Investerings- og finansieringsteori, F04, ugeseddel 5

Transkript

1 25. februar 2004 Rolf Poulsen AMS Investerings- og finansieringsteori, F04, ugeseddel 5 Husk at eksamenstilmelding foregår i uge 9 & 0 (23/2-7/3). Hvis man møder op i auditorium 8 onsdag 3/3 kl. 3.5, kan man få inspiration til (InvFin-baserede) bachelorprojekter. Seneste forelæsninger Mandag 23/2: Afsnit og en anelse 5.. Onsdag 25/2: Afsnit 5. (vigtigt eksempel at forstå) og noget af det abstrakte nonsens fra 5.2; vi er lige før Definition 25. Kommende forelæsninger Mandag /3: Mere 5.2 og så 5.3 (som går hurtigt, da beviserne essentielt er de samme som i kapitel 3 og 4). Betingede middelværdier og andet fra 5.4. Onsdag 3/3: Mere kapitel 5. Øvelserne 5/3 eller 0/3 Nedenfor anførte opgaver. Hvis man kun laver en Excel(eller hvilket program, man nu godt kan li )-opgave i hele semesteret, så skal det nok være denne. På hjemmesiden ligger et regneark, man kan starte/lege med. (Til fredagsholdet: Viden til at besvare sidste dele af opgave 3 får I ihvertfald først til forelæsningen onsdag. Synes man, det er for sent, så dropper man bare spørgsmålene.) Vh, Rolf

2 Opgaver til 5. øvelsesgang. Eksamensopgave 2 Sommer 0. Man bør kunne regne opgaven/forstå pointen alene ud fra tankegangen i afsnit 5.. Når vi er igennem tilstrækkeligt meget abstrakt nonsens (5. 2 & ud) kan man måske sige tingene mere stilrent. ( Og dog!, vurderet på sidste års eksamensbesvarelser.) 2. Betragt et marked med to aktiver S 0 og S. Lad T 3 og antag P (ω) /8 for alle ω. S 0 er et pengemarkedsinstrument med konstant spotrente ρ 0. og St er defineret ud fra nedenstående træ: S 3 S 0 00 S2 56, 25 96,325 ω S ω 2 20 ω 3 S ω 4 S ω 5 90 ω 6 S ω 7 S2 64 5,2 ω 8 a) Gør rede for at den filtrering ( filtration ) F som træet respræsenterer er den mindste, der gør S -processen tilpasset. b) Er S 0 tilpasset F? c) Hvad er E(S2 F )? Hvad er E(S2 F 0 )? d) Gør rede for at når F 0 er triviel (dvs. F 0 {, Ω}), så er E(X F 0 ) E(X) for enhver F T -målelig stokatisk variabel X (det vi kompakt, og måske ikke helt stuerent, skriver som X F T ). e) Find et sandsynlighedsmål Q så processen er en Q-martingal. ( ) S t S 0 t t0,,2,3 ( S t S 0 0( + ρ) t 2 ) t0,,2,3

3 3. Betragt nedenstående graf (tyvstjålet fra R. Jarrow: Modelling Fixed Income Securities and Interest Rate Options, McGraw-Hill, 996), der viser udviklingen af obligationspriser i en 4-periode model. P (s, t) er prisen til tid s på en nulkuponobligation med udløbsdato t, s < t. Modellen stopper efter tid 4, og der er derfor færre og færre obligationer i markedet, efterhånden som tiden går. Hvordan vil du passe denne model ind i rammen fra noternes kapitel 5? Definer nøje, hvad der er dividende processer, og hvad der er prisprocesser. Hvad er spotrenteprocessen? Er modellen arbitrage-fri? Stammer de angivne sandsynligheder fra et ækvivalent martingalmål? P(,4) P(,3) etc P(0,4) P(0,3) P(0,2) P(0,) P(0,0)

4 4. (En detalje i beviset for Proposition 0 i afsnit 4.3) Lad x og y være vektorer i R n. Antag at flg. gælder z R n : x z 0 y z 0. Vis så findes der et α R (altså et reelt tal) så y αx. (Mat/øk er kan med fordel tænke tilbage på dengang, de lærte om ortogonale komplementer til lineære underrum.) Forklar vigtigheden af at der står for alle z..., ikke der findes et z..., ved at betragte x (,, 0, 0), y (0, 0,, ) og z (,,, ). 5. Den opgave giver et eksempel på hvordan man i praksis ofte vil lave/specificere en binomialmodel (for en eller anden aktiekurs). Antag vi har en interesse-horisont på 3 år. Vi ønsker at lave et binomialgitter for aktiekursens mulige udvikling. (Idet vi laver det konceptuelle kunstgreb, at det vi kalder tid-3 prisen, S(3), skal opfattes som tid-3 dividenden δ(3) hvis man har afsnit 5.2 og frem brillerne på og virkelig mener verden slutter om 3 år.) Vi gør det ved at antage, at der er n perioder per år, så der er en skridtlængde på t /n. Vi antager, at aktiekusen bevæger sig som en simpel generalisation af 2-periode modellen fra afsnit 5., dvs. op eller ned med faste faktorer u og d. Antag specifikt at p /2 (betingede op ssh.) og u exp(α t + tσ) d exp(α t tσ), hvor α & σ er kendte konstanter. Aktien udbetaler ikke dividende over den betragtede horisont. Vis at ( ) St+ t S t µ t + o( t), E P t hvor µ α + σ 2 /2, og at ( ) Var P St+ t S t t σ 2 t + o( t), S t S t hvor vi ved Var t (X) forstr E t ((X E t (X)) 2 ). (Husk fx at e x + x + x 2 /2 + O(x 3 ). På hjemmesiden ligger der et lille notat om størrelsesordensnotation, lille-o, store-o eller o/o, som man sagtens kan have styret udenom so far.) Så hvad fortæller det om fortolkningen af µ/α og σ? Giver det dig ideer til, hvordan kan vælge dem fornuftigt/estimere dem? 4

5 Sæt nu S 0 00, µ 0.07 og σ 0.5, n og at renten, r, er 5% kontinuert tilskrevet per år (hvilket jo passer med R exp(0.05/n) som per periode R ). Tegn aktiekursudviklingen op i et binomialgitter og find de risikoneutrale (betingede spring)sandsynligheder (dvs. q og q). Bestem prisen på en europæisk call-option med strikekurs 5 og udløb om 3 år. Tag nu større & større n-værdier og find call-optionsprisen. Hvad sker der; ser der ud til at være en grænseværdi? Vælg nu et andet µ, fx µ Lav ovenstånde n -eksersits en gang til. Hvordan ser grænseværdien ud til at afhænge af µ? Og hvorfor tror du, at den såkaldte Cox-Ross-Rubinstein parametrisering givet ved u, d exp(± tσ) er specielt populær i litteraturen? (Fortsættelse følger i næste uge.) Når n er stor, så er det besværligt at lave & kigge på modellerne i et regneark. Og her er vi jo alligevel kun på jagt efter et tal (nemlig call-optionsprisen). Så det må kunne gøres smartere. Og det kan det da også, Excel har nemlig et programmeringssprog indbygget: Visual Basic. Man starter det ved at trykke Alt-F (eller Tools Macros Visual Basic Editor ) Visual Basic givet bla. mulighed for at lave bruger-definerede funktioner. På hjemmesiden har jeg lagt et notat om Option Pricing with Excel ud. På side 7-8 i dette er beskrevet ret nøjagtigt hvordan binomialprisningsalgoritmen kodes (notationen er lidt anderledes; ugesedlens α hedder der µ). Algoritmen kan selvfølge laves med alt muligt andet software end Excel. Maple, R/Splus, C/Pascal, you name it. Du må naturligvis bruge lige hvad du lyster. 5