Syllogistik teoretisk set

Transkript

1 Syllogistik teoretisk set Peter Øhrstrøm August 2009 Syllogistikken som den er overleveret til os kommer først og fremmest fra middelalderlogikken, som systematisk og pædagogisk bearbejdede Aristoteles syllogistik og gjorde den til centralt undervisningsstof på de europæiske universiteter. Den klassiske syllogistik handler om et ganske lille og stærkt formaliseret fragment af det naturlige sprog. Kun fire type af udsagn indgår i teorien: A-udsagn: Alle S er P, som vi formaliserer således: a(s,p) I-udsagn: Nogle S er P, som vi formaliserer således: i(s,p) E-udsagn: Ingen S er P, som vi formaliserer således: e(s,p) O-udsagn: Nogle S er ikke P, som vi formaliserer således: o(s,p) Vi bruger her S og P for de termer, der indgår i syllogistikkens udsagn. Det minder os om, at der som regel grammatisk er tale om et subjekt (S) og et prædikat (P). Man kan dog også bruge andre bogstaver (f.eks. M) på de pladser som S og P indtager ovenfor. S, P, M mm skal forstås som variable dvs. at disse termer i syllogistikkens udsagn kan variere frit over alle mulige begreber. A- og I- udsagn er bekræftende (jævnfør det latinske ord affirmo, som betyder jeg bekræfter ). E- og O- udsagn er benægtende (jævnfør det latinske ord nego, som betyder jeg benægter ). Hvis man benægter et A-udsagn, får man et O-udsagn (og omvendt). Idet vi bruger ~ som symbol for negationen, kan det skrives således: ~a(s,p) o(s,p) Hvis man benægter et I-udsagn får man et E-udsagn (og omvendt). Det kan formelt udtrykkes således: ~i(s,p) e(s,p) 1

2 Geometrisk set blev disse negationsrelationer mellem syllogistikkens udsagn i middelalderen anskueliggjort i et diagram som nedenstående, hvor pointen er, at resultatet af en negation (kontradiktionen) findes ved at følge figurens diagonaler: ALLE S ER P K O N T R Æ R E INGEN S ER P SUB- KON- RISKE SUB- AL- TRA TO- AL- TER- TER- NE- DIK- NE- REN- TRA TO- REN- DE KON- RISKE DE NOGLE S ER P S U B K O N T R Æ R E NOGLE S ER IKKE P Figuren er ellers karakteriseret ved, at vi øverst har de to almene eller universelle udsagnstyper (A og E) og nederst de to partielle (I og O). Desuden har vi de bekræftende (A og I) til venstre og de benægtende til højre (E og O). Den klassiske syllogistik benytter endvidere den observation, at i(s,p) i(p,s) e(s,p) e(p,s) Det vil altså sige, at nogle S er P betyder præcis det samme som, at nogle P er S. Desuden gælder det, at ingen S er P betyder præcis det samme som, at ingen P er S. 2

3 En klassisk syllogisme er et argument med to præmisser og én konklusion. Både præmisser og konklusion skal tilhøre de fire tilladte udsagnstyper, som er nævnt ovenfor. Det betyder, at konklusionen kommer til at handle om to begreber. Vi kalder dem her S og P. Præmisserne handler om de samme begreber samt om et yderligere begreb, M. (Vi bruger M her, fordi M ofte kaldes mellembegrebet ). De syllogismer, som kan opbygges på den måde, kan kategoriseres i fire typer (såkaldte figurer): 1.figur: y(m,p) x(s,m) 3.figur: y(m,p) x(m,s) 2. figur: y(p,m) x(s,m) 4.figur: y(p,m) x(m,s) Her står hver forekomst af x, y, z for en af udsagnstyperne: a,i,e,o. F.eks. kunne vi i 1.figur sætte a = x = y = z. Så får vi argumentet: Sådan set kunne præmisserne lige så godt have været anført i den modsatte rækkefølge: Det ville logisk set være samme argument. Men middelalderlogikerne besluttede, at benytte den førstnævnte rækkefølge som en slags normalform (eller standard form). Det betyder, at når man skal benytte middelalderteorien for syllogisme, skal man allerførst sørge for at nævne præmisserne i den rækkefølge, der passer med normalformen. Det vil sige, at man skal sørge for at nævne den præmis sidst, som indeholder konklusionens grammatiske subjekt (S ovenfor). 3

4 I hver af de fire figurer ovenfor kan x, y og z i princippet står for hver af udsagnstyperne: a,i,e,o. Det betyder, at der i hver figur kan dannes 64 mulige syllogismer (af og til også kaldt: syllogistiske argumentskemaer). I alt bliver der altså 256 mulige syllogismer. Det store spørgsmål er så, hvor mange af disse, der er gyldige, og hvor mange der er ugyldige. Det svar, som man gav i middelalderen på basis af Aristoteles teori var, at der er præcis 24 gyldige syllogismer, og altså dermed 232 ugyldige syllogistiske argumentskemaer. Studerende ved middelalderuniversiteterne måtte lære de 24 gyldige syllogismer i form af følgende remse: 1. figur: barbara, celarent, darii, ferio, barbarix, feraxo 2. figur: cesare, camestres, festino, baroco, camestrop, cesarox 3. figur: darapti, disamis, datisi, felapton, bocardo, ferison 4. figur: bramantip, camenes, dimaris, fesapo, fresison, camenop Selv om disse ord lyder latinske, er de det ikke. Det er kunstord, som skal hjælpe logikeren med at huske de logiske sammenhænge. Først og fremmest er det vokalerne i disse ord, der betyder noget. De tre vokaler i hvert ord kan bruges til at danne et gyldigt syllogismeskema i den pågældende figur. F.eks. betyder barbara i 1. figur, at i denne figur vil et a-a-a-skema være en gyldig syllogisme. Følgende er altså et gyldigt argument: Et andet eksempel er felapton i 3. figur, som svarer til følgende gyldige argument: e(m,p) a(m,s) Ergo: o(s,p) Når man i praksis skal bruge middelalderremsen med de 24 kunstord for at afgøre, om en given syllogisme er gyldig eller ej, er proceduren følgende: 1) Opskriv syllogismen i normalform. 2) Bestem syllogismens figur. 3) Check om der i middelalderremsen under den rigtige figur er et kunstord med syllogismens vokalrækkefølge. 4

5 De gyldige syllogismer som deduktivt system Det er imidlertid ikke bare vokalerne i de 24 kunstord (svarende til de gyldige syllogismer), der betyder noget. Også flere af konsonanterne skal minde brugeren om vigtige logiske forhold. Først og fremmest er det jo oplagt, at der kun benyttes fire forskellige begyndelsesbogstaver for de 24 kunstord, som også kan arrangeres på følgende måde: barbara 1, barbarix 1, baroco 2, bocardo 3, bramantip 4 celarent 1, cesare 2, camestres 2, camestrop 2, cesarox 2, camenes 4, camenop 4 darii 1, darapti 3, disamis 3, datisi 3, dimaris 4 ferio 1, feraxo 1, festino 2, felapton 3, ferison 3, fesapo 4, fresison 4 Her er de aktuelle figurnumre anført som indices. Pointen er, at 4 af de 24 gyldige syllogisme-skemaer har en særlig status. Det drejer sig om 4 syllogismer i 1. figur: barbara 1, celarent 1, darii 1, ferio 1. De er såkaldte axiomer, som tages som udgangspunkt for logisk udledning af de øvrige 20 gyldige syllogismer. De viser sig, at alle b-syllogismerne kan udledes af barbara 1, at alle c-syllogismerne kan udledes af celarent 1, at alle d- syllogismerne kan udledes af darii 1, og at alle f-syllogismerne kan udledes af ferio 1. Vi vil i det følgende se lidt nærmere på, hvordan disse logiske udledninger kan foregå. Udledning af b-syllogismerne Med udgangspunkt i barbara 1 kan de øvrige fire b-syllogismer udledes. Lad os først se på udledning af barbarix 1 og bramantip 4 ud fra barbara 1. Det kan foregå på følgende måde: Ergo: a(s,p) px-regel Ergo: i(s,p) m-regel Ergo: i(p,s) barbara 1 barbarix 1 bramantip 4 Den såkaldte px-regel tillader udledning af i(s,p) fra a(s,p). I øvrigt kan reglen også bruges til at udlede o(s,p) ud fra e(s,p). Man omtaler ofte reglen med henvisning til udtrykket, per accidens, som indebærer, at hvis man kan udtale sig sandt om alle elementer i en mængde, så må denne mængde have elementer. Den tankegang accepterer moderne logikere som regel ikke, idet man vil pege på, at en mængde jo kan være tom. Men 5

6 i oldtiden og i middelalderen havde man ikke begrebsmæssigt plads til ideen om den tomme mængde! Anvendelsen af px-reglen viser sig i navnet: barbarix 1. Anvendelsen af px-reglen og m-reglen viser sig i navnet: bramantip 4. Den såkaldte m-regel indebærer ombytning af S og P i et i-udsagn eller et e-udsagn i en konklusion i en syllogisme. Samtidig forudsætter m-reglen, at præmisserne byttes om, således at standard-rækkefølgen af præmisserne bevares. Det sker ovenfor ved udledning af bramantip 4. Udledning af baroco 2 foregår på følgende måde: c-regel ~a(s,p) Ergo: ~ o(s,p) Ergo: o(s,m) Ligeledes foregår udledning af bocardo 3 på følgende måde: c-regel ~a(s,p) Ergo: ~ o(s,p) Ergo: o(m,p) I begge tilfælde er der brug for den såkaldte c-regel, som indebærer brug af kontradiktion. Her er pointen, at man kan bytte om på konklusionen og en præmis, hvis man til gengæld negerer begge dele. Tankegangen er, at man ud fra argumentet, p & q r, kan udlede argumentet, p & ~r ~q. Hvis nemlig ~q ikke gjaldt, men derimod q sammen med p, ville det første argument betyde, at vi også ville have r, hvilket vil føre til en selvmodsigelse, hvis vi også har ~r (som jo er præmis i argumentet, p & ~r ~q). Altså må det første argument betyde, at vi også må godtage argumentet, p & ~r ~q. Det samme gælder i øvrigt for ~r & q ~p. Anvendelse af c-reglen viser sig i navnene: baroco 2 og bocardo 3 Bemærk placeringen af c erne i de to kunstord. 6

7 Øvrige udledninger De øvrige udledninger af de gyldige syllogisme-skemaer ud fra de fire axiomatiske skemaer, kan foregå på tilsvarende vis. I visse tilfælde får man imidlertid brug for endnu en regel, nemlig s-reglen (simpel omformning), der blot består af ombytning af termerne i et i-udsagn eller et e-udsagn i en af præmisserne. Reglen kan f.eks. bruges på følgende måde: e(m,p) Ergo: e(s,p) [celarent 1 ] e(p,m) Ergo: e(s,p) [cesare 2 ] e(p,m) Ergo: e(p,s) [camestres 2 ] e(m,p) Ergo: e(p,s) [camenes 4 ] Her kommer m-reglen tydeligvis også i spil. Anvendelsen af s- og m- reglerne fremgår i øvrigt af syllogismernes navne. Bemærk igen placeringerne af s i syllogismernes navne. Syllogistikken kan altså ses som et system, der tager udgangspunkt i fire axiomer, nemlig syllogisme-skemaerne barbara 1, celarent 1, darii 1, ferio 1. Med reglerne (px, m, c, s) kan man så udlede resten af de gyldige syllogismer. Anvendelser af reglerne på axiomerne kaldes beviser, idet man derved begrunder de udledte syllogismer. Axiomerne anses for at være selvindlysende, således at de ikke behøver at blive bevist (eller at de er deres egne beviser). Axiomsystemer blev studeret allerede i oldtiden inden for geometrien. Naturligvis bliver det især interessant, hvis der er tale om systemer, der til forskel fra syllogistikken er uendelige. I moderne tid har mange logikere interesseret sig indgående for axiomsystemer. Et af de helt store resultater herom fra det 20. århundrede skyldes Kurt Gödel, som i 1931 viste, at hvis et axiomsystem dækker et logisk område, der har mindst samme kompleksitet som teorien for de hele tal, så vil der ikke kunne opstilles et axiom-system, der gør alle sande udsagn på området beviselige. Lidt slagsordsagtigt kan man sige, at sandhed altid vil transcendere beviselighed, når vi taler om den komplekse verden. Reference: Peter Øhrstrøm: Logisk set, Systime