Statistik 8. gang 1 KONFIDENSINTERVALLER. Konfidensintervaller: kapitel 11. Valg og test af fordelingsfunktion

Transkript

1 Statistik 8. gag 1 KONIDENSINTERVALLER Kofidesitervaller: kapitel 11 Valg og test af fordeligsfuktio

2 Statistik 8. gag 11. KONIDENS INTERVALLER Et kofides iterval udtrykker itervallet hvori de rigtige værdi af parametere K, med 100 γ % sadsylighed befider sig. Eks: X 1.96 S μ X S er et kofides iterval for μ Geerelt udtrykkes et kofides iterval som: K D K K D dobbeltsidet est d est + d K est Estimatværdi af statistik K d ordeligsfaktor D Mål for spredig af K

3 Statistik 8. gag 3 K Kest d D edre ekeltsidet K K D øvre ekeltsidet est + d

4 Statistik 8. gag 4 Kofidesitervaller Statistisk basis ~ hypotese test sidste gag Kogebog: 1. Vælg 1- eller -sidet kofides iterval. Idetificer fordelig for K statistik 3. Vælg kofidesiveau, γ = 1 α α : sigifikasiveau 4. Idsaml data og bereg K est og D 5. Bereg d 6. Bestem kofides iterval

5 Statistik 8. gag Kofidesiterval for middelværdi K est = X D = σ d = z α Spredig kedt: σ σ X zα / μ X + zα / -sidet σ X zα μ edre 1-sidet σ μ X + zα øvre 1-sidet Spredig ukedt: s s X tα /, 1 μ X + tα /, 1 -sidet s X tα, 1 μ edre 1-sidet s μ X + tα, 1 øvre 1-sidet

6 Statistik 8. gag 6 Eksempel 11- : vad kvalitet baseret på eksempel 9-3 = 10 X =.8 s = 0.4 spredig ukedt 95% kofidesiterval γ =0.95 α =0.05 Nedre kofidesiterval: t α, 1 = 1.83 s X tα, 1 = = μ Alterativt: = 0 : t α, 1 = 1.7 s X t 1 = α, =.65 μ Dvs.: tørre midre iterval og dermed større kofides til at μ ligger tæt ved X

7 Statistik 8. gag 7 Kofides itervaller afhæger af Atal data : større midre iterval Kofidesiveau γ : større γ større iterval ordeligstype kedt / ukedt spredig o Ukedt spredig større iterval

8 Statistik 8. gag Kofidesiterval for varias σ 1 s χ α /, 1, 1 σ 1 s σ χ α 1 s χ 1 α /, 1 1 α, 1 -sidet edre 1-sidet 1 s σ øvre 1-sidet χ Eksempel 11-3 : vad dybder = 5 s= % kofidesiterval γ =0.95 α =0.05 Øvre kofidesiterval: χ 1 α, 1 = s σ = = Kofidesiterval: 0 σ χ α, 1

9 Statistik 8. gag Bestemmelse af størrelse af data sample Givet: størrelse af kofidesiterval = H -sidet kofidesiterval Kedt spredig σ σ σ H = X + zα / X z α / = zα / σ = zα / H typisk vælges σ H = Ukedt spredig σ = tα /, 1 H -sidet iteratio ødvedig σ = tα, 1 H 1-sidet iteratio ødvedig

10 Statistik 8. gag 10 Eksempel 11-5 eks. 9-3: vadkvalitet 95% kofidesiterval γ =0.95 α =0.05 ukedt spredig H = sidet iterval σ = 10: t 0.05, 9 = 1.83 = 14: t 0.05, 13 = = 1.83 = = 1.77 = = 13

11 Statistik 8. gag Valg og test af fordeligsfuktio orudsætig for hidtil omtalte statistiske metoder for hypoteser og kofidesitervaller er at data følger ormalfordelige test af atagelse ødvedig! χ test Kolmogorov Smirov test

12 Statistik 8. gag χ test Test af om e valgt fordelig er OK: hypotesetest 1. Hypotese Eks: H 0 : H : 1 Eks: H 0 : H : 1 NB: X er esformig fordelt mellem 0 og 40: U0,40 X U0,40 X er ormalfordelt med μ =0 og σ =5 : N0,5 X N0,5 forkastelse ka skyldes - fordeligstype er forkert - parametre er forkerte

13 Statistik 8. gag 13. Vælg model Sadsyligheder med model sammeliges med data histogram Test statistik: k Oi Ei χ T = i= 1 E O i observeret frekves for iterval i celle i E i estimeret frekves for iterval i celle i k atal itervaller celler i

14 Statistik 8. gag 14 χ : χ fordelt med k-j frihedsgrader j: atal parametre estimeret fra data = 1 hvis ku frekveser estimeres beyttes = 3 hvis også X og s estimeres midst 15 data i alt hvert iterval celle bør ideholde midst 4-5 data k større ed 3 3. Vælg sigifikasiveau α 4. Bereg test statistik 5. Defier forkastelsesområdet χ > χ T α, k j 6. Koklusio

15 Statistik 8. gag 15 Eksempel 9-7: χ -test for ormalfordelig: brudlaster af bjælke Data: Histogram: = 84 X = s = 780 ad 1 hypotese H 0 : X er ormalfordelt med μ = og σ =780 : N10.100, 780 H : X N10.100, 780 1

16 Statistik 8. gag 16 ad model ormerede data: z i i X X = z : N0,1 P = Φ s Z z i i s

17 Statistik 8. gag 17 ad 3 sigifikasiveau α =0.05 ad 4 beregig af teststatistik χ T =10.09 ad 5 forkastelsesområde k=6 j=3 χ ad 6 koklusio 0.05,6 3 = Da χ T =10.09 > forkastes hypotese

18 Statistik 8. gag Kolmogorov-Smirov 1-sample test Ka beyttes ved et lille atal data 1. Hypotese H 0 : data er samples fra give fordelig X med give parametre H : data er ikke samples fra give fordelig med give parametre 1. Model test statistik for sorterede data: 1... Sample fordeligsfuktio: 0 for 1 i S = for i i+ 1 1 for 0 = 0 S Give fordelig: X

19 Statistik 8. gag 19 },,,,,,, ma{ S X S X i S i X i S i X S X S X S X S X KS = L L

20 Statistik 8. gag 0 3. Vælg sigifikasiveau α 4. Bereg test statistik KS 5. Defier forkastelsesområdet KS > KS α tabel A-7 6. Koklusio

21 Statistik 8. gag 1 Eksempel 9-10: Kolmogorov-Smirov test for vadkvalitet Data: ppm = 13 X =54.6 s = 6. ad 1 hypotese H 0 : X er ormalfordelt med μ =54.6 og σ =6. : N54.6, 6. H : X N54.6, 6. 1 ad model ad 3 sigifikasiveau α =0.05

22 Statistik 8. gag ad 4 beregig af teststatistik KS=0.0787

23 Statistik 8. gag 3

24 Statistik 8. gag 4 ad 5 forkastelsesområde KS α =0.361 ad 6 koklusio Da KS< KS accepteres hypotese α

25 Statistik 8. gag 5 Valg af fordeligsfuktio sadsylighedspapir

26 Statistik 8. gag 6 Plot af data: Data ragordes: 1... i... Tilhørede sadsylighed: i P i = +1 Weibull plotte formel i 0. 5 P i = Haze plotte formel Pukter ligger på e ret liie hvis de følger e Normal fordelig Eksempel:

27 Statistik 8. gag 7 Returperiode Ku relevat hvis data beskriver ma eller mi værdier geem e give tidsperiode Returperiode T : geemsitlig tid mellem overskridelse af e give græse T med e sadsylighed på p Data: 1: ma værdi over første tidsperiode τ ofte τ = 1 år : ma værdi over ade tidsperiode τ : ma værdi over te tidsperiode τ X : fordeligsfuktio for stokastisk variabel X der beskriver ma værdi over tidsperiode τ Sadsylighed overskridelse af græse T = p = P X T = 1 X T τ Returperiode T = p Kedes T og τ ka T bereges Kedes τ og T ka T bereges

28 Statistik 8. gag 8 Eksempel: Vadmægde i flod: Data: 58 årlige ma værdier af vadmægde: Middelværdi: X = 860 Spredig: s = 418

29 Statistik 8. gag 9 Plot på Normal-papir med Weibull plotte formel: Dårligt fit!! 100-års vadførig: τ = 1 år T = 100 år 1 p = = beregig: z = = X +. 3s = aflæsig: 100 > Atagelse om at data er LogNormal fordelt giver meget bedre fit!!