Modelusikkerhed i stokastiske volatilitets modeller

Transkript

1 Erhvervsøkonomisk institut Msc in Finance Forfattere: Jannie Tornvig Kristine Bærentzen Vejleder: David Skovmand Modelusikkerhed i stokastiske volatilitets modeller Handelshøjskolen i Aarhus, Aarhus Universitet August 2011

2 Abstract In the financial literature, it has been problematized, that stochastic volatility models price European vanilla options very similar, but price exotic options very differently, which is problematic in a market, where no true market prices for exotic options exist. The purpose of the thesis is therefore to study the model risk in selected stochastic volatility models. To do this, two main issues are put into question firstly how each single model is able to fit the market prices of European plain vanilla options, and secondly how the different models price exotic options compared to each other. The first part of the thesis gives a presentation of assumptions, which makes a basis for the rest of the thesis. The chosen stochastic volatility models: Constant Elasticity of Variance (CEV), Stochastic Alpha Beta Rho (SABR), Heston, Heston with jumps in the price process, Heston with jumps in the price- and volatility process and Barndorff-Nielsen and Shephard (BN-S) are then presented, and the effect of the different model parameters on pricing of European plain vanilla options are illustrated. To be able to see how well the different models fit to market prices of European plain vanilla options, the models are calibrated to the market by minimizing the difference between model and market prices for 12 different days. How the model prices are found depend on the type of model. For the CEV and SABR models accessible formulas exist. For the other models, the pricing is a bit more complicated, since there are no known density functions. As an very used and accurate alternative, Fourier transformation including characteristic functions are used. More specific, the approach by Carr and Madan is being used. With the market prices in place the absolute price difference between the models and the market can be minimized, whereby a parameter set for each model, respectively for each single day can be found. The results show, that when looking at the whole volatility surface, the more advanced models, the Heston models with jumps and the BN-S model, are to a greater extend more capable of fitting the market, compared to especially the CEV and SABR models. Though, the CEV and SABR models also show great ability of fitting the market when looking at volatility smiles for a single maturity date, particularly for in-the-money options. On the other hand, the two Heston models with jumps in general show higher instability in the calibration. To be able to compare the prices of the different models for exotic options, three different types of exotic options are presented: Cliquet option, double barrier option and shout option. For the pricing of the options, Monte Carlo simulation is chosen as a tool. A discussion of the right way to generate random numbers, variance reduction methods, and discretization methods is therefore provided. Furthermore, i

3 Least-Squares Monte Carlo is presented, since this tool is needed for pricing the shout option. When comparing the model prices, both options with different maturities and effect of changes in the characteristic of the options are compared. For both cliquet and shout options, the stochastic volatility models price quite similar for short time to maturity and when changing the characteristics of the option for the same maturity. On the other hand, there is significant difference between the prices with longer time to maturity. For double barrier options, the model prices are significantly different from each other both for shorter time to maturity and for longer time to maturity. Furthermore, changing the level of the barriers has great impact on the price differences between the models. The overall conclusion of the thesis is, that in accordance with existing literature, stochastic volatility models price quite similarly for European plain vanilla options, whereas great care should be taken when pricing exotic options. ii

4 Indhold 1 Introduktion Indledning Problemformulering Metodevalg Disposition Afgrænsning Grundlæggende teori Stokastiske processer Sandsynlighedsrum Markov processer Geometrisk Brownsk bevægelse Lévy processer Ækvivalent martingal mål Løftestangseffekt Volatilitetssmil Modelbeskrivelse Constant Elasticity of Variance Stochastic alpha beta rho Heston modellen Heston modellen med spring i prisprocessen Heston modellen med spring i pris- og volatilitetsprocessen Barndorff-Nielsen og Shephard Kalibreringsafsnit Datagrundlag Metode til prisfastsættelse af optioner Formel for CEV Formel for SABR Fourier transformering Carr og Madan Valg af α Karakteristiskfunktion for Heston Karakteristiskfunktion for Heston med spring i prisprocessen Karakteristiskfunktion for Heston med spring i pris- og volatilitetsproces Karakteristiskfunktion for Barndorff-Nielsen og Shephard iii

5 4.3 Kalibrering Resultat af kalibrering CEV SABR Heston Heston med spring i prisprocessen Heston med spring i pris- og volatilitetsprocessen Barndorff-Nielsen og Shephard Modelsammenligning Produktbeskrivelse Cliquet optioner Dobbelt barriere optioner Shout optioner Monte Carlo simulering Generering af tilfældige tal Varians reduktions teknikker Diskretisering CEV SABR Heston Heston med spring i prisprocessen Heston med spring i pris- og volatilitetsproces Barndorff-Nielsen and Shephard Least-Squares Monte Carlo Prisfastsættelse Cliquet option Dobbelt barriere option Shout option Modelsammenligning Mulige fejlkilder 89 9 Perspektivering Konklusion 91 Litteratur 93 A Bilag 97 iv

6 1 Introduktion 1.1 Indledning En stokastisk volatilitets model er en model, hvor volatiliteten følger sin egen stokastiske proces. Gennem tiden er der udviklet adskillige typer af stokastiske volatilitets modeller, der hver især giver deres bud på, hvordan den empiriske volatilitet kan gengives. Mens Black-Scholes modellen ikke altid formår at prisfastsætte optioner korrekt på grund af antagelsen om konstant volatilitet, har det empirisk vist sig, at de stokastiske volatilitets modeller i langt højere grad formår at gøre dette. Årsagen hertil er, at de stokastiske volatilitets modeller har en bedre evne til at tilpasse sig det empirisk observerede volatilitetssmil og derved tage højde for optionernes forskellige implicitte volatilitet. Til trods for at de stokastiske volatilitets modeller ofte er meget forskellige, formår modellerne typisk at prisfastsætte europæiske plain vanilla optioner uden nævneværdige afvigelser. Det er derfor ikke, alene på baggrund heraf, muligt at skelne mellem modellernes evne til prisfastsættelse (Schoutens, Simons, and Tistaert (2005)). Såfremt forskellene mellem modellerne aldrig vil få signifikant betydning for afvigelserne mellem modellernes resultater, er det ikke strengt nødvendigt at være opmærksom på disse forskelle. Dette er dog ikke tilfældet, og i visse situationer har forskellene i modellerne stor betydning for resultaterne. Af eksempler på dette kan nævnes, at det i 1999 blev vurderet, at der var et tab på $5 mia. i derivater grundet modelrisiko. I marts 1997 annoncerede Bank of Tokyo-Mitsubishi et $83 mio. stort tab på deres New York relaterede derivater, idet deres interne prisfastsættelses model overvurderede en portefølje af swaps og optioner på U.S. renter. Få uger senere bekendtgjorde Nat West Capital Markets et tab på 50 mio. på en forkert prisfastsat portefølje af tyske og engelske renteoptioner og swaptioner (Cont (2006)). Modelusikkerheden ses endvidere ved prisfastsættelse af eksotiske optioner, hvilket blandt andet skyldes de eksotiske optioners mere komplekse payoff struktur, der gør dem mere følsomme overfor usikkerheder i modellen (Schoutens, Simons, and Tistaert (2005)). Der kræves derfor stor forsigtighed ved benyttelse af en stokastisk volatilitets model til prisfastsættelse af eksotiske optioner. Modelusikkerhedens vigtighed understreges af det faktum, at mange eksotiske optioner handles på Over-The-Counter (OTC) markedet, hvilket medfører, at historisk data er svært tilgængelige, og praktikere derfor er meget afhængige af modeller til at prisfastsætte produkterne (An and Suo (2009)). Alt dette leder hen til vigtigheden af problemstillingen omkring modelusikkerhed i stokastiske volatilitets modeller, hvilket danner grundlag for denne afhandling. 1

7 1.2 Problemformulering Formålet med afhandlingen er at undersøge modelusikkerheden i seks udvalgte stokastiske volatilitets modeller; Constant Elasticity of Variance (CEV) modellen, Stochastic Alpha Beta Rho (SABR) modellen, Heston modellen, Heston modellen med spring i prisprocessen, Heston modellen med spring i pris- og volatilitetsprocessen og Barndorff-Nielsen og Shephard (BN-S). Dette gøres ved at besvare følgende spørgsmål: Hvordan formår den enkelte model at gengive markedspriserne for europæiske plain vanilla optioner? Hvordan prisfastsætter den enkelte model udvalgte eksotiske optioner i forhold til de øvrige modeller? 1.3 Metodevalg Som det ses ovenfor spænder valget af modeller bredt. CEV modellen er en simpel udvidelse af Black-Scholes modellen og er derved også afhandlingens mest simple model. Modellen er medtaget i afhandlingen, idet det er interessant at se, i hvor høj grad så simpel model er i stand til at gengive markedspriser for plain vanilla optioner i forhold til mere komplekse modeller. Endvidere ønskes det at undersøge, hvilken forskel det giver i prisen på eksotiske optioner at bruge både simple og komplekse modeller. SABR modellen er en udvidelse af CEV modellen, men dog stadig en relativ simpel model. Modellen har empirisk vist sig at gengive volatilitetssmilet flot på trods af sin simplicitet, hvorfor modellen er interessant til afhandlingens formål (West (2005)). I Heston modellen følger variansen en kvadratrods proces beskrevet af Cox, Ingersoll og Ross. Modellen er ofte kritiseret for ikke at være i stand til at beskrive den implicitte volatilitets overflade for kort tid til udløb, til gengæld beskriver den overfladen forholdsvis pænt for lang tid til udløb (Gatheral (2006)). Ved at inkludere et spring i Heston modellen kan man opnå en langt bedre beskrivelse af den implicitte volatilitets overflade, da et spring genererer en stejl hældning for kort tid til udløb (Gatheral (2006)). Det er derfor valgt at inkludere en version med spring i prisprocessen og en version med spring i både pris- og volatilitetsprocessen i afhandlingen. Den sidste model, der er valgt, er en Barndorff-Nielsen og Shephard model. Modellen adskiller sig i den stokastiske volatilitets proces fra de øvrige modeller, da den er modelleret som en vægtet sum af ikke-gausiske Ornstein-Uhlenbeck (OU) processer, hvor volatiliteten stiger ved spring. Effekten af springet falder herefter 2

8 eksponentielt, som tiden går (Lindberg (2008)). Som nævnt i indledningen er det blandt andet ved prisfastsættelse af eksotiske produkter, at forskellene mellem modellernes tydeliggøres. Det er derfor valgt at prisfastsætte følgende eksotiske optioner: Cliquet optioner Dobbelt barriere optioner Shout optioner Den primære årsag til, at netop disse eksotiske optioner er valgt, er, at de alle er sti-afhængige og derfor bedre kaster lys over aktieprocessens dynamik (Schoutens, Simons, and Tistaert (2005)). 1.4 Disposition Afhandlingen er struktureret på følgende måde: I afsnit 2 beskrives forskellige teorier, der danner grundlag for resten af afhandlingen, mens afsnit 3 giver en beskrivelse af de valgte stokastiske volatilitets modeller, samt hvordan de enkelte parametre i modellerne påvirker prisen på en plain vanilla option. I afsnit 4 beskrives først det datagrundlag, kalibreringen bygger på, hvorefter de forskellige metoder til prisfastsættelse af plain vanilla optioner beskrives for de respektive modeller. Efterfølgende skildres metoden til selve kalibreringen. Endeligt præsenteres resultaterne af kalibreringen, og modellernes evne til at prisfastsætte europæiske plain vanilla optioner samt gengive det implicitte volatilitetssmil vurderes. Afsnit 5 giver en beskrivelse af de tre forskellige eksotiske optioner, mens afsnit 6 forklarer, hvorledes priserne på de eksotiske optioner kan findes ved hjælp af Monte Carlo simulering. Afsnit 7 angiver den konkrete simulering for de respektive produkter og præsenterer resultaterne af simuleringen. Endeligt sammenlignes modellernes prisfastsættelsesevne på baggrund af de eksotiske optioner. Afhandlingen afsluttes med at vurdere mulige fejlkilder, perspektivere til hvordan modelusikkerhed også kan måles samt endeligt at konkludere på den valgte problemstilling. 1.5 Afgrænsning Da afhandlingens fokus ligger på modelusikkerheden i udvalgte stokastiske volatilitets modeller i forhold til praktisk anvendelse af modellerne, afgrænses der fra at lave matematiske udledninger og beviser. 3

9 I afhandlingen ses der udelukkende på prisfastsættelse af call optioner. Da plain vanilla optioner er forbundet via put-call pariteten, har det ingen relevant betydning, hvorvidt der kalibreres for put- eller call optioner. For de eksotiske optioner kan de vedlagte Matlab-koder let modificeres, således at prisen på en put option også kan findes. Analyserne er endvidere fortaget på baggrund af optioner med S&P500 indekset som det underliggende aktiv, hvorfor der afgrænses fra at se på optioner med andre underliggende aktiver. Da det antages, at læseren har en vis finansiel forståelse, afgrænses der fra beskrivelser af blandt andet basis optionsteori og Black-Scholes formlen. Endvidere arbejdes der i afhandlingen med risikoneutrale sandsynlighedsmål, hvorfor der ses bort fra fastsættelse af risikopræmie. 2 Grundlæggende teori I dette afsnit gives en introduktion til en del af den teori, der er generel for de stokastiske volatilitets modeller, der vil blive gennemgået i afhandlingen. 2.1 Stokastiske processer En stokastisk proces er en proces, der beskriver tilfældige systemer, der udvikler sig i tiden, og som til ethvert tidspunkt t i en parametermængde T kan beskrives ved et punkt i et sandsynlighedsrum S. En stokastisk proces er en parametriseret familie, det vil sige målelige afbildninger defineret på et fælles sandsynlighedsfelt med værdier i samme målelige rum, da tilstanden til et fast tidspunkt t modelleres ud fra en stokastisk variabel X t med værdier i S (Graversen and Pedersen (2005)). T defineres som en model for tiden, hvor man overordnet skelner mellem diskrete og kontinuerte tidsmodeller. I en diskret tidsmodel kan værdien af en variabel kun ændre sig på bestemte fastsatte tidspunkter. I en kontinuert tidsmodel kan værdien af variablen ændre sig hele tiden. Derudover skelnes der mellem diskrete og kontinuerte variable processer. I en diskret variabel proces er det kun muligt for variablen at antage bestemte værdier, hvorimod det, i en kontinuert variabel proces, er muligt for variablen at antage en hvilken som helst værdi i et givet interval. For aktiekurser og dermed også indekskurser, følger kursen en diskret variabel proces, idet ændringen på prisen som minimum er $0.01. Derudover kan prisen kun ændre sig, når børsen er åben, det vil sige i diskret tid. Der arbejdes dog med kontinuerte variable og kontinuerte tidsprocesser, idet disse har vist sig at være brugbare redskaber for prisfastsættelse af derivater (Hull (2008)). 4

10 2.1.1 Sandsynlighedsrum Et sandsynlighedsrum (Ω, F, P ) består af et udfaldsrum Ω, en informationsmængde F og et sandsynlighedsmål P på (Ω, F). Filtreringen for et sandsynlighedsrum er defineret som (F t ) t [0,T ] : t s 0, F s F t F. F t kan derved fortolkes som den kendte information på tidspunkt t, hvor informationsmængden stiger med tiden. Et sandsynlighedsrum (Ω, F, P ), hvori en filtrering indgår, kaldes filtreret sandsynlighedsrum. Sandsynligheden, for at en tilfældig begivenhed vil forekomme, vil alt andet lige ændre sig med tiden, idet ny information hele tiden bliver tilføjet. Sandsynlighedsmålet P ænder sig dog ikke med tiden for det filtrerede sandsynlighedsrum, idet informationen i stedet påvirker gennem filtreringen (Cont and Tankov (2004)) Markov processer En Markov proces er en særlig type af stokastiske processer, hvor kun nutidsværdien har relevans for den forventede fremtidige værdi og ikke processens historik (Hull (2008)). Det antages normalt, at en aktiekurs følger en Markov proces, hvilket vil sige, at den forventede fremtidige kurs, givet hele kursen historik, er lig med den forventede fremtidige kurs, givet kursen i dag. Dette kan skrives som: E[X t+1 X 0,..., X t ] = E[X t+1 X t ] eller E[X t+1 F t ] = E[X t+1 X t ] hvor X er aktiekursen, og F t er filtreringen Geometrisk Brownsk bevægelse En særlig type af Markov stokastisk processer er Wiener processen også kendt som en Brownsk bevægelse. Denne proces er karakteriseret som en kontinuert tidsproces, hvilket blandet andet betyder, at der ikke er spring i processen. En variabel W følger en Wiener proces, såfremt den har følgende egenskaber: 1. W 0 = Ændringen i W over en kort tidsperiode er W = ɛ t, hvor ɛ N(0, 1). 3. Værdierne af W for alle tidsperioder t er uafhængige. Wiener processen følger en normalfordeling med en middelværdi på 0 og en varians på t, W t (t)n(0, 1). Dette medfører, at processen med en sandsynlighed på 0,5 på ethvert tidspunkt kan antage en negativ værdi. Endvidere medfører driften på 0, 5

11 at den forventede værdi af W på et givent fremtidigt tidspunkt er lig med den nuværende værdi (Hull (2008)). Alt dette er uhensigtsmæssigt, hvis man eksempelvis modellerer en aktiekurs ud fra en Wiener proces. I den generaliserede Wiener processen tilføjes der en konstant driftrate a og en volatilitetsrate b. En diskret tid random walk er givet som følgende: X 0 = x, X i = X i 1 + a t + b ( t)ɛ i, ɛ i N(0, 1) Ændringen i X i kan for et lille tidsinterval t skrives som X i = a t + bɛ i t hvor a er den konstante drift, og b er volatiliteten. Ved at tage mindre og mindre tidsperioder t, fås den generaliserede Wiener proces X t = x + at + bw t hvor W er en Wiener proces. Desværre er den generaliserede Wiener proces heller ikke en god model til at beskrive aktiekurser, eller indeks priser for den sags skyld, da processen ikke formår at beskrive det forhold, at de procentvise afkast, en investor forventer, er uafhængige af niveauet for aktiekursen. Hvis en investor eksempelvis forventer et årligt afkast på 15%, når aktiekursen er $10, så vil han, alt andet lige, også forvente et årligt afkast på 15% når aktiekursen er $100. Det er altså ikke hensigtsmæssigt, at den forventede drift rate er konstant, hvorfor den bør erstattes med en forudsætning om, at det forventede afkast er konstant (Hull (2008)). En proces til beskrivelse af eksempelvis aktiekurser bør afspejle, at den forventede drift rate i aktiekursen skal være lig med aktiekursen multipliceret med en konstant for kursens forventede afkast, µ. Hvis S beskriver aktiekursen, skal den relative ændring heri, over en kort tidsperiode t, have en konstant drifts-og volatilitetsrate: S S = a t + b W For tilvækster i diskret tid betyder det, at aktiekursen følger nedenstående proces: S 0 = s, S i S i 1 = S i 1 µ t + S i 1 σ W i Aktiekursen kan udregnes for det generiske tidspunkt t = n t ved at tage summen af begge sider: 6

12 S n S 0 = n (S i 1 µ t) + i=1 n S i 1 σ W Ved at lade t 0 kan ovenstående skrives som følgende: S t = S 0 t 0 S τ µdτ + t 0 i=1 S τ σdw τ Ovenstående er også kendt som en geometrisk Brownsk bevægelse, dette kan skrives som: ds = µsdt + σsdw En geometrisk Brownsk bevægelse er den mest brugte proces til beskrivelse af aktiekurser (Hull (2008)). Processen bruges blandt andet til at beskrive udviklingen i det underliggende aktiv i Black-Scholes modellen. I Heston modellen er aktiekursen en komponent af en bivariate diffusion (S t, σ t ), der er drevet af en to-dimensionel Brownsk bevægelse (W 1 t, W 2 t ) (Cont and Tankov (2004)). To af afhandlingens øvrige modeller, CEV modellen og SABR modellen, beskriver udviklingen i det underliggende aktiv ved hjælp af en CEV proces, hvor den geometrisk Brownsk bevægelse er et special tilfælde, mere herom under beskrivelsen af de respektive modeller Lévy processer Den førnævnte Wiener proces er et basis eksempel på en Lévy proces. En Lévy proces er en stokastisk proces, der er cádlág 1 (X t ) t 0 med sandsynlighedsrum (Ω, F, P ), værdier i R d, X 0 = 0 og opfylder følgende betingelser: 1. Processen har uafhængige tilvækster, det vil sige, at for hver enkelt stigende sekvens af tid t 0... t n, er de tilfældige variable X t0, X t1 X t0,..., X tn X tn 1 uafhængige. 2. Processen har stationære tilvækst, hvilket vil sige, at fordelingen af X(t + s) X(s); s 0 ikke afhænger af s. 3. Processen har stokastisk kontinuitet: ε > 0, lim h 0 P( X t+h X t ε) = 0. Den tredje betingelse skal sikre, at der ikke er processer, hvor der sker spring på faste ikke tilfældige tidspunkter (Cont and Tankov (2004)). Et andet eksempel på en Lévy proces er Poisson processen. Poisson processen er den mest simple Lévy proces. Poisson processen er en simpel tælleproces, der 1 En cádlág funktion er en funktion, der er kontinuert i højre side og samtidig har en venstre grænse 7

13 tæller antallet af tilfældige tidspunkter, T n, hvor {T n, n 1}, som opstår i [0, t] (Cont and Tankov (2004)). Antallet af hændelser følger en Poisson fordelingen med parameter λt, hvor λ kaldes intensiteten. Poisson processen er en stigende spring proces, hvor størrelsen af springene altid er lig med 1 (Schoutens (2003)). I de to Heston variationer indgår Poisson processen som en spring komponent, hvor λ angiver spring intensiteten. 2.2 Ækvivalent martingal mål Et vigtigt begreb i prisfastsættelsen af optioner, er det risikoneutrale mål eller ækvivalente martingal mål, på engelsk kaldet Equivalent Martingale Measure (EMM). At EMM er et vigtigt begreb, skyldes at ved handel med aktiver, vil investorer kompenseres for at påtage sig risiko. Jo større risiko, jo større afkast vil investoren kræve, idet den typiske investor er risikoinvers. Dette har den effekt, at den pris, en investor er villig til at betale for et risikobetonet aktiv, er lavere end det forventede afkast. Ved prisfastsættelse af aktiver er man derfor nødt til at tage hensyn til det risikoaverse aspekt i den forventede værdi. Dette er dog yderst vanskeligt, idet hver enkelt investor har forskellig grad af risikopræferencer. Til løsning af dette kommer EMM ind i billedet. I et komplet marked uden arbitrage muligheder er det nemlig muligt at inkorporere et risikoneutralt sandsynlighedsmål, Q, der til forskel fra det almindelige sandsynlighedsmål, P, lægger mere vægt på ufavorable udfald og mindre vægt på favorable udfald. Når disse Q-sandsynligheder er fundet, kan aktiver prisfastsættes ved at finde det forventede afkast. Samtidig kan den risikofrie rente nu bruges som diskonteringsfaktor, idet investorerne i renten ikke skal kompenseres for risiko. For at definere EMM mere matematisk, er det nødvendigt først at definere begrebet martingal. En stokastisk proces, S t er en martingal, såfremt den opfylder følgende betingelse: E[S t+1 S t, S t 1,... ] = S t hvilket også kan skrives som: E[S t+1 S t S t, S t 1,... ] = 0 Fra ovenstående skal det forstås, at den forventede pris i morgen er lig med prisen i dag, givet hele aktivets tidligere historie. Dermed er den forventede ændring i prisen 0, igen givet hele aktivets tidligere historie (Campbell, Lo, and MacKinlay (1997)). Alternativt kan man også sige, at for et meget lille tidsinterval er ændringen i S normalfordelt med en middelværdi på nul, hvorved den forventede ændring i S over 8

14 et meget lille tidsinterval er nul. Da ændringen i S mellem tidspunkt 0 og T er summen af ændringer i alle de små tidsintervaller mellem tidspunkt 0 og T, må den forventede ændring i S over periode 0 til T derfor også være nul (Hull (2008)). Fra den fundamentale teori om prisfastsættelse af aktiver gælder det, at såfremt der ikke er mulighed for arbitrage i et marked, kan sandsynlighedsmålet P for et sandsynlighedsrum (Ω, F, P ) erstattes med det ækvivalente sandsynlighedsmål Q, hvis det gælder at spot processen, S er en martingal under det nye mål (Delbaen and Schachermayer (1994)). Cont and Tankov (2004) giver et eksempel på dette for optioner. Der ses på en hændelse A, således at sandsynligheden for hændelsen, P (A) = 0. Såfremt hændelsen sker, modtager køberen af en option $1. Idet det ikke er muligt, at hændelsen sker, i og med at sandsynligheden for dette er lig nul, er optionen uden værdi for køberen. Prisen for optionen ved hjælp af Q egenskaber på tidspunkt t = 0 kan skrives som den tilbagediskonterede forventede værdi: Π 0 (1 A ) = e rt E Q [1 A ] = e rt Q(A). Formlen beskriver, at prisen på tidspunkt 0, for en option, der udbetaler $1, såfremt eventen sker, er lig den forventede værdi af optionen under sandsynlighedsmål Q. Kun såfremt Q(A) = 0, er formlen i overensstemmelse med, at køberen opfattede optionen som værdiløs. Havde P (A) 0, ville køberen kunne få optionen gratis, hvilket vil medføre en arbitragemulighed. For at dette ikke er muligt, bør P og Q være ækvivalente sandsynlighedsmål, det vil sige, at de definerer samme sæt af mulige udfald: Q(A) = 0 P (A) = Løftestangseffekt Begrebet løftestangstangseffekt, eller på engelsk leverage effect, har sin oprindelse i Corporate Finance teorien. Ser man meget forenklet på en virksomhed, består kapitalstrukturen af gæld og egenkapital. Hele virksomhedens værdi kan derfor skrives som V = E + D, hvor E og D er henholdsvis egenkapital og gæld. Egenkapitalen er markedsværdien, repræsenteret ved E = NS, hvor N er antallet af udestående aktier, og S er den aktuelle aktiekurs. Gælden antages at være konstant på kort sigt, hvorfor alle ændringer i virksomhedsværdien kommer som følge af ændringer i aktiekursen, det vil sige markedets forventninger til virksomheden. Når aktiekursen ændrer sig i negativ retning, betyder dette, at gearingseffekten, D bliver højere, E idet markedsværdien falder. Dermed er størrelsen på gælden relativt større end før ændringen. En simpel antagelse er, at jo højere gældsandel, jo mere risikofyldt er virksomheden. Ergo, når aktiekursen falder, stiger gældsandelen, samtidig med at risikoen i virksomheden stiger. Herved opstår løftestangseffekten. Dette kan også 9

15 udtrykkes i form af volatilitet, der er afkastspredningen på et givet aktiv. Når en aktiekurs falder, stiger volatiliteten, og der er dermed negativ korrelation mellem aktiekursen og volatiliteten. Løftestangseffekten er ikke blot et teoretisk begreb, men en del af forklaringen på den negative korrelation, der empirisk er mellem aktiekurser og volatilitet. 2.4 Volatilitetssmil I Black-Scholes modellen antages det, at volatiliteten er konstant. Dette har som bekendt vist sig ikke at være empirisk gældende, hvilket direkte kan ses i det såkaldte volatilitetssmil. Volatilitetssmilet er en graf over de implicitte volatiliteter for forskellige strikes, hvor de implicitte volatiliteter er de volatiliteter, der indsat i Black-Scholes formlen, giver markedsprisen. Den implicitte volatilitet er ækvivalent til prisen, hvorfor man nogle gange vil kunne se optioner opgivet i implicit volatilitet og ikke markedspriser. Såfremt europæiske call og put optioner deler samme spot pris, rente, strike, dividende samt tid til udløb, vil de implicitte volatiliteter for optionerne være ens. Baggrunden for dette ligger i put-call pariteten: p + S 0 e qt = c + Ke rt. For en given værdi af en konstant volatilitet, er p BS og c BS, værdierne for henholdsvis en put option og en call option beregnet ved hjælp af Black-Scholes formlen. Derved er put-call pariteten: p BS + S 0 e qt = c BS + Ke rt Endvidere sættes p mkt og c mkt til henholdsvis markedsværdien for en put og call option. Idet der for put-call pariteten ligger en antagelse om, at der ikke er arbitrage i markedet, kan put-call pariteten for markedspriserne skrives som: p mkt + S 0 e qt = c mkt + Ke rt Ved at fratrække markeds put-call pariteten fra Black-Scholes put-call pariteten, fås følgende ligning: p BS p mkt = c BS c mkt Ligningen viser, at prisfejlen ved at bruge Black-Scholes modellen er ens for europæiske put og call optioner med samme strikepris og tid til udløb. For en given implicit volatilitet vil p BS = p mkt, hvoraf det følger fra ovenstående ligning, at dette vil være det samme for call optionen. Derved vil den implicittete volatilitet, og dermed også 10

16 volatilitetssmilet for en put option altid være lig med den implicittete volatilitet for call optionen (Hull (2008)). Som navnet på dette afsnit lyder, kaldes grafen over de implicitte volatiliteter for volatilitetssmilet. Dog vil man ofte i forbindelse med aktieoptioner se betegnelsen volatilitetsskævhed. Dette skyldes, at volatilitetssmilet for aktieoptioner ofte ser ud som i nedenstående figur: Figur 1: Volatilitetssmil for aktiekurser Kilde: Hull (2008), egen tilvirkning Som det kan ses af grafen, falder volatiliteten, jo større strikeprisen er. Dette betyder, at call optioner, der er meget In-The-Money (ITM), har væsentlig højere implicit volatilitet i forhold til en tilsvarende option, der er Out-of-The-Money (OTM). En del af forklaringen på volatilitetsskævhed relaterer sig til løftestangseffekten. I afsnittet omkring dette blev det beskrevet, at når egenkapitalen faldt, steg risikoen på virksomheden og vice versa. Dette betød, at volatiliteten kunne forventes at være en faldende funktion af prisen, hvilket er et tilsvarende billede, der ses for volatilitetsskævheden. 3 Modelbeskrivelse 3.1 Constant Elasticity of Variance I 1976 præsenterede Cox and Ross (1976) CEV modellen, som er en udvidelse af Black-Scholes modellen. Jævnfør afsnit 2.1.3, Geometrisk Brownsk bevægelse, følger prisen på det underliggende aktiv i Black-Scholes modellen en geometrisk Brownsk bevægelse, hvor volatiliteten er konstant, og prisen er log-normalfordelt: ds t = µs t dt + σs t dz t 11

17 hvor µ angiver processens drift, σ angiver volatiliteten, og W angiver en Wiener proces. I CEV modellen er ændringen i aktiekursen, ds t, i stedet givet som: ds t = µs t dt + δs β/2 t dz t hvor δ og β er konstanter. Black-Scholes modellen kritiseres ofte for antagelserne om log-normalfordelte aktiekurser og konstant volatilitet, da empiriske undersøgelser generelt ikke understøtter disse forudsætninger. I stedet for en konstant volatilitet, er volatiliteten for aktiekursen i CEV-modellen givet som: (Schroder (1989)) σ = δs (β 2)/2 t Parameteren β angiver variansens elasticitet i forhold til aktiekursen. Variansen er en stigende (faldende) funktion af S t, når β > 2 (β < 2). Når β = 2, er variansen konstant, og CEV-modellen er lig med Black-Scholes modellen (Boyle, Tian, et al. (1999)). Da volatiliteten empirisk falder, når aktiekursen stiger, tager afhandlingens analyse udgangspunkt i modellen, hvor β < 2. Som navnet på modellen antyder, er variansens elasticitet konstant, hvilket betyder, at en proportionel ændring i aktiekursen modsvares af samme ændring i variansen. Alternativt kan man også sige, at volatiliteten i CEV-modellen er en deterministisk funktion af den tilfældige variabel S (Randal (2001)). En anden forskel mellem Black-Scholes modellen og CEV modellen er, at aktiekursen i CEV modellen kan blive nul. I Black-Scholes modellen er den procentvise volatilitet konstant, hvilket betyder, at volatilitetens betydning bliver mindre og mindre, jo mere prisen på det underliggende aktiv falder, og prisen når derfor aldrig nul. Som nævnt ovenfor stiger volatiliteten, hvis aktieprisen falder, i CEV modellen når β < 2, hvilket er illustreret i nedenstående tabel. S δs (β 2)/2 δs, β = 0, 5 (β 2)/2 δs (β 2)/2 δs, β = 2 (β 2)/2 S S 10 0,036 0,36% 0,0020 0,02% 8 0,042 0,53% 0,0031 0,04% 6 0,052 0,87% 0,0056 0,09% 4 0,071 1,77% 0,0125 0,31% 2 0,119 5,95% 0,0500 2,50% 1 0,200 20,00% 0, ,00% Tabel 1: Løftestangseffekt i CEV modellen, δ = 0, 2 12

18 Ovenstående medfører, at der er en sandsynlighed større end nul for, at prisen på det underliggende aktiv bliver nul (Goulden, Allen, and Einchcomb (2007)). For at sikre, at aktiekursen er en martingale, bør der tilføjes en absorberende barriere således, at hvis S t = 0 er S u = 0 for alle u > t (Andersen and Andreasen (2000)). I det tilfælde hvor S er udtryk for en aktiekurs, svarer denne egenskab til virksomhedens konkurs. Dette er ikke en hensigtsmæssig egenskab, når modellen benyttes til prisfastsættelse af optioner på indeks. Ved kalibrering af β parameteren kan man derfor argumentere for at indsætte en minimums grænse på 0 for at minimere sandsynligheden for at S = 0. Hvis man ikke gør dette, kan værdien af β blive (meget) negativ, hvilket, som sagt, kan have uønskede økonomiske konsekvenser. Bates (1996) argumenterer for, at det er utænkeligt, at der er en betydelig sandsynlighed for konkurs på et aktieindeks, men med en tilstrækkelig negativ værdi for β er dette muligt. Jackwerth and Rubinstein (2001) undersøger to versioner af CEV modellen, én med restriktioner for værdien af β og én uden. Jackwerth med flere konkluderer, at versionen med restriktioner ikke klarer sig meget bedre end Black-Scholes, hvorimod den uden restriktioner klarer sig betydeligt bedre. På trods af den øgede sandsynlighed for at S t = 0, er det derfor i afhandlingen valgt at medtage muligheden for, at β < 0. Det er interessant at undersøge, hvordan de enkelte parametre for CEV modellen, δ og β, påvirker prisen på en europæisk plain vanilla option, hvilket illustreres i nedenstående figurer for en option med 1,5 år til udløb, en spot pris på $100, en risikofri rente på 3% og nul i dividende. Til hjælp herfor benyttes endvidere tæthedsfunktionen. 2 Figur 2: Delta, β = 2 Figur 3: Tæthedsfunktion Værdien af δ illustrerer tydeligt, at jo mere volatilt det underliggende aktiv er, jo højere er prisen på optionen. Dette stemmer fint overens med optionsteorien, der angiver, at for en plain vanilla call option vil værdien af optionen øges, når 2 Tæthedsfunktionen er fundet ved hjælp af formel (1) fra afsnit 4.2.1, Formel for CEV. 13

19 volatiliteten stiger. Dette skyldes, at køber af en call option har ubegrænset upside potentiale, mens der samtidig er begrænset downside risiko. Når volatiliteten stiger, er der dermed større sandsynlighed for, at optionen ender ITM, uden at der er større tabsrisiko for køberen. Ergo, er optionen mere værd for køberen, og sælger vil dermed kræve en højere pris for optionen. I grafen for tæthedsfunktionen illustreres dette via grafens haler, der bliver betydeligt tykkere, når δ stiger. Endvidere forskydes grafen til højre, hvilket alt sammen medfører en øget sandsynlighed for større udfald i prisen på det underliggende aktiv og dermed en større sandsynlighed for, at optionen ender ITM, hvorfor optionsprisen stiger, når δ stiger. Figur 4: Beta, δ = 0.2 Figur 5: Tæthedsfunktion For β ses det, at jo større værdi af β, jo lavere er prisen for ITM optionerne. For OTM optionerne ses det omvendte billede. Dette skyldes β s påvirken på volatiliteten, der som nævnt er givet som: σ = δs (β 2)/2 t Af tabel 1 fremgik det, at volatiliteten i lavere grad påvirkes af en ændring i prisen på det underliggende aktiv ved en mindre β. I den grafiske illustration af tæthedsfunktionen ses dette ved, at grafen forskydes en smule til højre for faldende værdier af β, hvilket medfører en øget sandsynlighed for, at optionen ender/forbliver ITM. For OTM optionerne, påvirker β prisprocessen, således at denne øges, når β stiger, hvilken alt sammen øger sandsynligheden for at komme ITM. I grafen for tæthedsfunktionen ses dette ved, at grafens haler bliver tykkere, jo højere værdien af β er, hvilket medfører en øget sandsynlighed for store udfald og dermed en øget værdi for en OTM option. 3.2 Stochastic alpha beta rho SABR-modellen, der er en udvidelse af Black-Scholes modellen og CEV modellen, blev introduceret af Hagan, Kumar, and Lesniewski (2002). Modellen blev præsente- 14

20 ret som en pendant til de lokale volatilitets modeller, da disse modeller viste sig ikke at være i stand til at beskrive den dynamiske adfærd for volatilitets smilet. Faktisk bevægede smilet sig, for de lokale volatilitets modeller, i fuldstændig modsat retning af hvad empiriske resultater viste, med alvorlige konsekvenser til følge, når modellerne blev brugt til hedging (Hagan, Kumar, and Lesniewski (2002)). Derudover skal det nævnes, at SABR modellen har den fordel, at der findes en approksimativ lukket løsning for den implicitte volatilitet. SABR modellen er en stokastisk volatilitets model, hvor ændringen i forwardprisen følger nedenstående SDE: df = αf β dw t dα = ναd W t dw t d W t = ρdt Som det ses af den stokastiske differentialligning, følger forwardprisen en CEV proces. Hvis volatilitet af volatilitet parameteren, ν er lig med nul, reduceres SABR modellen til CEV modellen. W t og W t angiver to Wiener processer med korrelation ρ. Parameteren ν angiver, som nævnt ovenfor, volatilitetens volatilitet, og α 0 er den initiale volatilitet. Øges α 0, bevæger det implicitte volatilitetssmil sig i opadgående retning. Modsat har en stigning i α 0 ingen nævneværdig effekt på volatilitetssmilets form. Anderledes forholder det sig for ν, hvor en stigning i parameteren betyder, at volatilitetssmilet bliver mere konveks (Gauthier and Rivaille (2009)). Parameteren ρ påvirker den implicitte volatilitetskurve ved, at kurven bliver mere stejl, når ρ mindskes. Jævnfør West (2005) angiver β [0, 1] forholdet mellem forward prisen og ATM volatiliteten. Når β 1 vil en ændring i det underliggende aktiv ikke have en signifikant indflydelse på volatiliteten. Modsat, når β < 1 medfører en ændring i det underliggende aktiv en modsatrettet ændring i volatiliteten. Jo tættere β er på 0, desto mere udtalt er ændringen. β påvirker, tilsvarende som for ρ, den implicitte volatilitetskurve ved at kurven bliver mere stejl, når β falder. Når β = 1 er modellen lig med den stokastiske lognormal model, og når β = 0 er modellen lig med den stokastiske normal model (Hagan, Kumar, and Lesniewski (2002)). Ligesom der for CEV modellen bør tilføjes en absorberende barriere, bør der også tilføjes en sådan barriere for SABR modellen, når β < 1/2. I nedenstående grafer, illustreres det, hvorledes den enkelte parameter i parametersættet for SABR modellen påvirker prisen af en europæisk plain vanilla option med 1,5 år til udløb, en spot pris på 100, en risikofri rente på 3% og nul i dividende. 15

21 Figur 6: Alpha, β = 0, 9, ρ = 0, 6 og ν = 0, 4 Figur 7: Beta, α = 0, 4, ρ = 0, 6 og ν = 0, 4 Figur 8: Rho, α = 0, 4, β = 0, 9 og ν = 0, 4 Figur 9: Nu, α = 0, 4, β = 0, 9 og ρ = 0, 6 Af grafen for α s påvirkning på optionsprisen ses det, at jo større værdi af α, jo større værdi af optionen. Dette stemmer fint overens med den stokastiske differentialligning for SABR modellen, idet en højere α er medvirkende til en forøgelse af volatilitetsleddet, og som afledt heraf, prisen på optionen. Denne forklaring kan dog ikke stå alene. I og med at de to Wienerprocesser er korrelerede i form af parameteren ρ, betyder dette, jævnfør teorien omkring løftestangseffekten, at når korrelationen mellem volatiliteten og aktiekursen er negativ, vil prisen på optionen falde, når volatiliteten stiger. Der er dermed to modsatrettede effekter, der påvirker optionsprisen. Idet den største α også har størst optionsværdi over alle strikes, mere end opvejer effekten af øget volatilitet effekten af den negative korrelation. Samme forklaring er gældende for β s påvirken på optionsprisen, i og med at jo højere β, des større forward pris. For ρ ses et tydeligt billede. Når optionen er ITM, er optionsværdien højest, 16

22 når ρ er negativ, hvorimod optionsværdien for OTM optioner er størst, når ρ er positiv. Variablen ν giver derimod et mere blandet billede, hvilket igen kan skyldes kombinationen af øget volatilitet og korrelationen. Jo højere ν, des højere volatilitetsprocessen og dermed også højere forward pris. Modsat, på grund af den negative korrelation, vil forward processen mindskes, når volatilitetsprocessen stiger. 3.3 Heston modellen I 1993 udgav Steven Heston artiklen A closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to bond and currency options. En artikel der skulle vise sig at blive banebrydende for stokastiske volatilitets modeller, idet der dermed blev skabt en semi-lukket formel til prisfastsættelse af europæiske plain vanilla optioner (Janek, Kluge, Weron, and Wystup (2010)). Heston modellen er et specialtilfælde af en affine spring-diffusion 3, da modellen i sin grundform ikke har nogen spring. Affine processer er meget populære i finansieringsteorien, idet de medfører enten semi- eller lukkede løsninger for optionspriser. I Heston modellen følger processen for det underliggende aktiv en Black-Scholes stokastisk differentialligning, hvor volatiliteten er stokastisk over tid, og variansen følger den klassiske Cox-Ingersoll-Ross (CIR) proces: ds t = (r q)s t dt + σ t S t dw t, S(0) 0 dσ 2 t = κ(η σ 2 t )dt + θσ t d W t, σ 0 0 med dw t d W t = ρdt, W t og W t er to Wiener processer, og ρ repræsenterer korrelationen mellem pris og varians. At volatiliteten er stokastisk indebærer, at volatiliteten i morgen er, eller kan være, forskellig fra volatiliteten i dag, hvor ændringen kan skrives som: σ 2 t = σ 2 1 σ 2 0 σ 2 1 = σ κ(η σ 2 0)dt + θσ 0 d W t CIR processen er kendetegnet ved at være en tilbagevendende proces, hvor leddet κ(η σ 2 0)dt kaldes volatilitetens drift, og θσ 0 d W t kaldes volatilitetens volatilitet. Driften beskriver volatilitetens tilbagevendede proces mod den langsigtede volatilitet η. Hvis den nuværende volatilitet, σ 0, er mindre end den langsigtede volatilitet, η, vil driftsleddet være positivt (givet at κ er positiv). Dette medfører, at morgen- 3 En affine spring-diffusion er jævnfør Gatheral (2006) groft sagt en spring-diffusions proces, hvor driften, kovariansen og springintensiteten er lineære i tilstandsvektoren. For Heston modellen er tilstandsvektoren givet som {log(s), σ 2 } 17

23 dagens volatilitet stiger og derved går mod den langsigtede volatilitet. Omvendt gør sig gældende, når σ 0 > η. Værdien af κ afgør, hvor hurtigt denne proces finder sted. κ kaldes også half-life parameteren, idet 1 kaldes half-life. Som navnet antyder måler κ halvdelen af den tid, det tager volatilitetens at vende tilbage til den langsigtede 1 κ volatilitet. Er den nuværende volatilitet, σ 0, på S&P500 eksempelvis 20% pr år og tager det den to måneder at nå den langsigtede volatilitet, η, der er lig med 40% pr år, er half-life lig med 1 12 år. Den stokastiske del af volatiliteten er som nævnt givet som θσ 0 d W t. Wt er en normalfordelt variabel, hvilket medfører, at udtrykket både kan være positivt og negativt. Selvom volatiliteten går mod η, vil driften forstyrres af den uforudsigelige støj, som W t genererer. Ses der på eksemplet fra før, hvor den nuværende volatilitet, σ 0, på S& P500 var lig med 20% pr år og den langsigtede volatilitet, η var lig med 40% pr år, vil det forventes, at volatiliteten går imod η, men grundet den uforudsigelige støj kan morgendagens volatilitet godt falde til eksempelvis 15%. Den sidste parameter i volatilitetens volatilitet, θ, angiver, hvor meget volatiliteten kan forventes at variere. Er volatiliteten i begyndelsen af et år eksempelvis lig med 20%, vil θ = 0, 5 betyde, at en stigning eller et fald i volatiliteten på 50% eller mere er ganske sandsynligt henover året. Hvis θ = 1 er der stor sandsynlighed for, at volatiliteten fordobles eller halveres over et år. Parameteren ρ måler korrelationen af ændringer i prisen på det underliggende aktiv og ændringer i volatiliteten. Ved en negativ korrelation vil en stigning i markedet medføre et fald i volatiliteten, og omvendt jævnfør løftestangseffekten. ρ vil typisk være negativ, idet et fald i eksempelvis en aktiekurs er korreleret med en stigning i volatiliteten. Variansprocessen har den egenskab, at såfremt σ 2 > 0 ved tidspunkt t = 0, forbliver processen ikke-negativ. Dog kan processen ramme nul, hvilket har den effekt, at prisprocessen, i den tid variansen er nul, reduceres til en deterministisk funktion. For at sikre, at processen forbliver positiv, bør 2κη > θ 2 være opfyldt. Betingelsen kaldes Feller betingelsen og sikrer, at processen ikke rammer nul (Janek, Kluge, Weron, and Wystup (2010)). I nedenstående figurer illustreres det, hvordan den enkelte parametre påvirker prisen på en europæisk plain vanilla option med 1,5 år til udløb, en spot pris på $100, en risikofri rente på 3% og nul i dividende. Til kommentering benyttes endvidere en grafisk illustration af modellens tæthedsfunktion. 4 4 Tæthedsfunktionen er bestemt ud fra Fourier inversion i formel 4, hvor x = log(s T ) S 0 + log(s 0 ). 18

24 Figur 10: Eta, κ = 2, ρ = 0, 7, θ = 0, 4 og σ 2 0 = 0, 04 Figur 11: Tæthedsfunktion Som det ses af figuren, medfører en stigning i η en stigning i optionsprisen. Sammenholdes dette med variansprocessen i Heston ses det, at en større værdi af η er med til at øge variansen og dermed også optionsprisen for en plain vanilla call option. I grafen for tæthedsfunktionen illustreres dette ved, at grafens haler bliver tykkere, og samtidig ses det, at grafen bliver mere højreskæv, hvilket betyder en øget sandsynlighed for store udfald i prisen på det underliggende aktiv og dermed en større sandsynlighed for et positivt payoff for en call option. Figur 12: Kappa, η = 0, 09, ρ = 0, 7, θ = 0, 4 og σ 2 0 = 0, 04 Figur 13: Tæthedsfunktion Som for η, medfører en stigning i κ en stigning i optionsprisen. Dette hænger igen sammen med, at en stigning i κ er med til at øge variansprocessen, hvilket medfører, at optionsprisen stiger. I grafen for tæthedsfunktionen illustreres dette ved, at halerne bliver tykkere, og sandsynligheden for at ende At-The-Money (ATM) falder, samt sandsynligheden for store udfald stiger. Derudover medfører en øget højreskævhed, at sandsynligheden for at ende ITM stiger. Se mere herom i afsnit Fourier transformering. 19

25 Figur 14: Theta, η = 0, 04, κ = 2, ρ = 0, 7 og σ 2 0 = 0, 04 Figur 15: Tæthedsfunktion For værdien af θ ses det, at et fald i θ medfører en stigning i optionsprisen for stort set alle strike priser, bortset fra meget ITM optioner, hvor prisen er stort set ens for de tre forskellige værdier af θ. Sammenholdes dette med grafen for tæthedsfunktionen, hænger det sammen med, at jo lavere θ er, jo tykkere er tæthedens haler, hvilket illustrerer en større sandsynlighed for ekstreme udfald, hvilket er positivt for OTM optioner, da det her øger sandsynligheden for et positivt payoff. For optioner, der er meget ITM kommer halerne for graferne til at ligge oven i hinanden, hvorfor optionsprisen er stort set ens for de tre værdier af θ. Figur 16: Rho, η = 0, 04, κ = 2, θ = 0, 4 og σ 2 0 = 0, 04 Figur 17: Tæthedsfunktion Af figuren for optionspriserne ses det, at en negativ værdi af ρ medfører den højeste optionspris for ITM optioner. Ud fra den grafiske illustration af tæthedsfunktionen forklares dette med en overvejende sandsynlighed for at forblive ITM. For OTM optioner er billedet omvendt, idet en positiv ρ medfører den højeste optionspris. Dette skyldes, at tætheden er meget højreskæv herfor, hvorfor sandsynligheden for ekstreme udfald er stor, hvilket medfører en øget sandsynlighed for et positivt payoff. 20

26 Figur 18: Initial volatilitet, η = 0, 04, κ = 2, θ = 0, 4 og ρ = 0, 7 Figur 19: Tæthedsfunktion Figuren for variansen på tidspunktet, t = 0 viser, at jo højere varians, des højere optionspris. Forklaringen på dette kan endvidere ses af tæthedsfunktionen. Her fremgår det, at de høje værdier af σ 0 medfører tykkere haler og dermed en større sandsynlighed for at ende ITM. Grunden til, at Heston modellen er en af de mest populære stokastiske volatilitets model skyldes hovedsageligt to allerede nævnte årsager. For det første, at volatilitetsprocessen i modellen er ikke-negativ og tilbagevendende, hvilket er i overensstemmelse med observationer i markedet. For det andet udledte Heston en semilukket formel til prisfastsættelse af europæiske call optioner og løste derved en af datidens vigtige problemstillinger. Heston modellen har dog også sine mangler. Empirisk har det vist sig, at Heston modellen ikke er i stand til at generere stejlheden i volatilitetssmilet for optioner med korte løbetider. Det er endvidere observeret, at optioner langt OTM tæt på udløb har en markedspris større end nul, hvilket afspejler sandsynligheden for, at optionen natten over, hvor børsen er lukket, ender med at være ITM. Disse store stigninger kan ikke forklares ud fra forudsætningen om normalfordelte aktiepriser, hvorfor man eksempelvis kan argumentere for at tilføje spring til modellen (Gatheral (2006)). 3.4 Heston modellen med spring i prisprocessen Før udledningen af Heston modellen havde flere teoretikere arbejdet med at tilføje spring til Black-Scholes modellen. Modellerne har den fordel, at de er i stand til at generere stejlere implicit volatilitets skævhed for optioner med kort udløb mere præcist end eksempelvis Heston modellen. En svaghed er dog, at springene hurtigt dør ud med tid til udløb. For at udnytte fordelene ved stokastiske volatilitets modeller og spring modeller, er det derfor i nyere tid blevet meget anvendt at kombinere de to 21

27 typer, således at der fås en stokastisk volatilitets model med spring i prisprocessen. Her kombineres Heston modellen ofte med enten springet fra Mertons spring diffusion model eller Bates spring diffusions model (Bates (1991)). I denne afhandling tages der udgangspunkt i Bates, idet Matytsin jævnfør afsnit 3.5 nedenfor også benytter Bates spring i prisprocessen. For at undersøge, hvilken effekt et ekstra spring i volatilitetsprocessen giver i forhold til kun at have spring i prisprocessen, bør springene i prisprocessen have samme bagvedliggende forudsætninger. Pris- og volatilitetsprocessen for Heston modellen med et Bates spring i prisprocessen er givet som: ds t = (r q λµ J )S t dt + σ t S t dw t + J t S t dn t, S(0) 0 Med dw t d W t = ρdt dσ 2 t = κ(η σ 2 t )dt + θσ t d W t, σ 0 0 I prisprocessen er der tilføjet nogle ekstra komponenter i forhold til Heston modellen. N t er jævnfør afsnit 2.1.4, Lévy processer, en Poisson proces med intensitet λ, det vil sige en parameter for det årlige forventede antal spring, og J t er den procentvise springstørrelse, givet at der sker et spring, hvor 1 + J t er lognormalt fordelt: log(1 + J t ) N ( ) log(1 + µ J ) σ2 J 2, σ2 j N t er uafhængig af begge Wienerprocesser (Schoutens, Simons, and Tistaert (2005)). Det ses endvidere, at der er tilført en ekstra komponent i driften i forhold til Heston modellen. Dette er gjort for at sikre, at der tages hensyn til tilstedeværelsen af spring, således at driften forbliver risikoneutral. Som for de øvrige modeller ønskes det for Heston modellen med spring i prisprocessen at se på, hvorledes de enkelte parametre påvirker optionsprisen for en europæisk plain vanilla option med 1,5 år til udløb, en spot pris på $100, en risikofri rente på 5% og nul i dividende. Tæthedsfunktionen benyttes igen som hjælp hertil. Da parametrene for Heston modellen går igen i Heston modellen med spring i prisprocessen, vælges det kun at se på, hvordan de ekstra tre tilførte parametre, λ, µ J og σ J påvirker optionsprisen, i og med at effekterne for de øvrige parametre er de samme som før. 22

28 Figur 20: Lambda, η = 0, 09, κ = 2, θ = 0, 4, ρ = 0, 7, σ0 2 = 0, 04, µ J = 0, 5 og σ J = 0, 3 Figur 21: Tæthedsfunktion Af figuren for λ s effekt på optionsprisen ses det tydeligt, at des større λ, des større optionspris. Forklaringen på dette ligger i, at en tilfældig Poisson generering af λ genererer positive værdier. Poissonprocessen, N vil derfor blot blive større, når intensiteten øges. Dette har især effekt på OTM optioner, idet et positivt spring vil medføre større sandsynlighed for, at optionen bliver ITM, hvorfor optionsværdien er væsentligt højere her for højere værdier af λ. Forklaringen illustreres endvidere tydeligt i grafen for tæthedsfunktionen via de tykke haler. Af grafen ses det, at tætheden bliver meget højreskæv, når λ stiger, hvilket øger sandsynligheden for et positivt payoff, og dermed optionsprisen. Alt i alt gælder det, at jo større værdi af λ, jo flere spring forekommer der, og jo større er sandsynligheden for ekstreme udfald. Figur 22: Mu, η = 0, 04, κ = 2, θ = 0, 4, ρ = 0, 7, σ0 2 = 0, 04, λ = 0, 1 og σ J = 0, 3 Figur 23: Tæthedsfunktion I figuren, der illustrerer optionsprisen, ses det, at de forskellige værdier for µ J medfører stor forskel i optionsprisen. I illustrationen af tæthedsfunktionen ses det tydeligt, 23

29 at jo lavere værdi af µ J jo mere forskydes tæthedsfunktionen til højre, hvilket, alt andet lige, medfører en øget sandsynlighed for et højere afkast. Det ses dog, at grafen for den højeste µ J har en betydelig tykkere hale end de øvrige grafer, hvorfor prisen for en OTM option er højest herfor. Dette skyldes en øget sandsynlighed for ekstreme udfald for udløbsprisen og dermed en øget sandsynlighed for, at optionen ender ITM. Figur 24: Sigma, η = 0, 04, κ = 2, θ = 0, 4, ρ = 0, 7, σ0 2 = 0, 04, λ = 0, 1 og µ J = 0, 5 Figur 25: Tæthedsfunktion For σ J s effekt på optionsprisen, fremgår det af figuren for optionspriserne, at graferne blot er forskudt en smule i forhold til hinanden. I illustreringen af tæthedsfunktionen ses det, at værdien for σ J næsten ingen indflydelse har på tætheden og dermed prisen. Dog er det gældende, at jo højere standardafvigelse på springet, jo højere optionspris. Da Heston modellen med spring i prisprocessen som nævnt blot er en sammensætning af Heston modellen og et spring, medfører dette, at modellen stadig er god til at generere det empiriske volatilitetssmil på mellemlang og lang sigt. Samtidig er modellen dog forbedret ved nu også i høj grad at kunne generere volatilitetssmilet på kort sigt. Genereringen er dog ikke perfekt. Baggrunden for dette skal findes i, at volatiliteten vil forblive uændret efter et spring i prisen, idet spring processen er ukorreleret med volatilitetsprocessen. Dette er inkonsistent med empiriske studier af afkast på aktiver, da der i virkeligheden altid vil være en stigning i den implicitte volatilitet efter, at der har været et spring i det underliggende aktiv (Gatheral (2006)). 24

30 3.5 Heston modellen med spring i pris- og volatilitetsprocessen For at imødekomme problemet med, at der vil være en stigning i den implicitte volatilitet efter et spring i det underliggende aktiv, tillades der simultane spring i både prisprocessen og volatilitetsprocessen. Det simultane spring medfører, at store svingninger stadig vil følge store svingninger, og små svingninger vil efterfølge små svingninger, også kaldt volatility clustering (Gatheral (2006)). En af de første til at se på prisfastsættelse af optioner ved hjælp af stokastiske volatilitets modeller med spring i både pris- og volatilitetsprocessen var Matytsin i 1999 (Matytsin (1999)). Matytsin tager udgangspunkt i Bates model, men tilføjer simultane spring i pris- og volatilitetsproces. Pris- og volatilitetsprocessen bliver derved: ds t = (r q λµ J )S t dt + σ t S t dw t + J t S t dn t, S 0 0 dσt 2 = κ(η σt 2 )dt + θσ t d W t + ν J dn t, σ 0 0 Med dw t d W t = ρdt N t er igen en Poisson proces med intensitet λ. Begge Poisson processer er uafhængige af Wiener processerne. Tilføjelsen, ν J, er en konstant, der angiver størrelsen af springet i volatilitetsprocessen (Lord and Kahl (2006)). Det ekstra spring i volatilitetsprocessen bevirker derved, at når der sker et spring i prisprocessen, sker der også et deterministisk spring i variansen (Knudsen and Nguyen-Ngoc (2002)). Fordelen ved Matytsins model er, at den genererer en skævhed i den implicitte volatilitets flade for kort udløb, hvilket er i overensstemmelse med, hvad der empirisk observeres (Lord and Kahl (2006)). Ud fra samme argument som for Heston med spring i prisprocessen vil der for Heston modellen med spring i pris- og volatilitetsprocessen i forbindelse med de enkelte parameters effekt på optionsprisen, kun blive set på den sidste tilførte parameter, størrelsen af springet i volatilitetsprocessen, ν J. Optionen, der ses på, har samme karakteristika som de tilsvarende illustrationer for de foregående modeller. 25

31 Figur 26: Nu, η = 0, 04, κ = 2, Figur 27: Tæthedsfunktion θ = 0, 4, ρ = 0, 7, σ0 2 = 0, 04, λ = 0, 1, µ J = 0, 5 og σ J = 0, 3 Af figuren for optionsprisen fremgår det, at optionsprisen for alle strikepriser er mindst for den højeste værdi af ν. I illustreringen af tæthedsfunktionen ses dette ved, at sandsynligheden for at ende ITM er størst for den mindste værdi af ν, idet den højre hale er tykkest for ν = 0, 1. For de valgte parametre, kan det dog bemærkes, at det er begrænset, hvor meget parameteren påvirker optionsprisen. 3.6 Barndorff-Nielsen og Shephard En nyere type af stokastiske volatilitets modeller baserer sig på ikke-gausiske processer af Ornstein-Uhlenbeck typen (OU). Modellerne blev introduceret af Barndorff- Nielsen og Shephard (Barndorff-Nielsen and Shephard (2001)), hvorfra navnet stammer. Modeltypen har fået sit indtog, da modellerne succesfuldt er i stand til at tage højde for empiriske problemstillinger, så som at log afkast har fordelinger med store haler og er negativt korreleret med den stokastiske volatilitet (Nicolato and Venardos (2003)). Z t sættes til log-prisen af indekskursen, Z t differentialligning kan skrives som: = logs t, hvormed den stokastiske dz t = (r q λk( ρ) σ 2 t /2)dt + σ t dw t + ρdz λt hvor σ 2 t er givet ved OU-processen: dσ 2 t = λσ 2 t dt + dz λt, σ 2 0 > 0 med λ > 0 og ρ 0. ρ angiver gearingseffekten, der sikrer, at når varians processen 26

32 springer opad, springer pris processen nedad (Nicolato and Venardos (2003)). W t er, som for de øvrige modeller, en Wiener proces, mens processen Z = Z λt er en såkaldt subordinator, hvilket vil sige en Lévy proces med uafhængige og stationære tilvækster. Z benyttes til at drive OU processen og kaldes også en background driving Lévy process (BDLP) (Barndorff-Nielsen and Shephard (2001)). Subordinatoren er en voksende Lévy process, hvor tilvæksterne er ikke-negative. Subordinatoren erstatter Wiener processen i OU processen og sikrer, at σt 2 vil være positiv. Wiener processen, W, og BDLP, Z, er uafhængige. σt 2 bevæger sig alene på baggrund af spring og aftager eksponentielt (Barndorff-Nielsen and Shephard (2001)). Såfremt der er en periode uden spring, vil prisprocessen bevæge sig kontinuert, mens volatiliteten vil aftage. For processen σ 2 = {σt 2, t 0} gælder det, at der eksisterer en lov D, kaldet den stationære eller marginale lov. Dette betyder, at σt 2 for hver t vil følge loven D, såfremt σ0 2 er valgt ud fra D (Cariboni and Schoutens (2006)). I indeværende afhandling er det for BN-S modellen valgt, som i Schoutens, Simons, and Tistaert (2005) at lade D være en Gamma fordeling. For at relatere dette til den stationære lov, gælder det, at såfremt processen startes med en værdi fra Gamma fordelingen, vil enhver fremtidig σt 2 også følge en Gamma fordeling. Med Gamma fordelingen valgt som stationære lov, er OU processen givet som en Gamma-OU proces. Når dette er tilfældet følger subordinatoren, Z en compound Poisson proces. En compound Poisson proces er en Lévy proces, der er givet som følgende: N t Z t = n=1 hvor N = {N t, t 0} er en Poisson proces med intensitets parameter a, det vil sige, at E[N t ] = at, og {x n, n = 1, 2,...} er en uafhængig og identisk fordelt sekvens, hvor hver x n følger en eksponentiel lov med en middelværdi på 1/b (Schoutens, Simons, and Tistaert (2005)). x n I nedenstående figurer ses det, hvordan BN-S parametrene influerer prisen for en europæisk plain vanilla option med 1,5 år til udløb, en spot pris på $100, en risikofri rente på 3% og nul i dividende. Som hjælp til kommenteringen benyttes tæthedsfunktionen. 27

33 Figur 28: a, b = 20, λ = 0.6, ρ = 4 og σ 2 = 0.02 Figur 29: Tæthedsfunktion Når a, der er intensitet parameteren for Poisson processen, øges, medfører dette, at compound Poisson processen øges, og dermed også variansprocessen, hvilket resulterer i en højere optionspris. Endvidere indgår a også i kumulant funktionen, k(u) = au(b + u) 1, hvor a har den funktion, at når værdien øges, bliver k( ρ) mere negativ, hvilket resulterer i, at λk( ρ) bliver mere negativt, og at driftsleddet dermed øges for log-prisprocessen. Ses der på grafen for tæthedsfunktionen, illustreres dette ved, at halerne bliver tykkere og tætheden forskydes til højre. Dette medfører en øget sandsynlighed for, at optionen ender med et positivt payoff og dermed en højere optionspris. Figur 30: b, a = 0.3, λ = 0.6, ρ = 4 og σ 2 = 0.02 Figur 31: Tæthedsfunktion Ses der i stedet på figuren for b, ses et lignende billede som for a, dog er det den mindste værdi af b, der producerer den højeste optionspris. Tilsvarende som for a, påvirker b log-prisprocessen på flere måder. For det første er b en komponent i gamma-ou processen, hvor b har den effekt, at når denne øges, falder volatiliteten, og dermed log-prisprocessen. Herudover påvirker b kumulant funktionen, k( ρ) således, 28

34 at når b øges, bliver kumulant funktionen mindre negativ, hvilket resulterer i et mindre driftsled i log-prisprocessen. De to effekter tilsammen medfører dermed, at jo større b, des lavere optionsværdi. I grafen for tæthedsfunktionen illustreres dette som for a, bare omvendt. Når b stiger, forskydes tætheden til venstre, og sandsynligheden for et positivt payoff falder, hvilket medfører et fald i optionsprisen. Figur 32: Lambda, a = 0.3, b = 20, ρ = 4 og σ 2 = 0.02 Figur 33: Tæthedsfunktion I figuren, der beskriver λ s effekt på optionsprisen, ses det, at jo højere λ, jo højere optionspris. Den største effekt, λ har på optionsprisen, er i driftsleddet, hvor større værdier af λ skaber større driftled og dermed større log-prisproces. Dette er dog forudsat af, at k( ρ) giver et negativt tal, idet en større λ ellers vil have negativ effekt på driften. I grafen for tæthedsfunktionen illustreres effekten af λ ved, at grafen forskydes til højre, hvormed sandsynligheden for en højere slutkurs i det underliggende aktiv stiger. Effekten ebber dog ud for optioner, der er meget OTM. Dette skyldes, at tætheden for den største værdi af λ er størst ved en lav S T, hvorfor sandsynligheden for en lav slutkurs i det underliggende aktiv dermed stiger, når λ stiger. 29

35 Figur 34: Rho, a = 0.3, b = 20, λ = 0.6 og σ 2 = 0.02 Figur 35: Tæthedsfunktion Korrelationen, ρ, sikrer som nævnt, at når variansprocessen springer opad, springer prisprocessen nedad. Jo mere negativ ρ bliver, des mere springer prisprocessen opad, og des højere bliver optionspriserne. Dette illustreres tydeligt i grafen for tæthedsfunktionen, hvor tætheden forskydes til højre. Det bemærkes endvidere, at påvirkningen af ρ for BN-S modellen giver et væsentligt anderledes billede end for Heston modellerne, hvilket skyldes, at ρ indgår på forskellige måder for de to modeltyper. Figur 36: Initial volatilitet, a = 0.3, b = 20, λ = 0.6 og ρ = 4 Figur 37: Tæthedsfunktion Som for de øvrige parametre i BN-S modellen har initial variansen flere påvirkninger på log-prisprocessen. Direkte kan det ses af log-prisprocessen, at når variansen øges, mindskes driftsleddet og derved optionspriserne. Dette opvejes dog til dels af volatilitetsdelen i prisprocessen, der øges, når initial variansen øges. Den vigtigste påvirkning må dog forventes at komme fra initial variansens effekt på den kommende periods volatilitet. Des højere initial varians, des højere varians i den næste periode, der dermed er med til at øge log-prisprocessen. Som følge heraf viser figuren for initial variansen, at jo højere varians, des højere options pris. Af illustrationen for 30

36 tæthedsfunktionen ses det tydeligt, at jo højere varians, jo tykkere bliver halerne, og jo større bliver sandsynligheden for store udfald, hvormed optionsprisen stiger. 4 Kalibreringsafsnit 4.1 Datagrundlag Til brug for afhandlingens analyser benyttes priser for europæiske plain vanilla optioner baseret på S&P500 aktieindekset. Indekset er valgt, idet optioner herpå typisk er meget likvide. Dette er med til at sikre, at priserne er valide. Data er hentet gennem Wharton Research Data Services 5. Perioden, der er hentet data fra, er november oktober Da det er computermæssigt tungt at kalibrere til samtlige dage for hver enkelt model, er det i stedet valgt at kalibrere for én enkelt dag i hver måned, hvilket betyder, at der i alt ses på 12 forskellige dage. Der er valgt at se på den anden torsdag i hver måned. Af den nedenstående graf kan udviklingen i S&P500 indekset og VIX indekset ses for den valgte dataperiode. VIX indekset måler den implicitte volatilitet på S&P500 indeks optioner og repræsenterer markedets forventninger til volatiliteten over de kommende 30 dage. Figur 38: Udviklingen i S&P500 og VIX over dataperioden. Kilde: Datastream, egen tilvirkning Som det ses af grafen, har udviklingen i S&P500 indekset været relativt svingende over analyseperioden med mindsteværdi omkring $1.030, og størsteværdi omkring $ Svingningerne afspejles direkte i grafen for udviklingen i VIX indekset, idet

37 volatiliteten, jævnfør teorien om løftestangseffekten, stiger, når S&P500 indekset falder og vice versa. Til kalibrering og prisfastsættelse af optioner er både den risikofrie rente og dividenden nødvendige input, disse er dog ikke eksplicit givet i datasættet. Endvidere kendes den eksakte spotpris for den enkelte option ikke, idet spotprisen løbende ændrer sig gennem dagen, og værdien derfor kan være forskellig alt efter, hvornår optionen er blevet handlet. For at komme uden om disse problematikker, tages der udgangspunkt i put-call pariteten for en option, der udbetaler dividende ved en given rate, q, idet denne formel også er gældende for europæiske aktie indeks optioner. Put-call pariteten er i dette tilfælde givet som følgende: c + Ke rt = p + S 0 e qt Ved at sætte F 0 = S 0 e (r q)t kan put-call pariteten omskrives til: c + Ke rt = p + F 0 e rt For hver enkelt af optionerne til kalibreringen kendes call-, put- og strikeprisen. Dette medfører, at for alle optioner med samme udløb, kan der ved hjælp af non-linear least squares findes en unik forward pris og diskonteringsfaktor, P V, der er givet som P V = e rt. Ved hjælp af denne metode er man dermed i stand til, uden eksplicit at kende spotprisen, den risikofrie rente samt dividenden, at prisfastsætte plain vanilla optioner (Hull (2008)). For at kunne finde de, i afhandlingen, valgte modellers parametre, er det en nødvendig forudsætning, at markedspriserne for optionerne fastsættes. Her er dog en tilsvarende problematik som ovenstående med spotprisen, idet markedsprisen for den enkelte option ikke kendes. Det er derfor nødvendigt at finde en approksimation. Til dette formål er bid-ask spreadet et brugbart redskab. Bid-prisen repræsenterer den pris, markedet er villig til at købe optionen for, mens ask-prisen repræsenterer den pris, markedet er villig til at sælge optionen til. Markedsprisen for den enkelte option må derfor ligge mellem bid og ask priserne. Det vides dog ikke hvilken pris i intervallet, der bedst repræsenterer markedsprisen. Da europæiske plain vanilla optioner på S&P500 indekset, som nævnt ovenfor, er meget likvide produkter, er bid-ask spreadet endvidere forholdsvist smalt. Det syntes derfor rimeligt at anvende gennemsnittet af bid- og ask-priserne som approksimation. Datasættet har undergået en sortering, således at optioner, hvor der ikke er angivet nogen implicit volatilitet er udeladt. I og med at put og call optioner med samme 32

38 strikepris og udløb skal bruges til put-call pariteten, har sorteringen den betydning, at en option udelades, såfremt modparten er udeladt på grund af manglende data. Optioner med udløb mindre end 7 dage er frasorteret, da de som oftest er illikvide (Bakshi, Cao, and Chen (1997)). Endvidere er priser lavere end $3/8 frasorteret, idet bid-ask spreadet for disse optioner er meget følsomt over for tick-størrelsen, der er minimumsbeløbet, hvormed en optionspris kan rykke sig. Datasættet er endvidere sorteret for arbitragemuligheder, således at call priserne ikke overstiger spotprisen, (F P V ), samt at call priserne ikke er mindre end max(p V F K P V, 0) (Hull (2008)). Sorteringen af datasættet har medført, at der totalt er observationer tilbage for de 12 kalibreringsdatoer, det vil sige puts og calls med samme strike og udløb og dermed optioner i alt. 4.2 Metode til prisfastsættelse af optioner Til prisfastsættelse af europæiske plain vanilla optioner er der for afhandlingens modeller valgt forskellige tilgange. Dette skyldes, at der for CEV og SABR modellerne eksisterer lettilgængelige formler til prisfastsættelse af europæisk plain vanilla optioner, mens der for de øvrige modeller ikke eksisterer sådanne formler. Til disse modeller benyttes i stedet en Fourier transformering til prisfastsættelse af optionerne. Steven Heston var en af de første inden for finansieringsteorien til at benytte Fourier transformering i sin Heston formel for en call pris. Dette lader sig gøre, da der eksisterer en kendt karakteristiskfunktion for hver af modellerne. En nærmere gennemgang af Fourier transformering fortages i afsnit 4.2.3, Fourier transformering Formel for CEV Når man kan konstruere en perfekt risikoafdækket portefølje bestående af en europæisk option og det underliggende aktiv, kan man, i den risikoneutrale verden, værdiansætte optionen ved at tilbagediskontere det forventede payoff. I Cox og Ross artikel fra 1976 vises det, at for en CEV proces med β < 2 er tæthedsfunktionen for S T givet S t i en risikoneutral verden givet som: f(s T, T ; S t, t) = (2 β)k 1/(2 β) (xw 1 2β ) 1/(4 2β) e x w I 1/(2 β) (2 xw) (1) hvor I q (.) angiver den modificerede Bessel funktion af den første slags af q de orden 6 og k = 2(r α)/δ 2 (2 β)[e (r α)(2 β)τ 1] 6 En modificeret Bessel funktion af den første orden I ±υ (z) er en løsning til differentialligningen z 2 d2 w dz 2 + z dw dz (z2 + υ 2 )w = 0. 33

39 x = ks 2 β t e (r α)(2 β)τ w = ks 2 β T hvor α angiver dividenden. Prisen for en europæisk call option er givet som: C = e rτ + f(s T, T ; S t, t)(s T K)dS T hvilket kan omskrives til følgende: K C = S t e ατ Ke rτ + y + e w x (w/x) 1/(4 2β) I 1/(2 β) (2 xw)dz e w x (x/w) 1/(4 2β) I 1/(2 β) (2 xw)dz y hvor S T = (w/k) 1/(2 β) og y = kk 2 β (Schroder (1989)). I 1989 viste Schroder, at CEV formlen kan udtrykkes som en funktion af en ikke-centreret χ 2 fordeling, for β < 2 (Schroder (1989)): C = S t e ατ Q[2y; 2 + 2/(2 β), 2x] Ke rτ (1 Q[2x; 2/(2 β), 2y]) hvor Q(z; υ, κ) er den kumulative fordelingsfunktion for den ikke-centrerede χ 2 fordeling med υ frihedsgrader og ikke-central parameter κ. Fordelen ved at benytte Schroders approksimation, fremfor Cox og Ross originale formel, skal findes i, at de uendelige integraler er blevet erstattet af sandsynligheder, der let og hurtigt kan findes ved hjælp af en computer (Randal (2001)). Derved kan optionsværdier uden besvær beregnes ved hjælp af CEV-modellen. Da der som nævnt i afsnit 4.1, Datagrundlag, arbejdes med forward priser og diskonteringsfaktorer for ikke at skulle approksimere spotpriser, risikofri rente og dividende, er renten, r, og dividenden, α, som følge heraf ikke eksplicit givne. Dette er problematisk i forhold til Schroders formel, der kræver dette. Renten kan dog Funktionen I υ (z) kan skrives som følgende serie: (Schoutens (2003)) I υ (z) = (z/2) υ k=0 (z 2 /4) k k!γ(υ + k + 1) 34

40 findes ved at omskrive diskonteringsfaktoren, der er givet som P V = e rt.det er dog ikke muligt at udlede dividenden, idet denne indgår i én ligning med to ubekendte. Det er derfor valgt i denne beregning at sætte dividende lig 0. Dette er naturligvis ikke uden omkostninger, men sammenholdt med at det faktum, at det har været muligt at finde de korrekte forward priser og diskonteringsfaktorer, syntes dette som et rimeligt tradeoff. Dette vurderes dog ikke at få en betydelig effekt for CEVmodellens kalibreringsresultater, idet det må forventes at dividenden er af en mindre størrelse Formel for SABR For SABR modellen findes options priser for plain vanilla optioner ved først at bestemme den implicitte volatilitet, hvorefter optionen kan prisfastsættes ved hjælp af Blacks formel fra Blacks formel for en call option er som bekendt givet ved: C = e rt (F N (d 1 ) KN (d 2 )) hvor d 1,2 = logf/k ± 1 2 σ2 B t ex σ B tex Den implicitte volatilitet σ B (F, K) for SABR-modellen findes ved hjælp af formlen: σ B (F, K) α ( ) (F K) (1 β)/2 1 + (1 β)2 log 24 2 (F/K) + (1 β) log4 (F/K) [ (1 β) 2 α 2 24 (F K) + 1 ρβνα 2 3ρ2 + 1 β 4 (F K) (1 β)/2 24 ( 1 + ν 2 ] t ex ) ( ) z x(z) hvor z = ν α (F K)(1 β)/2 log(f/k) x(z) = log ( ) 1 2ρz + z2 + z ρ 1 ρ Såfremt optionen er ITM, K = F, reduceres ovenstående formel for den implicitte volatilitet til: σ B (F, F ) = α ( [ (1 β) F (1 β) 24 Hagan, Kumar, and Lesniewski (2002) α 2 F + 1 ρβνα 2 3ρ β 4 F (1 β) 24 ν 2 ] t ex ) Som nævnt i modelbeskrivelsen for SABR har β og ρ lignende effekt på volatili- 35

41 tetssmilet, idet begge parametre påvirker kurvens hældning. Dette faktum medfører, at modellen til en vis grad er overbestemt, hvilket kan påvirke de estimerede parametre fra kalibreringen, således at parametrene ikke giver empirisk mening. Det er derfor normal kutyme at fastsætte β, inden de øvrige tre parametre kalibreres, hvilket eksempelvis foreslås i Hagan, Kumar, and Lesniewski (2002). Samme forfattere angiver, at valget af β ikke har nogen betydelig påvirkning af modellens evne til at gengive markedssmilet. En anvendt metode til fastsættelse af β er at sætte parameteren til en bestemt værdi for eksempel β = 0, 5 eller β = 1. Metoden kan virke som en ad-hoc fastsættelse, så for sikre en rimelig β, er der i afhandlingen først kalibreret α, ρ og ν ud fra forskellige værdier af β, hvorefter β er kalibreret ud fra de kalibrerede værdier af α, ρ og ν med forskellige gæt på β. Denne proces gentages. Efter gennemførelse af processen, er det vurderet, at en β på 1 synes mest rimelig, idet denne kalibrerer bedst til markedet og samtidig giver empirisk fornuftige værdier for de tre øvrige parametre. Alt i alt betyder dette, at SABR modellen reduceres til lognormal modellen i afhandlingens analyser Fourier transformering Som nævnt ovenfor er det, for de resterende modeller, valgt at bruge Fourier transformering til prisfastsættelse af de europæiske plain vanilla optioner. Fourier transformering har vist sig at være utrolig brugbar i finansieringsteorien, da metoderne generelt er meget hurtigere end eksempelvis finite difference løsninger til partielle differentialligninger, hvilket har medført, at Heston blandt andet henviser til metoderne som værende lukkede løsninger (Carr and Madan (1999)). I den risikoneutrale verden kan forward prisen for en europæisk plain vanilla call option findes som følgende: C(S t, K, T ) = E[(S(T ) K) + ] Dette kan udregnes ved hjælp af numerisk integration, såfremt tæthedsfunktionen er kendt i lukket form. Desværre er dette sjældent tilfældet, idet tæthedsfunktionen for mange modeller enten ikke er kendt i lukket form eller er vanskelige at finde. I Fourier metoderne tages der udgangspunkt i modellens karakteristiskfunktion der, modsat tæthedsfunktionen, ofte er analytisk kendt. Samtidig eksisterer et en-til-en forhold mellem fordelingsfunktionen og karakteristisk funktion (Lord (2010)), hvilket medfører, at karakteristiskfunktionen er et komplet alternativ til tæthedsfunktionen. Karakteristiskfunktionen for en vilkårlig variabel, X, er givet som φ X (u) = E[e iux ], hvor i = 1 er det imaginære tal. Antag at f X (x) er tæthedsfunktionen for den vilkårlige variabel. Derved er karakteristiskfunktionen givet som: 36

42 φ X (u) = E[e iux ] = + e iux f X (x)dx (2) hvor integralet definerer den forventede værdi og per definition er Fourier transformationen af tæthedsfunktionen (Schmelzle (2010)). Fra Euler identiteten 7 ses det, at karakteristiskfunktionen har sin oprindelse i sinus og cosinus funktionerne: e iux = cos(ux) + isin(ux) (3) Formel (3) vil derfor nogle gange kunne ses skrevet som: φ X (u) = + cos(ux)f X (x)dx + i + sin(ux)f X (x)dx Dette vil der dog ikke blive beskrevet nærmere, da dette ligger udenfor afhandlingens omfang. En fundamental del af teorien omkring karakteristiskfunktioner og Fourier transformering er den såkaldte Inverse teori. For en funktion, f(x), er Fourier transformeringen defineret som: ˆf(u) = + e iux f(x)dx Her angiver den Inverse teori, at givet en Fourier transformering, ˆf(u), kan funktionen f(x) findes ved hjælp af formlen: f(x) = 1 2π + e iux ˆf(u)du En Fourier transformering kan jævnfør Schmelzle (2010) skrives som en to-dimensionel vektor i det komplekse plan, hvor de komplekse værdier er udtrykt som z = a + ib, hvor Re[z] = a er den reelle del, og F [z] = b er den imaginære del. a og b er reelle tal. Det er endvidere givet, at og Re[φ X (u)] = φ X(u) + φ X ( u) 2 F [φ X (u)] = φ X(u) π X ( u) 2i 7 En grafisk illustration af Euler identiteten kan ses i bilag A.1 37

43 hvilket betyder, at φ x (u) er lige i den reelle del og ulige i den imaginære del. En funktion, f(x), er lige såfremt, for x R, f(x) = f( x), hvilket betyder, at funktionen er symmetrisk i forhold til 2. aksen i et koordinatsystem. Et eksempel på en lige funktion er f(x) = cos(x). En funktion f(x) er ulige såfremt, for x R, f(x) = f( x), hvilket vil sige, at ulige funktioner er symmetriske i forhold til origo (Matsuda (2004)). Et eksempel på en ulige funktion er f(x) = sin(x). En lige funktion har endvidere den egenskab, at integralet af den positive og negative halvdel er lig hinanden, hvilket benyttes nedenfor. Inversions algoritmen er baseret på en særlig form af GilPalaez inversions integralet for den kumulative fordelings funktion f x x (x)dx: F x (x) = P (X x) = π + e iux φ x (u) du iu hvilket udtrykker fordelingsfunktionen som et integrale af karakteristiskfunktionen. Tages den afledte af F x (x) fremkommer tæthedsfunktionen: f x (x) = F 1 [φ x (u)] = 1 2π + e iux φ x (u)du Ved at benyttes symmetri egenskaben, som den lige funktion besidder, kan førstående formel omskrives til: f x (x) = 1 0 2π Re e iux φ x (u)du + 1 2π Re 0 = 1 + 2π Re e iux φ x (u)du + 1 2π Re 0 0 = 1 + 2π Re 2 e iux φ x (u)du = 1 π e iux φ x (u)du e iux φ x (u)du Re [ e iux φ x (u)du ] (4) Lignende beregning kan laves for den kumulative fordelingsfunktion, som derved bliver: F x (x) = π + 0 [ ] e iux φ x (u) F du u 38

44 (Schmelzle (2010)). For at se, hvor stor sandsynligheden er for, at en option ender ITM, ses der i stedet på P (X > x) = 1 F x (x), der giver følgende: P (S T > K) = π + 0 ( ) e iulog(k) φ T (u) Re du (5) iu (Carr and Madan (1999)) Ovenstående er generel teori omkring Fourier transformering. Ifølge Schmelzle (2010) er der to tilgange til brugen af invers Fourier transformering. Den første, der blandt andet er benyttet af Steven Heston i A closed-form Solution for Options with Stochastic Volatility with Application to Bond and Currency Optoins, finder optionspriser ved hjælp af invers Fourier transformering af kumulative fordelingsfunktioner, hvor formlen har visse karakteristika i lighed med Black-Scholes formlen. Dette ses eksempelvis af Heston formlen, der er givet som: C(x, ν, τ) = K{e x P 1 (x, ν, τ) P 0 (x, ν, τ)} (Gatheral (2006)) Den anden tilgang, som er den, der vil blive benyttet her i afhandlingen, betragter prisfastsættelse af optioner analogt til Fourier inversion af tæthedsfunktionen. Dette er en tilgang, både Lewis (2001) og Carr and Madan (1999) benytter sig af. For disse to metoder kan Fourier transformeringen dekomponeres i to dele: En payoff del i form af payoff transformeringen og en modelafhængig del i form af karakteristiskfunktionen. Mens Carr og Madan transformerer hele optionsprisen, inklusiv payoff funktionen, og transformerer med hensyn til strikeprisen, som det kunne ses i formel (5), tager Lewis udgangspunkt i payoff funktionen og transformerer med hensyn til log-spot prisen (Lord (2010) og Schmelzle (2010)). Derved er call prisen ved hjælp af Lewis tilgang givet som: C(S, K, T ) = Se qt 1 π SKe (r+q)t/2 0 ( Re [e iuk φ T u i )] 2 du u hvor k skrives som: Lewis (2001) ( ) S k = log + (r q)t K Både Carr og Madan samt Lewis tilgang har vist sig at give meget præcise op- 39

45 tionsværdier, hvorfor disse to metoder er utrolig populære i forbindelse med Fourier transformering. Til denne afhandling er Carr og Madans metode dog mest anvendelig. Dette skyldes, tilsvarende for CEV-modellen, at dividenden ikke er eksplicit givet i det valgte datasæt jævnfør afsnit 4.1, Datagrundlag, hvorfor leddet e (r+q)t/2 i Lewis formel ikke kan findes præcist. Dette er ikke relevant for Carr og Madans metode, hvorfor denne metode er et oplagt valg Carr og Madan I 1999 viste Carr og Madan i deres artikel Option Valuation Using the Fast Fourier Transform, hvordan man kan værdiansætte en option ved hjælp af Fast Fourier transformering, såfremt karakteristiskfunktionen for den underliggende stokastiske proces kendes. Fast Fourier transformeringen er en algoritme til beregning af Fourier transformationen af en diskret serie af værdier. Artiklen tager sit udgangspunkt i den risikoneutrale sandsynlighed for, at en option ender ITM, det vil sige formel (5): samt optionens delta: P (S T > K) = Π 2 = π Π 1 = π 0 0 ( ) e iuln(k) φ T (u) Re du iu ( ) e iuln(k) φ T (u i) Re du iuφ T ( i) hvormed optionsprisen, med en dividende på 0, kan skrives som: C = SΠ 1 Ke rt Π 2 Problemet med denne tilgang er, at Fast Fourier transformering ikke kan benyttes til at finde integralet, idet integralet er singulært 8 for u = 0 (Carr and Madan (1999)). For stadig at udnytte fordelen ved Fast Fourier transformering, introducerede Carr and Madan (1999) en ny teknik, hvor Fourier transformeringen blev beregnet af en modificeret call option med hensyn til log striken prisen k. Lad q T (s) være den risikoneutrale tæthedsfunktion af log prisen, s T = log(s T ), og e rt [e s e k ] det tilbagediskonterede payoff. Derved er call prisen givet som: C T (k) e rt (e s e k )q T (s)ds k 8 Begrebet singularitet beskriver et punkt, hvor et matematisk objekt ikke er defineret eller opfører sig meget atypisk. 40

46 Da C T (k) går mod S 0, når k går mod, er funktionen for call pris ikke kvadratisk integrable, hvormed Fourier transformeringen og den inverse ikke eksisterer. For at overkomme dette, indfører Carr and Madan (1999) en modificeret call pris, der sikrer, at funktionen er kvadratisk integrable: c T (k) e αk C T (k) hvor e αk er en dæmpningsfaktor med α > 0. For den modificerede call prisfunktion er Fourier transformeringen: ψ T (υ) = e iυk c T (k)dk Call prisen C T (k) kan derved findes ud fra den Fourier transformering af ψ T (υ): hvor ψ T (υ) er givet som: (Carr and Madan (1999)) C t (k) = e αk π ψ T (υ) = 0 e iυk ψ T (υ)dυ (6) e rt φ T (υ (α + 1)i) α 2 + α υ 2 + i(2α + 1)υ Fordelen ved Fast Fourier transformering er, at denne hurtigt og effektivt kan beregne summen: N w(k) = e i 2π N (j 1)(k 1) x(j) j=1 for k = 1,..., N. En approksimation til formel (6) kan derved findes som: C t (k) e αk π N e iυjk ψ T (υ j )η j=1 hvor η er skridt størrelsen for summeringsgitteret. Fast Fourier transformeringen returnerer N værdier af k, hvor k u = b + λ(u 1) for u = 1,..., N. Derved fås: C t (k u ) e αku π N e iλη(j 1)(u 1) e ibυ j ψ T (υ j )η j=1 For at få et fint gitter til integreringen, kan η sættes til en lille værdi. Dette resulterer 41

47 dog i, at der opnås call priser for strikes relativt langt fra hinanden, hvormed der kun er få strikes, der ligger tæt på prisen på det underliggende aktiv. For at få en præcis integration for større værdier af η benyttes Simpsons regelvægtning, hvorved den endelige call pris er givet som: C t (k u ) = e( αku) π N e i 2π N (j 1)(u 1) e ibυ j ψ ( υ j ) η 3 [3 + ( 1)j δ j 1 ] (7) j=1 (Carr and Madan (1999) samt Schmelzle (2010)) Ovenstående kan dog ikke benyttes for OTM optioner med meget kort tid til udløb. Dettes skyldes, at når den modificerede call pris benyttes, bliver integralet i Fourier transformeringen for disse optioner yderst svingende, hvilket gør det svært at integrere numerisk. Carr and Madan (1999) tager derfor udgangspunkt i en alternativ tilgang, hvor der arbejdes med optionens tidsværdi. z T (k) betegner call prisen for en call option med udløb T, der er OTM, k er igen log af strikeprisen. Fourier transformeringen for denne call pris er givet som: ζ T (υ) = e iυk z T (K)dk og prisen på OTM optionen kan derved opnås ved at benytte den transformering: hvor ζ T (υ) kan udledes til 9 : z T (k) = 1 2π e iυk ζ T (υ)dυ ( 1 ζ T (υ) = e rt 1 + iυ ert iv φ ) T (υ i) υ 2 iυ Da transformeringen bliver bred og svingende, når funktionen z T (k) er nær k = 0, er det, jævnfør Carr and Madan (1999), mere hensigtsmæssigt at benytte transformeringen af sinh(αk)z T (k) γ T (υ) = e iυk sinh(αk)z T (k)dk = ζ T (υ iα) ζ T (υ + iα) 2 9 For udledning henvises til Carr and Madan (1999). 42

48 For at komme frem til den endelige formel for call prisen, divideres der med sinh(αk) i stedet for at gange med e αku i formel (7). Herudover bliver ψ(υ) udskiftet med γ(υ). Ovenstående formler for optioner med meget kort tid til udløb vil dog i denne afhandling ikke få den store betydning, idet der som beskrevet i afsnit 4.1, Datagrundlag, grundet mulig illikviditet er udeladt optioner med mindre end syv dage til udløb i det anvendte datasæt. Da datasættet dog stadig indeholder OTM optioner med forholdsvis kort tid til udløb, er det alligevel valgt at benytte begge tilgange under kalibreringen. Som angivet i ovenstående afsnit er α samt karakteristiskfunktionen vigtige parametre i Fourier transformeringen. I de følgende afsnit beskrives derfor valget af størrelsen på α samt karakteristiskfunktionerne for de respektive modeller Valg af α Som tidligere nævnt er det afgørende for brugen af Fourier transformering, at den modificerede call pris er kvadratisk integrable, og at den er integrable for positive log strike værdier. Dette er gældende for ITM optioner såfremt, ψ T (υ) er endelig, hvilket kræver, at Φ T ( (α + 1)i) er endelig. Såfremt følgende forudsætning er opfyldt, kan Φ T ( (α + 1)i) betegnes som endelig: E[S α+1 T ] <. Værdien α omtales som den dæmpende konstant, og uden denne udviser integranden afvigende adfærd omkring nul og er derfor ikke egnet til Fast Fourier transformering (Carr and Madan (1999)). Den korrekte værdi af α er dog ikke lige nem at finde. Ved at ændre α kan integralet enten blive topstejl, når man er tæt på polerne for integralet eller yderst svingende, når den maksimale tilladte α nås. Dette medfører, at der er et begrænset interval for α værdien. Størrelsen på dette interval bliver mindre, når udløbstiden på optionen bliver mindre, og optionen bevæger sig væk fra ATM niveauet. Det kan derfor være uhyre vigtigt at vælge den rigtige α værdi, især for korte udløbstider og/eller optioner der er væk fra ATM niveauet (Lord and Kahl (2007)). I den gængse litteratur er der flere forskellige forslag til værdien af α. Carr and Madan (1999) anbefaler generelt en fjerdedel af den øvre grænse for α, som værdien for denne, mens Schoutens, Simons, and Tistaert (2005) i deres analyse anbefaler en værdi på 0,75. Da flere af afhandlingens modeller går igen fra modellerne i Schoutens, Simons, and Tistaert (2005), samt at de 0,75 er en værdi, der ikke adskiller sig væsentligt fra andre foreslåede værdier, er denne også valgt her. 43

49 4.2.6 Karakteristiskfunktion for Heston I litteraturen vil man kunne se, at karakteristiskfunktionen for Heston er skrevet på forskellige måder, dog således at de er ækvivalente til hinanden. Der tages her udgangspunkt i Schoutens, Simons, and Tistaert (2005) måde at skrive karakteristiskfunktionen på. φ(u, t) = E[exp(iulog(S t )) S 0, σ0] 2 = exp(iu(logs 0 + (r q)t)) exp(ηκθ 2 ((κ ρθui d)t 2log((1 ge dt )/(1 g)))) exp(σ0θ 2 2 (κ ρθui d)(1 e dt )/(1 ge dt )) hvor d = ((ρθui κ) 2 θ 2 ( iu u 2 )) 1/2 (8) g = (κ ρθui d)/(κ ρθui + d) (9) Som nævnt findes der forskellige måder at skrive karakteristiskfunktionen på. Overordnet eksisterer der to versioner af karakteristiskfunktionen for Heston modellen. Den ene er som givet ovenfor, mens den anden blandt andet kan findes i den originale artikel, Heston (1993), og er givet ved: φ(u, t) = E[exp(iulog(S t )) S 0, σ0] 2 = exp(iu(logs 0 + (r q)t)) exp(ηκθ 2 ((κ ρθui + d)t 2log((1 ge dt )/(1 g)))) exp(σ0θ 2 2 (κ ρθui + d)(1 e dt )/(1 ge dt )) hvor d = ((ρθui κ) 2 + θ 2 (iu + u 2 )) 1/2 g = (κ ρθui + d)/(κ ρθui d) Når man kigger lidt nærmere på de to versioner af karakteristiskfunktionen, vil man bemærke, at fortegnet foran d er byttet om. Formlerne er dog matematisk ækvivalente. Af tekniske årsager, der ikke uddybes her, har det vist sig, at når Hestons version af karakteristiskfunktionen benyttes, kan der opstå numeriske problemer ved prisfastsættelse af plain vanilla optioner, når Fourier teknik benyttes. Albrecher, Mayer, Schoutens, and Tistaert (2007) viser, at for næsten ethvert parametervalg vil der opstå ustabilitet i den originale karakteristiskfunktion, når der er lang tid til udløb. Benyttes i stedet Schoutens, Simons, and Tistaert (2005) formulering, kan disse problemer undgås (Albrecher, Mayer, Schoutens, and Tistaert (2007)), hvorfor dette er 44

50 valgt i indeværende afhandling. Da det er valgt at arbejde med forward priser i afhandlingen omskrives karakteristiskfunktionen, så den bygger på dette. Karakteristiskfunktionen er derfor givet som: φ(u, t) = exp(iu(logf )) exp(ηκθ 2 ((κ ρθui d)t 2log((1 ge dt )/(1 g)))) exp(σ 2 0θ 2 (κ ρθui d)(1 e dt )/(1 ge dt )) hvor d og g er givet som i formel (8) og (9) Karakteristiskfunktion for Heston med spring i prisprocessen Karakteristiskfunktionen for Heston med spring i prisprocessen er jævnfør Schoutens, Simons, and Tistaert (2005) givet som: φ(u, t) = E[exp(iulog(S t )) S 0, σ0] 2 = exp(iu(logs 0 + (r q)t)) exp(ηκθ 2 ((κ ρθui d)t 2log((1 ge dt )/(1 g)))) exp(σ0θ 2 2 (κ ρθui d)(1 e dt )/(1 ge dt )) exp( λµ J iut + λt((1 µ J ) iu exp(σj(iu/2)(iu 2 1)) 1)) hvor d og g igen er givet som i formel (8) og (9). Som det ses af karakteristisk funktionen, er den nederste linje blive tilføjet i forhold til karakteristisk funktionen for Heston modellen. Endvidere ses det, at springet er inkorporeret i denne linje. Som for Heston modellen er karakteristiskfunktionen til afhandlingens formål omskrevet til forwardpriser, således at denne bliver: φ(u, t) = exp(iu(logf )) exp(ηκθ 2 ((κ ρθui d)t 2log((1 ge dt )/(1 g)))) exp(σ0θ 2 2 (κ ρθui d)(1 e dt )/(1 ge dt )) exp( λµ J iut + λt((1 µ J ) iu exp(σj(iu/2)(iu 2 1)) 1)) 45

51 4.2.8 Karakteristiskfunktion for Heston med spring i pris- og volatilitetsproces For Heston med spring i pris og volatilitetsprocessen er karakteristiskfunktionen givet som: φ(u, t) = E[exp(iulog(S t )) S 0, σ0] 2 = exp(iu(logs 0 + (r q)t)) exp(ηκθ 2 ((κ ρθui d)t 2log((1 ge dt )/(1 g)))) exp(σ0θ 2 2 (κ ρθui d)(1 e dt )/(1 ge dt )) exp(( λiu(exp(µ J + σj/2) 2 1) + λ(exp(iuµ J u 2 + σj/2) 2 1)I)T ) hvor I er defineret som I(u, T ) = 1 T T e ν J D(u,T ) dt og e ν J D(u,T ) = exp(ν J )exp(σ 2 0θ 2 (κ ρθui d)(1 e dt )/(1 ge dt )) 0 Gatheral (2006) og Schoutens, Simons, and Tistaert (2005). Ved at omskrive til forward priser fås følgende karakteristisk funktion: φ(u, t) = exp(iu(logf )) exp(ηκθ 2 ((κ ρθui d)t 2log((1 ge dt )/(1 g)))) exp(σ0θ 2 2 (κ ρθui d)(1 e dt )/(1 ge dt )) exp(( λiu(exp(µ J + σj/2) 2 1) + λ(exp(iuµ J u 2 + σj/2) 2 1)I)T ) Karakteristiskfunktion for Barndorff-Nielsen og Shephard Som for de tre Heston modeller tages der, for BN-S modellens karakteristiskfunktion, udgangspunkt i Schoutens, Simons, and Tistaert (2005) måde at skrive karakteristiskfunktionen på. Ved hjælp af kumulant funktionen fra Barndorff-Nielsen, Nicolato, and Shephard (2002), givet som: k(u) = au(b + u) 1 46

52 hvor der er taget hensyn til, at der arbejdes med en gamma fordeling, fås karakteristisk funktionen som: φ(u, t) = exp(iu(log(s 0 ) + (r q aλρ(b ρ) 1 )t)) exp( λ 1 (u 2 + iu)(1 exp( λt))σ0/2) 2 ( ( ) )) b exp (a(b f 2 ) 1 f1 b log + f 2 λt b iuρ hvor f 1 (u) = iuρ λ 1 (u 2 + iu)(1 exp( λt))/2 f 2 (u) = iuρ λ 1 (u 2 + iu)/2 Ved at omskrive til forward priser fås følgende karakteristiskfunktion: φ(u, t) = exp(iu(log(f ) aλρ(b ρ) 1 )t) exp( λ 1 (u 2 + iu)(1 exp( λt))σ0/2) 2 ( ( ) )) b exp (a(b f 2 ) 1 f1 b log + f 2 λt b iuρ 4.3 Kalibrering Overordnet set kan man estimere parametrene for en given model ud fra to metoder. Enten kan man benytte sig af historiske data og estimere parametrene ud fra økonometriske metoder som eksempelvis Maximum Likelihood eller Generalized Methods of Moments, eller også kan man estimere parametrene implicit ud fra observerede optionspriser. En af ulemperne ved at benytte historiske data er, at man ikke er i stand til at estimere markedsprisen på volatilitetsrisiko (An and Suo (2009)). Endvidere har forskellige empiriske studier vist, at implicitte parametre er bedre estimater, da de gengiver markedsaktørernes forventning til aktivprisen (Bates (1996)). I denne afhandling er det derfor valgt at estimere parametrene implicit ud fra observerede options priser. Estimeringen foretages ud fra N optioner på S&P500 indekset, observeret på samme tidspunkt, hvor N er større end eller lig med 1 + antallet af parameterværdier, der skal estimeres. For hver n = 1,..., N angiver τ n og K n henholdsvis tid til udløb og strike prisen for den n te option. For hver dag i datasættet beregnes forskellen mellem markedsprisen og den tilsvarende modelpris for de observerede optioner under hensyntagen til modellens parametre: 47

53 ɛ n [V (t), Φ] = Ĉn(t, τ n ; K n ) C n (t, τ n ; K n ) hvor Ĉn(t, τ n ; K n ) er den observerede markedspris, og C n (t, τ n ; K n ) er modelprisen. Modelprisen C n (t, τ n ; K n ) findes ved hjælp af Fourier transformering for Heston modellerne og BN-S, hvor variablerne, forwardprisen og tid til udløb for karakteristiskfunktionerne findes i markedet. For CEV og SABR modellerne findes priserne ved hjælp af de respektive eksplicitte formler for optionsprisen. Ved at minimere en given kriteriefunktion, eksempelvis: min V (t),φ N ɛ n [V (t), Φ] 2 (10) n=1 udregnes V t og parametervektoren Φ (Bakshi, Cao, and Chen (1997)). En kriteriefunktion er en funktion, der måler fejlen mellem markedet og modellen. Der findes mange forskellige funktioner, og da de hver især resulterer i forskellige kalibrerede modelparametre, opstår begrebet kalibreringsrisiko. De forskelligt kalibrerede parametre kan eksempelvis medføre, at prisfastsættelsen af eksempelvis eksotiske optioner kan variere betydeligt (Detlefsen and Härdle (2007)). I det følgende præsenteres en række forskellige kriteriefunktioner. Kriteriefunktionerne omfatter forskel i absolutte og relative priser samt forskel i absolutte og relative implicitte volatiliteter. Kriteriefunktionen, der angiver forskellen mellem de absolutte priser, vægter relativt dyre optioner, det vil sige ITM optioner og optioner med lang løbetid, mere end billigere optioner, altså optioner med kort løbetid og OTM optioner (Bakshi, Cao, and Chen (1997)). Den absolutte prisforskel (AP) er givet som: AP = n w i (Pi mod i=1 P mar i ) 2 Kriteriefunktionen, der angiver forskellen mellem den relative prisforskel, ligger, modsat den absolutte prisforskel, større vægt på billige optioner (Bakshi, Cao, and Chen (1997)). Dette bygger på argumentet om, at fejlen på en billig option bør vægtes lige så meget som fejlen på en dyr option. Den relative prisforskel (RP) er givet som: RP = n i=1 ( P mod i w i P mar i P mar i Da mange modeller bedømmes ud fra deres evne til at gengive den implicitte volatilitets flade, defineres den absolutte og relative prisforskel også ud fra de implicitte ) 2 48

54 volatiliteter. Forskellen i den absolutte implicitte volatilitet (AI) er givet som: AI = n w i (IVi mod i=1 IV mar i ) 2 Forskellen i den relative implicitte volatilitet (RI) er givet som: RI = n i=1 ( IV mod i w i IV mar i IV mar i Modelrisikoen er ikke uafhængig af kalibreringsrisikoen. Modelrisikoen er eksempelvis lavest for kalibrering i forhold til absolutte priser og højest for kalibrering i forhold til relativ implicit volatilitet. Hvis valget af model er usikkert, bør man derfor kalibrere i forhold til absolutte priser, har man derimod valgt en model, bør man kalibrere i forhold til den relative implicitte volatilitet (Detlefsen and Härdle (2007)). Da afhandlingens hovedformål er at undersøges seks forskellige modeller, er det valgt, ud fra ovenstående argumentation, at kalibrere modellerne i forhold til den absolutte prisforskel. ) 2 Som det ses af ovenstående formler, vægtes den enkelte option med vægten w. Adskillige forfattere har givet deres bud på, hvilken vægtning, der giver den mest korrekte kalibrering, idet forskellige vægtningsmetoder vil påvirke det endelige resultat. Det er derfor vigtigt, at vægtningen vælges med omhu. I Schoutens, Simons, and Tistaert (2005) benyttes vægten w i = 1, hvor N er antallet af optioner, således N at alle optioner vægtes ens. Denne vægtning vælges, såfremt det ønskes at vægte alle optioner med lige stor vægt. Et alternativ, hvor optionerne vægtes forskelligt, er at vægte med bid-ask spreadet. Derved er vægtningen givet som w i = 1 bid i ask i 2. For denne vægting kommenterer Cont and Tankov (2004), at for optioner, der ikke er alt for langt fra ATM, er bid-ask spreadet i en størrelsesorden af ti basis point af den implicitte volatilitet, det vil sige cirka 1%. Dette betyder at for at have fejl, der er proportionale med bid-ask spreadet, bør man, med denne vægtning, minimere i forhold til den implicitte volatilitet og ikke options priser. Da det netop er vurderet, at det mest korrekte er at minimere i forhold til absolutte priser for denne afhandling, fravælges bid-ask spreadet som vægtning. Et meget anvendt alternativ er at vægte med de kvadrerede Black-Scholes vega vægte. Vega angiver som bekendt, hvor følsom en option er overfor ændringer i volatilitet. Vægtningen tager derved hensyn til, at ATM-optioner er mere likvide og dermed mere følsomme overfor volatilitet. Derved vil en volatilitetsfejl for en ATM-option give større prisfejl end for ITM- og OTMoptioner. Vega findes ved hjælp af Black-Scholes formlen, hvor Vega= T F e d2 1 /2 2π. 49

55 Derved bliver vægtningen: w i = 1 vega 2 (I i ) hvor I i er implicitte volatiliteter for markedet. Ved at vægte den absolutte prisforskel med vega, tager kalibreringen i højere grad hensyn til den implicitte volatilitet. Udover de forskellige kriteriefunktioner findes der også forskellige algoritmer til selve minimeringen. Formel (10), et eksempel på et ikke lineært eller konvekst optimeringsproblem, hvilket medfører, at det kan være svært at løse, da der kan eksistere mange lokale minima (Haug (2010)). I indeværende afhandling er Matlabs funktion lsqnonlin brugt som minimeringsalgoritme. Funktionen starter i punktet x 0, der er givet som startgæt, og finder et minimum af de summerede kvadrater. Da algoritmen er afhængig af startgættet, finder den ikke nødvendigvis et globalt minimum. For at imødekomme dette problem, er hver enkelt model kalibreret ud fra forskellige startgæt. Dette er gjort for at sikre, at kalibreringen ikke blot finder nærmeste lokale minimum, der kan være langt større end andre lokale minima og/eller det globale minimum. Ved at sætte forskellige startgæt, har hver kalibrering derved hvert sit udgangspunkt, således at der er større sandsynlighed for at finde det globale minimum. 4.4 Resultat af kalibrering I afhandlingen arbejdes der som nævnt i afsnit 4.1, Datagrundlag, med data fra perioden november oktober 2010, hvor der ses på den anden torsdag i hver måned, således at der alt i alt er 12 datasæt. For at kunne sammenligne modellerne på tværs af hinanden, er de respektive modeller kalibreret for hver enkelt dag i datasættet og dermed også for optioner med forskellige løbetider. Dette har medført 12 parametresæt for hver enkelt model CEV Under kalibreringen af CEV modellen er parametrene underlagt følgende betingelser: 0 δ, da δ er en positiv konstant, og β 2, da β empirisk er mindre end 2, og der i afhandlingen kun fokuseres herpå. Kalibreringen for den 12. november 2009 har resulteret i følgende parametre og absolutte prisforskelle: δ β AP Startgæt Kalibrering Startgæt Kalibrering 0,1 0, ,5-2, , ,5 0, , , , , ,24956 Tabel 2: Kalibrering af CEV modellen for d. 12. november

56 Som det ses af tabellen, er parameterværdierne forholdsvis konstante og uafhængige af de forskellige startgæt. Dette indikerer, at det globale minimum er fundet eller alternativt, at alle startgættene har resulteret i samme lokale minimum, hvilket betyder, at kalibreringen har været robust for denne dato på tværs af startgættene. Dette er dog ikke et entydigt billede for hele datasættet. Som det eksempelvis ses af kalibreringen for den 12. august 2010 i nedenstående tabel, kan β værdien være meget følsom overfor, hvilket startgæt der bruges. δ β AP Startgæt Kalibrering Startgæt Kalibrering 0,1 0, ,5 1, , ,5 0, , , , , ,33298 Tabel 3: Kalibrering af CEV modellen for d. 12. august 2010 At der kan være så store udsving i de kalibrerede værdier skyldes, at der som nævnt arbejdes med en funktion, lsqnonlin, der finder lokale minima og ikke nødvendigvis det globale minimum. Det ses tydeligt, at det første startgæt medfører, at funktionen ender i et lokalt minimum, hvor den absolutte prisforskel er væsentligt højere end for de øvrige startgæt. De øvrige startgæt har ikke bare lavere absolutte prisfejl men medfører også mere stabile og realistiske parametre. Desværre kan det ikke afvises, at der endnu engang er tale om lokale minima. I nedenstående tabel vises de gennemsnitlige værdier på tværs af datasættet for de forskellige startgæt. Standardafvigelsen er givet i parentes. δ β AP Startgæt 1 0, , ,37772 (0,02315) (2,13619) (0,14623) Startgæt 2 0, , ,33137 (0,02373) (0,84925) (0,08844) Startgæt 3 0, , ,33180 (0,63003) (0,86431) (0,08916) Tabel 4: Gennemsnitlige værdier af kalibreringen for CEV modellen Af ovenstående kan man se, at δ er relativ ens for de to første startgæt, mens gennemsnittet for det tredje gæt er væsentligt højere. Dette skyldes, at δ for to af dagene 51

57 i det tredje startgæt er væsentligt højere end for de øvrige dage, der ellers ligger i samme interval som gennemsnittet for de to første gæt. De to afvigere medfører endvidere en høj standardafvigelse for det tredje gæt. Et lignende billede tegner sig for β ved startgæt 1, idet gennemsnittet er væsentligt lavere her end for de to øvrige startgæt, samtidig med at standardafvigelsen er væsentligt højere. Endvidere bør det bemærkes, at standardafvigelsen for β generelt er højere end for δ. For at illustrere CEV modellens evne til at gengive markedspriser, vises i nedenstående figur de fundne modelpriser på baggrund af de kalibrerede værdier i forhold til markedspriserne for den 14. januar Figur 39: CEV Af figuren ses det, at det er noget varierende hvor godt, modellen er i stand til at matche markedspriserne, men eftersom CEV modellen er en forholdsvis simpel model med kun to parametre, er dette ikke overraskende, taget i betragtning at modellen, som vist ovenfor, i gennemsnit har forholdsvist høje absolutte prisfejl SABR Tilsvarende som for CEV modellen er SABR modellen kalibreret for tre forskellige startgæt for hver enkelt af de 12 dage i datasættet. I modsætning til CEV modellen har kalibreringen af parametrene i SABR modellen vist sig at være utrolig stabil og uafhængig af de forskellige startgæt for alle dagene i datasættet. For at illustrere dette, ses der her på de samme dage, som der blev set på for CEV modellen. Af nedenstående tabellerne fremgår β dog ikke, idet denne som tidligere nævnt blev fastsat til 1. For den 12. november 2009 gav kalibreringen af de øvrige parametre følgende resultater og absolutte prisforskelle: 52

58 α ρ ν AP Startgæt Kalibrering Startgæt Kalibrering Startgæt Kalibrering 0,2 0, ,70-0, ,85 0, , ,4 0, ,50-0, ,6 0, , ,6 0, ,40-0, ,1 0, ,22664 Tabel 5: Kalibrering af SABR modellen for d. 12. november 2009 mens kalibreringen for den 12. august 2010 gav nedenstående parametre og absolutte prisforskelle: α ρ ν AP Startgæt Kalibrering Startgæt Kalibrering Startgæt Kalibrering 0,2 0, ,70-0, ,85 0, ,3312 0,4 0, ,50-0, ,6 0, ,3312 0,6 0, ,40-0, ,1 0, ,3312 Tabel 6: Kalibrering af SABR modellen for d. 12. august 2010 At kalibreringen for SABR modellen er mere stabil kan blandt andet skyldes, at α, ρ og ν har vidt forskellige effekter på volatilitetssmilet, hvilket sikrer, at de kalibrerede parametre ofte er meget stabile selv i perioder med stor støj i markedet. At kalibreringen af parametrene har været stabil over hele datasættet kan ses af nedenstående tabel, der viser gennemsnit og standardafvigelserne for de tre startgæt (Hagan, Kumar, and Lesniewski (2002)). α ρ ν AP Startgæt 1 0, , , ,30801 (0,00776) (0,01563) (0,02291) (0,02581) Startgæt 2 0, , , ,30801 (0,00776) (0,01563) (0,02291) (0,02581) Startgæt 3 0, , , ,30801 (0,00776) (0,01563) (0,02291) (0,02581) Tabel 7: Gennemsnitlige værdier af kalibreringen for SABR modellen Tabellen taler sit eget tydelige sprog. Gennemsnittet for den enkelte parameter er utrolig ens for de tre forskellige startgæt, samtidig med at standardafvigelserne ligger på et meget lavt niveau, hvilket igen er med til at understrege, at kalibreringen for 53

59 SABR modellen har været utrolig stabil. Når der ses på modellens evne til at gengive optionsmarkedspriserne fås følgende billede: Figur 40: SABR Sammenholdes dette med CEV modellens evne til at gengive markedspriserne, vil man kunne se, at SABR modellen rammer en smule bedre, hvilket også afspejler sig i den mindre gennemsnitlige absolutte prisforskel, som SABR modellen har. At SABR modellen kalibrerer bedre til markedspriserne giver god mening, idet tilføjelsen af stokastiske volatilitet i teorien bør forventes at give bedre kalibreringsresultater Heston For afhandlingens tre typer af Heston-modeller, skal Feller betingelsen, 2κη > θ 2, jævnfør beskrivelsen af Heston modellen i afsnit 3.3 være opfyldt for at sikre, at variansprocessen altid er positiv og ikke rammer 0. Såfremt betingelsen ikke er opfyldt, vil variansprocessen kunne ramme 0, dog kun i et meget lille øjeblik, således at variansen ikke forbliver på punktet (Jacquier and Martini (2010)). Ifølge Andersen (2007) og Janek, Kluge, Weron, and Wystup (2010), er det ikke ualmindeligt, at parametrene ikke opfylder Feller betingelsen, når der kalibreres til markedsdata. Dette er naturligvis ikke positivt, idet manglende opfyldelse af Feller betingelsen betyder, at der er større sandsynlighed for, at volatilitetsniveauer på 0 rammes for korte tidsperioder, hvilket ikke er i overensstemmelse med empiriske observationer i markedet. Dog er der ikke tale om en katastrofe, da variansen som sagt ikke forbliver på punktet 0, men kun er der i et meget lille øjeblik (Janek, Kluge, Weron, and Wystup (2010)). For Heston modellen er kalibreringen foretaget uden hensyntagen til Feller betingelsen. Dette er gjort for at se, hvorvidt betingelsen er opfyldt, når der kalibreres 54

60 til det i afhandlingen givne markedsdata. Resultatet kan ses i den følgende tabel. Dag η κ θ ρ υ 0 AP 2κη θ 2 1 0,0648 2,1778 0,7123-0,7249 0,0335 0,1092 0,2824 0, ,0568 4,9851 1,1260-0,7084 0,0229 0,1140 0,5663 1, ,0418 2,5730 0,6738-0,7064 0,0192 0,0861 0,2150 0, ,0531 2,1556 0,7028-0,7372 0,0325 0,1262 0,2288 0, ,0417 2,7960 0,6361-0,7442 0,0166 0,1154 0,2333 0, ,0423 2,7166 0,6929-0,7505 0,0119 0,1055 0,2297 0, ,0597 3,9564 1,2557-0,7768 0,0411 0,1397 0,4724 1, ,0816 2,2370 1,0777-0,8111 0,0562 0,1493 0,3650 1, ,0988 1,2581 0,7709-0,8263 0,0401 0,1510 0,2485 0, ,0912 1,2944 0,7357-0,8202 0,0418 0,1511 0,2362 0, ,0804 1,9382 0,8148-0,8282 0,0270 0,1580 0,3115 0, ,0831 1,0200 0,6187-0,8006 0,0316 0,4560 0,1696 0,3828 Tabel 8: Kalibrering af Heston modellen for startgæt 1 Som det ses af tabellen, er Feller betingelsen på intet tidspunkt i dataperioden opfyldt, idet 2κη på ingen af dagene er større end θ 2. Det bør derfor vurderes, hvorvidt det er ønskværdigt at gennemtvinge kalibreringen til at opfylde Feller betingelsen. Da der i den foretagede kalibrering er fundet parametre på baggrund af en optimal minimering, vil kalibreringen alt andet lige blive dårligere, såfremt der tilføjes restriktioner herfor. Der vælges derfor både for Heston modellen, Heston med spring i prisprocessen og Heston med spring i pris-og volatilitetsprocessen at se bort fra Feller betingelsen i kalibreringsdelen. For selve kalibreringen er der igen for hver enkelt dag kørt tre kalibreringer med forskellige startgæt. Disse startgæt har vist sig ikke at have signifikant indflydelse på parametrenes kalibrerede værdier, idet værdierne stort set er ens for de forskellige startgæt. Dette ses af nedenstående tabel, hvor der som eksempel er vist 12. november 2009: η κ θ Startgæt Kalibrering Startgæt Kalibrering Startgæt Kalibrering 0,01 0, ,6 2, ,1 0, ,09 0, , ,4 0, ,15 0, , ,6 0,

61 ρ σ0 2 AP Startgæt Kalibrering Startgæt Kalibrering -0,9-0, ,02 0, , ,6-0, ,08 0, , ,4-0, ,3 0, ,10921 Tabel 9: Kalibrering af Heston modellen for d. 12. november 2009 Et lignende billede tegner sig for de øvrige dage i datasættet, hvorfor Heston modellen må siges at være meget stabil i kalibreringen i forhold til de forskellige startgæt. Stabiliteten kan endvidere indikere, at det globale minimum enten er fundet, eller at alle startgættene har ført til samme lokale minimum. For at se, hvor stabil kalibreringen er på tværs af datasættet, ses der igen på gennemsnit og standardafvigelse for de forskellige startgæt: η κ θ ρ σ0 2 AP Startgæt 1 0, , , , , ,15515 (0,02019) (1,13473) (0,21246) (0,04645) (0,01257) (0,09737) Startgæt 2 0, , , , , ,15515 (0,02020) (1,13462) (0,21188) (0,04648) (0,01258) (0,09739) Startgæt 3 0, , , , , ,15620 (0,01998) (2,38927) (0,51929) (0,04600) (0,01328) (0,10094) Tabel 10: Gennemsnitlige værdier af kalibreringen for Heston modellen Af tabellen kan man se, at især gennemsnittene for startgæt 1 og 2 ligger utrolig tæt på hinanden, mens startgæt 3 generelt ligger lidt højere. Det må dog samtidig bemærkes, at standardafvigelsen for flere af parametrene er ret høje, hvilket betyder, at der i kalibreringen af de enkelte dage ikke er enighed om værdien af parametrene. Dette må dog være forventeligt, idet des flere parametre en model har, des bedre kan den tilpasses markedspriserne, hvorimod det til gengæld bliver sværere at opnå stabile parametre (Detlefsen and Härdle (2007)). At Heston modellen på grund af flere parametre er bedre til at tilpasse sig markedspriserne ses af nedenstående figur for den 14. januar

62 Figur 41: Heston Sammenlignes figuren med de tilsvarende figurer for CEV og SABR modellerne vil man bemærke, at Heston modellen gengiver markedspriserne væsentligt bedre end de to mere simple modeller. Dette er dog ikke overraskende, idet de gennemsnitlige absolutte prisforskelle også er væsentlig lavere for Heston modellen end for de to foregående Heston med spring i prisprocessen Som for de øvrige modeller, er Heston modellen med spring i prisprocessen kalibreret med tre forskellige startgæt. For denne model er der generelt, i datasættet, større forskelle i kalibreringerne på baggrund af de forskellige startgæt. Dette ses eksempelvis for den 14. januar 2010: η κ θ Startgæt Kalibrering Startgæt Kalibrering Startgæt Kalibrering 0,03 0, ,1 1, ,1 0, ,09 0, ,3 3, ,4 0, ,02 0, ,7 1, ,2 0,18332 ρ υ 0 λ Startgæt Kalibrering Startgæt Kalibrering Startgæt Kalibrering -0,9-0, ,02 0, ,1 0, ,5-0, ,08 0, ,5 4, ,7-0, ,03 0, ,3 0,

63 µ j σ j AP Startgæt Kalibrering Startgæt Kalibrering -0,5-0, ,15 0, , ,2 0, ,75 2,2E-14 0, ,6-0, ,4 0, ,06634 Tabel 11: Kalibrering af Heston modellen med spring i prisprocessen for d. 14. januar 2010 For flere af parametrene adskiller startgæt 2 sig væsentligt fra de to øvrige gæt. Af tabel 11, ses det dog af den absolutte prisforskel for startgæt 2 ikke er meget højere end de to øvrige startgæt. Kalibreringen har derfor for startgæt 2 blot fundet et andet lokalt minimum end for de andre startgæt. Samme billede fås for flere andre dage i kalibreringen. Det er derfor interessant at se på, hvorledes de forskellige startgæt har klaret sig på tværs af dagene i datasættet. Dette illustreres i nedenstående tabel, hvor standardafvigelsen er vist i parentes. η κ θ ρ υ 0 Startgæt 1 0, , , , ,02612 (0,30498) (1,50706) (0,15870) (0,04796) (0,00996) Startgæt 2 0, , , , ,02488 (0,57106) (1,51850) (1,31102) (0,10241) (0,01104) Startgæt 3 0, , , , ,02613 (0,48156) (1,48233) (0,16027) (0,04767) (0,00994) λ µ J σ J AP Startgæt 1 0, , , ,12469 (0,06702) (0,38647) (0,17977) (0,10634) Startgæt 2 1, , , ,12336 (2,31134) (0,35064) (0,17943) (0,10064) Startgæt 3 0, , , ,12470 (0,06948) (0,37046) (0,13432) (0,10633) Tabel 12: Gennemsnitlige værdier af kalibreringen for Heston modellen med spring i prisprocessen Som det fremgår af tabellen, er nogle af parametrene væsentlig mere ustabile, end det er set i de tidligere modeller. Dette kan, som nævnt i forrige afsnit skyldes, at der er væsentlig flere parametre, der skal kalibreres til, hvormed der opstår større 58

64 ustabilitet både på tværs af startgæt og på tværs af de enkelte dage i parametersættet. Dette ses både i de store udsving, der er på tværs af gættene, men også de store standardafvigelser der er i parameterværdierne. Ses der derimod på, hvor god modellen er til kalibrere til én enkelt dag, giver dette følgende billede: Figur 42: Heston med spring i prisprocessen Sammenlignes figuren med den tilsvarende figur fra Heston modellen, ser de to figurer ualmindelig ens ud. Dette kan skyldes, at λ fra kalibreringen på denne dag er så lille, hvormed springprocessen har meget lille indvirken, hvorfor de to modeller stort set bliver identiske. Gennemsnitligt har Heston modellen med spring i prisprocessen dog en lavere absolut prisforskel, hvilket betyder, at modellen bedre afspejler markedet end Heston modellen, når man ser over alle dagene i datasættet Heston med spring i pris- og volatilitetsprocessen Da Heston modellen med spring i pris- og volatilitetsprocessen er computermæssigt meget tung, er der for denne model blot kalibreret for ét enkelt startgæt. For at sikre at dette startgæt er så realistisk som muligt, er der skelet til de kalibrerede parameterværdier for Heston modellen med spring i prisprocessen, da det må forventes, at parametrene vil ligge i samme niveau. Dette har resulteret i følgende parametre: η κ θ ρ υ Startgæt 0,03 0,3 0,2-0,6 0,02 Gennemsnit 0, , , , ,02270 Standardafv. (0,17760) (1,59948) (0,16015) (0,24967) (0,01158) 59

65 λ µ J σ ν J AP Startgæt 0,25-0,3 0,15-0,08 Gennemsnit 1, , , , ,12052 Standardafv. (2,05619) (0,31904) (0,09469) (0,11670) (0,10226) Tabel 13: Gennemsnitlige værdier af kalibreringen for Heston modellen med spring i pris- og volatilitetsprocessen Som det kan ses af standardafvigelserne for de kalibrerede parametre, er Heston modellen med spring i pris- og volatilitetsprocessen meget ustabil over dagene i datasættet. Dette skyldes, at der ikke blot er tale om, at nogle få dage har parametre, der ligger væsentligt fra de øvrige dage og dermed øger standardafvigelsen, men at kalibreringen generelt er meget forskellig fra dag til dag. Sammenholder man dog modellens evne til at kalibrere til markedsdata for den 14. januar 2010, får man nedenstående graf, der ligner de tilsvarende grafer for de to øvrige Heston modeller til forveksling - igen af samme årsag som for Heston modellen med spring, at λ for denne dag ikke er særlig stor. Figur 43: Heston med spring i pris- og volatilitetsprocessen På trods af, at Heston modellen med spring i pris- og volatilitetsprocessen tager højde for, at når der sker et spring i prisprocessen, sker der et simultant spring i volatilitetsprocessen, har dette ikke haft nogen væsentlig effekt på den gennemsnitlige absolutte prisfejl for hele datasættet samt standardafvigelsen for denne, idet disse er på samme niveau som Heston modellen med spring i prisprocessen. Det kan derfor ikke siges, at Heston med spring i pris- og volatilitetsprocessen overvejende er bedre til at gengive markedet. 60

66 4.4.6 Barndorff-Nielsen og Shephard Modellens parametre er på lignende vis som for de øvrige modeller, bortset fra Heston modellen med spring i pris- og volatilitetsprocessen, kalibreret ved hjælp af tre forskellige startgæt for hver enkelt dag i datasættet. BN-S modellen har vist sig at være en meget stabil model, hvilket kan se ud af følgende eksempel for 12. november 2009: a b λ Startgæt Kalibrering Startgæt Kalibrering Startgæt Kalibrering 0,2 0, ,2 14, ,1 1, ,6 0, ,6 14, , , , ,41037 ρ σ0 2 AP Startgæt Kalibrering Startgæt Kalibrering -1-1, ,02 0, , , ,09 0, , , ,12 0, ,1352 Tabel 14: Kalibrering af Barndorff-Nielsen og Shephard for den 12. november 2009 Af tabellen ses det, at på tværs af valget af startgæt er de kalibrerede værdier for den enkelte parameter utrolig konstante, hvilket indikerer, at de tre startgæt alle har ledt til samme lokale minimum, eller at det globale minimum for den enkelte dag er fundet. Da eksemplet for den 12. november er et meget sigende billede for alle kalibreringerne, kan det konstateres, at BN-S modellen er utrolig stabil på tværs af startgættene for alle 12 dage i datasættet. For at teste, hvorvidt modellen også er stabil på tværs af de enkelte dage, ses der igen på gennemsnit og standardafvigelse over hele datasættet: a b λ ρ σ0 2 AP Startgæt 1 0, , , , , ,20900 (0,15874) (6,12516) (1,50080) (0,53053) (0,00670) (0,10385) Startgæt 2 0, , , , , ,20900 (0,15877) (6,13008) (1,48844) (0,52467) (0,00670) (0,10385) Startgæt 3 0, , , , , ,20900 (0,15878) (6,14229) (1,49205) (0,52564) (0,00671) (0,10385) Tabel 15: Gennemsnitlige værdier af kalibreringen for Barndorff-Nielsen og Shephard modellen 61

67 Af tabellen fremgår det tydeligt, at BN-S modellen er utrolig stabil på tværs af de forskellige startgæt, idet både gennemsnit og standardafvigelse er stort set ens for hvert startgæt. Dog må det bemærkes, at standardafgivelserne er relativt høje for hovedparten af parametrene, hvilket betyder, at der er stor forskel på de enkelte kalibreringer fra dag til dag. Hertil kan tilføjes, at det ikke blot er én enkelt dag, der giver ekstreme udfald, men at dagene generelt er forskellige fra hinanden. Med en forventning om, at modellen er god til at kalibrere til en enkelt dag, illustreres modellens evne til at gengive modelpriser til markedspriser for den 14. januar 2010: Figur 44: BN-S Som grafen illustrerer, kalibrerer BN-S modellen forholdsvist præcist til en enkelt dag. Man bør dog være opmærksom på, at den absolutte prisfejl i gennemsnit var 0,209, mens den for denne udvalgte dag, der er den samme som de tilsvarende grafer for de øvrige modeller, er 0,096, hvilket vil sige væsentligt lavere end gennemsnittet. 4.5 Modelsammenligning I forrige afsnit blev det for hver enkelt model gennemgået, hvor stabile modellerne er i forhold til de forskellige startgæt og på tværs af dagene samt vist eksempel på, hvor godt modellerne kalibrerer til én enkelt dag. I det følgende vil modellerne blive testet op i mod hinanden. Helt konkret betyder dette, at der vil blive prisfastsat optioner fra den 14. januar 2010, som også var den dato, der blev benyttet til illustrering af modellernes evne til at prisfastsætte optioner. Det skal dog bemærkes, at der kun er tale om eksempler fra denne dato, hvorfor disse ikke nødvendigvis afspejler den enkelte models generelle evne til at prisfastsætte. Det er dog stadig relevant at se på enkelte optioner, idet det kan give en ide om, hvor langt de forskellige modellers priser er fra hinanden og markedsprisen. Der vil blive set på optioner, der er ITM 62

68 og OTM, idet der ud fra figurerne i forrige afsnit ser ud til at være forskel i prisfastsættelsesevne for forskellige strikes. Desuden vil der blive set på optioner med henholdsvis kort og lang udløb. Som det første prisfastsættes en ITM option med følgende karakteristika: Tid til udløb er 1,352 år, forward prisen er $1.130,9, diskonteringsfaktoren er 0,9962, og strikeprisen er $900. Dette har givet følgende optionspriser: CEV SABR Heston Heston J Heston JJ BN-S Markedspris 256, , , , , , ,4 0,54% 0,20% -0,48% -0,14% -1,64% -0,76% Tabel 16: Modelpriser for ITM option Forventningen om, at de stokastiske volatilitets modeller prisfastsætter forholdsvis ens for plain vanilla optioner, ser i dette tilfælde ud til at holde. Især SABR modellen og Heston modellen med spring i prisprocessen klarer sig rigtig flot, når der ses på den procentvise afvigelse fra markedsprisen. Anderledes ser det dog ud, når der ses på en OTM option med følgende karakteristika: Tid til udløb er 1,036 år, forward prisen er $1.134,8, diskonteringsfaktoren er 0,9977, og strikeprisen er $ CEV SABR Heston Heston J Heston JJ BN-S Markedspris 4,8749 5,4699 6,5494 5,8534 5,8864 6,5712 7,05-30,85% -22,41% -7,10% -16,97% -16,50% -6,79% Tabel 17: Modelpriser for OTM option Som det ses, klarer de stokastiske volatilitets modeller sig generelt meget dårligt for denne option, hvor alle modellerne prisfastsætter væsentlig lavere end markedsmodellen. Dette kunne muligvis syntes rimeligt, såfremt modellerne prisfastsatte ens. Dette er dog ikke tilfældet, idet der ses et svagt mønster, hvor priserne for Heston modellen og BN-S modellen ligger tæt på hinanden, mens de to udvidede Heston modeller også ligger tæt på hinanden. Både CEV og SABR ligger helt for sig selv, og er også de to modeller, der for denne option klarer sig dårligst. Som det næste ses der på en option med kort udløb. Optionen har følgende karakteristika: Tid til udløb er 0,26 år, forward prisen er $1.144,9, diskonteringsfaktoren er 0,9995 og strikeprisen er $980, det vil sige, at optionen er ITM. På baggrund af denne option er følgende priser fremkommet: 63

69 CEV SABR Heston Heston J Heston JJ BN-S Markedspris 167, , , , , , ,3-1,02% -0,88% -0,63% -0,19% -0,21% 0,06% Tabel 18: Modelpriser for option med kort udløb Modelpriserne ligger alle tæt på markedsprisen. Især de mere avancerede stokastiske volatilitets modeller, Heston med spring i pris- og volatilitetsprocessen og BN-S, prisfastsætter meget præcist til markedsprisen, mens de mere simple, SABR og især CEV ikke i nær så høj grad rammer markedsprisen. Samme billede fås, når der ses på en option med lang udløb og følgende karakteristika: Tid til udløb er 4,292, forward prisen er $1.131,5, diskonteringsfaktoren er 0,9502, strikeprisen er $ CEV SABR Heston Heston J Heston JJ BN-S Markedspris 186, , , , , , ,55-8,21% -7,31% 0,32% 0,74% 0,82% -0,32% Tabel 19: Modelpriser for option med lang udløb Forskellen i forhold til optionen, der blev set på før, er at CEV og SABR modellerne har noget mere vanskeligt ved at ramme markedsprisen, mens de fire øvrige rammer prisen meget præcist. I ovenstående er der givet eksempler på, hvordan de forskellige modeller er i stand til at prisfastsætte for enkelte optioner. Dette leder direkte til, at det er interessant at se på, hvorledes modellernes samlede evne til at prisfastsætte er ved forskellige tid til udløb og strikes. I det følgende vælges der derfor at se på modellernes evne til at kalibrere det implicitte volatilitetssmil. For hver enkelt model kalibreres der til den 9. september For CEV modellen giver dette følgende billede: 64

70 Figur 45: Implicit volatilitetsoverflade for CEV modellen Som det ses af grafen, giver CEV modellen ikke en særlig pæn volatilitetsoverflade. Volatilitetssmilet er stort set ikke-eksisterende, dog kan der med lidt god vilje argumenteres for, at der er et volatility skew, idet den implicitte volatilitet er højere for ITM optioner end OTM optioner. Volatiliteten stiger dog ikke igen, eftersom grafen stort set er monotont aftagende med strikeprisen, hvilket ellers empirisk må forventes. Endvidere er CEV modellen ikke i stand til at tage højde for, at der ofte er højere volatilitet for optioner med kort udløb. Billedet for volatilitetssmilet stemmer dog fint overens med de øvrige resultater i kalibreringen, der netop viste, at modellen for afhandlingens datasæt har høj absolut prisfejl og derfor ikke i så høj grad er i stand til at gengive markedspriserne. I nedenstående graf vises SABR modellens implicitte volatilitetsoverflade. Figur 46: Implicit volatilitetsoverflade for SABR modellen 65