Matematisk formelsamling. Hf B-niveau

Transkript

1 Mtemtisk fomelsmlig Hf -iveu

2 Dee udgve f Mtemtisk fomelsmlig Hf -iveu e udgivet f Udevisigsmiisteiet og gjot tilgægelig på uvm.dk. Fomelsmlige e udejdet i et smejde mellem Mtemtiklæefoeige og Udevisigsmiisteiet, Styelse fo Udevisig og Kvlitet, ju 08 Kopieig til det ed pesolig ug må ku ske efte ftle med Copy-D. ISN: Fofttee: Get Schomcke, Jespe g-jese, odil uu og Jøge Dejgd

3 Food: Mtemtisk fomelsmlig HF e udejdet til ug fo eksmidee ved de skiftlige pøve og i udevisige på hf i mtemtik på -iveu. Fomelsmlige ideholde de eme, de foekomme i læeple fo mtemtik på -iveu på hf ide fo åde keestof og suppleede stof. Fo ovelikkets skyld e medtget fomle fo el og umfg f e ække elemetægeometiske figue. Edvidee ideholde fomelsmlige e liste ove mtemtiske stddsymole. Hesigte hemed e dels t give elevee et hutigt ovelik, dels t idge til, t udevisee og fofttee f udevisigsmteile k vede estet ottio, symolspog og temiologi. Liste ove mtemtiske stddsymole gå defo ud ove keestoffet, me holde sig dog ide fo det mtemtiske uives i gymsiet og på hf. E ække f fomlee i fomelsmlige e ku vedelige ude visse foudsætige (f t ævee i e øk e foskellig f 0). Såde foudsætige e f hesy til oveskuelighede ikke eksplicit ævt. Figuee e medtget som illusttio til fomlee, og de ekelte figu skueliggø ofte ét ldt flee mulige tilfælde. etydige f de støelse, de idgå i fomlee, e ikke ltid foklet, me vil dog væe det i tilfælde, hvo etydige ikke følge umiddelt f skik og ug i de mtemtiske littetu. ite Ivese Udevisigsmiisteiet, Styelse fo Udevisig og Kvlitet, Koto fo Pøve, Eksme og Test Ju 08 3

4 Idhold Pocet- og etesegig 5 Idekstl 5 Popotiolitet 6 økegle 6 Kvdtsætige 7 Potesegeegle 7 Esviklede tekte 8 Retviklet tekt 8 Vilkålig tekt 9 lytisk geometi 0 Lieæe smmehæge 3 degdspolyomie 4 Logitmefuktioe 5 Ekspoetielt voksede fuktioe 6 Ekspoetielt ftgede fuktioe 7 Potesfuktioe 8 Tigoometiske fuktioe 9 Diffeetilegig 0 fledede fuktioe Guppeede osevtioe Uguppeede osevtioe 3 Lieæ egessio 5 Komitoik 6 Sdsylighedsegig 7 iomilfodelige 8 Pscls tekt 30 Multipliktiostel 3 el og omkeds, umfg og oveflde 3 Mtemtiske stddsymole 33 Stikodsegiste 38 4

5 Pocet- og etesegig egydelsesvædi Slutvædi S () S ( ) S Vækstte () Pocetvis ædig p (3) p% = 00% Kpitlfomel Sttkpitl K 0 Rete p% p. temi Kpitl K efte temie (4) K = K0 ( + ), hvo p 00 uitetsopspig Temisidetlig Retefod tl idetlige Kpitl efte sidste idetlig (5) ( + ) - = uitetslå Hovedstol G Retefod tl temisydelse Temisydelse y (6) y = G -( + ) - Idekstl Vædi S Idekstl I I S S (7) I S IS I S I 5

6 Popotiolitet () og y e popotiole Popotiolitetsfkto k () y = k () (8) y k y k y= k (9) y k y k og y e omvedt popotiole () økegle (0) = c c () c = c () (3) c c d = c d = c (4) c c = d d 6

7 Kvdtsætige (5) (6) (7) ( + ) = + + ( - ) = + - ( + )( - ) = - Potesegeegle s s (8) = + (9) s s (0) ( ) s = s () ( ) = () (3) 0 (4) (5) (6) - = (7) s s (8) = (9) = (30) = 7

8 Esviklede tekte c C c (3) k c c C (3) c k k k c Retviklet tekt c C Pythgos sætig (33) c cosius (34) cos( ) c sius (35) si( ) c tges (36) t( ) 8

9 Vilkålig tekt h g C Tektes vikelsum (37) + + C= 80 Tektes el T (38) T h g c C cosiuseltio (39) siuseltio (40) c C cos( ) = = c si( ) si( ) si( C) Tektes el T (4) T= si( C) 9

10 lytisk geometi () Q(0, ) v (, y) l (, y) () Ligig fo lije l geem Q(0, ) med hældigskoefficiet Hældigskoefficiet (stigigstl) fo lije l geem (, y ) og (, y ) (4) y= + (43) y - y = - Skæig med y-kse (44) = y- Ligig fo lije l geem (, y ) med hældigskoefficiet (45) y= ( - ) + y Hældigsvikle v e vikle f føstekse til l eget med foteg (46) = t( v) () = k k () Ligig fo lodet lije (47) = k 0

11 () m y= + l y= c + d () Otogole lije l og m (48) l^m c=- () (, y ) (, y) () fstd mellem to pukte (, y ) og (, y ) () (49) = ( - ) + ( y - y ) (, y) M (, y) () Midtpukt M fo lijestykke (50) M æ, + + ç çè ø () P (, y) l () fstd dist(p,l) f puktet P (, y ) til lije l med ligige y= + + -y (5) dist( Pl, ) = +

12 () C (,) () Ligig fo cikel med cetum i C (, ) og dius (5) ( - ) + ( y - ) = () () Thk (,) Ligig fo pel med symmetikse pllel med dekse (53) y = + + c= ( - h) + k Toppukt T (54) æ dö Thk (, ) T - - = ç,, çè 4 ø d = - c hvo 4 Skæigspukte S og S med føstekse æ (55) d ö æ,0, d ö S S,0 ç è ø èç ø

13 Lieæe fuktioe () () Føstegdspolyomium, lieæ fuktio f (56) f ( ) () f y y Hældigskoefficiete (stigigstllet) ud f pukte på gfe (, y ) og (, y ) () (57) y y Skæig med y-kse (58) y 3

14 degdspolyomie () p () T degdspolyomium p med ulpukte (ødde) og (59) p ( ) c ( ) ( ) -- d - + d Nulpukte (ødde) i p (60) =, =, hvo d = -4c æ dö Toppukt T (6) T - - ç, çè 4 ø 4

15 Logitmefuktioe De tulige logitmefuktio (6) f ( ) = l( ) Gfe fo de tulige logitmefuktio (63) () l ( ) e () Logitmefuktioe med gudtl 0 (64) f ( ) = log( ) Gfe fo logitmefuktioe med gudtl 0 (65) () log( ) 0 () 5

16 Ekspoetielt voksede fuktioe () f () Gfe fo e ekspoetielt voksede fuktio f > vækstte > 0 k > 0 (66) f( ) ( ) k e, hvo k l( ) (67) f( ) fo Femskivigsfktoe ud f pukte på gfe (, y ) og (, y ) (68) f( ) 0 fo (69) y y y y Skæig med y-kse (70) y () y = y y T () Fodoligskostte T (7) T = - log() l() l() (7) T = log( ) = l( ) = k 6

17 Ekspoetielt ftgede fuktioe () () Gfe fo e ekspoetielt ftgede fuktio f 0< < vækstte < 0 k < 0 (73) f( ) ( ) k e, hvo k l( ) (74) f( ) 0 fo Femskivigsfktoe ud f pukte på gfe (, y ) og (, y ) (75) f( ) fo y y (76) y y Skæig med y-kse (77) y () y y y = () T Hlveigskostte T (78) T = - (79) T log l( ) l( ) log( ) l( ) k 7

18 Potesfuktioe Potesfuktio (80) f ( ) () > = 0 < < < 0 () Gfe fo f ( ) log( y estemmelse f tllet ) log( y) l( y) l( y) (8) ud f to pukte på gfe log( ) log( ) l( ) l( ) (, y) og (, y ) y Skæig med y-kse (8) = Nå gges med tllet, så gges f ( ) med tllet y (83) ( ) y Nå gges med tllet k, så gges f ( ) med tllet k (84) f ( k) k f ( ) 8

19 Tigoometiske fuktioe Hmoisk svigig f (85) f() t si( t ) () T () Gf fo hmoisk svigig f med mplitude og peiode (svigigstid) T (86) π T t t 9

20 Diffeetilegig Diffeetilkvotiete f ( 0 ) fo fuktioe f i tllet 0 (87) f( ) f( 0) f( 0) lim 0 f ( 0 h) f( 0) lim h0 h 0 () f ( ) 0 P t f 0 () Ligig fo tgete t til gfe fo f i P ( 0, f( 0)) (88) y f( 0) ( 0) f( 0) elle y= + hvo f( 0 ) og y0 0 Regeegle fo diffeetitio (89) ( k f( )) k f( ) (90) ( f ( ) g( )) f) g( ) (9) ( f ( ) g( )) f) g( ) (9) ( f( ) g( )) f ) g( ) f( ) g( ) (93) ( f ( ) ) f( ) 0

21 fledede fuktioe Fuktio fledet fuktio y f( ) dy y f( ) d Lieæ fuktio (94) + Logitmefuktio (96) l( ) (95) k 0 Ekspoetilfuktioe (97) e (98) e k e k e k (99) l( ) Potesfuktioe (00) (0) (0) Tigoometiske fuktioe (03) cos( ) si( ) (04) si( ) cos( )

22 Guppeede osevtioe 0% % Histogm (05) elet f e lok sve til itevllets fekves Histogm med es itevllægde (06) Højde f e lok sve til itevllets fekves % Kumuleet fekves Q m Q 3 Sumkuve (07) Q : ede kvtil, 5% -fktile m : medi, 50% -fktile Q : øve kvtil, 75% -fktile % Kumuleet fekves p : p% -fktile p p

23 Uguppeede osevtioe Pikdigm (08) Osevtioee fst på e tllije mi (09) mi: midste osevtio m (0) m: støste osevtio Vitiosedde () m - mi Q m Q 3 () m: medi (midteste osevtio, å tllet f osevtioe e ulige, elles tllet midt mellem de to midteste osevtioe) (3) Q : ede kvtil (medie fo de edeste hlvdel f osevtioee) (4) Q 3 : øve kvtil (medie fo de øveste hlvdel f osevtioee) Kvtiledde (5) Q3- Q mi Q m Q 3 m (6) oksplot, kssedigm (okses højde e ude etydig) Kvtilsæt (7) ( Q, m, Q 3) Udvidet kvtilsæt (8) ( mi, Q, m, Q3, m ) 3

24 Outlie (9) Osevtio, de ligge mee ed hlvde kvtiledde ude ede kvtil elle mee ed hlvde kvtiledde ove øve kvtil Middeltl fo osevtiossættet,,..., (0)... Spedig f e stikpøve,,..., f e popultio () å i= s = = ( - ) i - ( - ) + + ( -) - Vesteskæv fodelig () Middeltl mide ed medie < m Ikke-skæv fodelig (3) Middeltl lig med medie = m Højeskæv fodelig (4) Middeltl støe ed medie > m 4

25 Lieæ egessio Tel med oseveede dt (5) 3 y y y y 3 y Regessioslije (6) edste ette lije, gf fo f ( ) = + Puktplot og edste ette lije (7) () f Residul (8) Foskel mellem oseveet y-vædi og tilsvede y-vædi i model Residultel (9) () oseveede dtpukte modelpukte 3 Residul = y-f( ) = y- f( ) 3 = y3- f( 3) = y - f( ) Residulplot (30) () 3 3 () Residulspedig (3) s =

26 Komitoik Multipliktiospicip tl mulige måde t vælge åde ét elemet f N og et elemet f M, hvo N estå f elemete og M estå f m elemete dditiospicip tl mulige måde t vælge ete ét elemet f N elle ét elemet f M, hvo N estå f elemete og M estå f m elemete (3) m (33) + m Fkultet (34)! = ( -) ( -) Pemuttioe tl mulighede fo udvælgelse f elemete ldt elemete, å ækkefølge h etydig (35)! P (, ) = ( - )! Komitioe tl mulighede fo udvælgelse f elemete ldt elemete, å ækkefølge ikke h etydig (36)! K (, ) =!( - )! 6

27 Sdsylighedsegig Sdsylighedsfelt med udfldsum U og sdsylighede p (37) ( U, p ) Udfldsum U med udfld (38) Mægde f lle udfld { u, u,, u } Summe f lle sdsylighede (39) p+ p + p p = Sdsylighedstel (40) Udfld u u u 3 u Sdsylighed p p p 3 p Hædelse med k udfld f U (4) Mægde f k udfld f U Sdsylighed fo hædelse (4) Summe f de k udflds sdsylighede Symmetisk sdsylighedsfelt lle sdsylighede e lige stoe Sdsylighed fo udvælgelse f et elemet f (43) p= p = p3 =... = p = (44) k tl gustige p( ) = = tl mulige Sdsylighed ved komitio f ufhægige hædelse og (45) P(åde og ) = P( ) P( ) Sdsylighed ved komitio f hædelse og, som ikke h oget fælles udfld (46) P ( elle ) = P ( ) + P ( ) 7

28 Sdsylighedsfodeligstel fo e stokstisk viel X (47) X i = 3 P( X = i ) p p p 3 p Søjledigm. Højde f søjle sve til sdsylighed f udfld (48) () 3... () Middelvædi f e stokstisk viel X (49) m = E( X) = P( X = ) å i= 3 3 i = p + p + p + + p i Vis f e stokstisk viel X (50) V( X) = å ( i -m) P( X = i) i= ( m) ( m) = - p p Spedig f e stokstisk viel X (5) s= s( X) = V( X) iomilfodelig iomilfodelt stokstisk viel X med tlspmete og sdsylighedspmete p iomilkoefficiet K (, ) (53) (5) X p (, ) æö! K (, ) = = çè ø! -! (54) K (, ) = K (, - ) ( ) Sdsylighedsfuktio fo iomilfodelt stokstisk viel X (55) PX ( = ) = K (, ) p ( - p) - Middelvædi m (56) m = p Spedig s (57) s = p ( - p) 8

29 Sttistisk usikkehed i stikpøve tl elemete i stikpøve 95% kofidesitevl fo popultioes sdsylighedspmete p estimeet ud f stikpøvedele ˆp Nomlfodeligsppoksimtio til iomilfodelt stokstisk viel X med middelvædi m = p og spedig s = p ( - p) (58) (59) é ˆ ( ˆ) ˆ ( ˆ) pˆ p p ; pˆ p p ù êë úû Eceptioelle udfld 3 3 omle udfld () Eceptioelle udfld ,7% 95,45% 99,73% () 9

30 Pscls tekt (60) K(0,0) K(,0) K(,) K(,0) K(,) K(,) K(3,0) K(3,) K(3,) K(3,3) K(4,0) K(4,) K(4,) K(4,3) K(4,4) K(5,0) K(5,) K(5,) K(5,3) K(5,4) K(5,5) K(6,0) K(6,) K(6,) K(6,3) K(6,4) K(6,5) K(6,6) K(7,0) K(7,) K(7,) K(7,3) K(7,4) K(7,5) K(7,6) K(7,7) K(8,0) K(8,) K(8,) K(8,3) K(8,4) K(8,5) K(8,6) K(8,7) K(8,8)

31 Multipliktiostel (6) Røde tl: Kvdttl 3

32 el og omkeds, umfg og oveflde f geometiske figue Tekt Pllelogm Tpez Cikel g g h h h C h g højde gudlije el h højde g gudlije el hg h højde, pllelle side el dius el hg h π O omkeds O π ( ) Kugle O V dius oveflde umfg O 4π V 4 3 π 3 Cylide h h højde gudfldedius O kum oveflde O πh V umfg V π h Kegle h s h højde s sidelije gudfldedius O kum oveflde O πs V umfg 3 π 3

33 Mtemtiske stddsymole Symol etydig Eksemple, emækige m.v..,.,.,. mægde på listefom 5,0,3,0,4,6,... mægde f tulige tl,,3,... mægde f hele tl...,,,0,,,... mægde f tiole tl tl, de k skives p q, p, q mægde f eelle tl tilhøe / e elemet i ; lukket itevl ;3 3 ; hlvået itevl ;3 3 ; hlvået itevl ;3 3 ; ået itevl ;3 3 e e ægte delmægde f,,3 N fællesmægde Foeigsmægde \ mægdediffees \ komplemetæmægde U \ U Ø de tomme mægde disjukte mægde Ø mægdepodukt 0;0 0;0 og i etydige åde og (kojuktio) elle i etydige og/elle (disjuktio) y

34 Symol etydig Eksemple, emækige m.v. medføe, hvis så (impliktio) esetydede, hvis og ku hvis (iimpliktio) i... i! f ( ) fkultet, udåsteg fuktiosvædi f ved fuktioe f = = 4 4 i = 4 =- = i 3 4!... fo 0! = f (), så e f (4) = 3. Dm( f ) defiitiosmægde fo f Vm( f ) vædimægde fo f log( ) l( ) e si( ) cos( ) t( ) logitmefuktioe med gudtl 0 de tulige logitmefuktio de tulige ekspoetilfuktio ekspoetilfuktioe med gudtl, 0 potesfuktio umeisk (solut) vædi f sius cosius tges ylog( ) 0 y y l( ) e y e eteges også ep() ekspoetilfuktio elle e ekspoetiel udviklig kldes udetide fo e kldes udetide fo e potesfuktio elle e potesudviklig 3 3, 7 7 eteges også s() si( ) t( ) = cos( ) 34

35 Symol etydig Eksemple, emækige m.v. - si ( y) omvedt fuktio til sius si ( y) si( ) y si (0,5) 30 si eteges også csi - cos ( y) omvedt fuktio til cosius cos ( y) cos( ) y cos (0,5) 60 cos eteges også ccos - t ( y) omvedt fuktio til tges t ( y) t( ) y t () 45 t eteges også ct lim f ( ) gæsevædie f f ( ) 0 lim 8 fo gåede mod 0 3 lim f ( ) gæsevædie f f () lim 0 fo gåede mod f ( ) f () gå mod + 3fo 8 fo 0 fo gåede mod 0 f ( ) fo f () gå mod fo gåede mod e 0fo -tilvækst 0 y, f fuktiostilvækst fo yf f( ) f( y f ( ) 0) y f diffeeskvotiet fo y f f ( ) f ( 0 ), y f ( ) 0 f ) 0 f( ) f( 0 ) diffeetilkvotiete fo f0 ) lim 0 y f ( ) i 0 0 f y lim lim 0 0 f fledet fuktio f y f ( ) d eteges f ( ), y, f( ), d d df dy ( f ( )),,, 3 d d d ( ) f de te fledede fuktio f y f ( ) f () ( ) skives ofte f ( ), y d y elle d 35

36 Symol etydig Eksemple, emækige m.v. lijestykket lægde f lijestykket cikelue lægde f cikelue e pllel med e vikelet på l m læses også l og m e otogole vikel 0 elle = 0 D vikel i tekt D C D etviklet tekt hypoteuse v hosliggede ktete til v modståede ktete til v midtomle fo lijestykket h højde f på side elle des folægelse c h C 36

37 Symol etydig Eksemple, emækige m.v. m medie f på side c m C v vikelhlveigslije fo vikel c v C tekt C s omskeve cikel C tekt C s idskeve cikel v C C 37

38 Stikodsegiste dditiospicip 6 G guppeede osevtioe fledet fuktio, 35 gæsevædi 35 fstd mellem - pukte H hlveigskostt 7 - pukt og lije hmoisk svigig 9 mplitude 9 histogm degdspolyomie 4 hældigskoefficiet 0, 3 uitetslå 5 hædelse 7 uitetsopspig 5 højde 3, 36 el højeskæv 4 - f cikel 3 - f pllelogm 3 I ikke-skæv 4 - f tekt 9, 3 idekstl 5 - f tpez 3 idskeve cikel 37 iomilkoefficiet 8 K kpitlfomel 5 oksplot 3 kegle 3 økegle 6 komitioe 6 kofidesitevl 9 C cikel, 3 kugle 3 cosius 8, 34 kvdtsætige 7 cosiuseltio 9 kvtil, 3 cylide 3 L lieæ fuktio 3 D diffeeskvotiet 35 lieæ egessio 5 diffeetilkvotiet 0, 35 lijes ligig 0 lodet lije 0 E ekspoetilfuktioe logitmefuktioe 5 - ftgede 7 - voksede 6 M medi (tekt) 37 esviklede tekte 8 medi (sttistik), 3, 4 middeltl 4 F fkultet 6, 34 middelvædi 8 fodoligskostt 6 midtoml 36 femskivigsfkto 6, 7 midtpukt føstegdspolyomium 3 multipliktiospicip 6 38

39 N ede kvtil, 3 S sdsylighed 7, 8, 9 omlfodelige 9 sius 8, 34 ulpukt 4 siuseltio 9 sklfkto 8 O omskeve cikel 37 spedig 4, 8, 9 omvedt popotiolitet 6 stokstisk viel 8, 9 otogole lije stokstisk usikkehed 9 oveflde f sumkuve - cylide 3 symole 33 - kegle 3 søjledigm 8 - kugle 3 outlie 4 T tges 8, 34 tget til gf 0 P pel toppukt, 4 pllelogm 3 tpez 3 Pscls tekt 30 tigoometiske 9, p% -fktil pemuttioe 6 U ufhægige hædelse 7 potesfuktio 8,, 34 udfldsum 7 potesegeegle 7 udvidet kvtilsæt 3 pikdigm 3 uguppeede osevtioe 3 pocetegig 5 popotiolitet 6 V vitiosedde 3 Pythgos sætig 8 vis 8 vesteskæv 4 R egeegle fo diffeetitio 0 vikelsum i tekt 9 egessio, lieæ 5 vilkålig tekt 9 egessioslije 5 vikelhlveigslije 37 esidul 5 vikle 36 esidulspedig 5 vækstte 5, 6, 7 etviklet tekt 8, 36 od, ødde 4 Ø øve kvtil, 3 umfg f - cylide 3 - kegle 3 - kugle 3 39