En hurtig approksimativ beregning af usikkerheden om den fremtidige pension
|
|
- Sven Lauridsen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 En hurtig approksimativ beregning af usikkerheden om den fremtidige pension Claus Munk 1. september Sammenfatning Den pension, som en pensionsopsparer en kunde) ender med at få, er usikker både på grund af usikkerhed om opsparerens fremtidige indbetalinger og usikkerhed om afkastet på den investerede opsparing samt usikkerhed om opsparerens levetid. Dette notat fokuserer på den eekt afkastusikkerheden har på de fremtidige pensionsudbetalinger. Derfor antages indbetalingerne igennem opsparingsfasen at være kendte. I udbetalingsfasen indregnes en deterministisk aldersafhængig dødelighedsrate. Formålet med analysen er at bestemme fordelingen af pensionsudbetalingen til kunden hvert år i udbetalingsfasen forudsat at kunden lever så længe. Specielt er vi interesseret i nedre fraktiler af fordelingen for at kunne give kunden et billede af hvor galt det kan gå. Analysen kræver naturligvis antagelser om fordelingen af investeringsafkastene i de enkelte år. Uanset hvilke gængse og nogenlunde rimelige antagelser der gøres om afkastfordelingerne, er det imidlertid ikke muligt analytisk at bestemme fordelingen af kundens formue på ethvert fremtidige tidspunkt og dermed heller ikke fordelingen af pensionsudbetalingen i et givet år. Fordelingerne og de ønskede fraktiler kan estimeres via relativt tidskrævende simulationsberegninger. Dette notat foreslår og diskuterer en analytisk approksimation, der er betydeligt hurtigere at bruge. Konklusioner 1. Approksimationen synes generelt at være tilstrækkelig nøjagtig.. Approksimationen giver nedre fraktiler 5% og 10%), der er lavere end de sande fraktiler, og dermed er approksimationen til den forsigtige side. 3. For relativt unge kunder med en aggressiv investeringsstrategi giver approksimationen relativt unøjagtige nedre fraktiler. 4. Anvendelsen af approksimationen vil strae usikre investeringsstrategier ved at give et mere pessimistisk billede af hvor galt det kan gå. Professor, Institut for Finansiering og PeRCent, begge ved Copenhagen Business School. cm.@cbs.dk. Internet: 1
2 Modelramme Vi har brug for at introducere lidt notation og antagelser. For at simplicere analysen en smule antager vi, at ind- og udbetalinger sker ved udgangen af hvert år, ligesom afkast kun tilskrives ved årets udgang. Desuden antager vi, at kunden har fødselsdag 1. januar. Vi lader t betegne det år, hvor kunden er t år gammel. Vi starter analysen ved udgangen af år t 0 = 4, og antager at kunden går på pension ved udgangen af år T R = 66 og maksimalt bliver T = 110 år gammel. Vi lader t være kundens opsparingsformue ved udgangen af år t, I t er indbetalingerne i ved udgangen af) år t, mens R t er bruttoafkastet på den investerede formue i år t. Ved slutningen af hvert år betales en skat lig andelen τ = 0,153 af årets afkast. Kundens initiale opsparing, altså ved udgangen af år t 0, betegnes med t0. For en nyoprettet opsparing vil dette være lig den første indbetaling t0 = I t0. Formuen udvikler sig derefter som følger igennem opsparingsfasen: t+1 = t + t R t+1 1) 1 τ) + I t+1 = I t+1 + t τ + R t+1 1 τ)) = I t+1 + t τ + t R t+1 1 τ), t = t 0, t 0 + 1,..., T R 1. 1) Vi antager som sagt at indbetalingerne I t0 +1,...,I t0 +,...,I TR eksempel kunne man antage en konstant vækstrate g, således at kendes på forhånd. For I t+1 = I t 1 + g), t = t 0, t 0 + 1,..., T R 1. ) Bemærk at den sidste indbetaling I TR sker umiddelbart inden kunden går på pension. Pensionsudbetalingerne antages at ske ved slutningen af hvert år T R + 1, T R +,..., T i form af en variabel annuitet på følgende måde. Ved begyndelsen af hvert år t > T R fastsættes den pensionsudbetaling U t, som kunden modtager ved årets slutning. Beløbet beregnes som en livrente med en given rente r var. Vi lader e νt+1) betegne sandsynligheden for at personen overlever år t + 1 givet at hun var i live ved slutningen af år t, så νt + 1) betegner dødelighedsraten. Vi bruger som udgangspunkt Finanstilsynets benchmark for den observerede nuværende dødelighed for kvinder i 015. Udbetalingen ved slutningen af år t betinget af overlevelse) bliver dermed { U t = T t 1) t 1, At 1) = exp At 1) k=1 t 1+k s=t r var + νs)) }. 3) Ved slutningen af året udbetales det lovede beløb og opsparingen opskrives med afkastet på porteføljen. Opsparingen fra ikke-overlevende kunder overføres til de overlevende kunder.
3 Formueudviklingen er derfor t+1 = e νt+1) t τ + R t+1 1 τ)) U t+1 = t {e νt+1) τ + R t+1 1 τ)) At) 1} 4) = t e νt+1) τ At) 1) + t R t+1 e νt+1) 1 τ), t = T R, T R + 1,..., T, hvor det antages at afkastet fortsat beskattes med τ. Den sidste pensionsudbetaling sker ved udgangen af år T = 110 og fastsættes til U T = e νt ) T 1. Da At 1) antages deterministisk, følger fordelingen af udbetalingen U t direkte af fordelingen af formuen t 1, som vi derfor kan fokusere på. Formuen på et givet fremtidigt tidspunkt vil afhænge af de realiserede afkast indtil da. I nansieringslitteraturen antages bruttoafkastene R t+1 typisk at være enten normalfordelte eller lognormalfordelte. Uanset hvilken af disse antagelser, der laves, vil fordelingen af den fremtidige formue imidlertid ikke være kendt. Hvis vi f.eks. itererer 1), får vi t+ = I t+ + t+1 τ + R t+ 1 τ)) = I t+ + {I t+1 + t τ + R t+1 1 τ))} τ + R t+ 1 τ)) = I t+ + I t+1 τ + R t+ 1 τ)) + t τ + R t+ 1 τ)) τ + R t+1 1 τ)). Uanset om R t+1 og R t+ antages normal- eller lognormalfordelte, vil t+ set fra tidspunkt t hverken være normal- eller lognormalfordelt, da udtrykket involverer både summer og produkter med afkastene. I tilfældet uden løbende indbetalinger og ingen skat vil lognormalfordelte afkast dog give en lognormalfordelt formue.) 3 Beregning af eksakt middelværdi og varians Lad Mt) og V t) betegne henholdsvis middelværdien og variansen af formuen ved udgangen af år t beregnet med det vi ved på tid t 0, dvs. Mt) = E t0 t, V t) = Var t0 t med startværdierne Mt 0 ) = t0, V t 0 ) = 0. Vi antager herefter, at afkastene er lognormalfordelte ln R t+1 N µt + 1) 1 ) σ t + 1), σ t + 1), og at afkastene er uafhængige over tid hvilket medfører at afkastet R t+1 er uafhængigt af formuen t. Specielt bliver E R t+1 = e µt+1), E R t+1 ) = e µt+1)+σ t+1). 3
4 Det vises i Appendix A, at middelværdien og variansen så kan bestemmes rekursivt som følger. I indbetalingsfasen, dvs. for t = t 0, t 0 + 1,..., T R 1, er Mt + 1) = I t+1 + Mt) τ + 1 τ) e µt+1)), 5) V t + 1) = V t) τ + 1 τ) e µt+1)) + 1 τ) V t) + Mt) ) ) e µt+1) e σ t+1) 1. 6) I udbetalingsfasen, dvs. for t = T R, T R + 1,..., T er Mt + 1) = Mt) e νt+1) τ + 1 τ)e µt+1) At) 1), 7) V t + 1) = V t) e νt+1) τ + 1 τ)e µt+1) At) 1) + 1 τ) V t) + Mt) ) ) e µt+1)+νt+1) e σ t+1) 1. 8) For at få et eksplicit udtryk uden rekursive beregninger) vil vi skulle lave den ganske rimelige antagelse, at indbetalingerne vokser med konstant rate g ligesom i ), men også den skrappe antagelse, at porteføljemomenterne µt) og σ t) er konstante over tid altså at porteføljen holdes konstant igennem livet. Under disse forudsætninger kan middelværdien i indbetalingsfasen eksplicit beregnes til Mt) = 0 τ + 1 τ)e µ ) t t g τ + 1 τ)e µ τ + 1 τ)e µ ) t t g) t t ) 0, 1 + g) 9) men et eksplicit udtryk for variansen ville blive ekstremt kompliceret. De rekursive beregninger er at foretrække. Vi er specielt interesseret i i) fordelingen af formuen ved indgangen til pensionsperioden, dvs. formuen TR ved udgangen af år T R, som vil have middelværdi MT R ) og varians V T R ), ii) fordelingen af pensionsudbetalingen U TR +K ved udvalgte alderstrin T R + K, og idet U TR +K = TR +K 1/AT R + K 1) har udbetalingen middelværdi MT R + K 1)/AT R + K 1) og varians V T R + K 1)/AT R + K 1). 4 Approksimation af fordelingen af den fremtidige pension Ideen er at approksimere en stokastisk variabel X med ukendt fordeling men kendt middelværdi m og kendt varians v med en lognormalfordelt variabel med samme middelværdi og varians. Approksimationen er således at sige, at ln X N a 1 b, b ), hvilket medfører, at ) EX = e a, VarX = e a e b 1, 4
5 og for at matche en middelværdi på m og en varians på v sætter vi a og b til a = ln m, b = ln 1 + ve a). Vi er interesseret i udvalgte fraktiler i fordelingen for X. Som altid er p-fraktilen deneret som tallet x p, der opfylder ProbX < x p ) = p. Anvendes lognormal-approksimationen er p = ProbX < x p ) = Probln X < ln x p ) = N ln xp a 1 b) ) b, hvor N ) er fordelingsfunktionen for en standard normalfordelt stokastisk variabel. Derfor bliver og dermed ln x p a 1 b) b = N 1 p) x p = exp {bn 1 p) + a 1 } b. 10) 5 Test af approksimationens præcision Vi betragter som udgangspunkt en kunde, der starter opsparingen ved udgangen af år 4 med en indbetaling på 45 tusinde kroner tkr), svarende til 15% af en årsløn på 300 tkr. Indbetalingerne antages at vokse realt med 1% om året. Kunden går på pension som 67-årig. Vi ser på kundens formue ved udgangen af år 66 samt udbetalingen i år 67, 77 og 87. Både de forventede værdier, standardafvigelserne og fraktilerne afhænger naturligvis af investeringsstrategien. Her ser vi på to strategier, der kombinerer aktier og obligationer på forskellig vis: I) Aggressiv strategi hvor aktieandelen er 100% indtil år 45, hvorfra den lineært nedtrappes til 50% i år 65 og fastholdes derefter. II) Forsigtig strategi hvor aktieandelen er 50% indtil år 45, hvorfra den lineært nedtrappes til 5% i år 65 og fastholdes derefter. Vi antager, at obligationer giver et sikkert afkast på 1%, mens aktier har et forventet afkast på 5% og en volatilitet på 16%. Alle størrelser er i reale termer og per år. Bruttoafkastet på porteføljen i år t antages således at være lognormalfordelt med µt) = w t 5%+1 w t ) 1% og σt) = w t 16%, hvor w t er aktieandelen i år t. I alle eksemplerne sættes annuitetsrenten i udbetalingsfasen til r var = 3%. Tabel 1 viser resultaterne af 1 million simulerede stier, den lognormale approksimation og hvor meget approksimationen afviger fra simulationerne. Med den aggressive strategi er den gennemsnitlige formue ved indgangen til pensionsfasen tkr ifølge simulationerne, mens den eksakte middelværdi som approksimationen tager udgangspunkt i er tkr, en afvigelse på 0.1%. Standardafvigelsen fra simulationerne er også meget tæt på den 5
6 eksakte værdi, som det forventes med så mange simulerede udfald. For de nedre fraktiler i formuefordelingen er approksimationen i dette tilfælde relativt unøjagtig. For 5%-fraktilen er approksimationen hele 11% under simulationerne, mens præcisionen er bedre for de øvrige viste fraktiler. Det samme mønster ses for udbetalingerne i år 67, 77 og 87. Bemærk, at approksimationen altid undervurderer de nedre fraktiler, hvilket skyldes at den sande fordeling på grund af de løbende indbetalinger bliver mere sammenpresset end lognormalfordelingen. En sådan undervurdering betyder at approksimationens bud på hvor galt det kan gå er til den forsigtige side, hvilket kan være fornuftigt givet de mange usikkerhedsfaktorer beregningsmodellen ikke tager højde for. Med den forsigtige strategi nedre del af tabel 1) er approksimationen væsentlig mere nøjagtig. Selv for 5%-fraktilen er fejlen under %. Approksimationens nøjagtighed afhænger betydeligt af usikkerheden på den antagede investeringsstrategi. Brugen af approksimationen vil i en vis forstand strae de mere usikre/aggressive strategier. Uden de løbende indbetalinger og afkast-beskatningen) ville approksimationen være eksakt. Jo større startformuen er i sammenligning med indbetalingerne, desto mere præcis vil approksimationen være. Tabel viser resultaterne for en kunde, som nu er ved udgangen af år 44. Vi antager her at kundens udgangsposition som 4-årig var ligesom beskrevet ovenfor. For eksempel er indbetalingen i år 45 sat lig de 45 tkr opskrevet med 1% i hvert af årene siden år 4. Med den aggressive strategi vil den 4-årige ovenfor have en gennemsnitlig formue ved udgangen af år 44 på tkr. Med den forsigtige strategi vil den gennemsnitlige formue være tkr. Vi bruger nu disse værdier som startformuer for den 44-årige. Som vi kan se i tabel bliver den gennemsnitlige slutformue og den gennemsnitlige årlige pension derfor stort set identisk med værdierne i tabel 1. Standardafvigelserne er naturligvis betydeligt lavere, da usikkerheden nu virker over en kortere årrække. Approksimationen er nu klart mere præcis. Med den aggressive strategi skyder approksimationen 4-5% under for 5%-fraktilen mod op til 11% i tabel 1. Med den forsigtige strategi er approksimationen yderst nøjagtig med alle fejl mindre end 1%. 6
7 Formue Pens 67 Pens 77 Pens 87 Simu Aprx Afvig Simu Aprx Afvig Simu Aprx Afvig Simu Aprx Afvig Aggressiv strategi Gnmsnit % % % % Std afv % % % % 5 pct % % % % 10 pct % % % % 5 pct % % % % 50 pct % % % % 75 pct % % % % 90 pct % % % % Forsigtig strategi Gnmsnit % % % % Std afv % % % % 5 pct % % % % 10 pct % % % % 5 pct % % % % 50 pct % % % % 75 pct % % % % 90 pct % % % % Tabel 1: Startalder 4 år med formue på 45 tkr. Formue Pens 67 Pens 77 Pens 87 Simu Aprx Afvig Simu Aprx Afvig Simu Aprx Afvig Simu Aprx Afvig Aggressiv strategi Gnmsnit % % % % Std afv % % % % 5 pct % % % % 10 pct % % % % 5 pct % % % % 50 pct % % % % 75 pct % % % % 90 pct % % % % Forsigtig strategi Gnmsnit % % % % Std afv % % % % 5 pct % % % % 10 pct % % % % 5 pct % % % % 50 pct % % % % 75 pct % % % % 90 pct % % % % Tabel : Startalder 44 år. Startformue på tkr i øverste tilfælde og tkr i nederste tilfælde. 7
8 A Udregning af eksakt middelværdi og varians Vi kan bestemme middelværdien af formuen igennem opsparingsperioden rekursivt ved at tage forventninger i 1), hvilket giver Mt + 1) = I t+1 + Mt)τ + E t0 t R t+1 1 τ) = I t+1 + Mt)τ + e µt+1) Mt) 1 τ) = I t+1 + Mt) τ + e µt+1) 1 τ), t = t 0, t 0 + 1,..., T R 1, idet E t0 t R t+1 = E t0 E t t R t+1 = E t0 t E t R t+1 = E t0 t e µt+1) = e µt+1) E t0 t = e µt+1) Mt) ved brug af loven om itererede forventninger. I udbetalingsfasen tages forventninger i 4), hvilket på tilsvarende vis giver Mt + 1) = Mt) e νt+1) τ At) 1) + e µt+1) Mt)e νt+1) 1 τ) = Mt) e νt+1) τ + 1 τ)e µt+1) At) 1), t = T R, T R + 1,..., T. Til beregning af variansen bruges den velkendte sammenhæng V t) = Var t0 t = E t0 t Et0 t ) = E t0 t Mt). I indbetalingsfasen er t+1 = I t+1 + t τ + t R t+1 1 τ)) = It+1 + t τ + t Rt+11 τ) + τ t I t τ)i t+1 t R t+1 + τ1 τ)t R t+1 og ved at tage forventninger fås E t0 t+1 = I t+1 + E t0 t τ + E t0 t R t+1 1 τ) + τi t+1 E t0 t + 1 τ)i t+1 E t0 t R t+1 + τ1 τ) E t0 t R t+1 = It+1 + E t0 t τ + E t0 t e µt+1)+σ t+1) 1 τ) + τi t+1 Mt) + 1 τ)i t+1 e µt+1) Mt) + τ1 τ)e µt+1) E t0 t = It+1 + I t+1 Mt) τ + 1 τ)e µt+1)) + E t0 t τ + 1 τ) e µt+1)+σ t+1) + τ1 τ)e µt+1)) = It+1 + I t+1 Mt) τ + 1 τ)e µt+1)) + V t) + Mt) ) τ + 1 τ) e µt+1)+σ t+1) + τ1 τ)e µt+1)), 8
9 hvor loven om itererede forventninger igen er anvendt. Dermed bliver V t + 1) = E t0 t+1 Mt + 1) = E t0 t+1 I t+1 + Mt) τ + 1 τ) e µt+1)) = V t) + Mt) ) τ + 1 τ) e µt+1)+σ t+1) + τ1 τ)e µt+1)) Mt) τ + 1 τ) e µt+1) = V t) + Mt) ) τ + 1 τ) e µt+1) ) ) + 1 τ) e µt+1) e σ t+1) 1 Mt) τ + 1 τ) e µt+1) = V t) τ + 1 τ) e µt+1)) + 1 τ) V t) + Mt) ) ) e µt+1) e σ t+1) 1. I udbetalingsfasen er t+1 = t e νt+1) τ At) 1) + t Rt+1e νt+1) 1 τ) + t R t+1 e νt+1) 1 τ) e νt+1) τ At) 1), og ved at tage forventninger fås E t0 t+1 = Et0 t e νt+1) τ At) 1) + Et0 t Rt+1 e νt+1) 1 τ) + E t0 t R t+1 e νt+1) 1 τ) e νt+1) τ At) 1) { = E t0 t e νt+1) τ At) 1) + e µt+1)+σ t+1)+νt+1) 1 τ) + e µt+1)+νt+1) 1 τ) e νt+1) τ At) 1) }. Dermed bliver V t + 1) = E t0 t+1 Mt + 1) = E t0 t+1 Mt) e νt+1) τ + 1 τ)e µt+1) At) 1) = V t) + Mt) ) { e νt+1) τ At) 1) + e µt+1)+σ t+1)+νt+1) 1 τ) + e µt+1)+νt+1) 1 τ) e νt+1) τ At) 1) } Mt) e νt+1) τ + 1 τ)e µt+1) At) 1) = V t) + Mt) ) { e νt+1) τ At) τ)e µt+1)+νt+1)) ) } + 1 τ) e µt+1)+νt+1) e σ t+1) 1 Mt) e νt+1) τ + 1 τ)e µt+1) At) 1) = V t) e νt+1) τ At) τ)e µt+1)+νt+1)) + 1 τ) V t) + Mt) ) ) e µt+1)+νt+1) e σ t+1) 1. 9
Risikoen i pensionsopsparinger efter ændring af Samfundsforudsætningerne
Risikoen i pensionsopsparinger efter ændring af Samfundsforudsætningerne Claus Munk og Jesper Rangvid 14. juni 2017 1 Indledning I notatet Samfundsforudsætningerne: Niveau, detaljeringsgrad og usikkerhed
Læs mereLP-Information XXX/18
LP-Information XXX/18 Medlemshenstilling om pensionsprognoser Resume Hermed fremsendes udkast til henstilling om selskabernes anvendelse af pensionsprognoser. Henstillingen skal efterleves for prognoser,
Læs mereNye samfundsforudsætninger: Baggrund, niveau og konsekvenser for pensionsprognoser
Nye samfundsforudsætninger: Baggrund, niveau og konsekvenser for pensionsprognoser I artiklen præsenteres og diskuteres de nye Samfundsforudsætninger til brug for pensionsprognoser, som blev offentliggjort
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereTema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.
Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1 Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler Lineære transformationer
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet March 1, 2013 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1. Ligefordelinger, fra sidst Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler
Læs mereStatistik. Hjemmeside: kkb. Statistik - lektion 1 p.1/22
Statistik Kursets omfang: 2 ECTS Inklusiv mini-projekt! Bog: Complete Business Statistics, AD Aczel & J. Sounderpandian Software: SPSS eller Excel?? Forelæser: Kasper K. Berthelsen E-mail: kkb@math.aau.dk
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen
Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,
Læs mereI dag. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) Eksempel: kobbertråd
I dag Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik SaSt) Helle Sørensen Først lidt om de sidste uger af SaSt. Derefter statistisk analyse af en enkelt
Læs mereRapport om nettoafkast på markedsrenteprodukter (privat)
Rapport om nettoafkast på markedsrenteprodukter (privat) 2006-2010 23. september 2011 BEDSTpension finansiel rådgivning ApS Centervænget 19 3400 Hillerød Indholdsfortegnelse 1. Management summary 2. Detailresultater
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte
Læs mereStatistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab. Statistisk Model
Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Statistisk Model Indhold Binomialfordeling Sandsynlighedsfunktion Middelværdi og spredning 1 Aalen: Innføring i statistik med medisinske eksempler
Læs mereLandmålingens fejlteori - Repetition - Kontinuerte stokastiske variable - Lektion 3
Landmålingens fejlteori Repetition - Kontinuerte stokastiske variable Lektion 4 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 29. april
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger
Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Kontinuerte fordelinger Ventetider i en Poissonproces Beskrivelse af kontinuerte fordelinger: - Median og kvartiler - Middelværdi - Varians Simultane fordelinger 1 Ventetider i en Poissonproces
Læs mereTeoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts.
Teoretisk Statistik, 9 marts 2005 Empiriske analoger (Kap. 3.7) Normalfordelingen (Kap. 3.12) Opsamling på Kap. 3 nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. 1 Empiriske analoger Betragt
Læs mereKilde: Pensionsindskud 1998-2010, www.skm.dk/tal_statistik/skatter_og_afgifter/668.html
Nr. 2 / December 211 En ny analyse fra PensionDanmark dokumenterer, at livrenten er den bedste form for pensionsopsparing. Over 8 pct. af pensionisterne vil leve længere end de ti år, som en typisk ratepension
Læs mereMotivation. Konfidensintervaller og vurdering af usikkerhed på estimerede størrelser
Motivation Konfidensintervaller og vurdering af usikkerhed på estimerede størrelser Rasmus Waagepetersen October 26, 2018 Eksempel: En landmåler får til opgave at måle længden λ fra A til B. Entreprenøren
Læs mere1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger
Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:
Læs mereNanostatistik: Opgavebesvarelser
Nanostatistik: Opgavebesvarelser JLJ Nanostatistik: Opgavebesvarelser p. 1/16 Pakkemaskine En producent hævder at poserne indeholder i gennemsnit 16 ounces sukker. Data: 10 pakker sukker: 16.1, 15.8, 15.8,
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Repetition:
Læs mereKonfidensintervaller og Hypotesetest
Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensinterval for andele χ -fordelingen og konfidensinterval for variansen Hypoteseteori Hypotesetest af middelværdi, varians og andele Repetition fra sidst: Konfidensintervaller
Læs mereOversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Eksponential fordelingen
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereUniversity of Copenhagen. Notat om statistisk inferens Larsen, Martin Vinæs. Publication date: Document Version Peer-review version
university of copenhagen University of Copenhagen Notat om statistisk inferens Larsen, Martin Vinæs Publication date: 2014 Document Version Peer-review version Citation for published version (APA): Larsen,
Læs mereenote 2: Kontinuerte fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher enote 2: Continuous Distributions
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 33B, Rum 9 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk Efterår
Læs mere- KONSEKVENSER FOR PENSIONSOPSPARERNE
NYE PROGNOSEFORUDSÆTNINGER - KONSEKVENSER FOR PENSIONSOPSPARERNE Per Bremer Rasmussen, adm. direktør De tidligere prognoseforudsætninger har ramt rimelig præcist 7% Gennemsnitligt årligt afkast 2005-17
Læs mereBeskatning af pensionsopsparing
Beskatning af pensionsopsparing Beskrivelse af sammensat beskatning af pensionsopsparing 19. juni 2008 Sune Enevoldsen Sabiers sep@dreammodel.dk Det Økonomiske Råds forårsrapport 2008 indeholder en analyse
Læs mere- KONSEKVENSER FOR PENSIONSOPSPARERNE
NYE PROGNOSEFORUDSÆTNINGER - KONSEKVENSER FOR PENSIONSOPSPARERNE Per Bremer Rasmussen, adm. direktør De tidligere prognoseforudsætninger har ramt rimelig præcist 7% Gennemsnitligt årligt afkast 2005-17
Læs mereLandmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/41 Landmålingens fejlteori - lidt om kurset
Læs mereDefinition. Definitioner
Definition Landmålingens fejlteori Lektion Diskrete stokastiske variable En reel funktion defineret på et udfaldsrum (med sandsynlighedsfordeling) kaldes en stokastisk variabel. - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/
Læs mere3.600 kg og den gennemsnitlige fødselsvægt kg i stikprøven.
PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 1, onsdag den 6. september 2006 Eksempel: Sammenhæng mellem moderens alder og fødselsvægt I dag: Introduktion til statistik gennem analyse af en stikprøve
Læs mereInstitut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med
Repetition: Varians af linear kombination Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - rw@math.aau.dk Antag X 1, X,..., X n er uafhængige stokastiske variable, og Y er en linearkombination af X
Læs mereTema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse.
Tema Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. (Fx. x. µ) Hypotese og test. Teststørrelse. (Fx. H 0 : µ = µ 0 ) konfidensintervaller
Læs mere1. februar Lungefunktions data fra tirsdags Gennemsnit l/min
Epidemiologi og biostatistik Uge, torsdag 3. februar 005 Morten Frydenberg, Afdeling for Biostatistik. og hoste estimation sikkerhedsintervaller antagelr Normalfordelingen Prædiktion Statistisk test (ud
Læs mereHvad er danskernes gennemsnitshøjde? N = 10. X 1 = 169 cm. X 2 = 183 cm. X 3 = 171 cm. X 4 = 113 cm. X 5 = 174 cm
Kon densintervaller og vurdering af estimaters usikkerhed Claus Thorn Ekstrøm KU Biostatistik ekstrom@sund.ku.dk Marts 18, 2019 Slides @ biostatistics.dk/talks/ 1 Population og stikprøve 2 Stikprøvevariation
Læs mereHvorfor er normalfordelingen så normal?
Hvorfor er normalfordelingen så normal? Søren Højsgaard Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet October 24, 2018 normalfordelingen så normal? October 24, 2018 1 / 13 Højde af kvinder Histogram
Læs mereEt firma tuner biler. Antallet af en bils cylindere er givet ved den stokastiske variabel X med massetæthedsfunktionen
STATISTIK Skriftlig evaluering, 3. semester, mandag den 6. januar 004 kl. 9.00-13.00. Alle hjælpemidler er tilladt. Opgaveløsningen forsynes med navn og CPR-nr. OPGAVE 1 Et firma tuner biler. Antallet
Læs mere02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4
02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4 Vejledende løsning 5.46 P (0.010 < error < 0.015) = (0.015 0.010)/0.050 = 0.1 > punif(0.015,-0.025,0.025)-punif(0.01,-0.025,0.025) [1] 0.1
Læs mereLP-information 43/18. Henstilling om pensionsprognoser
LP-information 43/18 Henstilling om pensionsprognoser 28.11.2018 Resume Hermed fremsendes henstilling om selskabernes anvendelse af pensionsprognoser. Henstillingen skal efterleves for prognoser, som gives
Læs mereTrin 1: Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H 0 : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse
Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H 0 : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ
Læs mereForelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs merePenge- og Pensionspanelet. Anskueliggørelse af investeringsomkostninger
Penge- og Pensionspanelet Anskueliggørelse af investeringsomkostninger 16. januar 2018 Denne rapport er udarbejdet af en arbejdsgruppe under Penge- og Pensionspanelet. Opgaven var at udvikle en metode
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition:
Læs mereStatistiske modeller
Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs merePENSION ER EN GAVE TIL DIG SELV. HVOR STOR SKAL DEN VÆRE? Her får du 8 gode tips til din pension.
PENSION ER EN GAVE TIL DIG SELV. HVOR STOR SKAL DEN VÆRE? Her får du 8 gode tips til din pension. Side 2 HAR DU SVÆRT VED AT GENNEMSKUE DIN PENSION? Side 3 8 TIPS OM PENSION Tip 1 - Tænk over din levealder...side
Læs mereD a n i c a L i n k u d e n u d b e t a l i n g s g a r a n t i
Anbefalingsmatricen Har du valgt Danica Link uden udbetalingsgaranti, kan du se i tabellen, hvilken -portefølje vi anbefaler dig, alt efter din risikovillighed, og det antal år der er til du skal på pension.
Læs mereNote om Monte Carlo metoden
Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at
Læs mereForelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereStikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader
Stikprøver og stikprøve fordelinger Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Statistik Statistisk Inferens: Prediktere og forekaste værdier af
Læs mereBenchmarkanalyse for privattegnede livscyklusprodukter
Benchmarkanalyse for privattegnede livscyklusprodukter 5. november 2013 BEDSTpension finansiel rådgivning Centervænget 19 3400 Hillerød 1 Indhold 1 Indhold... 2 2 Analysen... 3 3 Sammenfatning... 4 4 Forventet
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Rune Haubo B Christensen (based on slides by Per Bruun Brockhoff) DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning
Læs mereProgram: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke.
Program: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke. 1/23 Opsummering af fordelinger X 1. Kendt σ: Z = X µ σ/ n N(0,1)
Læs mereUge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 2004
1 Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 004 1. u-fordelingen. Normalfordelingen 3. Middelværdi og varians 4. Mere normalfordelingsteori 5. Grafisk kontrol af normalfordelingsantagelse 6. Eksempler 7. Oversigt
Læs mereEstimation og usikkerhed
Estimation og usikkerhed = estimat af en eller anden ukendt størrelse, τ. ypiske ukendte størrelser Sandsynligheder eoretisk middelværdi eoretisk varians Parametre i statistiske modeller 1 Krav til gode
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 3. Estimation af σ Dobbeltmålinger Geometrisk nivellement Linearisering
Landmålingens fejlteori Lektion 3 Estimation af σ Dobbeltmålinger Geometrisk nivellement Linearisering - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition: Middelværdi og
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff.
Kursus 242 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 35/324 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Afsnit 3.1-3.2 Middelværdi -Definition - Regneregler Betinget middelværdi Middelværdier af funktioner af stokastiske variable Loven om den itererede middelværdi Eksempler 1 Beskrivelse af
Læs mereBernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition Lov om total sandsynlighed Bayes sætning P( B A) = P(A) = P(AI B) + P(AI P( A B) P( B) P( A B) P( B) +
Læs mereDIN PRIVATØKONOMI I KRISETIDER, OPSPARING OG PENSION. Dansk Aktionærforening. V/ Carsten Holdum. Maj 2012. side 1
DIN PRIVATØKONOMI I KRISETIDER, OPSPARING OG PENSION Dansk Aktionærforening V/ Carsten Holdum Maj 2012 side 1 AGENDA Finanskrise Nye vilkår for din pension Opsparing i et lavrentesamfund At få drømme og
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Afsnit 3.1-3.2 Middelværdi -Definition - Regneregler Betinget middelværdi Middelværdier af funktioner af stokastiske variabler Loven om den itererede middelværdi Eksempler 1 Beskrivelse
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test]
Anvendt Statistik Lektion 6 Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test] Kontingenstabel Formål: Illustrere/finde sammenhænge mellem to kategoriske variable Opbygning: En celle for hver kombination af
Læs mereFejlforplantning. Landmålingens fejlteori - Lektion 5 - Fejlforplantning. Repetition: Varians af linear kombination. Eksempel: Vinkelberegning
Fejlforplantning Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf13 Landmåling involverer ofte bestemmelse af størrelser som ikke kan
Læs mereProgram. 1. Repetition 2. Fordeling af empirisk middelværdi og varians, t-fordeling, begreber vedr. estimation. 1/18
Program 1. Repetition 2. Fordeling af empirisk middelværdi og varians, t-fordeling, begreber vedr. estimation. 1/18 Fordeling af X Stikprøve X 1,X 2,...,X n stokastisk X stokastisk. Ex (normalfordelt stikprøve)
Læs mereLøsning eksamen d. 15. december 2008
Informatik - DTU 02402 Introduktion til Statistik 2010-2-01 LFF/lff Løsning eksamen d. 15. december 2008 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th
Læs mere4. september 2003. π B = Lungefunktions data fra tirsdags Gennemsnit l/min
Epidemiologi og biostatistik Uge, torsdag 28. august 2003 Morten Frydenberg, Institut for Biostatistik. og hoste estimation sikkerhedsintervaller antagelr Normalfordelingen Prædiktion Statistisk test (udfra
Læs mereForelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk
Læs mereStatistik Lektion 2. Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var.
Statistik Lektion Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var. Repetition Stikprøve Stikprøvestørrelse n Stikprøvemiddelværdi Stikprøvevarians s Population
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl
Landmålingens fejlteori Lektion 4 Vægtet gennemsnit Fordeling af slutfejl - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/36 Estimation af varians/spredning Antag X 1,...,X n stokastiske
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Estimation: Kapitel 9.1-9.3 Estimation Estimationsfejlen Bias Eksempler Bestemmelse af stikprøvens størrelse Konsistens De nitioner påkonsistens Eksempler på konsistente og middelrette estimatorer
Læs mereOm hypoteseprøvning (1)
E6 efterår 1999 Notat 16 Jørgen Larsen 11. november 1999 Om hypoteseprøvning 1) Det grundlæggende problem kan generelt formuleres sådan: Man har en statistisk model parametriseret med en parameter θ Ω;
Læs mereLP-information 44/18. Henstilling om risikomærkning af markedsrenteprodukter
LP-information 44/18 Henstilling om risikomærkning af markedsrenteprodukter 28.11.2018 Resume Hermed fremsendes henstilling om risikomærkning af markedsrenteprodukter. Henstillingen skal efterleves fra
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: 16. december 2003 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 18 sider Skriftlig prøve, den: 16. december 2003 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er
Læs mereAgenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede
Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede fordelinger (kap. 4) Middelværdi og varians (kap. 3-4) Fordelingsresultater
Læs mereLøsning til eksamen d.27 Maj 2010
DTU informatic 02402 Introduktion til Statistik Løsning til eksamen d.27 Maj 2010 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th edition]. Opgave I.1
Læs mereHøjde af kvinder 2 / 18
Hvorfor er normalfordelingen så normal? og er den nu også det? Søren Højsgaard (updated: 2019-03-17) 1 / 18 Højde af kvinder 2 / 18 Inddeler man i mindre grupper kan man forestille sig at histogrammet
Læs mereHvis α vælges meget lavt, bliver β meget stor. Typisk vælges α = 0.01 eller 0.05
Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ
Læs merePlanen idag. Fin1 (mandag 16/2 2009) 1
Planen idag Porteføljeteori; kapitel 9 Noterne Moralen: Diversificer! Algebra: Portefølje- og lineær. Nogenlunde konsistens med forventet nyttemaksimering Middelværdi/varians-analyse Fin1 (mandag 16/2
Læs mereNormalfordelingen og Stikprøvefordelinger
Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger
Læs mereLandmålingens fejlteori - Repetition - Fordeling af slutfejl - Lektion 8
Landmålingens fejlteori Repetition - Fordeling af slutfejl Lektion 8 - tvede@math.aau.dk http://www.math.aau.dk/ tvede/teaching/l4 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 15. maj 2008 1/13 Fordeling
Læs mereRepetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable
Normal fordelingen Normal fordelingen Egenskaber ved normalfordelingen Standard normal fordelingen Find sandsynligheder ud fra tabel Transformation af normal fordelte variable Invers transformation Repetition
Læs mereOversigt. Course 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff
Course 242/2323 Introducerende Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 22 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark
Læs mereSkatteregler for udbytte hæmmer risikovilligheden
Skatteregler for udbytte hæmmer risikovilligheden Denne analyse sammenligner afkastet ved en investering på en halv million kroner i risikobehæftede aktiver fremfor i mere sikre aktiver. De danske beskatningsregler
Læs mereRapport om nettoafkast på markedsrenteprodukter (privatkunder)
Rapport om nettoafkast på markedsrenteprodukter (privatkunder) 2006-2012 10. maj 2013 BEDSTpension finansiel rådgivning Centervænget 19 3400 Hillerød Indholdsfortegnelse 1. Management summary 2. Detailresultater
Læs mereKrystalkuglen. Gæt et afkast
Nr. 2 - Marts 2010 Krystalkuglen Nr. 3 - Maj 2010 Gæt et afkast Hvis du vil vide, hvordan din pension investeres, når du vælger en ordning i et pengeinstitut eller pensionsselskab, som står for forvaltningen
Læs mereHypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0
Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt
Læs mereOverheads til forelæsninger, mandag 5. uge På E har vi en mængde af mulige sandsynlighedsfordelinger for X, (P θ ) θ Θ.
Statistiske modeller (Definitioner) Statistik og Sandsynlighedsregning 2 IH kapitel 0 og En observation er en vektor af tal x (x,..., x n ) E, der repræsenterer udfaldet af et (eller flere) eksperimenter.
Læs mereSupplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 136
Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 36 Det er besværligt at regne med binomialfordelingen, og man vælger derfor ofte at bruge en approksimation med normalfordeling. Man
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 5 - Fejlforplantning
Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - kkb@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/30 Fejlforplantning Landmåling involverer ofte bestemmelse af størrelser som ikke
Læs mereNormalfordelingen. Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: 1 2πσ
Normalfordelingen Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: f(x) = ( ) 1 exp (x µ)2 2πσ 2 σ 2 Frekvensen af observationer i intervallet
Læs mereSkriftlig eksamen Science statistik- ST501
SYDDANSK UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Science statistik- ST501 Torsdag den 21. januar Opgavesættet består af 5 opgaver, med i alt 13 delspørgsmål, som vægtes ligeligt.
Læs mereOpgaver til kapitel 3
Opgaver til kapitel 3 3.1 En løber er interesseret i at undersøge om hendes løbeur er kalibreret korrekt. Hun udmåler derfor en strækning på præcis 1000 m og løber den 16 gange. For hver løbetur noterer
Læs mere