Modelusikkerhed i stokastiske volatilitets modeller

Transkript

1 Erhvervsøkonomisk institut Msc in Finance Forfattere: Jannie Tornvig Kristine Bærentzen Vejleder: David Skovmand Modelusikkerhed i stokastiske volatilitets modeller Handelshøjskolen i Aarhus, Aarhus Universitet August 2011

2 Abstract In the financial literature, it has been problematized, that stochastic volatility models price European vanilla options very similar, but price exotic options very differently, which is problematic in a market, where no true market prices for exotic options exist. The purpose of the thesis is therefore to study the model risk in selected stochastic volatility models. To do this, two main issues are put into question firstly how each single model is able to fit the market prices of European plain vanilla options, and secondly how the different models price exotic options compared to each other. The first part of the thesis gives a presentation of assumptions, which makes a basis for the rest of the thesis. The chosen stochastic volatility models: Constant Elasticity of Variance (CEV), Stochastic Alpha Beta Rho (SABR), Heston, Heston with jumps in the price process, Heston with jumps in the price- and volatility process and Barndorff-Nielsen and Shephard (BN-S) are then presented, and the effect of the different model parameters on pricing of European plain vanilla options are illustrated. To be able to see how well the different models fit to market prices of European plain vanilla options, the models are calibrated to the market by minimizing the difference between model and market prices for 12 different days. How the model prices are found depend on the type of model. For the CEV and SABR models accessible formulas exist. For the other models, the pricing is a bit more complicated, since there are no known density functions. As an very used and accurate alternative, Fourier transformation including characteristic functions are used. More specific, the approach by Carr and Madan is being used. With the market prices in place the absolute price difference between the models and the market can be minimized, whereby a parameter set for each model, respectively for each single day can be found. The results show, that when looking at the whole volatility surface, the more advanced models, the Heston models with jumps and the BN-S model, are to a greater extend more capable of fitting the market, compared to especially the CEV and SABR models. Though, the CEV and SABR models also show great ability of fitting the market when looking at volatility smiles for a single maturity date, particularly for in-the-money options. On the other hand, the two Heston models with jumps in general show higher instability in the calibration. To be able to compare the prices of the different models for exotic options, three different types of exotic options are presented: Cliquet option, double barrier option and shout option. For the pricing of the options, Monte Carlo simulation is chosen as a tool. A discussion of the right way to generate random numbers, variance reduction methods, and discretization methods is therefore provided. Furthermore, i

3 Least-Squares Monte Carlo is presented, since this tool is needed for pricing the shout option. When comparing the model prices, both options with different maturities and effect of changes in the characteristic of the options are compared. For both cliquet and shout options, the stochastic volatility models price quite similar for short time to maturity and when changing the characteristics of the option for the same maturity. On the other hand, there is significant difference between the prices with longer time to maturity. For double barrier options, the model prices are significantly different from each other both for shorter time to maturity and for longer time to maturity. Furthermore, changing the level of the barriers has great impact on the price differences between the models. The overall conclusion of the thesis is, that in accordance with existing literature, stochastic volatility models price quite similarly for European plain vanilla options, whereas great care should be taken when pricing exotic options. ii

4 Indhold 1 Introduktion Indledning Problemformulering Metodevalg Disposition Afgrænsning Grundlæggende teori Stokastiske processer Sandsynlighedsrum Markov processer Geometrisk Brownsk bevægelse Lévy processer Ækvivalent martingal mål Løftestangseffekt Volatilitetssmil Modelbeskrivelse Constant Elasticity of Variance Stochastic alpha beta rho Heston modellen Heston modellen med spring i prisprocessen Heston modellen med spring i pris- og volatilitetsprocessen Barndorff-Nielsen og Shephard Kalibreringsafsnit Datagrundlag Metode til prisfastsættelse af optioner Formel for CEV Formel for SABR Fourier transformering Carr og Madan Valg af α Karakteristiskfunktion for Heston Karakteristiskfunktion for Heston med spring i prisprocessen Karakteristiskfunktion for Heston med spring i pris- og volatilitetsproces Karakteristiskfunktion for Barndorff-Nielsen og Shephard iii

5 4.3 Kalibrering Resultat af kalibrering CEV SABR Heston Heston med spring i prisprocessen Heston med spring i pris- og volatilitetsprocessen Barndorff-Nielsen og Shephard Modelsammenligning Produktbeskrivelse Cliquet optioner Dobbelt barriere optioner Shout optioner Monte Carlo simulering Generering af tilfældige tal Varians reduktions teknikker Diskretisering CEV SABR Heston Heston med spring i prisprocessen Heston med spring i pris- og volatilitetsproces Barndorff-Nielsen and Shephard Least-Squares Monte Carlo Prisfastsættelse Cliquet option Dobbelt barriere option Shout option Modelsammenligning Mulige fejlkilder 89 9 Perspektivering Konklusion 91 Litteratur 93 A Bilag 97 iv

6 1 Introduktion 1.1 Indledning En stokastisk volatilitets model er en model, hvor volatiliteten følger sin egen stokastiske proces. Gennem tiden er der udviklet adskillige typer af stokastiske volatilitets modeller, der hver især giver deres bud på, hvordan den empiriske volatilitet kan gengives. Mens Black-Scholes modellen ikke altid formår at prisfastsætte optioner korrekt på grund af antagelsen om konstant volatilitet, har det empirisk vist sig, at de stokastiske volatilitets modeller i langt højere grad formår at gøre dette. Årsagen hertil er, at de stokastiske volatilitets modeller har en bedre evne til at tilpasse sig det empirisk observerede volatilitetssmil og derved tage højde for optionernes forskellige implicitte volatilitet. Til trods for at de stokastiske volatilitets modeller ofte er meget forskellige, formår modellerne typisk at prisfastsætte europæiske plain vanilla optioner uden nævneværdige afvigelser. Det er derfor ikke, alene på baggrund heraf, muligt at skelne mellem modellernes evne til prisfastsættelse (Schoutens, Simons, and Tistaert (2005)). Såfremt forskellene mellem modellerne aldrig vil få signifikant betydning for afvigelserne mellem modellernes resultater, er det ikke strengt nødvendigt at være opmærksom på disse forskelle. Dette er dog ikke tilfældet, og i visse situationer har forskellene i modellerne stor betydning for resultaterne. Af eksempler på dette kan nævnes, at det i 1999 blev vurderet, at der var et tab på $5 mia. i derivater grundet modelrisiko. I marts 1997 annoncerede Bank of Tokyo-Mitsubishi et $83 mio. stort tab på deres New York relaterede derivater, idet deres interne prisfastsættelses model overvurderede en portefølje af swaps og optioner på U.S. renter. Få uger senere bekendtgjorde Nat West Capital Markets et tab på 50 mio. på en forkert prisfastsat portefølje af tyske og engelske renteoptioner og swaptioner (Cont (2006)). Modelusikkerheden ses endvidere ved prisfastsættelse af eksotiske optioner, hvilket blandt andet skyldes de eksotiske optioners mere komplekse payoff struktur, der gør dem mere følsomme overfor usikkerheder i modellen (Schoutens, Simons, and Tistaert (2005)). Der kræves derfor stor forsigtighed ved benyttelse af en stokastisk volatilitets model til prisfastsættelse af eksotiske optioner. Modelusikkerhedens vigtighed understreges af det faktum, at mange eksotiske optioner handles på Over-The-Counter (OTC) markedet, hvilket medfører, at historisk data er svært tilgængelige, og praktikere derfor er meget afhængige af modeller til at prisfastsætte produkterne (An and Suo (2009)). Alt dette leder hen til vigtigheden af problemstillingen omkring modelusikkerhed i stokastiske volatilitets modeller, hvilket danner grundlag for denne afhandling. 1

7 1.2 Problemformulering Formålet med afhandlingen er at undersøge modelusikkerheden i seks udvalgte stokastiske volatilitets modeller; Constant Elasticity of Variance (CEV) modellen, Stochastic Alpha Beta Rho (SABR) modellen, Heston modellen, Heston modellen med spring i prisprocessen, Heston modellen med spring i pris- og volatilitetsprocessen og Barndorff-Nielsen og Shephard (BN-S). Dette gøres ved at besvare følgende spørgsmål: Hvordan formår den enkelte model at gengive markedspriserne for europæiske plain vanilla optioner? Hvordan prisfastsætter den enkelte model udvalgte eksotiske optioner i forhold til de øvrige modeller? 1.3 Metodevalg Som det ses ovenfor spænder valget af modeller bredt. CEV modellen er en simpel udvidelse af Black-Scholes modellen og er derved også afhandlingens mest simple model. Modellen er medtaget i afhandlingen, idet det er interessant at se, i hvor høj grad så simpel model er i stand til at gengive markedspriser for plain vanilla optioner i forhold til mere komplekse modeller. Endvidere ønskes det at undersøge, hvilken forskel det giver i prisen på eksotiske optioner at bruge både simple og komplekse modeller. SABR modellen er en udvidelse af CEV modellen, men dog stadig en relativ simpel model. Modellen har empirisk vist sig at gengive volatilitetssmilet flot på trods af sin simplicitet, hvorfor modellen er interessant til afhandlingens formål (West (2005)). I Heston modellen følger variansen en kvadratrods proces beskrevet af Cox, Ingersoll og Ross. Modellen er ofte kritiseret for ikke at være i stand til at beskrive den implicitte volatilitets overflade for kort tid til udløb, til gengæld beskriver den overfladen forholdsvis pænt for lang tid til udløb (Gatheral (2006)). Ved at inkludere et spring i Heston modellen kan man opnå en langt bedre beskrivelse af den implicitte volatilitets overflade, da et spring genererer en stejl hældning for kort tid til udløb (Gatheral (2006)). Det er derfor valgt at inkludere en version med spring i prisprocessen og en version med spring i både pris- og volatilitetsprocessen i afhandlingen. Den sidste model, der er valgt, er en Barndorff-Nielsen og Shephard model. Modellen adskiller sig i den stokastiske volatilitets proces fra de øvrige modeller, da den er modelleret som en vægtet sum af ikke-gausiske Ornstein-Uhlenbeck (OU) processer, hvor volatiliteten stiger ved spring. Effekten af springet falder herefter 2

8 eksponentielt, som tiden går (Lindberg (2008)). Som nævnt i indledningen er det blandt andet ved prisfastsættelse af eksotiske produkter, at forskellene mellem modellernes tydeliggøres. Det er derfor valgt at prisfastsætte følgende eksotiske optioner: Cliquet optioner Dobbelt barriere optioner Shout optioner Den primære årsag til, at netop disse eksotiske optioner er valgt, er, at de alle er sti-afhængige og derfor bedre kaster lys over aktieprocessens dynamik (Schoutens, Simons, and Tistaert (2005)). 1.4 Disposition Afhandlingen er struktureret på følgende måde: I afsnit 2 beskrives forskellige teorier, der danner grundlag for resten af afhandlingen, mens afsnit 3 giver en beskrivelse af de valgte stokastiske volatilitets modeller, samt hvordan de enkelte parametre i modellerne påvirker prisen på en plain vanilla option. I afsnit 4 beskrives først det datagrundlag, kalibreringen bygger på, hvorefter de forskellige metoder til prisfastsættelse af plain vanilla optioner beskrives for de respektive modeller. Efterfølgende skildres metoden til selve kalibreringen. Endeligt præsenteres resultaterne af kalibreringen, og modellernes evne til at prisfastsætte europæiske plain vanilla optioner samt gengive det implicitte volatilitetssmil vurderes. Afsnit 5 giver en beskrivelse af de tre forskellige eksotiske optioner, mens afsnit 6 forklarer, hvorledes priserne på de eksotiske optioner kan findes ved hjælp af Monte Carlo simulering. Afsnit 7 angiver den konkrete simulering for de respektive produkter og præsenterer resultaterne af simuleringen. Endeligt sammenlignes modellernes prisfastsættelsesevne på baggrund af de eksotiske optioner. Afhandlingen afsluttes med at vurdere mulige fejlkilder, perspektivere til hvordan modelusikkerhed også kan måles samt endeligt at konkludere på den valgte problemstilling. 1.5 Afgrænsning Da afhandlingens fokus ligger på modelusikkerheden i udvalgte stokastiske volatilitets modeller i forhold til praktisk anvendelse af modellerne, afgrænses der fra at lave matematiske udledninger og beviser. 3

9 I afhandlingen ses der udelukkende på prisfastsættelse af call optioner. Da plain vanilla optioner er forbundet via put-call pariteten, har det ingen relevant betydning, hvorvidt der kalibreres for put- eller call optioner. For de eksotiske optioner kan de vedlagte Matlab-koder let modificeres, således at prisen på en put option også kan findes. Analyserne er endvidere fortaget på baggrund af optioner med S&P500 indekset som det underliggende aktiv, hvorfor der afgrænses fra at se på optioner med andre underliggende aktiver. Da det antages, at læseren har en vis finansiel forståelse, afgrænses der fra beskrivelser af blandt andet basis optionsteori og Black-Scholes formlen. Endvidere arbejdes der i afhandlingen med risikoneutrale sandsynlighedsmål, hvorfor der ses bort fra fastsættelse af risikopræmie. 2 Grundlæggende teori I dette afsnit gives en introduktion til en del af den teori, der er generel for de stokastiske volatilitets modeller, der vil blive gennemgået i afhandlingen. 2.1 Stokastiske processer En stokastisk proces er en proces, der beskriver tilfældige systemer, der udvikler sig i tiden, og som til ethvert tidspunkt t i en parametermængde T kan beskrives ved et punkt i et sandsynlighedsrum S. En stokastisk proces er en parametriseret familie, det vil sige målelige afbildninger defineret på et fælles sandsynlighedsfelt med værdier i samme målelige rum, da tilstanden til et fast tidspunkt t modelleres ud fra en stokastisk variabel X t med værdier i S (Graversen and Pedersen (2005)). T defineres som en model for tiden, hvor man overordnet skelner mellem diskrete og kontinuerte tidsmodeller. I en diskret tidsmodel kan værdien af en variabel kun ændre sig på bestemte fastsatte tidspunkter. I en kontinuert tidsmodel kan værdien af variablen ændre sig hele tiden. Derudover skelnes der mellem diskrete og kontinuerte variable processer. I en diskret variabel proces er det kun muligt for variablen at antage bestemte værdier, hvorimod det, i en kontinuert variabel proces, er muligt for variablen at antage en hvilken som helst værdi i et givet interval. For aktiekurser og dermed også indekskurser, følger kursen en diskret variabel proces, idet ændringen på prisen som minimum er $0.01. Derudover kan prisen kun ændre sig, når børsen er åben, det vil sige i diskret tid. Der arbejdes dog med kontinuerte variable og kontinuerte tidsprocesser, idet disse har vist sig at være brugbare redskaber for prisfastsættelse af derivater (Hull (2008)). 4

10 2.1.1 Sandsynlighedsrum Et sandsynlighedsrum (Ω, F, P ) består af et udfaldsrum Ω, en informationsmængde F og et sandsynlighedsmål P på (Ω, F). Filtreringen for et sandsynlighedsrum er defineret som (F t ) t [0,T ] : t s 0, F s F t F. F t kan derved fortolkes som den kendte information på tidspunkt t, hvor informationsmængden stiger med tiden. Et sandsynlighedsrum (Ω, F, P ), hvori en filtrering indgår, kaldes filtreret sandsynlighedsrum. Sandsynligheden, for at en tilfældig begivenhed vil forekomme, vil alt andet lige ændre sig med tiden, idet ny information hele tiden bliver tilføjet. Sandsynlighedsmålet P ænder sig dog ikke med tiden for det filtrerede sandsynlighedsrum, idet informationen i stedet påvirker gennem filtreringen (Cont and Tankov (2004)) Markov processer En Markov proces er en særlig type af stokastiske processer, hvor kun nutidsværdien har relevans for den forventede fremtidige værdi og ikke processens historik (Hull (2008)). Det antages normalt, at en aktiekurs følger en Markov proces, hvilket vil sige, at den forventede fremtidige kurs, givet hele kursen historik, er lig med den forventede fremtidige kurs, givet kursen i dag. Dette kan skrives som: E[X t+1 X 0,..., X t ] = E[X t+1 X t ] eller E[X t+1 F t ] = E[X t+1 X t ] hvor X er aktiekursen, og F t er filtreringen Geometrisk Brownsk bevægelse En særlig type af Markov stokastisk processer er Wiener processen også kendt som en Brownsk bevægelse. Denne proces er karakteriseret som en kontinuert tidsproces, hvilket blandet andet betyder, at der ikke er spring i processen. En variabel W følger en Wiener proces, såfremt den har følgende egenskaber: 1. W 0 = Ændringen i W over en kort tidsperiode er W = ɛ t, hvor ɛ N(0, 1). 3. Værdierne af W for alle tidsperioder t er uafhængige. Wiener processen følger en normalfordeling med en middelværdi på 0 og en varians på t, W t (t)n(0, 1). Dette medfører, at processen med en sandsynlighed på 0,5 på ethvert tidspunkt kan antage en negativ værdi. Endvidere medfører driften på 0, 5

11 at den forventede værdi af W på et givent fremtidigt tidspunkt er lig med den nuværende værdi (Hull (2008)). Alt dette er uhensigtsmæssigt, hvis man eksempelvis modellerer en aktiekurs ud fra en Wiener proces. I den generaliserede Wiener processen tilføjes der en konstant driftrate a og en volatilitetsrate b. En diskret tid random walk er givet som følgende: X 0 = x, X i = X i 1 + a t + b ( t)ɛ i, ɛ i N(0, 1) Ændringen i X i kan for et lille tidsinterval t skrives som X i = a t + bɛ i t hvor a er den konstante drift, og b er volatiliteten. Ved at tage mindre og mindre tidsperioder t, fås den generaliserede Wiener proces X t = x + at + bw t hvor W er en Wiener proces. Desværre er den generaliserede Wiener proces heller ikke en god model til at beskrive aktiekurser, eller indeks priser for den sags skyld, da processen ikke formår at beskrive det forhold, at de procentvise afkast, en investor forventer, er uafhængige af niveauet for aktiekursen. Hvis en investor eksempelvis forventer et årligt afkast på 15%, når aktiekursen er $10, så vil han, alt andet lige, også forvente et årligt afkast på 15% når aktiekursen er $100. Det er altså ikke hensigtsmæssigt, at den forventede drift rate er konstant, hvorfor den bør erstattes med en forudsætning om, at det forventede afkast er konstant (Hull (2008)). En proces til beskrivelse af eksempelvis aktiekurser bør afspejle, at den forventede drift rate i aktiekursen skal være lig med aktiekursen multipliceret med en konstant for kursens forventede afkast, µ. Hvis S beskriver aktiekursen, skal den relative ændring heri, over en kort tidsperiode t, have en konstant drifts-og volatilitetsrate: S S = a t + b W For tilvækster i diskret tid betyder det, at aktiekursen følger nedenstående proces: S 0 = s, S i S i 1 = S i 1 µ t + S i 1 σ W i Aktiekursen kan udregnes for det generiske tidspunkt t = n t ved at tage summen af begge sider: 6

12 S n S 0 = n (S i 1 µ t) + i=1 n S i 1 σ W Ved at lade t 0 kan ovenstående skrives som følgende: S t = S 0 t 0 S τ µdτ + t 0 i=1 S τ σdw τ Ovenstående er også kendt som en geometrisk Brownsk bevægelse, dette kan skrives som: ds = µsdt + σsdw En geometrisk Brownsk bevægelse er den mest brugte proces til beskrivelse af aktiekurser (Hull (2008)). Processen bruges blandt andet til at beskrive udviklingen i det underliggende aktiv i Black-Scholes modellen. I Heston modellen er aktiekursen en komponent af en bivariate diffusion (S t, σ t ), der er drevet af en to-dimensionel Brownsk bevægelse (W 1 t, W 2 t ) (Cont and Tankov (2004)). To af afhandlingens øvrige modeller, CEV modellen og SABR modellen, beskriver udviklingen i det underliggende aktiv ved hjælp af en CEV proces, hvor den geometrisk Brownsk bevægelse er et special tilfælde, mere herom under beskrivelsen af de respektive modeller Lévy processer Den førnævnte Wiener proces er et basis eksempel på en Lévy proces. En Lévy proces er en stokastisk proces, der er cádlág 1 (X t ) t 0 med sandsynlighedsrum (Ω, F, P ), værdier i R d, X 0 = 0 og opfylder følgende betingelser: 1. Processen har uafhængige tilvækster, det vil sige, at for hver enkelt stigende sekvens af tid t 0... t n, er de tilfældige variable X t0, X t1 X t0,..., X tn X tn 1 uafhængige. 2. Processen har stationære tilvækst, hvilket vil sige, at fordelingen af X(t + s) X(s); s 0 ikke afhænger af s. 3. Processen har stokastisk kontinuitet: ε > 0, lim h 0 P( X t+h X t ε) = 0. Den tredje betingelse skal sikre, at der ikke er processer, hvor der sker spring på faste ikke tilfældige tidspunkter (Cont and Tankov (2004)). Et andet eksempel på en Lévy proces er Poisson processen. Poisson processen er den mest simple Lévy proces. Poisson processen er en simpel tælleproces, der 1 En cádlág funktion er en funktion, der er kontinuert i højre side og samtidig har en venstre grænse 7

13 tæller antallet af tilfældige tidspunkter, T n, hvor {T n, n 1}, som opstår i [0, t] (Cont and Tankov (2004)). Antallet af hændelser følger en Poisson fordelingen med parameter λt, hvor λ kaldes intensiteten. Poisson processen er en stigende spring proces, hvor størrelsen af springene altid er lig med 1 (Schoutens (2003)). I de to Heston variationer indgår Poisson processen som en spring komponent, hvor λ angiver spring intensiteten. 2.2 Ækvivalent martingal mål Et vigtigt begreb i prisfastsættelsen af optioner, er det risikoneutrale mål eller ækvivalente martingal mål, på engelsk kaldet Equivalent Martingale Measure (EMM). At EMM er et vigtigt begreb, skyldes at ved handel med aktiver, vil investorer kompenseres for at påtage sig risiko. Jo større risiko, jo større afkast vil investoren kræve, idet den typiske investor er risikoinvers. Dette har den effekt, at den pris, en investor er villig til at betale for et risikobetonet aktiv, er lavere end det forventede afkast. Ved prisfastsættelse af aktiver er man derfor nødt til at tage hensyn til det risikoaverse aspekt i den forventede værdi. Dette er dog yderst vanskeligt, idet hver enkelt investor har forskellig grad af risikopræferencer. Til løsning af dette kommer EMM ind i billedet. I et komplet marked uden arbitrage muligheder er det nemlig muligt at inkorporere et risikoneutralt sandsynlighedsmål, Q, der til forskel fra det almindelige sandsynlighedsmål, P, lægger mere vægt på ufavorable udfald og mindre vægt på favorable udfald. Når disse Q-sandsynligheder er fundet, kan aktiver prisfastsættes ved at finde det forventede afkast. Samtidig kan den risikofrie rente nu bruges som diskonteringsfaktor, idet investorerne i renten ikke skal kompenseres for risiko. For at definere EMM mere matematisk, er det nødvendigt først at definere begrebet martingal. En stokastisk proces, S t er en martingal, såfremt den opfylder følgende betingelse: E[S t+1 S t, S t 1,... ] = S t hvilket også kan skrives som: E[S t+1 S t S t, S t 1,... ] = 0 Fra ovenstående skal det forstås, at den forventede pris i morgen er lig med prisen i dag, givet hele aktivets tidligere historie. Dermed er den forventede ændring i prisen 0, igen givet hele aktivets tidligere historie (Campbell, Lo, and MacKinlay (1997)). Alternativt kan man også sige, at for et meget lille tidsinterval er ændringen i S normalfordelt med en middelværdi på nul, hvorved den forventede ændring i S over 8

14 et meget lille tidsinterval er nul. Da ændringen i S mellem tidspunkt 0 og T er summen af ændringer i alle de små tidsintervaller mellem tidspunkt 0 og T, må den forventede ændring i S over periode 0 til T derfor også være nul (Hull (2008)). Fra den fundamentale teori om prisfastsættelse af aktiver gælder det, at såfremt der ikke er mulighed for arbitrage i et marked, kan sandsynlighedsmålet P for et sandsynlighedsrum (Ω, F, P ) erstattes med det ækvivalente sandsynlighedsmål Q, hvis det gælder at spot processen, S er en martingal under det nye mål (Delbaen and Schachermayer (1994)). Cont and Tankov (2004) giver et eksempel på dette for optioner. Der ses på en hændelse A, således at sandsynligheden for hændelsen, P (A) = 0. Såfremt hændelsen sker, modtager køberen af en option $1. Idet det ikke er muligt, at hændelsen sker, i og med at sandsynligheden for dette er lig nul, er optionen uden værdi for køberen. Prisen for optionen ved hjælp af Q egenskaber på tidspunkt t = 0 kan skrives som den tilbagediskonterede forventede værdi: Π 0 (1 A ) = e rt E Q [1 A ] = e rt Q(A). Formlen beskriver, at prisen på tidspunkt 0, for en option, der udbetaler $1, såfremt eventen sker, er lig den forventede værdi af optionen under sandsynlighedsmål Q. Kun såfremt Q(A) = 0, er formlen i overensstemmelse med, at køberen opfattede optionen som værdiløs. Havde P (A) 0, ville køberen kunne få optionen gratis, hvilket vil medføre en arbitragemulighed. For at dette ikke er muligt, bør P og Q være ækvivalente sandsynlighedsmål, det vil sige, at de definerer samme sæt af mulige udfald: Q(A) = 0 P (A) = Løftestangseffekt Begrebet løftestangstangseffekt, eller på engelsk leverage effect, har sin oprindelse i Corporate Finance teorien. Ser man meget forenklet på en virksomhed, består kapitalstrukturen af gæld og egenkapital. Hele virksomhedens værdi kan derfor skrives som V = E + D, hvor E og D er henholdsvis egenkapital og gæld. Egenkapitalen er markedsværdien, repræsenteret ved E = NS, hvor N er antallet af udestående aktier, og S er den aktuelle aktiekurs. Gælden antages at være konstant på kort sigt, hvorfor alle ændringer i virksomhedsværdien kommer som følge af ændringer i aktiekursen, det vil sige markedets forventninger til virksomheden. Når aktiekursen ændrer sig i negativ retning, betyder dette, at gearingseffekten, D bliver højere, E idet markedsværdien falder. Dermed er størrelsen på gælden relativt større end før ændringen. En simpel antagelse er, at jo højere gældsandel, jo mere risikofyldt er virksomheden. Ergo, når aktiekursen falder, stiger gældsandelen, samtidig med at risikoen i virksomheden stiger. Herved opstår løftestangseffekten. Dette kan også 9

15 udtrykkes i form af volatilitet, der er afkastspredningen på et givet aktiv. Når en aktiekurs falder, stiger volatiliteten, og der er dermed negativ korrelation mellem aktiekursen og volatiliteten. Løftestangseffekten er ikke blot et teoretisk begreb, men en del af forklaringen på den negative korrelation, der empirisk er mellem aktiekurser og volatilitet. 2.4 Volatilitetssmil I Black-Scholes modellen antages det, at volatiliteten er konstant. Dette har som bekendt vist sig ikke at være empirisk gældende, hvilket direkte kan ses i det såkaldte volatilitetssmil. Volatilitetssmilet er en graf over de implicitte volatiliteter for forskellige strikes, hvor de implicitte volatiliteter er de volatiliteter, der indsat i Black-Scholes formlen, giver markedsprisen. Den implicitte volatilitet er ækvivalent til prisen, hvorfor man nogle gange vil kunne se optioner opgivet i implicit volatilitet og ikke markedspriser. Såfremt europæiske call og put optioner deler samme spot pris, rente, strike, dividende samt tid til udløb, vil de implicitte volatiliteter for optionerne være ens. Baggrunden for dette ligger i put-call pariteten: p + S 0 e qt = c + Ke rt. For en given værdi af en konstant volatilitet, er p BS og c BS, værdierne for henholdsvis en put option og en call option beregnet ved hjælp af Black-Scholes formlen. Derved er put-call pariteten: p BS + S 0 e qt = c BS + Ke rt Endvidere sættes p mkt og c mkt til henholdsvis markedsværdien for en put og call option. Idet der for put-call pariteten ligger en antagelse om, at der ikke er arbitrage i markedet, kan put-call pariteten for markedspriserne skrives som: p mkt + S 0 e qt = c mkt + Ke rt Ved at fratrække markeds put-call pariteten fra Black-Scholes put-call pariteten, fås følgende ligning: p BS p mkt = c BS c mkt Ligningen viser, at prisfejlen ved at bruge Black-Scholes modellen er ens for europæiske put og call optioner med samme strikepris og tid til udløb. For en given implicit volatilitet vil p BS = p mkt, hvoraf det følger fra ovenstående ligning, at dette vil være det samme for call optionen. Derved vil den implicittete volatilitet, og dermed også 10

16 volatilitetssmilet for en put option altid være lig med den implicittete volatilitet for call optionen (Hull (2008)). Som navnet på dette afsnit lyder, kaldes grafen over de implicitte volatiliteter for volatilitetssmilet. Dog vil man ofte i forbindelse med aktieoptioner se betegnelsen volatilitetsskævhed. Dette skyldes, at volatilitetssmilet for aktieoptioner ofte ser ud som i nedenstående figur: Figur 1: Volatilitetssmil for aktiekurser Kilde: Hull (2008), egen tilvirkning Som det kan ses af grafen, falder volatiliteten, jo større strikeprisen er. Dette betyder, at call optioner, der er meget In-The-Money (ITM), har væsentlig højere implicit volatilitet i forhold til en tilsvarende option, der er Out-of-The-Money (OTM). En del af forklaringen på volatilitetsskævhed relaterer sig til løftestangseffekten. I afsnittet omkring dette blev det beskrevet, at når egenkapitalen faldt, steg risikoen på virksomheden og vice versa. Dette betød, at volatiliteten kunne forventes at være en faldende funktion af prisen, hvilket er et tilsvarende billede, der ses for volatilitetsskævheden. 3 Modelbeskrivelse 3.1 Constant Elasticity of Variance I 1976 præsenterede Cox and Ross (1976) CEV modellen, som er en udvidelse af Black-Scholes modellen. Jævnfør afsnit 2.1.3, Geometrisk Brownsk bevægelse, følger prisen på det underliggende aktiv i Black-Scholes modellen en geometrisk Brownsk bevægelse, hvor volatiliteten er konstant, og prisen er log-normalfordelt: ds t = µs t dt + σs t dz t 11

17 hvor µ angiver processens drift, σ angiver volatiliteten, og W angiver en Wiener proces. I CEV modellen er ændringen i aktiekursen, ds t, i stedet givet som: ds t = µs t dt + δs β/2 t dz t hvor δ og β er konstanter. Black-Scholes modellen kritiseres ofte for antagelserne om log-normalfordelte aktiekurser og konstant volatilitet, da empiriske undersøgelser generelt ikke understøtter disse forudsætninger. I stedet for en konstant volatilitet, er volatiliteten for aktiekursen i CEV-modellen givet som: (Schroder (1989)) σ = δs (β 2)/2 t Parameteren β angiver variansens elasticitet i forhold til aktiekursen. Variansen er en stigende (faldende) funktion af S t, når β > 2 (β < 2). Når β = 2, er variansen konstant, og CEV-modellen er lig med Black-Scholes modellen (Boyle, Tian, et al. (1999)). Da volatiliteten empirisk falder, når aktiekursen stiger, tager afhandlingens analyse udgangspunkt i modellen, hvor β < 2. Som navnet på modellen antyder, er variansens elasticitet konstant, hvilket betyder, at en proportionel ændring i aktiekursen modsvares af samme ændring i variansen. Alternativt kan man også sige, at volatiliteten i CEV-modellen er en deterministisk funktion af den tilfældige variabel S (Randal (2001)). En anden forskel mellem Black-Scholes modellen og CEV modellen er, at aktiekursen i CEV modellen kan blive nul. I Black-Scholes modellen er den procentvise volatilitet konstant, hvilket betyder, at volatilitetens betydning bliver mindre og mindre, jo mere prisen på det underliggende aktiv falder, og prisen når derfor aldrig nul. Som nævnt ovenfor stiger volatiliteten, hvis aktieprisen falder, i CEV modellen når β < 2, hvilket er illustreret i nedenstående tabel. S δs (β 2)/2 δs, β = 0, 5 (β 2)/2 δs (β 2)/2 δs, β = 2 (β 2)/2 S S 10 0,036 0,36% 0,0020 0,02% 8 0,042 0,53% 0,0031 0,04% 6 0,052 0,87% 0,0056 0,09% 4 0,071 1,77% 0,0125 0,31% 2 0,119 5,95% 0,0500 2,50% 1 0,200 20,00% 0, ,00% Tabel 1: Løftestangseffekt i CEV modellen, δ = 0, 2 12

18 Ovenstående medfører, at der er en sandsynlighed større end nul for, at prisen på det underliggende aktiv bliver nul (Goulden, Allen, and Einchcomb (2007)). For at sikre, at aktiekursen er en martingale, bør der tilføjes en absorberende barriere således, at hvis S t = 0 er S u = 0 for alle u > t (Andersen and Andreasen (2000)). I det tilfælde hvor S er udtryk for en aktiekurs, svarer denne egenskab til virksomhedens konkurs. Dette er ikke en hensigtsmæssig egenskab, når modellen benyttes til prisfastsættelse af optioner på indeks. Ved kalibrering af β parameteren kan man derfor argumentere for at indsætte en minimums grænse på 0 for at minimere sandsynligheden for at S = 0. Hvis man ikke gør dette, kan værdien af β blive (meget) negativ, hvilket, som sagt, kan have uønskede økonomiske konsekvenser. Bates (1996) argumenterer for, at det er utænkeligt, at der er en betydelig sandsynlighed for konkurs på et aktieindeks, men med en tilstrækkelig negativ værdi for β er dette muligt. Jackwerth and Rubinstein (2001) undersøger to versioner af CEV modellen, én med restriktioner for værdien af β og én uden. Jackwerth med flere konkluderer, at versionen med restriktioner ikke klarer sig meget bedre end Black-Scholes, hvorimod den uden restriktioner klarer sig betydeligt bedre. På trods af den øgede sandsynlighed for at S t = 0, er det derfor i afhandlingen valgt at medtage muligheden for, at β < 0. Det er interessant at undersøge, hvordan de enkelte parametre for CEV modellen, δ og β, påvirker prisen på en europæisk plain vanilla option, hvilket illustreres i nedenstående figurer for en option med 1,5 år til udløb, en spot pris på $100, en risikofri rente på 3% og nul i dividende. Til hjælp herfor benyttes endvidere tæthedsfunktionen. 2 Figur 2: Delta, β = 2 Figur 3: Tæthedsfunktion Værdien af δ illustrerer tydeligt, at jo mere volatilt det underliggende aktiv er, jo højere er prisen på optionen. Dette stemmer fint overens med optionsteorien, der angiver, at for en plain vanilla call option vil værdien af optionen øges, når 2 Tæthedsfunktionen er fundet ved hjælp af formel (1) fra afsnit 4.2.1, Formel for CEV. 13

19 volatiliteten stiger. Dette skyldes, at køber af en call option har ubegrænset upside potentiale, mens der samtidig er begrænset downside risiko. Når volatiliteten stiger, er der dermed større sandsynlighed for, at optionen ender ITM, uden at der er større tabsrisiko for køberen. Ergo, er optionen mere værd for køberen, og sælger vil dermed kræve en højere pris for optionen. I grafen for tæthedsfunktionen illustreres dette via grafens haler, der bliver betydeligt tykkere, når δ stiger. Endvidere forskydes grafen til højre, hvilket alt sammen medfører en øget sandsynlighed for større udfald i prisen på det underliggende aktiv og dermed en større sandsynlighed for, at optionen ender ITM, hvorfor optionsprisen stiger, når δ stiger. Figur 4: Beta, δ = 0.2 Figur 5: Tæthedsfunktion For β ses det, at jo større værdi af β, jo lavere er prisen for ITM optionerne. For OTM optionerne ses det omvendte billede. Dette skyldes β s påvirken på volatiliteten, der som nævnt er givet som: σ = δs (β 2)/2 t Af tabel 1 fremgik det, at volatiliteten i lavere grad påvirkes af en ændring i prisen på det underliggende aktiv ved en mindre β. I den grafiske illustration af tæthedsfunktionen ses dette ved, at grafen forskydes en smule til højre for faldende værdier af β, hvilket medfører en øget sandsynlighed for, at optionen ender/forbliver ITM. For OTM optionerne, påvirker β prisprocessen, således at denne øges, når β stiger, hvilken alt sammen øger sandsynligheden for at komme ITM. I grafen for tæthedsfunktionen ses dette ved, at grafens haler bliver tykkere, jo højere værdien af β er, hvilket medfører en øget sandsynlighed for store udfald og dermed en øget værdi for en OTM option. 3.2 Stochastic alpha beta rho SABR-modellen, der er en udvidelse af Black-Scholes modellen og CEV modellen, blev introduceret af Hagan, Kumar, and Lesniewski (2002). Modellen blev præsente- 14

20 ret som en pendant til de lokale volatilitets modeller, da disse modeller viste sig ikke at være i stand til at beskrive den dynamiske adfærd for volatilitets smilet. Faktisk bevægede smilet sig, for de lokale volatilitets modeller, i fuldstændig modsat retning af hvad empiriske resultater viste, med alvorlige konsekvenser til følge, når modellerne blev brugt til hedging (Hagan, Kumar, and Lesniewski (2002)). Derudover skal det nævnes, at SABR modellen har den fordel, at der findes en approksimativ lukket løsning for den implicitte volatilitet. SABR modellen er en stokastisk volatilitets model, hvor ændringen i forwardprisen følger nedenstående SDE: df = αf β dw t dα = ναd W t dw t d W t = ρdt Som det ses af den stokastiske differentialligning, følger forwardprisen en CEV proces. Hvis volatilitet af volatilitet parameteren, ν er lig med nul, reduceres SABR modellen til CEV modellen. W t og W t angiver to Wiener processer med korrelation ρ. Parameteren ν angiver, som nævnt ovenfor, volatilitetens volatilitet, og α 0 er den initiale volatilitet. Øges α 0, bevæger det implicitte volatilitetssmil sig i opadgående retning. Modsat har en stigning i α 0 ingen nævneværdig effekt på volatilitetssmilets form. Anderledes forholder det sig for ν, hvor en stigning i parameteren betyder, at volatilitetssmilet bliver mere konveks (Gauthier and Rivaille (2009)). Parameteren ρ påvirker den implicitte volatilitetskurve ved, at kurven bliver mere stejl, når ρ mindskes. Jævnfør West (2005) angiver β [0, 1] forholdet mellem forward prisen og ATM volatiliteten. Når β 1 vil en ændring i det underliggende aktiv ikke have en signifikant indflydelse på volatiliteten. Modsat, når β < 1 medfører en ændring i det underliggende aktiv en modsatrettet ændring i volatiliteten. Jo tættere β er på 0, desto mere udtalt er ændringen. β påvirker, tilsvarende som for ρ, den implicitte volatilitetskurve ved at kurven bliver mere stejl, når β falder. Når β = 1 er modellen lig med den stokastiske lognormal model, og når β = 0 er modellen lig med den stokastiske normal model (Hagan, Kumar, and Lesniewski (2002)). Ligesom der for CEV modellen bør tilføjes en absorberende barriere, bør der også tilføjes en sådan barriere for SABR modellen, når β < 1/2. I nedenstående grafer, illustreres det, hvorledes den enkelte parameter i parametersættet for SABR modellen påvirker prisen af en europæisk plain vanilla option med 1,5 år til udløb, en spot pris på 100, en risikofri rente på 3% og nul i dividende. 15

21 Figur 6: Alpha, β = 0, 9, ρ = 0, 6 og ν = 0, 4 Figur 7: Beta, α = 0, 4, ρ = 0, 6 og ν = 0, 4 Figur 8: Rho, α = 0, 4, β = 0, 9 og ν = 0, 4 Figur 9: Nu, α = 0, 4, β = 0, 9 og ρ = 0, 6 Af grafen for α s påvirkning på optionsprisen ses det, at jo større værdi af α, jo større værdi af optionen. Dette stemmer fint overens med den stokastiske differentialligning for SABR modellen, idet en højere α er medvirkende til en forøgelse af volatilitetsleddet, og som afledt heraf, prisen på optionen. Denne forklaring kan dog ikke stå alene. I og med at de to Wienerprocesser er korrelerede i form af parameteren ρ, betyder dette, jævnfør teorien omkring løftestangseffekten, at når korrelationen mellem volatiliteten og aktiekursen er negativ, vil prisen på optionen falde, når volatiliteten stiger. Der er dermed to modsatrettede effekter, der påvirker optionsprisen. Idet den største α også har størst optionsværdi over alle strikes, mere end opvejer effekten af øget volatilitet effekten af den negative korrelation. Samme forklaring er gældende for β s påvirken på optionsprisen, i og med at jo højere β, des større forward pris. For ρ ses et tydeligt billede. Når optionen er ITM, er optionsværdien højest, 16

22 når ρ er negativ, hvorimod optionsværdien for OTM optioner er størst, når ρ er positiv. Variablen ν giver derimod et mere blandet billede, hvilket igen kan skyldes kombinationen af øget volatilitet og korrelationen. Jo højere ν, des højere volatilitetsprocessen og dermed også højere forward pris. Modsat, på grund af den negative korrelation, vil forward processen mindskes, når volatilitetsprocessen stiger. 3.3 Heston modellen I 1993 udgav Steven Heston artiklen A closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to bond and currency options. En artikel der skulle vise sig at blive banebrydende for stokastiske volatilitets modeller, idet der dermed blev skabt en semi-lukket formel til prisfastsættelse af europæiske plain vanilla optioner (Janek, Kluge, Weron, and Wystup (2010)). Heston modellen er et specialtilfælde af en affine spring-diffusion 3, da modellen i sin grundform ikke har nogen spring. Affine processer er meget populære i finansieringsteorien, idet de medfører enten semi- eller lukkede løsninger for optionspriser. I Heston modellen følger processen for det underliggende aktiv en Black-Scholes stokastisk differentialligning, hvor volatiliteten er stokastisk over tid, og variansen følger den klassiske Cox-Ingersoll-Ross (CIR) proces: ds t = (r q)s t dt + σ t S t dw t, S(0) 0 dσ 2 t = κ(η σ 2 t )dt + θσ t d W t, σ 0 0 med dw t d W t = ρdt, W t og W t er to Wiener processer, og ρ repræsenterer korrelationen mellem pris og varians. At volatiliteten er stokastisk indebærer, at volatiliteten i morgen er, eller kan være, forskellig fra volatiliteten i dag, hvor ændringen kan skrives som: σ 2 t = σ 2 1 σ 2 0 σ 2 1 = σ κ(η σ 2 0)dt + θσ 0 d W t CIR processen er kendetegnet ved at være en tilbagevendende proces, hvor leddet κ(η σ 2 0)dt kaldes volatilitetens drift, og θσ 0 d W t kaldes volatilitetens volatilitet. Driften beskriver volatilitetens tilbagevendede proces mod den langsigtede volatilitet η. Hvis den nuværende volatilitet, σ 0, er mindre end den langsigtede volatilitet, η, vil driftsleddet være positivt (givet at κ er positiv). Dette medfører, at morgen- 3 En affine spring-diffusion er jævnfør Gatheral (2006) groft sagt en spring-diffusions proces, hvor driften, kovariansen og springintensiteten er lineære i tilstandsvektoren. For Heston modellen er tilstandsvektoren givet som {log(s), σ 2 } 17

23 dagens volatilitet stiger og derved går mod den langsigtede volatilitet. Omvendt gør sig gældende, når σ 0 > η. Værdien af κ afgør, hvor hurtigt denne proces finder sted. κ kaldes også half-life parameteren, idet 1 kaldes half-life. Som navnet antyder måler κ halvdelen af den tid, det tager volatilitetens at vende tilbage til den langsigtede 1 κ volatilitet. Er den nuværende volatilitet, σ 0, på S&P500 eksempelvis 20% pr år og tager det den to måneder at nå den langsigtede volatilitet, η, der er lig med 40% pr år, er half-life lig med 1 12 år. Den stokastiske del af volatiliteten er som nævnt givet som θσ 0 d W t. Wt er en normalfordelt variabel, hvilket medfører, at udtrykket både kan være positivt og negativt. Selvom volatiliteten går mod η, vil driften forstyrres af den uforudsigelige støj, som W t genererer. Ses der på eksemplet fra før, hvor den nuværende volatilitet, σ 0, på S& P500 var lig med 20% pr år og den langsigtede volatilitet, η var lig med 40% pr år, vil det forventes, at volatiliteten går imod η, men grundet den uforudsigelige støj kan morgendagens volatilitet godt falde til eksempelvis 15%. Den sidste parameter i volatilitetens volatilitet, θ, angiver, hvor meget volatiliteten kan forventes at variere. Er volatiliteten i begyndelsen af et år eksempelvis lig med 20%, vil θ = 0, 5 betyde, at en stigning eller et fald i volatiliteten på 50% eller mere er ganske sandsynligt henover året. Hvis θ = 1 er der stor sandsynlighed for, at volatiliteten fordobles eller halveres over et år. Parameteren ρ måler korrelationen af ændringer i prisen på det underliggende aktiv og ændringer i volatiliteten. Ved en negativ korrelation vil en stigning i markedet medføre et fald i volatiliteten, og omvendt jævnfør løftestangseffekten. ρ vil typisk være negativ, idet et fald i eksempelvis en aktiekurs er korreleret med en stigning i volatiliteten. Variansprocessen har den egenskab, at såfremt σ 2 > 0 ved tidspunkt t = 0, forbliver processen ikke-negativ. Dog kan processen ramme nul, hvilket har den effekt, at prisprocessen, i den tid variansen er nul, reduceres til en deterministisk funktion. For at sikre, at processen forbliver positiv, bør 2κη > θ 2 være opfyldt. Betingelsen kaldes Feller betingelsen og sikrer, at processen ikke rammer nul (Janek, Kluge, Weron, and Wystup (2010)). I nedenstående figurer illustreres det, hvordan den enkelte parametre påvirker prisen på en europæisk plain vanilla option med 1,5 år til udløb, en spot pris på $100, en risikofri rente på 3% og nul i dividende. Til kommentering benyttes endvidere en grafisk illustration af modellens tæthedsfunktion. 4 4 Tæthedsfunktionen er bestemt ud fra Fourier inversion i formel 4, hvor x = log(s T ) S 0 + log(s 0 ). 18

24 Figur 10: Eta, κ = 2, ρ = 0, 7, θ = 0, 4 og σ 2 0 = 0, 04 Figur 11: Tæthedsfunktion Som det ses af figuren, medfører en stigning i η en stigning i optionsprisen. Sammenholdes dette med variansprocessen i Heston ses det, at en større værdi af η er med til at øge variansen og dermed også optionsprisen for en plain vanilla call option. I grafen for tæthedsfunktionen illustreres dette ved, at grafens haler bliver tykkere, og samtidig ses det, at grafen bliver mere højreskæv, hvilket betyder en øget sandsynlighed for store udfald i prisen på det underliggende aktiv og dermed en større sandsynlighed for et positivt payoff for en call option. Figur 12: Kappa, η = 0, 09, ρ = 0, 7, θ = 0, 4 og σ 2 0 = 0, 04 Figur 13: Tæthedsfunktion Som for η, medfører en stigning i κ en stigning i optionsprisen. Dette hænger igen sammen med, at en stigning i κ er med til at øge variansprocessen, hvilket medfører, at optionsprisen stiger. I grafen for tæthedsfunktionen illustreres dette ved, at halerne bliver tykkere, og sandsynligheden for at ende At-The-Money (ATM) falder, samt sandsynligheden for store udfald stiger. Derudover medfører en øget højreskævhed, at sandsynligheden for at ende ITM stiger. Se mere herom i afsnit Fourier transformering. 19

25 Figur 14: Theta, η = 0, 04, κ = 2, ρ = 0, 7 og σ 2 0 = 0, 04 Figur 15: Tæthedsfunktion For værdien af θ ses det, at et fald i θ medfører en stigning i optionsprisen for stort set alle strike priser, bortset fra meget ITM optioner, hvor prisen er stort set ens for de tre forskellige værdier af θ. Sammenholdes dette med grafen for tæthedsfunktionen, hænger det sammen med, at jo lavere θ er, jo tykkere er tæthedens haler, hvilket illustrerer en større sandsynlighed for ekstreme udfald, hvilket er positivt for OTM optioner, da det her øger sandsynligheden for et positivt payoff. For optioner, der er meget ITM kommer halerne for graferne til at ligge oven i hinanden, hvorfor optionsprisen er stort set ens for de tre værdier af θ. Figur 16: Rho, η = 0, 04, κ = 2, θ = 0, 4 og σ 2 0 = 0, 04 Figur 17: Tæthedsfunktion Af figuren for optionspriserne ses det, at en negativ værdi af ρ medfører den højeste optionspris for ITM optioner. Ud fra den grafiske illustration af tæthedsfunktionen forklares dette med en overvejende sandsynlighed for at forblive ITM. For OTM optioner er billedet omvendt, idet en positiv ρ medfører den højeste optionspris. Dette skyldes, at tætheden er meget højreskæv herfor, hvorfor sandsynligheden for ekstreme udfald er stor, hvilket medfører en øget sandsynlighed for et positivt payoff. 20

26 Figur 18: Initial volatilitet, η = 0, 04, κ = 2, θ = 0, 4 og ρ = 0, 7 Figur 19: Tæthedsfunktion Figuren for variansen på tidspunktet, t = 0 viser, at jo højere varians, des højere optionspris. Forklaringen på dette kan endvidere ses af tæthedsfunktionen. Her fremgår det, at de høje værdier af σ 0 medfører tykkere haler og dermed en større sandsynlighed for at ende ITM. Grunden til, at Heston modellen er en af de mest populære stokastiske volatilitets model skyldes hovedsageligt to allerede nævnte årsager. For det første, at volatilitetsprocessen i modellen er ikke-negativ og tilbagevendende, hvilket er i overensstemmelse med observationer i markedet. For det andet udledte Heston en semilukket formel til prisfastsættelse af europæiske call optioner og løste derved en af datidens vigtige problemstillinger. Heston modellen har dog også sine mangler. Empirisk har det vist sig, at Heston modellen ikke er i stand til at generere stejlheden i volatilitetssmilet for optioner med korte løbetider. Det er endvidere observeret, at optioner langt OTM tæt på udløb har en markedspris større end nul, hvilket afspejler sandsynligheden for, at optionen natten over, hvor børsen er lukket, ender med at være ITM. Disse store stigninger kan ikke forklares ud fra forudsætningen om normalfordelte aktiepriser, hvorfor man eksempelvis kan argumentere for at tilføje spring til modellen (Gatheral (2006)). 3.4 Heston modellen med spring i prisprocessen Før udledningen af Heston modellen havde flere teoretikere arbejdet med at tilføje spring til Black-Scholes modellen. Modellerne har den fordel, at de er i stand til at generere stejlere implicit volatilitets skævhed for optioner med kort udløb mere præcist end eksempelvis Heston modellen. En svaghed er dog, at springene hurtigt dør ud med tid til udløb. For at udnytte fordelene ved stokastiske volatilitets modeller og spring modeller, er det derfor i nyere tid blevet meget anvendt at kombinere de to 21

27 typer, således at der fås en stokastisk volatilitets model med spring i prisprocessen. Her kombineres Heston modellen ofte med enten springet fra Mertons spring diffusion model eller Bates spring diffusions model (Bates (1991)). I denne afhandling tages der udgangspunkt i Bates, idet Matytsin jævnfør afsnit 3.5 nedenfor også benytter Bates spring i prisprocessen. For at undersøge, hvilken effekt et ekstra spring i volatilitetsprocessen giver i forhold til kun at have spring i prisprocessen, bør springene i prisprocessen have samme bagvedliggende forudsætninger. Pris- og volatilitetsprocessen for Heston modellen med et Bates spring i prisprocessen er givet som: ds t = (r q λµ J )S t dt + σ t S t dw t + J t S t dn t, S(0) 0 Med dw t d W t = ρdt dσ 2 t = κ(η σ 2 t )dt + θσ t d W t, σ 0 0 I prisprocessen er der tilføjet nogle ekstra komponenter i forhold til Heston modellen. N t er jævnfør afsnit 2.1.4, Lévy processer, en Poisson proces med intensitet λ, det vil sige en parameter for det årlige forventede antal spring, og J t er den procentvise springstørrelse, givet at der sker et spring, hvor 1 + J t er lognormalt fordelt: log(1 + J t ) N ( ) log(1 + µ J ) σ2 J 2, σ2 j N t er uafhængig af begge Wienerprocesser (Schoutens, Simons, and Tistaert (2005)). Det ses endvidere, at der er tilført en ekstra komponent i driften i forhold til Heston modellen. Dette er gjort for at sikre, at der tages hensyn til tilstedeværelsen af spring, således at driften forbliver risikoneutral. Som for de øvrige modeller ønskes det for Heston modellen med spring i prisprocessen at se på, hvorledes de enkelte parametre påvirker optionsprisen for en europæisk plain vanilla option med 1,5 år til udløb, en spot pris på $100, en risikofri rente på 5% og nul i dividende. Tæthedsfunktionen benyttes igen som hjælp hertil. Da parametrene for Heston modellen går igen i Heston modellen med spring i prisprocessen, vælges det kun at se på, hvordan de ekstra tre tilførte parametre, λ, µ J og σ J påvirker optionsprisen, i og med at effekterne for de øvrige parametre er de samme som før. 22

28 Figur 20: Lambda, η = 0, 09, κ = 2, θ = 0, 4, ρ = 0, 7, σ0 2 = 0, 04, µ J = 0, 5 og σ J = 0, 3 Figur 21: Tæthedsfunktion Af figuren for λ s effekt på optionsprisen ses det tydeligt, at des større λ, des større optionspris. Forklaringen på dette ligger i, at en tilfældig Poisson generering af λ genererer positive værdier. Poissonprocessen, N vil derfor blot blive større, når intensiteten øges. Dette har især effekt på OTM optioner, idet et positivt spring vil medføre større sandsynlighed for, at optionen bliver ITM, hvorfor optionsværdien er væsentligt højere her for højere værdier af λ. Forklaringen illustreres endvidere tydeligt i grafen for tæthedsfunktionen via de tykke haler. Af grafen ses det, at tætheden bliver meget højreskæv, når λ stiger, hvilket øger sandsynligheden for et positivt payoff, og dermed optionsprisen. Alt i alt gælder det, at jo større værdi af λ, jo flere spring forekommer der, og jo større er sandsynligheden for ekstreme udfald. Figur 22: Mu, η = 0, 04, κ = 2, θ = 0, 4, ρ = 0, 7, σ0 2 = 0, 04, λ = 0, 1 og σ J = 0, 3 Figur 23: Tæthedsfunktion I figuren, der illustrerer optionsprisen, ses det, at de forskellige værdier for µ J medfører stor forskel i optionsprisen. I illustrationen af tæthedsfunktionen ses det tydeligt, 23

29 at jo lavere værdi af µ J jo mere forskydes tæthedsfunktionen til højre, hvilket, alt andet lige, medfører en øget sandsynlighed for et højere afkast. Det ses dog, at grafen for den højeste µ J har en betydelig tykkere hale end de øvrige grafer, hvorfor prisen for en OTM option er højest herfor. Dette skyldes en øget sandsynlighed for ekstreme udfald for udløbsprisen og dermed en øget sandsynlighed for, at optionen ender ITM. Figur 24: Sigma, η = 0, 04, κ = 2, θ = 0, 4, ρ = 0, 7, σ0 2 = 0, 04, λ = 0, 1 og µ J = 0, 5 Figur 25: Tæthedsfunktion For σ J s effekt på optionsprisen, fremgår det af figuren for optionspriserne, at graferne blot er forskudt en smule i forhold til hinanden. I illustreringen af tæthedsfunktionen ses det, at værdien for σ J næsten ingen indflydelse har på tætheden og dermed prisen. Dog er det gældende, at jo højere standardafvigelse på springet, jo højere optionspris. Da Heston modellen med spring i prisprocessen som nævnt blot er en sammensætning af Heston modellen og et spring, medfører dette, at modellen stadig er god til at generere det empiriske volatilitetssmil på mellemlang og lang sigt. Samtidig er modellen dog forbedret ved nu også i høj grad at kunne generere volatilitetssmilet på kort sigt. Genereringen er dog ikke perfekt. Baggrunden for dette skal findes i, at volatiliteten vil forblive uændret efter et spring i prisen, idet spring processen er ukorreleret med volatilitetsprocessen. Dette er inkonsistent med empiriske studier af afkast på aktiver, da der i virkeligheden altid vil være en stigning i den implicitte volatilitet efter, at der har været et spring i det underliggende aktiv (Gatheral (2006)). 24

30 3.5 Heston modellen med spring i pris- og volatilitetsprocessen For at imødekomme problemet med, at der vil være en stigning i den implicitte volatilitet efter et spring i det underliggende aktiv, tillades der simultane spring i både prisprocessen og volatilitetsprocessen. Det simultane spring medfører, at store svingninger stadig vil følge store svingninger, og små svingninger vil efterfølge små svingninger, også kaldt volatility clustering (Gatheral (2006)). En af de første til at se på prisfastsættelse af optioner ved hjælp af stokastiske volatilitets modeller med spring i både pris- og volatilitetsprocessen var Matytsin i 1999 (Matytsin (1999)). Matytsin tager udgangspunkt i Bates model, men tilføjer simultane spring i pris- og volatilitetsproces. Pris- og volatilitetsprocessen bliver derved: ds t = (r q λµ J )S t dt + σ t S t dw t + J t S t dn t, S 0 0 dσt 2 = κ(η σt 2 )dt + θσ t d W t + ν J dn t, σ 0 0 Med dw t d W t = ρdt N t er igen en Poisson proces med intensitet λ. Begge Poisson processer er uafhængige af Wiener processerne. Tilføjelsen, ν J, er en konstant, der angiver størrelsen af springet i volatilitetsprocessen (Lord and Kahl (2006)). Det ekstra spring i volatilitetsprocessen bevirker derved, at når der sker et spring i prisprocessen, sker der også et deterministisk spring i variansen (Knudsen and Nguyen-Ngoc (2002)). Fordelen ved Matytsins model er, at den genererer en skævhed i den implicitte volatilitets flade for kort udløb, hvilket er i overensstemmelse med, hvad der empirisk observeres (Lord and Kahl (2006)). Ud fra samme argument som for Heston med spring i prisprocessen vil der for Heston modellen med spring i pris- og volatilitetsprocessen i forbindelse med de enkelte parameters effekt på optionsprisen, kun blive set på den sidste tilførte parameter, størrelsen af springet i volatilitetsprocessen, ν J. Optionen, der ses på, har samme karakteristika som de tilsvarende illustrationer for de foregående modeller. 25

31 Figur 26: Nu, η = 0, 04, κ = 2, Figur 27: Tæthedsfunktion θ = 0, 4, ρ = 0, 7, σ0 2 = 0, 04, λ = 0, 1, µ J = 0, 5 og σ J = 0, 3 Af figuren for optionsprisen fremgår det, at optionsprisen for alle strikepriser er mindst for den højeste værdi af ν. I illustreringen af tæthedsfunktionen ses dette ved, at sandsynligheden for at ende ITM er størst for den mindste værdi af ν, idet den højre hale er tykkest for ν = 0, 1. For de valgte parametre, kan det dog bemærkes, at det er begrænset, hvor meget parameteren påvirker optionsprisen. 3.6 Barndorff-Nielsen og Shephard En nyere type af stokastiske volatilitets modeller baserer sig på ikke-gausiske processer af Ornstein-Uhlenbeck typen (OU). Modellerne blev introduceret af Barndorff- Nielsen og Shephard (Barndorff-Nielsen and Shephard (2001)), hvorfra navnet stammer. Modeltypen har fået sit indtog, da modellerne succesfuldt er i stand til at tage højde for empiriske problemstillinger, så som at log afkast har fordelinger med store haler og er negativt korreleret med den stokastiske volatilitet (Nicolato and Venardos (2003)). Z t sættes til log-prisen af indekskursen, Z t differentialligning kan skrives som: = logs t, hvormed den stokastiske dz t = (r q λk( ρ) σ 2 t /2)dt + σ t dw t + ρdz λt hvor σ 2 t er givet ved OU-processen: dσ 2 t = λσ 2 t dt + dz λt, σ 2 0 > 0 med λ > 0 og ρ 0. ρ angiver gearingseffekten, der sikrer, at når varians processen 26

32 springer opad, springer pris processen nedad (Nicolato and Venardos (2003)). W t er, som for de øvrige modeller, en Wiener proces, mens processen Z = Z λt er en såkaldt subordinator, hvilket vil sige en Lévy proces med uafhængige og stationære tilvækster. Z benyttes til at drive OU processen og kaldes også en background driving Lévy process (BDLP) (Barndorff-Nielsen and Shephard (2001)). Subordinatoren er en voksende Lévy process, hvor tilvæksterne er ikke-negative. Subordinatoren erstatter Wiener processen i OU processen og sikrer, at σt 2 vil være positiv. Wiener processen, W, og BDLP, Z, er uafhængige. σt 2 bevæger sig alene på baggrund af spring og aftager eksponentielt (Barndorff-Nielsen and Shephard (2001)). Såfremt der er en periode uden spring, vil prisprocessen bevæge sig kontinuert, mens volatiliteten vil aftage. For processen σ 2 = {σt 2, t 0} gælder det, at der eksisterer en lov D, kaldet den stationære eller marginale lov. Dette betyder, at σt 2 for hver t vil følge loven D, såfremt σ0 2 er valgt ud fra D (Cariboni and Schoutens (2006)). I indeværende afhandling er det for BN-S modellen valgt, som i Schoutens, Simons, and Tistaert (2005) at lade D være en Gamma fordeling. For at relatere dette til den stationære lov, gælder det, at såfremt processen startes med en værdi fra Gamma fordelingen, vil enhver fremtidig σt 2 også følge en Gamma fordeling. Med Gamma fordelingen valgt som stationære lov, er OU processen givet som en Gamma-OU proces. Når dette er tilfældet følger subordinatoren, Z en compound Poisson proces. En compound Poisson proces er en Lévy proces, der er givet som følgende: N t Z t = n=1 hvor N = {N t, t 0} er en Poisson proces med intensitets parameter a, det vil sige, at E[N t ] = at, og {x n, n = 1, 2,...} er en uafhængig og identisk fordelt sekvens, hvor hver x n følger en eksponentiel lov med en middelværdi på 1/b (Schoutens, Simons, and Tistaert (2005)). x n I nedenstående figurer ses det, hvordan BN-S parametrene influerer prisen for en europæisk plain vanilla option med 1,5 år til udløb, en spot pris på $100, en risikofri rente på 3% og nul i dividende. Som hjælp til kommenteringen benyttes tæthedsfunktionen. 27

33 Figur 28: a, b = 20, λ = 0.6, ρ = 4 og σ 2 = 0.02 Figur 29: Tæthedsfunktion Når a, der er intensitet parameteren for Poisson processen, øges, medfører dette, at compound Poisson processen øges, og dermed også variansprocessen, hvilket resulterer i en højere optionspris. Endvidere indgår a også i kumulant funktionen, k(u) = au(b + u) 1, hvor a har den funktion, at når værdien øges, bliver k( ρ) mere negativ, hvilket resulterer i, at λk( ρ) bliver mere negativt, og at driftsleddet dermed øges for log-prisprocessen. Ses der på grafen for tæthedsfunktionen, illustreres dette ved, at halerne bliver tykkere og tætheden forskydes til højre. Dette medfører en øget sandsynlighed for, at optionen ender med et positivt payoff og dermed en højere optionspris. Figur 30: b, a = 0.3, λ = 0.6, ρ = 4 og σ 2 = 0.02 Figur 31: Tæthedsfunktion Ses der i stedet på figuren for b, ses et lignende billede som for a, dog er det den mindste værdi af b, der producerer den højeste optionspris. Tilsvarende som for a, påvirker b log-prisprocessen på flere måder. For det første er b en komponent i gamma-ou processen, hvor b har den effekt, at når denne øges, falder volatiliteten, og dermed log-prisprocessen. Herudover påvirker b kumulant funktionen, k( ρ) således, 28

34 at når b øges, bliver kumulant funktionen mindre negativ, hvilket resulterer i et mindre driftsled i log-prisprocessen. De to effekter tilsammen medfører dermed, at jo større b, des lavere optionsværdi. I grafen for tæthedsfunktionen illustreres dette som for a, bare omvendt. Når b stiger, forskydes tætheden til venstre, og sandsynligheden for et positivt payoff falder, hvilket medfører et fald i optionsprisen. Figur 32: Lambda, a = 0.3, b = 20, ρ = 4 og σ 2 = 0.02 Figur 33: Tæthedsfunktion I figuren, der beskriver λ s effekt på optionsprisen, ses det, at jo højere λ, jo højere optionspris. Den største effekt, λ har på optionsprisen, er i driftsleddet, hvor større værdier af λ skaber større driftled og dermed større log-prisproces. Dette er dog forudsat af, at k( ρ) giver et negativt tal, idet en større λ ellers vil have negativ effekt på driften. I grafen for tæthedsfunktionen illustreres effekten af λ ved, at grafen forskydes til højre, hvormed sandsynligheden for en højere slutkurs i det underliggende aktiv stiger. Effekten ebber dog ud for optioner, der er meget OTM. Dette skyldes, at tætheden for den største værdi af λ er størst ved en lav S T, hvorfor sandsynligheden for en lav slutkurs i det underliggende aktiv dermed stiger, når λ stiger. 29

35 Figur 34: Rho, a = 0.3, b = 20, λ = 0.6 og σ 2 = 0.02 Figur 35: Tæthedsfunktion Korrelationen, ρ, sikrer som nævnt, at når variansprocessen springer opad, springer prisprocessen nedad. Jo mere negativ ρ bliver, des mere springer prisprocessen opad, og des højere bliver optionspriserne. Dette illustreres tydeligt i grafen for tæthedsfunktionen, hvor tætheden forskydes til højre. Det bemærkes endvidere, at påvirkningen af ρ for BN-S modellen giver et væsentligt anderledes billede end for Heston modellerne, hvilket skyldes, at ρ indgår på forskellige måder for de to modeltyper. Figur 36: Initial volatilitet, a = 0.3, b = 20, λ = 0.6 og ρ = 4 Figur 37: Tæthedsfunktion Som for de øvrige parametre i BN-S modellen har initial variansen flere påvirkninger på log-prisprocessen. Direkte kan det ses af log-prisprocessen, at når variansen øges, mindskes driftsleddet og derved optionspriserne. Dette opvejes dog til dels af volatilitetsdelen i prisprocessen, der øges, når initial variansen øges. Den vigtigste påvirkning må dog forventes at komme fra initial variansens effekt på den kommende periods volatilitet. Des højere initial varians, des højere varians i den næste periode, der dermed er med til at øge log-prisprocessen. Som følge heraf viser figuren for initial variansen, at jo højere varians, des højere options pris. Af illustrationen for 30

36 tæthedsfunktionen ses det tydeligt, at jo højere varians, jo tykkere bliver halerne, og jo større bliver sandsynligheden for store udfald, hvormed optionsprisen stiger. 4 Kalibreringsafsnit 4.1 Datagrundlag Til brug for afhandlingens analyser benyttes priser for europæiske plain vanilla optioner baseret på S&P500 aktieindekset. Indekset er valgt, idet optioner herpå typisk er meget likvide. Dette er med til at sikre, at priserne er valide. Data er hentet gennem Wharton Research Data Services 5. Perioden, der er hentet data fra, er november oktober Da det er computermæssigt tungt at kalibrere til samtlige dage for hver enkelt model, er det i stedet valgt at kalibrere for én enkelt dag i hver måned, hvilket betyder, at der i alt ses på 12 forskellige dage. Der er valgt at se på den anden torsdag i hver måned. Af den nedenstående graf kan udviklingen i S&P500 indekset og VIX indekset ses for den valgte dataperiode. VIX indekset måler den implicitte volatilitet på S&P500 indeks optioner og repræsenterer markedets forventninger til volatiliteten over de kommende 30 dage. Figur 38: Udviklingen i S&P500 og VIX over dataperioden. Kilde: Datastream, egen tilvirkning Som det ses af grafen, har udviklingen i S&P500 indekset været relativt svingende over analyseperioden med mindsteværdi omkring $1.030, og størsteværdi omkring $ Svingningerne afspejles direkte i grafen for udviklingen i VIX indekset, idet

37 volatiliteten, jævnfør teorien om løftestangseffekten, stiger, når S&P500 indekset falder og vice versa. Til kalibrering og prisfastsættelse af optioner er både den risikofrie rente og dividenden nødvendige input, disse er dog ikke eksplicit givet i datasættet. Endvidere kendes den eksakte spotpris for den enkelte option ikke, idet spotprisen løbende ændrer sig gennem dagen, og værdien derfor kan være forskellig alt efter, hvornår optionen er blevet handlet. For at komme uden om disse problematikker, tages der udgangspunkt i put-call pariteten for en option, der udbetaler dividende ved en given rate, q, idet denne formel også er gældende for europæiske aktie indeks optioner. Put-call pariteten er i dette tilfælde givet som følgende: c + Ke rt = p + S 0 e qt Ved at sætte F 0 = S 0 e (r q)t kan put-call pariteten omskrives til: c + Ke rt = p + F 0 e rt For hver enkelt af optionerne til kalibreringen kendes call-, put- og strikeprisen. Dette medfører, at for alle optioner med samme udløb, kan der ved hjælp af non-linear least squares findes en unik forward pris og diskonteringsfaktor, P V, der er givet som P V = e rt. Ved hjælp af denne metode er man dermed i stand til, uden eksplicit at kende spotprisen, den risikofrie rente samt dividenden, at prisfastsætte plain vanilla optioner (Hull (2008)). For at kunne finde de, i afhandlingen, valgte modellers parametre, er det en nødvendig forudsætning, at markedspriserne for optionerne fastsættes. Her er dog en tilsvarende problematik som ovenstående med spotprisen, idet markedsprisen for den enkelte option ikke kendes. Det er derfor nødvendigt at finde en approksimation. Til dette formål er bid-ask spreadet et brugbart redskab. Bid-prisen repræsenterer den pris, markedet er villig til at købe optionen for, mens ask-prisen repræsenterer den pris, markedet er villig til at sælge optionen til. Markedsprisen for den enkelte option må derfor ligge mellem bid og ask priserne. Det vides dog ikke hvilken pris i intervallet, der bedst repræsenterer markedsprisen. Da europæiske plain vanilla optioner på S&P500 indekset, som nævnt ovenfor, er meget likvide produkter, er bid-ask spreadet endvidere forholdsvist smalt. Det syntes derfor rimeligt at anvende gennemsnittet af bid- og ask-priserne som approksimation. Datasættet har undergået en sortering, således at optioner, hvor der ikke er angivet nogen implicit volatilitet er udeladt. I og med at put og call optioner med samme 32

38 strikepris og udløb skal bruges til put-call pariteten, har sorteringen den betydning, at en option udelades, såfremt modparten er udeladt på grund af manglende data. Optioner med udløb mindre end 7 dage er frasorteret, da de som oftest er illikvide (Bakshi, Cao, and Chen (1997)). Endvidere er priser lavere end $3/8 frasorteret, idet bid-ask spreadet for disse optioner er meget følsomt over for tick-størrelsen, der er minimumsbeløbet, hvormed en optionspris kan rykke sig. Datasættet er endvidere sorteret for arbitragemuligheder, således at call priserne ikke overstiger spotprisen, (F P V ), samt at call priserne ikke er mindre end max(p V F K P V, 0) (Hull (2008)). Sorteringen af datasættet har medført, at der totalt er observationer tilbage for de 12 kalibreringsdatoer, det vil sige puts og calls med samme strike og udløb og dermed optioner i alt. 4.2 Metode til prisfastsættelse af optioner Til prisfastsættelse af europæiske plain vanilla optioner er der for afhandlingens modeller valgt forskellige tilgange. Dette skyldes, at der for CEV og SABR modellerne eksisterer lettilgængelige formler til prisfastsættelse af europæisk plain vanilla optioner, mens der for de øvrige modeller ikke eksisterer sådanne formler. Til disse modeller benyttes i stedet en Fourier transformering til prisfastsættelse af optionerne. Steven Heston var en af de første inden for finansieringsteorien til at benytte Fourier transformering i sin Heston formel for en call pris. Dette lader sig gøre, da der eksisterer en kendt karakteristiskfunktion for hver af modellerne. En nærmere gennemgang af Fourier transformering fortages i afsnit 4.2.3, Fourier transformering Formel for CEV Når man kan konstruere en perfekt risikoafdækket portefølje bestående af en europæisk option og det underliggende aktiv, kan man, i den risikoneutrale verden, værdiansætte optionen ved at tilbagediskontere det forventede payoff. I Cox og Ross artikel fra 1976 vises det, at for en CEV proces med β < 2 er tæthedsfunktionen for S T givet S t i en risikoneutral verden givet som: f(s T, T ; S t, t) = (2 β)k 1/(2 β) (xw 1 2β ) 1/(4 2β) e x w I 1/(2 β) (2 xw) (1) hvor I q (.) angiver den modificerede Bessel funktion af den første slags af q de orden 6 og k = 2(r α)/δ 2 (2 β)[e (r α)(2 β)τ 1] 6 En modificeret Bessel funktion af den første orden I ±υ (z) er en løsning til differentialligningen z 2 d2 w dz 2 + z dw dz (z2 + υ 2 )w = 0. 33

39 x = ks 2 β t e (r α)(2 β)τ w = ks 2 β T hvor α angiver dividenden. Prisen for en europæisk call option er givet som: C = e rτ + f(s T, T ; S t, t)(s T K)dS T hvilket kan omskrives til følgende: K C = S t e ατ Ke rτ + y + e w x (w/x) 1/(4 2β) I 1/(2 β) (2 xw)dz e w x (x/w) 1/(4 2β) I 1/(2 β) (2 xw)dz y hvor S T = (w/k) 1/(2 β) og y = kk 2 β (Schroder (1989)). I 1989 viste Schroder, at CEV formlen kan udtrykkes som en funktion af en ikke-centreret χ 2 fordeling, for β < 2 (Schroder (1989)): C = S t e ατ Q[2y; 2 + 2/(2 β), 2x] Ke rτ (1 Q[2x; 2/(2 β), 2y]) hvor Q(z; υ, κ) er den kumulative fordelingsfunktion for den ikke-centrerede χ 2 fordeling med υ frihedsgrader og ikke-central parameter κ. Fordelen ved at benytte Schroders approksimation, fremfor Cox og Ross originale formel, skal findes i, at de uendelige integraler er blevet erstattet af sandsynligheder, der let og hurtigt kan findes ved hjælp af en computer (Randal (2001)). Derved kan optionsværdier uden besvær beregnes ved hjælp af CEV-modellen. Da der som nævnt i afsnit 4.1, Datagrundlag, arbejdes med forward priser og diskonteringsfaktorer for ikke at skulle approksimere spotpriser, risikofri rente og dividende, er renten, r, og dividenden, α, som følge heraf ikke eksplicit givne. Dette er problematisk i forhold til Schroders formel, der kræver dette. Renten kan dog Funktionen I υ (z) kan skrives som følgende serie: (Schoutens (2003)) I υ (z) = (z/2) υ k=0 (z 2 /4) k k!γ(υ + k + 1) 34

40 findes ved at omskrive diskonteringsfaktoren, der er givet som P V = e rt.det er dog ikke muligt at udlede dividenden, idet denne indgår i én ligning med to ubekendte. Det er derfor valgt i denne beregning at sætte dividende lig 0. Dette er naturligvis ikke uden omkostninger, men sammenholdt med at det faktum, at det har været muligt at finde de korrekte forward priser og diskonteringsfaktorer, syntes dette som et rimeligt tradeoff. Dette vurderes dog ikke at få en betydelig effekt for CEVmodellens kalibreringsresultater, idet det må forventes at dividenden er af en mindre størrelse Formel for SABR For SABR modellen findes options priser for plain vanilla optioner ved først at bestemme den implicitte volatilitet, hvorefter optionen kan prisfastsættes ved hjælp af Blacks formel fra Blacks formel for en call option er som bekendt givet ved: C = e rt (F N (d 1 ) KN (d 2 )) hvor d 1,2 = logf/k ± 1 2 σ2 B t ex σ B tex Den implicitte volatilitet σ B (F, K) for SABR-modellen findes ved hjælp af formlen: σ B (F, K) α ( ) (F K) (1 β)/2 1 + (1 β)2 log 24 2 (F/K) + (1 β) log4 (F/K) [ (1 β) 2 α 2 24 (F K) + 1 ρβνα 2 3ρ2 + 1 β 4 (F K) (1 β)/2 24 ( 1 + ν 2 ] t ex ) ( ) z x(z) hvor z = ν α (F K)(1 β)/2 log(f/k) x(z) = log ( ) 1 2ρz + z2 + z ρ 1 ρ Såfremt optionen er ITM, K = F, reduceres ovenstående formel for den implicitte volatilitet til: σ B (F, F ) = α ( [ (1 β) F (1 β) 24 Hagan, Kumar, and Lesniewski (2002) α 2 F + 1 ρβνα 2 3ρ β 4 F (1 β) 24 ν 2 ] t ex ) Som nævnt i modelbeskrivelsen for SABR har β og ρ lignende effekt på volatili- 35

41 tetssmilet, idet begge parametre påvirker kurvens hældning. Dette faktum medfører, at modellen til en vis grad er overbestemt, hvilket kan påvirke de estimerede parametre fra kalibreringen, således at parametrene ikke giver empirisk mening. Det er derfor normal kutyme at fastsætte β, inden de øvrige tre parametre kalibreres, hvilket eksempelvis foreslås i Hagan, Kumar, and Lesniewski (2002). Samme forfattere angiver, at valget af β ikke har nogen betydelig påvirkning af modellens evne til at gengive markedssmilet. En anvendt metode til fastsættelse af β er at sætte parameteren til en bestemt værdi for eksempel β = 0, 5 eller β = 1. Metoden kan virke som en ad-hoc fastsættelse, så for sikre en rimelig β, er der i afhandlingen først kalibreret α, ρ og ν ud fra forskellige værdier af β, hvorefter β er kalibreret ud fra de kalibrerede værdier af α, ρ og ν med forskellige gæt på β. Denne proces gentages. Efter gennemførelse af processen, er det vurderet, at en β på 1 synes mest rimelig, idet denne kalibrerer bedst til markedet og samtidig giver empirisk fornuftige værdier for de tre øvrige parametre. Alt i alt betyder dette, at SABR modellen reduceres til lognormal modellen i afhandlingens analyser Fourier transformering Som nævnt ovenfor er det, for de resterende modeller, valgt at bruge Fourier transformering til prisfastsættelse af de europæiske plain vanilla optioner. Fourier transformering har vist sig at være utrolig brugbar i finansieringsteorien, da metoderne generelt er meget hurtigere end eksempelvis finite difference løsninger til partielle differentialligninger, hvilket har medført, at Heston blandt andet henviser til metoderne som værende lukkede løsninger (Carr and Madan (1999)). I den risikoneutrale verden kan forward prisen for en europæisk plain vanilla call option findes som følgende: C(S t, K, T ) = E[(S(T ) K) + ] Dette kan udregnes ved hjælp af numerisk integration, såfremt tæthedsfunktionen er kendt i lukket form. Desværre er dette sjældent tilfældet, idet tæthedsfunktionen for mange modeller enten ikke er kendt i lukket form eller er vanskelige at finde. I Fourier metoderne tages der udgangspunkt i modellens karakteristiskfunktion der, modsat tæthedsfunktionen, ofte er analytisk kendt. Samtidig eksisterer et en-til-en forhold mellem fordelingsfunktionen og karakteristisk funktion (Lord (2010)), hvilket medfører, at karakteristiskfunktionen er et komplet alternativ til tæthedsfunktionen. Karakteristiskfunktionen for en vilkårlig variabel, X, er givet som φ X (u) = E[e iux ], hvor i = 1 er det imaginære tal. Antag at f X (x) er tæthedsfunktionen for den vilkårlige variabel. Derved er karakteristiskfunktionen givet som: 36

42 φ X (u) = E[e iux ] = + e iux f X (x)dx (2) hvor integralet definerer den forventede værdi og per definition er Fourier transformationen af tæthedsfunktionen (Schmelzle (2010)). Fra Euler identiteten 7 ses det, at karakteristiskfunktionen har sin oprindelse i sinus og cosinus funktionerne: e iux = cos(ux) + isin(ux) (3) Formel (3) vil derfor nogle gange kunne ses skrevet som: φ X (u) = + cos(ux)f X (x)dx + i + sin(ux)f X (x)dx Dette vil der dog ikke blive beskrevet nærmere, da dette ligger udenfor afhandlingens omfang. En fundamental del af teorien omkring karakteristiskfunktioner og Fourier transformering er den såkaldte Inverse teori. For en funktion, f(x), er Fourier transformeringen defineret som: ˆf(u) = + e iux f(x)dx Her angiver den Inverse teori, at givet en Fourier transformering, ˆf(u), kan funktionen f(x) findes ved hjælp af formlen: f(x) = 1 2π + e iux ˆf(u)du En Fourier transformering kan jævnfør Schmelzle (2010) skrives som en to-dimensionel vektor i det komplekse plan, hvor de komplekse værdier er udtrykt som z = a + ib, hvor Re[z] = a er den reelle del, og F [z] = b er den imaginære del. a og b er reelle tal. Det er endvidere givet, at og Re[φ X (u)] = φ X(u) + φ X ( u) 2 F [φ X (u)] = φ X(u) π X ( u) 2i 7 En grafisk illustration af Euler identiteten kan ses i bilag A.1 37

43 hvilket betyder, at φ x (u) er lige i den reelle del og ulige i den imaginære del. En funktion, f(x), er lige såfremt, for x R, f(x) = f( x), hvilket betyder, at funktionen er symmetrisk i forhold til 2. aksen i et koordinatsystem. Et eksempel på en lige funktion er f(x) = cos(x). En funktion f(x) er ulige såfremt, for x R, f(x) = f( x), hvilket vil sige, at ulige funktioner er symmetriske i forhold til origo (Matsuda (2004)). Et eksempel på en ulige funktion er f(x) = sin(x). En lige funktion har endvidere den egenskab, at integralet af den positive og negative halvdel er lig hinanden, hvilket benyttes nedenfor. Inversions algoritmen er baseret på en særlig form af GilPalaez inversions integralet for den kumulative fordelings funktion f x x (x)dx: F x (x) = P (X x) = π + e iux φ x (u) du iu hvilket udtrykker fordelingsfunktionen som et integrale af karakteristiskfunktionen. Tages den afledte af F x (x) fremkommer tæthedsfunktionen: f x (x) = F 1 [φ x (u)] = 1 2π + e iux φ x (u)du Ved at benyttes symmetri egenskaben, som den lige funktion besidder, kan førstående formel omskrives til: f x (x) = 1 0 2π Re e iux φ x (u)du + 1 2π Re 0 = 1 + 2π Re e iux φ x (u)du + 1 2π Re 0 0 = 1 + 2π Re 2 e iux φ x (u)du = 1 π e iux φ x (u)du e iux φ x (u)du Re [ e iux φ x (u)du ] (4) Lignende beregning kan laves for den kumulative fordelingsfunktion, som derved bliver: F x (x) = π + 0 [ ] e iux φ x (u) F du u 38

44 (Schmelzle (2010)). For at se, hvor stor sandsynligheden er for, at en option ender ITM, ses der i stedet på P (X > x) = 1 F x (x), der giver følgende: P (S T > K) = π + 0 ( ) e iulog(k) φ T (u) Re du (5) iu (Carr and Madan (1999)) Ovenstående er generel teori omkring Fourier transformering. Ifølge Schmelzle (2010) er der to tilgange til brugen af invers Fourier transformering. Den første, der blandt andet er benyttet af Steven Heston i A closed-form Solution for Options with Stochastic Volatility with Application to Bond and Currency Optoins, finder optionspriser ved hjælp af invers Fourier transformering af kumulative fordelingsfunktioner, hvor formlen har visse karakteristika i lighed med Black-Scholes formlen. Dette ses eksempelvis af Heston formlen, der er givet som: C(x, ν, τ) = K{e x P 1 (x, ν, τ) P 0 (x, ν, τ)} (Gatheral (2006)) Den anden tilgang, som er den, der vil blive benyttet her i afhandlingen, betragter prisfastsættelse af optioner analogt til Fourier inversion af tæthedsfunktionen. Dette er en tilgang, både Lewis (2001) og Carr and Madan (1999) benytter sig af. For disse to metoder kan Fourier transformeringen dekomponeres i to dele: En payoff del i form af payoff transformeringen og en modelafhængig del i form af karakteristiskfunktionen. Mens Carr og Madan transformerer hele optionsprisen, inklusiv payoff funktionen, og transformerer med hensyn til strikeprisen, som det kunne ses i formel (5), tager Lewis udgangspunkt i payoff funktionen og transformerer med hensyn til log-spot prisen (Lord (2010) og Schmelzle (2010)). Derved er call prisen ved hjælp af Lewis tilgang givet som: C(S, K, T ) = Se qt 1 π SKe (r+q)t/2 0 ( Re [e iuk φ T u i )] 2 du u hvor k skrives som: Lewis (2001) ( ) S k = log + (r q)t K Både Carr og Madan samt Lewis tilgang har vist sig at give meget præcise op- 39

45 tionsværdier, hvorfor disse to metoder er utrolig populære i forbindelse med Fourier transformering. Til denne afhandling er Carr og Madans metode dog mest anvendelig. Dette skyldes, tilsvarende for CEV-modellen, at dividenden ikke er eksplicit givet i det valgte datasæt jævnfør afsnit 4.1, Datagrundlag, hvorfor leddet e (r+q)t/2 i Lewis formel ikke kan findes præcist. Dette er ikke relevant for Carr og Madans metode, hvorfor denne metode er et oplagt valg Carr og Madan I 1999 viste Carr og Madan i deres artikel Option Valuation Using the Fast Fourier Transform, hvordan man kan værdiansætte en option ved hjælp af Fast Fourier transformering, såfremt karakteristiskfunktionen for den underliggende stokastiske proces kendes. Fast Fourier transformeringen er en algoritme til beregning af Fourier transformationen af en diskret serie af værdier. Artiklen tager sit udgangspunkt i den risikoneutrale sandsynlighed for, at en option ender ITM, det vil sige formel (5): samt optionens delta: P (S T > K) = Π 2 = π Π 1 = π 0 0 ( ) e iuln(k) φ T (u) Re du iu ( ) e iuln(k) φ T (u i) Re du iuφ T ( i) hvormed optionsprisen, med en dividende på 0, kan skrives som: C = SΠ 1 Ke rt Π 2 Problemet med denne tilgang er, at Fast Fourier transformering ikke kan benyttes til at finde integralet, idet integralet er singulært 8 for u = 0 (Carr and Madan (1999)). For stadig at udnytte fordelen ved Fast Fourier transformering, introducerede Carr and Madan (1999) en ny teknik, hvor Fourier transformeringen blev beregnet af en modificeret call option med hensyn til log striken prisen k. Lad q T (s) være den risikoneutrale tæthedsfunktion af log prisen, s T = log(s T ), og e rt [e s e k ] det tilbagediskonterede payoff. Derved er call prisen givet som: C T (k) e rt (e s e k )q T (s)ds k 8 Begrebet singularitet beskriver et punkt, hvor et matematisk objekt ikke er defineret eller opfører sig meget atypisk. 40

46 Da C T (k) går mod S 0, når k går mod, er funktionen for call pris ikke kvadratisk integrable, hvormed Fourier transformeringen og den inverse ikke eksisterer. For at overkomme dette, indfører Carr and Madan (1999) en modificeret call pris, der sikrer, at funktionen er kvadratisk integrable: c T (k) e αk C T (k) hvor e αk er en dæmpningsfaktor med α > 0. For den modificerede call prisfunktion er Fourier transformeringen: ψ T (υ) = e iυk c T (k)dk Call prisen C T (k) kan derved findes ud fra den Fourier transformering af ψ T (υ): hvor ψ T (υ) er givet som: (Carr and Madan (1999)) C t (k) = e αk π ψ T (υ) = 0 e iυk ψ T (υ)dυ (6) e rt φ T (υ (α + 1)i) α 2 + α υ 2 + i(2α + 1)υ Fordelen ved Fast Fourier transformering er, at denne hurtigt og effektivt kan beregne summen: N w(k) = e i 2π N (j 1)(k 1) x(j) j=1 for k = 1,..., N. En approksimation til formel (6) kan derved findes som: C t (k) e αk π N e iυjk ψ T (υ j )η j=1 hvor η er skridt størrelsen for summeringsgitteret. Fast Fourier transformeringen returnerer N værdier af k, hvor k u = b + λ(u 1) for u = 1,..., N. Derved fås: C t (k u ) e αku π N e iλη(j 1)(u 1) e ibυ j ψ T (υ j )η j=1 For at få et fint gitter til integreringen, kan η sættes til en lille værdi. Dette resulterer 41

47 dog i, at der opnås call priser for strikes relativt langt fra hinanden, hvormed der kun er få strikes, der ligger tæt på prisen på det underliggende aktiv. For at få en præcis integration for større værdier af η benyttes Simpsons regelvægtning, hvorved den endelige call pris er givet som: C t (k u ) = e( αku) π N e i 2π N (j 1)(u 1) e ibυ j ψ ( υ j ) η 3 [3 + ( 1)j δ j 1 ] (7) j=1 (Carr and Madan (1999) samt Schmelzle (2010)) Ovenstående kan dog ikke benyttes for OTM optioner med meget kort tid til udløb. Dettes skyldes, at når den modificerede call pris benyttes, bliver integralet i Fourier transformeringen for disse optioner yderst svingende, hvilket gør det svært at integrere numerisk. Carr and Madan (1999) tager derfor udgangspunkt i en alternativ tilgang, hvor der arbejdes med optionens tidsværdi. z T (k) betegner call prisen for en call option med udløb T, der er OTM, k er igen log af strikeprisen. Fourier transformeringen for denne call pris er givet som: ζ T (υ) = e iυk z T (K)dk og prisen på OTM optionen kan derved opnås ved at benytte den transformering: hvor ζ T (υ) kan udledes til 9 : z T (k) = 1 2π e iυk ζ T (υ)dυ ( 1 ζ T (υ) = e rt 1 + iυ ert iv φ ) T (υ i) υ 2 iυ Da transformeringen bliver bred og svingende, når funktionen z T (k) er nær k = 0, er det, jævnfør Carr and Madan (1999), mere hensigtsmæssigt at benytte transformeringen af sinh(αk)z T (k) γ T (υ) = e iυk sinh(αk)z T (k)dk = ζ T (υ iα) ζ T (υ + iα) 2 9 For udledning henvises til Carr and Madan (1999). 42

48 For at komme frem til den endelige formel for call prisen, divideres der med sinh(αk) i stedet for at gange med e αku i formel (7). Herudover bliver ψ(υ) udskiftet med γ(υ). Ovenstående formler for optioner med meget kort tid til udløb vil dog i denne afhandling ikke få den store betydning, idet der som beskrevet i afsnit 4.1, Datagrundlag, grundet mulig illikviditet er udeladt optioner med mindre end syv dage til udløb i det anvendte datasæt. Da datasættet dog stadig indeholder OTM optioner med forholdsvis kort tid til udløb, er det alligevel valgt at benytte begge tilgange under kalibreringen. Som angivet i ovenstående afsnit er α samt karakteristiskfunktionen vigtige parametre i Fourier transformeringen. I de følgende afsnit beskrives derfor valget af størrelsen på α samt karakteristiskfunktionerne for de respektive modeller Valg af α Som tidligere nævnt er det afgørende for brugen af Fourier transformering, at den modificerede call pris er kvadratisk integrable, og at den er integrable for positive log strike værdier. Dette er gældende for ITM optioner såfremt, ψ T (υ) er endelig, hvilket kræver, at Φ T ( (α + 1)i) er endelig. Såfremt følgende forudsætning er opfyldt, kan Φ T ( (α + 1)i) betegnes som endelig: E[S α+1 T ] <. Værdien α omtales som den dæmpende konstant, og uden denne udviser integranden afvigende adfærd omkring nul og er derfor ikke egnet til Fast Fourier transformering (Carr and Madan (1999)). Den korrekte værdi af α er dog ikke lige nem at finde. Ved at ændre α kan integralet enten blive topstejl, når man er tæt på polerne for integralet eller yderst svingende, når den maksimale tilladte α nås. Dette medfører, at der er et begrænset interval for α værdien. Størrelsen på dette interval bliver mindre, når udløbstiden på optionen bliver mindre, og optionen bevæger sig væk fra ATM niveauet. Det kan derfor være uhyre vigtigt at vælge den rigtige α værdi, især for korte udløbstider og/eller optioner der er væk fra ATM niveauet (Lord and Kahl (2007)). I den gængse litteratur er der flere forskellige forslag til værdien af α. Carr and Madan (1999) anbefaler generelt en fjerdedel af den øvre grænse for α, som værdien for denne, mens Schoutens, Simons, and Tistaert (2005) i deres analyse anbefaler en værdi på 0,75. Da flere af afhandlingens modeller går igen fra modellerne i Schoutens, Simons, and Tistaert (2005), samt at de 0,75 er en værdi, der ikke adskiller sig væsentligt fra andre foreslåede værdier, er denne også valgt her. 43

49 4.2.6 Karakteristiskfunktion for Heston I litteraturen vil man kunne se, at karakteristiskfunktionen for Heston er skrevet på forskellige måder, dog således at de er ækvivalente til hinanden. Der tages her udgangspunkt i Schoutens, Simons, and Tistaert (2005) måde at skrive karakteristiskfunktionen på. φ(u, t) = E[exp(iulog(S t )) S 0, σ0] 2 = exp(iu(logs 0 + (r q)t)) exp(ηκθ 2 ((κ ρθui d)t 2log((1 ge dt )/(1 g)))) exp(σ0θ 2 2 (κ ρθui d)(1 e dt )/(1 ge dt )) hvor d = ((ρθui κ) 2 θ 2 ( iu u 2 )) 1/2 (8) g = (κ ρθui d)/(κ ρθui + d) (9) Som nævnt findes der forskellige måder at skrive karakteristiskfunktionen på. Overordnet eksisterer der to versioner af karakteristiskfunktionen for Heston modellen. Den ene er som givet ovenfor, mens den anden blandt andet kan findes i den originale artikel, Heston (1993), og er givet ved: φ(u, t) = E[exp(iulog(S t )) S 0, σ0] 2 = exp(iu(logs 0 + (r q)t)) exp(ηκθ 2 ((κ ρθui + d)t 2log((1 ge dt )/(1 g)))) exp(σ0θ 2 2 (κ ρθui + d)(1 e dt )/(1 ge dt )) hvor d = ((ρθui κ) 2 + θ 2 (iu + u 2 )) 1/2 g = (κ ρθui + d)/(κ ρθui d) Når man kigger lidt nærmere på de to versioner af karakteristiskfunktionen, vil man bemærke, at fortegnet foran d er byttet om. Formlerne er dog matematisk ækvivalente. Af tekniske årsager, der ikke uddybes her, har det vist sig, at når Hestons version af karakteristiskfunktionen benyttes, kan der opstå numeriske problemer ved prisfastsættelse af plain vanilla optioner, når Fourier teknik benyttes. Albrecher, Mayer, Schoutens, and Tistaert (2007) viser, at for næsten ethvert parametervalg vil der opstå ustabilitet i den originale karakteristiskfunktion, når der er lang tid til udløb. Benyttes i stedet Schoutens, Simons, and Tistaert (2005) formulering, kan disse problemer undgås (Albrecher, Mayer, Schoutens, and Tistaert (2007)), hvorfor dette er 44

50 valgt i indeværende afhandling. Da det er valgt at arbejde med forward priser i afhandlingen omskrives karakteristiskfunktionen, så den bygger på dette. Karakteristiskfunktionen er derfor givet som: φ(u, t) = exp(iu(logf )) exp(ηκθ 2 ((κ ρθui d)t 2log((1 ge dt )/(1 g)))) exp(σ 2 0θ 2 (κ ρθui d)(1 e dt )/(1 ge dt )) hvor d og g er givet som i formel (8) og (9) Karakteristiskfunktion for Heston med spring i prisprocessen Karakteristiskfunktionen for Heston med spring i prisprocessen er jævnfør Schoutens, Simons, and Tistaert (2005) givet som: φ(u, t) = E[exp(iulog(S t )) S 0, σ0] 2 = exp(iu(logs 0 + (r q)t)) exp(ηκθ 2 ((κ ρθui d)t 2log((1 ge dt )/(1 g)))) exp(σ0θ 2 2 (κ ρθui d)(1 e dt )/(1 ge dt )) exp( λµ J iut + λt((1 µ J ) iu exp(σj(iu/2)(iu 2 1)) 1)) hvor d og g igen er givet som i formel (8) og (9). Som det ses af karakteristisk funktionen, er den nederste linje blive tilføjet i forhold til karakteristisk funktionen for Heston modellen. Endvidere ses det, at springet er inkorporeret i denne linje. Som for Heston modellen er karakteristiskfunktionen til afhandlingens formål omskrevet til forwardpriser, således at denne bliver: φ(u, t) = exp(iu(logf )) exp(ηκθ 2 ((κ ρθui d)t 2log((1 ge dt )/(1 g)))) exp(σ0θ 2 2 (κ ρθui d)(1 e dt )/(1 ge dt )) exp( λµ J iut + λt((1 µ J ) iu exp(σj(iu/2)(iu 2 1)) 1)) 45

51 4.2.8 Karakteristiskfunktion for Heston med spring i pris- og volatilitetsproces For Heston med spring i pris og volatilitetsprocessen er karakteristiskfunktionen givet som: φ(u, t) = E[exp(iulog(S t )) S 0, σ0] 2 = exp(iu(logs 0 + (r q)t)) exp(ηκθ 2 ((κ ρθui d)t 2log((1 ge dt )/(1 g)))) exp(σ0θ 2 2 (κ ρθui d)(1 e dt )/(1 ge dt )) exp(( λiu(exp(µ J + σj/2) 2 1) + λ(exp(iuµ J u 2 + σj/2) 2 1)I)T ) hvor I er defineret som I(u, T ) = 1 T T e ν J D(u,T ) dt og e ν J D(u,T ) = exp(ν J )exp(σ 2 0θ 2 (κ ρθui d)(1 e dt )/(1 ge dt )) 0 Gatheral (2006) og Schoutens, Simons, and Tistaert (2005). Ved at omskrive til forward priser fås følgende karakteristisk funktion: φ(u, t) = exp(iu(logf )) exp(ηκθ 2 ((κ ρθui d)t 2log((1 ge dt )/(1 g)))) exp(σ0θ 2 2 (κ ρθui d)(1 e dt )/(1 ge dt )) exp(( λiu(exp(µ J + σj/2) 2 1) + λ(exp(iuµ J u 2 + σj/2) 2 1)I)T ) Karakteristiskfunktion for Barndorff-Nielsen og Shephard Som for de tre Heston modeller tages der, for BN-S modellens karakteristiskfunktion, udgangspunkt i Schoutens, Simons, and Tistaert (2005) måde at skrive karakteristiskfunktionen på. Ved hjælp af kumulant funktionen fra Barndorff-Nielsen, Nicolato, and Shephard (2002), givet som: k(u) = au(b + u) 1 46

52 hvor der er taget hensyn til, at der arbejdes med en gamma fordeling, fås karakteristisk funktionen som: φ(u, t) = exp(iu(log(s 0 ) + (r q aλρ(b ρ) 1 )t)) exp( λ 1 (u 2 + iu)(1 exp( λt))σ0/2) 2 ( ( ) )) b exp (a(b f 2 ) 1 f1 b log + f 2 λt b iuρ hvor f 1 (u) = iuρ λ 1 (u 2 + iu)(1 exp( λt))/2 f 2 (u) = iuρ λ 1 (u 2 + iu)/2 Ved at omskrive til forward priser fås følgende karakteristiskfunktion: φ(u, t) = exp(iu(log(f ) aλρ(b ρ) 1 )t) exp( λ 1 (u 2 + iu)(1 exp( λt))σ0/2) 2 ( ( ) )) b exp (a(b f 2 ) 1 f1 b log + f 2 λt b iuρ 4.3 Kalibrering Overordnet set kan man estimere parametrene for en given model ud fra to metoder. Enten kan man benytte sig af historiske data og estimere parametrene ud fra økonometriske metoder som eksempelvis Maximum Likelihood eller Generalized Methods of Moments, eller også kan man estimere parametrene implicit ud fra observerede optionspriser. En af ulemperne ved at benytte historiske data er, at man ikke er i stand til at estimere markedsprisen på volatilitetsrisiko (An and Suo (2009)). Endvidere har forskellige empiriske studier vist, at implicitte parametre er bedre estimater, da de gengiver markedsaktørernes forventning til aktivprisen (Bates (1996)). I denne afhandling er det derfor valgt at estimere parametrene implicit ud fra observerede options priser. Estimeringen foretages ud fra N optioner på S&P500 indekset, observeret på samme tidspunkt, hvor N er større end eller lig med 1 + antallet af parameterværdier, der skal estimeres. For hver n = 1,..., N angiver τ n og K n henholdsvis tid til udløb og strike prisen for den n te option. For hver dag i datasættet beregnes forskellen mellem markedsprisen og den tilsvarende modelpris for de observerede optioner under hensyntagen til modellens parametre: 47

53 ɛ n [V (t), Φ] = Ĉn(t, τ n ; K n ) C n (t, τ n ; K n ) hvor Ĉn(t, τ n ; K n ) er den observerede markedspris, og C n (t, τ n ; K n ) er modelprisen. Modelprisen C n (t, τ n ; K n ) findes ved hjælp af Fourier transformering for Heston modellerne og BN-S, hvor variablerne, forwardprisen og tid til udløb for karakteristiskfunktionerne findes i markedet. For CEV og SABR modellerne findes priserne ved hjælp af de respektive eksplicitte formler for optionsprisen. Ved at minimere en given kriteriefunktion, eksempelvis: min V (t),φ N ɛ n [V (t), Φ] 2 (10) n=1 udregnes V t og parametervektoren Φ (Bakshi, Cao, and Chen (1997)). En kriteriefunktion er en funktion, der måler fejlen mellem markedet og modellen. Der findes mange forskellige funktioner, og da de hver især resulterer i forskellige kalibrerede modelparametre, opstår begrebet kalibreringsrisiko. De forskelligt kalibrerede parametre kan eksempelvis medføre, at prisfastsættelsen af eksempelvis eksotiske optioner kan variere betydeligt (Detlefsen and Härdle (2007)). I det følgende præsenteres en række forskellige kriteriefunktioner. Kriteriefunktionerne omfatter forskel i absolutte og relative priser samt forskel i absolutte og relative implicitte volatiliteter. Kriteriefunktionen, der angiver forskellen mellem de absolutte priser, vægter relativt dyre optioner, det vil sige ITM optioner og optioner med lang løbetid, mere end billigere optioner, altså optioner med kort løbetid og OTM optioner (Bakshi, Cao, and Chen (1997)). Den absolutte prisforskel (AP) er givet som: AP = n w i (Pi mod i=1 P mar i ) 2 Kriteriefunktionen, der angiver forskellen mellem den relative prisforskel, ligger, modsat den absolutte prisforskel, større vægt på billige optioner (Bakshi, Cao, and Chen (1997)). Dette bygger på argumentet om, at fejlen på en billig option bør vægtes lige så meget som fejlen på en dyr option. Den relative prisforskel (RP) er givet som: RP = n i=1 ( P mod i w i P mar i P mar i Da mange modeller bedømmes ud fra deres evne til at gengive den implicitte volatilitets flade, defineres den absolutte og relative prisforskel også ud fra de implicitte ) 2 48

54 volatiliteter. Forskellen i den absolutte implicitte volatilitet (AI) er givet som: AI = n w i (IVi mod i=1 IV mar i ) 2 Forskellen i den relative implicitte volatilitet (RI) er givet som: RI = n i=1 ( IV mod i w i IV mar i IV mar i Modelrisikoen er ikke uafhængig af kalibreringsrisikoen. Modelrisikoen er eksempelvis lavest for kalibrering i forhold til absolutte priser og højest for kalibrering i forhold til relativ implicit volatilitet. Hvis valget af model er usikkert, bør man derfor kalibrere i forhold til absolutte priser, har man derimod valgt en model, bør man kalibrere i forhold til den relative implicitte volatilitet (Detlefsen and Härdle (2007)). Da afhandlingens hovedformål er at undersøges seks forskellige modeller, er det valgt, ud fra ovenstående argumentation, at kalibrere modellerne i forhold til den absolutte prisforskel. ) 2 Som det ses af ovenstående formler, vægtes den enkelte option med vægten w. Adskillige forfattere har givet deres bud på, hvilken vægtning, der giver den mest korrekte kalibrering, idet forskellige vægtningsmetoder vil påvirke det endelige resultat. Det er derfor vigtigt, at vægtningen vælges med omhu. I Schoutens, Simons, and Tistaert (2005) benyttes vægten w i = 1, hvor N er antallet af optioner, således N at alle optioner vægtes ens. Denne vægtning vælges, såfremt det ønskes at vægte alle optioner med lige stor vægt. Et alternativ, hvor optionerne vægtes forskelligt, er at vægte med bid-ask spreadet. Derved er vægtningen givet som w i = 1 bid i ask i 2. For denne vægting kommenterer Cont and Tankov (2004), at for optioner, der ikke er alt for langt fra ATM, er bid-ask spreadet i en størrelsesorden af ti basis point af den implicitte volatilitet, det vil sige cirka 1%. Dette betyder at for at have fejl, der er proportionale med bid-ask spreadet, bør man, med denne vægtning, minimere i forhold til den implicitte volatilitet og ikke options priser. Da det netop er vurderet, at det mest korrekte er at minimere i forhold til absolutte priser for denne afhandling, fravælges bid-ask spreadet som vægtning. Et meget anvendt alternativ er at vægte med de kvadrerede Black-Scholes vega vægte. Vega angiver som bekendt, hvor følsom en option er overfor ændringer i volatilitet. Vægtningen tager derved hensyn til, at ATM-optioner er mere likvide og dermed mere følsomme overfor volatilitet. Derved vil en volatilitetsfejl for en ATM-option give større prisfejl end for ITM- og OTMoptioner. Vega findes ved hjælp af Black-Scholes formlen, hvor Vega= T F e d2 1 /2 2π. 49

55 Derved bliver vægtningen: w i = 1 vega 2 (I i ) hvor I i er implicitte volatiliteter for markedet. Ved at vægte den absolutte prisforskel med vega, tager kalibreringen i højere grad hensyn til den implicitte volatilitet. Udover de forskellige kriteriefunktioner findes der også forskellige algoritmer til selve minimeringen. Formel (10), et eksempel på et ikke lineært eller konvekst optimeringsproblem, hvilket medfører, at det kan være svært at løse, da der kan eksistere mange lokale minima (Haug (2010)). I indeværende afhandling er Matlabs funktion lsqnonlin brugt som minimeringsalgoritme. Funktionen starter i punktet x 0, der er givet som startgæt, og finder et minimum af de summerede kvadrater. Da algoritmen er afhængig af startgættet, finder den ikke nødvendigvis et globalt minimum. For at imødekomme dette problem, er hver enkelt model kalibreret ud fra forskellige startgæt. Dette er gjort for at sikre, at kalibreringen ikke blot finder nærmeste lokale minimum, der kan være langt større end andre lokale minima og/eller det globale minimum. Ved at sætte forskellige startgæt, har hver kalibrering derved hvert sit udgangspunkt, således at der er større sandsynlighed for at finde det globale minimum. 4.4 Resultat af kalibrering I afhandlingen arbejdes der som nævnt i afsnit 4.1, Datagrundlag, med data fra perioden november oktober 2010, hvor der ses på den anden torsdag i hver måned, således at der alt i alt er 12 datasæt. For at kunne sammenligne modellerne på tværs af hinanden, er de respektive modeller kalibreret for hver enkelt dag i datasættet og dermed også for optioner med forskellige løbetider. Dette har medført 12 parametresæt for hver enkelt model CEV Under kalibreringen af CEV modellen er parametrene underlagt følgende betingelser: 0 δ, da δ er en positiv konstant, og β 2, da β empirisk er mindre end 2, og der i afhandlingen kun fokuseres herpå. Kalibreringen for den 12. november 2009 har resulteret i følgende parametre og absolutte prisforskelle: δ β AP Startgæt Kalibrering Startgæt Kalibrering 0,1 0, ,5-2, , ,5 0, , , , , ,24956 Tabel 2: Kalibrering af CEV modellen for d. 12. november

56 Som det ses af tabellen, er parameterværdierne forholdsvis konstante og uafhængige af de forskellige startgæt. Dette indikerer, at det globale minimum er fundet eller alternativt, at alle startgættene har resulteret i samme lokale minimum, hvilket betyder, at kalibreringen har været robust for denne dato på tværs af startgættene. Dette er dog ikke et entydigt billede for hele datasættet. Som det eksempelvis ses af kalibreringen for den 12. august 2010 i nedenstående tabel, kan β værdien være meget følsom overfor, hvilket startgæt der bruges. δ β AP Startgæt Kalibrering Startgæt Kalibrering 0,1 0, ,5 1, , ,5 0, , , , , ,33298 Tabel 3: Kalibrering af CEV modellen for d. 12. august 2010 At der kan være så store udsving i de kalibrerede værdier skyldes, at der som nævnt arbejdes med en funktion, lsqnonlin, der finder lokale minima og ikke nødvendigvis det globale minimum. Det ses tydeligt, at det første startgæt medfører, at funktionen ender i et lokalt minimum, hvor den absolutte prisforskel er væsentligt højere end for de øvrige startgæt. De øvrige startgæt har ikke bare lavere absolutte prisfejl men medfører også mere stabile og realistiske parametre. Desværre kan det ikke afvises, at der endnu engang er tale om lokale minima. I nedenstående tabel vises de gennemsnitlige værdier på tværs af datasættet for de forskellige startgæt. Standardafvigelsen er givet i parentes. δ β AP Startgæt 1 0, , ,37772 (0,02315) (2,13619) (0,14623) Startgæt 2 0, , ,33137 (0,02373) (0,84925) (0,08844) Startgæt 3 0, , ,33180 (0,63003) (0,86431) (0,08916) Tabel 4: Gennemsnitlige værdier af kalibreringen for CEV modellen Af ovenstående kan man se, at δ er relativ ens for de to første startgæt, mens gennemsnittet for det tredje gæt er væsentligt højere. Dette skyldes, at δ for to af dagene 51

57 i det tredje startgæt er væsentligt højere end for de øvrige dage, der ellers ligger i samme interval som gennemsnittet for de to første gæt. De to afvigere medfører endvidere en høj standardafvigelse for det tredje gæt. Et lignende billede tegner sig for β ved startgæt 1, idet gennemsnittet er væsentligt lavere her end for de to øvrige startgæt, samtidig med at standardafvigelsen er væsentligt højere. Endvidere bør det bemærkes, at standardafvigelsen for β generelt er højere end for δ. For at illustrere CEV modellens evne til at gengive markedspriser, vises i nedenstående figur de fundne modelpriser på baggrund af de kalibrerede værdier i forhold til markedspriserne for den 14. januar Figur 39: CEV Af figuren ses det, at det er noget varierende hvor godt, modellen er i stand til at matche markedspriserne, men eftersom CEV modellen er en forholdsvis simpel model med kun to parametre, er dette ikke overraskende, taget i betragtning at modellen, som vist ovenfor, i gennemsnit har forholdsvist høje absolutte prisfejl SABR Tilsvarende som for CEV modellen er SABR modellen kalibreret for tre forskellige startgæt for hver enkelt af de 12 dage i datasættet. I modsætning til CEV modellen har kalibreringen af parametrene i SABR modellen vist sig at være utrolig stabil og uafhængig af de forskellige startgæt for alle dagene i datasættet. For at illustrere dette, ses der her på de samme dage, som der blev set på for CEV modellen. Af nedenstående tabellerne fremgår β dog ikke, idet denne som tidligere nævnt blev fastsat til 1. For den 12. november 2009 gav kalibreringen af de øvrige parametre følgende resultater og absolutte prisforskelle: 52

58 α ρ ν AP Startgæt Kalibrering Startgæt Kalibrering Startgæt Kalibrering 0,2 0, ,70-0, ,85 0, , ,4 0, ,50-0, ,6 0, , ,6 0, ,40-0, ,1 0, ,22664 Tabel 5: Kalibrering af SABR modellen for d. 12. november 2009 mens kalibreringen for den 12. august 2010 gav nedenstående parametre og absolutte prisforskelle: α ρ ν AP Startgæt Kalibrering Startgæt Kalibrering Startgæt Kalibrering 0,2 0, ,70-0, ,85 0, ,3312 0,4 0, ,50-0, ,6 0, ,3312 0,6 0, ,40-0, ,1 0, ,3312 Tabel 6: Kalibrering af SABR modellen for d. 12. august 2010 At kalibreringen for SABR modellen er mere stabil kan blandt andet skyldes, at α, ρ og ν har vidt forskellige effekter på volatilitetssmilet, hvilket sikrer, at de kalibrerede parametre ofte er meget stabile selv i perioder med stor støj i markedet. At kalibreringen af parametrene har været stabil over hele datasættet kan ses af nedenstående tabel, der viser gennemsnit og standardafvigelserne for de tre startgæt (Hagan, Kumar, and Lesniewski (2002)). α ρ ν AP Startgæt 1 0, , , ,30801 (0,00776) (0,01563) (0,02291) (0,02581) Startgæt 2 0, , , ,30801 (0,00776) (0,01563) (0,02291) (0,02581) Startgæt 3 0, , , ,30801 (0,00776) (0,01563) (0,02291) (0,02581) Tabel 7: Gennemsnitlige værdier af kalibreringen for SABR modellen Tabellen taler sit eget tydelige sprog. Gennemsnittet for den enkelte parameter er utrolig ens for de tre forskellige startgæt, samtidig med at standardafvigelserne ligger på et meget lavt niveau, hvilket igen er med til at understrege, at kalibreringen for 53

59 SABR modellen har været utrolig stabil. Når der ses på modellens evne til at gengive optionsmarkedspriserne fås følgende billede: Figur 40: SABR Sammenholdes dette med CEV modellens evne til at gengive markedspriserne, vil man kunne se, at SABR modellen rammer en smule bedre, hvilket også afspejler sig i den mindre gennemsnitlige absolutte prisforskel, som SABR modellen har. At SABR modellen kalibrerer bedre til markedspriserne giver god mening, idet tilføjelsen af stokastiske volatilitet i teorien bør forventes at give bedre kalibreringsresultater Heston For afhandlingens tre typer af Heston-modeller, skal Feller betingelsen, 2κη > θ 2, jævnfør beskrivelsen af Heston modellen i afsnit 3.3 være opfyldt for at sikre, at variansprocessen altid er positiv og ikke rammer 0. Såfremt betingelsen ikke er opfyldt, vil variansprocessen kunne ramme 0, dog kun i et meget lille øjeblik, således at variansen ikke forbliver på punktet (Jacquier and Martini (2010)). Ifølge Andersen (2007) og Janek, Kluge, Weron, and Wystup (2010), er det ikke ualmindeligt, at parametrene ikke opfylder Feller betingelsen, når der kalibreres til markedsdata. Dette er naturligvis ikke positivt, idet manglende opfyldelse af Feller betingelsen betyder, at der er større sandsynlighed for, at volatilitetsniveauer på 0 rammes for korte tidsperioder, hvilket ikke er i overensstemmelse med empiriske observationer i markedet. Dog er der ikke tale om en katastrofe, da variansen som sagt ikke forbliver på punktet 0, men kun er der i et meget lille øjeblik (Janek, Kluge, Weron, and Wystup (2010)). For Heston modellen er kalibreringen foretaget uden hensyntagen til Feller betingelsen. Dette er gjort for at se, hvorvidt betingelsen er opfyldt, når der kalibreres 54

60 til det i afhandlingen givne markedsdata. Resultatet kan ses i den følgende tabel. Dag η κ θ ρ υ 0 AP 2κη θ 2 1 0,0648 2,1778 0,7123-0,7249 0,0335 0,1092 0,2824 0, ,0568 4,9851 1,1260-0,7084 0,0229 0,1140 0,5663 1, ,0418 2,5730 0,6738-0,7064 0,0192 0,0861 0,2150 0, ,0531 2,1556 0,7028-0,7372 0,0325 0,1262 0,2288 0, ,0417 2,7960 0,6361-0,7442 0,0166 0,1154 0,2333 0, ,0423 2,7166 0,6929-0,7505 0,0119 0,1055 0,2297 0, ,0597 3,9564 1,2557-0,7768 0,0411 0,1397 0,4724 1, ,0816 2,2370 1,0777-0,8111 0,0562 0,1493 0,3650 1, ,0988 1,2581 0,7709-0,8263 0,0401 0,1510 0,2485 0, ,0912 1,2944 0,7357-0,8202 0,0418 0,1511 0,2362 0, ,0804 1,9382 0,8148-0,8282 0,0270 0,1580 0,3115 0, ,0831 1,0200 0,6187-0,8006 0,0316 0,4560 0,1696 0,3828 Tabel 8: Kalibrering af Heston modellen for startgæt 1 Som det ses af tabellen, er Feller betingelsen på intet tidspunkt i dataperioden opfyldt, idet 2κη på ingen af dagene er større end θ 2. Det bør derfor vurderes, hvorvidt det er ønskværdigt at gennemtvinge kalibreringen til at opfylde Feller betingelsen. Da der i den foretagede kalibrering er fundet parametre på baggrund af en optimal minimering, vil kalibreringen alt andet lige blive dårligere, såfremt der tilføjes restriktioner herfor. Der vælges derfor både for Heston modellen, Heston med spring i prisprocessen og Heston med spring i pris-og volatilitetsprocessen at se bort fra Feller betingelsen i kalibreringsdelen. For selve kalibreringen er der igen for hver enkelt dag kørt tre kalibreringer med forskellige startgæt. Disse startgæt har vist sig ikke at have signifikant indflydelse på parametrenes kalibrerede værdier, idet værdierne stort set er ens for de forskellige startgæt. Dette ses af nedenstående tabel, hvor der som eksempel er vist 12. november 2009: η κ θ Startgæt Kalibrering Startgæt Kalibrering Startgæt Kalibrering 0,01 0, ,6 2, ,1 0, ,09 0, , ,4 0, ,15 0, , ,6 0,

61 ρ σ0 2 AP Startgæt Kalibrering Startgæt Kalibrering -0,9-0, ,02 0, , ,6-0, ,08 0, , ,4-0, ,3 0, ,10921 Tabel 9: Kalibrering af Heston modellen for d. 12. november 2009 Et lignende billede tegner sig for de øvrige dage i datasættet, hvorfor Heston modellen må siges at være meget stabil i kalibreringen i forhold til de forskellige startgæt. Stabiliteten kan endvidere indikere, at det globale minimum enten er fundet, eller at alle startgættene har ført til samme lokale minimum. For at se, hvor stabil kalibreringen er på tværs af datasættet, ses der igen på gennemsnit og standardafvigelse for de forskellige startgæt: η κ θ ρ σ0 2 AP Startgæt 1 0, , , , , ,15515 (0,02019) (1,13473) (0,21246) (0,04645) (0,01257) (0,09737) Startgæt 2 0, , , , , ,15515 (0,02020) (1,13462) (0,21188) (0,04648) (0,01258) (0,09739) Startgæt 3 0, , , , , ,15620 (0,01998) (2,38927) (0,51929) (0,04600) (0,01328) (0,10094) Tabel 10: Gennemsnitlige værdier af kalibreringen for Heston modellen Af tabellen kan man se, at især gennemsnittene for startgæt 1 og 2 ligger utrolig tæt på hinanden, mens startgæt 3 generelt ligger lidt højere. Det må dog samtidig bemærkes, at standardafvigelsen for flere af parametrene er ret høje, hvilket betyder, at der i kalibreringen af de enkelte dage ikke er enighed om værdien af parametrene. Dette må dog være forventeligt, idet des flere parametre en model har, des bedre kan den tilpasses markedspriserne, hvorimod det til gengæld bliver sværere at opnå stabile parametre (Detlefsen and Härdle (2007)). At Heston modellen på grund af flere parametre er bedre til at tilpasse sig markedspriserne ses af nedenstående figur for den 14. januar

62 Figur 41: Heston Sammenlignes figuren med de tilsvarende figurer for CEV og SABR modellerne vil man bemærke, at Heston modellen gengiver markedspriserne væsentligt bedre end de to mere simple modeller. Dette er dog ikke overraskende, idet de gennemsnitlige absolutte prisforskelle også er væsentlig lavere for Heston modellen end for de to foregående Heston med spring i prisprocessen Som for de øvrige modeller, er Heston modellen med spring i prisprocessen kalibreret med tre forskellige startgæt. For denne model er der generelt, i datasættet, større forskelle i kalibreringerne på baggrund af de forskellige startgæt. Dette ses eksempelvis for den 14. januar 2010: η κ θ Startgæt Kalibrering Startgæt Kalibrering Startgæt Kalibrering 0,03 0, ,1 1, ,1 0, ,09 0, ,3 3, ,4 0, ,02 0, ,7 1, ,2 0,18332 ρ υ 0 λ Startgæt Kalibrering Startgæt Kalibrering Startgæt Kalibrering -0,9-0, ,02 0, ,1 0, ,5-0, ,08 0, ,5 4, ,7-0, ,03 0, ,3 0,

63 µ j σ j AP Startgæt Kalibrering Startgæt Kalibrering -0,5-0, ,15 0, , ,2 0, ,75 2,2E-14 0, ,6-0, ,4 0, ,06634 Tabel 11: Kalibrering af Heston modellen med spring i prisprocessen for d. 14. januar 2010 For flere af parametrene adskiller startgæt 2 sig væsentligt fra de to øvrige gæt. Af tabel 11, ses det dog af den absolutte prisforskel for startgæt 2 ikke er meget højere end de to øvrige startgæt. Kalibreringen har derfor for startgæt 2 blot fundet et andet lokalt minimum end for de andre startgæt. Samme billede fås for flere andre dage i kalibreringen. Det er derfor interessant at se på, hvorledes de forskellige startgæt har klaret sig på tværs af dagene i datasættet. Dette illustreres i nedenstående tabel, hvor standardafvigelsen er vist i parentes. η κ θ ρ υ 0 Startgæt 1 0, , , , ,02612 (0,30498) (1,50706) (0,15870) (0,04796) (0,00996) Startgæt 2 0, , , , ,02488 (0,57106) (1,51850) (1,31102) (0,10241) (0,01104) Startgæt 3 0, , , , ,02613 (0,48156) (1,48233) (0,16027) (0,04767) (0,00994) λ µ J σ J AP Startgæt 1 0, , , ,12469 (0,06702) (0,38647) (0,17977) (0,10634) Startgæt 2 1, , , ,12336 (2,31134) (0,35064) (0,17943) (0,10064) Startgæt 3 0, , , ,12470 (0,06948) (0,37046) (0,13432) (0,10633) Tabel 12: Gennemsnitlige værdier af kalibreringen for Heston modellen med spring i prisprocessen Som det fremgår af tabellen, er nogle af parametrene væsentlig mere ustabile, end det er set i de tidligere modeller. Dette kan, som nævnt i forrige afsnit skyldes, at der er væsentlig flere parametre, der skal kalibreres til, hvormed der opstår større 58

64 ustabilitet både på tværs af startgæt og på tværs af de enkelte dage i parametersættet. Dette ses både i de store udsving, der er på tværs af gættene, men også de store standardafvigelser der er i parameterværdierne. Ses der derimod på, hvor god modellen er til kalibrere til én enkelt dag, giver dette følgende billede: Figur 42: Heston med spring i prisprocessen Sammenlignes figuren med den tilsvarende figur fra Heston modellen, ser de to figurer ualmindelig ens ud. Dette kan skyldes, at λ fra kalibreringen på denne dag er så lille, hvormed springprocessen har meget lille indvirken, hvorfor de to modeller stort set bliver identiske. Gennemsnitligt har Heston modellen med spring i prisprocessen dog en lavere absolut prisforskel, hvilket betyder, at modellen bedre afspejler markedet end Heston modellen, når man ser over alle dagene i datasættet Heston med spring i pris- og volatilitetsprocessen Da Heston modellen med spring i pris- og volatilitetsprocessen er computermæssigt meget tung, er der for denne model blot kalibreret for ét enkelt startgæt. For at sikre at dette startgæt er så realistisk som muligt, er der skelet til de kalibrerede parameterværdier for Heston modellen med spring i prisprocessen, da det må forventes, at parametrene vil ligge i samme niveau. Dette har resulteret i følgende parametre: η κ θ ρ υ Startgæt 0,03 0,3 0,2-0,6 0,02 Gennemsnit 0, , , , ,02270 Standardafv. (0,17760) (1,59948) (0,16015) (0,24967) (0,01158) 59

65 λ µ J σ ν J AP Startgæt 0,25-0,3 0,15-0,08 Gennemsnit 1, , , , ,12052 Standardafv. (2,05619) (0,31904) (0,09469) (0,11670) (0,10226) Tabel 13: Gennemsnitlige værdier af kalibreringen for Heston modellen med spring i pris- og volatilitetsprocessen Som det kan ses af standardafvigelserne for de kalibrerede parametre, er Heston modellen med spring i pris- og volatilitetsprocessen meget ustabil over dagene i datasættet. Dette skyldes, at der ikke blot er tale om, at nogle få dage har parametre, der ligger væsentligt fra de øvrige dage og dermed øger standardafvigelsen, men at kalibreringen generelt er meget forskellig fra dag til dag. Sammenholder man dog modellens evne til at kalibrere til markedsdata for den 14. januar 2010, får man nedenstående graf, der ligner de tilsvarende grafer for de to øvrige Heston modeller til forveksling - igen af samme årsag som for Heston modellen med spring, at λ for denne dag ikke er særlig stor. Figur 43: Heston med spring i pris- og volatilitetsprocessen På trods af, at Heston modellen med spring i pris- og volatilitetsprocessen tager højde for, at når der sker et spring i prisprocessen, sker der et simultant spring i volatilitetsprocessen, har dette ikke haft nogen væsentlig effekt på den gennemsnitlige absolutte prisfejl for hele datasættet samt standardafvigelsen for denne, idet disse er på samme niveau som Heston modellen med spring i prisprocessen. Det kan derfor ikke siges, at Heston med spring i pris- og volatilitetsprocessen overvejende er bedre til at gengive markedet. 60

66 4.4.6 Barndorff-Nielsen og Shephard Modellens parametre er på lignende vis som for de øvrige modeller, bortset fra Heston modellen med spring i pris- og volatilitetsprocessen, kalibreret ved hjælp af tre forskellige startgæt for hver enkelt dag i datasættet. BN-S modellen har vist sig at være en meget stabil model, hvilket kan se ud af følgende eksempel for 12. november 2009: a b λ Startgæt Kalibrering Startgæt Kalibrering Startgæt Kalibrering 0,2 0, ,2 14, ,1 1, ,6 0, ,6 14, , , , ,41037 ρ σ0 2 AP Startgæt Kalibrering Startgæt Kalibrering -1-1, ,02 0, , , ,09 0, , , ,12 0, ,1352 Tabel 14: Kalibrering af Barndorff-Nielsen og Shephard for den 12. november 2009 Af tabellen ses det, at på tværs af valget af startgæt er de kalibrerede værdier for den enkelte parameter utrolig konstante, hvilket indikerer, at de tre startgæt alle har ledt til samme lokale minimum, eller at det globale minimum for den enkelte dag er fundet. Da eksemplet for den 12. november er et meget sigende billede for alle kalibreringerne, kan det konstateres, at BN-S modellen er utrolig stabil på tværs af startgættene for alle 12 dage i datasættet. For at teste, hvorvidt modellen også er stabil på tværs af de enkelte dage, ses der igen på gennemsnit og standardafvigelse over hele datasættet: a b λ ρ σ0 2 AP Startgæt 1 0, , , , , ,20900 (0,15874) (6,12516) (1,50080) (0,53053) (0,00670) (0,10385) Startgæt 2 0, , , , , ,20900 (0,15877) (6,13008) (1,48844) (0,52467) (0,00670) (0,10385) Startgæt 3 0, , , , , ,20900 (0,15878) (6,14229) (1,49205) (0,52564) (0,00671) (0,10385) Tabel 15: Gennemsnitlige værdier af kalibreringen for Barndorff-Nielsen og Shephard modellen 61

67 Af tabellen fremgår det tydeligt, at BN-S modellen er utrolig stabil på tværs af de forskellige startgæt, idet både gennemsnit og standardafvigelse er stort set ens for hvert startgæt. Dog må det bemærkes, at standardafgivelserne er relativt høje for hovedparten af parametrene, hvilket betyder, at der er stor forskel på de enkelte kalibreringer fra dag til dag. Hertil kan tilføjes, at det ikke blot er én enkelt dag, der giver ekstreme udfald, men at dagene generelt er forskellige fra hinanden. Med en forventning om, at modellen er god til at kalibrere til en enkelt dag, illustreres modellens evne til at gengive modelpriser til markedspriser for den 14. januar 2010: Figur 44: BN-S Som grafen illustrerer, kalibrerer BN-S modellen forholdsvist præcist til en enkelt dag. Man bør dog være opmærksom på, at den absolutte prisfejl i gennemsnit var 0,209, mens den for denne udvalgte dag, der er den samme som de tilsvarende grafer for de øvrige modeller, er 0,096, hvilket vil sige væsentligt lavere end gennemsnittet. 4.5 Modelsammenligning I forrige afsnit blev det for hver enkelt model gennemgået, hvor stabile modellerne er i forhold til de forskellige startgæt og på tværs af dagene samt vist eksempel på, hvor godt modellerne kalibrerer til én enkelt dag. I det følgende vil modellerne blive testet op i mod hinanden. Helt konkret betyder dette, at der vil blive prisfastsat optioner fra den 14. januar 2010, som også var den dato, der blev benyttet til illustrering af modellernes evne til at prisfastsætte optioner. Det skal dog bemærkes, at der kun er tale om eksempler fra denne dato, hvorfor disse ikke nødvendigvis afspejler den enkelte models generelle evne til at prisfastsætte. Det er dog stadig relevant at se på enkelte optioner, idet det kan give en ide om, hvor langt de forskellige modellers priser er fra hinanden og markedsprisen. Der vil blive set på optioner, der er ITM 62

68 og OTM, idet der ud fra figurerne i forrige afsnit ser ud til at være forskel i prisfastsættelsesevne for forskellige strikes. Desuden vil der blive set på optioner med henholdsvis kort og lang udløb. Som det første prisfastsættes en ITM option med følgende karakteristika: Tid til udløb er 1,352 år, forward prisen er $1.130,9, diskonteringsfaktoren er 0,9962, og strikeprisen er $900. Dette har givet følgende optionspriser: CEV SABR Heston Heston J Heston JJ BN-S Markedspris 256, , , , , , ,4 0,54% 0,20% -0,48% -0,14% -1,64% -0,76% Tabel 16: Modelpriser for ITM option Forventningen om, at de stokastiske volatilitets modeller prisfastsætter forholdsvis ens for plain vanilla optioner, ser i dette tilfælde ud til at holde. Især SABR modellen og Heston modellen med spring i prisprocessen klarer sig rigtig flot, når der ses på den procentvise afvigelse fra markedsprisen. Anderledes ser det dog ud, når der ses på en OTM option med følgende karakteristika: Tid til udløb er 1,036 år, forward prisen er $1.134,8, diskonteringsfaktoren er 0,9977, og strikeprisen er $ CEV SABR Heston Heston J Heston JJ BN-S Markedspris 4,8749 5,4699 6,5494 5,8534 5,8864 6,5712 7,05-30,85% -22,41% -7,10% -16,97% -16,50% -6,79% Tabel 17: Modelpriser for OTM option Som det ses, klarer de stokastiske volatilitets modeller sig generelt meget dårligt for denne option, hvor alle modellerne prisfastsætter væsentlig lavere end markedsmodellen. Dette kunne muligvis syntes rimeligt, såfremt modellerne prisfastsatte ens. Dette er dog ikke tilfældet, idet der ses et svagt mønster, hvor priserne for Heston modellen og BN-S modellen ligger tæt på hinanden, mens de to udvidede Heston modeller også ligger tæt på hinanden. Både CEV og SABR ligger helt for sig selv, og er også de to modeller, der for denne option klarer sig dårligst. Som det næste ses der på en option med kort udløb. Optionen har følgende karakteristika: Tid til udløb er 0,26 år, forward prisen er $1.144,9, diskonteringsfaktoren er 0,9995 og strikeprisen er $980, det vil sige, at optionen er ITM. På baggrund af denne option er følgende priser fremkommet: 63

69 CEV SABR Heston Heston J Heston JJ BN-S Markedspris 167, , , , , , ,3-1,02% -0,88% -0,63% -0,19% -0,21% 0,06% Tabel 18: Modelpriser for option med kort udløb Modelpriserne ligger alle tæt på markedsprisen. Især de mere avancerede stokastiske volatilitets modeller, Heston med spring i pris- og volatilitetsprocessen og BN-S, prisfastsætter meget præcist til markedsprisen, mens de mere simple, SABR og især CEV ikke i nær så høj grad rammer markedsprisen. Samme billede fås, når der ses på en option med lang udløb og følgende karakteristika: Tid til udløb er 4,292, forward prisen er $1.131,5, diskonteringsfaktoren er 0,9502, strikeprisen er $ CEV SABR Heston Heston J Heston JJ BN-S Markedspris 186, , , , , , ,55-8,21% -7,31% 0,32% 0,74% 0,82% -0,32% Tabel 19: Modelpriser for option med lang udløb Forskellen i forhold til optionen, der blev set på før, er at CEV og SABR modellerne har noget mere vanskeligt ved at ramme markedsprisen, mens de fire øvrige rammer prisen meget præcist. I ovenstående er der givet eksempler på, hvordan de forskellige modeller er i stand til at prisfastsætte for enkelte optioner. Dette leder direkte til, at det er interessant at se på, hvorledes modellernes samlede evne til at prisfastsætte er ved forskellige tid til udløb og strikes. I det følgende vælges der derfor at se på modellernes evne til at kalibrere det implicitte volatilitetssmil. For hver enkelt model kalibreres der til den 9. september For CEV modellen giver dette følgende billede: 64

70 Figur 45: Implicit volatilitetsoverflade for CEV modellen Som det ses af grafen, giver CEV modellen ikke en særlig pæn volatilitetsoverflade. Volatilitetssmilet er stort set ikke-eksisterende, dog kan der med lidt god vilje argumenteres for, at der er et volatility skew, idet den implicitte volatilitet er højere for ITM optioner end OTM optioner. Volatiliteten stiger dog ikke igen, eftersom grafen stort set er monotont aftagende med strikeprisen, hvilket ellers empirisk må forventes. Endvidere er CEV modellen ikke i stand til at tage højde for, at der ofte er højere volatilitet for optioner med kort udløb. Billedet for volatilitetssmilet stemmer dog fint overens med de øvrige resultater i kalibreringen, der netop viste, at modellen for afhandlingens datasæt har høj absolut prisfejl og derfor ikke i så høj grad er i stand til at gengive markedspriserne. I nedenstående graf vises SABR modellens implicitte volatilitetsoverflade. Figur 46: Implicit volatilitetsoverflade for SABR modellen 65

71 Af figuren ses det, at SABR modellen i noget højere grad end CEV modellen producerer volatilitets skævhed, idet den implicitte volatilitetsflade har et minimum ved spotprisen, og derefter stiger på begge sider. Problemet med SABR modellens gengivelse af den implicitte volatilitetsoverflade er dog, at volatiliteten er ens på tværs af udløb. Årsagen til dette kan skyldes, at SABR modellen ifølge Hagan, Kumar, and Lesniewski (2002) er en effektiv model til at gengive den implicitte volatilitetskurve i markedet for én enkelt udløbsdato, men dog ikke med sikkerhed er i stand til at gengive den observerede volatilitetsoverflade for et aktiv, der har flere forskellige udløbsdatoer, hvilket er tilfældet her. Dette forklarer, at SABR modellen ved nogle enkelte optioner i høj grad var i stand til at ramme markedsprisen, mens den for kalibreringen til én enkelt dag med flere forskellige udløb ikke ramte nær så præcist som de mere avancerede modeller. Når der ses på Heston modellen fås følgende volatilitetsoverflade: Figur 47: Implicit volatilitetsoverflade for Heston modellen Sammenlignet med CEV og SABR modellerne har Heston modellen en væsentligt pænere implicit volatilitetsoverflade. For optioner med kort udløb ses der et større volatilitetssmil, hvilket bedre stemmer overens med empirisk data. Endvidere flader volatilitetsoverfladen ud for optioner med lang tid til udløb samtidig med, at volatilitets skævheden bibeholdes. At Heston modellen gengiver den implicitte volatilitetsoverflade bedre end CEV og SABR modellerne er dog ikke overraskende, idet de absolutte prisfejl for Heston modellen var væsentlig lavere end for de to andre modeller. Et endnu bedre billede fås for Heston modellen med spring i prisprocessen: 66

72 Figur 48: Implicit volatilitetsoverflade for Heston modellen med spring i prisprocessen Ud fra grafen ses det, at det tilførte spring i prisprocessen har haft en væsentlig effekt på optioner med kort udløb. Heston modellen er, jævnfør modelbeskrivelsen, kritiseret for ikke helt at være i stand til at gengive den implicitte volatilitetsoverflade på kort sigt, hvorimod Heston med spring i prisprocessen i højere grad er i stand til dette. Dette ses tydeligt af forskellen mellem de to grafer. Tilføjes spring i volatilitetsprocessen fås følgende figur for den implicitte volatilitet: Figur 49: Implicit volatilitetsoverflade for Heston modellen med spring i pris - og volatilitetsprocessen Ud fra figuren er det svært at se, hvorvidt der er sket en forbedring ved tilføjelsen af spring i pris- og volatilitetsprocessen. Sammenligner man dog de to Heston modellers 67

73 absolutte prisfejl for den 9. september 2010, som den implicitte volatilitetsoverflade er vist for, viser det sig, at Heston modellen med spring i pris- og volatilitetsprocessen har en anelse lavere prisfejl end Heston modellen med spring i prisprocessen, hvorfor springet i volatilitetsprocessen har en betydning for gengivelsen af volatilitetsoverfladen. Det samme kunne ses for de gennemsnitlige prisfejl, hvor Heston modellen med spring i pris- og volatilitetsprocessen lå lidt lavere. Ses der på afhandlingens sidste model, BN-S, fås følgende billede: Figur 50: Implicit volatilitetsoverflade for Barndorff-Nielsen og Shephard modellen Tilsvarende for de tre variationer af Heston modellen, ses det, at BN-S modellen også i høj grad er i stand til at genskabe det empiriske volatilitetssmil, især når der sammenlignes med CEV og SABR modellerne. Grafisk er det dog svært at se forskellene mellem Heston modellerne og BN-S modellen, hvorfor der må ses på de absolutte prisfejl for en vurdering af gengivelse af volatilitetsoverfladen. For den valgte dato havde BN-S modellen en absolut prisfejl på 0,2621, hvilket er i overensstemmelse med de værdier, der blev fundet for modellen over hele datasættet. Prisfejlen er dog som gennemsnittet væsentlig højere end de tilsvarende værdier for Heston modellerne. På baggrund af dette og det foregående afsnit, kan det konkluderes, at der især er et stort skel mellem CEV og SABR modellerne på den ene side og de øvrige modeller på den anden side, når man ser på modellernes evne til at prisfastsætte enkelte optioner samt genskabe det implicitte volatilitetssmil. Især har Heston modellerne vist sig at have meget lave absolutte prisfejl. Til gengæld har det også vist sig, at for specielt Heston modellerne, bliver modellerne mere ustabile både på tværs 68

74 af startgæt og på tværs af de forskellige dage i datasættet, jo flere parametre der tilføjes til modellen. For at kunne stole på parametrene er man, for disse modeller, i princippet nødt til at rekalibrere væsentligt oftere for at være sikker på, at der arbejdes med brugbare parametre. Der kan endvidere eventuelt benyttes en global minimeringsalgoritme eller tilføje flere forskellige startgæt, så der derved er større sandsynlighed for at ramme det globale minimum. En væsentlig ulempe ved dette er dog, at kalibreringstiden øges betragteligt. 5 Produktbeskrivelse 5.1 Cliquet optioner Cliquet optioner er stiafhængige optioner, det vil sige, optioner hvor afkastet afhænger af udviklingen i det underliggende aktiv over hele løbetiden og ikke kun ved udløb. Der findes flere forskellige typer af cliquetoptioner. En af de mest almindelige i den skrevne teori er en såkaldt ratchet option. Her justeres strikeprisen på aftalte tidspunkter gennem optionens løbetid. Såfremt kursen på det underliggende aktiv ved et justeringstidspunkt for en call er under strikeprisen, er optionen OTM, hvorfor køber ikke får noget afkast. Samtidig sættes strikeprisen for den næste periode til den nuværende kurs på det underliggende aktiv. Såfremt kursen på det underliggende aktiv ved et justeringstidspunkt i stedet er over strikeprisen, det vil sige ITM, modtager køber differencen mellem strikeprisen og den nuværende kurs. Strikeprisen for den næste periode ville samtidig blive sat op til den nuværende kurs på det underliggende aktiv. En payoff funktion for en ratchet option kan se ud som følgende: [ resetno cliquet = (r q)t E Q i=1 min(s K, cap) Funktionen har sit udgangspunkt i Schoutens and Symens (2003), men er modificeret, så der ses på priser og ikke relative afkast, som i den oprindelige formel. Resetno angiver, hvor mange justeringstidspunkter, der er over optionens løbetid. Cap en er en øvre grænse for hvor stort et payoff, der kan opnås på et givent justeringstidspunkt. Caps bliver ofte benyttet i forbindelse med cliquet optioner for at sikre, at optionen ikke bliver for dyr. Samtidig vil man ofte se, i formler for cliquet optioner, et floor, der sikrer køberen et vist afkast. Både caps og floors kan være både lokale, det vil sige gældende for hver enkelt justeringstidspunkt og globale, det vil sige, gældende for det samlede payoff over hele optionens løbetid. I indeværende afhandling er der dog valgt at se på en option, der følger ovenstående formel, hvor der udelukkende er lokalt cap. ] 69

75 Idet der både kan være floors og caps i en cliquet option, kan der ikke siges noget generelt om optionernes prisniveau i forhold til plain vanilla optioner, da prisen på cliquet optionen naturligvis vil være meget afhængig af niveauerne for caps og floors. 5.2 Dobbelt barriere optioner Barriere optioner er optioner, hvor afkastet afhænger af, om kursen på det underliggende aktiv rammer et givent niveau, barrieren, på et tidspunkt i løbetiden. Overordnet er der to typer af barriere optioner: In optioner og out optioner. Ved in optioner opnås der kun afkast, såfremt barrieren rammes. Dette kaldes også, at optionen er knocked in. For out optioner derimod, opnås der kun afkast, såfremt barrieren ikke rammes. Rammes barrieren kaldes dette, at optionen er knocked out. Da optionen, ligesom cliquet optioner, afhænger af udviklingen i det underliggende aktiv, er barriere optioner stiafhængige optioner. Stiafhængigheden er dog svag for barriere optioner, idet den eneste nødvendige information er, hvorvidt barrieren rammes eller ej. Barriere optioner er endvidere billigere end en tilsvarende almindelig option, idet der er risiko for enten ikke at blive knocked in eller for at blive knocked out. Forskellen mellem prisen på en almindelig option og en barriere option afhænger dog, udover barriereniveauet også af volatiliteten. Stiger volatiliteten vil prisforskellen mellem en almindelig option og en out option øges, idet out optionen ved højere volatiliteten har større sandsynlighed for at blive knocked out. Modsat gælder det for in optioner, idet den øgede volatilitet vil øge sandsynligheden for at blive knocked in, hvormed optionen har en højere værdi (Hull (2008)). En dobbelt barriere option fungerer på samme måde som en almindelig barriere option bortset fra, at der nu er to barrierer, én på hver side af spotprisen. Tilsvarende, som for barriere optioner, findes dobbelt barriere optioner både som in optioner og out optioner. Der er i denne afhandling valgt at se på dobbelt out barriere optioner, det vil sige, at spotprisen på det underliggende aktiv skal holde sig indenfor et givent interval gennem hele optionens levetid, for at optionen giver afkast. For en sådan type af option er afkastet ved udløb givet som C = max(s T K, 0) S t > H down og S t < H up 0 t T hvor H down og H up er de respektive barrierer. 5.3 Shout optioner En shout option er en option, der indeholder elementer fra en lookback option og en amerikansk option (Nelken (1995)). En amerikansk option giver køberen af optio- 70

76 nen mulighed for at indfri optionen under hele options levetid, og optionens afkast afhænger derfor af, hvornår køberen vælger at indfri denne. Afkastet på en lookback option afhænger enten af den maksimum- eller minimumsværdi, det underliggende aktiv har i optionens løbetid. Man skelner mellem to basis former, fikseret strike eller flydende strike. En lookback call option med fast strike har et afkast på max(m K, 0) hvor M = max 0 τ t S τ, og en lookback call option med flydende strike har et afkast på max(s m, 0) hvor m = min 0 τ t S τ. Overordnet set giver en shout option køberen ret til at ændre på forhånd bestemte specifikationer i optionskontrakten, det være sig eksempelvis strike prisen eller udløbstiden, på et hvilket som helst tidspunkt i optionens løbetid. Som hovedregel bestemmer køberen selv, hvornår han ønsker at bruge sin shout ret. En reset strike option giver eksempelvis køberen ret til at ændre strikeprisen til prisen på det underliggende aktiv på shout tidspunktet. En traditionel shout option giver derimod køberen af optionen ret til, på et eller flere givne tidspunkter i optionens løbetid, at fastlåse et bestemt afkast samtidig med, at han fastholder muligheden for at indfri kontrakten på udløbstidspunktet. I indeværende afhandling fokuseres der udelukkende på den traditionelle shout option. Afkastet for den traditionelle shout option vil på shout tidspunktet blive fastlåst til kursen på det underliggende aktiv S t fratrukket strikeprisen, hvilket medfører, at det endelige afkast ved udløb vil se ud som følgende: C = max[(s T K, L K), 0] hvor L er kursen på det underliggende aktiv på shout tidspunktet. Som det ses af ovenstående, er det endelige afkast størsteværdien af afkastet ved shout tidspunktet og afkastet for en almindelig europæisk option. Dette understreger shout optionens større fleksibilitet i forhold til den almindelige europæiske option, hvilket naturligvis medfører, at optionen er dyrere end denne. Endvidere stiger prisen på shout optionen, jo flere shout muligheder kontrakten giver, da dette er med til at øge sandsynligheden for, at optionen ender ITM. Tilsvarende gælder for volatilitet, idet højere volatilitet på det underliggende aktiv for en shout option giver større sandsynlighed for at ende ITM. En shout option kan med fordel benyttes, når det underliggende aktiv er meget volatilt. Ønsker en investor for en specifik periode at afdække risikoen for et fald i et givet aktiv samtidig med, at han vil have muligheden for at udnytte den højeste pris for aktivet i perioden, er en shout option et godt bud. Da shout optionen ikke 71

77 sikrer investoren det maksimale afkast som lookback optionen, er den også billigere end denne. Til gengæld kræver shout optionen, for at få et højt afkast, at investoren er dygtig til at læse markedet. Slutteligt skal det understreges, at shout optionen, ligesom dobbelt barriere optionen og cliquet optionen, er en stiafhængig option. 6 Monte Carlo simulering Til prisfastsættelse af eksotiske optioner, hvor en lukket løsning oftest er ukendt, er numeriske metoder et nyttigt alternativ. Af kendte og meget anvendte metoder kan nævnes Finite Difference Method, Binomial træer samt Monte Carlo simulering. Hver metode har sine fordele. Der er her valgt at benytte Monte Carlo simulering. Valget skal ses på baggrund af, at det i Monte Carlo simulering er relativt let at implementere payoff, der er afhængigt af historikken for det underliggende aktiv. Dette er der i høj grad brug for med afhandlingens valg af eksotiske optioner, der netop afhænger af udviklingen i det underliggende aktiv over hele optionens løbetid og ikke kun ved udløb. Endvidere kan det nævnes, at såfremt der i afhandlingen havde indgået mere end to stokastiske variable i simuleringen, ville Monte Carlo numerisk være mere efficient end de to øvrige nævnte numeriske metoder. Dette skyldes, at den tid, Monte Carlo simuleringen tager, stiger approksimativt lineært med antallet af stokastiske variable, mens tiden for de fleste øvrige numeriske metoder stiger eksponentielt med antallet (Hull (2008)). Teoretisk set er Monte Carlo simulering en forholdsvis basal teknik, hvor udviklingen i en proces simuleres et tilstrækkeligt antal gange, hvorefter der tages et gennemsnit af alle udfaldene. De store tals lov sikrer, at når antallet af simuleringer stiger, konvergerer estimatet mod det korrekte tal. Dette ses af nedenstående eksempel. Et integral er givet ved følgende 1 α = f(x)dx 0 hvor E[f(U)] er forventningen til integralet, og U er uniformt fordelt mellem 0 og 1. For at estimere dette ved hjælp af Monte Carlo trækkes der n tilfældige tal fra den uniforme fordeling, hvormed følgende estimatet opnås: ˆα n = 1 n n f(u i ) i=1 Ved de store tals lov er det givet, at når n, så går ˆα n α (Glasserman (2004)). Umiddelbart virker Monte Carlo simuleringen meget simpel, men der er 72

78 dog flere aspekter, der bør overvejes i forbindelse med simuleringen. Disse vil blive gennemgået i det følgende. 6.1 Generering af tilfældige tal En af grundstenene i Monte Carlo simulering er de tilfældige tal, da disse er med til at drive simuleringerne. Man bør derfor i forbindelse med genereringen af de tilfældige tal være opmærksom på, at på trods af, at computere bliver bedre og bruger mere komplekse metoder til generering af tilfældige tal, bygger genereringen stadig på gentagende processer, hvormed der ikke er tale om fuldstændig tilfældige tal, men pseudo tilfældige tal. På baggrund heraf er der gennem tidens løb udviklet adskillige metoder til at generere tallene ved forskellige fordelinger. Da der i senere afsnit benyttes generering af tilfældige tal fra normalfordelingen, vil generering fra denne fordeling være i fokus. En af de mest simple metoder er Box-Muller algoritmen. Her benyttes to uafhængige uniformt fordelte tal mellem 0 og 1, U 1 U(0, 1) og U 2 U(0, 1). Heraf kan der opnås to normalfordelte uafhængige tal. Z 1 = 2log(U 1 )cos(2πu 2 ) hvor Z 1 N(0, 1) og Z 2 N(0, 1). Z 2 = 2log(U 1 )sin(2πu 2 ) Algoritmen har den fordel, at den er simpel at implementere, men samtidig computermæssigt langsom, hvilket kan have stor betydning ved større datasæt. Marsaglia og Bray har derfor udviklet en modifikation af Box-Muller algoritmen, der reducerer beregningstiden. I stedet for at bruge sinus og cosinus, benyttes en accepter-afvis metode. Der genereres to uafhængige uniformt fordelte tal mellem 0 og 1 på tilsvarende vis som for Box-Muller algoritmen. Herefter beregnes: U 1 = 2 U 1 1 U 2 = 2 U 2 1 X = U U 2 2 Såfremt X > 1 gentages ovenstående proces, indtil X 1. Dette sikrer, at X er uniformt fordelt mellem 0 og 1. Når dette er opfyldt beregnes følgende: Y = 2logX/X 73

79 hvilket medfører, at Z 1 = U 1 Y og Z 2 = U 2 Y (Glasserman (2004)). Da Marsaglia-Bray algoritmen benytter den simple fordel fra Box-Muller og samtidig sikrer hurtigere beregningstid, er denne algoritme valgt til brug i afhandlingens Monte Carlo simulering. 6.2 Varians reduktions teknikker En væsentlig ulempe ved Monte Carlo simulering findes i forbindelse med standardafvigelsen på de simulerede estimater. Fejlen ˆα n α er approksimativ normalfordelt med et gennemsnit på 0 og en standardafvigelse på σ f / n. For at opnå en halvering af standard afvigelsen, skal antallet af simuleringer øges med en faktor på fire, hvilket betyder en relativ langsom konvergering. For at øge konvergeringen benyttes derfor såkaldte varians reduktions teknikker. Varians reduktions teknikken, der er valgt til denne afhandling er antithetic variates. Teknikken er valgt, da den er nem at implementere i algoritmen og samtidig reducerer variansen væsentligt. Antithetic variates forsøger at reducere variansen ved at introducere negativ afhængighed mellem genererede par. Til brug for teknikken genereres der først et tilfældigt tal. Metoden forudsætter, at de tilfældige tal er symmetriske, eksempelvis givet ved en uniformfordeling eller en normalfordeling, hvilket er opfyldt, når Marsaglia-Bray algoritmen benyttes til generering af tilfældige tal. Med det tilfældige tal generes et estimat for prisen, Y i. Herefter benyttes det tilfældige tal igen, dog med modsat fortegn, og generer et nyt estimat for prisen, Ỹi. På denne måde kan der genereres to estimater på baggrund af ét enkelt tilfældigt tal. Processen gentages n gange, hvormed følgende estimat opnås: Ŷ AV = 1 n ( ) n Y i + Ỹi 2 i=1 At variansen er mindre med antithetic variates end ved almindelig Monte Carlo simulering, V ar[y i + Ỹi] < 2V ar[y i ] ses af følgende: V ar[y i + Ỹi] = V ar[y i ] + V ar[ỹi] + 2Cov[Y i, Ỹi] Da Y i og Ỹi har samme fordeling, har de også samme varians, hvormed den samlede varians kan skrives som: V ar[y i + Ỹi] = 2V ar[y i ] + 2Cov[Y i, Ỹi] Som det ses af ovenstående, skal Cov[Y i, Ỹi] < 0, for at variansen for antithetic varia- 74

80 tes bliver mindre end variansen for almindelig Monte Carlo. Af samme årsag bygger teknikken på denne forudsætning. I og med at payoff funktionerne for almindelige call eller put optioner er monotone, det vil sige, at optionsværdien stiger, når det positive tilfældige tal stiger, og optionsværdien falder, jo mere negativt det tilfældige tal er, vil korrelationen mellem de to estimater, Y i og Ỹi være negativ, og dermed ses det af ovenstående formel, at variansen for antithetic variates bliver mindre end variansen for almindelig Monte Carlo simulering (Glasserman (2004)). 6.3 Diskretisering Ved Monte Carlo simulering omskrives de kontinuerte stokastiske processer til diskret form, således at der ses på ganske små tidsperioder. Denne omskrivning fra kontinuert til diskret form medfører, uanset størrelse af tidsperioderne, at der opstår en fejl mellem den kontinuerte proces og den diskrete approksimering. Formålet med diskretiseringsmetoder er at minimere denne fejl. Den mest simple, og en af de mest anvendte diskretiseringsmetode, er Euler skema. Til illustrering af metoden tages der udgangspunkt i processen X, som har følgende stokastiske differential ligning: dx(t) = a(x(t))dt + b(x(t))dw (t) Approksimationen af den kontinuerte proces fås ved at sætte tiden som 0 = t 0 < t 1 < < t m for i = 0,..., m 1 med fast interval h mellem tidspunkterne, og ˆX som den tids-diskretiserende approksimation til X. I dette tilfælde kan Euler diskretiseringen skrives som: ˆX(i + 1) = ˆX(i) + a( ˆX(i))h + b( ˆX(i)) hz i+1 (Glasserman (2004)). En væsentlig kritik af Euler diskretiseringen er, at driften er approksimeret til O(h), mens variansdelen kun er approksimeret til O( h) (Glasserman (2004)). Flere steder i litteraturen, blandt andet i Gatheral (2006), kan man derfor se argumentation for at bruge en Milstein diskretisering, der forbedrer diskretiseringen af variansleddet. Denne metode frarådes dog at bruges til simulering af Heston modellen, jævnfør Andersen (2007), da metoden bryder sammen ved høj volatilitet af volatilitet, θ. Endvidere kan det bemærkes, at metoden mangler teoretisk support, da den stokastiske differentialligning for variansen ikke er i stand til at opfylde visse udglatningsbetingelser. Kritikpunkterne vil ikke blive uddybet nærmere, men der 75

81 henvises i stedet til Andersen (2007). På baggrund af problematikken med Milstein diskretiseringen er mange forskellige avancerede diskretiseringer foreslået i den skrevne litteratur. Samtidig foreslås der mange steder at fastholde Euler diskretiseringen, idet den har fordel af at være simpel samtidig med, at den ikke skal bruge meget computerkraft i forhold til andre diskretiseringsmetoder. Blot skal man være opmærksom på, at der skal flere simuleringer til end de mere avancerede metoder for at konvergere mod optionsprisen. På baggrund af ovenstående er denne metode valgt til diskretiseringen. Ved diskretisering for stokastiske volatilitets modeller, hvor variansen har sin egen proces, skal man være opmærksom på, at der for mange modeller kan opstå negative varianser. Dette kan der tages hensyn til ved hjælp af forskellige metoder. To af de mest anvendte er den absorberende metode, hvor υ = 0 hvis υ < 0, og den reflekterende metode, hvor υ = υ hvis υ < 0. Der vælges her at benytte den absorberende metode, da denne i flere studier, blandt andet Lord, Koekkoek, and Van Dijk (2010) har vist, at denne metode giver laveste bias. I det følgende vil Euler diskretiseringen blive gennemgået for de forskellige modeller CEV Euler diskretiseringen for afhandlingens mest simple model er givet ved: Ŝ t = Ŝt 1 + (r q)ŝt 1 + ˆσ t 1 Ŝ β/2 t 1 W ˆσ t = δŝ1 β/2 t 1 hvor Ŝ angiver, at diskretiseringen er en approksimation til S. angiver hvor store tidsskridt, der ses på SABR Euler diskretiseringen for SABR modellen er, jævnfør Chen, Oosterlee, and van der Weide (2010), givet som: Ŝ t = Ŝt 1 + (r q)ŝt 1 + ˆσ t 1 Ŝ β t 1 W ( ˆσ t = ˆσ t 1 exp 1 2 α2 + α ) W 76

82 Da der er korrelation mellem aktieprisen og volatiliteten, benyttes Cholesky faktorisering for at tage højde for den indbyrdes korrelation mellem de tilfældige tal. Tallene er derfor givet som: W = W 1 W = ρw ρ 2 W 2 hvor W 1 og W 2 er tilfældigt genererede tal ved hjælp af Marsaglia-Bray algoritmen Heston For Heston modellen er Euler diskretiseringen givet ved Ŝ t = Ŝt 1 + (r q)ŝt 1 + ˆυ t 1 Ŝ t 1 W ˆυ t = ˆυ t 1 + κ(η ˆυ t 1 ) + θ ˆυ t 1 W hvor der på samme måde som for SABR er benyttet Cholesky faktorisering for W og W, idet aktieprisen og volatiliteten er korrelerede Heston med spring i prisprocessen Når der tilføjes spring i prisprocessen, bliver Euler diskretiseringen af modellen som følgende: Ŝ t = Ŝt 1 + (r q λµ J )Ŝt 1 + ˆυ t 1 Ŝ t 1 W + J Ŝ t 1 ˆυ t = ˆυ t 1 + κ(η ˆυ t 1 ) + θ ˆυ t 1 W Når springet følger en lognormal fordeling, simuleres springet jævnfør Glasserman (2004) som J = ( log(1 + µ J ) 1 ) 2 σ2 J N + σ J N W hvor N er en givet ud fra en Poisson fordeling med intensitet λ Heston med spring i pris- og volatilitetsproces For Matytsins model er Euler diskretiseringen givet som: Ŝ t = Ŝt 1 + (r q λµ J )Ŝt 1 + ˆυ t 1 Ŝ t 1 W + J Ŝ t 1 ˆυ t = ˆυ t 1 + κ(η ˆυ t 1 ) + θ ˆν t 1 W + σj N hvor springet for prisprocessen er givet på tilsvarende vis som for Heston modellen med spring i prisprocessen. Konstanten σ J sikrer dog, som tidligere nævnt, at såfremt 77

83 der sker et spring i prisprocessen, sker der også et spring i volatilitetsprocessen Barndorff-Nielsen and Shephard For BN-S modellen er diskretiseringen noget mere kompleks end for de øvrige modeller. Dette skyldes, at når der, som her i afhandlingen, er valgt en Gamma-OU proces, vil BDLP en være en compound Poisson proces, idet springene i en Gamma proces sker ifølge en Poisson proces. Derved fås Z t = N t n=1 x n, hvor {x n, n = 1, 2,... } er en uafhængig og identisk fordelt frekvens. For at simulere en compound Poisson processen startes der med, for det samme tidsinterval, at simulere en Poisson proces N med intensitet aλ. Da der benyttes en Gamma fordelingen, findes der for hver x t et eksponentielt tilfældigt tal. Dette findes ved hjælp af formlen: x n = log(u n )/b, hvor u n er en vektor af uniform fordelte tilfældige tal. På baggrund af compound Poisson processen kan diskretiseringen for varians processen skrives som: y n t = (1 λ t)y (n 1) t + Samtidig bliver diskretiseringen for prisprocessen: N n t n=n (n 1) t +1 X n Ẑ t = Ẑt 1 + (r q λk( ρ) ˆυ t 1 /2) + ˆυ t 1 W + ρ(ẑλt ẑ λt 1 ) hvor W er det tilfældige tal (Schoutens (2003)), og k(ρ) er givet som: k(ρ) = aρ(b + ρ) 1 (Schoutens, Simons, and Tistaert (2005)) Det skal endvidere bemærkes, at idet volatiliteten kun kan springe opad og herefter aftager eksponentielt, vil volatiliteten aldrig blive negativ, og der er derfor for Barndorff-Nielsen og Shephard modellen i diskretiseringen ikke brug for den absorberende metode, der som tidligere nævnt tager hensyn til negativ varians. 6.4 Least-Squares Monte Carlo Til værdiansættelse af shout optionen er det ikke nok blot at bruge almindelig Monte Carlo simulering. Dette skyldes, at optionen indeholder et amerikansk element, og det er derfor nødvendigt, som for en almindelig amerikansk option, at tilføje muligheden for at indfri optionen i hele løbetiden. Til dette formål har Longstaff og Schwarz udviklet en metode til Monte Carlo simulering, der benytter en least-square tilgang til at bestemme, hvorvidt det på et givent tidspunkt bedst kan betale sig at 78

84 udnytte optionsretten eller at lade optionen løbe videre. Som for andre numeriske metoder til bestemmelse af værdien på amerikanske optioner, startes der for Least-Square Monte Carlo ved udløb, således at der simuleres x-antal stier for prisprocesser for hele optionens løbetid. Da det ikke giver værdi at vurdere sin udnyttelsesret ved udløb, hvor optionen alligevel lukker, ses der på det sidste tidspunktet før udløb. På dette tidspunkt ses der på alle de optioner, der er ITM. For disse optioner forudsættes følgende approksimerede forhold for værdien af ikke at udnytte optionen, det vil sige at lade optionen fortsætte, V : V = a + bs + cs 2 hvor S er aktiekursen på det tidspunkt, der ses på, og V er tilbagediskonteret fra udløb til dette tidspunkt. a, b og c findes ved at minimere forholdet: n ( ) Vi a bs i + csi 2 2 i=1 hvor n er antal af optioner, der var ITM på tidspunktet, der ses på. Ved hjælp af de fundne værdier for a, b og c kan værdien af at lade optionen fortsætte beregnes for hver enkelt sti af prisprocessen. Denne værdi sammenholdes med værdien af at udnytte optionen. En tilsvarende proces udføres for hvert enkelt tidspunkt, hvorefter værdien af optionen kan findes ved at tilbagediskontere samtlige cash flow til tidspunkt 0 og beregne et gennemsnit af dette. Såfremt optionen er ITM ved optionens start, sammenholdes den netop fundne optionspris med værdien af at udnytte optionen på starttidspunktet, og det vurderes, om optionen allerede her skal udnyttes (Hull (2008)). 7 Prisfastsættelse I de følgende afsnit vil der for hver af de eksotiske optioner blive beskrevet en algoritme, der angiver, hvorledes prisen på produkterne fremkommer ved hjælp af Monte Carlo simulering. Herefter analyseres prisforskellene for de forskellige modeller. 7.1 Cliquet option Algoritmen for cliquet optionen er givet som følgende: 1. Der vælges et antal simulationer samt hvor mange justeringstidspunkter, der skal være gennem optionens løbetid. 79

85 2. For hver enkelt periode mellem to justeringstidspunkter, eksempelvis fra starten af optionens løbetid til første justeringstidspunkt, simuleres indeksprisen og volatiliteten for hver frekvens. Grundet brugen af varians reduktions teknikken antithetic variates, simuleres indeksprisen og volatiliteten for hver frekvens to gange - den ene med positivt fortegn på de genererede tilfældige tal og det andet med negativt fortegn. Derved simuleres der to stier på baggrund af samme tilfældige tal. 3. Når et justeringstidspunkt rammes, beregnes payoff et, der, som nævnt i afsnit 5.1, Cliquet optioner, er mindsteværdien af det almindelige payoff og cap en. Hvorvidt payoff et udbetales efter hvert enkelt justeringstidspunkt eller samlet ved optionens udløb varierer fra kontrakt til kontrakt. Det er her antaget, at payoff et udbetales ved det enkelte justeringstidspunkt, hvorfor payoff et her tilbagediskonteres, og nutidsværdien findes. 4. Striken for den efterfølgende periode sættes lig med indekskursen ved slutningen af perioden før. 5. Når alle delperioder er gennemløbet og optionen er udløbet, lægges payoff et fra alle justeringstidspunkterne sammen, således at cliquet optionens samlede payoff bestemmes. Herefter summeres payoff et for samtlige simulationer, og det gennemsnitlige payoff bestemmes. Da der grundet antithetic variates er to sideløbende simulationer, lægges de to simulationer sammen og divideres med to, så den endelige call pris findes. For at sammenligne de respektive modeller arbejdes der i prisfastsættelsen med en fiktiv cliquet option, der har følgende karakteristika: Strikepris på $1.230, cap på $200, rente på 3% og spotpris for det underliggende indeks på $ Der benyttes følgende løbetider og justeringstidspunkter: Løbetid, T 0,1 0,5 1 Antal justeringstidspunkter Tabel 20: Udløb og antal justeringstidspunkter for cliquet optionen Hver enkelt pris beregnes ved hjælp af 1 million simuleringer. Derudover er det antaget, at et år består af 250 handelsdage, og at den enkelte option observeres én gang dagligt. Det vil sige, at for en løbetid på 0,1 år er antallet af frekvenser 25 og så fremdeles. Som tidligere nævnt er eksotiske optioner OTC produkter, og der findes derfor ikke let tilgængelige markedsdata herfor. Som følge heraf er det ikke muligt at 80

86 holde de simulerede modelpriser op mod en markedspris, som det var tilfældet for plain vanilla optionerne. I stedet sammenlignes de fremkomne priser på tværs af modellerne for de forskellige løbetider og ved ændringer i produkternes karakteristika. For cliquet optionerne har de forskellige modeller givet følgende priser for de tre forskellige udløbstidspunkter: Cliquet CEV SABR H HJ HJJ BN-S T=0.1 37,86 37,94 35,96 36,36 36,88 36,01 T=0.5 65,03 66,68 61,43 74,83 78,96 71,59 T= ,43 154,13 126,02 161,71 171,91 154,17 Tabel 21: Modelpriser i dollar for cliquet optionen ved forskellig tid til udløb Som det ses af ovenstående tabel er der stor forskel på modellernes prisfastsættelse. For kort tid til udløb prisfastsætter modellerne cliquet optionen forholdsvis ens, mens priserne varierer utrolig meget for optionen med lang udløb. Endvidere ses det, at Heston modellen overraskende nok er den model, der prisfastsætter længst væk fra de øvrige modeller, og at den prisfastsætter væsentligt under de andre for lang tid til udløb. Ser man på de procentvise afvigelser, der kan findes i bilag A.4, prisfastsætter Heston modellen hele 27% lavere end Heston modellen med spring i prisog volatilitetsprocessen for 1 år til udløb. Effekten af spring må derfor formodes at have en væsentlig påvirkning for cliquet optioner, især når antallet af justeringstidspunkter og tiden til udløb stiger. Dette bygger på, at et positivt spring eksempelvis kan have den effekt, at såfremt striken er sat op efter et justeringstidspunkt, hvor kursen på det underliggende aktiv var højere end striken, er det sværere at komme ITM ved næste justeringstidspunkt, og derved kan et spring være med til at øge sandsynligheden for at komme ITM. De fundne priser er naturligvis påvirket af de karakteristika, der er givet for produktet. Det er derfor interessant at se, hvorvidt priserne fra de forskellige modeller forbliver relative ens for kort udløb, når der ændres i en af optionens variable. For cliquet optionen er det oplagt at ændre i niveauet for cap en, idet denne bør have stor påvirkning på prisen. 81

87 Figur 51: Optionspriser ved forskellige værdier af cap en Som det ses af figuren, har cap en indtil cirka $150 forholdsvis stor påvirkning på prisen. Såfremt cap en sættes til mere end $150, bliver cap en så høj, at den ikke har nogen effekt på prisen, hvorfor modelpriserne konvergerer mod en maksimum værdi for prisen. Tilsvarende for tabellen med priserne for forskellige udløb, viser figuren, at priserne for de forskellige stokastiske volatilitets modeller er relativt ens for kort tid til udløb. Endvidere ses det, at billedet med hensyn til hvilken model der prisfastsætter højest, og hvilken der prisfastsætter lavest, ændrer sig med niveauet af cap en. Af førstående graf fremgår det, at de små forskelle mellem modellerne forblev ved ændringer i cap en. Det ønskes derfor undersøgt, om billedet er det samme for længere tid til udløb, hvorfor der ses på optionspriser ved ændring af cap en for optioner med 0,5 år til udløb: Figur 52: Optionspriser ved forskellige værdier af cap en; 0,5 år til udløb 82

88 Figuren giver samme billede som tabel 21 med hensyn til, hvilke modeller der prisfastsætter højst og lavest. Dog bemærkes Heston modellens lidt afvigende prisfastsættelse i forhold til de øvrige stokastiske volatilitets modeller. Af tabellen, fremgik det endvidere, at der var noget større forskelle i modellernes priser for længere tid til udløb i forhold til kort tid til udløb, hvilket går igen i forskellen mellem denne figur og figur 51. For en lav værdi af cap en er modelpriserne for 0,5 år til udløb dog forholdsvis ens, hvilket skyldes, at den lave cap naturligt sikrer samme prisniveau. På baggrund af ovenstående konkluderes det, at de stokastiske volatilitets modeller prisfastsætter cliquet optionen relativt ens for kort tid til udløb, mens forventningen om, at modellerne ikke prisfastsætter eksotiske optioner ens, i høj grad er gældende for cliquet optioner med lang tid til udløb. 7.2 Dobbelt barriere option Algoritmen for dobbelte barriere optionen er givet som følgende: 1. Der vælges et antal simulationer samt et antal frekvenser, det vil sige, hvor mange perioder udløbstiden opdeles i. 2. Der laves to sumværdier - call værdi 1 og call værdi 2. Begge sættes til For hver frekvens tjekkes det, at ingen af de to barrierer er ramt. Er dette tilfældet, sættes værdien af optionen til Såfremt ingen af barriererne er ramt, simuleres der for hver frekvens en ny værdi af indeksprisen og volatiliteten ved hjælp af de respektive Euler diskretiseringer for de forskellige stokastiske volatilitets modeller. Som for cliquet optionen simuleres indeksprisen og volatiliteten for hver frekvens to gange - den ene med positivt fortegn for de genererede tilfældige tal og det andet med negativt fortegn. 5. Når en simulation er gennemløbet, beregnes afkastet, som tilbagediskonteres og tillægges summerne call værdi 1 og call værdi Når alle simulationer er gennemført, divideres respektivt call værdi 1 og call værdi 2 med antal simuleringer, så den gennemsnitlige call værdi findes. Endeligt lægges de to call værdier sammen og divideres med to, således at den endelige call pris fremkommer. 83

89 I simuleringen af dobbelt barriere optionen er der foretaget en korrektion af niveauet for barrieren givet som Be 0,5826σ T/m for up-and-out barrieredelen og Be 0,5826σ T/m for down-and-out barrieredelen. Korrektionen skyldes, at lukkede løsninger for barriere optioner antager, at niveauet for aktieprisen bliver observeret kontinuerligt, mens denne i virkeligheden ofte bliver observeret diskret, eksempelvis én gang om dagen. Selv numeriske metoder som Monte Carlo har, jævnfør Broadie, Glasserman, and Kou (1997), svært ved at inkorporere den diskrete monitorering, hvorfor korrektionen tilføres barrieren. Tilsvarende, som for cliquet optionen, benyttes en fiktiv dobbelt barriere option med følgende karakteristika: Strikepris på $1.230, øvre barriere på $1.350, nedre barriere på $1.150, rente på 3% og spot pris for det underliggende indeks på $ Til prisfastsættelsen af optionen benyttes for de seks modeller tre forskellige løbetider: 0,1, 0,5 og 1 år. Hver enkelt pris er på tilsvarende vis som for cliquet optionen beregnet ved hjælp af 1 million simuleringer, hvor optionen observeres dagligt under antagelsen om 250 handelsdage i et år. I nedenstående tabel ses priserne for dobbelt barriere optionerne ved forskellig udløb: Dobbelt barriere CEV SABR H HJ HJJ BN-S T=0.1 26,31 29,00 35,12 33,33 33,90 35,99 T=0.5 5,29 7,18 13,19 11,02 10,40 15,25 T=1.0 0,72 1,24 1,93 1,75 1,92 5,84 Tabel 22: Modelpriser i dollar for dobbelt barriere optionen ved forskellig tid til udløb Som det ses af tabellen, er der relativ stor forskel imellem priserne - både for kort og lang tid til udløb. BN-S prisfastsætter generelt højere end de øvrige modeller, mens CEV modellen, i den modsatte ende, generelt prisfastsætter optionerne lavere end de øvrige modeller. Endvidere ses det, at især Heston modellerne, til forskel for cliquet optionen ligger relativt tæt op ad hinanden. De procentvise forskelle kan ses af bilag A.5. Forskellene mellem priserne er naturligt størst for den længste tid til udløb, idet jo længere tid til udløb, jo flere uforudsigelige hændelse kan der ske i markedet, hvorfor det er sværere at ramme en entydig pris. Tilsvarende som for cliquet optionen, er det interessant at se på, hvorledes ændringer i produktets karakteristika påvirker forskellene mellem modelpriserne. For dobbelt barriere optionen ses der først på optionsprisernes påvirkning ved at sætte den nedre barriere som en funktion af spotprisen. 84

90 Figur 53: Den nedre barriere som funktion af spotprisen Som det ses af figuren, konvergerer alle modellerne mod hver sin pris, når den nedre barrier kommer ned under 90% af spotprisen. Prisen, der konvergeres mod, er prisen for en up-and-out barriere option, idet den nedre barriere ikke har nogen effekt, når denne reduceres væsentligt. Det særlig interessante ved figuren er dog, at det skifter mellem de fire avancerede modeller, hvilken model der prisfastsætter højest, samtidig med at disse modellers priser går mod samme pris, når barrieren går mod spotprisen. I modsatte ende prisfastsætter CEV modellen konsekvent væsentligt lavere end de øvrige modeller. Endvidere bemærkes det, at forskellen mellem priserne for den højeste og laveste pris er forholdsvist konstant for alle niveauer af den nedre barriere. Et lidt andet billede fås, såfremt den øvre barriere sættes som funktion af spotprisen: Figur 54: Den øvre barriere som funktion af spotprisen 85

91 Igen ses det, at modellerne konvergerer mod hver sin pris, der i dette tilfælde er prisen for en down-and-out barriere option, idet den øvre barriere reelt ikke har nogen effekt, når den kommer op over en vis grænse. Det interessante er her, at til forskel fra ændringen i den nedre barriere, har den øvre barrieres niveau stor påvirkning på forskellen mellem de forskellige modellers priser. Ved en øvre barriere, der er 1,05 gange større end spotprisen, er der mere end $10 forskel på priserne, mens priserne derimod er meget tæt på hinanden, når barrieren hæves væsentligt. På baggrund af ovenstående kan det for dobbelt barriere optionen konkluderes, at der både for kort og lang sigt er væsentlig forskel i de priser, de stokastiske volatilitets modeller giver. Endvidere konkluderes det, at forskellen mellem modellerne i høj grad afhænger af produktets karakteristika, hvilket kunne ses ved ændringer i den øvre og nedre barriere. 7.3 Shout option Algoritmen for shout optionen er givet som følgende: 1. Som for dobbelt barriere optionen vælges der et antal simulationer og frekvenser, som løbetiden deles op i. 2. For hver enkelt frekvens findes en ny værdi af indekskursen og volatiliteten ved hjælp af de respektive Euler diskretiseringer samt generering af tilfældige tal. 3. Da Least-Squares Monte Carlo som tidligere nævnt går bagud for at se, hvornår det er optimalt at udnytte optionen, beregnes payoff ved optionens udløb. 4. Der laves et loop, der hele tiden går et tidsskridt bagud, således at der startes på tidspunktet lige før udløb og slutter på tidspunktet lige efter optionens starttidspunkt. 5. For hvert tidspunkt ses der på, hvilket payoff det giver at udnytte optionen på det givne tidspunkt samt værdien ved at lade optionen fortsætte. Som beskrevet i afsnittet for Least-Squares Monte Carlo findes værdierne a, b og c ved at minimere n ( ) Vi a bs i + csi 2 2 i=1 6. Ved hjælp af de fundne værdier fra minimeringsfunktionen, findes værdien af at lade optionen fortsætte. Såfremt værdien af at udnytte optionen er større end at lade optionen fortsætte, shoutes optionen. 86

92 7. Tidspunkterne, hvor optionen er shoutet, findes, og payoff tilbagediskonteres, så nutidsværdien fremkommer. Dette samme foretages for payoff et ved optionens udløb. 8. Da shout optionen udbetaler den største værdi af payoff et ved shouttidspunktet og payoff ved udløb, findes størsteværdien af disse. 9. Endeligt summeres payoff et for samtlige simuleringer og divideres med antallet af simuleringer, for på den måde at finde det gennemsnitlige payoff. Til prisfastsættelsen benyttes en fiktiv shout option med en strikepris på $1.230, en rente på 3%, 1 shoutmulighed og en spotpris for det underliggende indeks på $ Endvidere prisfastsættes der for tre forskellige løbetider: 0,1, 0,5 og 1 år. Med den computerkapacitet der har været til rådighed, har det ikke været muligt at simulere prisen for en shout option for 250 frekvenser, 1 million simuleringer samt antithetic variates. Koden til simulering af prisen på shoutoptionen er konstrueret således, at hele udviklingen i indeksprisen genereres samtidigt med antallet af alle simulationer. Dette medfører, at koden bliver meget tung, jo flere frekvenser og simuleringer der tilføjes. Endvidere vil brugen af antithetic variates besværliggøre koden endnu mere, da det medfører dobbelt så mange genereringer. Det har derfor været nødvendigt at undlade brugen af antithetic variates og for løbetiden på 1 år at begrænse antallet af simuleringer til På baggrund af ovenstående karakteristika for shout optionen, er følgende simulerede priser for de forskellige løbetider fremkommet: Shout CEV SABR H HJ HJJ BN-S T=0.1 37,60 37,51 37,03 35,88 36,32 35,54 T=0.5 76,07 76,31 79,07 61,50 81,46 76,68 T= ,65 110,79 120,18 122,24 127,75 116,88 Tabel 23: Modelpriser i dollar for shout optionen ved forskellig tid til udløb Billedet, der tegner sig for forskellene mellem de forskelige stokastiske volatilitets modeller, ligner meget det, der kunne ses for cliquet optionen. På meget kort sigt er der ikke betydelig forskel i optionspriserne, mens dette ændrer sig for optionerne jo længere tid, der er til udløb. En interessant iagttagelse er, at den største forskel mellem optionspriserne for 0,5 år til udløb skal findes mellem de to Heston modeller med spring, idet Heston med spring i prisprocessen prisfastsætter forholdsvist lavt, mens Heston med spring i pris- og volatilitetsprocessen prisfastsætter forholdsvist højt. 87

93 Imellem disse to priser ligger de øvrige modellers priser, der alle prisfastsætter på samme niveau. Det bemærkes dog også, at for lang tid til udløb prisfastsætter CEV og SABR modellerne lavt i forhold til de øvrige, mens priserne for de tre Heston modeller nu ligger forholdsvist tæt på hinanden. De procentvise forskelle mellem modellerne kan ses af bilag A.6. Som nævnt, er modelpriserne for shout optionen for kort tid til udløb forholdsvis tæt på hinanden. For at teste, om dette blot var en tilfældighed på baggrund af de valgte karakteristika for optionen, vælges der at se på, hvilken effekt det har på forskellen mellem modelpriserne at ændre på strikeprisen. Figur 55: Optionspriser ved forskellige værdier af striken Det fremgår tydeligt af figuren, at uanset valget af strikepris, prisfastsætter de stokastiske volatlites modeller forbløffende ens for udløb på 0,1 år. Dog bemærkes det også, at SABR modellen prisfastsætter lidt lavere end de øvrige for meget ITM optioner og lidt højere for OTM optioner, dog ikke således at der bliver en væsentlig prisforskel. Ud fra de simulerede priser for shout optionen konkluderes det, at priserne tilsvarende som for cliquet og dobbelt barriere optionerne varierer meget mellem modellerne for lang tid udløb. Modsat må modellerne siges at være utrolig ens for kort tid til udløb, samt når ændringer i strikeprisen foretages på kort sigt. 7.4 Modelsammenligning Afhandlingen tog udgangspunkt i forventningen om, at de stokastiske volatilitets modeller ville prisfastsætte eksotiske optioner væsentligt forskelligt fra hinanden, 88

94 hvilket har vist sig til dels at holde stik. Den ovenstående analyse har vist, at størrelsen på prisforskellene er meget påvirket af, hvilken type option der prisfastsættes, samt hvilke karakteristika der præger optionen, eksempelvis tid til udløb og strikepris. Det kan ud fra analysen konstateres, at der ikke er en enkelt model, som konsekvent enten prisfastsætter højere eller lavere end de øvrige modeller. Som det kunne ses ved prisfastsættelsen af de europæiske plain vanilla optioner, var afhandlingens modeller generelt opdelt i to lejre, med CEV og SABR på den ene side, og de øvrige på den anden side. Det samme har vist sig at være gældende ved prisfastsættelsen af de eksotiske optioner. Dette kommer især til udtryk i graferne for cliquet og dobbelt barriere optionerne, hvor CEV og SABR modellerne generelt ligger tættere op ad hinanden, end de gør med de andre modeller. Overordnet set giver de stokastiske volatilitets modeller ikke en entydig pris for de eksotiske optioner, hvilket kan være problematisk for markedsaktørerne. I og med at de fleste eksotiske optioner handles OTC, er data omkring produkternes priser svært tilgængelige, og det er derfor, som tidligere nævnt, ikke muligt at holde modelpriserne op mod en markedspris, hvorfor markedsaktørerne er meget afhængige af modelpriserne. Dette kan blandt andet medføre, at de samme produkter bliver solgt til forskellige priser, såfremt udbyderne bruger forskellige modeller til prisfastsættelsen. Da, der som vist i afhandlingen kan være stor variation i priserne for de forskellige modeller, kan der opstå arbitrage muligheder for den investor, der ligger inde med viden om, hvilke modeller der bruges til prisfastsættelse ved de forskellige udbydere. Benytter en sælger af en dobbelt barriere option med de, i afhandlingen, valgte karakteristika og en udløbstid på 1 år, eksempelvis Heston modellen med spring i prisprocessen, får han en pris på $1,75. Benytter en anden sælger BN-S modellen til at prisfastsætte samme option, får han en pris på $5,84. Såfremt der eksempelvis er et spread på 10 cent mellem bid og ask prisen for optionen, vil det højeste bid være større end det laveste ask, hvormed det er muligt at købe optionen billigt ved den ene sælger og sælge den dyrt til den anden. 8 Mulige fejlkilder En afhandling som denne kræver altid, at der bliver truffet nogle valg, der har betydning for de resultater, der opnås. Formålet med dette afsnit er derfor at synliggøre de steder, hvor valgene kan have haft betydning for resultaterne. I afsnit 4.2.1, Formel for CEV, blev det påpeget, at det i indeværende afhandling var nødvendigt at sætte dividenden til nul. Dette må forventes at give en fejl i forhold til en beregning, hvor dividenden er kendt. Som nævnt i samme afsnit forventes 89

95 dette dog ikke at have betydelig effekt for afhandlingens resultater, idet dividenderaten typisk er af en mindre størrelse. På trods af dette, bør man dog stadig være opmærksom på den mulige fejlkilde, der ligger heri. Som nævnt i 4.2.5, Valg af α, har α betydning for Fast Fourier transformeringen og dermed også prisfastsættelsen af optioner, hvorfor det var vigtigt, at α blev fastsat korrekt. I afhandlingen blev en α på 0,75 benyttet. Om dette er en korrekt α at benytte for alle de i afhandlingen valgte modeller er svært at sige. For at være sikre på, at den valgte α ikke har været helt forkert, er modelpriserne blevet sammenlignet med priser fra blandt andet OptionCity Calculator 10 og Option Pricer 11. Afhandlingens priser har vist sig i meget høj grad at stemme overens med de forskellige prisberegnere, hvorfor det vurderes, at α har været af en acceptabel størrelse. I kalibreringsafsnittet blev der beskrevet forskellige kriteriefunktioner, som hver især kan benyttes til at angive forskellen mellem modelprisen og markedet. Her blev det vurderet, at den absolutte prisforskel var den mest brugbare til afhandlingens formål. At valget faldt på den absolutte prisfejl skal ikke ses som en egentlig fejlkilde, blot skal man være opmærksom på, at idet de forskellige kriteriefunktioner hver vægter forskellige egenskaber ved optionerne, må valget af kriteriefunktion forventes at påvirke afhandlingens resultater i større eller mindre grad. Tilsvarende gælder det for valget af vægtning. Her blev det vurderet mest korrekt at benytte vega vægtning, hvorved det må være forventeligt, at en anden vægtning vil give andre resultater. 9 Perspektivering Modelusikkerhed er den usikkerhed, der opstår ved valget af en model. I indeværende afhandling er denne usikkerhed blandt andet belyst ud fra udvalgte modellers evne til at prisfastsætte udvalgte eksotiske optioner. Eftersom de eksotiske optioner alle er sti-afhængige, kaster de bedre lys over aktieprocessens dynamik, og giver herved et bedre billede af modellernes forskelle. En alternativ måde at skelne mellem modellerne kunne have været at vurdere deres hedging evner. Hedging fejl måler, hvor godt en model opfanger de dynamiske egenskaber, der er indeholdt i prisen på en option og det underliggende aktiv. Med andre ord afspejler prisfastsættelsesfejl modellens statiske præstation, mens hedgingfejl afspejler modellens dynamiske præstation (Bakshi, Cao, and Chen (1997)). En analyse af modellernes hedging evne ville derfor være en naturlig forlængelse af dette studie

96 Udover modellernes evne til at prisfastsætte eksotiske optioner, er det i afhandlingen også belyst, hvordan modellerne formår at prisfastsætte europæiske plain vanilla optioner. Resultatet har vist, at de fleste af modellerne formår at prisfastsætte disse optioner forholdsvist præcist. I denne forbindelse kunne det have været interessant, at undersøge modellernes evne til at prisfastsætte amerikanske plain vanilla optioner. På den måde ville det have være muligt at sammenholde modelpriser for optioner med et amerikansk element med tilsvarende markedspriser. Det kunne blandt andet ses under prisfastsættelsen af shout optionerne, at der var forholdsvis stor forskel mellem de forskellige modelpriser for længere tid til udløb. 10 Konklusion Formålet med denne afhandling var at undersøge modelusikkerheden i udvalgte stokastiske volatilitets modeller. Til dette formål blev to hovedspørgsmål opstillet. For det første, hvordan den enkelte model formåede at gengive markedspriserne for europæiske plain vanilla optioner, og for det andet, hvordan den enkelte model prisfastsatte eksotiske optioner i forhold til de øvrige modeller. Som grundlag for besvarelse af dette blev de seks udvalgte modeller, CEV, SABR, Heston, Heston med spring i prisprocessen, Heston med spring i pris- og volatilitetsprocessen og BN-S, i første del af afhandlingen præsenteret. Endvidere blev det illustreret, hvordan modelparametrenes størrelse påvirker prisen på plain vanilla optioner. For at besvare det første hovedspørgsmål, om hvorvidt den enkelte model formåede at gengive markedspriser, skulle der for den enkelte model findes en metode til prisfastsættelse af plain vanilla optioner. For CEV og SABR modellen var dette forholdsvist enkelt, idet eksplicitte formler eksisterer til prisfastsættelse. Dette var ikke på samme måde tilfældet for de fire øvrige modeller. Et meget anvendt og brugbart alternativ var derfor at benytte Fourier transformering, der tager udgangspunkt i kendte karakteristisk funktioner, der alle kunne findes for de tre versioner af Heston modellen samt BN-S modellen. Mange forskellige metoder er dog anvendt i forbindelse med Fourier transformering. I indeværende afhandling blev det valgt at benytte Carr og Madans tilgang, hvor optionspriser kunne findes ved hjælp af Fast Fourier transformering. Med selve prisfastsættelsen på plads, manglede blot en kriteriefunktion til minimering af forskellen mellem modelpriserne og markedspriserne. Der blev her valgt at benytte den absolutte prisforskel med vega som vægtning. Til selve kalibreringen blev en lokal minimeringsalgoritme benyttet. For at øge sandsynligheden for at finde det globale minimum, blev der for alle modellerne, undtagen Heston modellen med spring i pris- og volatilitetsprocessen, kalibreret ved forskellige startgæt. For at vurdere modellernes evne til at prisfastsætte europæiske plain vanilla optioner blev der både set på stabilitet i kalibreringen på tværs af startgæt og på tværs af dagene 91

97 i datasættet samt prisfastsættelse af enkelt optioner og genereringen af den implicitte volatilitetsoverflade. Konklusionen herfra, og dermed også svaret på det første hovedspørgsmål, er, at jo mere avanceret model, des bedre er modellen til at gengive den implicitte volatilitetsoverflade. Når der ses på prisfastsættelse af udvalgte enkelt optioner er de simple modeller, CEV og SABR, dog i ligeså høj grad i stand til at ramme markedspriserne som de øvrige modeller, især når der ses på ITM optioner. Endvidere konkluderes det, at for især Heston modellerne med spring bliver kalibreringen noget mere ustabil både på tværs af startgæt og på tværs af dagene, hvorfor disse modeller, for at sikre præcision, bør rekalibreres ofte. For at besvare det andet hovedspørgsmål, blev tre forskellige eksotiske optioner præsenteret: Cliquet optioner, dobbelt barriere optioner og shout optioner. Som redskab til prisfastsættelsen blev Monte Carlo simulering valgt, hvorfor problematikker omkring generering af tilfældige tal, varians reduktions teknikker samt diskretiseringsmetode blev diskuteret. Endvidere blev Least-Squares Monte Carlo præsenteret, idet dette skulle bruges til prisfastsættelse af shout optioner. For hver enkelt af de tre produkter blev en algoritme givet til simulering af priserne, hvorved modellerne for en given option kunne sammenlignes på tværs af forskellige løbetider og ændringer i produkternes karakteristika. For både cliquet og shout optionen kan det konkluderes, at de stokastiske volatilitets modeller prisfastsætter forholdsvis ens for optioner med kort tid til udløb samt ved ændring i henholdsvis cap en og strikeprisen, men modellerne prisfastsætter vidt forskelligt for optioner med længere tid til udløb. En anden konklusion er givet for dobbelt barriere optionen, hvor modellerne både prisfastsætter vidt forskelligt for de forskellige tid til udløb samt ved ændring af den øvre barriere og den nedre barriere. Den overordnede konklusion for afhandlingen er, at ved prisfastsættelse af enkelte europæiske plain vanilla optioner er optionspriserne forholdsvist upåvirkede af valget af stokastisk volatilitets model, mens der modsat kræves stor opmærksomhed ved prisfastsættelse af eksotiske optioner i forhold til, hvilken model der vælges. Dette er en problematik, den enkelte aktør i markedet er nødt til at forholde sig til, idet der med forholdsvist illikvide produkter, som handles på OTC markedet, ikke kendes en valid markedspris, hvorfor aktørerne er afhængige af modelpriser. Men hvilken model skal vælges, når de stokastiske volatilitets modeller ikke giver en entydig pris? Dette er et spørgsmål, der stadig er ubesvaret, og dermed til stadighed, som det kunne ses af indledningen, kan medføre store omkostninger. Indeværende afhandling belyser dog, tilsvarende for andre afhandlinger og artikler, vigtigheden af, at spørgsmålet i den fremtidige forskning besvares. 92

98 Litteratur Albrecher, H., P. Mayer, W. Schoutens, and J. Tistaert (2007): The little Heston trap, Wilmott Magazine, pp An, Y., and W. Suo (2009): An Empirical Comparison of Option-Pricing Models in Hedging Exotic Options, Financial Management, 38(4), Andersen, L. (2007): Efficient simulation of the Heston stochastic volatility model, SSRN elibrary. Andersen, L., and J. Andreasen (2000): Volatility skews and extensions of the LIBOR market model, Applied Mathematical Finance, 7(1), Bakshi, G., C. Cao, and Z. Chen (1997): Empirical performance of alternative option pricing models, The Journal of Finance, 52(5), Barndorff-Nielsen, O., E. Nicolato, and N. Shephard (2002): Some recent developments in stochastic volatility modelling, Quantitative Finance, 2(1), Barndorff-Nielsen, O., and N. Shephard (2001): Non-Gaussian Ornstein Uhlenbeck-based models and some of their uses in financial economics, Journal of the Royal Statistical Society: Series B (Statistical Methodology), 63(2), Bates, D. (1991): The crash of 87: Was it expected? The evidence from options markets, The Journal of Finance, 46(3), (1996): Jumps and stochastic volatility: Exchange rate processes implicit in Deutsche Mark options, Review of financial studies, 9(1), 69. Boyle, P., Y. Tian, et al. (1999): Pricing lookback and barrier options under the CEV process, Journal of Financial and Quantitative Analysis, 34(02), Broadie, M., P. Glasserman, and S. Kou (1997): A continuity correction for discrete barrier options, Mathematical Finance, 7(4), Campbell, J., A. Lo, and A. MacKinlay (1997): The econometrics of financial markets, vol. 1. princeton University press Princeton, NJ. Cariboni, J., and W. Schoutens (2006): Jumps in Intensity models, status: published, 2006(01). Carr, P., and D. Madan (1999): Option valuation using the fast Fourier transform, Journal of Computational Finance, 2(4),

99 Chen, B., C. Oosterlee, and H. van der Weide (2010): Efficient unbiased simulation scheme for the SABR stochastic volatility model, Discussion paper, CWI Working Paper, submitted for publication. Cont, R. (2006): Model uncertainty and its impact on the pricing of derivative instruments, Mathematical Finance, 16(3), Cont, R., and P. Tankov (2004): Financial modelling with jump processes, vol. 2. Chapman & Hall. Cox, J., and S. Ross (1976): The valuation of options for alternative stochastic processes, Journal of financial Economics, 3(1-2), Delbaen, F., and W. Schachermayer (1994): A general version of the fundamental theorem of asset pricing, Mathematische annalen, 300(1), Detlefsen, K., and W. Härdle (2007): Calibration risk for exotic options, The Journal of Derivatives, 14(4), Gatheral, J. (2006): The volatility surface: a practitioner s guide. Wiley. Gauthier, P., and P. Rivaille (2009): Fitting the smile, Smart parameters for SABR and Heston,. Glasserman, P. (2004): Monte Carlo methods in financial engineering. Springer Verlag. Goulden, J., P. S. Allen, and S. Einchcomb (2007): A Framework for Credit- Equity Investing, Discussion paper, JPMorgan. Graversen, S. E., and J. Pedersen (2005): Forelaesningsnoter til Stokastiske Processer, Discussion paper, Aarhus Universitet, Forelaesningsnoter. Hagan, P., D. Kumar, and A. Lesniewski (2002): DE WOODWARD (2002).âœManaging Smile Riskâ, Wilmott Magazine, pp Haug, M. (2010): Beyond Black-Scholes, Discussion paper, Columbia University, Lecture notes. Heston, S. (1993): A closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to bond and currency options, Review of financial studies, 6(2), 327. Hull, J. (2008): Options, futures, and other derivatives. Pearson Education India. 94

100 Jackwerth, J., and M. Rubinstein (2001): Recovering stochastic processes from option prices, Research paper. Jacquier, A., and C. Martini (2010): Heston 2010,. Janek, A., T. Kluge, R. Weron, and U. Wystup (2010): FX Smile in the Heston Model, Arxiv preprint arxiv: Knudsen, T., and L. Nguyen-Ngoc (2002): Pricing European Options in a Stochastic Volatility-Jump-Diffusion Model, Journal of Financial and Quantitative Analysis, submitted. Lewis, A. (2001): A simple option formula for general jump-diffusion and other exponential Lévy processes, Envision Financial Systems and OptionCity. net. Lindberg, C. (2008): The estimation of the Barndorff-Nielsen and Shephard model from daily data based on measures of trading intensity, Applied Stochastic Models in Business and Industry, 24(4), Lord, R. (2010): Fourier Methods in Options Pricing,. Lord, R., and C. Kahl (2006): Why the rotation count algorithm works,. (2007): Optimal Fourier inversion in semi-analytical option pricing, Journal of Computational finance, 10(4), 1. Lord, R., R. Koekkoek, and D. Van Dijk (2010): A comparison of biased simulation schemes for stochastic volatility models, Quantitative Finance, 10(2), Matsuda, K. (2004): Introduction to Option Pricing with Fourier Transform: Option Pricing with Exponential Lévy Models, Discussion paper, Working paper. Matytsin, A. (1999): Modelling Volatility and Volatility Derivatives, Presentation, JP Morgan. Nelken, I. (1995): The Handbook of Exotic Options: Instruments, Analysis, and Applications. New York, McGraw-Hill Professional, 88. Nicolato, E., and E. Venardos (2003): Option Pricing in Stochastic Volatility Models of the Ornstein-Uhlenbeck type, Mathematical Finance, 13(4), Randal, J. (2001): The Constant Elasticity of Variance Model: A Useful Alternative to Black-Scholes?,. 95

101 Schmelzle, M. (2010): Option pricing formulae using Fourier transform: Theory and application, Discussion paper, Working paper. Schoutens, W. (2003): Lévy processes in finance, status: published. Schoutens, W., E. Simons, and J. Tistaert (2005): A perfect calibration! Now what?, The Best of Wilmott, 2. Schoutens, W., and S. Symens (2003): The pricing of exotic options by Monte- Carlo simulations in a Levy market with stochastic volatility, International Journal of Theoretical and Applied Finance, 6(8), Schroder, M. (1989): Computing the constant elasticity of variance option pricing formula, The journal of finance, 44(1), West, G. (2005): Calibration of the SABR model in illiquid markets, Applied Mathematical Finance, 12(4),

102 A Bilag A.1 Euler identitet Af nedenstående figur ses den grafiske illustration af Euler identiteten e iux = cos(ux) + isin(ux) Figur 56: Grafisk illustration af Euler identiteten 97

103 δ CEV 0, ,18302 A.2 Modelparametre for den 14. januar 2010 β α β ρ ν SABR 0, , , ,81498 a b λ ρ σ 0 BNS 0, , , , ,01205 η κ θ ρ σ 0 H 0, , , , , η κ θ ρ σ 0 λ µ J σ J HJ 0, , , , , , , ,38001 η κ θ ρ σ 0 λ µ J σ J ν J HJJ 0, , , , , , , , ,20612

104 δ CEV 0, ,47643 A.3 Modelparametre for den 9. spetember 2010 β α β ρ ν SABR 0, , , ,01648 a b λ ρ σ 0 BNS 0, , , , ,01634 η κ θ ρ 0 H 0, , , , , η κ θ ρ σ 0 λ µ J σ J HJ 0, , , , , , , ,12633 η κ θ ρ 0 λ µ J σ J ν J HJJ 0, , , , , , , , ,36035

105 A.4 Procentvise forskelle for cliquet optionen Procentvise forskelle mellem modelpriserne for cliquet optionen med 0,1 år til udløb 12 : Procentvis forskel CEV SABR H HJ HJJ BNS CEV 0,00-0,20 5,02 3,97 2,59 4,88 SABR 0,20 0,00 5,21 4,16 2,78 5,07 H -5,28-5,49 0,00-1,10-2,55-0,15 HJ -4,13-4,34 1,09 0,00-1,43 0,95 HJJ -2,66-2,86 2,49 1,41 0,00 2,35 BNS -5,13-5,34 0,15-0,96-2,40 0,00 Procentvise forskelle mellem modelpriserne for cliquet optionen med 0,5 år til udløb: Procentvis forskel CEV SABR H HJ HJJ BNS CEV 0,00-2,52 5,54-15,06-21,41-10,09 SABR 2,46 0,00 7,87-12,23-18,42-7,38 H -5,41-7,87 0,00-20,10-26,29-15,24 HJ 13,09 10,90 17,91 0,00-5,52 4,32 HJJ 17,63 15,55 22,20 5,23 0,00 9,33 BNS 9,16 6,87 14,20-4,52-10,29 0,00 Procentvise forskelle mellem modelpriserne for cliquet optionen med 1 år til udløb: Procentvis forskel CEV SABR H HJ HJJ BNS CEV 0,00-1,11 17,32-6,09-12,78-1,15 SABR 1,10 0,00 18,23-4,92-11,54-0,03 H -20,95-22,30 0,00-28,31-36,41-22,34 HJ 5,74 4,69 22,07 0,00-6,31 4,66 HJJ 11,33 10,35 26,69 5,94 0,00 10,32 BNS 1,15 0,03 18,47-4,94-11,64 0,00 12 I tabellen er rækkerne beregnet i forhold til modellen, der står yderst til venstre. Dette betyder, at for eksempelvis CEV og SABR er den procentvise forskel beregnet som: (30, 04 29, 00)/30, 04 = 3, 44%. I kolonnerne er de procentvise forskelle derimod beregnet i forhold til modellen i øverste række. For CEV og SABR bliver regnestykket derved: (30, 04 29, 00)/29, 00 = 3, 57%. Tilsvarende beregning er foretaget for de øvrige tabeller. 100

106 A.5 Procentvise forskelle for dobbelt barriere optionen Procentvise forskelle mellem modelpriserne for dobbelt barriere optionen med 0,1 år til udløb: Procentvis forskel CEV SABR H HJ HJJ BNS CEV 0,00-10,24-33,52-26,70-28,86-36,81 SABR 9,29 0,00-21,11-14,93-16,89-24,10 H 25,10 17,43 0,00 5,10 3,49-2,47 HJ 21,08 12,99-5,38 0,00-1,70-7,98 HJJ 22,40 14,45-3,61 1,67 0,00-6,17 BNS 26,91 19,42 2,41 7,39 5,81 0,00 Procentvise forskelle mellem modelpriserne for dobbelt barriere optionen med 0,5 år til udløb: Procentvis forskel CEV SABR H HJ HJJ BNS CEV 0,00-35,59-149,11-108,19-96,48-188,07 SABR 26,25 0,00-83,72-53,54-44,91-112,46 H 59,86 45,57 0,00 16,43 21,13-15,64 HJ 51,97 34,87-19,66 0,00 5,62-38,37 HJJ 49,10 30,99-26,79-5,96 0,00-46,62 BNS 65,29 52,93 13,52 27,73 31,79 0,00 Procentvise forskelle mellem modelpriserne for dobbelt barriere optionen med 1 år til udløb: Procentvis forskel CEV SABR H HJ HJJ BNS CEV 0,00-72,67-169,17-144,09-168,24-715,76 SABR 42,09 0,00-55,89-41,36-55,35-372,44 H 62,85 35,85 0,00 9,32 0,34-203,07 HJ 59,03 29,26-10,28 0,00-9,90-234,21 HJJ 62,72 35,63-0,35 9,00 0,00-204,11 BNS 87,74 78,83 67,00 70,08 67,12 0,00 101

107 A.6 Procentvise forskelle for shout optionen Procentvise forskelle mellem modelpriserne for shout optionen med 0,1 år til udløb: Procentvis forskel CEV SABR H HJ HJJ BNS CEV 0,00 0,23 1,52 4,56 3,41 5,48 SABR -0,23 0,00 1,29 4,34 3,19 5,26 H -1,54-1,30 0,00 3,09 1,93 4,02 HJ -4,78-4,54-3,19 0,00-1,20 0,96 HJJ -3,53-3,29-1,96 1,19 0,00 2,14 BNS -5,80-5,55-4,19-0,97-2,19 0,00 Procentvise forskelle mellem modelpriserne for shout optionen med 0,5 år til udløb: Procentvis forskel CEV SABR H HJ HJJ BNS CEV 0,00-0,31-3,93 19,16-7,08-0,80 SABR 0,31 0,00-3,61 19,41-6,75-0,48 H 3,92 3,61 0,00 23,02-3,14 3,13 HJ -23,70-24,08-28,56 0,00-32,46-24,68 HJJ 6,61 6,32 2,94 24,50 0,00 5,87 BNS 0,79 0,48-3,11 19,80-6,23 0,00 Procentvise forskelle mellem modelpriserne for shout optionen med 1 år til udløb: Procentvis forskel CEV SABR H HJ HJJ BNS CEV 0,00-0,13-8,61-10,48-15,46-5,63 SABR 0,13 0,00-8,47-10,34-15,31-5,50 H 7,93 7,81 0,00-1,72-6,30 2,74 HJ 9,49 9,37 1,69 0,00-4,51 4,39 HJJ 13,39 13,28 5,93 4,31 0,00 8,51 BNS 5,63 5,50-2,98-4,85-9,83 0,00 102