CIVILINGENIREKSAMEN Side 1 af 19 sider. Skriftlig prve, den: 19. december 1994 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)

Transkript

1 CIVILINGENIREKSAMEN Side 1 af 19 sider Skriftlig prve, den: 19. december 1994 Kursus nr : 0401 Kursus navn: Statistik 1. Tilladte hjlpemidler: Alle sdvanlige Dette st er besvaret af: (navn) (underskrift) (bord nr) Der er i alt 30 sprgsmal fordelt pa 20 opgaver, skrevet med romertallene I { XX i selve teksten. Numrene pa deenkelte sprgsmal er anfrt ved de enkelte sprgsmal, ogdeer angivet som (1),(2),...,(30) i teksten. Bevarelserne af de 30 sprgsmal fres ind i nedenstaende skema. Opgave Svar Opgave Svar Svarmulighederne for hvert sprgsmal er nummereret fra 1 til 6. Indfres et forkert nummer i skemaet, kan dette rettes ved at \svrte" det forkerte nummer over og anfre det rigtige nedenunder. Er der tvivl om meningen med en rettelse, betragtes sprgsmalet som ubesvaret. Kun forsiden skal aeveres. Aeveres blankt eller forlades eksamen i utide, skal forsiden alligevel aeveres. Kladde, mellemregninger og bemrkninger tillgges ingen betydning, kun tallene indfrt ovenfor registreres. Der gives 5 point for et korrekt svar og,1 for et ukorrekt svar. Ubesvarede sprgsmal eller et 6-tal (svarende til \ved ikke") giver 0 point. Det antal point, der krves for, at et st anses for tilfredstillende besvaret, afgres endeligt ved censureringen af sttene. Husk at forsyne opgaveteksten med navn, underskrift og bordnummer. 1

2 Der gres opmrksom pa atideen med opgaverne er, at der er et og kunet rigtigt svar pa de enkelte sprgsmal. Endvidere er et ikke givet, at alle de anfrte alternative svarmuligheder er meningsfulde. Sttets sidste side er nr 19; blad lige om og se, at den er der. Opgave I Trakintensiteten pa envejstrkning er i tidsrummet 9.00{11.00 undersgt mht. antallet af lastbiler. I tidligere undersgelser har man konstateret en middelintensitet pa 11.5 lastbiler/time. Pa den givne dag registreredes i alt 13 lastbiler i tidsrummet 9.00{ Man nsker at undersge, om trakintensiteten mht. lastbiler er ndret eller undret. fortrinsvis: I.1 (1): Hvilken af flgende teststrrelser med tilhrende testfordeling benyttes P ois(11:5) Bin(13+11:5; 1 ) :5 N ormal(23; p 23) 4 2 6:5 Exp(1=11:5) P ois(23) Opgave II II.1 (2): En producent af enarmede tyvekngte har indstillet en maskine, sa det er tilstrbt, at sandsynligheden for, at det ene af 'hjulene' viser tegnet 'JACKPOT' er hjst 5%. Han beslutter sig for at rotere det pagldende hjul 20 gange. Hvor mange 'JACKPOT's br han hjst acceptere pa hjulet, hvis han vil teste sin indstilling af hjulet pa et 5% signikansniveau: (En enarmet tyvekngt er en spillemaskine med tre hjul, der viser forskellige tegn. Hvis der vises et bestemt tegn pa alle 3 hjul, far man en prmie. Vises tegnet 'JACKPOT' pa alle tre hjul, far man en srlig stor prmie. Hjulene pa ensadan maskine kan indstilles med nogle vgte, sa alle tegn ikke er lige sandsynlige. Her betragter vi altsa kunet af hjulene.) 2

3 II.2 (3): Nuerdetsadan, at omtalte fabrikant aldrig har hrt om hverken tests eller signikansniveau, sa han beslutter sig bare for, at han hjst vil acceptere 1 'JACKPOT' i de 20 roteringer af det ene hjul. Hvilket signikansniveau benytter han faktisk? 1 2 ca 92 % 2 2 ca8% 3 2 ca 74 % 4 2 ca 26 % 5 2 ca5% II.3 (4): Det viser sig, at fabrikanten netop nder 2 gange 'JACKPOT' i sin undersgelse. Et 95% kondensinterval for den sande 'JACKPOT'{sandsynlighed pa det pagldende hjul er herefter: { 32 % = p 20 % 3 2 0{20% { 25 % { 39 % 3

4 Opgave III En stud. polyt. patnker at udfre en ensidet variansanalyse, men kommer i tvivl om, hvilke forudstninger der skal glde. III.1 (5): Hvilken af flgende tnkelige forudstninger mener du, skal vre overholdt for at gennemfre en rimelig variansanalyse: 1 2 Kvadratafvigelsessummen mellem grupper ma ikke vre for stor 2 2 Der skal indga mindst 3 forskellige grupper 3 2 Variansen skal vre den samme inden for alle grupper 4 2 Summen af gruppeeekterne skal vre nr nul 5 2 Forskellen mellem strste og mindste gruppegennemsnit ma ikke vre strre end forsgsspredningen. Opgave IV I et apparat sidder to prer. middellevetid pa 1200 timer. Hver pre antages at have eksponentialfordelt levetid med IV.1 (6): Hvor stor er sandsynligheden for, at begge prer overlever et halvt ars kontinuerlig drift, dvs 4380 timers samlet drifttid? e,4380= e,4380=( ) e,4380=1200 (1, e,4380=1200 ) 4 2 (e,4380=1200 ) (1, e,4380=1200 ) 2 4

5 Opgave V V.1 (7): Nar man foretager en randomisering i et forsg, er formalet: 1 2 At srge for, at data er normalfordelte 2 2 At modvirke, at der forekommer indydelse fra systematiske forsgsfejl i data 3 2 At gre data mere njagtige fr en variansanalyse 4 2 At sikre, at der er tilstrkkelig usikkerhed i data, sa der er noget at teste imod 5 2 At sikre, at alle data far samme varians Opgave VI Vi betragter uafhngige stokastiske variable X 1 ;X 2 ;:::;X n med flles normal fordelingsfunktion N(; 2 ), hvor og 2 angiver henholdsvis middelvrdi og varians. X = Pi X i=n, og s 2 = P (X i i, X) 2 =(n, 1). VI.1 (8): Hvilket af flgende udsagn er ikke korrekt: 1 2 Varf2Xg =4 2 =n 2 2 Ef2Xg =2 3 2 ( X, )=(s= p n) vil vre t(n, 1){fordelt 4 2 ( X, ) vil vre N(0; 2 =n){fordelt 5 2 ( X, )=s vil vre N(0; 1){fordelt 5

6 Opgave VII Pa overaden af sintret metal kan man ved en teknik, der bygger pa slibning og undersgelse under mikroskop, male strrelsen af de enkelte korn. I den konkrete undersgelse har man malt diameteren af de korn, som bender sig i krydsningspunkterne i et 1010 net. For prver fra tre forskellige batche af metalpulver k man flgende fordeling af de 100 malte korn: Diameter klasse < >0.05 Batch I Batch II Batch III VII.1 (9): Hvis man nsker at undersge, om kornstrrelsen har samme fordeling for de tre batche, gres dette ved hjlp af 1 2 en tosidet variansanalyse 2 2 tre 2 {tests for fordelingstype 3 2 et 2 {test for homogenitet af fordelinger 4 2 et 2 {test for homogenitet af varianser 5 2 et Bartlett's test for homogenitet af varianser 6

7 Opgave VIII I en undersgelse vedrrende virkningen af to alternative ltreringsmetoder har man foretaget ltrering af et antal vandprver. Der blev benyttet i alt 7 vandprver i undersgelsen. Disse deltes i to, og man fandt flgende indhold af en urenhedsbestanddel i g: Prve nr Ny metode Gammel metode Det oplyses, at 19:3+18:7+:::+16:0 = 126:1 19: :7 2 + :::+16:0 2 = 2337:43 21:0+19:3+:::+19:8 = 139:3 21: :3 2 + :::+19:8 2 = 2860:17 (,1:7) + (,0:6) + :::+(,3:8) =,13:2 1:7 2 +0:6 2 + :::+3:8 2 = 38:62 VIII.1 (10): Ved test af en hypotese om undret ltreringseekt br man benytte teststrrelsen: 1 2 (126:1,139:3)=7 p 3:58 2= :97=14: :68=10: :886 p 1:51 2=7 5 2,13:2=7 p 1:51 1=7 7

8 Opgave IX Vi tnker os, at der skal udfres et statistisk test som: H 0 : = 0 mod H 1 : 6= 0 IX.1 (11): I dette tilflde vil signikansniveauet angive: 1 2 Sandsynligheden for, at H 0 er falsk, hvis testet leder til accept af H Sandsynligheden for, at H 0 ikke er sand. 3 2 Sandsynligheden for, at testet leder til afvisning, hvis H 0 er sand 4 2 Sandsynligheden for, at testet leder til en type II fejl 5 2 Sandsynligheden for, at H 1 accepteres og, at H 1 ogsa er sand. Opgave X Der er foretaget en undersgelse af slidstyrken af re tekstiltyper, A, B, C og D. Der benyttedes 4 stykker stof af hver af de re typer. Man k flgende observationer, der angiver bortslidt mnge i g efter testen: tekstiltype A B C D X.1 (12): Disse data analyseres mht. forskel pa slidstyrken ved hjlp af 1 2 en tosidet variansanalyse 2 2 en ensidet variansanalyse 3 2 et romersk kvadratforsg 4 2 et 2 {test for homogenitet af de 4 fordelinger 5 2 en 44 kontingenstabel 8

9 Opgave XI XI.1 (13): Hvilken af flgende testmetoder bygger ikke pa normalfordelingen, direkte eller indirekte: 1 2 Et Kolmogorov{Smirnov test 2 2 Et t{test for parrede dierenser (parret t{test) 3 2 Test for hldningskoecient i en liner regressionsanalyse 4 2 Et F{test for om to varianser er ens 5 2 En tosidet variansanalyse Opgave XII Man nsker at bestemme indholdet af en bestemt urenhedsbestanddel i en stor batch af ramateriale. Der er variation mellem prverne, som udtages, og selve malemetoden er ogsa behftet med usikkerhed. Derfor ma der udtages ere prver. Samlet vil der vre en maleusikkerhed i forbindelse med en prve, som kan sknnes ved en spredning pa ca.2 g/kg. XII.1 (14): Hvor mange prver (n) skal man ca. udtage for at kunne bestemme det sande indhold med en usikkerhed, der svarer til en spredning pa ca 0.1 g/kg: 1 2 n =ca n =ca n =ca n = ca n =ca p 20 9

10 Opgave XIII Flgende skema viser kvadratafvigelsessummer og frihedsgrader fra en variansanalyse. Dataene hidrrer fra en undersgelse af de omkostninger, som re forskellige nansieringsselskaber havde pa fem bestemte typer lanearrangementer: Variationskilde SAK f Mellem selskaber Mellem arrangementer Residual Total variation { 1 ved: XIII.1 (15): Den spredning, som svarer til den rent tilfldige variation, estimeres XIII.2 (16): Om resultaterne ivrigt glder et at flgende udsagn (baseret pa = 5% tests): 1 2 Teststrrelsen for totalvariansen kan beregnes til /834.3 = 1.82, som ikke er signikant. Flgelig er alle eekter i undersgelsen ikke signikante. 2 2 'Arrangementer' ndes signikant forskellige, men ikke 'selskaber'. 3 2 Usikkerheden er for stor til, at 'arrangementer' kan testes pa = 5% niveau. 4 2 Man kan ikke teste 'selskaber', da variationen mellem 'selskaber' ikke er signikant strre end variationen mellem 'arrangementer'. 5 2 'Selskaber' ndes signikant forskellige, men ikke 'arrangementer'. 10

11 Opgave XIV Ved en undersgelse af fejltyper, som kan optrde i et bestemt apparat, som er under udvikling, fandtes flgende resultater svarende til nogle af de vsentligste komponenter, idet frste fejl inden for de frste 2 maneders drifttid er registreret sammen med virksomhedens erfaringstal. Erfaringstallene er procentuelle andele, som virksomheden har estimeret over en meget lang periode og pa basis af et stort antal apparater. Fejltype Strmfors. Forstrker Styreenhed Fejlfri Ialt Antal apparater Erfaringsprocenter 5% 4% 6% 85% 100% XIV.1 (17): Man er indledningsvis interesseret i, om dataene understtter virksomhedens erfaringstal. Ved test heraf benyttes flgende teststrrelse og tilsvarende testfordeling: 1 2 Z = (17,7:5)2 7:5 + (11,6)2 6 + (12,9)2 9 + (110,127:5)2 127:5 2 (3) 2 2 Z = (17,7:5)2 7:5 2 + (11,6) (12,9) (110,127:5)2 127:5 2 F (3; 3) 3 2 Z = (7:5,17)2 + (6,11)2 + (9,12)2 + (127:5,110)2 2 (3) Z = 110 Pois(150 0:85) 5 2 Z =(110; 40) Pol(150; 0:85; 0:15) XIV.2 (18): Man nsker nu etmaximum likelihood estimat for parametrene i fejltypernes (naturlige) fordeling: Dette estimat er: 1 2 (17; 11; 12; 110) 2 2 (11:3%; 7:3%; 8:0%; 73:3%) 3 2 (17=110; 11=110; 12=110; 110=110) 4 2 ( p p p p 17=150; 11=150; 12=150; 110=150) 5 2 Man kan ikke udlede et eksplicit maximum likelihood estimat i dette tilflde 11

12 Opgave XV Betragt en stokastisk variabel X, som antages at have tthedsfunktionen f(x; ) = x,1 ; 0 x 1 ; >0 Lad der endvidere foreligge n uafhngige observationer x 1 ;x 2 ;:::;x n. Vi tnker os nu en central estimator ^ for parameteren. XV.1 (19): For estimatoren ^'s varians glder flgende ulighed: 1 2 Varf^g 2 =n 2 2 Varf^g =n 3 2 Varf^g 2=n 4 2 Varf^g 1=(n) 5 2 Varf^g =n 2 XV.2 (20): Der nskes nu en maximum likelihood estimator for. Denne er: 1 2 ^ = i (x i =n) 2 2 ^ = n=( P log x i i) 3 2 ^ = P log x i i=n 4 2 ^ = n=( P x i i) 5 2 ^ =,n=( P log x i i) 12

13 Opgave XVI Ved en undersgelse af sammenhngen mellem rygning og valg af transportmiddel har man spurgt et antal studerende ved en hjere lreanstalt hvorvidt, de var rygere, samt hvilken transportform, de hyppigst benyttede: Antal personer Tog/bus Cykel Bil Ialt Rygere Ikke rygere Ialt XVI.1 (21): Man vil undersge, om der er relation mellem valg af transportform og disposition for rygning. Dette gres 1 2 i en tosidet variansanalyse med et F(2{1,3{1){test 2 2 i en ensidet variansanalyse med et F(3{1,2{1){test 3 2 med et t{test baseret pa (6{1) frihedsgrader 4 2 med et 2 {test for homogenitet af fordelinger med 2 frihedsgrader 5 2 med et t{test for parvise dierenser med 2 frihedsgrader 13

14 Opgave XVII En virksomhed har installeret et nyt rensesystem for det spildevand, der udledes. Systemet blev sat i drift d. 1. maj. Der foretages en lbende registrering af, hvor hyppigt indholdet af et bestemt stof overskrider en fastsat grnse i lbet af en maned. Flgende tabel viser antal overskridelser fra en periode omkring idriftsttelsestidspunktet: Periode februar marts april maj Antal XVII.1 (22): Ved et test (det almindeligste) for, om overskridelseshyppigheden er undret efter 1. maj, ndes sandsynligheden for at opna etantal overskridelser som registreret eller endnu mere ekstremt, som: 1 2 ca ca ca ca 1/ ca 16/17 Man planlgger at lade det nye anlg kre endnu en maned, inden man beslutter sig endeligt for dets videre drift. Til den tid vil man have data som flger: Periode februar marts april maj juni Antal X=? XVII.2 (23): Hvor mange overskridelser ma der maximalt observeres i juni maned, safremt det ved et test pa 1% signikansniveau skal kunne pavises, at der er sket et reelt fald i overskridelsesintensiteten? 1 2 X=1 2 2 X=2 3 2 X=3 4 2 X=4 5 2 X=0 14

15 Opgave XVIII Med henblik pa bestemmelse af vksthastigheden for en type bakterier i et bestemt medium, er der er registreret samhrende vrdier af tid og et mal for vkst af bakterierne i 4 forskellige prver. Bakteriemngde Y t Tid for vkst Den basale model for vksten er, at Y t = y t + Z t = t + Z t hvor usikkerhedsbidraget Z t antages at have envoksende varians, saledes, at det glder, at VarfZ t g = 2 y t. Dvs, at Y t har middelvrdi og varians (y t )og( 2 y t ), hhv. XVIII.1 (24): Med henblik pa atopna en model med approximativt konstant varians, vil man foretage en transformation af data til X t = Y t. Med denne transformation far X t flgende approximative varians: 1 2 VarfX t g' 2 y 2,1 t 2 (dvs. vlg =1=2, dvs. X t = p Y t ) 2 2 VarfX t g' 2 y 2+1 t 2 (dvs. vlg =,1=2, dvs. X t =1= p Y t ) 3 2 VarfX t g' 2 y 2+2 t 2 (dvs. vlg =,1, dvs. X t =1=Y t ) 4 2 VarfX t g' y t 2 (dvs., at man ikke kan opna konstant varians pa denmade) 5 2 Alle ovenstaende forslag er forkerte 15

16 Med henblik pa at bestemme forelbige estimater for parametrene og logaritmeres data: U t = log e Y t v t = log e t :18 + 1:06 + 1:95 + 2:97 = 6:16 0:69 + 1:39 + 2:08 + 2:77 = 6:93 0: : : :97 2 =13:78 0: : : :77 2 =14:41 0:18 0:69 + ::: +2:97 2:77 = 13:88 XVIII.2 (25): Det forelbige estimat for fas heraf som: 1 2 ca { ca ca ca /14.41 = ca 0.96 XVIII.3 (26): En model som den ovenstaende basale model for vksten kan kaldes: 1 2 En generel liner regressionsmodel 2 2 En strengt ikke{liner regressionsmodel 3 2 En transformerbar ikke{liner regressionsmodel 4 2 En ekstrem{vrdi fordelingsmodel 5 2 En fordeling af eksponentiel type 16

17 Opgave XIX Betragt flgende variansanalyseskema: Variation SAK f s 2 F Ml. Koncentrationer Ml. Temperaturer Vekselvirkning Residual Totalt XIX.1 (27): Efter udfrelsen af variansanalyse, hvor alle tests foretages pa et signikansniveau = 5%, bestemmes et skn over malingernes varians. Det bedste skn bliver pa dette grundlag: 1 2 1: : (3:85 + 3:07)= : :

18 Opgave XX Som indledning til et strre forsg er udfrt en serie malinger pa et prveemne. Formalet er at vurdere maleprocessens njagtighed. Man fandt flgende resultater: P i x i =72:0 og P i x2 i =653:80. XX.1 (28): Et centralt skn over maleprocessens varians 2 er / /7 3 2 (653.80{ =7) 4 2 (653.80{ =8) 5 2 Ingen af de anfrte forslag er centrale skn pa 2 Som indledning til et andet forsg er udfrt en lignende serie malinger pa et prveemne. Formalet er ogsa her at vurdere en maleprocess' njagtighed. Man fandt nu et centralt variansestimat med 11 frihedsgrader: s 2 =23:04 = 4:80 2 ; f =11 XX.2 (29): Fra fabrikanten af maleudstyrets side hvdes, at apparatet maler med en varians pa hjst 2:00 2. Flgende teststrrelse og kritisk omrade (benyt = 1%) vil vre egnet til at undersge dette: 1 2 Z = 4:80=2:00 med kritisk omrade Z > 2: Z =114:80 2 =2:00 2 med kritisk omrade Z>24: Z =104:80 2 =2:00 2 med kritisk omrade Z>2: Z =2:00 2 =(11 4:48 2 ) med kritisk omrade Z<3: Z =(4:80=2:00) 2 med kritisk omrade Z>11 18

19 XX.3 (30): pa basis af det fundne variansestimat nsker man endvidere at angive et 95% kondensinterval for maleprocessens varians 2. Man nder intervallet: 1 2 I =[4:80 2 = p 21:920, 4:80 2 = p 3:812] 2 2 I =[253:44=20:483,253:44=3:247] 3 2 I =[114:80 2 =19:675, 11 4:80 2 =4:575] 4 2 I =[104:80 2 =19:675, 10 4:80 2 =4:575] 5 2 I =[253:44=21:920,253:44=3:816] Slut pa opgavesttet. God juleferie. 19