SUPPLEMENT til Matematiske Grundbegreber

Transkript

1 UPPLEMET tl Matematske Grudbegreber IDHOLD A BEVIER VEDRØREDE ORMALFORDELIGE 3A χ - FORDELIE 3 3B t - FORDELIGE 6 3C F - FORDELIGE 7 4A DEFIITIOER OG EKEMPLER PÅ CETRALE OG EFFEKTIVE ETIMATORER 9 4B BEVIER FOR FORMLER FOR KOFIDEITERVALLER 5A BEVIER FOR FORMLER I HYPOTEETET 3 5B OC-KURVER OG DIMEIOERIG 6 7A BEVI FOR MIDDELVÆRDI OG PREDIG FOR HYPERGEOMETRIK VARIABEL 8 7B BEVIER FOR FORMLER I BIOMIAL- OG POIO-TET 9 7C BEVIKITE FOR TÆTHEDFUKTIOE FOR POIOFORDELIGE

2 upplemet A Bevser vedrørede ormalordelge UPPLEMET: A BEVIER VEDRØREDE ORMALFORDELIGE xµ I detoe a ormalordelge dgår, at ( x) e π dvs ( x) og ( x) dx Bevs: Da e ekspoetalukto er postv, er ( x) x µ ubsttueres t ås x dx ( ) t e dt π t ættes I e dt ås t t t u I e dt e dt e dt e du Idøres u polære koordater t r cos v, u r sv ås π r r r r I dv e rdr π e π er e tæthedsukto, e ( t + u ) Hera ås det øskede dt du ÆTIG (Mddelværd og spredg or ormalordelg) ormalordelge mddelværde µ og spredge ( µ, ) har x µ x Bevs: E( X) e dx π x µ ubsttueres t x µ + t ås t µ t t E( X) e dt + e π π dt Det ørste tegral er, da tegrade er e tæthedsukto, og det adet tegral er, da tegrade er e µ ulge ukto Følgelg er E(X) ( x µ ) 3) V( X) e dx x µ ubsttueres t x µ + t ås π V( X) x µ t t t t t e dt e + e dt π π π (delvs tegrato, samt som ør at sdste tegral er )

3 upplemet 3A χ - ordelge UPPLEMET 3A χ -FORDELIGE χ U, U,, U Deto a -ordelge Lad være uahægge ormerede ormalordelte varable adsylghedsordelge or de statstske varabel χ U + U +,, U kaldes - ordelge med rhedsgradstallet og beteges χ χ ( ) Det ka vses, at tæthedsuktoe or χ ( ) er bestemt ved x x e or x> ( x) Γ ellers x t hvor Gammauktoe Γ( x) er deeret ved Γ( x) t e dt χ ÆTIG 3A (mddelværd og varas or -ordelg) - ordelge med rhedsgrader har mddelværde og varase χ E( χ ) V( χ ) Bevs: I kaptel blev det or e vlkårlg statstsk varabel X vst, at V( X) E( X ) ( E( X)) () Lad U være de ormerede ormalordelg Da E(U) og V(U) ås a regel (), at EU ( ) Idet χ U + U + + U ås a leartetsregle, at E( ) E( U ) + E( U ) + + E( U ) χ Beyttes regel () på de statstske varabel U 4 ås VU ( ) EU ( ) ( EU ( ) A detoe på mddelværd ås u π π u ( ) EU ( 4 ) u 4 ( udu ) 4 3 u e du u e d u Beyttes delvs tegrato ås: u u u EU ( 4 ) u de u du e e π π u u 3 u e du 3 u e du 3 E( U ) 3 π π 4 V har u V( U ) EU ( ) ( EU ( )) 3 Da U, U, er uahægge ås V( ) V( U ) + V( U ) +, + V( U ) U χ pecelt gælder Γ( x ) ( x )! π 3 ( x ) ( x ) or or π or x x x { 3,,,} {,,, } 3

4 upplemet 3A χ - ordelge ÆTIG 3A (addtossætg or χ - ordelte varable) Lad χ, χ,, χk være uahægge χ - ordelte varable med rhedsgradstallee heholdsvs,,, k De statstske varabel χ χ + χ + + χk er da χ - ordelt med rhedsgradstallet k Bevs: Da hver a de k χ - ordelte varable er e sum a kvadratere på e række ormerede uahægge oralordelte χ χ varable, vl aturlgvs også være det Det samlede atal led er, hvormed sætge er bevst V vl de ølgede sætger gå ud ra, at X, X,, X er ormalordelte statstske varable med mddelværd µ og spredg Lad edvdere som sædvalg X + X + + X X Ude bevs aøres ølgede sætg: ( X X) ( X µ ), og µ ÆTIG 3A3 (Uahægghed a X og ) De statstske varable X og er uahægge ( ) ÆTIG 3A4 ( er χ - ordelt) ( X X) De statstske varabel ( ) er ordelt χ ( ) Bevs: Idet ( X X) (( X µ ) + ( µ X)) (( X µ ) + ( µ X) + ( X µ )( µ X)) ( X ) + ( X) + ( X) µ µ µ ( X ) µ ( X µ ) + ( µ X) + ( µ X) X µ ) ( X µ ) + ( µ X) + ( µ X)( X µ ) ( X µ ) ( X µ ) ( X X) ( X µ ) ås X µ () 4

5 upplemet 3A χ - ordelge µ ( X Idet ) X er e sum a kvadrerede ormerede ormalordelte varable, er de χ - ordelt med rhedsgrader µ X µ Edvdere ses, at er e kvadreret ormeret ormalordelt varabel, så de er χ - ordelt med rhedsgrad De to led () er ølge sætg 3A3 uahægge χ χ χ - ordelte varable statstske varable Da e sum a uahægge - ordelte varable atter er - ordelte ølge sætg 3A, har v deror, at ( ) ( X µ ) Det ka edvdere vses, at - X µ er χ - ordelt ÆTIG 3A5 ( varas a 4 og µ ) V( ) 4 og V( µ ) Bevs: ( X X) ( X X) a) A omskrvge χ hvor χ er ordelt χ ( ), ås 4 V( ) V ( ) ( ) χ ( X µ ) ( X µ ) b) A omskrvge µ χ hvor χ er ordelt χ ( ), ås 4 V( µ ) V ( χ ) 5

6 upplemet 3B t - ordelge UPPLEMET 3B t - FORDELIGE DEFIITIO a t - ordelge Lad U være ormalordelt ( ) og χ være ordelt χ ( ) Hvs U U og χ er uahægge kaldes sadsylghedsordelge or de statstske varabel t or t- ordelt med rhedsgradstallet og beteges t() χ + Γ Det ka vses, at tæthedsuktoe or t() er bestemt ved ( x) + π Γ Da (x) (- x) er t - ordelgere alle symmetrske om y akse, med E(X) x + For de statstske avedelser er ølgede sætg vgtg: X µ ÆTIG 3B ( er t-ordelt) Lad X, X,, X være ormalordelte statstske varable med mddelværd µ og spredg Lad X edvdere og være de sædvalge estmater or mddelværd og varas X µ De statstske varabel T er da t - ordelt t ( ) X µ ( X µ ) X µ Bevs: V har T ( ) ( ) X µ ( ) Her er tællere ormeret ormalordelt, mes er χ - ordelt med - rhedsgrader Iølge sætg 3A3 er X og uahægge, hvlket gør, at betgelsere er opyldt or, at T er t - ordelt 6

7 upplemet 3C F - ordelge UPPLEMET 3C F-FORDELIGE DEFIITIO a F-ordelge Lad χ T og χ være statstsk uahægge og ordelt heholdsvs χt χ ( T ) og χ ( ) adsylghedsordelge or de statstske varabel F T χ sges at være F- T F ordelt med tællerrhedsgradstallet og æverrhedsgrads-tallet og beteges (, ) T Det ka vses, at tæthedsuktoe or F( T, ) er bestemt ved T T T + Γ T x or x > T+ ( x) T Γ Γ + x T ellers og har mddelværde E( F) (or > ) ( T ) og spredge ( F) (or > 4) + ( 4) T ÆTIG 3C (relatoer vedrørede F-ordelge) a) Fp( T, ) b) F (, ) p T F p t p (, ) ( ) Bevs: a) Lad F være ordelt F(, ) Der oretages omskrvge T χ T T F, hvor F * er ordelt Hera ølger: * χ F( F, T) χ χ T T * * PF ( x) p P x p P F p P F p F * x < x Hermed er a) bevst 7

8 upplemet 4A Detoer og eksempler på cetrale og eektve estmatorer ( ) b) Lad F være ordelt F(, ) og t være ordelt Der oretages omskrvge t χ U U F t Hera ølger: χ χ χ p PF ( x) p Pt ( x) p P( x t x) p Pt ( x) Hermed er b) bevst ÆTIG 3C er F ordelt Lad X og X være ormalordelte statstske uahægge ormalordelte varable,lad og betege X, X, stkprøvestørrelse or de to varable, og lad edvdere og være de sædvalge estmater or mddelværdere og varasere µ, µ, og De statstske varabel F er da ordelt F- ordelt F (, ) Bevs Ved avedelse a sætg 3A4 ås ølgede omormg: ( ) χ ( ) ( ) F ( ) χ ( ) ( ) A detoe på F- ordelge ølger da, at sætge er bevst om et vgtgt specaltlælde ses, at hvs de to varable har samme varas, vl F være F-ordelt F (, ) 8

9 upplemet 4A Eksempler på cetrale og eektve estmatorer upplemet 4A DEFIITIOER OG EKEMPLER PÅ CETRALE OG EFFEKTIVE ETIMATORER Cetral estmator Et rmelgt krav tl e estmator Φ er, at Φ mddel skal ramme de ukedte parameter, dvs kke systematsk agve e or llle værd eller e or stor værd DEFIITIO a cetral estmator E puktestmator Φ sges at være cetral or ϕ hvs E( Φ ) ϕ X + X + + X Eksempelvs er X e cetral estmator, da v kaptel ast 6 vste, at E( X) µ Eektv estmator Bladt de cetrale estmatorer har estmatorer med e llle varas særlg teresse Har ma således cetrale estmatorer or de samme parameter, vl ma aturlgt vælge de med mdst varas Ma sger, at e såda estmator er mere eektv ed de ade DEFIITIO a eektv estmator E cetral estmator Φ kaldes e eektv estmator or ϕ, hvs V ( Φ) or E eektv estmator vl altså or stor stkprøvestørrelse have både de rgtge mddelværd og llle varas ( X ) Eksempelvs er X e eektv estmator, da v kaptel ast 6 vste, at ( X ), og det dera ølger, at ( X ) or Der vl u blve bevst, at de estmatorer v tdlgere har beyttet, er såvel cetrale som eektve ÆTIG 4A (cetrale estmatorer) Lad X være e statstsk varabel med mddelværd µ og varas Lad X, X,, X, være e stkprøve a størrelse ra X X + X + + X a) X er e cetral estmator or mddelværde µ : X X b) er e cetral estmator or varase ( ) X µ c) µ er e cetral estmator or varase ( ) X X d) er kke e cetral estmator or varase ( ) Bevs: a) I kaptel ast 3 vste v, at E( X) µ, dvs X er cetral b) om e del a bevset or sætg 3A4 vste v, at ( X X) ( X µ ) ( X µ ) 9

10 upplemet 4A Detoer og eksempler på cetrale og eektve estmatorer Hera ås E ( ) E c) E ( µ ) E ( X X) E( X µ ) E( X µ ) V X V X V X V ( X ) ( ) ( ) ( ) V( X), dvs er cetral ( X µ ) E( X µ ) V( X) ( X X) d) E ( µ ) E E( X µ ) E( X µ ) V X V X V X V ( X ) V X ( ) ( ) ( ) ( ) ÆTIG 4A (eektve estmatorer) Lad X være e statstsk varabel med mddelværd µ og varas Lad X, X,, X, være e stkprøve a størrelse ra X X + X + + X a) X er e eektv estmator or mddelværde µ : X X b) er e cetral estmator or orudsat X er ormalordelt ( ) X µ c) µ er e eektv estmator or orudsat X er ormalordelt og er kedt ( ) µ d) Forudsat µ er kedt vl µ være e mere eektv estmator ed or varase ( X ) Bevs: a) I kaptel ast 6 blev det bevst, at ( X ) Hera ølger at ( X ) or 4 b) I kaptel 3 sætg 3A5 blver det bevst, at V( ) Hera ølger, at ( ) or 4 c) I kaptel 39 sætg 3A5 blver det bevst, at V( µ ) Hera ølger, at ( ) or µ 4 4 d) Da V( µ ) < V( ) har e mdre varas ed µ

11 upplemet 4B Bevser or ormler or kodestervaller upplemet 4B Bevser or ormler or kodestervaller V vl dette supplemet bevse de 4 ørste ormler or kodestervaller der des appedx 4 Lad de ølgede sætg X være e ormalordelt statstsk varable med mddelværd µ og spredg, og lad X, X,, X være e stkprøve a størrelse ra X Lad edvdere som sædvalg X + X + + X X X X X µ, og µ ( ) ( ) ÆTIG 4 B ( β % kodestervaller or ormalordelte varable ) Lad β ) Kodesterval or µ, hvs er kedt: x u µ x+ u, hvor u er raktle de ormerede ormalordelg s s ) Kodesterval or µ, hvs er ukedt: xt ( ) µ x+ t ( ), hvor t er raktle t-ordelge med - rhedsgrader ( ) 3) Kodesterval or, hvs µ er kedt: ( ) s + ( x µ ) ( ) s + ( x µ ) χ ( ) χ ( ) hvor ( ) og χ ( ) er heholdsvs og raktle χ - ordelge med χ rhedsgrader 4) Kodesterval or, hvs µ er ukedt: ( ) s ( ) s, χ ( ) χ ( ) hvor ( ) og χ ( ) er heholdsvs og raktle χ - ordelge med χ - rhedsgrader, Bevs: ) Er kedt vl U X µ være ormeret ormalordelt ( µ, ) Da U - ordelge er symmetrsk omkrg, har v ølgelg, at P u U u eller β P u X µ Idet u u u X µ u X u µ X + u er pukt bevst X µ u β

12 upplemet 4B Bevser or ormler or kodestervaller X µ ) I kaptel 3 aørte v, at T er t - ordelt med - rhedsgrader De samme regger som uder pukt s ka u geemøres, hvlket er sket ved bevset or sætg 4 Hermed er pukt bevst X µ 3) Iølge bevset or sætg 3A4 er µ ( ) χ - ordelt med rhedsgrader ( X µ ) V har ølgelg at P χ ( ) µ χ ( ) β eller P χ ( ) χ ( ) β Ige ølge bevset or sætg 3A4 er ( X µ ) ( ) + ( X µ ) ( ) + ( X µ ) Idsættes dette oveståede ulghed ås: χ ( ) χ ( ) ( ) + ( X µ ) χ ( ) + ( ) ( X µ ) ( ) + ( X µ ) χ ( ) χ ( ) χ Hermed er ormel 3 bevst 4) ( ) Iølge bevset or sætg 3A4 er χ χ - ordelt med - rhedsgrader V har ølgelg at P χ( ) χ χ ( ) β eller P χ ( ) χ ( ) β Idet ( ) χ ( ) χ ( ) χ ( ) ( ) χ ( ) ( ) χ ( ) ( ) χ ( ) er ormel 4 bevst ( ) ( )

13 upplemet 5A Bevser or ormler hypotesetest UPPLEMET 5ABEVIER FOR FORMLER I HYPOTEETET Lad X være e ormalordelt statstsk varable med mddelværd µ og spredg, og lad X, X,, X være e X X X + X + + X stkprøve a størrelse ra X Lad edvdere som sædvalg X og ( ) Lad testee alle have sgkasveauet Testormler appedx 5 ( ukedt og erstattes a s) X µ I sætg 3B vste v, at såremt :µ µ er sad, er T t- ordelt med - rhedsgrader Dette beyttes det ølgede H Række : ulhypotese : µ µ Alteratv hypotese H:µ µ H A oveståede og a detoe på sgkasveau remgår, at H orkastes, såremt X µ p P( T t) <, hvor T, og T er t - ordelt med - rhedsgrader s s > Række : ulhypotese : µ µ Alteratv hypotese H:µ µ H X µ H orkastes, såremt p P( T t) <, hvor T, og T er t-ordelt med - rhedsgrader Række 3: ulhypotese H :µ µ Alteratv hypotese H:µ µ Iølge detoe på sgkasveau, orkastes H både år x er så stor, at PT ( t) <, og år < x er så llle, at PT ( t) < X µ, hvor T og T er t -ordelt med - rhedsgrader Række 4: ulhypotese H : µ µ Alteratv hypotese H:µ > µ Da PT ( t) < PT ( < t) < PT ( < t) > t> t ( ) er påstade bevst Række 5: ulhypotese H : µ µ Alteratv hypotese H:µ < µ Da PT ( t) < t< t( ) t< t ( ) (da t-ordelge er symmetrsk om, se gur 5) er ormle bevst Række 6: ulhypotese H :µ µ Alteratv hypotese H:µ µ Hvs x µ ka reggere uder række 4 getages, og v år t > t ( ) x < µ Hvs ka reggere uder række 5 getages, og v år t <t ( ) Geerelt ås deror, at t > t ( ) og dermed er ormle bevst s s Fg 5 t- ordelg 3

14 upplemet 5A Bevser or ormler hypotesetest Testormler appedx 5 ( atages kedt) Lad Y være ordelt µ, Række : ulhypotese H : µ µ Alteratv hypotese H:µ > µ Iølge detoe på sgkasveau, orkastes H såremt p P( Y x) < Række : ulhypotese H : µ µ Alteratv hypotese H:µ < µ Iølge detoe på sgkasveau, orkastes H såremt p P( Y x) < Række 3: ulhypotese H :µ µ Alteratv hypotese H:µ µ Iølge detoe på sgkasveau, orkastes H både år x er så stor, at PY ( x) < (se gur 5), og år x er så llle, at PY ( x) < Række 4: ulhypotese H : µ µ Alteratv hypotese H:µ > µ x PY ( x) < PY ( < x) < µ < Φ Φ ( x µ ) > > u u ( x µ ) hvor u Række 5: ulhypotese H : µ µ Alteratv hypotese H:µ < µ ( x µ ) ( x µ ) p P( Y x) < Φ < u< u hvor u Da u u er påstade bevst Række 6: ulhypotese H :µ µ Alteratv hypotese H:µ µ Hvs x > µ ka reggere uder række 4 getages, og v år u> u Hvs x < µ ka reggere uder række 5 getages, og v år u<u Geerelt ås deror, at u > u og dera ormle Testormler appedx 53 or varas ( µ ukedt) I kaptel 3 sætg 3A vste v, at såremt χ - ordelt med - rhedsgrader I det ølgede vl v edvdere atage, at Q er H : er sad, er χ χ - ordelt med - rhedsgrader ( X ) X ( ) Række : ulhypotese H : Alteratv hypotese H: > A oveståede og a detoe på sgkasveau ås, at H orkastes, såremt ( ) s p P( Q χ ) <, hvor χ Hera ølger ormle Række : ulhypotese H : Alteratv hypotese H: < A oveståede og a detoe på sgkasveau ås, at H orkastes, såremt p P( Q χ ) <, ( ) s hvor χ Hera ølger ormle Række 3: ulhypotese H : Alteratv hypotese H: Iølge detoe på sgkasveau, orkastes H både år χ er så stor, at PQ ( χ ) <, og år χ er så llle, at ( ) s PQ ( χ ) <, hvor χ Hera ølger ormle Række 4: ulhypotese H : Alteratv hypotese H: > PQ ( χ ) < PQ ( < χ ) < PQ ( < χ ) > χ > χ ( ) 4

15 upplemet 5A Bevser or ormler hypotesetest Række 5: ulhypotese H : Alteratv hypotese H: < Da PQ ( χ ) < χ < χ ( ) er ormle bevst Række 6: Da E( χ ), hvor - er rhedsgradstallet, ås: Hvs χ > - ka reggere uder række 4 getages, og v år χ > χ ( ) Hvs χ < - ka reggere uder række 5 getages, og v år χ < χ ( ) Hermed ås ormle Testormler appedx 54 or varas ( µ kedt) ( X µ ) I orbdelse med bevset or sætg 3A4 blev vst, at såremt H : er sad, er χ χ - ordelt med rhedsgrader Edvdere adt v, at ( X µ ) ( ) + ( X µ ) I det ølgede vl v edvdere atage, at Q er χ - ordelt med rhedsgrader Række : ulhypotese H : Alteratv hypotese H: > A oveståede og a detoe på sgkasveau ås, at H orkastes, såremt p P( Q χ ) <, ( ) s + ( x µ ) hvor χ Hera ølger ormle Række : ulhypotese H : Alteratv hypotese H: < A oveståede og a detoe på sgkasveau ås, at H orkastes, såremt ( ) s + ( x µ ) p P( Q χ ) <, hvor χ Hera ølger ormle Række 3: ulhypotese H : Alteratv hypotese H: Iølge detoe på sgkasveau, orkastes H både år er så stor, at PQ ( χ ) <, og år χ er så llle, at ( ) s + ( x µ ) PQ ( χ ) <, hvor χ Hera ølger ormle Række 4: ulhypotese H : Alteratv hypotese H: > PQ ( χ ) < PQ ( < χ ) < PQ ( < χ ) > χ > χ ( ) Række 5: ulhypotese H : Alteratv hypotese H: < Da PQ ( χ ) < χ > χ ( ) er ormle bevst Række 6: ulhypotese H : Alteratv hypotese H: Da E( χ ), hvor er rhedsgradstallet, ås Hvs χ > ka reggere uder række 4 getages, og v år χ > χ ( ) Hvs χ < ka reggere uder række 5 getages, og v år χ < χ ( ) Hermed ås ormle χ 5

16 upplemet 5B OC- kurver og dmesoerg UPPLEMET 5B OC-KURVER OG DIMEIOERIG Forudsætg som appedx 5 Række : Alteratv hypotese ( atages kedt) H: µ > µ I sætg 5 og 5 udledes ormler or OC-kurve og atal getagelser tlældet, der svarer tl dette tlælde om det ses det ølgede orløber de tlsvarede bevser de øvrge storrækker gaske aalogt Række : Alteratv hypotese H:µ < µ ( atages kedt) OC-kurve: x µ H accepteres på sgkasveau, hvs u x µ + u Er de sade mddelværd µ, er U X µ ormalordelt med mddelværd og spredg u V har deror, at µ + µ P( type II ejl ) P X + u P X u µ < µ + Φ µ + + µ µ µ Φ u Φ u µ µ dvs a( µ ) Φ u + < µ µ µ µ µ µ Dmesoerg: A ormle or OC kurve ås, det da : a( µ ) u β, dvs + + Φ Φ + + β u u u + u ( u β + u ) ( u β + u ) H :µ µ H :µ µ u β β Række 3: ulhypotese Alteratv hypotese ( atages kedt) OC-kurve: H accepteres på sgkasveau, hvs x µ u u µ + u x µ + u Er de sade mddelværd µ, er U X µ ormalordelt med mddelværd og spred-g V har deror, P( type II ejl ) P µ + u X µ + u P X < µ + u P X < µ + u µ + µ µ + µ u u Φ Φ µ + + µ µ µ Φ u Φ u µ µ µ µ dvs a( µ ) u u + + Φ Φ 6

17 upplemet 5B: OC-kurver og dmesoerg Dmesoerg: Atages blver sdste led ormle or OC-kurve ca, og v år samme ormel som uder storrække µ > µ µ µ < Atages blver ørste led ormle or OC-kurve ca, og v år samme ormel som uder storrække I begge tlælde er dog erstattet a Dmesoergsormle blver deror de samme som ør, hvor blot er erstattet a Dmesoerg svarede tl orudsætg appedx 5 (spredg ukedt) E dmesoerg a orsøget er e del a orsøgsplalægge Ma har deror edu kke oretaget ogle orsøg, og keder deror kke stkprøves spredg s Ka ma ud ra tdlgere lgede orsøg vurdere, at spredge kke blver større ed, må dette bruges Da dmesoerge ku ahæger a orholdet d, ka ma også øjes med at agve et skø or dette orhold Øsker ma eksempelvs at kue opdage selv relatvt små orskelle mddelværde, ka d sættes tl et tal mdre ed, mes øskes ku at de relatvt store orskelle mddelværde ka d eksempelvs sættes tl år ma skal de sadsylghede or e type II ejl, år ma brug or at kede ordelge a størrelse X µ T år H er alsk :µ µ Hvs de sade værd a mddelværde er µ µ +, ka T skrves X µ T ( X ( µ + )) U + W Da U er ormeret ormalordelt, og er e kostat orskellg ra ul, er tællere ormalordelt med mddelværd ( ) og spredg ( ) W er χ ordelt med - rhedsgrader De resulterede ordelg or T kaldes de kke-cetrale t - ordelg med - rhedsgrader Dee ordelg har e yderst besværlg tæthedsukto, så e ærmere beregg a P(type II ejl) og dmesoerg a orsøg må sædvalgvs oretages ved beyttelse a edb I edeævte otat er et appedx er der således gegvet et Maple-program, som ka oretage dsse beregger For ote orekommede værder a parametree er der tabel 8 udarbejdet e dmesoergstabel Dmesoerg svarede tl orudsætg appedx 53 tl 56 Dsse begreber vl kke blve geemgået her, me ma ka eksempelvs tatgraphcs uder meupuktet Descrbe, og dereter ample ze Determato å et orslag tl dmesoerg a orsøget 7

18 upplemet 7A Bevs or mddelværd ogspredg or hypergeometrsk ordelg UPPLEMET: 7A Bevs or mddelværd og spredg or hypergeometrsk varabel Bevset or sætg 73 orudsætter, at ma ørst læser kaptel 9 ÆTIG 73 (mddelværd og spredg or de hypergeometrske ordelg ) De hypergeometrske ordelg h (, M, ) har E( X) pog V( X) p ( p), hvor p M Bevs: Lad os betragte statstske varable X, X,, X, hvor X hvs ' te udtrækggversort kugle ellers X X + X + + X er hypergeometrsk ordelt h (, M, ) M M V har P( X ) p or alle Hera ølger E( X ) p+ ( p) p, og V( X ) ( p) p+ ( p) ( p) p p p ( p) A leartetsregle kaptel ast 6, ås E( X) E( X ) + E( X ) + E( X ) + + E( X ) p+ p+ p+ + p p 3 om det remgår a ast 9 gælder V( X, X ) E( X X ) E( X ) E( X ) j j j P(( X ) ( X )) p p P( X ) P( X X ) p j j M M p p M p p M M M p p ( ) p A kvadratregle (ast 93): V( X) V( X V X X p p p p ) + (, j) ( ) + < j ( ) p + p ( p) p p ( p) p ( p) 8

19 upplemet 7B: Bevser or ormler bomal- og Possotest UPPLEMET: 7B BEVIER FOR FORMLER I BIOMIAL- OG POIO- TET Testormler appedx 55 or parameter p bomalordelg Lad X være e bomalordelt varabel b(, p), hvor er kedt og p ukedt Lad x være e stkprøveværd på X Lad Y være ordelt b (, p ), hvor p er e gve kostat Det erdres om, (se evetuelt appedx 7), at or 9 p og 5 p 5 ka ma approksmere bomalordelge bp (, ) med ormalordelge ( µ, ),hvor µ p og p ( p) Række : ulhypotese H: p p Alteratv hypotese Hp : > p, Iølge detoe på sgkasveau, orkastes H, såremt p P( Y x) < Række : ulhypotese H: p p Alteratv hypotese Hp : < p, Iølge detoe på sgkasveau, orkastes H såremt p P( Y < x) < Række 3: ulhypotese H: p p Alteratv hypotese Hp : p Iølge detoe på sgkasveau, orkastes H både år x er så stor, at PY ( x) <, og år x er så llle, at PY ( x) < Da EY ( ) pølger hera ormle Række 4: ulhypotese H: p p Alteratv hypotese Hp : > p, Er betgelsere or approksmato med ormalordelge opyldt, gælder x p PY ( x) < PY ( < x) < Φ p ( p ) < Φ x p, hvor > > x p u u u p ( p ) p ( p) Række 5: ulhypotese H: p p Alteratv hypotese Hp : < p, Er betgelsere or approksmato med ormalordelge opyldt, gælder x p PY ( x) < Φ, p ( p ) < u< u u< u hvor u x p p ( p ) Række 6: ulhypotese H: p p Alteratv hypotese Hp : p Er betgelsere or approksmato med ormalordelge opyldt, haves Hvs x p ka reggere uder række 4 getages, og v år u> u Hvs x< p ka reggere uder række 5 getages, og v år u<u Geerelt ås deror, at u > u og dermed ormle 9

20 upplemet 7A Bevs or mddelværd ogspredg or hypergeometrsk ordelg Testormler appedx 56 or parameter µ Possoordelg Lad X være e Possoordelt varabel p( µ ), hvor µ er ukedt Lad der orelgge e stkprøve på X a størrelse med geemst x Lad Y være ordelt p ( µ ), hvor µ er e gve kostat Det erdres om, (se evetuelt appedx 7), at or µ ka ma approksmere Possoordelge p ( µ ) med ormalordelge ( µ, µ ) Række : ulhypotese H : µ µ Alteratv hypotese H:µ > µ Iølge detoe på sgkasveau, orkastes H, såremt p P( Y x) < Række : ulhypotese H : µ µ Alteratv hypotese H:µ < µ, Iølge detoe på sgkasveau, orkastes H såremt p P( Y x) < Række 3: ulhypotese H : µ µ Alteratv hypotese H:µ µ Da EY ( ) µ ølger hera ormlere dee række Række 4: ulhypotese H : µ µ Alteratv hypotese H:µ > µ Er betgelsere or approksmato med ormalordelge opyldt, gælder x PY ( x) < PY ( < x) < µ Φ µ < Φ x µ, hvor > u > x u u µ µ µ Række 5: ulhypotese H : µ µ Alteratv hypotese H:µ < µ, Er betgelsere or approksmato med ormalordelge opyldt, gælder x PY ( x) < + µ hvor µ < x Φ u< u u< u u + µ µ Række 3: ulhypotese : µ µ Alteratv hypotese H:µ µ H Er betgelsere or approksmato med ormalordelge opyldt, haves Hvs x µ ka reggere uder række 4 getages, og v år u> u Hvs x < µ ka reggere uder række 5 getages, og v år u<u Geerelt ås deror, at u > u og dermed ormle

21 upplemet 7C Bevssktse or tæthedsuktoe or Possoordelge UPPLEMET: 7C BEVIKITE FOR TÆTHEDFUKTIOE FOR POIOFORDELIGE ÆTIG 7 (Possoordelg) Lad X være e stokastsk varabel, som agver atallet a mpulser et gvet tdsrum (eller areal, volume, produktosehed osv), det ethvert tdspukt tdsrummet har samme mulghed or at være mpulstdspukt som ethvert adet tdspukt Edvdere skal mpulsere dtræe tlældgt og uahæggt a hade * ) Hvs det geemstlge atal mpulser tdsrummet er µ >, så sges X at være Possoordelt p ( µ ) med sadsylghedsordelge (tæthedsuktoe) (x) P(X x) bestemt ved x µ µ ( x) e or x {,,,} x! ellers Mddelværde or p( ) er E ( X ) og spredge er ( X ) µ µ µ I ormulerge a de oveævte betgelser ka eter behov "et llle tdsrum l ", "et llle areal A" eller "et llle volume V" t" erstattes med "e llle lægde *) Præcs ormulerg: Følgede 3 betgelser skal være opyldt: ) adsylghede or etop é mpuls et meget llle tdsrum t er med tlærmelse proportoal med t P (Matematsk ormulerg lm ( X ) λ ( λ er e postv kostat) t t ) adsylghede or eller lere mpulser det meget llle tdsrum t er llle sammelget med t P (Matematsk ormulerg lm ( X > ) ) t t 3) Atal mpulser orskellge, kke overlappede tdsrum er statstsk uahægge Bevssktse: Lad µ være det geemstlge atal mpulser tdsrummet [ ; T], og lad X være det aktuelle atal mpulser samme tdsrum T Itervallet [ ;T ] opdeles deltervaller t Iølge orudsætg er det mulgt at vælge t så llle, at sadsylghede or at mere ed mpuls dtræer t sekuder er praktsk taget I t sekuder ka deror ku ske tg: A: etop mpuls, eller A : etop mpulser X er deror bomalordelt b (, P(A) ) µ µ T µ Da der T sekuder geemst er µ mpulser, vl der t sekuder være t mpulser T T V har deror P( A) µ V oretager u ølgede omormg: µ x x x ( ) ( x ) P( X x) x x + µ µ µ x! µ x

22 upplemet 7C Bevssktse or tæthedsuktoe or Possoordelge µ x l ( ) ( x+ ) e x x x! µ µ µ l x µ x 3 e x x! µ µ l For vl tæller og æver brøke gå mod Ma ka deror bruge l Hosptals regel µ V år ved deretato a tæller og æver: ( µ ) µ or µ µ x x µ µ µ µ V har deror, at P( X x) or x! e x! e Idet bomalordelge har mddelværde E( X) p µ og spredge µ ( X) p ( p) µ, ås or, at Possoordelge har mddelværde µ og spredge µ