Opgave Da treanterne ABC og DEF er ensvinlede, er de også ligedannede. Forstørrelsesfatoren findes med formlen DE = AB fordi de to sider ligger over for vinler af samme størrelse (vist på tegningen med dobbeltbue.) De endte tal indsættes: = 9 6 Da siderne BC og EF ligger over for lige store vinler, findes ved indsættelse af de endte tal i formlen: EF EF = = BC 9 * 4 = 6 6,00 = 6,0 Tilsvarende fås - idet benyttes til formindselse ved at dividere: AC = DF 9 6 AC = 2 : = 2g = 8,00 = 8,0 6 9 2HF073_MAC IM
Opgave 2 Forsriften "y=2,5+0,5" medfører, at modellen er lineær. Da modellen er lineær, er b = 0,5 begyndelsesværdien; dvs., at i år 2000 var omsætningen 0,5 mia. r. Endvidere gælder, at a = 2,5: dvs., at hvert år stiger omsætningen med 2,5 mia. r. ( i perioden.) f(5) = 23,00 = 23,0 Dvs., at i år 2005 (5 år efter år 2000) forventes omsætningen at være 23,0 mia. r. Modellen har lart undervurderet den raftige væst fra 2004 til 2005; den fatise væst er ca. 2,5 gange større end forventet. Opgave 3 Da der er tale om ét indsud og renten er fast, benytter vi apitalfremsrivningsformlerne til beregningen, hvor Ko = 8000 Kn = 8877,62 r =? n = 6 De endte tal indsættes i formlen: r r K K 0 = n n 8877,62 8000 = 6 r = 0,0750 =,75% 2HF073_MAC IM 2
Opgave 4 Da treant AHC er retvinlet, gælder reglen: h = hyp*cos(v) Oplyst: AC = 30 cm, CH = 26 cm Tallene indsættes i formlen: 26 = 30 cos( C) 26 = cos( C) 30 26 30 C = cos ( ) o C = 29,92 = 29,9 o Da treanten er retvinlet, gælder Pythagoras sætning: 2 2 2 at + at = hyp 2 De endte tal indsættes: c c c + 26 = 30 2 2 2 = 30 26 2 2 2 2 2 = 30 26 c = 4,96 = 5,0 Længden af AH i dragen er 5,0 cm Da treant AHB er retvinlet, gælder tangensreglen: m = h tan( v) m tan( v) = h m v = tan ( ) h Det er oplyst, at BH =3 cm. De endte tal indsættes: 3 o BAH = tan ( ) = 40,97 = 4, 0 5 o 2HF073_MAC IM 3
Af reglen om treantsummen anvendt på treat ACH fås: o o o o CAH = 80 90 29, 9 = 60, Vinel A i treant ABC beregnes som: CAB = CAH + BAH og ved indsætning af de beregnede vinler fås: CAH = 60, + 4,0 = 0, o o o 2HF073_MAC IM 4
Opgave 5 Når antallet voser med en bestemt procent pr. år, er der tale om en esponentiel udviling. Fremsrivningsfatoren a = +r, dvs. her er: a = + 40 % = + 40/00 =,40 og begyndelsesværdien b er antallet af internetbutier svarende til = 0. Defineres: = antal år efter 2006 og f() = antal internetbutier år efter 2006 fås: f ( ) = 7700g,40 f ( ) = 25000 7700g, 40 = 25000 7700g,40 / 7700 = 25000/ 7700 25000,40 = 7700 25000 log(, 40 ) = 7700 25000 g`log(, 40) = 7700 25000 = 7700 log(, 40) = 3,50 = 3,5 Hvis vi antager, at beholdningen af butier er optalt ved årets begyndelse, vil antallet af internetbutier nå op på 25000 midt i året 2009. Alternativt løses sidste del ved at beregne oordinaterne for 2 punter på grafen, tegne denne på eneltlogaritmis papir og finde y-værdien 25000 og derefter den tilsvarende -værdi 3,5 ved aflæsning. 2HF073_MAC IM 5
Opgave 6 Histogram 30 25 20 Antal 5 0 5 0 0 50 00 50 200 250 300 350 400 Salgspris (r.) Idet vi forudsætter, at observationerne i hvert delinterval er jævnt fordelt, benytter vi intervalmidtpunterne som middelværdier for hvert enelt delinterval. Forudsætningen er næppe opfyldt 00 %, men fejlene vil til en vis grad ophæve hinanden og fejlen på middelværdien er formodentligt ringe: Salgspris Midtpunt Antal m* 50-00 75 3 975 00-50 25 26 3250 50-200 75 8 400 200-250 225 8 800 250-300 275 275 300-350 325 4 300 Samlet salgspris for 60 9000 Middeltal for salgspriser = 9000/60 = 50,0 Middeltallet for salgspriserne er 50 r. Øvre vartil aflæses som på tegningen til 90 r. Det betyder, at 75% af salgspriserne er mindre end 90 r. og tilsvarende: at 25 % af salgspriserne er større end 90 r. 75 90 2HF073_MAC IM 6
Opgave 7 Da sammenhængen mellem og y besrives med: a y = bg er der tale om en potensfuntion, og parametrene an beregnes med formlerne: y2 y a = 2 b = y a hvor og y værdier ses i tabellen: Mennese Hund Tallene indsættes i formlen: 70 20 y 5,9,5 a =,5 5,9 =,093 =,093 20 70 b = 5,9,093 70 = 0,0567 = 0,057 Funtionsforsriften for modellen er:,093 f ( ) = 0,057g og da elefantens seletvægt er 787 g, gælder at elefantens vægt er løsning til ligningen: 787 0,057 787 0,057,093 = g,093 = 787,093 0,057 = = 653,0 = 650 Dvs. at en elefant med seletvægt 787 g i følge modellen vejer 650 g For alle potensfuntioner gælder det, at er forholdet mellem to -værdier, er forholdet mellem de tilsvarende y-værdier: a Når den ene at vejer 50 % mere end den anden er vægtforholdet +50% =,50; derfor er seletvægtforholdet =,093,50 =,557 =,56 = + 56% Bengalattens selet vejer 56 % mere end siameserattens. 2HF073_MAC IM 7
Opgave 8 Løsning Vi sriver de oplyste tal i nedenstående tabel: Rørlængde 9,4? Frevens 880 588 For den ene variabel endes 2 værdier; vi an ændre den ene til den anden ved at gange med fatoren = 588/880 (Dvs: 880*=588) Da størrelserne er omvendt proportionale an rørlængden 9,4 ændres til det søgte, ved division med : 9,4 9,4g880 Rørlængden (svarende til frev. 588) = = = 4,06 = 4, 588 588 880 Rørlængden svarende til frevensen 588 er 4, cm Løsning 2 Modellen er: = rørets længde (målt i cm) f() = frevensen for et rør med længden (målt i Hz) Da de variable er omvendt proportionale, er funtionen af typen: f ( ) = eller f ( ) = bg Af det oplyste ses, at f(9,4) = 880; heraf ses, 880 = 9,4 880 9,4 = Vi søger rørlængden der opfylder: f ( ) = 588 = 588 880g9,4 = 588 880g9,4 = 588 880g9,4 = 588 = 4,06 = 4, Røret sal være 4, cm langt for at have grundtonen med frevensen 588 2HF073_MAC IM 8