Den forbrugsbaserede prisfastsættelsesmodel:

Transkript

1 Insiu for Regnskab, Finansiering og Logisik Cand.merc.finansiering Kandidaafhandling Vejleder: Tom Engsed Forfaere: Sig Vinher Møller Minh Tuong Den forbrugsbaserede prisfassæelsesmodel: En empirisk sammenligning af sandardmodellen med Campbell- Cochrane modellen på de danske akiemarked Handelshøjskolen i Århus Augus 005

2 Summary Mehra and Presco (985) find ha he consumpion-based asse pricing model wih consan relaive risk aversion (he sandard model) canno explain he risk premium on US socks wihou a high value of risk aversion. This is called he equiy premium puzzle. Weil (989) poins ou ha a high risk aversion in he sandard model leads o a risk free rae puzzle. Wih a high risk aversion in he sandard model he risk free rae is high, which is no consisen wih he hisorical low risk free rae. Several modificaions o he sandard model have been developed o solve he equiy premium and risk free rae puzzles. One approach menioned in he lieraure is he habi formaion models. In hese models he invesor slowly develops habis for a high or a low consumpion level. If he invesor ges accusomed o a high sandard of living afer periods of good imes, a fall in consumpion hurs even hough he same level of consumpion migh be saisfying in periods of bad imes. Campbell and Cochrane (999) develop a habi formaion model wih ime varying and counercyclical risk aversion. In conras he risk aversion in he sandard model is consan. The ime varying and counercyclical risk aversion in he Campbell-Cochrane model is in accordance wih ime varying expeced reurns. In bad imes he invesor s risk aversion is high, and he invesor demands a high expeced reurn. On he oher hand in good imes he invesor s risk aversion is low and he invesor demands a low expeced reurn. Chen and Ludvigson (004) emphasize ha wihin he class of consumpionbased asse pricing models, habi formaion models are he mos successful in describing he aggregae sock marke behaviour. In his hesis we esimae and es boh he sandard model and he Campbell- Cochrane model. We wan o find ou, which of hese wo models gives he bes descripion of he aggregae Danish sock marke behaviour. Our purpose is no o analyse if an equiy premium puzzle in Denmark exiss. Engsed and Tanggaard (999) have already found ou ha an equiy premium puzzle wih he sandard model in Denmark does no seem o exis.

3 We find hrough he use of GMM esimaion of he sandard model ha he subjecive discoun facor δ is below and significan differen from 0. A subjecive discoun facor below is in accordance wih he invesor preferring consumpion oday raher han consumpion in he fuure. The esimaes of he risk aversion γ are generally insignifican. The esimaes of γ are low bu vary wih boh negaive and posiive signs. The esimaes of γ depend on wheher he opimal weighing marix or he ideniy marix are used. Also he resuls are no robus o he choice of insrumen variables. Our resuls of he GMM esimaion of he sandard model are consisen wih Lund and Engsed (996) and Engsed and Tanggaard (999). The GMM esimaion of he Campbell-Cochrane model implies a low uiliy curvaure parameer γ and a subjecive discoun facor δ below. Boh parameers are significanly differen from 0. A low uiliy curvaure parameer γ in he Campbell- Cochrane model does no mean ha he risk aversion is low. In he Campbell- Cochrane model he risk aversion is γ / S, where S is he surplus consumpion raio. According o Campbell and Cochrane (999) a high risk aversion canno be ruled ou. The problem wih a high risk aversion in he sandard model is ha i leads o a risk free rae puzzle. The Campbell-Cochrane model allows a high risk aversion wih a low γ, avoiding a risk free rae puzzle. Wih an esimae of γ of.066 we find a high ime varying risk aversion beween 3 and 63. Even hough he risk aversion is high he implied risk free rae is low a.37% per quarer compared o he acual risk free rae of.%. The Hansen and Jagannahan (99) volailiy bound - wih he correcion of Burnside s (994) esimaion uncerainy - suppors he conclusion ha he uiliy curvaure parameer in he Campbell-Cochrane model is low. Wih a subjecive discoun facor of we find ha he uiliy curvaure parameer γ has o be 0.05 o fulfil he volailiy bound. In he sandard model he volailiy bound is fulfilled wih a risk aversion γ of. The reason for he lower γ in he Campbell-Cochrane model compared o he sandard model is ha he high volailiy of he surplus consumpion raio creaes a high volailiy of he sochasic discoun facor in he Campbell-Cochrane model.

4 Boh he Hansen and Jagannahan (99) volailiy bound including Burnside s (994) esimaion uncerainy and he GMM esimaion indicae ha he risk aversion in he sandard model does no need o be high o explain he risk premium of socks. This is consisen wih previous Danish sudies, see e.g. Engsed and Tanggaard (999). Even hough he sandard model is able o explain he risk premium wihou an equiy premium puzzle, i seems ha he Campbell-Cochrane model gives a beer descripion of he aggregae sock marke behaviour. Using our GMM esimaes we find ha he pricing errors of he Campbell-Cochrane model are lower han he sandard model. Pricing errors are defined as he difference beween prediced reurns of he model and realized reurns. Likewise he sandard model wih he ideniy marix has lower pricing errors han he opimal weighing marix. Using he ideniy marix all momens in he GMM esimaion receive he same weigh. In conras he opimal weighing marix pays more aenion o he momens wih he lowes variance. In our GMM esimaion we focus on insrumen variables which are successful in predicing he quarerly sock reurn in he USA. We find ha Leau and Ludvigson s (00a) consumpion-wealh raio predics he Danish sock marke reurn in he long run, bu conrary o he USA he consumpion-wealh raio canno predic he sock marke reurn in he shor run. The only insrumen variable which predics he quarerly sock marke reurn is he risk premium on he sock marke over he risk free rae ( KFXEX ). By an OLS regression of he sock marke reurn on a consan and one lag of KFXEX we esimae a significan coefficien and a coefficien of deermi- naion R of 3%. As he ime horizon increases o half a year R increases o 6%. We also find ha he esimaed ime varying and counercyclical risk aversion in he Campbell-Cochrane model predics he Danish sock marke reurn in he shor erm. Wih an OLS regression of he sock marke reurn on a consan and one lag of risk aversion we find ha he risk aversion predics he quarerly sock reurn wih a R of 4% and he coefficien esimae is significan. For 6 and 9 monhs R increases o 7% and he coefficien esimae is sill significan. By running a conrol regression we find ha he risk aversion in he Campbell-Cochrane model is more powerful as a forecas variable han KFXEX. The risk aversion is able o forecas sock reurn because he counercyclical risk aversion capures he expeced ime varying sock marke reurn. When consumpion falls owards habi, he risk aversion increases and he expeced

5 sock marke reurn increases accordingly. On he oher hand, when consumpion is subsanially higher han habi he invesor s risk aversion is low and he expeced sock marke reurn is low.

6 Indholdsforegnelse. Indledning.... C-CAPM...6. Repræsenaiv invesor model...6. Sandardmodellen Sandardnyefunkion De forvenede akieafkas Den risikofrie rene Equiy premium og risk free rae puzzles Løsninger på puzzles Campbell-Cochrane modellen Habi specificere nyefunkion Nyefunkion i Campbell-Cochrane modellen De forvenede akieafkas Den risikofrie rene Følsomhedsfunkionen Meode Hansen og Jagannahan (99) Den sokasiske diskoneringsfakor Volailiesgrænsen Esimaionsusikkerhed GMM Beinge GMM esimaion Modeles Campbell-Cochrane modellen...46

7 4. Præliminær analyse Daabeskrivelse Overskudsforbrugsraioen Parameervalg Observaion af overskudsforbrugsraioen Indledende analyse af saisiske egenskaber Resulaer Hansen og Jagannahan (99) GMM esimaion Valg af insrumenvariable Forbrug-formue raio Esimaion af forbrug-formue raio Forecas af akieafkas Sandardmodellen Campbell-Cochrane modellen Prisfejl Modelegenskaber Konklusion...06 Lieraurlise.. 09 Appendiks

8 . Indledning Mehra og Presco (985) viser, a den forbrugsbaserede prisfassæelsesmodel med konsan relaiv risikoaversion (sandardmodellen) ikke kan forklare den høje amerikanske risikopræmie uden samidig a anage en høj grad af risikoaversion. Den høje risikoaversion i sandardmodellen kaldes for equiy premium puzzle. Weil (989) undersreger, a en afled effek af den høje risikoaversion er risk free rae puzzle. Risk free rae puzzle opsår, når en høj risikoaversion fører il en mege høj risikofri rene, hvilke ikke er konsisen med den hisorisk lave risikofrie rene. Hvis en høj risikofri rene skal undgås i sandardmodellen kræves, a invesor værdsæer forbruge i fremiden højere end forbruge i dag, hvilke er eoreisk inkonsisen. Siden Mehra og Prescos (985) opdagelse af equiy premium puzzle er der i lierauren udvikle nye varianer af C-CAPM for a løse dee puzzle. Hall (988), Epsein og Zin (989) sam Weil (990) fremhæver, a en svaghed i sandardmodellen er, a parameeren for relaiv risikoaversion også besemmer elasicieen af den ineremporale subsiuion, som udrykker invesors villighed il a flye forbrug over id. Den relaive risikoaversion og elasicieen af den ineremporale subsiuion udrykker o vid forskellige egenskaber af invesors præferencer og bør parameeriseres uafhængig af hinanden. En gren af lierauren fokuserer derfor på a bryde den æe forbindelse mellem den relaive risikoaversion og elasicieen af den ineremporale subsiuion. De opnås i habi formaion modeller ved a gøre dagens nye af forbrug afhængig af idligere forbrug. I habi formaion modeller ages højde for, a invesor vænner sig il e besem forbrug. Hvis invesor vænner sig il e høj forbrug efer en årrække med gode ider, føles de uilfredssillende a opleve e fald i forbruge. Chen og Ludvigson (004) fremhæver, a habi formaion modeller er førende bland de nye varianer af C-CAPM, ligesom habi formaion modeller med sigende overbevisning kan forklare prisfassæelsen i akiemarkede. I Danmark har undersøgelser af C-CAPM fokusere på sandardmodellen. Engsed og Tanggaard (999) finder, a der ikke er e equiy premium puzzle i Danmark. Forkla- Den forbrugsbaserede prisfassæelsesmodel er den danske beegnelse for Consumpion-based Capial Asse Pricing Model (C-CAPM).

9 ringen er, a risikopræmien i Danmark ikke har samme høje niveau som i USA. Den danske risikopræmie har i perioden 9 il 996 være 3,7%, jf. Engsed og Tanggaard (999). Til sammenligning har den amerikanske risikopræmie i eferkrigsiden være 8%, jf. Cochrane (997). Der opsår ikke e equiy premium puzzle i Danmark ud fra sandardmodellen. E ineressan spørgsmål er derfor, om de nyudviklede modeller, som eliminerer svagheder i sandardmodellen, er bedre il a opfange prisfassæelsen på de danske akiemarked. Dee spørgsmål besvares i denne afhandling ved a foreage en empirisk sammenligning af sandardmodellen med Campbell og Cochrane s (999) habi formaion model på de danske akiemarked i perioden fra. kvaral 985 il 4. kvaral 00. Måle er a undersøge hvilken model, der beds beskriver prisfassæelsen på de danske akiemarked. Af de nyudviklede modeller fokuserer vi på Campbell-Cochrane modellen, fordi den med succes forklarer den amerikanske risikopræmie. Samidig er den idsvarierende og konracykliske risikoaversion i Campbell-Cochrane modellen i overenssemmelse med idsvarierende forvenede afkas. I dårlige ider er invesors risikoaversion høj, og invesor kræver e høj forvene afkas for a invesere i akier. Omvend er de krævede forvenede afkas lav i gode ider, hvor invesors risikoaversion er lav. For a undersøge sandardmodellen og Campbell-Cochrane modellen anvendes Hansen og Jagannahan (99) meoden og Generalized Mehod of Momens (GMM) esimaion. Som poinere af Engsed (00) er de hensigsmæssig a evaluere en model med forskellige meoder for a undersøge, hvilke dimensioner af daa modellen kan eller ikke kan opfange. Hansen og Jagannahan (99) udleder en nedre grænse for volailieen af enhver sokasisk diskoneringsfakor, som prisfassæer e akivs bealinger korrek. På baggrund af Hansen og Jagannahan (99) meoden undersøger vi den sokasiske diskoneringsfakor i sandardmodellen og Campbell-Cochrane modellen. Ved a lade paramerene i den sokasiske diskoneringsfakor være fri finder vi de paramere, som fører il, a den sokasiske diskoneringsfakor er ilsrækkelig volail il a opfylde volailiesgrænsen.

10 Hansen og Jagannahan (99) meoden ager ikke højde for esimaionsusikkerhed for volailiesgrænsen og den sokasiske diskoneringsfakor. For a age højde for esimaionsusikkerhed anvendes meoden i Burnside (994), som er e saisisk es basere på disancen mellem sandardafvigelsen af en sokasisk diskoneringsfakor og volailiesgrænsen. For a esimere paramerene i sandardmodellen og Campbell-Cochrane modellen anvendes GMM. GMM esimaionen af Campbell-Cochrane modellen vanskeliggøres ved, a overskudsforbrugsraioen ikke er observerbar. Campbell og Cochrane (999) foreager ikke en esimaion, men kalibrerer modellens paramere, så de macher den hisoriske risikofrie rene og Sharpe raio. Ifølge vores kendskab er der i lierauren kun o empiriske undersøgelser, der esimerer paramerene i Campbell-Cochrane modellen. Den ene undersøgelse er af Tallarini og Zhang (004), som anvender Efficien Mehod of Momens (EMM), og den anden undersøgelse er af Garcia, Renaul og Semenov (005), som anvender GMM. I begge undersøgelser analyseres amerikanske daa. Inspirere af meoden i Garcia, Renaul og Semenov (005) esimerer vi Campbell- Cochrane modellen ved GMM på danske al. For a generere processen for overskudsforbrugsraioen anager Garcia, Renaul og Semenov (005) en sarværdi for nyekurveparameeren γ. I GMM esimaionen har Garcia, Renaul og Semenov (005) som besluningskrierium, a den esimerede γ er æ på sarværdien af γ. Hvis den esimerede γ afviger fra sarværdien af γ, er de egn på, a den γ, som genererer processen for overskudsforbrugsraioen, er misspecificere. Vores besluningskrierium afviger ved, a vi iererer over γ, indil den lavese værdi af krieriefunkionen opnås. Ved a anvende en præspecificere vægningsmarice kan vi sammenholde værdien af krieriefunkionen for de forskellige GMM kørsler og besemme den model med de lavese prisfejl. Da vi sammenligner værdien af krieriefunkionen for de forskellige GMM kørsler, kan vi ikke anvende den opimale vægningsmarice, som vil variere fra kørsel il kørsel. I vores valg af insrumenvariable il GMM esimaionen fokuseres på særke forecasvariable, som er succesrige i a forudsige de amerikanske akieafkas. Vi inddra- 3

11 ger Leau og Ludvigsons (00a) forbrug-formue, som har opnåe opmærksomhed for dens særke evne il a forudsige udviklingen på de amerikanske akiemarked på både kor og lang sig. Sammen med andre udvalge insrumenvariable undersøges forbrug-formue raioens evne il a forudsige udviklingen på de danske akiemarked. Ud fra vores GMM esimaer undersøger vi prisfejlene for sandardmodellen og Campbell-Cochrane modellen. Prisfejl udrykker afvigelsen mellem modellens forvenede afkas fassa på baggrund af de esimerede paramere og den undersøge periodes realiserede afkas. Ifølge Cochrane (005) er de mere ineressan, a parameeresimaerne i en model fører il en lav prisfejl end, a modellen ikke kan forkases ud fra e saisisk es. En lav prisfejl for en given model er udryk for, a modellen beskriver de hisoriske afkas god. Hverken Garcia, Renaul og Semenov (005) eller Tallarini og Zhang (004) undersøger prisfejl på baggrund af deres esimaer af Campbell-Cochrane modellen. Tilsvarende er der på danske daa ikke idligere foreage en analyse af sandardmodellens prisfejl. Endelig analyseres modelegenskaberne i sandardmodellen og Campbell-Cochrane modellen på baggrund af GMM esimaionen. I den sammenhæng undersøges, om den idsvarierende og konracykliske risikoaversion i Campbell-Cochrane modellen er i overenssemmelse med forudsigelse af udviklingen på de danske akiemarked. Afhandlingen er srukurere således, a afsni beskriver eorien bag sandardmodellen og Campbell-Cochrane modellen. Der foreages en analyse af de fakorer, som driver akieafkase og den risikofrie rene i både sandardmodellen og Campbell- Cochrane modellen. De belyses, hvorfor sandardmodellen medfører e equiy premium puzzle og risk free rae puzzle i USA. I forlængelse heraf gennemgås nyudviklede modeller, som forsøger a løse sandardmodellens manglende evne il a forklare prisfassæelsen af akier i USA. I afsni 3 beskrives henholdsvis Hansen og Jagannahan (99) meoden og GMM esimaionen. De vises, hvordan vi genererer den uobserverbare proces for overskudsforbrugsraioen. Vores besluningskrierium og valg af præspecificere vægningsmarice i GMM esimaionen af Campbell-Cochrane uddybes. I afsni 4 beskriver vi vores daa, og der gives en indledende analyse af variablenes saisiske egenskaber i relaion il C-CAPM. En cenral anagelse i Campbell- Cochrane modellen er, a forbruge følger en random walk. For a undersøge om for- 4

12 bruge kan beskrives ud fra en random walk, anvendes auokorrelaion ess og varians raio ess. I afsni 5 præseneres resulaer af Hansen og Jagannahan (99) meoden og GMM esimaionen. I forbindelse med GMM esimaionen udvælges insrumenvariable på baggrund af deres evne il a forudsige akieafkase. På baggrund af GMM esimaerne foreages en analyse af prisfejl og modelegenskaber i sandardmodellen og Campbell-Cochrane modellen. Endelig konkluderes der i afsni 6. 5

13 . C-CAPM C-CAPM er en ineremporal ligevægsmodel, hvor priserne på finansielle akiver og makroøkonomi forbindes. C-CAPM afviger fra andre modeller inden for finansieringseori ved a have poeniale il a forklare, hvilke fakorer der driver den risikofrie rene og risikopræmien på akier, jf. Campbell, Lo og MacKinlay (997) og Cochrane (997). Andre modeller inden for finansieringseori forklarer hverken den risikofrie rene eller risikopræmien, men ager de o variable for give. I overenssemmelse med moderne finansieringseori måles risikoen i C-CAPM ud fra akives kovarians med den økonomiske ilsand. Som poinere af eksempelvis Engsed (00) og Cochrane (005) er de i moderne finansieringseori ikke akives volailie, som er afgørende for risikoen. Invesor opfaer derimod e akiv som risikabel, hvis de giver lave afkas i dårlige ider, hvor invesor har allermes brug for høje afkas. Sandardmodellen og Campbell-Cochrane modellen har o forskellige syn på, hvad invesor opfaer som dårlige ider. I sandardmodellen opfaes perioder med lav forbrug som dårlige ider. I Campbell-Cochrane modellen opfaes perioder med lav forbrug relaiv il habi som dårlige ider. Dårlige ider kan forekomme, selvom om forbruge er høj, hvis habi ilsvarende er høj. I dee afsni præseneres sandardmodellen og Campbell-Cochrane modellen, som begge bygger på en repræsenaiv invesor.. Repræsenaiv invesor model C-CAPM ager si udgangspunk i en repræsenaiv invesor, som maksimerer den forvenede fremidige nye under en budgebegrænsning, jf. Rubinsein (976), Lucas (978) og Breeden (979). I repræsenaiv invesor modeller er alle invesorer homogene og ræffer de samme valg. Formåle er a opnå en simpel model, hvor de ikke er nødvendig a anvende mikrodaa. Den repræsenaive invesor skal i hver periode planlægge si forbrug og opsparing med henblik på a opnå ineremporal maksimering af nyen. Der opspares ved a invesere i finansielle akiver, som handles i e 6

14 komple marked uden ransakionsomkosninger sam andre markedsfrikioner. Cuhberson (996) viser, a den opimale forbrugsplan findes ved a maksimere objekfunkionen: Max E ( + ) (..) j δ U C j j= 0 under følgende budgebegrænsning: ( ) C = D X + P X X. i, i, i, i, i, E [ ] er forvenningsoperaoren beinge af informaionssæe på idspunk. C + j er den repræsenaive invesors reale forbrug på idspunk + j, der findes som de aggregerede forbrug per capia, og ( j) U C + er nyen af forbruge på idspunk + j. δ er den subjekive diskoneringsfakor definere som δ = ( + τ ) -, hvor τ angiver invesors idspræference mellem forbrug nu og forbrug i næse periode. Tidspræferencen er posiiv og konsan, hvilke medfører en konsan subjekiv diskoneringsfakor mellem 0 og. Jo højere idspræference, jo højere er præferencen for forbrug i dag, og jo krafigere er ilbagediskoneringen af de fremidige forbrug. Med en negaiv idspræference fås en subjekiv diskoneringsfakor over. En negaiv idspræference udelukkes, fordi de er ulogisk, a invesor værdsæer fremidig forbrug højere end forbrug i dag. I budgebegrænsningen ages udgangspunk i opsparing gennem invesering i e akiv i, som koser P i, på idspunk og udbealer en dividende D i, + på idspunk +, mens X i, udrykker beholdningen af akiv i på idspunk. Ligesom forbrug udrykkes dividende og akivpris i reale ermer, fordi invesors købekraf er afgørende. Af budgebegrænsningen fremgår, a forbruge på idspunk fassæes som summen af henholdsvis udbealing af dividende på idspunk, Di, Xi,, og salg af akiv i på idspunk, Pi, ( Xi, Xi, ). 7

15 Ved a løse udrykke i (..) findes den opimale sammensæning af forbrug og invesering i akiv i. Ligeledes kan de forvenede afkas af akiv i fassæes på baggrund af førseordensbeingelsen, som også kaldes eulerligningen. For a udlede eulerligningen subsiueres budgebegrænsningen ind i objekfunkionen: Max E + = (, +, +, + (, +, + )) j δ U Di jxi j Pi j Xi j Xi j j= 0 (,,, (,, )) δ, +,, + (,, + ) ( ) E U Di Xi + Pi Xi Xi + U Di Xi + Pi Xi X i + K. (..) Differenieres (..) med hensyn il X i, og sæes lig 0 fås: ( ) i, δ ( + )( i, + i, + ) U C P + E U C D P + = 0, (..3) hvor U ( C) angiver marginalnyen af forbrug. Ved omrokering af ligning (..3) fås: ( ) = E ( + ) δ ( ) U C Pi, Pi, Di, U C (..4) Jf. Engsed (00) viser ligning (..4), hvordan invesor maksimerer nyen ved a sæe marginalnyen af a sælge akiv i lig marginalnyen af a beholde akiv i. Vensre side af (..4) udrykker marginalnyen af a sælge akiv i på idspunk il en pris P i,, mens højre side af ligningen udrykker nuidsværdien på idspunk af den forvenede marginalnye af a holde akiv i il idspunk +. Beholdes akiv i il idspunk + modages en dividende på D, +, og akive sælges il P, +. I ligevæg skal disse o sraegier give samme marginalnye. Hvis vensre side er sørre end højre side, er marginalnyen af a sælge akiv i sørre end marginalnyen af a beholde akiv i. Dermed vil invesor sælge ud af akiv i, indil prisen når ned i ligevæg. i i Da både i, U C er kend på idspunk, kan eulerligningen i (..4) omskrives il: P og ( ) 8

16 ( R ) = E i, M + + +, (..5) hvor afkase for akiv i defineres som: R i, + = ( Pi, + + Di, + ) P i,, og M + ( C ) ( C ) δ U + = U (..6) er den sokasiske diskoneringsfakor, som også kaldes de ineremporale marginale subsiuionsforhold. Eulerligningen i (..5) angiver, a den forvenede værdi af produke af den sokasiske diskoneringsfakor og bruoafkase på akiv i er lig. Den sokasiske diskoneringsfakor er universel og prisfassæer alle akiver. Foruden den konsane δ er den sokasiske diskoneringsfakor afhængig af forholde mellem marginalnyen af forbrug på henholdsvis idspunk + og. Den sokasiske diskoneringsfakor er alid posiiv, ide marginalnyen af forbrug alid er posiiv, og δ er sørre end 0. For a udføre empiriske ess af prisfassæelsen på de danske akiemarked kræver de observaion af den sokasiske diskoneringsfakor. Derfor skal en nyefunkion specificeres. I afsni. beskrives sandardmodellens nyefunkion, hvorefer den habi specificerede nyefunkion i Campbell-Cochrane modellen beskrives i afsni.3.. Sandardmodellen I de følgende specificeres nyefunkionen i sandardmodellen, hvilke danner grundlag for en analyse af de fakorer, som driver akieafkase og den risikofrie rene i sandardmodellen. De belyses, hvorfor sandardmodellen medfører e equiy premium 9

17 puzzle og risk free rae puzzle i USA. Endelig gennemgås nyudviklede modeller, som forsøger a løse sandardmodellens manglende evne il a forklare prisfassæelsen af akier i USA... Sandardnyefunkion Sandardmodellens nyefunkion har følgende udseende: ( ) U C C γ =. (..) γ Nyefunkion i (..) er separabel over id, da nyen af forbrug i dag er uafhængig af idligere perioders forbrug. For posiive værdier af γ er nyefunkionen sigende med afagende signingsak (konkav nyefunkion). De er i overenssemmelse med en risikoavers invesor. For γ lig nul er nyefunkionen lineær, hvilke svarer il en risikoneural invesor. For negaive værdier af γ er nyefunkionen konveks, hvilke svarer il en risikosøgende invesor. Der er bred enighed om, a invesor er risikoavers. Den konkave nyefunkion afspejler, a invesor ønsker a opnå mere forbrug, men har afagende marginalnye af yderligere forbrug. Invesors risikoaversion beyder, a invesor forerækker e sikker forbrug frem for e fair væddemål, hvor forbruge med samme sandsynlighed kan sige og falde med e given beløb. Jo højere risikoaversionen er, jo særkere er ønske om e sikker forbrug. Der sondres mellem absolu risikoaversion ARA og relaiv risikoaversion RRA, som fassæes ud fra Arrow-Pra definiionen: ( C) ( C) U ARA = (..) U De er inuiiv leere a relaere sig il e væddemål over formue end forbrug. De gælder dog, a invesor sænker og øger forbruge i ilnærmelsesvis samme ak, som formuen falder og siger, jf. Cochrane (997). 0

18 ( C) ( C) U RRA = C = C ARA, (..3) U hvor ARA og RRA udrykker risikoaversionen over for henholdsvis absolue beløbsændringer og procenvise ændringer i forbruge. Sandardnyefunkionen udviser afagende absolu risikoaversion og konsan relaiv risikoaversion. Ud fra (..) fassæes den absolue risikoaversion il: ( γ ) γc γ =, C C + γ og ud fra (..3) fassæes den relaive risikoaversion il: C γc C ( + γ ) γ = γ. Afagende absolu risikoaversion beyder, a invesor for sigende forbrugsniveau er mindre risikoavers over for ændringer i forbruge. Dermed er invesor villig il a invesere e sigende beløb i risikofylde akiver i ak med, a formuen siger. Konsan relaiv risikoaversion beyder, a invesors risikoaversion over for procenvise ændringer i forbrugsniveaue er konsan. Dermed ønsker invesor a holde en fas andel af risikofylde akiver i sin porefølje. I de følgende udrykkes γ i sandardmodellen som risikoaversionen frem for konsan relaiv risikoaversion. En ulempe ved sandardnyefunkionen er, a risikoaversionen γ også besemmer elasicieen af den ineremporale subsiuion ψ, som udrykker invesors villighed il a flye forbrug over id. Elasicieen af den ineremporale subsiuion ψ og risikoaversionen γ er hinandens reciprokke: ψ = / γ.3 Dermed medfører en høj risikoaversion γ en lav elasicie af den ineremporale subsiuion ψ. Med en høj risikoaversion ønsker invesor de samme forbrug både i forskellige ilsande for økonomien og over id. Imidlerid fremhæver Weil (990), a risikoaversionen og elasicieen af 3 Dee vises formel i fodnoe 7.

19 den ineremporale subsiuion udrykker o vid forskellige egenskaber af invesors præferencer og bør parameeriseres uafhængig af hinanden. Hall (988) undersreger, a probleme med de æe link mellem γ og ψ er, a empirien viser en elasicie af den ineremporale subsiuion æ på 0. De medfører i sandardmodellen en eksrem høj risikoaversion, som ifølge Hall (988) ikke kan forenes med invesors reelle risikoaversion. Invesors ønske om a have e sikker forbrug i forskellige ilsande for økonomien og en jævn forbrugsudvikling over id kan illusreres ved hjælp af e eksempel. Tabel. viser re scenarier for den repræsenaive invesors forbrugsudvikling over o perioder, hvor der i hver periode med lige sandsynlighed kan indræffe lav- og højkonjunkur. I scenario er der usikkerhed i forbruge i forhold il ilsande for økonomien i både periode og. Forbruge er højere i periode, hvorfor forbrugsudviklingen ikke er jævn. I scenario er der ingen usikkerhed, men forbruge er forsa højere i periode. I scenario 3 er der ingen usikkerhed, og forbrugsudviklingen er jævn. Invesor kendeegnes ved a have en sandardnyefunkion, og risikoaversionen γ er, mens den subjekive diskoneringsfakor δ er. Tabel.. Invesors ønske om jævn forbrug over ilsande og id Scenario Scenario Scenario 3 Periode Tilsand C U ( C) E ( U ) C U ( C) E ( U ) C U ( C) E ( U ) Lav 5 0,80,5 0,9 37,5 0,97 0,88 0,9 Høj 0 0,95,5 0,9 37,5 0,97 Lav 5 0,96 6,5 0,98 37,5 0,97 0,98 0,98 Høj 00 0,99 6,5 0,98 37,5 0,97 0,97 0,97 Sum,86,90,94 C er den repræsenaive invesors forbrug. U ( C) er nyen af forbrug, som fassæes på baggrund af sandardnyefunkionen. Risikoaversionen γ er, og den subjekive diskoneringsfakor δ E ( U ) er den forvenede nye. er. I førse periode af scenario opnår invesor e forbrug på 5 i ilfælde af lavkonjunkur og 0 i ilfælde af højkonjunkur. E forbrug på 5 medfører en nye på 0,80, mens e forbrug på 0 medfører en nye på 0,95. Den forvenede nye er dermed lig

20 50% 0, % 0,95 = 0,88. På ilsvarende vis kan den forvenede nye beregnes il 0,98 i periode, hvor forbruge enen er 5 eller 00. Den subjekive diskoneringsfakor er lig, og den samlede forvenede nye i scenario fassæes il summen af 0,88 og 0,98 svarende il,86. I scenario fjernes usikkerheden i forhold il konjunkurudviklingen. Dermed opnår invesor i periode med sikkerhed e forbrug på,5 (gennemsnie af 5 og 0) uafhængig af, om de er lav- eller højkonjunkur. Ligeledes er forbruge i periode med sikkerhed 6,5 (gennemsnie af 5 og 00). Tabellen viser, a den samlede nye af scenario er,90, hvilke er højere end den samlede nye på,86 i scenario. Årsagen er, a den risikoaverse invesor ikke kan lide usikkerhed og derfor ønsker de samme forbrug under både lav- og højkonjunkur, hvilke invesor opnår i scenario. I scenario 3 anages en fuldsændig jævn forbrugsudvikling. Dermed er forbruge de samme uafhængig af, om de er lav- eller højkonjunkur, og om de er i periode eller. De sikre forbrug på 37,5 (gennemsnie af,5 og 6,5) medfører en samle nye på,94, hvilke er bedre end både scenario og. Eksemple illusrerer dermed, a selvom der ikke er usikkerhed i hverken scenario eller 3, forerækkes den jævne forbrugsudvikling i scenario 3. Den risikoaverse invesor i sandardmodellen ønsker de samme forbrug i forskellige ilsande for økonomien og over id. Dee ønske forsærkes med sørrelsen af γ, som både besemmer risikoaversionen og ønske om en jævn forbrugsudvikling... De forvenede akieafkas Med en sandardnyefunkion som i (..) kan den sokasiske diskoneringsfakor i (..6) specificeres som: 4 M C = γ + + δ. C (..4) γ γ U C + C C = δ = δ = δ. γ U C C C 4 ( ) M ( ) 3

21 Når forbrugsvæksen er høj, er den sokasiske diskoneringsfakor lav og omvend. For fase værdier af δ og γ er volailieen af den sokasiske diskoneringsfakor kun afhængig af forbrugsvæksen C / + C. Når volailieen af forbrugsvæksen er høj, er volailieen af den sokasiske diskoneringsfakor også høj. Ved a subsiuere den sokasiske diskoneringsfakor i (..4) ind i eulerligningen i (..5) fås: γ C + = E ( + Ri, + ) δ. C (..5) På baggrund af eulerligningen i (..5) kan de forvenede afkas på akiv i udrykkes som: 5 γ C + Cov Ri, +, δ C + E R i, + =. γ C + E δ C (..6) Når kovariansen mellem afkase på akiv i og den sokasiske diskoneringsfakor er negaiv, er de forvenede afkas på akiv i høj. En negaiv kovarians mellem afkase og den sokasiske diskoneringsfakor opsår, når perioder med lav forbrug er sammenfaldende med perioder med lav afkas. E lav forbrug beyder, a marginalnyen af forbrug er høj. Akive leverer således ikke høje afkas i de perioder, hvor de er mes eferspurg af invesor. Derfor anses akive for risikofyld, og invesor kræver e høj forvene afkas for a holde akive. Når kovariansen mellem afkase og den sokasiske diskoneringsfakor omvend er posiiv, anser invesor akive som mindre 5 Anvendes definiionen på kovarians kan ligning (..5) udrykkes som: γ γ C C + + = E + Ri, + E δ + Cov Ri, +, δ, C C og efer omrokering fås (..6). 4

22 risikofyld. Invesor kræver derfor ikke e høj afkas for a holde akive. I sandardmodellen er de alså kovariansen mellem akives afkas og forbruge, som er udryk for akives risiko. Volailieen af afkase er i sig selv ikke afgørende for, hvor risikofyld invesor berager akive. For a vise eulerligningen for risikopræmien lad R være den risikofrie rene på idspunk +. Med udgangspunk i (..5) fås eulerligningen for risikopræmien på akiv i : 6 f, + C + 0= E ( Ri, + Rf, + ) C γ. (..7) Af (..7) følger, a den forvenede risikopræmie på akiv i er: E R C Cov, R = C + E δ C + Ri, + Rf, + δ C i, + f, + γ γ, (..8) hvor inuiionen er ilsvarende de forvenede afkas på akiv i i (..6). 6 Ved a sæe eulerligningerne for akieafkas og risikofri rene lig hinanden fås: γ γ C + C ( ) = + E ( + ) + Ri, + δ E R f, + δ. C C Da δ er en konsan, kan den flyes uden for forvenningsoperaoren. Efer omrokering: C + 0= E ( Ri, + Rf, + ) C γ. 5

23 ..3 Den risikofrie rene De risikofrie afkas fra idspunk il + er kend på idspunk. Derfor er den beingede kovarians mellem de risikofrie afkas og forbruge 0. Ud fra ligning (..6) er de risikofrie bruoafkas give ved: + R = f, + γ E C δ C +. For a idenificere fakorer, som driver den risikofrie rene, udledes følgende udryk for logarimen il den risikofrie rene i appendiks A: r γ σ c = log ( δ) + γe [ c ]. (..9) f, + + Små bogsaver angiver, a logarimen er age il variablen, hvilke også er gældende fremover. I førse led ses, a en lav subjekiv diskoneringsfakor δ fører il en høj rene. Når δ er lav, har invesor en høj idspræference. Derfor kræves en højere rene for a give invesor e inciamen il a spare op frem for a forbruge i dag. I ande led fremgår, a en høj forvene forbrugsvæks resulerer i en høj rene. Årsagen er, a invesor ønsker en jævn forbrugsudvikling. Derfor flyer invesor fremidig forbrug il i dag ved a låne penge. Låneeferspørgslen siger, og renen presses op. Hvor følsom renen er over for forbrugsændringer afhænger af risikoaversion γ. En høj γ medfører i sandardmodellen en lav elasicie af den ineremporale subsiuion ψ, da de er hinandens reciprokke. 7 Med en høj γ er invesor således uvillig il a lade si forbrugsvalg påvirke af reneændringer. Derfor kræves en høj rene for a påvirke invesors forbrugsvalg. 7 Isoleres den forvenede forbrugsvæks i (..9) fås: 6

24 De redje led forolkes som en sikkerhedsopsparing. Når variansen af forbruge σ c er høj, er renen lav. Med en høj σ c er usikkerheden omkring forbruge høj. Derfor er invesor mere villig il a spare op, hvilke reducerer renen. Sikkerhedsopsparingen forsærkes af sørrelsen af risikoaversionen...4 Equiy premium og risk free rae puzzles I USA er de ikke mulig a forklare risikopræmien på akier med sandardmodellen uden samidig a anage, a invesor er eksrem risikoavers, jf. eksempelvis Mehra og Presco (985), Cochrane og Hansen (99) sam Kocherlakoa (996). Mehra og Presco (985) beegner dee fænomen som equiy premium puzzle. For a belyse dee puzzle ager vi udgangspunk i følgende udryk for risikopræmien i sandardmodellen (udledes i appendiks A): E σ. (..0) i ri, + r f, + + = γσ ic hvor σ i er variansen af akiv i, og i σ ic er kovariansen mellem afkase på akiv i og forbrugsvæksen. Ledde σ / er Jensens ulighed, som korrigerer for anvendelsen af koninuer ilskrevne afkas. De fremgår af (..0), a den forvenede risikopræmie er høj, når risikoaversion γ er høj, og når kovariansen mellem afkase på akiv i og forbrugsvæksen σ ic er høj. Daa i følgende eksempel er fra USA og sammer fra Campbell (003). Perioden er fra 970: il 998:3 med kvarårlige observaioner. Ifølge Campbell (003) er den årlige γ σ c E[ c+ ] = rf, + + log ( δ ) +. γ Differenieres mh. renen fås elasicieen af den ineremporale subsiuion: ψ [ c ] de dr γ + =. f, + 7

25 risikopræmie jusere for Jensens ulighed 6,35%, mens den årlige kovarians mellem afkas og forbrugsvæks er 0,0004. Med disse værdier skal γ skal være 50 for a opfylde risikopræmien i (..0). Den høje γ er en konsekvens af en høj risikopræmie kombinere med en lav kovarians mellem afkas og forbrugsvæks. Sidsnævne er lav, ide forbrugsvæksen har en jævn udvikling med en lav sandardafvigelse på 0,9%, jf. Campbell (003). En risikoaversion på 50 er højere end, hvad anses som realisisk. Mehra og Presco (985) mener ikke, a realisiske værdier for risikoaversionen bør oversige 0, mens Lucas (994) argumenerer for en maksimal risikoaversion på,5. Omvend mener Kandel og Sambaugh (99) ikke, a en høj risikoaversion kan afvises. Dog poinerer Weil (989), a en høj risikoaversion i sandardmodellen kan føre il e risk free rae puzzle. Den høje risikoaversion har o modsareede effeker på renen i (..9). For de førse har invesor e særk ønske om en jævn forbrugsudvikling, når risikoaversionen er høj. Da forbrugsvæksen ifølge Campbell (003) er,80% per år, ønsker invesor a flye fremidig forbrug il i dag for a udjævne forbrugsforskellene. Dermed siger låneeferspørgslen, og renen presses op. For de ande medfører en høj risikoaversion e særk ønske om sikkerhedsopsparing. Låneeferspørgslen falder, hvilke påvirker renen i nedadgående rening. Med den lave sandardafvigelse af forbrugsvæksen på 0,9% er effeken af sikkerhedsopsparing på renen dog begrænse. Derfor dominerer effeken af en jævn forbrugsudvikling effeken af sikkerhedsopsparing. Med en høj risikoaversion forudsiges således en høj rene i sandardmodellen. Den hisoriske rene i USA er imidlerid lav på,49%, jf. Campbell (003). For a opfylde renen i (..9) kræves en subjekiv diskoneringsfakor over, hvilke ikke konsisen med, a invesor værdsæer forbrug i dag højere end fremidig forbrug...5 Løsninger på puzzles Med henblik på a løse sandardmodellens manglende evne il a forklare risikopræmien på akier i USA er der i lierauren udvikle nye modeller. Følgende gennemgang af nyudviklede modeller er på ingen måde udømmende og bygger il dels på surveys af Campbell, Lo og MacKinlay (997) og Campbell (003). 8

26 E svar på equiy premium puzzle er, a C-CAPM er en grundlæggende forker model. Som modsvar poinerer Campbell og Cochrane (000), Cochrane (00) sam Engsed (00), a de flese andre modeller inden for finansiering ikke er alernaiver il C- CAPM, men derimod er specialilfælde af C-CAPM. Anvendelse af eksempelvis CAPM eller fakormodeller kan ikke være begrunde ud fra, a C-CAPM er en grundlæggende forker model. Afvises C-CAPM, afvises ligeledes CAPM og alle fakormodeller. C-CAPM afviger dog fra andre modeller inden for finansiering ved a have poeniale il a forklare risikopræmien på akier, jf. Campbell, Lo og MacKinlay (997) og Cochrane (997). Til a forklare risikopræmien findes ingen subsiuer il C-CAPM. En afvisning af sandardmodellen kan skyldes diverse markedsfrikioner. Campbell, Lo og MacKinlay (997) fremhæver, a med ransakionsomkosninger, begrænse adgang il lån og begrænse adgang il a gå kor i e akiv vanskeliggøres invesors mulighed for a drage fordel af den høje risikopræmie. I lierauren fremhæves, a de aggregerede forbrug ikke nødvendigvis er en velegne proxy for invesorernes forbrug. E problem er, a forbruge måles som e flow i løbe af en periode og dermed er idsaggregere i modsæning il akivafkas, jf. eksempelvis Grossman, Melino og Shiller (987). Derfor vanskeliggøres opgørelse af korrelaionen mellem forbrug og akivafkas på grund af problemer med imingen, ligesom sandardafvigelsen af forbrug undervurderes. Campbell og Cochrane (000) finder, a equiy premium puzzle delvis kan ilskrives idsaggregering af forbrug. E ande problem ved anvendelse af de aggregerede forbrug er begrænse delagelse på akiemarkede. Forbruge af ikke-akionærer har ikke forbindelse il akiemarkede, men kan udgøre en beydelig andel af de aggregerede forbrug. Mankiw og Zeldes (99) viser, a akionærernes forbrug er mere volail og i højere grad korrelere med akiemarkede i forhold il ikke-akionærers forbrug. Ifølge Cochrane (997) er de dog ikke ilsrækkelig il a opnå en lav risikoaversion ud fra ligning (..0). Der er udvikle modeller, som ager højde for, a invesorerne er heerogene og har individuel risiko. Heaon og Lucas (996) er e eksempel på en model, som på baggrund af mikrodaa undersøger individuel risiko i forhold il indkomsen. I modellen 9

27 kræves sore ransakionsomkosninger for a forklare risikopræmien. Tilsvarende opsiller Consaninides og Duffie (996) en model med individuel risiko i forhold il indkomsen. I modellen skal den individuelle risiko være høj for a opnå overenssemmelse med risikopræmien. Cochrane (997) og Campbell (003) konsaerer, a modeller med individuel risiko ikke eliminerer krave om en høj risikoaversion. En gren af lierauren har også fokusere på behaviorial finance il a forklare equiy premium puzzle. E eksempel herpå er Bernazi og Thaler (995), som ager udgangspunk i, a invesor er risikoavers med hensyn il gevinser, men risikovillig med hensyn il ab. Forudsæes de, a invesor evaluerer sin porefølje én gang om åre, er Bernazi og Thaler (995) i sand il a forklare equiy premium puzzle. Endelig er der i lierauren udvikle nye nyefunkioner, som bryder den æe forbindelse mellem risikoaversion γ og elasicieen af ineremporal subsiuion ψ. De opnås ved a gøre dagens nye af forbrug afhængig af andre variable, hvormed nyefunkionen bliver ikke-separabel. Epsein og Zin (989, 99) og Weil (989) adskiller paramerene γ og ψ fra hinanden ved a gøre nyefunkionen ikke-separabel over ilsande for økonomien. De medfører, a risikoaversionen ikke behøver a være høj for a være i overenssemmelse med risikopræmien. Dog opsår der ifølge Campbell (003) e ande puzzle i modellen. Da forbrug og formue er forbunde via budgebegrænsningen, kan en jævn forbrugsudvikling ikke forenes med en svingende formueudvikling. En anden ype model, som også adskiller paramerene γ og ψ fra hinanden, er habi formaion modeller. Mens nyefunkionen i Epsein og Zin (989, 99) og Weil (989) er ikke-separabel over ilsande, er habi formaion modeller ikke-separabel over id, ide nyen af forbrug i dag afhænger af idligere perioders forbrug. Chen og Ludvigson (004) undersreger, a habi formaion modeller er førende bland de nyudviklede modeller og med sigende overbevisning kan forklare prisfassæelsen i akiemarkede. Campbell-Cochrane modellen er en habi formaion model, som med succes forklarer den amerikanske risikopræmie. 0

28 .3 Campbell-Cochrane modellen I dee afsni præseneres Campbell-Cochrane modellen. Førs beskrives generelle karakerisika ved habi specificerede nyefunkioner, hvorefer nyefunkionen i Campbell-Cochrane modellen gennemgås. Dernæs foreages en analyse af fakorer, som driver akieafkase og den risikofrie rene i Campbell-Cochrane modellen, hvilke sammenholdes med sandardmodellen..3. Habi specificere nyefunkion Med en habi specificere nyefunkion ages højde for, a invesor vænner sig il en besem levesandard. Invesor sammenholder den enkele periodes forbrug med de senese perioders forbrug. Vænner invesor sig il e høj forbrug efer en årrække med gode ider, føles de uilfredssillende a opleve e fald i forbruge. Samme forbrugsniveau kan dog føles ilfredssillende, hvis de realiseres efer en årrække med dårlige ider. En sådan opfaelse svarer ifølge Cochrane (997) il, a en recession berages som en forfærdelig begivenhed il rods for, a e recessionsår kan være e af de bedse i en hisorisk sammenhæng. Ved habi formaion er nyefunkionen ids-ikkeseparabel, fordi nyen af forbrug i dag afhænger af idligere perioders forbrug. De er i modsæning il sandardnyefunkionen, hvor invesor ikke sammenligner dagens forbrug med idligere perioders forbrug. En nyefunkion med habi formaion skrives U( C, X ) afhænger af såvel forbrug C som habi, hvilke afspejler, a nyen X. Sidsnævne udrykker, hvordan idligere perioders forbrug påvirker dagens nye af forbrug. Der er udvikle flere yper af nyefunkioner med habi formaion, som adskiller sig på re områder, jf. Campbell (003): Raiomodeller vs. differencemodeller. Inern habi vs. eksern habi. Tilpasning af habi i forhold il forbrug.

29 I raiomodeller besemmes nyen ud fra forholde mellem forbrug og habi, C / X, mens nyen i differencemodeller besemmes ud fra forskellen mellem forbrug og habi, C X. 8 I raiomodeller er nyen alid veldefinere. For differencemodeller kan forbruge derimod bevæge sig under habi med den konsekvens, a nyeværdien bliver negaiv. Raiomodeller afviger også fra differencemodeller ved - ligesom sandardmodellen - a have en konsan relaiv risikoaversion. I differencemodeller er risikoaversionen derimod idsvarierende og konracyklisk. Chen og Ludvigson (004) fremhæver, a differencemodeller dermed er i overenssemmelse med idsvarierende forvenede afkas. I dårlige ider er invesors risikoaversion høj, og invesor kræver e høj forvene afkas for a invesere i akier. Omvend er de krævede forvenede afkas lav i gode ider, hvor invesors risikoaversion er lav. 9 Der skelnes også mellem inern og eksern habi specifikaion. I inern habi modeller afhænger invesors habi af si ege idligere forbrug. I eksern habi modeller afhænger invesors habi omvend af de aggregerede forbrug. 0 Abel (990) kalder eksern habi formaion for caching up wih he Joneses. Invesor ineresserer sig mere for a opnå de samme forbrug som andre invesorer end for si ege absolue forbrugsniveau. Der opnås en simplere analyse ved eksern habi formaion, fordi invesors ege forbrug ikke påvirker habi, jf. Campbell, Lo og MacKinlay (997). Endelig er de afgørende, hvor hurig habi ilpasser sig i forhold il forbruge. Overordne kan der skelnes mellem modeller med gradvis ilpasning af habi il forbrug, og modeller, hvor habi kun afhænger af sidse periodes forbrug. 8 Eksempler på raiomodeller er Abel (990, 999), og eksempler på differencemodeller er Sundaresan (989), Consaninides (990) sam Campbell og Cochrane (999). 9 Forudsigelighed i afkase på akiemarkede uddybes nærmere i afsni 5.., hvor valg af insrumenvariable gennemgås. 0 Eksempler på inern habi modeller er Sundaresan (989) og Consaninides (990), og eksempler på eksern habi modeller er Abel (990, 999) sam Campbell og Cochrane (999). Af modeller hvor habi kun afhænger af sidse periodes forbrugsniveau kan nævnes Abel (990, 999), og af modeller med gradvis ilpasning kan nævnes Sundaresan (989), Consaninides (990) sam Campbell og Cochrane (999).

30 .3. Nyefunkion i Campbell-Cochrane modellen Nyefunkionen i Campbell-Cochrane modellen er: ( ) ( ) γ C X U C, X =, C > X. (.3.) γ Nyen fassæes ud fra forskellen mellem den repræsenaive invesors forbrug en eksern habi C og X. Med en eksern habi opnås en simplere analyse, og Campbell og Cochrane (999) undersreger, a de flese af modellens egenskaber er robuse over for valg af inern og eksern habi specifikaion. Campbell-Cochrane modellen er en differencemodel, som kendeegnes ved en konracyklisk og idsvarierende risikoaversion. Den konracykliske og idsvarierende risikoaversion viser Campbell og Cochrane (999) med udgangspunk i overskudsforbrugsraioen S : S C C X, (.3.) som udrykker den andel af forbruge, som er i overskud i forhold il habi. Den absolue risikoaversion kan ud fra ligning (..) fassæes il: γ ( ) ( + γ C ) X γ = γ ( C X ) C S, mens den relaive risikoaversion ud fra ligning (..3) kan fassæes il: C γ ( ) ( + γ C ) X = γ ( C X ) S γ. 3

31 I modsæning il sandardmodellen er γ ikke udryk for konsan relaiv risikoaversion. I Campbell-Cochrane modellen er den relaive risikoaversion idsvarierende og konracyklisk. Invesor opfaer en høj overskudsforbrugsraio som gode ider, fordi forbruge er høj relaiv il habi. I gode ider er invesors risikoaversion lav, og den krævede risikopræmie for invesering i akier er ilsvarende lav. Omvend er invesor ikke villig il a påage sig risiko i dårlige ider, når forbruge er æ på habi, og den krævede risikopræmie er høj. I de følgende benævnes γ i Campbell-Cochrane modellen som nyekurveparameeren, og γ / S benævnes risikoaversionen. For a specificere ilpasningen af habi il forbrug ager Campbell og Cochrane (999) udgangspunk i log-overskudsforbrugsraio log ( S ) = s, som modelleres ved: s = ( φ) s + φs + λ( s ) v, (.3.3) + + hvor parameeren s er seady sae for overskudsforbrugsraioen, φ er persisensparameeren, mens λ ( s ) er en følsomhedsfunkion. Der er én kilde il usikkerhed i modellen, nemlig usikkerheden omkring fremidige forbrugssød v +. Forbrugssødene sammer fra følgende proces for log-forbrugsvæksen c + : ( ) c = g+ v, v ~ i.i.d. N 0, σ. (.3.4) v De ses i (.3.4), a forbruge følger en random walk med drif g, mens forbrugsvæksen er en saionær proces. Dermed er der ikke sysemaiske afhængigheder i forbrugsvæksen. Den sokasiske proces for overskudsforbrugsraioen i (.3.3) indeholder flere ineressane egenskaber. For de førse udviser overskudsforbrugsraioen idsvarierende varians. Selvom forbrugssødene har en konsan varians, er variansen af innovaioner for overskudsforbrugsraioen ikke konsan. Årsagen er, a forbrugssødene skal mulipliceres med følsomhedsfunkionen, der er en funkion af s. De er dermed sørrelsen af Udrykke for s og λ ( s ) specificeres i afsni

32 følsomhedsfunkionen, der afgør, hvor følsom s er over for forbrugssød v. Følsomhedsfunkionen er posiiv og afagende i s, hvorfor forbrugssødende har den sørse effek på overskudsforbrugsraioen for lave værdier af s. For de ande udrykker processen for overskudsforbrugsraioen i (.3.3), a dagens habi er en ikke-lineær funkion af nuværende og idligere perioders forbrug. For a vise a habi er en funkion af idligere perioders forbrug foreager Campbell (003) en lineær Taylor approksimaion af (.3.3) omkring seady sae, hvilke giver: x i + α ( φ) φ c i i= 0 +. (.3.5) Af Taylor approksimaionen ses, a habi ilpasser sig langsom il forbrug. Den senese periodes forbrug har den sørse indflydelse på habi i dag. I den lineære approksimaion i (.3.5) afhænger habi kun af idligere perioders forbrug og er dermed fuldsændig prædeerminere. Med forbruge modellere som en random walk i (.3.4) vil forbruge med e ilsrækkelig lav forbrugssød bevæge sig under habi, hvilke eferlader en ikke veldefinere nyefunkion. De undgås i Campbell-Cochrane modellen ved a specificere logarimen il overskudsforbrugsraioen i (.3.3), hvor habi ilpasser sig ikke-lineær il forbrug. Således vil enhver værdi af s medføre en posiiv værdi af S, hvilke sikrer, a C > X, jf. Campbell (003). Endelig ses af (.3.3), a overskudsforbrugsraioen er en posiiv. ordens auokorrelaionsproces. Med en persisensparameer φ mindre end konvergerer overskudsforbrugsraioen mod seady sae. 3 På kor sig udviser overskudsforbrugsraioen således 3 En AR() proces: y + = a0 + a y e, hvor a < og e er hvid søj, konvergerer mod: E [ ] y a0 =, a jf. eksempelvis Greene (000). Tilsvarende konvergerer overskudsforbrugsraioen i (.3.3) mod: 5

33 posiiv auokorrelaion, mens den på lang sig er mean revered. Mean reversion i overskudsforbrugsraioen opsår ved, a habi ilpasser sig langsom il forbruge. Anag a overskudsforbrugsraioen iniial er i seady sae. E posiiv forbrugssød medfører, a overskudsforbrugsraioen siger op over seady sae. Anag desuden a der ikke kommer flere forbrugssød. Habi ilpasser sig langsom il forbruge, og over id reduceres overskudsforbrugsraioen, som dermed bevæger sig ilbage mod seady sae. Sørrelsen af φ afgør den hasighed, hvormed overskudsforbrugsraioen bevæger sig mod seady sae. Med en høj φ er persisensen i overskudforbrugsraioen høj, og ilpasningen il seady sae er langsom..3.3 De forvenede akieafkas Med en habi specificere nyefunkion som i Campbell-Cochrane modellen kan den sokasiske diskoneringsfakor udrykkes som: 4 M S δ C = S C γ. (.3.6) For fase parameerværdier af den subjekive diskoneringsfakor δ og nyekurveparameeren γ afhænger variaionen i den sokasiske diskoneringsfakor af både væksen i overskudsforbrugsraioen, S / + S, og forbrugsvæksen, C / + C, mens de i sandardmodellen kun er forbrugsvæksen, der skaber variaionen. Selvom begge led indgår symmerisk, er de ifølge Campbell og Cochrane (999) primær væksen i overskudsforbrugsraioen, som skaber variaionen i den sokasiske diskoneringsfak- [ ] ( φ) ( φ) s E s = = s. + 4 Holdes X fas, er den førse afledede af nyefunkionen i (.3.) mh. forbrug på idspunk : ( C X ) = ( C X ) γ = ( S C ) γ U,. Dermed er den sokasiske diskoneringsfakor: M ( C+, X + ) ( C, X ) ( S+ C + ) ( S C ) γ γ U S δ δ δ γ = = C = U S C. 6

34 or, ide variaionen i forbrugsvæksen er lav. En lav sokasisk diskoneringsfakor skyldes primær en høj væks i overskudsforbrugsraioen og omvend. Ved a subsiuere (.3.6) ind i (..5) fås eulerligningen i Campbell-Cochrane modellen: S C + + = E ( + Ri, + ) δ S C γ. (.3.7) Tilsvarende sandardmodellen kan de forvenede afkas i Campbell-Cochrane modellen fassæes ud fra eulerligningen: Cov R, + E R = S E δ S + + i, + δ S C i, + γ + + S C C C γ. (.3.8) I Campbell-Cochrane modellen afhænger de forvenede afkas af kovariansen mellem afkas og forbrugsvæks muliplicere med væksen i overskudsforbrugsraioen. Men som Campbell og Cochrane (999) fremhæver, er forbrugsvæksen relaiv sabil, hvorfor de hovedsaglig er kovariansen mellem afkas og væksen i overskudsforbrugsraioen, der påvirker de forvenede afkas i modellen. En negaiv kovarians mellem den sokasiske diskoneringsfakor og afkase medfører e høj forvene afkas. En negaiv kovarians opsår, når perioder med en lav overskudsforbrugsraio er sammenfaldende med perioder med e lav afkas. En lav overskudsforbrugsraio opfaes af invesor som dårlige ider, og marginalnyen af forbrug er høj. Invesor får ikke høje afkas i de perioder, hvor invesor mes værdsæer de. Invesor opfaer akive som risikabel og kræver e høj forvene afkas for a holde akive. Campbell-Cochrane modellen og sandardmodellen har o forskellige syn på, hvordan invesor berager e akivs risiko. I sandardmodellen anses e akiv som risikofyld, 7

35 når de genererer lave afkas i de perioder, hvor forbruge er lav. I Campbell- Cochrane modellen anses e akiv som risikofyld, når de genererer lave afkas i de perioder, hvor overskudsforbrugsraioen er lav. En lav overskudsforbrugsraio kan forekomme, selvom om forbruge er høj, hvis habi ilsvarende er høj. Eulerligningen for risikopræmien for akiv i i Campbell-Cochrane modellen kan ud fra (.3.7) besemmes som: S C + + 0= E ( Ri, + Rf, + ) S C γ. (.3.9) Af (.3.9) følger, a den forvenede risikopræmie i Campbell-Cochrane modellen er: E R S Cov R R, R = S+ C + E δ S C + + i, + f, + δ S C i, + f, + γ C γ. (.3.0) Forolkningen af den forvenede risikopræmie er ilsvarende de forvenede afkas..3.4 Den risikofrie rene I Campbell-Cochrane modellen findes den risikofrie rene ved a reducere ligning (.3.8): + R = f, + γ E S C δ S C + +. For a idenificere fakorer, som driver den risikofrie rene, udledes logarimen il den risikofrie rene i appendiks B som: 8

36 v r = γσ f, log ( δ) + γg γ( φ) ( s s) + ( λ( s) ) +. (.3.) Førse led i (.3.) har samme forolkning som renen i sandardmodellen i (..9). I ande led indgår samme paramere som i renen i sandardmodellen. Imidlerid er γ ikke risikoaversionen, der i Campbell-Cochrane modellen defineres som γ / S. De muliggør en lav γ samidig med en høj risikoaversion. Da γ ikke længere er risikoaversionen, er der en mindre følsom sammenhæng mellem den forvenede forbrugsvæks g og renen. I modsæning il sandardmodellen er de dermed mulig a have en høj risikoaversion uden, a e risk free rae puzzle opsår. Tredje led er udryk for ineremporal subsiuion. Anag a overskudsforbrugsraioen iniial er i seady sae. E negaiv forbrugssød medfører, a overskudsforbrugsraioen bevæger sig under seady sae. Derfor er marginalnyen af dagens forbrug høj, og invesor ønsker a låne penge il forbrug i dag, hvilke presser renen op. Opsår der ikke yderligere forbrugssød, ilpasser habi sig over id il de lavere forbrug, og overskudsforbrugsraioen siger mod seady sae. Tilpasningen af habi medfører mean reversion i marginalnyen. Således er marginalnyen af forbrug høj efer de negaive forbrugssød, men falder eferfølgende i ak med overskudsforbrugsraioens konvergens mod seady sae. Med faldende marginalnye af forbrug reduceres de opadgående pres på renen. Fjerde led udrykker sikkerhedsopsparing. Tilsvarende sandardmodellen ønsker invesor a øge opsparingen, når usikkerheden er høj. Usikkerheden i sandardmodellen sammer fra den konsane volailie af forbrug. I modsæning il sandardmodellen er usikkerheden i Campbell-Cochrane modellen idsvarierende. Den idsvarierende usikkerhed skyldes, a den konsane volailie af forbrug mulipliceres med følsomhedsfunkionen, der er posiiv og afagende i s. Når s er lav, er følsomhedsfunkionen og usikkerheden høj. Med en høj usikkerhed øges sikkerhedsopsparingen, og dermed presses renen ned. 9

37 Overskudsforbrugsraioen har o modsareede effeker på renen. Når overskudsforbrugsraioen er lav, medfører den ineremporale subsiuionseffek en høj rene. Til gengæld medfører sikkerhedsopsparingseffeken en lav rene, når overskudsforbrugsraioen er lav. I Campbell-Cochrane modellen udlignes disse o effeker for a opnå en konsan risikofri rene. Campbell og Cochrane (999) fassæer følsomhedsfunkionen med henblik på a opnå en konsan rene..3.5 Følsomhedsfunkionen Campbell og Cochrane (999) specificerer følsomhedsfunkionen λ ( s ) således, a følgende beingelser opfyldes: Den risikofrie rene er konsan. Habi er prædeerminere i seady sae og i nærheden af seady sae. Campbell og Cochrane (999) fremhæver re forhold, som er medvirkende il, a de ønsker en model med en konsan risikofri rene. Hisorisk se er variaionen i den risikofrie rene i USA begrænse. Samidig ønsker Campbell og Cochrane (999) a opsille en model, hvor de udelukkende er variaionen i risikopræmien og ikke variaionen i den risikofrie rene, som undersøges. Endelig nævner Campbell og Cochrane (999), a habi modeller med eksogen forbrug kan medføre eksrem variaion i den risikofrie rene. Ifølge Campbell (003) kendeegnes radiionelle habi formaion modeller ved, a habi er fuldsændig prædeerminere. E eksempel herpå er Abels (990) raiomodel, hvor habi besemmes ud fra de laggede forbrug. Dermed kendes habi på forhånd, når man bevæger sig fra idspunk il idspunk +. En fuldsændig prædeerminere habi er ikke hensigsmæssig i differencemodeller med eksogen forbrug. Med en ilsrækkelig lav forbrugsvæks vil forbruge bevæge sig under habi, og nyefunkionen er ikke veldefinere. I Campbell-Cochrane modellen er habi kun prædeerminere i seady sae og i nærheden af seady sae. Med en prædeerminere habi i seady 30

38 sae og i nærheden af seady sae sikres, a posiive forbrugssød ikke medfører e fald i habi, ligesom negaive forbrugssød ikke medfører en signing i habi. En konsan risikofri rene og en prædeerminere habi i seady sae og i nærheden af seady sae opnås ved a specificere følsomhedsfunkionen λ ( s ) som: λ( s ) S ( s s ) hvis s s 0 ellers, max = (.3.) hvor seady sae for overskudsforbrugsraioen S er: S = σ v γ φ, og s max er en øvre grænse for s : smax s + ( S ). Den øvre grænse sikrer, a følsomhedsfunkionen ikke kan blive negaiv. Med en ikke-negaiv følsomhedsfunkion kan overskudsforbrugsraioen ikke falde ved e posiiv forbrugssød og kan ligeledes ikke sige ved e negaiv forbrugssød. For a vise a følsomhedsfunkionen medfører en konsan risikofri rene, subsiueres følsomhedsfunkionen i (.3.) ind i den risikofrie rene i (.3.). Jf. appendiks C fås dermed følgende udryk for den risikofrie rene: r f, + γσv = log ( δ) + γg. S (.3.3) Med følsomhedsfunkionen i (.3.) er måle om en konsan risikofri rene opfyld, fordi der ikke indgår idsafhængige variable i (.3.3). 3

39 Følsomhedsfunkionen skal specificeres således, a habi er prædeerminere i seady sae og i nærheden af seady sae. Hvis habi er prædeerminere i seady sae må en ændring i c + ikke medføre en ændring i x +. Derfor udleder Campbell og Cochrane (999) følsomheden i x + over for ændringer i c + ved a differeniere processen for s + i (.3.3). Jf. appendiks D fås: dx dc + λ ( s ) ( s ) ( s ) ( s ) = exp + + λ exp, (.3.4) hvor approksimaionen holder omkring seady sae, jf. Campbell og Cochrane (999). Ved a sæe udrykke i (.3.4) lig 0 for s = s bliver krave il følsomhedsfunkionen: 5 λ ( s ) =. (.3.5) S For a evaluere om følsomhedsfunkionen specificere i (.3.) opfylder krave i (.3.5) sæes s = s i (.3.): 5 Sæes udrykke i (.3.4) lig med 0 for s = s fås: hvilke kan omskrives il: λ( s ) ( s ) 0 exp =, ( s ) λ = 0. S Isoleres mh. følsomhedsfunkionen fås: λ ( s ) =. S 3

40 λ ( s) = ( s s) S =. S Følsomhedsfunkionen som specificere i (.3.) opfylder dermed krave. Habi er prædeerminere i seady sae og påvirkes ikke af forbrugsændringer i seady sae. Campbell og Cochrane opsiller også e krav om, a habi skal være prædeerminere i nærheden af seady sae. Dee krav opfyldes ved a sæe den afledede af hensyn il s lig 0 for s = s : dx dc med d dx ds dc = s s = 0. (.3.6) Krave angiver, a ændringen i habi er 0 i seady sae, og habi er dermed også prædeerminere i perioderne omkring seady sae. Når habi er prædeerminere i nærheden af seady sae, kan habi ikke bevæge sig i modsa rening af forbruge. Årsagen er, a s dx dc er en U-forme funkion af s. Differenieres dx dc i forhold il s for = s, og sæes udrykke lig 0, fås minimumspunke af U-grafen. Da minimumspunke af U-grafen befinder sig i seady sae, hvor dx dc = 0, er dx dc 0 overal. En signing i forbruge kan således ikke medføre e fald i habi, ligesom e fald i forbruge ikke kan medføre en signing i habi. Ud fra (.3.6) er krave il følsomhedsfunkionen: 6 6 Sæes udrykke i (.3.4) lig med 0 for s = s og isoleres følsomhedsfunkion fås: ( s ) = exp( s ) λ. Differenieres mh. il s for s = s : λ ( s ) = exp( s ) =. S 33

41 λ ( s) = exp( s) =. (.3.7) S For a undersøge om følsomhedsfunkionen i (.3.) opfylder dee krav, differenieres den med hensyn il s for s = s. Da differeniaionen giver / S opfyldes krave om, a habi er prædeerminere i nærheden af seady sae. 34

42 3. Meode Til a evaluere sandardmodellen og Campbell-Cochrane modellen anvendes såvel meoden i Hansen og Jagannahan (99) som GMM esimaion. Ved GMM esimaion kan en models paramere esimeres, og der kan eses for, om paramerene er signifikan forskellige fra 0. Dermed fås e kendskab il paramerenes sørrelse. Ulempen er, a e saisisk es har o udfald i form af, a parameeresimaerne enen forkases, eller forkases ikke. Forkases parameeresimaerne, fås ikke en indsig i, hvordan modellen kan modificeres og forbedres for a være konsisen med daa, jf. Summers (99) og Engsed (00). Meoden i Hansen og Jagannahan (99) er ikke-paramerisk og e god supplemen il GMM esimaionen. Hansen og Jagannahan (99) udleder en volailiesgrænse, som sandardafvigelsen af en gyldig sokasisk diskoneringsfakor skal opfylde. Ideen i Hansen og Jagannahan (99) er ikke a esimere paramere, men a lade paramerene være frie. Dermed kan de undersøges, hvilke parameerværdier, som fører il, a volailiesgrænsen opfyldes. Eferfølgende kan sørrelsen af parameerværdierne evalueres. 3. Hansen og Jagannahan (99) I såvel sandardmodellen som Campbell-Cochrane modellen udledes en sokasisk diskoneringsfakor på baggrund af anagelser om en nyemaksimerende repræsenaiv invesor, nyefunkionens udseende og invesors risikoaversion mm. Hansen og Jagannahan (99) opgiver modelanagelserne og viser, a der kan udledes en sokasisk diskoneringsfakor udelukkende ved a anage, a loven om en pris er opfyld. 3.. Den sokasiske diskoneringsfakor Hansen og Jagannahan (99) ager udgangspunk i følgende prisrelaion: 35

43 E [ ] = E[ M ] Q X. (3..) + + E[ ] angiver den ubeingede forvenning, + Q er en n prisvekor på idspunk, X er en n vekor, der indeholder n akivbealinger på idspunk +, og skalaren + M er en sokasisk diskoneringsfakor på idspunk +. 7 E krav il en sokasisk diskoneringsfakor er, a den opfylder prisrelaionen i (3..), hvilke vil sige, a den sokasiske diskoneringsfakor afspejler de fremidige bealinger korrek i forhold il priserne i dag. For a finde en sokasisk diskoneringsfakor, der opfylder (3..), konsruerer Hansen og Jagannahan (99) en sokasisk diskoneringsfakor M * +, som er indehold i bealingsrumme. Alle ilgængelige bealinger er indehold i dee bealingsrum. Formel gælder, a hvis C er en n vekor besående af n poreføljevæge, så er X + C også indehold i. Da, kan følgende relaion opsilles: * M + er indehold i = X C. (3..) * M + + Af (3..) fremgår, a hvis C kendes, kan * M + findes ud fra bealingerne. For a finde C subsiuerer Hansen og Jagannahan (99) (3..): * M + i (3..) ind i prisrelaionen i E [ ] = E[ ] Q X X C. (3..3) + + Løses (3..3) med hensyn il C fås, a [ ] E[ ] C= E X X Q. (3..4) I dee afsni følges Hansen og Jagannahan (99) ved a berage akivbealinger frem for akivafkas. Hvis bealingerne udrykkes som afkas, beyder dee ifølge Cochrane og Hansen (99), a Q er en vekor af -aller. 36

44 X X er ikke-singulær, da de ellers ikke er mu- For a besemme C kræves, a E[ + + ] lig a inverere maricen. Hvis [ ] E + + X X er ikke-singulær, findes der ikke lineære afhængige kombinaioner af rækker eller søjler i maricen. Dermed er de ikke mulig a finde o poreføljer med samme bealinger på idspunk + med forskellige priser på idspunk, hvorfor loven om én pris er opfyld. Indsæes C fra (3..4) i (3..), kan * M + udrykkes som: [ ] E[ ] = X E X X Q. (3..5) * M I (3..5) ses, a M er en lineær kombinaion af X +, hvorfor * + * M + er indehold i. På baggrund af (3..5) ses også, a Q og + X. * M + kan konsrueres ud fra observerbare daa for 3.. Volailiesgrænsen Med komplee markeder er * M + unik og den enese sokasiske diskoneringsfakor, som opfylder ligning (3..). 8 Hvis markederne omvend er inkomplee, eksiserer der flere sokasiske diskoneringsfakorer, som prisfassæer bealingsvekoren korrek, jf. Cochrane (00). Lad ε + være en sokasisk variabel, som er ukorrelere med bealingsvekoren: [ ] E ε X + = 0. + Dermed kan en vilkårlig sokasisk diskoneringsfakor M + udrykkes som: M = M + ε. (3..6) * Ved komplee markeder forsås, a bealingsrumme indeholder lige så mange akiver med lineær uafhængige bealinger, som der er ilsande for økonomien. Dermed kan invesorerne eliminerer den usysemaiske forbrugsrisiko. Da alle invesorer rammes af den samme sysemaiske risiko, kan der konsrueres én unik sokasisk diskoneringsfakor. 37

45 Subsiueres (3..6) ind i prisrelaionen i (3..) fås, a E * [ ] = E + ( M + + ε+ ) Q X, (3..7) og da ε + er ukorrelere med bealingsvekoren, kan (3..7) reduceres il: * [ ] M E Q =E X + +. Der er dermed flere sokasiske diskoneringsfakorer, som opfylder prisrelaionen i (3..). Hansen og Jagannahan (99) viser, a af alle sokasiske diskoneringsfakorer, som opfylder prisrelaionen i (3..), har * M + den mindse sandardafvigelse. Sandardafvigelsen af * M + udrykker en nedre grænse for sandardafvigelsen på enhver sokasisk diskoneringsfakor M +, som prisfassæer bealingsvekoren korrek. Jf. appendiks E kan den nedre grænse for sandardafvigelsen af en sokasisk diskoneringsfakor σ ( M + ) fassæes il: σ E E E Cov, E E E. ( M+ ) ( [ Q] [ M+ ] [ X + ] ) [ X+ X+ ] ( [ Q+ ] [ M+ ] [ X + ] ) Da vi undersøger akivafkas frem for akivbealinger, er de hensigsmæssig a vise udrykke for volailiesgrænsen basere på akivafkas. Ersaes prisvekoren af en n vekor med -aller i og bealingsvekoren af en bruoafkasvekor R + fås: σ E E Cov, E E. ( M+ ) ( i [ M+ ] [ R + ] ) [ R+ R+ ] ( i [ M+ ] [ R + ] ) (3..8) Grafisk er volailiesgrænsen en parabel med benene opad, hvor minimumspunke udrykker den minds mulige sandardafvigelse af en sokasisk diskoneringsfakor. 38

46 På baggrund af den sokasiske diskoneringsfakor i henholdsvis sandardmodellen og Campbell-Cochrane modellen undersøges de, om de o modeller opfylder volailiesgrænsen. For a opfylde volailiesgrænsen kræves, a den sokasiske diskoneringsfakor har en sandardafvigelse, som minimum svarer il volailiesgrænsen. Således kan volailiesgrænsen opfaes som e mulighedsområde for sammenhørende værdier af gennemsni og sandardafvigelse for den sokasiske diskoneringsfakor. Hvis sandardafvigelsen af en sokasisk diskoneringsfakor ikke er inden for mulighedsområde, er modellen ikke i overenssemmelse med de undersøge akivers prisfassæelse i markede. De sammenhørende værdier af gennemsni og sandardafvigelse for den sokasiske diskoneringsfakor opnås på baggrund af en fas parameerværdi for δ og sigende parameerværdier for γ. En højere γ medfører en højere sandardafvigelse af den sokasiske diskoneringsfakor. Dermed fasslås, hvor høj γ skal være for a opfylde volailiesgrænsen. Med denne fremgangsmåde illusrerer Hansen og Jagannahan (99) de amerikanske equiy premium puzzle ud fra sandardmodellen. De viser med udgangspunk i årlige akie- og obligaionsafkas for perioden , a parameerværdien for risikoaversionen γ skal være minds 30 for a opfylde volailiesgrænsen Esimaionsusikkerhed Volailiesgrænsen er udled på baggrund af populaionsmomener. En esimaion af disse populaionsmomener er behæfe med usikkerhed. Burnside (994) viser, hvordan der kan ages højde for esimaionsusikkerhed. Med udgangspunk i (3..8) formulerer han en verikal disance mellem sandardafvigelsen af en sokasisk diskoneringsfakor og volailiesgrænsen: d = σ ( M+ ) ( E[ M ] E i + [ R+ ] ) Cov [ R+, R+ ] ( i E[ M+ ] E [ R + ] ), (3..9) 39

47 hvor d angiver den verikale disance mellem sandardafvigelsen af en sokasisk diskoneringsfakor og volailiesgrænsen. For a esimere disancen i (3..9) lad ( ) M + s, M +, + E[ R +] og Cov ( R +, R + ) R og Cov ( +, R + ) R være esimaer på σ ( ), E[ ] M + M +,. Ved a ersae populaionsmomenerne i (3..9) med disse esimaer kan den esimerede disance dˆ udrykkes som: ˆ d = s( M+ ) ( M + + ) Cov +, + ( M+ + ). i R R R i R (3..0) For en given M + udrykker dˆ disancen mellem volailieen af den esimerede sokasiske diskoneringsfakor og den esimerede volailiesgrænse. Burnside (994) fassæer en asympoisk sandardafvigelse af den esimerede verikale disance σ ( dˆ ) som: ( Φˆ ) ( Φˆ ) ( ˆ d d σ d ) ˆ ( ˆ = V Φ ), Φ Φ (3..) hvor Φ er en m vekor, der indeholder m populaionsmomener i (3..9), mens ( ˆ ) Vˆ Φ er en m m kovariansmarice for ˆΦ. I appendiks F vises udrykke i (3..) med udgangspunk i o akiver. Forholde mellem dˆ og σ ( dˆ ) er asympoisk sandardnormalfordel: σ dˆ ( dˆ ) a ( ) ~ N 0,. (3..) Ud fra (3..) er de mulig a ese nulhypoesen om, a den verikale disance mellem en esimere volailie af en sokasisk diskoneringsfakor og en esimere volailiesgrænse er 0. 40

48 3. GMM GMM kan anvendes il a esimere paramerene i sandardmodellen og Campbell- Cochrane modellen. GMM er udvikle af Hansen (98), mens Hansen og Singleon (98) viser, hvordan GMM kan anvendes neop med udgangspunk i C-CAPM. Jagannahan, Skoulakis og Wang (00) fremhæver o fordele ved GMM som esimaionsmeode. For de førse er de ikke nødvendig a foreage anagelser omkring fordelingen for de undersøge variable. Variablene må gerne udvise både auokorrelaion og heeroskedasicie. For de ande kan ikke-lineære prisfassæelsesmodeller undersøges uden a foreage linearisering. Sidsnævne fordel er fremrædende i vores undersøgelse, da C-CAPM er en ikke-lineær model. 3.. Beinge GMM esimaion GMM esimaionen vises med udgangspunk i eulerligningen i (..5): ( R ) = E + i, + M+ ( ) θ, (3..) hvor den sokasiske diskoneringsfakor skrives ( ) M + θ for a ydeliggøre, a den afhænger af paramerene δ og γ udryk ved parameervekoren θ = (, ) δ γ. Formåle er a esimere parameervekoren θ, så forskellen mellem de ilbagediskonerede bruoafkas for akiv i og minimeres. Ud fra (3..) defineres den beingede forvenede fejl som: ( ) ( ) ( ) E ui, + θ = E Ri, + M + + θ = 0. (3..) For a age højde for den beingede informaion anvendes insrumenvariable. I valge af insrumenvariable er formåle a opfange så mege informaion som mulig. Ved 4

49 anvendelse af insrumenvariable og loven om iererede forvenninger kan (3..) formuleres som: ( ) E u i, + θ z = 0, (3..3) hvor z er en k vekor indeholdende k insrumenvariable inklusiv en konsan, der indgår i informaionssæe på idspunk. I (3..3) anvendes Kronecker produke,, som beyder, a hver elemen i ( ) u i, + θ skal mulipliceres med hver elemen i z. For akiv i er analle af momenbeingelser i (3..3) lig analle af insrumenvariable inklusiv konsanen. Ligning (3..3) afspejler, a den forvenede fejl på idspunk + er uafhængig af informaion, der er kend på idspunk, ide den forvenede fejl per definiion er uforudsigelig. For a esimere θ anvendes sikprøvegennemsnie il momenbeingelserne for akiv i : ( ) T T = ui, + ( ) T = g θ θ z, (3..4) hvor ( ) T g θ er en k vekor, og T er analle af observaioner. De anages, a sore als lov gælder, hvilke beyder, a gt ( θ ) går mod u, + ( ) observaioner går mod uendelig. E i θ z, når analle af For a idenificere parameervekoren θ = (, ) δ γ er de nødvendig, a der er minds lige så mange momenbeingelser, som der er paramere. Er der akkura lige mange momenbeingelser og paramere, kan der findes en unik løsning, hvor prisfejlene i ligning (3..4) er 0. I ilfælde af en lineær model kan denne løsning findes direke ved 4

50 a sæe g ( ) T θ lig 0. 9 I ilfælde af en ikke-lineær model, som C-CAPM, kræves numerisk opimering. Er der flere momenbeingelser end paramere, er parameeresimaionen overidenificere, og de er ikke mulig a sæe alle prisfejl lig 0. Med en overidenificere model esimeres parameervekoren θ ved a minimere den kvadraiske krieriefunkion: min g T ( θ) Wg T ( θ ), (3..5) θ hvor W er en symmerisk k k posiiv semi-definie vægningsmarice, som besemmer de enkele momenbeingelsers væg i krieriefunkionen. Uanse valg af vægningsmarice W opnås konsisene og asympoisk normalfordele esimaer for paramerene. Sæes W lig den inverse af kovariansmaricen for prisfejlene, W=S, opnås efficiene esimaer, dvs. de esimaer med den mindse asympoiske varians, jf. Hansen (98). Inuiionen er, a anvendes W=S, illægges de momenbeingelser, som måles mes præcis og dermed har den mindse varians, den sørse væg. For a esimere S kræver de ieraiv GMM. De skyldes, a S afhænger af θ samidig med, a S skal anvendes il a esimere θ. Derfor esimeres θ i førse sep af den ieraive GMM ud fra en iniial vægningsmarice, og S esimeres eferfølgende ud fra ˆθ. Den iniiale vægningsmarice kan eksempelvis være ideniesmaricen, W = I. I ande sep af den ieraive GMM esimeres θ ud fra = ( ˆ ) W S θ, hvormed der opnås efficiene esimaer. Den ieraive proces kan forsæe, indil på forhånd faslage konvergenskrierier opfyldes. Eksempelvis indil der ikke opsår væsenlige ændringer i krieriefunkionen og/eller de esimerede paramere. På baggrund af ˆθ kan der således i sep 3, fassæes en ny vægningsmarice, ( ˆ ) θ 3 osv. W =S θ 3, for a esimere 9 OLS-regressioner er e specialilfælde af GMM. 43

51 3.. Modeles Parameervekoren for θ er asympoisk normalfordel: ( ˆ ) ~ a N ( 0, ) θ θ V, (3..6) hvor kovariansmaricen V for θ er: V = [ D WD] D WSWD[ D WD ] (3..7) T og ( ) D= g θ θ. T Anvendes den opimale vægningsmarice, W= S, fås efficiene esimaer, og kovariansen for θ i (3..7) reduceres il: V = T DS D. Ud fra (3..6) er de mulig a ese nulhypoesen om, a de individuelle paramere i θ er forskellige fra 0. Med en overidenificere model opsår der posiive prisfejl, ide alle momenbeingelser ikke kan sæes lig 0. Hvis prisfejlene er høje, er de en indikaion af, a modellen ikke er holdbar. For a ese om prisfejlene er signifikan forskellige fra 0, kan Hansens (98) J T es anvendes: + ( ) ( ) TJT = T g T Var g θ T g T~ χ # momenbeingelser # paramere, (3..8) hvor kovariansmaricen for prisfejlene Var ( ) gt θ er: 44

52 Var T [ ] [ ( ) ] D W S I D D WD D W [ g ( θ )] = I D( D WD) T. Jævnfør Cochrane (996, 00) er forskellen mellem S og Var ( ) Var g ( θ ) afspejler, a lineære kombinaioner af g ( ) T T gt θ, a θ sæes lig 0 for a esimere θ, mens S esimeres på baggrund af en fas θ. Der opsår dermed singularie i ( ) Var g T θ, hvilke medfører leddene i klammerne. Af samme årsag ages den pseudo-inverse il den singulære kovariansmarice, hvilke angives af + i ligning (3..8). I (3..8) evalueres J T saisikken, TJ T, i forhold il en χ fordeling med frihedsgrader lig differencen mellem analle af momenbeingelser og analle af paramere. Forkases nulhypoesen om, a prisfejlene er lig 0, forkases modellen. J ese i (3..8) er e generel ilfælde. Anvendes den opimale vægningsmarice, T W= S, har T ese J følgende udseende: - T T T ( ) TJ = TgSg ~ χ # momenbeingelser # paramere. (3..9) Hensigen med J ese er a ese modellens fi. Ulempen med J ese er dog, T T a når kovariansmaricen for prisfejlene er høj, reduceres sværere a forkase modellen. Engsed (00) poinerer, a J ese ofe ikke forkaser modeller på rods af upræcise og uplausible esimaer. J T saisikken, og de er T Cochrane (005) fremhæver, a der i den nyere finansieringslieraur i mindre udsrækning fokuseres på J ese i en GMM esimaion. I sede fokuseres på, om T GMM esimaerne fører il en lav prisfejl. En models prisfejl beregnes som modellens forvenede afkas fassa ud fra de esimerede paramere frarukke de realiserede afkas. En lav prisfejl er udryk for, a modellen er god il a forklare de hisoriske afkas. Cochrane (996) poinerer, a baseres konklusionen af en GMM esimaion på 45

53 baggrund af J T ese, er der risiko for a accepere en uineressan model. En model er uineressan, når modellen både har høje prisfejl og en høj varians af prisfejlene. Med en høj varians af prisfejlene er de sværere a forkase J ese og dermed modellen. Ved a evaluere esimaerne ud fra en analyse af prisfejl undgås, a en model med høje prisfejl fasholdes, fordi den ikke kan afvises som følge af en høj varians af prisfejlene. De modsae ilfælde undgås også, hvor en god model med lave prisfejl forkases på grund af en lav varians af prisfejlene. Ifølge Cochrane (005) er de mere ineressan, a en model har en lav prisfejl end, a modellen ikke kan afvises ud fra J ese. Vi vælger derfor a se bor fra J ese. I sede fokuseres på, om T GMM esimaerne fører il en lav prisfejl, og dermed hvor god modellen er il a forklare de hisoriske afkas. T T 3..3 Campbell-Cochrane modellen Overskudsforbrugsraioen i Campbell-Cochrane modellen er ikke observerbar som følge af, a habi ikke kan observeres. En uobserverbar overskudsforbrugsraio er problemaisk, ide en GMM esimaion af Campbell-Cochrane modellen forudsæer en proces for S. Ifølge vores kendskab er der i lierauren o empiriske undersøgelser, som esimerer paramerene i Campbell-Cochrane modellen. 0 Tallarini og Zhang (004) foreager en esimaion af Campbell-Cochrane modellen ved EMM, der er en simulaionsbasere esimaionsmeode, mens Garcia, Renaul og Semenov (005) foreager en GMM esimaion af Campbell-Cochrane modellen. Garcia, Renaul og Semenov (005) viser, hvordan en proces for S kan genereres ved førs a besemme en iniialværdi for S. For overskuelighedens skyld genopfriskes udrykke for logoverskudsforbrugsraioen s : s = ( φ) s + φs + λ( s ) v, + + hvor 0 Chen og Ludvigson (004) eser for, om habi kan karakeriseres som lineær eller ikke-lineær og er ikke en esimaion af paramerene i Campbell-Cochrane modellen. De finder, a habi karakeriseres som ikke-lineær, hvilke søer Campbell-Cochrane modellen, hvor habi udvikler sig ikke-lineær. 46

54 s γ = log σ v, φ ( s s ) hvis s s λ( s ) = S 0 ellers, max og smax s + ( S ). For a generere processen for s anager Garcia, Renaul og Semenov (005), a iniialværdien for s sæes lig med s, som besemmes ud fra paramerene φ, γ og σ v. Disse paramere skal derfor fassæes for a generere s. Med en s proces kan de esimere Campbell-Cochrane modellen. Deres esimaionsmeode beskrives i Garcia, Renaul og Semenov (005), s. 30: To obain he ime series of he unobservable surplus consumpion, one needs o se he iniial value of surplus consumpion and a value of he auoregressive parameer φ. The former can be se a he seady sae value, which means ha we need a saring value of γ. For he laer, Campbell and Cochrane (999) use he auoregressive parameer of he price-dividend raio. If we follow his sraegy, assuming some saring value of he coefficien of relaive risk aversion, γ, say, calculaing S ( 0, K,T ) =, esimaing he Euler equaions and ieraing over γ, he esimae of γ approaches 0 and, depending on he saring value, goes ino he negaive. To beer conrol he esimaion of γ, we proceeded by grid search o obain an iniial value ha was close o he esimaed value by he Euler equaions. Inspirere af Garcia, Renaul og Semenov (005) esimerer vi Campbell-Cochrane modellen på baggrund af GMM ved: Vi har konake Andrei Semenov for en uddybelse af deres grid search i Garcia, Renaul og Semenov (005), men desværre var Andrei Semenov ikke samarbejdsvillig. 47

55 Sep : a esimere persisensparameeren φ ved OLS på baggrund af regressionsligningen: p d = α + φ( p d ) + ε, hvor p og d er henholdsvis log-pris og log-dividende på idspunk, α er en konsan, og ε er e fejlled på idspunk. Sep : a esimere sandardafvigelsen af log-forbrugsvæksen σ v. Sep 3: a fassæe en arbirær sarværdi for nyekurveparameeren γ. Sep 4: a fassæe forbrugssødene v + ud fra regressionsligningen af logforbrugsvæksen på en konsan: c. = g+ v Sep 5: a generere s + og S exp( s ) = for alle ud fra sep - 4. Sep 6: a esimere paramerene δ, γ, α, φ og g ved GMM. På baggrund af den esimerede γ i sep 6 genages sep 5 6. Ieraion over γ forsæes, indil den lavese værdi af krieriefunkionen i (3..5) opnås. For a kunne sammenligne værdien af krieriefunkionen fra de forskellige GMM kørsler kræves en præspecificere vægningsmarice. Som vægningsmarice anvender vi ideniesmaricen, hvilke uddybes i næse afsni. Førs uddybes de enkele seps nedenfor. Sep I sep følger vi Garcia, Renaul og Semenov (005) ved a esimere φ ud fra. ordens auokorrelaionsparameeren for pris-dividende raioen. Ifølge Campbell og Cochrane (999) er dee mulig, ide overskudsforbrugsraioen er den enese ilsandsvariabel i økonomien, hvorfor pris-dividende raioen og overskudsforbrugsraioen har samme dynamik. Sep I sep esimerer vi σ v som sandardafvigelsen af forbrugsvæksen. Sep 3 I sep 3 kalibrerer vi γ ud fra de hisoriske akieafkas. Den kalibrerede γ anvendes som sarværdi i GMM esimaionen. 48

56 Sep 4 Da s nu kan besemmes ud fra φ, σ v og γ, mangler vi kun kendskab il forbrugssødene for a kunne generere s processen. Forbruge modelleres som en random walk i Campbell-Cochrane modellen. I sep 4 finder vi forbrugssødene som residualerne fra OLS-regressionen af forbrugsvæksen på en konsan. Sep 5 I sep 5 genererer vi processen for s. Vi følger Garcia, Renaul og Semenov (005) ved a sæe iniialværdien af log-overskudsforbrugsraioen på idspunk = 0 lig s. Processen for s på idspunk = er: ( ) ( ) ( ) s s ( s) s = φ s + φs + λ s ν 0 0 = φ + φ + λ ν. (3..0) Ide vi kender φ, s, λ ( s ) og ν, kan s besemmes ud fra (3..0). Tilsvarende kan s for alle =, K, T findes. Sep 6 Med en idsserie for S exp( s ) = kan Campbell-Cochrane modellen esimeres. Garcia, Renaul og Semenov (005) foreager en simulan GMM esimaion af eulerligningerne for de risikofrie akiv og risikopræmien sammen med processen for s forbruge modellere som en random walk. I vores GMM esimaion af Campbell- Cochrane modellen esimeres eulerligningerne for akieafkas og risikopræmien sammen med processen for pris-dividende raioen, processen for s og forbruge modellere som en random walk: og S C + + = E ( + Ri, + ) δ S C γ. (3..) 49

57 S C + + 0= E ( Ri, + Rf, + ) S C ( ) γ. (3..) p d = α + φ p d + ε. (3..3) γ s+ = v + s + s c+ g φ ( φ) log σ φ λ( )( ) + +. (3..4) c = g+ v. (3..5) Vi esimerer de fem ligninger simulan, ide de er indbyrdes afhængige. I den simulane GMM kørsel esimeres de paramere, som minimerer krieriefunkionen i (3..5). Paramerene, der bliver esimere ved den simulane GMM kørsel, er den subjekive diskoneringsfakor δ, nyekurveparameeren γ, konsanen α, persisensparameeren φ og den forvenede forbrugsvæks g. Den esimerede γ i sep 6 danner grundlag for en ny GMM esimaion. På baggrund af de nye esima for γ danner vi igen en ny s og dermed en ny s proces, hvilke fører il en ny GMM esimaion ec. For hver GMM esimaion anager paramerene for φ og σ v de samme værdier som i sep og, ligesom forbrugssødene i sep 4 er uændrede. Ieraion over γ forsæes, indil den lavese værdi af krieriefunkionen opnås. Da vi anvender en præspecificere vægningsmarice, som holdes fas i de forskellige GMM kørsler, får vi, a modellen med den lavese værdi af krieriefunkionen også er den model med den lavese prisfejl Vægningsmarice Garcia, Renaul og Semenov (005) esimerer γ ved en grid search, som medfører, a den esimerede γ er æ på den iniiale γ, som genererer overskudsforbrugsraioen. Hvis den esimerede γ afviger fra den iniiale γ, er de egn på, a den γ, som genererer overskudsforbrugsraioen, er misspecificere. Vores besluningskrierium afviger ved, a vi iererer over γ, indil den lavese værdi af krieriefunkionen opnås. Ved a anvende en præspecificere vægningsmarice kan vi sammenholde værdien af krieriefunkionen for de forskellige GMM kørsler og besemme den model med de lavese 50

58 prisfejl. De er i modsæning il Garcia, Renaul og Semenov (005), som anvender en opimal vægningsmarice. Da vi sammenligner værdien af krieriefunkionen for de forskellige modeller, kan vi ikke anvende den opimale vægningsmarice. Ifølge Cochrane (00) skyldes dee, a den opimale vægningsmarice S ændrer sig, når modellen ændrer sig. Den opimale vægningsmarice er den inverse af kovariansmaricen for prisfejlene, og da prisfejlene varierer for forskellige modeller, varierer S også. Med varierende vægningsmaricer er en lav krieriefunkion for én model i forhold il en anden model ikke nødvendigvis e udryk for en lavere prisfejl, fordi vægningen af momenbeingelserne er forskellig. Anvendes den opimale vægningsmarice, kan en lav krieriefunkion skyldes en høj varians af prisfejlene. En lav krieriefunkion skyldes enen lave prisfejl eller en lav S. En lav S og dermed en høj S er ensbeydende med, a variansen af prisfejlene er høj. Når variansen af prisfejlene er høj, er krieriefunkionen lav uden, a prisfejlene nødvendigvis er lave. Jf. Jagannahan og Wang (996) er de misvisende a forerække en given model udelukkende på baggrund af den lavese værdi af krieriefunkionen, når den opimale vægningsmarice anvendes. Den opimale vægningsmarice er ikke velegne ved sammenligning af modeller ud fra krieriefunkionen. For a sammenligne værdien af krieriefunkionen for forskellige modeller er de nødvendig med en præspecificere vægningsmarice, som holdes fas. En præspecificere vægningsmarice er uafhængig af modellen og sikrer, a de kun er prisfejlene, som ændrer sig fra model il model. Hvis én model har en lavere værdi af krieriefunkionen end en anden model, er prisfejlene forbedre frem for, a S er forøge. Med en præspecificere vægningsmarice er de korrek a konkludere, a modellen med den lavese værdi af krieriefunkionen også er den bedse model, ide prisfejlene er minds. Når en præspecificere vægningsmarice anvendes, gives afkald på den asympoiske efficiens, som den opimale vægningsmarice medfører. Dog medfører en præspecificere vægningsmarice sadig konsisene esimaer. Cochrane (00) fremhæver o 5

59 præspecificerede vægningsmaricer i form af Hansen og Jagannahans (997) vægningsmarice og ideniesmaricen. Hansen og Jagannahan (997) foreslår følgende vægningsmarice: [ ] W= E RR, hvor R er en n vekor indeholdende bruoafkas for n akiver. Fordelen ved denne præspecificerede vægningsmarice er, a værdien af krieriefunkionen har en forolkning. Hansen og Jagannahan (997) viser, a værdien af krieriefunkionen kan olkes som den maksimale prisfejl for den givne model. Dermed er de mulig a evaluere graden af modelmisspecifikaion for en given model. Ulempen med Hansen og Jagannahans (997) vægningsmarice er ifølge Cochrane (996), a den er nærsingulær. Derudover viser Leau og Ludvigson (00b), a anvendelsen af Hansen og Jagannahans (997) vægningsmarice i små sikprøver er forbunde med bias, hvilke fører il en høj værdi af krieriefunkionen. På grund af de nævne problemer med Hansen og Jagannahans (997) vægningsmarice vælger vi a anvende ideniesmaricen som den præspecificerede vægningsmarice i krieriefunkionen. Ideniesmaricen har re fordele. For de førse argumenerer Cochrane (996) for a anvende ideniesmaricen for a undgå probleme med singularie. For de ande foreslår Alonji og Segal (996) a anvende ideniesmaricen i ilfælde af små sikprøver, ide ideniesmaricen giver mere robuse esimaer. For de redje minimerer ideniesmaricen summen af de kvadrerede prisfejl, hvilke er ilsvarende OLS. 5

60 4. Præliminær analyse I dee afsni foreages en beskrivelse af daa anvend i afhandlingen. Dernæs genereres processen for s ud fra meoden beskreve i afsni En cenral anagelse i processen for s er, a forbruge følger en random walk. For a undersøge om forbruge kan beskrives ud fra en random walk, anvendes auokorrelaion ess og varians raio ess. For a opnå e indledende indryk af vores daasæ i relaion il C-CAPM belyses niveau, volailie og samvariaion for akieafkase, den risikofrie rene, risikopræmien sam væksen i henholdsvis forbruge og overskudsforbrugsraioen. 4. Daabeskrivelse Vores undersøgelse af C-CAPM på de danske akiemarked ager udgangspunk i Beler, Engsed og Tanggaards (005) dividende-juserede KFX-indeks, som anvendes il a fassæe de kvarårlige akieafkas i den undersøge periode fra. kvaral 985 il 4. kvaral 00. I undersøgelsen anvendes kvarårlige observaioner, ide forbruge ikke kan observeres med højere frekvens end kvarårlig. Vores proxy for den risikofrie rene er den effekive rene på 3 måneders skakammerbeviser. 3 Forbrugsdaa sammer fra Danmarks Saisik og fassæes som summen af ikkevarige varer og jeneser. Varige varer og halv-varige varer medages ikke, ide nyen kan srække sig ud over den periode, hvor købe indræffer. Sondringen mellem ikkevarige, halv-varige og varige varer foreager Danmarks Saisik dels ud fra godes normale leveid og dels ud fra anskaffelsessummens sørrelse. I appendiks G gives en oversig over hvilke varegrupper, der defineres som henholdsvis ikke-varige, halvvarige og varige varer sam jeneser. 4 Daa er venligs sille il rådighed af Klaus Beler fra Handelshøjskolen i Århus. 3 Daa er venligs sille il rådighed af Jakob Brink fra Svenska Handelsbank. 4 Denne oversig er venligs udlevere af Linda Kongerslev fra Danmarks Saisik. 53

61 For a rense for sæsonudsving anvendes de sæsonkorrigerede forbrug. De medfører, a auokorrelaionen og volailieen i forbrugsvæksen reduceres, hvilke analyseres nærmere nedenfor. I perioden 985:-987:4 er forbruge opgjor på baggrund af ENS79, mens forbruge i perioden 988:-00:4 er opgjor på baggrund af ENS95. Som følge af afvigelser i opgørelsesmeoden siger forbruge med ca. 5% fra 987:4-988:. For a age højde for denne problemsilling anvender vi væksraerne i forbruge opgjor ud fra ENS79 for perioden 985:-988: og fassæer forbruge ved a regne baglæns. For a finde forbruge per capia fassæes de kvarårlige befolkningsal ved lineær inerpolaion af de årlige befolkningsal. De årlige befolkningsal sammer fra Danmarks Saisik. Som insrumenvariabel i vores GMM esimaion anvender vi Leau og Ludvigsons (00a) forbrug-formue raio. I den sammenhæng har Naionalbanken venligs sille daa il rådighed fra MONA. Som proxy for arbejdsindkomsen og formuen anvendes disponibel masseindkoms (YDMAS) og realformuen (REALFOR). Begge er sæsonkorrigerede. Alle ovennævne idsserier måles i reale ermer på baggrund af forbrugsdeflaoren i MONA. Ligesom forbrug, arbejdsindkoms og realformuen er forbrugsdeflaoren også sæsonkorrigere. 4. Overskudsforbrugsraioen Overskudsforbrugsraioen er omdrejningspunke i Campbell-Cochrane modellen, og der gives derfor i de følgende en indledende grafisk illusraion og analyse af overskudsforbrugsraioens karakerisika. For a generere en proces for den uobserverbare overskudsforbrugsraio anvendes fremgangsmåden beskreve ovenfor i afsni Vi indleder med a esimere paramerene for persisens φ, forvene forbrugsvæks g, sandardafvigelse af forbrugs- 54

62 væksen σ v sam kalibrere nyekurveparameeren γ. Dernæs analyseres den genererede overskudsforbrugsraio. 4.. Parameervalg Som beskreve ovenfor har pris-dividende raioen og overskudsforbrugsraioen den samme dynamik. Derfor esimeres parameeren for persisens φ i overskudsforbrugsraioen ud fra. ordens auokorrelaionsparameeren for pris-dividende raioen. Vi regresserer pris-dividende raioen på en konsan og dens egen laggede værdi: (,94) ( 0,87) ( ) p d = 0,9055 0, 784 p d. (4..) Små bogsaver angiver, a der er age logarimen il variablen. I parenes under koefficienesimaerne angives saisik. Koefficienesimaerne for konsanen og φ er signifikane på e % signifikansniveau. Residualserien fra regressionsligningen er srukurløs, og koefficienesimae for φ på 0,784 vurderes brugbar il a generere overskudsforbrugsraioen. Som de næse skrid esimeres parameeren for den forvenede forbrugsvæks med henblik på a generere forbrugssød il overskudsforbrugsraioen. En cenral anagelse i Campbell-Cochrane modellen er, a forbruge følger en random walk, hvilke sikrer sokasiske forbrugssød. Vi vil derfor i de følgende undersøge, om forbruge i den undersøge periode 985:-00:4 kan beskrives ud fra en random walk model. I den sammenhæng anvendes auokorrelaion ess og varians raio ess. Ud fra disse o ess undersøger vi udelukkende, om der er lineær uafhængighed i forbrugsvæksen. Vi undersøger således ikke for hverken ikke-lineær uafhængighed eller idenisk fordele forbrugssød, hvilke den klassiske random walk model i princippe kræver, jf. Campbell, Lo og MacKinlay (997). 55

63 Tabel 4.. Tes for auokorrelaion i forbrugsvæksen Lag LB Auokorrelaion -0,7-0,0-0, -0,0 0,9* -0,08 0,0-0,6 4,75 (0,064) LB er Ljung-Box (978) Q saisik, som under nulhypoesen om ingen auokorrelaion er χ -fordel med frihedsgrader lig analle af lags. I ese medages oe lags. For auokorrelaionerne angiver * signifikans på e 5% signifikansniveau, og for Q saisikken angives p værdien i parenes. Tabel 4. viser auokorrelaionen i forbrugsvæksen for lags mellem og 8. Auokorrelaionernes sandard error er lig T, hvor T er analle af observaioner, som i vores sikprøve er 66. Derfor skal auokorrelaionerne under anagelse af normalie være indehold i følgende 95% konfidensinerval for opfyldelse af random walk modellen: ±,96 = [ 0, 4;0, 4]. 66 Vi ser i abel 4., a konfidensinervalle er opfyld med én undagelse. Således er der svag posiiv auokorrelaion mellem forbrugsvæksen på idspunk og 5. Ud over svag 5. ordens auokorrelaion er der ingen lineære afhængigheder i forbrugsvæksen. De afspejler sig i, a Ljung-Box ese om ingen auokorrelaion fra lag il 8 ikke kan afvises ved e signifikansniveau på 5%. 5 Tesene for auokorrelaion indikerer dermed, a forbruge ilnærmelsesvis følger en random walk. En anden form for es af random walk modellen er varians raio es. Dee es bygger på, a variansen af innovaioner i en random walk er en lineær funkion af iden. De medfører, a variansen af forbrugsvæksen for q perioder skal være q gange sørre end variansen af forbrugsvæksen for én periode. Eksempelvis skal variansen af den 5 Hvor mange lags, der medages i Ljung-Box ese, er en afbalancering. Medages mange insignifikane højere ordens auokorrelaioner, reduceres syrken af ese. Medages omvend for få auokorrelaioner, er der risiko for, a højere ordens auokorrelaion ikke idenificeres. 56

64 årlige forbrugsvæks være fire gange så sor som variansen af den kvarårlige forbrugsvæks. Jf. Campbell, Lo og MacKinlay (997) resulerer de i følgende q periode varians raio VR ( q ): ( ) [ ] Var c q q k VR ( q) = + q Var c q ρ ( k). k = er variansen af forbrugsvæksen, og Var c ( q) Var[ c ] er variansen af q periode forbrugsvæksen. ρ ( k ) angiver auokorrelaionskoefficienen af orden k. Hvis VR ( q) er lig, er der ingen auokorrelaion, og forbruge følger en random walk. Hvis VR ( q ) er sørre end, er forbrugsvæksen posiiv korrelere, og omvend hvis VR ( q ) er mindre end, er forbrugsvæksen negaiv korrelere. Campbell, Lo og MacKinlay (997) viser følgende esimaor for varians raioen: VR ( q) ( q) ˆ σ =, σ c ˆ a hvor esimaor for Var[ c ] er: ˆ σ, T a = ( ck ck gˆ ) T k = esimaor for Var c ( q) er: ˆ σ T ( ) ck ck q qg ˆ c = m k = q 57

65 q m = q T q. T er analle af observaioner, og ĝ er sikprøveesimae T og ( + ) for den gennemsnilige forbrugsvæks. I appendiks H vises Engles (98) Lagrange Muliplier ess for ARCH-effeker (auoregressive condiional heeroskedasiciy) i forbrugsvæksen. Forbrugsvæksen er ikke belase af idsvarierende varians. Derfor anvender vi følgende essaisik, som anager homoskedasicie, jf. Campbell, Lo og MacKinlay (997): ( ) Z q = ( ( q) ) ( q )( q ) T VR a ~ N( 0, ). 3q Tessaisikken Z ( q) er asympoisk sandardnormalfordel. Tabel 4. viser varians raio ess for q =, 4, 8 og 6, hvilke vil sige for periodelængder fra e halv år il 4 år. Tabel 4.. Varians raio ess q VR ( q) 0,84 (0,96) 0,55 (0,05) 0,50 (0,67) 0,47 (0,34) q angiver periodelængden. I parenes angives p værdi for varians raio esene. VR ( q ) er mindre end for alle periodelængder, hvilke indikerer negaiv auokorrelaion i forbrugsvæksen. Dog er VR ( q ) for alle periodelængder ikke signifikan forskellig fra ved e signifikansniveau på 5%. I overenssemmelse med auokorrelaion esene konkluderer vi derfor, a forbruge ilnærmelsesvis følger en random walk, hvilke er konsisen med Campbell-Cochrane modellen. 58

66 Da forbruge ilnærmelsesvis følger en random walk, esimerer vi parameeren for forvene forbrugsvæks g ved a regressere differencen af logarimen il forbruge på en konsan: = 0,005. (4..) c (,0) saisikken i parenesen angiver, a koefficienen for forbrugsvæks på 0,5% per kvaral er signifikan på e 5% signifikansniveau. På baggrund heraf skabes forbrugssødene il overskudsforbrugsraioen ud fra følgende udryk: v+ = c+ 0, 005. (4..3) I figur 4. ses, a disse forbrugssød er sokasiske uden nogen form for srukur. Forbrugssødene er i gennemsni lig 0, har konsan varians, er ukorrelerede og normalfordele. 6 Figur 4.. Forbrugssød il overskudsforbrugsraioen 0,03 0,0 0,0 0-0,0-0,0-0, For a generere processen for overskudsforbrugsraioen skal parameeren for sandardafvigelsen af forbrugsvæksen σ v og nyekurveparameeren γ også besemmes. 6 Skævheden er -0, og kurosis er,74, hvilke medfører, a Jarque-Bera (980) χ ese p værdi på 84,7 % ikke kan afvise nulhypoesen om, a forbrugssødene er normalfordele. med en 59

67 Førsnævne er lig 0,93%. Sidsnævne kalibreres il 0,7680 ud fra de hisoriske akieafkas, hvormed ligning (.3.8) opfyldes. 4.. Observaion af overskudsforbrugsraioen Indsæes de fassae parameerværdier i ligningen for overskudsforbrugsraioen, medfører de følgende udryk: ( 0,784) 0,784 λ ( )( 0,005) s = s + s + s c, + + hvor seady sae fassæes il: s γ 0, 7680 = log σ v = log 0,93% = log 0, 076 φ 0, 784 ( ). Som beskreve i afsni 3..3 anager vi, a overskudsforbrugsraioen sarer i seady sae, hvormed de er mulig a generere s for alle =,, K, T. De resulerer i overskudsforbrugsraioen, som vises i figur 4.. Figur 4.. Overskudsforbrugsraioen S Seady sae 0,05 0,04 0,03 0,0 0,

68 Figur 4. viser, a overskudsforbrugsraioen er posiiv i hele perioden, hvilke sikrer en veldefinere nyefunkion. Den lave sandardafvigelse af forbrugsvæksen medfører e lav niveau for seady sae. Figur 4. illusrerer, a overskudsforbrugsraioen for de mese befinder sig over seady sae, men med jævne mellemrum vender ilbage il seady sae. De er i overenssemmelse med Campbell og Cochrane (999), som viser, a sandsynlighedsfordelingen for overskudsforbrugsraioen er vensreskæv med en hale af lave overskudsforbrugsraioer. Af denne sandsynlighedsfordeling fremgår, a overskudsforbrugsraioen med højese sandsynlighed befinder sig over seady sae. Tendensen il, a overskudsforbrugsraioen for de mese befinder sig over seady sae, kan kædes sammen med følsomhedsfunkionen. Panel A i figur 4.3 viser, a følsomhedsfunkionen i (.3.) er en afagende funkion af overskudsforbrugsraioen. Da følsomhedsfunkionen anager små værdier over seady sae, skal der flere negaive forbrugssød il for a bringe overskudsforbrugsraioen under seady sae. Omvend skal der kun få posiive forbrugssød il for a bringe overskudsforbrugsraioen over seady sae, fordi følsomhedsfunkionen anager sore værdier under seady sae. Som beskreve i afsni.3.5 kan følsomhedsfunkionen ikke blive negaiv. De er hensigsmæssig, fordi posiive forbrugssød dermed ikke kan medføre fald i overskudsforbrugsraioen, ligesom negaive forbrugssød ikke kan medføre signinger i overskudsforbrugsraioen. Denne egenskab viser sig i panel A ved, a følsomhedsfunkionen er lig 0, når overskudsforbrugsraioen rammer den øvre grænse S max. Panel B i figur 4.3 viser habis følsomhed over for samidige ændringer i forbruge som en funkion af overskudsforbrugsraioen. Habis følsomhed over for ændringer i forbruge er funde ud fra (.3.4). I seady sae er habi prædeerminere, ide er lig 0. Dermed bevæger habi sig ikke i seady sae ved forbrugssød. Ligeledes fremgår de, a dx dc ikke på noge idspunk er mindre end 0, og der er konsekven en posiiv sammenhæng mellem ændringer i forbruge og habi. E posiiv forbrugssød kan ikke påvirke habi negaiv, ligesom e negaiv forbrugssød ikke kan påvirke habi posiiv. dx dc 6

69 Figur 4.3. Følsomhedsfunkionen og habis følsomhed over for forbrugsændringer λ ( s) A Følsomhedsfunkionen Seady sae Smax 0 0 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 S B dx, 0,8 0,6 0,4 0, dc dx/dc Seady sae Smax 0 0 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 S Panel A viser følsomhedsfunkionen som en funkion af overskudsforbrugsraioen, mens panel B viser habis følsomhed over for ændringer i forbruge. I Panel B illusreres den hasighed, hvormed habi ilpasser sig forbruge. Habi kan ikke sige eller falde med sørre ak end forbruge, da dx dc ikke kan oversige. Jo længere væk overskudsforbrugsraioen er fra seady sae, jo højere er dx dc. Befinder overskudsforbrugsraioen sig lang væk fra seady sae, ilpasser habi sig hurig il forbruge. Når overskudsforbrugsraioen rammer S max, opsår der en -il- sammenhæng mellem forbruge og habi. Tilsvarende hvis overskudsforbrugsraioen er 6

70 æ på 0, er habi ved e negaiv forbrugssød nød il a falde med samme ak som forbruge for a undgå en negaiv overskudsforbrugsraio. Omkring seady sae ilpasser habi sig derimod langsom il forbruge. Figur 4.4. Udviklingen i forbruge og habi C X Figur 4.4 viser udviklingen i forbruge og habi i den undersøge periode fra 985: il 00:4. I figuren fremgår, a der er en jævn ilpasning af habi ved ændringer i forbruge. De ses, a forbruge alid er sørre end habi. Perioder med forbrugsfald bringer forbruge æ på habi. Disse perioder med lave overskudsforbrugsraioer opfaes af invesor som dårlige ider og medfører en høj konracyklisk risikoaversion. 4.3 Indledende analyse af saisiske egenskaber I de følgende gives en indledende analyse af saisiske egenskaber for forbrug, overskudsforbrugsraio og akivafkas med henblik på opnå indblik i vores daasæ i relaion il C-CAPM. 63

71 Figur 4.5. Akieafkas, risikofri rene og risikopræmie 0% r rf r-rf 0% 0% -0% -0% -30% Figur 4.5 viser udviklingen i akieafkase, den risikofrie rene og risikopræmien. Akieafkase og risikopræmien følger hinanden æ, hvilke undersreges af, a korrelaionen er 0,997, jf. abel 4.4. Den æe sammenhæng mellem akieafkase og risikopræmien skyldes, a den risikofrie rene har en mege jævn udvikling uden sore udsving. Af abel 4.3 ses, a den risikofrie rene i gennemsni er,% per kvaral med en sandardafvigelse på 0,80%. Den lave sandardafvigelse undersreger de hensigsmæssige i, a den risikofrie rene er konsan i Campbell-Cochrane modellen. Tabel 4.3. Gennemsni og sandardafvigelse r r f r r f c s Gennemsni,06%,% 0,95% 0,6% 3,8% Sandardafvigelse 9,88% 0,80% 0,06% 0,93% 5,9% r, r f, r r f, c og s angiver henholdsvis akieafkas, risikofri rene, risikopræmie, forbrugsvæks og væks i overskudsforbrugsraioen. Logarimen er age il variablene. De kvarårlige akieafkas er,06% i gennemsni med en sandardafvigelse på 9,88%, mens den gennemsnilige risikopræmie er 0,95% per kvaral med en sandardafvigelse på 0,06%. Den årlige risikopræmie er 3,79%. De er på niveau med Engsed og Tanggaards (999) undersøgelse, hvor den gennemsnilige årlige danske risikopræmie 64

72 for perioden er 3,7%. 7 Sammenlignes med USA er den danske risikopræmie væsenlig lavere. Jf. Cochrane (997) er den amerikanske årlige risikopræmie i eferkrigsiden således 8%. Samidig gælder de, a den danske risikopræmie i den undersøge periode 985:-00:4 er så svingende, a den ikke er saisisk signifikan. De kommer il udryk ved a opsille e 95% konfidensinerval, 0,95% ±,96 0, 06% = [, 48%;3,37% ], (4.3.) 66 som viser, a der er sor usikkerhed forbunde med den gennemsnilige risikopræmie, og de kan ikke afvises, a den gennemsnilige risikopræmie er 0. De indikerer, a vi ikke skal forvene, a der er e equiy premium puzzle i vores daasæ, hvilke er i overenssemmelse med idligere danske undersøgelser jf. eksempelvis Engsed og Tanggaard (999). Figur 4.6. Bruovæks i forbruge og overskudsforbrugsraioen C/C- S/S-,5,5 0, Figur 4.6 viser bruovæksen i henholdsvis forbruge og overskudsforbrugsraioen. De ses, a bruovæksen i overskudsforbrugsraioen har beydelig sørre volailie end bruovæksen i forbruge. De afspejler sig i, a førsnævne har en sandardafvigelse på 5,9%, mens sidsnævne har en sandardafvigelse på 0,93%, jf. abel Engsed og Tanggaard (999) finder, a de gennemsnilige akieafkas er 6,3%, mens den gennemsnilige risikofrie rene,5%. 65

73 Den høje volailie i overskudsforbrugsraioen skabes af følsomhedsfunkionen, som mulipliceres med forbrugssødene. Den jævne udvikling i forbruge skal ses i lyse af, a sæsonrensningen fjerner en del af volailieen. Da volailieen i bruovæksen for overskudsforbrugsraioen er højere end volailieen i forbrugsvæksen er den sokasiske diskoneringsfakor i Campbell-Cochrane modellen mere volail. De vil sige, a Campbell-Cochrane modellen har leere ved a opfylde volailiesgrænsen end sandardmodellen. De er ineressan, fordi neop en manglende volailie i den sokasiske diskoneringsfakor har være medvirkende årsag il sandardmodellens vanskeligheder ved a forklare risikopræmien på de amerikanske akiemarked. I den sammenhæng skal de dog undersreges, a vi er lige vid, hvis den højere volailie i Campbell-Cochrane modellen er kunsig skab i form af eksra søj. E væsenlig krav il den sokasiske diskoneringsfakor er således en høj korrelaionen med akieafkase, jf. Cochrane og Hansen (99). Tabel 4.4. Korrelaion og kovarians r r f r r f c s r -0,85 0,997 0,8 0, r f -0,000-0,6-0,06-0,043 r r f 0,0098-0,000 0,0 0, c 0,000 0,0000 0,000 0,9 s 0,0054-0,000 0,0055 0,00 r, r f, r r f, c og s angiver henholdsvis akieafkas, risikofri rene, risikopræmie, forbrugsvæks og væks i overskudsforbrugsraioen. Værdierne over diagonalen er variablenes korrelaioner, og værdierne under diagonalen er variablenes kovarianser. Logarimen er age il variablene. Af abel 4.4 fremgår henholdsvis korrelaion og kovarians mellem akieafkas, risikofri rene, risikopræmie, bruovæks i forbruge og bruovæks i overskudsforbrugsraioen. De ses, a kovariansen mellem forbrugsvæksen og akieafkase er 0,000 og dermed mege lille. Den lave kovarians skal dels ilskrives den mege jævne forbrugsudvikling og dels en forholdsvis lav korrelaion mellem forbrugsvæksen og afkase på 0,8. Til sammenligning er korrelaionen mellem bruovæksen i overskudsfor- 66

74 brugsraioen og afkase på 0,. Denne højere korrelaion kombinere med højere volailie af overskudsforbrugsraioen giver en indikaion af, a Campbell-Cochrane modellen er bedre end sandardmodellen il a forklare udviklingen på de danske akiemarked. Af abellen ses også, a korrelaionen mellem bruovæksen i henholdsvis forbruge og overskudsforbrugsraioen er 0,9, hvilke skal ses som e udslag af, a overskudsforbrugsraioen genereres på baggrund af forbrugssødene. For a opnå e indledende indryk af om sandardmodellen medfører e equiy premium puzzle ud fra vores daa, fassæes risikoaversionen ud fra risikopræmien i (..0). Af (..0) fremgår, a risikopræmien jusere for Jensens ulighed er lig produke af risikoaversionen og kovariansen mellem akieafkase og forbrugsvæksen. Fra abel 4.3 fås en kvarårlig risikopræmie jusere for Jensens ulighed på,45%, og fra abel 4.4 fås en kvarårlig kovarians mellem akieafkase og forbrugsvæksen på 0,000. Indsæes disse værdier i ligningen for risikopræmien i (..0), fås en γ på knap 3. På rods af en lavere risikopræmie i Danmark sammenligne med USA kræves en høj γ for a forklare risikopræmien ud fra sandardmodellen. Den høje γ er e resula af den mege lave kovarians mellem akieafkase og forbrugsvæksen. Med en høj γ kan e risk free rae puzzle opså. Anvendes ligningen for den risikofrie rene i (..9) fås, a den subjekive diskoneringsfakor δ skal være knap 0,66 for a opfylde den hisoriske rene på,%. En δ på 0,66 er urealisisk, da de medfører en overdreven præference for forbrug i dag. Hvis δ fassæes il en realisisk værdi på 0,99, fås en uplausibel rene på -39,59% per kvaral. Vi ser dermed, a der er en negaiv sammenhæng mellem sørrelsen på γ og renen. Sammenhængen skyldes, a sikkerhedsopsparingseffeken er sørre end effeken af ineremporal subsiuion. Dermed fås e omvend risk free rae puzzle. Én forklaring på de o puzzles er, a korrelaionen mellem akieafkase og forbrugsvæksen er svær a måle, jf. afsni..5. For a undersøge om resulaerne er robuse over for evenuelle målingsproblemer af korrelaionen, fassæes korrelaionen mellem akieafkase og forbrugsvæksen il. Hvis der forsa opsår e equiy premium 67

75 puzzle, kan de ikke ilskrives målingsproblemer af korrelaionen. Med en korrelaion mellem akieafkase og forbrugsvæksen på fås en γ på knap 6. Da sandardafvigelsen af akieafkase og forbrugsvæksen er henholdsvis 0,06% og 0,93%, er de den sabile udvikling i forbrugsvæksen, som er årsag il den høje γ. En γ på 6 beyder, a δ skal være,0 for a opfylde den risikofrie rene i (..9). Dermed opsår der e risk free rae puzzle. Hvis δ fassæes il 0,99, fås en kvarårlig rene på 3,93%, hvilke er uplausibel. En lav rene kræver en høj δ, ide der er en posiiv sammenhæng mellem renen og γ. Den posiive sammenhæng skyldes, a effeken af ineremporal subsiuion dominerer sikkerhedsopsparingseffeken. Campbell (003) viser, a såvel equiy premium puzzle som risk free rae puzzle er e inernaional fænomen. I en lang række lande opsår en mege høj γ ud fra (..0). Eksempelvis fremgår af Campbell (003), a γ er god 700 i Sverige og knap 600 i Tyskland. På baggrund af disse resulaer yder mege på, a sandardmodellen ikke er i sand il a forklare risikopræmien. En mangel ved a faslægge risikoaversionen og den subjekive diskoneringsfakor ud fra ligningerne for risikopræmien og den risikofrie rene er, a der ikke ages højde for usikkerheden af esimaerne, som indgår i ligningerne, jf. Campbell (003) og Cochrane (005). Der findes en række empiriske undersøgelser af de amerikanske equiy premium puzzle med sandardmodellen, hvor der ud fra forskellige meoder ages højde for esimaionsusikkerhed. Kocherlakoa (996) finder en γ på knap 9, når der ages højde for esimaionsusikkerhed. For denne værdi af γ finder Kocherlakoa (996) e usandsynlig høj reneniveau. Cochrane (996) ager højde for esimaionsusikkerhed ved a foreage en GMM esimaion af sandardmodellen. Cochrane (996) finder e esima for γ mellem 7 og 4. Den subjekive diskoneringsfakor esimeres i de flese ilfælde il over. Engsed og Tanggaard (999) undersøger den danske risikopræmie ud fra sandardmodellen. På baggrund af både en GMM esimaion og meoden i Kocherlakoa (996) finder Engsed og Tanggaard (999) en lav γ. Dermed yder de ikke på, a der modsa USA er e equiy premium puzzle i Danmark, når 68

76 der ages højde for esimaionsusikkerhed. De underbygges af, a risikopræmien ikke er signifikan forskellig fra 0, jf. 95% konfidensinervalle i (4.3.). 69

77 5. Resulaer I dee afsni præseneres resulaerne af Hansen og Jagannahan (99) meoden og GMM esimaionen af sandardmodellen og Campbell-Cochrane modellen. For a undersøge om sandardmodellen og Campbell-Cochrane modellen opfylder volailiesgrænsen for den sokasiske diskoneringsfakor, ages højde for esimaionsusikkerhed ud fra meoden i Burnside (994). I forbindelse med GMM esimaionen fokuseres på særke insrumenvariable, som har vis sig succesrige i a forudsige udviklingen på de amerikanske akiemarked. Især Leau og Ludvigsons (00a) forbrug-formue raio har opnåe opmærksomhed for dens særke forudsigelsesevner. Vi esimerer derfor forbrug-formue raioen på danske daa. Sammen med andre udvalge insrumenvariable undersøges forbrugformue raioens evne il a forudsige udviklingen på de danske akiemarked. Ud fra GMM esimaerne foreages en analyse af prisfejl i sandardmodellen og Campbell-Cochrane modellen. En lav prisfejl beyder, a modellen opfanger den hisoriske prisfassæelse på akiemarkede. Endelig analyseres modelegenskaberne i sandardmodellen og Campbell-Cochrane modellen på baggrund af GMM esimaionen. I den sammenhæng undersøges, om den idsvarierende og konracykliske risikoaversion i Campbell-Cochrane modellen er i overenssemmelse med forudsigelse af akieafkas. 5. Hansen og Jagannahan (99) Med Hansen og Jagannahan (99) meoden undersøger vi den sokasiske diskoneringsfakor for såvel sandardmodellen som Campbell-Cochrane modellen. I figur 5. er parablen udryk for volailiesgrænsen esimere ud fra de kvarårlige akieafkas af Beler, Engsed og Tanggaards (005) dividende-juserede KFX-indeks sam den risikofrie rene mål ud fra den effekive rene på 3 måneders skakammerbeviser. Trekanerne angiver sammenhørende værdier af middelværdi og volailie af den sokasiske diskoneringsfakor i sandardmodellen for sigende værdier af risikoaversio- 70

78 nen γ. Trekanerne afspejler en γ på, 5, 0, 5,, 65. Tilsvarende angiver firkanerne sammenhørende værdier af middelværdi og volailie af den sokasiske diskoneringsfakor i Campbell-Cochrane modellen for sigende værdier af nyekurveparameeren γ. Firkanerne afspejler en γ på 0,05, 0,5, 0,50 og. For både sandardmodellen og Campbell-Cochrane modellen anvendes en fas subjekiv diskoneringsfakor δ på 0,995. I den sokasiske diskoneringsfakor i Campbell-Cochrane modellen indgår overskudsforbrugsraioen S. Vi genererer processen for S på baggrund af meoden beskreve i afsni For hver nyekurveparameer γ genereres en ny S proces, mens forbrugssød og de øvrige paramere, som indgår i S, holdes fas. Den minimale sandardafvigelse af volailiesgrænsen i figur 5. er 0,4% med en gennemsnilig sokasisk diskoneringsfakor på knap 0,99. En gyldig sokasisk diskoneringsfakor skal ligge inden for volailiesgrænsen. I figuren ses, a ingen værdier for γ i Campbell-Cochrane modellen fører il, a sandardafvigelsen af den sokasiske diskoneringsfakor kommer inden for de illade område. For sandardmodellen skal γ være knap 55 for a opfylde volailiesgrænsen. Med en γ på 55 er den gennemsnilige sokasiske diskoneringsfakor 0,987. Da den risikofrie rene kan findes som den reciprokke af den gennemsnilige sokasiske diskoneringsfakor, fås en risikofri rene på,8%. De skal sammenholdes med den gennemsnilige risikofrie rene på,% i den undersøge periode, hvorfor der ikke opsår e risk free rae puzzle. De er iøjnefaldende, a en høj risikoaversion i sandardmodellen ikke medfører e risk free rae puzzle. Forklaringen kan uddybes med udgangspunk i logarimen il den risikofrie rene i (..9). Med en γ på 55 udligner effeken af ineremporal subsiuion og sikkerhedsopsparingseffeken hinanden, og den risikofrie rene i (..9) har e plausibel niveau på,46%. De o effeker udligner hinanden i e lille inerval for γ. Falder γ under 55 dominerer effeken af ineremporal subsiuion, og siger γ op over 60 dominerer sikkerhedsopsparingseffeken. I begge ilfælde fås usandsynlige værdier for den risikofrie rene. 7

79 Figur 5.. Volailiesgrænse med en subjekiv diskoneringsfakor på 0,995 σ ( M ) 70% 60% 50% 40% 30% 0% 0% 0% 0,93 0,95 0,97 0,99,0,03,05 E( M ) Parablen angiver volailiesgrænsen. Trekanerne angiver sammenhørende værdier af middelværdi og volailie af den sokasiske diskoneringsfakor i sandardmodellen for sigende værdier af risikoaversionen γ. Trekanerne afspejler en γ på, 5, 0, 5,, 65. Tilsvarende angiver firkanerne sammenhørende værdier af middelværdi og volailie af den sokasiske diskoneringsfakor i Campbell- Cochrane modellen for sigende værdier af nyekurveparameeren γ. Firkanerne afspejler en γ på 0,05, 0,5, 0,50 og. Volailiesgrænsen i figur 5. er snæver, hvilke vanskeliggør opfyldelse af volailiesgrænsen. En forklaring på den snævre volailiesgrænse er, a de risikofrie afkas indgår i volailiesgrænsen. De risikofrie afkas har en lav sandardafvigelse på 0,80%, og kovariansen mellem akieafkas og den risikofrie rene er kun -0,000 (se henholdsvis abel 4.3 og 4.4). Derfor er kovariansmaricen for akivafkas i volailiesgrænsen i (3..8) lav. Invereres en lav kovariansmarice, fås e sor udryk. For en given gennemsnilig sokasisk diskoneringsfakor er sandardafvigelsen af volailiesgrænsen høj, hvilke medfører en snæver volailiesgrænse. 7

80 Den snævre volailiesgrænse skal også ses i lyse af, a vi anvender kvarårlige observaioner. Når idshorisonen er kor, fås en lav sandardafvigelse af akivafkasene, hvilke medvirker il den høje værdi af den invererede kovariansmarice. Imidlerid kan vi ikke konkludere, a de er sværere a opfylde volailiesgrænsen med en kor idshorison. Cochrane og Hansen (99) viser, a øges idshorisonen, kræves højere værdier af γ i sandardmodellen for a opfylde volailiesgrænsen. Med en længere idshorison fås færre negaive væksraer i forbruge, hvilke påvirker gennemsnie af den sokasiske diskoneringsfakor i nedadgående rening. Cochrane og Hansen (99) viser med en 5-årig idshorison, a gennemsnie af den sokasiske diskoneringsfakor for sigende værdier af γ forsæer med a falde og vender aldrig ilbage mod volailiesgrænsen. Resulaerne fra figur 5. er umiddelbar ikke opmunrende. Der er dog usikkerhed forbunde med esimaionen af volailiesgrænsen sam den sokasiske diskoneringsfakor, hvilke der ikke ages højde for i figur 5.. Tabel 5. viser samme analyse som i figur 5., men med korrekion af esimaionsusikkerhed ud fra Burnside (994). I panel A i abellen fremgår, a når γ er eller højere, kan vi på e 5% signifikansniveau ikke forkase nulhypoesen om, a sandardmodellen opfylder volailiesgrænsen. Anvendes e % signifikansniveau, kan de ikke forkases, a en γ på er ilsrækkelig il a opfylde volailiesgrænsen. Den lave risikoaversion i sandardmodellen ud fra Hansen og Jagannahan (99) meoden er konsisen med idligere danske undersøgelser, jf. Engsed, Mammen og Tanggaard (00) sam Nielsen og Risager (999). Der opsår ikke e equiy premium puzzle, ligesom den lave risikoaversion beyder, a der ikke opsår e risk free rae puzzle. I panel B ses, a for Campbell-Cochrane modellen kan nulhypoesen om opfyldelse af volailiesgrænsen ikke forkases for de udvalge værdier af γ mellem 0,05 og. Dee er en indikaion af, a nyekurveparameeren γ i Campbell-Cochrane modellen er lav. En lav γ er dog ikke e udryk for, a risikoaversionen i Campbell-Cochrane modellen er lav, ide risikoaversionen i modellen er definere som γ / S 0,05 er risikoaversionen i modellen omkring i seady sae.. Med en γ på 73

81 Tabel 5.. Esimaionsusikkerhed med en subjekiv diskoneringsfakor på 0,995 γ dˆ ( dˆ ) σ p værdi γ / S Panel A: Sandardmodellen -0,507 0,00 0,0-0,05 0,97 0,49 3-0,09 0,37 0, ,354 0,58 0,54 5-0,65 0,737 0,407 Panel B: Campbell-Cochrane modellen 0,05-0,778 0,539 0,48,56 0,5 -,44,987 0,474 4,947 0,50 -,695 3,0 0,400 35,80,00-4,659 4,98 0,67 49,893 Parameeren γ er risikoaversionen i sandardmodellen, mens γ er nyekurveparameeren i Campbell- Cochrane modellen. I Campbell-Cochrane modellen er risikoaversionen i seady sae γ / S, hvor S er seady sae. dˆ er den esimerede verikale disance mellem sandardafvigelsen af en sokasisk diskoneringsfakor for en given middelværdi og volailiesgrænsen. σ ( dˆ ) er sandardafvigelsen af den esimerede verikale disance. p værdi er for Burnsides (994) essaisik, hvor nulhypoesen er, a den verikale disance mellem volailiesgrænsen og sandardafvigelsen af den sokasiske diskoneringsfakor er 0. Af abel 5. fremgår, a de kræver en højere γ i sandardmodellen end Campbell- Cochrane modellen for a opfylde volailiesgrænsen. Forklaringen er, a volailieen af den sokasiske diskoneringsfakor i Campbell-Cochrane modellen er højere end i sandardmodellen. I sandardmodellen genereres volailieen af forbrugsvæksen, mens volailieen i Campbell-Cochrane modellen ud over forbrugsvæksen genereres af væksen i overskudsforbrugsraioen. Fra afsni 4.3 ved vi, a væksen i overskudsforbrugsraioen er mere volail end forbrugsvæksen. Dermed fås også en mere volail sokasisk diskoneringsfakor i Campbell-Cochrane modellen. Figur 5. og abel 5. ager udgangspunk i en fas subjekiv diskoneringsfakor δ på 0,995. I de følgende undersøges, hvor robuse konklusionerne drage ovenfor er i forhold il sørrelsen af den subjekive diskoneringsfakor ved a fassæe δ il 0,98. 74

82 I figur 5. ses, a for sandardmodellen skal γ være 60 for a opfylde volailiesgrænsen. For Campbell-Cochrane modellen skal γ være sørre end 0,5 og mindre end 0,50 for a være i de illade område. Modsa figur 5. ses i figur 5., a den sokasiske diskoneringsfakor i Campbell-Cochrane modellen kommer inden for de illade område. Figur 5. Volailiesgrænse med en subjekiv diskoneringsfakor på 0,98 σ ( M ) 70% 60% 50% 40% 30% 0% 0% 0% 0,93 0,95 0,97 0,99,0,03,05 E( M ) Jf. noen i figur 5.. Igen inddrages esimaionsusikkerhed i analysen af resulaerne i figur 5.. I panel A i abel 5. fremgår, a når γ er 0, kan de på e % signifikansniveau ikke afvises, a sandardmodellen opfylder volailiesgrænsen. Når γ er mindre end 0, er disancen derimod signifikan. Med en δ på 0,98 frem for 0,995 kræves således en højere γ for a opfylde volailiesgrænsen. De er dog i sig selv ikke e bevis for, a der opsår e equiy premium puzzle i sandardmodellen. 75

83 Tabel 5.. Esimaionsusikkerhed med en subjekiv diskoneringsfakor på 0,98 γ dˆ ( dˆ ) σ p værdi γ / S Panel A: Sandardmodellen -,46 0,3 0, ,58 0,77 0,00 0-3,654,499 0,05 5-4,503,44 0, ,080,994 0, ,388 3,734 0,49 Panel B: Campbell-Cochrane modellen 0,05 -, 0,536 0,038,56 0,5-0,30,903 0,874 4,947 0,50-0,77 3,3 0,86 35,80,00 -,658 4,045 0,5 49,893 Jf. noen i abel 5.. I panel B fremgår, a de for små værdier af γ ikke kan afvises, a Campbell- Cochrane modellen opfylder volailiesgrænsen. Ovensående analyse indikerer, a den sokasiske diskoneringsfakor i både sandardmodellen og Campbell-Cochrane modellen opfylder volailiesgrænsen for plausible parameerværdier. I de følgende suppleres Hansen og Jagannahan (99) meoden med en GMM esimaion af de o modeller. 5. GMM esimaion Førs præseneres udvalge insrumenvariable, som er succesrige i a forecase udviklingen på akiemarkede i USA. Især Leau og Ludvigsons (00a) forbrug-formue har opnåe opmærksomhed for dens særke forudsigelsesevner. Derfor præseneres eorien bag forbrug-formue raioen, hvilke danner grundlag for en esimaion af forbrug-formue raioen på danske al. Sammen med andre udvalge insrumenvariable undersøges forbrug-formue raioens evne il a forudsige udviklingen på de danske akiemarked. På baggrund af de udvalge insrumenvariable esimeres sandardmodel- 76

84 len og Campbell-Cochrane modellen, hvilke fører il en analyse af prisfejl og modelegenskaber. 5.. Valg af insrumenvariable Insrumenvariable udrykker informaion, som er ilgængelig for den repræsenaive invesor. Informaionen anvendes af den repræsenaive invesor il a planlægge forbrug og opsparing i form af invesering i akier. Formåle er a opnå ineremporal nyemaksimering. I forlængelse heraf er de oplag a vælge insrumenvariable ud fra deres evne il a opfange forudsigelighed i akieafkase, jf. Cochrane (996, 005). I srid med Famas (970) efficiene markedshypoese har de vis sig mulig a forudsige akieafkas. Ifølge Fama og French (989) kan forudsigelse af akieafkas kædes sammen med, a den krævede risikopræmie varierer med konjunkurudviklingen. Invesor vil i bunden af en lavkonjunkur kræve en højere risikopræmie for a invesere i akier. Dermed siger de forvenede afkas med e fald i akiekurserne il følge, mens de modsae er ilfælde på oppen af en højkonjunkur. Konsekvensen er, a der kan forudsiges høje afkas i bunden af en lavkonjunkur og lave afkas på oppen af en højkonjunkur. De indikerer, a variable, som er æ forbunde med konjunkurudviklingen, bør anvendes som insrumenvariable i GMM esimaionen. I valge af insrumenvariable fokuserer vi på variable, som på amerikanske daa har vis sig a kunne forudsige udviklingen på akiemarkede. For de førse anvender vi den relaive risikofrie rene, der konsrueres som forskellen mellem den risikofrie rene og dens gennemsni over de sidse 4 kvaraler ( RREL ). Vi måler den risikofrie rene ud fra den effekive rene på 3 måneders skakammerbeviser. Campbell (99) og Hodrick (99) viser, a RREL kan forecase de månedlige akieafkas, mens Leau og Ludvigson (00a) viser, a RREL kan forecase de kvarårlige akieafkas. 77

85 For de ande anvender vi renespænde mellem den effekive rene på henholdsvis 0- årige sasobligaioner og 3-måneders skakammerbeviser ( TERM ). Fama og French (989) dokumenerer, a TERM kan forecase både akie- og obligaionsafkas. For de redje anvender vi risikopræmien på akiemarkede over den risikofrie rene ( KFXEX ). Ifølge Chen og Ludvigson (004) indeholder denne insrumenvariabel informaion omkring udviklingen på akiemarkede. Endelig har Leau og Ludvigsons (00a) forbrug-formue raio opnåe opmærksomhed for dens særke evne il a forudsige udviklingen på akiemarkede ( cay ). Derfor ønsker vi også a inddrage cay som insrumenvariabel. cay måles som afvigelser fra den fælles langsigede rend mellem forbrug, akivbeholdning og arbejdsindkoms og kræver esimaion i modsæning il de andre insrumenvariable. Vi indleder med a esimere cay, hvorefer vi undersøger forudsigelsesevnen af de udvalge insrumenvariable RREL, TERM, KFXEX og cay Forbrug-formue raio Appendiks I viser, hvordan Leau og Ludvigson (00a) under en række anagelser udleder følgende udryk for logarimen il forbrug-formue raioen (små bogsaver angiver, a logarimen er age il variablen): {, +, + + } ( ) c ωa ( ω) y = E ρ i ωr + ( ω) r c + ω z, (5..) w a i h i i i= hvor c, a og y er den repræsenaive invesors forbrug, akivbeholdning og indkoms. ω er den gennemsnilige andel af akivbeholdningen i forhold il formuen, der defineres som summen akivbeholdningen og human capial. r a og h, i er afkase på henholdsvis akivbeholdningen og human capial. For flere dealjer henvises il appendiks I., + r + 78

86 Vensresiden af ligning (5..) indeholder variable, som ypisk er ikke-saionære, i form af forbrug, akivbeholdning og arbejdsindkoms, mens højresiden af ligning (5..) indeholder variable, som alle er anage saionære. Derfor må forbrug, akivbeholdning og indkoms være koinegrerede, jf. Leau og Ludvigson (00a). De beyder, a de re variable har en fælles langsige rend, og de er neop afvigelsen fra denne rend: ( ω) c ωa y, (5..) som Leau og Ludvigson (00a) anvender il forudsigelse af akieafkas. Denne rendafvigelse benævnes cay. En posiiv cay svarer il, a forbrug-formue raioen er over den langsigede rend. For a genopree ligevægssammenhængen må forbruge falde eller formuen sige. De ses i ligning (5..) ved, a en posiiv cay er ensbeydende med en forvenning om e fald i forbrugsvæksen eller human capial c + i eller en signing i afkase på enen akivbeholdningen r a, + i r h + i,. Med en lav volailie i forbrugsvæksen sam en lav volailie i afkase på human capial, er de bevægelser i akivbeholdningen, der bringer forbrug-formue raioen ilbage i ligevæg. I så fald indikerer en posiiv cay en lav værdiansæelse af akivbeholdningen i dag sam høje forvenede akivafkas. Den lave værdiansæelse af akivbeholdningen er udryk for, a invesor har en høj risikoaversion og kræver en høj risikopræmie for a invesere i akier. De kan sammenholdes med Campbell-Cochrane modellen, hvor en lav overskudsforbrugsraio medfører en høj risikoaversion hos invesor Esimaion af forbrug-formue raio For a anvende cay il forudsigelse af akivafkas skal paramerene il rendafvigelsen i (5..) esimeres. I esimaionen af cay ager Leau og Ludvigson (00a) højde for, a forbrug af ikke-varige varer og jeneser anvendes som mål for de oale for- 79

87 brug. Således anager Leau og Ludvigson (00a), a de oale forbrug c er give ved: c = λc, n, hvor c n, er forbruge af ikke-varige varer og jeneser og λ >. Dermed kan rendafvigelsen i (5..) omskrives il: c β a β y, (5..3) n, a y hvor β = ( λ) ω og β ( λ)( ω) a Summen af β a og y = er paramerene i koinegraionsrelaionen. β y er λ. I de følgende vises, hvordan β a og fra vores danske daasæ, hvormed cay = cn, βaa β yy kan fassæes. β y esimeres ud En fundamenal anagelse i Leau og Ludvigsons (00a) cay er, a forbrug n, c, akivbeholdning a og arbejdsindkoms y er koinegrerede. Koinegraion forudsæer dels, a de re variable hver især indeholder en enhedsrod og dels, a der er en lineær kombinaion af variablene, som er saionær. I appendiks J vises plos af de re variable, som alle ser ud il a være ikke-saionære. For a undersøge om variablene indeholder en enhedsrod, anvendes augumened Dickey-Fuller (979) ess. Tabel 5.3 viser Dickey-Fuller saisikker for de re variable sam kriiske værdier på % og 5% signifikansniveau. Plos af de re variable i appendiks J indikerer, a alle re variable indeholder en posiiv rend. Derfor konrolleres der for en rend i ADF-esene, ligesom der medages mellem og 4 lags for a rense for auokorrelaion. 80

88 Tabel 5.3. ADF-es for enhedsrod Kriisk værdi Dickey-Fuller saisik Lags % 5% c n, a y -4, -3,48 -,50 -,07-3,97-4, -3,48 -,5-3,96-3,3 3-4, -3,48 -,9-3,76-3,0 4-4, -3,48 -,07-3,07 -,55 c n, er forbrug, a er akivbeholdning, og y er arbejdsindkoms. ADF-esene indeholder konsan og rend sam mellem og 4 lags. I abel 5.3 ses, a nulhypoesen om en enhedsrod i forbruge ikke kan forkases på e 5% signifikansniveau. For akivbeholdning og arbejdsindkoms kan vi i samlige ilfælde ikke forkase nulhypoesen om en enhedsrod på e % signifikansniveau. Dermed er der grundlag for en koinegraionsrelaion mellem de re variable. For a undersøge analle af koinegraionsrelaioner anvendes Johansens (988, 99) Trace es og L-Max es. Begge ager udgangspunk i en vekor auoregressiv (VAR) model med k variable og p lags. Nulhypoesen i såvel Trace ese som L-Max ese er, a der er r koinegraionsrelaioner mellem de k variable. Alernaivhypoesen i Trace ese er, a der er k koinegraionsrelaioner, mens alernaivhypoesen i L-Max ese er, a der er r + koinegraionsrelaioner. Tabel 5.4 viser kriiske værdier for e 5% signifikansniveau og essaisikker med il 4 lags. Ud fra Trace ese ses, a der er én koinegraionsrelaion mellem forbrug c n,, akivbeholdning a og arbejdsindkoms y med undagelse af en VAR model med 4 lags. L-Max ese søer ligeledes konklusionen om én koinegraionsrelaion mellem c n,, a og y. For VAR modeller med og 4 lags viser L-Max ese dog, a der ikke er nogen koinegraionsrelaion mellem variablene. 8

89 Tabel 5.4. Johansens koinegraionses Trace L-Max H o = r Tessaisik Kriisk værdi Tessaisik Kriisk værdi r = I koinegraionsrelaionen er en konsan inkludere, mens der i daa ages højde for en lineær rend. Trace og L-Max ese er med udgangspunk i en VAR(p) model med forbrug c n,, akivbeholdning a og arbejdsindkoms y som variable. Nulhypoesen i Trace og L-Max ese er, a der er r koinegraionsrelaioner mellem variablene c n, Panel A: VAR() model 3,0 9,68 7,6 0,97 0 3,84 5,4,33 4,07,50 3,76,50 3,76 Panel B: VAR() model 45,6 9,68 3,40 0,97 0 4, 5,4, 4,07,99 3,76,99 3,76 Panel C: VAR(3) model 39, 9,68 6,6 0,97 0,49 5,4 9,50 4,07,99 3,76,99 3,76 Panel D: VAR(4) model 7,99 9,68 8,83 0,97 0 9,5 5,4 8,6 4,07 0,89 3,76 0,89 3,76, a og y. Alernaivhypoesen i Trace ese er, a der k koinegraionsrelaioner, hvor k er analle af variable. Alernaivhypoesen i L-Max ese er, a der er r + koinegraionsrelaioner. Kriisk værdi er for e 5% signifikansniveau. Da Johansens koinegraionses undersøer én koinegraionsrelaion, kan den koinegrerede vekor esimeres ved OLS, jf. Engle og Granger (987). Hvis der er flere koinegraionsrelaioner, er OLS derimod ikke velegne. Selvom der er flere koinegraionsrelaioner kan OLS kun esimere én koinegrere vekor. Denne koinegrerede vekor er ikke enydig, ide den er en lineær kombinaion af alle eksiserende koinegrerede vekorer. 8

90 Fordelen ved a anvende OLS il a esimere de koinegrerede paramere er, a parameeresimaerne er superkonsisene. Selvom fejlledene er korrelerede med de forklarende variable, er de koinegrerede paramere konsisene. Årsagen er, a de esimerede koinegrerede paramere konvergerer mod populaionens paramere med en hasighed T frem for almindeligvis T, jf. Sock (987). I sede for a anvende OLS il a esimere de koinegrerede paramere anvender Leau og Ludvigson (00a) Dynamic Leas Squares (DLS) af Sock og Wason (993). Den enese forskel på DLS og OLS er, a DLS inddrager lags og leads af ændringer i de forklarende variable for a fjerne endogeniesproblemer. DLS-regressionsligningen har følgende udryk: l c = k+ β a + β y + b a + b y + ε n, a y a, i i y, i i i= l i= l l, hvor k er en konsan, angiver førsedifferenceoperaoren, og l er analle af leads og lags. Vi følger Leau og Ludvigson (00a) ved a anvende DLS il a esimere de koinegrerede paramere. På baggrund af Schwarz krierie anvender vi é lead og é lag af akivbeholdningen og indkomsen og esimerer følgende koefficienesimaer: c = 0,07+ 0,449 a + 0,36 y. (5..4) n, ( 0,5) ( 6,85) (,656) I parenes under koefficienesimaerne angives saisik korrigere med Newey- Wes (987) sandardafvigelser. Koefficienesimaerne for a og y er signifikane på e % signifikansniveau, mens konsanen ikke er signifikan. Koefficienesimaerne for leads og lags er ikke vis i (5..4). Koefficienesimaerne il a og y er begge posiive, men i modsæning il Leau og Ludvigson (00a) er koefficienesimae for a højere end for y. Summen af ˆa β og ˆy β er 0,775, hvilke svarer il, a λ er,950. Dermed fassæes andelen af akivbeholdningen i forhold il formuen ω il 83

91 0,579, og andelen af human capial fassæes il 0,4. 8 Til sammenligning finder Leau og Ludvigson (00a) en ω på æ på en redjedel. De bemærkes, a λ > er i overenssemmelse med, a de oale forbrug er sørre end forbruge af ikke-varige varer og jeneser. Ud fra koefficienesimaerne i (5..4) er den esimerede cay : cay = cn, 0, 07 0, 449a 0,36y. (5..5) Johansens meode kan også anvendes il a esimere cay. Meoden har den fordel, a den kan esimere flere koinegrerede vekorer. Da vi kun idenificerer én koinegraionsrelaion, er dee ikke e argumen for a anvende Johansens meode. I sede anvendes Johansens meode for a sammenligne med den ud fra DLS esimerede cay i (5..5). Vi finder, a parameeresimaerne ved Johansens meode afviger fra DLSregressionen. De esimerede paramere ved Johansens meode har ikke en økonomisk forolkning, da koefficienesimaerne for a og y har forskellige foregn. I Leau og Ludvigsons (00a) cay skal foregnene for paramerene være posiive, ellers fås urealisiske værdier for andelen af akivbeholdning og human capial. Der er o forklaringer på, a de koinegrerede parameeresimaer i DLS-regressionen og Johansens meode afviger. For de førse kan der være e normaliseringsproblem i forbindelse med DLS-regressionen. For a uddybe dee problem defineres o variable z og x. Normaliseringsprobleme besår i, a parameeresimaerne ikke er enydige, ide de afhænger af, om z regresseres på x eller x på z. Foreages en DLSregression med a som afhængig variabel i sede for c, får vi, a foregnene af parameeresimaerne er ilsvarende Johansens meode. En anden forklaring på afvigelsen i parameeresimaerne er, a de esimerede koinegrerede paramere ved Johansens meode er inkonsisene. Meoden bygger på en maximum likelihood esimaion, hvor fejlledene anages normalfordele. Da residua- 8 Da βa ( λ) ω ( 0,579) = 0,4. = = =, og ( ω) =, kan ω findes som ω β λ 0,449,90 0,579 a kan findes som 84

92 lerne i vores ilfælde ikke er normalfordele, er de esimerede paramere ikke konsisene, hvilke kan forklare de økonomisk uplausible parameeresimaer. I den videre analyse anvender vi den esimerede denne cay har en økonomisk forolkning. cay i (5..5). Begrundelsen er, a Forecas af akieafkas For a idenificere hensigsmæssige insrumenvariable undersøges forskellige populære insrumenvariables evne il a forudsige afkase på de danske akiemarked mål ud fra Beler, Engsed og Tanggaards (005) dividende-juserede KFX-indeks. Tabel 5.5 viser esimaer af OLS-regressioner af k periodeakieafkase på en konsan og forskellige insrumenvariable: r = β + β X + e. k 0 k r k = r + + r r + k er k periode log-akieafkase, hvor k angiver forecashorisonen i kvaraler. X udrykker de enkele insrumenvariable, som er henholdsvis cay, RREL, TERM og KFXEX. e er fejllede. Som følge af overlappende observaioner er der auokorrelaion i fejlledde. Berages en regression med de halvårlige akieafkas, de vil sige k =, er fejllede på idspunk lig: k r + r β β X, mens fejllede på idspunk + er lig: r + r β β X Akieafkase på idspunk +, r, indgår i begge fejlled, og der opsår auokorrelaion. For a undgå bias anvendes derfor Newey-Wes (987) sandardafvigelser, som 85

93 er robuse over for heeroskedasicie og auokorrelaion. Med en lang forecashorison k i forhold il sikprøvens længde kan korrekionen dog være upålidelig, jf. Richardson og Sock (989) sam Engsed (999). Sikprøven er fra 985: il 00:4 og dækker ca. 6 år, hvilke reel kun medfører 4 uafhængige observaioner ved anvendelse af de 4-årige akieafkas. I abel 5.5 inddrages regressioner med de 4-årige akieafkas, og der ages forbehold for resulaerne. Tabel 5.5. OLS-regressioner af fler-periode akieafkase på insrumenvariable Forecashorison k cay 0,00 (0,00) [0,00] 0,6 (0,4) [0,00] 0,7 (0,7) [0,00] 0,98 (0,3) [0,00] 5,58 (,48) [0,07] 6,38** (,40) [0,07] 0,77** (3,65) [0,9] RREL 0,54 (0,) [0,00] 0,45 (0,0) [0,00] -0,67 (-0,07) [0,00],0 (0,0) [0,00] 3,49 (0,5) [0,00] -0,89 (-0,57) [0,0] -5,7 (-,44) [0,05] TERM,0 (0,79) [0,0] 5,58 (0,76) [0,03] 9,50 (0,88) [0,06],60 (0,9) [0,06],75* (,90) [0,7] 9,4* (,84) [0,4] 7,68 (0,95) [0,08] KFXEX 0,000* (,7) [0,03] 0,00** (,0) [0,06] 0,00 (,5) [0,07] 0,00 (,05) [0,04] 0,00 (0,46) [0,00] 0,00** (3,9) [0,04] 0,00** (3,) [0,04] Tabellen viser esimaer fra OLS regressioner af k periode log-akieafkas på en konsan og forskellige insrumenvariable. k periode log-akieafkas defineres som r k = r + + r r + k, hvor k angiver forecashorisonen i kvaraler. Insrumenvariablene er henholdsvis den esimerede forbrugformue raio cay, den risikofrie rene frarukke dens gennemsni over de sidse 4 kvaraler RREL, renespænde mellem den effekive rene på 0-årige sasobligaioner og 3-måneders skakammerbeviser TERM og risikopræmien over den risikofrie rene KFXEX. Under koefficienesimaerne på insrumenvariablene angives Newey-Wes (987) korrigerede saisikker i parenes og forklaringsgrader i klammer. Signifikane koefficienesimaer på e 5 og 0% signifikansniveau angives med henholdsvis ** og *. Tabellen viser, a cay kan forudsige akieafkase på lang sig, men i modsæning il i USA ikke kan forudsige akieafkase på kor sig. Både koefficienesima, saisik og forklaringsgrad siger med forecashorisonen. På 3-4 års sig har cay en signifikan sammenhæng med akieafkase. Den særkese sammenhæng er på 4 86

94 års sig, hvor cay forklarer 9% af variaionen i akieafkase. Foregne på posiiv og i overenssemmelse med, a en posiiv en posiiv udvikling på akiemarkede. cay er cay medfører en forvenning om Der kan gives flere forklaringer på, hvorfor sammenhængen mellem cay og akiemarkede ikke er lige så særk i Danmark som i USA. For de førse er der en lavere kapialisering af akiemarkede i forhold il BNP i Danmark. Ifølge Verdensbanken var markedsværdien af akiemarkede i ,3% af BNP i USA mod 60,4% i Danmark. 9 De indikerer, a forbrugernes formue i mindre udsrækning udgøres af akier i Danmark i forhold il USA. For de ande er ejerskabe i USA spred bland små invesorer, mens ejerskabe i Danmark i højere grad udgøres af insiuionelle invesorer, jf. eksempelvis La Pora, Lopez-De-Silanes og Shleifer (999). Disse o forhold reducerer sammenhængen mellem bevægelser i forbrug-formue raioen og akiemarkede i Danmark. Campbell (99), Hodrick (99) og Leau og Ludvigson (00a) viser, a RREL har forecasevner på de amerikanske akiemarked. På de danske akiemarked er de ikke ilfælde. Uafhængig af forecashorisonen er forklaringsgraden æ på 0, og der er ingen signifikane koefficiener. Fama og French (989) dokumenerer, a TERM indeholder informaion om den fremidige udvikling på akiemarkede. De gælder også på de danske akiemarked. TERM forklarer - med signifikane koefficiener - 7% af variaionen i de -årige akieafkas og 4% af variaionen i de 3-årige akieafkas. De posiive koefficiener er i overenssemmelse med Fama og French (989). Den posiive sammenhæng mellem renespænde og de forvenede akieafkas forolker Fama og French (989) som udryk for, a akier ligesom lange obligaioner giver en præmie for renerisiko. For både cay og TERM siger koefficien, saisik og forklaringsgrad med forecashorisonen. Forklaringen skyldes, a begge insrumenvariable er persisene, hvormed forudsigeligheden siger over id, jf. Cochrane (00). 9 Daa er hene fra Verdensbankens publikaion: World Developmen Indicaors

95 KFXEX har som den enese insrumenvariabel en signifikan sammenhæng med akiemarkede på kor sig. Insrumenvariablen har signifikane koefficiener ved kvarårlige, halvårlige, 3-årige og 4-årige regressioner. Forklaringsgraderne er dog relaiv beskedne mellem 3% og 6%. Ideel se skal insrumenvariablene forudsige de kvarårlige akieafkas. De udvalge insrumenvariable kan dog ikke med samme succes som i USA forudsige akieafkase i Danmark. a age udgangspunk i KFXEX. Vi anvender 6 sæ af insrumenvariable i form af RREL har ingen sammenhæng med akiemarkede, og vi vælger kun cay, cay, TERM og TERM og KFXEX hver for sig sam de parvise kombinaioner. I alle 6 sæ indgår en konsan. Vi følger dermed Hodrick og Zhang (00) og Cochrane (005), som fremhæver, a analle af insrumenvariable skal være begrænse. Ifølge Hodrick og Zhang (00) kan mange insrumenvariable medføre upålidelige esimaer, og de anvender derfor kun én insrumenvariabel ad gangen. 5.. Sandardmodellen Tabel 5.6 viser resulaerne af den simulane GMM esimaion af eulerligningerne for akieafkase i (..5) og risikopræmien i sandardmodellen i (..7). Akieafkase fassæes ud fra Beler, Engsed og Tanggaards (005) dividende-juserede KFXindeks. Risikopræmien fassæes som akieafkase frarukke den risikofrie rene, som besemmes ud fra den effekive rene på 3 måneders skakammerbeviser. Som vægningsmarice anvendes såvel ideniesmaricen som den opimale vægningsmarice. Vores sæ af insrumenvariable udgøres af cay og TERM enkelvis sam parvise kombinaioner af cay, TERM og KFXEX. Alle insrumenvariable er lagge én periode, og i alle sæ af insrumenvariable indgår en konsan. Vi viser ikke resulaer med KFXEX som insrumenvariabel alene, fordi GMM syseme har svær ved a finde parameeresimaer, som minimerer prisfejlene, og der opsår ikke konvergens 88

96 inden for 50 ieraioner. 30 For GMM kørslerne med én insrumenvariabel sammen med en konsan er der fire momenbeingelser, mens der for de parvise sæ af insrumenvariable er seks momenbeingelser. Da vi esimerer o paramere, er der i begge ilfælde en overidenificere model. I abel 5.6 ses, a esimae for den subjekive diskoneringsfakor δ i samlige ilfælde er under og signifikan forskellig fra 0 på e 5% signifikansniveau. E esima for δ under er konsisen med, a forbrugeren ønsker a forbruge nu frem for i fremiden. Esimae for risikoaversionen γ er derimod generel insignifikan sam svingende med både posiiv og negaiv foregn. Der er ingen robushed over for valg af insrumenvariable og vægningsmarice. Da de generel ikke kan afvises, a γ er signifikan forskellig fra 0, svarer de il, a invesor er risikoneural. I o ilfælde er den esimerede γ signifikan på e 0% signifikansniveau. Esimaerne har dog henholdsvis negaiv og posiiv foregn. I panel B fremgår, a med den opimale vægningsmarice og TERM som insrumenvariabel esimeres en γ på -,90, og esimae er signifikan forskellig fra 0 på e 0% signifikansniveau. En negaiv γ opfaes dog som urealisisk, fordi de medfører en risikovillig invesor. Derimod ses i panel A, a med ideniesmaricen sam cay og TERM som insrumenvariable opnås e realisisk esima for γ på,400, som også er signifikan på e 0% signifikansniveau. En γ på,400 er plausibel og kan olkes som en lav risikoaversion i Danmark sammenligne med USA. Forklaringen bag en lav γ i sandardmodellen er, a risikopræmien for akier er lav i Danmark sammenligne med USA. Imidlerid skal vi være forsigige med a forolke sørrelse og foregn af de esimerede værdier for γ. Vi savner robushed over for valg af insrumenvariable og vægningsmarice, ligesom sandardafvigelserne af esimaerne for γ generel er høje sammenligne med sandardafvigelserne af esimaerne for δ. Der er således beydelig usikkerhed omkring esimaerne for γ. 30 Den manglende konvergens med KFXEX som insrumenvariabel alene beyder ikke, a vi ser bor fra KFXEX som insrumenvariabel i de parvise kombinaioner. GMM esimaionen af sandardmodellen giver svingende og insignifikane esimaer af γ med både posiive og negaive foregn. Der er dermed generel sor usikkerhed forbunde med GMM esimaionen af sandardmodellen, hvilke den manglende konvergens med KFXEX som insrumenvariabel alene kan være e udslag af. 89

97 En subjekiv diskoneringsfakor under kombinere med svingende og insignifikane esimaer af risikoaversionen er ilsvarende idligere danske undersøgelse af sandardmodellen, jf. Lund og Engsed (996) sam Engsed og Tanggaard (999). Tabel 5.6. GMM esimaion af sandardmodellen cay TERM cay, TERM KFXEX Panel A: Ideniesmarice cay, TERM, KFXEX δ 0,9797** (0,009) 0,994** (0,09) 0,989** (0,007) 0,98** (0,0030) 0,990** (0,0098) γ 0,078 (0,648) 6,599 (5,9736),400* (0,8463),804 (0,766) 5,5856 (4,8467) Panel B: Opimal vægningsmarice δ 0,9873** (0,00) 0,9833** (0,0040) 0,9909** (0,004) 0,9868** (0,000) 0,9907** (0,003) γ -0,4449 (0,483) -,950* (,30) 0,038 (0,488) -0,468 (0,47) 0,376 (0,458) Ved en simulan GMM esimaion af eulerligningerne for akieafkase og risikopræmien esimeres paramerene for den subjekive diskoneringsfakor δ og den relaive risikoaversion γ. Resulaer med ideniesmaricen vises i panel A, og resulaer med den opimale vægningsmarice vises i panel B. Som insrumenvariable anvendes den esimerede forbrug-formue raio effekive rene på 0-årige sasobligaioner og 3 måneders skakammerbeviser cay, renespænde mellem den TERM og risikopræmien over den risikofrie rene KFXEX. Alle insrumenvariable er lagge én periode. I parenes under esimaerne for δ og γ er Newey-Wes (987) sandardafvigelser. ** og * angiver signifikans på henholdsvis e 5% og 0% signifikansniveau. Ved a anvende den opimale vægningsmarice fås efficiene esimaer. Berages sandardafvigelserne af de esimerede paramere δ og γ, ser vi for samme sæ af insrumenvariable, a disse i samlige ilfælde er lavere, når den opimale vægningsmarice anvendes frem for ideniesmaricen. Samidig giver den opimale vægningsmarice generel lavere esimaer for γ end ideniesmaricen. En sandsynlig forklaring er, a momenbeingelserne for eulerligningerne med henholdsvis akieafkas og risikopræmie kræver forskellige værdier for γ. Hvis momenbeingelserne for den eulerligning, som kræver den lavese γ, måles mes præcis, vil esimaion med opimal vægningsmarice give en lavere γ end ideniesmaricen. Med ideniesma- 90

98 ricen undgås, a esimaerne hovedsaglig forsøger a minimere momenbeingelserne for den ene eulerligning. Ideniesmaricen illægger alle momenbeingelser lige mege væg i esimaionen og minimerer summen af de kvadrerede prisfejl Campbell-Cochrane modellen Tabel 5.7 viser resulaerne af GMM esimaionen af Campbell-Cochrane modellen, hvor ligning (3..) il (3..5) esimeres simulan. De esimerede paramere er: den subjekive diskoneringsfakor δ, som indgår i eulerligningen for akieafkas i (3..). nyekurveparameeren γ, som indgår i eulerligningerne for akieafkas i (3..) og risikopræmie i (3..) sam i s processen i (3..4). konsanen α, som indgår i AR() modellen for pris-dividende raioen i (3..3). persisensparameeren φ, som indgår i AR() modellen for pris-dividende raioen i (3..3) og i s processen i (3..4). forvene forbrugsvæks g, som indgår i random walk modellen for forbrug i (3..5) og i s processen i (3..4). I abel 5.7 anvendes é lag af TERM sammen med en konsan som insrumenvariabel il eulerligningerne for akieafkase og risikopræmien. Som insrumenvariable il s processen anvendes e og o lags af s processen sammen med en konsan. Som insrumenvariabel il AR() modellen for pris-dividende raioen anvendes é lag af pris-dividende raioen sammen med en konsan. I random walk modellen for forbrug indgår ikke insrumenvariable, men en konsan. Da såvel AR() modellen for prisdividende raioen som random walk modellen for forbruge er lineær og præcis idenificere, esimeres disse o relaioner indireke som en OLS-regression. I GMM esimaionen af Campbell-Cochrane modellen er der i al i momenbeingelser og med fem esimerede paramere, er der fem overidenificerede resrikioner. 9

99 Den iniiale s proces genereres som beskreve i afsni 3..3 og 4.. De vil sige, a den iniiale s proces fassæes ud fra den kalibrerede γ på 0,7680, mens paramerene φ og g esimeres iniial ved separae OLS-regressioner af henholdsvis AR() modellen for pris-dividende raioen og random walk modellen for forbrug. Esimae for φ er 0,784, jf. OLS-regressionen i (4..), og esimae for g er 0,005, jf. OLSregressionen i (4..). På baggrund af esimae for g findes forbrugssødene som log-forbrugsvæksen c + frarukke g, jf. (4..3). Som beskreve i afsni 3..3 iereres over γ. Ud fra den esimerede γ i GMM esimaionen fassæes en ny s proces, som er grundlag for en ny esimaion. De er kun γ, der ændres, mens forbrugssødene og de øvrige paramere, som er nødvendige for a generere s processen, holdes fas. Vores besluningskrierium er a finde frem il den model med den lavese værdi af krieriefunkionen i (3..5). Dermed opnås den bedse model med de mindse prisfejl. For a foreage e sådan besluningskrierium anvendes ideniesmaricen som fas vægningsmarice. I abel 5.7 ses, a den lavese værdi af krieriefunkionen er i sep 7 på 0,08. I sep 7 er den esimerede γ på 0,597 og signifikan forskellig fra 0. Risikoaversionen i Campbell-Cochrane modellen er γ / S, som evalueres nærmere i afsni Den subjekive diskoneringsfakor δ er lig 0,9749 i sep 7 og er ligeledes signifikan forskellig fra 0. For alle seps er esimae for δ relaiv sabil omkring 0,9750 og signifikan. E esima for δ under er i overenssemmelse med, a invesor forerækker a forbruge i dag frem for i fremiden. I sep 7 er esimaerne for α, φ og g også signifikane og æ på deres værdier fra de separae kørsler, som vises i sep 0. 9

100 Tabel 5.7. GMM esimaion af Campbell-Cochrane modellen med TERM som insrumenvariabel og en iniial s proces generere på baggrund af en γ på 0,7680 Sep δ γ α φ g g ( θ) Ig ( θ) 0-0,7680 0,9055 0,784 0,005-0,978 (0,0097) 0,9765 (0,0069) 4 0,9753 (0,0098) 6 0,9749 (0,0099) 7 0,9749 (0,0099) 8 0,9749 (0,0099) 0 0,9749 (0,0099) 0,9749 (0,0099) 4 0,9749 (0,0099) 0,5939 (0,059) 0,858 (0,557) 0,606 (0,007) 0,598 (0,000) 0,597 (0,0000) 0,597 (0,0000) 0,597 (0,0000) 0,597 (0,0000) 0,597 (0,0000) 0,8379 (0,3) 0,79 (0,333) 0,9097 (0,086) 0,9058 (0,079) 0,9054 (0,079) 0,9055 (0,079) 0,9055 (0,079) 0,9055 (0,079) 0,9055 (0,079) 0,800 (0,074) 0,857 (0,034) 0,783 (0,0005) 0,784 (0,0000) 0,784 (0,0000) 0,784 (0,0000) 0,784 (0,0000) 0,784 (0,0000) 0,784 (0,0000) 0,00 (0,0003) 0,007 (0,0004) 0,005 (0,0000) 0,005 (0,0000) 0,005 (0,0000) 0,005 (0,0000) 0,005 (0,0000) 0,005 (0,0000) 0,005 (0,0000) T T 0,98-0,44-0,6-0,5-0,08-0,0-0,4-0,5-0,5 - Ved en simulan GMM esimaion af eulerligningerne for akieafkas og risikopræmie, AR() modellen for pris-dividende raioen, s processen og random walk modellen for forbrug esimeres den subjekive diskoneringsfakor δ, nyekurveparameeren γ, konsanen α, persisensparameeren φ sam den forvenede forbrugsvæks g. Den iniiale s proces genereres på baggrund af den kalibrerede γ på 0,7680. Som insrumenvariabel il eulerligningerne for akieafkas og risikopræmien anvendes é lag af renespænde mellem den effekive rene af 0-årige sasobligaioner og 3-måneders skakammerbeviser TERM sammen med en konsan. Som insrumenvariabel il AR() modellen for pris-dividende raioen anvendes é lag af pris-dividende raioen sammen med en konsan. Som insrumenvariable il s processen anvendes e og o lags af s processen sammen med en konsan. I random walk modellen for forbrug indgår ikke insrumenvariable, men en konsan. I parenes under esimaerne er Newey-Wes (987) korrigerede sandardafvigelser. Ideniesmaricen anvendes som vægningsmarice, og ( ) ( ) g θ Ig θ udrykker værdien af krieriefunkionen. T T De fremgår af abellen, a parameeresimaerne før sep 7 generel er svingende, mens esimaerne er sabile efer sep 7. I sep og afviger esimaerne for α, φ og g mes fra deres separae værdier i sep 0. Forklaringen er, a i sep og afviger den 93

101 esimerede γ beydelig fra den iniiale γ, som genererer s processen. I sep er den esimerede γ på 0,5939 mod en iniial γ på 0,7680. Esimeres paramerene i s processen uafhængig af eulerligningerne, fås de parameerværdier, der er grundlage for s processen. Imidlerid esimeres eulerligningerne simulan med s processen. I sep er esimaionen af γ splie i forhold il a opfylde både eulerligningerne og s processen. E esima for γ på 0,5939 i sep er e udryk for, a γ skal være lavere end den iniiale γ på 0,7680 for a minimere prisfejlene for eulerligningerne. Splielsen af γ beyder, a esimaerne for φ og g afviger fra deres separae værdier for a minimere prisfejlene for s processen. Jo mere den esimerede γ afviger fra den iniiale γ, som genererer s processen, jo mere vil esimaerne for α, φ og g afvige fra deres separae værdier. Når eulerligningerne ikke vinger γ væk fra den iniiale værdi af γ, esimeres de separae værdier af α, φ og g. I abel 5.7 ses denne sammenhæng. Fra sep 7 ændrer parameeresimaerne sig ikke, ligesom værdien af krieriefunkionen er ilnærmelsesvis konsan. Ideel se skal den esimerede γ være lig den γ, som genererer s processen. Ellers er de egn på, a den γ, som genererer s processen, er misspecificere. I sep 7 esimeres en γ på 0,597, hvilke er æ på den i sep 6 esimerede γ på 0,598, som ligger il grund for esimaionen af γ i sep 7. I abel 5.7 ses, a sandardafvigelserne af esimaerne for γ, φ og g, som alle indgår i s processen, er højes i de førse seps. Sandardafvigelserne af disse re parameeresimaer reduceres i de eferfølgende seps og falder mod nul. Forklaringen er, a usikkerheden omkring esimaionen af paramerene γ, φ og g falder i ak med, a den esimerede γ nærmer sig den γ, som har generere s processen. Omvend ses i abel 5.7, a sandardafvigelserne af esimaerne for α og δ, som ikke indgår i s processen, er på e konsan niveau. 94

102 Tabel 5.8. GMM esimaion af Campbell-Cochrane modellen med TERM som insrumenvariabel og en iniial s proces generere på baggrund af en γ på Sep δ γ α φ g g ( θ) Ig ( θ) 0 -,0000 0,9055 0,784 0,005-0,9664 (0,0084) 4 0,9747 (0,0099) 7 0,9749 (0,0099) 8 0,9749 (0,0099) 9 0,9749 (0,0099) 0,9749 (0,0099) 6 0,9749 (0,0099) 0,680 (0,303) 0,587 (0,005) 0,597 (0,0000) 0,597 (0,0000) 0,597 (0,0000) 0,597 (0,0000) 0,597 (0,0000) 0,7066 (0,049) 0,8998 (0,073) 0,9056 (0,079) 0,9055 (0,079) 0,9055 (0,079) 0,9055 (0,079) 0,9055 (0,079) 0,830 (0,035) 0,7855 (0,0007) 0,784 (0,0000) 0,784 (0,0000) 0,784 (0,0000) 0,784 (0,0000) 0,784 (0,0000) 0,000 (0,0006) 0,005 (0,0000) 0,005 (0,0000) 0,005 (0,0000) 0,005 (0,0000) 0,005 (0,0000) 0,005 (0,0000) T T 0,34-0,05-0,6-0,045-0, - 0,5-0,5 - Ved en simulan GMM esimaion af eulerligningerne for akieafkas og risikopræmie, AR() modellen for pris-dividende raioen, s processen og random walk modellen for forbrug esimeres den subjekive diskoneringsfakor δ, nyekurveparameeren γ, konsanen α, persisensparameeren φ sam den forvenede forbrugsvæks g. Den iniiale s proces genereres på baggrund af en γ på. Som insrumenvariabel il eulerligningerne for akieafkas og risikopræmien anvendes é lag af renespænde mellem den effekive rene af 0-årige sasobligaioner og 3-måneders skakammerbeviser TERM sammen med en konsan. Som insrumenvariabel il AR() modellen for pris-dividende raioen anvendes é lag af pris-dividende raioen sammen med en konsan. Som insrumenvariable il s processen anvendes e og o lags af s processen sammen med en konsan. I random walk modellen for forbrug indgår ikke insrumenvariable, men en konsan. I parenes under esimaerne er Newey-Wes (987) korrigerede sandardafvigelser. Ideniesmaricen anvendes som vægningsmarice, og T ( ) ( ) g θ Ig θ udrykker værdien af krieriefunkionen. T For a undersøge robusheden over for den iniiale specifikaion af γ på 0,7680 foreages en ny GMM esimaion af Campbell-Cochrane modellen, hvor den iniiale γ arbirær fassæes il, mens de øvrige paramere og forbrugssødene fassæes som idligere. Insrumenvariablene er de samme som idligere, ligesom ideniesmaricen igen anvendes som vægningsmarice i GMM esimaionen. Resulaerne vises i abel 5.8, hvor de ses, a den lavese værdi af krieriefunkionen er i sep 8. I sep 8 i abel 95

103 5.8 er alle parameeresimaer ilsvarende sep 7 i abel 5.7. Esimaerne er således uafhængige af den iniiale værdi af γ, som er grundlage for den iniiale s proces. Ligeledes ses de samme mønsre i abel 5.8 som i abel 5.7. For a undersøge, hvor robuse resulaerne er over for forskellige sæ af insrumenvariable, foreages en ny GMM esimaion med eulerligningerne for akieafkase og risikopræmien i sede for KFXEX som insrumenvariabel il TERM. Vi anvender de samme insrumenvariable il AR() modellen for pris-dividende raioen, s processen og random walk modellen for forbrug som idligere, ligesom ideniesmaricen igen anvendes som vægningsmarice i GMM esimaionen. Den iniiale s proces genereres på baggrund af en iniial værdi for γ på 0,7680. I abel 5.9 ses, a den lavese værdi af krieriefunkionen er i sep 0. Esimae for δ i sep 0 er 0,9593 og signifikan.. Den esimerede γ i sep 0 er,066 og signifikan. I sep 0 er esimaerne for α, φ og g æ på deres separae værdier i sep 0 sam signifikane. Vi ser som idligere, a når der foreages ilsrækkelig mange ieraioner over γ, konvergerer esimaerne, og værdien af krieriefunkionen er konsan. 96

104 Tabel 5.9. GMM esimaion af Campbell-Cochrane modellen med KFXEX som insrumenvariabel og en iniial s proces generere på baggrund af en γ på 0,7680 Sep δ γ α φ g g ( θ) Ig ( θ) 0-0,7680 0,9055 0,784 0,005-0,9639 (0,00) 0 0,9593 (0,004) 0 0,9530 (0,08) 30 0,9488 (0,0097) 40 0,9486 (0,0097) 50 0,9486 (0,0097) 60 0,9486 (0,0097) 70 0,9486 (0,0097) 0,7803 (0,04) 0,8958 (0,0386),066 (0,80),0363 (0,00),0377 (0,0006),0379 (0,0004),0379 (0,0004),0379 (0,0004) 0,9099 (0,085) 0,9094 (0,090) 0,9080 (0,0848) 0,9056 (0,077) 0,9055 (0,078) 0,9055 (0,078) 0,9055 (0,078) 0,9055 (0,078) 0,783 (0,009) 0,7833 (0,0040) 0,7836 (0,00) 0,784 (0,000) 0,784 (0,0000) 0,784 (0,0000) 0,784 (0,0000) 0,784 (0,0000) 0,005 (0,0000) 0,005 (0,000) 0,005 (0,0003) 0,005 (0,0000) 0,005 (0,0000) 0,005 (0,0000) 0,005 (0,0000) 0,005 (0,0000) T T 0,63-0,79-0,03-0,7-0,6-0,6-0,6-0,6 - Ved en simulan GMM esimaion af eulerligningerne for akieafkas og risikopræmie, AR() modellen for pris-dividende raioen, s processen og random walk modellen for forbrug esimeres den subjekive diskoneringsfakor δ, nyekurveparameeren γ, konsanen α, persisensparameeren φ sam den forvenede forbrugsvæks g. Den iniiale s proces genereres på baggrund af den kalibrerede γ på 0,7680. Som insrumenvariabel il eulerligningerne for akieafkas og risikopræmien anvendes é lag af risikopræmien over den risikofrie rene KFXEX sammen med en konsan. Som insrumenvariabel il AR() modellen for pris-dividende raioen anvendes é lag af pris-dividende raioen sammen med en konsan. Som insrumenvariable il s processen anvendes e og o lags af s processen sammen med en konsan. I random walk modellen for forbrug indgår ikke insrumenvariable, men en konsan. I parenes under esimaerne er Newey-Wes (987) korrigerede sandardafvigelser. Ideniesmaricen anvendes som vægningsmarice, og ( ) ( ) g θ Ig θ udrykker værdien af krieriefunkionen. T T Vi har også kør GMM esimaioner med cay som insrumenvariabel il eulerligningerne for akieafkase og risikopræmien, ligesom vi har kør GMM esimaioner med parvise kombinaioner af de re insrumenvariable GMM esimaioner med TERM, KFXEX og cay. I alle cay som insrumenvariabel går γ med analle af seps mod nul og bliver il sids negaiv. Som konsekvens kan syseme ikke esimeres, for- 97

105 di de ikke er mulig a age kvadraroden af e negaiv al i s processen i (3..4). De eferlader en parvis kombinaion af insrumenvariable i form af TERM og KFXEX. Resulaerne vises i appendiks K, hvor de ses, a den lavese værdi af krieriefunkionen opnås i sep 6 med e esima for γ og δ på henholdsvis 0,0978 og 0, Prisfejl I de følgende suppleres GMM esimaionen af sandardmodellen og Campbell- Cochrane modellen med en evaluering af modellernes prisfejl. Prisfejlen beregnes som modellens forvenede afkas fassa ud fra de esimerede paramere frarukke de realiserede afkas. I den undersøge periode 985:-00:4 er de realiserede akieafkas,08% i gennemsni per kvaral, mens den kvarårlige risikopræmie er 0,95% i gennemsni. For sandardmodellen beregnes de forvenede akieafkas ud fra ligning (..6), mens den forvenede risikopræmie beregnes ud fra ligning (..8). For Campbell-Cochrane modellen beregnes de forvenede afkas ud fra ligning (.3.8), mens den forvenede risikopræmie beregnes ud fra ligning (.3.0). Tabel 5.0 giver en oversig over parameeresimaer af δ og γ for sandardmodellen og Campbell-Cochrane modellen for de forskellige sæ af insrumenvariable. De forvenede afkas og den forvenede risikopræmie er beregne ud fra de esimerede paramere for sandardmodellen med ideniesmarice i panel A, sandardmodellen med opimal vægningsmarice i panel B og Campbell-Cochrane modellen i panel C. 98

106 Tabel 5.0. Prisfejl for sandardmodellen med ideniesmarice og opimal vægningsmarice sam Campbell-Cochrane modellen Insrumenvariable δ γ De forvenede afkas Den forvenede risikopræmie Panel A: Sandardmodellen med ideniesmarice cay 0,9797 0,078,08% 0,00% TERM 0,994 6,599,4% 0,06% cay, TERM 0,989,400,% 0,0% cay, KFXEX 0,98,804,% 0,0% TERM, KFXEX 0,990 5,5856,5% 0,05% Panel B: Sandardmodellen med opimal vægningsmarice cay 0,9873-0,4449,7% -0,00% TERM 0,9833 -,950,07% -0,0% cay, TERM 0,9909 0,038 0,93% 0,00% cay, KFXEX 0,9868-0,468,% -0,00% TERM, KFXEX 0,9907 0,376 0,98% 0,00% Panel C: Campbell-Cochrane modellen TERM 0,9749 0,597,09% 0,% KFXEX 0,9530,066,95% 0,58% TERM, KFXEX 0,9797 0,0978,% 0,08% Parameeresimaer af δ og γ for sandardmodellen og Campbell-Cochrane modellen vises for de forskellige sæ af insrumenvariable. De forvenede afkas og den forvenede risikopræmie er beregne ud fra de esimerede paramere for sandardmodellen med ideniesmarice i panel A, sandardmodellen med opimal vægningsmarice i panel B og Campbell-Cochrane modellen i panel C. Insrumenvariablene er henholdsvis den esimerede forbrug-formue raio gennemsni over de sidse 4 kvaraler sasobligaioner og 3-måneders skakammerbeviser KFXEX. cay, den risikofrie rene frarukke dens RREL, renespænde mellem den effekive rene på 0-årige TERM og risikopræmien over den risikofrie rene Tabellen giver e billede af lavere prisfejl for Campbell-Cochrane modellen end sandardmodellen. Både Campbell-Cochrane modellen og sandardmodellen med ideni- 99

107 esmarice rammer de realiserede akieafkas på,08% med høj præcision. Campbell-Cochrane modellen forudsiger akieafkas mellem,95% og,%, mens sandardmodellen med ideniesmaricen forudsiger akieafkas mellem,08% og,5%. Til gengæld forudsiger sandardmodellen med den opimale vægningsmarice akieafkas mellem 0,93% og,%. Uafhængig af vægningsmarice forudsiger sandardmodellen en risikopræmie omkring 0 mod den realiserede risikopræmie på 0,95%. Campbell-Cochrane modellen er bedre il a opfange den realiserede risikopræmie med forudsigelser mellem 0,08% og 0,58%. Figur 5.3. Prisfejl for sandardmodellen med ideniesmarice og opimal vægningsmarice sam Campbell-Cochrane modellen,0% 0,8% 0,6% 0,4% 0,% 0,0% 0,0% 0,5%,0%,5%,0%,5% Ud af. aksen er akieafkase og ud af. aksen er risikopræmien. Den siplede linje angiver de realiserede akieafkas på,08%, mens den fuld oprukne linje angiver den realiserede risikopræmie på 0,95%. Firkanerne udrykker Campbell-Cochrane modellens forudsigelser af akieafkas og risikopræmie for forskellige sæ af insrumenvariable. Tilsvarende udrykker cirklerne og rekanerne henholdsvis forudsigelser for sandardmodellen med ideniesmarice og opimal vægningsmarice for forskellige sæ af insrumenvariable. I figur 5.3 gives e illusraiv billede af modellernes evne il a opfange de realiserede akieafkas og den realiserede risikopræmie. Ud af. aksen er akieafkase, og ud af. aksen er risikopræmien. Den siplede linje angiver de realiserede akieafkas på 00

108 ,08%, mens den fuld oprukne linje angiver den realiserede risikopræmie på 0,95%. Modellernes forudsigelser af akieafkas og risikopræmie er fra abel 5.0. Firkanerne udrykker Campbell-Cochrane modellens forudsigelser af akieafkas og risikopræmie, og ilsvarende udrykker cirklerne og rekanerne henholdsvis forudsigelser af sandardmodellen med ideniesmarice og opimal vægningsmarice. Hvis punkerne ligger på den siplede linje, prisfassæer modellen akieafkase korrek. Ligger punkerne på den fuld oprukne linje, prisfassæer modellen risikopræmien korrek. Hvis modellen prisfassæer både akieafkase og risikopræmien korrek, ligger punkerne i skæringspunke for de o linjer. Figuren illusrerer flere forhold. De fremgår, a prisfejlene er relaiv uafhængige af insrumenvariable, da punkerne ligger i klynger. Samidig ydeliggøres, a Campbell- Cochrane modellen medfører lavere prisfejl end sandardmodellen, ligesom ideniesmaricen for sandardmodellen giver lavere prisfejl end den opimale vægningsmarice. Når GMM esimaionen foreages med ideniesmaricen illægges momenerne for akieafkas og risikopræmie lige mege væg i modsæning il den opimale vægningsmarice, som fokuserer på de momener med den lavese varians. Med ideniesmaricen i GMM esimaionen minimeres summen af de kvadrerede prisfejl. Dermed sikres de, a de esimerede paramere vil give de mindse prisfejl. Figuren giver også e klar billede af, a modellerne har svær ved a opfange den realiserede risikopræmie. Den bedse forudsigelse opnås med Campbell-Cochrane modellen med KFXEX som insrumenvariabel, som forudsiger en risikopræmie på 0,58% mod den realiserede på 0,95% Modelegenskaber Sandardmodellen medfører ikke e equiy premium puzzle på de danske akiemarked. Derfor er spørgsmåle heller ikke, om Campbell-Cochrane modellen løser sandardmodellens manglende evne il a forklare prisfassæelsen på akiemarkede, men derimod om Campbell-Cochrane modellen er bedre il a forklare prisfassæelsen på akiemarkede. GMM esimaionen giver signifikane esimaer for Campbell- 0

109 Cochrane modellen, mens sandardmodellen har insignifikane og svingende esimaer for risikoaversionen. Tilsvarende har Campbell-Cochrane modellen beydelig lavere prisfejl end sandardmodellen. De indikerer som udgangspunk, a Campbell- Cochrane modellen er bedre il a forklare risikopræmien på de danske akiemarked. For a uddybe dee synspunk yderligere gennemgås med udgangspunk i GMM esimaionen cenrale forskelle i modellernes egenskaber. Figur 5.4 viser overskudsforbrugsraioen basere på de esimerede paramere med KFXEX som insrumenvariabel il eulerligningerne for akieafkas og risikopræmie. Den esimerede overskudsforbrugsraio minder om den kalibrerede overskudsforbrugsraio og befinder sig i beydelig grad over seady sae. Figur 5.4 Overskudsforbrugsraioen med KFXEX som insrumenvariabel il eulerligningerne for akieafkas og risikopræmie S Seady sae 0,05 0,04 0,03 0,0 0, Udviklingen i overskudsforbrugsraioen besemmer udviklingen i den idsvarierende risikoaversion, der fassæes som nyekurveparameeren over overskudsforbrugsraioen γ / S. Figur 5.5 illusrerer den idsvarierende og konracykliske risikoaversion i Campbell-Cochrane modellen. Risikoaversionen varierer mellem 3 og 63. Sammenholdes figur 5.4 og 5.5 fremgår, a signinger i overskudsforbrugsraioen afspejler sig i fald i risikoaversionen. E høj forbrug i forhold il habi opfaes som gode ider, og invesor er mindre risikoavers. Risikoaversionen er sørs i perioder med negaive for- 0

110 brugssød, som medfører, a overskudsforbrugsraioen mindskes. Eksempelvis er der o krafige negaive forbrugssød i perioden 988:-988:3 med en ilsvarende krafig signing i risikoaversionen il følge. Figur 5.5. Risikoaversionen i Campbell-Cochrane modellen med KFXEX som insrumenvariabel il eulerligningerne for akieafkas og risikopræmie Campbell-Cochrane modellen giver e billede af en høj idsvarierende risikoaversion i Danmark. De sår i modsæningsforhold il sandardmodellen. For de førse er risikoaversionen konsan i sandardmodellen. For de ande indikerer Hansen og Jagannahan (99) meoden og GMM esimaionen af sandardmodellen, a de ikke er nødvendig med en høj risikoaversion for a forklare prisfassæelsen på de danske akiemarked. Der er dermed ale om afgørende forskelle mellem sandardmodellen og Campbell-Cochrane modellen. På den ene side kan de fremhæves, a en risikoaversion på 63 er eksrem høj. På den anden side kan de fremhæves, a en konsan risikoaversion er usandsynlig. Campbell og Cochrane (999) fremhæver, a de ikke kan afvises, a invesorer kendeegnes ved en høj risikoaversion. I den sammenhæng er en vigig egenskab ved Campbell-Cochrane modellen, a en høj risikoaversion ikke medfører e risk free rae puzzle i modsæning il sandardmodellen. I både sandardmodellen og Campbell-Cochrane modellen besemmer sørrelsen af γ den risikofrie renes følsomhed over for forbrugsvæksen. En høj risikoaversion γ i sandardmodellen forårsager en særk følsomhed i den risikofrie rene over for forbrugsvæksen. De medfører en usandsynlig høj variaion i den risikofrie rene, ligesom den subjekive di- 03

111 skoneringsfakor skal være over for a opnå e realisisk niveau for den risikofrie rene. Den følsomme sammenhæng mellem den risikofrie rene og forbrugsvæksen er ikke il sede i Campbell-Cochrane modellen, hvor en høj risikoaverison γ / S er mulig samidig med, a γ er lav. Med KFXEX som insrumenvariabel il eulerligningerne for akieafkas og risikopræmie esimeres en lav γ på,066, hvilke medfører en høj idsvarierende risikoaversion illusrere i figur 5.5. På rods af den høje risikoaversion fås en lav og plausibel kvarårlig risikofri rene på,37% ud fra den reciprokke middelværdi af den sokasiske diskoneringsfakor. Den idsvarierende og konracykliske risikoaversion i Campbell-Cochrane modellen medfører idsvarierende forvenede afkas. Når forbrug falder mod habi, siger risikoaversion, og de forvenede afkas siger ilsvarende. De vil sige, a Campbell- Cochrane modellen er i overenssemmelse med, a der kan forudsiges høje afkas i bunden af en lavkonjunkur (lav overskudsforbrugsraio) og forudsiges lave afkas på oppen af en højkonjunkur (høj overskudsforbrugsraio). I panel A i abel 5. vises regressioner af fler-periode akieafkase på en konsan og den laggede risikoaversion i Campbell-Cochrane modellen. Risikoaversionen fassæes på baggrund af GMM esimaerne med KFXEX som insrumenvariabel il eulerligningerne for akieafkas og risikopræmie. På kor sig har risikoaversionen en signifikan sammenhæng med akieafkase. Risikoaversionen forudsiger akieafkase med idshorisoner mellem 3 måneder og år. Forklaringsgraderne er mellem 4% og 7%. Koefficienerne er posiive og af de rigige foregn. Med en lav overskudsforbrugsraio og dermed en høj risikoaversion kan der forudsiges høje akieafkas. For a undersøge robusheden af risikoaversionens forudsigelsesevner medages KFXEX som konrolvariabel i panel B. KFXEX er den enese af vores udvalge forecasvariable i abel 5.3, som kan forecase akieafkase på kor sig. De ses, a risikoaversionen på kor sig er en særkere forecasvariabel end medage KFXEX. Ved a KFXEX i regressionen er risikoaversionen forsa signifikan med idshorisoner mellem 3 måneder og år. Derimod er KFXEX kun signifikan med en ids- 04

112 horison på e halv år. Med en kvarårlig idshorison ses i panel B, a forklaringsgraden er 8% og siger il 5% med en halvårlig idshorison. Tabel 5.. OLS-regressioner af fler-periode akieafkase på risikoaversionen i Campbell-Cochrane modellen Forecashorison k Panel A: Risikoaversion γ / S 0,00** (,06) [0,04] 0,005** (,9) [0,07] 0,006** (3,03) [0,07] 0,006** (,46) [0,05] 0,00 (0,49) [0,00] -0,00 (-0,63) [0,00] -0,005 -,0 [0,0] Panel B: Konrolvariabel γ / S 0,003** (,5) KFXEX 0,000 (,50) [0,08] 0,005** (3,8) 0,00** (,7) [0,5] 0,007** (4,07) 0,00 (,69) [0,6] 0,006** (,8) 0,00 (,) [0,09] 0,00 (0,53) 0,00 (0,5) [0,0] -0,00 (-0,57) 0,00** (3,7) [0,05] -0,005 (-0,96) 0,00** (3,) [0,06] Tabellen viser esimaer fra OLS regressioner af k periode log-akieafkas på en konsan og laggede forecasvariable. r k periode log-akieafkas defineres som k = r + r +... r k, hvor k angiver forecashorisonen i kvaraler. Forecasvariablene er é lag af risikoaversionen γ / S i Campbell- Cochrane modellen, og é lag af risikopræmien over den risikofrie rene KFXEX. I panel A anvendes γ / S som forecasvariabel, og i panel B medages KFXEX som konrolvariabel. Under koefficienesimaerne på forecasvariablene angives Newey-Wes (987) korrigerede saisikker i parenes og forklaringsgrader i klammer. Signifikane koefficienesimaer på e 5% signifikansniveau angives med **. Campbell-Cochrane modellen opfanger forudsigelighed i de korsigede afkas på de danske akiemarked, som de populære forecasvariable cay, RREL, TERM og KFXEX ikke formår (se abel 5.3). Denne evne il a forudsige akieafkase må fremhæves som en vigig egenskab i Campbell-Cochrane modellen, som ikke er il sede i sandardmodellen. 05

113 6. Konklusion Vi finder ved en GMM esimaion af sandardmodellen en subjekiv diskoneringsfakor δ under, som er signifikan. En subjekiv diskoneringsfakor under er i overenssemmelse med, a invesor værdsæer forbrug højere i dag end i fremiden. Esimaerne for risikoaversionen γ er generel lave og svingende med både posiive og negaive foregn. Esimae for γ er afhængig af, om den opimale vægningsmarice eller ideniesmaricen anvendes, ligesom der ikke er robushed over for valg af insrumenvariable. En subjekiv diskoneringsfakor under kombinere med svingende og insignifikane esimaer af risikoaversionen er konsisen med idligere danske undersøgelse af sandardmodellen, jf. Lund og Engsed (996) sam Engsed og Tanggaard (999). På baggrund af en GMM esimaion af Campbell-Cochrane modellen esimeres en lav nyekurveparameer γ og en subjekiv diskoneringsfakor under, som begge er signifikane. En lav γ i Campbell-Cochrane modellen er ikke e udryk for en lav risikoaversion, ide risikoaversionen fassæes som γ / S, hvor S er overskudsforbrugsraioen. Ifølge Campbell-Cochrane (999) kan de ikke udelukkes, a invesor kendeegnes ved a have en høj risikoaversion. En cenral egenskab i Campbell-Cochrane modellen er i den sammenhæng, a en høj risikoaversion ikke fører il e risk free rae puzzle. I ilfælde af høj risikoaversion i sandardmodellen opsår en særk følsomhed i den risikofrie rene over for forbrugsvæksen. Som konsekvens skabes høj variaion i den risikofrie rene, som ikke er forenelig med den hisoriske lave variabilie. Samidig skal den subjekive diskoneringsfakor være over for a opnå e realisisk niveau for den risikofrie rene. Den følsomme sammenhæng mellem den risikofrie rene og forbrugsvæksen er ikke il sede i Campbell-Cochrane modellen, hvor en høj risikoaversion er mulig sammen en lav rene. Med KFXEX som insrumenvariabel il eulerligningerne for akieafkas og risikopræmie i Campbell-Cochrane modellen esimeres en lav nyekurveparameer γ på,066, hvilke medfører en høj idsvarierende risikoaversion mellem 3 og 63. På rods af den høje risikoaversion fås en lav og plausibel kvarårlig risikofri rene på,37%. 06

114 En lav nyekurveparameer γ i Campbell-Cochrane modellen undersøes også af meoden i Hansen og Jagannahan (99), når der ages højde for esimaionsusikkerhed. Med en subjekiv diskoneringsfakor på 0,995 kan de ikke på e 5% signifikansniveau afvises, a volailiesgrænsen opfyldes, når γ er 0,05. Tilsvarende kan de ikke afvises, a sandardmodellen opfylder volailiesgrænsen, når γ er. Den lavere γ i Campbell-Cochrane modellen skyldes, a en høj volailie i overskudsforbrugsraioen skaber en høj volailie i den sokasiske diskoneringsfakor. Samle se indikerer Hansen og Jagannahan (99) meoden og GMM esimaionen af sandardmodellen, a risikoaversionen ikke behøver a være høj for a forklare risikopræmien. De er konsisen med idligere danske undersøgelser, jf. Engsed og Tanggaard (999). Selvom sandardmodellen kan forklare risikopræmien uden, a der opsår e equiy premium puzzle, yder de på, a Campbell-Cochrane modellen er bedre il a forklare prisfassæelsen på de danske akiemarked. På baggrund af vores GMM esimaer finder vi, a prisfejlene i Campbell-Cochrane modellen er lavere end i sandardmodellen. Både Campbell-Cochrane modellen og sandardmodellen med ideniesmaricen rammer de hisoriske akieafkas på,08% med høj præcision. Afhængig af insrumenvariable forudsiger Campbell-Cochrane modellen akieafkas mellem,95% og,%, mens sandardmodellen med ideniesmaricen forudsiger akieafkas mellem,08% og,5%. Til gengæld forudsiger sandardmodellen med opimal vægningsmarice akieafkas mellem 0,93% og,%. Uafhængig af vægningsmarice forudsiger sandardmodellen en risikopræmie omkring 0 mod den realiserede risikopræmie på 0,95%. Campbell-Cochrane modellen er derimod bedre il a opfange den realiserede risikopræmie med forudsigelser mellem 0,08% og 0,58%. Vi finder derfor, a Campbell-Cochrane modellen generel er bedre il a forudsige såvel de realiserede akieafkas som den realiserede risikopræmie. I forbindelse med vores GMM esimaion fokuseres på særke insrumenvariable, der i USA viser sig succesfulde i a forklare de kvarårlige akieafkas. Vi finder, a KFXEX, som er risikopræmien på akiemarkede over den risikofrie rene, er den enese variabel, der forudsiger de kvarårlige akieafkas. Ved en OLS-regression af akieafkase på en konsan og den laggede KFXEX esimeres e signifikan koefficienesima, men forklaringsgraden er beskeden på 3%. Forklaringsgraden siger il 07

115 6% på halvårlig sig. Vi finder, a Leau og Ludvigsons (00a) forbrugs-formue raio forudsiger akieafkas på lang sig, men i modsæning il i USA ikke forudsiger akieafkas på kor sig. I modsæning il Leau og Ludvigsons (00a) forbrug-formue raio finder vi, a den idsvarierende og konracykliske risikoaversion i Campbell-Cochrane modellen kan forudsige akieafkase på kor sig. Med en OLS-regression af akieafkase på en konsan og den laggede risikoaversion er koefficienesimae signifikan og forklaringsgraden er 4%. Øges idshorisonen il 6 og 9 måneder, siger forklaringsgraden il 7%, og koefficienesimae er forsa signifikan. Ud fra konrolregressioner finder vi, a risikoaversionen i Campbell-Cochrane modellen også er en særkere forecasvariabel end KFXEX. Campbell-Cochrane modellen kan forudsige akieafkas, fordi den konracykliske risikoaversion opfanger idsvarierende forvenede afkas. Når forbrug falder mod habi, siger risikoaversionen, og de forvenede afkas siger ilsvarende. Omvend falder risikoaversionen, når forbrug siger relaiv il habi. 08

116 Lieraurlise ABEL, A. B. (990): Asse Prices under Habi Formaion and Caching up wih he Joneses, American Economic Review, 84, ABEL, A. B. (999): Risk Premia and Term Premia in General Equilibrium, Journal of Moneary Economics, 43, ALTONJI, J. G., AND L. M. SEGAL (996): Small Sample Bias in GMM Esimaion of Covariance Srucures, Journal of Business and Economic Saisics, 4, BELTER, K, T. ENGSTED, AND C. TANGGAARD (005): A New Daily Dividend- Adjused Index for he Danish Sock Marke, : Consrucion, Saisical Properies, and Reurn Predicabiliy, Research in Inernaional Business and Finance, 9, BENARTZI, S., AND R. THALER (995): Myopic Loss Aversion and he Equiy Premium Puzzle, Quarerly Journal of Economics, 0, BREEDEN, D. T. (979): An Ineremporal Asse Pricing Model wih Sochasic Consumpion and Invesmen Opporuniies, Journal of Financial Economics, 7, BURNSIDE, C. (994): Hansen-Jagannahan Bounds as Classical Tess of Asse Pricing Models, Journal of Business and Economic Saisics,, CAMPBELL, J. Y. (99): A Variance Decomposiion for Sock Reurns, Economic Journal, 0, CAMPBELL, J. Y. (996): Undersanding Risk and Reurn, Journal of Poliical Economy, 04,

117 CAMPBELL, J. Y. (003): Consumpion-Based Asse Pricing, in CONSTANTINIDES, G., M. HARRIS, AND R. STULTZ (eds.), Handbook of he Economics of Finance Vol B, Norh-Holland, Amserdam, CAMPBELL, J. Y., AND J. H. COCHRANE (999): By Force of Habis: A Consumpion-Based Explanaion of Aggregae Sock Marke Behavior, Journal of Poliical Economy, 07, CAMPBELL, J. Y., AND J. H. COCHRANE (000): Explaining he Poor Performance of Consumpion-Based Asse Pricing Models, Journal of Finance, 55, CAMPBELL, J. Y., AND G. MANKIW (989): Consumpion, Income and Ineres Raes: Reinerpreing he Time Series Evidence, in BLANCHARD, O. J., AND S. FISCHER (eds.), NBER Macroeconomics Annual, MIT Press, Cambridge. CAMPBELL, J. Y., A. W. LO, AND A. C. MACKINLAY (997): The Economerics of Financial Markes, Princeon Universiy Press. CHEN, X., AND S. C. LUDVIGSON (004): Land of Addics? An Empirical Invesigaion of Habi-Based Asse Pricing Models, Working Paper, New York Universiy. COCHRANE, J. H. (996): A Cross-Secional Tes of an Invesmen-Based Asse Pricing, Journal of Poliical Economy, 04, COCHRANE, J. H. (997): Where is he Marke Going? Uncerain Facs and Novel Theories, Economic Perspecives, Federal Reserve Bank of Chicago,, COCHRANE, J. H. (00): Asse Pricing, Princeon Universiy Press. COCHRANE, J. H. (005): Financial Markes and he Real Economy, in ROLL, R. (ed.), The Inernaional Library of Criical Wriings in Financial Economics, forhcoming. 0

118 COCHRANE, J. H., AND L. P. HANSEN (99): Asse Pricing Exploraions for Macroeconomics, NBER Macroeconomics Annual, 7, CONSTANTINIDES, G. (990): Habi Formaion: A Resoluion of he Equiy Premium Puzzle, Journal of Poliical Economy, 98, CONSTANTINIDES, G., AND D. DUFFIE (996): Asse Pricing wih Heerogeneous Consumers, Journal of Poliical Economy, 04, CUTHBERTSON, K. (996): Quaniaive Financial Economics: Socks, Bonds and Foreign Exchange, Wiley. DICKEY, D., AND W. FULLER (979): Disribuion of he Esimaors for Auoregressive Time Series wih a Uni Roo, Journal of he American Saisical Associaion, 74, ENGLE, R. F. (98): Auoregressive Condiional Heeroskedasiciy wih Esimaes of he Variance of UK Inflaion, Economerica, 50, ENGLE, R. F., AND C. W. J. GRANGER (987): Coinegraion and Error Correcion: Represenaion, Esimaion, and Tesing, Economerica, 55, ENGSTED, T. (998): Evaluaing he Consumpion-Capial Asse Pricing Model using Hansen-Jagannahan Bounds: Evidence from he UK, Inernaional Journal of Finance and Economics, 3, ENGSTED, T. (999): Commen, in ANDERSEN, T. M., S. E. H. JENSEN, AND O. RISAGER (eds.), Macroeconomic Perspecives on he Danish Economy, MacMillan Press, ENGSTED, T. (00): Afkas og risiko ved akieinveseringer på kor og lang sig: Kommenar og Replik, Naionaløkonomisk Tidsskrif, 39, 3-3.

119 ENGSTED, T. (00): Measures of Fi for Raional Expecaions Models, Journal of Economic Surveys, 6, ENGSTED, T., E. MAMMEN, AND C. TANGGAARD (00): Evaluaing he C-CAPM and he Equiy Premium Puzzle a Shor and Long Horizons: A Markovian Boosrap Approach, Working Paper, Aarhus School of Business. ENGSTED, T., AND C. TANGGAARD (999): Risikopræmien på danske akier, Naionaløkonomisk Tidsskrif, 37, EPSTEIN, L. G., AND S. E. ZIN (989): Subsiuion, Risk Aversion, and he Temporal Behavior of Consumpion and Asse Reurns: A Theoreical Framework, Economerica, 57, EPSTEIN, L. G., AND S. E. ZIN (99): Subsiuion, Risk Aversion, and he Temporal Behavior of Consumpion and Asse Reurns: An Empirical Invesigaion, Journal of Poliical Economy, 99, FAMA, E. F. (970): Efficien Capial Markes: A Review of Theory and Empirical Work, Journal of Finance, 5, FAMA, E. F., AND F. FRENCH (989): Business Condiions and Expeced Reurns on Socks and Bonds, Journal of Financial Economics, 5, GARCIA, R., É. RENAULT, AND A. SEMENOV (005): A Consumpion CAPM wih a Reference Level, Working Paper, York Universiy. GREENE, W. H. (000): Economeric Analysis, Prenice Hall, 4 h Ed. GROSSMAN, S., A. MELINO, AND R. SHILLER (987): Esimaing he Coninuous Time Consumpion Based Asse Pricing Model, Journal of Business and Economic Saisics, 5,

120 HALL, R. (988): Ineremporal Subsiuions in Consumpion, Journal of Poliical Economy, 96, -73. HANSEN, L. P. (98): Large Sample Properies of Generalized Mehod of Momens Esimaors, Economerica, 50, HANSEN, L. P., AND R. JAGANNATHAN (99): Implicaions of Securiy Marke Daa for Models of Dynamic Economics, Journal of Poliical Economy, 99, 5-6. HANSEN, L. P., AND R. JAGANNATHAN (997): Assessing Specificaion Errors in Sochasic Discoun Facor Models, Journal of Finance, 5, HANSEN, L. P., AND K. J. SINGLETON (98): Generalized Insrumenal Variables Esimaion of Nonlinear Raional Expecaions Models, Economerica, 50, HANSEN, L. P., AND K. J. SINGLETON (983): Sochasic Consumpion, Risk Aversion and he Temporal Behavior of Asse Reurns, Journal of Poliical Economy, 9, HEATON, J., AND D. LUCAS (996): Evaluaing he Effecs of Incomplee Markes on Risk Sharing and Asse Pricing, Journal of Poliical Economy, 04, HODRICK, R. J. (99): Dividend Yield and Expeced Sock Reurns: Alernaive Procedures for Inference and Measuremen, Review of Financial Sudies, 5, HODRICK, R. J., AND X. ZHANG (00): Evaluaing he Specificaion Errors of Asse Pricing Models, Journal of Financial Economics, 6, JAGANNATHAN, R., AND Z. WANG (996): The Condiional CAPM and he Cross- Secion of Expeced Reurns, Journal of Finance, 5,

121 JAGANNATHAN, R., G. SKOULAKIS, AND Z. WANG (00): Generalized Mehod of Momens: Applicaions in Finance, Journal of Business and Economic Saisics, 0, JARQUE, C. M., AND A. K. BERA (980): Efficien Tess for Normaliy, Homoscedasiciy and Serial Dependence of Regression Residuals, Economics Leers, 6, JOHANSEN, S. (988): Saisical Analysis of Coinegraing Vecors, Journal of Economic Dynamics and Conrol,, JOHANSEN, S. (99): Esimaion and Hypohesis Tesing of Coinegraion Vecors in Gaussian Vecor Auoregressive Models, Economerica, 56, KANDEL, S., AND R. STAMBAUGH (99): Asse Reurns and Ineremporal Preferences, Journal of Moneary Economics, 7, KOCHERLAKOTA, N. R. (996): The Equiy Premium: I s Sill a Puzzle, Journal of Economic Lieraure, 34, 4-7. LA PORTA, R., F. LÓPEZ-DE-SILANES, AND A. SHLEIFER (999): Corporae Ownership Around he World, Journal of Finance, 54, LETTAU, M., AND S. C. LUDVIGSON (00a): Consumpion, Aggregae Wealh, and Expeced Sock Reurns, Journal of Finance, 56, LETTAU, M., AND S. C. LUDVIGSON (00b): Resurrecing (C)CAPM: A Cross Secional Tes When Risk Premia are Time-Varying, Journal of Poliical Economy, 09, LJUANG, G., AND G. BOX (978): On a Measure of Lack of Fi in Time Series Models, Biomerika, 66,

122 LUCAS, D. (994): Asse Pricing wih Undiversifiable Risk and Shor Sales Consrains: Deepening he Equiy Premium Puzzle, Journal of Moneary Economics, 34, LUCAS, R. E., Jr. (978): Asse Pricing in an Exchange Economy, Economerica, 46, LUND, J., AND T. ENGSTED (996): GMM and Presen Value Tess of he C-CAPM: Evidence from he Danish, German, Swedish, and UK Sock Markes, Journal of Inernaional Money and Finance, 5, MANKIW, N. G., AND S. ZELDES (99): The Consumpion of Sockholders and Non-Sockholders, Journal of Financial Economics, 9, 97-. MEHRA, R., AND E. C. PRESCOTT (985): The Equiy Premium: A Puzzle, Journal of Moneary Economics, 5, NIELSEN, S., AND O. RISAGER (999): Macroeconomic Perspecives on Sock and Bond Invesmens in Denmark since he Firs World War, in ANDERSEN, T. M., S. E. H. JENSEN, AND O. RISAGER (eds.), Macroeconomic Perspecives on he Danish Economy, MacMillan Press, NEWEY, W. K., AND K. D. WEST (987): A Simple, Posiive Semi-definie, Heeroskedasiciy and Auocorrelaion Consisen Covariance Marix, Economerica, 55, RICHARDSON, M., AND J. STOCK (989): Drawing Inferences from Saisics Based on Muli-Year Asse Reurns, Journal of Financial Economics, 5, RUBINSTEIN, M. (976): The Valuaion of Uncerain Income Sreams and he Pricing of Opions, Bell Journal of Economics, 7, STOCK, J. H. (987): Asympoic Properies of Leas Squares Esimaors of Coinegraing Vecors, Economerica, 55,

123 STOCK, J. H., AND M. WATSON (993): A Simple Esimaor of Coinegraing Vecors in Higher Order Inegraed Sysems, Economerica, 6, SUMMERS, L. H. (99): The Scienific Illusion in Empirical Macroeconomics, Scandinavian Journal of Economics, 93, SUNDARESAN, S. M. (989): Ineremporally Dependen Preferences and he Volailiy of Consumpion and Wealh, Review of Financial Sudies,, TALLARINI, T. D., AND H. H. ZHANG (004): Exernal Habi and he Cyclicaliy of Expeced Sock Reurns, Journal of Business, forhcoming. WEIL, P. (989): The Equiy Premium Puzzle and he Risk Free Rae Puzzle, Journal of Moneary Economics, 4, WEIL, P. (990): Nonexpeced Uiliy in Macroeconomics, Quarerly Journal of Economics, 05,

124 Appendiks oversig A: Udledning af logarimen il den risikofrie rene og risikopræmien i sandardmodellen. B: Udledning af logarimen il den risikofrie rene i Campbell-Cochrane modellen. C: Udledning af konsan risikofri rene i Campbell-Cochrane modellen. D: Differeniaion af logarimen il overskudsforbrugsraioen. E: Udledning af den nedre volailiesgrænse. F: Burnsides (994) esimaionsusikkerhed. G: Oversig over varegrupper. H: Tes for idsvarierende varians i forbrugsvæksen. I: Udledning af Leau og Ludvigsons (00a) forbrug-formue raio. J: Plos af forbrug, akivbeholdning og arbejdsindkoms. K: GMM esimaion af Campbell-Cochrane modellen med KFXEX og TERM som insrumenvariable il eulerligningerne for akieafkas og risikopræmie.

125 A: Udledning af logarimen il den risikofrie rene og risikopræmien i sandardmodellen Udledningen af logarimen il den risikofrie rene og risikopræmien i sandardmodellen bygger på Campbell (003), som følger Hansen og Singleon (983). I udledningen anages, a akivafkas og forbrug er beinge log-normalfordel og homoskedasisk. Hvis en sokasisk variabel X er beinge log-normalfordel, så gælder, a log ( E[ X ]) = E log ( X) + Var log ( X), (A.) hvor ( ) Var log ( X) = E log ( X) E log ( X). (A.) Hvis X samidig er beinge homoskedasisk kan (A.) formuleres som: ( ) Var log( X) E = log( X) E log( X) ( ( X) ( X) ) = Var log E log. (A.3) Logarimen il eulerligningen i sandardmodellen er: C + 0= log E ( + Ri, + ) δ C γ. (A.4) Udnyes (A.), kan (A.4) formuleres som: 0 = E, ( ) ri + + log δ γ c+ + Var ri, + + log ( δ) γ c+, (A.5) hvor ri, + log ( Ri, + ) = + og c log ( C ) log ( C ) =. + +

126 A: Udledning af logarimen il den risikofrie rene og risikopræmien i sandardmodellen Forvenningen il en konsan er lig konsanen selv, og variansen af en konsan er lig 0. Dermed kan ligning (A.5) reduceres il: 0= E ri, + + log( δ) γe[ c+ ] + Var ri, + γ c+. Da afkase på akiv i r i, + og forbrugsvæksen c + ikke er uafhængige, og udnyes (A.3), kan de forvenede afkas på akiv i efer omrokering udrykkes som: E ri, log( δ ) γe[ c ] ( σi γ σc γσic) + = + +, (A.6) + hvor σ i er den ubeingede varians af innovaioner i afkase for akiv i Var r E r i, + i, +, c σ er den ubeingede varians af innovaioner i forbruge [ ] [ ] Var c E c = Var c E c , og ic σ er den ubeingede kovarians i innovaioner mellem afkase og forbruge Cov r E r, c E [ c ] i, + i, Ligning (A.6) gælder for alle akiver. For e risikofri afkas er variansen af afkase σ i og kovariansen mellem afkase og forbruge σ ic lig 0. Derfor kan (A.6) for e risikofri afkas reduceres il: r γ σ c = log ( δ) + γe [ c ]. (A.7) f, + + Trækkes de risikofrie afkas i (..9) fra på begge sider af ligning (A.6) og flyes rund, er den forvenede risikopræmie på akiv i : σ i E ri, + r f, + + = γσ ic.

127 B: Udledning af logarimen il den risikofrie rene i Campbell-Cochrane modellen Den risikofrie rene er den reciprokke af den beingede forvenede sokasiske diskoneringsfakor. Logarimen il den risikofrie rene er: r f, + = log E [ M ] + ( [ M + ] ) = log E. (B.8) I udledningen af logarimen il den risikofrie rene anager Campbell og Cochrane (999), a den sokasiske diskoneringsfakor er log-normalfordel. Hvis en sokasisk variabel X er log-normalfordel, så gælder, a log ( E[ X ]) = E log ( X) + Var log ( X), (B.9) hvor ( ) Var log( X) = E log( X) E log( X). Logarimen il den sokasiske diskoneringsfakor m + i Campbell-Cochrane modellen er: S C m + log + + = δ S C γ, som kan omskrives il: ( δ) γ ( ) γ ( ) m = log s s c c, (B.0) hvor s = log ( S ) og c log ( C ) =. Da + + c = g+ v, kan (B.0) formuleres som:

128 B: Udledning af logarimen il den risikofrie rene i Campbell-Cochrane modellen ( δ) γ ( ) γ ( ) m = log s s g+ v. (B.) Indsæes logarimen il overskudsforbrugsraioen s = ( φ) s + φs + λ( s ) v, + + i (B.) fås: ( δ) γ ( φ φ λ ) γ ( ) ( δ) γ ( φ s φs λ s v+ s) γg γv+ ( δ) γg γ ( φ s ( φ ) s) γλ s v+ γv+ ( δ) γg γ φ ( s s) γ ( λ s ) v+ ( δ) γg γ φ ( s s) γ ( λ s ) v m = log ( ) s + s + ( s ) v s g+ v = log ( ) + + ( ) = log ( ) + ( ) = log ( ) ( ) + + = log + ( ) ( ) +. (B.) Da den sokasiske diskoneringsfakor anages log-normalfordel kan (B.9) anvendes il a omformulere (B.8): rf, + = E log ( M+ ) Var log( ) M + = E[ m+ ] Var [ m+ ]. (B.3) Indsæes (B.) i (B.3) fås: ( δ) γ γ φ ( ) γ ( λ ) rf, + = E log g+ ( ) s s ( s) + v+ Var log ( δ) γg+ γ ( φ ) ( s s) γ ( λ ( s ) + ) v+. (B.4) På idspunk er v + den enese sokasiske variabel. Derfor kan (B.4) omskrives il:

129 B: Udledning af logarimen il den risikofrie rene i Campbell-Cochrane modellen γ rf, + = log ( δ) + γg γ( φ) ( s s) + γ ( λ( s) + ) E [ v+ ] ( λ( s) + ) Var [ v+ ]. (B.5) Da den forvenede værdi og variansen af v + er henholdsvis 0 og σ v, kan (B.5) udrykkes som: γσv rf, + = log ( δ) + γg γ( φ) ( s s) ( λ( s) + ). (B.6)

130 C: Udledning af konsan risikofri rene i Campbell-Cochrane modellen Campbell og Cochrane (999) ønsker en konsan risikofri rene. For a opnå en konsan rene kræves e besem udryk for følsomhedsfunkionen. I de følgende vises, a følsomhedsfunkionen som specificere i Campbell-Cochrane modellen fører il en konsan risikofri rene. Logarimen il den risikofrie rene: v r = γσ f, log ( δ) + γg γ( φ) ( s s) + ( λ( s) ) +, kan omskrives il: ( ) γσv rf, + = log ( δ) + γg γ ( φ)( s s) λ( s) + + λ( s). (C.) Subsiuér følsomhedsfunkionen λ ( s) = ( s s) (C.) S ind i (C.): ( δ) γ γ ( φ)( ) r = f, log + g + s s γσ v S S = log + ( ( s s) ) ( s s) λ ( s) ( δ) γg γ ( φ)( s s) γσ v ( ( s s) ) ( s s) + λ ( s). (C.3) S S Reduceres ligning (C.3) og flyes rund fås:

131 C: Udledning af konsan risikofri rene i Campbell-Cochrane modellen γσ rf, + = log + g s s s s S ( ) v ( δ) γ γ ( φ)( ) ( ) γσ = log + S S v ( δ) γg γ ( φ)( s s) ( s s) γσ = log + + v S S v ( δ) γg γ ( φ)( s s) γ σ ( s s) γσv = log ( δ) + γg + γ ( φ) + γ σv ( s s). S S (C.4) Indsæes seady sae S S = σ v γ φ (C.5) ind i (C.4) fås: γσv rf, + = log ( δ) + γg+ γ ( φ) γ σ + v ( s s), γ S σ v φ hvilke kan omskrives il: σγ v γσv rf, + = log ( δ) + γg+ γ ( φ) + γ ( s s) σγ v S φ γσv = log ( δ) + γg+ ( γ ( φ) + γ ( φ) )( s s). S (C.6) Reduceres (C.6) fås:

132 C: Udledning af konsan risikofri rene i Campbell-Cochrane modellen r f, + γσv = log ( δ) + γg S. (C.7) Med en følsomhedsfunkion og en seady sae som i henholdsvis (C.) og (C.5), fremgår de af (C.7), a logarimen il den risikofrie rene er konsan, da der ikke indgår idsafhængige variable i (C.7).

133 D: Differeniaion af logarimen il overskudsforbrugsraioen Logarimen il overskudsforbrugsraioen S er: s = log ( S ) C X = log C X = log C ( exp( x c) ) = log, (D.) hvor x og c er logarimen il henholdsvis habi X og forbrug C. Af (D.) følger: ( s ) ( x c ) exp = exp. (D.) Fra (D.) ses, a processen for logarimen il overskudsforbrugsraioen: ( φ) φ λ( )( ) s = s + s + s c c g + + kan omskrives il: ( ( x+ c+ ) ) = ( φ) s + φ ( ( x c) ) + λ( s)( c+ c g) log exp log exp. (D.3) Der foreages en oal differeniaion af (D.3), hvor hver led differenieres i forhold il både x og c. I de følgende vises den oale differeniaion for hver led i (D.3) separa:

134 D: Differeniaion af logarimen il overskudsforbrugsraioen Differeniaion af ( exp( c )) log + + x : ( ) ( ) ( ) exp( s ) ( ) ( ) ( ) ( s ) exp x c exp x c dx + dc = exp exp x+ c+ x+ c+ exp x c exp x c dx + dc exp +. A sidse ligning gælder, kan ses ud fra (D.). Differeniaion af log( exp( x )) φ : c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) φexp x c φexp x c φexp x c φexp x c dx + dc = dx + dc. exp x c exp x c exp s exp s Differeniaion af ( s )( c c g) λ + : ( ) ( s ) ( ) ( s ) φexp λ ( s ) x c φexp dx + x c dc c c g + s dc dc ( ) λ( )( ) + + exp exp. Samles leddene er den oale differeniaion af (D.3): exp( ) dx exp( s ) φexp( ) dx exp( s) ( x c) φexp( x c) ( s ) exp( s ) ( ) ( s ) ( ) ( s ) x c exp x c + dc = exp + x c φexp x c + dc + exp φexp λ ( s ) dx + dc c c g + s dc dc ( ) λ( )( ) + + exp. (D.4) Da vi ønsker a finde dx dc, ignoreres de led, hvor dx eller dc ikke indgår. Dermed reduceres (D.4) il:

135 D: Differeniaion af logarimen il overskudsforbrugsraioen ( ) ( s ) ( ) ( s ) exp x c exp x c dx + dc = λ ( s ) dc exp exp + og flyes rund fås: ( ) ( s ) ( ) ( s ) exp x c exp x c dx = λ ( s ) dc exp exp +, hvilke kan udrykkes som: exp( ) ( ) ( ) λ s exp( s + ) ( s ) exp( x+ c+ ) exp( s + ) ( s ) exp( s ) + ( ) ( ) dx s exp x c = dc+ exp x+ c+ exp s + = λ = λ. (D.5) Divideres æller og nævner i (D.5) med exp( ) s + fås: dx dc = λ ( s ) exp( ). + + s+

136 E: Udledning af nedre volailiesgrænse For a udlede den nedre grænse for den sokasiske diskoneringsfakor følger vi Engsed (998) og foreager en lineær projekion af ( M+ E[ M+ ] ) på ( + E[ + ] ) X X : ( E[ ]) ( E[ ]) M M = X X β + ε Regressionskoefficienen defineres som: ( ) [ M ] β Cov X+, X+ Cov X +, +. (E.) For kovariansudrykke gælder: E [ Q] = E( M + X+ ) = E[ M ] E[ ] + Cov [ M, ] X X, hvilke kan omskrives il: [ M ] [ ] [ M ] [ ] Cov, X =E Q -E E X. (E.) Indsæes (E.) i (E.) fås: [ ] [ ] [ M ] [ ] β = Cov X, X E Q E E X. (E.3) Da bealingsvekoren X + og fejlledde ε + per definiion er uafhængige, således a ( ε ) Cov X, 0, kan variansen for den sokasiske diskoneringsfakor M fassæes som: + + = + ( M ) = β [ ] β + ( ε ) Var Cov X, X Var. (E.4) Indsæes (E.3) i (E.4) og reduceres fås:

137 E: Udledning af nedre volailiesgrænse Var ( M ) + = ( [ Q] [ M+ ] [ X + ] ) [ X+ X+ ] ( [ Q] [ M+ ] [ X+ ] ) + ( ε+ ) E E E Cov, E E E Var. Ide Var( ε + ) 0, er den nedre grænse for ( ) σ : M + σ E E E Cov, E E E. ( M+ ) ( [ Q] [ M+ ] [ X + ] ) [ X+ X+ ] ( [ Q+ ] [ M+ ] [ X+ ] )

138 Appendiks F: Burnsides (994) esimaionsusikkerhed Burnside (994) viser, hvordan der ages højde for esimaionsusikkerhed i forbindelse med meoden i Hansen og Jagannahan (99). I dee appendiks vises udrykke for sandardafvigelse af den esimerede verikale disance σ ( ˆd ) ( ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ d Φ d Φ σ d ) ˆ ( ˆ = V Φ ) Φ Φ (F.5) med udgangspunk i o akiver i og j. En verikal disance mellem en esimere sokasisk diskoneringsfakor og esimere volailiesgrænse er: 3 ˆ d = s( M) ( M ) Cov, ( M ) i R R R i R. (F.6) Lad vekoren ˆΦ indeholde sikprøvemomenerne i (F.6): M Var M R i Φ ˆ = R j, (F.7) Var Ri Var R j Cov Ri, R j hvor M er e esima for middelværdien af en sokasisk diskoneringsfakor, Var [ M ] er e esima for variansen af en sokasisk diskoneringsfakor, R i og R j er esimaer 3 For a lee noaionen ses der i dee appendiks bor fra idsindeks.

139 Appendiks F: Burnsides (994) esimaionsusikkerhed for afkase på akiv i og j, Var [ R i ] og [ R j ] på akiv i og j, mens [ R, ] akiv i og j. i R j Var er esimaer for variansen af afkase Cov er e esima for kovariansen mellem afkase på Den inverse kovariansmarice for afkas på akiv i og j er: Var R j Cov Ri, R j D D Cov RR, =, Cov Ri, R j Var R i D D hvor deerminanen D findes som [ ] [ ] [ ] D = Var R Var R Cov R, R. j i i j Definér skalaren a som a = ( i MR) [ R, R] ( i MR) Cov, og anvendes kædereglen ( x) = f ( g( x) ) g ( x) F, kan den førse pariel afledede af d ( Φ ˆ ) i (F.6) mh. hver elemen i Φ evaluere for ˆΦ findes som:

140 Appendiks F: Burnsides (994) esimaionsusikkerhed d ( Φˆ ) M = a i M ( ) R Cov R, R ( R ) ( Φˆ ) d = Var M Var M ( Φˆ ) d M = a i M Ri 0 ( Φˆ ) ( ) Cov RR, ( R ) d 0 = a i M R j M ( ) Cov RR, ( R ) ( j ) Var R Var R j Cov Ri, R j d ( Φˆ ) D D = a ( i MR) i M Var R i Var R Cov, ( Cov Ri, R j Ri R j j ) D D ( i j ) ( R ) Cov R, R Var Ri Cov Ri, Rj d ( Φˆ ) D D a = ( i MR) i M Var R j Var R Cov, ( Var R i Ri R j i ) D D ( Φˆ ) d = a ( i MR) Cov R, i R j ( i MR) ( R ) Var R j Cov Ri, R j Var Ri Var R j Cov Ri, R j D D Var Ri Var R j Cov Ri, R j Var Ri Cov Ri, R j D D

141 Appendiks F: Burnsides (994) esimaionsusikkerhed Den esimerede kovariansmarice for Φ i (F.5), ˆ ( ˆ ) V Φ, specificeres som: Var M N Var 0 M N Var 0 0 Ri N Var R j Vˆ ( Φˆ ) = , N Var Ri N Var R j N Cov Ri, R j N hvor Var [ M ] N, Var [ ] N og [ ] N R i R j Var er variansen af esimaoren for den forvenede værdi af henholdsvis den sokasiske diskoneringsfakor, de forvenede afkas på akiv i og de forvenede afkas på akiv j. Var[ ] N, Var[ ] N [ R j ] N M og Var er variansen af esimaoren for variansen af henholdsvis den sokasiske diskoneringsfakor, de forvenede afkas på akiv i og de forvenede afkas på akiv j. Endelig udrykker Cov[ R, R ] N variansen af esimaoren for kovariansen mellem de afkase på akiv i og j. i j R i Forholde mellem ˆd og σ ( ˆd ) er asympoisk sandardnormalfordel: σ dˆ ( dˆ ) a ( ) ~ N 0,. (F.8) Nulhypoesen i Burnsides (994) es i (F.8) er, a disancen for en esimere volailie af en sokasisk diskoneringsfakor og en esimere volailiesgrænse ikke er forskellig fra hinanden.

142 Appendiks G: Oversig over varegrupper IV V HV T Ikke varige varer Varige varer Halvvarige varer Tjeneser Fødevarer Kaffe, he og kakao Mineralvand og sodavand Vin og spirius Øl Tobaksvarer Beklædningsgensande Vask, rensning Fodøj Husleje Beregne husleje af egen bolig Reparaion og vedligeholdelse af boliger Renovaion mv. Vand og vandafledningsafgif Elekricie Gas Flydende brændsel Fjernvarme mv. Møbler og gulvæpper mv. Gardiner, sengelinned mv. Husholdningsmaskiner Rep. af husholdningsmaskiner Service, køkkenudsyr Husholdnings- og haveredskaber Rengøringsmidler Hushjælp mv. Medicin, viaminer mv. Briller, høreapparaer mv. Læge, andlæge mv. Hospialer, sanaorier mv. Anskaffelse af køreøjer Vedligeholdelse af køreøjer Benzin og olie il køreøjer Biludlejning, køreimer mv. Køb af ransporydelser Telefon, elefax, poro mv. Radio- og vapparaer mv. Fooudsyr, videokameraer mv. PC'ere mv. Cd'ere, videobånd mv. Reparaion af radio, TV og PC mv. Musikinsrumener, både mv. Sporsudsyr, legeøj mv. Forlyselser, TV-licens mv. IV IV IV IV IV IV HV T HV T T T T T IV IV IV IV V HV V T HV HV IV T IV V T T V T IV T T T V V V HV T V HV T

143 Appendiks G: Oversig over varegrupper Bøger, aviser, blade Papir og skriveudsyr Pakkede ferierejser Undervisning Udgifer på resauraner mv. Udgifer il hoeller mv. Frisører mv. Toilearikler, barbermaskiner Smykker og ure Kufferer, asker o.l. Plejehjem, dagcenre mv. Daginsiuioner for børn Forsikringer Finansielle jeneseydelser Advokaer, jeneser i øvrig IV HV T T T T T HV V HV T T T T T

144 Appendiks H: Tes for idsvarierende varians i forbrugsvæksen Tabel H.. Tes for ARCH-effeker q LM ( q) 0,48 (48,9%) 0,54 (76,5%) 0,50 (9,9%),54 (8,0%),96 (85,4%),33 (88,7%) 3,69 (8,5%) 5,09 (74,8%) LM ( q) er e Lagrange Muliplier es for ARCH-effeker i residualerne. LM ( q) TR = er χ -fordel med q frihedsgrader. T er analle af observaioner, mens R er forklaringsgraden fra regressionsligningen v = α0 + αv αqv-q + e, hvor v er residuale fra regressionsligningen c = g+ v. I parenes angives p værdi.

145 I: Udledning af Leau og Ludvigsons (00a) forbrug-formue raio Udledningen af Leau og Ludvigsons (00a) forbrug-formue raio ager udgangspunk i følgende budgebegrænsning for den repræsenaive invesor: ( )( ) W = + R W C, (I.) + w, + hvor C er forbruge på idspunk, og som summen af akivbeholdningen A og human wealh som ikke forbruges på idspunk inveseres il e afkas R w, +. W er formuen på idspunk, der defineres H. Den andel af formuen Leau og Ludvigson (00a) følger Campbell og Mankiw (989), som viser, a ved a dividere budgebegrænsningen med W og age logarimen opnås følgende udryk: C w+ w = rw, + + log W ( exp( )) = r + log c w, (I.) w, + hvor små bogsaver angiver, a logarimen er age il variablen. Da de sidse led i (I.) er ikke-lineær, ager Campbell og Mankiw (989) en førseordens Taylor approksimaion, hvilke resulerer i følgende udryk: log exp k ρw ( ( c w) ) + ( c w), (I.3) hvor k = log( ρ ) ( ρ ) log( ρ ) og exp( ) w w w ρ w = c w. Som følge af, a ρ w = exp( c w) C = exp log W W C = W

146 I: Udledning af Leau og Ludvigsons (00a) forbrug-formue raio kan formue. ρ w opfaes som seady sae for den gennemsnilige andel af den inveserede Som de næse skrid subsiuerer Campbell og Mankiw (989) (I.3) ind i (I.), hvilke giver: w k+ r + c w ( ) + w, + ρw. (I.4) Herefer udnyer Campbell og Mankiw (989), a væksen i formuen w + også kan skrives som en funkion af væksen i henholdsvis forbrug og forbrug-formue raioen: ( ) ( ) w = c + c w c w. (I.5) (I.5) subsiueres ind i (I.4), hvilke efer omrokering giver: ( + + ) ( + + ) c w = ρ r c + ρ c w + ρ. (I.6) w w, w wk (I.6) viser, a forbrug-formue raioen er funkion af afkase på den inveserede kapial, forbrugsvæksen og næse periodes forbrug-formue raio. Ved forward subsiuion opnås følgende cenrale udryk: i = w w i i + w i= (, + + ) k/ ( - w) c w ρ r c ρ ρ. (I.7) Af (I.7) udleder Campbell og Mankiw (989), a en høj forbrug-formue raio i dag må være forbunde med enen e høj fremidig afkas på den inveserede kapial r w, + i eller med en lav fremidig forbrugsvæks c + i. Leau og Ludvigson (00a) ager udgangspunk i ligning (I.7) og foreager yderligere anagelser. For de førse vælger Leau og Ludvigson (00a) a se bor fra de

147 I: Udledning af Leau og Ludvigsons (00a) forbrug-formue raio sidse led i ligning (I.7), ide denne konsan er uden beydning. Leau og Ludvigson (00a) anager også, a ligning (I.7) holder ex ane og ager beingede forvenninger il udrykke, hvilke giver: i = E ρw w i i i= (, + + ) c w r c, (I.8) hvor E er forvenningsoperaoren beinge af informaionssæe på idspunk. På baggrund af ligning (I.8) fremhæver Leau og Ludvigson (00a), a hvis forbrugformue raioen ikke er konsan, er de ensbeydende med, a ændringer i raioen vil forudsige ændringer i afkase på den inveserede kapial r w, + i eller forbrugsvæksen c + i. Som næse skrid i udledningen af forbrug-formue raioen udrykker Leau og Ludvigson (00a) logarimen il den repræsenaive invesors formue, W = A + H, som ( ω) w ωa + h, (I.9) hvor ω er den gennemsnilige andel af akivbeholdningen i forhold il formuen, mens ( ω) er den gennemsnilige andel af human capial. Herefer splies afkase på den inveserede kapial R w, op som afkase på akivbeholdningen R a, og afkase på human capial R h, : ( ) ( ω )( ) + R = ω + R + + R. (I.0) w, a, h, Leau og Ludvigson (00a) følger Campbell (996) og udrykker ligning (I.0) som: ( ω) r ωr + r. (I.) w, a, h, Subsiueres (I.9) og (I.) ind i (I.8) fås:

148 I: Udledning af Leau og Ludvigsons (00a) forbrug-formue raio {, +, + + } c ωa ( ω) h = E ρ i ωr + ( ω) r c. (I.) w a i h i i i= Da human capial er uobserverbar anager Leau og Ludvigsen (00a) følgende sammenhæng mellem human capial og den observerbare arbejdsindkoms y : h = κ + y + z, (I.3) hvor κ er en konsan og z er en saionær variabel. Ved a subsiuere (I.3) ind i (I.) og se bor fra κ opnås de endelige udryk for forbrug-formue raioen, som også benævnes cay : ( ) i ( ) {, +, + + } ( ) c ωa ω y = E ρ ωr + ω r c + ω z. (I.4) w a i h i i i=

149 K: GMM esimaion af Campbell-Cochrane modellen med TERM og KFXEX som insrumenvariable il eulerligningerne for akieafkas og risikopræmie Tabel K.. GMM esimaion af Campbell-Cochrane modellen med TERM og KFXEX som insrumenvariable og en iniial s proces generere på baggrund af en γ på 0,7680 Sep δ γ α φ g g ( θ) Ig ( θ) 0-0,7680 0,9055 0,784 0,005-0,97 (0,0093) 5 0,977 (0,008) 0 0,979 (0,0063) 5 0,9797 (0,0056) 0 0,979 (0,0053) 5 0,9798 (0,004) 6 0,9797 (0,004) 30 0,980 (0,0045) 35 0,9799 (0,0044) 40 0,980 (0,0044) 0,577 (0,0) 0, (0,0033) 0,693 (0,005) 0,4 (0,005) 0,79 (0,003) 0,0 (0,005) 0,0978 (0,007) 0,0993 (0,007) 0,0996 (0,004) 0,0967 (0,006) 0,8308 (0,6) 0,8936 (0,059) 0,8937 (0,064) 0,8999 (0,065) 0,8896 (0,090) 0,8978 (0,066) 0,8966 (0,067) 0,98 (0,094) 0,979 (0,030) 0,970 (0,09) 0,808 (0,074) 0,787 (0,00) 0,7870 (0,000) 0,7855 (0,0008) 0,7879 (0,009) 0,7860 (0,00) 0,7863 (0,00) 0,78 (0,003) 0,783 (0,009) 0,785 (0,00) 0,00 (0,0003) 0,005 (0,0000) 0,005 (0,0000) 0,005 (0,0000) 0,005 (0,0000) 0,005 (0,0000) 0,005 (0,0000) 0,005 (0,0000) 0,005 (0,0000) 0,005 (0,0000) T T 0,39-0,07-0,83-0,99-0,69-0,6-0,53-0,89-0,93-0,9 - Ved en simulan GMM esimaion af eulerligningerne for akieafkas og risikopræmie, AR() modellen for pris-dividende raioen, s processen og random walk modellen for forbrug esimeres den subjekive diskoneringsfakor δ, nyekurveparameeren γ, konsanen α, persisensparameeren φ sam den forvenede forbrugsvæks g. Den iniiale s proces genereres på baggrund af den kalibrerede γ på 0,7680. Som insrumenvariable il eulerligningerne for akieafkas og risikopræmien anvendes é lag af risikopræmien over den risikofrie rene KFXEX og é lag af renespænde mellem den effekive rene af 0-årige sasobligaioner og 3-måneders skakammerbeviser TERM sammen med en konsan. Som insrumenvariabel il AR() modellen for pris-dividende raioen anvendes é lag af pris-dividende raioen sammen med en konsan. Som insrumenvariable il s processen anvendes e og o lags af s processen sammen med en konsan. I random walk modellen for forbrug indgår ikke insrumenvariable, men en konsan. I parenes under esimaerne er Newey-Wes (987) korrigerede sandardafvigelser. Ideniesmaricen anvendes som vægningsmarice, og ( ) ( ) g θ Ig θ udrykker værdien af krieriefunkionen. T T