x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium"

Transkript

1 SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasum

2 Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 Sadsylghedsfelt... 3 Edelge sadsylghedsfelter (sadsylghedsfordelger):... 3 Uedelge sadsylghedsfelter:... 4 Hædelser:... 5 Hædelser et symmetrsk sadsylghedsfelt... Betget sadsylghed:... 7 De store tals lov... Sadsylgheder og frekveser:... De store tals lov:... Stokastsk varabel... Mddelværd, spredg og varas... 3 Tæthedsfukto og fordelgsfukto... 7 Normeret stokastsk varabel... 9 Uafhægge stokastske varable... KOMBINATORIK... 5 Cetrale begreber... 5 Multplkatosprcppere:... Addtosprcppere... Permutatoer Kombatoer Pascals Trekat (De Artmetske Trekat) Chu-Vadermodes dettet Bomalfordelge De hypergeometrske fordelg OVERSIGT OVER DEFINITIONER OG SÆTNINGER OPGAVER FACITLISTE (med forklarger)... 5

3 SANDSYNLIGHEDSREGNING Begrebet sadsylghed er som udgagspukt kyttet tl stuatoer eller forsøg, hvor der - ford der spller ogle tlfældgheder d - optræder mere ed ét mulgt udfald. V kalder sådae stuatoer eller forsøg for stokastske ekspermeter, mes ekspermeter med ét (forudsgelgt) udfald kaldes determstske ekspermeter. Ma ka så udvde sadsylghedsbegrebet tl at omfatte alle stuatoer ved at tldele et skkert udfald sadsylghede 00% og et umulgt udfald sadsylghede 0%. I dsse tlfælde bruger v dog betegelsere hædelse stedet for udfald. Sadsylghedsfelt Et stokastsk ekspermet ka beskrves ved ete et edelgt eller et uedelgt sadsylghedsfelt. Edelge sadsylghedsfelter (sadsylghedsfordelger): Defto : Et edelgt sadsylghedsfelt, U P består af et udfaldsrum U u u ; u ;...;, ; 3 hvor, 3,4, 5,..., der er mægde af samtlge mulge udfald, samt e sadsylghedsfukto P: U 0;, der agver sadsylghede for de ekelte udfald. Der gælder 3 P u P( u ) P( u ) P( u )... P( u ) Ma ka også avede ordet sadsylghedsfordelg stedet for sadsylghedsfelt. Eksempel : Et stokastsk ekspermet består at kaste e møt 3 gage og otere for hvert kast, om det gver plat eller kroe. Det edelge sadsylghedsfelt, der beskrver dette ekspermet, er: u U P(u) kkk kkp kpk kpp pkk pkp ppk ppp = Kotrol. Eksempel : Et stokastsk ekspermet består at kaste e almdelg terg (regulært heksaeder) og otere øjetallet. Det edelge sadsylghedsfelt blver så: U Pu Begge oveståede eksempler kaldes også for symmetrske sadsylghedsfelter: I det sdste eksempel vlle ma kue bestemme mddelværde for sadsylghedsfeltet, mes det kke er tlfældet for det første eksempel. V skal seere berege mddelværder efter at have dført begrebet stokastsk varabel, så det veter v med dtl vdere. Eksemplere og er begge eksempler på såkaldte symmetrske sadsylghedsfordelger, hvlket følger af defto : 3

4 Defto : Et edelgt sadsylghedsfelt, hvor sadsylghedere for hvert udfald er es, dvs., P u P u u u U, kaldes et symmetrsk sadsylghedsfelt. j j Et eksempel på et edelgt sadsylghedsfelt, der IKKE er symmetrsk er: Eksempel 3 (et IKKE-symmetrsk sadsylghedsfelt): Det stokastske ekspermet, der består at kaste to terger og otere summe af øjetallee, gver følgede edelge sadsylghedsfelt: U Pu Pu Kotrol: Bemærk altså at oveståede IKKE er et symmetrsk sadsylghedsfelt, selvom ma ret hurtgt ka bemærke e form for symmetr skemaet. Uedelge sadsylghedsfelter: Defto 3: Et uedelgt sadsylghedsfelt U, Pbestår af et udfaldsrum U u ; u; u3;... med uedelgt mage udfald samt e sadsylghedsfukto P: U 0;, der agver sadsylghede for de ekelte udfald. Der gælder Pu P u P u P u3 ( ) ( ) ( )... Eksempel 4: Et stokastsk ekspermet består at blve ved med at kaste e møt, dtl ma første gag får plat, og ma oterer ved hvert kast, om det blev plat eller kroe. Dette gver følgede uedelge sadsylghedsfelt: U p kp kkp kkkp kkkkp kkkkkp... Pu Kotrol: Pu Eksempel 5: Et stokastsk ekspermet består at blve ved med at kaste e terg, dtl ma slår e 4'er, og ma oterer atallet af kast. Dette gver følgede uedelge sadsylghedsfordelg: U Pu Med e sætg fra forløbet om uedelgheder får ma: Pu Kotrol: 4

5 Hædelser: Defto 4: E delmægde af et udfaldsrum kaldes for e hædelse. Af deftoe følger: Sætg : Sadsylghede for e hædelse er summe af sadsylgheder for de udfald, som hædelse består af. Eksempel : I eksempel 4 kue e hædelse bestå, at ma får plat adet eller tredje kast, dvs. 3 H kp, kkp. Sadsylghede for dee hædelse er PH Pkp Pkkp. 4 Eksempel 7: I eksempel 3 kue e hædelse være at slå mdst 9 med de to terger, dvs. 5 H 9,0,, og PH P9 P0 P P 9 3 Da e delmægde af U både ka være de tomme mægde og hele U, har ma følgede særlge hædelser: Hvs H Øer PH 0, hvlket kaldes for e umulg hædelse. Hvs H U er PH, hvlket kaldes for e skker hædelse. Desude har ma følgede: De komplemetære hædelse tl H skrves H og består af alle de udfald U, der kke er med H. De umulge hædelse og de skre hædelse er komplemetære hædelser. Desude gælder følgede vgtge sætg: Sætg : PH PH Eksempel : I eksempel 7 er de komplemetære hædelse tl H hædelse H,3, 4,5,,7,, der består højst at slå med to terger. Sadsylghede er PH PH 5 3 I e hel del stuatoer er det meget emmere at bestemme sadsylghede for de komplemetære hædelse ed for de søgte hædelse, og så ka sætg beyttes. Eksempel 9: I eksempel 5 kue ma se på hædelse H, der består, at ma får mdst kast. Hvs ma øsker at fde sadsylghede for dee hædelse, er det emmere først at se på komplemetærhædelse H, der består at opå etop kast, hvorefter ma har: 5 PH PH 5

6 Øjetal for terg A Hædelser et symmetrsk sadsylghedsfelt I et symmetrsk sadsylghedsfelt, hvor sadsylghede for hvert udfald som bekedt er es, ka ma ret emt berege sadsylghede for hædelse: Sætg 3: I et symmetrsk sadsylghedsfelt, hvor udfaldsrummet deholder udfald, er sadsylghede for hædelse H beståede af r udfald gvet ved: r PH Atal gustgeudfald Dette skrves sommetder som: Phædelse Atal mulgeudfald Eksempel 0: Se på tergkastet fra eksempel, hvor ma har et symmetrsk sadsylghedsfelt, og hvor atallet af elemeter udfaldsrummet er slå mdst e 3'er, deholder 4 elemeter, så ma har. Hædelse H 3, 4,5, 4 P H 3, der består at Dee sætg ka godt vrke meget begræset af forudsætge om, at det skal være e symmetrsk sadsylghedsfordelg, me ofte ka ma kke-symmetrske tlfælde betragte stuatoe fra e ade dfaldsvkel, der gver et adet udfaldsrum, og dermed mplct arbejde med et "bagvedlggede" symmetrsk sadsylghedsfelt. Eksempel : I eksempel 3, hvor ma kaster to terger og ser på summe af øjetallee, fk ma som bekedt et kke-symmetrsk sadsylghedsfelt. Me hvs ma ædrer udfaldsrummet tl følgede med 3 udfald,... U Øjetal for terg B (,) (,) (,3) (,4) (,5) (,) (,) (,) (,3) (,4) (,5) (,) 3 (3,) (3,) (3,3) (3,4) (3,5) (3,) 4 (4,) (4,) (4,3) (4,4) (4,5) (4,) 5 (5,) (5,) (5,3) (5,4) (5,5) (5,) (,) (,) (,3) (,4) (,5) (,)... får ma et symmetrsk sadsylghedsfelt med Pu. 3 Hædelse beståede at summe gver 4 er så 3,,,,,3 H, og da H deholder 3 elemeter, er 3 PH. 3 Hædelse beståede at summe gver er H,, 5,3, 4,4, 3,5,, 5 P H. 3 og deholder altså 5 elemeter, dvs.

7 Betget sadsylghed: V har hdtl ku set på hædelser hver for sg. V skal u tl at se på flere hædelser forbdelse med hade forstået på de måde, at v skal se på sadsylghede for, at hædelse A dtræffer uder forudsætg af at hædelse B er dtruffet. Dette skrves som: P A B Det læses som: Sadsylghede for hædelse A, gvet hædelse B. Eller: De betgede sadsylghed for hædelse A, gvet hædelse B. Eksempel : Eksempler på sådae stuatoer kue være: Hvad er sadsylghede for at få et ulge øjetal ved et kast med e terg, gvet at øjetallet er over 3? Hvad er sadsylghede for at være farvebld, gvet at du er e mad? Hvs ma kaster e møt tre gage, hvad er så sadsylghede for at få kroe tredje kast, gvet at ma har fået plat adet kast? V øsker u at fde e formel tl at berege dsse betgede sadsylgheder og ser derfor på følgede udfaldsrum U u, u, u,..., u beståede af udfald: 3 A u, u3, u5, u7, u og B u4, u5, u, u, u0 Fællesmægde A B u, u er forskellge hædelser. udgør sg selv e hædelse, og de er væsetlg dee 5 sammehæg, for år v skal se på sadsylghede for, at hædelse A dtræffer, uder forudsætg af at hædelse B er dtruffet, så svarer det tl, at v har begræset udfaldsrummet fra U tl B og u ser på sadsylghede for, at hædelse A Bdtræffer. Eller med adre ord: Det er gvet, at e af hædelsere u4, u5, u, u og u0 er dtruffet, og v skal u fde sadsylghede for, at det er e af hædelsere u5eller u, der er dtruffet. Dette gver os følgede formel: Sætg 4: P A B P A B P B 7

8 Bemærk at A B B A, for vestresde består jo af de elemeter, der både lgger A og B, mes højresde består af de elemeter, der både lgger B og A, dvs. det er de samme elemeter, der dgår på begge sder. Da omskrvger af sætg 4 gver P A B P A B PBog PB A PB A P A og da P A B PB A, har ma altså P A B PB PB A P A eller omskrevet: Sætg 5 (Bayes' sætg): P A P A B P B A P B, Eksempel 3: Hvad er sadsylghede for at få et ulge øjetal ved et kast med e terg, gvet at øjetallet er over 3? V har altså de to hædelser,3,5 A og B 4,5,, hvor A B 5. Det er et symmetrsk sadsylghedsfelt med mulge udfald, så alle udfald har sadsylghede, og ma har så: P A B P A B PB 3 3 Ma kue også have set på de modsatte stuato: Hvad er sadsylghede for at få et øjetal over 3, gvet at kastet gav et ulge øjetal: PB A PB A P A 3 3 V kue også have beytte Bayes' sætg tl at udrege det sdste: 3 PB PB A P A B P A Hvs sadsylghedere for de to hædelser A og B er lge store, fortæller Bayes' sætg os altså, at de to betgede sadsylgheder er lge store. Me hvs f.eks. sadsylghede for e hædelse A er dobbelt så stor som sadsylghede for e hædelse B, så vl de betgede sadsylghed for hædelse A, gvet hædelse B, også være dobbelt så stor som de betgede sadsylghed for hædelse B, gvet hædelse A.

9 Lad os u se på et tlfælde, hvor sadsylghedere for hædelsere A og B kke er lge store: Eksempel 4: Hvad er sadsylghede for at få et ulge øjetal ved et kast med e terg, gvet at øjetallet er over 4? V har de to hædelser,3,5 A og B 5,, hvor A B 5. Ma har så: P A B P A B PB Hvad er sadsylghede for at få et øjetal over 3, gvet at kastet gav et ulge øjetal? PB A PB A P A 3 3 Bayes' sætg avedt tl at fde det sdste resultat: PB PB A P A B P A V ser u på edu et eksempel, hvor sadsylghedere for hædelsere A og B er lge store, og hvor v derfor øjes med at berege P A B, da v ved, at PB A P A B : Eksempel 5: Hvs ma kaster e møt tre gage, hvad er så sadsylghede for at få kroe tredje kast, gvet at ma har fået plat adet kast? Det er et symmetrsk sadsylghedsfelt med udfaldsrummet U ppp, ppk, pkp, pkk, kpp, kpk, kkp, kkk og Pu. V har desude: Hædelse at få kroe tredje kast: A ppk, pkk, kpk, kkk Hædelse at få plat adet kast: B ppp, ppk, kpp, kpk AB ppk, kpk P A B P A B PB 4 4 Eksempel 5 fører os vdere tl såkaldte uafhægge hædelser. Ma ka hurtgt overbevse sg selv om, at det at få plat adet kast kke ka have oge dvrkg på, om ma får kroe tredje kast, eller sagt på e ade måde: Sadsylghede for at få kroe tredje kast er uafhægg af, om ma har fået plat eller ej adet kast. 9

10 V deferer u: Defto 5: Hædelse A sges at være uafhægg af hædelse B, hvs P A B P A Øvelse : Udersøg hvlke af stuatoere eksemplere 3, 4 og 5, at de ee af hædelsere er uafhægg af de ade. V ser u på følgede vgtge - og måske overraskede - sætg: Sætg : Hvs hædelse A er uafhægg af hædelse B, så er hædelse B også uafhægg af hædelse A, og ma taler derfor om de uafhægge hædelser A og B. Bevs : Atag at hædelse A er uafhægg af hædelse B. Der gælder så følge defto 5 og sætg 4: P A B P B P A P A B Og dermed ka udtrykket omskrves tl: P A P A PB A P B A P B A P B P B dvs. følge sætg 4: P B Ifølge defto 5 har v altså, at B er uafhægg af A. Ved at ærstudere bevset ka ma desude se følgede sætg: Sætg 7: Hædelsere A og B er uafhægge, etop hvs P A B P A PB Øvelse : Tjek om du - evt. ved ærlæsg af bevset for sætg - ka se, at der gælder "etop hvs" (dvs. e bmplkato) sætg 7. Eksempel : V kaster e møt fre gage og vl gere udersøge, om følgede hædelser er uafhægge: A: Ma får kroe adet kast. B: Ma får mdst to plat alt. Sadsylghedsfeltet er symmetrsk og består af et udfaldsrum med mulge udfald: U pppp, pppk, ppkp, ppkk, pkpp, pkpk, pkkp, pkkk, kppp, kppk, kpkp, kpkk, kkpp, kkpk, kkkp, kkkk A pkpp, pkpk, pkkp, pkkk, kkpp, kkpk, kkkp, kkkk udfald B pppp, pppk, ppkp, ppkk, pkpp, pkpk, pkkp, kppp, kppk, kpkp, kkpp AB pkpp, pkpk, pkkp, kkpp 4 udfald P A PB 3 4 P A B 4 Da P A B P A PB er hædelsere IKKE uafhægge. udfald 0

11 Da hædelse B eksempel er mere sadsylg ed hædelse A, så ved v desude følge Bayes' sætg, at det er mere sadsylgt at få mdst to plat, gvet at adet kast var kroe, ed det er at få kroe adet kast, gvet at ma får mdst to plat. Eksempel 7: E møt kastes 3 gage, og v vl gere udersøge, om følgede hædelser er uafhægge: A: Ma får kroe første kast. B: Ma får det samme alle tre kast. V har mægdere: U A B ppp, ppk, pkp, pkk, kpp, kpk, kkp, kkk kpp, kpk, kkp, kkk ppp, kkk A B kkk Udreggere gver: P A PB 4 P A B Da P A B P A PB er hædelsere A og B uafhægge. De store tals lov Sadsylgheder og frekveser: Sadsylgheder og frekveser er begge størrelser, der lgger tervallet 0; eller mellem 0% og 00%, me det er vgtgt at skele mellem dsse to beslægtede begreber. Sadsylgheder hører - kke overraskede - hjemme de for sadsylghedsregg, mes frekveser hører hjemme de for statstk. Sadsylgheder er oget, ma tæker sg frem tl (ofte ved ddragelse af kombatork), mes frekveser fremkommer ved beregg på dsamlet data. Dette ka llustreres med følgede skema:

12 De store tals lov: Sætg (De store tals lov): Ved getagelse af et ekspermet gage, gælder, hvor f u f u P u for er frekvese for udfaldet u og Pu er sadsylghede for udfaldet u. Eller ldt løst sagt: Jo flere gage ma udfører et ekspermet, jo tættere kommer frekvese for et udfald store træk på sadsylghede for et udfald. Eller: De observerede hyppgheder vl store træk komme relatvt tættere på de forvetede hyppgheder, jo flere gage ma udfører et ekspermet. Stokastsk varabel V øsker u at dføre begrebere mddelværd, varas og spredg som ogle størrelser, der skal fortælle oget om vores ekspermeter. Me dsse størrelser kræver tal, der ka reges på, og v har hdtl set eksempler på udfaldsrum - f.eks. U ppp, ppk, pkp, pkk, kpp, kpk, kkp, kkk kke består af tal. V vl derfor u dføre begrebet stokastsk varabel, der er e fukto, der sætter tal på de ekelte udfald. I oveævte tlfælde kue e stokastsk varabel f.eks. være e fukto, der agav det samlede atal plat, eller det kue være e fukto, der gav værde 0, hvs det adet kast gav kroe, og ellers -5. Helt geerelt dfører v altså: - der Defto : E stokastsk varabel X et edelgt sadsylghedsfelt er e fukto der tl ethvert udfald udfaldsrummet kytter et reelt tal. X : U R, Eksempel : Hvs ma kaster e møt tre gage, ka e stokastsk varabel være de fukto, der tl hvert af de udfald kytter atallet af kroe: U kkk kkp kpk kpp pkk pkp ppk ppp X u 3 0 Hvs ma kytter e sadsylghedsfukto på, får ma: t 0 3 P X t 3 3 Her er t altså de værder, som de stokastske varabel ka atage.

13 Eksempel 9: Et lykkehjul med forskellge farver ka drejes, og ekspermetet beståede at dreje é gag ka beskrves ved sadsylghedsfeltet: U Grø Blå Sort Gul Volet Hvd Pu 0,0 0,05 0,5 0,30 0,0 0,40 Lykkehjulet avedes et tvol, så ma ka vde pege, hvs ma er heldg, og vores stokastske varabel skal dette tlfælde være e fukto, der "oversætter" farve tl et beløb ( kroer). Det kue f.eks. være: U Grø Blå Sort Gul Volet Hvd X u Når v har dført begrebet stokastsk varabel, ka v dføre følgede størrelser, der fortæller oget om de stokastske varabel (og dermed om det ekspermet, som de stokastske varabel er e del af): Mddelværd, spredg og varas Defto 7: I et edelgt sadsylghedsfelt med de stokastske varabel X, der ka atage værdere x, x, x3,..., x m, dføres størrelsere: Mddelværd ( eller E X ): x P X x Varas: var X x P X x m m Spredg: var X 3

14 Eksempel 0: V vl bestemme mddelværd, varas og spredg for de stokastske varabel dført eksempel : x P X x 0 3 var 4 X x P X x var X 0, 4 V vl altså geemst få,5 kroe, år v udfører ekspermetet. Eksempel : V udreger mddelværde eksempel 9: x P X x 0 0, 0 0 0, 05 50,5 0, , 0 0 0, 40 0, 0, 75 0, 0 4,5 Dvs. ma vder geemst 4,5 pr. spl (som skkert koster et sted mellem 0 og 0 kroer). Da var( X ) fortæller spredge og varase på s vs det samme om de stokastske varabel. De fortæller det bare med forskellge værder. V støder på dem ge de for statstk, me tl at begyde med, skal v se på ogle sætger, der omhadler, og var X. De fortæller bl.a. oget om, hvad der sker med de tre størrelser, hvs ma eksempel 9 vælger at øge eller sæke gevste med e fast størrelse eller med e fast procetdel: Sætg 9: I et edelgt sadsylghedsfelt med de stokastske varable X og Y, gælder følgede, år a og b er reelle tal: Mddelværd: a) E a X b a E X b b) E X Y E X E Y Spredg: c) a X b a X Varas: d) var X E X E X e) var a X b a var X 4

15 Ide v ser på bevsere for dsse sætger, skal v lge geemgå, hvad der mees med, at der (på samme td) ka være flere stokastske varable kyttet tl et edelgt sadsylghedsfelt. Først ka det bemærkes, at der kke er oget defto, der forhdrer det. Derefter ka v se på et kokret eksempel: Eksempel : V bygger vdere på eksempel, hvor e møt blev kastet tre gage, og hvor vores stokastske varabel X agav atallet af kroe. V ser u på to adre stokastske varable tlkyttet samme sadsylghedsfelt. Y: Agver atallet af plat. Z: Agver atallet af skft fra plat tl kroe eller omvedt. Det gver os: U kkk kkp kpk kpp pkk pkp ppk ppp X u 3 0 Yu 0 3 Zu 0 0 X Y u X Z u x 0 3 P X x 3 3 y 0 3 P Y y 3 3 z 0 P Z z 4 4 x y 3 P X Y x y V har allerede eksempel 0 bereget også gælder EY 3. Desude ka v udrege: 3 E Z z PZ z Lad os u se på E X Y og E X Z 3 E X, og det ka hurtgt dses, at der. De stokastske varabel X Y kytter tl ethvert elemet U et reelt tal, der er summe af de to tal, som heholdsvs X og Y kyttede tl tallet (se tabelle ovefor). V ser ret hurtgt, at E X Y 3 Desude ka ma udrege:, og v bemærker, at sætg 9.b gælder E X Z x z P X Z x z Ige bemærkes det, at sætg 9.b gælder. x z P X Z x z 4 5

16 Bevs 9: E stor del af bevsere består at kue rege med sumteg. 9.a: V beytter defto7 på mddelværd og bemærker, at det er selve værdere af de stokastske varabel, der blver ædret med a og b, mes der kke sker oget med sadsylghedsfuktoe, der jo er tlkyttet det oprdelge sadsylghedsfelt: m m m E a X b a x b P X x a x P X x b P X x m m a x P X x b P X x a E X b a E X b Der blev æst sdste skrdt beyttet P X x m, da sadsylghedere for alle udfald og dermed også for alle værder af de stokastske varabel summerer op tl. 9.e: V beytter defto 7 på varas: var m a X b a x b E a X b P X x m m a x b a E X b P X x a x E X P X x m var a x E X P X x a X 9.c: Dette følger drekte af sætg 9.e samt defto 7. 9.b: Når v skal bevse dee sætg, er det vgtgt at være opmærksom på, at v er ødt tl at gå helt tlbage tl udfaldsrummet, år v arbejder med sumtegee, for som v så eksempel, kue forskellge udfald godt gve es værder for X, me forskellge værder for X Z (f.eks. kkp og kpk). E X Y X Y u P u X u P u Y u P u X u P u Y u P u E X E Y 9.d: Her skal ma gøre sg klart, at ma med X meer de stokastske varabel, der tl hvert udfald gver kvadratet på de værd, som de stokastske varabel X gver. var m X x E X P X x m x E X x E X P X x m m m x P X x E X P X x x E X P X x m m E X E X P X x E X x P X x E X E X E X E X E X E X

17 Eksempel 3: Sætg 9.d. blev tdlgere - de computere overtog arbejdet - avedt, år ma skulle bestemme varase, ford det ofte var hurtgere at foretage dee udregg. Lad os se på eksempel og sammelge med eksempel 0: U kkk kkp kpk kpp pkk pkp ppk ppp X u 3 0 X u x 0 3 x P X x 3 3 P X x E X x P X x E X x P X x X E X E X var Resultatet stemmer med eksempel 0 (me ma ka også bemærke, at der dette tlfælde kke var det store regearbejde at spare). Tæthedsfukto og fordelgsfukto Når v arbejder med vores dskrete sadsylghedsfelter med tlkyttet stokastsk varabel X, har v vores sadsylghedsfukto P X x, der tl hver værd af de stokastske varabel kytter sadsylghede for dee værd. Dette ka afbldes et pdedagram. Eksempel 4: Dataee fra eksempel 3 afbldes Maple: 7

18 V skal seere de for statstk arbejde med kotuerte fuktoer, og her ka ma kke arbejde med sadsylghedsfuktoer på samme måde, da sadsylghede for et kokret udfald e kotuert fordelg vl være 0 (da der er uedelgt mage udfald de for ethvert terval). I dsse tlfælde arbejder ma med tæthedsfuktoer. Defto : For et (kotuert) udfaldsrum U I, hvor I er et terval, kaldes e fukto f x b for tæthedsfuktoe, hvs det gælder [, ], hvor Pu [ a, b] ab,. a, b I med b a for tervallet P u a b f x dx for alle a er sadsylghede for, at udfaldet lgger de Eksempel 5: De såkaldte ormerede ormalfordelg (også kaldet u-fordelge) har tæthedsfuktoe f x e x. Grafsk ser de ud på følgede måde: V veder tlbage tl dee fordelg uder statstk. I modsætg tl begrebet tæthedsfukto, der ku gver meg for og derfor oftest ku avedes forbdelse med kotuerte udfaldsrum, så avedes det æste begreb både dskrete og kotuerte stuatoer: Defto 9: For et sadsylghedsfelt med tlkyttet stokastsk varabel X og sadsylghedsfukto P X x, er fordelgsfuktoe F x P X x de fukto, der tl ehver værd x agver sadsylghede for højst at opå værde x. For et (kotuert) udfaldsrum U I, hvor I er et terval, med tæthedsfuktoe x f x, er fordelgsfuktoe F x edepukt (evt. ). f t dt, hvor a er tervallets vestre a

19 V skal se e del på fordelgsfuktoer de kotuerte tlfælde, så her ses udelukkede eksempler forbdelse med sadsylghedsfelter. Eksempel : I eksempel 3 har v følgede sadsylghedsfukto P x Fx Fx : P x og fordelgsfukto X Eksempel 7: E fordelgsfukto for et sadsylghedsfelt med tlkyttet stokastsk varabel vl afbldes som et såkaldt trappedagram: De blå ljer agver de såkaldte kvartlsæt, me det veder v også tlbage tl seere. Normeret stokastsk varabel I eksempel 5 så v på de ormerede ormalfordelg, der også kaldes u-fordelge. Det er et specaltlfælde af følgede defto, der forklarer, hvorda ma ud fra e gvet stokastsk varabel ka dae e ade stokastsk varabel med ogle øskede egeskaber (se sætg 0). Defto 0: Lad X være e stokastsk varabel med mddelværd og spredg. De X stokastske varabel U kaldes så for de tlsvarede ormerede stokastske varabel. 9

20 Eksempel : V ser ge på eksempel, hvor v eksempel 0 beregede, at X og : P X x X 3 De tlsvarede ormerede stokastske varabel X U er så: U P U x 3 3 Sætg 0: E ormeret stokastsk varabel har mddelværde 0 og spredge. Eksempel 9: V beytter sætg 9 tl at berege mddelværd og spredg for de ormerede stokastske varabel fra eksempel. Først beyttes sætg 9.a: X E U E E X Dvs. mddelværde af de stokastske varabel U er 0. Sætg 9.c gver os: X 3 3 U X Dvs. at de stokastske varabel U har spredge. Bevs 0: V ka udytte ogle af resultatere sætg 9 tl at bevse sætg 0: Vores udgagspukt er, at de stokastske varabel X har mddelværde og spredge (der er e kke-egatv størrelse). Af sætg 9.a følger: X E U E E X E X 0 0 Dvs. mddelværde for de stokastske varabel U er 0. Af sætg 9.c følger: X U X X X Dvs. de stokastske varabel U har spredge. 0

21 Uafhægge stokastske varable I defto 5 og sætgere og 7 så v på uafhægge hædelser. V ka på samme måde tale om uafhægge stokastske varable. Ma skal huske på, at e stokastsk varabel er e fukto, der tl ethvert elemet udfaldsrummet kytter et reelt tal, dvs. de ka godt kytte det samme tal tl flere forskellge udfald, og e stokastsk varabel ka så være e måde, hvorpå ma får daet forskellge hædelser, emlg ved at lade de forskellge hædelser hver sær bestå af de udfald, som de stokastske varabel tldeler samme værd. Eksempel 30: V ser ge på stuatoe fra eksempel (e møt kastes tre gage og de stokastske varabel agver atal 'kroe'). U kkk kkp kpk kpp pkk pkp ppk ppp X u 3 0 I dette tlfælde daer de stokastske varabel hædelsere: H H H H 3 4 ppp kpp, pkp, ppk kkp, kpk, pkk kkk V beytter så sætg 7 som udgagspukt for følgede defto: Defto : De stokastske varable X og Y kaldes uafhægge, hvs det gælder, at: j j x VmX, y VmY P X x Y y P X x P Y y j Eksempel 3a: V ser edu egag på stuatoe med 3 kast med e møt. V ser på tlfældet: X: Agver atallet af kroe. Y: Agver atallet af plat. Vores klare foremmelse må være, at dsse to stokastske varable IKKE er uafhægge, for hvs ma keder værde for de ee, keder ma de også for de ade ud fra lgge y 3 x. V ser på et par stuatoer: a) X gver og Y gver. V ka kke have begge dele på é gag, så P X Y V har P X og PY, dvs. P X PY Da P X Y P X PY er de stokastske varable IKKE uafhægge, og derfor behøver v egetlg kke at se på flere udregger, me her kommer e mere for forståelses skyld. b) X gver og Y gver. Her har v: P X Y og P X PY 4 Dvs. P X Y P X P Y

22 Eksempel 3b: Tre kast med e møt og følgede stokastske varable: X: Atal kroe. Y: Atal kast Bemærk at Y er e ret kedelg stokastsk varabel, der hele tde gver 3. Dermed skulle det også være oplagt, at dsse to stokastske varable er uafhægge. Der ses på ogle stuatoer (tæk selv over sadsylghedere): a) X 0 og Y 3: b) X og Y 3: P X 0 Y 3 P X 0 PY 3 Dvs. P X 0 Y 3 P X 0 P Y P X Y 3 P X PY 3 Dvs. P X Y 3 P X P Y 3 d) X 3 og Y 3 : c) X og Y 3: 3 3 P X Y 3 P X PY 3 Dvs. P X Y 3 P X P Y 3 P X 3 Y 3 P X 3 PY 3 Dvs. P X 3 Y 3 P X 3 P Y 3 V har u geemgået alle kombatoer og set, at udtrykket er sadt alle tlfælde, og dermed er dsse to stokastske varable uafhægge. Eksempel 3c: Ige 3 kast med e møt. X: Atal kroe. Z: Atal skft fra plat tl kroe. Dette kedes fra eksempel, og ma ka se sadsylgheder ud fra tabellere dette eksempel. V ser på 4 ud af de mulge kombatoer. a) X 0 Z 0 P X 0 Z 0 P X 0 PZ 0 4 Falsk b) X 0 Z P X 0 Z 0 P X 0 PZ Falsk c) X 0 Z P X 0 Z 0 P X 0 PZ 4 Falsk h) X Z P X Z P X 3 PZ 4 Falsk Edu egag har v altså IKKE uafhægge stokastske varable.

23 Sætg : For uafhægge stokastske varable X og Y gælder: E X Y E X E Y Eksempel 3: Ide bevset for sætge er det vgtgt at forstå, hvad der mees med de stokastske varabel X Y, der dgår sætge. V tager udgagspukt eksempel 3c (og hermed eksempel ) for at forstå betydge. U kkk kkp kpk kpp pkk pkp ppk ppp X u 3 0 Zu 0 0 u X Z X Z gver for hvert udfald produktet af de værder, som X og Z hver sær tldeler udfaldet. Bevs : I bevset avedes dobbelte sumteg, der skal forstås på de måde, at for hver værd af udreges hele sumteget med j. De stokastske varabel X's værdmægde består af k elemeter, mes VmY deholder l elemeter. Tæk over hvorfor hvert skrdt bevset er gyldgt. Specelt er det vgtgt at forstå det første lghedsteg ed tl mdste detalje. Vores udgagspukt er, at v har to uafhægge stokastske varable X og Y, dvs. v ved x VmX, y VmY at PX x Y y j PX x PY y j så defto 7 (på mddelværd) og reger løs: k l E X Y x y j P X x Y y j j k l j k j j j k x y j P X x P Y y j l x P X x y P Y y. V beytter x P X x E Y E Y x P X x E Y E X k j Eksempel 33: I eksempel 3b så v på de ret oplagte uafhægge stokastske varable, hvor X var atal 'kroe' og Y var atal kast. Y har oplagt mddelværde 3, og sætg gver så: 3 9 E X Y E X E Y 3 Det er kke verdes mest overraskede resultat, da de stokastske varabel X Y reelt set gver os atal 'kroe' gaget med 3. 3

24 Der gælder også e sætg om varase forbdelse med uafhægge stokastske varable: Sætg : Hvs X og Y er uafhægge stokastske varable, er Var X Y Var X Var Y. Bevs : V beytter sætg 9a mageta, 9b blå samt 9d rød, hvor varasere ka udreges ud fra mddelværder, og da vores forudsætg er, at X og Y er uafhægge stokastske varable, ka v også beytte sætg grø. V får så: Y Var X E X Y E X Y E X E Y E Y E X Y E X E Y E X E Y E X Y E X Y X Y E X E X E X E Y E Y E X E Y r Y E Y E X E Y Var X Var Y Var X Va X E Eksempel 34: V ser edu egag på eksempel 3b, hvor v havde uafhægge stokastske varable. Varase for Y er 0, da de tldeler alle udfald værde 3, og v har så følge sætg : 3 Var X Y Var X Var Y Var X 0 Var X 4 4

25 KOMBINATORIK Kombatork beskæftger sg med edelge eller tællelge dskrete strukturer. Som du husker fra forløbet om uedelgheder, vl det altså sge, at strukture ete skal være edelg eller skal kue ummereres med de aturlge tal (hvlket f.eks. kke var tlfælde med tervallet [0,], der heller kke er e dskret struktur). Ma ka også sge, at kombatork beskæftger sg med at tælle mægder. Koblge mellem kombatork og sadsylghedsregg er sætg 3, da v symmetrske sadsylghedsfelter ka bestemme sadsylghede for et udfald ved at tælle atallet af elemeter udfaldsrummet og atallet af elemeter mægde af gustge udfald. Da v desude har set, hvorda ma geerelt ka omforme et kke-symmetrsk edelgt sadsylghedsfelt tl et symmetrsk sadsylghedsfelt ved at agve udfaldsrummet på e ade måde (eksempel ), vl sætg 3 samme med kombatork være et stærkt matematsk redskab. Cetrale begreber Ide for kombatork er det vgtgt at kue skele mellem følgede to ord: Kombere: komb'ere ; v sammesætte, foree forskellge dele tl et hele OPRINDELSE: lat. combare. Permutere: permu'tere ; v ombytte, omstlle OPRINDELSE: af lat. permutare ædre, bytte, udveksle, per- + mutare flytte oget, ædre, bytte. V deferer u: Defto : Lad A a a a a,,,..., 3 r være et helt tal, hvorom det gælder 0 r. være e mægde med elemeter (e -mægde) og lad a) E permutato af mægde A er e opstllg af de elemeter e bestemt rækkefølge (også kaldet e ordet mægde). b) Atallet af permutatoer af A skrves P. c) E r - permutato fra mægde A er e ordet delmægde fra A beståede af r elemeter. d) Atallet af r-permutatoer fra mægde A skrves P, r. 5

26 Eksempel 35: Lad A a, b, c, d, e være e mægde med 5 elemeter. Fre forskellge permutatoer af A er så: adceb ecabd edcba aebdc Følgede er IKKE permutatoer: adabc bceed aaaaa Forskellge 4-permutatoer fra A er: beda acbd acdb edcb Forskellge 3-permutatoer fra A er: ace deb abc edc Forskellge -permutatoer fra A er: a c d b Defto 3: Lad A være e -mægde og lad r være et helt tal, hvorom det gælder 0 r. a) E kombato fra A er e delmægde af A. b) Atallet af kombatoer fra A beteges K c) E r - kombato fra A er e kombato med r elemeter. d) Atallet af r-kombatoer fra A beteges K, r Eksempel 3: Lad A a, b, c, d, e 4 forskellge kombatoer fra A er: a, c, d a, b, c, d, e Ø b, a Følgede kombatoer er es: a, c, d c, a, d d, c, a Forskellge -kombatoer: a, b a, c b, c e, b c, d V øsker at bestemme udtryk for,,, og, skal v have troduceret ogle prcpper: Multplkatosprcppere: P K P r K r, me de det ka lade sg gøre, Sætg 3 (multplkatosprcppet for valgmulgheder for uafhægge valg): Ved et samlet valg beståede af uafhægge delvalg med atallet af valgmulgheder v, v, v3,..., v er det samlede atal valgmulgheder Vsamlet v v v3... v. Eller udtrykt med begreber fra sadsylghedsregg: Udfaldsrummet, der beskrver de forskellge valgmulgheder og gver et symmetrsk sadsylghedsfelt, vl deholde Vsamlet v v v3... v elemeter.

27 Eksempel 37: E køs har par sko, 5 par strømper, 3 bukser, skjorter og 4 bluser. Ha har ge sas for sammesætg af tøjet, så valget af de ekelte dele er uafhægge af hade. På hvor mage måder ka ha klæde sg på (år e påklædg består af af hver slags beklædgsdel)? Der skal træffes 5 uafhægge delvalg med atal valgmulgheder, 5, 3, og 4. Det samlede atal valgmulgheder er derfor V samlet Ha har altså 70 forskellge måder at klæde sg på. Eksempler på tre af de 70 elemeter udfaldsrummet: sko, strømpepar, buks, skjorte, bluse 4 5 sko, strømpepar, buks, skjorte, bluse 3 sko, strømpepar, buks, skjorte, bluse 3 Bevs 3: Bevset for sætge vl typsk være et såkaldt tælletræ, hvor v her ser på et kokret eksempel med tre uafhægge delvalg med atal valgmulgheder 3, og 4: Der er Vsamlet forskellge samlede valgmulgheder svarede tl de 4 røde plespdser. Udfaldsrummet med 4 elemeter er agvet. Det adet multplkatosprcp er egetlg bare e varato af det første, hvor ma stedet for valgmulgheder (og dermed aturlge tal) taler om sadsylgheder for permutatoer (og dermed om tal mellem 0 og : Sætg 4 (multplkatosprcppet for sadsylghede for permutatoer af uafhægge hædelser): Lad A A... A3 A være e permutato af uafhægge hædelser. Sadsylghede for, at hædelsere alle dtræffer de agve rækkefølge, er: P( A A A... A ) P( A ) P( A ) P( A )... P( A ) 3 3 Eksempel 3: Ma kaster é terg 5 gage og øsker at fde sadsylghede for at slå e er alle 5 gage. Da udfaldet af et tergkast kke afhæger af tdlgere kast, har ma 5 uafhægge hædelser, hver med sadsylghede for at dtræffe. Hermed blver de søgte sadsylghed: P

28 Eksempel 39: Ma kaster é terg 5 gage og øsker at fde sadsylghede for at slå e er de 3 første kast og e er de sdste kast. Ige har ma 5 uafhægge hædelser med sadsylghede for at dtræffe, så ma får: P Bemærk at dette IKKE er det samme som sadsylghede for at slå 3 ere og ere med 5 terger, da sætge lægger vægt på rækkefølge (jævfør ordet: permutato). Eksempel 40: Ma kaster e møt tre gage og øsker at fde sadsylghede for udfaldet pkk. Dee permutato består af tre uafhægge hædelser hver med sadsylghede, så ma har P pkk Eksempel 4: V omformuleret eksempel 37 tl u at se på sadsylghede for at få e kokret permutato, f.eks: sko, strømpepar 4, buks, skjorte 5, bluse. Hvs atallet af valgmulgheder for de ekelte type beklædg er sadsylghede for et bestemt valg være P v med atal valgmulgheder, 5, 3, og 4, gver det altså v, vl. Da v havde 5 uafhægge delvalg P Oveståede eksempel ka fugere som e avsg på, hvorda ma kommer fra det første multplkatosprcp tl det adet. Det er væsetlgt at bemærke, at multplkatosprcppere er e slags "både-og"-prcpper. De forklarer, hvorda ma skal rege på stuatoer, hvor både e hædelse og e ade hædelse og e tredje hædelse og... skal dtræffe. Bemærk at sadsylghede blver mdre, jo flere hædelser der kobles på. Det har vst sg, at meesker kke altd har e tutv opfattelse af multplkatosprcppere. F.eks. vl e del meesker - specelt hvs problemet kke formuleres så drekte - vurdere sadsylghede for, at perso A er bakdrektør og kører Mercedes, højere ed sadsylghede for, at perso A er bakdrektør. V skal u se på "ete-eller"-prcppere: Addtosprcppere Sætg 5 (Addtosprcppet for valgmulgheder): Hvs ma skal vælge et elemet e af mægdere A, A, A3,..., A deholdede heholdsvs v, v, v3,..., v elemeter, har ma V v v v3... v valgmulgheder.

29 Eksempel 4: E pge har om fredage lov tl at vælge e usud tg. Hu ka vælge mellem 5 slags s, 4 slags chokolade, 3 slags vgumm og flødebolle. Hedes samlede valgmulgheder er Vsamlet Eksempel 43: E dreg skal gymaset og har 4 gymaser at vælge mellem, der udbyder heholdsvs 3,, og 5 relevate studeretger. Ha har alt Vsamlet 3 5 valgmulgheder. Ide v ka se på det æste addtosprcp, skal v lge have deferet et begreb: Defto 4: To hædelser A og B kaldes dsjukte, hvs de kke har ogle udfald tlfælles, dvs. hvs AB Ø Eksempel 44: E terg kastes, og ma ser på de tre hædelser: A: Øjetallet er lge. B: Øjetallet er ulge. C: Øjetallet er mdst 5. D: Øjetallet er. A og B er dsjukte hædelser, da øjetallet kke både ka være lge og ulge. De er desude komplemetære hædelser, da de desude tlsamme udgør hele udfaldsrummet U. A B Ø A og B er dsjukte. A B Ø A B U A og B er komplemetære. A og C er kke dsjukte hædelser, da AC C og D er dsjukte hædelser, da C D Ø. Sætg (Addtosprcppet for sadsylgheder): Sadsylghede for at é af de dsjukte hædelser A, A, A3,..., A dtræffer er P P A P A P A P A 3... Eksempel 45: E møt kastes tre gage. V øsker at fde sadsylghede for, at v får etop é kroe eller tre kroe. V lader hædelse A bestå at få etop é kroe og hædelse A er at få tre kroe. V keder sadsylghedere fra tdlgere ( P A og 3 4 P P A P A 3 P A ) og får så: V er u æste fremme ved de cetrale sætger de for kombatork. V magler blot at få deferet et ekelt begreb: 9

30 Permutatoer Defto 5: Lad. Med skrvemåde!, der læses " fakultet", forstås! Desude fastsættes det, at 0! Eksempel 4:! ! Eksempel 47: I Maple dtastes fakultet meget smpelt, da ma ka beytte tastaturets udråbsteg (ma ka også godt fde symbolet uder 'commo symbols'): Som det ses, følger Maple også deftoe 0!. Helt geerelt taler ma om Det tomme produkt, hvlket sættes tl at gve det eutrale elemet ved multplkato (dvs. ). Ma har også De tomme sum, der sættes tl det eutrale elemet ved addto (dvs. 0). Ma ka desude bemærke, at Maple godt ka udrege! r for et decmaltal, selvom vores defto kke tllader det. Det skyldes, at ma ka vse, at ma på etop é måde ka udvde fakultetbegrebet, og at dee udvdelse blver de såkaldte gammafukto, der er deferet for alle reelle tal bortset fra egatve heltal (se edeståede): 30

Betænkning om kommunernes udgiftsbehov. Bilag (med metodediskussion af professor Anders Milhøj)

Betænkning om kommunernes udgiftsbehov. Bilag (med metodediskussion af professor Anders Milhøj) Betækg om kommueres udgftsbehov Blag (med metodedskusso af professor Aders Mlhøj) Betækg r. 36 Oktober 998 Kommueres Udgftsbehov Betækg om kommueres udgftsbehov - Redegørelse fra arbejdsgruppe uder Idergsmsterets

Læs mere

FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse. O p t i k. Jacob Christiansen Afleveringsdato: 3. april 2003 Morten Olesen Andreas Lyder

FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse. O p t i k. Jacob Christiansen Afleveringsdato: 3. april 2003 Morten Olesen Andreas Lyder FY0 Oblgatorsk laboratoreøvelse O p t k Hold E: Hold: D Jacob Chrstase Alevergsdato: 3. aprl 003 Morte Olese Adreas Lyder Idholdsortegelse Idholdsortegelse Forål...3 Måleresultater...4. Salelser...4. Spredelse...5.3

Læs mere

Binomialfordelingen. Erik Vestergaard

Binomialfordelingen. Erik Vestergaard Bnomalfordelngen Erk Vestergaard Erk Vestergaard www.matematkfysk.dk Erk Vestergaard,. Blleder: Forsde: Stock.com/gnevre Sde : Stock.com/jaroon Sde : Stock.com/pod Desuden egne fotos og llustratoner. Erk

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

Finanskalkulationer Side 1/19 Steen Toft Jørgensen. Finanskalkulationer. avanceret rentesregning. matematiske modeller i økonomi

Finanskalkulationer Side 1/19 Steen Toft Jørgensen. Finanskalkulationer. avanceret rentesregning. matematiske modeller i økonomi Faskalkulatoe Sde /9 Stee Toft Jøgese Faskalkulatoe avaceet etesegg matematske modelle økoom Idholdsfotegelse: Kaptel : Rete Retebegebet Omkostge Retefomle Effektv ete Kotuet foetg Tdsdagam Flytg af kaptal

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

Forberedelse til den obligatoriske selvvalgte opgave

Forberedelse til den obligatoriske selvvalgte opgave MnFremtd tl OSO 10. klasse Forberedelse tl den oblgatorske selvvalgte opgave Emnet for dn oblgatorske selvvalgte opgave (OSO) skal tage udgangspunkt dn uddannelsesplan og dt valg af ungdomsuddannelse.

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelser

Vejledende opgavebesvarelser Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.

Læs mere

Lineær regressionsanalyse8

Lineær regressionsanalyse8 Lneær regressonsanalyse8 336 8. Lneær regressonsanalyse Lneær regressonsanalyse Fra kaptel 4 Mat C-bogen ved v, at man kan ndtegne en række punkter et koordnatsystem, for at afgøre, hvor tæt på en ret

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive

Læs mere

Viden Om Vind oftere, stop i tide

Viden Om Vind oftere, stop i tide Vide Om Vid oftere, stop i tide Spørgsmål og svar Idhold Risici og relevas 2 Steffe Aderse Sadsyligheder 5 Per Hedegård Spørgsmål til eksperte 7 Thomas Aderse Til 8 Rasmus Østergaard Pederse E sikker strategi

Læs mere

Sprednings problemer. David Pisinger

Sprednings problemer. David Pisinger Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig

Læs mere

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb:

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb: 0BRetesegig BTæk i femskivigsfaktoe! I dette tillæg skal vi se, at begebet femskivigsfaktoe e yttigt til at fostå og løse foskellige poblemstillige idefo pocet- og etesegig. 3B. Lægge pocet til elle tække

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit Grudlæggede mtemtiske begreber del 1 Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium 1 Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige

Læs mere

NOTAT: Benchmarking: Roskilde Kommunes serviceudgifter i regnskab 2013

NOTAT: Benchmarking: Roskilde Kommunes serviceudgifter i regnskab 2013 Beskæftgelse, Socal og Økonom Økonom og Ejendomme Sagsnr. 260912 Brevd. 1957603 Ref. LAOL Dr. tlf. 4631 3152 lasseo@rosklde.dk NOTAT: Benchmarkng: Rosklde Kommunes servceudgfter regnskab 2013 19. august

Læs mere

Udvikling af en metode til effektvurdering af Miljøstyrelsens Kemikalieinspektions tilsyn og kontrol

Udvikling af en metode til effektvurdering af Miljøstyrelsens Kemikalieinspektions tilsyn og kontrol Udvklng af en metode tl effektvurderng af Mljøstyrelsens Kemkalenspektons tlsyn og kontrol Orenterng fra Mljøstyrelsen Nr. 10 2010 Indhold 1 FORORD 5 2 EXECUTIVE SUMMARY 7 3 INDLEDNING 11 3.1 AFGRÆNSNING

Læs mere

Duo HOME Duo OFFICE. Programmeringsmanual DK 65.044.50-1

Duo HOME Duo OFFICE. Programmeringsmanual DK 65.044.50-1 Duo HOME Duo OFFICE Programmerigsmaual DK 65.044.50-1 INDHOLD Tekiske data Side 2 Systemiformatio, brugere Side 3-4 Ligge til og slette brugere Side 5-7 Ædrig af sikkerhedsiveau Side 8 Programmere: Nødkode

Læs mere

HVIS FOLK OMKRING DIG IKKE VIL LYTTE, SÅ KNÆL FOR DEM OG BED OM TILGIVELSE, THI SKYLDEN ER DIN. Fjordor Dostojevskij

HVIS FOLK OMKRING DIG IKKE VIL LYTTE, SÅ KNÆL FOR DEM OG BED OM TILGIVELSE, THI SKYLDEN ER DIN. Fjordor Dostojevskij HVIS FOLK OMKRING DIG IKKE VIL LYTTE, SÅ KNÆL FOR DEM OG BED OM TILGIVELSE, THI SKYLDEN ER DIN. Fjordor Dostojevskj Den store russske forfatter tænkte naturlgvs kke på markedsførng, da han skrev dsse lner.

Læs mere

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger.

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger. Eksamesspørgsmål mac7100 maj/jui 013. Spørgsmål 1: Ligiger Du skal redegøre for løsig af ligiger og heruder behadle omformigsreglere for ligiger. Giv eksempler på hvorda forskellige ligigstyper (lieære,

Læs mere

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal

Læs mere

G Skriverens Kryptologi

G Skriverens Kryptologi G Skrverens Kryptolog Nels Juul Munch, Mdtsjællands Gymnasum Matematk Indlednng I den foregående artkel G Skrverens Hstore blev det hstorske forløb om G Skrveren beskrevet og set sammenhæng med Sverges

Læs mere

SERVICE BLUEPRINTS KY selvbetjening 2013

SERVICE BLUEPRINTS KY selvbetjening 2013 SERVICE BLUEPRINTS KY selvbetjenng 2013 EFTER Desgn by Research BRUGERREJSE Ada / KONTANTHJÆLP Navn: Ada Alder: 35 år Uddannelse: cand. mag Matchgruppe: 1 Ada er opvokset Danmark med bosnske forældre.

Læs mere

Luftfartens vilkår i Skandinavien

Luftfartens vilkår i Skandinavien Luftfartens vlkår Skandnaven - Prsens betydnng for valg af transportform Af Mette Bøgelund og Mkkel Egede Brkeland, COWI Trafkdage på Aalborg Unverstet 2000 1 Luftfartens vlkår Skandnaven - Prsens betydnng

Læs mere

GENEREL INTRODUKTION.

GENEREL INTRODUKTION. Study Guide til Matematik C. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit - Geerel itroduktio. - Emeliste. - Eksame. - Bilag. Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik C. GENEREL INTRODUKTION.

Læs mere

FOLKEMØDE-ARRANGØR SÅDAN!

FOLKEMØDE-ARRANGØR SÅDAN! FOLKEMØDE-ARRANGØR SÅDAN! Bornholms Regonskommune står for Folkemødets praktske rammer. Men det poltske ndhold selve festvalens substans blver leveret af parter, organsatoner, forennger, vrksomheder og

Læs mere

Formelsamling for matematik niveau B og A på højere handelseksamen

Formelsamling for matematik niveau B og A på højere handelseksamen Frmelsmlg fr mtemtk veu B g A på højere hdelseksme Udervsgsmsteret Erhvervssklefdelge 997 Frmelsmlg fr mtemtk veu B g A på højere hdelseksme Udgvet f Udervsgsmsteret, Erhvervssklefdelge 997. udgve,. plg.

Læs mere

Matematisk trafikmodellering

Matematisk trafikmodellering - Mathematical traffic modelig Grupper.: 8 Gruppemedlemmer: Jacob Hallberg Hasema Kim Alla Hase Ria Roja Kari Vejleder: Morte Blomhøj Semester: 4. Semester, forår 2007, hus 13.1 Studieretig: Det aturvideskabelige

Læs mere

Kompendie Komplekse tal

Kompendie Komplekse tal Kompedie Komplekse tal Prebe Holm 08-06-003 "!#!%$'&($)+*-,. cos(s + t) )0/ si(s + t) Trigoometri er måske ikke så relevat, år ma såda umiddelbart sakker om komplekse tal. Me faktisk avedes de trigoometriske

Læs mere

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q 3, 45926535 8979323846 2643383279 50288497 693993750 5820974944 592307864 0628620899 8628034825 34270679 82480865 3282306647 0938446095 505822372 535940828 4874502 84027093 85205559 6446229489 549303896

Læs mere

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing:

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing: Matema10k C-iveau, Fydelud Side 1 af 10 Auitetsopspaig De fides mage måde at spae op på. Vi vil he se på de såkaldte auitetsopspaig. Emet ka buges som e del af det suppleede stof, og det ka avedes som

Læs mere

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler Eksemple til iveau F, E og D Pocet og ekspoetiel vækst - suppleede eksemple Pocete og decimaltal... b Vækst-fomle... d Fa side f og femefte vises eksemple på bug af vækstfomle. Fomle skives omalt på dee

Læs mere

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Bogstvregig - supplerede eksepler Reduktio... Ligiger... d Bogstvregig Side Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Reduktio M gger to preteser ed hide ved -

Læs mere

Note til Generel Ligevægt

Note til Generel Ligevægt Mkro. år. semester Note tl Generel Lgevægt Varan kap. 9 Generel lgevægt bytteøkonom Modsat partel lgevægt betragter v nu hele økonomen på én gang; v betragter kke længere nogle prser for gvet etc. Den

Læs mere

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs.

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs. Jaua2003/ AM Retesegig - LÅN & OPSPARING 1/8 PROCENT Po cet betyde p. 100" altså hudededele p% = p 100 Decimaltal Ved omskivig fa pocet til decimaltal flyttes kommaet to pladse mod veste 5%=0,05 0,1%=0,001

Læs mere

Brændstof. til krop og hjerne

Brændstof. til krop og hjerne Brædstof til krop og hjere Idhold 3 6 8 10 11 12 14 15 17 22 24 26 27 28 29 30 Kaloriebomber og eergibudter Døget rudt skal di krop og hjere bruge eergi Morgemad Med morgemad er du sikker på, det går godt

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Komplekse tal a b. udgave 004 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for komplekse tal, regeregler, røddere i polyomier bl.a. med heblik på avedelser ved løsig af lieære

Læs mere

Projekt 4. Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen hvordan afdrages

Projekt 4. Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen hvordan afdrages Pojekt 4. Alægsøkoomie i Stoebæltsfobidelse hvoda afdages lå? Dette pojekt hadle om, hvoda økoomie va skuet samme, da ma byggede Stoebæltsfobidelse. Stoe alægspojekte e æste altid helt elle delvist låefiasieet.

Læs mere

TO-BE BRUGERREJSE // Tænder

TO-BE BRUGERREJSE // Tænder TO-BE BRUGERREJSE // Tænder PROCES FØR SITUATION / HANDLING Jørgen er 75 år og folkepensonst. Da han er vanskelgt stllet økonomsk, har han tdlgere modtaget hjælp fra kommunen, bl.a. forbndelse med fodbehandlng

Læs mere

EGA Vejledning om EGA og monotont arbejde

EGA Vejledning om EGA og monotont arbejde EGA og mootot arbejde 04/09/02 14:27 Side 1 Orgaisatioer repræseteret i Idustries Brachearbejdsmiljøråd: Arbejdstagerside: Arbejdsgiverside: Dask Metal Specialarbejderforbudet Kvideligt Arbejderforbud

Læs mere

Salg af kirkegrunden ved Vejleå Kirke - opførelse af seniorboliger. hovedprincipper for et salg af kirkegrunden, som vi drøftede på voii møde.

Salg af kirkegrunden ved Vejleå Kirke - opførelse af seniorboliger. hovedprincipper for et salg af kirkegrunden, som vi drøftede på voii møde. Ishøj Kommune Att.: Kommunaldrektør Anders Hvd Jensen Ishøj Store Torv 20 2635 Ishøj Lett Advokatfrma Rådhuspladsen 4 1550 København V Tlr. 33 34 00 00 Fax 33 34 00 01 lettl lett.dk www.lett.dk Kære Anders

Læs mere

Vanebryderdagen 2009 Vanens magt eller magt over vanen? Valget er dit!

Vanebryderdagen 2009 Vanens magt eller magt over vanen? Valget er dit! Vaebryderdage 2009 Vaes magt eller magt over vae? Valget er dit! Osdag de 4. marts 2009 taastr u p Vaebrydere Torbe Wiese Meditatiosgurue Heig Davere Hjereforskere Milea Pekowa COACHEN Chris MacDoald Ulrik

Læs mere

BRANDBEKÆMPELSE OG KRÆFTRISIKO

BRANDBEKÆMPELSE OG KRÆFTRISIKO BRANDBEKÆMPELSE OG KRÆFTRISIKO Rapport fra Videskoferece på Christiasborg 22. jauar 2013 1 Bradbekæmpelse og kræftrisiko bygger på idlæg og diskussioer på koferece, afholdt på Christiasborg 22. jauar 2013.

Læs mere

Fastlæggelse af strukturel arbejdsstyrke

Fastlæggelse af strukturel arbejdsstyrke d. 23.5.2013 Fastlæggelse af strukturel arbedsstyrke Dokumentatonsnotat tl Dansk Økonom, Forår 2013 For at kunne vurdere økonomens langsgtede vækstpotentale og underlggende saldoudvklng og for at kunne

Læs mere

FTF dokumentation nr. 3 2014. Viden i praksis. Hovedorganisation for 450.000 offentligt og privat ansatte

FTF dokumentation nr. 3 2014. Viden i praksis. Hovedorganisation for 450.000 offentligt og privat ansatte FTF dokumentaton nr. 3 2014 Vden prakss Hovedorgansaton for 450.000 offentlgt og prvat ansatte Sde 2 Ansvarshavende redaktør: Flemmng Andersen, kommunkatonschef Foto: Jesper Ludvgsen Layout: FTF Tryk:

Læs mere

Den Store Sekretærdag

Den Store Sekretærdag De Store Sekretærdag Tilmeld dig ide 1. oktober og få 300 kr. i rabat! De 25. ovember 2008 Tekologisk Istitut Taastrup De 8. december 2008 Mukebjerg Hotel Vejle Nia Siegefeldt, chefsekretær Camilla Miehe-Reard,

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Fourieraalyse. udgave 7 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for fourierrækker og fouriertrasformatio. Det forudsættes i dette otat, at ma har rådighed over matematiklommeregere

Læs mere

Kreditrisiko efter IRBmetoden

Kreditrisiko efter IRBmetoden Kredtrsko efter IRBmetoden Vacceks formel Arbejdspapr, oktober 2013 1 KRAKAfnans - Fnanskrsekommssonens sekretarat Teknsk arbejdspapr udkast 15. oktober 2013 Indlednng Det absolutte mndstekrav tl et kredtnsttut

Læs mere

Import af biobrændsler, er det nødvendigt?

Import af biobrændsler, er det nødvendigt? Vktor Jensen, sekretaratsleder Danske Fjernvarmeværkers Forenng Import af bobrændsler, er det nødvendgt? Svaret er: Nej, kke ud fra et ressourcemæssgt og kapactetsmæssgt synspunkt. Men ud fra et kommercelt

Læs mere

Tabsberegninger i Elsam-sagen

Tabsberegninger i Elsam-sagen Tabsberegnnger Elsam-sagen Resumé: Dette notat beskrver, hvordan beregnngen af tab foregår. Første del beskrver spot tabene, mens anden del omhandler de afledte fnanselle tab. Indhold Generelt Tab spot

Læs mere

TO-BE BRUGERREJSE // Personligt tillæg

TO-BE BRUGERREJSE // Personligt tillæg TO-BE BRUGERREJSE // Personlgt tllæg PROCES FØR SITUATION / HANDLING Pa er 55 år og bor en mndre by på Sjælland. Hun er på førtdspenson og har været det mange år på grund af problemer med ryggen efter

Læs mere

Hvad vi gør for jer og hvordan vi gør det

Hvad vi gør for jer og hvordan vi gør det Hvad vi gør for jer og hvorda vi gør det Vi skaber resultater der er sylige på di budliie... Strategi Orgaisatio Produktio Økoomi [ Ide du læser videre ] [ Om FastResults ] [ Hvorfor os? ] I foråret 2009

Læs mere

Opsparing og afvikling af gæld

Opsparing og afvikling af gæld Opspaig og afviklig af gæld Opspaig Eksempel 1 Lad os state med at se på et eksempel. 100 Euo idbetales å i tæk på e koto, de foetes med 3 % p.a. Vi ha tidligee beeget e såda kotos udviklig skidt fo skidt:

Læs mere

Atom og kernefysik Ingrid Jespersens Gymnasieskole 2007

Atom og kernefysik Ingrid Jespersens Gymnasieskole 2007 Atom og kerefysik Igrid Jesperses Gymasieskole 2007 Baggrudsstrålig Mål baggrudsstrålige i 5 miutter. Udreg atallet af impulser i 10 sekuder. Alfa-strålig α Mål atallet af impulser fra e alfa-kilde ude

Læs mere

Husholdningsbudgetberegner

Husholdningsbudgetberegner Chrstophe Kolodzejczyk & Ncola Krstensen Husholdnngsbudgetberegner En model for husholdnngers daglgvareforbrug udarbejdet for Penge- og Pensonspanelet Publkatonen Husholdnngsbudgetberegner En model for

Læs mere

Notat om porteføljemodeller

Notat om porteføljemodeller Notat om porteføljemodeller Svend Jakobsen 1 Insttut for fnanserng Handelshøjskolen Århus 15. februar 2004 1 mndre modfkatoner af Mkkel Svenstrup 1 INDLEDNING 1 1 Indlednng Dette notat ndeholder en opsummerng

Læs mere

Sammenligning af to grupper

Sammenligning af to grupper Sammeligig af to gruer Reetitio, heruder om kritiske værdier Sammeligig af to gruer Sammeligig af to middelværdier Sammeligig af to adele Sammeligig af to variaser yoteser og hyotesetest. E hyotese er

Læs mere

Differentiation af potensfunktioner

Differentiation af potensfunktioner Hvd er mtemti? B, i-bog ISBN 978 87 766 494 3 Hjemmesideevisig: Differetitio f potesfutioer, Kpitel 4, side 76 Differetitio f potesfutioer. Pscls tret og biomilformle Vi strter med t mide om t poteser

Læs mere

Er det en naturlov at aminosyrer er venstredrejede?

Er det en naturlov at aminosyrer er venstredrejede? Er det e aturlov at amiosyrer er vestredrejede? Aja C. Aderse, Axel Bradeburg og Tuomas Multamäki (NORDITA) Stort set samtlige amiosyrer fides i to udgaver (eatiomere) e vestre og e højredrejet (se figur

Læs mere

ERHVERVS- OG BYGGESTYRELSEN. Huseftersyn. Tilstandsrapport for ejendommen. Sælger: Kirsten Hammerum. Postnr. By 7000 Fredericia

ERHVERVS- OG BYGGESTYRELSEN. Huseftersyn. Tilstandsrapport for ejendommen. Sælger: Kirsten Hammerum. Postnr. By 7000 Fredericia ^ ERHVERVS- OG BYGGESTYRELSEN Huseftersy Tilstadsrapport for ejedomme Sælger: Kirste Hammerum dresse 6.Jullvej93 Postr. By 7000 Fredericia ato Udløbsdato 3-07-200 3-0-20 HE r. Lb. r. Kommuer/Ejedomsr.

Læs mere

Real valutakursen, ε, svinger med den nominelle valutakurs P P. Endvidere antages prisniveauet i ud- og indland at være identisk, hvorved

Real valutakursen, ε, svinger med den nominelle valutakurs P P. Endvidere antages prisniveauet i ud- og indland at være identisk, hvorved Lgevægt på varemarkedet gen! Sdste gang bestemtes følgende IS-relatonen, der beskrver lgevægten på varemarkedet tl: Y = C(Y T) + I(Y, r) + G εim(y, ε) + X(Y*, ε) Altså er varemarkedet lgevægt, hvs den

Læs mere

DIÆTISTEN FOKUS. Besparelser i Region Midt angriber kliniske diætisters faglighed

DIÆTISTEN FOKUS. Besparelser i Region Midt angriber kliniske diætisters faglighed Nr. 135. Jui 2015. 23. årgag DIÆTISTEN FOKUS Erærigsidsats ka spare milliarder - Vi har spurgt politikere, hvorda de ser på erærigsrelaterede problemer som overvægt og udererærig Besparelser i Regio Midt

Læs mere

Vold på arbejdspladsen. Forebyggelse

Vold på arbejdspladsen. Forebyggelse F O A f a g o g a r b e j d e Vold på arbejdspladse Forebyggelse Idhold Et godt forebyggede arbejde Trivsel Faglighed Ledelse Brugeriddragelse Fællesskab Tekiske og fysiske forhold E løbede proces E positiv

Læs mere

Beregning af prisindeks for ejendomssalg

Beregning af prisindeks for ejendomssalg Damarks Saisik, Priser og Forbrug 2. april 203 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og sammelige

Læs mere

Plejebrochure. Gør dit bassin til det bedste

Plejebrochure. Gør dit bassin til det bedste Plejebrochure Gør dit bassi til det bedste Er du god til at vedligeholde dit svømmebassi? Hvis ikke, så lad os hjælpe dig. Med dee brochure vil du hurtigt blive e ekspert. Ethvert svømmebassi ka opå krystalklart

Læs mere

ALLE BØRN HAR RETTIGHEDER DET ER BARE ALMINDELIGE MENNESKER, DER HAR EN SÅRBARHED BØRN OG UNGE FORTÆLLER OM AT VÆRE INDLAGT I PSYKIATRIEN

ALLE BØRN HAR RETTIGHEDER DET ER BARE ALMINDELIGE MENNESKER, DER HAR EN SÅRBARHED BØRN OG UNGE FORTÆLLER OM AT VÆRE INDLAGT I PSYKIATRIEN ALLE BØRN HAR RETTIGHEDER DET ER BARE ALMINDELIGE MENNESKER, DER HAR EN SÅRBARHED BØRN OG UNGE FORTÆLLER OM AT VÆRE INDLAGT I PSYKIATRIEN DET ER BARE ALMINDELIGE MENNESKER, DER HAR EN SÅRBARHED BØRN OG

Læs mere

Til dig, der er lærerstuderende Kender du VIA CFU Center for Undervisningsmidler?

Til dig, der er lærerstuderende Kender du VIA CFU Center for Undervisningsmidler? Ti dig, der er ærerstuderede Keder du VIA CFU Ceter for Udervisigsmider? - for dig og di udervisig VIA CFU - tæt på di og skoes praksis Når det kommer ti æremider, er VIA Ceter for Udervisigsmider eer

Læs mere

DCI Nordsjælland Helsingrsgade SiR 3400 Hillerød tnordijaelland@dgi.dk Telefon 79 4047 00 Fax 79 4047 01 www.dgi.dk/nordsjaelland

DCI Nordsjælland Helsingrsgade SiR 3400 Hillerød tnordijaelland@dgi.dk Telefon 79 4047 00 Fax 79 4047 01 www.dgi.dk/nordsjaelland REDENSBORG KOMMUNE Ansøgnng om tlskud fra samarbejdspuljen Brug venlgst blokbstaver eller udfyld skemaet p dn pc. 1. Ansøgers forenng eller tlsvarende: DGl Nordsjælland 2. Ansøgers postadresse, emal telefonnummer:

Læs mere

Et træ med x blade.. h lg(x) DVS. decision-træet vil en maks højde på lg n! blade. lg(n!) >= n*lg(n) -1.5n = Ө(n*lg(n))

Et træ med x blade.. h lg(x) DVS. decision-træet vil en maks højde på lg n! blade. lg(n!) >= n*lg(n) -1.5n = Ө(n*lg(n)) DM19 1. Iformatio-theoretic lower bouds kap. 8 + oter. Ma ka begræse de teoretiske græse for atallet af sammeligiger der er påkrævet for at sortere e liste af tal. Dette gøres ved at repræsetere sorterig-algoritme

Læs mere

FLYDENDE LEDELSE 6 LEDETRÅDEN BUPL S FAGBLAD TIL PÆDAGOGFAGLIGE LEDERE NR. 1/2013

FLYDENDE LEDELSE 6 LEDETRÅDEN BUPL S FAGBLAD TIL PÆDAGOGFAGLIGE LEDERE NR. 1/2013 FLYDENDE LEDELSE I lgt Hjørrng rør fra Kommune den menge fl yd medarbejd god ledelse tl den en øvste lnd strøm topchef gennem tlbage et usyn- gen. Leadshp Ppelne hedd ledelsestankegangen. Den komm fra

Læs mere

Viden giver vækst. Højtuddannede til midt- og vestjyske virksomheder. Har du overvejet at ansætte en højtuddannet? - Det er en god forretning!

Viden giver vækst. Højtuddannede til midt- og vestjyske virksomheder. Har du overvejet at ansætte en højtuddannet? - Det er en god forretning! Vden gver vækst Højtuddannede tl mdt- og vestjyske vrksomheder Har du overvejet at ansætte en højtuddannet? - Det er en god forretnng! Vrksomheder og højtuddannede har brug for hnanden Vækst forudsætter

Læs mere

Validering og test af stokastisk trafikmodel

Validering og test af stokastisk trafikmodel Valderng og test af stokastsk trafkmodel Maken Vldrk Sørensen M.Sc., PhDstud. Otto Anker Nelsen Cv.Ing., PhD, Professor Danmarks Teknske Unverstet/ Banestyrelsen Rådgvnng 1. Indlednng Trafkmodeller har

Læs mere

Administartive oplysninger.

Administartive oplysninger. DGU r. Stamoplysiger LOOP Nr. Lokal betegelse Matrikkel Nr.: X koordiat Y Koordiat Z kote. 98.853 3.21.03.01 G1-1 6a/7c, Tåig by 552020,95 6207170,19 66,58 T Admiistartive oplysiger. koordiat oplysiger

Læs mere

Kvalitetsmål til On-line algoritmer

Kvalitetsmål til On-line algoritmer Istitut for Matematik og Datalogi Bachelorprojekt Kvalitetsmål til O-lie algoritmer Forfatter: Christia Kuahl Vejleer: Joa Boyar Jauary 1, 2011 Cotets 1 Ileig 3 2 Problemet 3 3 Algoritmer og variater 4

Læs mere

Referat for bestyrelsesmøde d. 22. marts 2015 kl. 11.00 Ellidshøjskole, Ny skolevej 2, 9230 Svenstrup. Dagsorden for bestyrelsesmøde

Referat for bestyrelsesmøde d. 22. marts 2015 kl. 11.00 Ellidshøjskole, Ny skolevej 2, 9230 Svenstrup. Dagsorden for bestyrelsesmøde Referat for bestyrelsesmøde d. 22. marts 2015 kl. 11.00 Ellidshøjskole, Ny skolevej 2, 9230 Svestrup Tilstede: Hae Veggerby, formad( Hveg), Ae sofie Gothe, æstformad (Asgr), Mette Nødskov sekretær ( Met),

Læs mere

Referat fra Bestyrelsesmøde

Referat fra Bestyrelsesmøde Bestyrelsesmøde Holmsland Sogneforenng. Fremmødte: Iver Poulsen, Chrstan Holm Nelsen, Bjarne Vogt, Tage Rasmussen, Bodl Schmdt, Susanne K. Larsen, Vggo Kofod Dagsorden for mødet er: 1) Kommentarer/godkendelse

Læs mere

Centralkontrolenhed MPC-xxxx-B FPA-1200-MPC. Brugervejledning

Centralkontrolenhed MPC-xxxx-B FPA-1200-MPC. Brugervejledning Centralkontrolenhed MPC-xxxx-B FPA-1200-MPC da Brugervejlednng 3 da Indholdsfortegnelse Centralkontrolenhed Indholdsfortegnelse 1 Tl nformaton 8 1.1 Illustraton af trnnene 8 1.2 Vse startmenuen 8 1.3

Læs mere

Nye veje til den gode forflytning

Nye veje til den gode forflytning TEMA Ergoomi Nye veje til de gode forflytig Nye veje til de gode forflytig Brachearbejdsmiljørådet Social & Sudhed Nye veje til de gode forflytig Idhold Nye veje til de gode forflytig side 3 Lies første

Læs mere

BESKÆFTIGELSES- OG LØNSTATISTIK FOR KVINDER

BESKÆFTIGELSES- OG LØNSTATISTIK FOR KVINDER Dansk Journalstforbund Februar 2011 BESKÆFTIGELSES- OG LØNSTATISTIK FOR KVINDER Jobs og lønkroner er kke lgelgt fordelt blandt mandlge og kvndelge forbunds. Derfor har v her samlet fre oversgter, der sger

Læs mere

God fornøjelse. NLP Huset 2010

God fornøjelse. NLP Huset 2010 20 ÅR 20 PORTRÆTTER INDHOLD Forord Velkommen tl NLP Huset Peter Grønnng - Fandme farlgt Karen Jensen I dag ser jeg hele mennesker Lsbeth Holm og Søren Stags Hvad nu hvs? Hvad er Enneagrammet? Chrstel Seerø

Læs mere

Handlingsplan om bedre overvågning af biologiske lægemidler, biosimilære lægemidler og vacciner 2015-2016

Handlingsplan om bedre overvågning af biologiske lægemidler, biosimilære lægemidler og vacciner 2015-2016 Sundheds- og Ældreudvalget 2014-15 (2. samlng) SUU Alm.del Blag 41 Offentlgt Sundheds- og Ældremnsteret Sundheds- og ældremnsteren Enhed: Jurmed Sagsbeh.: hbj Sagsnr.: 1503875 Dok. nr.: 1768205 Dato: 3.

Læs mere

Program. Statistisk inferens En enkelt stikprøve og lineær regression Stat. modeller, estimation og konfidensintervaller. Fordeling af gennemsnit

Program. Statistisk inferens En enkelt stikprøve og lineær regression Stat. modeller, estimation og konfidensintervaller. Fordeling af gennemsnit Faculty of Life Sciece Program Statitik ifere E ekelt tikprøve og lieær regreio Stat. modeller, etimatio og kofideitervaller Clau Ektrøm E-mail: ektrom@life.ku.dk Fordelig af geemit Statitik ifere for

Læs mere

Mødet. Sektioner,blev. i Tømrerkroen. den. 15. oktober. Arbeidsfag

Mødet. Sektioner,blev. i Tømrerkroen. den. 15. oktober. Arbeidsfag Møt 15. oktober d WILLY VED Forløber Tømrerkro 1871 MARKVAD Socalmokret,»D Internonale Arbejng Danmark«, stftet på et mø Tømrerkro, Alga 27, d 15. oktober 1871. Ugeblat Socalst bragte nr. 15, lørdag d

Læs mere

14. Fagligt samarbejde matematik og samfundsfag

14. Fagligt samarbejde matematik og samfundsfag ISBN 978-87-766-494-3 4. Fagligt samarbejde matematik og samfudsfag Idholdsfortegelse Idledig Samfudsfag sat på formler II... 2 Tema : Multiplikatorvirkige... 3. Hvad er e multiplikatoreffekt?... 3 2.

Læs mere

Kombinatorik og Sandsynlighedsregning

Kombinatorik og Sandsynlighedsregning Kombinatorik Teori del 1 Kombinatorik er en metode til at tælle muligheder på. Man kan f.eks. inden for valg til en bestyrelse eller et fodboldhold, kodning af en lås, valg af pinkode eller telefonnummer,

Læs mere