kigger vi kun t + 1 fra tidspunkt t frem kender vi σ t P&L t+1 = (S t+1 S t) N(µ, σ 2 t ) (8) VaR α = µ + σ tφ 1 (α), ES α = µ σ tφ(φ 1 (α))/α (9) Hvor Φ 1 og φ er hhv fraktifunktionen og tæthedsfunktionen for en std. normalfordeling. Fine udtryk der (relativt) nemt generaliseres hvis man ønsker at erstatte normalfordelingen med noget mere realistisk. Dette er en stor fordel ved GARCH frameworket Bemærk : formler duer ikke hvis du er interesseret i tabet over længere end 1 dag! (10 dage ig Basel reguleringen) Så er du oftest nød til at beregne VaR og ES med simulation. GARCH risikofaktoer medfører kun GARCH portefølje priser i det lineære tilfælde. Dvs ingen optioner, obligationer etc. I kontinuert tid kan du kun i ganske få tilfælde få noget lignende. Du kan lave en normal approksimation, eller løse problemet med simulation. 17 / 18
27 Eksempler på beregning i GARCH Lad os sige vi har 1 pris på en portefølje, enkelt aktiv etc. S t+1 = S t + µ + η t+1, η t+1 N(0, σ 2 t ) Kigger vi kun t + 1 fra tidspunkt t frem kender vi σ t P&L t+1 = (S t+1 S t) N(µ, σ 2 t ) (8) VaR α = µ + σ tφ 1 (α), ES α = µ σ tφ(φ 1 (α))/α (9) Hvor Φ 1 og φ er hhv fraktifunktionen og tæthedsfunktionen for en std. normalfordeling. Fine udtryk der (relativt) nemt generaliseres hvis man ønsker at erstatte normalfordelingen med noget mere realistisk. Dette er en stor fordel ved GARCH frameworket Bemærk : formler duer ikke hvis du er interesseret i tabet over længere end 1 dag! (10 dage ig Basel reguleringen) Så er du oftest nød til at beregne VaR og ES med simulation. GARCH risikofaktoer medfører kun GARCH portefølje priser i det lineære tilfælde. Dvs ingen optioner, obligationer etc. I kontinuert tid kan du kun i ganske få tilfælde få noget lignende. Du kan lave en normal approksimation, eller løse problemet med simulation. 17 / 18
28 Opsummering Standard Black-Scholes/Random Walk modellen kan slet ikke matche data Hvordan skal vi udvide den? GARCH er nem at estimere og lave betingede beregninger fra t til t men Kan oftest ikke ikke matche 'spikes' i Vol. Diskret tid - knap så eksibelt Mange relevante beregninger skal alligevel beregnes med Simulation SDE modeller har fuld eksibiliet i ifht til data input med forskellige frekvens og skiftende tidhorisonter. Mere eksibiliet til at at matche vol spikes. Alle relevante risikomål skal oftest beregnes med simulation Lidt mere 'tricky' at estimere 18 / 18
Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske
Læs mere3.600 kg og den gennemsnitlige fødselsvægt kg i stikprøven.
PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 1, onsdag den 6. september 2006 Eksempel: Sammenhæng mellem moderens alder og fødselsvægt I dag: Introduktion til statistik gennem analyse af en stikprøve
Læs mereNATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET INVESTERINGS- OG FINANSIERINGSTEORI. 4 timers skriftlig eksamen, 9-13 torsdag 6/
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET INVESTERINGS- OG FINANSIERINGSTEORI 4 timers skriftlig eksamen, 9-13 torsdag 6/6 2002 VEJLEDENDE BESVARELSE OG KOMMENTARER Opgave 1 Spg 1a
Læs merePlanen idag. Fin1 (mandag 16/2 2009) 1
Planen idag Porteføljeteori; kapitel 9 Noterne Moralen: Diversificer! Algebra: Portefølje- og lineær. Nogenlunde konsistens med forventet nyttemaksimering Middelværdi/varians-analyse Fin1 (mandag 16/2
Læs mereTema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.
Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i
Læs mereUge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 2004
1 Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 004 1. u-fordelingen. Normalfordelingen 3. Middelværdi og varians 4. Mere normalfordelingsteori 5. Grafisk kontrol af normalfordelingsantagelse 6. Eksempler 7. Oversigt
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet March 1, 2013 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereMotivation. Konfidensintervaller og vurdering af usikkerhed på estimerede størrelser
Motivation Konfidensintervaller og vurdering af usikkerhed på estimerede størrelser Rasmus Waagepetersen October 26, 2018 Eksempel: En landmåler får til opgave at måle længden λ fra A til B. Entreprenøren
Læs mereTema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse.
Tema Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. (Fx. x. µ) Hypotese og test. Teststørrelse. (Fx. H 0 : µ = µ 0 ) konfidensintervaller
Læs mereOversigt. 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt. 2 Korrelation. 3 Regressionsanalyse (kap 11) 4 Mindste kvadraters metode
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Oversigt 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt 2 Korrelation 3 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte
Læs mereForelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereForsøgsplanlægning Stikprøvestørrelse
Basal statistik Esben Budtz-Jørgensen 6. november 2007 Forsøgsplanlægning Stikprøvestørrelse 1 41 Planlægning af et studie Videnskabelig hypotese Endpoints Instrumentelle/eksponerings variable Variationskilder
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2. Repetition og eksamen. Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge 1 Normalfordelingen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereMLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som
MLR antagelserne Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + + β k x k + u, hvor β 0, β 1, β 2,...,β k er ukendte parametere,
Læs mereSandsynlighedsregning
Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 21. September, 2007 Lidt om binomialkoefficienter n størrelsen af en mængde/population. Vi ønsker at udtage en sub population af størrelse r. To sub populationer
Læs mereUge 43 I Teoretisk Statistik, 21. oktober Forudsigelser
Uge 43 I Teoretisk Statistik,. oktober 3 Simpel lineær regressionsanalyse Forudsigelser Fortolkning af regressionsmodellen Ekstreme observationer Transformationer Sammenligning af to regressionslinier
Læs mereTeoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts.
Teoretisk Statistik, 9 marts 2005 Empiriske analoger (Kap. 3.7) Normalfordelingen (Kap. 3.12) Opsamling på Kap. 3 nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. 1 Empiriske analoger Betragt
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereMuligheder: NB: test for µ 1 = µ 2 i model med blocking ækvivalent med parret t-test! Ide: anskue β j som stikprøve fra normalfordeling.
Eksempel: dæktyper og brændstofforbrug (opgave 25 side 319) Program: cars 1 2 3 4 5... radial 4.2 4.7 6.6 7.0 6.7... belt 4.1 4.9 6.2 6.9 6.8... Muligheder: 1. vi starter med at gennemgå opgave 7 side
Læs mereBinomial fordeling. n f (x) = p x (1 p) n x. x = 0, 1, 2,...,n = x. x x!(n x)! Eksempler. Middelværdi np og varians np(1 p). 2/
Program: 1. Repetition af vigtige sandsynlighedsfordelinger: binomial, (Poisson,) normal (og χ 2 ). 2. Populationer og stikprøver 3. Opsummering af data vha. deskriptive størrelser og grafer. 1/29 Binomial
Læs mereEnsidet eller tosidet alternativ. Hypoteser. tosidet alternativ. nul hypotese testes mod en alternativ hypotese
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet
Læs mere22. maj Investering og finansiering Ugeseddel nr. 15. Nogle eksamensopgaver:
22. maj 2006 Investering og finansiering Ugeseddel nr. 15 Nogle eksamensopgaver: 1 NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN INVESTERING OG FINANSIERING Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 4 timers
Læs mereAktiv porteføljeallokering: Teori og praksis. 10. maj 2010 TeisKnuthsen Investeringsdirektør tekn@nykredit.dk
Aktiv porteføljeallokering: Teori og praksis 10. maj 2010 TeisKnuthsen Investeringsdirektør tekn@nykredit.dk Opgaven Find den bedst mulige portefølje Højt afkast Rimelig risiko Inden for givne rammer Løst
Læs mereHvorfor er det lige at vi skal lære det her?
Lektion 8 Stokastiske variable En stokastisk variabel er en afbildning af udfaldsrummet ind i de reelle tal. Man benytter ofte store bogstaver som X, Y og Z til at betegne en stokastisk variabel. Ved at
Læs mereI dag. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: LR test og t-test, modelkontrol, R Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt)
I dag Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: LR test og t-test, modelkontrol, R Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) Helle Sørensen Repetition vha eksempel om dagligvarepriser Analyse med R: ttest
Læs mereAgenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede
Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede fordelinger (kap. 4) Middelværdi og varians (kap. 3-4) Fordelingsresultater
Læs mereStatDataN: Plot af data
StatDataN: Plot af data JLJ StatDataN: Plot af data p. 1/39 Repetition binomial(n,p): P(X = k) = ( n) k p k (1 p) n k n uafhængige kast med en mønt, X= antal krone X binomial(n, p), Y binomial(m, p), uafhængige
Læs mereLandmålingens fejlteori - Repetition - Kontinuerte stokastiske variable - Lektion 3
Landmålingens fejlteori Repetition - Kontinuerte stokastiske variable Lektion 4 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 29. april
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1 Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler Lineære transformationer
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Kontinuerte fordelinger Simultane fordelinger Kovarians og korrelation Uafhængighed Betingede fordelinger - Middelværdi og varians - Sammenhæng med uafhængighed 1 Figur 1: En tæthedsfunktion
Læs mereOverheads til forelæsninger, mandag 5. uge På E har vi en mængde af mulige sandsynlighedsfordelinger for X, (P θ ) θ Θ.
Statistiske modeller (Definitioner) Statistik og Sandsynlighedsregning 2 IH kapitel 0 og En observation er en vektor af tal x (x,..., x n ) E, der repræsenterer udfaldet af et (eller flere) eksperimenter.
Læs mereNormalfordelingen og Stikprøvefordelinger
Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger
Læs mereProgram: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke.
Program: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke. 1/23 Opsummering af fordelinger X 1. Kendt σ: Z = X µ σ/ n N(0,1)
Læs mereBasal statistik Esben Budtz-Jørgensen 4. november Forsøgsplanlægning Stikprøvestørrelse
Basal statistik Esben Budtz-Jørgensen 4. november 2008 Forsøgsplanlægning Stikprøvestørrelse 1 46 Planlægning af et studie Videnskabelig hypotese Endpoints Instrumentelle/eksponerings variable Variationskilder
Læs mereHvad bør en option koste?
Det Naturvidenskabelige Fakultet Rolf Poulsen rolf@math.ku.dk Institut for Matematiske Fag 9. oktober 2012 Dias 1/19 Reklame først: Matematik-økonomi-uddannelsen Økonomi på et solidt matematisk/statistisk
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereHovedløs overvægt af aktier er blot investeringsdoping
Hovedløs overvægt af aktier er blot investeringsdoping Af Peter Rixen Senior Porteføljemanager peter.rixen@skandia.dk Aktier har et forventet afkast, der er højere end de fleste andre aktivklasser. Derfor
Læs mereEt eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006
Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 006 I dette notat gennemgås et eksempel, der illustrerer den todimensionale normalfordelings egenskaber. Notatet lægger sig op af
Læs mereEstimation af volatilitet på aktiemarkedet
H.D. studiet i Finansiering Hovedopgave Foråret 2009 ---------------------------- Opgaveløser: Daniel Laurits Jensen Vejleder: Bo Vad Steffensen Opgave nr. 21 Estimation af volatilitet på aktiemarkedet
Læs mereProgram. 1. Repetition 2. Fordeling af empirisk middelværdi og varians, t-fordeling, begreber vedr. estimation. 1/18
Program 1. Repetition 2. Fordeling af empirisk middelværdi og varians, t-fordeling, begreber vedr. estimation. 1/18 Fordeling af X Stikprøve X 1,X 2,...,X n stokastisk X stokastisk. Ex (normalfordelt stikprøve)
Læs mereStikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader
Stikprøver og stikprøve fordelinger Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Statistik Statistisk Inferens: Prediktere og forekaste værdier af
Læs mereOm hypoteseprøvning (1)
E6 efterår 1999 Notat 16 Jørgen Larsen 11. november 1999 Om hypoteseprøvning 1) Det grundlæggende problem kan generelt formuleres sådan: Man har en statistisk model parametriseret med en parameter θ Ω;
Læs mereHvor: D = forventet udbytte. k = afkastkrav. G = Vækstrate i udbytte
Dec 64 Dec 66 Dec 68 Dec 70 Dec 72 Dec 74 Dec 76 Dec 78 Dec 80 Dec 82 Dec 84 Dec 86 Dec 88 Dec 90 Dec 92 Dec 94 Dec 96 Dec 98 Dec 00 Dec 02 Dec 04 Dec 06 Dec 08 Dec 10 Dec 12 Dec 14 Er obligationer fortsat
Læs mereInvesterings- og finansieringsteori, F04, ugeseddel 5
25. februar 2004 Rolf Poulsen AMS Investerings- og finansieringsteori, F04, ugeseddel 5 Husk at eksamenstilmelding foregår i uge 9 & 0 (23/2-7/3). Hvis man møder op i auditorium 8 onsdag 3/3 kl. 3.5, kan
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen
Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,
Læs mereHvorfor er normalfordelingen så normal?
Hvorfor er normalfordelingen så normal? Søren Højsgaard Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet October 24, 2018 normalfordelingen så normal? October 24, 2018 1 / 13 Højde af kvinder Histogram
Læs mereHvad er danskernes gennemsnitshøjde? N = 10. X 1 = 169 cm. X 2 = 183 cm. X 3 = 171 cm. X 4 = 113 cm. X 5 = 174 cm
Kon densintervaller og vurdering af estimaters usikkerhed Claus Thorn Ekstrøm KU Biostatistik ekstrom@sund.ku.dk Marts 18, 2019 Slides @ biostatistics.dk/talks/ 1 Population og stikprøve 2 Stikprøvevariation
Læs mereLøsninger til kapitel 6
Opgave 6.1 a) 180 200 P ( X < 180) = Φ = Φ( = 0, 1587 b) 220 200 P ( X > 220) = Φ = Φ(1) = 0, 8413 c) 200 200 P ( X > 200) = 1 X < 200) = 1 Φ = ) = 1 0,5 = 0, 5 d) P ( X = 230) = 0 e) 180 200 P ( X 180)
Læs mereDet naturvidenskabelige fakultet Vintereksamen 1997/98 Matematisk-økonomisk kandidateksamen Fag: Driftsøkonomi 2
1 Det naturvidenskabelige fakultet Vintereksamen 1997/98 Matematisk-økonomisk kandidateksamen Fag: Driftsøkonomi 2 Opgavetekst Generelle oplysninger: Der ses i nedenstående opgaver bort fra skat, transaktionsomkostninger,
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Repetition:
Læs mere12. september Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 4 Uge 3, torsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Regressionsanalyse
. september 5 Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning Uge, torsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Lineær regressionsanalyse - Simpel lineær regression - Multipel lineær regression
Læs mereDen lineære normale model
Den lineære normale model Ingredienser: V : N-dimensionalt vektorrum. X : Ω V : stokastisk variabel. L : ægte underrum af V, dimension k., : fundamentalt indre produkt på V. Vi laver en hel familie af
Læs mereInstitut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med
Repetition: Varians af linear kombination Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - rw@math.aau.dk Antag X 1, X,..., X n er uafhængige stokastiske variable, og Y er en linearkombination af X
Læs mereBilag A. Dexia-obligationen (2002/2007 Basis)
Bilag A Dexia-obligationen (2002/2007 Basis) Også kaldet A.P. Møller aktieindekseret obligation (A/S 1912 B). Dette værdipapir som i teorien handles på Københavns Fondsbørs (omend med meget lille omsætning)
Læs mereDen lineære normale model
Den lineære normale model Ingredienser: V : N-dimensionalt vektorrum. X : Ω V : stokastisk variabel. L : ægte underrum af V, dimension k., : fundamentalt indre produkt på V. Vi laver en hel familie af
Læs mereOpgave nr. 5 og 31. Værdiansættelse af stiafhængige bermuda optioner, ved Least Squares Monte Carlo simulation.
H.D.-studiet i Finansiering Hovedopgave - forår 2009 ---------------- Opgaveløser: Martin Hofman Laursen Joachim Bramsen Vejleder: Niels Rom-Poulsen Opgave nr. 5 og 31 Værdiansættelse af stiafhængige bermuda
Læs mereEn Introduktion til SAS. Kapitel 5.
En Introduktion til SAS. Kapitel 5. Inge Henningsen Afdeling for Statistik og Operationsanalyse Københavns Universitet Marts 2005 6. udgave Kapitel 5 T-test og PROC UNIVARIATE 5.1 Indledning Dette kapitel
Læs mereModelusikkerhed i stokastiske volatilitets modeller
Erhvervsøkonomisk institut Msc in Finance Forfattere: Jannie Tornvig Kristine Bærentzen Vejleder: David Skovmand Modelusikkerhed i stokastiske volatilitets modeller Handelshøjskolen i Aarhus, Aarhus Universitet
Læs mereEn hurtig approksimativ beregning af usikkerheden om den fremtidige pension
En hurtig approksimativ beregning af usikkerheden om den fremtidige pension Claus Munk 1. september 017 1 Sammenfatning Den pension, som en pensionsopsparer en kunde) ender med at få, er usikker både på
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1. Ligefordelinger, fra sidst Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff.
Kursus 242 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 35/324 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Kontinuerte fordelinger Ventetider i en Poissonproces Beskrivelse af kontinuerte fordelinger: - Median og kvartiler - Middelværdi - Varians Simultane fordelinger 1 Ventetider i en Poissonproces
Læs mereLøsning eksamen d. 15. december 2008
Informatik - DTU 02402 Introduktion til Statistik 2010-2-01 LFF/lff Løsning eksamen d. 15. december 2008 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th
Læs mereStatistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Statistik Lektion 3 Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition En stokastisk variabel er en funktion defineret på S (udfaldsrummet, der antager
Læs mereVolatiliteten i dag-til-dag pengemarkedsrenten
3 Volatiliteten i dag-til-dag pengemarkedsrenten Allan Bødskov Andersen, Økonomisk Afdeling INDLEDNING OG SAMMENFATNING I denne artikel analyseres de daglige udsving i den danske dag-til-dag pengemarkedsrente
Læs mereNote om Monte Carlo metoden
Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at
Læs mereEpidemiologi og biostatistik. Uge 3, torsdag. Erik Parner, Afdeling for Biostatistik. Eksempel: Systolisk blodtryk
Eksempel: Systolisk blodtryk Udgangspunkt: Vi ønsker at prædiktere det systoliske blodtryk hos en gruppe af personer. Epidemiologi og biostatistik. Uge, torsdag. Erik Parner, Afdeling for Biostatistik.
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Lineære transformationer, middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 8, onsdag SaSt2 (Uge 8, onsdag) Lineære transf. og middelværdi 1 / 15 Program I formiddag: Fordeling
Læs mereForelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mere1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk
Læs mereTænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i.
Repetition af vektor-regning Økonometri: Lektion 3 Matrix-formulering Fordelingsantagelse Hypotesetest Antag vi har to n-dimensionelle (søjle)vektorer a 1 b 1 a 2 a =. og b = b 2. a n b n Tænk på a og
Læs mereenote 2: Kontinuerte fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher enote 2: Continuous Distributions
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 33B, Rum 9 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk Efterår
Læs mereUniversity of Copenhagen. Notat om statistisk inferens Larsen, Martin Vinæs. Publication date: Document Version Peer-review version
university of copenhagen University of Copenhagen Notat om statistisk inferens Larsen, Martin Vinæs Publication date: 2014 Document Version Peer-review version Citation for published version (APA): Larsen,
Læs mereOpgave 11.4 side 316 (7ed: 11.4, side 352 og 6ed: 11.2, side 345)
Kursus 4: Besvarelser til øvelses- og hjemmeopgaver i uge 11 Opgave 11.4 side 316 (7ed: 11.4, side 35 og 6ed: 11., side 345) Opgaven består i at foretage en regressionsanalse. Først afbildes data som i
Læs mere02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4
02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4 Vejledende løsning 5.46 P (0.010 < error < 0.015) = (0.015 0.010)/0.050 = 0.1 > punif(0.015,-0.025,0.025)-punif(0.01,-0.025,0.025) [1] 0.1
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition:
Læs mereMatematisk Modellering 1 Cheat Sheet
By a team of brave computer scientists: Mads P. Buch, Tobias Brixen, Troels Thorsen, Peder Detlefsen, Mark Gottenborg, Peter Krogshede - 1 Contents 1 Basalt 3 1.1 Varianser...............................
Læs mereLøsning til eksamen d.27 Maj 2010
DTU informatic 02402 Introduktion til Statistik Løsning til eksamen d.27 Maj 2010 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th edition]. Opgave I.1
Læs mereAnvendelse af Value-at-Risk som mål for Nationalbankens markedsrisiko
35 Anvendelse af Value-at-Risk som mål for Nationalbankens markedsrisiko Morten Malle Høyer, Kapitalmarkedsafdelingen INDLEDNING I løbet af de seneste 0 år er der sket en kolossal udvikling med hensyn
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Afsnit 3.1-3.2 Middelværdi -Definition - Regneregler Betinget middelværdi Middelværdier af funktioner af stokastiske variabler Loven om den itererede middelværdi Eksempler 1 Beskrivelse
Læs mereHvad bør en option koste?
Det Naturvidenskabelige Fakultet Rolf Poulsen rolf@math.ku.dk Institut for Matematiske Fag 19. marts 2015 Dias 1/22 Reklame først: Matematik-økonomi-uddannelsen Økonomi på et solidt matematisk/statistisk
Læs meremen nu er Z N((µ 1 µ 0 ) n/σ, 1)!! Forkaster hvis X 191 eller X 209 eller
Type I og type II fejl Type I fejl: forkast når hypotese sand. α = signifikansniveau= P(type I fejl) Program (8.15-10): Hvis vi forkaster når Z < 2.58 eller Z > 2.58 er α = P(Z < 2.58) + P(Z > 2.58) =
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 3. Estimation af σ Dobbeltmålinger Geometrisk nivellement Linearisering
Landmålingens fejlteori Lektion 3 Estimation af σ Dobbeltmålinger Geometrisk nivellement Linearisering - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition: Middelværdi og
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 7. Simpel Lineær Regression
Anvendt Statistik Lektion 7 Simpel Lineær Regression 1 Er der en sammenhæng? Plot af mordraten () mod fattigdomsraten (): Scatterplot Afhænger mordraten af fattigdomsraten? 2 Scatterplot Et scatterplot
Læs mereVi sætter. (Signal støj- forhold) Poul Thyregod, 25. april Specialkursus vid.stat. foraar Lad Y i angiver observationer fra i te udtagne balle.
Modellens parametre Mandag den 25 april Hierarkiske normalfordelingsmodeller Dagens program: Resume af ensidet variansanalysemodel med tilfældig effekt estimation af tilfældige effekter, fortolkning som
Læs mereLidt om fordelinger, afledt af normalfordelingen
IMM, 2002-10-10 Poul Thyregod Lidt om fordelinger, afledt af normalfordelingen 1 Introduktion I forbindelse med inferens i normalfordelinger optræder forskellige fordelinger, der er afledt af normalfordelingen,
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder
Læs mereDen todimensionale normalfordeling
Den todimensionale normalfordeling Definition En todimensional stokastisk variabel X Y siges at være todimensional normalfordelt med parametrene µ µ og når den simultane tæthedsfunktion for X Y kan skrives
Læs mereProgram. 1. Varianskomponent-modeller (Random Effects) 2. Transformation af data. 1/12
Program 1. Varianskomponent-modeller (Random Effects) 2. Transformation af data. 1/12 Dæktyper og brændstofforbrug Data fra opgave 10.43, side 360: cars 1 2 3 4 5... radial 4.2 4.7 6.6 7.0 6.7... belt
Læs mereKapitel Indledning Problemformulering Struktur & metode Afgrænsning...6. Kapitel 2...7
Indhold Kapitel 1...3 1.1 Indledning...3 1.2 Problemformulering...4 1.3 Struktur & metode...5 1.4 Afgrænsning...6 Kapitel 2...7 2.1 Black-Scholes introduktion...7 2.1.1 Optioner...7 2.1.2 Black-Scholes
Læs mereHD Finansiering. Copenhagen Business School. Afgangsprojekt forår 2012. Alternativer til VaR
HD Finansiering Copenhagen Business School Afgangsprojekt forår 2012 Alternativer til VaR Afleveringsdato: 14. maj 2012 Vejleder: Udarbejdet af: Robert Neumann Mie Birck Jensen Indholdsfortegnelse 1 Indledning...
Læs mereAntag X 1, X 2,..., X n er n uafhængige stokastiske variable, hvor Var(X 1 )=σ 2 1,..., Var(X n )=σ 2 n.
Simple fejlforplantningslov Landmålingens fejlteori Lektion 6 Den generelle fejlforplantningslov Antag X, X,, X n er n uafhængige stokastiske variable, hvor Var(X )σ,, Var(X n )σ n Lad Y g(x, X,, X n ),
Læs mereLøsning til eksaminen d. 14. december 2009
DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 200-2-0 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 4. december 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition,
Læs mereTrin 1: Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H 0 : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse
Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H 0 : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ
Læs mereEpidemiologi og biostatistik. Uge 3, torsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik. Regressionsanalyse
Epidemiologi og biostatistik. Uge, torsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik. Lineær regressionsanalyse - Simpel lineær regression - Multipel lineær regression Regressionsanalyse Regressionsanalyser
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA)
Anvendt Statistik Lektion 9 Variansanalyse (ANOVA) 1 Undersøge sammenhæng Undersøge sammenhænge mellem kategoriske variable: χ 2 -test i kontingenstabeller Undersøge sammenhæng mellem kontinuerte variable:
Læs mere