Credit Default Swaps

Transkript

1 Erhvervsøkonomisk insiu Kandidaafhandling Cand.Merc.finansiering Forfaere: Brian roelsen Carsen Lundof Vejleder: Peer Løche Jørgensen Credi Defaul Swaps - en analyse af forskelle og anvendelsesmuligheder for re modelilgange Handelshøjskolen i Århus Augus 8

2 EXECUIVE SUMMARY Recenly he marke for Credi Defaul Swaps CDS has grown rapidly and is now exceeding $4.6 rillion in noional amouns ousanding on open conracs. Considering he curren credi crisis, he likelihood of defaul and he pricing of CDS in erms of credi spread are of increasing concern. When modelling credi spreads here are generally hree differen approaches available; Srucural models, Inensiy models and models wih Incomplee informaion. he main objecive of his hesis is o analyse he differences beween hese hree approaches. From each approach one represenaive model is seleced; Leland & of 1996 is seleced as represenaive of he srucural models, whereas he Square roo model represens he inensiy class models and finally Duffie & Lando 1 is chosen as he model wih incomplee informaion. hese hree models are implemened and analysed, using daa on European companies including 3 iraxx Europe Main companies and 9 iraxx Xover companies. In srucural models, i is implicily assumed ha he modeller posses complee informaion, while he inensiy models only requiremen is informaion available in he marke. Models wih incomplee informaion are a hybrid beween hese wo exremes. he assumpion abou he informaion level is cenral when inerpreing he differences beween he hree model approaches. Furher differences beween he models are mainly a resul of his informaion assumpion. Leland & of 1996 build upon he Meron 1974 and Black & Cox 1976 opion approach, assuming ha defaul occurs when he asse value his he defaul barrier. Leland & of 1996 deermine he defaul barrier endogenously in he model, assuming ha he managemen srives o maximise equiy value. he implemenaion of his model reveals ha when he resuls are compared wih quoed marke spreads, he fi o marke is fairly weak. In financial insiuions he srucural models are used o conduc capial srucure arbirage, where he arbirageur eners posiions in boh he CDS- and equiy markes, in an aemp o profi from emporary mis-pricing. When he wo markes converge, he arbirageur profis. his hesis demonsraes he rading sraegy wih an example based on he case company Havas SA.

3 An analysis of he residual beween marke spreads and spreads from he Leland & of model shows ha i canno be rejeced ha omied facors can explain par of he residual. his sudy is relaed o he work by Ericsson e al.6, Eom, Helwege & Huang4 and Bernd, Jarrow & Kang7. Explicily we find ha he iraxx Europe Main index is able o explain par of he residual, which indicaes ha he model lacks some variables. he dynamics beween he marke spreads and model spreads are analysed using a Vecor Error Correcion model. Conrarian o curren empirical findings, which do no suppor any lead-lag relaionship beween he sock and CDS marke, his hesis reveals resuls ha suppor he hypohesis of he model spread being able o explain changes in he marke spread. he Square roo model is an inensiy model, where i is assumed ha he inensiy process follows a mean reversion process of Cox, Ingersoll & Ross1985 CIR ype. he model is fied o CDS spreads observed in he marke, and he model oupu is he four parameers of he CIR process, which are used o calculae he probabiliy of survival. he main advanage of inensiy models is ha hey fi he marke very well, which is he reason why hey are primarily used for CDS pricing and hedging in financial insiuions. his hesis demonsraes how he Square roo model can be used o hedge boh Base Poin Value and Jump Risk on a CDS porfolio wih he case company HAV FP as underlying. Base Poin Value represens he sensiiviy of he porfolio o parallel shifs in he CDS curve, while Jump Risk is associaed wih he defaul even iself. Finally boh are combined ino an inegraed hedging framework, which simulaneously hedges boh Base Poin Value and Jump Risk. Duffie & Lando 1 add incomplee informaion o he models of Leland 1994 and Leland & of Explicily noise concerning he value process is added as an inpu variable. he implemenaion shows however ha he heoreical foundaion for he model seems self-conradicory. On he one hand he model assumes ha he informaion is incomplee hence he modeller do no know he exac value of he firm, and on he oher hand he model requires a rue firm value explicily as inpu.

4 his hesis demonsraes how a modified version of Duffie & Lando s model can be implemened. he implemenaion builds on he Leland & of 1996 model, which is expanded wih incomplee informaion in erms of noise on he value process. he hesis argues ha he rue asse value can bes be approximaed wih he curren marke value. he resuls reveals ha he fi o marke spread is sill weak as concluded for he srucural model, however he resuls confirm ha when he informaion is made incomplee, he CDS spreads wih shor mauriy are increased, solving one of he main disadvanages of he srucural models. he choice of he bes approach depends on he purpose, since he models posses differen fields of applicaions. heoreically, srucural models are useful for he managemen o evaluae he disance o defaul, whereas boh srucural and incomplee informaion models can be used for capial srucure arbirage. In conras inensiy models are useful for hedging, risk managemen and pricing of Credi Defaul Swaps.

5 1. Indledning Problemformulering ak il: Afgrænsninger.... Definiion af Credi Defaul Swap Daa og udvælgelse af virksomheder Srukurelle modeller Grundlæggende eori Udvidelser af srukurelle modeller Leland & of modellen Prakisk implemenering af Leland & of modellen Grafisk illusraion af Leland & of modellen Hisorisk vs. implied volailie Rene Resulaer for Leland & of modellen Undersøgelse af fining Undersøgelse af korrelaion Undersøgelse af saisisk signifikans Anvendelsesmuligheder for Leland & of modellen Illusraion af kapialsrukur-arbirage sraegi Analyse af modelresidual Analyse af dynamik mellem model og marked Delkonklusion Inensiesmodeller Grundlæggende eori Udvidelse af inensiesmodeller Square roo modellen Prakisk implemenering af Square roo modellen Beregning af inegraler Kalibrering Opbygning af Square roo modellen Anal dage for kalibrering Resulaer for Square roo modellen Analyse af parameer-følsomhed Fining Forudsigelse af konkurs Anvendelsesmuligheder for Square roo modellen Hedging af Base Poin Value Hedging af Jump Risk Kombinere hedging af Base Poin Value og Jump Risk Delkonklusion Incomplee informaion modeller Grundlæggende eori ilgange il Incomplee informaion Duffie & Lando modellen Logarimisk ransformaion Overlevelses-sandsynligheden Prakisk implemenering af Duffie & Lando modellen Problemer ved kalibrering Opbygning af Duffie & Lando modellen Resulaer for Duffie & Lando modellen Anvendelsesmuligheder for Duffie & Lando modellen Delkonklusion Sammenligning af modeller Modelkriik Leland & of modellen Square roo modellen Duffie & Lando modellen Konklusion Lieraurlise Bilagsoversig... 99

6 Indholdsforegnelse CD CD 1 Kap. 3 Daa Deskripiv saisik Diverse daasæ A Kap. 4 Srukurelle modeller Leland of model Forklaring af residual Handelssraegi HAV FP Korrelaion mellem akiekurs og CDS Recovery analyse UI Regression Model MarkedsCDS Renefølsomhedsanalyse UI Resulaer for L-model Resulaer hisorisk vs implied vol Resulaer VEC-model M M M M M M A A M CD Kap. 5 Inensies modeller Square roo model Beregning af BPV Fining L vs Sqr Quebecor konkursssh Resulaer for Square roo model M A Kap. 6 Incomplee informaion modeller Duffie Lando model Resulaer for DL-model A M angiver a filen befinder sig i Mappen af samme navn. A angiver a der i mappen findes filer for Alle virksomheder.

7 Oversig over generelle symboler Fælles τ s r R B, idspunk idspunk for udløbmauriy Konkurs-idspunk Evalueringsperioden Risikofri rene Recovery rae Prisen på en risikofri nul-kupon-obligaion med løbeid Yτ Nominel recovery på underliggende obligaion FS Forsikringssum FH Yτ ex. 6 hvis R=4% FH Forsikringshovedsol ex. 1 S, CDS-spread på en konrak med løbeid der indgås på idspunk. Q q V CDS π Den kumulaive overlevelsessandsynlighed frem il æhedsfunkion for overlevelsessandsynlighed Værdien af en indgåe CDS-konrak Værdien af en lukke CDS-posiion Speciel for Leland-of og Duffie-Lando modellerne Eq Equiy bogfør værdi EqV Equiy value markedsværdi D Deb bogfør værdi DV Deb value markedsværdi C Coupon V Unleverede virksomhedsværdi værdi af underliggende akiver v Levered virksomhedsværdi værdi af akiver inkl. skaeskjold og falliomk µ Drif rae på V δ Akivernes payou rae σ EqV Volailie på equiy value σ V Volailie for unlevered virksomhedsværdi K Konkurs barriere α Konkurs-omkosninger θ Skae-procen P a Z m Vˆ v Hedge raio Akiekursen på idspunk Graden af søj Virksomhedens sande værdi i log-ransformaionen Drif i log-ransformaionen Virksomhedens værdi observere med søj Konkursbarrieren i log-ransformaionen Speciel for Square roo modellen λ Inensie for konkurs θ Den langsigede ligevæg for inensieen σ Volailieen på inensieen c rækkrafen mod ligevæg

8 Complee realism is clearly unaainable, and he quesion wheher a heory is realisic enough can be seled only by seeing wheher i yields predicions ha are good enough for he purpose in hand or ha are beer han predicions from alernaive heories. Friedman, INDLEDNING De finansielle marked for køb og salg af krediforsikringer vha. Credi Defaul Swaps CDS har i de senese år være i eksplosiv væks. I perioden december 5 - juni 7 voksede udesående CDS-konraker fra 13,9 il 4,6 billioner $ 1 BIS, 7. il sammenligning seg udesående akie-derivaer kun fra 5,8 il 9, billioner $ i samme periode, hvilke vidner om, a både sørrelsen og væksen i CDS-markede har være enorm. Den finansielle krise, der sarede i. halvår af 7, har markan øge fokus på kredimarkede. Beydningen af nøjagige modeller il prisfassæelse og afdækning af kredirisiko er derfor ikke bleve mindre i den senese periode. Imidlerid er der endnu ikke konsensus om en markedsmodel for prissæning og modellering af CDS-spread. Denne opgave analyserer derfor de forskellige ilgange il prissæning og modellering af CDSspread Problemformulering I lierauren findes der re hovedilgange il modellering af CDS-spread; srukurelle modeller, inensiesmodeller og incomplee informaion modeller. Formåle med denne opgave er a undersøge forskellene mellem disse re hovedilgange il modellering af CDSspread, med fokus på den prakiske anvendelse af modellerne. Opgaven henvender sig primær il banker, andre finansielle insiuioner, sore erhvervsvirksomheder sam andre med ineresse for modellering af kredirisiko. Opgavens hovedproblemsilling kan formuleres således: Hvad er forskellene mellem de re hovedilgange il modellering af CDS-spread og hvorledes kan modellerne anvendes i praksis? 1 Mål ved noional amoun ousanding 1

9 De re hovedilgange sammenlignes ved udvælgelse af re konkree modeller, der anses for repræsenaive for hver sin ilgang. Opgavens hovedspørgsmål søges besvare via følgende underspørgsmål: Hvilke anagelser ligger der il grund for de udvalge modeller, herunder anagelsen omkring informaionsniveaue i modellerne? Hvordan kan de udvalge modeller implemeneres og kalibreres i praksis? Hvordan fier de udvalge modeller i forhold il fakisk observere markedsdaa? Hvilke anvendelsesmuligheder ligger der i de udvalge modeller? Opgaven opbygges på følgende vis med henblik på a besvare problemsillingen: Indledningsvis redegøres der for begrebe CDS og daagrundlage for opgaven kap. og 3. Dernæs analyseres én modelilgang af gangen, hvor de fire underspørgsmål forsøges besvare med udgangspunk i én repræsenaiv model for hver ilgang kap. 4, 5 og 6. På baggrund af analyserne af de re hovedilgange søges opgavens hovedspørgsmål besvare ved vurdering og sammenligning af de re modeller kap. 7. Endelig afslues opgaven med modelkriik og konklusion kap. 8 og ak il: Peer Løche Jørgensen for vejledning på opgaven, homas Kokholm for inspiraion il valg af emne og modeller, Peer ind Larsen for afklaring af spørgsmål vedrørende modeller, David Lando og Kay Giesecke for henvisning il lieraur, Mads Fredsgård med inspiraion il prakisk anvendelse af inensiesmodellen Afgrænsninger Indenfor hver område srukurel, inensie, incomplee vælges én repræsenaiv model, som implemeneres og anvendes. Øvrige modeller behandles kun kursorisk. Denne opgave har ikke il hensig a udlede nye maemaiske eorier og modeller eller efervise eksiserende maemaiske formler. Formåle med opgaven er derimod prakisk anvendelse af de udvalge modeller. Der afgrænses fra behandling af Collaeralized Deb Obligaions CDO, dvs. en porefølje af CDS er opdel i rancher, hvilke beyder, a der ikke fokuseres på korrelaioner mellem forskellige virksomheders falliidspunker eller korrelaioner i en porefølje af forskellige CDS er. Endelig ses der i opgaven bor fra modparsrisiko ved CDS.

10 . DEFINIION AF CREDI DEFAUL SWAP En Credi Defaul Swap CDS kan ses som en ganske almindelig forsikring mod en virksomheds konkurs, hvor en forsikringskøber løbende bealer en præmie mod il gengæld a modage en forsikringssum, hvis virksomheden går konkurs. En CDS-konrak kan defineres på følgende måde Duffie, 1999: o parer A og B indgår en konrak med udløb, medmindre par C går konkurs på idspunk τ, der skal ligge inden. Dee noeres τ < og udløb af en CDS er således minτ,. Afalen er, a B modager e besem beløb i forsikringssum FS fra A i ilfælde af C s konkurs. Beløbe er ypisk forskellen mellem fordringens underliggende forsikringshovedsol FH og markedsværdien Yτ på konkursidspunke af fordringen. I CDS ens løbeid bealer B il A CDS-spreade S som kompensaion. Dee er illusrere i figur.1. Figur.1 Oversig over swap flows Kilde: Goldman Sachs 4 Under anagelse af perfeke markeder, kan en CDS imidlerid også dannes syneisk ved brug af e risikofri akiv og e risikabel akiv på virksomhed C. Dee er illusrere i figur., hvor den syneiske CDS kan ses il højre i figuren. Ved a købe de risikofrie akiv med variabel rene og hovedsol FH=1, og samidig gå kor i de risikable akiv, må B løbende beale forskellen S mellem de o kuponer. Ved konkurs på virksomhed C skal B kun beale Yτ for a købe akive i markede, mens de risikofrie akiv kan sælges il kurs 1. Ved konkurs modager B således neo 1-Yτ. Dvs. der anages ingen ransakionsomkosninger, ingen arbiragemuligheder, korsalg illad, ingen ska. 3

11 Figur.: Illusraion af syneisk CDS Noe: Basere på Duffie 1999 En CDS er ifølge Duffie1999 sammensa af o komponener, som de ses il højre i figur.. For køberen af beskyelsen B er disse o komponener følgende: 1. Modagelse af forsikringssum FS på 1-Yτ af de underliggende ved τ hvis τ <.. Bealing af en annuie med ydelsen S indil min,τ. Værdien af en CDS er således forskellen mellem nuidsværdierne af ovensående o komponener, og anages der indledningsvis diskree bealinger, kan værdien beregnes ved følgende sammenhæng Goldman Sachs, 4: V CDS, = PVforsikringssum PVspreadbealinger V CDS 1 R B, s Q s1 Q s S, B, s Q s1, s= 1 s= 1 = hvor R angiver den procenvise recovery, dvs. R = Y τ 1, B,s er diskoneringsfakoren for en enhed modage på idspunk s og Q s-1 -Q s angiver sandsynligheden for en kredihændelse i periode s. S, er CDS-spreade for en CDS med løbeid, mens Q s-1 angiver sandsynligheden for overlevelse frem il idspunk s-1. En nyslåe CDS-konrak skal iniial have en værdi V CDS på nul. Isoleres S, kan CDSspreade derfor beregnes som: S, 1 R B, s Q s= 1 = s= 1 B, s Q s1 s1 Q Spreade på en CDS besemmes således af forholde mellem nuidsværdierne af den forvenede fremidige forsikringssum som modages ved konkurs, dividere med summen af de forvenede fremidige præmiebealinger. s 4

12 Relaionen kan nu gøres koninuerlig ved a inegrere over iden i inervalle [;], dvs. der inegreres over hele CDS ens løbeid. Diskoneringsfakoren B,s bliver derfor lig ages der udgangspunk i værdiformlen Bajlum & Larsen, 7a: rs rs V CDS, = 1 R e qsds S, e Qs ds, 1 rs e. Igen hvor qs er den risikoneurale æhedsfunkionen for konkurssandsynlighed, mens Q angiver den risikoneurale overlevelses-sandsynlighed. Ved som ovenfor a sæe V CDS lig nul og isolere S, fås relaionen for CDS-spreade i koninuer form: rs 1 R e qsds S, = rs e Qsds Formel 1 og bruges i resen af opgaven il a beregne værdien af CDS sam CDSspreads, hvor direke inpu er Recovery rae og diskoneringsfakor. Herudover indgår æhedsfunkionen for konkurssandsynlighed sam overlevelses-sandsynligheden, hvorfor disse som minimum skal kunne esimeres ud fra de valge modeller. 5

13 3. DAA OG UDVÆLGELSE AF VIRKSOMHEDER il brug for den empiriske analyse af de re forskellige modeller i opgaven er de nødvendig med en række markeds- og virksomhedsdaa, hvor førse krierium for valg af virksomheder er, a der eksiserer likvide CDS-priser. Derfor er de valg a benye medlemmer af iraxx Europe Main-indekse og iraxx Xover-indekse herefer benævn hhv. Europe og Xover, der er indeks over de mes likvide europæiske virksomheder. Europe besår af de 15 mes handlede europæiske CDS er for invesmen grade virksomheder dvs. raing skal være minds BBB-/Baa3 for hhv. S&P og Moody s kaegorisering, mens Xover indekse besår af de 4 mes handlede CDS er for high-yield virksomheder dvs. alle øvrige virksomheder. De er valg a anvende både invesmen grade og high-yield virksomheder, da srukurelle modeller generel ofe har svær ved a esimere e posiiv CDS-spread for virksomheder med høj raingdvs. sor disance-o-defaul. Ved anvendelse af virksomheder fra begge grupper er de mulig a sammenligne disse i den senere analyse. I analyserne anvendes perioden handelsdage il sammenligning af modellernes resulaer med de fakiske markedspriser. Medlemmer af iraxx indeksene bliver udskife hver sjee måned. Såfrem analysen udføres på de nuværende indeksmedlemmer i Xover risikeres de, a resulaerne bliver påvirke af looser-bias dvs. der anvendes virksomheder, der ypisk er komme i økonomiske vanskeligheder i den akuelle periode. Derfor anvendes de daværende medlemmer af de o indeks pr , da de eferfølgende har haf mulighed for både a udvikle sig posiiv såvel som negaiv. I abel 3.1 ses deskripiv saisik for de væsenligse variable anvend i analyserne. 1 år CDS Gældsandel Middelværdi ,99%,77% 3,4 77,9 11, 49,89% 6,6 4,% 4,9% Median ,9% 3,1% 15,3 54, 81,5 49,38% 6,1 4,1% 4,8% Sd.afvigelse ,48% 1,3% 3,7 7,5 9,9 14,6%,6,56%,34% Maksimum ,83% 5,7% 549,9 67, 71,1 85,54% 14,71 4,88% 4,97% Minimum ,%,% 1,1 7, 13, 17,9% 1,79,8% 3,39% Noe: Gældsandel er beregne som: bogfør gæld / virksomhedens værdi. Median og Sanderdafvigelse er basere på de 39 virksomheders gns. værdi. Alle anvende daasæ er vedlag på CD i mappen Kap. 3 Daa Varighed Gæld 1-årig swap rene 1-årig swap rene abel 3.1 Deskripiv saisik for for anvende variable Værdi EK mio Akievolailie Dividende 1 år CDS 5 år CDS Daglige CDS-spread for 1 il 1 års varighed er for den enkele virksomhed ilvejebrag vha. Daasream, mens øvrige daa nævn i de følgende er fremskaffe vha. Bloomberg. Den daglige markedsværdi af egenkapialen EqV beregnes som miderkurs ved lukkeid muliplicere med analle af udesående akier. Egenkapialens gns. dividende-bealing 6

14 esimeres som e 5-årig glidende gennemsni. For den enkele virksomhed benyes kvaralsmæssige eller halvårlige regnskabsdaa for den bogføre værdi af gælden D mens reneomkosningerne baseres på årsregnskabe. Regnskabsdaa er i øvrig hene op il 5 år inden 1. januar 6, da disse anvendes il beregning af glidende gennemsni og il kalibrering af modeller. Den gns. varighed af virksomhedens gæld beregnes som e væge gns. af kor gæld<1 år, lang gæld>1 år sam øvrig ikke-renebærende lang gældf.eks. pensions-forpligelser mm. Den kore gæld anages a have en gns. varighed på,5 år, mens gns. varighed for den lange gæld beregnes som e væge gns. af varigheden for alle virksomhedens lån og obligaionsudsedelser over 1 år. De anages, a varigheden for den lange gæld har være konsan gennem perioden. Varigheden af den øvrige ikke-renebærende lange gæld er ukend. Ifølge Ericsson e al. 6 er e fornufig esima for varigheden af ny-udsed gæld 6,76 år, hvilke svarer il en gns. varighed på 3,38 år, når gælden rulles løbende. De anages derfor, a de udvalge Europe og Xover virksomheder oal se i gns. har en gældsvarighed på 3,38 år, hvilke kræver, a gns. varighed af den øvrige ikke-renebærende lange gæld sæes il 8,1 år. Som mål for den risikofrie rene benyes daglige observaioner for 1-1 årige euro-swap rener, der jf. Lando5 er en god approksimaion for den risikofrie rene. Endelig anvendes en 3 måneders implied akievolailie hene fra opionsmarkede via Bloomberg, hvor der ages e gns. af implici pu- og call-volailie. 3 Udgangspunke er som nævn hhv. 15 og 4 virksomheder for Europe og Xover indekse. Samlige finansielle virksomheder 5 sk. og uiliy virksomheder 19 sk. udelades pga. deres specielle balanceopbygning jf. Bajlum & Larsen7a. Herudover har de være nødvendig a frasorere adskillige virksomheder pga. fejlbehæfede eller manglende idsserier. Frasorering er ske som følge af mangler ved: akiekurser1 sk., regnskaber9 sk., implied volailie1 sk. og CDS priser11 sk.. ilbage er således bleve 3 og 9 virksomheder fra hhv. Europe og Xover indekse, hvilke fremgår af bilag 1. I opgaven anvendes de o case-virksomheder HAV FP og UI GR il a illusrere resulaer. Virksomheder benævnes i opgaven ved deres Bloomberg navn, mens de fulde navn ligeledes fremgår af bilag 1. Samlige idsserier er bleve undersøg for fejl, og som de fremgår af ovensående, er en række virksomheder sorere fra pga. fejlbehæfede eller mangelfulde daa. De kan imidlerid ikke udelukkes, a der findes yderligere mindre fejl i daa eller søj som følge af illikvide daa, hvorfor resulaer og konklusioner nødvendigvis må acceperes med dee forbehold. 3 Der eksiserer ofe en lille afvigelse mellem implied pu- og call-volailie, hvilke formodes a være en konsekvens af forskellig likvidie og eferspørgsel sam a opionerne kan afvige lid fra a være A-he-money 7

15 4. SRUKURELLE MODELLER I dee kapiel redegøres indledningsvis for den grundlæggende eori og udvidelsesreningerne for de srukurelle modeller. Herefer følger eori, prakisk implemenering, resulaer og anvendelsesmuligheder for den udvalge model. Afsluningsvis udføres saisisk analyse på modellens residualer og dynamik Grundlæggende eori De srukurelle modeller baserer sig alle på den samme grundlæggende eori, hvor de anages a en virksomhed går konkurs, hvis værdien af dens akiver bliver mindre end dens gæld. Srukurelle modeller er derudover kendeegne ved, a modelkonsrukøren implici anages a have fuld informaion om virksomhedens forhold og værdi. Grundidéen bag srukurelle modeller baserer sig på Black & Scholes1973 sam Meron1974, der anager, a egenkapialens værdi EqV kan ses som en europæisk callopion på virksomhedens akiver. I Meron modellen anages ingen ransakionsomkosninger, ingen skaer, ingen konkursomkosninger og ingen ilbagekøb af akier Giesecke & Goldberg, 4b. Herudover kan ny gæld ikke udsedes, førend den eksiserende gæld forfalder. I Meron modellen anages de, a akionærerne har køb en call-opion på virksomhedens akiverv som de underliggende, med en exercise-kurs svarende il virksomhedens bogføre gæld D. På udløbsidspunke er værdien af egenkapialen dermed give ved EqV = call = maxv-d,. Markedsværdien af gælden DV findes som forskellen mellem akivernes værdi og EqV, dvs. DV = V call. Ved hjælp af pu-call parieen kan værdien af gælden også udrykkes som en nul-kupon frasolg en pu-opion, dvs. DV= D Pu. Inuiionen er, a krediorerne har skreve en puopion il ejerne, ide ejerne har reen il a sælge virksomhedens akiver il krediorerne for en exercisepris svarende il gældens nominelle værdi. Værdien af den skrevne opion beregnes ved udløb som; Pu = maxd-v,. På udløbsidspunke gælder derfor følgende sammenhæng for gældens værdi: DV = V Call = D Pu il modellering af ovensående kræves en model for udviklingen i værdien af virksomhedens akiver, og de anages derfor, a akivernes værdi følger en geomerisk brownsk bevægelse GBM diffusionsproces, som forbliver ikke-negaiv: dv = µ V d + σ V dw, V hvor µ angiver drif-raen og W er en sandard Brownsk bevægelse under de fysiske - sandsynlighedsmål. Yderligere anages de, a e akiv med prisudvikling dv handles fri 8

16 win securiy, sam a e risikofri pengemarkedsinsrumen med coninuous compounded rene [e r ] handles fri. Værdien af virksomhedens akiver V og volailieen på akiverne σ V er imidlerid ikke direke observerbare, men må esimeres. Ifølge Hull6 kan denne esimaion foreages vha. o beingelser. Den førse beingelse følger direke af opionsankegangen, ide egenkapialens værdi i dag skal være lig værdien af en call-opion på virksomhedens akiver, og kan simpel beregnes vha. Black-Scholes 1973 formel: r EqV = C V, D, r,, σ = V Nd1 + D e Nd 3 BS V hvor: lnv d1 = D + r +σv σv d = d1σ V hvor N angiver den kumulaive sandardnormalfordeling. Beingelse nummer o følger af Io s lemma ved brug af opion-dela, der defineres som EqV / V, dvs. ændringen i opionens værdi når de underliggende ændrer værdi, og vha. Io s lemma kan den besemmes ved: σ EqV = N d1 σ V 4 EqV V I ovensående o beingelser indgår i al syv variable, hvoraf de fem er kende; D, r,, EqV, σ EqV, mens de o sidse V og σ V er ubekende. Vi har således o ligninger med o ubekende og kan løse disse for V og σ V. Når V og σ V er funde, kan den risikoneurale konkurssandsynlighed ifølge Hull6 beregnes ved N-d, og overlevelses-sandsynligheden Q kan besemmes som: Q = 1 - N-d Endelig kan CDS-spread beregnes vha. formel, når overlevelses-sandsynligheden Q er kend. Ovensående principper vedrørende opsilling af de o beingelser il besemmelse af V og σ V vil senere blive anvend ifm. den prakiske implemenering af en srukurel model. 4.. Udvidelser af srukurelle modeller En sor svaghed ved Merons model er, a konkurs kun kan ske på e besem idspunk; ved gældens forfald. Derfor indføre Black & Cox1976 en konkursbarriere K. Konkurs indræffer nu førse gang V passerer under K, hvormed modellen bliver en firs passage model. Konkursbarrieren kan forolkes som en implemenering af de safey covenans, som långivere ypisk inkluderer i en låneafale, eksempelvis i form af krav il minimum solidie eller renedækning. Black & Cox idéen med en barriere er grundlage for den øvrige udvikling indenfor srukurelle modeller. 9

17 I de radiionelle srukurelle modeller har man ypisk fassa konkursbarrieren som værende lig gældens nominelle værdi, således a virksomheden går konkurs, når akiverne er mindre værd end gælden. Alernaiv er de også ofe anvend a approksimere konkursbarrieren som værdien af den kore gæld plus halvdelen af den lange gæld, ide de anages a en virksomhed fakisk kan overleve i en periode, selvom akivernes værdi er mindre end gældens sørrelse. Dee princip anvendes neop i Moody s KMV, hvilke er en model, som anvendes mege i praksis. Her udnyes opionsankegangen il a esimere den forvenede konkursafsand. De er dog ikke opionsprismodellen, der bruges il esimering af konkurssandsynligheden som i Meron. Derimod udnyes de, a man ved hjælp af hisoriske daa kan esimere den konkursfrekvens, som svarer il en given konkursafsand jf. Crosbie & Bohn. En anden udvidelse kan ske ved a indføre konkursomkosninger, der medfører a kredispreade øges, hvilke bl.a. behandles i Longsaff & Schwarz1995, Collin-Dufresne & Goldsein1 sam Kim, Ramaswamy & Sundaresan1993. Leland1994 kommer med si bud på, hvordan konkursbarrieren kan fassæes endogen i modellen af virksomhedens ledelse, og resulaerne herfra bruges i Leland & of Her anages de ligeledes, a virksomheden kan overleve en periode, hvor akivernes værdi ligger under gælden. Leland1998 udvider 1994 udgaven ved a age højde for asse subsiuion, dvs. a virksomheden efer gælden er udsed, vælger a udskife idligere akiver med nye mere volaile akiver, hvilke naurligvis forøger volailieen på virksomhedens værdi. Den grundlæggende Black & Cox model blev udvide af Longsaff og Schwarz1995 il også a age højde for sokasisk rene, og blev forbedre af Collin-Dufresne & Goldsein1. Herved kan korrelaionen mellem rene og kredi-spread modelleres. Der kræves dog særke anagelser, hvis renevolailieen skal påvirke kredispænde væsenlig. Empirisk er sammenhængen mellem reneniveau og kredispænd svag, ide ingen af modellerne viser en økonomisk signifikan påvirkning fra renen på ændringer i kredi-spread Duffee, Modeller med sokasisk rene er også behandle i Kim, Ramaswamy & Sundaresan1993, hvor renen følger en CIR-proces. Lando4 vurderer konsekvensen, når gælden afdrages i raer. Her fokuseres på den løbende bealing af kuponer. Finansieringen af kuponerne kan komme fra o kilder: Frasalg af akiver eller en udvidelse af egenkapialen. Man må således gøre sig anagelser om finansieringen af de enkele kuponbealinger, ide værdisæningen af den førse kupon afhænger af eferfølgende kuponer. De er i denne opgave valg a implemenere Leland & of 1996 modellen. Denne model anses som repræsenaiv for den srukurelle ilgang, ide den inkluderer både konkursbarriere og virksomhedens kapialsrukur, samidig med a der ofe refereres il den i lierauren. Leland & of modellen præseneres i de følgende. 1

18 4.3. Leland & of modellen Leland & of 1996 herefer benævn L er kendeegne ved, a konkursbarrieren K i modellen besemmes endogen af virksomhedens ledelse, som ønsker a opimere værdien af virksomhedens værdi på vegne af akionærerne. Hermed bliver konkurs endogen, ide konkursidspunke besemmes i modellen. Der anages fuld informaion om virksomhedens forhold. Gældens værdi De anages, a virksomhedens gæld udsedes i form af sående lån med udløb år fra udsedelsen. I modsæning il andre srukurelle modeller inddrages varigheden af gæld dermed hel eksplici i L-modellen. Virksomhedens samlede gæld D anages uændre gennem iden, og hver år udsedes der obligaioner af sørrelsen D/. Samidig forfalder en ilsvarende del af virksomhedens eksiserende gæld. Dvs. hvis løbeiden eksempelvis er 5 år, skal 1/5 af virksomhedens gæld hver år forlænges. Gældens fremidige forfaldsidspunker er dermed uniform fordel i inervalle, +. Ved a lægge den årlige kuponbealing C og afdrag sammen findes virksomhedens samlede årlige gældsbyrde som C + D/. Markedsværdien af gælden DV kan beregnes ved: DV C r C r 1 e r r C r V ; K, = + D I + 1 α K J 5 hvor beregningen af I og J fremgår af bilag og α angiver de procenvise konkursomkosninger. Virksomhedens værdi L følger Miller & Modigliani1958 sam sørseparen af corporae finance lierauren ved a anage, a værdien af virksomhedens underliggende akivieer er uafhængig af gældssrukuren. Akivernes værdi V anages a følge en geomerisk brownsk bevægelsegbm give ved: δ V d + V dz dv = µ σ V, hvor µ er den oale forvenede afkasrae af akivernes værdi, δ er den konsane payou-raio il långivere og akionærer, som anages uafhængig af virksomhedens gearing, mens dz er en sandard Brownian moion. Processen forsæer indil V<K. Virksomhedens markedsværdi besemmes af akivernes underliggende værdi illag værdien af skaeskjolde i virksomhedens leveid og frarukke nuidsværdien af omkosningerne ved fremidig konkurs. Skaeskjolde anages årlig a andrage sørrelsen θ*c så længe V>K, hvor 11

19 θ angiver skaeprocenen. Ved konkurs miser långiverne α*k. Virksomhedens samlede værdi beregnes som Leland & of, 1996: vv;k = akivernes unlevered værdi + PVskaeskjold- PVkonkursomk. v V; K x x θ C V V V = + 1 αk r 6 K K Egenkapialens værdi Når virksomhedens samlede værdi og markedsværdien af gælden er funde, kan værdien af egenkapialen EqV simpel besemmes som forskellen mellem formel 6 og formel 5: EqV V ; K, = v V ; K DV V ; K,, 7 Konkursbarriere Konkurs indræffer, når værdien af akiverne rammer konkursbarrieren. De anages, a virksomhedens ledelse fassæer konkursbarrieren efer a gælden er udsed. Vilkårene for lånene er således vedage, hvorfor ledelsen kan fokusere udelukkende på akionærernes ineresser, nemlig maksimering af egenkapialens værdi. Ledelsens opgave er a finde den værdi, der medfører den højs mulige egenkapialsværdi ved a besemme den konkursbarriere K, som opfylder ligningen: EqV V ; K, V V = K = Løsningen for K il ovensående maksimeringsproblem er: C / ra /r B A D /r θ C x / r K = 8 1+ αx 1 α B Beregning af A, B og x fremgår af bilag. Leland & of 1996 viser, a når, vil K 1θ Cx / r 1 + x og når, vil K D 1 α. K er derfor direke afhængig af løbeiden på gælden. Jo længere løbeid, jo lavere vil konkursbarrieren blive, ide den årlige gældsbyrde reduceres. Barrieren kan dermed le befinde sig under gældens nominelle værdi. Raionale bag dee kan illusreres ved e eksempel. Anag a =5, D=1 og C=1, da vil den årlige gældsbyrde være lig 3 beregne som 1 + 1/5. Virksomheden skal således blo kunne finde finansiering for de 3 for a forsæe drifen endnu e år, hvilke kan ses som srike-prisen på en compound opion. Hvis gælden ikke indeholder covenans, vil krediorerne ikke have anledning il a lukke virksomheden, så længe den blo bealer sin løbende renebyrde, uafhængig af akivernes akuelle markedsværdi. Omvend vil barrieren ligge over gældens nominelle værdi når løbeiden er kor, give α er posiiv. Her vil virksomheden således gå konkurs selvom v > D. Dee kan måske umiddelbar virke ulogisk, men man skal huske på, a i Leland & of besemmes konkurs af ledelsen, når gældsbyrden ikke længere kan dækkes af de løbende cash flow, og akionærerne ikke ønsker 1

20 a skyde penge ind il a dække gældsbyrden. Virksomheden vil således kun beale gældsbyrden og forlænge leveiden, når værdien for akionærerne forøges. Med andre ord sker konkurs når compound opionen er ude af pengene. Ovensående sammenhæng mellem og K er en af de hel sore forskelle mellem Leland & of og andre srukurelle modeller, hvor og K ypisk er uafhængige. Overlevelses-sandsynlighed og CDS-spread Ved prissæning af CDS er virksomhedens overlevelses-sandsynlighed naurligvis en cenral sørrelse. Anages de, a CDS en har løbeiden, er de således afgørende om virksomhedens konkurs sker før eller efer. I L-modellen kan den risikoneurale overlevelses-sandsynlighed Q for perioden [,] beregnes ved: a V = 1 N h + N h, 9 1 K Q hvor h 1, h og a fremgår af bilag. Q kan nu indsæes i formel il beregning af CDS-spread: rs 1 R e qsds S, =, rs e Qsds Ved a udføre inegreringen af inegrale i nævneren og eferfølgende omskrive udrykke kan modellens CDS-spread jf. Bajlum & Larsen 7a besemmes som: G S, = r 1 R r 1 1 e Q G rs hvor G beegner inegrale e qsds, og lukke løsning for G fremgår af bilag. Formel 1 anvendes i de eferfølgende il a beregne CDS-spread for L-modellen Prakisk implemenering af Leland & of modellen Ved den prakiske implemenering af L-modellen sæes konkursomkosningerne som i Duffie & Lando 1 il α=,3; skaeprocenen θ=,35, mens gns. varighed for gæld beregnes individuel for den enkele virksomhed. Recovery of face value sæes il 4%, hvilke svarer il den værdi, som ofe benyes i den eoreiske lieraur. På samme måde som Bajlum & Larsen 7a og Ericsson e. al. 6 anages de, a den gennemsnilige kuponrae svarer il den risikofrie rene, hvormed den årlige kuponbealing C er give ved C=rD. Asse payou-rae δ beregnes som e 5 års hisorisk væge gennemsni af dividende rae og relaive reneomkosninger: δ = reneomkos ninger D EqV + Dividende _ rae 11 D D + EqV D + EqV 13

21 For a besemme den hisoriske volailie σ V anvendes en ieraiv procedure, som beskreve i Vassalou og Xing4, ide både σ V og V er ukende, men samidig også indbyrdes afhængige. Som iniial esima på σ V for de sidse 5 handelsdage anvendes σ EqV i samme periode. For hver dag i perioden esimeres den værdi af V, der sikrer, a modellens beregnede EqV er lig den fakiske EqV i markede. Dermed opnås daglige esimaer for V Dernæs beregnes σ V ud fra V-værdierne, og denne σ V anvendes nu som inpu for næse ieraion. Denne procedure forsæes indil σ V for o på hinanden eferfølgende ieraioner konvergerer, hvor vi har sa konvergenskrierie il en maksimal afvigelse på,1 procen. Lando4 fremhæver i øvrig, a denne meode er a forerække, når gældsandelen varierer markan over id, hvilke vil være ilfælde for nogle af de valge virksomheder. I praksis har vi implemenere den ieraive procedure vha. Excel og VBA, hvor σ V re-esimeres hver. handelsdag vha. ovennævne meode. Som alernaiv il den hisoriske volailie ønskes de også undersøg, hvilken effek de har a anvende implied volailie. I modsæning il den hisoriske volailie indeholder den implicie volailie markedes fremadreede forvenninger for en akies volailie. Som esima på den implicie volailie anvendes 3 måneders implied akievolailie hene fra opionsmarkede. Som beskreve i de grundlæggende eori-afsni kapiel 4.1 er både σ V og V ukende, men kan besemmes numerisk, ide følgende o beingelser skal være opfyld: EqV = f V, σ V, θ 1 σ EqV EqV σ V = 13 V V EqV Formel 1 svarer il formel 3 i kapiel 4.1, men beregnes i L-modellen vha. formel 7 for EqV. Formel 13 svarer il formel 4, men førse brøk δ EqV δv beregnes numerisk som en forward difference jf. Wilmo7, dvs. man måler ændringen i EqV ved a øge V med 1. I øvrig vil man kunne observere, a δ EqV δv kan blive sørre end 1, selv om dee ikke umiddelbar er inuiiv, a EqV kan vokse hurigere end V. Forklaringen herpå skal findes i de fakum, a EqV er give som forskellen mellem levered firm value og gæld, dvs. EqV = vv D. Således vokser vv dvs. levered firm value ypisk mere end V unlevered firm value, da der illægges e skaeskjold jf. formel 6 I praksis besemmes σ V og V for en handelsdag af gangen, hvilke gøres numerisk vha. en VBA-løkke. Dee sker ved a minimere følgende krieriefunkion for summen af relaive afvigelser SA: SA = MarkedsEqV ModelEqV ModelEqV Markeds _ σ E Model _ σ E + Model _ σ E 14 14

22 Krieriefunkionen minimeres ved a ilpasse σ V og V indil ligning 1 og 13 begge er opfyld, hvormed modellen er kalibrere. Den implemenerede model kan ses i mappen Kap. 4 under navne Leland of model på vedlage CD Grafisk illusraion af Leland & of modellen Formåle med dee afsni er a illusrere, hvorledes L-modellens resulaer kan forolkes grafisk. I figur 4.1 er resulaerne af a anvende L-modellen på case-virksomheden HAV FP vis, hvor den implicie volailie er anvend som inpu. Figur 4.1 viser de beregnede 5-årige CDS-spread fra modellen sam re af de primære fakorer for besemmelsen af CDS-spread: barriere, virksomhedsværdi og volailie. Figur 4.1 Modelresulaer for HAV FP Værdi & sigma* CDS-spread B a r r i e r e v. a k s e V h. a k s e S i g m a v. a k s e M o d e l C D S v. a k s e Noe: Modelresulaer for perioden Den mørkeblå kurve viser de modelberegnede 5-årige CDS-spread. Volailieen sigma er skalere med 1. dvs. 1. svarer il en sigma på 1% De ses af figur 4.1, a modellen forecaser e sigende CDS-spread over perioden, og især i de sidse par måneder siger CDS-spread markan. Over perioden er konkursbarrieren faldende fra niveaue 3.3 Mio. EUR il lid under.9 MIO. EUR. De burde isolere se ale for e mindre CDS-spread, når konkursniveaue reduceres. I samme periode ses de dog, a akivernes værdi falder fra ca MIO. EUR il 3.35 MIO. EUR. Samle se kan dee forklare de sigende CDS-spread. For en endelig vurdering af konkursrisikoen skal volailieen dog ages i beragning, da de reel er den relaive konkursafsand mål i sd. afvigelser, der er afgørende. Som de ses af figuren, er akivernes volailie sigende over perioden fra 6 % il 9 % i sluningen. Når volailieen vokser, bliver den relaive konkursafsand reducere, hvilke også aler for en signing i CDS-spread. De bør bemærkes, a CDS-spread er mege følsom overfor ændringer i volailieen, hvilke bl.a. ydelig ses omkring årsskife 6/7. Volailie behandles i øvrig nærmere nedenfor. I sluningen af analyseperioden efer årsskife 7/8 kan den markane signing i CDS-spread forklares med en signing i konkursbarrieren, samidig med a volailieen svag forøges. 15

23 De kan således konkluderes, a der grundlæggende er konsisens mellem forvene rening i CDS-spread if. øvrige variable Hisorisk vs. implied volailie I dee afsni foreages en vurdering af, hvorvid der bør anvendes hisorisk eller implied volailie som inpu il L-modellen, hvor analysen baseres på resulaer for de 9 Xover virksomheder. Som de fremgår af foregående afsni har volailieen relaiv sor beydning for de esimerede CDS-spread i modellen, ide højere volailie medfører færre sandardafvigelser il konkursbarrieren. Af abel 4.1 i panel A ses de gns. niveau for de 5-årige CDS-spread i perioden 1. jan 6 il 14. mars 8. For hver virksomhed er vis de modellerede 5-årige spread når henholdsvis hisorisk og implied volailie anvendes, sam virksomhedens gennemsnilige 5-årige CDSspread som de blev give fra markede. I panel B vises Mean Error ME for henholdsvis hisorisk og implied volailie. Som de ses, fier de 5-årige CDS-spread fra implied volailie beds for 8 af de 9 virksomheder. I panel C ses Mean Absolue DeviaionMAD i de daglige modellerede 5-årige CDS-spread, hvor der i modsæning il ME ages højde for a posiive og negaive afvigelser ikke blo udlignes. De ses, a implied volailie igen giver bedre resulaer for 8 af de 9 virksomheder. abel 4.1 Gns. 5-årig CDS-spread, ME og MAD for hhv. hisorisk og implied volailie ALU FP ALO FP BAY LN CW LN CAP FP COL LN HAV FP MEO1V FH Panel A: CDS-spread Hisorisk vol 19,5 38,7 16,4 6, 48,5 98,1 166, ,6 Implied vol 114,4 165, ,9 68,4 11,1 5,4 53,4 18,6 Marke 159,4 68,4 119, 38 13,6 54,3 57,4 61,4 83,9 Panel B: ME Hisorisk vol -49,9 17,3 43,1-11,9-55, -156, -9,4-11,4 161,8 Implied vol ,9 99,8-1, -35,3-14, -51, ,3 Panel C: MAD Hisorisk vol 51, 17, ,9 57,6 156, 9 34,7 16,7 Implied vol 46,4 96,9 1 1, 43,4 14,3 66,9 3 11,3 Noe: abellen viser resulaer for de 9 Xover virksomheder som ses i øverse række. Fulde navn på virksomhederne fremgår af bilag 1. Mean Error er beregne som: 1 N 1 N ME = ModelCDS5, MarkedsCDS5, N = 1 N = 1 Mean Absolue Deviaion er beregne som: 1 N MAD = ModelCDS5, MarkedsCDS5, N = 1 UI1 GR I abel 4. vises korrelaionen mellem de 5-årige CDS-spread fra modellen ModelCDS og markede MarkedsCDS for de 9 Xover virksomheder. Jo højere korrelaionen er, jo bedre er modellen i sand il a forudsige reningen på dagens ændring i markeds-spread. I panel A er 16

24 korrelaionen mål på difference-daadvs. dagens ændring i spread mål i basispunker, mens korrelaionen i Panel B måles i log-afkas. Panel A viser således absolue resulaer, mens panel B viser relaive resulaer. abel 4. Korrelaion mellem 5-årig ModelCDS og MarkedsCDS for 9 Xover virksomheder ALU FP ALO FP BAY LN CW LN CAP FP COL LN HAV FP MEO1V FH Panel A: Difference Hisorisk vol. 34% 3% 4% 1% % 1% 5% 15% 18% Implied vol. 5% 14% 37% 4% 18% 16% 9% % 18% Panel B: Log-afkas Hisorisk vol. 1% 9% 36% 3% % 1% 6% 16% 19% Implied vol. 1% % 34% 1% 1% 15% 11% 17% 17% UI1 GR Som de ses af abellen, er korrelaionerne for begge alernaiver forholdsvis lave. Herudover ses ine enydig mønser i de o meoders indbyrdes syrkeforhold. Hisorisk volailie har den højese korrelaion for 4 ud af 9 af virksomhederne ved måling på basispunker, mens de ilsvarende al er 5 ud af 9, når log-afkas benyes. Dee sammenhold med a korrelaionerne er så lave, gør de dog svær a drage nogen robus konklusion ud fra denne abel. I figur 4. er den esimerede udvikling i virksomhedens værdi sam barriere afbillede for case-virksomheden UI GR. Øvers ses resulae, når modellen kalibreres il den hisoriske akievolailie, mens den miderse graf viser resulae for anvendelse af implied volailie fra opionsmarkede i sede. I nederse graf er vis de esimerede CDS-spread fra modellen ved anvendelse af henholdsvis hisorisk og implied volailie se i forhold il markeds-spread. Modelspreade for UI GR er beds ved anvendelse af implied volailie jf. nederse graf, mens modelspreade fra den hisoriske volailie er mege høj frem il den.1.7, hvor begge kurver pludselig oplever e fald ned omkring niveaue for markeds-spread. Forklaringen på den høje værdi af modelspread fra den hisoriske volailie før.1.7 kan ses i den øverse graf. Her ses de, a volailieen i den førse periode esimeres il ca. 1-15%. Ud fra den miderse graf ses de, a dee mønser ikke er afspejle i den implicie volailie, som er age direke fra opionsmarkede. Reel har den implicie volailie være re konsan omkring niveaue 5-7 % i hele perioden frem mod.1.7. Volailieen vokser i den øverse graf den fra ca. 15 % il god %. Den miderse graf viser derimod, a denne pludselige signing ikke er indprise i opionsmarkede. Der er således ikke ske noge dramaisk i markede omkring den 8.1.7, men de skyldes derimod beregningsmeoden ved hisorisk volailie. 17

25 Figur 4. Graf over udviklingen i CDS-spread for UI1 GR. 4 Værdi Volailie % B a r r i e r e V. a k s e V æ r d i V. a k s e V o l a i l i e H. a k s e. 4 Værdi Volailie % B a r r i e r e V. a k s e V æ r d i V. a k s e V o l a i l i e H. a k s e BasisPoin H is o r i c a l M o d e l M a r k e d I m p l ie d M o d e l Øvers: Graf over esimere værdi og barriere, når der kalibreres il hisorisk volailie. Mid: Graf over esimere værdi og barriere, når der kalibreres il implied volailie fra opionsmarkede. Neders: CDS-spread fra hisorisk volailie og implied volailie i forhold il markeds-spread. Ovensående eksempler illusrerer en sor svaghed ved a anvende hisorisk volailie, da man risikerer a få resulaer, der ikke semmer overens med de i markede indprise forvenninger. Endvidere bemærkes de, a volailieen i den øverse graf forskydes i hak hver. dag. De har grunde compuerkraf være nødvendig kun a genkalibrere efer hver. observaion, ide kalibrering il hisorisk volailie kræver mange beregninger og en eksra løkke i VBAkoden. Denne besluning er naurligvis med il a skade dynamikken i modellen, men har være e nødvendig rade-off for hisorisk volailie. 18

26 De kan konsaeres, a implied volailie med baggrund i disse 9 virksomheder giver de bedse resulaer. Både ME og MAD er bedre for implied volailie, mens korrelaionerne ikke viser noge enydig billede. Derudover er de bagvedliggende forudsæningerne om volailie konsisene med markede, da de neop er implied volailie fra opionsmarkede der kalibreres op imod. Sluelig er algorimen for implied volailie markan hurigere, hvorfor implied volailie benyes i den fremadreede analyse med L-modellen Rene L anager i deres model, a renesrukuren er flad. Dee er selvfølgelig en grov forsimpling, der sjælden er opfyld i praksis. Imidlerid har den givevis være nødvendig for a kunne udlede en lukke løsning for konkursbarrieren. Når CDS-spreade skal beregnes, har reneniveaue imidlerid også beydning, ide de løbende præmier sam den forvenede forsikringssum begge diskoneres il idspunk nul, jf. formel. Ide formåle er a sammenligne modelspread med markeds-spread, er de naurligvis mes opimal a anage, a renesrukuren har den form, som der ren fakisk observeres i markede. Dee er imidlerid i modsrid med den forsimpling om konsan renesrukur, som L har indfør. Samidig vil de være mes naurlig a anvende samme anagelser i de o beregninger vedr. konkursbarriere og CDS-spread. Der er således re alernaive sammensæninger af anagelser, som skisere i abel 4.3. abel Mulige anagelser om den anvende renesrukur Alernaiv Konkursbarriere CDS-spread Konsisens? 1 Som markede Som markede Konsisens Konsan Som markede Ikke konsisens 3 Konsan Konsan Konsisens Alernaiv 1 er naurligvis den mes opimale anagelse, ide markedsbeingelserne her anvendes. Meoden srider imidlerid mod Ls grundlag for modellen, og formlerne for konkursbarrieren ville ikke længere være gyldige med denne anagelse. Alernaiv reer så på ovensående gyldighedsproblem, ide Ls forsimpling fasholdes for beregningen af barrieren, men ophæves ved beregningen af CDS-spread, der foregår med den observerede renesrukur. Her ilsræbes de a afgrænse forsimplingen så mege som mulig, således a der kun forsimples i de beregninger, hvor L af nødvendighed har indfør denne. Man kan dog her diskuere anagelsernes konsisens, da der nu anages forskellig renesrukur på samme idspunk. I alernaiv 3 indføres så Ls forsimpling på både konkursbarrieren og beregningen af CDSspread. De beyder, a der igen er konsisens i anagelserne, men il gengæld bliver 19

27 beregningen af CDS-spread fra modellen biased i forhold il markedes CDS-spread, der observeres under markedsvilkår. Alernaiv 1 må sraks opgives, da L model for konkursbarrieren ikke giver mulighed for a bruge forskellige rener afhængig af løbeiden. Dee er naurligvis en svaghed ved Lmodellen. Valge sår således mellem alernaiv og alernaiv 3, hvor Ls forsimpling i e vis omfang fasholdes. Forskellen mellem alernaiv og 3 besår i, a CDS-spread i alernaiv 3 også beregnes på e forsimple grundlag. Indledningsvis vurderes beydningen af a anvende en flad renesrukur il beregning af konkursbarrieren. Ifølge Leland1994, har reneniveaue en relaiv begrænse beydning på konkursbarrieren. Placeringen af barrieren besemmes primær af gældens løbeid, der besemmer broderparen af den årlige gældsbyrde ide relaionen, årlig gældsbyrde = C + D/, erindres. De kan dermed også ses, a renen gennem kuponen C har sørs beydning for virksomheder med mege lang gæld, hvor den årlige gældsbyrde primær udgøres af reneudgifer frem for afdrag. Derfor er konsekvenserne ved forsimplingen omkring beregning af konkursbarriere relaiv begrænsede for de anvende virksomheder. Eferfølgende vurderes beydningen af a anvende en flad renesrukur il beregning af CDSspread. For a se hvilken effek de har af a anvende en flad renekurve, er modellen kalibrere il hhv. 1-årig og 1-årig swap-rene, hvor samme rene hhv. 1- eller 1-årig anvendes for alle løbeider. Derudover er markedes renekurve anvend i den 3. kalibrering. Resulaerne heraf er illusrere for case-virksomheden UI GR i figur 4.3. Figur 4.3 CDS-kurve for UI GR ved forskellige reneanagelser 35 3 CDS-spread Markedes renekurve Flad 1 årig rene Flad 1 årig rene Løbeid CDS Som de ses af figur 4.3, har valge af renesrukur nogen beydning for beregningen af kredi-spread, især i den lange ende af CDS-kurven. De må forvenes, a de mes korreke

28 resula opnås ved a anvende den renesrukur, der kan observeres i markede, som jo neop er grundlag for de markeds-spread, som er sammenligningsgrundlag. Med udgangspunk i ovensående vælges således alernaiv il implemeneringen. Dermed afgrænses Leland-ofs forsimpling il esimering af konkursbarrieren, hvor beydningen er relaiv begrænse. CDS-spread beregnes derimod på baggrund af den observerede renesrukur Resulaer for Leland & of modellen Efer de præliminære analyser er L-modellens evne il a fie og forklare markeds-spread ese på samlige 39 udvalge virksomheder, hvor der som inpu er anvend implied volailie og renesrukur jf. alernaiv ovenfor. Opbygning af modeller for de 39 virksomheder og samlige resulaer af kørsler er ske vha. Excel og VBA, hvilke er dokumenere i mappen Resulaer for L-model på vedlage CD Undersøgelse af fining il modellerne anvendes i alle ilfælde samme sandard-inpu, dvs. Recovery = 4%, ax = 35% og Konkursomkosninger = 3%. I princippe kunne man forsøge a opimere modellernes evne il a fie markeds-spread, ved kalibrering af den enkele virksomhed il markedsniveau ved jusering af ovennævne sandard-inpu. Denne eknik anvendes ofe for a få srukurelle modeller il a passe bedre if. markedsniveau Yu, 6. De er dog svær a argumenere for, a eksempelvis Recovery i virksomhed A skal være væsenlig forskellig fra virksomhed B, og i nogle ilfælde vil der end ikke kunne opnås ilsrækkelig sore CDSspreads selv med en Recovery på %. Dee er illusrere i figur 4.4, hvor den gennemsnilige CDS-kurve for virksomheden UI GR for løbeider på 1 il 1 år er vis for Recovery på hhv. % og 4 %. Figur 4.4 CDS-kurve for UI1 GR for Recovery på hhv. % og 4%. 5 4 CDS-spread CDS løbeid i år Model R=4% Marked Model R=% Noe: På x-aksen ses løbeiden mens y-aksen viser de ilhørende gns. CDS-spread mål i basispoin. Gennemsnie dækker perioden 1. jan 6 il 14. mars 8. 1

29 Som de fremgår af figur 4.4, går ModelCDS mod nul ved kore løbeider, hvilke er i overenssemmelse med lierauren. Dee er således e generel problem for srukurelle modeller, hvilke behandles senere. De ses imidlerid ydelig, a ændrede recovery-anagelser ikke kan afhjælpe dee problem for de kore løbeider, mens CDS-spread siger for lange løbeider. Derudover er de vigig a holde sig for øje, a de er hele CDS-kurven, der bør fie il markede, dvs. alle 1-1 årige løbeider. Recovery anvend som fri parameer er derfor ikke ilsrækkelig il a fie hele CDS-kurven. For a kunne sammenligne resulaerne på værs af virksomheder, er de valg a holde de gængse sandard-inpu ens i denne analyse. Samme inpu vil i øvrig blive anvend i analyserne for inensies- og incomplee modellerne. Indledningsvis er de undersøg, hvorvid modellerne kan ramme samme CDS-niveau som markede. Figur 4.5 viser e plo over de gennemsnilige CDS-spread for hhv. model ModelCDS og marked MarkedsCDS i perioden il , hvor de 5-årige CDSspread er valg, da de ypisk er de mes likvide punk på CDS-kurven. Ideel se burde alle punker i nedensående graf ligge på den diagonale linje, hvis modellens niveau var perfek. Mean Error ME mellem ModelCDS og MarkedsCDS kan findes som den lodree afsand fra e give punk il diagonal-linjen. Figur Plo over gns. 5-årig CDS-spread for ModelCDS og MarkedsCDS. Noe: Figuren viser for hver af de 39 virksomheder, de gennemsnilige 5-årige CDS-spread i perioden fra L-modellen sam i markede. De fremgår af figur 4.5, a de esimerede spread generel ligger lang fra MarkedsCDS, om end på samme niveau som i lierauren 4. I 9 ud af 39 ilfælde ligger ModelCDS under MarkedsCDS, og for 1 Europe-virksomheder bliver ModelCDS endda esimere il under bp. Dee var forvene, efersom de empirisk har vis sig, a srukurelle modeller ofe har 4 se eksempelvis Eom, Helwege & Huang 4 eller grafer for case-virksomheder i Bajlum & Larsen 7a.

30 svær ved a modellere e posiiv spread, når virksomheden ligger lang fra konkursbarrieren, hvilke ypisk vil være gældende for virksomheder i Europe kaegorien. De må derfor konsaeres, a L-modellen ikke umiddelbar er i sand il a ramme de rigige CDS-niveau. De er ikke ilsrækkelig kun a vurdere modellen på dens evne il a ramme de rigige gns. niveau, efersom afvigelserne i en model med både posiive og negaive afvigelser vil kunne udligne hinanden. Figur 4.6 viser således den gns. absolue afvigelsemad mellem ModelCDS og MarkedsCDS. Figur Gns. absolu afvigelse mellem ModelCDS og MarkedsCDS MAD 8 7 Europe Xover anal observaioner > > > 4 > 6 > 8 > 1 > 1 > 14 > 16 > 18 > > > 4 Noe: Figuren viser MAD for de 39 virksomheder. Analle af virksomheder i hver inerval er vis. De fremgår af figuren, a modellerne for Xover virksomhederne generel rammer lang fra MarkedsCDS. I modsæning heril er MAD for Europe virksomhederne noge mindre. Dee har dog i nogen grad sin forklaring i a ModelCDS jf. figur 4.5 for Europe virksomheder ofe er æ på nul. Dermed bliver MAD sor se lig gennemsnilig MarkedsCDS, ide MAD i disse ilfælde højs kan blive den vandree afsand fra MarkedsCDS over il y-aksen i figur 4.5. Samle se må de konsaeres, a ModelCDS generel afviger en del fra MarkedsCDS både mål på niveau og absolu afvigelse Undersøgelse af korrelaion E ande ineressan aspek ved modellerne er a vurdere, hvorvid ModelCDS og MarkedsCDS korrelerer. A priori forvenes e sigende niveau i ModelCDS a medføre e sigende niveau i MarkedsCDS, dvs. posiiv korrelaion. I figur 4.7 er korrelaionsniveaue mellem ModelCDS og MarkedsCDS mål på level-daadvs. de fakiske daglige CDS-spread niveau vis for alle 39 virksomheder. 3

31 Figur Korrelaion mellem ModelCDS og MarkedsCDS mål på level-daa. 7 6 Europe Xover anal observaioner De fremgår af figuren, a der for alle virksomheder er posiiv korrelaion mellem ModelCDS og MarkedsCDS. Der er dog sor forskel i korrelaionsniveaue virksomhederne imellem, men i gennemsni opnås en pæn korrelaion på,67. Dee resula er i øvrig på niveau med fundne korrelaioner i ilsvarende sudier Arora, Bohn & Zhu, 5 Korrelaion mål på level-niveau skal dog olkes med varsomhed, efersom der er risiko for, a de o idsserier ikke er saionære, hvilke kan medføre spuriøse sammenhænge, dvs. resulaerne viser en sammenhæng, der i virkeligheden ikke eksiserer. Dee bekræfes ved, a der på de konkree idsserier kan påvises uni roo på level-niveau. Derfor vil resulaer basere på log-afkas være mere pålidelige, dog mises en del informaion herved. Figur Korrelaion mellem ModelCDS og MarkedsCDS mål på daglig log-afkas. 9 8 Europe Xover > -,4 > -, >, >, >,4 >,6 >,8 >,1 >,1 >,14 >,16 >,18 >, >, >,4 >,6 >,8 > >,3 >,3 >,1 >,34 >, >,36 >,3 >,38 >,4 >,4 >,5 korrelaion >,6 >,7 >,8 >,9 > 1 Noe: Figuren viser korrelaionen mellem modellen og markede for de 39 virksomheder. Analle af observaioner i hver inerval er vis. anal observaioner Noe: Figuren viser korrelaionen mellem modellen og markede for de 39 virksomheder. Analle af observaioner i hver inerval er vis. Korrelaionen er mål på daglig logafkas Figur 4.8 viser korrelaion mellem ModelCDS og MarkedsCDS mål på log-afkas. Af figuren fremgår de, a korrelaionen med en enkel lille undagelse er posiiv mellem ModelCDS og MarkedsCDS, som forvene. Dog kan de konsaeres, a korrelaionen er relaiv lav med 4

32 højese værdi lid over,3. Der synes a være en endens il, a Europe virksomheder generel har en lavere korrelaion if. Xover. En årsag heril kan være, a ved de mege små CDSspreads for Europe virksomhederne bliver den procen-vise ændring hurig sor, hvilke kan give søj i korrelaionsberegningen. Korrelaion mellem ModelCDS og MarkedsCDS mål på log-afkas er i gns. beregne il 14,7 %. il sammenligning kan de oplyses, a korrelaion mellem akiekurs og MarkedsCDS ligeledes mål på log-afkas er beregne il -1,1 %. 5 L-modellen har alså lavere absolu korrelaion end de simple benchmark. Dee yder på, a ransformaionen af inpu i Lmodellen il CDS-spread bevirker, a noge af korrelaionen i inpu mises Undersøgelse af saisisk signifikans Med henblik på undersøgelse af, hvorvid der er en saisisk signifikan sammenhæng mellem 5-årig ModelCDS og MarkedsCDS, foreages der en simpel regression med ModelCDS som forklarende variabel, hvilke udføres både på niveaulevel daa såvel som log-afkas: MarkedsCDS = β, + β 1, *ModelCDS + ε MarkedsCDS = β, + β 1, * ModelCDS + ε Regression på level daa indikerer, hvorvid der er sammenhæng i niveaue for ModelCDS og MarkedsCDS over id, mens regression på log-afkas viser hvorvid den procen-vise ændring på daglig basis for hhv. ModelCDS og MarkedsCDS svinger i ak. abel 4.4 viser i hvor mange ilfælde ud af alle 39 virksomheder, a koefficienerne for hældning og inercep er signifikane ved e 95 % konfidensniveau. abel 4.4: Resulaer fra regression af 5-årig ModelCDS på MarkedsCDS hhv. level og log-afkas level log-afkas Β 1 Hældning - anal signifikane: β Inercep anal signifikane: 35 3 Adj. R 48,9%,4% Noe: Regressionerne er foreage for hver af de 39 virksomheder, og anal signifikane koefficiener ved e 95% konfidensniveau er vis. I regressionen er den uafhængige variabel 5-årig ModelCDS fra L-modellen og den afhængige variabel er 5-årig MarkedsCDS: MarkedsCDS = β, + β 1, *ModelCDS + ε,sam MarkedsCDS = β, + β 1, * ModelCDS + ε Resulaer for den enkele virksomhed fremgår af Regression ModelCDS på MarkedsCDS i mappen af samme navn. Ser vi på levelkolonne i abel 4.4 er der i alle 39 ilfælde signifikan sammenhæng mellem niveauerne for ModelCDS og MarkedsCDS over idhældning forskellig fra. Dee er posiiv for L-modellen, men samidig fremgår de også a der er niveauforskeldvs. inercep forskellig fra i 35 ud af 39 virksomheder, hvilke beyder, a modellen ikke rammer markedsniveaue. 5 Resulae er basere på regnearke Korrelaion mellem akiekurs og CDS i mappen af samme navn. De bør erindres, a der er negaiv sammenhæng mellem akiekurs og CDS-spread. 5

33 Foreages regression i sede på log-afkas sidse kolonne i abel 4.4 ønsker vi ikke, a inercepe skal være forskellig fra, hvilke også kun er ilfælde i 3 ud af 39 virksomheder. Med hensyn il hældningen er der i 35 ud af 39 ilfælde signifikan sammenhæng mellem daglige log-afkas for ModelCDS og MarkedsCDSalle signifikane har posiiv hældning, hvilke er ganske affirmaiv for L-modellen. De skal dog bemærkes, a den gennemsnilige hældning kun er +,84, hvilke er lang fra den eoreisk ideelle hældning på 1. En 1% signing i ModelCDS modsvares således kun af en signing på,84% i MarkedsCDS, og selv om dee er saisisk signifikan, er den økonomiske signifikans reel mege svag. Sammenfaende kan de konkluderes, a korrelaionen mellem model og marked er posiiv og sammenhængen er saisisk signifikan mål på både level og log-afkas. Samidig må de dog konsaeres, a niveaue for korrelaionen og dermed forklaringsgraden er noge lav Anvendelsesmuligheder for Leland & of modellen Srukurelle modeller anager generel, a modelkonsrukøren har fuld informaion. I eoreisk henseende er L-modellens primære anvendelse derfor i forbindelse med ledelsens egen vurdering af virksomhedens posiion if. konkurs, ide kun ledelsen med rimelighed kan anages a have fuld informaion om virksomhedens forhold. Ledelsen kan anvende modellen il a beregne virksomhedens konkursafsand. Hermed opnås e udryk for konkurssandsynligheden over en given periode, hvilke kan bruges som nøgleal i risikosyringen på linje med Value a Risk al o.lign. Herudover kan modellen give e esima på de spread, virksomheden bør beale på sin gæld. Ledelsen får således e benchmark a forhandle ud fra. Ovensående kan anvendes i forhandlinger med krediorer, når kredifacilierne eller lånene skal forlænges. Alene de a virksomheden kender og forholder sig il sin egen konkurssandsynlighed, vil givevis have en posiiv beydning for låneomkosningerne, ide krediorerne kan formode, a denne virksomhed har syr på sin risikoprofil. I praksis anvendes srukurelle modeller dog også ofe af ekserne enieer såsom banker, finansielle insiuioner m.fl., il rods for a anagelsen om fuld informaion ikke kan anses for opfyld. Her vil de ypiske anvendelsesmuligheder være il esimering af fair spread. I den forbindelse bør man være varsom, efersom ekserne enieer ikke har fuld informaion, hvormed der kan herske usikkerhed omkring den CDS-pris, som modellen esimerer. De fremgår da også ydelig af de fundne resulaer for L-modellen i idligere afsni, a modellens esimaer ofe ligger så lang fra markedspriserne, a modellen næppe kan være realisisk a prisfassæe efer. En oplag anvendelsesmulighed er derfor a anvende L-modellen som e screenings-værkøj, hvor modellen kan udvælge virksomheder, der synes a være prisfassa enen markan for 6

34 dyr eller billig. Herefer kan disse udvalge virksomheder gøres il gensand for yderligere analyser, inden en endelig købs/salgs-besluning ages. Endelig kunne L-modellen f.eks. også anvendes il forsøg på såkald kapialsrukurarbirage som beskreve i Bajlum & Larsen7a. Ved kapialsrukur-arbirage anages de, a der korsige kan opså divergens mellem akie- og CDS-markede, hvilke forsøges udnye. Yu6 nævner i sin arikel om dee emne, a udbredelsen af kapialsrukurarbirage vinder frem bland banker og hedge-fonde Illusraion af kapialsrukur-arbirage sraegi I de følgende illusreres de konkre, hvordan en konvergensbasere handels-sraegi for kapialsrukur-arbirage kan sæes op for case-virksomheden HAV FP basere på Bajlum & Larsen7a, Yu6 sam Duare, Longsaff & Yu 7. Kapialsrukur-arbirage er basere på den præmis, a den srukurelle model kan prisfassæe CDS er nogenlunde præcis. Ved brug af en srukurel model beregnes ModelCDS som proxy for CDS ernes ligevægs-spread. Hermed er de primære inpu i modellen akiernes værdi og derudover anvendes gældssrukuren og volailieen som inpu. Ved a sammenligne ModelCDS og MarkedsCDS kan de indikere hvorvid CDS erne i markede er for dyre eller for billige, se i forhold il virksomhedens akier. Ide ModelCDS siger, når akiekursen falder, kan e relaiv høj CDS-niveau i modellen alernaiv ses som e udryk for en lav akiekurs i markede. Hvis ModelCDS er væsenlig højere end MarkedsCDS, kan arbiragøren udnye denne skævhed ved a købe de undervurderede akier sam købe de billige CDS er, ide han soler på, a ligevægen genoprees når de o markeder igen konvergerer. Han forvener således, a MarkedsCDS vil sige il niveaue for ModelCDS, eller alernaiv a akiekursen siger, så beregningen af ModelCDS kan konvergere mod MarkedsCDS. Endelig kan man naurligvis også foresille sig en kombinaion af begge muligheder. Ved a indgå lange posiioner i begge markeder sikres en profi ligegyldig, hvilke af de o markeder som måe ree ind efer de ande. For a implemenere handelssraegien er følgende definiioner nødvendige: 1 En handelsperiode defineres som den id, der går fra arbiragøren åbner en posiion = indil denne lukkes igen =. Denne periode vedages dog maksimal a kunne udgøre 6 mdr., hvorefer posiionen lukkes og ab/gevins gøres op. Værdien af en lang CDS-posiion indgåe på idspunk, som lukkes på idspunk, kan på idspunk ifølge Bajlum & Larsen 7a approksimeres ved: π, = S, S, rs r S, S, e Qsds 1 e Q G 15 r 7

35 hvor S, angiver de nuværende CDS-spread, som approksimeres ved S,+. 6 S, angiver CDS-spread ved opsar af konraken. 3 De løbende cash flow i form af spread-bealing på en CDS fra = il approksimeres ved: 7 Løbende spread på CDS = S,* 16 4 Analle af akier, som skal købes, besemmes ved hedge-raioen, der kan approksimeres ved Bajlum & Larsen, 7a: π, 1 S, = 1 e P r P r Q G,hvor hvor P angiver den iniiale akiekurs. I ovensående udrykker P overfor ændringer i akiekursen, mens P V S, S, = P V S, 1 P V 17 spreades følsomhed angiver akiekursens følsomhed overfor ændringer i virksomhedens underliggende værdi. Ide CDS-spreade al ande lige falder, når akiekursen siger, vil alid blive negaiv. Cash flow afled af handelssraegien er illusrere i abel 4.5 for en enkel handelsperiode: abel 4.5 Illusraion af cash flows som følge af handelssraegi idspunk = CDS π,= π, * FH Løbende spread på CDS S,* *FH Akie * P - * P Cash Flow * P π,+s,**fh - * P Noe: FH sæes lig den iniiale akiekurs P, og CDS-konrakens spread noeres ved S, Miderse kolonne af abel 4.5 vil her blive forklare. På idspunk køber arbiragøren en CDS med en forsikringshovedsol FH, der svarer il akiekursen P, samidig med han køber - akier, således a der opnås en markedsneural posiion. CDS konraken har ved opsar en værdi på, hvorfor arbiragørens iniiale cash flow bliver en bealing på *P il købe af akierne. På idspunk højre kolonne, når markederne forhåbenlig igen konvergerer, lukkes posiionen. Som ovenfor nævn er der o overordnede veje, hvorved konvergens kan opnås: 1 CDS markede konvergerer, dvs. spread i CDS-markede siger il niveaue for spread fra modellen, mens akiekursen forbliver uændre. CDS konraken kan nu sælges med forjenese, ide spread i markede er sege, og værdien π er posiiv. Akiekursen er uændre således a P =P og akierne kan således sælges for en værdi af EUR *P, som de blev køb il. De samlede forjenese på idspunk bliver dermed: 6 En mere nøjagig approksimaion kunne være udfør med en inensiesmodel som vis i kap Reel forfalder spreade løbende, men ide konraken jf. Yu6 lukkes efer senes 6 måneder bliver approksimeringsfejlen begrænse 8

36 Forjenese = π,+s,**fh - *P + *P = π,+s,**fh Akiemarkede konvergerer, dvs. akiekursen i markede siger, så spread i modellen nu beregnes il samme niveau, som der observeres i CDS-markede. CDS konraken kan således sælges il samme spread, som den blev køb il, og dermed er værdien π lig nul. Akiekursen er nu sege il P, og akierne kan således sælges for en værdi af EUR *P 1. Forjenese på idspunk kan dermed beregnes som: Forjenese = π,+s,**fh - *P + *P = *-P +P +S,**FH Al efer hvordan konvergensen nås, vil arbiragøren få en forjenese som i 1 eller eller en kombinaion af 1 og, hvis begge markeder bidrager il a konvergere. De skal bemærkes, a P udgør akiekursen inkl. udbye, ide de anages, a udbye geninveseres for a fasholde hedge-raioen. Man kunne naurligvis forsøge a udnye prisfejlen i CDS-markede ved blo a age en posiion i CDS-markede. Fordelen ved a hedge CDS-posiionen i akiemarkede besår imidlerid i, a ændringen i spread ikke nødvendigvis behøver udvikle sig i den rigige rening, så længe de o markeder blo konvergerer. Resulaer for handelssraegi anvend på HAV FP Ovensående handelssraegi er anvend på case-virksomheden HAV FP i perioden il , hvor den sidse posiion lukkes ned. Udviklingen i perioden er afbillede grafisk i bilag 3. De anages, a arbiragørens iniialformue pr er 1 EUR. Man kunne naurligvis anage e mindre beløb som iniialformue, men de anages, a arbiragøren må sille en vis sikkerhed for a få lov a handle CDS en og den underliggende akie kor. Der handles, når divergensen mellem 5-årige CDS-spread mellem ModelCDS og MarkedsCDS oversiger 75 %. re gange ager arbiragøren kore posiioner jf. 1. kolonne i abel 4.6, ide MarkedsCDS her er 75 % sørre end ModelCDS. Der ses bor fra omkosninger ifm. handel. Resulae af handelssraegien fremgår af abel 4.6. I de følgende forklares beregninger for 1. handelsperiode Den esimerer L-modellen CDS-spread il 154, kolonne 3 i abel 4.6, mens de i markede observeres il 7,8 kolonne 4. Dermed forvener arbiragøren, a spread i markede eller akiekursen falder, så de modelberegnede spread bliver sørre. Arbiragøren vælger derfor a gå kor i CDS en med en FH på 3,9 svarende il akiekursen i kolonne 6 og e konrakspread på 7,8, samidig med a han går kor i - akier. Al i al modager han på = e cash flow på,9667 beregnes som *P = -,5*3,9, som kan aflæses i kolonne 1. 9

37 abel 4.6 Resula for handelssraegien udfør på HAV FP i perioden Dao Posiion ModelCDS 5-årig MarkedCDS 5-årig sigma EqV Akiekurs inkl. udbye Hedgeraioen CF CDS Værdi af CDS CF CDS Lb. spread CF akie CF ial Akk. Formue fra sraegien Akk. Formue fra bankkono , 1, Kor 154, 7,8 4,6 3,9 -,5,9667, ,7 1, Luk 6, 39,7 36,7 4,3,494,69-1,491 -,978 1,41 1, Kor 18,3 415, 3,4 4,13 -,6 1,63 1,63 11,71 1, Luk, 17,9 3,6 4,1,3518,376-1,55 -, ,15 1, Kor 6,1 36,9 8,4 3,75 -,6,9885,9885 1,18 1, Luk 319,1 315, 37,5,89,783,1 -,7635 -, ,6 1,85 Noe: Den risikofri rene anages lig 4%, som er gennemsnie af den 1 årige SWAP rene i perioden. Beregningerne i kolonne 7-11 foreages som de er illusrere i abel 4.5 ovenfor. 1 Hedgeraioen beregnes som: S, r, = 1 e Q G, r P Værdien af CDS-konraken π, beregnes som: S, S, r π, = 1 e Q G r Den er markederne igen konvergere, ide ModelCDS nu for førse gang oversiger MarkedsCDS, og arbiragøren vælger a lukke posiionen. MarkedsCDS er nu falde il 39,7, mens akiekursen er sege il 4,3. CDS konrakens værdi kan nu beregnes il,494 kolonne 8. I den 3-måneders periode modager arbiragøren e løbende spread på i al,69 kolonne 9. ilbagekøbe af akien medfører en udgif på 1,491 kolonne 1. Al i al realiserer arbiragøren den e cash flow på,978 kolonne 11. De kan således samle se konkluderes, a 1. handelsperiode medfører e direke ab på,61 beregnes som:,9667-,978 uden hensynagen il konorene som inddrages nedenfor. Resulaer for. og 3. handelsperiode er beregne på samme vis. I kolonne 1 er arbiragørens akkumulerede formue beregne. Som de blev nævn udgør den iniiale formue d EUR 1, og denne placeres på en bankkono, hvor der løbende ilskrives en risikofri rene på 4 %. Herudover illægges/frarækkes løbende CF i al fra kolonne 11. Den 7.9.6, hvor førse handel indgås, er den iniiale formue således vokse il 1,3, og heril lægges de posiive cash flow på,9667, hvorfor arbiragørens formue nu indeholder 11,7 kolonne 1. Den afslues handelsperiode 3 og arbiragørens formue er nu vokse il 11,6. 3

38 I kolonne 13 opsilles e benchmark, hvor de anages a arbiragøren undlader a bruge handelssraegien og blo modager den risikofrie rene på 4 %. Med denne passive sraegi ville den akkumulerede formue blive EUR 1,85 den Dermed kan mer-afkase fra handelssraegien følges over hele perioden ved a sammenligne kolonne 1 og 13. Arbiragøren opnår dermed e afkas på EUR,75 ud over de risikofrie afkas beregne som 11,6-1,85. Mål i procen kan de konsaeres, a de samlede afkas på handelssraegien har være 16 %, mens bankkonoen kun har give 8,5 % over de god år. I e ilsvarende sudie af handelssraegien for 1 amerikanske virksomheder i perioden -4, finder Bajlum & Larsen7a e mer-afkas på,39 % for spekulaive virksomheder sam,7 % for invesmen grade virksomheder. De finder, a dee mer-afkas ikke blo repræsenerer kompensaion for sysemaisk risiko og konkluderer, a handelssraegien giver e signifikan mer-afkas. Den opmærksomme læser vil i abellen bemærke, a handelsperiode 1 kun forøger arbiragørens formue med,1 EUR se i forhold il bankkonoen beregnes som: 1,41-1,4. il rods for a arbiragøren har udfør handelssraegien og udnye divergensen mellem markederne, opnås her kun e mege ringe mer-afkas. Som de ses af abel 4.6, er spread i markede falde fra 7,8 il 39,7 som forvene, mens akiekursen er sege fra 3,9 il 4,3, hvilke ikke var forvene. Arbiragøren får af denne grund e sor ab på sin kore posiion i akien. Grunden il a markederne på rods af dee alligevel anses som konvergere ifølge handelssraegien skyldes imidlerid, a konvergensen mellem markederne ikke er opnåe gennem CDS-spread eller akiekurs, men derimod gennem volailieen på akiemarkede, ide implied volailie i handelsperiode 1 er sege markan fra 4,6 % il 36,7 % kolonne 5 i abel 4.6. En højere volailie på akierne og dermed virksomhedens underliggende værdi forøger som bekend konkurssandsynligheden, hvorfor ModelCDS i handelsperiode 1 er vokse fra 154, il 6, på rods af, a akiekursen fakisk er sege. Dee illusrerer samidig en sor svaghed ved handelssraegien, da volailiesudviklingen reel ikke er hedged, ide volailieen ikke indgår i beregningen af den markedsneurale posiion vha.. Arbiragøren risikerer derfor a handle på falske signaler, hvis divergensen eller konvergensen skyldes en markan udvikling i volailieen, eller andre modelinpu. De undersreges i Bajlum & Larsen7a, a kapialsrukur-arbirage ikke er en exbook arbirage, ide gevinsen ikke er risikofri. Arbiragøren er således i ovensående afhængig af, a CDS- og akie-markede divergerer på kor sig, men konvergerer på længere sig. Yderligere påpeger Bajlum & Larsen7a, a der er sor risiko for ab som følge af posiioner iniiere af 1 fejlspecifikaion af den bagvedliggende srukurelle model eller fejl ved modellens inpu. 31

39 Sammenfaende for anvendelsesmulighederne af L-modellen konkluderes de, a Lmodellens primære anvendelsesområde i eoreisk henseende vedrører virksomhedens ledelse, der som nævn har fuld informaion om virksomhedens forhold. I praksis bruges modellen dog ofe i markede il præliminær screening af CDS er sam il kapialsrukur-arbirage. Kapialsrukur-arbiragen bygger på en korsige divergens mellem akie- og CDS-markede sam en forvenning om eferfølgende konvergens. Den korsigede divergens kan enen skyldes, a den srukurelle model ikke indeholder alle forklarende variable, eller alernaiv kan de skyldes forskellig hasighed, hvormed ny informaion indregnes i forskellige markeder. I kap. 4.7 undersøges de derfor, om de er mulig a forklare, hvorfor der opsår e residual af væsenlig sørrelse mellem spread i markede og spread i modellen. I kap. 4.8 analyseres dynamikken mellem ModelCDS og MarkedsCDS for a belyse processen hvorigennem markederne eferfølgende konvergerer Analyse af modelresidual Såfrem residualerne mellem ModelCDS og MarkedsCDS kan forklares af variable, der ikke indgår i modellen, kan dee give anledning il kriik af L-modellen, som dermed ikke fuld ud beskriver MarkedsCDS. På baggrund af ariklerne Ericsson e al.6, Eom, Helwege & Huang4 sam Bernd, Jarrow & Kang7 er en række forklarende variable udvalg il esen jf. abel 4.7, hvor deskripiv saisik for disse variable ligeledes fremgår. abel 4.7 Deskripiv saisik for de anvende variable Mean Median Sd. Dev. Maximum Minimum Observaioner iraxx Europe 15 34,11 8,4,4 15, 15, 575 MS Europe indeks 67,97 69,9 5,15 314,19 1, 575 VIX indeks 16,13 13,64 5,54 31,16 9, Sd.afv. -årig EUR-swap,31,938,84,4718, Kurvesejlhed,6,16,,68,1 575 Iraxx Europe 15 er e indeks over de 15 mes likvide europæiske CDS er. MS Europe Indekse er e indeks over europæiske akiekurser. VIX-indekse er e markedsesima på fremidig volailie i akiemarkede basere på opioner. Sd.afv -årig EUR-swap rener angiver volailieen i de årige EUR-swap rener. Kurvesejlhed angiver sejlheden i renekurven mål ved 1-årig minus -årig EUR-swap. Herudover er forskellige virksomhedsspecifikke variable overveje, bl.a. gældsandel kor og oal, payou-rae, akiekurs sam implied volailie i opionsmarkede på virksomhedens akier. Grunde sor mulikollinarie er disse dog ikke medage, da koefficienerne ellers vil blive biased. Kun virksomhedens akiekurs er inddrage, da den ikke korrelerer væsenlig med øvrige forklarende variable. Akiekursen er imidlerid inpu i L-modellen, hvorfor formåle er a konrollere for akiekursens effek, når de øvrige variable vurderes. De må således forvenes, a akiekursen i e vis omfang kan forklare residualerne, da den selv er 3

40 deerminan for de ModelCDS, som jo neop indgår i beregningen af forskellen mellem ModelCDS og MarkedsCDS. Analysen baseres således primær på de markedsdaa som ses i abel 4.7 og ikke virksomhedsspecifikke variable. Analysen er odel, ide den udføres både i level sam 1. difference dvs. x - x -1. Der eses således for, om residualerne henholdsvis de daglige ændringer i residualerne kan forklares. Ved a ese i level bruges dermed en række idsserier som indeholder uni roos, hvorfor der er risiko for spuriøse resulaer, ide de saisiske forudsæninger ikke er opfyld Brooks,. Resulaerne i level bør derfor forolkes med forbehold, men insignifikane resulaer vil her være e særk signal om a disse ikke har forklaringsevne. Ved analyse i 1. difference mises il gengæld en del informaion, hvor risikoen besår i, a ine kan eses signifikan, hvorfor de signifikane resulaer her er e særk signal. Dee er opridse i abel 4.8. abel 4.8 Meoder il analyse af forskel Level 1. Difference Saisisk FU vedr. Uni-roo Risiko for spuriøse sammenhænge Korrek opgørelse Informaion Al indehold Reducere Sandsynlighed for signifikans Sor lille Fokus Ikke-signifikane variable Signifikane variable Følgende regressioner gennemføres: Residual = β + β EqV + β Iraxx15 i, + β 5 1 i, Kurvesejlhed i, + β 6 VIX i, i, + β + ε 3 MS _ EUR i, i, + β 4 Sdafv EURswap i, Residual i, = β + β EqV 5 1 i, + β Kurvesejlhed + β Iraxx15 i, 6 i, + β VIX i, + β MS_ EUR 3 + ε i, i, + β Sdafv EURswap 4 i, hvor: Residual i, = ModelCDS i, MarkedsCDS i, Ovensående o regressioner udføres for samlige 39 virksomheder, hvor fodegne i repræsenerer de 39 virksomheder, mens angiver idspunke. På værs af regressionerne er analle af signifikane koefficiener opal, og resulaerne er gengive i abel 4.9. Som de ses af abel 4.9 panel A, opnås som forvene urolig mange signifikane koefficiener ved regressioner i level, og forklaringsgraden er her hel oppe på 74,6 %. De ineressane i panel A er a se, om nogle variable ikke bliver signifikane eller signifikane med varierende foregn, ide dee vil være en særk indikaion på, a variablen ikke kan forklare forskellen i CDS-spread. Her bemærkes især variablen kurvesejlhed, hvor koefficienen bliver signifikan for kun 9 af de 39 virksomheder, hvoraf 15 koefficiener med posiiv foregn og 14 med negaiv foregn. Med lige mange foregn i hver rening har denne variabel ikke nogen 33

41 konsisen forklaringsevne. De kan dog ikke for nogen variable afvises, a de kan forklare udviklingen i modelresidualerne. abel 4.9 Analle af signifikane koefficiener il forklaring af modelresiduale ud af 39 virksomheder. Inercep EqV Iraxx 15 MS Europe Sd.afv EURswap Kurvesejlhed VIX Adj. R Panel A: level posiive negaive oal ,6% Panel B: 1. Difference posiive negaive oal ,4% Noe: abellen viser analle af signifikane posiive henholdsvis negaive koefficiener, sam oalen af disse ved e 95% konfidensniveau. Kurvesejlhed er beregne som 1- EURswap. Panel A og B viser resulaerne for regressioner i henholdsvis level og 1. difference. Regressionen i Panel A er: Residual = β +β EqV +β Iraxx15 +β MS_ EUR +β Sdafv EURswap +β Kurvesejl hed +β VIX + ε i, 1 Regressionen i Panel B er: Residual = β +β EqV +β Iraxx15 i, 1 i, i, i, i, 3 3 i, i, 4 +β MS_EUR +β Sdafv EURswap +β Kurvesejl hed +β VIX + ε Resulaer for den enkele virksomhed fremgår af filen Forklaring af residual i mappen af samme navn. 4 i, i, 5 5 i, i, 6 6 i, i, i, i, Panel B viser, a når regressionerne køres på differencer, bliver de pludselig sværere a opnå signifikane koefficiener, hvilke er i overenssemmelse med forvenningerne. De ses, a kun ændringen i virksomhedens akiekurs sam ændringen i Iraxx15 har en markan indflydelse på dagens ændring i residuale. Som idligere nævn skal akiekursen dog forolkes med forsigighed, da den indgår som direke inpu i L-modellen og dermed har indflydelse på ModelCDS. De er således ikke nogen sor overraskelse, a akiekursen også har en vis forklaringsevne på residuale. De kan dermed konkluderes, a ændringer i Iraxx15 kan forklare udviklingen i modelresidualerne. A neop Iraxx15 har en høj signifikans virker mege plausibel, efersom denne variabel er e overordne CDS-index der neop er basere på de undersøge virksomheder. På baggrund af ovensående kan de hermed konkluderes, a Iraxx15 med sor sikkerhed kan forklare en del af udviklingen i modelresidualerne. Samidig kan de ikke afvises, a nogle af de øvrige variable også kan forklare residualerne, ide de alle bliver signifikane i levelregressionen. Dee er naurligvis en svaghed ved modellen og viser neop, a L-modellen ikke kan prissæe CDS er alene, men må kombineres med øvrige forklarende variable for a opnå mere præcise esimaer. 34

42 4.8. Analyse af dynamik mellem model og marked I dee afsni analyseres dynamikken mellem ModelCDS og MarkedsCDS. Blanco, Brennan & Marsh5 har idligere analysere forholde mellem CDS-spread og kredi-spread på ilsvarende erhvervsobligaioner, og de finder, a CDS-spread klar leder kredi-spread på obligaionsmarkede. Ser man derimod på lead-lag forhold mellem CDS- og akiemarkede, er der i øvrige empiriske sudier ikke funde klar bevis på lead-lag sammenhæng Bajlum & Larsen, 7a. Lead-lag forholde mellem CDS- og akiemarkede er imidlerid ineressan a undersøge, ide ModelCDS i en srukurel model neop beregnes på baggrund af akiekurserne og deres volailie. De er i denne opgave funde, a de o idsserier ModelCDS og MarkedsCDS er ko-inegree, hvilke beyder, a de følger e langsige ligevægsforhold, som kun kan afviges på kor sig. Måle er a undersøge, hvordan konvergensen mellem MarkedsCDS og ModelCDS genoprees, dvs. hvordan MarkedsCDS og ModelCDS finder ilbage il de naurlige ligevægsforhold. Ved a regressere o I1 serier på hinanden opnås e sæ af residualer. Når disse residualer er saionære, er ModelCDS og MarkedsCDS koinegrere Verbeek, 4. Residualerne kan nu benyes i e Error Correcion led EC, når dynamikken mellem ModelCDS og MarkedsCDS modelleres. Analysen udføres med en Vecor Error Correcion model VEC give ved: MarkedsCDS = α MarkedsCDS 1 ModelCDS 1 θ + γ + γ1 ModelCDS 1 + γ MarkedsCDS 1 + ε1, ModelCDS = β MarkedsCDS 1 ModelCDS 1 θ + δ + δ1 ModelCDS 1 + δ MarkedsCDS 1 + ε1, Ovensående VEC esimeres for samlige 39 virksomheder. Parenesen indeholder EC ledde, hvori θ er e esima på mean error, mens α og β udgør korrekionsparamerene Wooldridge, 6. De er dermed i parenesen, a residualerne fra koinegraions-regressionen beregnes. Paramerene γ og δ i VAR-srukuren udenfor parenesen er mindre ineressane, men medages for a konrollere for auokorrelaion i lags, så en omied-variable bias undgås. I søgningen efer den bedse model er de funde, a op mod lags i VAR-srukuren fuld ud beskriver dynamikken. De er dog beslue kun a indeholde de førse lag, da de er rigelig il a beskrive sørseparen af dynamikken præcis, ide de reel er EC-delen som er ineressan, og ikke så mege VAR-delen af regressionen. Samidig konvergerer både α, β og θ allerede efer inddragelse af 1. lag. Fordelen besår i, a der ikke mises så mange frihedsgrader, og sandardafvigelserne på de esimerede koefficiener bliver mindre. I abel 4.1 er resulaerne fra VEC-modellen illusrere for case virksomheden HAV FP: 35

43 abel 4.1 Error Correcion koefficienerne for HAV FP α β θ γ γ 1 γ δ δ 1 δ -,173,64-5,48,19 -,73,75,14 -,73,334 Noe: Daa i denne analyse besår af de idsserier for 5-årig MarkedsCDS og ModelCDS for virksomheden HAV FP i perioden Koefficiener er esimere med følgende vecor error correcion model: MarkedsCDS = α MarkedsCDS 1 ModelCDS 1 θ + γ + γ1 ModelCDS 1 + γ MarkedsCDS 1 + ε1, ModelCDS = β MarkedsCDS 1 ModelCDS 1 θ + δ + δ1 ModelCDS 1 + δ MarkedsCDS 1 + ε1, α og β er koinegraionsparamerene mens θ angiver Mean error. γ og δ er lag-koefficiener i VAR srukuren. Forolkning af model Forolkningen af 1. linje i VEC-modellen vedrørende MarkedsCDS er som følger: MarkedsCDS forvenes ændre mellem -1 og som konsekvens af en evenuel uligevæg, der eksiserer på idspunk -1dvs. EC-ledde. Herudover forvenes MarkedsCDS a ændres mellem -1 og, som e resula af ændringerne i både MarkedsCDS sam ModelCDS mellem - og -1 dvs. effeken fra konrol lags med parameeren γ. Forolkningen af modellen kan yderligere illusreres ved e eksempel, hvor der fokuseres på EC-ledde: MarkedsCDS = α MarkedsCDS ModelCDS θ 1 1 De anages, a på idspunk -1 var MarkedsCDS lig 75,4 bp, mens ModelCDS var bp. Derudover anages a α=-,173 og θ=-5,48 svarende il abel 4.1. Ændring i MarkedsCDS beregnes så som: MarkedsCDS = -,173 * 75,4 5,4 = -,173 * 5, = -,435 Der er således for sor e spænd mellem MarkedsCDS og ModelCDS af sørrelsen 5, bp, som må korrigeres i perioden -1 il. Sørrelsen af korrekionen besemmes ved a gange med α. MarkedsCDS vil dermed reduceres med sørrelsen,435 mellem -1 og. 8 På samme måde kan ændringen i ModelCDS i perioden mellem -1 og beregnes, hvor i sede β ganges på residuale. Hele VEC-modellens dynamik er forsøg illusrere i figur 4.9, hvor også lagsrukuren er indehold: Figur 4.9 Genoprening af ligevægen for HAV FP på baggrund af VEC-modellen. 9 7 CDS spread H a n d e l s d a g e M o d e l C D S M a r k e d s C D S Noe: Grafen er konsruere med udgangspunk i koefficen-esimaerne for HAV FP, hvor også VAR srukuren er inddrage. På dag nul inroduceres e chok il MarkedsCDS på plus 5bp. 8 Påvirkningen fra VAR srukuren dvs. paramerene udenfor EC-ledde er ikke inddrage i dee lille eksempel. 36

44 Figur 4.9 viser dynamikken efer e chok. Iniial er ModelCDS på bp, mens MarkedsCDS er på 5,4 bp, dvs. ligevæg i iniialsiuaionen. På dag nul øges MarkedsCDS så med 5 bp, så forskellen siger il 75,4 bp. I de eferfølgende dage bliver ligevægen langsom genopree, ide ModelCDS forøges, mens MarkedsCDS formindskes. De ses dog, a genopreningen kræver adskillige handelsdage, før forskellen igen nærmer sig de 5,4, som symboliserer ligevæg. Resulaer for VEC-model De ineressane koefficiener i VEC-modellen er primær α og β, der viser hvor hurig ligevægen genoprees sam θ, som esimerer mean error. Hvis idsserien for ModelCDS over perioden er mindre end MarkedsCDS, vil θ derfor få negaiv foregn, dvs. mean error er negaiv. Hypoeserne som er i fokus er derfor følgende: Ho: α =, ligevægen genoprees ikke gennem jusering af markedspriser. Ho: β =, ligevægen genoprees ikke gennem jusering af modelpriserne. Ho: θ =, der er ingen forskel i de gennemsnilige niveau, dvs. ME er lig nul. VEC-modellen er esimere for samlige 39 virksomheder, og analle af signifikane koinegraions-paramere er rapporere i abel 4.11, som afslører, a der primær findes negaive θ-koefficiener. Dee er en bekræfelse på de idligere beregnede ME, som ypisk er negaive, dvs. L-modellen underesimerer CDS priserne. abel Analle af signifikane koinegraionskoefficiener ud af 39 virksomheder Konfidensniveau 9% 95% 99% Forvene anal 3,9 1,95,39 α Negaiv sig Posiiv sig β Negaiv sig. 1 1 Posiiv sig θ Negaiv sig Posiiv sig Noe: Daa i denne analyse besår af de idsserier for 5-årig MarkedsCDS og ModelCDS for de 39 udvalge virksomheder i perioden Koefficiener for de 39 virksomheder er esimere med følgende vecor error correcion model: MarkedsCDS = α MarkedsCDS 1 ModelCDS 1 θ + γ + γ1 ModelCDS 1 + γ MarkedsCDS 1 + ε1, ModelCDS = β MarkedsCDS 1 ModelCDS 1 θ + δ + δ1 ModelCDS 1 + δ MarkedsCDS 1 + ε1, α og β er koinegraionsparamerene mens θ angiver Mean error. Modellerne er esimere i E-views vha. VEC i VAR. abellen viser analle af signifikane variable i både posiiv og negaiv rening. Resulaer for den enkele virksomhed fremgår af filen Resulaer VEC-model i mappen af samme navn. 37

45 Efersom der er funde markan flere signifikane koinegraions-paramere if. forvene ved de 3 konfidensniveauer, indikerer dee ydelig, a der er ale om koinegraion. En signifikan negaiv α beyder, a markede vil ree sig ind efer modellens signaler og genopree ligevægen. De ses dog, a α-koefficiener bliver signifikane i både posiiv og lid mindre grad negaiv rening, hvilke afkræfer hypoesen omkring genoprening af ligevæg gennem ilpasning af markedspriserne. Dvs. hvis uligevægen skyldes e ny forecas fra modellen, er der ingen indikaioner på, a CDS-markede ren fakisk reer ind efer dee forecas. Dee er derfor en klar indikaion på, a L-modellen ikke kan forecase CDS priserne i markede. En signifikan posiiv β beyder, a ligevægen genoprees ved a modellen reer sig ind efer markede. De er derfor ineressan, a der for β-koefficienerne ved 95 % konfidensniveau findes 11 signifikane posiive koefficiener mod kun én negaiv. De yder således på, a en uligevæg primær genoprees gennem jusering af modelpriserne. Med andre ord er de ModelCDS, som juserer ind efer markede, når ligevægen skal genoprees. Dee fænomen kan muligvis forklares af, a de daglige ændringer i ModelCDS primær påvirkes af akiekurs og volailie, som de idligere blev fasslåe. Enhver ændring i ModelCDS må skyldes en ændring i en eller flere af de forklarende variable. De beyder også, a hvis ModelCDS skal ree ind efer CDS markede, må der nødvendigvis have være en ændring i akiekursen eller dens volailie, som er forsinke if. CDS markede. Ovensående resula er dog i modsrid med lierauren, hvor der jf. Bajlum & Larsen 7a endnu ikke er funde nogen signifikan lead-lag sammenhæng mellem akiemarkede og CDSmarkede. Dog anager de implici, a akiemarkede leder CDS-markede, ide de baserer handelssraegien på en srukurel model, der kalibreres op mod akiemarkede under den forvenning, a akiemarkede er prissa mes præcis. De skal imidlerid undersreges, a denne opgave bygger på nyere daa fra il , hvor bl.a. den nuværende kredikrise som sarede i sommeren 7 er indehold. De er således ikke uænkelig, a CDS-markede i denne periode har fåe sørre fokus, og dermed måske er bleve prissa mere præcis. Eferhånden som CDS-markede udvikles og likvidieen forøges yderligere, er de dog ikke urealisisk a foresille sig, a prissæningen på dee marked bliver mere præcis. Hvis CDS-markede i fremiden viser sig a lede akiemarkede, vil en naurlig konsekvens være, a problemsillingen vendes på hovede, så ændringer i akiekurser i sede forklares af udviklingen i CDS markede ved a kalibrere modellerne op mod CDS-markede. 38

46 4.9. Delkonklusion I de foregående er L-modellen analysere med de primære formål a vurdere modellens evne il a forudsige CDS-spread i markede. Som grundlæggende anagelse kræves fuld informaion om virksomhedens forhold, hvilke anages opfyld for virksomhedens ledelse, men ikke for markede. Forskellen mellem L-modellens CDS-spread og CDS-spread i markede afviger på lang sig en del, men er funde på samme niveau som i lierauren. Herudover er korrelaionerne mellem ModelCDS og MarkedsCDS mål på level i gns. 67 %, hvilke også er i overenssemmelse med ilsvarende resulaer i lierauren. Dog underesimerer modellen for hovedparen af virksomhederne sysemaisk niveaue for CDS priser. Dee er en generel svaghed ved de srukurelle modeller, som især gør sig gældende ved kore løbeider. Ses der på daglige udsving må de konsaeres, a modellen kommer il kor. Korrelaionerne mellem ModelCDS og MarkedsCDS mål på log-afkas er generel under 3 %, og hældningen mellem ModelCDS og MarkedsCDS er i gennemsni under,1 hvilke vidner om en mege svag sammenhæng. Dee underbygges af o yderligere analyser. I forsøge på a forklare residuale mellem ModelCDS og MarkedsCDS viser opgavens analyse, a de ikke kan afvises a øvrige makrovariable kan forklare residuale. De er påvis, a Iraxx15 har en signifikan evne il a forklare residuale, hvilke vidner om a modellen bør kombineres med flere forklarende variable, hvis den skal give bedre resulaer. Dynamikken mellem ModelCDS og MarkedsCDS er analysere vha. en Vecor Error Correcion Model, hvor der ikke blev funde belæg for, a markede indreer sig efer modellens esima. værimod yder de på, a de er modellen som reer ind efer markedspriserne. Dee ses som en indikaion på, a CDS markede reel reagerer før akiemarkede, som jo danner grundlag for den srukurelle model. Den srukurelle models primære anvendelsesområde se fra en eoreisk vinkel er hos virksomhedens ledelse, som må anages a være de enese, der har fuld informaion om virksomheden. I praksis kan modellen imidlerid finde anvendelse bl.a. i forbindelse med kapialsrukur-arbirage, som de er bleve demonsrere i kapile, ide der i perioder forekommer divergens mellem CDS- og akiemarkederne. 39

47 5. INENSIESMODELLER De har ved de srukurelle modeller vis sig, a kredi-spread på kore løbeider går mod nul, hvilke ikke er i overenssemmelse med de spreads, som kan observeres på markede. eoreikerne har derfor forsøg a udlede modeller, som fier markedsdaa bedre, hvilke delvis er opnåe med inensiesmodellerne. I inensiesmodeller anages modelkonsrukøren kun a have samme informaion som markede, dvs. hisorisk viden om andre virksomheders konkurs sam givne markeds-spreads, der er udgangspunk i modellerne. Indledningsvis gennemgås den grundlæggende eori for inensiesmodeller, hvorefer eorien for den udvalge model forklares. Herefer implemeneres modellen og væsenlige valg diskueres. Modellens resulaer og anvendelsesmuligheder præseneres afsluningsvis Grundlæggende eori Den grundlæggende idé bag inensiesmodeller er ifølge Lando5, a man modellerer konkursidspunke med en sokasisk variabel τ, der eksempelvis følger en poisson-proces med inensieen λ. I inensiesmodellerne er de derfor den lokale konkurssandsynlighed som er i fokus, dvs. de er selve inensieen der er i fokus, og ikke akivernes værdi. Konkurs indræffer, når den underliggende proces for τ springer, hvorimod konkurs i de srukurelle modeller var definere ved en firs-hiing-ime. En virksomhed kan kun gå konkurs én gang, hvorfor processen sopper efer førse spring, og inensieen sæes lig nul. Derfor kaldes τ også soppage ime. Inensieen λ defineres ifølge Lando 5 som den beingede konkurssandsynlighed i e lille idsrum efer, give a virksomheden har overleve indil idspunk. Ved a anvende λ som noaion for konkursinensieen i en sokasisk proces ses de, a inensieen kan variere over id. Inensieen er imidlerid allerede give på =, og afhænger derfor ikke af eksern informaion. Ifølge Lando5 kan konkursidspunke τ defineres som: τ = inf {. : λ s ds E } 1 hvor E 1 er en eksponenialfordel sokasisk variabel med middelværdi 1, som er uafhængig af λ. Dvs. konkurs indræffer i de uendelig lille idsrum, hvor konkursprocessen springer. Generel beegnes en proces med deerminisisk inensie som en Poisson-proces, mens en proces med sokasisk inensie beegnes som en Cox-proces jf. Giesecke4. En Poisson-proces med konsan inensie er kendeegne ved følgende egenskaber jf. Duffie og Singleon 3: λ P τ > + s τ > = e Sandsynlighed for overlevelse i s år: s 4

48 Virksomhedens forvenede leveid: E τ = 1/ λ P τ + τ > Sandsynligheden for konkurs over en kor periode: lim En Cox-proces er kendeegne ved en koninuer og sokasisk inensiesproces. For a nå frem il Cox-processen, anages de indledningsvis a konkursinensieen varierer sokasisk på diskree årlige idspunker. Samidig anages de, a der i år er o mulige udfald for inensieen; højere λ,h eller lavere λ,l inensie. ages forvenningen il den fremidige inensie, kan den årige overlevelses-sandsynlighed skrives som Duffie og Singleon, 3: Pτ > = e λ 1 [p λ,h + 1-p λ,l ] =E [e λ1 + λ ] hvor lille p angiver sandsynligheden for, a konkursinensieen bliver højere. Ved a age forvenningen il sandsynligheden p opnås udrykke efer lighedsegne ovenfor. I generel form med flere idsperioder kan samme udryk skrives som: Pτ > = E [e λ1 + + λ ] Anages de herefer, a konkursinensieen varierer sokasisk men koninuer, hvilke neop beegnes som en Cox-proces, kan overlevelses-sandsynligheden frem il idspunk findes ved a inegrere over ovensående funkion som: τ = E e λ s ds P Konkurssandsynligheden eller 1-Pτ> findes således populær sag som middelværdien over alle forvenede fremidige udfald af inensiesfunkionen frem il evalueringsidspunke. Denne sammenhæng er cenral i modelleringen af kredirisiko med inensiesmodeller. Som de ses af formlen, ligner overlevelses-sandsynligheden en diskoneringsfakor, hvilke udnyes senere. = λ 18 Recovery Som de fremgår af ovensående, indgår der ikke en proces for de underliggende akivers værdi i inensiesmodeller. De er dermed ikke mulig a aflæse direke hvor sor en andel af e give ilgodehavende, der modages ved konkurs. Recovery defineres derfor eksogen, hvor der ifølge Lando5 eksiserer re ilgange: Recovery of face value: Her modager krediorerne en vis procendel af ilgodehavendes hovedsol, uafhængig af løbeid og kuponrene. Økonomisk se kan rimeligheden af denne fordeling diskueres, ide bealingen baseres på bogføre værdier, men de er dog denne fordelingsnøgle som ypisk anvendes ved fakiske konkurser. Derfor anvendes denne anagelse ofe og samidig er den relaiv le a modellere. 41

49 Recovery of reasury: Her modager krediorerne en vis procendel af de fremidige lovede bealinger på samme idspunk. il gengæld gøres bealingerne sikre. Værdien af de fremidige bealinger findes ved a diskonere med sasrenekurven. Denne anagelse anvendes i Jarrow & urnbull1995 sam Jarrow, Lando & urnbull1997. Recovery of marke value: Her modager krediorerne en værdi, som svarer il ilgodehavendes syneiske markedsværdi lige efer konkursen er indruffe. De anages således, a ilgodehavende ved konkurs falder il en brøkdel p af den værdi ilgodehavende udgjorde lige før konkursen, hvormed recovery R=p. Duffie og Singleon1997 og 1999 bruger dog denne anagelse, der er maemaisk korrek, men i praksis er de ikke mulig a finde ilgodehavendes syneiske markedsværdi, da denne værdi jo neop afhænger af den forvenede recovery. I denne opgave anvendes for alle re modeller recovery of face value, der jf. ovensående er den mes benyede anagelse. 5.. Udvidelse af inensiesmodeller Ide kredi-spreade primær afhænger af konkursinensieen, er denne samidig en nøglevariabel i prissæningen. Modellerne ager imidlerid ypisk deres udgangspunk i markedsdaa, hvorved inensieen besemmes endogen i modellerne. Inensieen kan således ikke aflæses direke nogen seder, hvorfor megen forskning har ree sig mod besemmelsen af neop konkursinensieen. Nedenfor redegøres kor for flere af disse udvidelser. Jarrow og urnbull 1995 sam Jarrow, Lando og urnbull 1997 har forsøg a besemme konkursinensieen ved a age udgangspunk i raing-ransiionsmaricer. 9 il en given raing hører en given inensie, og når raingen ændres, bliver inensieen samidig ændre. Dee er umiddelbar inuiiv og fordelen er, a der her skabes e link mellem en virksomheds raing og kredi-spreade på neop denne virksomhed. Virksomhedens raing anvendes således som den observerbare ilsandsvariabel for konkursinensieen. Konkursidspunke besemmes i modelleringen som førse gang en koninuer Markov-kæde med K niveauer rammer de K e niveau niveaue for konkurs. Hermed behøver konkursinensieen ikke længere være konsan over hele løbeiden. En væsenlig ulempe er dog, a inensieen kun ændres når raingen ændres, hvilke i sig selv sker senere end markedes vurdering ændres, hvormed anagelsen bliver emmelig siv Lando, 5. Ide de sore raingbureauer benyer sig af 16 kaegorier for krediværdighed, kan der argumeneres for, a der bør findes 16 forskellige niveauer af kredi-spread en for hver mulig raingkaegori. Ændringer i CDS priser bør således ske i hop mellem de 16 9 Denne rening benævnes ofe raing-baserede modeller i lierauren, og udgør sammen med de inensiesbaserede modeller de o hovedreninger under reduced-form ilgangen. Ide raingbaserede modeller er beslæge med inensies-modeller berøres raingbaserede modeller her kor. 4

50 alernaiver. Dee blødes dog op i udvidelsen af Lando 1998 ved en mere dynamisk ilgang, hvor kredispænde kan ændres på rods af, a raingen er uændre. Herudover kan konkursinensie og risikofri rene korrelere i Lando I inensiesmodellen af Hull og Whie er grundideen, a man kan udlede inensieen for en virksomhed på baggrund af obligaioner udsed af selv samme virksomhed. Dee gøres kor foral ved a sammenligne forward-renen mellem den enkele virksomhedsobligaion og en ilsvarende risikofri obligaion. Modellen har dog en række prakiske problemer, ide den kræver: 1 virksomheden har udsed en række obligaioner med forskellig løbeid, disse er likvide og 3 spreade mellem en risikofri- og virksomhedsobligaion hovedsagelig skyldes konkursrisikoen. I en redje udvidelsesrening har andre forsøg a anvende eorien fra renemodellering, ide funkionen for overlevelses-sandsynligheden som idligere nævn ligner en renediskoneringsfakor. Her anages de f.eks. a konkursinensieen følger en Vasicek eller CIR proces. Endvidere er de mulig a udvide disse processer il N dimensioner, hvor hver dimension angiver en sae variabel, f.eks. væks i BNP, rene og arbejdsløshed osv. Schönbucher 3 og Giesecke4. De er i denne opgave valg a implemenere den en-dimensionale Square roo Model, hvor inensieen anages a følge en CIR proces. Denne underliggende proces for inensieen er valg, ide den ofe anvendes i lierauren som e benchmark if. mere avancerede inensiesmodeller se f.eks. Cariboni & Schouens 6 eller Lando, 5. Square roo modellen anses således som repræsenaiv for inensiesilgangen, ide den illusrerer de grundlæggende aspeker og præseneres i de følgende Square roo modellen I Square roo modellen modelleres konkursidspunke τ ved en sokasisk og koninuer Coxproces med inensieen λ, som anages a følge en Cox, Ingersoll & Ross 1985 proces af ypen: θ λ d + σ dw dλ = c λ 19 rækkrafen c besemmer, hvor hurig ligevægen genoprees hvor θ angiver den langsigede ligevægsinensie. Når c> og θ> svarer formel 19 således il en AR1 model, hvor inensieen λ varierer omkring θ. For små værdier af c kan λ således vandre lang væk fra θ, før ligevægen sluelig nås. il enhver id gælder: Duffie & Singleon, 3: c s λ = θ + λ θ E e s Søjen i ovensående formel 19 udrykkes ved en sandard Brownian moion W, og σ angiver volailieen og mulipliceres med λ, hvilke sikrer a processen næsen aldrig bliver 43

51 mindre end, ide volailieen bliver relaiv mindre for en lav værdi af λ. Ifølge Cox, Ingersoll & Ross 1985 gælder de a: σ var λ s = λ c c s c s σ c s e e + θ 1 e c Indføres Fellers beingelse på CIR processen sikres de, a λ aldrig kan blive nul, ide Fellers beingelse siger a c θ σ Feller Med andre ord kræves de, a de opadgående drif i førse led med mean reversion i formel 19 skal være ilsrækkelig sor il a overskygge volailieen. En CIR proces med Fellers beingelse har fire implikaioner for konkursinensieen Cox, Ingersoll & Ross, 1985b: 1. Ikke negaiv - negaive værdier af inensieen er udelukke.. Ingen evig nulfælde - hvis inensieen når nul, kan den eferfølgende blive posiiv. 3. Relaiv varians - variansen vokser for sørre værdier af inensieen. 4. Ligevægsfordeling for inensieen kan ligevægsfordelingen findes. I diskre id kan ændringen i inensieen beskrives som Duffie & Singleon, 3: λ + λ c θ λ + σ λ ε hvor er længden på en kor idsperiode, mens ε er en uafhængig NF, variabel. Som de ses er ændringen i inensieen over perioden sammensa af e mean reversion led sam e sokasisk led, og de er neop påvirkningen fra disse o led, der samle se besemmer den oale ændring i inensieen. Fellers beingelse ovenfor er således e krav il neop disse o leds sørrelsesforhold. Forholde mellem de o led har også beydning for forolkningen på de enkele paramere, som de illusreres nedenfor. Paramerene i CIR-specifikaionen har følgende fire implikaioner på overlevelsessandsynligheden Q Duffie & Singleon, 3: Inensieen λ har en negaiv sammenhæng il Q, ide en højere inensie for konkurs jo logisk må medføre a sandsynligheden for overlevelse reduceres. Den langsigede ligevæg θ har en negaiv sammenhæng il Q. Jo sørre θ er, jo sørre er konvergensniveaue for λ. Derfor har θ en negaiv sammenhæng med overlevelsessandsynligheden. Hvis volailieen σ øges, vil de samidig forøge sandsynligheden for overlevelse. Dee kan umiddelbar virke ulogisk, men forklaringen findes i a λ e er konveks mh. λ jf. formel 18. Dvs. når λ siger, vil Q falde, mens når λ falder, vil Q sige mere end de ilsvarende fald. Derfor bliver gennemsnie for overlevelses-sandsynligheden sørre jo mere volailie der er i λ. 44

52 rækkrafen c har beydning på sørrelsen af drife fra mean reversion ledde. Når c vil drife fra mean reversion ledde i formel reel gå mod nul og inensieen λ kan vandre lang væk fra θ. Dermed besemmes alle ændringer i λ primær af de sokasiske led. De beyder dermed, a den realiserede volailie på λ forøges, og c har således sin effek gennem en forøgelse af den realiserede volailie. Jf. ovensående punk vedrørende volailieen σ, vil Q derfor forøges, når c formindskes. Hvis omvend c er sor, vil λ blive hold æ ved θ, og Q formindskes. Effeken af en højere c er illusrere i figur 5.1, hvor den samme sokasiske proces er modellere med en c på henholdsvis, og,6, mens ligevægen θ=,9. Figur 5.1 Følsomhed overfor rækkrafen c, 5, 4 Inensie, 3,, 1, B a s e l i n e c =, c =, 6 De ses af figur 5.1, a processen med den højese c hurig rækkes ind il ligevægen og forbliver æ herved, hvorved den oplevede volailie reduceres. Overlevelses-sandsynlighed og CDS spread il beregning af CDS-spread i Square roo modellen kræves e udryk for overlevelsessandsynligheden Q sam for æhedsfunkionen for konkurssandsynlighed q. Overlevelses-sandsynligheden Q er i Square roo modellen give ved Giesecke, 4: a b λ Q = e 1 Hvor γ c / cθ = γe a ln σ γ γ c e 1 + γ e b = γ c e γ = c + σ γ γ γ 3 4 Den kumulaive konkurssandsynlighed er dermed lig 1-Q. æhedsfunkionen for konkurssandsynligheden -q findes ved a differeniere 1-Q mh. : 45

53 1 Q a b λ - q = = e [ a' b' λ ] hvor a og b kan ses i bilag 4. 5 Q og q kan nu indsæes i formel il beregning af CDS-spread: S, 1 R e = rs e rs Qsds qsds Denne prisformel anvendes i de følgende il beregning af CDS-spreade for Square roo modellen Prakisk implemenering af Square roo modellen I de følgende diskueres overvejelserne mh. meodevalg, og implemeneringen af Square roo modellen forklares Beregning af inegraler Ovensående CDS prisformel indeholder o inegraler. Begge inegraler er uden succes forsøg løs analyisk både i hånden sam vha. re forskellige maemaikprogrammer MaLab, Mahemaica sam ScienceWorkplace. Derfor beregnes inegralerne i sede numerisk. vha. Excel og VBA. Indledningsvis er inegralerne forsøg approksimere vha. rapez-meoden, hvor areale under funkionskurven beregnes ved a opdele x-aksen i e anal inervaller og dernæs beregne arealsummen af alle de fremkomne rapezer, som illusrere i figur 5.a og give ved: rapezsum = ½ [fx + fx fx n-1 + fx n ] x I førse omgang inddeles x-aksen i 1 inervaller pr. år, og arealsummen af rapezerne beregnes. rapez-meoden viser sig her ikke a være særlig præcis og samidig emmelig langsom, ide den skal genages for alle 575 handelsdage. Præcisionen kunne selvfølgelig forøges ved a inddele i endnu flere inervaller, men med forværring af beregningsiden il følge. De har således ikke være mulig a finde e ilfredssillende rade-off mellem beregningsid og præcision. Derfor har vi søg efer en alernaiv meode il numerisk beregning af inegralerne. Her er Simpsons meode funde hensigsmæssig, ide denne konvergerer mege hurig. Simpsons meode forklares her kor: 1 Område [a;b], der skal inegreres over, inddeles i lige sore inervaller adskil af miderpunke x. og funkionsværdien for a, b og x i beregnes. re konkree punker x, fx ; x i, fx i ; x n, fx n er nu kende og en parabel skydes ind gennem disse punker jf. figur 5.b. 1 De følgende afsni bygger på Waner 8, Alglib 8 og Allison 8 46

54 Figur 5.a - Inegrale vha. rapez-meoden Figur 5.b - Inegrale vha. Simpson-meoden Noe: Figurer basere på Waner 8. Når re punker er kende, findes der kun én mulig parabel, som indeholder alle re punker, hvor areale under parablen er give ved: Areal under parabel: b-a/6 [fx + 4fx i + fx n ] Herefer opdeles område i 4 lige sore inervaller adskil af x 1, x og x 3, og der fies nu o parable il hhv. punkerne x, x 1 og x sam x, x 3 og x n. Areale under alle parable er generel give ved: Sumareal under parable: b-a/3n [fx + 4fx 1 + fx + 4fx fx n-1 + fx n ] Hvis afvigelsen mellem sumareale basere på 4 inervaller og sumareale basere på inervaller ikke oversiger en given oleranceværdi, vurderes approksimaionen a være accepabel. I modsa fald sares en ieraiv procedure, hvor analle af inervaller fordobles indil o på hinanden følgende resulaer konvergererdvs. afvigelsen skal være under den givne oleranceværdi Fordelen ved Simpsons meode if. rapez-meoden er således, a inegrale approksimeres ved parabler, hvor der findes analyiske løsninger. Samidig bliver løsningen ved Simpsons meode mere præcis, ide kurvens krumning approksimeres ved parablerne, og med samme anal inervaller opnås derfor e lang mere præcis resula. Ved konkre implemenering af ovennævne procedure viser de sig, a sumareale af rapezerne allerede efer få fordoblinger af inerval konvergerer, og Simpsons meode vælges derfor, da den både er relaiv hurig og præcis Kalibrering Modellen kalibreres op mod CDS priserne fra markede på, hvor måle er a minimere summen af de kvadrede afvigelser. Dvs. krieriefunkionen er følgende: 1 j= 1, θ, c, σ markeds Min modelcds j λ CDS j 6 Som de ses af formlen, er der ale om e 4-dimensionel problem, ide paramerene λ, θ, c og σ skal esimeres. Indledningsvis køres ovensående i Excels solver, der dog er mege langsom 47

55 il a finde en løsning. ilmed sopper solveren ofe ved e lokal minimum. Dee kan enen skyldes, a opimeringsområde er mege flad eller, a der findes mange lokale minima, ide solveren søger efer saionære punker vha. gradienligninger il a opimere sin nuværende posiion. il minimering af krieriefunkionen har de således være nødvendig a søge efer alernaive løsningsruiner. Nelder Mead Simplex meoden er i denne sammenhæng funde hensigsmæssig, da den fundamenal adskiller sig fra Excels solver. Nelder & Mead1965 ager udgangspunk i en simplex figur på n+1 punker i e n-dimensinel vekorrum, hvor n er lig analle af paramere, som skal esimeres. Da Square roo modellen indeholder 4 paramere, kræves der her 5 punker i simplexen. Krieriefunkionen for disse fem punker beregnes, og den værse højese værdi idenificeres. Herefer foreages en bevægelse væk fra dee værse punk, indil e bedre punk idenificeres. Denne bevægelse kan ske på fire forskellige måder Pedersen & Heller, 1, hvilke er beskreve i bilag 5. Når de værse punk er bleve ersae af e bedre punk, sarer proceduren forfra igen, hvor de nye værse punk forsøges forbedre. På denne måde vil figuren søge mod e minimum ved hele iden a fjerne sig fra maksimum. En sor fordel ved Nelder Mead besår i, a ruinen er uafhængig af aflede funkioner, ide den blo bruger n+1 værdier af objekfunkionen. Samidig er ruinen robus mod lokale minima, ide der ages udgangspunk i flere sarpunker hen over opimeringsområde i modsæning il Excels solver, som blo forbedrer sin iniiale posiion. Derfor benyes Nelder Mead Simplex meoden il a kalibrere Square roo modellen Opbygning af Square roo modellen De er valg kun a kalibrere Square roo modellen il 1, 3, 5, 7 og 1 års løbeider, da øvrige løbeider i visse ilfælde er mindre likvide. Som iniial esima på de fire parameerværdier anvendes de esimerede værdier fra den foregående dag. Derfor indføres en indkøringsfase, så kalibrerings-ruinen påbegyndes allerede 15 dage inden 1.1.6, hvor analyse-perioden sarer. De førse kalibreringsforsøg viser, a de fire paramere i enkele ilfælde esimeres il negaive værdier, eller il værdier sørre end 1, hvilke ikke er hensigsmæssig. Derfor indføres en høj sraf på funkionsværdien, når blo én af paramerene kommer udenfor inervalle ];1[. 11 Herudover ønskes der også mulighed for a kalibrere op il de senese 5 dage, hvorfor den generelle krieriefunkion udvides med summen af alle dages afvigelser. Analle af dage der kalibreres over noeres ved I, som kan anage værdier fra 1 il 5. Krieriefunkionen i formel 6 udvides derfor il: 11 Dee ersaer derfor Fellers beingelse. 48

56 I 1 Min modelcdsi, j λ, θ, c, σ markedscds j + Penaly λ, θ, c, σ, { 1,3,5,7,1} i, i= 1 j= 1 j 7 hvor Penaly = hvis λ, θ, c, σ ] ;1[ og Penaly = hvis λ, θ, c, σ ] ;1[ Herved begrænses de fire paramere effekiv il område mellem og 1. Ovensående kalibrering genages for alle 575 dage i daasæe. Square roo modellen er opbygge og implemenere i Excel og VBA og dokumenere i filen Square roo model i mappen kap. 5 på vedlage CD Anal dage for kalibrering De er nødvendig a foreage en afvejning af, hvor mange dages observaioner Square roo modellen skal fies il. Ved a fie modellen il én dag, forvenes de, a man opnår en model, der fier markedes CDS-kurve relaiv god, ide den blo skal fie en enkel dags observaioner. På den anden side er de dog også ønskelig med en model med relaiv sabile paramere, og de må formodes, a små udsving i daglige observaioner over flere dage udjævnes, så parameersabilieen forøges ved a kalibrere over flere dage. Square roo-modellen er derfor ese på samlige 39 udvalge virksomheder for både 1, og 5 dages kalibrering i perioden il E væsenlig krierium for en model er som nævn, hvor god CDS-spread i modellen fier markede. Finingen mål ved Mean Absolue Deviaion MAD er beregne for alle 39 udvalge virksomheder for hhv. 1, og 5 dages kalibrering og figur 5.3 viser den gns. MAD for alle 1 CDS-løbeider. Figur 5.3: Gns. MAD for alle 39 virksomheder ved 1, og 5 dages kalibrering 1-1 årig CDS Gns. MAD for alle virksomheder 4,5 1 dag 4 dage 3,5 5 dage 3,5 1,5 1, anal år for CDS Noe: Resulaer for samlige virksomheder findes i mappen Resulaer for Square roo model. 1 1 VBA-algorimerne er basere på Alglib 8. 49

57 De fremgår af figuren, a 1 dags kalibrering som forvene giver den lavese gns. MAD for alle virksomhederca. 1,5 bp.. i gns., mens især 5 dages kalibrering giver en væsenlig højere gns. MAD. Umiddelbar aler dee for, a man bør kalibrere il 1 eller dages observaioner. Ser man i sede på parameer-sabilie, kan denne f.eks. opgøres ved a måle sandardafvigelse på de fire paramere, hvor en lav sandardafvigelse er udryk for a parameeren er sabil. Sandardafvigelsen for de fire parameer er beregne for alle 39 virksomheder, og gennemsnie er vis i figur 5.4: Figur 5.4: Gns. sandardafvigelse på de 4 paramere for 1, og 5 dages kalibrering Gns. sd.afv. alle virksomheder,35,3,5,,15,1,5 Figur 5.4 viser, a der ikke er den sore forskel på parameer-sabilieen for hhv. 1, og 5 dages kalibrering med undagelse af den gns. sandardafvigelse for θ, som ved 5 dages kalibrering er noge lavere. λ θ c vol De vurderes samle se, a der ikke er væsenlig forskel på parameer-sabilieen for hhv. 1, og 5 dages kalibrering. Efersom 1 dags kalibrering giver klar den mindse gns. MAD, vælges de derfor a anvende 1 dags kalibrering i den fremadreede analyse Resulaer for Square roo modellen Dee kapiel redegør for Square roo modellens resulaer. Indledningsvis vurderes følsomheden på de fire paramere. Eferfølgende vurderes modellens evne il a fie CDSspread i markede og afsluningsvis sammenlignes modellens esima for konkurssandsynligheden med den ilsvarende fra L-modellen Analyse af parameer-følsomhed Square roo modellen er som andre inensiesmodeller kendeegne ved, a de væsenligse inpu i modellen er CDS-priserne. 13 Dee sår i modsæning il de srukurelle modeller hvor CDS-priserne værimod er de væsenligse oupu. 1 dag dage 5 dage Noe: Sandardafvigelsen på de fire paramere er beregne for hver af de 39 virksomheder, og gennemsnie af disse ses i figuren. λ er skalere op med eller kredi-spread på erhvervsobligaioner 5

58 I Square roo modellen er oupu de fire paramere i CIR-specifikaionen, og på baggrund af disse kan overlevelses-sandsynligheden Q beregnes. Denne modelberegnede Q vil senere blive anvend il hedging af en CDS-porefølje. De fire paramere afhænger imidlerid af både niveau, sejlhed og krumning på CDS-kurven, hvorfor der ikke direke kan laves følsomhedsanalyse på hvordan paramerene påvirkes af en forøgelse af CDS-spread observere i markede. Derimod er de ineressan a analysere, hvordan de fire paramere påvirker overlevelses-sandsynligheden Q, hvilke er fokus for de følgende afsni. I eorikapile 5.3 blev der redegjor for de fire CIR parameres eoreiske indvirkning på overlevelses-sandsynligheden, og denne redegørelse suppleres nu med resulaerne fra den implemenerede model. Den eoreiske sammenhæng jf. kap. 5.3 er opsummere i abel 5.1. abel 5.1 sammenhæng mellem CIR-paramere og Q Parameer Påvirkning på Q λ Negaiv Θ Negaiv σ Posiiv c Negaiv Noe: En negaiv påvirkning på overlevelses-sandsynligheden Q beyder, a en signing i parameerkoefficienen medfører en reducere Q. Som daagrundlag anvendes case-virksomheden UI GR, og basis-scenarie baseres på Square roo modellens kalibrering den 4.1.8, hvor de fire paramere blev kalibrere il følgende værdier: λ =,397, θ =,86, c =,169, σ =,194. På baggrund af disse kan den 1-årige overlevelsessandsynlighed Q1 beregnes il,9538. Figur 5.5 viser følsomheden i Q1 overfor ændringer i værdien for henholdsvis λ eller θ. Figur 5.5 Overlevelses-sandsynlighedens følsomhed overfor λ og θ 1, Overlevelses-sandsynlighed, 9 8, 9 6, 9 4, 9,, 1,, 3, 4, 5, 6, 7 L a m p d a / h e a l a m p d a h e a Af figur 5.5 fremgår de, a hvis λ eller θ forøges, så reduceres Q som forvene. De ses samidig, a den negaive sammenhæng er sørs for λ, ide denne kurve er sejles. De skal imidlerid erindres, a kurven er vis for den 1-årige overlevelses-sandsynlighed, og dee kan 51

59 således ses som en indikaion på en særk sammenhæng mellem λ og den korfrisede overlevelsessandsynlighed. ilsvarende analyse kan foreages for σ og rækkrafen c, og figur 5.6 illusrerer konsekvensen for Q1, hvis σ eller c anager andre værdier. Figur 5.6 Overlevelses-sandsynlighedens følsomhed overfor σ og c, 9 6 5, 9 6, 9 5 5, 9 5, 9 4 5, 9 4, ,, 5, 1, 1 5,, 5, 3, 3 5, 4, 4 5, 5 S i g m a / r æ k k r a f c c v. a k s e s i g m a h. a k s e Figur 5.6 viser, a σ som forvene har en posiiv påvirkning på Q. Som de fremgår af figuren er den posiive sammenhæng konveks, hvilke beyder, a ved lav volailie, er volailieens marginale påvirkning på overlevelses-sandsynligheden mindre. ilsvarende ses, a rækkrafen c som forvene har en negaiv påvirkning på Q. På baggrund af ovensående følsomheds-analyse konkluderes de, a den eoreiske sammenhæng jf. kap. 5.3 mellem de fire paramere og overlevelses-sandsynligheden Q, er bekræfe i resulaerne fra den implemenerede model Fining Med udgangspunk i 1 dags kalibrering er mean error ME mellem Square roo-modellen og MarkedsCDS illusrere for de 39 virksomheder i figur 5.7. il sammenligning er de ilsvarende ME-resulaer fra L-modellen også medage i figuren. Figur 5.7: Mean error for 5-årig CDS 1 dags kalibrering > -1 > - > -19 > -18 > -17 > -16 > -15 > -14 > -13 > -1 > -11 > -1 > -9 > -8 > -7 > -6 > -5 > -4 > -3 > - > -1 > -8 > -6 > -4 > - > > > 4 > 6 > 8 > 1 > > 3 > 4 > 5 > 6 > 7 > 8 > 9 > 1 > 11 > 1 > 13 > 14 > 15 Overlevelses-sandsynlighed, 9 5 5, 9 5 5, , , , 9 5 4, 9 5 4, , Anal observaioner Square roo model L model Noe: Mean error angiver den gns. afvigelse mellem ModelCDS og MarkedsCDS 5

60 De fremgår ydelig af figuren, a Square roo modellen, i modsæning il L-modellen, fier MarkedsCDS ganske god; fakisk ligger ME for alle virksomheder indenfor inervalle [-3;3] bp. og i de flese ilfælde mege æ på bp. Dee var dog også forvene, ide modellen neop kalibreres ved a minimere afvigelserne mellem ModelCDS og MarkedsCDS. Square roo modellen har således den ønskværdige egenskab, a modellen sor se fier markede. En anden ineressan egenskab ved Square roo modellen er i øvrig, a der er sor sammenhæng mellem inensieen λ og den kore ende af CDS-kurven. Dee er illusrere i figur 5.8 for case-virksomheden UI AG, hvor inensieen og de 1-årige CDS-spread er vis. Figur 5.8: Graf over inensie og 1-årig CDS-spread for UI AG,1,9,8,7,6,5,4,3,,1, Inensie v. akse 1 årig CDS-spread h. akse De kan samle se konkluderes, a Square roo modellen i høj grad er i sand il a fie CDSkurven observere i markede Forudsigelse af konkurs E vigig aspek for en model er, hvorvid den kan forudsige konkurs. Hensigen med dee kapiel er udelukkende a redegøre for, hvordan konkurssandsynligheden kan esimeres på baggrund af forskellige modeller og ikke a foreage en omfaende analyse på værs af virksomheder. Vi har undersøg konkurser bland amerikanske virksomheder 14 og udvalg den nordamerikanske virksomhed Quebecor World Inc. som case-virksomhed. Quebecor indgav konkursbegæring d. 1. januar 8. Af hensyn il virksomhedens oprindelse anvendes amerikanske swap-rener il analysen. I de følgende undersøges de, hvorvid Square roo-modellen i forhold il L-modellen er i sand il i god id forinden konkurs a indikere en voksende konkurs-sandsynlighed. Indledningsvis redegøres for hvorledes den 1-årige kumulaive konkurssandsynlighedkks kan beregnes for hhv. L-modellen, Square roo modellen sam direke fra markede. Dernæs sammenlignes og vurderes resulaerne for case-virksomheden for de re meoder. 14 De har ikke være mulig a finde ilfredssillende konkurs-daa på Iraxx-virksomheder. 53

61 AI Square roo modellen kan overlevelsessandsynligheden Q jf. formel 1 beregnes ved: a b λ Q = e ; hvor a, b og λ er give i formel -4 Jf. kap 5.4 kalibreres de fire paramere i Square roo -modellen, så ModelCDS fier il MarkedsCDS. Hernæs kan KKS beregnes som 1- Q. B I L-modellen er overlevelses-sandsynligheden Q jf. formel 9 give ved: b λ Q = 1 N + e σ og dermed kan KKS besemmes ved: b λ KKS = N + e σ λb σ λb σ b + λ N σ b + λ N σ I lighed med kap. 4.4 kalibreres L-modellen, så modellens EqV og σ E fier med de i markede observerede værdier. I mangel på daa for implied volailie anvendes der i modellen 1-årig hisorisk volailie, og modellen kalibreres derfor il den hisoriske volailie som beskreve i kap C Endelig kan KKS også lid forsimple direke esimeres fra de observerede CDS-spread ved følgende approksimaion Goldman Sachs 4: KKS = CDS-spread / 1-R Resulae af a anvende de re ovensående forskellige meoder il beregning af KKS for Quebecor World Inc. i perioden il er vis i figur 5.9. Figur 5.9: Beregne 1-årig kumulaiv konkurs-sandsynlighed for Qeubecor World Inc. 1, 8, 6, 4, L M o d e l M a r k e S q u a r e r o o M o d e l Noe: Virksomheden gik konkurs 1. januar 8, hvilke svarer il sidse observaion på grafen. Der forefindes ikke markedsdaa for virksomhedens CDS-spread i perioden før Som de fremgår af figuren, er der sor sammenhæng mellem den beregnede KKS for Square roo modellen og KKS basere på Markedes 1-årig CDS-spreadMarke. Dee er inuiiv, da 54

62 de primære inpu i Square roo modellen neop er markedes CDS-priser. De beyder, a Square roo modellen kun indeholder samme informaion som markedes CDS-priser, og vil derfor ikke være i sand il a indikere høj konkursrisiko, førend dee er inkorporere i CDSpriserne. Derimod fremgår de, a L-modellen allerede o år inden konkurs indikerer en relaiv høj KKSover % for derefer a afage lid igen. Omkring eksploderer KKS og går mod 1% frem mod konkurs-idspunke. I modsæning heril viser de o andre grafer førs en markan signing i KKS omkring medio december 8, der efer afagning igen siger markan omkring For denne virksomhed har L-modellen derfor ilsyneladende være i sand il allerede på e idlig idspunkca a forudsige en høj KKS fra L-modellen, hvilke er lang id før markede har inkorporere en så høj sandsynlighed. Der skal dog især ages forbehold for, a L-modellen som vis i kap 4.4. ikke alid rammer de rigige CDS-niveau. Dee skyldes bl.a., a fassæelse af barriere og andre virksomhedsspecifikke inpu sker ud fra ekserne daa, der kan være behæfe med megen usikkerhed. Dee delkapiel har illusrere hvordan konkurssandsynligheden kan esimeres i Square roo modellen sam L-modellen. På baggrund af ovensående analyse af en enkel virksomhed vurderes grundlage dog ikke ilsrækkelig il a konkludere, hvorvid L-modellen generel er god il a forudsige konkurs Anvendelsesmuligheder for Square roo modellen I dee afsni illusreres, hvordan en finansiel insiuion kan bruge Square roo modellen il hedging af forskellige CDS-posiioner på samme virksomhed. Case-virksomheden HAV FP anvendes il illusraion. Lierauren om prakisk implemenering af inensiesmodeller omhandler primær fining af modellerne, hvorfor dee afsni samidig er e forsøg på a bidrage il lierauren vedrørende den prakiske anvendelse af inensiesmodeller. Kapile skal således ses som vores forsøg på a operaionalisere, hvordan banker eller andre radere kan hedge deres posiioner på CDS markede. 15 Ide Square roo modellen fier markede ganske god, kan den bruges il a udlede følsomheder og beregne risikoal på CDS posiioner. Dee kapiel fokuserer på o af de primære følsomhedsmål: Base poin value BPV sam Jump Risk Emne i dee afsni er inspirere af elefonsamale med Mads Fredsgaard fra Nordea Markes, som har give en kor inrodukion il hverdagen som CDS-rader, hvor fokus neop er på hedging og risikosyring. 16 Ifølge Mads Fredsgaard fra Nordea Markes er o af de primære følsomhedsmål BPV og Jump Risk. 55

63 Hedging af Base Poin Value BPV angiver følsomheden overfor en parallelforskydning i kredikurven. De vil sige hvordan ændres værdien af den nuværende CDS porefølje, hvis spreade S på CDS-kurven parallelforskydes med 1 basispunk. BPV måles således som dv/ds, og V CDS er give ved formel 1 som gengives her: V CDS, = 1 R e rs qsds S, e rs Qs ds Approksimaiv kan probleme nu løses ved blo a differeniere ovensående mh. S og dermed holde r, R, -q og Q fas. Dee er dog ikke hel korrek, da en parallelforskydning af kurven nødvendigvis må have en årsag dee sker ikke blo af sig selv. Hvis kurven skal forskydes, må de være som følge af ændre opfaelse af overlevelses-sandsynligheden Q og konkursæheden q. En ændring i CDS-kurven kunne også skyldes e ændre reneniveau eller en ændre forvenning il recovery, men i denne analyse vil de som nævn blive anage, a enhver fremidig forskydning i CDS-kurven skyldes en ændre Q og q. 17 For a besemme dv/ds kræves på baggrund af ovensående følgende re seps. 1. Modellen kalibreres il den nuværende CDS kurve i markededvs. V CDS skal være lig nul, hvorved de nuværende Q og q besemmes.. Modellen kalibreres il CDS kurven +1 bp, hvorved den nye ligevæg findes. Herved fremkommer de nye værdier Q og q, ide de anages a kurven kun kan forskydes som følge af ændre Q og q il Q og q. 3. De nye værdier Q og q indsæes i CDS værdiformlen ovenfor med de oprindelige spread S,, hvorved værdien af konraken efer parallelforskydning af CDS kurven findes. Denne procedure illusreres med e lille al-eksempel på case-virksomheden HAV FP. Spread på den 1-årige CDS er i markede den 14. mars 8 observere il 195,7 bp. r=4,394%, mens R anages a være 4%. Sep 1 er så a kalibrere modellen op mod hele CDS-kurven, hvor værdien V CDS =. På denne dag kan rs rs e Qsds besemmes il,96473, mens e qsds besemmes il, Som konrol kan disse indsæes i værdiformlen ovenfor, og sikre V CDS giver nul: V CDS = 195,7 1. 1,4,31465,96473 = 17 Reel er de de de diskonerede værdier af Q og q som anvendes, dvs. der er inegrere over løbeiden som de ses i CDS-værdiformlen. For nemheds skyld henvises imidlerid blo il Q og q. 56

64 Sep er så a genkalibrere modellen op mod den forskude CDS-kurve. Herved besemmes rs rs e Qsds il,964654, mens e qsds besemmes il,3163. I sep 3 indsæes disse diskonerede værdier i værdiformlen, og værdien besemmes il: 195,7 V CDS = 1,4,3163, =, Som de ses, medfører en 1 bp. parallelforskydning af CDS kurven, a værdien af den allerede købe CDS konrak siger med,9646 EUR pr. 1 EUR i forsikrings-hovedsol FH. Denne følsomhed beegnes forward difference, ide den kun er beregne for en signing i CDS-kurven. Ovensående procedure kan imidlerid også gennemføres for en parallelforskydning af CDS-kurven med 1 bp, hvorved backward difference kan besemmes il,9648. Dermed bliver cenral difference approksimaiv 18 lig,9647, beregne som e simpel gennemsni af o førnævne. Samme beregninger kan genages for de øvrige løbeider. Resulaerne af dee er vis i abel 5. kolonne 4dV/dS. Forolkningen af abel 5. kolonne 4 er, a for en solg 1-årig CDS med 1 EUR forsikringshovedsolfh, vil en 1 bp. kurvesigning medføre e ab på,9647 EUR. Logikken bag dee ab er ligefrem: Hvis en bank har solg en CDS modages en præmie for forsikringsdækningen. Siger CDS-kurven beyder dee, a en ilsvarende dækning nu er bleve dyrere, og banken må derfor have e ab ved kun a modage den gamle lavere præmie. Som de ses i kolonne 4, er følsomheden sørre, jo længere løbeiden er, hvilke er hel i råd med forvenningerne. Beregning af dv/ds er også foreage for parallelforskydning af CDS-kurven med, 3,, 1 bp. 19 Her opnås i alle ilfælde approksimaiv samme resula for cenral difference. Dee viser, a konveksieen har lille beydning for små ændringer i bp. og endnu vigigere, a resulaerne ikke synes a være påvirke af søj som følge af kalibreringen. I abel 5. er de illusrere, hvorledes en banks CDS posiioner er følsomme overfor parallelforskydninger af CDS-kurven, hvor bankens posiionsbog er opsille for CDSposiioner med forskellig løbeid for HAV FP. Som de ses i abel 5. kolonne, har banken solg en forsikring il en FH på 1. EUR med en løbeid på 1 år sam en ilsvarende på 7 år. Derudover har banken køb en 3-årig CDS med 1. EUR FH. Kolonne 5 viser poreføljens følsomhed mål i EUR dpf/ds, hvis CDS-kurven siger 1 bp. mål ved cenral difference. Samle se vil en kurvesigning på 1 bp. medføre e nuidsværdiab il banken på 3,358 EUR. ilsvarende vil e fald i CDS kurven medføre en gevins på 3,358 EUR. 18 Sørrelsen af approksimeringsfejlen afhænger af konveksieen, som dog kun får lille indflydelse ved små ændringer i spread. 19 Resulaerne ses på CD en i regnearke Beregning af BPV i mappen af samme navn. 57

65 abel 5. Porefølje af CDS på HAV FP, hvor BPV skal hedges Løbeid Køb Solg dv / ds dpf / ds 1 1.,9647 -,9647, ,6545,6545 4, , , ,5479-5,479 8, ,585 1, ,358 Noe: dv/ds er beregne som cenral difference når CDS-kurven forskydes med + 1bp. dpf / ds angiver poreføljens følsomhed mål i EUR overfor ændring i CDS-kurven. Hvis poreføljens følsomhed overfor parallelforskydninger af CDS-kurven skal hedges, må dpf/ds sæes lig nul. Ide den mes likvide løbeid som idligere nævn er den 5-årige CDS, bruges denne som de frie insrumen il a hedge poreføljen. Spørgsmåle er således, hvilken posiion h 5 banken skal indage i den 5-årige CDS for a dpf/ds =. Svare findes ved a løse følgende ligning, hvor FH og h angiver henholdsvis forsikringshovedsol og hedgeposiion med løbeid : PF 1 V = S = 1 S = 8.416,53 FH + h = s.. h h, h, h, h, h, h, h, h 8 1, = = 1., , , h h 5 5,39898 For a hedge poreføljen skal banken dermed købe 5-årige CDS er il en FH på al i al 8.416,53 EUR. Probleme kunne naurligvis også løses ved a anvende andre løbeider end 5 år eller evenuel en kombinaion af flere løbeider. Endvidere kunne eksemple udvides ved også a hedge den. aflede δ PF/δS. Nedenfor redegøres nu for hvordan de ande følsomhedsmål kan hedges Hedging af Jump Risk Jump risk beegner den risiko, som er forbunde med en virksomheds konkurs og de derilhørende bealinger. Navne jump risk følger i øvrig af, a konkurs neop indræffer, når der sker e spring i den underliggende Cox-proces. Jump risk og hedging heraf vil blive illusrere ved nedensående eksempel, hvor en bank ønsker a sikre en opnåe gevins. Banken anages om morgenen d a have solg en 1-årig CDS på HAV FP med en FH på 1. EUR, hvor spread ifølge Daasream var,8 bp. Værdi af CDS på indgåelsesidspunk for konraken var naurligvis nul. I løbe af dagen falder CDS-spread i markede, og banken kan nu glæde sig over a have indgåe en forsikring, hvor der modages 58

66 e CDS-spread på,8 bp., mens CDS-spreade for en ilsvarende forsikring nu er lavere i markede. Imidlerid skal banken beale forsikringssummen FS, hvis HAV FP går konkurs. For a sikre sig mod jump risk vælger banken derfor a lukke sin posiion ved a købe en ilsvarende 1-årig CDS, der ved lukkeid d handlede på 195,7 bp, ifølge Daasream. Bankens posiioner kan dermed silles op som i abel 5.3: abel 5.3 Bankens posiioner på HAV FP i poreføljen Porefølje FH CDS-spread Salg -1.,8 Køb ,7 Neo 7,1 Ved en konkurs på HAV vil den solge CDS medføre en konkursudbealing på 1.*1-R, men samidig opnås en ilsvarende indbealing på den købe CDS, hvorfor bealinger ved konkurs nu er hedge. Som de fremgår af abel 5.3 modager banken løbende en spread-indbealing på i al 7,1 bp, og den forvenede nuidsværdi heraf kan beregnes vha. formel 1 for værdien af en CDS: V CDS, = 1 R e rs qsds S, e rs Qs ds Ide konkursbealingen som nævn er neuralisere, giver førse led nul og værdien besemmes således udelukkende af ande led i værdiformlen, ide poreføljen nu besår af en spreadindbealing på,8 bp. sam en spread-udbealing på 195,7 bp. Jf. forrige afsni kan rs e Qsds besemmes il,9647 og nuidsværdien af gevinsen beregnes med formel 15: π, = + S, S, e so lg køb rs Qs ds,8 195,7 7,1 π, = +,9647 =,9647 = 6, Imidlerid er de vigig a bemærke, a denne gevins ikke er sikre, ide den udbeales som e løbende spread over CDS ens løbeid, men kun så længe virksomheden ikke er gåe konkurs. Går virksomheden konkurs i dag, borfalder den forvenede gevins. Dermed besår jump risk reel af o komponener, ide der både er risiko ifm. 1konkursbealingen FS sam ab forjenese ved konkurs. De illusreres nu, hvordan både komponen 1 og kan hedges simulan for den iniiale CDSposiion på -1. EUR i FH: Såfrem HAV FP går konkurs i dag, da vil banken udover konkursbealingen komponen 1 også mise sin løbende gevins komponen. Summen af komponen 1 og kaldes 59

67 værdiabe ved konkurs. Banken skal således påage sig en hedgeposiion h i CDS en, så de sikres, a i ilfælde af konkurs modages beløb svarende il den misede gevins, dvs.: Neokonkursbealingen = Værdiabe ved konkurs Neokonkursbealingen fra den samlede posiion kan beregnes som: Neokonkursbealingen = FH + h1 R 9 hvor FH angiver den iniiale CDS-posiiondvs. -1., mens h angiver hedgeposiionen. Ved beregning af værdiabe ved konkurs skal der ages højde for, a der er ilknye en løbende spread-bealing il hedgeposiionen, hvorfor de samlede værdiab ved konkurs beregnes ved:, rs Værdiabe ved konkurs = VCDS, + FH + h S e Qs ds 3 hvor V CDS angiver den løbende gevins på den iniiale posiion, mens ande led udgør spreadbealingen for den samlede posiion efer hedging. Krave er dermed, a Neokonkursbealingen skal være lig Værdiabe ved konkurs. Hedgeposiionen h findes derfor ved a sæe formel 9 og 3 lig hinanden og løse for h:, rs FH + h1 R = VCDS, + FH + h S e Qs ds 195, h 1,4 = 6, h, h = 1.11,677 Bankens samlede porefølje efer hedging ses i abel 5.4, hvor hedgeposiionen på 1.11,677 er specificere ud på komponen 1 og. abel 5.4 Bankens porefølje efer hedging af jump risiko både komp. 1 og Porefølje FH CDS-spread Cash Flow Værdi CF Salg -1.,,8,8 Køb 1., 195,7-195,7 Hedging af komponen 1 Køb 11, ,7 -, Hedging af komponen 7,1 6,8834 Beingelse 6,646 6,646 rs Noe: e Qsds er lig,96473, mens R anages lig,4. I. kolonne beregnes beingelsen for neokonkursbealingen som: ,677 * 1-R I 4. kolonne beregnes Cash flow som: FH * CDS-spread / 1. I 5. kolonne beregnes Værdi som: CashFlow * rs e Qsds Som de ses af abel 5.4, vil en hedgeposiion på i al 1.11,677 i forsikringshovedsol medføre, a posiionen er hedged mod jump risk. Af hedgeposiionen skal der beales e CDSspread på 195,9 EUR beregnes som 195,7 +,, så de posiive cash flow reduceres og ender på 6,8834. Dee cash flow realiseres løbende, såfrem virksomheden overlever hele perioden. Forvene nuidsværdi af denne gevins er lig 6,646. Beregne som CF*disc_Q = 6,8834*,96473 = 6,466 6

68 Hvis omvend HAV går konkurs, vil banken modage en konkursbealing på 6, Dermed er posiionen nu hedged, ide bankens gevins er 6,646 ligegyldig om HAV går konkurs eller ej. De siger imidlerid sig selv, a denne posiion løbende skal rebalanceres. Eferhånden som udløbsidspunke nærmer sig, realiseres gevinsen koninuer i form af de løbende præmiebealinger. Hedgeposiionen skal imidlerid koninuer reduceres, for il sids a udgøre nul på udløbsidspunke Kombinere hedging af Base Poin Value og Jump Risk Ovensående o hedge-eksempler kan kombineres i e samle eksempel, som simulan ager højde for både BPV sam jump risk. I abel 5.5 panel A ses bankens oprindelige porefølje, som er bleve anskaffe om morgenen den 14. mars 8. De ses, a denne er idenisk med poreføljen, som blev anvend i 1. eksempel vedr. BPV. I kolonne ses de, a banken i øjeblikke har en kor posiion på al i al. =1 og =7, mens de købe CDS er udgør 1. =3, hvilke viser a jump risikoen ikke er hedged. Kolonne 6 vises de præmier som den nuværende porefølje er indgåe il, mens kolonne 7 viser de nuværende CDS-spread i markede. I kolonne 8 og 9 ses de esimerede værdier for rs qsds rs e Qsds diskonere Q og e diskonere q på baggrund af de nuværende markeds-spread. I kolonne 1 ses værdien af den oprindelige porefølje, hvor de i bunden af kolonnen ses, a værdien af den oprindelige porefølje er 41,4 EUR. Kolonnen 1 viser BPV dv/ds for hver enkel løbeid, og i kolonne 13 er BPV mål i EUR dpf/ds på poreføljen beregne. I kolonne 13 ses de således, a poreføljens følsomhed overfor en parallelforskydning af CDS-kurven er 3,358, hvilke viser, a BPV heller ikke er hedged. De kræver o insrumener a hedge o beingelser, hvor de anages a banken har e insrumen i hver ende af kredikurven, dvs. 1-årig CDS og 1-årig CDS, ide alle idsmæssige kombinaioner så kan konsrueres. Resulae af dee ses i panel B, som er en udvidelse af panel A. I panel B er hedge-poreføljen HP ilføje i kolonne 3. I kolonne 4 og 5 er HP opsplie i hedge af FH sam hedge af gevins på den oprindelige porefølje. I kolonne 11 er værdien af cash flowe fra kolonne 5 beregne på samme måde som Jump risk i kap Dee er kun gældende såfrem recovery bliver 4%. Analysen kunne udvides il en siuaion hvor recovery ikke bliver 4%. Hedging ville her kræve a banken opager en direke fordring på virksomheden i form af e lån eller køber en erhvervsobligaion med samme løbeid. 61

69 abel 5.5 Simulan hedging af både BPV og Jump risk. Panel A: Risiko på oprindelig posiion før hedging Kolonne Oprindelig porefølje FH Hedge porefølje HP Værdi Cash Flow fra 'Hedge af gevins' dv/ds dpf/ds Hedge af Hedge af Værdi Løbeid FH gevins FH 1-1.,,,,8 195,7,9647,315 6,86,,9647 -, ,9 319,3,6535,141-3,67,6545, ,6 383,3 5,43,34 64,85,5479-5, ,,, 48,7 395,4 6,181,47,,61767, I al -1.,,, 41,4, Beingelser -6., 41,4-3,358 Panel B: Risiko på samle posiion efer hedging Oprindelig porefølje FH Hedge porefølje HP Konrakspread på FH Markedsspread på HP Diskonere Q Diskonere q Konrakspread på FH Markedsspread på HP Diskonere Q Diskonere q Værdi Cash Flow fra 'Hedge af gevins' dv/ds dpf/ds Hedge af Hedge af Værdi Løbeid FH gevins FH , ,4 3,96,8 195,7,9647,315 6,86 -,58,9647 -, ,9 319,3,6535,141-3,67,6545, ,6 383,3 5,43,34 64,85,5479-5, , ,58 5,91 48,7 395,4 6,181,47-6,33,61767,898 I al ,87 1., 56,87 41,4-6,9 Beingelser 34,1 34,1, Noe: Kolonne 1 er beregne med CDS-værdiformlen, hvor S, ses i kol. 6 og diskonere Q og q ses i kol. 8 og 9. For =1 er værdien således 6,86 som i kap vedr. Jump risk. Kolonne 11 er beregne som rs Værdi = S, e Q s ds Hedge_ af _ Gevins, hvor S, er de nuværende markeds-spread i kol. 7, mens Hedge af Gevins ses i kol. 5. Kolonne 13 er beregne som PF V = FH + HP, hvor dv/ds ses i kol. 1 mens FH og HP ses i kol. og 3. S S Beregning af beingelser kan ses i eksen hvor resulaerne og formlerne vises. 6

70 Hedging udføres denne gang ved a o beingelser skal være opfyld, ide kravene vedrørende BPV og Jump Risk neuralie igen anvendes. Beingelse nr. 1 vedrører Jump Risk og kan opsilles vha. følgende relaioner, som er en genagelse af formlerne 9 og 3 udvide med alle i løbeider: Neokonkursbealingen = 1 FH + h 1 R 31 = 1 Værdiabe ved konkurs 1 = = h rs CDS, + FH + hi S, e Q s ds 1 = 1 i= 1 hi i= 1 V 3 Som i kap sæes formel 31 og 3 lig hinanden, hvilke giver beingelse 1: 1 = 1 1 = h i 1 = 1 i= 1 hi i= 1 rs FH + h 1 R = V + FH + h S, e Q s ds s. h h,..., h CDS,, 3 9 = I abel 5.5 kan denne beingelse aflæses i nederse række i hver panel. Neokonkursbealingen mellem kolonne og 3 skal være lig værdiabe ved konkurs mellem kolonne 1 og 11, således a jump risikoen er hedged. Beingelse nr. vedrører BPV-neuralie og jf. formel 8, give ved: PF 1 V BPV = = FH + h = s. h, h3,..., h9 = 33 S = 1 S BPV hedges ved a sikre, a summen af kolonne 13 i abel 5.5 er lig nul, så risikoen fra en forskydning af CDS-kurven neuraliseres. Ovensående udgør således o ligninger med o ubekende h 1 og h 1, som skal løses. Probleme er løs med Excels solver og følgende resulaer findes: h 1 = 5475,38 og h 1 = 4581,49 Som konrol af løsning indsæes værdierne for h 1 og h 1 i ovensående formler 31-33: Neokonku rsbealingen = , ,49 1,4 = 34,1 5475,38 Værdiab ved konkurs = 41, , ,49,1957, , , , , ,49,3954 6,181 = 34,1 5475, ,49 BPV. =, ,479+, ,38 +, ,49 = Der anvendes således kun hele løbeider i eksemple, men skæve år kunne naurligvis også være anvend. 63

71 Dee bekræfer, a for den givne løsning er beingelserne 1 og opfyld. Neokonkursbealingen sam værdiabe ved konkurs er begge lig 34,1 jf. nederse række panel B, hvorfor beingelse nr. 1 vedr. jump risiko er opfyld. Følsomheden overfor en forskydning af CDS-kurven er lig nul kolonne 13, hvilke viser a BPV er neuralisere, og dermed er beingelse opfyld. Resulae heraf ses som idligere nævn i panel B, hvor bankens porefølje ilføje hedging ses. Banken skal således købe en 1-årig CDS med en FH på 5475,38 EUR sam købe en 1-årig CDS med en FH på 4581,49 EUR. De er i dee delkapiel demonsrere, hvordan Square roo modellen kan bruges il a hedge CDS poreføljer. il dee formål er der opsille prakiske eksempler for virksomheden HAV FP, hvor fakiske CDS-spread og rener observere i markede er anvend som inpu. Ud over de vise eksempler kan hedging-meoderne naurligvis forfines ved også a inddrage den. aflede δ PF/δS, usikkerhed på recovery og ændring i hældningen på CDS-kurven. Andre anvendelsesmuligheder for Square roo modellen kan være prisfassæning af CDSpriser i de sekundære marked, ide der ypisk kun handles 1, 3, 5, 7 og 1-årige CDS er i de primære marked. Har man således køb en 5-årig CDS for e halv år siden, der dermed nu svarer il en 4,5-årig posiion, og ønsker a lukke denne posiion, kan dee gøres ved a sælge en 4,5-årig posiion, som normal vil ske i de sekundære marked. I den forbindelse vil præcise prisfassæelsesmodeller være nødvendige, hvor inensies-modellen kan være velegne Delkonklusion Inensiesmodellernes sore syrke er, a de har vis sig a fie markedsdaa god. il gengæld er den bagvedliggende inuiive økonomiske forsåelse bag modellerne mege svag. Inensiesmodellerne giver således ine svar på hvorfor virksomheder går konkurs, og der inddrages ine sed virksomhedsspecifikke inpu. I inensiesmodeller anages modelkonsrukøren kun a have samme informaion som markede, dvs. hisorisk viden om andre virksomheders konkurs sam givne markeds-spreads, og modellerne ager således udgangspunk i markeds-spread. Ide Square roo modellen kun indeholder samme informaion som markedes CDS-priser, vil den ikke være i sand il a indikere høj konkurs-risiko førend dee er inkorporere i CDSpriserne. Konkurs er således noge der sker mere eller mindre ved en ilfældighed, når den underliggende proces for τ springer. Konkurs opsår derfor alid som en sor overraskelse og kan på ingen måde forudsiges, eller endog forklares. 64

72 Resulaerne for Square roo modellen anvend på de 39 udvalge virksomheder viser, a modellens beregnede CDS-spread fier markedes CDS-priser ganske god, hvor Mean Error for alle virksomheder ligger indenfor inervalle [-3;3] bp. og i de flese ilfælde mege æ på bp. Dee resula følger dog også naurlig, ide modellen neop kalibreres op imod markedes CDS-spread. Sammenfaende kan de konkluderes, a Square roo modellen primære anvendelsesformål er i handelsøjemed il prissæning og hedging, ide modellen har den ønskværdige egenskab a den sor se fier il markede. De er i kapile redegjor for, hvorledes banker og andre finansielle insiuioner kan anvende Square roo modellen il risikosyring af CDS posiioner på en virksomhed, hvor fokus har være simulan hedging af Base Poin Value og Jump Risk. 65

73 6. INCOMPLEE INFORMAION MODELLER Incomplee informaion modeller er en hybrid mellem den srukurelle ilgang og inensiesilgangen. Ifølge Giesecke og Goldberg4a kan incomplee informaion modeller inkorporere lang flere aspeker end srukurelle- og inensiesmodeller, herunder: Økonomisk rimelighed og fleksibilie, lukkede løsninger med mulighed for forolkning sam srukurelle aspeker blande med korsige usikkerhed. Indledningsvis redegøres for den grundlæggende eori omkring incomplee informaion, og alernaive ilgange il a gøre informaionen incomplee. Eferfølgende forklares eorien for den udvalge model, og der redegøres for væsenlige valg i dennes implemenering. Afsluningsvis præseneres modellens resulaer og anvendelsesmuligheder Grundlæggende eori Ved valg af modelype vælges samidig graden af informaion marked vs. ledelse, der skal danne grundlag for modellen. Førse besluning er derfor a faslægge modelkonsrukørens informaionssæ. De ene yderpunk for informaion er de srukurelle modeller, hvor der anages fuld informaion, mens de ande yderpunk er inensiesmodeller, hvor der kun anages markedsinformaion. Mellem de o yderpunker ligger således modellerne, der ager udgangspunk i incomplee informaion. I praksis kan de srukurelle modeller ransformeres il inensiesmodeller ved a reducere i modelkonsrukørens informaion Jarrow & Proer, 4 og omvend og de er således mulig a skabe en incomplee informaion model med mere eller mindre informaion. Incomplee informaion modeller ager ideel se de bedse fra de o verdener og samler de i en hybrid model, hvor modelkonsrukøren anages kun a have delvis informaion. Konkurshændelsen gøres uforudsigelig som i inensiesmodellerne, hvilke afhjælper de små spreads på kore løbeider i srukurelle modeller Giesecke, 6. il gengæld fasholdes de økonomiske raionale om, a konkurs sker når værdien af akiverne er mindre end konkursbarrieren. Modeller med incomplee informaion indeholder dermed en forklaring på konkurs som de kendes fra srukurelle modeller, og konkurs er således ikke længere en uforklarlig ilfældighed. De bemærkes, a idéerne omkring incomplee informaion ikke skal ses som e angreb på den efficiene markedshypoese. Markederne anages sadig a være informaionsmæssig efficiene, hvilke fakisk er en væsenlig grundpille i hele idéen, da prissæningen nu baseres på informaionsniveaue. Offenlig ilgængelig informaion anses således a være indehold i markedspriserne. Blo anages de, a markede ikke er i besiddelse af al informaion endnu, 66

74 hvilke kan skyldes uklare børsmeddelelser, regnskaber der ypisk offenliggøres 1- måneder efer årsafsluning, eller virksomhedshemmeligheder som direkionen holder æ il kroppen. 6.. ilgange il Incomplee informaion Modelkonsrukørens informaion er forsøg begrænse på flere alernaive måder i konsrukionen af incomplee informaion modellerne. Dee fører il mege forskellige modeller, hvilke skiseres i de følgende. Fælles for ilgangene er de, a virksomhedsværdien V anages a følge en sokasisk proces. De anages ypisk, a V følger en GBM diffusionsproces. Konkurs sker, når virksomhedens værdi kommer under en konkursbarriere, definere ved processen K=K, hvor konkursidspunke defineres ved τ som: τ = inf > : V < K { } De primære modelyper er opsille i figur 6.1, hvor incomplee informaions modellernes placering mh. informaionsniveau er illusrere if. de øvrige o ilgange. Figur 6.1 Modellernes anagelser vedr. informaion Fuld informaion Incomplee informaion Informaion som marked Meron1974 Duffie & Lando1 CIR proces mv Black & Cox 1976 Cein e al.4 Hull & Whie Longsaff & Schwarz1995 Giesecke & Goldberg7 Jump inensieer Leland & of1996 Zhou1999 Jarrow, Lando, urnbull1997 Den førse model med incomplee informaion blev skab af Duffie & Lando 1. Modellen ager udgangspunk i Leland1994 og Leland & of1996, hvor barrieren besemmes endogen. Modellens underliggende informaionssæ gøres incomplee, ved a inroducere uafhængig søj og forsinkelse. Cein e al. 4 anager derimod, a markede har samme ype informaionssæ som virksomhedens ledelse, blo er markedes informaionssæ mindre. Modelkonsrukørens informaionssæ er således en sreng begrænse udgave af markedes informaionssæ, dvs. delvis informaion. Cein e al. 4 bruger virksomhedens cash flow X som proxy for værdien, og konkursbarrieren K fassæes il nul. Konkurs indræffer, når cash flowe forbliver negaiv i en længere periode. Her er de ikke nok blo a passere en barriere, ide de kræves, a X befinder sig under barrieren i en periode af en given længde. Når virksomhedens likvidie er negaivdvs. X< er de ensbeydende med a virksomheden befinder sig i financial disress. 67

75 Giesecke6 sam Giesecke og Goldberg7 ager i deres I model ligeledes udgangspunk i de srukurelle modeller, hvor processen for virksomhedens akiver eller processen for konkursbarrieren på skif gøres ikke observerbar for markede, ide de anages, a der ikke findes en sekvens for annonceringer. Dermed kan invesorerne aldrig føle sig sikre på virksomhedens konkursafsand, da neop konkurs er de enese, invesorerne reel observerer. I modelleringen ager Giesecke6 udgangspunk i de hisoriske minimum M for værdiprocessen. Virksomheden går konkurs, når de hisoriske lavpunk i akivernes værdi er mindre end konkursbarrieren. Hvor der i Merons srukurelle ilgang kun var én kilde il usikkerhed, nemlig GBM for akivernes værdi, er der i I modellen o kilder il usikkerhed: akivernes værdi sam placeringen af konkursbarrieren Giesecke & Goldberg, 4a. I modellen har flere fordele i forhold il de srukurelle modeller. Bl.a. reagerer I modellen hurigere, ide den ager højde for hisorien, den forecaser posiive spreads for virksomheder med en hisorisk høj leverageraio, og den kan nem kalibreres il den givne informaion. En anden ype udvidelse er a indføre spring i værdiprocessen på en almindelig srukurel model. Denne udvidelsesrening blev oprindelig se som en udvidelse af de srukurelle modeller, men de erkendes i dag, a modelypen reel ager højde for incomplee informaion, ide der kun kan forekomme spring i værdiprocessen, hvis informaionssrømmen ikke er koninuerlig. Her har Meron199 selv udvikle en spring-diffusionsmodel, hvor de udnyes, a akivernes værdi på udløbsidspunke sadig er log-normalfordel, når der beinges med analle af spring. Zhou1999 udvider alernaiv Black & Cox1976 modellen med spring i barrieren, der modelleres. Modellerne med spring medfører, a konkursspænd på kore løbeider bliver sørre end nul, ide konkurs nu kan ske pludselig. Modellerne med spring har dog den ulempe, a de er vanskelige a esimere. I denne opgave er de valg a anvende Duffie & Lando 1 modellen af flere årsager: For de førse henvises der ofe il denne model i lierauren, og der synes generel a være en bred anerkendelse af denne model. For de ande bygger modellen videre på L-modellen som blev implemenere og analysere i kapiel 4, hvormed sammenligninger mellem de o verdener srukurel og incomplee kan blive mege mere direke og håndgribelige, når samme udgangspunk anvendes. Der er ikke funde eksempler i lierauren på, a Duffie & Lando 1 modellen er anvend direke empirisk, hvorfor implemeneringen og analysen af Duffie & Lando1 i dee kapiel bidrager il lierauren Duffie & Lando modellen Duffie & Lando 1 herefer DL ager afsæ i en sandard srukurel ilgang med udgangspunk i akivernes værdi, kapialsrukur sam opimal konkurspoliik. 68

76 Værdiprocessen V modelleres som en GBM. DL anager, a akier ikke handles på e offenlig marked, sam a ledelsen er afskåre fra a handle på gældsmarkede, f.eks. gennem reglerne for insider handel. Gyldigheden af disse anagelser kan diskueres, men må nødvendigvis gøres for a sikre, a markedernes informaion neop er incomplee, Alernaive ville være en verden hvor markedsdelagerne har asymmerisk informaion ledelse vs. offenlige invesorer. Konkursbarrieren K besemmes endogen i modellen inspirere af Leland1994, hvor de anages a akionærerne vil maksimere akiernes værdi. Formlen for konkursbarrieren er i DLmodellen give ved Duffie & Lando, 1: 1θ C γ r µ K = 34 r 1+ γ δ Hvor m + m + rσ γ =,og m = µ σ σ Værdien af gælden og egenkapialen kan så beregnes som: γ γ 1 α K δ V C V DV = + 1 r µ K r K 35 γ γ δv Kδ V C V EqV= + θ r µ r µ K r K I ovensående repræsenerer α konkursomkosninger, δ er asse payou-rae, r angiver markedsrenen, µ er akivernes drifrae, C udgør kuponen på virksomhedens gæld mens θ angiver virksomhedsskaeprocenen. Egenkapialens værdi beregnes derfor efer samme princip som i Leland Logarimisk ransformaion V modelleres i praksis gennem en logarimisk ransformaion ved relaionen Z=lnV. Dee beyder reel, a de er processen for Z der modelleres, ide Z anages a følge formen: Z = Z + m + σ, hvor W m = µ σ 37 Z er således en proces for virksomhedens sande værdi. I de eferfølgende beregninger, er de imidlerid kun sarværdien Z der indgår, ide Z processen ikke kan observeres løbende. De skyldes, a Z-processen sløres med uafhængig normalfordel søj noere ved U. Den observerede værdi noeres derfor Y. Processen for Y er diskre og besemmes som: Y =Z +U. Dermed er sammenhængen il V følgende: 3 dvs. EqV = akivernes værdi konkursomkosninger + skaeskjolde - gæld. 69

77 Y = ln Vˆ = lnv + U 38 Ved a observere den søjfylde værdi Vˆ i markede kan den observerede Y værdi beregnes. Ide markede kun observerer den beregnede Y og ikke den sande værdi Z, er virksomhedens reelle værdi ukend, hvormed τ ikke kan observeres direke. For konkursbarrieren har den logarimiske ransformaion den konsekvens, a barrieren mål i log-niveaue bliver lig v = lnk. Konkurs indræffer når Z < v. DL anager endvidere, a markede kun observerer Y i diskree idsinervaller, hvor der modages incomplee regnskabsinformaion. Markede ved dermed ikke, om virksomheden i eorien allerede er konkurs i perioden mellem o opdaeringer af Y. Konkurs bliver uforudsigelig men forklarlig, og den srukurelle model ransformeres il en model, der også indeholder de gode egenskaber fra inensiesmodellerne Overlevelses-sandsynligheden Ide markede observerer Y og ikke Z, er sidsnævne som idligere nævn ukend, hvorfor de ikke blo er mulig a beregne overlevelses-sandsynligheden for en enkel kend værdi af Z. De er dog kend, a virksomheden på idspunk ikke er konkurs, hvorfor Z nødvendigvis må være sørre end barrieren v. De er således mulig for Z a anage samlige værdier x i inervalle ]v; [ på idspunk. Hvis Z anager værdien x er overlevelses-sandsynligheden uden søj give ved: x v + ms mx v x v + ms 1 π s, x v = N exp N σ σ s σ s hvor N angiver den kumulaive sandardnormalfordeling. For enhver given x i formel 39 findes der alså en værdi for overlevelses-sandsynligheden, som de kendes fra de srukurelle modeller. I DL modellen skal der imidlerid ages hensyn il søj og informaionsniveau, som beyder a virksomhedens sande værdi er ukend. Fordelingen for virksomhedens værdi Z, beinge af invesors informaion kan beskrives ved æheden gx y, z, af Z, der er give ved Duffie & Lando, 1: g x y, z, = β 1 exp 4 β β 3 β J z~ x~ e 1 exp π σ β β 1 N exp β 3 N β β 4 Hvor udrykkene for J, β,β 1,β og β 3 er give i bilag 6. Graden af søj noeres ved variablen a, der indgår i beregningen af de 5 førnævne udryk. Kombineres denne æhed gx med overlevelses-sandsynligheden ovenfor, kan den beingede, risikoneurale overlevelsessandsynlighed Q med søj besemmes ved: = 1 π s, x v g x y, z, dx Q v β β

78 Der inegreres således over værdierne x i hele inervalle ]v; [, hvor de respekive overlevelses-sandsynligheder for x mulipliceres på æhedsfunkionen af x. Med disse definiioner kan CDS-spread beregnes med formlen Bajlum & Larsen, 7b: S, = r 1 R 1 e r v v G x, g x dx 1 π, x v g x dx G x, v g x dx hvor Gx, ses i bilag 6. Afsluningsvis bør de bemærkes, a virksomhedens sande værdi z, indgår i beregningerne ovenfor. Dee er paradoksal, efersom virksomhedens sande værdi pr. definiion er ukend. DL er derfor primær ilænk som en eoreisk model, der bl.a. har il hensig a udlede hvorledes usikkerhed og søj påvirker virksomhedens konkurs-sandsynlighed. I modsæning heril er måle med denne opgave imidlerid a forsøge a anvende eorien bag DL empirisk på fakiske daa. Dee kræver yderligere anagelser omkring, hvordan virksomhedens sande værdi approksimeres, hvilke dog førs behandles yderligere i kapiel Prakisk implemenering af Duffie & Lando modellen I forbindelse med den prakiske implemenering og kalibrering af DL-modellen er vi sød på problemer, som der redegøres for i de følgende, hvorefer den valge løsning herpå beskrives Problemer ved kalibrering Formåle med kalibrering af DL-modellen er a besemme værdien af de o paramere, V og σ V, som ikke eksplici er observerbare, men derimod kan besemmes implici ved kalibrering. Dvs. finde de niveau for V og σ V, som får de modelberegnede EqV og σ E il a modsvare dio værdierne, der er observere i markede i øvrig hel parallel il ruinen i L-modellen jf. kapiel 4.4. Dee giver følgende krieriefunkion for summen af relaive afvigelser SA, som skal minimeres: SA = MarkedsEqV ModelEqV + ModelEqV Markeds _ σ E Model _ Model _ σ E I modsæning il L-modellen viser de sig imidlerid, a der i forbindelse med kalibreringen ofe opsår en del komplikaioner i DL-modellen i form af ikke-plausible resulaer. Dee forsøges der redegjor for i de følgende vha. e mege prakisk al-eksempel, der illusrerer problemsillingen: Følgende værdier anvendes som inpu il eksemple: θ = 35%, r = 3%, m = 1%, α = 3% dividend yield = 3% Herudover anages de, a virksomhedens bogføre gæld D udgør 1, mens kuponen C udgør 3, hvilke giver en effekiv rene lig 3%. Al i al medfører de, a asse payou-rae δ simpel kan beregnes il 3%. σ E

79 Dernæs anages, a der i markede er observere en MarkedsEqV på 1 sam Markeds σ E på 1 %, der skal kalibreres op imod ved a jusere på V og σ V indil krieriefunkionen SA er minimere il omren nul. Denne minimeringsprocedure ses i abel 6.1, hvor 9 kombinaioner af V og σ V er vis med ilhørende resulaer for EqV og σ E og krieriefunkionen. abel 6.1 Kalibrering af V og σ V Niveau for σ V 5% 6,7% 7% Panel A: Resula for barrieren K Panel B: Resula for ModelEqV Panel C: Resula for Model_σ E 37,4 34,76 * 3,66 V 9 79, 83,7 88,9 1 95, 1, * 15, , 116,7 13,1 V 9 7,% 9,% 1,76% 1 8,% 1,3% * 11,96% 11 8,8% 11,3% 13,16% Panel D: Krieriefunkion V 9,49,61,187 1,5,5,56 11,3,7,546 Noe: I markede er observere en EqV=1, sam en σ E = 1%. * de markerede al er beregne herunder. Panel A: For σ V = 6,7% og V=1 beregnes barrieren med: µ = m + V = 1% +,67 = 1,184% m + γ = m σ + rσ 1θ Cγ r µ r 1+ γ δ,1+ =,1 +,3,67, % 3 7,577,3,1184,3 1+ 7,577,3 = 7,577 K = = = 34,76, Panel B: ModelEqV beregnes som: γ δv Kδ V C V EqV= + θ 1 1 r µ r µ K r K 7,577 7, 577,3*1 34,76*, EqV= +,3,1184,3, ,76,3 34,76 = 165,198, , ,9666 = 1,7 γ, = Panel C: Model_σ E beregnes som: EqV V=11 = 11,873 beregne med EqV formel som ovenfor hvor V=1 deqv 11,873 1,7 = = 1,6487 dv 1 deqv V 1 σ E = σ V = 1,6487 *,67 * = 1,76% dv EqV 1,7 Dermed er konvergens opnåe ved kalibreringen, ide den beregnede EqV på 1, macher den markedsobserverede værdi af akierne på 1, mens den beregnede σ E på 1,3% macher volailieen i markede på 1%. Krieriefunkionen er således minimere il,5. 7

80 Resulaerne for den fundne løsning illusrerer neop problemsillingen ved kalibrering: En unlevered virksomhedsværdi V=1 forekommer mege lav, når EqV plus bogfør gæld ilsammen udgør i al. Dee har vis sig a være e generel problem ved forsøg på kalibrering af DL-modellen. En sådan afvigelse for de konkree eksempel ovenfor har umiddelbar kun o mulige forklaringer, ide følgende relaion må gælde: V unlevered = EqV-Skaeskjold + DV 44 1 Skaeskjolde: De er vigig a bemærke, a skaeskjolde ikke indgår i unlevered virksomhedsværdi, mens de indgår i EqV. Derfor bør skaeskjolde reel frarækkes EqV jf. formel 44. Ud fra formel 36 for EqV kan de udledes a skaeskjolde må udgøre: γ 7,577 Skaeskjold θc V,35 * 3 1 = 1 = 1 = 34, 9883 r K,3 34,76 Dermed må de konsaeres, a fradrag af skaeskjold ikke er ilsrækkelig il a forklare den lave unlevered virksomhedsværdi på 1 alene. For a opnå ligevæg vil de kræve e skaeskjold med samme værdi som gælden. Dee er ikke plausibel, da e skaeskjold jo rods al kun udgøres af e skaefradrag for reneudgiferne. Markedsværdien af gælden skal være markan under 1. Dee forekommer dog ikke realisisk, da virksomheden med en værdi på 1 jo på ingen måde er i nærheden af barrieren. Samidig beales der en effekiv rene på gælden på 3% svarende il markedsrenen. Ine yder på, a gældens værdi DV skulle være re mege mindre end den bogføre værdi på 1, når virksomheden er lang fra konkurs jf. noen il abel 6.1 kan DV beregnes il 99,9666. Med de o ovensående korrekioner kan højre-siden af formel 44 beregnes il ca. 165 beregne som 1-34, ,9666, og relaionen er derfor ikke opfyld. De forekommer dermed yders vanskelig a kalibrere DL-modellen il nogle fornufige værdier for V og σ V, basere på Duffie & Lando 1. Formlerne il beregning af K, EqV og DV i Duffie & Lando s model bygger imidlerid på Leland En oplag løsning il kalibreringsprobleme er i sede a anvende Leland &of 1996 som grundlag, da L neop udvider Leland 1994, ved a age hensyn il, a barrieren bør afhænge af løbeiden på virksomhedens gæld. Derudover har anvendelsen af grundlage fra Leland & of 1996 modellen i øvrig den fordel, a resulaerne mellem L-modellen i kap. 4.5 og DL-modellen bliver direke sammenlignelige, såfrem DL-modellen bliver en overbygning på L-modellen. Hermed bliver konsekvenserne ved a indføre søj mere synlige. Med baggrund i ovensående er de beslue a basere DL-modellen på Leland-of 1996 frem for Leland1994, hvor resulae af ovensående modifikaion kan beskrives på o alernaive måder: - En udvidelse af L-modellen, hvor der ilføres søj il værdi-processen. - En modifikaion af DL-modellen, der baseres på L 1996 i sede for Leland

81 I praksis beyder ovensående besluning, a førse del af beregningerne i DL-modellen vil være ideniske med L-modellen, ide de nu begge baserer sig på Leland & of 1996 formlerne for EqV og K. Kalibreringen og dermed resulaerne for σ V og V bliver således ideniske for de o modeller, hvor de allerede i kap 4.5 blev konsaere, a kalibrering basere på Leland & of 1996 giver plausible resulaer. De reserende beregninger i DL-modellen vil derimod være forskellige, og vi vil her sadig følge Duffie & Lando1 direke. Duffie & Lando s anker i forbindelse med søj vil således blive overfør il den eferfølgende prissæning af CDS. Implikaioner for anagelserne omkring informaion ses i abel 6.. abel 6. Anagelser om informaion Emne: \ Beregning af: Konkursbarriere CDS-spread eorigrundlag Leland & of 1996 Duffie & Lando 1 Søj Ingen søj Søjfyld Informaion Fuld informaion Incomplee informaion I abel 6. beregnes konkursbarrieren med en anagelse om fuld informaion. Dee er dog yders logisk og hel i råd med de almindelige srukurelle modeller, ide barrieren jf. Leland 1994 sam Leland & of 1996 fassæes af virksomhedens ledelse på vegne af akionærerne. Virksomhedens ledelse må således anages a have fuld informaion. CDSspread fassæes derimod af markedsakørerne, som er underlag DL s anagelse om incomplee informaion. I de følgende forklares opbygningen af den modificerede DL-model Opbygning af Duffie & Lando modellen Den konkree implemenering af DL-modellen ager udgangspunk i L-modellen fra kapiel 4. DL-modellen er opbygge og implemenere i Excel og er vedlag på CD i Excel-filen Duffie Lando model i mappen Kap. 6 Incomplee modeller Esimering af V, σ V ved kalibreringen er idenisk for de o modeller. Forskellen mellem implemeneringen af L og DL besår i, a CDS formlen udvides med søj, samidig med a den beregnes i den logarimiske ransformaion, som forklare idligere. Dermed skal der ved beregning af alle overlevelses-sandsynligheder ages højde for, a virksomhedens nuværende sande værdi er ukend, hvilke løses ved numerisk a inegrere over overlevelses-sandsynligheden muliplicere med æheden for virksomhedens værdi i inervalle af mulige akivværdier jf. formel 41. Ide implemeneringen bygger ovenpå L-modellen, fokuseres i de følgende på de inpu, der ilføjes i DL. De er således ikke funde relevan a genage de saisiske analyser fra Lmodellen, da disse viser samme resulaer for DL-modellen. 74

82 Drif Leland1994 og Leland & of1996 anager en saisk kapialsrukurpoliik, hvor gældens nominelle niveau forbliver uforandre, da ny gæld i L-modellen udsedes i en fas årlig rae. Desuden forudsæer DL a r>µ, ide de bevids undlader a evaluere modellen for r<µ, hvor nuidsværdien af cash flows vil være uendelig. Derfor anages de, a der ikke er noge drif i akivernes værdi, og en individuel m beregnes, hvor m for den enkele virksomhed afhænger af volailieen på dens akiver. Virksomhedens sande værdi DL-modellen bygger på idéen om, a der findes en sand værdi V af virksomheden på idspunk =, men a markede kun observerer værdien Vˆ med søj på idspunk. Udfordringen er derfor a approksimere den sande værdi, der hel konkre kan anvendes som inpu i modellen. Den sande værdi kan pr. definiion ikke observeres. Såfrem den sande værdi kunne observeres, ville hele idéen om incomplee informaion falde il jorden, da informaionen så pludselig ville være komple. Der ligger derfor en indbygge selvmodsigelse i modellen, ide den direke kræver en sand værdi som inpu, men samidig kræves, a neop denne sande værdi ikke kan observeres pga. incomplee informaion. I forbindelse med implemenering må der gøres visse anagelser om den sande værdi af virksomheden for a håndere ovensående selvmodsigelse. DL anager, a der findes en hisorisk asse repor uden søj, som repræsenerer den sande værdi. En mulighed kunne være a anvende virksomhedens senese regnskabsrappor, og så blo bruge balanceværdierne som proxy for virksomhedens værdi. En anden mulighed kunne være a bruge markedsværdien af virksomheden på dagen for regnskabsoffenliggørelsen. Neop regnskabsdagen må være de nærmese markede kommer på fuld informaion, hvorfor markedsværdien på denne dag må udgøre den bedse proxy for virksomhedens sande værdi. 75

83 redje mulighed ager si udspring i den efficiene markedshypoese, hvor de anages, a al informaion er indehold i markedspriserne. Med denne ilgang må de bedse bud på en sand værdi være lig dagens markedsværdi, da denne anages a indeholde al informaion. De erkendes, a selvom dagens observaion er søjfyld, er denne sadig de bedse esima på den sande værdi. Dee beyder dog samidig, a den sande værdi sæes lig den søjfylde værdi. De re alernaiver er illusrere i abel 6.3. abel 6.3 Oversig over alernaive approksimaioner for den sande værdi 1 Balanceværdier Regnskabsdao 3 Nuværende markedsværdi idspunk for sand værdi = hisorisk = hisorisk = idag Sand værdi Summen af bogføre akiver Markedsværdi på regnskabsdao Dagens markedsværdi Søjfyld værdi Dagens markedsværdi Dagens markedsværdi Dagens markedsværdi Alernaiv 1 må sraks afvises, da de er almen anerkend, a den bogføre balance sjælden afspejler akivernes reelle værdi. Valge sår dermed mellem alernaiv og 3. I begge alernaiver bruges en markedsværdi som proxy for den sande værdi, så forskellen mellem de o besår i idspunke, hvor denne proxy observeres. Fordelen ved alernaiv besår i, a proxyen er en hisorisk værdi, hvilke er i råd med Duffie & Landos anker. I praksis medfører en implemenering af alernaiv dog, a man blo opnår en lagged model. Hvis markedsværdien på idspunk nul var lav høj, vil CDS-spread derfor sige falde. Dee er illusrere i figur 6., hvor man kan se fordelingen for virksomhedsværdien. En fordeling æ på barrieren vil således medføre højere CDS-spread. Konsekvensen bliver dermed, a de beregnede CDS-spread vil afhænge af akiemarkedes hisoriske udvikling i perioden mellem idspunk og. Figur 6. Følsomhed på virksomhedsværdi for forskellige iniale sande værdier af virksomheden., 5, æhed, 1 5, 1, 5, V æ r d i a f a k iv e r Z o = lo g 3 Z o = lo g Z o = lo g 3 7 Noe: Den observerede søjfylde værdi anager i alle ilfælde værdien 344, mens a er sa il,5. 76

84 Som de ses af figur 6., kan valge af sand værdi have sor beydning for fordelingen af virksomhedens værdi. I figuren er den akuelle søjfylde værdi Vˆ lig 3.44 for alle re kurver, som vises for forskellige anagelser for den sande værdi Z. Såfrem markedsværdien på regnskabsdaoen var 3., vil fordelingen placere sig mod vensre, ide markedsværdien så er sege fra 3. il 3.44 i perioden. ilsvarende sammenhæng blo med modsa foregn gælder, hvis markedsværdierne siden sidse regnskab er falde. Af figuren fremgår de, a CDS-spreads påvirkes i opadgående eller nedadgående rening al afhængig af den hisoriske udvikling i markedsværdier, hvilke i praksis beyder, a der blo opnås en lagged model. En lagged model, hvor CDS-spread afhænger af den hisoriske udvikling på akiemarkede, vil imidlerid være en uheldig konsekvens. Ideel se bør modellen være fremadskuende og upåvirke af hisoriske udsving i markedsværdier. En anden uheldig effek er a usikkerheden på virksomhedens værdi øges eferhånden som iden går efer en regnskabsdao, hvilke umiddelbar virker mege realisisk. På den næse regnskabsdao vil usikkerheden imidlerid igen reduceres il iniialniveaue. Konsekvensen for CDS-spreads er, a disse langsom øges eferhånden som og dermed usikkerheden øges. På næse regnskabsdao vil CDS-spread opleve e bra fald, ide usikkerheden for virksomhedens værdi nu er krafig reducere. I eorien kan denne årsagskæde virke logisk nok, men vi har ikke kendskab il resulaer i lierauren, som bekræfer en signifikan sammenhæng mellem CDS-spreads og regnskabsdao, dvs. a CDS-spread har anormale fald på regnskabsdaoer. Med baggrund i ovensående fravælges alernaiv. Alernaiv 3 repræsenerer den efficiene markedshypoese, hvor dagens markedsværdi anages a afspejle bedse bud på virksomhedens sande værdi. Her kan der dog argumeneres for, a DL s oprindelige idé om a der findes en hisorisk sand værdi il dels er sa ud af kraf. Som ovenfor nævn kan der imidlerid silles spørgsmålsegn ved, om de nogensinde har være mulig a observere en sand værdi jf. modellens indbyggede selvmodsigelse. Ide eorien om en kend sand værdi mere er af eoreisk karaker, er de derfor valg a anvende alernaiv 3 i den prakiske implemenering af DL-modellen. Afvejningen besår i, a de ikke gør så mege delvis a neuralisere e elemen, når des prakiske gyldighed er vivlsom, og samidig undgås de, a modellen gøres afhængig af hisoriske lags. Med ovensående besluning, bør sreng age sæes il nul, ide den sande værdi og den observerede værdi er sammenfaldende. Såfrem sæes il nul eller e mege lille al, vil søjen imidlerid reel ikke have nogen prakisk beydning, da modelbyggeren i så fald løbende kender den sande værdi, og implemeneringen ville blo resulere i en almindelig srukurel model. De er derfor beslue, a konsekven sæes il 1 år. Denne besluning er ruffe for a sikre, a usikkerheden gennem a-niveau får lov a slå igennem på resulaerne. 77

85 Søjvariablen a Som ovenfor nævn er virksomhedens sande værdi ukend for modelkonsrukøren. Når modelbyggeren skal give e esima på virksomhedens værdi på idspunk, må han dermed give en fordelingdvs. middelværdi og spredning for virksomhedens værdi. I DL-modellen kan middelværdien lid forsimple besemmes som e væge gennemsni af den sande værdi og den søjfylde værdi, hvor vægene besemmes af a. Hvis der er mege søj dvs. høj a illægges den sande værdi fra idspunk nul sor væg. Hvis omvend søjen er lav, illægges den søjfylde observaion sor væg, da den rods al er observere neop på idspunk og dermed er mere opdaere. Hvis a, går DL-modellen mod en almindelig srukurel model, ide dagens værdi illægges 1 % væg. Uden søj er den hisoriske værdi således irrelevan give den nuværende opdaerede observaion. Spredningen er imidlerid den fakor, hvor a-værdien har allersørs beydning på. Jo sørre a- værdi, jo sørre er usikkerheden på fordelingen af virksomhedsværdien. Med andre ord vil en høj grad af søj medføre en sor spredning på fordelingen af virksomhedsværdien. Dermed er sandsynligheden for a virksomheden måske allerede befinder sig nær barrieren sørre. I figur 6.3 er vis, hvordan a har direke beydning på fordelingen af virksomhedens værdi. Figur 6.3 Følsomhed på virksomhedsværdi for valg af søjniveau a,,15 æhed,1,5, Værdi af akiver a=,1 a=,5 a=,5 a=1, Noe: Den sande værdi er lig den observerede værdi, som begge er 344. Som de ses i figur 6.3, påvirker niveaue for søjen a, hvor sor en spredning der er på fordelingen af virksomhedens værdi. Jo lavere værdi af a der anvendes, jo mindre spredning, hvilke ses af den lilla kurve med a på,1, som er mere cenrere. Når a + vil spredningen nærme sig nul, og fordelingen vil age form som en lodre søjle. Høje værdier af a har ikke den sore marginale beydning, ide fordelingen konvergerer mellem,5 og 1,, hvor der for alle paramere er mege lille forskel på resulaerne, hvad enen a er sa il,5 eller 1,. De er derfor valg a anvende e a-niveau på,5 som basis-scenarium, da dee ilsyneladende er nok il a fange de mese af den mulige effek ved a inroducere søj, der jo neop er kernen i DL-modellen. 78

86 De skal dog bemærkes, a konvergensniveaue muligvis kan afvige en smule for virksomheder, som befinder sig lang fra barrieren, da beydningen af a her er mindre. For disse virksomheder vil fordelingen approksimaiv gå mod en normalfordeling, og a vil have begrænse indflydelse på fordelingens middelværdi, når den sande værdi er sa lig den observerede værdi. Ideel se skulle a fassæes individuel for den enkele virksomhed, afhængig af hvor god denne virksomhed er il a dele informaion med markede. I Bajlum & Larsen7b, sammenlignes e indeks for accouning ransparency af Berger, Chen & Li6 med virksomhedernes CDS-spreads. På baggrund af DL opsiller Bajlum & Larsen7b re hypoeser, som eses og påviser en sammenhæng mellem accouning ransparency og CDSspread i markede. Område er imidlerid sadig forholdsvis ny, og der findes ikke påvise hypoeser, som angiver en eksak sammenhæng mellem accouning ransparency og valg af a- niveau. Blo kan de konsaeres, a virksomheder med høj gennemsigighed, bør ildeles en lavere a. Grunde manglen på en eksak bevis sammenhæng, er de ikke mulig a beregne individuelle a-niveauer for de enkele virksomheder, hvorfor denne opgave anvender en a på,5 for alle virksomheder. Søjens indvirkning på CDS-spread I de følgende illusreres søjens indvirkning på CDS-spreade. I figur 6.4 ses CDS kurven for forskellige a-niveauer. Figur 6.4 CDS kurven for forskellige a-niveauer L m o d e l D L a =, 1 D L a =, 1 D L a =, 5 Noe: Figuren afspejler den gennemsnilige CDS kurve for HAV FP i perioden.1.6 il Som de fremgår af figuren, ligger CDS-kurven fra DL-modellen som forvene æ op ad Lmodellen for små værdier af a. Ved a øge a-niveaue siger CDS-spread imidlerid for kore løbeider, mens påvirkningen på lange CDS-spread er mege begrænse. For en 1-årig CDS er forskellen 13 basispunker for HAV FP. Efersom denne opgaves implemenering af DL, som idligere nævn, bygger ovenpå Leland & of1996, er kurverne direke sammenligne- 79

87 lige, ide L reel blo er udvide med søj sam en bagvedliggende sand kend virksomhedsværdi som naurligvis beyder, a CDS-spread beregnes på en ny måde. Figuren er derfor en god illusraion af DL-modellens effek på CDS-spread. Ved a inroducere søj på den observerede virksomhedsværdi siger CDS-spread på kore løbeider, ide usikkerheden al ande lige vokser. Søjvariablen a har sørs beydning på kor sig jf. figur 6.4. Sor usikkerhed om virksomhedens værdi, medfører sigende risiko for, a værdien allerede befinder sig æ på barrieren, hvilke beyder, a de korfrisede CDS-spreads må sige. På lang sig er effeken fra a imidlerid begrænse, ide virksomhedens værdi på længere sig allerede er usikker i sig selv, hvilke også er gældende for en srukurel model. I en srukurel model er de neop usikkerheden på den fremidige virksomhedsværdi, som medfører posiive spreads, ide risikoen for konkurs vokser med iden. Bajlum & Larsen 7b påviser, a accouning ransparency har signifikan indflydelse på kore CDS-spreads, mens der ikke kan findes en signifikan sammenhæng for løbeider over 5 år. Ovenfor er de vis, a graden af søj har direke beydning for niveaue af CDS-spread især i den kore ende. Med andre ord har modelbyggerens informaionsniveau sor beydning for de esimerede CDS-spreads. Jo mere søj, jo mere incomplee er informaionen, og jo højere vil de korfrisede CDS-spreads være. Inrodukionen af incomplee informaion medfører, a resulaerne bevæger sig fra de srukurelle modeller mod inensiesmodellerne, hvor modelbyggerens enese informaion er CDS-spreads observere i markede. Ovensående modellering kunne ev. udvides med søj på barrieren, og informaionen kunne givevis begrænses yderligere for il sids a ende i en ren inensiesmodel, hvor enese ilgængelige informaion er CDS-spreads i markede Resulaer for Duffie & Lando modellen Efer de præliminære analyser er DL-modellen ese på samlige 39 udvalge virksomheder, hvor esimae på den sande virksomhedsværdi er sa lig den observerede virksomhedsværdi, og søj-niveaue a er for alle virksomheder sa il,5. Opbygning af modeller for de 39 virksomheder og er ske vha. Excel og VBA og resulaer af samlige kørsler er vedlag på CD i mappen Resulaer for DL-model. Efersom DL-modellen og L-modellen baserer sig på samme barriere, σ V og virksomhedsværdi, er de indledningsvis undersøg, hvorvid der er forskel på de o modeller på lang sigdvs. CDS-løbeider > 5 år. Som illusraion er de o modellers beregnede 5-årige CDS-spread for virksomheden HAV FP vis i figur 6.5, hvoraf de ydelig fremgår, a de o beregnede CDS-spreads følges pæn ad. Dee gælder generel for alle virksomheder, a på 8

88 længere sig er der ikke den sore forskel på de o modeller, hvilke er i overenssemmelse med Duffie & Lando 1 sam Bajlum & Larsen7b Figur 6.5: esimere 5-årig CDS-spread for HAV FP for DL- og L-model CDS spread DL model Marked L model Da der ikke er den sore afvigelse mellem DL- og L-modellen på længere sig, undlades de a genage de samme resulaer, som vis i L-modellen i kap. 4, men i sede fokuseres på forskellene i den kore ende af CDS-kurven mellem modellerne. I figur 6.6 er den gns. absolue afvigelse mellem hhv. DL- og L-modellen vis i forhold il MarkedsCDS for 1-årig CDS-spread. De fremgår af figuren, a MAD for de flese Europevirksomheder sor se er uændre dvs. punkerne ligger på den diagonale linje. I de ilfælde, hvor punke ligger under den diagonale linje, har DL-modellen formindske MAD if. Lmodellen. For Europe virksomhederne kan der observeres enkele punker både over og under den diagonale linje, hvorfor de ikke umiddelbar vurderes, a DL-modellen har forbedre resulaerne for Europe virksomhederne. Figur 6.6: Plo over MAD for L- og MAD-model for 1-årig CDS-spread 14 1 MAD DL-model MAD L-model Noe: MAD angiver den gns. absolue afvigelse mellem ModelCDS og MarkedsCDS 81

89 Årsagen il a mange punker ligger på den diagonale linje skyldes, a model spread for disse virksomheder i begge modeller er sor se. MAD beregnes som bekend som ModelCDS- MarkedsCDS, hvormed MAD bliver ens for de o modeller, når ModelCDS for begge modeller er æ på. De konkluderes, a hvis en virksomhed er for robus dvs. a der er mange sandardafvigelser ned il barrieren, hjælper de ikke a ilføje søj på virksomhedsværdien. I disse ilfælde vil CDS-spread sadig forblive sor se lig nul. Dee er i overenssemmelse med Bajlum & Larsen7b, der finder, a søj har sørs beydning for risikable virksomheder. De må derfor konsaeres, a DL-modellen ikke i alle ilfælde kan løse probleme i de srukurelle modeller, hvor CDS-spread på kor sig ofe går mod nul. For Xover-virksomhederne i figur 6.6 bør de derimod bemærkes, a MAD i 8 ud af 9 ilfælde er reduceres i DL-modellen, ide punkerne ligger under den diagonale linje. Reduceringen af MAD skyldes, a DL-modellen neop gennem modelleringen af søj er i sand il a hæve CDS-spread i den kore ende af CDS-kurven for virksomheder, der er knap så økonomisk robuse. De konkluderes, a DL-modellen rods al formår a forbedre L-modellen for virksomheder med få sandardafvigelser il konkursbarrieren. En mere dealjere oversig over resulaerne for Xover virksomhederne er vis i abel 6.4 nedenfor. abel 6.4: Oversig over gns. 1-årig CDS-spread, ME og MAD for de 9 Xover virksomheder ALU FP ALO FP BAY LN CW LN CAP FP COL LN HAV FP MEO1V FH UI1 GR Panel A: Spread L modelcds 1,5,8 4,6,,1,1 11,8,,6 DL modelcds 16,8 47,8 43,8 1,5 4,8 8,3 113,3 6,3 39,3 MarkedsCDS 64,7,1 3,9 49,8 9, 68,3 7,5 13,8 16,8 Panel B: ME L model -63, -19,3-8,3-49,8-9,1-66,3-58,7-13,6-14, DL model -48, 5,7 1,9-48,3-4,3-4, 4,8-7,5-87,5 Panel C: MAD L model 65, 19,9 9, 51,4 3, 68,4 6,7 14, 18, DL model 49,5 8,9,5 49,9 5,1 4,9 51,1 1, 9,3 De fremgår af Panel A, a DL-modellen for alle 9 Xover-virksomheder hæver 1-årig CDSspread markan for alle virksomheder i forhold il L-modellen, hvor de flese virksomheder har e CDS-spread æ på. Imidlerid hæves niveaue for nogle virksomheder så markan, a DL-modellen overskyder MarkedsCDS, hvilke svarer il en posiiv gns. afvigelseme, som vis i Panel B. Som de fremgår af Panel C, medfører anvendelsen af DL-modellen a den absolue gns. afvigelsemad i 8 ud af 9 ilfælde mindskes, hvilke indikerer, a DLmodellen har bedre modellerings-egenskaber for CDS-spread i den kore ende af CDSkurven. 8

90 I alle ovensående analyser er søjniveaue a sa il,5. Som idligere beskreve i kap kunne søjniveaue i sede ilpasses il den enkele virksomhed. E ande alernaiv for besemmelse af søjniveaue a kunne være, a anvende a som en form for en fri parameer, hvor man kalibrerer a op mod de gns. hisoriske CDS-spread i den kore ende af CDSkurven. Dog viser figur 6.3, a der i modellen er en øvre begrænsning på spredningen af funkionen gx, hvilke beyder, a ændringer i a ikke har den sore effek, når a er sørre end,5. Dee beyder, a anvendelse af søjniveaue a som fri parameer ikke kan løse probleme med for lave spreads for mege robuse virksomheder Anvendelsesmuligheder for Duffie & Lando modellen DL-modellen har mange ligheder med L-modellen, hvorfor dens anvendelsesmuligheder i høj grad svarer il de beskrevne anvendelsesmuligheder for L-modellen, og berøres derfor kun kor. DL-modellen kan i lighed med L-modellen anvendes il kapialsrukur-arbirage, ide DLmodellens bevægelser også afhænger af udsving i akiekurserne. Selvom modellen ikke kræver fuld informaion, kan den naurligvis sadig anvendes af virksomhedens ledelse, om end en srukurel model eoreisk se må være mere opimal for ledelsen, som jo neop anages a have fuld informaion. Inrodukionen af incomplee informaion bevirker, a DL anager, a virksomhedens akier ikke handles i markede, og insidere må ikke handle på gælds-markede. Ud fra e sreng eoreisk synspunk, kan DL-modellen derfor kun anvendes for virksomheder, hvorpå der ikke handles akier. De bør imidlerid fremhæves, a ved prisfassæelse basere på DL-modellen er der i højere grad overenssemmelse mh. informaionsanagelsen, ide ekserne enieer, såsom finansielle insiuioner m.fl., kun har incomplee informaion. De er neop dee aspek, modellen forsøger a age hensyn il ved, i modsæning il L-modellen, a inkorporere usikkerhed omkring virksomhedens sande værdi, som for ekserne enieer er ukend. Endelig bør DL-modellen være bedre il prisfassæelse af CDS-spread i den kore ende af CDS-kurven. Resulaerne for DL-modellen viser dog, i lighed med L-modellen, a DLmodellen lang fra opnår Square roo modellens niveau for fining. 83

91 6.7. Delkonklusion Incomplee informaion modeller er en hybrid mellem den srukurelle ilgang og inensiesilgangen. Der anages kun delvis informaion, hvilke bevirker, a der opnås posiive spread for kore løbeider. De økonomiske raionale omkring virksomhedsværdi og konkursbarriere er imidlerid fashold, hvormed modellerne indeholder en forklaring på konkurs som de srukurelle modeller. I dee kapiel er de forsøg a implemenere Duffie & Landos idéer i en model med incomplee informaion. De må imidlerid konsaeres, a hvis Duffie & Lando 1 ages bogsavelig, er Deres arikel primær e eoreisk bidrag, som indeholder visse selvmodsigelser, når den skal anvendes i praksis. DL anager således, a modelbyggeren kun observerer en søjfyld virksomhedsværdi, samidig med a modelbyggeren pr. definiion skal kende den sande virksomhedsværdi, som indgår i modellen som direke inpu. Endvidere kan kalibreringen kun vanskelig gennemføres, ide der hel åbenlys opnås skæve værdier for virksomhedens værdi. De har derfor være nødvendig a gøre visse anagelser for i praksis a implemenere modellen på virkelige virksomheder. Implemeneringen har derfor age udgangspunk i Leland & of1996, der udvides med incomplee informaion. I dee kapiel påvises, a hvis der indføres søj på markedsobservaioner, bliver der usikkerhed om virksomhedens nuværende værdi, hvilke har direke effek på CDS-spread, som siger. Konkursen bliver således delvis uforudsigelig som i inensiesmodellerne. Forklaringen på konkurs er imidlerid fashold som hændelsen, der indræffer, når værdien af virksomheden falder il under barrieren. De konsaeres, a ved a indføre incomplee informaion bliver de korfrisede CDS-spreads højere for mindre robuse virksomheder. Modellering med incomplee informaion er en forholdsvis ny disciplin, hvor der findes mange og mege forskellige bud på eoreiske modeller. Der er endnu kun foreage få empiriske ess på værs af disse modeller, og endnu har ingen model vis sig i sand il a inddrage alle posiive egenskaber fra både srukurelle- og inensies-modeller. Anvendelsen af modeller med incomplee informaion afhænger af den konkree model. I denne opgave er Duffie & Lando modellen implemenere, og denne ager udgangspunk i den srukurelle ilgang. Derfor vil DLs anvendelsesmuligheder også lægge sig æ op ad mulighederne for de srukurelle modeller, om end modelkonsrukøren nu ikke længere kræves a have fuld informaion. Enkele modeller med incomplee informaion ager udgangspunk i inensiesilgangen, og her vil anvendelsesmulighederne lægge sig æ op ad mulighederne for inensiesmodeller. 84

92 7. SAMMENLIGNING AF MODELLER I dee kapiel sammenlignes og vurderes de re hovedilgange il modellering af CDS med fokus på informaionsanagelsens beydning for de cenrale forskelle mellem modellerne. I sammenligningen ages der primær udgangspunk i de 3 udvalge modeller, Leland & of, Square Roo sam Duffie & Lando, med den begrundelse a disse re modeller anses for repræsenaive for hver deres modelleringsilgang. På baggrund af analyserne i de foregående kapiler er de fundne cenrale forskelle mellem de re ilgange opsille i abel 7.1. abel 7.1 Karakerisika for forskellige modelyper Srukurel Leland & of Anagelse om informaionsniveau Fuld dealjere informaion Som virksomhedens ledelse Inensie Square roo Begrænse informaion Som markede Incomplee informaion Duffie & Lando Delvis informaion Inpu Diverse virksomhedsvariable CDS-spread i markede Diverse virksomhedsvariable med søj Konkurs hændelse Kan forklares Forudsigelig Kan ikke forklares Uforudsigelig Kan forklares Uforudsigelig Prakisk implemenering Mulig Mulig Mulig for DL kræves dog approksimaion af sand værdi Fining Ringe Præcis Medio Korfrise spread Nul Posiive Posiive Anvendelse Inern vurdering af egen saus i virksomheden. Prissæning og hedging af krediderivaer. Vurdering af virksomheden fra e markedssynspunk Som de fremgår af de foregående kapiler, har de vis sig, a modelkonsrukørens informaion udgør en cenral anagelse, hvorfor denne er placere øvers i abel 7.1. De øvrige forskelle mellem modellerne er hovedsagelig e resula af denne anagelse. abellen uddybes i de følgende afsni. Anagelser om informaionsniveau De er funde, a de srukurelle modeller implici bygger på en anagelse om fuld informaion om virksomhedens forhold. Grundidéen med de srukurelle modeller er, a de kan bruges il a esimere hvad spreade bør være, og oprindelig har man givevis ikke være opmærksom på a dee kræver fuld informaion. Inensiesmodellerne er derimod basere på mege begrænse informaion, ide inpu sor se kun besår af CDS-spread observere i markede eller alernaiv kredi-spread basere på erhvervsobligaioner. Anagelserne omkring informaionsniveaue er således hel cenral i forolkningen af forskelle for de o modelyper, og en redje modelype er derfor udvikle, hvor informaionsniveaue indgår som direke 85

93 inpu. I incomplee informaions modellerne kan informaionsniveaue således begrænses i sørre eller mindre omfang. DL-modellen bygger på Leland1994 og Leland & of1996, men inroducerer søj på virksomhedens værdi. Der er dermed ale om en srukurel model, udvide med søj, hvilke også ses af, a resulaerne fra DL-modellen ligger æ op af resulaerne fra L-modellen. Herudover bygger L og DLs modeller på en række anagelser il virksomhedens kapialsrukurpoliik, hvor den væsenligse anagelse medfører, a ledelsen selv vælger niveaue for konkursbarrieren som led i en opimering af egenkapialens markedsværdi. Konkurshændelsen er for L sam DL de idspunk, hvor virksomhedens værdi bliver mindre end konkursbarrieren. Konkurs har således en inuiiv forklaring. I de srukurelle modeller bliver konkurs forudsigelig, ide disance o defaul reduceres, eferhånden som virksomhedens værdi nærmer sig konkursbarrieren. Ved a inroducere søj i DL-modellen opnås der imidlerid usikkerhed om virksomhedens nuværende værdi, og dermed kan konkursidspunke ikke på samme måde forudsiges. Hermed har man opnåe de ønskede resula om, a konkurs skal være forklarlig men uforudsigelig. For Square Roo modellen er den bagvedliggende inuiive økonomiske forsåelse omvend mege svag, ide modellen ikke giver svar på hvorfor virksomheder går konkurs. Der inddrages ine sed virksomhedsspecifikke inpu, hvilke er e fællesræk for inensiesmodellerne. De æese man kommer, er Jarrow, Lando og urnbulls model fra 1997, hvor inensieen modelleres vha. Markov kæder med udgangspunk i raingransiionsmaricer. For inensiesmodeller gælder de imidlerid, a konkursinensieen er give endogen i modellen. I inensiesmodellerne er konkurs per definiion en pludselig hændelse som sker, når der sker spring i den underliggende springproces. Der er således ingen økonomisk forklaring på konkurs, da denne blo indræffer ved en ilfældighed, og konkurs opsår derfor alid som en sor overraskelse, der på ingen måde kan forudsiges, eller endog forklares. Implemenering af modeller Implemeneringen af Square Roo modellen er ligefrem. For inensiesmodellerne er valge af proces for konkursinensieen generel af væsenlig beydning, ide denne danner grundlage for beregning af overlevelses-sandsynligheden. For L-modellen har der måe gøres anagelser om, hvordan de virksomhedsspecifikke variable konkre skal opgøres på baggrund af kvaralsvise regnskabsmeddelelser. Derimod har de være problemaisk a operaionalisere DL-modellen. Modellen er lang hen ad vejen en eoreisk model, ide den i praksis indeholder visse selvmodsigelser. De anages 86

94 således i den oprindelige model, a modelbyggeren kun observerer en søjfyld virksomhedsværdi, samidig med a modelbyggeren pr. definiion skal kende den sande virksomhedsværdi, som indgår i modellen som direke inpu. Herudover er de bleve vis, a kalibreringen kun vanskelig kan gennemføres, ide der opnås hel åbenlys skæve værdier for virksomhedens værdi. De har derfor være nødvendig a gøre visse anagelser for a implemenere modellen i praksis på virkelige virksomheder, og denne opgave bidrager således ved a komme med e bud på, hvordan Duffie & Landos anker kan implemeneres i praksis. Anagelserne angår især den sande værdi af virksomheden, som i denne opgave approksimeres ved den senese observerede markedsværdi. Alernaiv kunne en værdi på regnskabsdaoen anvendes i råd med Duffie & Landos anker om, a den sande værdi skal være en hisorisk observaion. Dee ville dog blo medføre en lagged model med en række uheldige egenskaber, hvorfor vi her har fravege Duffie & Landos oprindelige idé. En mulighed som denne opgave også kor foreslår er, a kalibreringen af DL-modellen udføres på samme måde som i inensiesmodellerne, dvs. inpuparamerene vedrørende søj mv. gøres frie med de formål, a opnå en præcis fining il markeds-spread. Modellernes fining De esimerede CDS-spread med kor løbeid har vis sig a blive mege små i L-modellen for robuse virksomheder, hvilke dog er e generel problem for de srukurelle modeller. Lmodellen underesimerer spread for 35 ud af 39 virksomheder. I modsæning heril medfører inrodukionen af søj i DL-modellen e markan højere CDS-spread for kore løbeider, hvilke neop er måle med incomplee modeller, som forsøger a råde bod på de srukurelle modellers begrænsede forklaringsevne for kore løbeider. De er funde, a L-modellen fier forholdsvis ringe. Model-spread kan i perioder være lang fra Markeds-spread, og korrelaionen mellem de daglige udsving er generel under 3 %. De er påvis, a en del af udviklingen i residuale mellem model- og markeds-spread kan forklares af udviklingen i de fælles Iraxx15 index. Ved saisisk analyse med en Vecor error correcion model er dynamikken mellem modelspread og markeds-spread bleve analysere, og her er der ikke funde belæg for, a markede indreer sig efer modellens esima. De er således konsaere, a sammenhængen sandsynligvis er modsaree, dvs. udviklingen i markede kan forklare den eferfølgende udvikling i modellen, hvilke naurligvis er en uheldig egenskab ved en model. Ide modellens resulaer hovedsagelig drives af udviklingen på akiemarkede, kan denne omvende sammenhæng ses som en indikaion på, a CDS markede reel reagerer før akiemarkede. 87

95 Inensiesmodellen derimod har vis sin sore syrke i a fie markeds-spread urolig præcis. Dee er dog en naurlig konsekvens af, a kalibreringen neop foreages ved a minimere afvigelserne mellem markeds-spread og model-spread. DL-modellen med incomplee informaion bygger ovenpå L-modellen, og resulaerne for fining er således æ på resulaerne i L-modellen, ide udsvingene i høj grad følges ad. De konkluderes, a finingen af L-modellen forbedres ved a age højde for informaionsniveaue. Finingen af DL-modellen er dog lang fra opimal, og der er derfor grobund for væsenlige forbedringer. Anvendelsesmuligheder for modellerne Anvendelsesmulighederne for den srukurelle model vedrører primær virksomhedens ledelse. Oprindelig var anken givevis, a markede kunne bruge modellen il a esimere e fair spread på CDS er, men ide de må erkendes, a modellen reel bygger på en anagelse om fuld informaion, er anvendelsesmulighederne samidig begrænse se ud fra en eoreisk vinkel. De enese akører der kan anages a have fuld informaion, er virksomhedens ledelse, som dermed kan anvende modellen il a vurdere egen konkursafsand. Herudover kan modellen give e esima på de spread, virksomheden bør beale på sin gæld, hvilke kan anvendes i forhandlinger om vilkår på lån og kredifacilieer. I praksis anvendes srukurelle modeller imidlerid bl.a. i forbindelse med kapialsrukurarbirage, og denne opgave redegør for meoden. Ved kapialsrukur-arbiragen udnyes de, a der i perioder forekommer divergens mellem CDS- og akiemarkederne, som udnyes ved a age posiioner i begge markeder, og opnå en markedsneural posiion. Såfrem de o markeder konvergerer, profierer arbiragøren heraf. Anvendelsesmulighederne for DL-modellen minder om dem for den srukurelle model, ide formåle med modellen er a forklare markeds-spread. Efersom informaionsniveaue pr. konsrukion er bleve begrænse, er de imidlerid eoreisk mulig for markedsdelagerne a bruge modellen il prissæning af CDS er, ide de nu ikke længere behøver a have de fulde kendskab il virksomheden. Finingen lader som nævn sadig mege ilbage a ønske, men der er dog sadig grobund for krafige forbedringer af modellen, men Duffie & Landos anker er besem e fornufig grundlag for en model med incomplee informaion. I modsæning il de o øvrige modeller, kan Square roo modellen bruges akiv af markedsdelagerne il prisfassæelse og risikosyring af CDS-posiioner, ide denne har vis sig a fie urolig god. De er i opgaven bleve vis, hvordan modellen kan bruges il a hedge posiioner på en fakisk virksomhed, som handles på markede. Denne opgave bidrager ved a demonsrere, hvordan Base Poin Value og Jump Risk kan hedges. Derudover kan man prisfassæe skæve løbeider, hvilke er væsenlig for de sekundære CDS-marked. 88

96 Sammenfaende kan de således konkluderes, a inensiesmodellens primære formål er i handelsøjemed il prissæning og hedging. Bedse model En decidere udnævnelse af en bedse model er vanskelig, ide modellerne som ovenfor nævn har forskellige anvendelsesmuligheder. Valge af den bedse model må således bero på formåle. Vedrører formåle hedging, risikosyring eller prisfassæelse af CDS er inensiesmodellerne funde velegnede. Vedrører formåle derimod ledelsens vurdering af konkursafsand, er srukurelle og incomplee informaion modellerne funde hensigsmæssige. Alernaiv kan formåle for de o sidsnævne modelyper være kapialsrukur-arbirage. På længere sig kan man håbe, a incomplee informaion modeller i højere grad bliver i sand il a inkorporere de bedse egenskaber fra begge af de o øvrige ilgange, og dermed kunne anvendes il alle formål. Indil videre må de dog konsaeres, a DL-modellen kun går e lille skrid af vejen mod den ideelle model. 89

97 8. MODELKRIIK I dee kapiel vil der blive fremfør kriik af de re udvalge modeller. Kriikken vil primær være af generel karaker og vil således ikke behandle diverse forbehold i implemeneringen, som er bleve nævn i de enkele kapiler ifm. implemenering. De re modeller vil blive behandle en ad gangen, da kriikken er mege individuel for de enkele modeller Leland & of modellen L-modellen ager udgangspunk i kapialsrukuren for den enkele virksomhed. Dee bevirker, a man opnår en forholdsvis simpel model, men de kan dog diskueres, om modellen indeholder for få forklarende variable. Leland & of forsøger således a forklare ændringer i CDS-spreade vha. gældens varighed, virksomhedens samlede forpligelser, reneniveau, hisoriske reneudgifer og dividende sam akiekurs og volailie. De viser sig da også, a de ikke kan afvises, a residuale mellem ModelCDS og MarkedsCDS kan forklares af udelade variable som f.eks. iraxx 15 indekse jf. kap En forudsæning for L-modellen er, a forfaldne lån hele iden rulles videre, så man i praksis opnår en uendelig perpeuie, som anages konsan uafhængig af værdien af de underliggende akiver. Enese krav il virksomheden er, a den løbende skal svare sin renebyrde. Realismen i dee kan dog diskueres, for hvilke krediinsiu vil forlænge e lån il en virksomhed, hvor værdien af akiverne er markan under den bogføre gæld? Hvis værdien af akiverne således falder væsenlig under gældens sørrelse, virker de ikke plausibel a virksomheden uden problemer kan forlænge lånene. I praksis er der ypisk vedhæfe en eller flere covenans il en virksomheds lån. Disse har neop il formål a beskye långivere mod, a akiverne miser for mege værdi før lånene forfalder. Covenans er således krediorernes mulighed for a redde sine penge før forfald, hvis virksomheden kommer i problemer. Hermed kan krediorerne undgå a akiverne miser for mege værdi. Denne kriik er behandle i Qi, Liu & Wu4 og Qi7, som forsøger a implemenere en nedre grænse for konkursbarrieren. Implemeneringen af L-modellen bygger på offenlig ilgængelig daa, dvs. regnskabsdaa og markedsdaa. Som nævn ovenfor opdaeres regnskabsdaa dog kun kvaralsvis eller halvårlig når virksomheden aflægger rappor. Hvis modellen skulle fie opimal, burde også regnskabsdaa opdaeres daglig, ide kvaralsvise opdaeringer naurligvis medfører laggede regnskabsværdier og kvaralsvise spring i forecase af spreade. Dee er dog en generel svaghed ved de srukurelle modeller, som bygger på fuld informaion hos 9

98 modelkonsrukøren. Reel kan en srukurel model således kun anvendes opimal af en insider i virksomheden il vurdering af egen konkursafsand. 8.. Square roo modellen I modsæning il den srukurelle model kan Square roo modellen ikke anvendes il a forklare CDS-spreads, ide modellen neop anvender CDS-spreads som inpu. Modellen kalibreres således op mod neop CDS-markede, og dermed fier den per konsrukion. Dee er flere seder fremhæve som en syrke, men kan imidlerid også ses som en svaghed, ide modellen således ikke indeholder nogen forklaring på konkurs. Neop manglen på økonomisk raionale er e sor kriikpunk ved modellen. De er en forudsæning for a opnå e præcis fi, a likvidieen er sor i CDS-markede. De er i praksis konsaere, a især de 5 årige CDS er, sam løbeiderne 1, 3, 7 og 1 har relaiv sor likvidie. Der er således pæn likvidie hen over hele CDS-kurven, om end prissæningen kan blive en smule upræcis imellem punkerne. I perioder med lav likvidie vil modellens resulaer imidlerid blive mere upræcise, hvilke naurligvis er en svaghed ved modellen. Ovensående krav il likvidie medfører a anvendelsen af modellen primær begrænses il virksomheds-medlemmer af de europæiske iraxx eller de amerikanske CDX-indeks. De anages, a paramerene θ, c og σ er konsane, mens λ varierer over id. Dee er naurligvis en grov forsimpling, ide man le kunne ænke sig, a f.eks. ligevægen θ også kunne variere over id. Modellen kunne således udvides ved også a modellere θ. Samidig er konsan volailie σ også en noge forsimple anagelse, ide der ypisk observeres forskellig volailie over id. Igen kunne modellen naurligvis udvides ved eksplici a modellere volailieen. Sluelig skal de anføres, a Square roo modellen som implemeneres i opgaven her baserer sig på en sandard diffusionsproces. Både Giesecke4 sam Cariboni & Schouens6 anvender derimod inensiesmodeller, hvor inensieen kan springe. De viser sig i Cariboni & Schouens6, a modeller med jump giver bedre resulaer mh. mere præcis fining. Dee sker imidlerid på bekosning af sabilieen i paramere, som bliver ringere når der indføres jump. 91

99 8.3. Duffie & Lando modellen DL-modellen udvider den srukurelle model med incomplee informaion i form af søj. Der findes dog ingen definiion for hvordan søjniveaue skal fassæes, ide dee opimal se bør sæes individuel for de enkele virksomheder, eksempelvis if. regnskabsmæssig gennemsigighed. DL-modellen er lang hen ad vejen e eoreisk bidrag, ide modellen indeholder visse selvmodsigelser, når den skal anvendes i praksis. Modellen kræver således som direke inpu, a den sande hisoriske værdi af den underliggende virksomhed er kend, ide denne er bleve rapporere af virksomheden selv. Samidig anages de, a modelbyggeren kun observerer en søjfyld virksomhedsværdi, ide informaionen er incomplee. Denne selvmodsigelse gør modellen yders vanskelig a implemenere i praksis. De anages, a insidere ikke må handle på gældsmarkede, sam a virksomhedens akier ikke handles fri. Anagelsen om a akier ikke må handles, er reel kun opfyld for mege få virksomheder. Modellens eoreiske anvendelsesmuligheder begrænses således il kun a gælde de virksomheder, som ikke er børsnoere eller i øvrig ikke har fri omsæelige akier. 9

100 9. KONKLUSION Opgavens hovedproblemsilling er a undersøge forskellene mellem de re hovedilgange il modellering af spread på Credi Defaul Swaps. Dee er søg besvare gennem en analyse af re udvalge modeller med fokus på a de bagvedliggende anagelser, b implemenering i praksis, c fining og d anvendelsesmuligheder jf. de fire underspørgsmål i problemformuleringen. Leland & of 1996 er udvalg som repræsenan for den srukurelle ilgang, Square roo modellen dvs. inensieen følger en CIR-proces repræsenerer inensies-ilgangen, mens Duffie & Lando1 repræsenerer ilgangen med incomplee informaion. Anagelsen vedrørende informaionsniveaue udgør en mege væsenlig forskel mellem de re hovedilgange il modellering af CDS. De srukurelle modeller bygger implici på en anagelse om fuld informaion om virksomhedens forhold. I modsæning heril er inensiesmodellerne basere på mege begrænse informaion, ide inpu sor se kun besår af CDS-spread, der observeres i markede. Incomplee informaion modeller med delvis informaion kan placeres mellem de o ovensående yderpunker for informaionsniveaue og opfaes som en hybrid af disse. I Duffie & Landos1 model indgår informaionsniveaue direke som en inpuvariabel, ide modellen inroducerer søj på virksomhedens værdi, hvormed informaionen bliver incomplee. Der findes mange forskellige ilgange indenfor modellering med incomplee informaion, og disse placerer sig på hele spekre mellem srukurelle og inensies modeller, med forskellige egenskaber il følge. En cenral anagelse i Duffie & Lando1 modellen er, a den sande værdi af virksomheden forudsæes a være kend. Ved prakisk anvendelse af modellen, er denne anagelse imidlerid selvmodsigende, da den sande værdi er ukend pga. incomplee informaion. I opgaven argumeneres der for a den sande værdi beds kan approksimeres ved senese observerede markedsværdi. Sammenfaende konkluderes de, a anagelserne omkring informaionsniveaue er hel cenral i forolkningen af forskelle for de re modelilgange. De øvrige forskelle mellem modellerne er hovedsagelig e resula af denne anagelse. Implemenering og kalibrering af de re udvalge modeller er bleve demonsrere i opgaven. Implemeneringen af Square Roo modellen sam Leland & of1996 modellen har være relaiv ligefrem, hvorimod de har være problemaisk a operaionalisere Duffie & Lando modellen, ide denne primær er ilænk som en eoreisk model. 93

101 De påvises, a kalibreringen af Duffie & Lando modellen kun vanskelig kan gennemføres, ide der opnås åbenlys skæve værdier for virksomhedens værdi. Modellen modificeres derfor, så beregninger for kapialsrukuren baseres på Leland & of1996 frem for Leland1994. Derudover approksimeres den sande virksomhedsværdi ved senese observerede markedsværdi. Denne opgave bidrager således il lierauren ved a komme med e konkre bud på, hvordan Duffie & Landos model kan implemeneres i praksis. Fining af CDS-priserne i markede er en væsenlig egenskab for modellernes prakiske anvendelighed. Leland & of sam Duffie & Lando modellen er forholdsvis ringe il a fie CDS-spread i markede, hvorimod Square roo modellen fier markede rimelig præcis. Dee er dog en naurlig konsekvens af, a kalibreringen i Square roo modellen neop foreages ved a minimere afvigelserne mellem modellens og markedes CDS-spread. Den implemenerede Duffie & Lando model med incomplee informaion, bygger ovenpå Leland & of modellen. De konsaeres, a Duffie & Lando modellen fier bedre i den kore ende af CDS-kurven, ide modellen ager højde for informaionsniveaue i form af søj på virksomhedens værdi. Sammenfaende konkluderes de, a kun inensiesmodellen er i sand il i rimelig grad a fie markedes CDS-kurve, hvilke har sor beydning i forhold il anvendelsesmulighederne. Anvendelsesmulighederne for Leland & of modellen vedrører i eoreisk henseende primær virksomhedens ledelse, da modellen bygger på en anagelse om fuld informaion. De enese akører, der kan anages a have fuld informaion, er virksomhedens ledelse, som kan anvende modellen il vurdering af egen konkursafsand. I praksis kan modellen også anvendes il f.eks. kapialsrukur-arbirage, hvor arbiragøren ager posiioner i både CDS- og akiemarkede, ide midleridig divergens mellem disse markeder udnyes. Anvendelsesmulighederne for Duffie & Landos model svarer omren il de srukurelle modeller. Ide informaionsniveaue i Duffie & Lando modellen er incomplee, er de imidlerid eoreisk mulig for markedsdelagerne a bruge modellen il prissæning af CDS er, da der i højere grad er konsisens i informaionsanagelsen. Efersom både den srukurelle model og Duffie & Lando modellen fier markede ringe, vurderes de ikke egnede il prisfassæelse. Square roo modellen kan i modsæning il de o øvrige modeller bruges akiv af markedsdelagerne il risikosyring og prisfassæelse af CDS, ide denne har vis sig a fie rimelig præcis. I opgaven redegøres for, hvordan modellen kan bruges il a hedge posiioner 94

102 på en fakisk virksomhed, der handles på CDS-markede. Opgaven bidrager ved a vise, hvordan Base Poin Value og Jump Risk simulan kan hedges. En analyse af dynamikken mellem CDS-spread i markede og Leland & of modellen påviser, a en uligevæg primær genoprees gennem jusering af modelpriserne. Ændringer i modellens CDS-spread skyldes hovedsagelig ændringer i akiekursen eller dens volailie, hvilke indikerer a akiemarkede er lagge if. CDS-markede. Ovensående resula er dog i modsrid med lierauren, hvor der endnu ikke er funde nogen signifikan lead-lag sammenhæng mellem akiemarkede og CDS-markede. Denne opgave bygger imidlerid på nyere daa fra il , hvor bl.a. den nuværende kredikrise, som sarede i sommeren 7, er indehold. De er ikke uænkelig, a CDSmarkede i denne periode har fåe sørre fokus, og dermed er bleve prisfassa mere præcis. Valge af den forerukne modelilgang bør bero på formåle, ide modellerne har forskellige anvendelsesmuligheder. Srukurelle modeller er i eoreisk henseende anvendelige il vurdering af en virksomheds konkursafsand for ledelsen, mens både srukurelle og incomplee informaion modeller kan anvendes il f.eks. kapialsrukur-arbirage. I modsæning heril vurderes inensiesmodeller a være velegnede il hedging, risikosyring og prisfassæelse af Credi Defaul Swaps. 95

103 1. LIERAURLISE Arora, Navnee, Jeffrey R. Bohn & Fanlin Zhu, 5: Reduced Form vs. Srucural Models of Credi Risk: A Case Sudy of hree Models, Moody s KMV Company. Bajlum, Claus & Peer ind Larsen, 7a: Capial Srucure Arbirage: Model Choice and Volailiy Calibraion, Essays on Capial Srucure and Credi Risk, Ph.D af Peer ind Larsen, pp Bajlum, Claus & Peer ind Larsen, 7b: Accouning ransparency and he erm Srucure of Credi Defaul Swap Spreads, Essays on Capial Srucure and Credi Risk, Ph.D af Peer ind Larsen, pp Berger, P. G., H. Chen & F. Li, 6: Firm specific informaion and he cos of equiy capial, Working Paper, Graduae School of Business, Universiy of Chicago. Bernd, A., R.A.Jarrow & C.O.Kang, 7: Resrucuring Risk in Credi Defaul Swaps: An Empirical Analysis, Sochasic Processes and heir Applicaions, 117, pp Black, F. & J. C. Cox, 1976: Valuing Corporae Securiies: Some Effecs of Bond Indenure Provisions, he Journal of Finance, 31, pp Blanco, Robero, Simon Brennan & Ian W. Marsh, 5: Risk and Reurn in Fixed-Income Arbirage: Nickels in Fron of a Seamroller?, Journal of Finance, Vol. 6, no. 5, pp Black, F. & M. Scholes, 1973: he Pricing of Opions and Corporae Liabiliies, he Journal of Poliical Economy, 81, pp Brooks, Chris, : Inroducory Economerics for Finance, 1. Udgave, Cambridge Universiy Press. Cariboni, Jessica & Wim Schouens, 6: Jumps in Inensiy Models, JEL Code: C6, Subjec Caegory: IM. Cein, Umu, Rober Jarrow, Philip Proer & Yildiray Yildirim 4, Modeling credi risk wih parial informaion, he Annals of Applied Probabiliy, Vol. 14, No. 3, Cox, John, Jonahan Ingersoll & Sephen Ross 1985, A heory of he erm srucure of ineres raes, Economerica 53, Collin-Dufresne, P. & R.S. Goldsein, 1: Do Credi Spreads Reflec Saionary Leverage Raios?, Journal of Finance, vol. 56, pp Crosbie, P. & J. Bohn, : Modeling Defaul Risk, KMV Corporaion, available a Duare, Jefferson, Francis A. Longsaff & Fan Yu, 7: Risk and Reurn in Fixed-Income Arbirage: Nickels in Fron of a Seamroller?, Review of Financial Sudies, vol., no. 3, pp Duffee, G., 1999: Esimaing he Price of Defaul Risk, Review of Financial Sudies, vol. 1, pp Duffie. Darrell, 1999: Credi Swap Valuaion, Financial Analys's Journal, Vol. 55, no. 1, pp Duffie, Darrell & David Lando 1, erm srucures of credi spreads wih incomplee accouning informaion, Economerica 693, Duffie, Darrell & Kenneh J. Singleon 1997, An economeric Model of he erm Srucure of Ineres-rae Swap Yields, Journal of Finance, vol. 5, pp Duffie, Darrell & Kenneh J. Singleon 1999, Modeling erm srucures of defaulable bonds, Review of Financial Sudies 1, Duffie, D. & K. J. Singleon, 3: Credi Risk: pricing, measuremen, and managemen, Princeon Universiy Press, N.J. Eom, Young Ho., Jean Helwege & Jing-Zhi Huang, 4: Srucural Models of Corporae Bond Pricing: An Empirical Analysis, he Review of Financial Sudies, Vol. 17, No., pp

104 Ericsson, J., J. Reneby & H. Wang, 6: Can srucural models price defaul risk? Evidence from bond and credi derivaive markes, Working Paper, McGill Universiy and Sockholm School of Economics. Feller, W. 1951: "WO Singular Diffusion Problems," Annals of Mahemaics, vol. 54, pp Friedman, M., 1953: he Mehodology of Posiive Economics, Essay in Essays on Posiive Economics, Universiy of Chicago Press. Giesecke, Kay, 4: Credi Risk Modeling and Valuaion: An Inroducion, Credi Risk: Models and Managemen, Vol.. Giesecke, Kay, 6: Defaul and informaion, Journal of Economic Dynamics & Conrol, vol. 3, pp Giesecke, Kay & Lisa Goldberg, 4a: Forecasing defaul in he face of uncerainy, Journal of Derivaives, vol. 11, pp Giesecke, Kay & Lisa Goldberg 4b: In search of a Modigliani-Miller economy, Journal of Invesmen Managemen, vol. 3, 1-6. Giesecke, Kay & Lisa Goldberg, 7: he Marke Price of Credi Risk, Working paper a Sanford Universiy, and Cornell Universiy, 3. Goldman Sachs, 4: Pricing and Risk Managemen of Single-Name CDS, he Credi Derivaives Marke, Goldman Sachs Inernaional. Hull, John, 6: Opions, Fuures and oher Derivaives, Prenice Hall, NJ. Hull, John & Alan Whie, : Valuing Credi Defaul Swaps I: No Counerpary Defaul Risk, Journal of Derivaives, Vol. 8, No. 1, Fall, pp. 9-4 Jarrow, Rober A., David Lando & Suar M. urnbull 1997, A markov model of he erm srucure of credi risk spreads, Review of Financial Sudies 1, Jarrow, Rober A. & Philip Proer, 4: Srucural Versus Reduced Form Models: A New Informaion Based Perspecive, Journal of Invesmen managemen, vol., No., pp Jarrow, Rober A. & Suar M. urnbull 1995, Pricing derivaives on financial securiies subjec o credi risk, Journal of Finance 51, Kim, J., K. Ramaswamy & S. Sundaresan, 1993: Does Defaul Risk in Coupons Affec he Valuaion of Corporae Bonds?, Financial Managemen, vol., pp Lando, D., 1998: On Cox Processes and Credi Risky Securiies, Review of Derivaives Research,, pp Lando, D., 4: Credi Risk Modeling: heory and applicaions, Priceon Universiy Press, N.J. Lando, D., 5: Modellering af kredirisiko, Udviklingslinier i Finansiering af Michael Chrisensen, Juris- & økonomforbundes forlag, 1. udgave, pp Leland, Hayne E., 1994: Corporae Deb Value, Bond Covenans, and Opimal Capial Srucure, Journal of Finance, vol. 49, pp Leland, Hayne E., 1998: Agency Coss, Risk Managemen, and Capial Srucure, he Journal of Finance, Vol. 53, No. 4, pp Leland, H.E. & K.B.of, 1996: Opimal Capial Srucure, Endogenous Bankrupcy, and he erm Srucure of Credi Spreads, he Journal of Finance, Vol.51 3, pp Longsaff, F. S. & E. S. Schwarz, 1995: A Simple Approach o Valuing Risky Fixed and Floaing Rae Deb, he Journal of Finance, 5, pp Meron, R. C., 1974: On he pricing of corporae deb: he Risk Srucure of Ineres Raes, he Journal of Finance, 9, pp Meron, Rober C., 199, Coninous-ime Finance, Cambridge, MA: Blackwell. Modigliani, Franco & Meron H. Miller 1958, he cos of capial, corporaion finance and he heory of invesmen, American Economic Review 483, Nelder, J. A. & R. Mead, 1965: A simplex mehod for funcion minimizaion, Compuer Journal, vol. 7, pp

105 Pedersen, Frank & Alfred Heller, 1: Opimering af energisysemer E indledende forsøg på dimensionering af energisysemer ved hjælp af opimeringsmeoder, Rappor BYG DU R-15, Danmarks ekniske Universie. Qi, Howard, 7: Credi Spread by a Modified Leland-of Model, Working Paper a Michigan echnological Universiy. Qi, Howard, Sheen X. Liu & Chunchi Wu, 4: Modified Leland-of Model wih Defaul Boundary as a fixed Proporion of Deb Face Value and Credi Spread, Working Paper a Michigan echnological Universiy. Schönbucher, P. J., 3: Credi Derivaives Pricing Models, Wiley Vassalou, Maria & Yuhang Xing, 4: Defaul Risk in Equiy Reurns, Journal of Finance, vol. 59, no., pp Verbeek, Marno, 4: A Guide o Modern Economerics,. Udgave, John Wiley & Sons. Wilmo, Paul, 7: Inroduces Quaniaive Finance,. Udgave, John Wiley & Sons. Wooldridge, J. M., 6: Inroducory Economerics: A Modern Approach, 3. Udgave, homson Souh-Wesern. Yu, Fan, 6: How profiable is capial srucure arbirage?, Financial Analyss Journal, vol 6, no. 5, pp Zhou, C., 1: he erm Srucure of Credi Spreads wih Jump Risk, Journal of Banking and Finance, vol. 5, pp Inerne-kilder: BIS 7: Bank for Inernaional Selemens hp:// riennial and semiannual surveys on posiions in global over-he-couner OC derivaives markes a end-june 7 Waner, Sefan, 8: Hjemmeside for Sefan Waner om anvendelse af maemaik hp://people.hofsra.edu/sefan_waner/realworld/index.hml Alglib 8: Biblioek over diverse ieraive algorimer inklusiv forklaringer hp:// Allison, F., 8: Noesæ om numerisk inegraion fra Monash universie. hp:// Scholarpedia8: Peer-reviewed encyclopedia wrien by scholars. hp:// 98

106 11. BILAGSOVERSIG Bilag 1: Oversig over de udvalge iraxx virksomheder Bilag : Formler for Leland & of modellen Bilag 3: Grafisk illusraion af handels-sraegi for HAV FP Bilag 4: Formler for Square roo modellen Bilag 5: Nelder Mead simplex meoden Bilag 6: Formler for Duffie & Lando modellen 99

107 Bilag 1 Oversig over virksomheder som anvendes i analyserne Udvalge virksomheder fra iraxx Europe 15 Nr. Bloomberg kode Virksomhedsnavn Branche 1 AC FP Equiy Accor SA Consumer, Cyclical ADEN VX Equiy Adecco SA Consumer, Non-cyclical 3 ELUXB SS Equiy Elecrolux AB Consumer, Cyclical 4 AKZA NA Equiy Akzo Nobel NV Basic Maerials 5 AAL LN Equiy Anglo American PLC Basic Maerials 6 BA/ LN Equiy BAE Sysems PLC Indusrial 7 BAY GR Equiy Bayer AG Basic Maerials 8 CBRY LN Equiy Cadbury Schweppes PLC Consumer, Non-cyclical 9 CA FP Equiy Carrefour SA Consumer, Non-cyclical 1 CPG LN Equiy Compass Group PLC Consumer, Cyclical 11 CON GR Equiy Coninenal AG Consumer, Cyclical 1 DAI GR Equiy Daimler AG Consumer, Cyclical 13 LHA GR Equiy Deusche Lufhansa AG Consumer, Cyclical 14 DE GR Equiy Deusche elekom AG Communicaions 15 DGE LN Equiy Diageo PLC Consumer, Non-cyclical 16 DSGI LN Equiy DSG Inernaional PLC Consumer, Cyclical 17 FE FP Equiy France elecom SA Communicaions 18 BN FP Equiy Groupe Danone Consumer, Non-cyclical 19 IM LN Equiy Imperial obacco Group PLC Consumer, Non-cyclical LG FP Equiy Lafarge SA Indusrial 1 UG FP Equiy Peugeo SA Consumer, Cyclical PP FP Equiy PPR Consumer, Cyclical 3 RNO FP Equiy Renaul SA Consumer, Cyclical 4 I IM Equiy elecom Ialia SpA Communicaions 5 SCO LN Equiy esco PLC Consumer, Non-cyclical 6 MS FP Equiy homson Consumer, Cyclical 7 UNA NA Equiy Unilever NV Consumer, Non-cyclical 8 UPM1V FH Equiy UPM-Kymmene Oyj Basic Maerials 9 FR FP Equiy Valeo SA Consumer, Cyclical 3 VIV FP Equiy Vivendi Communicaions Udvalge virksomheder fra iraxx Xover 31 ALU FP Equiy Alcael-Lucen Communicaions 3 ALO FP Equiy Alsom Indusrial 33 BAY LN Equiy Briish Airways PLC Consumer, Cyclical 34 CW/ LN Equiy Cable & Wireless PLC Communicaions 35 CAP FP Equiy Cap Gemini SA echnology 36 COL LN Equiy Col elecom Group SA Communicaions 37 HAV FP Equiy Havas SA Communicaions 38 MEO1V FH Equiy Meso Oyj Indusrial 39 UI1 GR Equiy UI AG Consumer, Cyclical

108 Bilag Leland & of 1996 modellen Den risikoneurale kumulaive konkurssandsynlighed beregnes som: 1 h N K V h N F a + = dvs. den risikoneurale overlevelsessandsynlighed Q er lig 1-F. æhedsfunkionen for konkurssandsynlighed beregnes som: 1 q N K V q N K V G z a z a + + = Hvor: z b q σ σ 1 =, z b q σ σ + =, a b h σ σ 1 =, a b h σ σ + =, = K V b ln Herudover findes a og z som: σ δ σ = r a, σ aσ rσ z + = Konkursbarrieren besemmes endogen i modellen som: B x r x C r AD B r A r C K + = 1 1 / / / / α α θ, hvor x = a + z og a z a n e z n z N z a N ae A r r D + + = σ σ σ σ σ σ z a z z n z N z z B D 1 σ σ σ σ σ = ide n noerer æhedsfunkionen for sandardnormalfordelingen, mens N noerer den kumulaive sandardnormalfordeling. Ved beregning af gældens værdi bruges I og J, der beregnes som følger: 1 F e G r I r = [ ] [ ] + = q q N K V q q N K V z J z a z a σ

109 Bilag 3: Grafisk illusraion af handelssraegi for HAV FP I figur 1 nedenfor er udviklingen i CDS-spread for hhv. L-model og marked sam akiekurs inkl. dividende illusrere FP i perioden il for case-virksomheden HAV FP. Ifølge handelssraegien vedrørende kapialsrukur-arbirage handles der, når divergensen mellem 5-årige CDS-spread mellem ModelCDS og MarkedsCDS oversiger en vis procen. For de konkree eksempel er afvigelses-krave sa il 75 %, hvilke bevirker a arbiragøren re gange ager kore posiioner i perioderne ; og , ide MarkedsCDS her iniial er min. 75 % sørre end ModelCDS. Figur 1: Udvikling i ModelCDS, MarkedsCDS og akiekurs for handelssraegi for HAV FP CDS-spread Akiekurs inkl. dividende ModelCDS v. akse MarkedsCDS v.akse Akiekursh.akse

110 Bilag 4 Square roo modellen Overlevelsessandsynlighed Q er i Square roo modellen give ved: λ = b a e Q Hvor + = γ γ γ σ θ γ γ 1 ln / c e c e c a γ γ γ γ = e c e b γ + σ = c æhedsfunkionen for konkurssandsynlighed -q i Square roo modellen er da: - [ ] ' ' λ λ = b a e q b a hvor ' ' * ' g g f g f g f c a = σ θ / c e f = γ γ ' / c e f c = γ γ γ γ γ γ 1 + = e c g γ γ γ = ' e c g og ' ' ' i i h i h b = 1 = e h γ γ γ = e h ' γ γ γ 1 + = e c i γ γ γ = ' e c i

111 Bilag 5: Nelder Mead simplex meoden Nelder Mead simplex meoden er en algorime, der kan opimere en funkion uden anvendelse af aflede funkioner eller gradien-kvoiener 1. En simplex er en geomerisk figur, frembrag af n+1 punker i e n-dimensionel. Nedenfor illusreres simplexen i e 3-D rum, hvormed der fremkommer en pyramide, som illusrere i figur 1: Figur 1: Illusraion af en simplex i e 3-D rum Noe: figur basere på Pedersen og Heller 1. I figur 1 angiver allene i parenes objekfunkionens værdi i de 4 forskellige punker. I førse sep af algorimen findes punke, hvor objekfunkionens anager den dårligse værdi x 4, ide Nelder Mead meoden har il formål a fjerne de punk i simplexen, hvor objekfunkionen giver den dårligse højese værdi. De dårligse punk projiceres dernæs ned på den modsae flade, gennem simplexens cenerpunk x c hvorved punke x p fremkommer. I ande sep af algorimen foreages en refleksion jf. figur a og dernæs afgøres de hvilke af de reserende yper rin, der skal foreages afhængig af objekfunkionens værdi. De 4 yper af rin illusreres og forklares nedenfor i figur : 1 Dee afsni bygger på på Pedersen & Heller 1 og Scholarpedia 8. De er af gode grunde ikke mulig a vise vores 4D-problemsilling grafisk, hvorfor 3D anvendes il illusraion

112 Figur : Illusraion af 4 yper rin Noer: Figur basere på Heller & Pedersen 1. Forklaring il de 4 yper rin er som følger: a Refleksion. De dårligse punk bliver spejle i de projicerede punk. b Ekspansion. Hvis objekfunkionen giver en bedre værdi end den dårligse værdi i de reflekerede punk, ekspanderes søgereningen med en fakor. c Konrakion. Hvis objekfunkionen ikke giver en bedre værdi end den dårligse i de reflekerede punk, vælges e punk mid mellem de dårligse punk og de projicerede punk. d Konrakion omkring bedse punk. Hvis objekfunkionen ikke giver en bedre værdi i konrakionspunke, beregnes en ny simplex, hvor alle linier, der udgår fra de bedse punk, er halvere. Ovensående procedure med hele iden a forbedre de dårligse punk forsæes indil e give konvergenskrierium er nåe. I denne opgave anvendes de krierium a når objekfunkionen afager mindre end en given oleranceværdi afslues algorimen.

113 Bilag 6 Duffie & Lando 1 modellen Den risikoneurale overlevelsessandsynlighed Q er give ved: = v dx z xy g v x s Q,,, 1 π Hvor + + = s s m v x N v x m s s m v x N v x s σ σ σ π exp, 1 ide N noerer den kumulaive sandardnormalfordeling. æheden, z x y, g af virksomhedens sande værdi Z er give ved: = exp 4 exp ~ ~ exp 1,, β β β β β β β β β β σ π β N N x z e z y x g J hvor J, β,β 1,β og β 3 er give ved: x m z a x y z x y J ~ ~ ~ ~ ~ ~, ~, σ + + = a a σ σ β + =, m z a y 1 ~ ~ σ β + + = z 1 ~ σ β β + =, + + = m z a y 3 ~ ~ 1 σ β mens: v z z = ~, v x x = ~ og v y y = ~ Variablen a angiver graden af søj, σ er volailieen på virksomhedens akiver V, og m er drifen. Variablene z angiver den sande værdi på idspunk i log-ransformaionen, x er den variabel der inegreres over mens y er den akuelle observerede værdi definere ved lnv. æhedsfunkionen for konkurssandsynlighed beregnes som: dx x g x G v, hvor gx ses ovenfor, mens Gx, beregnes som:, 1 h N e h N e x G b z c b z c + = + og z b h σ σ 1 =, z b h σ σ + = σ m c =, σ rσ m z + =