Hvorfor n-1 i stikprøvevariansen?

Transkript

1 Erk Vestergaard Hvorfor - stkprøvevarase? Lad os sge, at e fabrk producerer e bestemt type halogepærer. Det vser sg, at levetde for e såda elpære varerer efter e ormalfordelg. Nogle elpærer vl kke holde så læge som adre vl. Det skyldes tlfældgheder bruge og produktoe. E ormalfordelg er specfceret geem to parametre: mddelværde og spredge. Lad os første omgag forestlle os, at v vdste, at mddelværde var 000 tmer og spredge var 40 tmer (fktve værder). På grud af egeskabere for ormalfordelge som dog kke skal geemgås på dette sted ka ma vse, at sadsylghede for at levetde for e tlfældg valgt elpære af ævte type højst falder spredge tl hver sde forhold tl mddelværde, er ca. 68%. På tlsvarede vs ka det vses, at sadsylghede for at Stock.com/choess elpære har e levetd, som højst falder gage spredge tl hver sde forhold tl mddelværde, er ca. 95%. Det ka skrves matematsk således: P( X ) 68% og P( X ) 95% eller med talværder dsat: P(00040X 00040) P(580 X 40) 68% P(00040X 00040) P(60 X 840) 95% hvor P læses "sadsylghede for" og X er de stokastske varabel, som agver levetde for de udtruke elpære. Spredge fortæller altså gaske meget tlfældet med e ormalfordelg. 68% af de ævte type elpærer vl altså have e levetd på mellem 580 og 40 tmer. Spredge kaldes udertde også for stadardafvgelse. Nu atager v mdlertd, at v kke keder parametree og. Altså e helt y stuato. V ka da udtrække e tlfældg stkprøve fra produktoe med heblk på at bestemme et estmat af de to parametre. E stkprøve med størrelse 5 gav følgede resultater: 70, 740, 303, 947, 66, 37, 38, 403, 546, 636, 859, 6, 73, 44, 7, 97, 605, 8, 938, 38, 845, 36, 403, 40, 984. (ehed: tmer)

2 Erk Vestergaard Det er skkert kke overraskede for de fleste, at et godt bud på mddellevetde fås ved at tage de emprske mddelværd af stkprøveværdere, som v beteger x, x,, x: () x x I dette tlfælde vl det gve følgede resultat: x ( ,0 De emprske varas () ) s fås af følgede formel: s (Stkprøvevarase) ( x x) De emprske spredg eller stadardafvgelse s (Egelsk: Stadard Devato) fås herefter ved at tage kvadratrode: (3) s ( x x) (Stkprøvespredge) I dette tlfælde fås følgede værd for stkprøvevarase: s ( 700,0) (7400,0) (3030,0) (9470,0) 5 (660,0) (370,0) (380,0) (4030,0) (5460,0) (6360,0) (8590,0) (60,0) (730,0) (440,0) (70,0) (970,0) (6050,0) (80,0) (9380,0) (380,0) (8450,0) (360,0) (4030,0) (400,0) (9840,0) 7369 og dermed stkprøvespredge: s ,4. Forskelle mellem parret og og parret x og s er, at det første par er de korrekte værder for mddelværd og varas, mes det sdste par er estmater for dsse værder. Sdstævte afhæger således af de udtruke stkprøve. For e gve kofdesgrad, ka ma agve et kofdesterval omkrg x således, at sadsylghede for, at de rgtge værd for mddelværde (dvs. er dette terval, er lg med. Noget tlsvarede ka gøres omkrg s. Det volverer dog studets t-fordelge og - fordelge, og vl være alt for omfattede at komme d på her.

3 Erk Vestergaard 3 Der er e tg, som stkker øjee, og det er udseedet af stkprøvevarase (). Det er egetlg hovedformålet med dette tllæg at redegøre for det. Umddelbart vlle det være mere aturlgt at defere de med ævere stedet for. For at forstå, hvorfor det sdste er mest foruftgt, er v ødt tl at tale ldt om begrebet e estmator. E estmator ude skævhed E estmator er e regel eller metode tl at opå et estmat for værde af e størrelse eller parameter, baseret på observeret data. Parametere ka for eksempel være mddelværde eller varase e fordelg. I det følgede vl jeg atage, at læsere er bekedt med basal teor om stokastske varable. Lad der være gvet uafhægge stokastske varable X, X,, X hver med de samme fordelg med mddelværd og varas. Ma ka tæke på X som de stokastske varabel, som agver udfaldet af de 'te "udtrækg" e stkprøve. I tlfældet med elpærere vlle X for eksempel kue agve levetde for de 'te elpære stkprøve. E estmator for mddelværde er oplagt følgede: XX X (4) X X Det er e regel eller formel, som gvet e stkprøve, ka gve et estmat for mddelværde. Estmatet fås aturlgvs ved at dsætte værdere for de stokastske varable, som v fk fra stkprøve. V ka passede kalde værdere x, x,, x. I eksemplet med elpærere vlle det være de 5 levetder. På de måde gver de emprske mddelværd x fra () et estmat for mddelværde baseret på stkprøveresultatet. Estmatore er samtdgt e stokastsk varabel, hvlket sætter os stad tl at udrege mddelværd og varas for dee va de almdelge deftoer for stokastske varable. Sætg Lad der være gvet uafhægge stokastske varable X, X,, X hver med de samme fordelg med mddelværd og varas. Da gælder følgede: a) X E( X) b) X Var( X) Bevs: V udytter leartete af mddelværde også kaldet de forvetede værd: E( X) E X X X E( X ) E( X ) E( X )

4 4 Erk Vestergaard Ved hjælp af regeregle for varase af e learkombato af uafhægge stokastske varable fås følgede resultat: Var( X) Var X X X Var( X ) Var( X ) Var( X ) Egeskabe a) udtaler, at mddelværde af estmatore er lg med de værd, som estmatore skal estmere (her ). Har e estmator e såda egeskab, kaldes de cetral. E estmator, som kke er cetral, sges at have e skævhed eller bas. Ma skal tæke på det på dee måde: De formel, som estmatore gver aledg tl, skal jo bruges tl at dsætte værder fra e stkprøve. Hver stkprøve vl ormalt gve et forskellgt estmat, me her er det altså rart, at ma teoretsk ka stole på, at stkprøver geemst vl gve de værd, der skal estmeres. Egeskabe b) sætg er også teressat. De fortæller emlg, at varase og dermed spredge for et geemst er mdre ed spredge på hver af størrelsere. Det forklarer også, hvorfor det er e god dé fysk og adre aturvdeskabelge fag at tage flere målger af de samme størrelse og tl sdst tage geemsttet. Så blver uskkerhede emlg mdre! V er u klar tl at kgge på e estmator for varase. Som bekedt er varase for e dskret stokastsk varabel med mddelværd geerelt set gvet ved et udtryk på forme: N Var( X) ( x ) P( X x) Dee gver os dée tl e oplagt kaddat tl e estmator for varase, det v udskfter P( X x ) med vægte, udskfter de ukedte mddelværd med stkprøvegeemsttet X og ellers summerer over alle elemeter stkprøve: (5) b X X X XX X X X Det skal lge tlføjes, at såfremt de stokastske varable X er uafhægge ormalfordelte stokastske varable med mddelværd og varas, så dukker (5) faktsk op som e såkaldt Maxmum Lkelhood estmator for varase, me det er e helt ade sag, som v kke skal komme ærmere d på her. V ka rolgt tage (5) som et kvalfceret gæt. V skal udersøge, om de ye estmator er cetral eller ej.

5 Erk Vestergaard 5 Sætg Varas-estmatore (6) b gvet ved (5) har bas. Nærmere bestemt gælder: Eb ( ) Bevs: I det følgede skal v gøre brug af resultatere sætg samt følgede geerelle formel for varase af e stokastsk varabel X : (7) Var( X) E( X ) ( E( X)) E( X ) Var( X) ( E( X)) Lad os rege på mddelværde af estmatore af mddelværde (de forvetede værd): Eb ( ) E ( X X) E X b, det v gør heftg brug af leartete XX X E X X X X E X X X X E X X E( X) E( X ) ( ) hvor v tredjesdste lghedsteg har beyttet de sdste dettet (7) for både de stokastske varabel X og de stokastske varabel X. Forude det er sætg brugt. Sætg fortæller os, at hvs ma bruger formle (8) x x

6 6 Erk Vestergaard tl at bestemme et estmat for varase, så vl de mddel skyde ldt uder de rgtge varas, hvs ma foretager mage stkprøver og udreger varase med formle. Det er kke optmalt. Heldgvs ka ma hurtgt rette op på det, som følgede sætg vser: Sætg 3 Estmatore S, gvet ved udtrykket edefor, er e cetral estmator for varase: XX (9) S Bevs: V beytter blot leartete af mddelværde: E( S ) E b Eb ( ) Dermed er det atydet, at formel () for stkprøvevarase er foruftg. Ma ka også studere adre egeskaber for estmatorer, me det vl v kke gøre her. E ade tg er, at forskelle på formle () og (8) kke er stor, hvs stkprøvestørrelse er stor. Som et estmat for spredge beyttes kvadratrode af stkprøvevarase fra (). Dverse kommetarer Pote : E ade tg, som ma også ka flosofere over, er følgede: Hvs stkprøve ku deholdt é målg, så ka formel (8) bruges. Me hvorda alverde vl e stkprøve på målg overhovedet kue bruges tl at vurdere spredge de oprdelge fordelg? Det gver kke meg. Formel () ka dermod kke bruges for e stkprøve beståede af ku é målg, ford ævere da vl gve 0! Så formle for stkprøvevarase er slet kke deferet for e stkprøve, som ku består af e målg. Derfor gver () meget mere meg. Pote : Et adet argumet, som ma også ofte ser fremført er, at ma skal dvdere med ford atallet af frhedsgrader udtrykket () ku er. Før v overhovedet begyder at estmere varase, har v emlg estmeret mddelværde ved hjælp af stkprøvegeemsttet x, og det koster frhedsgrad! Dermed er der ku frhedsgrader tlbage tl at estmere varase. Dette er kke svært at forstå, for keder ma værdere for x, x,, x, så gver værde af x emlg sg selv, ford ma keder geemsttet: x x( xx x ). Der er altså ku af x 'ere, der ka vareres frt. Mes argumetet med atal frhedsgrader er klar, står det kapt så klart, hvorfor ma derefter skal dvdere med atal frhedsgrader for at få formle for stkprøvevarase

7 Erk Vestergaard 7 Pote 3: Lad os gøre stuatoe med stkprøve kotra populato edu mere tydelg. V atager, at vores populato deholder N talværder. På fgure er de desude abragt på e tallje. V udtrækker ud fra populatoe e stkprøve beståede af elemeter. De er også markeret på tallje med e blå rg omkrg. På tallje er også abragt de rgtge mddelværd for populatoe. De ka v kke bestemme med stkprøve. Det bedste estmat, v ka fde for de, er geemsttet af stkprøves værder x, også kaldet de emprske mddelværd. De er markeret med blåt på tallje. Forskelle på de to ka udertde være stor, afhægg af valgt af stkprøve. N x V øsker at estmere de eksakte varas, som er: N ( x ) N (populatosvarase) Ma kue måske første omgag tæke sg at estmere de med: ( x ) hvor v u ku summerer over stkprøves elemeter. Dette estmat vlle faktsk mddel gve de rgtge varas, såfremt v foretog e mdlg over alle tækelge stkprøver. Problemet er bare, at v kke keder, så det bedste, v ka gøre, er at beytte de emprske mddelværd x som et estmat for Derved har v s ( x x) Desværre har de tlhørede estmator bas. Hvorfor dette er tlfældet, er vst smukt på e Wkpeda sde med ttle: Bessel's Correcto. Her vses det emlg, at der gælder: ( x x) ( x ) og der gælder ku lghedsteg, såfremt x. Dee ulghed ka fås frem ved at bruge oget så smpelt som kvadratet på e toleddet størrelse: ( ab) a ab b. Ma ka

8 8 Erk Vestergaard se detaljere på oveævte sde. Det er ved at udskfte med, at v har set, at de ye estmator blver cetral. Herved får v formel () for stkprøvevarase: s (Stkprøvevarase) ( x x) NB! Det skal sges, at v udgagspuktet ovefor for smpelheds skyld og for at otatoe kke blver for tug har ataget, at v har et edelgt atal elemeter N populatoe. Argumetere ka også føres geem, selv om populatoe er repræseteret ved e dskret fordelg med tællelgt mage elemeter eller edda e kotuert fordelg. Pote 4: Ma ka udersøge rmelghede af formel () for stkprøvevarase ved at foretage smulerger på e computer, dvs. programmere computere tl at udtrække et stort atal stkprøver på tlfældg vs, berege stkprøvevarase efter formle (), og så tage mddelværde af alle stkprøvevarasere med heblk på at udersøge, om resultatet er tæt på. Alteratvt ka ma vælge at kgge på fe YouTube vdeoer, der be- skrver sådae smulerger. Pote 5: Tl slut skal det lge æves, at mes S følge sætg 3 er e cetral estmator for varase, så er kvadratrode af de faktsk kke e cetral estmator for spredge! Det er dog allgevel S ma bruger som estmator for spredge. De leder tl formle (3) for stkprøvespredge. Ma ka læse om det på følgede Wkpeda sde: Ubased estmato of stadard devato.