[PJ] QuickGuide.dfw QuickGuide

Transkript

1 [PJ] QuickGuide.dfw QuickGuide Derives resultater Husk at Derive angiver decimalbrøker uden at forhøje sidste ciffer. Så når du udregner fx /3 får du og ikke Du kan altså ikke stole på det sidste ciffer. Du må derfor selv lave en rigtig fortolkning, hvis du skal angive resultatet med et bestemt antal cifre. Logaritmer Titalslogaritmen til f.eks. 10 skrives som: LOG(10,10) Den naturlige logaritme til f.eks. 10 skrives som: LN(10) eller LOG(10) Pas på! LOG(1) tager den naturlige logaritme af 1. Hvordan tager man den n'te rod af et tal? Der findes både et symbol, en forkortelse for kvadratroden og en genvej( 4 eller SQRT(4) of CTRL+Q). Alle andre rødder udregnes som x^(1/n), idet der gælder at den n'te rod af x er lig med x^(1/n) #1: 1/n x Numerisk værdi (absolut værdi) Der findes både et symbol og en indbygget funktion for numerisk værdi, så x = ABS(x). De lodrette streger fås ved at trykke Alt Gr + (lige til venstre for slet tilbage tasten). Konstanterne ¹ og e Skrives som CTRL+p og CTRL+e og vises som ê. Så andenpotensen af e skrives som: ê^ De findes også i paletten for matematiske tegn Funktioner Familier af funktioner kan udtrykkes på forskellige måder: #: VECTOR(y = a x +, a, [1, 4, 8]) #3: 3 VECTOR y = x + b x +, b, -,, ƒ #4: f(b, x) := b x + #5: f(, x) = x + Udsnit af graf tegnes ved at skrive: #6: IF(0 < x < 10, x ) Gaffelfunktioner #7: IF(x < 0, x, x ) Læses: for x<0 er funktionen y=x, ellers er den y=x^ #8: #9: IF(x < 1, x, IF(x < 5, x, - x)) IF(x > 1, x), IF(- < x < 1, x), IF(x < -, x ) Polynomiers division fås ved at markere polynomiumsbrøken og vælg Simplify > Expand (eller CTRL+e) Find forskriften for funktionen ud fra to punkter Følgende viser hvordan man finder a og b når man kender to punkter. Her er vist eksemplet med punkterne (15,68) og (174,149). Rækkefølgen er lineær, eksponentiel og proportional m. en potensfunktion: #10: SOLVE([a 15 + b = 68, a b = 149], [a, b]) 1

2 [PJ] QuickGuide.dfw #11: #1: SOLVE( b a = 68, b a = 149, [a, b], Real) a b 15 = 68 SOLVE, a, Real a b 174 = 149 ƒ Herefter finder man b ved indsættelse. Tabeller skrives med komma mellem søjler og semikolon ( ;) mellem rækker. Så [,17;4,1] giver #13: Funktionspapir Værdierne indtastes i en tabel kaldet 'data'. Derefter transformeres data ved brug af den relevante funktion fra Funktionspapir.mth. De tranformerede data skal ligge på en ret linje. #14: #15: expdata := VECTOR( data, LOG(data ), k, DIM(data)) k,1 k, pwrdata := VECTOR( LOG(data ), LOG(data ), k, DIM(data)) k,1 k, Regression De følgende tre programmer findes i Regression.mth. De finder bedste a og b-værdier efter at man har fastlagt den rette model for sine data. #16: linfit(data) #17: expfit(data) #18: pwrfit(data) Differentialkvotient For en defineret funktion udregnes differentialkvotienten som f'(x)= Tangenten i fx 1. fås som #19: y = TANGENT(f(x), x, 1.) Omdrejningslegeme Omdrejningslegemet kan tegnes med følgende opskrivning, hvor f(x) er forskriften for funktionen. #0: [s, f(s) COS(t), f(s) SIN(t)] Vektorer i D Funktionerne findes i filen VektorerD.mth #1: a := [, 3] #: a = 13 Vektoren AB mellem punkterne A og B: #3: AB = B - A #4: Angle := Degree

3 [PJ] QuickGuide.dfw #5: #6: a b vinkel(a, b) := ACOS a b ƒ a b proj(a, b) := b b Trekant kan tegnes som #7: [A, B, C, A] hvor de tre punkter A, B og c er defineret med koordinater. Stedvektor kan tegnes som #8: [[0, 0], a] Prikproduktet skrives som punktum: a.b #9: a b #30: DET([a, b]) #31: hat(a) := - a, a 1 Skrives som: hat(a) := [- a, a 1] Arealsætninger #3: A1(a, b) := DET(a, b) #33: A(a, b, v) := a b SIN(v) Differentialligninger Brug standardløsningerne fra St.Diff.lign.mth hvor de 4 standardløsninger findes. Ved separation af de variable bruges: #34: SEPARABLE( x, 3 y, x, y, 3, 1) #35: x : Real #36: y : Real (0, ) SEPARABLE(p, q, x, y, x0, y0) giver en implicit løsning til en ligning som har formen y' = p(x) q(y) #37: DIRECTION_FIELD(x y, x, -10, 10, 0, y, -10, 10, 0) #38: 1 RK [x y], [x, y], [0, 1],, ƒ Parameterkurver #39: f(t) := [ t - 3, t + 1] #40: [x, y] = [-3, 1] + t [, 1] f'(t) udregner det afledede og ABS(f'(-)) finder længden af hastighedsvektoren. #41: y = PARA_TANGENT(v, t, t0, x) giver tangentligningen (udtrykt som y som funktion af x) til parameterkurven v(t) for t=t0. #4: y = PARA_PERPENDICULAR(v, t, t0, x) giver en ligningen for en linie vinkelret på tangenten til parameterkurven v(t) for t=t0. Rumgeometri 3

4 [PJ] QuickGuide.dfw Findes i filen Rumgeometri - generelt.mth #43: AB = B - A #44: Angle := Degree #45: #46: a b vinkel(a, b) := ACOS a b ƒ a b proj(a, b) := b b #47: stedvektor(a) := [[0, 0, 0], a] #48: CROSS(a, b) = a b SIN(v) #49: 1 T = CROSS(a, b) Skrivemåder for en linje #50: 1 5 f(t) := 3 - t, + t, + 3 t Skrivemåder for planer #51: 15 x - 11 y + 14 z - 11 = 0 #5: f(t) := A + s [0, -3, -5] + t [1, 1, 1] Prikprodukt (punktum) og krydsprodukt: #53: a b #54: CROSS(a, b) Planens ligning kan skrives som det skalære produkt hvor vi først har normalvektoren og S er et fast punkt #55: [-15, 11, -14] ([x, y, z] - S) = 0 Kuglens ligning. Med Options > Approximate Before Plotting slået til, kan man for eksempel tegne kuglen med ligningen: #56: (x - ) + (y + 1) + (z + 4) = med linjen og med parametrene s og t gående fra -PI til PI og fx 30 "panels" #57: [, -1, -4] + SPHERE(, s, t) Afstandsformler i rummet Findes i filen Rumgeometri - afstande.mth (1) Afstanden fra et punkt P(x1,y1,z1) til en plan : a x + b y + c z + d=0 De relevante værdier indsættes ved en SUB. #58: a x1 + b y1 + c z1 + d distp_ = (a + b + c ) () Afstanden mellem et punkt P og linien m. Formlen virker på vektoren r, som er retningsvektor for linien m, og vektoren mellem et vilkårligt punkt på linien P0 og et punktet i rummet, P. #59: CROSS(r, P0_P) distp_m(r, P0_P) := r (3) Afstanden mellem linierne m1 og m. 4

5 [PJ] QuickGuide.dfw Formlen virker på vektoren n (som er krydsproduktet af de to retningsvektorer for linierne) og vektoren P1_P mellem to vilkårlige punkter på de to linier. #60: n P1_P distm1_m(n, P1_P) := n Kombinatorik #61: 4! = 4 Fakultet skrives som i bogen med et udråbstegn #6: COMB(m, n) er antallet af n-mængder der kan udtages af en m-mængde. Stokastisk variabel I filerne Stokastisk variabel ( rows).mth og Stokastisk variabel ( col).mth vises hvordan man udregner middelværdi og spredning fra en tabel med værdier. Tallene i tabellen kan enten være i rækker eller i kolonner. Hypergeometrisk fordeling #63: HYPERGEOMETRIC_DENSITY(j, q, d, N) j: antal defekte i stikprøven q: stikprøvens størrelse d: antal defekte i partiet N: elementer i partiet #64: P(X=3) = HYPERGEOMETRIC_DENSITY(3, 5, 1, 5) #65: TABLE(HYPERGEOMETRIC_DENSITY(j, 5, 1, 5), j, 0, 5, 1) #66: P(X 3) = HYPERGEOMETRIC_DISTRIBUTION(3, 5, 1, 5) #67: hypertabel(q, d, N) Laver tabel med udregninger af [ j ; P(X=j), P(X j), P(X j)]. Funktionen findes i Hypergeometrisk.mth Binomialfordeling #68: BINOMIAL_DENSITY(r, n, p) r: antal gange med succes n: antal gentagelser (antalsparameteren) p: er sandsynligheden for succes (sandsynlighedsparameteren) #69: P(X=6) = BINOMIAL_DENSITY(6, 1, 0.4) #70: TABLE(BINOMIAL_DENSITY(r, 1, 0.4), r, 0, 1, 1) #71: P(X 4) = BINOMIAL_DISTRIBUTION(4, 1, 0.4) #7: binomtabel(n, p) Laver tabel med udregninger af [ r; P(X=r), P(X r), P(X r)]. Funktionen findes i Binomial.mth Normalfordeling #73: NORMAL(t) (uden angivelse af µ og Þ) giver værdierne for den kumulerede fordelingsfunktion for standardnormalfordelingen, nf(0,1). 5

6 [PJ] QuickGuide.dfw #74: NORMAL(t, 00, 0) giver værdierne for den kumulerede fordelingsfunktion for normalfordelingen med µ=00 og Þ=0, nf(00,0). Der gælder generelt følgende: #75: P(X t)=normal(t,µ,þ) Normalfordelingspapir De følgende tre programmer findes i Normalfordelingspapir.mth #76: lavkum(data) Laver en tabel over de kumulerede frekvenser. #77: lavlin(data) Laver data om til værdier, der giver en ret linje i et almindeligt koordinatsystem, hvis data er normalfordelte. #78: normreg(data) Finder middelværdi µ og spredning Þ 6