TALTEORI x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

Transkript

1 TALTEORI x-lssene Gmmel Helleup Gymnsium

2 Inholsfotegnelse FORORD... 3 INDLEDNING... 3 Kpitel : DIVISION (hele tl)... 4 Kpitel : RESTKLASSER (hele tl)... 7 Kpitel 3: FÆLLES DIVISORER (hele tl)... 8 Kpitel 4: SÆTNINGER OM STØRSTE FÆLLES DIVISORER (hele tl)... Kpitel 5: EUKLIDS ALGORITME... 5 Kpitel 6: PRIMTAL... 9 Kpitel 7: EUKLIDS VERSION... 3 Kpitel 8: DIOFANTISKE TREKANTER Kpitel 9: SPECIELLE SÆTNINGER Kpitel 0: EULERS -FUNKTION Kpitel : TALOPGAVER FRA GEORG MOHR-KONKURRENCERNE: Kpitel : FACITLISTE... 56

3 FORORD Tlteoi e ofte meget bstt og tæne hjenen til t tæne spt, og isse note e ie sevet me henbli på nvenelse i en fysise veen, men me uneholning fo øje. Tllene unesøges fo ees egen syl. Som filosoffen Immnuel Knt engng sev, sl mn hnle, så menneset lig opfttes som miel, men som mål i sig selv. Og enne test behnle ltså i enne henseene tllene, som mennese bø behnles. Til opgvene e e en fcitliste bgest. Øvelsene e uen fcitliste og lægge sommetie op til lssegennemgng. Kpitel inehole est opgve f lit støe svæhesg en e fleste f pitlenes opgve. Nå u læse bevise fo sætninge, e et vigtigt, t u IKKE ønse t blive ovebevist om en sætnings igtighe. Ovevej selv hvofo! INDLEDNING En f veenshistoiens helt stoe begvelse Cl Fieich Guss ( ) sev: Mtemti e onningen f lle viensbe, og tlteoi e mtemtiens onning. Pythgos (c. 580 fvt. c. 500) og hns sole e ent fo sætningen: Alt e tl. Som uitis mennese må mn ntuligvis tge sånne utlelse f så stoe utoitete fo goe ve. Tlteoi hnle gunlæggene om t fostå og fine nye egensbe fo tl. D tl e en ie uvæsentlig el f mtemti, e et ie ovesene, t tlteoi bee sig og ingå i ne omåe f mtemtien. D tl esuen buges i lle ultue, enes sætninge og opgelse f mnge ele f veen Enelig h tl væet ent i flee tusine å, så et n helle ie væe ovesene, t e føste tlteoetise unesøgelse gå lngt tilbge i tien. Omvent n et måse vie ovesene, t tlteoi stig e et stot fosningsomåe inen fo mtemti, og t e e sillige sætninge, e ennu ie e bevist. Voes vien om tl e sto, og vi ene til mnge ting, vi ie ve. Men hvo meget, vi ie ve, et ve vi ie. I tlteoi besæftige mn sig ofte me e hele tl. Mnge sætninge og egensbe vie og på smme måe inen fo e ntulige tl, hvilet vi sl se senee. Mn n også beje me støe tlmænge, men i ovesiften til hvet pitel stå hvilen tlmænge, e bejes me i et pågælene pitel. Nå u sl beje me hele tl, e et vigtigt, t u e opmæsom på, t bøstege IKKE esistee! Det smme gæle ecimle i tl. Så omme esistee helle ie. Vi omme in på et tispunt, hvo ition, subttion og multiplition e på pls, og vi sl nu læe om 3

4 Kpitel : DIVISION (hele tl) Definition.: Et tl n siges t væe ivisibelt me tllet, hvo 0, hvis e fines et tl, så n Tilføjelse.: At n e ivisibelt me utyes også ve gå op i n, hvilet sives n. Betegnelse: n ~ ivien ~ iviso ( fto buges også, men iviso e specifit nyttet til tlteoi) ~ votient Esemple: ) Tllet 4 e ivisibelt me tllet 7, foi mn n fine tllet, hvo 4 7. Tllet 4 e ivien, tllet 7 e iviso og tllet e votient. b) 65 e ivisibelt me -3, foi He e votienten ltså negtiv. c) -7 e ie ivisibelt me 5, mn ie n fine et tl, så 7 5. Bemæning: Alle tl fosellige f 0 e ivisible me sig selv og (begge tl ). Defo les og tllet selv fo tivielle ivisoe. Opgve.3: Bestem ivisoene til 4 og e mulige votiente. Opgve.4: Bestem ivisoene til - og e mulige votiente. Opgve.5: Bestem ivisoene til 3 og e mulige votiente. Opgve.6: Bestem ivisoene til og e mulige votiente. Opgve.7: Efte ovenståene unne et væe fistene t ge onlusionen, t e mulige votiente også lti vil væe ivisoe i et pågælene tl. Men e et igtigt? Opgve.8: Alle tllene f opgvene.3-.6 h et lige ntl ivisoe. Fines e et elle flee tl me et ulige ntl ivisoe? Øvelse.9: Vis, t et tl e ivisibelt me 3, netop hvis ets tvæsum e ivisibel me 3. Øvelse.0: Vis, t et fo lle tl n gæle, t 3 n n e ivisibelt me 6. Efte t hve efineet et t væe ivisibelt me et tl sl vi nu se nogle sætninge, e behnle enne egensb: Sætning.: ) Hvis b, så gæle fo lle tl c, t b c, netop hvis c b c b) b. fo lle tl c 0. c) Hvis b og b c, så gæle c ) Hvis b og c, så gæle ( b x c y) fo lle x og y. 4

5 Bevis: ) Dette e en Hvis.., så.. -sætning. De e flee måe t bevise sån en sætning, men en iete måe e t ntge hvis-elen og u f enne ntgelse vise så-elen. Så vi ntge, t b. Altså fines e et tl, så b. Dette usgn e stig snt, hvis mn gnge me c på begge sie (også selvom c e 0), vs. c b c. Men ette vise netop, t b c hvo votienten så e c,. Det e unevejs benyttet, t ftoenes oen e ligegylig. b) Dette e en.netop hvis. -sætning. Det sve til b vise begge veje i biimplitionen. L c væe et tl foselligt f 0. Mn h så: c b c b b fo et tl efinition. c b c c 0 b c c ftoenes oen e ligegylig c b c efinition. D e e benyttet biimplitionspile hele vejen, e sætningen ltså bevist. c) og ) usyes til øvelse.. Mn sl ltså Opgve.: Gæle sætning..) også omvent, hvis c 0? Dvs. gæle e, t b c b? Hvis u mene, t et gæle, sl u fine et bevis fo et. Hvis u ie mene, t et gæle, sl u fine et moesempel. Øvelse.3: Hv sl e gæle om, b og c, fo t mn sbe et moesempel på sætningen f opgve.? Øvelse.4: Fin på bevise fo sætningene. c) og ). Det e jo un 0, e h uenelig mnge ivisoe, og mn h også bug fo t unne beje me tl, e ie nøvenigvis e ivisoe. Så he følge en mee geneel sætning om ivision: Sætning.5: L n væe et vilåligt tl og et positivt tl. De fines så entyigt bestemte tl og, hvoom et gæle, t: n ; 0. Esemple: ) L n 3 og 4. D , h mn 5 og 3, hvo et sl bemæes, t e et snt usgn. ) L n 47 og. He e e entyigt bestemte tl 4og =, mn h 47 4, hvo et igen bemæes, t 0 e et snt usgn. 3) L n 60 og = 5. D 60 5 e og 0. Og tte bemæes et, t 0 0 5e et snt usgn. 5

6 Tilføjelse og ovevejelse.6: ) Me efinition. og sætning.5 e begebet ivision ommet på pls. Tllet i sætning.5 les fo votienten ligesom i efinition.. ) Me e et nelees. He gæle, t f sætning.5 les iviso i n, netop hvis = 0 (ovevej selv ette). 3) Sætning.5 give ltså en måe t fgøe, om et tl e iviso i et net tl (vs. om et gå op i tllet): Mn se, om esten e 0. Me esemplene ovenfo ses et ltså, t: 4 e ie iviso i 3, esten e 3. e ie iviso i -47, esten e. 5 e iviso i -60, esten e 0. Inen sætning.5 bevises, omme føst nogle ovevejelse: Det e væsentligt t bemæe, t og sl væe entyigt bestemte, og t lemmes ine mellem 0 og. Fo elles ville sætningen ie væe så svæ t bevise. F.es. ville tllene = 0 og = n væe løsninge til ligningen (ovevej ette). Og e ville væe flee mulighee, som ette onete esempel vise: L n = 3 og = 5. Så vil følgene tlp (,) væe nogle blnt ueneligt mnge, e e løsninge til ligningen: (0, 3), (, 8), (3, 8), (4,3), (6,-7), (9, -), (-, 8), (-3, 38). Kontollé nogle f em. Øvelse.7: Fin flee tlp, e e løsninge til ligningen. Alle e tl, e e en el f sånne tlp, les fo este. Mens et entyigt bestemte tl f sætning.5 les fo en pinciple est. Bevis fo sætning.5: L n væe et vilåligt tl og et positivt tl. Se så på en uenelige følge, -4, -3, -, -, 0,,, 3, Tllet n vil enten væe lig me et f tllene i følgen elle væe plceet mellem onseutive tl i følgen (no ie en speste igttgelse, men og lligevel vigtig fo et følgene). L nu væe bestemt som et tl, hvoom et gæle, t: n ( ) 0 n Bemæ, t enne metoe give en entyig måe t bestemme tllet på. Me ette n mn nu entyigt bestemme som: n Heme e: 0. Og isse tl og opfyle utyet, n n. Det e ltså nu vist, t en pågælene metoe give entyige måe t bestemme og. Men et vise jo ie, t e ie unne væe ne metoe, hvo mn unne bestemme ne tlp. Vi ntge ltså nu, t vi h funet et pssene tlp, og et sl så vises, t et må væe et tiligee funne: L ltså n ; 0. Så e n, og eme 0 n n ( ), og ette vise, t (,) e et tlp (,), e blev bestemt ve en pågælene metoe. 6

7 Opgve.8: Fin (evt. me bug f Mple) votienten og en pinciple est i følgene tilfæle: ) n = 493 og = 8 b) n = 858 og = 37 c) n 7 og = 5 ) n 555 og = 5 Opgve.9: Kot fomuleing: Fin mængen A beståene f lle e tl, e give smme pinciple est ve ivision me 7 som 43 gø. Lng fomuleing: Nå mn iviee 43 me 7, få mn en est (e e et f tllene 0 6). De e ne tl en 43, e ivieet me 7 give esten. Fin lle isse tl opsevet som en mænge. Opgve.0: Fin mængen B beståene f lle e tl, e give smme pinciple est ve ivision me 7 som 4 gø. Opgve.: Fin mængen C beståene f lle e tl, e give en pinciple est 0 ve ivision me 7. Opgve.: Fin tl ét i mængen A og ét i mængen B hvis sum IKKE ligge i mængen C. Opgve.3: Hv e fælles fo lle e tl, mn få, hvis mn subthee et element f mængen B f et element f mængen A? Kpitel : RESTKLASSER (hele tl) De fsluttene opgve i foige pitel sulle gene hve givet en fonemmelse fo inholet f en følgene efinition, e buges til t æe tl me en bestemt egensb smmen. Definition.: L væe et positivt tl. Så les to tl og b onguente moulo, hvis e give smme pinciple est ve ivision me, og mn sive: b mo. Opgve.: Bestem mængen D f tl, e e onguente me 4 moulo 5. Opgve.3: Bestem mængen E f tl, e e onguente me -3 moulo 6. Opgve.4: Bestem mængen F f tl, e e onguente me 7 moulo. Opgve.5: Hv e fælles fo lle e tl, mn få, hvis elemente f D subthees? Opgve.6: Hv e fælles fo lle e tl, mn få, hvis elemente f E subthees? Øvelse.7: Fin et bevis fo, t følgene usgn ) og b) e ensbetyene (bemæ ltså, t ette e et netop hvis -usgn): ) og b give smme pinciple est ve ivision me. b b) Det v Guss, e i 80 i sit væ Disquisitiones Aithmetice inføte betegnelsene f efinition. (blnt en msse ne ting). Mn hve tiligee bejet me pobleme f en slgs, fo e opstå helt ntuligt, nå vi opele gene i uge og månee (onguens moulo 7 og onguens moulo ), men Guss systemtiseee et og bugte et til t ulee og bevise en hel el sætninge (heiblnt en inesise estlssesætning som u selv må fine, hvis u vil vie, hv en gå u på). 7

8 Nu n begebet estlsse inføes: Definition.8: L væe et givet positivt tl. Så e estlssen : b b mo Bemæ smmenhængen mellem enne efinition og opgvene.-.6. Esempel.9: Fo = 9 e 7...,,,7,6,5,... &5..., 3, 4,5,4,3, Bemæning.0: Ligesom mn inføte en pinciple est blnt uenelig mnge mulige este, så begænse mn sig også til estlssene 0. Disse estlsse n mn så egne me efte nogle bestemte egle. Kpitel 3: FÆLLES DIVISORER (hele tl) Definition 3.: Tllet les en fælles iviso fo og b, hvis og b. Esemple: ) L = og b = 9: Tllet 3 gå op i båe og b, og efo e 3 en fælles iviso fo og 9. ) L = og b = 9: Tllet -4 gå op i, men et gå ie op i b. Deme e -4 ie en fælles iviso fo og b. 3) L = 37 og b = -7. Tllet 3 gå hveen op i elle b og e efo ie en fælles iviso fo og b. Bemæning 3.: Alle tl botset f 0 h et begænset ntl ivisoe, og e iviso i lle tl. Så hvis og b ie begge e 0, e mængen f fælles ivisoe hveen tom elle inehole ueneligt mnge elemente. Deme må e væe et støste tl blnt isse fælles ivisoe, og et les en støste fælles iviso fo og b. Mn sive ette tl som sf(,b), gc(,b) elle be (,b). Esempel: L = 5 og b =. Divisoene til A e elementene i mængen A 5, 5, 3,,,3,5,5. Divisoene til B e elementene i mængen, 6, 4, 3,,,,,3,4,6, De fælles ivisoe e så elementene i C 3,,,3. B. Og f isse ivisoe e 3 en støste, og eme e sf(5,) = 3 Følgene efinition psse ntuligt in efte bemæning 3., og efo inføes en, selvom en føst sl buges senee. Definition 3.3: To tl og b les (inbyes) pimise, hvis sf(,b) = 8

9 Esemple: ) F esemplet ovenfo h mn, t sf(5,) = 3, og 5 og e eme ie inbyes pimise. ) Se på = og b = 0. A, 7, 3,,,3,7,. Divisoene til A e elementene i mængen Divisoene til B e elementene i mængen B 0, 5,,,,,,5,0. De fælles ivisoe e så elementene i C,. Og f isse ivisoe e en støste, og eme e sf(,0) =. Altså e og 0 inbyes pimise. Bemæ, t ingen f em e pimtl (se evt. efinitionen i pitel 6). Opgve 3.4: Hvile f neenståene sætninge e IKKE igtige fo og b fosellige f 0: ) sf(,b) b) sf(,b) = sf(b,) c) sf(,0) = ) sf(,b) = sf(,-b) e) sf(,0) = sf(b,0) f) sf(, b) g) sf(, b) b Og så sl vi også lige hve en efinition, e ie e specielt nyttet til tlteoi, men som oftest fine nvenelse i ligningssysteme, vetoegning og iffeentilligninge. Den sl benyttes i et eftefølgene, og vi h lleee stiftet beentsb me en i sætning. ). Definition 3.5: L og b væe to givne tl. En lineombintion f isse tl e et uty f fomen x y b, hvo x og y e to tl, e les lineombintionens oefficiente. Esempel 3.6: En lineombintion f tllene -3 og 8 unne væe Det unne også væe Bemæning 3.7: Mn n lve lineombintione f flee en to tl, og mn n lve et f funtione elle ne uty. Gæt selv hvon. Øvelse 3.8: Bestem sf(6,4) ; sf(,) ; sf(7,45) ; sf(70,) ; sf(-66,90) og sf(37,0). Øvelse 3.9: I Mple n u sive gc(7,45) fo t fine sf(7,45). Kontollé ine sv. Esempel: Mn n lve lle mulige lineombintione f to tl. Me ugngspunt i tllene 6 og 4 f øvelse 3.8 og en ommene øvelse 3.0 n mn bl.. nne følgene lineombintione: De e ie noget specielt ve isse lineombintione. Det e be esemple som inlening til følgene øvelse: 9

10 Øvelse 3.0: Du sl nu fine en lineombintion f følgene tlp, e give et lvest mulige positive tl: ) 6 og 4 b) og c) 7 og 45 ) 70 og e) -66 og 90 f) 37 og 0 En mtemtipofesso f mtemtis institut på KU h engng sgt: De fines to slgs mtemtise sætninge: De tivielle og e foete. Den følgene sætning e ie foet. Sætning 3.: L og b væe tl, e ie begge e 0. Så fines e en lineombintion f og b, så: sf, b x b y Bevis: L og b væe tl, e ie begge e 0, og l L væe mængen beståene f e lineombintione f og b, e e positive. Det e vigtigt t bemæe, t mængen L ie n væe tom, fo mn n lti fine en positiv lineombintion (f.es. vil 0b 0, hvis ie e 0, og hvis e 0, vælge mn blot t multiplicee b me b). L e ie begænset op til, men en må inehole et minste element, en e begænset ne til (Dette e en f e egensbe, e gæle fo ntulige tl, men ie fo eelle tl). L m væe ette minste element. Dvs. mn h: m x y b og m. Vi smmenligne sf(,b) og m. D sf(, b) og sf(, b) b, følge et f sætning. ), t sf(, b) m, hvilet igen føe til, t sf(, b) m. Vi n nu gennemføe beviset me et iniete bevis (mostisbevis): Vi ntge efo, t m IKKE gå op i. Og l os så se, hv et føe til: Ifølge sætning.5 fines så og, så m ; 0 m. Bemæ ltså, t ntgelsen føte til, t > 0. Mn h så: m x y b x y. b Men hov! He stå jo en lineombintion f og b, og > 0, så må ligge i L. Men vi også h, t m, omme vi i mosti me, t m e et minste element i L. Vi n ltså se, t voes ntgelse om, t m ie gå op i, h føt til en mosti. Deme må enne ntgelse væe foet, og ltså må m gå op i. Pæcis smme gumenttion n gennemføes me b, så mn h ltså, t m og m b. Dvs. t m e en fælles iviso i og b. Men sf(,b) e STØRSTE fælles iviso, så ve mn, t m sf(, b). D vi også ve, t sf(, b) m, n vi ltså se, t sf(, b) m, og heme e sætningen vist. 0

11 He følge så oolle. Et ooll e en sætning, e følge lige efte en nen sætning og æve intet elle un et lille bevis. Det n følge iete f en foegåene sætnings oly evt. ombineet me en nen sætning elle en efinition elle f beviset fo en foegåene sætning. Det føste ooll følge f beviset fo sætning 3.: Kooll 3.: Det minste, positive tl, e n femomme ve en lineombintion f og b, e sf(,b). Dette ooll n sætte en stoppe fo et evigt fosøg på t fine mine positive tl i opgve som øvelse 3.0. Det net ooll følge f efinition 3.3 og ooll 3. (vs. sætning 3. smt beviset fo enne sætning): Kooll 3.3: og b e inbyes pimise, netop hvis e fines en lineombintion x y b Esempel: Mn h, t Hef n mn onluee, t 5 og 33 e inbyes pimise. Men ie blot et. Ftoenes oen e jo ligegylig, så mn h også, t: 0 og 33 e inbyes pimise og 0 og -3 e inbyes pimise og 5 og -3 e inbyes pimise. Øvelse 3.4: Det n væe meget fint me en sætning som sætning 3.. Men pøv engng t fine sf(776,856) uen bug f Mple og bgefte t fine en lineombintion f tllene, e give enne støste fælles iviso. Som et gene sulle femgå f ovenståene, fotælle sætning 3. un noget om, t e esistee en lineombintion, e give en støste fælles iviso. Det e en sålt Esistens-sætning. Men en n ie buges til t fine hveen støste fælles iviso elle en søgte lineombintion. De fines imileti en sån metoe, e h væet ent i ove 000 å. Den stå i pitel 7 i sin opinelige (ovestte) oly. Men i føste omgng gennemgås en i pitel 5. He omme føst nogle sætninge om støste fælles ivisoe: Kpitel 4: SÆTNINGER OM STØRSTE FÆLLES DIVISORER (hele tl) I mtemti n mn sgtens fomulee og bevise sætninge, foi mn h lyst. De behøve ie t væe et fomål me et. Desvæe e et ie tilfælet me e 4 sætninge i ette pitel. De føste buges til t vise e siste, og e siste buges ie til t vise e føste, fo en slgs gå un inen fo pseuoviensbe, men til t vise sætninge i pitlene 5 og 6. Og hvem ve, måse sl e pluselig buges i ne pitle til t ee os u f en håbløs sitution? Det gø jeg, og et sl e ie.

12 Sætning 4.: Alle fælles ivisoe fo og b gå op i sf(,b) Esemple: ) L = 30 og b = 4. Divisoene i e elementene i A 30, 5, 0, 6, 5, 3,,,,,3,5,6,0,5,30. Divisoene i b e elementene i 4,, 4, 7, 6, 3,,,,,3,6,7,4,, 4 De fælles ivisoe e så elementene i C 6, 3,,,,,3,6. B. Deme e sf(30,4) = 6. Og som et bemæes, så e smtlige elemente i C ivisoe i 6, hvilet e i oveensstemmelse me sætning 4.. ) L = -3 og b = 7. Divisoene i e elementene i A 3,,,3. Divisoene i b e elementene i 7, 9, 3,,,3,9, 7 De fælles ivisoe e så elementene i C,. B. Deme e sf(-3,7) =. Og - og begge e ivisoe i, så e e igen oveensstemmelse me sætning 4.. Bevis: Sætning 3. sige, t e fines en lineombintion f og b, så Hvis f e en fælles iviso fo og b (vs. f sf, b. sf(, b) x y b. og b ), så følge f sætning. ), t Hvis u mene, t beviset ie e fylestgøene elle inehole fejl, så gå til øvelse 4.. Hvis u efte nøje ovevejelse og me in itise sns fule bug mene, t beviset og eme sætningen e igtigt, så gå til øvelse 4.3 Øvelse 4.: Fin to tl og b og en fælles iviso fo isse, e IKKE gå op i sf(,b). Øvelse 4.3: Fin smtlige fælles ivisoe fo 4 og 8 og se, t e gå op i en støste f em. Opgve 4.4: Fin tl, hvo smtlige fælles ivisoe e følgene 4 tl,, 3, 4, 6, 9,. Opgve 4.5: Fin e minste, fosellige, positive tl, hvo smtlige fælles ivisoe e følgene 8 tl,, 5, 0 Sætning 4.6: Fo ethvet positivt tl c gæle sf( c, c b) c sf(, b) f f Esempel: L 0, b 0 og c 7. Du n evt. buge Mple til t vise: c 40 c b 770 sf(, b) sf( 0,0) 0 sf( c, c b) sf( 40,770) 70 Og ve insættelse ses ette t væe i oveensstemmelse me sætning 4.6, mn h et sne usgn:

13 He følge to et fosellige bevise fo sætning 4.6. Bevis : I ette bevis benyttes en femgngsmåe, e elvist blev benyttet i siste el f beviset fo sætning 3.. Sætningen vises nemlig ve, t e føst gøes ee fo, t højesien e iviso i venstesien, og eefte t venstesien e iviso i højesien: Mn h, t sf(, b) og sf(, b) b. Og c e positivt, h mn ltså ifølge sætning. b), t c sf(, b) c og c sf(, b) c b. Dette vise, t c sf(, b) e iviso i båe c og c b, vs. et e en fælles iviso fo c og c b c sf(, b) sf( c, c b). Det e oplgt, t fælles iviso fo gæle ifølge efinition., t D. Og ifølge sætning 4. gæle ltså, t c c og c c b (votientene e henholsvis og b). Men heme e c en c og c b. Ifølge sætning 4. h mn ltså, t c sf( c, c b) sf( c, c b) c. c ltså e en støste fælles iviso fo c og b. Deme c, så gæle specielt, t c c og c c b. Men så n sætning. b) jo buges igen! D c ie e nul, gæle ltså: og b. Dvs. e fælles iviso fo og b, og eme sf(, b) (sætning 4.). Og he omme sætning. b) in igen. Den give, t c c sf(, b). Og nu ene vi jo lleee c f tiligee, så vi h: sf( c, c b) c sf(, b). Og smmenholes e unestegee onlusione, e sætningen vist. Bevis : Dette bevis e bygget op oming ooll 3.: Ifølge sætning 3. fines e tl x og y, så sf( c, c b) c x c b y c x b y D sf( c, c b) 0og c 0, e også lineombintionen x b y 0. Men vi ve f ooll 3., t x b y sf(, b) Hvis mn i steet tge ugngspunt i c sf, b, og eme sf( c, c b) c sf, b, sige sætning 3., t e fines tl xog y (ftis e et e smme tl som x og y, men et n mn føst vie, nå beviset e gennemføt), sålees t, c sf b c x b y c x c b y. D sf(, b) 0og c 0, e også lineombintionen Så ve vi f ooll 3., t c x c b y sf c, c b. Deme e sf( c, c b) c sf, b c x c b y. 0 Smmenlignes e to unestegee usgn, h mn sf( c, c b) c sf(, b) Øvelse 4.7: E et nøvenigt, t tllet c e positivt? Kn et ie be væe foselligt f 0? Øvelse 4.8: Hvo i bevis benyttes implicit, t c e positivt? Esempel: Sætning 4.6 give en metoe til t fine støste fælles ivisoe (som nævnt følge ennu en i pitel 5). Så l os pøve t fine støste fælles iviso fo 660 og 780: sf(660,780) sf(330,390) sf(65,95) 3 sf(55,65) 35 sf(,3) Denne metoe n selvfølgelig un buges, nå et e nemt t fine tl, e gå op i båe og b. 3

14 Øvelse 4.9: Fin uen bug f Mple en støste fælles iviso fo følgene tlp og ontollé eefte me Mples gc : ) 84 og 36 b) 408 og 600 c) 50 og 55 ) 756 og 97 Sætning 4.0: c b sf c, b c I o sige sætningen ltså, t hvis c e iviso i et pout f ftoe og inbyes pimis me en ene fto, så e en iviso i en nen fto. Esempel: L = 33, b = 5 og c =. Så h mn b Og nu se mn så på olyen f sætning 4.0: Mn n se, t Deme sl e gæle, t c b, og esuen e sf(,5) =, så betingelsene e opfylt. c, og et psse. Men nu vise et esempel jo ie, om en sætning e igtig, så he omme et p bevise: Bevis : L Bevis : L c b sf c, b. Sætning 4.6 give sf( c, b) sf( c, b) (ovevej numeistegnet!). Heme e en ene fousætning benyttet. Mn h, t c c, og ifølge fousætningen gæle også c b. Dvs. t c e fælles iviso fo c og b, og eme gæle ltså ifølge sætning 4., t c e iviso i sf( c, b). Men heme må c ltså også væe iviso i, et evt. fotegn ie æne ve ivisoene. c b sf c, b. D b og c e inbyes pimise, følge f ooll 3.3, t e fines tl x og y, så: c x b y og eme c x b y D b e ivisibelt me c (ifølge ntgelsen), fines et tl, sålees t b c Deme h mn: c x c y c x y Men støelsen ine i pentesen e et tl, så ifølge efinition. gæle ltså c. Øvelse 4.: Du få oplyst, t 7 e iviso i Benyt sætning 4.0 til t vise, t 7 også e iviso i Og he følge så til sist en sætning, e sl buges i næste pitel. Sætning 4.: L væe en pinciple est ve ivision f b me. Så e sf(, b) sf(, ) 4

15 Esempel: L = 6435 og b = D , e en pinciple est ltså Og mn n evt. ve bug f Mple vise, t e gæle: Sf(6435,57460) = 65 og sf(6435,5980) = 65. Esempel: L = og b = D , e en pinciple est ltså I ette tilfæle e = b, og så e sætningens onlusion oplgt. Øvelse 4.3: Afpøv, om sætning 4. hole i situtionene: ) b = 7 og = 30 b) b = 9 og = 5 c) b = 8479 og = 573 ) b =8446 og = 8 e) b = 00 og = 50 Bevis fo sætning 4.: L og væe e entyigt bestemte tl ifølge sætning.5. Så e: b ; 0 D sf(,) e iviso i båe og, følge f sætning..), t sf(,) e iviso i b. Og sf(,) efo e fælles iviso fo og b, så følge f sætning 4., t sf(, ) sf(, b). Se nu på sf(,b): Mn n omsive utyet b til b, og sf(,b) e iviso i båe og b, følge f sætning..), t sf(,b) e iviso i. Og sf(,b) efo e fælles iviso fo og, følge f sætning 4., t sf(, b) sf(, ). Ve t betgte e unestegee uty ses et, t sætningen e vist. Opgve 4.4: De e noget ovefløigt i sætningens fomuleing, e også give sig uty i, t e e en betingelse i beviset, e ftis ie buges til noget. Hv e et? Kpitel 5: EUKLIDS ALGORITME (ntulige tl) Bemæ!!! Algoitme: En lgoitme e en fosift fo en følge f beegningstin, e n buges på nogle onete t til t omme fem til et ønset esultt. Dvs. mn besive en æe menise tin, e sl foetges ofte igen og igen intil et bestemt esultt femomme. En compute e go til sånne beegninge, e ie æve, t mn sl tæne, og efo benyttes lgoitme meget inen fo tlogi. Eulis lgoitme n benyttes til t fine en støste fælles iviso fo tl ( og b), og en n esuen onstuee en lineombintion, e e lig me en støste fælles iviso. De ses i føste omgng un på en el f lgoitmen, e give en støste fælles iviso. Hvon mn fine lineombintione, besives senee. 5

16 EUKLIDS ALGORITME Plcé b som ivien n og som et tl, e sl iviees me. Foetg ivisionen mellem n og : Hvis >0 Hvis = 0 L væe ny ivien og nyt tl, e sl iviees me: e sf(,b) n Bemæning 5.: At ette vielig føe til en støste fælles iviso fo og b ses på følgene måe. Nå = 0, h mn, t n og eme sf(, n). Hvis ivisionen gi op i føste sit, e et og b, e sve til og n. Men elles e et og f et tiligee sit (hus, t n og ). Men ifølge sætning 4. e sf(, n) sf(, ), vs. mn vil i lle sit hve, t en støste fælles iviso fo ivienen og tllet, e iviees me, e en smme som fo tllet, e iviees me, og esten. Og i siste ene e et ltså støste fælles iviso fo og b. Esempel 5.: Mn sl fine støste fælles iviso fo 805 og 688. Føst sættes 688 som ivien og 805 som tllet, e iviees me ( 688 > 805). Så foetges ivisionen, e give: D 578 > 0, sætte mn nu 805 som ny ivien og 578 som nyt tl, e sl iviees me, og en ny ivision uføes: D 493 > 0, sættes 578 som ny ivien og 493 som nyt tl, e sl iviees me: D 85 > 0, sl mn foetge smme sit igen: D 68 > 0, fotsættes: D 7 > 0, fotsættes: He e esten 0, og 7 e en sist nvente iviso, h mn sf ( 805,688) 7 Ftis e et ie vigtigt, om mn plcee elle b som ivien elle som tl, e sl iviees me. Hvis et støste tl hvne som tl, e sl iviees me, vil lgoitmen blot sulle øe ét sit mee som følgene esempel vise: 6

17 Esempel 5.3: Mn sl fine støste fælles iviso fo 030 og Dvs. t e sf(030,754) Øvelse 5.4: Benyt Eulis lgoitme til uen Mples gc - t fine støste fælles iviso fo følgene tlp og ontollé eefte esultte me Mple: ) 4 og 30 b) 9 og 7 c) 8479 og 573 ) 8 og 8446 e) og f) 9878 og 9873 g) 073 og 553 Me bogstve omme opsivningen til t se sålees u: b Hvo ltså m sf(, b). m m 3 4 m 3 m m 3 m 4 m Hvis bemæning 5. v svæ t ovesue, blive et måse nemmee ve t se på ovenståene følge. Igen sl e gumentees fo, t lgoitmen føe fem til sf(,b). Ve gentgen bug f sætning 4. på ovenståene begynene f toppen få mn: sf, b) sf(, ) sf(, ) sf(, ) sf(, )... sf(, ) sf(,0) ( m m m m 7

18 8 Nu sl vi så se på, hvon mn fine lineombintionen, e give sf(,b). Fo ovesueligheens syl ses på en mine følge, hvo mn esuen isolee estene: b b Mn begyne så neef i følgen til høje og få ve gentgne insættelse f en ovenståene linjes højesie (unevejs inføes nogle nye onstnte q fo t gøe opsivningen simplee): b q q b q q q b q q q q q q q q b sf ), ( Og vupti! He e så en søgte lineombintion. Som et ses, n mn uvie metoen til æe f vilålig længe. He omme et onet esempel, hvo mn benytte uegningen f esempel 5.: Esempel 5.5: Føst ses på æen f esempel 5., hvo estene e isoleet: Og som u måse eine, e sf(688,805) = 7. Mn få så følgene uegning, e følge ovennævnte metoe: Så he e en ønsee lineombintion. Kontollé selv, t et psse. Opgve 5.6: Benyt Eulis lgoitme til t fine støste fælles iviso og benyt eefte metoen f esempel 5.4 til t fine lineombintionen i følgene tilfæle: ) 05 og 54 b) 307 og 85 c) Tllene f esempel 5.3

19 Kpitel 6: PRIMTAL (ntulige tl botset f 6.8 ene) Føst sl et lige efinees, hv et pimtl e (hus, t vi nu beje me ntulige tl): Definition 6.: Et pimtl e et tl p >, e un h tivielle ivisoe. Opgve 6.: Mn unne også fine ne fomuleinge f efinitionen. Hvilen elle hvile f neenståene e og IKKE igtige: ) Et pimtl e et tl me netop ivisoe. b) Et pimtl e et tl, e un h tivielle ivisoe. c) Et pimtl e et tl, hvo un og tllet selv e ivisoe. ) Et pimtl e et tl støe en, e ie n sives som pout f tl uen t e en ene fto. Opgve 6..: Fin et minste pimtl p, e h en egensb, t p e et helt tl. Definition 6.3: Et tl s >, e ie e et pimtl, les et smmenst tl. Vi sl nu se på en måe t fine pimtllene op til et givet tl. Metoen les Etosthenes si, og et e en lgoitme. Den gå u på følgene: Etosthenes si 6.4: ERATOSTHENES SI Opsiv lle tllene f op til et givne tl på en æe. Sæt steg une føste tl i æen, e ie lleee e steg une, og slet lle e tl, som et pågælene tl e iviso til (e blive siet f) Hvis e e tl tilbge i æen uen steg une. Gå tilbge og ufø smme poceue vs. yst sien igen. Hvis e ie e tl tilbge i æen uen steg une. Tllene me steg une e e søgte pimtl Esempel: Pimtllene une 30 sl fines: Dvs. t pimtllene op til 30 e:, 3, 5, 7,, 3, 7, 9, 3 og 9 9

20 Øvelse 6.5: Bestem ntllet f pimtl une 5 og tje, t e e 5. Som u måse unne få en fonemmelse f, så e ette oplgt et beje fo en compute, elle en Weeenøvelse 6.5.: Fin lle pimtllene op til 0000, og tje, t e e 9 e selv e et pimtl! Vi e nu nået til en f e helt stoe sætninge inen fo tlteoi: Aitmetiens Funmentlsætning. Aitmeti betye på gæs egneunst, så itmetien n betgtes som en el f tlteoien. En funmentlsætning e en yest vigtig sætning, e buges meget inen fo stot set hele et pågælene omåe (i ette tilfæle itmetien). Men inen vi vise en, sl vi føst vise et sålt Lemm, e e en hjælpesætning, e oftest inføes lige inen beviset fo en støe sætning (i ette tilfæle Aitmetiens Funmentlsætning), og som buges i beviset fo enne. Det smte ve lemme e, t e gø bevisene fo e støe sætninge mee ovesuelige, og esuen fungee et lemm som en lminelig sætning ( et bevises), så mn n henvise til et senee. Lemm 6.6: Fo ethvet pimtl p gæle: p b p p b. Esemple: ) L p væe pimtllet 7, og l = 3 og b = 39. D 7 hveen e iviso i 3 elle 39, n 7 helle ie væe iviso i , fo HVIS 7 v iviso i 897, så ville en ifølge sætningen væe iviso i 3 elle 39. ) Ve en tilfælighe h mn funet u f, t et om pimtllet 93 gæle, t , og mn ve ntuligvis, t F sin weeenøvelse 6.5. huse mn, t 9 e et pimtl, så 93 n ie gå op i 9. Mn n efo ve hjælp f lemm 6.6 onluee, t , hvilet lti e t t vie. Lemm 6.6 n bevises ve t buge ooll 3.3 og ntge, t p ie e iviso i enten elle b (følge som en øvelse), men et n gøes ennu nemmee ve t buge sætning 4.0. Så inen u læse beviset neenfo, så tg et ig tilbge og tæn ove inholet f enne sætning. Bevis: L p væe et pimtl, og l p b. Hvis p, psse sætningen. Så nu ntge vi, t p IKKE e iviso i. D p e et pimtl, h et un ivisoene og p, så mn h sf(,p)=, og så sige sætning 4.0, t p b. Tæn lit ove et og opg, t beviset e føt. Øvelse 6.7: Ovevej, om enne sætning n uvies til t gæle fo flee tl, vs. Øvelse 6.8: Fomulé en pågælene sætning og fin et bevis fo en. p b c. Spøgsmål 6.9: Kn u føe et bevis fo, t sætningen også gæle fo Hvis j, så gå til øvelse 6.0. Hvis nej, så gå til øvelse p... 3 n? Øvelse 6.0: Fomulé sætningen og gennemfø beviset. Du vil no esplicit elle implicit omme til t buge et sålte inutionssiom. Øvelse 6.: Fin et bevis fo lemm 6.6, hvo u buge ooll 3.3.

21 Aitmetiens Funmentlsætning 6.: Ethvet tl n > e enten et pimtl elle n sives 3 s som et pout f pimtl n p p p3... p s, hvo et fo lle i gæle, t pi e et pimtl, og i j pi p j, og enne opsivning e entyig på næ pemuttione f ftoene, vs. t 3 t hvis e fines en nen opsivning n q q q3... q t, hvo et fo lle i gæle, t qi e et pimtl, og i j qi q j, så e s = t, og fo lle i se pi qiog i i. Det e væsentligt t bemæe, t sætningen bestå f en esistens-el og en entyighes-el. Inen selve beviset sl vi se lit på isse to ele i helt onete tilfæle. At fine en opsivning 3 s n p p p3... p s les også t opløse tllet i pimftoe. Øvelse 6.3: Esistens. Opløs følgene tl i pimftoe: 6, 65, 4, 0, og Øvelse 6.4: Entyighe. Hvile opløsninge om lssens eleve fem til? Øvelse 6.5: Mple n fine sånne ftoiseinge. Det foegå ve t sive ifcto(***). Pøv ette på tllene f øvelse 6.3. Ovenståene øvelse sulle gene hve givet ig en ié om inholet f enne funmentle sætning. Og nu omme så beviset: Bevis fo 6.: Føst ses på esistensen. L n væe et tl støe en. Hvis n e et pimtl, e e ie noget t vise, fo så sige sætningen ie noget. Så l n væe et smmenst tl. Det n efo sives som et pout n f tl støe en. Tllene og n nu hve isæ væe et pimtl elle et smmenst tl. Hvis et e et pimtl, gø mn ie mee ve et, men hvis et e smmenst, sives et som et pout f to tl støe en. Antg f.es., t e et smmenst tl og et pimtl. Så få mn nu n. Smme poceue nvenes nu på og. Hvis tllet e et pimtl øes et ie, men hvis et e smmenst sives et som pout f to tl støe en. Hvis f.es. båe og e smmenstte tl, få mn n. Og sån fotsættes, så længe e e minst ét smmenst tl blnt ftoene. Og he omme så pointen: Denne opløsning må nøvenigvis stoppe på et tispunt, e smmenstte tls ftoe e mine en tllet selv, så tllet n n i hvet fl ie opløses mee en n gnge ve enne poces (ftis lngt mine - ntllet f ftoiseinge n ie ovestige ln( n) - men et væsentlige e t hve en øve gænse). ln() Til sist h mn ltså fået opsevet n som et pout f pimtl, f.es. n Alle isse pimtl omøbes nu og ones (ftoenes oen e ligegylig), så e minste pimtl stå til venste. Nogle f isse pimtl n got væe ens, f.es. unne, og i 3 s så fl sives e som potense. På en måe femomme n p p p3... p s

22 Nu gæle et så entyigheen f enne opløsning: 3 s 3 t L n p p p3... p s væe en funet opløsning. L n q q q3... q t væe en nen funet opløsning. Det ønses nu vist, t isse to opløsninge nøvenigvis må væe ens. 3 3 Mn h:... s t p p p p q q q... q. 3 s 3 Vi se nu på et minste pimtl, e optæe i enne ligning. Det e enten p elle q (vi vise lige om lit, t p q, så ftis e et båe-og, og mn n fit vælge et f em). Antg, t et e p. Det e iviso i venstesien, og et må efo også væe iviso i højesien. Men så må p ifølge lemm 6.6 (på fomen f øvelse 6.0) også væe iviso i en f ftoene q i på højesien. Men q i e jo et pimtl, så et h un tivielle ivisoe. Så eme må p q i, og ltså qi q, ingen f q ene v mine en p. Hvis mn hve tget ugngspunt i q, v mn også ommet fem til p q me smme gumente. Denne fto n ltså footes væ f begge sie, og mn uføe smme poceue på en nye ligning. Sån fotsættes, og mn få eftehånen footet lle e ftoe, e femomme på begge sie, væ f ligningen, sålees t e ie e flee pimtl tilbge på en ene sie, vs. un tllet stå tilbge. Men så må et smme gæle på en nen sie f lighestegnet, fo elles ville usgnet ie væe snt, og mn h eme vist, t e to opløsninge e ientise. t Esempel 6.6: Sætning 6. n buges til t bestemme ivisoene, hvis mn n fine pimftoopløsningen. Hvis mn f.es. ene pimftoopløsningen , n mn ve lle e mulige ombintione f e 3 pimftoe fine ivisoene, e ltså e (hus, t vi nu h begænset os til ntulige tl):

23 Esempel 6.7: Et net esempel e , e h ivisoene: Benyt i e følgene te opgve Mple til t opløse tllet i pimftoe og bestem eefte : Opgve 6.8: ivisoene i Opgve 6.9: ivisoene i Opgve 6.0: ivisoene i 479. Opgve 6.: Et tl n n opløses i pimftoene n p p, hvo pimtllene e fosellige. Hvo mnge ivisoe h tllet? Opgve 6.: Et tl n n opløses i pimftoene n p p p3, hvo pimtllene e fosellige. Hvo mnge ivisoe h tllet? Opgve 6.3: Et tl n n opløses i pimftoene n p p, hvo pimtllene e fosellige. Hvo mnge ivisoe h tllet? Opgve 6.4: Et tl n n opløses i pimftoene n p p p3, hvo pimtllene e fosellige. Hvo mnge ivisoe h tllet? Opgve 6.5: Et tl n n opløses i pimftoene 4 n p. Hvo mnge ivisoe h tllet? 7 Opgve 6.6: Et tl n n opløses i pimftoene n p. Hvo mnge ivisoe h tllet? Opgve 6.7 (f Geog Moh 006): Et ntuligt tl n, som højst e 500, h en egensb, t nå mn vælge et tl m tilfæligt blnt tllene,, 3,, 499, 500, så e snsynligheen fo t m gå op i n. Bestem en støst mulige væi f n. 00 3

24 Som u no huse f ovesiften til pitlet, gå vi nu fo en ot stun væ f begænsningen til ntulige tl og se på nogle sætninge (i glig tle omtlt som 6.8 ene), hvof en føste egentligt i sin oly e ovefløig, en - som u snt vil se - e et simpelt ooll til sætning 6.8.b. Men et e et heligt bevis, så lene f en gun omme en he: Sætning 6.8: e et itionelt tl. Bevis: Sætningen bevises ve et iniete bevis (mostisbevis). Antg, t e tionelt, vs. t et n sives som en ufootelig bø: n. m m n ie væe, mn så h n, vs. så sulle et væe et ntuligt tl, hvilet vi ve, t et ie e. n n helle ie væe, fo så give bøen et tl mine en, og vi ve, t e et tl støe en. Dvs. t n og m begge e støe en. n og m n ifølge Aitmetiens Funmentlsætning begge sives som et pout f pimftoe, og bøen e ufootelig, h e ingen fælles ftoe. Dvs: s p p... ps q q... q p p... p q q... q p p... p t q q... q t t s t s t s t s Men så må et f pimtllene på højesien hvis e e onet, e et p væe tllet, fo et gå jo op i venstesien og må efo også gå op i et f pimtllene på højesien (jævnfø beviset fo AF elle lemm 6.6). Vi n efo foote me tllet på begge sie, og p, få mn ltså... t s q q q p p... p. t Men nu n vi ltså se, t et f pimtllene på venstesien må væe (hvis e e onet, e et q), fo e jo iviso i højesien. Dette e i mosti me, t n og m ie h fælles ftoe, fo e h jo begge ftoen. Voes ntgelse om t et onluees, t e et itionelt tl. s e tionelt, må ltså væe foet. Deme n Det gi jo meget nemt. Sl vi så ie fotsætte me t bevise, t også e et itionelt tl? Nej, et e lngt f så let. Det blev føst vist i 76 f Johnn Heineich Lmbet, hn bejee me tngensfuntionen. Mn hve egnet me, t v itionelt, men beviset hve let vente på sig. Smme å ugv Lmbet esuen et væ om stjene og glse. Så hn hve gng i lit fosellige ting. Men l os vene tilbge til vtøene. E e noget specielt i, t e itionelt, elle gæle et fo ne vtøe? Det e jo ie svæt t fine vtøe, e e ntulige tl. He tge mn be lle vttllene som ugngspunt. Men fines e ntulige tl, hvis vtøe e tionelle, men ie ntulige, tl? Øvelse 6.8.: Pøv t fine et elle flee ntulige tl, hvis vtøe e tionelle men ie ntulige tl, og nå u e ommet fem til, t et ie n le sig gøe, n u gå viee til sætning 6.8.b. og blive beæftet i in fomoning. Sætning 6.8.b: Hvis n e et ntuligt tl, e n enten et ntuligt tl elle et itionelt tl. 4

25 Bevis: Sætningen bevises ennu en gng me et mostisbevis, og et mine om beviset fo 6.8. L os ntge, t n e et ntuligt tl, og n e et tionelt men ie et ntuligt tl. De fines så inbyes pimise (hele) tl og b, hvo b, og hvo n. b Tælle og nævne n opløses i pimtl ifølge Aitmetiens Funmentlsætning, så mn h: s p p... ps n nq q... q p p... p t q q... q t t s t s hvo e e minst ét q, men hvo mn evt. h, vs. fomelt s = 0 i tælleen, e så ie e nogen pimtl i tælleen. Og og b e inbyes pimise, e e ingen fælles pimtl i tælle og nævne. Men he e e så en mosti, fo e to sie i ligningen e jo smme tl, men venstesiens opløsning i pimftoe inehole minst ét pimtl q, og ette pimtl ingå ifølge ntgelsen om inbyes pimise tl IKKE på højesien. Men pimftoopløsningen e entyig ifølge Aitmetiens Funmentlsætning, så n høje- og venstesien ie væe ens. Voes ntgelse om, t n e et tionelt tl, føe ltså til en mosti, så sætningen e bevist. Og så tilbge til pimtllene! Du sl væe opmæsom på, t Mple h en test f pimtl ispime", e fotælle, om et tl e et pimtl. F.es. vil "ispime(7)" give svet "tue". Hvis mn se på pimtllene onet efte støelse og stillet op på en æe, n mn snt opge, t tætheen f em som helhe hutigt blive mine og mine. Det vie no ie så mæeligt, et stot tl lt net lige må hve flee mulighee fo t hve ie-tivielle ivisoe. Men pøve mn t tælle viee, vil mn opge, t ntllet f pimtl inen fo et vist intevl fgjot ie n besives på en simpel måe. Se på neenståene tbel, e ngive ntllet f pimtl i 0 intevlle på 000 tl: Tllene Antl pimtl Føst ses et lt fl, men eefte blive et mee yptis. Så l os i steet se på noget, mn h mee sty på: Sætning 6.9: De e uenelig mnge pimtl. Det e vist mest lmineligt t bevise ette me et iniete bevis hvilet n hve histoise åsge, som vi sl se i næste pitel - og et følge som Bevis A. De e og en vigtig pointe i et net iete bevis, så et følge som Bevis B : Bevis A fo sætning 6.9: Det ntges, t e IKKE e uenelig mnge pimtl. Smtlige pimtl n efo sives som en enelig følge p, p, p3,,pn. Se nu på tllet: P p p p... p. Dette tl e enten et pimtl elle n opløses i pimftoe ifølge 3 n Aitmetiens Funmentlsætning. Men et siste n ie væe muligt, fo ingen f pimtllene p, p, p3,,pn n væe iviso i P, e e ivisoe i p p p3... pn, men ie i. Deme må P væe et pimtl. Men et e i mosti me, t 3,,,..., n p p p p ugjoe smtlige pimtl. Voes ntgelse om eneligt mnge pimtl må efo væe foet., 5

26 Øvelse 6.30: I beviset benyttes P p p p... p til t sbe et nyt pimtl. Kn mn lti 3 n sbe et nyt pimtl på enne måe u f elle flee pimtl? Hvis j, gå til øvelse 6.3. Hvis nej, gå til øvelse 6.3. Øvelse 6.3: Pøv t buge metoen på e 6 lveste pimtl. Gå eefte til øvelse 6.3. Opgve 6.3: Hvon n et gå glt, nå et gi got i beviset? E e noget, vi h oveset i beviset, elle hvo e fejlen? Opgve 6.33: Bestem et minste pimtl sbt på enne måe, e IKKE e et pimtl. Men vi sl nu se, hvon mn ftis KAN sbe et nyt pimtl. Bevis B fo sætning 6.9: L e væe givet n fosellige pimtl p, p, p3,..., p n. Nu onstuees ennu et pimtl på en sneig måe. Se som fø på tllet p p... p. n L nu P væe en minste pimfto i ette tl. En sån fines nøvenigvis, fo enten e tllet et pimtl og e efo selv en minste pimfto, elle også n tllet ifølge Aitmetiens Funmentlsætning opløses i pimftoe, hvof én e en minste. At enne pimfto e fosellig f lle pimtllene p, p,..., pn følge f, t e lle e ivisoe i p p... p n, men ie i. P e ltså et nyt pimtl, og me smme metoe hvo P inluees blnt pimtllene n mn ltså blive ve me t onstuee nye pimtl, vs. e må væe uenelig mnge pimtl. Opgve 6.34: E et nøvenigt, t mn netop vælge en minste pimfto? Esempel 6.34.: Efte i opgve 6.34 t hve ovebevist sig selv om, t mn unne vælge en hvilen som helst f pimftoene, n mn ntuligvis lige så got tge sitet fult u og sige, t mn benytte smtlige fosellige pimftoe som nye pimtl. Så blive femstillingen f pimtl jo mee effetiv. Så l os se på, hvon metoen f bevis B fungee i psis. Hetil h vi bug fo et elle flee pimtl som ugngspunt. L os begyne helt f bunen, så vi nøjes me ét. Og nu h vi jo bug fo et vilåligt pimtl, så jeg tge min tyvesiee tening og slå, intil jeg få et pimtl..et blev 3. Så nu begyne femstillingen: Vi sl tge poutet f lle voes pimtl (he blot 3) og lægge til: 3 + = 4 4 e et smmenst tl, e n pimftoopløses: 4 7 Dvs. og 7 e e nye pimtl, og heme h mn pimtllene 3, og 7. Så tge vi igen poutet og lægge til: Dette e et smmenst tl me pimftoopløsningen: Dvs. t listen me pimtl nu e 3,, 7, 3 og 6. Pocessen øe igen: Ny pimtlsliste:, 3, 7, 3, 9, 6 og

27 Ny pimtlsliste:, 3, 7, 3, 9, 6, 97, 753 og Og he e så et tilfæle, hvo et femomne tl ftis ER et pimtl, som i ette tilfæle ugø et est pimtl, så listen nu lye:, 3, 7, 3, 9, 6, 97, 753, og Og sån fotsætte mn. Bemæ t e femomne pimftoe lti e nye pimtl, hvilen jo også femgi f beviset. Du sulle gene hve bemæet, t esempel ngive en lgoitme til t femstille flee og flee pimtl. Den unne lye: ALGORITME TIL FREMSTILLING AF PRIMTAL Vælg ét elle flee fosellige pimtl og stil em op på æe. L tllet n væe summen f og poutet f lle pimtllene på æen. Opløs n i ets pimftoe. (Hvis n e et pimtl, e et selv en pimfto ) Tilføj pimftoene til æen f pimtl. Esempel 6.34.b: Nu buge jeg lgoitmen me pimtllet som ugngspunt. Jeg sive un e femomne liste op, så u n selv pøve lgoitmen, hvis u vil ontollee et:, 3, 3, 7, 3, 7, 43, 3, 7, 3, 43, 39, 3, 7, 3, 43, 39, , 3, 7, 3, 43, 39, 547, 607, 033, 305, , 3, 7, 3, 43, 39, 547, 607, 033, 988, 305, 67003, , 995,

28 Esempel 6.34.c: Me tllet 5 som ugngspunt fås: 5, 3, 5, 3, 5, 3, 3, 5, 7, 9, 3, 3, 5, 7, 9, 3, 37, 3343, 3, 5, 7, 9, 3, 37, 79, 3343, , 3, 5, 7, 9, 3, 37, 79, 3343, 449, 65060, , Esempel 6.34.: Me pimtllene 3, 7 og som ugngspunt fås: 3, 7,, 3, 7,, 9, 3, 7,, 9, 3399, 3, 7,, 9, 3399, , 3, 7,, 9, 307, 673,3399, 8493, , Esempel 6.34.e: Me pimtllene, 3, 5, 7,, 3 og 7 som ugngspunt fås:, 3, 5, 7,, 3, 7, 3, 5, 7,, 3, 7, 9, 97, 77, 3, 5, 7,, 3, 7, 9, 67, 97, 09, 77, , 3, 5, 7,, 3, 7, 9, 67, 97, 09, 5, 77, , , Opgve 6.34.f: Benyt lgoitmen me 3 som ugngspunt. Hv e et støste pimtl, u h fået sbt, nå u i lt h 5 pimtl? Opgve 6.34.g: Benyt lgoitmen me som ugngspunt. Hv e et støste pimtl blnt e føste 6 pimtl, u h sbt? Hvis u fi lvet opgve 6.34.g, h u fået fobeet ine fousætninge fo t unne gennemføe øvelsene Bemæ mnglen på system i ovenståene æe f pimtl. Elle måse n u se et system i tllene? Hvis u n, e e temmelig mnge univesitete, e gene vil høe f ig. Esemplene og opgvene i 6.34-seien lægge op til en el spøgsmål: Fines e et ugngspunt f ét elle flee pimtl, e føe til pimtllet 995? He ene vi og svet, vi i esempel 6.34.b så, t ugngspuntet føe til ette tl. Men hv me pimtllet 9843? Elle geneelt: Vil lle pimtl unne femstilles på enne måe? Tllet og tllet 3 som ugngspunt fo lgoitmen føe til e smme pimtl. E e flee tl, e efte et vist ntl sit omme in på smme spo og eefte føe til smme pimtl? Og e e ueneligt mnge? Nu e e ie mee pls på sien, så fin selv på flee spøgsmål. De foegå en løbene jgt på støe og støe pimtl. Computees egneft h gjot ette beje muligt. Det støst ente pimtl v i 999 tllet , e e et tl me cife. I 008 v mn nået op på 43609, e h cife. Fem å senee blev et ovegået me , e h cife. I 06 lyees et så t fine 74078, e h cife. I begynelsen f 990 ene v et 609, et tl e ie længee e blnt e 00 støste, ente pimtl. 8

29 De 0 støste, ente pimtl e lle sålte Mesenne-pimtl (se pitel 9). Men nu mele et vigtige spøgsmål sig så: Øvelse 6.35: Nå mn n sne om et støste, ente pimtl, n e så fines en metoe til t onstuee nye pimtl? Hvis j, så gå til øvelse Hvis nej, gå til øvelse Øvelse 6.36: Men hvis e fines en sån metoe, hvofo buge mn en så ie til t onstuee et pimtl, e e støe en et støst ente? Hvis et syles, t metoen blot give et nyt pimtl, men ie nøvenigvis et stot pimtl, så gå til øvelse Hvis u nu h ænet mening og n se, t e ie n væe en metoe, så gå til øvelse Hvis u mene, t u h en ie omtlt foling, så gå til øvelse Øvelse 6.37: Men i bevis B fo sætning 6.9 og i lle esemple og opgve i 6.34-seien viste vi jo netop en lgoitme til t onstuee nye pimtl. Hvis u mene, t e e noget i beviset elle lgoitmen, e ie hole, så gå til øvelse Hvis u h ænet mening, så u nu mene, t e fines en sån metoe, så gå til øvelse Øvelse 6.38: Men e et ie blot et spøgsmål om t buge metoen igen og igen, intil e ie e flee fosellige pimtl mine en et støste, ente pimtl, hvoefte et næste pimtl nøvenigvis må væe støe? Hvis u mene, t et æve fo mnge uegninge, så gå til øvelse 6.4. Hvis u h ænet in mening, så gå tilbge til øvelse Øvelse 6.39: Fol in læe, hv u mene, e e glt. Hvis in foling e foet, så gå tilbge til øvelse Hvis in foling e go, h u vunet, og n spinge ne til efte øvelsene. Øvelse 6.40: Fol in læe, hv e e glt i beviset. Hvis et lyes, så h u vunet. Hvis et ie lyes, så gå tilbge til øvelse Øvelse 6.4: Det e en go pointe, men et e ie åsgen i ette tilfæle. Gå tilbge til øvelse De e noget fscineene ve metoen i Bevis B fo sætning 6.9. Den give ftis en metoe til t bestemme nye pimtl, men et e en metoe, e KUN fungee, HVIS mn e i stn til t opløse et pågælene tl i pimftoe. Mn ve, t e fines sån en pimftoopløsning, fo et sige Aitmetiens Funmentlsætning, men en sige ie noget om, HVORDAN mn fine en sån opløsning. Og et vise sig ftis t væe temmelig svæt, nå tllene blive stoe. Hvis u ie fi lvet opgve 6.34.g, h u intil viee benyttet Mples ifcto -funtion uen pobleme, men pøv t benytte en på følgene tl (ét tl p. linje), e lle bestå f pimftoe: Tje tiene fo Mples behnling. Det teje tl tge lit længee ti en et net tl, selvom ette e længee. Det hænge smmen me, t et bestå f et eltivt lille pimtl gnget me et eltivt stot pimtl, mens e ne tl bestå f pimtl f nogenlune smme støelse. Det næstsiste tl unne en lommeegne ie le. En elev pøvee me helt nye btteie i en julefeie, og btteiene blev bugt op, uen t et esultt blev nået. Det bestå f 0 cife. Det siste tl e femstillet f mtemtieen Anes Thoup f KU u f pimtl me 60 cife. Hn hævee, t ingen læse nogensine ville væe i stn til t opløse ette tl me 0 cife i sine pimftoe. At hn unne hæve ette så såsiet syles, t ntllet f tests fo pimftoe, e sl gennemføes, vose esponentielt me tllets støelse. Så et løbe helt løbs, og selvom computees egneft også vose volsomt, så unne hn no got egne me, t egneften ie ville blive sto no. 9

30 Nu viste et sig imileti, t en guppe mtemtiee i pil 003 lligevel fi ftoiseet ette tl ve t le en meget ftig compute egne ufbut i 0 ge. Så i ette tilfæle v mtemtieen lit fo y. Men ftis behøve hn ie t væe så e f et, fo me en fobeee egneft, vil hn nemt unne fine to nye pimtl me f.es. 70 cife, og hvis hn gnge em smmen få hn et nyt tl, som en pågælene compute lig n le. Det væsentlige i lt ette e nemlig, t et e nemmee t onstuee et tl, e e et pout f to pimtl, en et e t ftoisee et pågælene tl. Dette buges inen fo ypteing, og et e et f e omåe, mn mene et bevis fo ét f e mest beømte uløste mtemtise pobleme Riemnn-hypotesen vil unne belyse. Men hvis u vil vie mee om ette, må u selv fine mee infomtion. Som fslutning på ette pitel ses på ennu en nvenelse f pimftoopløsninge, nemlig hvon mn nemt n bestemme et minste fælles multiplum. Metoen fungee og un, HVIS mn n fine pimftoopløsninge, så e e som nævnt ovenfo nogle begænsninge. Men føst sl begebet multiplum lige efinees: Definition 6.4: Et multiplum f et tl e et tl, e h som iviso. Bemæning 6.43: Mn n også fine betegnelsen mngefol bugt i steet fo multiplum. Det e oplgt, t e e ueneligt mnge multipl f et tl, nemlig tllene:,, 3, 4, 5, 6,... Bemæning 6.44: Betegnelsen multiplum n også buges om net en tl, hvo iviso så sl estttes f fto, men så e et jo ie længee tlteoi.. Som beent e et ie svæt t fine et fælles multiplum fo elle flee tl. Mn multiplicee be e pågælene tl (en metoe e n buges, nå mn sl fine fællesnævne fo bøe). Men hvis mn nu gene vil fine et minste fælles multiplum (og et unne væe t, hvis bøene sl blive så ovesuelige som muligt), så n mn se på tllenes pimftoopløsninge. Esempel: Mn vil fine et minste fælles multiplum fo tllene 6700, 000 og 7480, e h pimftoopløsningene: Hvis mn be multiplicee tllene, få mn , e ltså e et fælles multiplum. Men nu sl et minste fælles multiplum fines: Begyn me et føste tls pimftoopløsning: Hvis et net tl sl væe iviso i et søgte tl, mngle e to -tlle og tllet 3, e efo tilføes: Og som et ses inehole ovenståene lle e pimftoe (også egnet me multiplicitet vs. ntllet f gnge et pågælene pimtl optæe), som et teje tl bestå f, så et e iviso i ovenståene. Deme e minste fælles multiplum.

31 Det e lt, t mn egentlig sl bevise, t ovenståene føe til et minste fælles multiplum, men et usættes til øvelse Opgve 6.45: Bestem et minste fælles multiplum fo følgene tlsæt (u må gene buge Mple til t fine pimftoopløsninge): ) , og b) , og c) og 8000 ) og Opgve 6.46: Du sl nu tæne ig fem til hvile f følgene sætninge, e e igtige: ) Fo lle tlsæt beståene f n tl, hvo n >, fines et minste fælles multiplum. b) Det minste fælles multiplum fo et tlsæt e iviso i lle fælles multipl fo tlsættet. c) Hvis et tlsæt bestå f tl, e lle e inbyes pimise, så e et minste fælles multiplum poutet f lle tllene. ) Hvis tllene og b h et minste fælles multiplum b, så e iviso i b. Øvelse 6.47: Pøv t fine bevise fo nogle f ovenståene sætninge. Øvelse 6.48: Vis, t en gennemgåee metoe føe til et minste fælles multiplum. Kpitel 7: EUKLIDS VERSION (ntulige tl næsten) Euli v som beent en gæs mtemtie, e smlee, vieeuvilee og systemtiseee en sto el f sin tis mtemti i flee væe, hvof nogle e bevet, og blnt isse e Elemente et mest ente. Hn levee oming 300 fvt. Dette e fstst u f, hvem hn levee smtiigt me, fo mn ene hveen hns le, føsels- elle øså. Det fotælles, t hn på ong Ptolemios I s foespøgsel i fobinelse me læsningen f Elemente, om e ie fntes en lettee måe t læe mtemtien på, sulle hve svet, t e fines ingen ongevej til geometien. Kong Ptolemios I egeee Ægypten f 33 fvt. til 83 fvt., og Euli levee i Alexni, e på en ti v smlingsste fo vien inen fo mnge omåe. Hv en gæe lvee i en by, e nu ligge i Ægypten, og om l enne vien befnt sig i hoveene på mennese elle måse i et elle net bibliote elle evt. begge ele, j, et e en længee histoie, som u selv må gve i, hvis u vil vie mee. Eulis omment til ong Ptolemios e ntuligvis guf fo mtemtiee, men Ptolemios hve nu ft i noget, fo Elemente e vielig ie så let tilgængelig som moene unevisningsbøge i mtemti. Den bestå f 3 bøge, e behnle fosellige emne. Føste bog inlees me 3 efinitione, e fstlægge begebe inen fo geometi (bl.. punt, linje, ciel og tente), 5 postulte og 5 siome, e e påstne elle sætninge, e ie n bevises, men som egnes fo t væe så oplgte, t lle n gotge em. 3

32 Deefte omme føste sætning me eftefølgene bevis, så næste sætning me bevis, osv. Og føste bog slutte me sætningene 47 og 48 (e e Pythgos læesætning). Anen bog begyne me nye efinitione, hvoefte e følge flee sætninge. Og sån fotsættes. Nøvenige begebe efinees, og sætninge inføes og bevises. Alig ommente, esemple, opgve elle pespetiveing. Alt e en mtemti. Egentlig n mn ie be spinge in mit i Elemente, fo sætningene bsees hele tien på et foegåene. Men et gø vi nu lligevel.. Vi sl se på, hvon Euli besev flee f e sætninge elle egensbe, som vi lleee h væet ine på. I ette histoise tilbgebli omme vi in i begynelsen f Elementenes bog 7. Euli inføe ingen stee nye postulte elle siome, vs. hn beje hele tien me e 5 postulte og 5 siome f begynelsen f føste bog. Men hn inføe som nævnt nye efinitione i begynelsen f bøgene, og hn efte t hve bejet me geometise figue i e 6 foegåene bøge nu e nået til tllene, h hn bug fo en æe nye efinitione, e følge he og e 0 f em uelt: Eulis efinitione i begynelsen f bog VII:. Enheen e et, i ft f hvilet enhve ting benævnes én.. Et tl e en f enhee smmenst mænge. 3. Et mine tl e el f et støe tl, nå et måle et. 4. Og en smling ele, nå et ie måle et. 5. Og et støe e mngefol f et mine, nå et måles f et mine. 6. Et lige tl e et, som n hlvees. 7. Et ulige tl e et, som ie n hlvees, elle hvis fosel f et lige tl e enheen.. Et pimtl e et tl, som un måles f enheen.. Inbyes pimise tl e em, e lene måles f enheen som fælles mål. 3. Et smmenst tl e et, som måles f et elle net tl. 4. Inbyes smmenstte tl e em, e måles f et tl som fælles mål.. Et pefet tl e et, e e lige me ets ele. Som et ses, inføe Euli mnge f e smme begebe, som vi lleee h gennemgået. Men e e nogle væsentlige foselle, som e følgene opgve omhnle. Opgve 7.: Hvilet elle hvile tl, som vi bejee me i støsteelen f fsnit 6, betgte Euli IKKE som et tl? Opgve 7.: I hvile f efinitionene femgå ette? Euli fole ie, hv e menes me, t et tl måles f et net tl. Måse e et et uty fo en geometis tnegng, hvo et linjestye fstst som en enhe n buges til t umåle, hvo mnge enhee et givent linjestye ugø. Det benyttes tyeligvis smmen me begebet el til t besive ivisibilitet som i efinition.. Dog me én væsentlig fosel: Euli betgte ie et tl som en el f sig selv, hvo vi betgte et tl som iviso i sig selv. Det femgå implicit f efinition 3, hvo hn esplicit le e to tl væe fosellige. På smme måe femgå et f efinition 5. Det blive og helt tyeligt i efinition, hvo hn efinee et pimtl som et tl, e un n måles f enheen. Enelig femgå et også f efinition. Ie esto mine sl u lægge mæe til, t hn ftis le et tl måle sig selv i beviset fo sætning 7.8 senee i ette pitel. 3

33 Nå mn ie beje me tl, buge mn stig betegnelsen mål i steet fo iviso. En lille pusig etlje e efinition 7, hvo Euli give to fosellige efinitione fo et smme. Den siste f em e muligvis f æle to en en føste. Aistoteles itisee enne efinition (og Aistoteles levee fø Euli) fo t væe ålig, en efinee ulige u f lige. Og så n mn jo også nye efinition. Det e ie sot sn, men et e vist næmee filosofi en mtemti. Opgve 7.3: Hv menes i voes spog me et pefet tl? Opgve 7.4: Bestem e lveste pefete tl. Og nu gå et så løs me sætninge. Vi begyne me Eulis. sætning f bog VII. Eulis sætning bog VII 7.5: L to ie ens tl væe givet, og l et minste vevene subthees f et støste. Hvis et tl, e blive tilbge, ie måle tllet fø et intil en enhe blive tilbge, e e opinelige tl inbyes pimise. Det e no et svæt t tole, hv Euli egentlig mene. Men måse unne u genene Eulis lgoitme i et sælige tilfæle, hvo e to tl e inbyes pimise? Hvis ie, så gå tilbge og epeté enne lgoitme og pøv t genene en i sætningen. Eulis bevis: Ve vevene subttion f et minste f to ie ens tl AB, CD f et støste, l et tl, e e tilbge, lig måle tllet fø ette intil en enhe blive tilbge. Jeg sige så, t AB, CD e inbyes pimise, vs. t et un e enheen, e måle AB, CD. Fo hvis AB, CD ie e inbyes pimise, så e e et tl, e måle em. L et tl måle em, og l et væe E. L CD målene BF eftele FA mine en sig selv. L AF målene DG eftele GC mine en sig selv og l GC målene FH eftele en enhe HA. Eftesom E måle CD, og CD måle BF, måle E også BF. Men et måle også hele BA. Defo vil et også måle esten AF. Men AF måle DG. Defo måle E også DG. Men et måle også hele DC. Defo vil et også måle esten CG. Men CG måle FH. Defo måle E også FH. Men et måle også hele FA. Defo vil et også måle esten, enheen AH, selvom et e et tl, hvilet e umuligt. Defo vil intet tl måle tllene AB, CD. Defo e AB, CD inbyes pimise. Opgve 7.6: Vi h set enne type bevis fø. Hv e et fo en slgs? Det e væ t bemæe, t Euli ie buge æfte på t fole, t e ie e noget specielt i, t et netop e AH, e e en enhe. Hn le et væe op til læseen t se, t gumenttionen n føes på smme måe, unset hvonå enheen optæe som esten ve en subttion. Men et n måse væe svæt t læse beviset, nottionen e nelees en nomlt. Så nu sl u pøve t gøe et lettee tilgængeligt: Øvelse 7.7: Tegn tllene AB og CD som linjestye og lv en sitse som illusttion f beviset. Du sl unne gennemføe beviset på tvlen ve hjælp f sitsen. 33

34 Ovenståene v som nævnt et, vi nu le Eulis lgoitme benyttet på inbyes pimise tl. I sætningen lige efte omme så selve lgoitmen: Sætning bog VII 7.8: Givet to ie inbyes pimise tl, hvon et støste fælles mål fines. Eulis bevis: L AB, CD væe e to givne, ie inbyes pimise tl. Det æves så t fine ees støste fælles mål. Hvis CD måle AB og et måle også sig selv e CD et fælles mål fo CD, AB. Og et e åbenbt, t et også e et støste. Fo intet tl støe en CD vil måle CD. Men, hvis CD ie måle AB, så vil et minste f tllene AB, CD vevene subtheet f et støste eftele et tl, e vil måle tllet fø ette. Fo en enhe vil ie blive eftelt. Fo så ville AB, CD væe inbyes pimise, hvilet e i mosti me ntgelsen. Defo vil e efteles et tl, e måle tllet fø ette. L nu CD målene BE eftele EA mine en sig selv, og l EA målene DF eftele FC mine en sig selv. Og l CF måle AE. Eftesom CF måle AE, og AE måle DF, vil CF også måle DF. Men et måle også sig selv. Defo vil et også måle hele CD. Men CD måle BE. Defo måle CF også BE. Men et måle også EA. Defo vil et også måle hele BA. Men et måle også CD. Defo måle CF tllene AB, CD. Defo e CF et fælles mål fo AB, CD. Jeg sige enæst, t et også e et støste. Fo hvis CF ie e et støste fælles mål fo AB, CD, så vil et tl støe en CF måle tllene AB, CD. L sån et tl måle em, og l et væe G. Eftesom G måle CD, mens CD måle BE, måle G også BE. Men et måle også hele BA. Defo vil et også måle esten AE. Men AE måle DF. Defo vil G også måle DF. Men et måle også hele DC. Defo vil et også måle esten CF, vs. en støe vil måle en minste, hvilet e umuligt. Defo e e intet tl støe en CF, e måle tllene AB, CD. Defo e CF et støste fælles mål fo AB, CD. Poisme: U f ette e et åbenbt, t hvis et tl måle to tl, så vil et også måle ees støste fælles mål. Mn n sige, t e ie v nogen gun til t se ette bevis, vi lleee h bevist sætningen tiligee. Men nu fi u Eulis vesion og h måse fået en fonemmelse fo hns måe t tæne på. Opgve 7.9: Hvilet o h vi tiligee bugt om et, Euli le et poisme. 34

35 Eulis næste sætning beøe noget, vi ie tiligee h væet ine på: Sætning 3 bog VII 7.0: Givet te ie pvis pimise tl, hvon et støste fælles mål fines. Hn gennemgå ltså en metoe til t fine en støste fælles iviso fo 3 tl, e ie e pvis pimise, og hn bevise selvfølgelig også, t en vie. Men føst sl u pøve t fine en metoe: Øvelse 7.: Kn u fine en metoe til t bestemme sån en støste fælles iviso? Hvis j, så gå til opgve 7.. Hvis nej, så gå til foling 7.3. Opgve 7.: Bestem en støste fælles iviso fo følgene tltiple: ) 94, 380 og b) 3349, 6435 og c) , og Foling 7.3: Metoen gå u på, t mn føst bestemme en støste fælles iviso fo f tllene, og eefte bestemme mn en støste fælles iviso fo og et siste tl. Bug metoen til t løse opgve 7.. Øvelse 7.4: Kn u gumentee fo, t in elle Eulis metoe ent ftis give en støste fælles iviso? Hvis j, så mel ig til t gå til tvle og give in foling. Euli beje så viee me en æe sætninge og omme lit senee til følgene: Sætning 6 bog VII 7.5: Hvis to tl ve multiplitione me hinnen give nogle bestemte tl, så vil isse f e føste bestemte tl væe lige stoe. Opgve 7.6: Hvon utye vi nomlt enne sætning? At Euli bevise sån en sætning, vise noget om gæenes syn på mtemti. De fæeste mennese ville no hve tænt på, t mn unne elle sulle bevise enne sætning. Gæene fosøgte t omme helt ne og få sty på mtemtiens gunlg. I beviset benytte Euli tiligee sætninges esultte, så vi spinge et ove. Lit senee følge en æe sætninge om pimtl og pimise tl, men vi tge nu et sping to bøge fem til en velent sætning på en ie velent fom: Sætning 0 bog IX 7.7: De e flee pimtl en et hvilet som helst fstst ntl pimtl. Opgve 7.8: Hvilen sætning f pitel 6 sve enne sætning til? Nå Euli ie buge betegnelsen uenelig, hænge et smmen me gæenes movilje ove fo ette begeb. Bemæ fosellen mellem e fomuleinge. Men bevise mine meget om bevis A fo sætning 6.9, e som u måse eine v et iniete bevis: 35

36 Eulis bevis: L A, B, C væe et fststte ntl pimtl. Jeg sige så, t e e flee pimtl en A, B, C. Fo l et minste tl, e måles f A, B, C væe funet, og l et væe DE. L enheen DF blive lgt til DE. Så e EF enten et pimtl elle ie et pimtl. L et føst væe et pimtl. Så h mn funet tllene A, B, C, EF, hvilet e flee en A, B, C. L eefte EF ie væe et pimtl. Det måles så f et pimtl [Dette e inholet f Eulis sætning 3 i bog VII. Bemæ t sån en sætning følge f itmetiens funmentlsætning, men t et omvente ie gæle.]. L EF væe målt f pimtllet G. Jeg sige så, t G ie e et smme som et f tllene A, B, C. Fo, hvis et v muligt, så l et væe sån. Nu gæle A, B, C måle DE. Defo vil G også måle DE. Men et måle også EF. Defo vil G, e e et tl, måle esten, e e enheen DF, og et e en mosti. Defo e G ie et smme som et f tllene A, B, C. Og u f hypotesen e et ltså et pimtl. Defo h mn funet pimtllene A, B, C, G, hvilet e flee en et fststte ntl A, B, C. Hvis mn se på ette bevis og beviset fo sætning 7.5, bemæe mn måse, t nå Euli sl vise, t noget gæle fo et vilålig stot, fstst ntl tl elle sit, så vise hn et fo 3 tl elle sit. Det unne mine lit om tlemåen En, to, mnge. Mtemtiee e ie længee tilfese me en slgs bevise. De vil nomlt buge et inutionsbevis, e som ugngspunt nvenes, hvis mn sl vise, t et usgn e snt fo lle ntulige tl: ) Mn vise føst, t sætningen gæle fo tllet (nogle sætninge gæle måse un fo n >, og så vise mn i steet, t et gæle fo tllet 3). ) Så vise mn, t HVIS sætningen gæle fo tllet n, SÅ gæle en også fo tllet n +. Pøv t oveveje, hvon ette n bevise en sætning, e sl gæle fo lle ntulige tl. Øvelse 7.9: Hvon n mn buge metoen til t vise sætninge, e gæle fo lle hele tl? Men hvon bevise mn så, t et inutionsbevis ent ftis e tillt som bevis? Svet e, t et gø mn ie fo et KAN mn ie. Mn betgte et som en ubeviselig egensb ve e ntulige tl, og mn le et så fo inutionssiomet. Du få ingen inutionsbevise t se he. Hvis u vil vie mee om em, må u selv fine yeligee infomtione elle pøve t onstuee ine egne inutionsbevise. 36

37 Kpitel 8: DIOFANTISKE TREKANTER (ntulige tl) Diofnt menes t væe føt mellem 00-4 evt., og hn levee ligesom Euli i Alexni e stig v centum fo vien. Hn sev bl.. væet Aithmeti, e besto f 3 bøge, hvof 6 e bevet. I ette væ beje hn me ligninge, e h hele elle tionelle tl som løsninge. Det v usævnligt, gæene ie tiligee hve nset bøe som igtige tl. Diofnt fi senee tilnvnet Algebens fe. Som et ses ovenfo, ve mn ie, hvonå hn blev føt. Men mn egne me t ene hns levele, hn ingå i en smling f tlgåe f et 5. åhunee: Opgve 8.: Diofnts ungom vee en sjetteel f hns liv; efte en syveneel mee blev hn gift; hn fi sæg efte ennu en tolvteel. Fem å senee fi hn en søn, som levee hlvt så længe som feen, og Diofnt øe fie å efte sønnen. Hvo gmmel blev Diofnt? Mn h så senee me henvisning til Aithmeti inføt betegnelsen iofntise ligninge om ligninge, hvo mn un søge heltlsløsninge. Mn n og også opleve betegnelsen bugt om ligninge, hvo mn søge tionelle løsninge. Vi vil he buge betegnelsen iofntis i en heltllige vesion, og nå vi ifølge ovesiften sl unesøge nogle iofntise tente, e et ltså tente, hvo sielængene e hele tl. Et esempel unne væe en velente etvinlee tent me sielængene 3, 4 og 5. Føst se vi lige på en Pythgoæise Læesætning og en Omvente Pythgoæise Læesætning (som nævnt Eulis sætninge 47 og 48 f føste bog i Elemente). Den føste sige som beent, t i en etvinlet tent e vtet på hypotenusen lig me summen f tetenes vte (oftest sevet b c ), mens en nen sige, t hvis tentens sielænge, b og c, hvo c e en støste, tilfesstille ligningen b c, så e en etvinlet me en ette vinel C. Men ette e jo geometise sætninge, så hvo omme tlteoi in i billeet? Det gø et, nå vi tge ligningen b c u f smmenhængen og betgte en som en iofntis ligning, vs. vi vil pøve t fine heltlsløsninge til ligningen. Det føe så bgefte til, t vi n bestemme smtlige pythgoæise tlsæt vs. smtlige iofntise, etvinlee tente, men så e vi igen tilbge til geometien, og igen h Euli på sin hjemmebne givet et bevis fo en sætning, vi nu sl bevise ent tlteoetis. Egentlig ønse vi un t fine e løsninge til b c, e e ntulige tl, men u n selv tæne lit ove et og se, t et ie spille en stoe olle. Vi unne sån set gå iete til sætningen, men fo t gøe beviset mee ovesueligt inføes føst en æe lemme. Og hus: Vi beje i ette pitel me ntulige tl. Lemm 8.: Fo vilålige tl p og q gæle p q p q p q Øvelse 8.3: Bevis lemm 8.. Øvelse 8.4: L p og q væe to tl, hvo p > q. Fines e en fst æefølge i støelsen f tllene p q ; p q og p q 37? Elle måse e e ét f tllene, e lti e minst? Pøv evt. me fosellige tl og se, om u n fine noget, e gæle geneelt. Pøv evt. også, om u n fine et bevis fo in påstn.

38 Lemm 8.5: Fo lle tl p og q, hvo p > q, gæle p q p q og p q p q. Bevis: Det e oplgt, t siste el f lemmet gæle. Fo q e positiv, og nå mn lægge noget positivt til et tl, p, så blive esulttet støe, en hvis mn tæe et f. Så l os se på føste el. Og l os ennu engng gibe til et iniete bevis. Så vi ntge, t p q p q p q, hvilet føe til: p q 0 p q 0 Men p > q, e utyet i pentesen ie 0, så venstesien e positiv, hvove vi h en søgte mosti, og lemmet e ltså bevist. Bemæ, t lemmet ie sige noget om en smmenligning f tllene p q og p q. Det syles, t e ie gæle en lignene veloning. Så mn n ltså un sige, hv et støste f e 3 nævnte tl e, og et e q p. Som u måse e ve t fonemme, vil en ommene sætning besæftige sig me tllene p q, q p og q p. Øvelse 8.6: Pøv nu t se på e siste f ovennævnte tl. Hvis u fi t vie, t e begge v ulige, ville u så unne sige noget om p og q me hensyn til lige/ulige? Hvis j, så pøv t bevise in påstn. Hvis nej, så pøv ig fem me fosellige tl og se, om u n fine et system. Lemm 8.7: Hvis tllene p q og q p e ulige, så e netop et f tllene p og q lige. Bevis: Det n isutees, hvo meget e sl gøes u f følgene bevis, fo egentlig n et gøes meget ot: En sum elle iffeens f tl blive ulige, netop nå netop ét f tllene e lige, og et vt p e ulige, netop nå p e ulige. Deme e sætningen vist. Men mn n også gå mee systemtis til væs. F.es. bevise Euli i bog XI f Elemente (sætningene 4-7), hv mn få ve t tæe lige/ulige f lige/ulige. Et bevis fo påstnen om, t vtet på et lige tl, give et lige tl, mens vtet på et ulige tl, give e ulige tl, unne væe: p n p 4 n n p e lige p e lige p n p 4 n 4n n n p p e ulige e ulige Opgve 8.8: I linjene 3 og 4 i beviset ingå oene lige/ulige 4 gnge. Hvilen elle hvile f e 4 gnge n mn IKKE buge et net f oene (vs. usifte lige me ulige elle omvent)? Det e no ie sælig nemt t se, hvo isse lemme føe hen, fo hvofo n et væe inteessnt, om tl e lige elle ulige? Svet på et følge senee. Nu sl vi føst fo en stun vene tilbge til ligningen b c, fo et må ie glemmes, t et e en, et hele eje sig om. 38

39 Hvis mn h et pythgoæise tlsæt, b, c 3,4,5, b, c 6,8,0,, b, c 9,,5 og, b, c 300,400,500 n b c n b n n b n c n c, e et lt, t også tlsættene e pythgoæise, fo mn h jo: Dvs. hvis mn h funet ét pythgoæis tlsæt, så n mn sbe vilåligt mnge sæt ve enten t folænge sættet me et ntuligt tl elle foote et me en evt. fælles iviso. Øvelse 8.9: Tg ugngspunt i et pythgoæise tlsæt (0, 4, 6). Pøv t se, hvo mnge pythgoæise tlsæt, u n sbe på ½ minut, og pøv eefte t slå in egen eo. Opgve 8.0: Hv gæle om lle e etvinlee tente (me hensyn til vinle), u e ommet fem til i øvelse 8.9? Det e oftest ie så inteessnt me lle e est pythgoæise tlsæt, mn n sbe ve ovenståene metoe. Så mn inføe en betegnelse, e femhæve gunstmmen blnt lle sånne tlsæt (lit ligesom mn tiligee femhævee en pinciple est): Definition 8.: Et pimitivt tlsæt e et tlsæt, e ie h ne fælles ftoe en. Esemple: ) Tlsættet (3,6,7) e pimitivt, fo got no inehole 3 og 6 begge ftoen 3, men en e ie en fto i 7. Så e e ie ne fælles ftoe en. ) Tlsættet (4,0,) e ie pimitivt, fo lle te tl inehole ftoen. Opgve 8.: Hvile f følgene tlsæt e pimitive? ) (,7,9) b) (,,4) c) (3,4,5) ) (6,8,0) e) (5,,3) f) (5,36,39) g) (,35,37) h) (,3,5,5) Opgve 8.3: Hvile f tlsættene f opgve 8. e pythgoæise tlsæt? Opgve 8.4: Hvile f tlsættene f opgve 8. e pimitive pythgoæise tlsæt? Øvelse 8.5: Pøv t fine et tlsæt (, b, c), e opfyle ligningen b c, og hvo netop f tllene h en fælles fto. Pøv evt. også t fine et bevis fo, hvo mnge f en slgs tlsæt, e fines. Hvis u gå ø i enne øvelse, så sping hstigt viee til næste lemm, e behnle ette poblem. Lemm 8.6: L tlsættet (, b, c) opfyle ligningen b fto, så inehole et teje tl også enne fto. c. Hvis f tllene h en fælles 39

40 Bevis: De to tl og b stå på smme måe i ligningen, så mn sl un unesøge e mulighee, t et e og b, e h en fælles fto, elle t et e og c. Antg, t og b h en fælles fto, og l en væe. Så gæle og b b. Mn h så: b c b c c c b b Agumentet une vtoen e et ntuligt tl, så vi ve ifølge sætning 6.8.b, t vtoen enten e et ntuligt tl elle et itionelt tl. Og som et ses f ovenståene, e et ie itionelt, et n sives som en bø me hele tl i tælle og nævne, så et må væe et ntuligt tl. Og et næstsiste uty f ovenståene vise så, t også e iviso i c. Heefte ntges, t og c h en fælles fto, og mn få på smme måe som ovenfo: b c c b b b c Og så n mn buge smme gument som ovenfo, hvo mn lige sl bemæe, t gumentet une vtoen e positivt. Bemæ også, t et gennem hele beviset ie e noget poblem, hvis =. Øvelse 8.6.b: Gennemfø beviset fo lemm 8.6 ve hjælp f Aitmetiens Funmentlsætning, så u ungå e "fobute" vtøe og bøe. Øvelse 8.7: Pøv t se på et pimitivt pythgoæis tlsæt (, b, c). Kn mn sige noget om, hvo c mnge f tllene, e e lige, og evt. hvilet elle hvile, et må væe? Pøv t bevise in påstn. Igen sl u gå viee til et følgene lemm, hvis u gå ø i øvelsen. c b c b Lemm 8.8: L (, b, c) væe et pimitivt pythgoæis tlsæt, hvo tllene lige, og et e elle b. b c. Så e netop ét f Bevis: L (, b, c) væe et pimitivt pythgoæis tlsæt, hvo 40 b c. Hvis lle te tl e lige, så inehole e ftoen, vs. et e ie et pimitivt tlsæt. Hvis to f tllene e lige, så inehole e ftoen, og ifølge lemm 8.6 inehole et teje tl også ftoen, vs. igen e tlsættet ie pimitivt. Alle tllene n ie væe ulige, fo hvis og b e ulige, så e og b også ulige, og eme e ees sum c lige, hvofo c e lige. Deme må netop ét f tllene væe lige. Og så omme en vnseligste el f beviset. Vi sl nu se, t et ie n væe c, e e lige. Fo hvis c e lige, h mn: c c 4, vs. t 4 e iviso i c. Og hvis c e lige, så må og b væe ulige, og mn h så: b n m 4n 4n 4m 4m 4 n n m m Det ses heme, t tllet 4 IKKE gå op i b, ivisionen give esten. Og 4 som nævnt e iviso i c, h vi ltså en mosti. Det må ltså væe ét f tllene og b, e e lige.

41 4 Lemm 8.9: Hvis to tl x og y e inbyes pimise, og ees pout e et vttl, så e x og y selv vttl (vs. ), ( z y z x z y x y x sf ). Øvelse 8.0: Pøv selv t bevise ovenståene lemm. Det n ofte væe en go ié t inge Aitmetiens Funmentlsætning. Hvis u gå helt i stå, n u få hjælp i beviset neenfo. Bevis: Vi ntge ltså, t ), ( z y x y x sf. Ifølge Aitmetiens Funmentlsætning n z opløses i pimftoe, og mn få så: s s p p p y x p p p y x. Pimtllene på højesien e ltså enten ftoe i x, y elle begge. Men x og y e inbyes pimise, inehole e ingen fælles pimftoe, vs. hvis pi e iviso i x, så e en ie iviso i y, og eme må begge pi væe en el f pimftoopløsningen f x. Smme sætning n siges me ombytninge f x og y. De enelte pimftoe n ltså nyttes til enten x elle y, hvilet fomelt n gøes på følgene måe. Mn n bytte unt på højesiens pimftoe, som mn vil, vs. nummeeingen f pimtllene e vilålig. Mn n efo sive: s t hvo p p p y p p p y p p p x p p p x s t t s t t t t 0, (Hvis t = 0 e x =, og hvis t = s e y = ) Heme e et vist, t båe x og y e vttl. Og så mngle vi lige siste lemm inen sætningen. Føst som øvelse: Øvelse 8.: Pøv t bevise følgene lemm. Lemm 8.: Hvis b og c e ulige, inbyes pimise tl, hvo c > b, så e tllene c b og c b også inbyes pimise. Bevis: Bemæ føst, t tællene i e to bøe e lige tl, b og c e ulige, så bøene e ntulige tl, og eme e lemmet ie meningsløst. L ltså b og c væe inbyes pimise. Ennu engng benyttes et iniete bevis. Antg t c b og c b ie e inbyes pimise, vs. e h en fælles iviso > : b c og b c Men se så på følgene uegninge: b b vs b b b c b c b c b c c c vs c c b c b c b c b c.. Dette vise, t så også ville væe iviso i b og c, men e e jo inbyes pimise, så he e en søgte mosti.

42 Og nu e tien så ommet fo sætningen, som lemmene h føt hen mo. Den les sommetie Eulis sætning, en følge f Eulis sætning 8 i bog II f Elemente (e og e en geometis og ie en tlteoetis sætning). Eulis sætning 8.3: De pimitive pythgoæise tlsæt, b, c e netop tlsættene f fomen pq, p q q, p, hvo p og q e inbyes pimise tl, hvof netop et ene e lige, og p > q. Opgve 8.4: Hvilen elle hvile f neenståene sætninge unne esttte netop et ene e lige i sætningen? ) Netop et ene e ulige. b) Ie begge e lige. c) Ie begge e ulige. Opgve 8.5: Hvilen elle hvile f neenståene fome unne også buges som tlsæt i sætningen? ) pq, p q, p q b) p q, pq, p q c) p q, p q, pq Bevis: Bemæ, t sætningen sige to ting. ) Hvis et tlsæt sl opfyle ) Hvis et tlsæt e f fomen pq, p q, p q b c, sl et væe f fomen pq, p q, p q, så opfyle et b c. Del ) følge iete f lemm 8.. Så vi mngle nu un t vise el ). Vi ntge ltså, t vi h et pimitivt pythgoæis tlsæt, b, c, og så ve vi ifølge lemm 8.8, t netop ét f tllene e lige, og t et e elle b. D mn ie n selne mellem og b i Pythgos Læesætning, n vi selv vælge, hvilet f tllene vi vil le væe lige. Fo t få et til t psse me olyen f sætningen, le vi et væe (et e jo pq, e e et lige tl i tlsættet, så hvis vi lo b væe et lige tl, ville et sve til fomuleingen b) f opgve 8.5). Deme n følgene omsivning foetges: b c b c b c c b c b c b I siste sit e e ivieet me 4 på begge sie f lighestegnet. Og he e et vigtigt t bemæe, t ette KUN n le sig gøe, foi tllene, c+b og c-b e lige. Elles ville vi jo hve fået ie-ntulige tl ve ivisionen me. Ifølge lemm 8.6 e b og c inbyes pimise, fo hvis e ie v, ville e hve en fælles iviso støe en, e også ville væe iviso i, hvilet ville væe i mosti me, t tlsættet e pimitivt. c b Men lemm 8. give så, t og Og ees pout e et vttl Deme fines e ltså hele tl p og q så: c b e inbyes pimise., e e ifølge lemm 8.9 selv vttl. c b p og c b q, hvo p q. 4

43 D c b og c b e inbyes pimise, e ltså p og q inbyes pimise, og eme e p og q inbyes pimise. Fo hvis p og q ineholt en fælles fto >, så ville p og q inehole en fælles fto. Men ovenståene fstsættelse give så: c b c b p q c p q c b c b p q b p q D b og c e ulige, e ifølge lemm 8.7 netop et f tllene p og q lige. Nu mngle vi blot t vise, t p q følge f ovenståene: c b c b Og heme e sætningen bevist. p q p q p q Vi e ltså nu ommet fem til, hvon mn onstuee pimitive pythgoæise tlsæt. Esempel: 6 og e inbyes pimise tl, 6 e lige og ulige, og > 6. Deme sættes p = og q = 6, og mn h så: p q 6 3 b p c p q q (3,85,57) e ltså et pimitivt pythgoæis tlsæt. Og (85,3,57) e et smme sæt. Esempel: 568 og 435 e inbyes pimise tl, 568 e lige og 435 ulige, og 568 > 435. Deme sættes p = 568 og q = 435, og mn h så: p q b p c p q q ( , , ) e ltså et pimitivt pythgoæis tlsæt. Du n selv ontollee, t tlsættet e båe pimitivt og pythgoæis. Opgve 8.6: Hvile f neenståene tlp n buges til t onstuee pimitive pythgoæise tlsæt? ) 5 og b) 8 og c) 3 og 9 ) 5 og 6 e) og 7 f) 4 og 7 g) 6 og 8 h) 7 og 3 i) og 0 j) 00 og 43

44 Opgve 8.7: Benyt tlpene f ), b), i) og j) i ovenståene til t onstuee et pågælene pimitive pythgoæise tlsæt. Opgve 8.8: Hvile tlp (p,q) e bugt til t onstuee e pimitive pythgoæise tlsæt: ) (3,4,5) b) (5,,3) c) (7,4,5) ) (33,56,65) Hvis mn ønse t sbe et ovebli ove e pimitive pythgoæise tlsæt, må mn gå systemtis til væs. Mn n begyne me t fstsætte p og eefte fine e q, e n buges. Det give et sem, e n fotsættes, intil (egne-)æftene slippe op: p Mulige q-væie Nu v e jo en msse lemme, e lete fem til Eulis sætning 8.3. Så e e heligvis også lit est infomtion t hente f sætningen: Kooll 8.9: Pythgoæise tente h lti et heltlligt el. Opgve 8.30: Hvon følge ette f Eulis sætning 8.3? Som fslutning på ette pitel se vi på nogle ne iofntise tente, e hvis u sulle hve glemt et efte lle lemmene e tente me heltllige sielænge. Føst sl vi følge op på ooll 8.9 ve t inføe sålte heonise tente. De e oplt efte Heon, e levee i et føste åhunee evt., og som e mest ent fo sin sætning om t fine en tents el T ve: T s s s b s c, hvo, b og c e tentens sielænge og s en hlve omes. D enne fomel give en måe t bestemme en tents el, fole en opinelsen til følgene efinition: Definition 8.3: En iofntis tent me et heltlligt el les en heonis tent. En nen slgs iofntis tent inføes me følgene efinition: 44

45 Definition 8.3: En iofntis tent, hvo el og omes e lige stoe, les en pefet tent. Øvelse 8.33: Hvofo give efinition 8.3 ie mening som geometis efinition elle hvis mn beje me enhee på tl? Esempel: Tenten me sielængene 3, 4 og 5 e iofntis. D e en ie etvinlet. Men Heons elfomel give: s T Defo e tenten heonis. D omesen e 4 og ltså fosellig f elet, e tenten ie pefet. Esempel: Tenten me sielængene 5, og 3 e iofntis. D 5 3, e en også etvinlet. Heons elfomel give: 5 3 s 5 T Så en e også heonis. D omesen e 30 ligesom elet, e en også pefet. Konlusion: Det e en helig tent! Det e ie en efinition. Opgve 8.34: Afgø om tentene me følgene sie e iofntise, etvinlee, heonise og/elle pefete: ) 6, 8 og 0 b), 35 og 37 c) 5, 6 og 7 ) ½, 5 og 6 e) 6, 5 og 9 Opgve 8.35: Hvile f følgene usgn e sne? ) Hvis en tent e iofntis, e en også heonis. b) Hvis en tent e heonis, e en også iofntis. c) Hvis en tent e pythgoæis, e en også heonis. ) Hvis en tent e heonis, e en også pythgoæis e) Hvis en tent e pefet, e en også heonis. f) Hvis en tent e heonis, e en også pefet. g) Hvis en tent e etvinlet og heonis, e en også pefet. h) Hvis en tent e pefet, e en også pythgoæis. i) Hvis en tent e pythgoæis, e en også pefet. De fines ie mnge pefete tente. Ftis fines e un 5 hvilet n bevises. U ove e 3, e e benyttet i et foegåene, e et tentene givet ve tlsættene (9,0,7) og (7,5,0). 45

46 Kpitel 9: SPECIELLE SÆTNINGER (ntulige tl) Dette pitel e helliget en æe fosellige ente sætninge elle fomoninge om tl. Det vil i mosætning til e foegåene pitle ie inehole bevise hvilet hænge got smmen me begebet fomoning. Piee e Femt (60-665): Femt v unnet og enæee sig som juist, hvilet p. efinition give hm betegnelsen mtø, nå mn betgte hm som mtemtie. Hn ugv lig nogle f sine esultte, men hn oesponeee me mnge f tiens mtemtiee, hvo hn fotlte om sine sætninge og sommetie sitseee iée til bevise. Hn uvilee selv fosellige metoe. F.es. uvilee hn en metoe til t fine msimum fo visse uve, hvilet v en foløbe fo iffeentilegningen. Hn biog også smmen me Blise Pscl til snsynlighesegningens intog. Men hn e mest ent fo sine big til tlteoien, bl.. foi hn femstte en msse sætninge, e føst blev bevist elle mobevist (vi sl se et esempel på hve slgs) mnge å efte hns ø. He omme føste esempel (bemæ, t Femt un bejee me ntulige tl ligesom ovesiften sige): Sætning 9.: Ligningen n n n b c h ingen løsninge fo n >. Dette e et esempel på en iofntis ligning. Vi ene en lleee fo n =, hvo vi i Eulis sætning 8.3 så, t e v uenelig mnge løsninge, e ie blot v folængelse f hinnen. Så t e ie fines en eneste løsning, nå n >, n måse vie ovesene elle n et? Femt n jo ie hve ment, t et v så ovesene, fo hn femstte sætningen snsynligvis uen t hve et bevis fo en. Elle måse toee hn, t hn hve et bevis? Femt ugv som nævnt lig sine esultte, og ofte sev hn blot i mginen på e væe, hn s og læste. Og om netop enne sætning sev hn følgene meget beømte omment i mginen på Diofnts Aithmeti (se pitel 8): Det e umuligt t ele en tejepotens i to tejepotense, elle en fjeepotens i to fjeepotense, elle geneelt, en vilålig potens støe en i to f e smme potense. Jeg h opget et gnse bemæelsesvæigt bevis fo ette, som mginen e fo sml til t inehole. Dette bemæelsesvæige bevis h mn lig funet. Femt beviste selv sætningen i et sælige tilfæle n = 4, og efte hns ø blev e gennemføt bevise fo n = 3 og en hel msse pimtl ( et n vises, t mn un behøve t vise sætningen fo pimtl og tllet 4). Men et fgøene bevis om føst i 993, et efte mnge ås ihæigt beje, e byggee på en msse nye esultte inen fo mtemti, lyees fo Anew Wiles t bevise sætningen. Toee hn! Fo beviset viste sig t inehole en fejl. Denne fejl lyees et og fo Wiles t ette, så hn unne levee et bevis fo sætningen i 994. De gi ltså c. 350 å f sætningen blev femføt, til en blev bevist. Øvelse 9.: Unesøg, om ie = 9 sulle væe en løsning til ligningen f sætning 9.. Øvelse 9.3.: Hvis et ie lyees t mobevise sætning 9. me ovenståene, må håee mile tges i bug. Pøv me =

47 Øvelse 9.3.b: Fin et ns ospog, e besive øvelsene 9. og Øvelse 9.4: Femt beviste sætningen i tilfæle n = 4 ve t vise, t HVIS e v en løsning, så unne mn lti fine en ny løsning me mine tl en en opinelige. Begun, t ette bevise sætningen i tilfælet n = 4. Sætning 9. les Femts stoe sætning elle Femts siste sætning (foi et v en siste f Femts mnge sætninge, e mnglee t blive bevist elle mobevist). Nå e e en sto sætning, må e vel også væe en lille sætning? J, et e e, og et v også en sætning, som Femt femføte uen bevis. Den blev bevist f G.W. Leibniz (ie offentliggjot) og senee i f Leonh Eule (offentliggjot). He e en vesion f sætningen, men u n også fine en i ne vesione bl.. én me estlsse: Sætning 9.5: Hvis p e et pimtl og et tl, e e pimis me p, så e p iviso i p. Øvelse 9.5.: Afpøv enne sætning me fosellige tl, e opfyle betingelsene og u n evt. også pøve me tl, e ie opfyle em. Sætning 9.5 nvenes ofte som en ie ufejlblig pimtlstest let Femts pimtlstest. Mn unesøge, om p e iviso i p, og hvis et ie e, så e p ie et pimtl. Men hvis et e, så KAN p væe et pimtl. De e og også smmenstte tl n, e opfyle ovenståene fo lle tl, som e e pimise me, men som ie e pimtl. Disse tl les Cmichel tl (efte en meinse mtemtie Robet Cmichel ( )), og e en speciel slgs pseuopimtl, e e smmenstte tl, e ele egensbe me pimtllene. De fines ueneligt mnge f sånne pseuopimtl. Men u sl hve væet meget helig, hvis u h funet nogle, u bejee me øvelse 9.5. De fines også ueneligt mnge Cmichel tl. Det blev bevist i 99. Følgene sætning n buges til t ontollee, om et tl e et Cmichel tl hvis mn ltså e i stn til t fine pimftoopløsningen, hvilet som beent e et f e helt stoe pobleme inen fo tlteoien, hvis tllene blive meget stoe. Sætning 9.6: Et smmenst tl n e et Cmichel tl, netop hvis et ie inehole vte, og et fo lle pimftoene pi i tllet gæle, t n 47 p i. At n ie inehole vte, n også utyes ve, t lle pimftoene i pimftoopløsningen e fosellige. Esempel: Tllet 56 e et minste Cmichel tl. Sætning 9.6 buges til t ontollee, t et ftis e et Cmichel tl. Føst tjees et, t et ftis e et smmenst tl, og pimftoopløsningen bestemmes: Det ses ltså, t 56 e smmenst, og e e ingen pimftoe, e optæe mee en én gng. Så ontollees nen el f sætningen: Deme e et vist, t tllet e et Cmichel tl snt snt snt

48 Esempel: L os pøve om 75 e et Cmichel tl. Føst tjees et, t et ftis e et smmenst tl, og pimftoopløsningen bestemmes: Det ses ltså, t 75 e smmenst, og e e ingen pimftoe, e optæe mee en én gng. Så ontollees nen el f sætningen: fls D ette usgn e fls, behøve mn ie t unesøge mee, men n sige, t tllet IKKE e et Cmichel tl. Esempel: L os nu pøve me 9. Det vise sig t væe et pimtl (hvilet u siet eine, hvis u h lvet weeenøvelse 6.5.). Deme e et ie et Cmichel tl. Esempel: Nu sl 793 tjees. Det vise sig t væe smmenst me pimftoopløsningen Som et ses, inehole pimftoopløsningen to 7-tlle (hvilet i fomuleingen f sætning 9.6 vil sige, t et inehole vtet 7 ), og eme e et IKKE et Cmichel tl. Opgve 9.6.: Afgø, hvile f neenståene tl, e e Cmichel tl: ) 969 b) 05 c) 33 ) 637 e) 79 f) 03 g) 404 Den siste f Femts sætninge, som vi sl se på he, e: Sætning 9.7: Alle tl på fomen n F, hvo n e et ie-negtivt heltl, e pimtl. n Det n lige bemæes, t vi ltså he bevæge os lige uen fo e ntulige tl, 0 inges. Femt beviste ie enne sætning. Opgve 9.8: Bestem e føste 9 Femt-tl (vs. tl funet på ovenståene måe). Øvelse 9.9 (fivillig): Fin en fejl, e e plceet i fcit til ovenståene opgve. Øvelse 9.0: Benyt Mples pimtlstest (ispime) til t ontollee sætningens igtighe fo så mnge f Femt-tllene, som Mple n le. Øvelse 9.: Pøv t pimftoopløse så mnge f Femt-tllene, som Mple n le. Som u no opgee, e et ftis un e føste 5 Femt-tl, e e pimtl i hvet fl f em som Mple unne teste. Leonh Eule ( ) fnt i 73 pimftoopløsningen fo F5 (som u også fnt i øvelse 9.). Eule fi egnet meget i sin leveti, men hn bejee og ie helt på må og få. Hn viste nemlig, t e eneste mulige ftoe v f fomen 64, hvo e et ntuligt tl. Så he v ltså en sætning, e viste sig ie t væe igtig. 48

49 Øvelse 9.: Tje, t e to tl i pimftoopløsningen e f en pågælene fom, som Eule bejee u f. Mn h pøvet t fine flee pimtl en e 5 føste blnt Femt-tllene, men et e ennu ie lyees. Mn h på nuvæene tispunt (septembe 05) fået ftoiseet lle Femt-tllene F5-F fulstænigt, mens mn bl.. h funet ftoe i Femt-tllene F-F9. F33 e et minste Femttl støe en F4, e n vise sig t væe et pimtl. På følgene hjemmesie n mn følge me i uvilingen: Så mn n sige, t enne sætning f Femt h fået en noget nen oly, men mn ve ie, hvilen elle hvile f neenståene sætninge, e e sne: ) De fines un 5 pimtl blnt Femt-tllene. ) De fines uenelig mnge pimtl blnt Femt-tllene. 3) De fines uenelig mnge smmenstte tl blnt Femt-tllene. Opgve 9.3: E e nøvenigvis minst én f ovenståene sætninge, e e sne? Én f em, som Femt oesponeee me, v Min Mesenne, e h lgt nvn til: Definition 9.4: Et tl på fomen M n les et Mesenne-tl. n Det n vises, t hvis n ie e et pimtl, så e Mn et helle ie. Men e gæle ie, t hvis n e et pimtl, så e Mn også et pimtl. I så fl ville mn hve en effetiv og ufejlblig måe t sbe vilåligt stoe pimtl. Øvelse 9.4.: Hvon ville mn unne sbe vilåligt stoe pimtl, hvis et hve væet snt men et e et ie t hvis n e et pimtl, så e Mn også et pimtl. Mn e ofte mest inteesseet i pimtllene blnt Mesenne-tllene, og efo buges betegnelsen Mesenne-tl sommetie om e f ovenståene tl, hvo n e et pimtl. Og mn le et pimtl på fomen f efinition 9.4 fo et Mesenne-pimtl. Det e oftest blnt Mesenne-tllene, t mn søge efte pimtl, nå mn pøve t fine støe og støe pimtl. Det syles ie, t enne fosift e specielt go til t sbe pimtl, men mee t mn h goe metoe til t unesøge, om sånne tl e pimtl. Vigtig bemæning 9.5: Sætning 9.7 og efinition 9.4 e begge metoe til t sbe vilåligt stoe tl. Hvis sætning 9.7 hve væet sn, hve mn slet ie unnet sne om et støste ente pimtl, fo mn unne jo be sætte støe og støe tl in og onstuee vilåligt stoe pimtl. Mesenne h lgt nvn til isse tl, foi hn lvee en liste ove pimtllene blnt enne type tl op til og me M57. Det v imponeene, men hn sulle no væe stoppet lit fø, fo netop M57 egnee hn fejlgtig som et pimtl. Det smme gjlt fo M67, mens hn hve oveset M6, M89 og M07. Og et n vi jo sgtens pege finge f me hjælp f voes lommeegnee og computee. 49

50 Opgve 9.6: Bug Mple til t fine e 4 minste Mesenne-tl (fostået på fomen, hvo n e et pimtl), e IKKE e pimtl. Inen åtusinsiftet hve mn funet e føste 38 pimtl blnt Mesenne-tllene. Sien e e c. funet ét nyt Mesenne-pimtl om ået, så mn i 007 v nået op på 44 ente Mesennepimtl. De føste 39 ligge tæt, vs. mn ve, t e ie fines ne en e 38 ente Mesennepimtl mine en et 39. i æen. Mn ve ie, om e e ueneligt mnge pimtl blnt Mesenne-tllene. Golbchs fomoning Vesion I 9.7: Ethvet tl støe en n sives som summen f 3 pimtl. Chistin Golbch ( ) sev i 74 til Leonh Eule om enne sætning. Øvelse 9.8: Pøv t se, om u n fine et elle flee moesemple på ovenståene. Øvelse 9.9: Kn u give en foling på, hvon Golbch unne omme me sån en fomoning, nå et så let n vises, t en ie e igtig? Hvis ie, så begyn t læse viee. Golbch egnee som et pimtl (et e jo et efinitionsspøgsmål). Men sætningen n sån set stig buges. Den sl be omfomulees til: Golbchs fomoning Vesion II 9.0: Ethvet tl støe en 5 n sives som summen f 3 pimtl. Øvelse 9.: Pøv t fine et elle flee moesemple på enne sætning. Det v ftis Eule, e sev tilbge og foeslog en spee vesion ( en opinelige vesion I simpelt unne ulees f en spee), e nu e en vesion, vi le: Golbchs fomoning (Enelig Vesion) 9.: Ethvet lige tl støe en n sives som summen f pimtl. Øvelse 9.3: Afpøv sætningen fo lle lige tl op til og me 30. E e pågælene pimtl entyigt bestemt? Golbchs fomoning egnes fo t væe sn, men en e lig bevist. Du n evt. pøve t tæne ove, hvofo en så simpel sætning n væe så svæ t bevise. Den 3. mj 03 publiceee Hl Helfgott et bevis fo en svge ugve (9.0). Det se u til t væe ccepteet. Definition 9.4: En pimtlstvilling bestå f pimtl, hvis iffeens e. Opgve 9.5: Bestem e 5 minste pimtlstvillinge. Øvelse 9.6: Ovevej, om e fines ueneligt mnge pimtlstvillinge. 50

51 Dette e ennu et uflet spøgsmål. Mn ve ie, om ntllet f pimtlstvillinge e ueneligt. Det mest næliggene e t to et, men e mngle et bevis. Definition 9.7: En pimtlstilling bestå f 3 fosellige pimtl, hvo iffeensen mellem et støste og et minste e 4. Øvelse 9.8: Pøv t se, hvo mnge pimtlstillinge, u n fine. Definitionene 9.4 og 9.7 unne sgtens væe nelees. Mn unne også i efinition 9.4 sige, t et v to pimtl, e netop hve ét net tl imellem sig. Øvelse 9.9: Bevis, t e fines netop én pimtlstilling? Definition 9.30: Et fulomment tl e et tl, e e lig me summen f sine ivisoe sig selv ie meegnet. Mn le sommetie også enne slgs tl fo pefete tl. Det gjoe Euli f.es. i sin efinition i pitel 7. Definition 9.30 f fulomne tl n esuen buges til t opele e ntulige tl ve t inføe betegnelsen efetivt tl om e tl, hvo en pågælene sum e mine en tllet selv, og betegnelsen excessivt tl om e tl, hvo en pågælene sum e støe en tllet selv. Opgve 9.30.: Kn mn sige noget om, hvovit pimtl lti vil væe enten efetive, fulomne elle excessive? Og i beæftene fl: Hvilen f isse slgs tl høe lle pimtl til? Opgve 9.30.b: Opel tllene une i efetive, fulomne og excessive? Det femgå f opgve 9.30.b, t 80% f tllene op til og me 0 e efetive, 5% e fulomne og 5% e excessive. Opgve 9.30.c: Ovevej, om enne pocentfoeling vil æne sig mnt, hvis mn se på lle ntulige tl. Og hvis u mene, t en vil æne sig, hvile pocentele vil så gå op, og hvile vil gå ne? Øvelse 9.30.: Pøv t fole, hvofo svet på opgve 9.30.c IKKE betye, t e ie e nogen fulomne tl ove en vis støelse. Øvelse 9.30.e: Ovevej, om e mon fines ulige, excessive tl? Svet følge i bemæning Plton bejee me e fulomne tl, men et e f Euli, t mn ene følgene sætning: n n Sætning 9.3: Tllene n e fulomne, hvis e et pimtl. Opgve 9.3: E tllet fulomment? Opgve 9.33: Fin e 4 minste fulomne tl, e n fines me Eulis sætning. 5

52 Det lyees senee Leonh Eule t vise, t e fulomne tl, e femomme ve sætning 9.3, også e e eneste, lige fulomne tl. Opgve 9.34: Bug in vien om Mesenne-tllene til t sve på følgene: Ve mn, om e fines ueneligt mnge lige, fulomne tl? Bemæning 9.34.: Ftis følge et f ovenståene, t e e en én-til-én eltion mellem Mesenne-pimtllene og e lige, fulomne tl. Mn fnt efo også n. 44 i æen f lige, fulomne tl i septembe 006, mn fnt et 44. Mesenne-pimtl. Reltionen begyne: Mesenne pimtl Lige, fulomment tl Og hef n u no fonemme, t tllene vose volsomt. De 4 føste f ovenståene lige, fulomne tl h væet ent sien oltien. Det h føt til nogle ntgelse, som, u ve t igge på en opsevne el f eltionen n se, e foete. F.es. blev et foeslået, t et 5. fulomne tl ville hve 5 cife (ovevej selv hvofo), smt t et siste ciffe i tllene siftevis ville væe Men mon e lige, fulomne tl lti slutte på enten 6 elle 8? Bemæning 9.35.: Mn h lig funet et ulige, fulomment tl, og mn ve ie, om et sånt fines. Bemæning 9.35.: Det unne måse væe fistene t to, t e så helle ie e funet ulige, excessive tl, men et e e ftis. Pøv selv t tjee 945. He e summen f e egentlige ivisoe (ltså ivisoene fegnet 945) 975. Det e et minste, ulige, excessive tl. Bemæ esuen pimftoopløsningen f 945. Den sulle gene give ig en ié om, hv e æves f pimftoopløsninge, hvis et tl sl væe excessivt. Som fslutning på ette pitel se vi på en sætning, e blev postuleet i 845: Sætning 9.36: Betns postult: Mellem n og n ligge lti et pimtl fo n >. Bemæ, t e ie stå netop ét, men be et pimtl. Øvelse 9.37: Afpøv sætningen fo e 5 minste væie f n. Postultet blev bevist og eme gjot til en sætning i 850 f en ussise mtemtie Pfnuty Chebyshev. Så et e ie lle postulte, e sl vente flee hunee å på t blive bevist. 5

53 Kpitel 0: EULERS -FUNKTION (ntulige tl og 0) I ette siste teoetise og et ote pitel sl vi se på en speciel funtion: Definition 0.: Eules -funtion n ngive ntllet f tl, e e inbyes pimise me og mine en n, hvo n e et ntuligt tl. Bemæ, t 0 e blnt e tl, e bejes me, selvom et un h betyning fo n =. Opgve 0.: Bestem væiene f Eules -funtion fo n-væiene op til og me 0. Opgve 0.3: Hvile f neenståene sætninge e igtige: ) Hvis p e et pimtl, e p p b) n e lige fo n > c) Hvis p e et pimtl, e p p ) Hvis p e et pimtl, e p p e) Hvis p e et pimtl, e p p p f) Hvis p og q e pimtl, e p q p q g) Hvis p og q e pimtl, e p q p q h) Fo lle n > gæle ( n) n i) Fo lle n > gæle ( n) n j) Fo lle ulige pimtl p gæle p p ) Fo lle pimtl p gæle p p Øvelse 0.4: Fin bevise (elle folinge) på e igtige sætninge. En vigtig sætning, e unne hve væet bugt til t bevise nogle f ovenståene sætninge, men som he femføes uen bevis e: Sætning 0.5: Fo tllet n, hvo n n p n p... 3 s p p3 ps, hvo p ene e fosellige pimtl, e p p Egentlig n enne sætning ie opsives på enne måe inen fo e ntulige tl, bøene ie blive ntulige tl. Ve t gnge n (ngivet ve sin pimftoopløsning) in i pentesene n mn og hutigt inse, t mn lti ene me et ntuligt tl hvilet mn selvfølgelig også sl, hvis sætningen e sn. Esempel: Mn h, t Deme e: ps

54 Afsluttene bemæning 0.6: Og he unne mn måse så fohste sig til t tæne, t et e uhye let t bestemme n fo lle n. Men! Igen stoppes mn f mnglen på en effetiv metoe til t bestemme pimtlsopløsninge fo stoe tl. Absolut fsluttene bemæning 0.7: En f e i øjebliet væsentligste nvenelse f tlteoi e ypteing. RSA-ypteing e en metoe til t yptee meelelse, e blev opfunet i 977, og som buges i bl.. not og siing ve uvesling f infomtione ove intenettet. Den e nøje hængt op på poblemene me t fine pimftoopløsningen fo meget stoe tl, men hvis u pøve t sætte ig mee in i ette emne, sl u væe fobeet på, t u h bug fo mee vien om estlsse en gennemgået i pitel. Kpitel : TALOPGAVER FRA GEORG MOHR-KONKURRENCERNE: I ette pitel få u lov t slippe etiviteten løs. Det inehole en æe opgve, e h væet stillet til Geog Moh-onuencene, vs. u h un ppi og blynt til åighe. Det e ntuligvis un opgve omhnlene tl. Måse n u buge nogle f tnene f e 0 foegåene pitle, måse fine u selv på veje elle måse n u fine hjælp i e hints, e ngives une opgvene. Men l væe me t give op fo tiligt! Opgve.: Geog Moh 004 Vis, t hvis og b e hele tl, og me. b 9b e elelig me, så e b elelig Føste hint: Pøv t få omsevet utyet me e 3 le, så et omme til t inehole leet b, hvo jo e iviso. Og vué så hv u n ulee u f et. Anet hint: Hvis et pimtl gå op i et vttl, hv n mn så onluee? Løsning: Mn h b 9b b b, hvilet n tjees ve uegning. Hvis venstesien e elelig me, e højesien også, og et net le he e eleligt me, så e et føste også. D e iviso i vtet b og smtiig et pimtl, e også iviso i b, og eme i b b b. 54

55 Opgve.: Geog Moh 006 Af tllene,, 3,, 006 sl utges 0 fosellige. Vis, t mn n utge 0 fosellige tl me sum støe en 0039 på flee måe en mn n utge 0 fosellige tl me sum mine en Føste hint: Tæn på hv tllene n og (007 n) h me hinnen t gøe. Anet hint: Hvis u n utge n til n0 på m måe. Hvo mnge måe n u så utge (007 n) til (007 n0) på? Teje hint: Hvis en føste måe blive et tl mine en 0030, hv blive så en tilsvene nen måe? Fjee hint: Fines e 0 tl blnt e 006 mulige, hvis sum e 0040? Løsning: De to måe nævnt i net hint sve til t begyne i hve sin ene f tlæen f til 006. Så e e lige mnge måe. Hvis en ene måe give une 0030, n mn egne sig fem til, t en nen tilsvene måe give ove Dvs. e e lige så mnge måe, e give une 0030, som e give ove Og et ie e synelig svæt t fine 0 tl (pøv selv), e give 0040, så ve mn ltså, t e e flee, e give ove 0039 en mine en Opgve.3: Geog Moh 003 Bestem e hele tl n, hvo n 9n 4 e et pimtl. Føste hint: Fin ftoe t opsive utyet i. Anet hint: De to ftoe e en pentes me n plus fie, og en nen pentes e to gnge n plus. Tæn så på hv e æves, fø ette e et pimtl. Løsning: n 9n 4 n 4 n. Hvis et sl væe et pimtl, så sl nøvenigvis én f ftoene væe elle -. Dette e og ie tilstæeligt, men et n fpøves. De 4 n- væie, e gø en f ftoene til elle -, e: 0, -, -3 og -5. Ve insættelse ses, t et un e - og -3, e gø tllet til et pimtl, så et e e eneste mulighee fo n. 55

56 Kpitel : FACITLISTE Opgve.3: Divisoe: -4, -, -4, -7, -6, -3, -, -,,, 3, 6, 7, 4,, 4 Kvotiente: -4, -, -4, -7, -6, -3, -, -,,, 3, 6, 7, 4,, 4 Opgve.4: Divisoe: -, -6, -4, -3, -, -,,, 3, 4, 6, Kvotiente: -, -6, -4, -3, -, -,,, 3, 4, 6, Opgve.5: Divisoe: -3, -,, 3 Kvotiente: -3, -,, 3 Opgve.6: Divisoe: - og Kvotiente: - og Opgve.7: Det e ie igtigt. F.es. h tllet 0 ivisoen 6, hvo votienten blive 0, men 0 e ifølge efinition. ie en mulig iviso. Opgve.8: Nej. Opgve.: Et moesempel e = 5, b = 7 og c = 0. Opgve.8: ) 6 5 b) c) 4 3 ) 37 0 Opgve.9: A..., 0, 3, 6,, 8, 5,, 9, 36, 43, 50, 57,... Opgve.0: B..., 5, 8,, 6, 3, 0, 7, 34, 4, 48, 55, 6,... Opgve.: C...,, 4, 7, 0, 7, 4,, 8, 35, 4, 49, 56,... Opgve.: Det n ie le sig gøe. Opgve.3: Mn få et tl, e give esten ve ivision me 7 (vs. tllene 7 m ) Opgve.: D..., 6,,4,9,4,9,4,9,... Opgve.3: E..., 5, 9, 3, 7,,5,,7,... Opgve.4: F..., 3,,,0,,,3,4,... Opgve.5: 5 gå op i em. Opgve.6: 6 gå op i em. Opgve 3.4: c og e Opgve 4.4: Det n mn ie, 9 ie gå op i (jf. sætning 4.) Opgve 4.5: 0 og 0 Opgve 4.4: Det behøve ie t væe en pinciple est. Enhve est n buges. 56

57 Opgve 5.5: ) b) c) Opgve 6.: b) og c) Opgve 6..: Sån et pimtl fines ie, fo hvis p n, hvo n>, e p n n vs. et smmenst tl. Opgve 6.8:, 953, 49 og 9937 Opgve 6.9:, 3, 8, 543, 769, 307, 3989 og Opgve 6.0:,, 7, 3, 9, 87, 53, 39, 39, 493, 667, 430, 543, 7337, 339, 479 Opgve 6.: 4 Opgve 6.: 8 Opgve 6.3: 6 Opgve 6.4: 8 Opgve 6.5: 5 Opgve 6.6: 8 Opgve 6.7: 8 Opgve 6.3: Voes ntgelse i beviset v foet (hvilet v hele pointen), og eme n vi helle ie buge onlusionen. Opgve 6.33: 5 Opgve 6.34: Nej. Opgve 6.34.f: Opgve 6.34.g: Opgve 6.45: ) 9594 b) c) ) Opgve 6.46: ) J b) J c) J ) J Opgve 7.: Opgve 7.:, 3 og 4 Opgve 7.3: Det e et tl, hvo summen f lle ets positive ivisoe botset f tllet selv e lig me tllet selv. Mn buge båe betegnelsene pefet og fulomment. Opgve 7.4: 6 og 8 Opgve 7.6: Iniete bevis Opgve 7.9: Kooll. Opgve 7.: ) b) 73 c) 589 Opgve 7.6: Ftoenes oen e ligegylig. Opgve 7.8: Sætning

58 Opgve 8.: 84 å Opgve 8.8:. gng. Opgve 8.0: De e ensvinlee Opgve 8.:, b, c, e, g og h Opgve 8.3: c,, e, f og g Opgve 8.4: c, e og g Opgve 8.4: og c Opgve 8.5: b Opgve 8.6:, b, f, i og j Opgve 8.7: ) (0,9,69) b) (6,63,65) i) (0,,) j) (00,9999,000) Opgve 8.8: ) (,) b) (3,) c) (4,3) ) (7,4) Opgve 8.30: En etvinlet tents el e T ½ b, og e lige, blive ½ e helt tl. Opgve 8.34: ) Diofntis, etvinlet, heonis og pefet. b) Diofntis, etvinlet og heonis. c) Diofntis. ) e) Diofntis, heonis og pefet. Opgve 8.35: b, c og e Opgve 9.6.: b, e og g Opgve 9.8: Opgve 9.3: J. Opgve 9.6: M, M3, M9 og M37. Opgve 9.5: 3 og 5 5 og 7 og 3 7 og 9 9 og 3 Opgve 9.30.: J, lle pimtl høe til e efetive tl. Opgve 9.30.b: Defetive:,, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 0,, 3, 4, 5, 6, 7 og 9 Fulomne: 6 Excessive:, 8 og 0 Opgve 9.30.c: Foelingen e 75,% efetive, 0% fulomne og 4,8% excessive. Opgve 9.3: Nej. Opgve 9.33: 6, 8, 496 og 88 Opgve 9.34: Nej. Opgve 0.: 58

59 ; ; 3 ; 4 ; 5 4 ; 6 ; 7 6 ; ; 0 4 ; 0 ; 4 ; 3 ; 4 6 ; ; 7 6 ; 8 6 ; 9 8 ; 0 8 Opgve 0.3: ), b), e), f) og j) 4 ; 8 ; 59

60 60