Funktioner 2. del 2018 Karsten Juul
18. Eksponentiel funktion forskrift 18.1 Oplæg nr. 1 til forskrift for eksponentiel funktion... 52 18.2 Oplæg nr. 2 til forskrift for eksponentiel funktion... 53 18.3. Forskrift for eksponentiel funktion... 53 18.4 Udfyld tabel for eksponentiel funktion... 54 18.5 Brug forskrift til at bestemme eller y... 54 19. Eksponentiel funktion betydningen af a og b 19.1 Sætning om betydningen af a og b... 55 19.2 Eksempler på betydningen af a og b... 55 19.3 Eksponentiel funktion og procent... 57 20. Eksponentiel funktion forskrift er kendt, betydningen af a og b 20.1 Opgave med voksende funktion... 59 20.2 Opgave med aftagende funktion... 60 20.3 Når stiger mere end 1 enhed... 61 21. Eksponentiel funktion skriv forskrift, betydning af a og b 21.1 Opgave med voksende funktion... 61 21.2 Opgave med aftagende funktion... 62 22. Eksponentiel funktion argumentation, betydning af a og b 22.1 Nogle potensregler... 63 22.2 Eksempel på argumentation, a... 63 22.3 Eksempel på argumentation, b... 64 22.4 Bevis for reglen om betydningen af a... 64 22.5 Bevis for reglen om betydningen af b... 65 23. Eksponentiel funktion udregn a og b 23.1 Udregn b i f () = ba ud fra a og et punkt... 66 23.2 Udregn a i f () = ba ud fra b og et punkt... 66 23.3 En potensregel... 67 23.4 Udregn a og b i f () = ba ud fra to punkter uden brug af formel... 67 23.5 Udregn a og b i f () = ba ud fra to punkter givet ved tekst... 68 23.6 Sammensat opgave... 68 23.7 Udregn a og b i f () = ba ved hjælp af formler... 69 23.8 Udregn a og b i f () = ba ved regression... 70
24. Eksponentiel funktion fordoblingskonstant og halveringskonstant 24.1 Hvad er fordoblingskonstant og halveringskonstant?... 72 24.2 Aflæs fordoblingskonstant og halveringskonstant på graf... 73 24.3 Skriv hvad fordoblingskonstant og halveringskonstant fortæller... 73 24.4 Udregn y-værdier med T2 og T0,5... 74 24.5 Den naturlige logaritmefunktion ln()... 75 24.6 Udregn T2 og T0,5 når vi kender forskriften y = ba... 75 24.7 En logaritme-regel... 76 24.8 Bevis for formler for fordoblings- og halveringskonstant... 76 25. Eksponentiel funktion graf 25.1 Graf for eksponentiel funktion ba der er voksende (1 < a)... 77 25.2 Graf for eksponentiel funktion ba der er aftagende (0 < a < 1)... 78 25.3 Hvilken graf, forklar. Eksempel 1... 79 25.4 Hvilken graf, forklar. Eksempel 2... 79 25.5 Hvilken graf, forklar. Eksempel 3... 79 25.6 Hvilken graf, forklar. Eksempel 4... 80 26. Enkeltlogaritmisk koordinatsystem 26.1 Logaritmisk tallinje... 81 26.2 Enkeltlogaritmisk koordinatsystem... 81 26.3 Enkeltlogaritmisk koordinatsystem, regel... 81 26.4 Enkeltlogaritmisk koordinatsystem, advarsel... 81 26.5 Enkeltlogaritmisk koordinatsystem, eksempel... 82 27. Potensfunktion forskrift 27.1 Rumfang af kasse... 83 27.2 Oplæg nr. 1 til forskrift for potensfunktion... 83 27.3 Oplæg nr. 2 til forskrift for potensfunktion... 83 27.4 Forskrift for potensfunktion... 84 27.5 Brug forskrift til at bestemme eller y... 84 28. Potensvækst 28.1 Reglen for potensvækst... 85 28.2 Eksempler med reglen for potensvækst... 85 28.3 Opgaver med reglen for potensvækst... 85 29. Potensfunktion graf... 86
30. Potensfunktion udregn a og b i y = b a 30.1 Udregn b i f () = b a ud fra a og et punkt... 86 30.2 Udregn a i f () = b a ud fra b og et punkt... 87 30.3 Udregn a og b i f () = b a ud fra to punkter uden brug af formel... 87 30.4 En potensregel... 87 30.5 En logaritmeregel... 88 30.6 Udregn a og b i f () = b a ved hjælp af formler... 88 30.7 Udregn a og b i f () = b a ved regression... 89 31. Residual-plot 31.1 Hvad er residualer og residualplot?... 91 31.2 Tegn et residualplot... 92 31.3 Brug residualplot til at bestemme største afvigelse... 93 31.4 Brug residualplot til at kommentere modellens anvendelighed... 93 32. Dobbeltlogaritmisk koordinatsystem 32.1 Logaritmisk tallinje... 94 32.2 Dobbeltlogaritmisk koordinatsystem, definition... 94 32.3 Dobbeltlogaritmisk koordinatsystem, regel... 94 32.4 Dobbeltlogaritmisk koordinatsystem, advarsel... 94 32.5 Dobbeltlogaritmisk koordinatsystem, eksempel... 95 33. Tre væksttyper... 96 Funktioner 2. del. 2018 Karsten Juul 10/8-2018 Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren sender en e-mail til kj@mat1.dk som oplyser at dette hæfte benyttes og oplyser hold, niveau, lærer og skole.
18. Eksponentiel funktion forskrift 18. 1 Oplæg nr. 1 til forskrift for eksponentiel funktion: celler der deler sig. Nogle celler der formerer sig ved deling. Kl. 12 er der 2000 celler. I første time stiger antal celler med 400. I anden time stiger antal celler med 480. Hvorfor er stigningen i anden time større end i første? Svar: I anden time er der flere celler til at dele sig. Der er 400 flere celler fra timens start, Stigningen er tilsvarende større. Stigningen på en time er 0,2 gange antal celler ved timens start. Stigningen på en time er altså en femtedel af det der var ved timens start. Antallet efter timen er altså 1 gange start-antal plus 0,2 gange start-antal dvs. 1,2 gange start-antal. 0 timer efter kl. 12 er antal celler lig 1200 Det sorte er antal efter 1. time. Dette skal ganges med 1,2 for 1 time efter kl. 12 er antal celler lig 12001,2 at få antal efter 2. time 2 timer efter kl. 12 er antal celler lig 12001,21,2 = 12001,2 2 3 timer efter kl. 12 er antal celler lig 12001,21,21,2 = 12001,2 3 9 timer efter kl. 12 er antal celler lig 12001,2 9 timer efter kl. 12 er antal celler lig 12001,2 Forskriften for antal celler er altså 12001,2 som er af typen b a. En eksponentiel funktion har en forskrift af typen ba. Funktioner 2. del 52 2018 Karsten Juul
18.2 Oplæg nr. 2 til forskrift for eksponentiel funktion: alders-bestemmelse. Når man finder noget der er lavet af træ, så kan man bestemme dets alder ved at se på hvor meget kulstof-14 (C-14) der er tilbage i træet. C-14 er radioaktivt, dvs. at et C-14 atom kan henfalde og blive til et andet stof. I løbet af et år henfalder en vis mængde af den C-14 der er i træet. Næste år er der mindre C-14 tilbage som kan henfalde, så næste år forsvinder en mindre mængde. Princippet er det samme som i følgende eksperiment med terninger: En terning viser gul i en tiendedel af kastene Vi kaster et stort antal af disse terninger og fjerner de der viser gul. Vi får det tilbageværende antal ved at sige 1 gange antal minus 0,1 gange antal. 1 0,1 = 0,9 Antal vi kaster skal altså ganges med 0,9 for at få antal der er tilbage efter at gule er fjernet. Vi starter med 1000000 terninger. Det sorte er antal efter 1. Efter 0 kast er antal 1000000 kast. Dette skal ganges med Efter 1 kast er antal 10000000,9 1,2 for at få antal efter 2. Efter 2 kast er antal 10000000,90,9 = 10000000,9 2 Efter 3 kast er antal 10000000,90,90,9 = 10000000,9 3 Efter kast er antal 10000000,9 Denne forskrift er af typen b a. En eksponentiel funktion har en forskrift af typen ba. 18.3 Forskrift for eksponentiel funktion Definition på eksponentiel funktion: En funktion er eksponentiel hvis den har en forskrift af typen f () = b a a og b skal være positive tal. Alle tal kan indsættes for. Uanset hvilket tal vi indsætter for, så bliver resultatet y et positivt tal. Funktioner 2. del 53 2018 Karsten Juul
18.4 Udfyld tabel for eksponentiel funktion Udfyld en tabel som den viste for funktionen f () = 23. Svar f () = 23. f (1) = 23 1 = 23 = 6. f (2) = 23 2 = 233 = 63 = 18. f (3) = 23 3 = 2333 = 69 = 54. 18.5 Brug forskrift til at bestemme eller y I en model beskrives antal dyr ved funktionen f () = 1211,07 hvor f () er antal og er antal år efter køb. a) Bestem antal 5 år efter køb. b) Bestem hvornår antal er 500. Besvarelse HUSK at skrive de oplysninger fra opgaveteksten som du bruger. 5 er vægt og er vægt så 5 skal erstatte i ligningen. 500 er antal og f () er antal så 500 skal erstatte f () i ligningen. Hvis f ()= skrives i samme matematikfelt som 121 1,07, så kommer det ikke til at stå korrekt. HUSK at skrive konklusion til hvert spørgsmål, og markér facit i konklusionen. Over solve skrives hvad solve udfører, da solve ikke er normalt matematiksprog. Brug af solve: solve(, ) Her står ligningen. HUSk at skrive punktum i kommatal. Her står det bogstav vi skal finde. Foran bogstavet står et rigtigt komma, ikke punktum. Funktioner 2. del 54 2018 Karsten Juul
19. Eksponentiel funktion betydningen af a og b 19.1 Sætning om betydningen af a og b For en eksponentiel funktion y = b a gælder: 19.1a Hver gang vi lægger 1 til -værdien, så bliver y-værdien ganget med a. Tallet a kaldes fremskrivningsfaktoren. 19.1b Når = 0, er y = b. 19.2 Eksempler på betydningen af a og b 19.2a En funktion har forskriften f () = 41,5 Ifølge 19.1b er funktionsværdien af 0 lig 4. Dette skriver vi i tabellen. : 1 0 1 2 3 y: 4 y = 41,5 Ifølge 19.1a bliver funktionsværdien ganget med 1,5 når bliver 1 større. +1 +1 +1 +1 : 1 0 1 2 3 y: 4 6 9 1,5 1,5 y = 41,5 At gange 4 med 1,5 giver en stigning på 2 enheder. At gange 6 med 1,5 giver en stigning på 3 enheder. Når vi lader vokse med konstant hastighed, så vil y altså vokse hurtigere og hurtigere. +1 +1 +1 +1 : 1 0 1 2 3 y: 2,67 4 6 9 13,5 1,5 1,5 1,5 1,5 y = 41,5 Se graf på næste side. Funktioner 2. del 55 2018 Karsten Juul
Der gælder dvs. Når blå stolpe rykkes 1 enhed mod højre, så bliver den 1,5 gange så høj. Når bliver 1 enhed større, så vil y blive ganget med 1,5. Hver gang bliver 1 enhed mindre, bliver y (stolpehøjden) divideret med 1,5, så y bliver aldrig 0 eller negativ, men kommer vilkårlig tæt på 0. 19.2b Opgave Udfyld resten af tabellen når det oplyses at f er en eksponentiel funktion. Svar 2 3 4 f () 1 3 9 Hver gang der lægges 1 til -værdien, så ganges f ()-værdien (y-værdien) med fremskrivningsfaktoren a. Af de to midterste søjler ser vi at 3a = 9, så a = 3. Fra første til anden søjle er y blevet ganget med 3, altså med a, så i første søjle må være 1 enhed mindre end i anden søjle, dvs. i første søjle er = 1. Fra tredje til fjerde søjle er blevet 1 enhed større, så y skal ganges med a, altså 3. 93 = 27, så i fjerde søjle er y = 27. +1 +1 +1 1 2 3 4 f () 1 3 9 27 Funktioner 2. del 56 2018 Karsten Juul
3 3 3 19.2c Problem f () = 28,31,062 Hvad sker der med funktionsværdien y når bliver 4 enheder større? Forklaring +1 +1 +1 f () q 1,062 1,062 1,062 Hvis funktionsværdien er q og bliver 1 større, så er den nye funktionsværdi q1,062 Bliver endnu én enhed større, så bliver den nye funktionsværdi q1,062 1,062 = q1,062 2 Vi ser at hvis bliver 4 enheder større, så bliver funktionsværdien ganget med 1,062 4 = 1,27203 1,272 19.3 Eksponentiel funktion og procent 19.3a 1,18 = 118 hundrededele = 118 procent Når vi ganger et tal med 1,18 så er resultatet altså: 118 hundrededele af tallet og dette er: 100 hundrededel plus 18 hundrededele altså: 100 % plus 18 % altså: noget der er 18 % større 19.3b Forskrift givet, a over 1, bestem stigning i procent For funktionen f () = 2471,18 gælder: Når bliver 1 enhed større, så: y ændres til 118 % af sin værdi 1,18 = 118 % komma flyttes to pladser y bliver 18 % større 118 % 100 % = 18 % 19.3c Forskrift givet, a over 1 og har mere end 2 tal efter komma, bestem stigning i prcent For funktionen f () = 5,241,029 gælder: Når bliver 1 enhed større, så: y ændres til 102,9 % af sin værdi 1,029 = 102,9 % komma flyttes to pladser y bliver 2,9 % større 102,9 % 100 % = 2,9 % Funktioner 2. del 57 2018 Karsten Juul
19.3d Forskrift givet, a under 1, bestem fald i procent For funktionen f () = 520,76 gælder: Når bliver 1 enhed større, så: y ændres til 76 % af sin værdi 0,76 = 76 % komma flyttes to pladser y bliver 24 % mindre 76 % 100 % = 24 % 19.3e Stigning i procent oplyst, bestem a Om funktionen f () = 8a er oplyst: Når bliver 1 enhed større, så: y bliver 32 % større Dvs.: Når bliver 1 enhed større, y ændres til 132 % af sin værdi 100 % + 32 % = 132 % a = 1,32 132 % = 1,32 komma flyttes to pladser 19.3f Fald i procent oplyst, bestem a Om funktionen f () = 16a er oplyst: Når bliver 1 enhed større, så: y bliver 12 % mindre Dvs.: Når bliver 1 enhed større, så: y ændres til 88 % af sin værdi 100 % 12 % = 88 % a = 0,88 88 % = 0,88 komma flyttes to pladser 19.3g Når stiger mere end 1 enhed For funktionen f () = 28,31,062 gælder: Når bliver 1 enhed større, så: y bliver ganget med 1,062 Når bliver 4 enheder større, så: y bliver ganget med 1,062 4 = 1,27203 1,272 Se 19.2c y ændres til 127,2 % af sin værdi 1,272 = 127,2 % komma flyttes to pladser y stiger med 27,2 % 127,2 % 100 % = 27,2 % Funktioner 2. del 58 2018 Karsten Juul
20. Eksponntiel funktion forskrift er kendt, betydning af a og b 20.1 Opgave med voksende funktion Svar på a) Svar på b) Om en figur på skærmen gælder at y = 3001,40 hvor = temperaturen og y = arealet i cm 2 a) Hvad fortæller tallet 1,40 om figuren? b) Hvad fortæller tallet 300 om figuren? = temperaturen og y = arealet i cm 2 y = 3001,40 1,40 = 140 % Komma flyttes to pladser i det tal der er opløftet til -te 140 % 100 % = 40 % Dette er ændringen i y når bliver 1 enhed større For y = b a gælder følgende tekst-formel: Tallet a fortæller: Når bliver én større, vil y blive ganget med a. Se 19.1a Vi indsætter i denne tekst-formel: Husk at tilføje enhed! Tallet 1,40 fortæller: Når temperatur bliver én grad større, vil areal blive ganget med 1,40. En bedre formulering: Tallet 1,40 fortæller: Når temperatur stiger én grad, vil areal blive 40 % større. = temperaturen og y = arealet i cm 2 y = 3001,40 For y = b a gælder følgende tekst-formel: Tallet b fortæller: Når er 0, er y lig b. Se 19.1b1a Vi indsætter i denne tekst-formel: Husk at tilføje enheder! Tallet 300 fortæller: Når temperatur er 0 grader, er areal lig 300 cm 2. Funktioner 2. del 59 2018 Karsten Juul
20.2 Opgave med aftagende funktion Svar på a) Antal dyr ændres sådan at y = 270 0,925 hvor = antal dage efter 1. juni og y = antal dyr a) Hvad fortæller tallet 0,925 om figuren? b) Hvad fortæller tallet 270 om figuren? = antal dage efter 1. juni og y = antal dyr y = 270 0,925 0,925 = 92,5 % Komma flyttes to pladser i det tal der er opløftet til -te 92,5 % 100 % = 7,5% Dette er ændringen i y når bliver 1 enhed større For y = b a gælder følgende tekst-formel: Tallet a fortæller: Når bliver én større, vil y blive ganget med a. Se 19.1a Vi indsætter i denne tekst-formel: Tallet 0,925 fortæller: Når antal dage bliver én større, vil antal dyr blive ganget med 0,925. En bedre formulering: Tallet 0,925 fortæller: Hver dag vil antal dyr blive 7,5 % mindre. Ordet mindre betyder at ændringen er 7,5 %, så vi skal ikke skrive minusset foran 7,5 %. Svar på b) = temperaturen og y = arealet i cm 2 y = 270 0,925 For y = b a gælder følgende tekst-formel: Tallet b fortæller: Når er 0, er y lig b. Se 19.1b Vi indsætter i denne tekst-formel: Tallet 270 fortæller: Når antal dage er 0, er antal dyr lig 270. En bedre formulering: Tallet 270 fortæller: 1. juni er antal dyr 270 Funktioner 2. del 60 2018 Karsten Juul
20.3 Når stiger mere end 1 enhed Udviklingen i antal kunder beskrives ved f () = 56201,074 hvor f () er antal kunder, og er antal år efter 2012. Hvor mange procent stiger antal kunder på 6 år. Svar f () = 56201,074 f () = antal kunder = antal år efter 2012. Hvert år ganges antal kunder med 1,074 På 6 år ganges antal kunder med 1,074 6 = 1,53471 1,53 Se 19.2c og 19.3g På 6 år stiger antal kunder med 53 %. 21. Eksponntiel funktion skriv forskrift, betydning af a og b 21.1 Opgave med voksende funktion Svar Kl. 9 er der 300 celler, og hver time bliver antal celler 23 % større. Indfør passende variable, og opstil en formel til at bestemme antallet af celler når man kender tidspunktet. Passende variable: = antal timer efter kl. 9 y = antal celler Antallet stiger med samme procent hver time, så det er en eksponentiel funktion y = b a. 100 % + 23 % = 123 % = 1,23 Komma flyttes to pladser Der står: Når antal timer bliver én større, bliver antal celler 23 % større dvs. når bliver én større, bliver y 23 % større så når bliver én større, bliver y ganget med 1,23 Derfor: a = 1,23 ifølge reglen om hvad a fortæller (regel 19.1a) Der står: Når klokken er 9, er antal celler lig 300 dvs. når er 0, er y lig 300 Derfor: b = 300 ifølge reglen om hvad b fortæller (regel 19.1b).y = 300 1,23. hvor y = antal celler og = antal timer efter kl. 9 Funktioner 2. del 61 2018 Karsten Juul
21.2 Opgave med aftagende funktion Svar I 2006 var der 1270 cyklister. Hvert år falder antallet af cyklister med 1,35 %. Indfør passende variable, og opstil en formel til at bestemme antal cyklister i årene efter 2006. Passende variable: = antal år efter 2006 y = antal cyklister Afgiften falder med samme procent hvert år, så det er en eksponentiel funktion y = b a. 100 % 1,35 % = 98,65 % = 0,9865 Komma flyttes to pladser Der står: Når antal år bliver én større, bliver antal 1,35 % mindre dvs. når bliver én større, bliver y 1,35 % mindre så når bliver én større, bliver y ganget med 0,9865 Derfor: a = 0,9865 ifølge reglen om hvad a fortæller (regel 19.1a) Der står: I 2006 er antal lig 1270. dvs. når er 0, er y lig 1270 Derfor: b = 1270 ifølge reglen om hvad b fortæller (regel 19.1b).y = 1270 0,9865. hvor y = antal cyklister og = antal år efter 2006 Funktioner 2. del 62 2018 Karsten Juul
22. Eksponentiel funktion argumentation, betydning af a og b 22.1 Nogle potensregler 22.1a I ligningen c 3 c 5 = c 8 står at ccc ccccc cccccccc og dette er jo rigtigt. 22.1b En af potens-reglerne siger at r s c c 22.1c To andre potens-regler siger at = c r + s c 1 = c og c 0 = 1 22.2 Eksempel på argumentation, a For funktionen y = 103 vil vi bevise hvad der sker med y når bliver 2 enheder større. Når vi skal gøre to enheder større, må vi starte med en bestemt værdi af. Vi kalder denne -værdi for t. Da t kan være ethvert tal, gælder vores argumentation for alle -værdier. Hvis vi skrev 8 i stedet for t, så ville vores argumentation kun gælde når start-værdien af er 8. Næste -værdi skal være 2 enheder større end t, så den næste -værdi er t+2 : : t t+2 y = 103 : Ved hjælp af forskriften finder vi de y-værdier der svarer til de to -værdier t og t+2 : Når er t, så er y = 103 = 103 t Når er t+2, så er y = 103 t+2 = 103 Vi omskriver den anden y-værdi: : t t+2 y = 103 : 103 t t+2 103 t+2 103 = 103 t 3 2 Vi har brugt en potensregel (22.1b) = 103 t 9 3+5 Funktioner 2. del 63 2018 Karsten Juul
Den nye y-værdi 103 t 9 er altså den gamle y-værdi 103 t gange 9 : Vi har bevist følgende: For funktionen y = 103 t gælder: +2 : t t+2 y = 103 t : 103 t 103 t 9 9 Når bliver 2 enheder større, vil y blive ganget med 9. 22.3 Eksempel på argumentation, b For funktionen y = 103 vil vi bevise følgende: Grafen skærer y-aksen i punktet med y-koordinat 10. Skæringspunktet ligger på y-aksen, så dets -koordinat er 0. Skæringspunktet ligger på grafen så dets y-koordinat fås ved at sætte dets -koordinat ind i forskriften: Det var dette vi skulle bevise. y = 103 0 = 101 = 10. 22.4 Bevis for reglen om betydningn af a For funktionen y = b a vil vi bevise hvad der sker med y når bliver 1 enhed større. Vi starter med en vilkårlig -værdi. Vi kalder denne -værdi for t. Næste -værdi skal være 1 enhed større end t, så næste -værdi er t+1 : : t t+1 y = b a : Ved hjælp af forskriften finder vi de y-værdier der svarer til de to -værdier t og t+1 : Når er t, så er y = b a = b t a Når er t+1, så er y = b a = b t+1 a : t t+1 y = b a : b t a t+1 b a Funktioner 2. del 64 2018 Karsten Juul
Vi omskriver den anden y-værdi: t+1 b a t = b a 1 a Vi har brugt en potensregel (22.1b) = b a t a Vi har brugt en potensregel (22.1c) t Den nye y-værdi b a t a er altså den gamle y-værdi b a +1 : t t+1 y = b a : b t a b a t a gange a : Vi ser at man skal gang den første y-værdi med a for at få den anden y-værdi. Vi har bevist følgende: For funktionen y = b a gælder: 22.5 Bevis for reglen om betydningn af b a Når bliver 1 enheder større, vil y blive gangdet med a. For funktionen y = b a vil vi bevise følgende: b er y-værdien når -værdien er 0. Man kan finde y-værdien ved at sætte -værdien ind i forskriften, og her er -værdien 0 : y = b a 0 = b 1 = b. Det var dette vi skulle bevise. Funktioner 2. del 65 2018 Karsten Juul
23. Eksponentiel funktion udregn a og b 23.1 Udregn b i f () = ba ud fra a og et punkt Svar: Punktet (2, 36) ligger på grafen for funktionen f () = b3. Bestem b. Punktet (2, 36) ligger på grafen for funktionen f () = b3, så b3 2 = 36 For når vi indsætter punktets -koordinat i forskriften og regner ud, så får vi punktets y-koordinat. Nspire løser ovenstående ligning mht. b og får b = 4. I stedet for at bruge Nspire, kan man løse ligningen Sådan: b 3 2 = 36 b 9 = 36 b9 36 9 9 b = 4 23.2 Udregn a i f () = ba ud fra b og et punkt Punktet (3, 40) ligger på grafen for funktionen f () = 5a. Bestem a. Svar: Punktet (3, 40) ligger på grafen for funktionen f () = 5a, så 5a 3 For når vi indsætter punktets -koordinat i forskriften og regner ud, så får vi punktets y-koordinat. = 40 Nspire løser ovenstående ligning mht. a og får a = 2. I stedet for at bruge Nspire, kan man løse ligningen Sådan: 3 5 a 40 3 5a 40 5 5 3 a 8 3 a 8 a 2 3 da 8 222 Funktioner 2. del 66 2018 Karsten Juul
23.3 En potensregel 23.1a I ligningen 5 c 2 c 3 c c c c c c står at c c c c c og dette er jo rigtigt. 5 2 23.1b En af potens-reglerne siger at r c rs c s c 23.4 Udregn a og b i f () = ba ud fra to punkter uden brug af formel Punkterne (4, 3) og (7, 24) ligger på grafen for funktionen f () = b a. Bestem a og b Svar: Punkterne (4, 3) og (7, 24) ligger på grafen for funktionen f () = b a, så 3 = b a 4 og 24 = b a 7 For når vi indsætter punktets -koordinat i forskriften og regner ud, så får vi punktets y-koordinat. Nspire løser ovenstående ligningssystem mht. a og b og får a 2 og b 3 16 I stedet for at bruge Nspire, kan man løse lignings-systemet sådan: Punkterne (, y) (4, 3) og (, y) (7, 24) ligger på grafen for y ba, så 4 3 ba og 24 ba Vi dividerer højre ligning med venstre: 24 3 8 ba ba 7 a 4 a 7 4 Begge sider er forkortet 3 8 a Ifølge potensregel (23.1b) a a 3 8 2 Vi indsætter denne værdi af a i ligningen 4 3 b 2 3 4 2 b 7 4 3 ba og får Begge sider er divideret med 2 4 b 3 16 Funktioner 2. del 67 2018 Karsten Juul
23.5 Udregn a og b i f () = ba ud fra to punkter givet ved tekst Svar En plantes vægt kan med god tilnærmelse beskrives med en funktion af typen y = b a hvor y er vægt i kg, og er år efter udplantning. Efter 2 år er vægten 1,60 kg. Efter 5 år er vægten 4,10 kg. Udregn a og b. y = b a hvor y er vægt i kg, og er år efter udplantning. Der står: Efter 2 år er vægten 1,60 kg. Efter 5 år er vægten 4,10 kg. Dvs. Når = 2 er y = 1,60. Når =5 er y = 4,10. Dvs.: Her skal skrives udregningen af a og b ud fra de to punkter (2, 1,60) og (5, 4,10). Man kan bruge metoden fra 23.4 eller metoden fra 23.7..a = 1,368. og.b = 0,854.. 23.6 Sammensat opgave Grafen for funktionen f () = 1,6 a går gennem punktet (2, 3,6). Svar: Bestem førstekoordinaten til det punkt på grafen hvis andenkoordinat er 8,1. Da grafen for funktionen f () = 1,6 a går gennem punktet (2, 3,6), gælder 3,6 = 1,6 a 2 For når vi indsætter punktets -koordinat i forskriften og regner ud, så får vi punktets y-koordinat. Nspire løser ovenstående ligning mht. a for a større end 0 og får a = 1,5. Der står ikke at du skal finde forskriften. Vi har nu at f () = 1,6 1,5 Du skal selv indse at forskriften skal bruges til at. finde svaret. Når (, 8,1) ligger på grafen, må 8,1 = 1,6 1,5 Nspire løser ovenstående ligning mht. og får = 4. Grafpunktet med andenkoordinat 8,1 har førstekoordinaten 4. Funktioner 2. del 68 2018 Karsten Juul
23.7 Udregn a og b i f () = ba ved hjælp af formler 23.7a Sætning Når (1, y1) og (2, y2) er forskellige punkter på grafen for funktionen så er 23.7b Bevis f () = b a a = b = 2 1 y2 y1 a1 y 1 Da punkterne (1, y1) og (2, y2) ligger på grafen for funktionen f () = b a gælder y b a 1 så y y y 1 2 2 1 b a 2 b a b a 2 1 for når vi indsætter punktets - koordinat i forskriften og regner ud, så får vi punktets y-koordinat. Da tællerne er lig hinanden og nævnerne er lig hinanden y y y y 2 1 2 1 a a 2 Brøk på højre side er forkortet med b 1 2 1 a Vi har brugt en potens-regel (23.1b) y 2 1 2 y 1 a For når c, r og t er positive, kan t = c r omskrives til r t = c Hermed er den første af formlerne bevist. Ovenfor så vi at y 1 b a Vi dividerer begge sider med a 1 : a y 1 1 b Hermed er den anden af formlerne bevist. 1 Funktioner 2. del 69 2018 Karsten Juul
23.7c Eksempel på brug af formlerne Opgave Svar Punkterne (, y) (4, 3) og (, y) (7, 24) ligger på grafen for funktionen y b. a Bestem tallene a og b. I formlerne for a og b i ( 1 1, y ) (4, 3) og, y ) (7, 24) : y ba indsætter vi punkterne ( 2 2 Oplysningen om de to punkter er nogle gange skrevet sådan: f (4) = 3 og f (7) = 24. a b 2 1 y 74 24 3 2 8 2 y 3 1 y 3 3 1 4 a 1 2 16 23.8 Udregn a og b i f () = ba ved regression 23.8a Opgavens formulering Tabellen viser antallet af indbyggere i et område i perioden 2000-2005. Årstal 2000 2001 2002 2003 2004 2005 Antal 80 110 140 170 200 240 I en model beskrives antallet ved en eksponentiel funktion f ( ) ba hvor f () er antallet af indbyggere, og er antal år efter 2000. a) Tegn et punktplot af tabellens data. b) Bestem tallene a og b ved eksponentiel regression. c) Tegn et residualplot, og kommentér på baggrund heraf den eksponentielle models anvendelighed til at beskrive antal indbyggere som funktion af tiden. 23.8b Brugsanvisning til opgave 23.8a Start på ny opgave i Nspire. Vælg et vindue af typen Lister og regneark. Navngiv en søjle i søjlens øverste grå felt (som vist i 23.8c) og tast -værdier i den. Navngiv en søjle og tast y-værdier i den (se 23.8c). Tilføj et vindue af typen Diagrammer og statistik. Klik under -aksen og vælg søjlen med -værdier. Klik til venstre for y-aksen og vælg søjlen med y-værdier. Vælg i værktøjsmenuen Undersøg data / Regression / eksponentiel. Nu ses forskrift og punktplot og graf (se 23.8c). Vælg i værktøjsmenuen Undersøg data / Residualer / Residualplot. Nu ses residualplottet (se 23.8c). Funktioner 2. del 70 2018 Karsten Juul
23.8c Besvarelse af opgave 23.8a Udregnet: År efter 2000: 0 1 2 3 4 5 Oplyst: Årstal: 2000 2001 2002 2003 2004 2005 Oplyst: Antal indbyggere: 80 110 140 170 200 240 I en model beskrives antallet ved en eksponentiel funktion f ( ) ba hvor f () er antallet af indbyggere, og er antal år efter 2000. Vi åbner et regneark og taster år efter 2000 i -søjlen, og antal indbyggere i y-søjlen (se næste vindue). a) Ud fra dette tegner Nspire et punktplot (se næste vindue). b) Nspire laver eksponentiel regression ud fra de to søjler og får forskriften f () = 86,09741,23829 dvs. a = 1,23829 og b = 86,0974. c) Ud fra dette laver Nspire residualplottet (se næste vindue). Punkterne ligger på kæde, så en eksponentiel model er ikke specielt egnet til at beskrive antal indbyggere som funktion af tiden. Vi taster IKKE årstal da ikke er årstallet! Funktioner 2. del 71 2018 Karsten Juul
24. Eksponentiel funktion fordoblingskonstant og halveringskonstant 24.1 Hvad er fordoblingskonstant og halveringskonstant? 24.1a Oplæg til definition af fordoblingskonstant Tabellen viser hvordan højden af en plante er vokset eksponentielt. I tabellen ser vi: 1 uge efter købet er højden 15 cm. 3 uger senere er højden 30 cm, som er det dobbelte af 15 cm. 2 uger efter købet er højden 19 cm. 3 uger senere er højden 38 cm, som er det dobbelte af 19 cm. Uanset hvornår vi starter, så vil der gå 3 uger før højden er fordoblet. Man siger at højdens fordoblingskonstant er 3 uger. 24.1b Definition af fordoblingskonstant En eksponentielt voksende funktion har en fordoblingskonstant T2. Når bliver T2 enheder større, så bliver y fordoblet. 24.1c Definition af halveringskonstant En eksponentielt aftagende funktion har en halveringskonstant T0,5. 24.1d Eksempel Antal uger efter køb: 0 1 2 3 4 5 6 Højde i cm: 12 15 19 24 30 38 48 Når bliver T0,5 enheder større, så bliver y halveret. 12 6 3 2 3 8 T2 5 T2 5 Funktioner 2. del 72 2018 Karsten Juul
24.2 Aflæs fordoblingskonstant og halveringskonstant på graf. Opgave Figuren viser grafen for en eksponentielt aftagende funktion. Bestem halveringskonstanten for denne funktion. Svar Figuren viser grafen for en eksponentielt aftagende funktion. Vi vil bestemme halveringskonstanten ved aflæsning. Resultatet bliver det samme uanset hvilken -værdi vi starter med. Vi kan f.eks. starte med 1 : Når = 1 er y = 3,1 Det halve af 3,1 er (se figur) 3,1 1,55. 2 Når y = 1,55 er = 3,7 (se figur) For at halvere y skal vi altså øge med 3,7 1 = 2,7 så halveringskonstanten er.2,7.. Bemærkning Hvis funktionen er eksponentielt voksende, kan fordoblingskonstanten aflæses på næsten samme måde: Vi finder to grafpunkter hvor y-koordinaten til det ene er 2 gange y-koordinaten til det andet. Forskellen på de to punkters -koordinater er fordoblingskonstanten. 24.3 Skriv hvad fordoblings- og halveringskonstant fortæller. 24.3a Hvad fortæller fordoblingskonstant? Antallet af syge kan med tilnærmelse beskrives ved en eksponentiel funktion y = b a hvor er antal dage efter 1. maj og y er antal syge. I avisen står at fordoblingskonstanten er 9. Hvad fortæller dette om antallet af syge? Når er tiden, kan vi sige fordoblingstid i stedet for fordoblingskonstant. Svar y = b a hvor er antal dage efter 1. maj og y er antal syge. At fordoblingskonstanten er 9 betyder: Dvs: Når bliver 9 større, så bliver y fordoblet. Når antal dage bliver 9 større, så bliver antal syge fordoblet. Så: Antal syge fordobles på 9 dage. Funktioner 2. del 73 2018 Karsten Juul
24.3b Hvad fortæller halveringskonstant? Antallet af syge kan med tilnærmelse beskrives ved en eksponentiel sammenhæng y = b a hvor er antal dage efter 1. maj og y er antal syge. I avisen står at halveringskonstanten er 9. Hvad fortæller dette om antallet af syge? Svar y = b a hvor er antal dage efter 1. maj og y er antal syge. At halveringskonstanten er 9 betyder: Dvs: Så: Når bliver 9 større, så bliver y halveret. Når antal dage bliver 9 større, så bliver antal syge halveret. Antal syge halveres på 9 dage. Når er tiden, kan vi sige halveringstid i stedet for halveringskonstant. 24.4 Udregn y-værdier med T2 og T0,5. 24.4a Opgave For en eksponentiel funktion y = b a er fordoblingskonstanten T 2 = 3. Gør direkte brug af dette til at udfylde de tomme felter. Svar +3 +3 +3 2 1 4 7 y 3,5 7 14 28 2 2 2 24.4b Opgave For en eksponentiel sammenhæng y = b a er T 0,5 = 1,6. Gør direkte brug af dette til at udfylde de tomme felter. Svar +1,6 +1,6 +1,6 3,2 4,8 6,4 8 y 12 6 3 1,5 0,5 0,5 0,5 1 y 7 4,8 y 6 Funktioner 2. del 74 2018 Karsten Juul
24.5 Den naturlige logaritmefunktion ln() Figuren viser grafen for den funktion der kaldes den naturlige logaritmefunktion. Funktionen skrives ln(). Dette symbol læses l n af. ln 24.6 Udregn T2 og T0,5 når vi kender forskriften y = ba. 24.6a Formler for T2 og T0,5 For funktionen f ( ) ba gælder: Hvis f er voksende ( a 1 ), er Hvis f er aftagende ( 0a 1 ), er ln(2) T2 ln( a) ln( 1 2 ) T1 2 ln( a) 24.6b Opgave Bestem fordoblingskonstanten for funktionen f () = 7 1,3. Svar Dette er bogstavet l. Det er IKKE i og IKKE tallet 1. 24.6c Opgave Bestem halveringskonstanten for funktionen f () = 5 0,92. Svar Funktioner 2. del 75 2018 Karsten Juul
24.6d Opgave Antal celler vokser eksponentielt med 18 % pr. time. Hvor lang tid går der før antal celler er fordoblet? Svar 100 % + 18 % = 118 % = 1,18 Antal celler vokser 18 % pr. time, så forskriften for antal som funktion af tiden er af typen f () = ba med a = 1,18. Der går 4,19 time før antal celler er fordoblet. 24.7 En logaritme-regel En af logaritme-reglerne siger at ln(a r ) = rln(a) 24.8 Bevis for formler for fordoblings- og halveringskonstant. Sætning Bevis For en voksende eksponentiel sammenhæng ln(2) T2. ln( a) +T2 : t t +T2 ba : ba t ba t +T2 2 y ba gælder: Da T2 er det vi skal lægge til for at fordoble y, så ba t 2 = ba t +T2 Vi dividerer begge sider med b. Første kalder vi t. Andet får vi ved at lægge T2 til første. a t 2 = a t +T2 Vi bruger potensreglen a r+s = a r a s. a t 2 = a t a T2 Vi dividerer begge sider med a t. 2 = a T2 Vi tager den naturlige logaritme på begge side. ln(2) = ln(a T2 ) Vi bruger logaritme-reglen ln(a r ) = rln(a). Vi dividerer begge sider med ln(a). ln(a) er kun 0 ln(2) = T2ln(a) når a=1, og a er ikke 1 da funktionen er voksende. ln(2) T2 Nu har vi bevist formlen! ln( a) Formlen for halveringskonstant kan bevises på næsten samme måde. Første y får vi ved at indsætte t for i ba og andet y får vi ved at indsætte t +T2 for i ba Funktioner 2. del 76 2018 Karsten Juul
25. Eksponentiel funktion graf 25.1 Graf for eksponentiel funktion ba der er voksende (1 < a) Funktioner 2. del 77 2018 Karsten Juul
25.2 Graf for eksponentiel funktion ba der er aftagende (0 < a < 1) Funktioner 2. del 78 2018 Karsten Juul
25.3 Hvilken graf, forklar. Eksempel 1 Opgave Svar Forklar hvorfor den viste graf ikke kan være grafen for funktionen f () = 401,08. I forskriften f () = 401,08 er fremskrivningsfaktoren a = 1,08. Da a er større end 1, er f voksende. Figuren viser grafen for en aftagende funktion (da grafen går nedad mod højre). Altså kan den viste graf ikke være graf for f. 25.4 Hvilken graf, forklar. Eksempel 2 Opgave Figuren viser graferne for funktionerne Svar f () = 51,1 og g() = 101,1. Angiv hvilken af graferne der er graf for f, og forklar hvordan man kan se det. f () = 51,1 og g() = 101,1. I forskriften for f er b-tallet 5, og i forskriften for g er b-tallet 10. Da b-tallet viser skæring med y-aksen, vil g-grafens skæring med y-aksen ligge over f- grafens. Derfor er det B der er graf for f, da figuren viser at A-grafs skæring med y-aksen ligger over B-grafens skæring med y-aksen. 25.5 Hvilken graf, forklar. Eksempel 3 Opgave Figuren viser graferne for funktionerne Svar f () = 61,2 og g() = 61,1. Angiv hvilken af graferne der er graf for f, og forklar hvordan man kan se det. f () = 61,2 og g() = 61,1. Fremskrivningsfaktoren a er 1,2 for f, og 1,1 for g. Funktionerne er voksende, og i grafernes skæringspunkt er A stejlest, så da f har størst a, gælder: A er graf for f. Funktioner 2. del 79 2018 Karsten Juul
25.6 Hvilken graf, forklar. Eksempel 4 Opgave Svar En af graferne på figuren er grafen for funktionen f () = 30,5. Angiv hvilken af graferne der er graf for f, og forklar hvorfor det ikke kan være den anden.. f () = 30,5. Vi ser på det punkt på f-grafen hvor = 1 (fordi det er nemt at regne med 1). Vi udregner y for punktet: y = 30,5 1 = 30.5 = 1,5. På bilaget har vi på kurven B afsat det punkt hvor = 1. Vi ser at dette punkts y ikke er 1,5, så B kan ikke være graf for f. Altså er det A der er graf for f. BILAG Funktioner 2. del 80 2018 Karsten Juul
26. Enkeltlogaritmisk koordinatsystem 26.1 Logaritmisk tallinje. Nedenfor er vist en logaritmisk tallinje. På tallinjen kan vi se: Stykket fra 10 til 100 er magen til stykket fra 1 til 10 bortset fra at tallene er 10 gange så store. Hvis vi fortsætter tallinjen til begge sider, vil gælde: Stykket fra 1 til 10 er magen til stykket fra 0,1 til 1 bortset fra at tallene er 10 gange så store. Stykket fra 100 til 1000 er magen til stykket fra 10 til 100 bortset fra at tallene er 10 gange så store. Osv. 26.2 Enkeltlogaritmisk koordinatsystem, definition Et koordinatsystem kaldes et enkeltlogaritmisk koordinatsystem hvis den lodrette akse er logaritmisk og den vandrette akse er almindelig. 26.3 Enkeltlogaritmisk koordinatsystem, regel Grafen for en funktion f er en ret linje i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem netop når f er en eksponentiel funktion f () = ba. 26.4 Enkeltlogaritmisk koordinatsystem, advasel Når vi ser koordinatsystemer i aviser, tidsskrifter og lærebøger i forskellige fag, skal vi se efter om akserne er sædvanlige, så vi ikke tror at en sammenhæng er lineær når grafen er en ret linje i et koordinatsystem der ikke er sædvanligt. Funktioner 2. del 81 2018 Karsten Juul
26.5 Enkeltlogaritmisk koordinatsystem, eksempel For funktionen y = 2,41,43 udregner vi nogle støttepunkter for grafen: 2 1 0 1 2 y 1,17 1,68 2,4 3,43 4,91 Nedenfor til venstre: Støttepunkterne er afsat i et sædvanligt koordinatsystem. Nedenfor til højre: Støttepunkterne er afsat i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem. Vi ser at grafen er en ret linje i det enkeltlogaritmiske koordinatsystem. y 2,4 1, 43 y 2,4 1, 43 Funktioner 2. del 82 2018 Karsten Juul
27.1 Rumfang af kasse 27. Potensfunktion forskrift Figuren viser en kasse: Øverst forrest er en række på 4 klodser. Øverst er der 2 af disse rækker. Det giver 4 2 klodser øverst. Disse 42 klodser er der 3 gange. Det giver 4 2 3 klodser. Rumfanget af kassen er længde bredde højde = 4 2 3 = 24 27.2 Oplæg nr. 1 til forskrift for potensfunktion. For en kasseformet plade kan man vælge bredden. bredde = Længden er det dobbelte af bredden, dvs. 2. længde = 2 Højden er lig en fjerdedel af bredden, dvs. 0,25. højden = 0,25 Rumfanget er altså 0,25 Se 27.1 = 0,5 3. Rumfanget er en funktion f af bredden. Forskriften for f er f () = 0,5 3. Forskriften er af typen f () = b a. Hvis b er positiv, kaldes dette en potensfunktion. 27.3 Oplæg nr. 2 til forskrift for potensfunktion. 3 2 4 For et dyr gælder f () = rumfang når Hvis dyret vokser sådan at = længden det ikke ændrer form, så gælder 3 f er en potensfunktion med a = 3 : f () = b Hvis a er mindre end 3, f.eks. a = 2,7, så får dyret en slankere form når det bliver længere. Funktioner 2. del 83 2018 Karsten Juul
27.4 Forskrift for potensfunktion. En funktion f er en potensfunktion hvis den har en forskrift af typen f () = b a b skal være et positivt tal. a behøver ikke være positiv. Vi må kun sætte positive tal ind for. Tallet a er eksponenten i forskriften f () = b a. 27.5 Brug forskrift til at bestemme eller y For nogle dyr gælder Svar f () = 1,3 2,6. hvor f () er vægten, målt i gram, og er længden, målt i cm. a) Hvad er vægten hvis længden er 2,4 cm? b) Hvad er længden hvis vægten er 6,7 gram? HUSK at skrive de oplysninger fra opgaveteksten som du bruger. Hvis f ()= skrives i samme matematikfelt som 121 1,07, så kommer det ikke til at stå korrekt. 2,4 er længde og er længde så 2,4 skal erstatte i ligningen. 6,7 er vægt og f () er vægt så 6,7 skal erstatte f () i ligningen. HUSK at skrive konklusion til hvert spørgsmål, og markér facit i konklusionen. Over solve skrives hvad solve udfører, da solve ikke er normalt matematiksprog. Brug af solve: solve(, ) Her står ligningen. HUSk at skrive punktum i kommatal. Her står det bogstav vi skal finde. Foran bogstavet står et rigtigt komma, ikke punktum. Funktioner 2. del 84 2018 Karsten Juul
28.1 Reglen for potensvækst 28. Potensvækst a Hvis funktionen er en potensfunktion y = b og k er et positivt tal, så gælder: Når bliver ganget med k, så bliver y ganget med k a. 28.2 Eksempler med reglen for potensvækst y = 1,2 0,7 Når ganges med 1,25, så ganges y med 1,25 0,7 = 1,17. Når ganges med 2, så ganges y med 2 0,7 = 1,62. 1,25 1,25 2 : 1,14 1,43 1,79 3,80 7,60 y : 1,32 1,54 1,80 3,06 4,96 1,25 0,7 1,25 0,7 2 0,7 28.3 Opgaver med reglen for potensvækst Opgave En type dyr vokser sådan at y = 2,7 1,6 hvor y er vægten i gram, og er længden i cm. Længden af dyr B er 1,40 gange længden af dyr A. Hvad skal man gange vægten af dyr A med for at få vægten af dyr B? Svar Opgave Længden bliver ganget med 1,40. Så bliver vægten y ganget med 1,40 1,6 = 1,71319 1,71 ifølge reglen om potensvækst 28.1 Man skal gange vægten af dyr A med 1,71 for at få vægten af dyr B. Et dyr vokser sådan at y = 2,7 1,6 hvor y er vægten i gram, og er længden i cm. Længden af dyr B er 40 % større end længden af dyr A. Hvor mange procent er vægten af dyr B større end vægten af dyr A? Svar Længden bliver 40 % større, dvs. bliver ganget med 1,40. ( 100 % + 40 % = 140 % = 140:100 = 1,40 ) Så bliver y ganget med 1,40 1,6 = 1,71319 1,71 ifølge reglen om potensvækst 28.1 At y bliver ganget med 1,71, er det samme som at y bliver 71 % større. ( 100% 1,71 = 171%. 171 % 100 % = 71 % ) Vægten af dyr B er 71 % større end vægten af dyr A. At bliver 40 % større er det samme som at ganges med 1,40. At y ganges med 1,71 er det samme som y bliver 71 % større. Funktioner 2. del 85 2018 Karsten Juul
29. Potensfunktion graf a Forskrift for potensfunktion: f ( ) b hvor b er positiv Definitionsmængde: de positive tal dvs. alle positive tal kan indsættes for. Hele grafen ligger i første kvadrant Voksende og graf krummer op: a over 1 eksempel: m Voksende og graf krummer ned: a mellem 0 og 1 eksempel: n Aftagende: a negativ eksempel: p Aftagende potensfunktion: Grafen kommer vilkårlig tæt på -aksen, men når den ikke. Grafen kommer vilkårlig tæt på y-aksen, men når den ikke. m n p Bemærk at graferne IKKE krummer sådan: 30. Potensfunktion udregn a og b i y = b a 30.1 Udregn b i f () = b a ud fra a og et punkt Punktet (2, 4) ligger på grafen for funktionen f () = b 3. Bestem b. Svar: Punktet (2, 4) ligger på grafen for funktionen f () = b 3, så 4 = b2 3 For når vi indsætter punktets -koordinat i forskriften og regner ud, så får vi punktets y-koordinat. Nspire løser ovenstående ligning mht. b og får b = 1 2. I denne opgave er tallene sådan at vi i stedet for at bruge Nspire kan løse ligningen ved omskrivning: 4 = b2 3 4 = b8 4 b8 8 8 1 b 2 Funktioner 2. del 86 2018 Karsten Juul
30.2 Udregn a i f () = b a ud fra b og et punkt Punktet (3, 18) ligger på grafen for funktionen f () = 2 a. Bestem a. Svar: Punktet (3, 18) ligger på grafen for funktionen f () = 2 a, så 18 = 23 a For når vi indsætter punktets -koordinat i forskriften og regner ud, så får vi punktets y-koordinat. Nspire løser ovenstående ligning mht. a og får a = 2. I denne opgave er tallene sådan at vi kan løse ligningen uden at bruge Nspire. Vi kan gøre sådan: 18 = 23 a 18 23 2 2 9 = 3 a a = 2 a 30.3 Udregn a og b i y = b a ud fra to punkter uden brug af formel Svar Punkterne (4, 6) og (16, 12) ligger på grafen for sammenhængen y = b a. Bestem a og b. Punkterne (4, 6) og (16, 12) ligger på grafen for funktionen y = b a, så 6 = b4 a og 12 = b16 a Oplysningen om de to punkter er nogle gange skrevet sådan: f (4) = 6 og f (16) = 12. For når vi indsætter punktets -koordinat i forskriften og regner ud, så får vi punktets y-koordinat. Nspire løser ovenstående ligningssystem mht. a og b og får.a = 0,5 og b = 3.. 30.4 En potens-regel 30.4a I ligningen står at 3 3 c c d d 3 c c c c c c d d d d d d og dette er jo rigtigt da man ganger to brøker med hinanden ved at gange tæller med tæller, og nævner med nævner. 30.4b En af potens-reglerne siger at r r c c d d r Funktioner 2. del 87 2018 Karsten Juul
30.5 En logaritme-regel En af logaritme-reglerne siger at c ln ln( c) ln( d) d 30.6 Udregn a og b i f () = b a ved hjælp af formler 30.6a Sætning Når (1, y1) og (2, y2) er forskellige punkter på grafen for funktionen y = b a så er ln( y a = 2) ln( y1) ln( 2) ln( 1 ) y1 b = 1 a 30.6b Bevis Da punkterne (1, y1) og (2, y2) ligger på grafen for funktionen y = b a gælder y1 b 1 a y2 b 2 a så y2 b a 2 y a 1 b 1 Da tællerne er lig hinanden og nævnerne er lig hinanden y2 a 2 y a 1 1 Brøk på højre side er forkortet med b a y2 2 y1 1 for når vi indsætter punktets - koordinat i forskriften og regner ud, så får vi punktets y-koordinat. Vi har brugt potens-reglen r c d c r d r a y ln 2 ln 2 y1 1 y2 ln a ln 2 y1 1 Vi har taget ln på begge sider Vi har brugt logaritme-reglen ln(a r ) = rln(a) Beviset fortsætter på næste side. Funktioner 2. del 88 2018 Karsten Juul
y ln y ln 2 1 2 1 a ln y2 ln( y1 ) a ln 2 ln( 1 ) Hermed er den første af formlerne bevist. Ovenfor så vi at y 1 b a Vi dividerer begge sider med a 1 : a y 1 1 b Hermed er den anden af formlerne bevist. 1 Vi har divideret begge sider med ln 2 1 Vi har brugt logaritme-reglen ln c ln( c) ln( d) d 30.6c Eksempel på brug af formlerne Opgave Punkterne (4, 6) og (16, 12) ligger på grafen for sammenhængen y = b a. Bestem a og b. Svar I formlerne for a og b i y = b a indsætter vi punkterne ( 1, y1) (4, 6) og ( 2, y2) (16,12) : Oplysningen om de to punkter er nogle gange skrevet sådan: f (4) = 6 og f (16) = 12. a ln( y ln(12) ln(6) 1 2) - ln( y1 ) ln( ) - ln( ) ln(16) ln(4) 2 2 1 b y 6 1 1 1 a 4 2 3 30.7 Udregn a og b i f () = b a ved regression 30.7a Opgave De målte tal i tabellen viser for et bestemt dyr sammenhængen mellem alder og længde. Alder i døgn 10 15 20 30 40 50 Længde i mm 43 60 74 105 132 155 Sammenhængen kan med god tilnærmelse beskrives med en funktion af typen hvor y er længde (målt i mm), og er alder (målt i døgn). Bestem a og b. y b a Funktioner 2. del 89 2018 Karsten Juul
30.7b Brugsanvisning 30.7c Svar Da der er mere end to målte punkter, skal vi bruge regression. Del siden op i to. Vælg Lister og Regneark i venstre vindue. Se nedenfor hvordan du skal taste tal og søjlenavne. Når du har tastet tabellen, så flyt markør til tomt felt. Vælg i højre vindue Diagrammer og statistik. Klik under -aksen og vælg søjlen med -værdier. Klik til venstre for y-aksen og vælg søjlen med y-værdier. Vælg i værktøjsmenuen Undersøg data / Regression / potens. Der er automatisk fremkommet et punktplot. Behold dette som illustration selv om der ikke i opgaven er krav om punktplot. I Nspire kan besvarelsen se sådan ud: Funktioner 2. del 90 2018 Karsten Juul
31. Residual-plot 31.1 Hvad er residualer og residual-plot I de to øverste rækker i tabellen nedenfor står tallene fra 30.7a, dvs. anden række viser de målte y-værdier. Vi fandt modellen y = 6,79 0,802. I denne model gælder: Når = 20, så er y = 6,79 20 0,802 = 75,0 (modellens y-værdi). I tredje række i tabellen står modellens y-værdier. I fjerde række i tabellen har vi trukket models y fra målt y. Tallene i denne fjerde række kaldes residualer. Længde i cm 10 15 20 30 40 50 Bredde i cm ymålt 43 60 74 105 132 155 Bredde i cm ymodel 43,0 59,6 75,0 103,9 130,8 156,5 Residual i cm ymålt ymodel 0,0 0,4 1,0 1,1 1,2 1,5 Vi ser at den største afvigelse mellem målt værdi og modelværdi for bredden er 0,12 cm, og det er når længden er 12,5 cm. Figuren nedenfor viser residualerne. Sådan en figur kaldes et residualplot. Funktioner 2. del 91 2018 Karsten Juul
31.2 Tegn et residualplot Opgave Tegn et residualplot til opgave 30.7a: Brugsanvisning til opgaven Hvis vinduet med punktplottet ikke er aktivt, så klik i det. Vælg i værktøjsmenuen Undersøg data / Residualer / Residualplot. Svar på opgaven Funktioner 2. del 92 2018 Karsten Juul
31.3 Brug residualplot til at bestemme største afvigelse Opgave Brug residualplottet til at bestemme den af de seks målte værdier af længde der afviger mest fra den tilhørende modelværdi. Brugsanvisning til opgaven På residualplottet finder vi punktet med størst afstand til -aksen. Når markøren føres hen til punktet, fremkommer koordinatsættet. Det er y-koordinaten (tallet efter kommaet) der viser afvigelsen. Minus skal ikke medtages da en afvigelse er et positivt tal. Svar på opgaven På residualplottet finder vi det af punkterne der er længst fra -aksen. Nspire aflæser koordinatsættet til (50,00, 1,538). Den største afvigelse mellem målt værdi og modelværdi for længden er altså 1,5 mm og forekommer ved alder 50 døgn. 31.4 Brug residualplot til at kommentere modellens anvendelighed. Opgave Brug residualplottet til at kommentere modellens anvendelighed til at beskrive sammenhængen. Svar hvis residualplottet ser ud som det til højre. Afvigelserne ser ud til at være tilfældigt fordelt, så det ser ikke ud til at det ville være bedre med en model af en anden type. Svar hvis residualplottet ser ud som det til højre. Afvigelserne ser ud til at ændres med en vis systematik (danner bue), så det ser ud til at det ville være bedre med en model af en anden type. Funktioner 2. del 93 2018 Karsten Juul
32. Dobbeltlogaritmisk koordinatsystem 32.1 Logaritmisk tallinje. Nedenfor er vist en logaritmisk tallinje. På tallinjen kan vi se: Stykket fra 10 til 100 er magen til stykket fra 1 til 10 bortset fra at tallene er 10 gange så store. Hvis vi fortsætter tallinjen til begge sider, vil gælde: Stykket fra 1 til 10 er magen til stykket fra 0,1 til 1 bortset fra at tallene er 10 gange så store. Stykket fra 100 til 1000 er magen til stykket fra 10 til 100 bortset fra at tallene er 10 gange så store. Osv. 32.2 Dobbeltlogaritmisk koordinatsystem, definition Et koordinatsystem kaldes et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem hvis både den vandrette og den lodrette akse er logaritmisk. 32.3 Dobbeltlogaritmisk koordinatsystem, regel Grafen for en funktion f er en ret linje i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem netop når f er en potens-funktion f () = b a. 32.4 Dobbeltlogaritmisk koordinatsystem, advasel Når vi ser koordinatsystemer i aviser, tidsskrifter og lærebøger i forskellige fag, skal vi se efter om akserne er sædvanlige, så vi ikke tror at en sammenhæng er lineær når grafen er en ret linje i et koordinatsystem der ikke er sædvanligt. Funktioner 2. del 94 2018 Karsten Juul
32.5 Dobbeltlogaritmisk koordinatsystem, eksempel Koordinatsystemet nedenfor til højre er et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem. For funktionen y har vi i begge koordinatsystemerne afsat nogle støttepunkter. I det dobbeltlogaritmiske er grafen en ret linje. 5 1,16 y 5 1,16 y 5 1,16 Funktioner 2. del 95 2018 Karsten Juul
33. Tre væksttyper Lineær funktion: Ens stigninger i giver ens stigninger i y ens +4 +4 +10 +10 2 6 10 17 27 37 y = 3 +5 ens +12 +12 +30 +30 ens ens Eksponentiel funktion: Ens stigninger i giver ens procent-stigninger i y ens +3 +3 +1 +1 1 4 7 9 10 11 y = 41,15 ens +52% +52% +15% +15% ens ens Potens-funktion: Ens procent-stigninger i giver ens procent-stigninger i y ens +25% +25% +30% +30% 16 20 25 100 130 169 y = 6 0,82 ens +20% +20% +24% +24% ens ens Funktioner 2. del 96 2018 Karsten Juul
A a fortæller, eksponentiel... 55 a fortæller, eksponentiel, bevis... 64 a, formel, eksponentiel... 69 a, formel, eksponentiel, bevis... 69 a, formel, eksponentiel, opgave... 70 a, formel, potens... 88 a, formel, potens, bevis... 88 a, formel, potens, opgave... 89 a, udregn, eksponentiel... 66 a, udregn, potens... 87, 88 argumentation... 63 B b fortæller, eksponentiel... 55, 65 b fortæller, eksponentiel, bevis... 65 b, formel, eksponentiel... 69 b, formel, eksponentiel, bevis... 69 b, formel, eksponentiel, opgave... 70 b, formel, potens... 88 b, formel, potens, bevis... 88 b, formel, potens, opgave... 89 b, udregn, eksponentiel... 66 b, udregn, potens... 86, 87, 88 bestem... 54, 84 bestem y... 54, 84 bevis... 76, 88 bevis, a s betydning, eksponentiel... 64 bevis, b s betydning, eksonentiel... 65 bevis, formel for a, eksponentiel... 69 bevis, formel for a, potens... 88 bevis, formel for b, eksponentiel... 69 bevis, formel for b, potens... 88 D dobbeltlogaritmisk koordinatsystem... 94 E eksponentiel funktion... 53 eksponentiel funktion, procent... 57 eksponentiel regression... 68, 70 eksponentiel, a og b fortæller... 55, 59 eksponentiel, bestem a og b... 67, 68, 70, 71 eksponentiel, bestem forskrift/ligning... 70 eksponentiel, graf... 77, 78, 79 eksponentiel, skriv forskrift ud fra tekst... 61 enkeltlogaritmisk koordinatsystem... 81 F fordoblingskonstant... 72, 76 fordoblingskonstant, aflæs... 73 fordoblingskonstant, formel... 75 fordoblingskonstant, fortæller... 73 fordoblingskonstant, udregn... 75 forskrift, eksponentiel... 53 forskrift, potensfunktion... 84 G graf, eksponentiel... 79 graf, potensfunktion... 86 H halveringskonstant... 72, 76 halveringskonstant, aflæs... 73 halveringskonstant, formel... 75 halveringskonstant, fortæller... 73, 74 halveringskonstant, udregn... 75 L logaritmisk akse... 81, 94 P potensfunktion... 84 potensfunktion, bestem a og b... 87, 88, 89, 90 potensfunktion, forskrift... 84 potensfunktion, graf... 86 potensregression... 89, 90 potensvækst... 85 procent... 57 procentændring, potensfunktion... 85 R regression, eksponentiel... 70, 71 regression, potens... 89, 90 residualplot... 70, 71, 91, 92, 93 V væksttyper, tre... 96