x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium"

Transkript

1 SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasum

2 Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 Sadsylghedsfelt... 3 Edelge sadsylghedsfelter (sadsylghedsfordelger):... 3 Uedelge sadsylghedsfelter:... 4 Hædelser:... 5 Hædelser et symmetrsk sadsylghedsfelt... Betget sadsylghed:... 7 De store tals lov... Sadsylgheder og frekveser:... De store tals lov:... Stokastsk varabel... Mddelværd, spredg og varas... 3 Tæthedsfukto og fordelgsfukto... 7 Normeret stokastsk varabel... 9 Uafhægge stokastske varable... KOMBINATORIK... 5 Cetrale begreber... 5 Multplkatosprcppere:... Addtosprcppere... Permutatoer Kombatoer Pascals Trekat (De Artmetske Trekat) Chu-Vadermodes dettet Bomalfordelge De hypergeometrske fordelg OVERSIGT OVER DEFINITIONER OG SÆTNINGER OPGAVER FACITLISTE (med forklarger)... 5

3 SANDSYNLIGHEDSREGNING Begrebet sadsylghed er som udgagspukt kyttet tl stuatoer eller forsøg, hvor der - ford der spller ogle tlfældgheder d - optræder mere ed ét mulgt udfald. V kalder sådae stuatoer eller forsøg for stokastske ekspermeter, mes ekspermeter med ét (forudsgelgt) udfald kaldes determstske ekspermeter. Ma ka så udvde sadsylghedsbegrebet tl at omfatte alle stuatoer ved at tldele et skkert udfald sadsylghede 00% og et umulgt udfald sadsylghede 0%. I dsse tlfælde bruger v dog betegelsere hædelse stedet for udfald. Sadsylghedsfelt Et stokastsk ekspermet ka beskrves ved ete et edelgt eller et uedelgt sadsylghedsfelt. Edelge sadsylghedsfelter (sadsylghedsfordelger): Defto : Et edelgt sadsylghedsfelt, U P består af et udfaldsrum U u u ; u ;...;, ; 3 hvor, 3,4, 5,..., der er mægde af samtlge mulge udfald, samt e sadsylghedsfukto P: U 0;, der agver sadsylghede for de ekelte udfald. Der gælder 3 P u P( u ) P( u ) P( u )... P( u ) Ma ka også avede ordet sadsylghedsfordelg stedet for sadsylghedsfelt. Eksempel : Et stokastsk ekspermet består at kaste e møt 3 gage og otere for hvert kast, om det gver plat eller kroe. Det edelge sadsylghedsfelt, der beskrver dette ekspermet, er: u U P(u) kkk kkp kpk kpp pkk pkp ppk ppp = Kotrol. Eksempel : Et stokastsk ekspermet består at kaste e almdelg terg (regulært heksaeder) og otere øjetallet. Det edelge sadsylghedsfelt blver så: U Pu Begge oveståede eksempler kaldes også for symmetrske sadsylghedsfelter: I det sdste eksempel vlle ma kue bestemme mddelværde for sadsylghedsfeltet, mes det kke er tlfældet for det første eksempel. V skal seere berege mddelværder efter at have dført begrebet stokastsk varabel, så det veter v med dtl vdere. Eksemplere og er begge eksempler på såkaldte symmetrske sadsylghedsfordelger, hvlket følger af defto : 3

4 Defto : Et edelgt sadsylghedsfelt, hvor sadsylghedere for hvert udfald er es, dvs., P u P u u u U, kaldes et symmetrsk sadsylghedsfelt. j j Et eksempel på et edelgt sadsylghedsfelt, der IKKE er symmetrsk er: Eksempel 3 (et IKKE-symmetrsk sadsylghedsfelt): Det stokastske ekspermet, der består at kaste to terger og otere summe af øjetallee, gver følgede edelge sadsylghedsfelt: U Pu Pu Kotrol: Bemærk altså at oveståede IKKE er et symmetrsk sadsylghedsfelt, selvom ma ret hurtgt ka bemærke e form for symmetr skemaet. Uedelge sadsylghedsfelter: Defto 3: Et uedelgt sadsylghedsfelt U, Pbestår af et udfaldsrum U u ; u; u3;... med uedelgt mage udfald samt e sadsylghedsfukto P: U 0;, der agver sadsylghede for de ekelte udfald. Der gælder Pu P u P u P u3 ( ) ( ) ( )... Eksempel 4: Et stokastsk ekspermet består at blve ved med at kaste e møt, dtl ma første gag får plat, og ma oterer ved hvert kast, om det blev plat eller kroe. Dette gver følgede uedelge sadsylghedsfelt: U p kp kkp kkkp kkkkp kkkkkp... Pu Kotrol: Pu Eksempel 5: Et stokastsk ekspermet består at blve ved med at kaste e terg, dtl ma slår e 4'er, og ma oterer atallet af kast. Dette gver følgede uedelge sadsylghedsfordelg: U Pu Med e sætg fra forløbet om uedelgheder får ma: Pu Kotrol: 4

5 Hædelser: Defto 4: E delmægde af et udfaldsrum kaldes for e hædelse. Af deftoe følger: Sætg : Sadsylghede for e hædelse er summe af sadsylgheder for de udfald, som hædelse består af. Eksempel : I eksempel 4 kue e hædelse bestå, at ma får plat adet eller tredje kast, dvs. 3 H kp, kkp. Sadsylghede for dee hædelse er PH Pkp Pkkp. 4 Eksempel 7: I eksempel 3 kue e hædelse være at slå mdst 9 med de to terger, dvs. 5 H 9,0,, og PH P9 P0 P P 9 3 Da e delmægde af U både ka være de tomme mægde og hele U, har ma følgede særlge hædelser: Hvs H Øer PH 0, hvlket kaldes for e umulg hædelse. Hvs H U er PH, hvlket kaldes for e skker hædelse. Desude har ma følgede: De komplemetære hædelse tl H skrves H og består af alle de udfald U, der kke er med H. De umulge hædelse og de skre hædelse er komplemetære hædelser. Desude gælder følgede vgtge sætg: Sætg : PH PH Eksempel : I eksempel 7 er de komplemetære hædelse tl H hædelse H,3, 4,5,,7,, der består højst at slå med to terger. Sadsylghede er PH PH 5 3 I e hel del stuatoer er det meget emmere at bestemme sadsylghede for de komplemetære hædelse ed for de søgte hædelse, og så ka sætg beyttes. Eksempel 9: I eksempel 5 kue ma se på hædelse H, der består, at ma får mdst kast. Hvs ma øsker at fde sadsylghede for dee hædelse, er det emmere først at se på komplemetærhædelse H, der består at opå etop kast, hvorefter ma har: 5 PH PH 5

6 Øjetal for terg A Hædelser et symmetrsk sadsylghedsfelt I et symmetrsk sadsylghedsfelt, hvor sadsylghede for hvert udfald som bekedt er es, ka ma ret emt berege sadsylghede for hædelse: Sætg 3: I et symmetrsk sadsylghedsfelt, hvor udfaldsrummet deholder udfald, er sadsylghede for hædelse H beståede af r udfald gvet ved: r PH Atal gustgeudfald Dette skrves sommetder som: Phædelse Atal mulgeudfald Eksempel 0: Se på tergkastet fra eksempel, hvor ma har et symmetrsk sadsylghedsfelt, og hvor atallet af elemeter udfaldsrummet er slå mdst e 3'er, deholder 4 elemeter, så ma har. Hædelse H 3, 4,5, 4 P H 3, der består at Dee sætg ka godt vrke meget begræset af forudsætge om, at det skal være e symmetrsk sadsylghedsfordelg, me ofte ka ma kke-symmetrske tlfælde betragte stuatoe fra e ade dfaldsvkel, der gver et adet udfaldsrum, og dermed mplct arbejde med et "bagvedlggede" symmetrsk sadsylghedsfelt. Eksempel : I eksempel 3, hvor ma kaster to terger og ser på summe af øjetallee, fk ma som bekedt et kke-symmetrsk sadsylghedsfelt. Me hvs ma ædrer udfaldsrummet tl følgede med 3 udfald,... U Øjetal for terg B (,) (,) (,3) (,4) (,5) (,) (,) (,) (,3) (,4) (,5) (,) 3 (3,) (3,) (3,3) (3,4) (3,5) (3,) 4 (4,) (4,) (4,3) (4,4) (4,5) (4,) 5 (5,) (5,) (5,3) (5,4) (5,5) (5,) (,) (,) (,3) (,4) (,5) (,)... får ma et symmetrsk sadsylghedsfelt med Pu. 3 Hædelse beståede at summe gver 4 er så 3,,,,,3 H, og da H deholder 3 elemeter, er 3 PH. 3 Hædelse beståede at summe gver er H,, 5,3, 4,4, 3,5,, 5 P H. 3 og deholder altså 5 elemeter, dvs.

7 Betget sadsylghed: V har hdtl ku set på hædelser hver for sg. V skal u tl at se på flere hædelser forbdelse med hade forstået på de måde, at v skal se på sadsylghede for, at hædelse A dtræffer uder forudsætg af at hædelse B er dtruffet. Dette skrves som: P A B Det læses som: Sadsylghede for hædelse A, gvet hædelse B. Eller: De betgede sadsylghed for hædelse A, gvet hædelse B. Eksempel : Eksempler på sådae stuatoer kue være: Hvad er sadsylghede for at få et ulge øjetal ved et kast med e terg, gvet at øjetallet er over 3? Hvad er sadsylghede for at være farvebld, gvet at du er e mad? Hvs ma kaster e møt tre gage, hvad er så sadsylghede for at få kroe tredje kast, gvet at ma har fået plat adet kast? V øsker u at fde e formel tl at berege dsse betgede sadsylgheder og ser derfor på følgede udfaldsrum U u, u, u,..., u beståede af udfald: 3 A u, u3, u5, u7, u og B u4, u5, u, u, u0 Fællesmægde A B u, u er forskellge hædelser. udgør sg selv e hædelse, og de er væsetlg dee 5 sammehæg, for år v skal se på sadsylghede for, at hædelse A dtræffer, uder forudsætg af at hædelse B er dtruffet, så svarer det tl, at v har begræset udfaldsrummet fra U tl B og u ser på sadsylghede for, at hædelse A Bdtræffer. Eller med adre ord: Det er gvet, at e af hædelsere u4, u5, u, u og u0 er dtruffet, og v skal u fde sadsylghede for, at det er e af hædelsere u5eller u, der er dtruffet. Dette gver os følgede formel: Sætg 4: P A B P A B P B 7

8 Bemærk at A B B A, for vestresde består jo af de elemeter, der både lgger A og B, mes højresde består af de elemeter, der både lgger B og A, dvs. det er de samme elemeter, der dgår på begge sder. Da omskrvger af sætg 4 gver P A B P A B PBog PB A PB A P A og da P A B PB A, har ma altså P A B PB PB A P A eller omskrevet: Sætg 5 (Bayes' sætg): P A P A B P B A P B, Eksempel 3: Hvad er sadsylghede for at få et ulge øjetal ved et kast med e terg, gvet at øjetallet er over 3? V har altså de to hædelser,3,5 A og B 4,5,, hvor A B 5. Det er et symmetrsk sadsylghedsfelt med mulge udfald, så alle udfald har sadsylghede, og ma har så: P A B P A B PB 3 3 Ma kue også have set på de modsatte stuato: Hvad er sadsylghede for at få et øjetal over 3, gvet at kastet gav et ulge øjetal: PB A PB A P A 3 3 V kue også have beytte Bayes' sætg tl at udrege det sdste: 3 PB PB A P A B P A Hvs sadsylghedere for de to hædelser A og B er lge store, fortæller Bayes' sætg os altså, at de to betgede sadsylgheder er lge store. Me hvs f.eks. sadsylghede for e hædelse A er dobbelt så stor som sadsylghede for e hædelse B, så vl de betgede sadsylghed for hædelse A, gvet hædelse B, også være dobbelt så stor som de betgede sadsylghed for hædelse B, gvet hædelse A.

9 Lad os u se på et tlfælde, hvor sadsylghedere for hædelsere A og B kke er lge store: Eksempel 4: Hvad er sadsylghede for at få et ulge øjetal ved et kast med e terg, gvet at øjetallet er over 4? V har de to hædelser,3,5 A og B 5,, hvor A B 5. Ma har så: P A B P A B PB Hvad er sadsylghede for at få et øjetal over 3, gvet at kastet gav et ulge øjetal? PB A PB A P A 3 3 Bayes' sætg avedt tl at fde det sdste resultat: PB PB A P A B P A V ser u på edu et eksempel, hvor sadsylghedere for hædelsere A og B er lge store, og hvor v derfor øjes med at berege P A B, da v ved, at PB A P A B : Eksempel 5: Hvs ma kaster e møt tre gage, hvad er så sadsylghede for at få kroe tredje kast, gvet at ma har fået plat adet kast? Det er et symmetrsk sadsylghedsfelt med udfaldsrummet U ppp, ppk, pkp, pkk, kpp, kpk, kkp, kkk og Pu. V har desude: Hædelse at få kroe tredje kast: A ppk, pkk, kpk, kkk Hædelse at få plat adet kast: B ppp, ppk, kpp, kpk AB ppk, kpk P A B P A B PB 4 4 Eksempel 5 fører os vdere tl såkaldte uafhægge hædelser. Ma ka hurtgt overbevse sg selv om, at det at få plat adet kast kke ka have oge dvrkg på, om ma får kroe tredje kast, eller sagt på e ade måde: Sadsylghede for at få kroe tredje kast er uafhægg af, om ma har fået plat eller ej adet kast. 9

10 V deferer u: Defto 5: Hædelse A sges at være uafhægg af hædelse B, hvs P A B P A Øvelse : Udersøg hvlke af stuatoere eksemplere 3, 4 og 5, at de ee af hædelsere er uafhægg af de ade. V ser u på følgede vgtge - og måske overraskede - sætg: Sætg : Hvs hædelse A er uafhægg af hædelse B, så er hædelse B også uafhægg af hædelse A, og ma taler derfor om de uafhægge hædelser A og B. Bevs : Atag at hædelse A er uafhægg af hædelse B. Der gælder så følge defto 5 og sætg 4: P A B P B P A P A B Og dermed ka udtrykket omskrves tl: P A P A PB A P B A P B A P B P B dvs. følge sætg 4: P B Ifølge defto 5 har v altså, at B er uafhægg af A. Ved at ærstudere bevset ka ma desude se følgede sætg: Sætg 7: Hædelsere A og B er uafhægge, etop hvs P A B P A PB Øvelse : Tjek om du - evt. ved ærlæsg af bevset for sætg - ka se, at der gælder "etop hvs" (dvs. e bmplkato) sætg 7. Eksempel : V kaster e møt fre gage og vl gere udersøge, om følgede hædelser er uafhægge: A: Ma får kroe adet kast. B: Ma får mdst to plat alt. Sadsylghedsfeltet er symmetrsk og består af et udfaldsrum med mulge udfald: U pppp, pppk, ppkp, ppkk, pkpp, pkpk, pkkp, pkkk, kppp, kppk, kpkp, kpkk, kkpp, kkpk, kkkp, kkkk A pkpp, pkpk, pkkp, pkkk, kkpp, kkpk, kkkp, kkkk udfald B pppp, pppk, ppkp, ppkk, pkpp, pkpk, pkkp, kppp, kppk, kpkp, kkpp AB pkpp, pkpk, pkkp, kkpp 4 udfald P A PB 3 4 P A B 4 Da P A B P A PB er hædelsere IKKE uafhægge. udfald 0

11 Da hædelse B eksempel er mere sadsylg ed hædelse A, så ved v desude følge Bayes' sætg, at det er mere sadsylgt at få mdst to plat, gvet at adet kast var kroe, ed det er at få kroe adet kast, gvet at ma får mdst to plat. Eksempel 7: E møt kastes 3 gage, og v vl gere udersøge, om følgede hædelser er uafhægge: A: Ma får kroe første kast. B: Ma får det samme alle tre kast. V har mægdere: U A B ppp, ppk, pkp, pkk, kpp, kpk, kkp, kkk kpp, kpk, kkp, kkk ppp, kkk A B kkk Udreggere gver: P A PB 4 P A B Da P A B P A PB er hædelsere A og B uafhægge. De store tals lov Sadsylgheder og frekveser: Sadsylgheder og frekveser er begge størrelser, der lgger tervallet 0; eller mellem 0% og 00%, me det er vgtgt at skele mellem dsse to beslægtede begreber. Sadsylgheder hører - kke overraskede - hjemme de for sadsylghedsregg, mes frekveser hører hjemme de for statstk. Sadsylgheder er oget, ma tæker sg frem tl (ofte ved ddragelse af kombatork), mes frekveser fremkommer ved beregg på dsamlet data. Dette ka llustreres med følgede skema:

12 De store tals lov: Sætg (De store tals lov): Ved getagelse af et ekspermet gage, gælder, hvor f u f u P u for er frekvese for udfaldet u og Pu er sadsylghede for udfaldet u. Eller ldt løst sagt: Jo flere gage ma udfører et ekspermet, jo tættere kommer frekvese for et udfald store træk på sadsylghede for et udfald. Eller: De observerede hyppgheder vl store træk komme relatvt tættere på de forvetede hyppgheder, jo flere gage ma udfører et ekspermet. Stokastsk varabel V øsker u at dføre begrebere mddelværd, varas og spredg som ogle størrelser, der skal fortælle oget om vores ekspermeter. Me dsse størrelser kræver tal, der ka reges på, og v har hdtl set eksempler på udfaldsrum - f.eks. U ppp, ppk, pkp, pkk, kpp, kpk, kkp, kkk kke består af tal. V vl derfor u dføre begrebet stokastsk varabel, der er e fukto, der sætter tal på de ekelte udfald. I oveævte tlfælde kue e stokastsk varabel f.eks. være e fukto, der agav det samlede atal plat, eller det kue være e fukto, der gav værde 0, hvs det adet kast gav kroe, og ellers -5. Helt geerelt dfører v altså: - der Defto : E stokastsk varabel X et edelgt sadsylghedsfelt er e fukto der tl ethvert udfald udfaldsrummet kytter et reelt tal. X : U R, Eksempel : Hvs ma kaster e møt tre gage, ka e stokastsk varabel være de fukto, der tl hvert af de udfald kytter atallet af kroe: U kkk kkp kpk kpp pkk pkp ppk ppp X u 3 0 Hvs ma kytter e sadsylghedsfukto på, får ma: t 0 3 P X t 3 3 Her er t altså de værder, som de stokastske varabel ka atage.

13 Eksempel 9: Et lykkehjul med forskellge farver ka drejes, og ekspermetet beståede at dreje é gag ka beskrves ved sadsylghedsfeltet: U Grø Blå Sort Gul Volet Hvd Pu 0,0 0,05 0,5 0,30 0,0 0,40 Lykkehjulet avedes et tvol, så ma ka vde pege, hvs ma er heldg, og vores stokastske varabel skal dette tlfælde være e fukto, der "oversætter" farve tl et beløb ( kroer). Det kue f.eks. være: U Grø Blå Sort Gul Volet Hvd X u Når v har dført begrebet stokastsk varabel, ka v dføre følgede størrelser, der fortæller oget om de stokastske varabel (og dermed om det ekspermet, som de stokastske varabel er e del af): Mddelværd, spredg og varas Defto 7: I et edelgt sadsylghedsfelt med de stokastske varabel X, der ka atage værdere x, x, x3,..., x m, dføres størrelsere: Mddelværd ( eller E X ): x P X x Varas: var X x P X x m m Spredg: var X 3

14 Eksempel 0: V vl bestemme mddelværd, varas og spredg for de stokastske varabel dført eksempel : x P X x 0 3 var 4 X x P X x var X 0, 4 V vl altså geemst få,5 kroe, år v udfører ekspermetet. Eksempel : V udreger mddelværde eksempel 9: x P X x 0 0, 0 0 0, 05 50,5 0, , 0 0 0, 40 0, 0, 75 0, 0 4,5 Dvs. ma vder geemst 4,5 pr. spl (som skkert koster et sted mellem 0 og 0 kroer). Da var( X ) fortæller spredge og varase på s vs det samme om de stokastske varabel. De fortæller det bare med forskellge værder. V støder på dem ge de for statstk, me tl at begyde med, skal v se på ogle sætger, der omhadler, og var X. De fortæller bl.a. oget om, hvad der sker med de tre størrelser, hvs ma eksempel 9 vælger at øge eller sæke gevste med e fast størrelse eller med e fast procetdel: Sætg 9: I et edelgt sadsylghedsfelt med de stokastske varable X og Y, gælder følgede, år a og b er reelle tal: Mddelværd: a) E a X b a E X b b) E X Y E X E Y Spredg: c) a X b a X Varas: d) var X E X E X e) var a X b a var X 4

15 Ide v ser på bevsere for dsse sætger, skal v lge geemgå, hvad der mees med, at der (på samme td) ka være flere stokastske varable kyttet tl et edelgt sadsylghedsfelt. Først ka det bemærkes, at der kke er oget defto, der forhdrer det. Derefter ka v se på et kokret eksempel: Eksempel : V bygger vdere på eksempel, hvor e møt blev kastet tre gage, og hvor vores stokastske varabel X agav atallet af kroe. V ser u på to adre stokastske varable tlkyttet samme sadsylghedsfelt. Y: Agver atallet af plat. Z: Agver atallet af skft fra plat tl kroe eller omvedt. Det gver os: U kkk kkp kpk kpp pkk pkp ppk ppp X u 3 0 Yu 0 3 Zu 0 0 X Y u X Z u x 0 3 P X x 3 3 y 0 3 P Y y 3 3 z 0 P Z z 4 4 x y 3 P X Y x y V har allerede eksempel 0 bereget også gælder EY 3. Desude ka v udrege: 3 E Z z PZ z Lad os u se på E X Y og E X Z 3 E X, og det ka hurtgt dses, at der. De stokastske varabel X Y kytter tl ethvert elemet U et reelt tal, der er summe af de to tal, som heholdsvs X og Y kyttede tl tallet (se tabelle ovefor). V ser ret hurtgt, at E X Y 3 Desude ka ma udrege:, og v bemærker, at sætg 9.b gælder E X Z x z P X Z x z Ige bemærkes det, at sætg 9.b gælder. x z P X Z x z 4 5

16 Bevs 9: E stor del af bevsere består at kue rege med sumteg. 9.a: V beytter defto7 på mddelværd og bemærker, at det er selve værdere af de stokastske varabel, der blver ædret med a og b, mes der kke sker oget med sadsylghedsfuktoe, der jo er tlkyttet det oprdelge sadsylghedsfelt: m m m E a X b a x b P X x a x P X x b P X x m m a x P X x b P X x a E X b a E X b Der blev æst sdste skrdt beyttet P X x m, da sadsylghedere for alle udfald og dermed også for alle værder af de stokastske varabel summerer op tl. 9.e: V beytter defto 7 på varas: var m a X b a x b E a X b P X x m m a x b a E X b P X x a x E X P X x m var a x E X P X x a X 9.c: Dette følger drekte af sætg 9.e samt defto 7. 9.b: Når v skal bevse dee sætg, er det vgtgt at være opmærksom på, at v er ødt tl at gå helt tlbage tl udfaldsrummet, år v arbejder med sumtegee, for som v så eksempel, kue forskellge udfald godt gve es værder for X, me forskellge værder for X Z (f.eks. kkp og kpk). E X Y X Y u P u X u P u Y u P u X u P u Y u P u E X E Y 9.d: Her skal ma gøre sg klart, at ma med X meer de stokastske varabel, der tl hvert udfald gver kvadratet på de værd, som de stokastske varabel X gver. var m X x E X P X x m x E X x E X P X x m m m x P X x E X P X x x E X P X x m m E X E X P X x E X x P X x E X E X E X E X E X E X

17 Eksempel 3: Sætg 9.d. blev tdlgere - de computere overtog arbejdet - avedt, år ma skulle bestemme varase, ford det ofte var hurtgere at foretage dee udregg. Lad os se på eksempel og sammelge med eksempel 0: U kkk kkp kpk kpp pkk pkp ppk ppp X u 3 0 X u x 0 3 x P X x 3 3 P X x E X x P X x E X x P X x X E X E X var Resultatet stemmer med eksempel 0 (me ma ka også bemærke, at der dette tlfælde kke var det store regearbejde at spare). Tæthedsfukto og fordelgsfukto Når v arbejder med vores dskrete sadsylghedsfelter med tlkyttet stokastsk varabel X, har v vores sadsylghedsfukto P X x, der tl hver værd af de stokastske varabel kytter sadsylghede for dee værd. Dette ka afbldes et pdedagram. Eksempel 4: Dataee fra eksempel 3 afbldes Maple: 7

18 V skal seere de for statstk arbejde med kotuerte fuktoer, og her ka ma kke arbejde med sadsylghedsfuktoer på samme måde, da sadsylghede for et kokret udfald e kotuert fordelg vl være 0 (da der er uedelgt mage udfald de for ethvert terval). I dsse tlfælde arbejder ma med tæthedsfuktoer. Defto : For et (kotuert) udfaldsrum U I, hvor I er et terval, kaldes e fukto f x b for tæthedsfuktoe, hvs det gælder [, ], hvor Pu [ a, b] ab,. a, b I med b a for tervallet P u a b f x dx for alle a er sadsylghede for, at udfaldet lgger de Eksempel 5: De såkaldte ormerede ormalfordelg (også kaldet u-fordelge) har tæthedsfuktoe f x e x. Grafsk ser de ud på følgede måde: V veder tlbage tl dee fordelg uder statstk. I modsætg tl begrebet tæthedsfukto, der ku gver meg for og derfor oftest ku avedes forbdelse med kotuerte udfaldsrum, så avedes det æste begreb både dskrete og kotuerte stuatoer: Defto 9: For et sadsylghedsfelt med tlkyttet stokastsk varabel X og sadsylghedsfukto P X x, er fordelgsfuktoe F x P X x de fukto, der tl ehver værd x agver sadsylghede for højst at opå værde x. For et (kotuert) udfaldsrum U I, hvor I er et terval, med tæthedsfuktoe x f x, er fordelgsfuktoe F x edepukt (evt. ). f t dt, hvor a er tervallets vestre a

19 V skal se e del på fordelgsfuktoer de kotuerte tlfælde, så her ses udelukkede eksempler forbdelse med sadsylghedsfelter. Eksempel : I eksempel 3 har v følgede sadsylghedsfukto P x Fx Fx : P x og fordelgsfukto X Eksempel 7: E fordelgsfukto for et sadsylghedsfelt med tlkyttet stokastsk varabel vl afbldes som et såkaldt trappedagram: De blå ljer agver de såkaldte kvartlsæt, me det veder v også tlbage tl seere. Normeret stokastsk varabel I eksempel 5 så v på de ormerede ormalfordelg, der også kaldes u-fordelge. Det er et specaltlfælde af følgede defto, der forklarer, hvorda ma ud fra e gvet stokastsk varabel ka dae e ade stokastsk varabel med ogle øskede egeskaber (se sætg 0). Defto 0: Lad X være e stokastsk varabel med mddelværd og spredg. De X stokastske varabel U kaldes så for de tlsvarede ormerede stokastske varabel. 9

20 Eksempel : V ser ge på eksempel, hvor v eksempel 0 beregede, at X og : P X x X 3 De tlsvarede ormerede stokastske varabel X U er så: U P U x 3 3 Sætg 0: E ormeret stokastsk varabel har mddelværde 0 og spredge. Eksempel 9: V beytter sætg 9 tl at berege mddelværd og spredg for de ormerede stokastske varabel fra eksempel. Først beyttes sætg 9.a: X E U E E X Dvs. mddelværde af de stokastske varabel U er 0. Sætg 9.c gver os: X 3 3 U X Dvs. at de stokastske varabel U har spredge. Bevs 0: V ka udytte ogle af resultatere sætg 9 tl at bevse sætg 0: Vores udgagspukt er, at de stokastske varabel X har mddelværde og spredge (der er e kke-egatv størrelse). Af sætg 9.a følger: X E U E E X E X 0 0 Dvs. mddelværde for de stokastske varabel U er 0. Af sætg 9.c følger: X U X X X Dvs. de stokastske varabel U har spredge. 0

21 Uafhægge stokastske varable I defto 5 og sætgere og 7 så v på uafhægge hædelser. V ka på samme måde tale om uafhægge stokastske varable. Ma skal huske på, at e stokastsk varabel er e fukto, der tl ethvert elemet udfaldsrummet kytter et reelt tal, dvs. de ka godt kytte det samme tal tl flere forskellge udfald, og e stokastsk varabel ka så være e måde, hvorpå ma får daet forskellge hædelser, emlg ved at lade de forskellge hædelser hver sær bestå af de udfald, som de stokastske varabel tldeler samme værd. Eksempel 30: V ser ge på stuatoe fra eksempel (e møt kastes tre gage og de stokastske varabel agver atal 'kroe'). U kkk kkp kpk kpp pkk pkp ppk ppp X u 3 0 I dette tlfælde daer de stokastske varabel hædelsere: H H H H 3 4 ppp kpp, pkp, ppk kkp, kpk, pkk kkk V beytter så sætg 7 som udgagspukt for følgede defto: Defto : De stokastske varable X og Y kaldes uafhægge, hvs det gælder, at: j j x VmX, y VmY P X x Y y P X x P Y y j Eksempel 3a: V ser edu egag på stuatoe med 3 kast med e møt. V ser på tlfældet: X: Agver atallet af kroe. Y: Agver atallet af plat. Vores klare foremmelse må være, at dsse to stokastske varable IKKE er uafhægge, for hvs ma keder værde for de ee, keder ma de også for de ade ud fra lgge y 3 x. V ser på et par stuatoer: a) X gver og Y gver. V ka kke have begge dele på é gag, så P X Y V har P X og PY, dvs. P X PY Da P X Y P X PY er de stokastske varable IKKE uafhægge, og derfor behøver v egetlg kke at se på flere udregger, me her kommer e mere for forståelses skyld. b) X gver og Y gver. Her har v: P X Y og P X PY 4 Dvs. P X Y P X P Y

22 Eksempel 3b: Tre kast med e møt og følgede stokastske varable: X: Atal kroe. Y: Atal kast Bemærk at Y er e ret kedelg stokastsk varabel, der hele tde gver 3. Dermed skulle det også være oplagt, at dsse to stokastske varable er uafhægge. Der ses på ogle stuatoer (tæk selv over sadsylghedere): a) X 0 og Y 3: b) X og Y 3: P X 0 Y 3 P X 0 PY 3 Dvs. P X 0 Y 3 P X 0 P Y P X Y 3 P X PY 3 Dvs. P X Y 3 P X P Y 3 d) X 3 og Y 3 : c) X og Y 3: 3 3 P X Y 3 P X PY 3 Dvs. P X Y 3 P X P Y 3 P X 3 Y 3 P X 3 PY 3 Dvs. P X 3 Y 3 P X 3 P Y 3 V har u geemgået alle kombatoer og set, at udtrykket er sadt alle tlfælde, og dermed er dsse to stokastske varable uafhægge. Eksempel 3c: Ige 3 kast med e møt. X: Atal kroe. Z: Atal skft fra plat tl kroe. Dette kedes fra eksempel, og ma ka se sadsylgheder ud fra tabellere dette eksempel. V ser på 4 ud af de mulge kombatoer. a) X 0 Z 0 P X 0 Z 0 P X 0 PZ 0 4 Falsk b) X 0 Z P X 0 Z 0 P X 0 PZ Falsk c) X 0 Z P X 0 Z 0 P X 0 PZ 4 Falsk h) X Z P X Z P X 3 PZ 4 Falsk Edu egag har v altså IKKE uafhægge stokastske varable.

23 Sætg : For uafhægge stokastske varable X og Y gælder: E X Y E X E Y Eksempel 3: Ide bevset for sætge er det vgtgt at forstå, hvad der mees med de stokastske varabel X Y, der dgår sætge. V tager udgagspukt eksempel 3c (og hermed eksempel ) for at forstå betydge. U kkk kkp kpk kpp pkk pkp ppk ppp X u 3 0 Zu 0 0 u X Z X Z gver for hvert udfald produktet af de værder, som X og Z hver sær tldeler udfaldet. Bevs : I bevset avedes dobbelte sumteg, der skal forstås på de måde, at for hver værd af udreges hele sumteget med j. De stokastske varabel X's værdmægde består af k elemeter, mes VmY deholder l elemeter. Tæk over hvorfor hvert skrdt bevset er gyldgt. Specelt er det vgtgt at forstå det første lghedsteg ed tl mdste detalje. Vores udgagspukt er, at v har to uafhægge stokastske varable X og Y, dvs. v ved x VmX, y VmY at PX x Y y j PX x PY y j så defto 7 (på mddelværd) og reger løs: k l E X Y x y j P X x Y y j j k l j k j j j k x y j P X x P Y y j l x P X x y P Y y. V beytter x P X x E Y E Y x P X x E Y E X k j Eksempel 33: I eksempel 3b så v på de ret oplagte uafhægge stokastske varable, hvor X var atal 'kroe' og Y var atal kast. Y har oplagt mddelværde 3, og sætg gver så: 3 9 E X Y E X E Y 3 Det er kke verdes mest overraskede resultat, da de stokastske varabel X Y reelt set gver os atal 'kroe' gaget med 3. 3

24 Der gælder også e sætg om varase forbdelse med uafhægge stokastske varable: Sætg : Hvs X og Y er uafhægge stokastske varable, er Var X Y Var X Var Y. Bevs : V beytter sætg 9a mageta, 9b blå samt 9d rød, hvor varasere ka udreges ud fra mddelværder, og da vores forudsætg er, at X og Y er uafhægge stokastske varable, ka v også beytte sætg grø. V får så: Y Var X E X Y E X Y E X E Y E Y E X Y E X E Y E X E Y E X Y E X Y X Y E X E X E X E Y E Y E X E Y r Y E Y E X E Y Var X Var Y Var X Va X E Eksempel 34: V ser edu egag på eksempel 3b, hvor v havde uafhægge stokastske varable. Varase for Y er 0, da de tldeler alle udfald værde 3, og v har så følge sætg : 3 Var X Y Var X Var Y Var X 0 Var X 4 4

25 KOMBINATORIK Kombatork beskæftger sg med edelge eller tællelge dskrete strukturer. Som du husker fra forløbet om uedelgheder, vl det altså sge, at strukture ete skal være edelg eller skal kue ummereres med de aturlge tal (hvlket f.eks. kke var tlfælde med tervallet [0,], der heller kke er e dskret struktur). Ma ka også sge, at kombatork beskæftger sg med at tælle mægder. Koblge mellem kombatork og sadsylghedsregg er sætg 3, da v symmetrske sadsylghedsfelter ka bestemme sadsylghede for et udfald ved at tælle atallet af elemeter udfaldsrummet og atallet af elemeter mægde af gustge udfald. Da v desude har set, hvorda ma geerelt ka omforme et kke-symmetrsk edelgt sadsylghedsfelt tl et symmetrsk sadsylghedsfelt ved at agve udfaldsrummet på e ade måde (eksempel ), vl sætg 3 samme med kombatork være et stærkt matematsk redskab. Cetrale begreber Ide for kombatork er det vgtgt at kue skele mellem følgede to ord: Kombere: komb'ere ; v sammesætte, foree forskellge dele tl et hele OPRINDELSE: lat. combare. Permutere: permu'tere ; v ombytte, omstlle OPRINDELSE: af lat. permutare ædre, bytte, udveksle, per- + mutare flytte oget, ædre, bytte. V deferer u: Defto : Lad A a a a a,,,..., 3 r være et helt tal, hvorom det gælder 0 r. være e mægde med elemeter (e -mægde) og lad a) E permutato af mægde A er e opstllg af de elemeter e bestemt rækkefølge (også kaldet e ordet mægde). b) Atallet af permutatoer af A skrves P. c) E r - permutato fra mægde A er e ordet delmægde fra A beståede af r elemeter. d) Atallet af r-permutatoer fra mægde A skrves P, r. 5

26 Eksempel 35: Lad A a, b, c, d, e være e mægde med 5 elemeter. Fre forskellge permutatoer af A er så: adceb ecabd edcba aebdc Følgede er IKKE permutatoer: adabc bceed aaaaa Forskellge 4-permutatoer fra A er: beda acbd acdb edcb Forskellge 3-permutatoer fra A er: ace deb abc edc Forskellge -permutatoer fra A er: a c d b Defto 3: Lad A være e -mægde og lad r være et helt tal, hvorom det gælder 0 r. a) E kombato fra A er e delmægde af A. b) Atallet af kombatoer fra A beteges K c) E r - kombato fra A er e kombato med r elemeter. d) Atallet af r-kombatoer fra A beteges K, r Eksempel 3: Lad A a, b, c, d, e 4 forskellge kombatoer fra A er: a, c, d a, b, c, d, e Ø b, a Følgede kombatoer er es: a, c, d c, a, d d, c, a Forskellge -kombatoer: a, b a, c b, c e, b c, d V øsker at bestemme udtryk for,,, og, skal v have troduceret ogle prcpper: Multplkatosprcppere: P K P r K r, me de det ka lade sg gøre, Sætg 3 (multplkatosprcppet for valgmulgheder for uafhægge valg): Ved et samlet valg beståede af uafhægge delvalg med atallet af valgmulgheder v, v, v3,..., v er det samlede atal valgmulgheder Vsamlet v v v3... v. Eller udtrykt med begreber fra sadsylghedsregg: Udfaldsrummet, der beskrver de forskellge valgmulgheder og gver et symmetrsk sadsylghedsfelt, vl deholde Vsamlet v v v3... v elemeter.

27 Eksempel 37: E køs har par sko, 5 par strømper, 3 bukser, skjorter og 4 bluser. Ha har ge sas for sammesætg af tøjet, så valget af de ekelte dele er uafhægge af hade. På hvor mage måder ka ha klæde sg på (år e påklædg består af af hver slags beklædgsdel)? Der skal træffes 5 uafhægge delvalg med atal valgmulgheder, 5, 3, og 4. Det samlede atal valgmulgheder er derfor V samlet Ha har altså 70 forskellge måder at klæde sg på. Eksempler på tre af de 70 elemeter udfaldsrummet: sko, strømpepar, buks, skjorte, bluse 4 5 sko, strømpepar, buks, skjorte, bluse 3 sko, strømpepar, buks, skjorte, bluse 3 Bevs 3: Bevset for sætge vl typsk være et såkaldt tælletræ, hvor v her ser på et kokret eksempel med tre uafhægge delvalg med atal valgmulgheder 3, og 4: Der er Vsamlet forskellge samlede valgmulgheder svarede tl de 4 røde plespdser. Udfaldsrummet med 4 elemeter er agvet. Det adet multplkatosprcp er egetlg bare e varato af det første, hvor ma stedet for valgmulgheder (og dermed aturlge tal) taler om sadsylgheder for permutatoer (og dermed om tal mellem 0 og : Sætg 4 (multplkatosprcppet for sadsylghede for permutatoer af uafhægge hædelser): Lad A A... A3 A være e permutato af uafhægge hædelser. Sadsylghede for, at hædelsere alle dtræffer de agve rækkefølge, er: P( A A A... A ) P( A ) P( A ) P( A )... P( A ) 3 3 Eksempel 3: Ma kaster é terg 5 gage og øsker at fde sadsylghede for at slå e er alle 5 gage. Da udfaldet af et tergkast kke afhæger af tdlgere kast, har ma 5 uafhægge hædelser, hver med sadsylghede for at dtræffe. Hermed blver de søgte sadsylghed: P

28 Eksempel 39: Ma kaster é terg 5 gage og øsker at fde sadsylghede for at slå e er de 3 første kast og e er de sdste kast. Ige har ma 5 uafhægge hædelser med sadsylghede for at dtræffe, så ma får: P Bemærk at dette IKKE er det samme som sadsylghede for at slå 3 ere og ere med 5 terger, da sætge lægger vægt på rækkefølge (jævfør ordet: permutato). Eksempel 40: Ma kaster e møt tre gage og øsker at fde sadsylghede for udfaldet pkk. Dee permutato består af tre uafhægge hædelser hver med sadsylghede, så ma har P pkk Eksempel 4: V omformuleret eksempel 37 tl u at se på sadsylghede for at få e kokret permutato, f.eks: sko, strømpepar 4, buks, skjorte 5, bluse. Hvs atallet af valgmulgheder for de ekelte type beklædg er sadsylghede for et bestemt valg være P v med atal valgmulgheder, 5, 3, og 4, gver det altså v, vl. Da v havde 5 uafhægge delvalg P Oveståede eksempel ka fugere som e avsg på, hvorda ma kommer fra det første multplkatosprcp tl det adet. Det er væsetlgt at bemærke, at multplkatosprcppere er e slags "både-og"-prcpper. De forklarer, hvorda ma skal rege på stuatoer, hvor både e hædelse og e ade hædelse og e tredje hædelse og... skal dtræffe. Bemærk at sadsylghede blver mdre, jo flere hædelser der kobles på. Det har vst sg, at meesker kke altd har e tutv opfattelse af multplkatosprcppere. F.eks. vl e del meesker - specelt hvs problemet kke formuleres så drekte - vurdere sadsylghede for, at perso A er bakdrektør og kører Mercedes, højere ed sadsylghede for, at perso A er bakdrektør. V skal u se på "ete-eller"-prcppere: Addtosprcppere Sætg 5 (Addtosprcppet for valgmulgheder): Hvs ma skal vælge et elemet e af mægdere A, A, A3,..., A deholdede heholdsvs v, v, v3,..., v elemeter, har ma V v v v3... v valgmulgheder.

29 Eksempel 4: E pge har om fredage lov tl at vælge e usud tg. Hu ka vælge mellem 5 slags s, 4 slags chokolade, 3 slags vgumm og flødebolle. Hedes samlede valgmulgheder er Vsamlet Eksempel 43: E dreg skal gymaset og har 4 gymaser at vælge mellem, der udbyder heholdsvs 3,, og 5 relevate studeretger. Ha har alt Vsamlet 3 5 valgmulgheder. Ide v ka se på det æste addtosprcp, skal v lge have deferet et begreb: Defto 4: To hædelser A og B kaldes dsjukte, hvs de kke har ogle udfald tlfælles, dvs. hvs AB Ø Eksempel 44: E terg kastes, og ma ser på de tre hædelser: A: Øjetallet er lge. B: Øjetallet er ulge. C: Øjetallet er mdst 5. D: Øjetallet er. A og B er dsjukte hædelser, da øjetallet kke både ka være lge og ulge. De er desude komplemetære hædelser, da de desude tlsamme udgør hele udfaldsrummet U. A B Ø A og B er dsjukte. A B Ø A B U A og B er komplemetære. A og C er kke dsjukte hædelser, da AC C og D er dsjukte hædelser, da C D Ø. Sætg (Addtosprcppet for sadsylgheder): Sadsylghede for at é af de dsjukte hædelser A, A, A3,..., A dtræffer er P P A P A P A P A 3... Eksempel 45: E møt kastes tre gage. V øsker at fde sadsylghede for, at v får etop é kroe eller tre kroe. V lader hædelse A bestå at få etop é kroe og hædelse A er at få tre kroe. V keder sadsylghedere fra tdlgere ( P A og 3 4 P P A P A 3 P A ) og får så: V er u æste fremme ved de cetrale sætger de for kombatork. V magler blot at få deferet et ekelt begreb: 9

30 Permutatoer Defto 5: Lad. Med skrvemåde!, der læses " fakultet", forstås! Desude fastsættes det, at 0! Eksempel 4:! ! Eksempel 47: I Maple dtastes fakultet meget smpelt, da ma ka beytte tastaturets udråbsteg (ma ka også godt fde symbolet uder 'commo symbols'): Som det ses, følger Maple også deftoe 0!. Helt geerelt taler ma om Det tomme produkt, hvlket sættes tl at gve det eutrale elemet ved multplkato (dvs. ). Ma har også De tomme sum, der sættes tl det eutrale elemet ved addto (dvs. 0). Ma ka desude bemærke, at Maple godt ka udrege! r for et decmaltal, selvom vores defto kke tllader det. Det skyldes, at ma ka vse, at ma på etop é måde ka udvde fakultetbegrebet, og at dee udvdelse blver de såkaldte gammafukto, der er deferet for alle reelle tal bortset fra egatve heltal (se edeståede): 30

Elementær Matematik. Sandsynlighedsregning

Elementær Matematik. Sandsynlighedsregning lemetær Matematk Sadsylghedsregg Ole Wtt-Hase Køge Gymasum 008 INDHOLD KAP. KOMBINATORIK.... MULTIPLIKATIONS- OG ADDTIONSPRINCIPPT.... PRMUTATIONR... 3. KOMBINATIONR...3 KAP. NDLIGT SANDSYNLIGHDSFLT...7.

Læs mere

Men tilbage til regression og Chi-i-anden. test. Begge begreber refererer til normalfordelingen med middelværdi μ og spredning σ.

Men tilbage til regression og Chi-i-anden. test. Begge begreber refererer til normalfordelingen med middelværdi μ og spredning σ. χ test matematkudervsge χ - test gymasets matematkudervsg I jauar ummeret 8 af LMFK bladet havde jeg e artkel, hvor jeg harcelerede ldt over, at regresso og sær χ fordelg havde fudet dpas matematkudervsge

Læs mere

BEVISER TIL KAPITEL 7

BEVISER TIL KAPITEL 7 BEVISER TIL KAPITEL 7 A. Komplemetærhædelse Det er klart, at e hædelse A og de komplemetære hædelse A udgør hele udfaldsrummet U, dvs. A A = Da fås P(U = U P(A A = P (A + P(A = da de to hædelser er dsjukte

Læs mere

IKKE-KONTINUERTE (DISKRETE) STOKASTISKE VARIABLE MIDDELVÆRDI, VARIANS, SPREDNING FORDELINGER: HYPERGEOMETRISK, BINOMIAL, POISSON

IKKE-KONTINUERTE (DISKRETE) STOKASTISKE VARIABLE MIDDELVÆRDI, VARIANS, SPREDNING FORDELINGER: HYPERGEOMETRISK, BINOMIAL, POISSON IE-ONTINUERTE (DISRETE) STOASTISE VARIABLE MIDDELVÆRDI, VARIANS, SPREDNING FORDELINGER: HYPERGEOMETRIS, BINOMIAL, POISSON Edelgt sadsylghedsfelt V reeterer: Et sadsylghedsfelt ( P ) U, kaldes edelgt, hvs

Læs mere

Kvalitet af indsendte måledata

Kvalitet af indsendte måledata Notat ELT2004-112 Aktørafregg Dato: 23. aprl 2004 Sagsr.: 5584 Dok.r.: 185972 v1 Referece: NIF/AFJ Kvaltet af dsedte måledata I Damark er det etvrksomhederes opgave at måle slutforbrug, produkto og udvekslg

Læs mere

Induktionsbevis og sum af række side 1/7

Induktionsbevis og sum af række side 1/7 Iduktosbevs og sum af række sde /7 Skrver ma,,,...,,..., =, 2, 3,... 2 3 taler ma om e talfølge, eller blot e følge. Adre eksempler på følger er, -,, -,, -,..., (-) +,..., =, 2, 3,..., 2, 3, 4,...,,...,

Læs mere

Kombinatorik. 1 Kombinationer. Indhold

Kombinatorik. 1 Kombinationer. Indhold Kombator, marts 04, Krste Roselde Georg Mohr-Kourrece Kombator Kombator går ud på at tælle atallet af ombatoer af et eller adet, og for at ue tælle atallet af ombatoer smart har ma brug for forsellge tællestrateger

Læs mere

FORDELINGER: HYPERGEOMETRISK FORDELING, BINOMIALFORDELING MIDDELVÆRDI DEFINITION. X er en stokastisk variabel på et endeligt sandsynlighedsfelt ( )

FORDELINGER: HYPERGEOMETRISK FORDELING, BINOMIALFORDELING MIDDELVÆRDI DEFINITION. X er en stokastisk variabel på et endeligt sandsynlighedsfelt ( ) FORDELINGER: HYERGEOMETRIS FORDELING, BINOMIALFORDELING MIDDELVÆRDI Mddelværd MIDDELVÆRDI (TYS: ERWARTUNGSWERT ) DEFINITION X er e stokastsk varabel på et edelgt sadsylghedsfelt U, ( ) Mddelværde af X

Læs mere

Scorer FCK "for mange" mål i det sidste kvarter?

Scorer FCK for mange mål i det sidste kvarter? Uge 7 I Teoretsk Statstk, 9. aprl 2004. Hvor er v? Hvor var v: opstllg af statstske modeller Hvor skal v he: tro om estmato og test 2. Eksempel: FCK Estmato (tutvt) Test Maksmum lkelhood estmato Scorer

Læs mere

Statistisk analyse. Vurdering af usikkerhed i forbindelse med statistiske opgørelser forudsætter:

Statistisk analyse. Vurdering af usikkerhed i forbindelse med statistiske opgørelser forudsætter: Statstsk aalyse Vurderg af uskkerhed forbdelse med statstske opgørelser forudsætter: Kvattatve mål for varato og spredg forbdelse med statstske opgørelser varas og stadardafvgelse Kvattatve mål for tlfældgheder

Læs mere

Eksempel: PEFR. Epidemiologi og biostatistik. Uge 1, tirsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik.

Eksempel: PEFR. Epidemiologi og biostatistik. Uge 1, tirsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik. Epdemolog og bostatstk. Uge, trsdag. Erk Parer, Isttut for Bostatstk. Geerelt om statstk Dataaalyse - Deskrptv statstk - Statstsk feres Sammelgg af to grupper med kotuerte data - Geemst og spredg - Parametre

Læs mere

Vi ønsker også at teste hypoteser om parametrene. F.eks: Kan µ tænkes at være 0 (eller anden fast, kendt værdi)? Eksempel: dollarkurser

Vi ønsker også at teste hypoteser om parametrene. F.eks: Kan µ tænkes at være 0 (eller anden fast, kendt værdi)? Eksempel: dollarkurser Uge 37 I Teoretsk Statstk, 9.sept. 003. Fordelger kyttet tl N-ford. Gvet: uafhægge observatoer af samme N(µ,σ )-fordelte stokastske varabel. Formelt: X,X,,X uafhægge, alle N(µ,σ )-fordelt. Mddelværd µ

Læs mere

Økonometri 1. Funktionel form. Funktionel form (fortsat) Dagens program. Den simple regressionsmodel 14. september 2005

Økonometri 1. Funktionel form. Funktionel form (fortsat) Dagens program. Den simple regressionsmodel 14. september 2005 Dages program Økoometr De smple regressosmodel 4. september 5 Dee forelæsg drejer sg stadg om de smple regressosmodel (Wooldrdge kap.4-.6) Fuktoel form Hvorår er OLS mddelret? Varase på OLS estmatore Regressosmodelle

Læs mere

Økonometri 1. For mange variable i modellen. For få variable. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 21. september 2004

Økonometri 1. For mange variable i modellen. For få variable. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 21. september 2004 Dages program Økoometr De multple regressosmodel. september 004 Emet for dee forelæsg er stadg de multple regressosmodel (Wooldrdge kap. 3.4-3.5) Praktske bemærkg Opsamlg fra sdst Irrelevate varable og

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Pearsons formel for χ 2 test. Den teoretiske forklaring

Pearsons formel for χ 2 test. Den teoretiske forklaring Pearsos formel for χ test De teoretse forlarg Ole Wtt-Hase 04 Idhold. Normalfordelge og χ.... Pearsos formel for χ test... 3. Forlarg på Pearsos formel....4 Pearsos formel for χ test. Normalfordelge og

Læs mere

Statistik Lektion 14 Simpel Lineær Regression. Simpel lineær regression Mindste kvadraters metode Kovarians og Korrelation

Statistik Lektion 14 Simpel Lineær Regression. Simpel lineær regression Mindste kvadraters metode Kovarians og Korrelation Statstk Lekto 4 Smpel Leær Regresso Smpel leær regresso Mdste kvadraters metode Kovaras og Korrelato Scatterplot Scatterplot kf Advertsg Epedtures ( ad Sales ( Et scatterplot vser par (, af observatoer.

Læs mere

FACITLISTE TIL KOMPLEKSE TAL

FACITLISTE TIL KOMPLEKSE TAL FACITLISTE TIL KOMPLEKSE TAL Kaptel Opgave Opgave Opgave Det emmeste check af lgge er at opløfte begge sder tl. potes. Bombells metode gver følgede lgger: a a b = 5 ( ) b a b = 09 = 7. Løs dem med et CAS

Læs mere

Betænkning om kommunernes udgiftsbehov. Bilag (med metodediskussion af professor Anders Milhøj)

Betænkning om kommunernes udgiftsbehov. Bilag (med metodediskussion af professor Anders Milhøj) Betækg om kommueres udgftsbehov Blag (med metodedskusso af professor Aders Mlhøj) Betækg r. 36 Oktober 998 Kommueres Udgftsbehov Betækg om kommueres udgftsbehov - Redegørelse fra arbejdsgruppe uder Idergsmsterets

Læs mere

FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse. O p t i k. Jacob Christiansen Afleveringsdato: 3. april 2003 Morten Olesen Andreas Lyder

FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse. O p t i k. Jacob Christiansen Afleveringsdato: 3. april 2003 Morten Olesen Andreas Lyder FY0 Oblgatorsk laboratoreøvelse O p t k Hold E: Hold: D Jacob Chrstase Alevergsdato: 3. aprl 003 Morte Olese Adreas Lyder Idholdsortegelse Idholdsortegelse Forål...3 Måleresultater...4. Salelser...4. Spredelse...5.3

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

Repetition. Forårets højdepunkter

Repetition. Forårets højdepunkter Repetto Forårets højdepukter Forårets højdepukter Smpel Leær Regresso Smpel leær regresso: Mdste kvadraters metode Kovaras og Korrelato Scatterplot Scatterplot kf Advertsg Epedtures (X ad Sales (Y Et scatterplot

Læs mere

Indeks over udviklingen i biltrafikken i Danmark

Indeks over udviklingen i biltrafikken i Danmark Ideks over udvklge bltrafkke Damark Afdelgsgeør Alla Crstese, Vejdrektoratet, og cvlgeør, p.d. Crsta Overgård ase, TetraPla A/S. Baggrud og formål. Baggrud Vejdrektoratet ar sde 978 regelmæssgt udgvet

Læs mere

Binomialfordelingen. Erik Vestergaard

Binomialfordelingen. Erik Vestergaard Bnomalfordelngen Erk Vestergaard Erk Vestergaard www.matematkfysk.dk Erk Vestergaard,. Blleder: Forsde: Stock.com/gnevre Sde : Stock.com/jaroon Sde : Stock.com/pod Desuden egne fotos og llustratoner. Erk

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

Økonometri 1. Instrumentvariabelestimation 26. november Plan for IV gennemgang. Exogenitetsantagelsen. Exogenitetsantagelsen for OLS

Økonometri 1. Instrumentvariabelestimation 26. november Plan for IV gennemgang. Exogenitetsantagelsen. Exogenitetsantagelsen for OLS y = cy ( c 0 ) Pla for IV geemgag Økoometr Istrumetvarabelestmato 6. ovember 004 F9: Hvad er IV estmato: Bvarat model, et strumet: Kap.5. + afst -4 ote. F0: IV estmato det multple tlfælde (eksakt detfceret):

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

Note til Spilteori Mikro 2. år 2. semester Erik Bennike. Note til Spilteori

Note til Spilteori Mikro 2. år 2. semester Erik Bennike. Note til Spilteori Note tl Splteor Mkro. år. semester Erk Beke Note tl Splteor Gos s. - Splteor eskæftger sg med sttoer hvor der er strtegsk fhægghed geter mellem. Nytte for de ekelte get fhæger således kke lee f ege hdlger

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6. enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på

Læs mere

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 21. september 2005

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 21. september 2005 Dages program Økoometr De multple regressosmodel. september 005 Emet for dee forelæsg er de multple regressosmodel (Wooldrdge kap 3.-3.3+appedx E.-E.) Defto og motvato Fortolkg af parametree de multple

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

antal gange krone sker i første n kast = n

antal gange krone sker i første n kast = n 1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder

Læs mere

Fordelingen af gentagne observationer (målinger) kan beskrives ved hjælp af et histogram, der viser antallet af målinger i et givet interval.

Fordelingen af gentagne observationer (målinger) kan beskrives ved hjælp af et histogram, der viser antallet af målinger i et givet interval. H:\excerc\geodstat.doc, sdste ædrg: ov. 5, 3.. 3. Geodætsk statstk og mdste kvadraters metode. 3.. Statstske grudbegreber. 3.. Fordelger. Fordelge af getage observatoer (målger ka beskrves ved hælp af

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

Motivation. En tegning

Motivation. En tegning Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget

Læs mere

Diskrete og kontinuerte stokastiske variable

Diskrete og kontinuerte stokastiske variable Diskrete og kotiuerte stokastiske variable Beroulli Biomial fordelig Negativ biomial fordelig Hypergeometrisk fordelig Poisso fordelig Kotiuerte stokastiske variable Uiform fordelig Ekspoetial fordelig

Læs mere

Finanskalkulationer Side 1/19 Steen Toft Jørgensen. Finanskalkulationer. avanceret rentesregning. matematiske modeller i økonomi

Finanskalkulationer Side 1/19 Steen Toft Jørgensen. Finanskalkulationer. avanceret rentesregning. matematiske modeller i økonomi Faskalkulatoe Sde /9 Stee Toft Jøgese Faskalkulatoe avaceet etesegg matematske modelle økoom Idholdsfotegelse: Kaptel : Rete Retebegebet Omkostge Retefomle Effektv ete Kotuet foetg Tdsdagam Flytg af kaptal

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til

Læs mere

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-boge, Matematik for lærerstuderede Dette er førsteudgave af opgavebesvarelser udarbejdet i sommere 008. Dokumetet ideholder forslag til besvarelser af de fleste

Læs mere

Forberedelse til den obligatoriske selvvalgte opgave

Forberedelse til den obligatoriske selvvalgte opgave MnFremtd tl OSO 10. klasse Forberedelse tl den oblgatorske selvvalgte opgave Emnet for dn oblgatorske selvvalgte opgave (OSO) skal tage udgangspunkt dn uddannelsesplan og dt valg af ungdomsuddannelse.

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353 Takegagskompetece Hesigte med de følgede afsit er først og fremmest at skabe klarhed over de mere avacerede regeregler i skole og give resultatet i de almee form, der er karakteristisk for algebra. Vi

Læs mere

6 Populære fordelinger

6 Populære fordelinger 6 Populære fordeliger I apitel 4 itroducerede vi stoastise variabler so e åde at repræsetere udfald af et esperiet på. De stoastise variabler ue være både disrete (fx terigslag) og otiuerte (fx vareægder).

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Program for dag: Kvattatve metoder Iferes de leære regressosmodel 9. marts 007 Opsamlg vedr. feres e leær regressosmodel uder Gauss-Markov atagelser (W.4-5) Eksempel med flere restrktoer (F-test) Lagrage

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor godschauffør området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelser

Vejledende opgavebesvarelser Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Lineær regressionsanalyse8

Lineær regressionsanalyse8 Lneær regressonsanalyse8 336 8. Lneær regressonsanalyse Lneær regressonsanalyse Fra kaptel 4 Mat C-bogen ved v, at man kan ndtegne en række punkter et koordnatsystem, for at afgøre, hvor tæt på en ret

Læs mere

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt

Læs mere

Facilitering ITU 15. maj 2012

Facilitering ITU 15. maj 2012 Faciliterig ITU 15. maj 2012 Facilitatio is like movig with the elemets ad sailig the sea Vejvisere Velkomst de gode idflyvig Hvad er faciliterig? Kedeteg ved rolle som facilitator Facilitatores drejebog

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

Baggrundsnote til sandsynlighedsregning

Baggrundsnote til sandsynlighedsregning Baggrudsote til sadsylighedsregig Kombiatorik. Multiplikatiospricippet E mægde beståede af forskellige elemeter kaldes her e -mægde. Elemetere i e m-mægde og elemetere i e -mægde ka parres på i alt m forskellige

Læs mere

Kogebog: 5. Beregn F d

Kogebog: 5. Beregn F d tattk 8. gag KONFIDENINERVALLER Kofdetervaller: kaptel Valg og tet af fordelgfukto tattk 8. gag. KONFIDEN INERVALLER Et kofde terval udtrykker tervallet hvor de rgtge værd af parametere K, med γ % adylghed

Læs mere

Talfølger og -rækker

Talfølger og -rækker Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Zeos paradoks om Achilleus og skildpadde Achilleus løber om kap med e skildpadde. Achilleus løber

Læs mere

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning)

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning) Dages program Estimatio: Kapitel 9.4-9.7 Eksempler på middelrette og/eller kosistete estimator (de sidste fra sidste forelæsig) Ko desiterval for store datasæt kap. 9.4 Ko desiterval for små datasæt kap.

Læs mere

Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel

Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel I eksperimenter knyttes ofte en talværdi til hvert udfald. S s X(s) R Definition: En stokastisk variabel X er en funktion defineret på S, der antager værdier på

Læs mere

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation.

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation. De reelle tal Morte Grud Rasmusse 5. ovember 2015 Ordede mægder Defiitio 3.1 (Ordet mægde). pm, ăq kaldes e ordet mægde såfremt: For alle x, y P M gælder etop ét af følgede: x ă y, x y, y ă x @x, y, z

Læs mere

24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik.

24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig Uge, tirsdag. Niels Trolle Aderse, Afdelige for Biostatistik. Geerelt om kurset: - Formål - Forelæsiger - Øvelser - Forelæsigsoter - Bøger - EpiBasic: http://www.biostat.au.dk/teachig/software

Læs mere

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15 Vejledede besvarelser til opgaver i apitel 5 Opgave a) De teststatistier, ma aveder til at teste om to middelværdier er es, består af et estimat på forselle mellem middelværdiere,, divideret med et udtry

Læs mere

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive

Læs mere

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb:

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb: 0BRetesegig BTæk i femskivigsfaktoe! I dette tillæg skal vi se, at begebet femskivigsfaktoe e yttigt til at fostå og løse foskellige poblemstillige idefo pocet- og etesegig. 3B. Lægge pocet til elle tække

Læs mere

Viden Om Vind oftere, stop i tide

Viden Om Vind oftere, stop i tide Vide Om Vid oftere, stop i tide Spørgsmål og svar Idhold Risici og relevas 2 Steffe Aderse Sadsyligheder 5 Per Hedegård Spørgsmål til eksperte 7 Thomas Aderse Til 8 Rasmus Østergaard Pederse E sikker strategi

Læs mere

Bent Willum Hansen APPENDIKS. Introduktion til teoretisk statistik og nogle af dens anvendelser

Bent Willum Hansen APPENDIKS. Introduktion til teoretisk statistik og nogle af dens anvendelser Bet Wllum Hase APPENDIKS Itrodukto tl teoretsk statstk og ogle af des avedelser FORORD Dette appedks er det samme som dgår læreboge Itrodukto tl teoretsk statstk og ogle af des avedelser, dog suppleret

Læs mere

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik Forelæsig Uge 1, torsdag. februar 006 ichael Væth, Afdelig for Biostatistik. Sammeligig af to middelværdier sikkerhedsitervaller statistisk test Sammeligig af to proportioer

Læs mere

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith Georg Mohr Kokurrece Noter om uligheder Søre Galatius Smith. juli 2000 Resumé Kapitel geemgår visse metoder fra gymasiepesum, som ka bruges til at løse ulighedsopgaver, og ideholder ikke egetligt yt stof.

Læs mere

HASTIGHEDSKORT FOR DANMARK VHA. GPS

HASTIGHEDSKORT FOR DANMARK VHA. GPS HASTIGHEDSKORT FOR DANMARK VHA. GPS Ove Aderse xcalibur@cs.aau.dk Istitut for Datalogi Aalborg Uiversitet Harry Lahrma lahrma@pla.aau.dk Trafikforskigsgruppe Aalborg Uiversitet Kristia Torp torp@cs.aau.dk

Læs mere

Sprednings problemer. David Pisinger

Sprednings problemer. David Pisinger Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de

Læs mere

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ )

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ ) 3. februar 003 Epidemiologi og biostatistik. Uge, torag d. 3. februar 003 Morte Frydeberg, Istitut for Biostatistik. Type og type fejl Nogle specielle metoder: Test i RxC tabeller Test i x tabeller Fishers

Læs mere

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18 ermodyamik. Første og ade hovedsætig /8 ermodyamik Idhold. Isoterme og adiabatiske tilstadsædriger for gasser...3 3. ermodyamikkes. hovedsætig....5 4. Reversibilitet...6 5. Reversibel maskie og maksimalt

Læs mere

Modul 14: Goodness-of-fit test og krydstabelanalyse

Modul 14: Goodness-of-fit test og krydstabelanalyse Forskigsehede for Statistik ST01: Elemetær Statistik Bet Jørgese Modul 14: Goodess-of-fit test og krydstabelaalyse 14.1 Idledig....................................... 1 14.2 χ 2 -test i e r c krydstabel.............................

Læs mere

Hvordan hjælper trøster vi hinanden, når livet er svært?

Hvordan hjælper trøster vi hinanden, når livet er svært? Hvorda hjælper trøster vi hiade, år livet er svært? - at være magtesløs med de magtesløse Dask Myelomatoseforeig Temadag, Hotel Scadic, Aalborg Lørdag de 2. april 2016 kl. 14.00-15.30 Ole Raakjær, præst

Læs mere

TIMEGLASSETS FASER: Introen er et foto og nogle spørgsmål til hele kapitlet. Meningen med introen er, at du og

TIMEGLASSETS FASER: Introen er et foto og nogle spørgsmål til hele kapitlet. Meningen med introen er, at du og TIMEGLASSETS FASER: INTRO Itroe er et foto og ogle spørgsmål til hele kapitlet. Meige med itroe er, at du og di klasse skal få e ide om, hvad kapitlet hadler om, og hvad I skal lære. Prøv at svare på spørgsmålee

Læs mere

Psyken på overarbejde hva ka du gøre?

Psyken på overarbejde hva ka du gøre? Psyke på overarbejde hva ka du gøre? Idhold Hvorår kommer ma uder psykisk pres? 3 Hvad ka øge det psykiske pres på dit arbejde? 4 Typiske reaktioer 6 Hvorda forløber e krise? 7 Hvad ka du selv gøre? 9

Læs mere

NOTAT: Benchmarking: Roskilde Kommunes serviceudgifter i regnskab 2013

NOTAT: Benchmarking: Roskilde Kommunes serviceudgifter i regnskab 2013 Beskæftgelse, Socal og Økonom Økonom og Ejendomme Sagsnr. 260912 Brevd. 1957603 Ref. LAOL Dr. tlf. 4631 3152 lasseo@rosklde.dk NOTAT: Benchmarkng: Rosklde Kommunes servceudgfter regnskab 2013 19. august

Læs mere

Korrelation (kontrol af model) Regression (tilpasning af model) 1. Grad af fælles variation mellem X og Y. 2. Område og fordeling af sample data

Korrelation (kontrol af model) Regression (tilpasning af model) 1. Grad af fælles variation mellem X og Y. 2. Område og fordeling af sample data tatstk 9. gag GIONANAL Korrelato (kotrol af model egresso (tlpasg af model tatstk 9. gag KOLATION ANAL. Grad af fælles varato mellem X og. Område og fordelg af sample data 3. Optræde af ekstrem-værder

Læs mere

NOTAT:Benchmarking: Roskilde Kommunes serviceudgifter i regnskab 2014

NOTAT:Benchmarking: Roskilde Kommunes serviceudgifter i regnskab 2014 Beskæftgelse, Socal og Økonom Økonom og Ejendomme Sagsnr. 271218 Brevd. 2118731 Ref. KASH Dr. tlf. 4631 3066 katrnesh@rosklde.dk NOTAT:Benchmarkng: Rosklde Kommunes servceudgfter regnskab 2014 17. august

Læs mere

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller STATISTIKNOTER Simple ormalfordeligsmodeller Jørge Larse IMFUFA Roskilde Uiversitetsceter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Uiversitetsceter, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jørge Larse: STATISTIKNOTER: Simple

Læs mere

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Test i to populatioer Hypotesetest for parrede observatioer Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og

Læs mere

Begreber og definitioner

Begreber og definitioner Begreber og defiitioer Daske husstades forbrug på de medierelaterede udgiftsposter stiger og udgør i 2012*) 11,3 % af husstadees samlede forbrug mod 5,5 % i 1994. For husstade med de laveste idkomster

Læs mere

KENDETEGN FOTKEEVENTYRETS. i faøíii"n. riwalisøring. Içannibalismz. a9ergãrg ffe barn til volçsøn. for ryllølsø. åøt bernløse ægtepãx.

KENDETEGN FOTKEEVENTYRETS. i faøíiin. riwalisøring. Içannibalismz. a9ergãrg ffe barn til volçsøn. for ryllølsø. åøt bernløse ægtepãx. FOTKEEVENTYRETS KENDETEGN Når du læser et folkeeventyr, er der nogle kendetegn sonì dubør være ekstra opmærksom på. Der er nogle helt faste mønstre og handlnger, som gør, at du kan genkende et folkeeventyr.

Læs mere

De Platoniske legemer De fem regulære polyeder

De Platoniske legemer De fem regulære polyeder De Platoiske legemer De fem regulære polyeder Ole Witt-Hase jauar 7 Idhold. Polygoer.... Nogle topologiske betragtiger.... Eulers polyedersætig.... Typer af et på e kugleflade.... Toplasvikle i e regulær

Læs mere

Inertimoment for arealer

Inertimoment for arealer 13-08-006 Søren Rs nertmoment nertmoment for arealer Generelt Defntonen på nertmoment kan beskrves som Hvor trægt det er at få et legeme tl at rotere eller Hvor stort et moment der skal tlføres et legeme

Læs mere

Statistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside :

Statistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside : Statistiske test Efteråret 00 Jes Friis, AAU Hjemmeside : http://akaaudk/jfj Kotiuerte fordeliger Defiitio: Tæthedsfuktio E sadsylighedstæthedsfuktio på R er e itegrabel fuktio f : R [0; [ hvor f d = Defiitio:

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig

Læs mere

Duo HOME Duo OFFICE. Programmeringsmanual DK 65.044.50-1

Duo HOME Duo OFFICE. Programmeringsmanual DK 65.044.50-1 Duo HOME Duo OFFICE Programmerigsmaual DK 65.044.50-1 INDHOLD Tekiske data Side 2 Systemiformatio, brugere Side 3-4 Ligge til og slette brugere Side 5-7 Ædrig af sikkerhedsiveau Side 8 Programmere: Nødkode

Læs mere

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Statistik Lektio 8 Parrede test Test for forskel i adele Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og kviders

Læs mere

Kvantitative metoder 2 Forår 2007 Ugeseddel 9

Kvantitative metoder 2 Forår 2007 Ugeseddel 9 Kvanttatve metoder 2 Forår 2007 Ugeseddel 9 Program for øvelserne: Introdukton af problemstllng og datasæt Gruppearbejde SAS øvelser Paneldata for tlbagetræknngsalder Ugesedlen analyserer et datasæt med

Læs mere

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit Grudlæggede mtemtiske begreber del 1 Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium 1 Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige

Læs mere