Matematisk formelsamling. stx C-niveau

Transkript

1 Mtemtisk fomelsmling st C-niveu mj 08

2 Denne udgve f Mtemtisk fomelsmling st C-niveu e udgivet f Undevisningsministeiet og gjot tilgængelig på uvm.dk. Fomelsmlingen e udejdet i et smejde mellem Mtemtiklæefoeningen og Undevisningsministeiet, Styelsen fo Undevisning og Kvlitet, mj 08 Kopieing til ndet end pesonlig ug må kun ske efte ftle med Copy-Dn. ISBN: Fofttee: Get Schomcke, Jespe Bng-Jensen, Bodil Buun og Jøgen Dejgd

3 Food: Mtemtisk fomelsmling st C e udejdet til ug i undevisningen på st i mtemtik på C-niveu. Fomelsmlingen indeholde de emne, de foekomme i læeplnen fo mtemtik på C-niveu på st inden fo åde kenestof og suppleende stof. Fo ovelikkets skyld e medtget fomle fo el og umfng f en ække elementægeometiske figue. Endvidee indeholde fomelsmlingen en liste ove mtemtiske stnddsymole. Hensigten hemed e dels t give elevene et hutigt ovelik, dels t idge til, t undevisee og fofttee f undevisningsmteile kn nvende enstet nottion, symolspog og teminologi. Listen ove mtemtiske stnddsymole gå defo ud ove kenestoffet, men holde sig dog inden fo det mtemtiske unives i gymnsiet og på hf. En ække f fomlene i fomelsmlingen e kun nvendelige unde visse foudsætninge (f t nævneen i en øk e foskellig f 0). Sådnne foudsætninge e f hensyn til oveskueligheden ikke eksplicit nævnt. Figuene e medtget som illusttion til fomlene, og den enkelte figu nskueliggø ofte ét lndt flee mulige tilfælde. Betydningen f de støelse, de indgå i fomlene, e ikke ltid foklet, men vil dog væe det i tilfælde, hvo etydningen ikke følge umiddelt f skik og ug i den mtemtiske littetu. Bite Ivesen Undevisningsministeiet, Styelsen fo Undevisning og Kvlitet, Konto fo Pøve, Eksmen og Test Mj 08 3

4 Indhold Pocent- og entesegning 5 Indekstl 5 Popotionlitet 6 Bøkegle 6 Kvdtsætninge 7 Potensegneegle 7 Ensvinklede teknte 8 Retvinklet teknt 8 Vilkålig teknt 9 Vektoe i plnen 0 Lineæ funktion 3 Andengdspolynomie 3 Logitmefunktione 4 Eksponentielt voksende funktion 5 Eksponentielt ftgende funktion 6 Potenssmmenhæng 7 Guppeede osevtione 8 Uguppeede osevtione 9 Lineæ egession Komintoik Sndsynlighedsegning 3 Pscls teknt 4 Multipliktionstel 5 Ael og omkeds, umfng og oveflde 6 Mtemtiske stnddsymole 7 Stikodsegiste 3 4

5 Pocent- og entesegning Begyndelsesvædi B Slutvædi S () S = B ( + ) Vækstte () = S - B Pocentvis ænding p (3) p% = 00% Kpitlfomel Sttkpitl K 0 Rente p % p. temin Kpitl K efte n temine (4) K = K0 ( + ) n, hvo p = 00 Annuitetsopsping Teminsindetling Rentefod Antl indetlinge n Kpitl A efte sidste indetling (5) n ( + ) - A= Annuitetslån Hovedstol G Rentefod Antl teminsydelse n Teminsydelse y (6) y = G -( + ) - n Indekstl Vædi B S Indekstl I B I S S (7) I IS = I S B S = B B I B 5

6 Popotionlitet () y = k og y e popotionle Popotionlitetsfkto k () (8) y= k y k = () y= k og y e omvendt popotionle () (9) y= k y= k Bøkegle (0) = c c c () = c () (3) (4) c c d = c d = c c c = d d 6

7 Kvdtsætninge (5) (6) (7) ( ) + = + + ( ) - = + - ( + )( - ) = - Potensegneegle s s (8) = + (9) s = -s (0) ( ) s = s () ( ) = () æö ç = çè ø 0 (3) = (4) (5) - = - = (6) = (7) s s = (8) = (9) = (30) = 7

8 Ensvinklede teknte B c A C B (3) c = = = k c A c C (3) = k = k c = k c Retvinklet teknt B c A C Pythgos sætning (33) c = + cosinus (34) cos( A) = c sinus (35) sin( A) = c tngens (36) tn( A) = 8

9 Vilkålig teknt h B A g C Tekntens vinkelsum (37) A+ B+ C= 80 Tekntens el T (38) T h g B c A C cosinuseltion (39) sinuseltion (40) c = + - C cos( ) = = c sin( A) sin( B) sin( C) Tekntens el T (4) T = sin( C) 9

10 Vektoe i plnen () j j i () i Koodintsættet fo vekto hvo i = j = (4) æ ö = ç + =ç ç i j çè ø () sin( v) e v cos( v) () Enhedsvekto (43) Enhedsvekto e ensettet med (44) Længden f vekto (45) æcos( v) ö e =ç ç ç çèsin( v) ø e = æ ö = ç = + çè ø k Multipliktion f vekto med tllet k (46) k æ ö æk ö = k = ç k è ø çè ø 0

11 Summen f to vektoe (47) = + = è ç ø ç è ø ç è + ø + æ ö æ ö æ + ö Diffeensen mellem to vektoe () (48) = - = ç è ø çè ø èç - ø - æ ö æ ö æ - ö A (, y) B (, y) () æ - ö Koodintsættet fo vekto AB (49) AB = ç y - y çè ø æ ö =ç ç ç çè ø v æ ö =ç ç ç çè ø Sklpoduktet (pikpoduktet) f og (50) = + (5) = cos( v) (5) cos( v) = Otogonle vektoe (53) = 0 ^ Kvdtet på en vekto (54) = =

12 Pojektionen f på (55) Længden f pojektionen (56) () + = = - ˆ = æ ö ç è = æ ç ö ø çè ø Tvævektoen til () (57) æ ö æ - = = ö çè ø è ç ø ç è ø = æ ö v ç è ø = æ ö Deteminnten fo vektopet (, (58) ) det(, ) = = - = (59) det(, ) = sin( v) Pllelle vektoe (60) det(, ) = 0 Aelet f det pllelogm, som udspændes f og (6) A = det(, )

13 Lineæ funktion () () Føstegdspolynomium, lineæ funktion f () f (6) f ( ) = + y y Hældningskoefficienten (stigningstllet) ud f to punkte på gfen (, y) og (, y ) () (63) y - y = - Skæing med y-ksen (64) = y- Andengdspolynomie Andengdspolynomium p (65) p( ) = + + c Andengdspolynomiets gf e en pel (66) () p () 3

14 Logitmefunktione () e ln ( ) () Gfen fo den ntulige logitmefunktion (67) ln( ) - fo 0 (68) ln( ) fo () log( ) 0 () (69) y= ln( ) = e y (70) ln(e) = (7) ln( ) = ln( ) + ln( ) æ ö (7) ln ç = ln( ) -ln( ) çè ø (73) ln( ) = ln( ) Gfen fo logitmefunktionen med gundtl 0 (74) log( ) - fo 0 (75) log( ) fo (76) y= log( ) = 0 y (77) log(0) = (78) log( ) = log( ) + log( ) æ ö (79) log ç = log( ) -log( ) çè ø (80) log( ) = log( ) 4

15 Eksponentielt voksende funktione () f () Gfen fo en eksponentielt voksende funktion f > vækstten > 0 k > 0 Femskivningsfktoen ud f to punkte på gfen (, y ) og (, y ) (8) f ( ) = = ( + ) k = e, hvo k = ln( ) (8) f( ) fo (83) f ( ) 0 fo (84) - y æ y ö - = = y ç y çè ø Skæing med y-ksen (85) y = () y = y y T () Fodolingskonstnten T (86) T = - log() ln() ln() (87) T = = = log( ) ln( ) k 5

16 T Eksponentielt ftgende funktione () () Gfen fo en eksponentielt ftgende funktion f 0< < vækstten < 0 k < 0 (88) f ( ) = = ( + ) k = e, hvo k = ln( ) (89) f ( ) 0 fo Femskivningsfktoen ud f to punkte på gfen (, y ) og (, y ) (90) f ( ) fo (9) - y æ y ö - = = y ç y çè ø Skæing med y-ksen (9) y = () y y y = () Hlveingskonstnten T (93) T = - (94) ( ) log ln( ) ln( ) T = log( ) = ln( ) = k 6

17 Potensfunktione Potensfunktion (95) f ( ) = () > = 0 < < < 0 Gfe fo f ( ) = () Bestemmelse f tllet ud f to punkte på gfen (, y) og (, y ) (96) log( y) -log( y) ln( y) -ln( y) = = log( ) -log( ) ln( )-ln( ) (97) = y Nå gnges med tllet +, så gnges f () med tllet + Nå gnges med tllet k, så gnges f () med tllet k y (98) + = ( + ) y (99) f ( k ) = k f ( ) 7

18 Guppeede osevtione 0% % Histogm (00) Aelet f en lok sve til intevllets fekvens Histogm med ens intevllængde (0) Højden f en lok sve til intevllets fekvens % Kumuleet fekvens Q m Q 3 Sumkuve (0) Q : nede kvtil 5% -fktilen % Kumuleet fekvens p 40 0 m : medin, 50% -fktilen Q 3 : øve kvtil, 75% -fktilen : p% -fktilen p p 8

19 Uguppeede osevtione Pikdigm (03) Osevtionene fst på en tllinje min (04) min: mindste osevtion m (05) m: støste osevtion Vitionsedde (06) m - min Q m Q_ 3 (07) m: medin (midteste osevtion, nå ntllet f osevtione e ulige, elles tllet midt mellem de to midteste osevtione) (08) Q : nede kvtil (medinen fo den nedeste hlvdel f osevtionene) (09) Q : øve kvtil 3 (medinen fo den øveste hlvdel f osevtionene) Kvtiledde (0) Q3 - Q min Q m Q 3 m () Boksplot, kssedigm (oksens højde e uden etydning) Kvtilsæt () ( Q, m, Q 3) Udvidet kvtilsæt (3) ( min, Q, m, Q3, m ) 9

20 Outlie (4) Osevtion, de ligge mee end hlvnden kvtiledde unde nede kvtil elle mee end hlvnden kvtiledde ove øve kvtil Middeltl fo osevtionssættet,,..., n n (5) = n Vensteskæv fodeling (6) Middeltl minde end medinen < m Ikke-skæv fodeling (7) Middeltl lig med medinen = m Højeskæv fodeling (8) Middeltl støe end medinen > m 0

21 Lineæ egession Tel med oseveede dt (9) 3 n y y y y 3 y n Regessionslinje (0) Bedste ette linje, gf fo f ( ) = + Punktplot og edste ette linje () () f () oseveede dtpunkte modelpunkte Residul () Foskel mellem oseveet y-vædi og tilsvende y-vædi i model Residultel (3) n Residul = y- f ( ) = y - f ( ) = y - f ( ) n n n Residulplot (4) () 3 n 3 n ()

22 Komintoik Multipliktionspincip Antl mulige måde t vælge åde ét element f N og et element f M, hvo N estå f n elemente og M estå f m elemente Additionspincip Antl mulige måde t vælge enten ét element f N elle ét element f M, hvo N estå f n elemente og M estå f m elemente (5) n m (6) n+ m Fkultet (7) n! = n ( n-) ( n-) Pemuttione Antl mulighede fo udvælgelse f elemente lndt n elemente, nå ækkefølgen h etydning (8) n! Pn (, ) = ( n - )! Komintione Antl mulighede fo udvælgelse f elemente lndt n elemente, nå ækkefølgen ikke h etydning (9) K( n, ) = n!!( n- )!

23 Sndsynlighedsegning Sndsynlighedsfelt med udfldsum U og sndsynlighede p Udfldsum U med n udfld Summen f lle sndsynlighede (30) ( U, p ) (3) Mængden f lle udfld { u, u,..., u } (3) p + p + p p n = n Sndsynlighedstel (33) Udfld u u u 3 u n Sndsynlighed p p p 3 p n Hændelse A med k udfld f U Sndsynlighed fo hændelse A Symmetisk sndsynlighedsfelt Alle sndsynlighede e lige stoe Sndsynlighed fo udvælgelse f et element f A (34) Mængde f k udfld f U (35) Summen f de k udflds sndsynlighede (36) p= p = p3 =... = pn = n (37) k Antl gunstige P( A) = = n Antl mulige 3

24 Pscls teknt (38) K(0,0) K(,0) K(,) K(,0) K(,) K(,) K(3,0) K(3,) K(3,) K(3,3) K(4,0) K(4,) K(4,) K(4,3) K(4,4) K(5,0) K(5,) K(5,) K(5,3) K(5,4) K(5,5) K(6,0) K(6,) K(6,) K(6,3) K(6,4) K(6,5) K(6,6) K(7,0) K(7,) K(7,) K(7,3) K(7,4) K(7,5) K(7,6) K(7,7) K(8,0) K(8,) K(8,) K(8,3) K(8,4) K(8,5) K(8,6) K(8,7) K(8,8)

25 Multipliktionstel (39) Røde tl: Kvdttl 5

26 Ael og omkeds, umfng og oveflde f geometiske figue Teknt Pllelogm Tpez Cikel A g g h h B h C h g A højde gundlinje el A = h g h højde g gundlinje A el A = h g h højde, pllelle side A el A dius el A = h + A = π O omkeds O= π ( ) Kugle O V dius oveflde umfng A = π 4 3 π V = 3 Cylinde h h højde gundfldedius O kum oveflde O = π h V umfng V = π h Kegle h s h højde s sidelinje gundfldedius O kum oveflde O= π s V umfng 3 π 6

27 Mtemtiske stnddsymole Symol Betydning Eksemple, emækninge m.v. {.,.,.,.} mængde på listefom {- 5,0,3,0 },{,4,6,... },{...,-,0,,... } mængden f ntulige tl = {,,3,... } mængden f hele tl = {...,-,-,0,,,...} mængden f tionle tl tl, de kn skives p q, p, q mængden f eelle tl Î tilhøe / e element i [ ; ] lukket intevl [ ;3 ] = { Î 3} ] ; ] hlvåent intevl ] ;3 ] = { Î < 3} [ ; [ hlvåent intevl [ ;3 [ = { Î < 3} ] ; [ åent intevl ] ;3 [ = { Î < < 3} og i etydningen åde og (konjunktion) elle i etydningen og/elle (disjunktion) medføe, hvis så (impliktion) ensetydende, hvis og kun hvis (iimpliktion) < y= 5 5 = = 4 = 4 =- = n! n fkultet, n udåstegn n! =... n fo n³ 0! = f ( ) funktionsvædi f ved funktionen f f( ) = +, så e f (4) = 3. Dm( f ) definitionsmængden fo f Vm( f ) vædimængden fo f 7

28 Symol Betydning Eksemple, emækninge m.v. log( ) ln( ) e logitmefunktionen med gundtl 0 den ntulige logitmefunktion den ntulige eksponentilfunktion eksponentilfunktionen med gundtl, 0 y= log( ) = 0 y y= ln( ) = e e y etegnes også ep() eksponentilfunktion elle en eksponentiel udvikling kldes undetiden fo en potensfunktion potensfunktion elle en potensudvikling kldes undetiden fo en numeisk (solut) vædi f 3 = 3, - 7 = 7 etegnes også s() sin( ) cos( ) tn( ) sinus cosinus tngens sin( ) tn( ) = cos( ) y - sin ( ) y - cos ( ) y - tn ( ) omvendt funktion til sinus omvendt funktion til cosinus omvendt funktion til tngens y = = y - sin ( ) sin( ) - sin (0,5) 30 sin - = etegnes også Acsin y = = y - cos ( ) cos( ) - cos (0,5) 60 cos - = etegnes også Accos y = = y - tn ( ) tn( ) - tn () 45 tn - = etegnes også Actn 8

29 Symol Betydning Eksemple, emækninge m.v. AB AB linjestykket AB længden f linjestykket AB AB AB, AB vekto cikeluen AB længden f cikeluen AB, AB længden f vektoen â tvævekto etegnelsen â kn også nvendes sklpodukt, pikpodukt etegnelsen enyttes også deteminnten fo vekto- pet (, ) etegnelsen det(, ) enyttes også e pllel med e vinkelet på l m læses også l og m e otogonle A vinkel A A = 0 elle A= 0 ABD vinkel B i teknt ABD B C A D etvinklet teknt hypotenuse v hosliggende ktete til v modstående ktete til v 9

30 Symol Betydning Eksemple, emækninge m.v. midtnomlen n fo linjestykket AB A n B B h højden f B på siden elle dens folængelse c h A B C m medinen f B på siden c m A B C v vinkelhlveingslinjen fo B vinkel B c v B A B C teknt ABC s omskevne cikel A C B teknt ABC s indskevne cikel v C A C 30

31 Stikodsegiste A dditionspincip midtnoml 30 ndengdspolynomium 3 multipliktionspincip nnuitetslån 5 N nede kvtil 7, 8 nnuitetsopsping 5 O omvendt popotionlitet 6 el f teknt 9, 6 otogonle linie B oksplot 9 outlie 0 økegle 7 P pel 3 C cikel 6 pllelogm 3 cosinus 8, 8 Pscls teknt E cylinde 6 pemuttione eksponentilfunktione p-fktil 8 - ftgende 6 potensfunktion 7 - voksende 5 potensegneegle 7 enhedsvekto 0 pikdigm 9 F ensvinklede teknte 8 pocentegning 5 fkultet pojektion f vekto fodolingskonstnt 5 popotionlitet 6 G femskivningsfkto 5, 6 Pythgos sætning 8 H guppeede osevtione 8 R entesegning 5 hlveingskonstnt 6 esidul histogm 8 etvinklet teknt 8, 9 hældningskoefficient 3 S sndsynlighed 3 hændelse 3 sinus 8, 8 højde 30 sklpodukt I højeskæv 0 stigningstl 3 indekstl 5 sumkuve 8 K ikke-skæv 0 symmetisk 3 kpitlfomel 5 T tngens 8, 8 kegle 6 tpez 6 komintione teknt 8, 9, 6, kugle 6 tvævekto L kvdtsætninge 7 U udfld 3 lineæ funktion 3 uguppeede 9 lineæ egession V vekto 0 logitmefunktione 4 vensteskæv 0 logitmeegneegle 4 vinkelhlveingslinje 30 M længden f en vekto 0 vinkelsum i teknt 9 medin (teknt) 30 vinkle 9 medin (sttistik) 9, 0 vækstte 5, 5, middeltl 0 Ø øve kvtil 8, 9 3

32 3