SUPPLEMENT til Anvendt statistik

Transkript

1 SUPPLEMET tl Avedt statstk IDHOLD A BEVISER VEDRØREDE ORMALFORDELIGE 3A χ - FORDELIE 3 3B t - FORDELIGE 6 3C F - FORDELIGE 7 4A DEFIITIOER OG EKSEMPLER PÅ CETRALE OG EFFEKTIVE ESTIMATORER 9 4B BEVISER FOR FORMLER FOR KOFIDESITERVALLER 5A BEVISER FOR FORMLER I HYPOTESETEST 3 5B OC-KURVER OG DIMESIOERIG 6 7A BEVIS FOR MIDDELVÆRDI OG SPREDIG FOR HYPERGEOMETRISK VARIABEL 8 7B BEVISER FOR FORMLER I BIOMIAL- OG POISSO-TEST 9 7C BEVISSKITSE FOR TÆTHEDSFUKTIOE FOR POISSOFORDELIGE 9 BEGRUDELSE FOR GRÆSERE FOR KOTROLKORT 3 3 FORMLER TIL BEREGIG AF ESIDET VARIASAALYSE 5 4 FORMLER TIL BEREGIG AF TOSIDET VARIASAALYSE 7 5 FORMLER TIL BEREGIG AF REGRESSIOSAALYSE UDE GETAGELSER 9 5 FORMLER TIL BEREGIG AF REGRESSIOSAALYSE MED LIGE MAGE GETAGELSER 3

2 Supplemet A Bevser vedrørede ormalordelge SUPPLEMET: A BEVISER VEDRØREDE ORMALFORDELIGE x µ I detoe a ormalordelge dgår, at ( x) e π dvs ( x) og ( x) dx Bevs: Da e ekspoetalukto er postv, er ( x) x µ Substtueres t ås x dx ( ) t e dt π t Sættes I e dt ås t t t u I e dt e dt e dt e du Idøres u polære koordater t r cos v, u r sv ås π r r r r I dv e rdr π e π er e tæthedsukto, e ( t + u ) Hera ås det øskede dt du SÆTIG (Mddelværd og spredg or ormalordelg) ormalordelge mddelværde µ og spredge ( µ, ) har x µ x Bevs: E( X) e dx π x µ Substtueres t x µ + t ås t µ t t E( X) e dt + e π π dt Det ørste tegral er, da tegrade er e tæthedsukto, og det adet tegral er, da tegrade er e µ ulge ukto Følgelg er E(X) ( x µ ) 3) V( X) e dx x µ Substtueres t x µ + t ås π V( X) x µ t t t t t e dt e + e dt π π π (delvs tegrato, samt som ør at sdste tegral er )

3 Supplemet 3A χ - ordelge SUPPLEMET 3A χ -FORDELIGE χ U, U,, U Deto a -ordelge Lad være uahægge ormerede ormalordelte varable Sadsylghedsordelge or de statstske varabel χ U + U +,, U kaldes - ordelge med rhedsgradstallet og beteges χ χ ( ) Det ka vses, at tæthedsuktoe or χ ( ) er bestemt ved x x e or x> ( x) Γ ellers x t hvor Gammauktoe Γ( x) er deeret ved Γ( x) t e dt χ SÆTIG 3A (mddelværd og varas or -ordelg) - ordelge med rhedsgrader har mddelværde og varase χ E( χ ) V( χ ) Bevs: I kaptel blev det or e vlkårlg statstsk varabel X vst, at V( X) E( X ) ( E( X)) () Lad U være de ormerede ormalordelg Da E(U) og V(U) ås a regel (), at EU ( ) Idet χ U + U + + U ås a leartetsregle, at E( ) E( U ) + E( U ) + + E( U ) χ Beyttes regel () på de statstske varabel U 4 ås VU ( ) EU ( ) ( EU ( ) A detoe på mddelværd ås u π π u ( ) EU ( 4 ) u 4 ( udu ) 4 3 u e du u e d u Beyttes delvs tegrato ås: u u u EU ( 4 ) u de u du e e π π u u 3 u e du 3 u e du 3 E( U ) 3 π π 4 V har u V( U ) EU ( ) ( EU ( )) 3 Da U, U, er uahægge ås V( ) V( U ) + V( U ) +, + V( U ) U χ Specelt gælder Γ( x ) ( x )! π 3 ( x ) ( x ) or or π or x x x { 3,,,} {,,, } 3

4 Supplemet 3A χ - ordelge SÆTIG 3A (addtossætg or χ - ordelte varable) Lad χ, χ,, χk være uahægge χ - ordelte varable med rhedsgradstallee heholdsvs,,, k De statstske varabel χ χ + χ + + χk er da χ - ordelt med rhedsgradstallet k Bevs: Da hver a de k χ - ordelte varable er e sum a kvadratere på e række ormerede uahægge oralordelte χ χ varable, vl aturlgvs også være det Det samlede atal led er, hvormed sætge er bevst V vl de ølgede sætger gå ud ra, at X, X,, X er ormalordelte statstske varable med mddelværd µ og spredg Lad edvdere som sædvalg X + X + + X X Ude bevs aøres ølgede sætg: ( X X) ( X µ ), S og Sµ SÆTIG 3A3 (Uahægghed a X og S ) De statstske varable X og S er uahægge ( ) S SÆTIG 3A4 ( er χ - ordelt) ( X X) De statstske varabel ( ) S er ordelt χ ( ) Bevs: Idet ( X X) (( X µ ) + ( µ X)) (( X µ ) + ( µ X) + ( X µ )( µ X)) ( X ) + ( X) + ( X) µ µ µ ( X ) µ ( X µ ) + ( µ X) + ( µ X) X µ ) ( X µ ) + ( µ X) + ( µ X)( X µ ) ( X µ ) ( X µ ) ( X X) ( X µ ) ås X µ () 4

5 Supplemet 3A χ - ordelge µ ( X Idet ) X er e sum a kvadrerede ormerede ormalordelte varable, er de χ - ordelt med rhedsgrader µ X µ Edvdere ses, at er e kvadreret ormeret ormalordelt varabel, så de er χ - ordelt med rhedsgrad De to led () er ølge sætg 3A3 uahægge χ χ χ - ordelte varable statstske varable Da e sum a uahægge - ordelte varable atter er - ordelte ølge sætg 3A, har v deror, at ( ) S ( X µ ) Det ka edvdere vses, at - X µ er χ - ordelt SÆTIG 3A5 ( varas a S 4 og S µ ) V( S ) 4 og V( Sµ ) Bevs: ( X X) ( X X) a) A omskrvge S χ hvor χ er ordelt χ ( ), ås 4 V( S ) V ( ) ( ) χ ( X µ ) ( X µ ) b) A omskrvge Sµ χ hvor χ er ordelt χ ( ), ås 4 V( Sµ ) V ( χ ) 5

6 Supplemet 3B t - ordelge SUPPLEMET 3B t - FORDELIGE DEFIITIO a t - ordelge Lad U være ormalordelt ( ) og χ være ordelt χ ( ) Hvs U U og χ er uahægge kaldes sadsylghedsordelge or de statstske varabel t or t- ordelt med rhedsgradstallet og beteges t() χ + Γ Det ka vses, at tæthedsuktoe or t() er bestemt ved ( x) + π Γ Da (x) (- x) er t - ordelgere alle symmetrske om y akse, med E(X) x + For de statstske avedelser er ølgede sætg vgtg: X µ SÆTIG 3B ( er t-ordelt) S Lad X, X,, X være ormalordelte statstske varable med mddelværd µ og spredg Lad X S edvdere og være de sædvalge estmater or mddelværd og varas X µ De statstske varabel T er da t - ordelt t ( ) S ( X µ ) X µ X µ Bevs: V har T S S ( ) S ( ) X µ ( ) S Her er tællere ormeret ormalordelt, mes er χ - ordelt med - rhedsgrader Iølge sætg 3A3 er X og S uahægge, hvlket gør, at betgelsere er opyldt or, at T er t - ordelt 6

7 Supplemet 3C F - ordelge SUPPLEMET 3C F-FORDELIGE DEFIITIO a F-ordelge Lad χ T og χ være statstsk uahægge og ordelt heholdsvs χt χ ( T ) og χ ( ) Sadsylghedsordelge or de statstske varabel F T χ sges at være F- T F ordelt med tællerrhedsgradstallet og æverrhedsgrads-tallet og beteges (, ) T Det ka vses, at tæthedsuktoe or F( T, ) er bestemt ved T T T + Γ T x or x > T+ ( x) T Γ Γ + x T ellers og har mddelværde E( F) (or > ) ( T ) og spredge ( F) (or > 4) + ( 4) T SÆTIG 3C (relatoer vedrørede F-ordelge) a) Fp( T, ) b) F (, ) p T F p t p (, ) ( ) Bevs: a) Lad F være ordelt F(, ) Der oretages omskrvge T χ T T F, hvor F * er ordelt Hera ølger: * χ F( F, T) χ χ T T * * PF ( x) p P x p P F p P F p F * x < x Hermed er a) bevst 7

8 Supplemet 4A Detoer og eksempler på cetrale og eektve estmatorer ( ) b) Lad F være ordelt F(, ) og t være ordelt Der oretages omskrvge t χ U U F t Hera ølger: χ χ χ p PF ( x) p Pt ( x) p P( x t x) p Pt ( x) Hermed er b) bevst S SÆTIG 3C S er F ordelt Lad X og X være ormalordelte statstske uahægge ormalordelte varable,lad og betege X, X, S S stkprøvestørrelse or de to varable, og lad edvdere og være de sædvalge estmater or mddelværdere og varasere µ, µ, og S De statstske varabel F er da ordelt F- ordelt F (, ) S Bevs Ved avedelse a sætg 3A4 ås ølgede omormg: S ( ) S χ ( ) ( ) F S ( ) S χ ( ) ( ) A detoe på F- ordelge ølger da, at sætge er bevst Som et vgtgt specaltlælde ses, at hvs de to varable har samme varas, vl F S være F-ordelt F (, ) S 8

9 Supplemet 4A Eksempler på cetrale og eektve estmatorer Supplemet 4A DEFIITIOER OG EKSEMPLER PÅ CETRALE OG EFFEKTIVE ESTIMATORER Cetral estmator Et rmelgt krav tl e estmator Φ er, at Φ mddel skal ramme de ukedte parameter, dvs kke systematsk agve e or llle værd eller e or stor værd DEFIITIO a cetral estmator E puktestmator Φ sges at være cetral or ϕ hvs E( Φ ) ϕ X + X + + X Eksempelvs er X e cetral estmator, da v kaptel ast 6 vste, at E( X) µ Eektv estmator Bladt de cetrale estmatorer har estmatorer med e llle varas særlg teresse Har ma således cetrale estmatorer or de samme parameter, vl ma aturlgt vælge de med mdst varas Ma sger, at e såda estmator er mere eektv ed de ade DEFIITIO a eektv estmator E cetral estmator Φ kaldes e eektv estmator or ϕ, hvs V ( Φ) or E eektv estmator vl altså or stor stkprøvestørrelse have både de rgtge mddelværd og llle varas ( X ) Eksempelvs er X e eektv estmator, da v kaptel ast 6 vste, at ( X ), og det dera ølger, at ( X ) or Der vl u blve bevst, at de estmatorer v tdlgere har beyttet, er såvel cetrale som eektve SÆTIG 4A (cetrale estmatorer) Lad X være e statstsk varabel med mddelværd µ og varas Lad X, X,, X, være e stkprøve a størrelse ra X X + X + + X a) X er e cetral estmator or mddelværde µ : X X b) S er e cetral estmator or varase ( ) X µ c) Sµ er e cetral estmator or varase ( ) X X d) S er kke e cetral estmator or varase ( ) Bevs: a) I kaptel ast 3 vste v, at E( X) µ, dvs X er cetral b) Som e del a bevset or sætg 3A4 vste v, at ( X X) ( X µ ) ( X µ ) 9

10 Supplemet 4A Detoer og eksempler på cetrale og eektve estmatorer Hera ås ES ( ) E c) ES ( µ ) E ( X X) E( X µ ) E( X µ ) V X V X V X V ( X ) ( ) ( ) ( ) V( X), dvs S er cetral ( X µ ) E( X µ ) V( X) ( X X) d) ES ( µ ) E E( X µ ) E( X µ ) V X V X V X V ( X ) V X ( ) ( ) ( ) ( ) SÆTIG 4A (eektve estmatorer) Lad X være e statstsk varabel med mddelværd µ og varas Lad X, X,, X, være e stkprøve a størrelse ra X X + X + + X a) X er e eektv estmator or mddelværde µ : X X b) S er e cetral estmator or orudsat X er ormalordelt ( ) X µ c) Sµ er e eektv estmator or orudsat X er ormalordelt og er kedt ( ) µ d) Forudsat µ er kedt vl S µ være e mere eektv estmator ed S or varase ( X ) Bevs: a) I kaptel ast 6 blev det bevst, at ( X ) Hera ølger at ( X ) or 4 b) I kaptel 3 sætg 3A5 blver det bevst, at V( S ) Hera ølger, at ( S ) or 4 c) I kaptel 39 sætg 3A5 blver det bevst, at V( Sµ ) Hera ølger, at ( S ) or µ 4 4 d) Da V( Sµ ) < V( S ) har S e mdre varas ed µ S

11 Supplemet 4B Bevser or ormler or kodestervaller Supplemet 4B Bevser or ormler or kodestervaller V vl dette supplemet bevse de 4 ørste ormler or kodestervaller der des appedx 4 Lad de ølgede sætg X være e ormalordelt statstsk varable med mddelværd µ og spredg, og lad X, X,, X være e stkprøve a størrelse ra X Lad edvdere som sædvalg X + X + + X X X X X µ, S og µ ( ) ( ) S SÆTIG 4 B ( β % kodestervaller or ormalordelte varable ) Lad β ) Kodesterval or µ, hvs er kedt: x u µ x+ u, hvor u er raktle de ormerede ormalordelg s s ) Kodesterval or µ, hvs er ukedt: x t ( ) µ x+ t ( ), hvor t er raktle t-ordelge med - rhedsgrader ( ) 3) Kodesterval or, hvs µ er kedt: ( ) s + ( x µ ) ( ) s + ( x µ ) χ ( ) χ ( ) hvor ( ) og χ ( ) er heholdsvs og raktle χ - ordelge med χ rhedsgrader 4) Kodesterval or, hvs µ er ukedt: ( ) s ( ) s, χ ( ) χ ( ) hvor ( ) og χ ( ) er heholdsvs og raktle χ - ordelge med χ - rhedsgrader, Bevs: ) Er kedt vl U X µ være ormeret ormalordelt ( µ, ) Da U - ordelge er symmetrsk omkrg, har v ølgelg, at P u U u eller β P u X µ Idet u u u X µ u X u µ X + u er pukt bevst X µ u β

12 Supplemet 4B Bevser or ormler or kodestervaller X µ ) I kaptel 3 aørte v, at T er t - ordelt med - rhedsgrader De samme regger som uder pukt s ka u geemøres, hvlket er sket ved bevset or sætg 4 Hermed er pukt bevst X µ 3) Iølge bevset or sætg 3A4 er Sµ ( ) χ - ordelt med rhedsgrader ( X µ ) V har ølgelg at P χ ( ) Sµ χ ( ) β eller P χ ( ) χ ( ) β Ige ølge bevset or sætg 3A4 er ( X µ ) ( ) S + ( X µ ) ( ) S + ( X µ ) Idsættes dette oveståede ulghed ås: χ ( ) χ ( ) ( ) S + ( X µ ) χ ( ) + ( ) S ( X µ ) ( ) S + ( X µ ) χ ( ) χ ( ) χ Hermed er ormel 3 bevst 4) ( ) S Iølge bevset or sætg 3A4 er χ χ - ordelt med - rhedsgrader V har ølgelg at P χ( ) χ χ ( ) β eller P χ ( ) χ ( ) β Idet ( ) S χ ( ) χ ( ) χ ( ) ( ) S χ ( ) ( ) S χ ( ) ( ) S χ ( ) er ormel 4 bevst ( ) S ( )

13 Supplemet 5A Bevser or ormler hypotesetest SUPPLEMET 5ABEVISER FOR FORMLER I HYPOTESETEST Lad X være e ormalordelt statstsk varable med mddelværd µ og spredg, og lad X, X,, X være e X X X + X + + X stkprøve a størrelse ra X Lad edvdere som sædvalg X og S ( ) Lad testee alle have sgkasveauet Testormler appedx 5 ( ukedt og erstattes a s) X µ I sætg 3B vste v, at såremt :µ µ er sad, er T t- ordelt med - rhedsgrader Dette beyttes det ølgede H Række : ulhypotese : µ µ Alteratv hypotese H:µ µ H A oveståede og a detoe på sgkasveau remgår, at H orkastes, såremt X µ p P( T t) <, hvor T, og T er t - ordelt med - rhedsgrader s s > Række : ulhypotese : µ µ Alteratv hypotese H:µ µ H X µ H orkastes, såremt p P( T t) <, hvor T, og T er t-ordelt med - rhedsgrader Række 3: ulhypotese H :µ µ Alteratv hypotese H:µ µ Iølge detoe på sgkasveau, orkastes H både år x er så stor, at PT ( t) <, og år < x er så llle, at PT ( t) < X µ, hvor T og T er t -ordelt med - rhedsgrader Række 4: ulhypotese H : µ µ Alteratv hypotese H:µ > µ Da PT ( t) < PT ( < t) < PT ( < t) > t> t ( ) er påstade bevst Række 5: ulhypotese H : µ µ Alteratv hypotese H:µ < µ Da PT ( t) < t< t( ) t< t ( ) (da t-ordelge er symmetrsk om, se gur 5) er ormle bevst Række 6: ulhypotese H :µ µ Alteratv hypotese H:µ µ Hvs x µ ka reggere uder række 4 getages, og v år t > t ( ) x < µ Hvs ka reggere uder række 5 getages, og v år t < t ( ) Geerelt ås deror, at t > t ( ) og dermed er ormle bevst s s Fg 5 t- ordelg 3

14 Supplemet 5A Bevser or ormler hypotesetest Testormler appedx 5 ( atages kedt) Lad Y være ordelt µ, Række : ulhypotese H : µ µ Alteratv hypotese H:µ > µ Iølge detoe på sgkasveau, orkastes H såremt p P( Y x) < Række : ulhypotese H : µ µ Alteratv hypotese H:µ < µ Iølge detoe på sgkasveau, orkastes H såremt p P( Y x) < Række 3: ulhypotese H :µ µ Alteratv hypotese H:µ µ Iølge detoe på sgkasveau, orkastes H både år x er så stor, at PY ( x) < (se gur 5), og år x er så llle, at PY ( x) < Række 4: ulhypotese H : µ µ Alteratv hypotese H:µ > µ x PY ( x) < PY ( < x) < µ < Φ Φ ( x µ ) > > u u ( x µ ) hvor u Række 5: ulhypotese H : µ µ Alteratv hypotese H:µ < µ ( x µ ) ( x µ ) p P( Y x) < Φ < u< u hvor u Da u u er påstade bevst Række 6: ulhypotese H :µ µ Alteratv hypotese H:µ µ Hvs x > µ ka reggere uder række 4 getages, og v år u> u Hvs x < µ ka reggere uder række 5 getages, og v år u< u Geerelt ås deror, at u > u og dera ormle Testormler appedx 53 or varas ( µ ukedt) I kaptel 3 sætg 3A vste v, at såremt χ - ordelt med - rhedsgrader I det ølgede vl v edvdere atage, at Q er H : er sad, er χ χ - ordelt med - rhedsgrader ( X ) X ( ) S Række : ulhypotese H : Alteratv hypotese H: > A oveståede og a detoe på sgkasveau ås, at H orkastes, såremt ( ) s p P( Q χ ) <, hvor χ Hera ølger ormle Række : ulhypotese H : Alteratv hypotese H: < A oveståede og a detoe på sgkasveau ås, at H orkastes, såremt p P( Q χ ) <, ( ) s hvor χ Hera ølger ormle Række 3: ulhypotese H : Alteratv hypotese H: Iølge detoe på sgkasveau, orkastes H både år χ er så stor, at PQ ( χ ) <, og år χ er så llle, at ( ) s PQ ( χ ) <, hvor χ Hera ølger ormle Række 4: ulhypotese H : Alteratv hypotese H: > PQ ( χ ) < PQ ( < χ ) < PQ ( < χ ) > χ > χ ( ) 4

15 Supplemet 5A Bevser or ormler hypotesetest Række 5: ulhypotese H : Alteratv hypotese H: < Da PQ ( χ ) < χ < χ ( ) er ormle bevst Række 6: Da E( χ ), hvor - er rhedsgradstallet, ås: Hvs χ > - ka reggere uder række 4 getages, og v år χ > χ ( ) Hvs χ < - ka reggere uder række 5 getages, og v år χ < χ ( ) Hermed ås ormle Testormler appedx 54 or varas ( µ kedt) ( X µ ) I orbdelse med bevset or sætg 3A4 blev vst, at såremt H : er sad, er χ χ - ordelt med rhedsgrader Edvdere adt v, at ( X µ ) ( ) S + ( X µ ) I det ølgede vl v edvdere atage, at Q er χ - ordelt med rhedsgrader Række : ulhypotese H : Alteratv hypotese H: > A oveståede og a detoe på sgkasveau ås, at H orkastes, såremt p P( Q χ ) <, ( ) s + ( x µ ) hvor χ Hera ølger ormle Række : ulhypotese H : Alteratv hypotese H: < A oveståede og a detoe på sgkasveau ås, at H orkastes, såremt ( ) s + ( x µ ) p P( Q χ ) <, hvor χ Hera ølger ormle Række 3: ulhypotese H : Alteratv hypotese H: Iølge detoe på sgkasveau, orkastes H både år er så stor, at PQ ( χ ) <, og år χ er så llle, at ( ) s + ( x µ ) PQ ( χ ) <, hvor χ Hera ølger ormle Række 4: ulhypotese H : Alteratv hypotese H: > PQ ( χ ) < PQ ( < χ ) < PQ ( < χ ) > χ > χ ( ) Række 5: ulhypotese H : Alteratv hypotese H: < Da PQ ( χ ) < χ > χ ( ) er ormle bevst Række 6: ulhypotese H : Alteratv hypotese H: Da E( χ ), hvor er rhedsgradstallet, ås Hvs χ > ka reggere uder række 4 getages, og v år χ > χ ( ) Hvs χ < ka reggere uder række 5 getages, og v år χ < χ ( ) Hermed ås ormle χ 5

16 Supplemet 5B OC- kurver og dmesoerg SUPPLEMET 5B OC-KURVER OG DIMESIOERIG Forudsætg som appedx 5 Række : Alteratv hypotese ( atages kedt) H: µ > µ I sætg 5 og 5 udledes ormler or OC-kurve og atal getagelser tlældet, der svarer tl dette tlælde Som det ses det ølgede orløber de tlsvarede bevser de øvrge storrækker gaske aalogt Række : Alteratv hypotese H:µ < µ ( atages kedt) OC-kurve: x µ H accepteres på sgkasveau, hvs u x µ + u Er de sade mddelværd µ, er U X µ ormalordelt med mddelværd og spredg u V har deror, at µ + µ P( type II ejl ) P X + u P X u µ < µ + Φ µ + + µ µ µ Φ u Φ u µ µ dvs a( µ ) Φ u + < µ µ µ µ µ µ Dmesoerg: A ormle or OC kurve ås, det da : a( µ ) u β, dvs + + Φ Φ + + β u u u + u ( u β + u ) ( u β + u ) H :µ µ H :µ µ u β β Række 3: ulhypotese Alteratv hypotese ( atages kedt) OC-kurve: H accepteres på sgkasveau, hvs x µ u u µ + u x µ + u Er de sade mddelværd µ, er U X µ ormalordelt med mddelværd og spred-g V har deror, P( type II ejl ) P µ + u X µ + u P X < µ + u P X < µ + u µ + µ µ + µ u u Φ Φ µ + + µ µ µ Φ u Φ u µ µ µ µ dvs a( µ ) u u + + Φ Φ 6

17 Supplemet 5B: OC-kurver og dmesoerg Dmesoerg: Atages blver sdste led ormle or OC-kurve ca, og v år samme ormel som uder storrække µ > µ µ µ < Atages blver ørste led ormle or OC-kurve ca, og v år samme ormel som uder storrække I begge tlælde er dog erstattet a Dmesoergsormle blver deror de samme som ør, hvor blot er erstattet a Dmesoerg svarede tl orudsætg appedx 5 (spredg ukedt) E dmesoerg a orsøget er e del a orsøgsplalægge Ma har deror edu kke oretaget ogle orsøg, og keder deror kke stkprøves spredg s Ka ma ud ra tdlgere lgede orsøg vurdere, at spredge kke blver større ed, må dette bruges Da dmesoerge ku ahæger a orholdet d, ka ma også øjes med at agve et skø or dette orhold Øsker ma eksempelvs at kue opdage selv relatvt små orskelle mddelværde, ka d sættes tl et tal mdre ed, mes øskes ku at de relatvt store orskelle mddelværde ka d eksempelvs sættes tl år ma skal de sadsylghede or e type II ejl, år ma brug or at kede ordelge a størrelse X µ T år H er alsk S :µ µ Hvs de sade værd a mddelværde er µ µ +, ka T skrves X µ T S ( X ( µ + )) S U + W Da U er ormeret ormalordelt, og er e kostat orskellg ra ul, er tællere ormalordelt med mddelværd ( ) S og spredg ( ) W er χ ordelt med - rhedsgrader De resulterede ordelg or T kaldes de kke-cetrale t - ordelg med - rhedsgrader Dee ordelg har e yderst besværlg tæthedsukto, så e ærmere beregg a P(type II ejl) og dmesoerg a orsøg må sædvalgvs oretages ved beyttelse a edb I edeævte otat er et appedx er der således gegvet et Maple-program, som ka oretage dsse beregger For ote orekommede værder a parametree er der tabel 8 udarbejdet e dmesoergstabel Dmesoerg svarede tl orudsætg appedx 53 tl 56 Dsse begreber vl kke blve geemgået her, me ma ka eksempelvs Statgraphcs uder meupuktet Descrbe, og dereter Sample Sze Determato å et orslag tl dmesoerg a orsøget 7

18 Supplemet 7A Bevs or mddelværd ogspredg or hypergeometrsk ordelg SUPPLEMET: 7A Bevs or mddelværd og spredg or hypergeometrsk varabel Bevset or sætg 73 orudsætter, at ma ørst læser kaptel 9 SÆTIG 73 (mddelværd og spredg or de hypergeometrske ordelg ) De hypergeometrske ordelg h (, M, ) har E( X) pog V( X) p ( p), hvor p M Bevs: Lad os betragte statstske varable X, X,, X, hvor X hvs ' te udtrækggversort kugle ellers X X + X + + X er hypergeometrsk ordelt h (, M, ) M M V har P( X ) p or alle Hera ølger E( X ) p+ ( p) p, og V( X ) ( p) p+ ( p) ( p) p p p ( p) A leartetsregle kaptel ast 6, ås E( X) E( X ) + E( X ) + E( X ) + + E( X ) p+ p+ p+ + p p 3 Som det remgår a ast 9 gælder V( X, X ) E( X X ) E( X ) E( X ) j j j P(( X ) ( X )) p p P( X ) P( X X ) p j j M M p p M p p M M M p p ( ) p A kvadratregle (ast 93): V( X) V( X V X X p p p p ) + (, j) ( ) + < j ( ) p + p ( p) p p ( p) p ( p) 8

19 Supplemet 7B: Bevser or ormler bomal- og Possotest SUPPLEMET: 7B BEVISER FOR FORMLER I BIOMIAL- OG POISSO- TEST Testormler appedx 55 or parameter p bomalordelg Lad X være e bomalordelt varabel b(, p), hvor er kedt og p ukedt Lad x være e stkprøveværd på X Lad Y være ordelt b (, p ), hvor p er e gve kostat Det erdres om, (se evetuelt appedx 7), at or 9 p og 5 p 5 ka ma approksmere bomalordelge bp (, ) med ormalordelge ( µ, ),hvor µ p og p ( p) Række : ulhypotese H: p p Alteratv hypotese Hp : > p, Iølge detoe på sgkasveau, orkastes H, såremt p P( Y x) < Række : ulhypotese H: p p Alteratv hypotese Hp : < p, Iølge detoe på sgkasveau, orkastes H såremt p P( Y < x) < Række 3: ulhypotese H: p p Alteratv hypotese Hp : p Iølge detoe på sgkasveau, orkastes H både år x er så stor, at PY ( x) <, og år x er så llle, at PY ( x) < Da EY ( ) pølger hera ormle Række 4: ulhypotese H: p p Alteratv hypotese Hp : > p, Er betgelsere or approksmato med ormalordelge opyldt, gælder x p PY ( x) < PY ( < x) < Φ p ( p ) < Φ x p, hvor > > x p u u u p ( p ) p ( p) Række 5: ulhypotese H: p p Alteratv hypotese Hp : < p, Er betgelsere or approksmato med ormalordelge opyldt, gælder x p PY ( x) < Φ, p ( p ) < u< u u< u hvor u x p p ( p ) Række 6: ulhypotese H: p p Alteratv hypotese Hp : p Er betgelsere or approksmato med ormalordelge opyldt, haves Hvs x p ka reggere uder række 4 getages, og v år u> u Hvs x< p ka reggere uder række 5 getages, og v år u< u Geerelt ås deror, at u > u og dermed ormle 9

20 Supplemet 7A Bevs or mddelværd ogspredg or hypergeometrsk ordelg Testormler appedx 56 or parameter µ Possoordelg Lad X være e Possoordelt varabel p( µ ), hvor µ er ukedt Lad der orelgge e stkprøve på X a størrelse med geemst x Lad Y være ordelt p ( µ ), hvor µ er e gve kostat Det erdres om, (se evetuelt appedx 7), at or µ ka ma approksmere Possoordelge p ( µ ) med ormalordelge ( µ, µ ) Række : ulhypotese H : µ µ Alteratv hypotese H:µ > µ Iølge detoe på sgkasveau, orkastes H, såremt p P( Y x) < Række : ulhypotese H : µ µ Alteratv hypotese H:µ < µ, Iølge detoe på sgkasveau, orkastes H såremt p P( Y x) < Række 3: ulhypotese H : µ µ Alteratv hypotese H:µ µ Da EY ( ) µ ølger hera ormlere dee række Række 4: ulhypotese H : µ µ Alteratv hypotese H:µ > µ Er betgelsere or approksmato med ormalordelge opyldt, gælder x PY ( x) < PY ( < x) < µ Φ µ < Φ x µ, hvor > u > x u u µ µ µ Række 5: ulhypotese H : µ µ Alteratv hypotese H:µ < µ, Er betgelsere or approksmato med ormalordelge opyldt, gælder x PY ( x) < + µ hvor µ < x Φ u< u u< u u + µ µ Række 3: ulhypotese : µ µ Alteratv hypotese H:µ µ H Er betgelsere or approksmato med ormalordelge opyldt, haves Hvs x µ ka reggere uder række 4 getages, og v år u> u Hvs x < µ ka reggere uder række 5 getages, og v år u< u Geerelt ås deror, at u > u og dermed ormle

21 Supplemet 7C Bevssktse or tæthedsuktoe or Possoordelge SUPPLEMET: 7C BEVISSKITSE FOR TÆTHEDSFUKTIOE FOR POISSOFORDELIGE SÆTIG 7 (Possoordelg) Lad X være e stokastsk varabel, som agver atallet a mpulser et gvet tdsrum (eller areal, volume, produktosehed osv), det ethvert tdspukt tdsrummet har samme mulghed or at være mpulstdspukt som ethvert adet tdspukt Edvdere skal mpulsere dtræe tlældgt og uahæggt a hade * ) Hvs det geemstlge atal mpulser tdsrummet er µ >, så sges X at være Possoordelt p ( µ ) med sadsylghedsordelge (tæthedsuktoe) (x) P(X x) bestemt ved x µ µ ( x) e or x {,,,} x! ellers Mddelværde or p( ) er E ( X ) og spredge er ( X ) µ µ µ I ormulerge a de oveævte betgelser ka eter behov "et llle tdsrum l ", "et llle areal A" eller "et llle volume V" t" erstattes med "e llle lægde *) Præcs ormulerg: Følgede 3 betgelser skal være opyldt: ) Sadsylghede or etop é mpuls et meget llle tdsrum t er med tlærmelse proportoal med t P (Matematsk ormulerg lm ( X ) λ ( λ er e postv kostat) t t ) Sadsylghede or eller lere mpulser det meget llle tdsrum t er llle sammelget med t P (Matematsk ormulerg lm ( X > ) ) t t 3) Atal mpulser orskellge, kke overlappede tdsrum er statstsk uahægge Bevssktse: Lad µ være det geemstlge atal mpulser tdsrummet [ ; T], og lad X være det aktuelle atal mpulser samme tdsrum T Itervallet [ ;T ] opdeles deltervaller t Iølge orudsætg er det mulgt at vælge t så llle, at sadsylghede or at mere ed mpuls dtræer t sekuder er praktsk taget I t sekuder ka deror ku ske tg: A: etop mpuls, eller A : etop mpulser X er deror bomalordelt b (, P(A) ) µ µ T µ Da der T sekuder geemst er µ mpulser, vl der t sekuder være t mpulser T T V har deror P( A) µ V oretager u ølgede omormg: µ x x x ( ) ( x ) P( X x) x x + µ µ µ x! µ x

22 Supplemet 7C Bevssktse or tæthedsuktoe or Possoordelge µ x l ( ) ( x+ ) e x x x! µ µ µ l x µ x 3 e x x! µ µ l For vl tæller og æver brøke gå mod Ma ka deror bruge l Hosptals regel µ V år ved deretato a tæller og æver: ( µ ) µ or µ µ x x µ µ µ µ V har deror, at P( X x) or x! e x! e Idet bomalordelge har mddelværde E( X) p µ og spredge µ ( X) p ( p) µ, ås or, at Possoordelge har mddelværde µ og spredge µ

23 Supplemet 9 Begrudelse or græsere or kotrolkort Supplemet: 9 Begrudelse or græsere or kotrolkort V daer k udergrupper hver med observatoer Gruppe Observatoer Geemst Varatosbredde Spredg k Total Græser or R - kort Det ka bevses, at og, hvor og ku ahæger a stkprøvestørrelse Dsse kostater samt alle de det ølgede ævte kostater ka alæses tabel 9 Tabel 9: Kotrolkort - R - kotrolkort Procesvarable X er ormalordelt Procestlstad Ceterle edre kotrolgræse Øvre kotrolgræse Estmater Kedt: -kort R - kort Ukedt: -kort R - kort - s - kotrolkort Procesvarable X er ormalordelt Kedt -kort s - kort Ukedt -kort s - kort 3

24 Supplemet 9 Begrudelse or græsere or kotrolkort Tabel 9 Kostater tl astlæggelse a kotrolgræser ved hjælp a s-kort - kort R - kort s - kort - kort, R - kort og A A A 3 d d 3 D D D 3 D 4 c 4 B 3 B 4 B 5 B , Et R - kort med - græser er deror bestemt ved : Idet et estmat or, ås Idsættes dette, ås Græser or s - kort Selv om der gælder, at, gælder det kke, at Ma ka mdlertd vse, at Følgelg er et s - kort med - græser bestemt ved : Idet et estmat or, ås Idsættes dette, ås Græser or - kort Idet, er et - kort med - græser: Beyttes et R - kort er, og dermed Beyttes et s kort er, og dermed 4

25 Supplemet 3 Formler tl beregg a esdet varasaalyse Supplemet 3 Formler tl beregg a esdet varasaalyse I dee oversgt vses hvorledes ma ka berege e esdet varasaalyse, blot ma har e lommereger der ka berege geemst og spredg For hvert observatossæt udreges geemst og spredg Faktor Observatoer Geemst Spredg R x, x, x 3,, R x, x, x 3,, R 3 x 3, x 3, x 33,, R r x r, x r, x r3,, Forudsætg: x j - værdere er uahægge observatoer a statstsk uahægg ormalordelte varable X med mddelværd og samme varas Beregger: Lad Der bereges et vægtet geemst a varasere (vægtet eter rhedsgradere) Sdste omskrvg ølger a, at er varase or orsøgsejle eller på egelsk error V har u Hera ås har - r rhedsgrader Ma dtaster alle målger og bereger varase Ma ka vse, at SAK R + SAK e SAK total og at det tlsvarede gælder or rhedsgradere Tallee dsætes u tradtoelt e såkaldt varasaalysetebel, og P-værde bereges Varasaalysetabel: (AOVA Aalyss O VArace) Varato (Source) SAK (SS) (d) P - værd Behadlger (Betwee groups) SAK R r - Getagelser (Wth groups) (error) SAK e - r Total SAK total - Testprocedure ulhypotese: Lad være sgkasveau H orkastes, hvs P - værd, hvor Z er F - ordelt Kodestervaller: Lad Kodesterval or : LSD Kodesterval or : Varashomogetet Test or, at de varable Y har samme varas a) Smplceret F-test Lad de største værd a de k estmerede varaser være og de mdste være Bereg teststørrelse 5

26 Supplemet 3 Formler tl beregg a varasaalyse Lad Y være F - ordelt med rhedsgradere H orkastes, hvs P - værd Hvs ulhypotese accepteres, så atages kravet om varashomogetet at være opyldt Hvs ulhypotese orkastes, må avedes e test med større styrke såsom Bartletts test eller Leves test b ) Bartletts test Dee test er bereggsmæssgt vaskelg, og har de svaghed, at de er særdeles ølsom overor avgelser ra ormaltet Bereg teststørrelse Lad Y være - ordelt med rhedsgrade k - H orkastes, hvs P - værd c) Leves test God test, som mdlertd kræver mere ed getagelser Lad, hvor er medae a de getagelser a te behadlg Ma udører e sædvalg esdet varasalyse på tallee Meda a e række tal Tallee ordes voksede rækkeølge: Ulge atal tal: meda mdtertal bladt de ordede tal, Lge atal tal: meda geemst a de to mdterste bladt de ordede tal Eksempel: T 8,,,, E esdet varasalyse på gver T 5,, 9 9 4,, T F 5, og dermed 3 8,, 3 3,, P -værd 985, dvs e accept a ulhypotese T 4 7, 9, 7,, 5 Forklarg på kostrukto a ormalordelgsplot Et koordatsystemet har e lodret akse, hvor ddelge er ormalordelt, dvs ordelgsuktoe or e ormeret ormalordelg vl dette koordatsystem blve e ret le I dette koordatsystem placeres resdualere som vst: Lad resdualere (ra eksempel 3) -,,, -3,,, 7,-3, -3,, 3, -4 De ordes rækkeølge og ma bereger deres komulatve rekves Resdualer x % Hvs resdualere er aproksmatvt ormalordelt burde puktere (x,y) asat koordatsystemet tlærmelsesvs lgge på e ret le 6

27 Supplemet 4 Formler tl beregg a tosdet varasalyse Supplemet 4 Formler tl beregg a tosdet varasaalyse I dee oversgt vses hvorledes ma ka berege e tosdet varasaalyse, blot ma har e lommereger med geemst og spredg Som taleksempel beyttes eksempel 4Forsøgsresultatere er ølgede: Karburator Olebladg K K O O O Beregg a geemst Karburator K K Rækkegeemst O Olebladg O O Søjlesum Atal rækker r 3, Atal søjler q, Atal delorsøg celler Atal delorsøg række Atal delorsøg søjle Atal celler, Totalt atal orsøg Spredg på de r rækkegeemst: Spredg på de q søjlegeemst: Spredg på de r q cellegeemst: Beregger: Opstllg a varasaalysetabel: Varato SAKSS Rækkeaktor R : Olebladg Søjleaktor C : Karburator Vekselvrkg R*C SAK R SAK C 675 SAK RC Getagelser (resdual, error) Total SAK e 36 6 Test: Lad være sgkasveau ) H orkastes, hvs P - værd, hvor Z er F - ordelt a) Hvs H orkastes, så opstlles kodestervaller tl ærmere vurderg a aktoreres vrkg b) Hvs H accepteres, atages, at der kke er oge sgkat vekselvrkg, og ma pooler de to varaser samme, tl et yt estmat or orsøgsejles varato (støje) 7

28 Supplemet 4 Formler tl beregg a varasaalyse Dette estmat beyttes så tl e samtdg vurderg a hovedvrkgere b) Lad H orkastes hvs P - værd, hvor Z er F - ordelt Hvs H orkastes, så opstlles kodestervaller tl vurderg a aktoreres vrkg b) Lad H orkastes, hvs P - værd, hvor Z er F - ordelt Hvs H orkastes, så opstlles kodestervaller tl vurderg a aktoreres vrkg Opstllg a kodestervaller og drage kokluso Lad være geemsttet a værdere celle te række og j te søjle Lad Lad være geemsttet a værdere de te række være geemsttet a værdere de j te søjle ) Kodestervaller or hver celle :, ) For celle te række og j te søjle er de estmerede mddelværd (jævør betragtgere ast 3 sde 59) Kodestervaller or hver celle: Det gver et bedre overblk, hvs ma udreger de margale kodestervaller: Kodestervaller or hver række: Kodestervaller or hver søjle: 3), For hver række bereges et rækkegeemst, Kodestervaller or hver række: 4), For hver søjle j bereges et søjlegeemst, Kodestervaller or hver søjle: Kort skrvemåde or, at orkastes Kort skrvemåde or, at accepteres 8

29 Supplemet 5 Formler tl beregg a ekelt regressosaalyse ude getagelser Supplemet 5 Formler tl beregg a ekelt regressosaalyse ude getagelser I dette apedx vses hvorledes ma ka berege e ekelt regressosaalyse ude getagelser, blot ma har e lommereger med regressosprogram I eksempelet er ormlere avedt på et kokret eksempel Forudsætg: Data : x x x x 3 x y y y y 3 y De -værder er uahægge observatoer a stokastsk uahægg ormalordelte varable Y med samme varas Det atages edvdere at ma har udet, at data ka beskrves ved e leær model V har deror at mddelværde a de statstske varable Y er e leær ukto a x a orme Beregger: ) De puktpar dtastes lommereger Regressosprogram aktveres, og bladt beregede størrelser des estmater or regressoskoeceter:, korrelatoskoecet r, geemst, spredg ) Udylder varasalysetabel: Udreger, og Varato (Source) SAK (SS) (d) Model SAK model Resdual SAK resdual - Total SAK total - Test: Lad ) være sgkasveau Metode Hvs modelle gælder så burde puktere (uaset om H er sad eller ej) lgge eksakt på e ret le (og dermed ), hvs kke orsøgsresultatere havde været påvrket a støje Et estmat or orsøgsejles (støjes) varas er deror Er H sad, så burde (jævør detoe a SAK model ) være ul år det kke er tlældet skyldes det, at orsøgsresultatere har været påvrket a støje A samme grud som ør må deror også være et estmat or 9

30 V har ølgelg, at hvs H er sad, så er Det ka vses, at hvs ulhypotese kke er sad, så vl, og at er F- ordelt med e tællerrhedsgrad på og e æverrhedsgrad på - Teste blver ølgelg e esdet F - test, dvs H orkastes, hvs P - værd, hvor Z er F - ordelt Metode Lad, hvor er et estmat or spredge på Det ka vses, at t et t - ordelt med - rhedsgrader Lad T være t - ordelt med - rhedsgrader H orkastes, hvs P - værd E ordel ved dee metode er, at ma også ka teste og ved esdede test Hvs begge varable X og Y er statstske varable ka ma tlsvarede teste korrelatoe ved oveævte t - test ), hvor a er e gve kostat Lad, hvor H orkastes, hvs (or a svarer det tl oveævte metode ) Kodesterval or : hvor Lad være et estmat or mddelværde or Y or e gve værd Kodesterval or hvor, Prædstatosterval: (Kodesterval) or y observato or e gve x - værd:, hvor 3

31 Supplemet 5 Formler tl beregg a ekelt regressosaalyse med lge mage getagelser Supplemet 5 Forudsætg: Data : y Beregg a ekelt regressosaalyse med lge mage getagelser x x x x 3 x k y y y y y y 3 y 3 y y 3 y k y k y k y j - værdere er uahægge observatoer a statstsk uahægg ormalordelte varable Y For hver a de k x - værder er der lge mage getagelser a y - værder, dvs alt k observatoer Der atages, at der er varashomogetet (øskes dette testet se uder pukt b) Lad Beregger: a) Lack og t test: være sgkasveau ) For hver x - værd dtastes de y-værder, og ma bereger spredge s Der bereges et estmat or de ælles varas ) De k puktpar dtastes lommereger Regressosprogram aktveres, og bladt beregede størrelser des estmater or: regressoskoeceter:, korrelatoskoecet r, geemst, spredg 3) Ma udreger, og 4) Udylder varasalysetabel: Varato (Source) SAK (SS) (d) Model SAK model Lack o t SAK lack o t k - Getagelser (error) SAK e - k Total SAK total - 5) H orkastes, hvs P - værd, hvor Z er F - ordelt Såremt H accepteres (og et resdualplot også vrker rmelg) ortsætter testge: Da såvel u er et udtryk or orsøgsejles varas, oretages e poolg: og F model bereges (se varasaalysetabel 6) Formlere or de orskellge test svarer u uldstædg tl ormlere ast 3 b) Varashomogetet (se supplemet 3), 3