Kvantitative metoder 2

Transkript

1 Program for dag: Kvattatve metoder Iferes de leære regressosmodel 9. marts 007 Opsamlg vedr. feres e leær regressosmodel uder Gauss-Markov atagelser (W.4-5) Eksempel med flere restrktoer (F-test) Lagrage multplkator (LM) test Iferes ude MLR.5: Betydg for OLS af, hvs MLR.5 kke er opfyldt (W8.) Beregg af robuste stadardfejl og kovaras uder heteroskedastctet (W8.) KM: F3 KM: F3

2 Oversgt over OLS estmatores egeskaber Iferes de multple regressosmodel med Gauss-Markov atagelser (MLR.-5): Opsamlg Atagelser MLR-MLR4 MLR-MLR5 MLR-MLR5 Eksakt Mddelret (Theorem 3.) BLUE (effces) (Theorem 3.4) +MLR6 Normal fordelt (Theorem 4.) Asymptotsk Kosstet (Theorem 5.) Asymptotsk effces (Theorem 5.3) Asymptotsk Normalfordelt (Theorem 5.) Resultater om OLS med edelgt atal observatoer: Normaltetsatagelse eksakte t- og F-test. Asymptotske resultater for OLS: Kosstes uder MLR.-4. Asymptotsk ormalfordelt uder MLR.-5: t- og F-test begrudes approxmatvt edelgt datasæt ude at atage ormalfordelte fejlled. Adre typer af test: Lagrage multplkator testet Asymptotsk effces af OLS uder MLR.-5. KM: F3 3 KM: F3 4

3 Eksempel: U-ladsbstad (Økoometr eksame 005I) Vrker u-ladsbstade? (SAS program ad_ext.sas) Model med mål for omfaget af bstad tl e række udvklgslade og e lag række af kotrolvarabler Multpel leær regressosmodel: growth = β0 + βy0 + βethf + β3assass + β4eth _ ass + β5crge + β6mgdp β ad + β a _ polcy u 0 Hovedspørgsmål: Har varablere ad og a_polcy oge sgfkat effekt på vækste? Relevate hypoteser:. H 0 : β = 0 (effekte af bstad afhæger kke af poltk). H : β = 0 og β = 0 (ge effekt af bstad) 0 0 Alteratvt test store datasæt: LM testet Lagrage multplkator testet (eller score testet). Geerelt format: Estmato af modelle uder H 0 Resdualer fra restrkteret model, u Hjælperegresso ( auxlary regresso ) af u På hvad: afhæger af de specfkke hypotese. Kræver kke estmato af de geerelle (dvs.urestrkterede model): Oftest de prakss sværeste. LM testet ka avedes år Gauss-Markov atagelsere (MLR-MLR5) er opfyldt. KM: F3 5 KM: F3 6 3

4 LM testet: Udelukkelsesrestrktoer Specfkt eksempel: Udelukkelsesrestrkto y = β + β x + β x β x + β x β x + u 0 k q k q k q+ k q+ k k H β = = + β = 0 : k q... k 0 Restrkteret model: Uder H 0 vl varabler: x y = β0 + βx + βx βk qxk q+ u være ukorreleret med de udeladte,..., x u k q+ k LM testet: Hjælperegressoe Regresso af u på ekskluderede og kluderede varabler: x,..., k q+ xk og x,..., xk q Regstrer R fra hjælperegressoe: Ikke adet. Bereg teststørrelse LM = R LM-teststørrelse vl almdelgvs (og uaset om der atages ormalfordelte fejlled eller ej) være asymptotsk fordelt som χ ( q), hvor q er atallet af restrktoer. KM: F3 7 KM: F3 8 4

5 LM testet: I prakss Regresso af y på det restrkterede sæt af regressorer. Gem resdualere, u Regresso af u på alle forklarede varabler. Gem R Bereg LM= R Sammelg beregede testværd med relevat fraktl χ ( q) fordelge. Eller bereg p-værde for testet. Afvs H 0 hvs testet falder de krtske rego. Iferes ude MLR.5: Heteroskedastctet (W.8.-) OLS estmato uder heteroskedastctet: Kosekveser af heteroskedastctet for OLS Hvorda ka ma udføre gyldge test på grudlag af OLS-estmato, selvom der er heteroskedastctet? Korrekto af varase af OLS estmatore Geerelle hypotesetest uder heteroskedastctet Seere (efter påske): Test for heteroskedastctet Bedre (mere effcete) estmatorer ed OLS, år der er heteroskedastctet: Vægtg af observatoere: KM: F3 9 KM: F3 0 5

6 Heteroskedastctet Kosekveser af heteroskedastctet for OLS I kaptel og 3 blev atagelse om homoskedastctet troduceret: Samme varas på fejlleddet for alle Atagelse ka være temmelg restrktv prakss. Derfor vl v se på tlfælde med heteroskedastctet MLR.5 er atagelse om homoskedastctet: Vu ( x,, xk ) = σ Alteratv: Modelle lder af heteroskedastctet af ukedt form: Vu ( x) = σ V tllader altså, at fejlleddet tl hver ehed (dvd, frma, lad) har s ege varas (meget geerel form) Homoskedastctet ka ses som det specaltlfælde, hvor σ = σ for alle KM: F3 Se på smpel leær regressosmodel y = β + β x + u 0 Atagelsere MLR.- MLR.4 skrer at OLS mddelret og kosstet: Vedrører kke varase på fejlleddet. Uder MLR.-5 er OLS effcet og des varas er gvet ved det smple udtryk fra kaptel. σ x ˆ σ σ V ar( β x) = = V ar( ˆ β x) = = 0 SSTx ( x x) ( x x) = = KM: F3 6

7 Kosekveser af heteroskedastctet for OLS Kosekveser af heteroskedastctet for OLS Udreg varase af OLS estmatore, år MLR.- MLR.4 er opfyldt, me MLR.5 kke holder. Varase af OLS estmatore er det geerelle tlfælde gvet ved ( x x) σ ( x x) σ ˆ = = V( β x) = = ( SSTx ) ( x x) = Leddee tællere gves forskellg vægte, afhægg af SST led forkorter kke ud som det er tlfældet uder σ homoskedastctet KM: F3 3 Hvs MLR.5 kke er opfyldt, sger v at fejlleddee er heteroskedastske OLS estmatores egeskaber ved heteroskedastctet: + OLS stadg mddelret og kosstet (gvet MLR.-4) - Varase af OLS estmatere estmeres kke mddelret eller kosstet af de sædvalge OLS-udtryk - Kofdestervallet er kke rgtgt kostrueret - t og F-test er kke ødvedgvs t og F-fordelt, LM test er kke ødvedgvs χ fordelt (og er derfor kke påldelge) OLS er kke lægere de bedste leære mddelrette estmator (BLUE): Der fdes adre leære mddelrette estmatorer med mdre varas OLS er kke lægere asymptotsk effcet KM: F3 4 7

8 Hvorda ka ma teste modeller med heteroskedastctet? Heteroskedastctet fejlleddet betyder, at test der er baseret på OLS estmato ku er gyldge, hvs ma korrgerer stadardfejlee for heteroskedastctet. Tl det formål er der udvklet såkaldt heteroskedastctets-kosstete eller -robuste test. Atag: Modelle lder af heteroskedastctet af ukedt form: Vu ( x) = σ Idee er at opå e estmator for varase af OLS estmatore, som er kosstet selvom om der er heteroskedastctet fejlleddet. KM: F3 5 Korrekto af varase e smpel leær regressosmodel Whte (980) har vst, at uder svage betgelser vl e kosstet estmator af OLS varase være gvet ved ( x ˆ x ) u ˆ = β = ( SSTx ) Vˆ ( x), uˆ er O LS resdualet. Heteroskedastctets-robust varas og heterosk. robuste stadardfejl (Whte s stadard errors, HCSE). Bereges fx Proc Reg med optoe ACOV SAS. KM: F3 6 8

9 Korrekto af varase e multpel leær regressosmodel: Forelæsgsote Varas af OLS estmatore det geerelle tlfælde: V( ˆ β X) = V[( X ' X) X ' u X] = ( X ' X) X ' V( u X) X( X ' X) = ( X ' X) X ' ΩX( X ' X) X ' ΩX Behøver et kosstet estmat af: Σ= = σ xx ' = Whtes resultat: Estmeres kosstet af: S =Σ= ˆ uˆ xx ' = De robuste OLS varasmatrx ka derfor geerelt estmeres som: ˆ ˆ( ) ( ' ) V β X X X S ( X ' X ) = Test modeller med heteroskedastctet: Ekelt restrkto Heteroskedastctets-robust t-test af hypotese: t-teststørrelse: ˆk β λ t = HCSE hvor HCSE er heterosk. robust stadardfejl på H : 0 βk = λ t-teststørrelse er asymptotsk stadard ormalfordelt For små datasæt er t-teststørrelsere kke ødvedgvs tæt på e t-fordelg Brug af ACOV optoe SAS gver robust kovarasmatrx. HCSE bereges som kvadratrode af dagoalelemeter ˆ β j KM: F3 7 KM: F3 8 9

10 Test modeller med heteroskedastctet: Flere restrktoer Hypotese: H : Rβ = r 0 hvor β er e (k+)x vektor af parametre, R er e q x(k+) matrx og r er e q x vektor Heterosk. robust F-test ka bereges ud fra robust kovarasmatrx Heterosk. robust Wald test: Wald-teststørrelse NB er fra dee forelæsg Atagelse om homoskedastctet gver et smpelt udtryk for varase af OLS estmatorere og skrer at OLS er effcet V har set e varasestmator, der vrker ude MLR.5: Mulgt at lave feres ved hjælp af OLS estmatore (me de kke er effcet). W = R ˆ β r RVˆ ˆ β R R ˆ β r χ q ( ) '( ( ) ') ( ) ~ ( ) Det er dette test som udføres ved brug af TEST efter Proc Reg med ACOV optoe SAS KM: F3 9 KM: F3 0 0

11 Næste gag Osdag: Start på W.6: Flere emer de multple leære regressosmodel Kort om Oblgatorsk opgave KM: F3