Spørgsmål 1 (5 %) Bestem sandsynligheden for at batteriet kan anvendes i mere end 5 timer.

Transkript

1 TATITIK krftlg evaluerg, 3. semester, fredag de 4. jauar 3 kl Alle hjælpemdler er tlladt. Opgaveløsge forsyes med av og CR-r. OGAVE Et batter har e levetd tmer med de tlkyttede tæthedsfukto f ( x), x 3 ( x + ) pørgsmål ( %) Bestem sadsylghede for at batteret ka avedes mere ed tmer. pørgsmål ( %) Bestem sadsylghede for at batteret ka avedes mellem og tmer. pørgsmål 3 ( %) Bestem de forvetede levetd for batteret. pørgsmål 4 ( %) Bestem medae for batterets levetd. OGAVE E producet af fødevare har 6 forskellge opskrfter for et yt produkt og øsker at sammelge dem ved e forbrugertest. Ved e forbrugertest gves e forbruger de 6 produkter tlfældg rækkefølge. Forbrugere skal ragere de 6 produkter forhold tl produkteres smag. pørgsmål ( %) Bestem atal måder e forbruger ka ragere de 6 produkter på. pørgsmål ( %) Bestem atal måder e forbruger ka udvælge de produkter som heholdsvs smager bedst og æstbedst. pørgsmål 3 ( %) Bestem atal måder e forbruger ka udvælge de produkter som smager bedst. OGAVE 3 Fra e me er der udtaget e jordprøve med et dhold af zk og jer. Atag at dholdet af zk er beskrevet ved de stokastske varabel X, og dholdet af jer er beskrevet med de stokastske varabel Y. De smultae tæthedsfukto f(x,y) er gvet ved 39 7( x ) ( y ) f ( x, y),. x.. y 3. 4 de af 3

2 pørgsmål ( %) Bestem de margale tæthedsfukto for zkdholdet. pørgsmål ( %) Bestem varase af zkdholdet. pørgsmål 3 ( %) Hvad er sadsylghede for at have et zkdhold mellem.8 og.. OGAVE 4 Der betragtes e ekspoetal fordelt stokastsk varabel X med følgede fordelgsfukto ( x), F( x) exp λ x hvor λ er e kostat. Der haves følgede observatoer af X :., 3.,.,. og.3. pørgsmål ( %) Bestem ved momet metode et estmat af λ. pørgsmål ( %) Bestem vha. Maxmum Lkelhood metode et estmat af λ. OGAVE I laboratoret er der udført forsøg på e smpelt uderstøttet stålbjælke belastet af e ekeltkraft på mdte. Forsøget er getaget ved forskellge lastveauer, hvorved der er fremkommet følgede sammehørede værder af de påførte kraft,, og bjælkemdtes lodrette edbøjg, : Lastveau [kn] [mm] pørgsmål ( %) Bestem sample korrelatoskoeffcete R mellem og og kommeter resultatet. pørgsmål ( %) Bestem e bvarate leær regressosmodel for sammehæge mellem og, det betragtes som uafhægg varabel og som afhægg varabel. lot derefter regressoslje. pørgsmål 3 ( %) Bestem dobbeltsdede 9 % kofdestervaller for regressoskoeffcetere. de af 3

3 OGAVE 6 I laboratoret er der testet betocyldre, hvorved følgede beto-trykstyrker er bestemt Ma: 34, 4, 37, 3, 4 Der skal opfyldes et krav om, at forvetgsværde af beto-trykstyrke skal være mdst 4 Ma. pørgsmål ( %) Afgør ved e hypotesetest på sgfkasveauet %, om hvorvdt kravet er overholdt, det det atages at beto-trykstyrke populatoes stadardafvgelse er kedt med værde σ 3 Ma. pørgsmål ( %) Afgør lgeledes ved e hypotesetest på sgfkasveauet %, om hvorvdt kravet er overholdt, det det u atages at beto-trykstyrke populatoes stadardafvgelse er ukedt. pørgsmål 3 ( %) Bestem ved e dobbeltsdet hypotesetest på sgfkasveauet %, om hvorvdt det udfra data ka retfærdggøres at populatoes stadardafvgelse som ataget spørgsmål er σ 3 Ma. de 3 af 3

4 TATITIK, 4--3 LØNING OGAVE pørgsmål adsylghede for at batteret ka avedes mere ed tmer er ( X > ) ( X ) f ( x) dx ( x + ) pørgsmål 3 dx ( x + ) adsylghede for at batteret ka avedes mellem og tmer 8 3 ( X ) F() F() ( ) ( ) pørgsmål 3 De forvetede levetd for batteret blver E [ X ] xf ( x) dx x ( x + ) pørgsmål 4 3 dx Medae for batterets levetd er F ( x)..44 ( ) x x + 36 OGAVE pørgsmål Atal måder 6 produkter ka rageres på bestemmes ved (permutatoer/ordet) 6! (6 6)! pørgsmål Atal måder ud af 6 produkter ka rageres på bestemmes ved (permutatoer/ordet) 6! (6 )! pørgsmål 3 Atal måder 3 ud af 6 produkter ka rageres på bestemmes ved (kombatoer/uordet) de af 7

5 C 6! 6!(6 )! 6 OGAVE 3 pørgsmål De margale tæthedsfukto for zkdholdet y ( x ) ( y ) f X ( x) f ( x, y) dy 4 y 7 ( x ) 4 39y 7y( x ) dy 4 3 ( y ) 3 y 3 y pørgsmål ( %) Det ses fra spørgsmål, at E[X]. Hermed blver varase af zkdholdet.. 7 ( x ) Var( X) E[ X E[ X] ] ( x ) f X ( x) dx ( x ). 4 dx.. pørgsmål 3 ( %) adsylghede for at have et zkdhold mellem.8 og. blver.. 7 ( x ) (.8 X.) f X ( x) dx.74 4 dx.8.8 OGAVE 4 pørgsmål ( %) For ekspoetal fordelge fås følgede frekvesfukto: df( x) f ( x) λ exp x dx ( λx), Forvetgsværde af X fås da tl: µ xf ( x) dx λ x exp( λx) dx x exp( λx) exp( λx) λ λ dfra stkprøve fås følgede mddelværd: X x ( ).96 Ved mometmetode sættes forvetgsværde for populatoe lg med stkprøves mddelværd, hvormed λ ka bestemmes: de af 7

6 X µ λ λ. X pørgsmål ( %) Lkelhood fuktoe opstlles: L f ( x ) λ exp( λx ) λ exp( λx ) Log-lkelhood fuktoe blver: l L l λ exp( λx ) l λ λ De mest sadsylge værd for λ bestemmes vha.: d l L dλ λ λ x x. X x Dvs. samme løsg som spørgsmål. Det gælder dog kke geerelt, at momet metode gver samme resultat som maksmum-lkelhood metode. OGAVE pørgsmål Data opstlles på tabelform: [kn] [mm] [kn ] [mm ] [knmm] ( ) [kn ] ( ) [mm ] Korrelatoskoeffcete bestemmes da vha.: de 3 af 7

7 de 4 af R Dvs. at dette tlfælde er der e meget stærk leartet mellem og, hvlket også er forvetelgt for e stålbjælke belastet tl uder flydespædge. pørgsmål Koeffcetere b og b bestemmes vha.:.46 b [mm/kn] -.3 b b [mm] Hvormed regressoslgge med dsat kn og mm blver:.46 mm/kn mm Regressoslje er opteget edeståede fgur samme med datapuktere.

8 pørgsmål 3 Følgede størrelser bestemmes: 6. [kn].7 [mm] ( ).88 [mm ] Varase på regressosfejle ka da bestemmes tl: ( R p ).88(.9997 ) [mm e Heræst ka varas og spredg på koeffcetere bestemmes: ] e e, b.483 [mm ] 37 ( ) e b,.38 [mm] og: e 6 e, b 4.49 [mm /kn ] 37 ( ) 3 e, b. [mm] Dobbeltsdede kofdestervaller for b og b fås da tl: b α /, e, b α /, e, b t t [mm] de af 7

9 b t α /, e, b α /, e, b t [mm/kn] OGAVE 6 pørgsmål Beto-trykstyrke modelleres ved de stokastske varabel X. Først bestemmes stkprøves mddelværd: X x ( ) 37.4 Ma må beto-trykstyrker er krtske, hvorfor der vælges følgede hypotese: H : µ 4 Ma H : µ < 4 Ma Da der først atages, at stadardafvgelseσ 3 Ma er kedt, avedes følgede test-statstk: X µ z.94 σ / 3/ Ved opslag stadardormalfordelge fås testes krtske værd tl: z α z. Φ (.).6 Da z.94 < zα. 6 ka H - hypotese afvses og H må derved accepteres. Dvs. betoe overholder kke det opstllede krav. pørgsmål Der avedes samme type test som spørgsmål, dvs.: H H : : µ 4 µ < 4 Ma Ma Det atages u, at σ er ukedt, hvorfor stkprøves spredg avedes teste: de 6 af 7

10 ( x X ) 9.3 Ma (( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) ) 3. Ma Da σ er ukedt, avedes u følgede test-statstk: t X µ / 3. / Ved opslag t-fordelge fås testes krtske værd tl: t α t..3 Da t.9 > tα. 3 ka H - hypotese accepteres og H må forkastes. Dvs. at det ka kke afvses, at betoe overholder det opstllede krav. De ædrede kokluso, skyldes de større uskkerhed, der lgger at σ er ukedt, hvormed det er sværere at forkaste H, ed spørgsmål. pørgsmål 3 Der opstlles følgede hypotese for populatosvarase: H H : : σ 3 σ 3 Ma Ma om test-statstk avedes: χ ( ) σ ( ) For at acceptere H skal Ved tabelopslag fås: χ α / χ.97 χ α / χ χ α / χ χα /. Det ses, at H accepteres, dvs. det ka kke afvses, at σ 3. de 7 af 7