Forløb om eksponential- og logaritmefunktioner

Forløb om eksponential- og logaritmefunktioner Mikkel Stouby Petersen 17/05/2016 Elevversion

Indhold Indhold I Eksponentialfunktioner og eksponentiel vækst 3 1 Oversigt: Eksponentialfunktioner 5 2 Eksperimentariet: Niveau 1 7 3 Eksperimentariet: Niveau 2 9 4 Træningslokalet: Niveau 1 11 5 Træningslokalet: Niveau 2 13 6 Bevisboden: Niveau 1 15 7 Bevisboden: Niveau 2 17 8 Ekstrastationen 19 II Logaritmer 21 9 Oversigt: Logaritmer 23 10 Eksperimentariet: Niveau 1 25 11 Eksperimentariet: Niveau 2 27 12 Træningslokalet: Niveau 1 29 13 Træningslokalet: Niveau 2 31 14 Bevisboden: Niveau 1 33 15 Bevisboden: Niveau 2 35 16 Ekstrastationen 37 IIIFordobling og halvering 39 17 Halvering og fordobling: Oversigt 41 18 Eksperimentariet: Niveau 1 43 1 Mikkel Stouby Petersen

19 Eksperimentariet: Niveau 2 45 20 Træningslokalet: Niveau 1 47 21 Træningslokalet: Niveau 2 49 22 Bevisboden: Niveau 1 og 2 51 23 Ekstrastationen 53 2 Mikkel Stouby Petersen

Del I Eksponentialfunktioner og eksponentiel vækst

Eksponentialfunktioner og eksponentiel vækst Oversigt: Eksponentialfunktioner Eksperimentariet I eksperimentariet skal I selv undersøge sammenhænge og udlede formler. Her er fokus på forståelse. Læringsmål: I skal lære at a) fortolke konstanterne a og b i forskriften f(x) = b a x. b) afgøre, hvornår en eksponentialfunktion er voksende og aftagende. c) når x vokser med et tal k, så ganges y med a k. Træningslokalet I træningslokalet udvikler man sine færdigheder og øver sig på at bruge teorien til at løse konkrete problemer. Her er fokus på problemløsning. Læringsmål: I skal lære at a) bestemme begyndelsesværdien samt fremskrivningsfaktoren eller vækstraten for en eksponentiel udvikling ud fra en sproglig beskrivelse. b) fortolke konstanterne i en eksponentiel forskrift i forhold til en praktisk sammenhæng. c) benytte en eksponentiel forskrift til at bestemme den procentvise vækst. Bevisboden I bevisboden skal man arbejde med at bevise de sammenhænge, som man har brugt på de andre stationer. Her er fokuspå argumentation og ræsonnement. Læringsmål: I skal lære at a) formidle et bevis for påstanden om, at når x vokser med et fast tal, så ganges y med faktoren a k. 5 Mikkel Stouby Petersen

Eksponentialfunktioner og eksponentiel vækst Ekstrastationen I skal gå til denne station, hvis I har opnået læringsmålene i de øvrige tre stationer. Her vil der blive arbejdet videre med at give en dybere teoretisk forståelse, og der vil blive indført nye begreber, som skal udforskes. Læringsmål: Her kan I lære a) definitionen af den naturlige eksponentialfunktion. b) centrale egenskaber ved eksponentialfunktioner på formen f(x) = b e kx. c) at bestemme en eksponentialfunktion ud fra to punkter på grafen. 6 Mikkel Stouby Petersen

Eksponentialfunktioner og eksponentiel vækst Eksperimentariet: Niveau 1 Opgave 1: I denne opgave skal I undersøge karakteristiske egenskaber ved funktioner på formen f(x) = b a x. a) Åbn Geogebra. b) Konstruer to skydere a og b. Begge skydere skal kunne bevæge sig i intervallet [0,5]. c) Definer en funktion f(x) = b a x. Nu kan I ændre forskriften (og derved grafen) ved at rykke på skyderne. d) Hvilken betydning har fremskrivningsfaktoren a for grafen? e) Hvornår er f voksende, og hvornår er den aftagende? Prøv at forklare, hvorfor nogle eksponentialfunktioner er voksende, mens andre er aftagende. f) Hvad er betydningen af begyndelsesværdien b? Opgave 2: På billedet nedenfor ses fire eksponentialfunktioner på formen f(x) = b a x. Hvad kan I sige, om a og b i disse tilfælde? Opgave 3: Gå til http://ggbtu.be/m2937839. Her kan du undersøge to forskellige eksponentialfunktioner. Prøv at indstille skyderne, så funktionerne ligger oven i hinanden, og besvar følgende sprøgsmål. a) Kan alle eksponentialfunktioner skrives på begge måder? Både de voksende og de aftagende? b) Hvad er sammenhængen mellem b og K 0 i de to forskrifter? 7 Mikkel Stouby Petersen

Eksponentialfunktioner og eksponentiel vækst c) Hvad er sammenhængen mellem a og r i de to forskrifter? Hvordan kan man se, om funktionerne er voksende eller aftagende? Opgave 4: Her skal vi undersøge en bestemt eksponentialfunktion givet ved f(x) = 2 1,05 x. a) Udfyld tabellen: x 0 1 2 3 4 5 y = f(x) b) Hvor mange gange større bliver y, når x vokser fra 0 til 1? Og fra 2 til 3? c) Hvor mange gange større bliver y, når x vokser fra 0 til 2? Og fra 2 til 4? d) Hvor mange gange større ser y ud til at blive, når x vokser fra x til x + k? e) Prøv at bruge jeres observationer til at danne en generel regel for en eksponentialfunktion f(x) = b a x. 8 Mikkel Stouby Petersen

Eksponentialfunktioner og eksponentiel vækst Eksperimentariet: Niveau 2 Opgave 1: I denne opgave skal I undersøge karakteristiske egenskaber ved funktioner på formen f(x) = b a x. a) Åbn Geogebra. b) Konstruer to skydere a og b. Begge skydere skal kunne bevæge sig i intervallet [0,5]. c) Definer en funktion f(x) = b a x. Nu kan I ændre forskiften derved grafen ved at rykke på skyderne. d) Hvad er betydningen af fremskrivningsfaktoren a? e) Hvornår er f voksende, og hvornår er den aftagende? f) Hvad er betydningen af b? Opgave 2: Diskuter følgende spørgsmål: Findes der et tal x og et positivt tal a, så a x bliver negativt? Opgave 3: Gå til http://ggbtu.be/m2937839. Her kan du undersøge to forskellige eksponentialfunktioner. Prøv at indstille skyderne, så funktionerne ligger oven i hinanden, og besvar følgende sprøgsmål. a) Argumenter for, at alle eksponentialfunktioner på formen f(x) = b a x også kan skrives på formen f(x) = K 0 (1 + r) x. Konstanten r kaldes sædvanligvis vækstraten. b) Sammenlign konstanterne i de to forskrifter. Hvad er sammenhængen mellem dem? Hvordan kan man regne r ud, hvis man kender a? Opgave 4: Vælg en voksende eksponentialfunktion på formen f(x) = b a x. a) Udfyld tabellen: x -2-1 0 1 2 3 y = f(x) b) Hvor mange gange større bliver y, når x vokser med 1? Hvad svarer stigningen til i procent? c) Hvor mange gange større bliver y, når x vokser med 2? Hvad svarer stigningen til i procent? d) Hvor mange gange større ser y ud til at blive, når x vokser fra x til x + k? 9 Mikkel Stouby Petersen

Eksponentialfunktioner og eksponentiel vækst e) Prøv at bruge jeres observationer til at danne en generel regel for en eksponentialfunktion f(x) = b a x. f) Gælder reglen også for aftagende eksponentialfunktioner? 10 Mikkel Stouby Petersen

Eksponentialfunktioner og eksponentiel vækst Træningslokalet: Niveau 1 Boks 1: Teori En eksponentialfunktion er en funktion f med en forskrift på formen f(x) = b a x hvor a og b er positive tal. Her kaldes a fremskrivningsfaktoren, og b kaldes begyndelsesværdien. Sådan en funktion kan også skrives på formen f(x) = b (1 + r) x. Her kaldes r vækstraten, og r og a hænger sammen efter formlerne For et tal k gælder det, at a = 1 + r og r = a 1. f(x + k) = a k f(x). Det vil sige, at når x øges med k, så ganges f(x) med a k. Eksempel 1: En eksponentialfunktion er givet ved f(x) = 3 1,7 x. Fremskrivningsfaktoren a er 1,7, og det vil sige, at når x vokser med 1, så bliver f(x) ganget med 1,7. Vækstraten r er 0,7, og det betyder, at f(x) vokser med 70%, når x vokser med 1. Vi kan beregne a 3 = 1,7 3 = 4,91 Det vil sige, at når x vokser med 3, så bliver f(x) ganget med 4,91. Vi trækker 1 fra: 4,91 1 = 3,91 Det betyder, at f(x) vokser med 391%, når x vokser med 3. Opgave 1: Udfyld tabellen: Fremskrivningsfaktor a 0,9 Vækstrate r 1,0145 Vækstrate i % 2,3% Opgave 2: Befolkningsudviklingen i Talkøbing kan beskrives ved hjælp af funktionen f(t) = 12 390 1,021 t hvor f er befolkningstallet, og t er antallet af år efter år 2000. 11 Mikkel Stouby Petersen

Eksponentialfunktioner og eksponentiel vækst a) Forklar betydningen af tallene 12 390 og 1,021 i modellen. Opgave 3: Torben sætter penge ind på en bankkonto i 2016. Hvis s er Torbens saldo, og t er tiden målt år fra 2016, så gælder, at s(t) = 12 000 1,025 t. a) Hvor mange penge satte Torben ind på kontoen i 2016? b) Hvad er den årlige rente? Opgave 4: Om et bestemt radioaktivt stof oplyses det, at 3% af stoffet henfalder om året. Vi antager, at vi begynder med at have 7g af stoffet. a) Hvor mange procent af stoffet er tilbage efter ét år? Lad M betegne massen af stoffet i gram, og lad t betegne tiden målt i år. b) Udfyld tabellen: t 0 1 2 3 M c) Bestem en forskrift for M(t). Opgave 5: Betragt eksponentialfunktionen givet ved f(x) = 2 1,65 x. a) Hvilken faktor bliver f(x) ganget med, når x vokser med én? b) Hvor mange procent svarer dette til? c) Hvilken faktor bliver f(x) ganget med, når x vokser med 3? d) Hvor mange procent svarer dette til? Opgave 6: Agnes sætter 12 000 kroner ind på en bankkonto med en årlig rente på 3%. a) Hvor mange penge står der på Agnes konto efter fem år? b) Hvor mange procent er formuen vokset med? c) Prøv at forklare, hvorfor svaret ikke er 15%. d) Hvilken rente skulle hun have haft, hvis hun skulle have endt med at tjene 15% på fem år? 12 Mikkel Stouby Petersen

Eksponentialfunktioner og eksponentiel vækst Træningslokalet: Niveau 2 Boks 1: Teori En eksponentialfunktion er en funktion f med en forskrift på formen f(x) = b a x hvor a og b er positive tal. Her kaldes a fremskrivningsfaktoren, og b kaldes begyndelsesværdien. Sådan en funktion kan også skrives på formen f(x) = b (1 + r) x. Her kaldes r vækstraten, og r og a hænger sammen efter formlen For et tal k gælder det, at a = 1 + r. f(x + k) = a k f(x). Det vil sige, at når x øges med k, så ganges f(x) med a k. Opgave 1: Om et bestemt radioaktivt stof oplyses det, at 3,46% af stoffet henfalder om året. Vi antager, at vi begynder med at have 7g af stoffet. a) Hvor mange procent af stoffet er tilbage efter ét år? Lad M betegne massen af stoffet i gram, og lad t betegne tiden målt i år. b) Bestem en forskrift for M(t). Opgave 2: Befolkningsudviklingen i Talkøbing kan beskrives ved hjælp af funktionen f(t) = 12 390 1,021 t hvor f er befolkningstallet, og t er antallet af år efter år 2000. a) Forklar betydningen af tallene 12 390 og 1,021 i modellen. b) Hvilken betydning får det for Talkøbing, hvis 1,021 ændres til 0,91? 13 Mikkel Stouby Petersen

Eksponentialfunktioner og eksponentiel vækst Opgave 3: Betragt eksponentialfunktionen givet ved f(x) = 3 0,83 x. a) Hvilken faktor bliver f(x) ganget med, når x vokser med én? b) Hvor mange procent svarer dette fald til? c) Hvilken faktor bliver f(x) ganget med, når x vokser med 3? d) Hvor mange procent svarer dette fald til? Opgave 4: Efter en lang sommerferie sætter Agnes alle de penge, hun har tjent ind på en bankkonto med en årlig rente på 3%. a) Hvor mange procent er Agnes formue vokset efter fem år? b) Prøv at forklare, hvorfor svaret ikke er 15%. c) Hvillken rente skulle hun have haft, hvis hun skulle have endt med at tjene 15% efter fem år? Opgave 5: Brian sætter 10 000 kroner i banken til en (ret høj) årlig rente på 3%. a) Hvor mange penge har Brian stående efter fem år. Brians veninde Cille sætter køber i stedet aktier for 10 000 kroner. Det går godt, og hun sælger aktierne fem år senere til 15 000 kroner. b) Hvor mange procent udgør Cilles fortjeneste? c) Hvilken rente skulle Brian have haft i banken, hvis han skulle have tjent lige så mange penge som Cille på de fem år? Opgave 6: I en periode antages bestanden af fisk i en sø at aftage eksponentielt. Der foretages en optælling af fiskene i søen med otte års mellemrum. I denne periode er antallet af fisk faldet med 56%. a) Hvor mange procent aftager bestanden med årligt? b) Hvis der efter otte år er 2 000 fisk i søen hvor mange fisk startede der da med at være? 14 Mikkel Stouby Petersen

Eksponentialfunktioner og eksponentiel vækst Bevisboden: Niveau 1 Sætning 1: Definer en eksponentialfunktion ved f(x) = b a x hvor a og b er positive tal. For ethvert x og ethvert k gælder det da, at f(x + k) = a k f(x), eller: når x vokser med k, så ganges f(x) med en faktor a k. Bevis: Vi regner f(x + k) ud: f(x + k) = b a x+k = b a x a k = a k b a x = a k f(x). Det var, hvad vi ville vise. Opgave 1: Hent en tavle, og læg den på bordet foran jer. a) Diskuter sætning 1. Hvad betyder den? Sammenlign eventuelt med jeres eksperimenter eller med en opgave, hvor I har brugt den. b) Snak om beviset. Hvad er den overordnede ide, og hvilke regler skal man kende for at kunne lave det? Skriv en kort forklaring til hver linje i beviset. c) Skriv beviset op på en tavle, og prøv at gøre det uden at kigge på jeres papir. Én fra gruppen kan eventuelt have papiret klar, hvis det bliver nødvendigt. 15 Mikkel Stouby Petersen

Eksponentialfunktioner og eksponentiel vækst Bevisboden: Niveau 2 Sætning 1: Definer en eksponentialfunktion ved f(x) = b a x hvor a og b er positive tal. For ethvert x og ethvert k gælder det da, at f(x + k) = a k f(x), eller: når x vokser med k, så ganges f(x) med en faktor a k. Bevis: Af definitionen på f(x) følger det, at f(x + k) = 1 Vi benytter nu potensregnereglen om, at a n+m = 2 3 : f(x + k) = b 4 Ved endnu en gang at huske definitionen af f(x) har vi nu, at Det var det vi ville vise. f(x + k) = f(x) 5 Opgave 1: Hent en tavle, og læg den på bordet foran jer. a) Diskuter sætningen. Hvad betyder den? Sammenlign eventuelt med jeres eksperimenter eller med en opgave, hvor I har brugt den. b) Skriv beviset op, mens I udfylder hullerne. c) Snak om, hvad den overordnede idé i beviset er, og hvilke regneregler man skal huske for at kunne lave det. d) Prøv at skrive beviset op på tavlen igen uden at kigge i jeres papirer. 17 Mikkel Stouby Petersen

Eksponentialfunktioner og eksponentiel vækst Ekstrastationen Boks 1: Den naturlige eksponentialfunktion Den naturlige eksponentialfunktion er funktionen givet ved f(x) = e x, hvor e er Eulers tal. 2,718281828459.... Eulers tal er et irrationelt tal, hvor de første cifre er Opgave 1: Den naturlige eksponentialfunktion har en helt særlig egenskab, som du kan undersøge ved hjælp af dette link: http://ggbtu.be/m2962571. Kan du se, hvad det særlige er ved tangenthældningen til forskellige punkter på grafen? Prøv eventuelt i x = 0, x = 1 og x = 2. Opgave 2: Brug Geogebra til at undersøge funktioner på formen f(x) = b e kx, hvor b og k er konstanter og b er positiv. a) Hvad er betydningen af konstanten b? b) Hvad er betydningen af konstanten k? Hvornår er funktionen voksende og aftagende? c) Argumenter for, at en funktion på formen f(x) = b e kx er en eksponentialfunktion. Hvad er fremskrivningsfaktoren? Opgave 3: Se på en eksponentialfunktion f(x) = 2 e 0,5x. Hvor mange gange større bliver f(x), når x øges med 1? Hvor mange procent svarer denne stigning til? Opskriv sammenhængen mellem størrelserne k, a (fremskrivningsfaktoren) og r (vækstraten). Igennem de sidste to opgaver skal I lære at bestemme en eksponentialfunktion ud fra to punkter på grafen. Sammenlign gerne med, hvordan vi bestemmer en lineær funktion ud fra to punkter på grafen. Opgave 4: Lad (x 1, y 1 ) og (x 2, y 2 ) være to punkter, hvor y 1 og y 2 begge er positive, og x 1 x 2. I denne opgave skal I forsøge at bestemme a og b, så grafen for eksponentialfunktionen givet ved f(x) = b a x går gennem de to punkter. a) Argumenter for, at y 1 = b a x 1 og y 2 = b a x 2. b) Udregn da y 2 y 1. c) Reducer udtrykket til én potens af a ved at benytte potensregnereglerne. d) Isolér a. 19 Mikkel Stouby Petersen

Eksponentialfunktioner og eksponentiel vækst e) Isoler b i den første af ligningerne i punkt a). f) Sammenlign jeres resultater med formlerne her: http://kortlink.dk/kud5. g) Hvorfor var antagelserne om x 1, x 2, y 1 og y 2 nødvendige? Opgave 5: Bestem en eksponentialfunktion på formen f(x) = b a x, hvis graf går gennem punkterne (7, 3) og (1, 12). Tjek resultatet efter med Geogebra. 20 Mikkel Stouby Petersen

Del II Logaritmer

Logaritmer Oversigt: Logaritmer Eksperimentariet I eksperimentariet skal I selv undersøge sammenhænge og udlede formler. Her er fokus på forståelse. Læringsmål: I skal lære a) definitionen på mindst én slags logaritme. b) centrale egenskaber ved titalslogaritmen. c) hvordan grafen for titalslogaritmen ser ud. Træningslokalet I træningslokalet udvikler man sine færdigheder og øver sig på at bruge teorien til at løse konkrete problemer. Her er fokus på problemløsning. Læringsmål: I skal lære at a) isolere x i ligninger på formen b a x = c ved hjælp af log. b) omskrive udtryk ved hjælp af logaritmeregneregler. c) løse praktiske problemer ved hjælp af logaritmer. Bevisboden I bevisboden skal man arbejde med at bevise de sammenhænge, som man har brugt på de andre stationer. Her er fokuspå argumentation og ræsonnement. Læringsmål: I skal lære at a) bevise de tre centrale regneregler for titalslogaritmen. 23 Mikkel Stouby Petersen

Logaritmer Ekstrastationen I skal gå til denne station, hvis I har opnået læringsmålene i de øvrige tre stationer. Her vil der blive arbejdet videre med at give en dybere teoretisk forståelse, og der vil blive indført nye begreber, som skal udforskes. Læringsmål: Her kan I lære a) definitionen af den den naturlige logartime. b) centrale egenskaber ved den naturlige logaritme. c) at anvende den naturlige logaritme til ligningsløsning. d) at alle eksponentialfunktioner kan skrives på formen f(x) = b e kx. 24 Mikkel Stouby Petersen

Logaritmer Eksperimentariet: Niveau 1 Boks 1: Definitioner Titalslogaritmen, log 10 eller bare log, defineres til at være den funktion, der opfylder, at y = log(x) x = 10 y. Det vil sige, at når 10 2 = 100, så er log(100) = 2. Altså er log(x) det tal, som 10 skal opløftes i for at få x. Se i øvrigt video om logaritmer under videoer. Boks 2: Geoegbra I Geogebra kan titalslogaritmen udregnes ved hjælp af funktionerne log10(<x>) eller lg(<x>). Logaritmen med grundtal a kan udregnes ved hjælp af kommandoen log(<grundtal>,<x>). Opgave 1: a) Udfyld følgende tabel: x 0,1 1 10 100 1000 1500 log(x) b) Hvor meget større bliver log(x), når man ganger x med 10? Opgave 2: Diskuter om man kan tage tilogaritmen til et negativt tal? Hvorfor/hvorfor ikke? Opgave 3: a) Tegn grafen for f(x) = log(x) i Geogebra. Beskriv dens udseende. Hvor skærer den x-aksen? b) Tegn grafen for g(x) = 10 x i Geogebra. c) Prøv også at indsætte linjen y = x. Hvad bemærker du nu? d) Kan man bruge grafen for g til at aflæse log(15)? Hvis ja, hvordan? Opgave 4: Prøv at udregne log(100 10), log(100 100), log(100 15). Der gælder en generel regneregel for udtryk på formen log(a b). Prøv at se, om du kan gætte den. Afprøv din hypotese på et par eksempler mere. 25 Mikkel Stouby Petersen

Logaritmer Eksperimentariet: Niveau 2 Boks 1: Definitioner Lad a være et positivt tal, som ikke er 1. Vi definerer da logaritmen med grundtal a (a-talslogaritmen), log a, til at være den funktion, der opfylder, at y = log a (x) x = a y. Det vil sige, at hvis a 2 = 12, så er log a (12) = 2. Altså er log a (x) det tal, som a skal opløftes i for at få x. Specielt defineres titalslogaritmen, log 10 eller bare log, til at være den funktion, der opfylder, at y = log(x) x = 10 y. Det vil sige, at når 10 2 = 100, så er log(100) = 2. Altså er log(x) det tal, som 10 skal opløftes i for at få x. I øvrigt kan I finde en video under Videoer. Boks 2: Geoegbra I Geogebra kan titalslogaritmen udregnes ved hjælp af funktionerne log10(<x>) eller lg(<x>). Logaritmen med grundtal a kan udregnes ved hjælp af kommandoen log(<grundtal>,<x>). Opgave 1: a) Udfyld følgende tabel: x 0,1 1 10 100 150 log(x) b) Hvor meget større bliver log(x), når man ganger x med 10? Opgave 2: Forsøg at udregne tallene i hovedet: a) log(10000) b) log 3 (9) c) log 2 (16) d) log 5 ( 1 25 ) Tjek resultaterne efter med Geogebra. Opgave 3: Diskuter om man kan tage logaritmen til et negativt tal? Hvorfor/hvorfor ikke? 27 Mikkel Stouby Petersen

Logaritmer Opgave 4: a) Tegn grafen for f(x) = log(x) i Geogebra. Beskriv dens udseende. Hvor skærer den x-aksen? b) Tegn grafen for g(x) = 10 x i Geogebra. Hvad er særligt ved de to grafer? c) Kan man bruge grafen for g til at aflæse log(15)? Hvis ja, hvordan? Opgave 5: Prøv at udregne log(100 10), log(100 100), log(100 15). Der gælder en generel regneregel for udtryk på formen log(a b). Prøv at se, om du kan gætte den. Afprøv din hypotese på et par eksempler mere. 28 Mikkel Stouby Petersen

Logaritmer Træningslokalet: Niveau 1 Boks 1: Formler For titalslogaritmen gælder følgende regneregler: a) log(a b) = log(a) + log(b) ( ) a b) log = log(a) log(b) b c) log(a b ) = b log(a) Opgave 1: Omskriv følgende udtryk: a) log(3x) = log( 1 ) + log( ). 2 ( ) a b b) log = log( c 3 ) + log( 4 ) log( 5 ). c) log(2 x ) = 6 log( 7 ). d) log(4 3 x ) = log( 8 ) + 9 log( 10 ). Opgave 2: Her benyttes titalslogaritmen til at løse en ligning: 1) 5 1,68 x = 15 2) 1,68 x = 3 3) x log(1,68) = log(3) 4) x = log(3) log(1,68) 5) x 2,1176 a) Skriv for hvert trin i løsningen, hvad der er gjort. b) Skriv en trin-for-trin-guide til, hvordan man altid kan isolere x i en ligning på formen b a x = c. Opgave 3: Løs følgende ligninger ved hjælp af titalslogaritmen: 29 Mikkel Stouby Petersen

Logaritmer a) 2 x = 5 b) 7000 0,87 x = 2000 c) 25 2 x = 150 d) 3 x+2 = 16 e) 5 4 x = 20 2 x Vink til d) og e): Begynd med at tage logaritmen på begge sider af lighedstegnet, og udnyt den nederste regneregel. Opgave 4: Carla sætter 1000 kroner i banken til en årlig rente på 2,9%. a) Opstil en forskrift for s(t), når s er Carlas saldo, og t er tiden målt i år, fra pengene blev sat ind. b) Hvor lang tid går der før der står 1500 kroner på kontoen? Opgave 5: For et bestemt radioaktiv stof henfalder 0,15% af kernerne hvert år. a) Hvor mange år går der, før 10% af kernerne er henfaldet? b) Hvor lang tid går der, før halvdelen af kernerne er henfaldet? (Dette er den såkaldte halveringstid for det radioaktive stof.) 30 Mikkel Stouby Petersen

Logaritmer Træningslokalet: Niveau 2 Boks 1: Formler For titalslogaritmen gælder følgende regneregler: a) log(a b) = log(a) + log(b) ( ) a b) log = log(a) log(b) b c) log(a b ) = b log(a) Opgave 1: Omskriv følgende udtryk: a) log(3x) = log( 1 ) + log( ). 2 ( ) a b b) log = c +. 3 4 5 c) log(4 3 x ) = log( 6 ) + 7 log( 8 ) d) log( a) = 9 log( 10 ). ( x2 b) e) log a = 11 12 + 13 14 15. Opgave 2: Her benyttes titalslogaritmen til at løse en ligning: 1) 5 1,68 x = 15 2) 1,68 x = 3 3) x log(1,68) = log(3) 4) x = log(3) log(1,68) 5) x 2,1176 a) Skriv for hvert trin i løsningen, hvad der er gjort. b) Skriv en trin-for-trin-guide til, hvordan man altid kan isolere x i en ligning på formen b a x = c. 31 Mikkel Stouby Petersen

Logaritmer Opgave 3: Løs følgende ligninger ved hjælp af titalslogaritmen: a) 2 x = 5 b) 7000 0,87 x = 2000 c) 3 x+2 = 16 d) 5 4 x = 20 2 x e) 7 1,1 2x+1 = 2 Opgave 4: Carla sætter 1000 kroner i banken til en årlig rente på 2,9%. a) Hvor lang tid går der før der står 1500 kroner på kontoen? Opgave 5: For et bestemt radioaktiv stof henfalder 0,15% af kernerne hvert år. a) Hvor mange år går der, før 10% af kernerne er henfaldet? b) Hvor lang tid går der, før halvdelen af kernerne er henfaldet? (Dette tal er den såkaldte halveringstid for det radioaktive stof.) Opgave 6: Tegn grafen for f(x) = 15 0,7 x og g(x) = 2 1,5 x. a) Aflæs skæringspunktet i Geogebra. b) Bestem skæringspunktet algebraisk. (Dvs. ved at løse en ligning.) 32 Mikkel Stouby Petersen

Logaritmer Bevisboden: Niveau 1 Boks 1: En vigtig regneregel Her er en regneregel, som vi skal bruge flere gange: 10 log(x) = 1 Sætning 1: For titalslogaritmen, log, gælder, at Regneregel 1: log(a b) = log(a) + log(b) ( ) a Regneregel 2: log = log(a) log(b) b Regneregel 3: log(a b ) = b log(a) så længe begge sider af lighedstegnene er definerede. (Den sidste bemærkning betyder blot, at regneregel 1 for eksempel ikke gælder, når a er negativ eller a b er det.) Bevis for regneregel 1: Ved hjælp af regnereglen fra boks 1 kan vi skrive a b på denne måde a b = 10 2 10 3. Ved hjælp af potensregnereglen a n a m = a 4 kan dette omskrives til én potens: a b = 10 Omvendt kan regnereglen fra boks 1 også bruges på hele a b: 5 (1) a b = 10 log( 6 ) (2) Fra (1) og (2) har vi to forskellige udtryk for a b. Dem sætter vi lig hinanden: 10 Det må betyde, at 7 + 9 10 og dermed er den første regneregel bevist. = 10 = 8 11, 33 Mikkel Stouby Petersen

Logaritmer Opgave 1: Tag en tavle frem. a) Skriv beviset for regneregel 1 på tavlen, men I udfylder de manglende felter. b) Diskuter, hvad den underlæggende ide i beviset er, og hvilke regneregler, man skal bruge. Opgave 2: Tag en tavle frem. Her skal I selv lave et bevis for regneregel 2 ved at bruge samme strategi som for regneregel 1. Skriv beviset op på tavlen, men I laver det. a) Omskriv a b ved at bruge regnereglen fra boks 1 til at omskrive a og b. b) Benyt en potensregneregel til at omskrive resultatet til én potens af 10. Den regel, du skal bruge er a n a m = a 12. c) Omskriv nu a b ved at bruge regnereglen fra boks 1 på hele udtrykket. d) Sæt de to udtryk for a b lig hinanden. e) Færdiggør beviset. Bevis for regneregel 3: Ved hjælp af regnereglen fra boks 1 kan a b skrives på flere måder. Den første er: ( a b = 13 ) b som ved hjælp af potensregnereglen (a n ) m = 14 kan omskrives til Den anden måde at omskrive a b er a b = 15 a b = 10 16. Ved at sætte de to udtryk lig med hinanden får vi, at 10 17 = 10 18 Det vil sige, at Og så er beviset slut! 19 = log(a b ) Opgave 3: Tag en lille tavle frem, og gennemgå beviset for regneregel 3 på samme måde som regneregel 1. Hvilken forskel er der i strategien i forhold til regneregel 1? 34 Mikkel Stouby Petersen

Logaritmer Bevisboden: Niveau 2 Boks 1: En vigtig regneregel Her er en regneregel, som vi skal bruge flere gange: 10 log(x) = 1 Sætning 1: For titalslogaritmen, log, gælder, at Regneregel 1: log(a b) = log(a) + log(b) ( ) a Regneregel 2: log = log(a) log(b) b Regneregel 3: log(a b ) = b log(a) så længe begge sider af lighedstegnene er definerede. Opgave 1: Diskuter, hvad der menes med så længe begge sider af lighedstegnene er definerede. Hvad betyder det for a og b i den første regneregel? Bevis for regneregel 1: Ved hjælp af regnereglen fra boks 1 kan vi skrive a b på denne måde a b = 10 2 10 3. Ved hjælp af potensregnereglen a n a m = a 4 kan dette omskrives til én potens: a b = 10 Omvendt kan regnereglen fra boks 1 også bruges på hele a b: 5 (1) a b = 10 Fra (1) og (2) har vi to forskellige udtryk for a b. Dem sætter vi lig hinanden: 6 (2) 10 7 = 10 8 Det må betyde, at 9 = 10, 35 Mikkel Stouby Petersen

Logaritmer og dermed er den første regneregel bevist. Opgave 2: Hent en lille tavle, og læg den på jeres bord. a) Udfyld de tomme felter i beviset for regneregel 1. b) Diskuter, hvad den underlæggende ide i beviset er, og hvilke regneregler, man skal bruge. c) Tag en tavle og forsøg at skrive beviset op på den. Opgave 3: Tag en tavle frem, og skriv nu et bevis for regneregel 2, der følger den samme strategi som med regneregel 1. Hvilken potensregneregel skal man have fat i denne gang? Opgave 4: Tag en tavle frem, og skriv et bevis for regneregel 3. I kan følge denne opskrift : a) Omskriv først a b ved at benytte regnereglen fra boks 1 på a. b) Omskriv resultatet ved at bruge potensregnereglen: (a n ) m = 11. c) Omskriv nu a b ved at benytte regnereglen fra boks 1 på hele udtrykket. d) Sæt de to udtryk for a b lig hinanden. e) Færdiggør beviset. 36 Mikkel Stouby Petersen

Logaritmer Ekstrastationen Boks 1: Den naturlige eksponentialfunktion Den naturlige eksponentialfunktion er funktionen givet ved hvor e er Eulers tal. 2,718281828459.... Funktionen givet ved exp(x) = e x, Eulers tal er et irrationelt tal, hvor de første cifre er f(x) = b e kx er en eksponentialfunktion med fremskrivningsfaktoren a = e k. Boks 2: Den naturlige logaritme Den naturlige logaritme, ln, er logaritmen med grundtal e. Det er altså den funktion, der opfylder, at y = ln(x) x = e y. Det vil sige, at ln(x) er det tal, som e skal opløftes til for at give x. I Geogebra kan funktionen udregnes ved hjælp af ln(<x>) eller log(<x>). Når jeg skriver log(x) i opgaverne vil jeg dog fortsat referere til den naturlige logaritme. Opgave 1: Bestem ln(1) og ln(10). Opgave 2: Tegn grafen for den naturlige logartime og titalslogaritmen i Geogebra. a) Hvilket punkt går begge grafer igennem? Kan I forklare hvorfor? b) Hvilken funktion vokser hurtigst? Kan i forklare hvorfor? c) Tegn grafen den naturlige eksponentialfunktion i samme kooordinatsystem. Hvad bemærker I? d) Hvorfor giver ln(x) ikke mening, når x er negativ? 37 Mikkel Stouby Petersen

Logaritmer Opgave 3: Tag en tavle og opskiv et bevis for mindst én af regnereglerne for den naturlige eksponentialfunktion. Støt jer evetuelt til de beviser, I lavede for titalslogaritmen. Sætning 1: For den naturlige logaritme, ln, gælder, at Regneregel 1: ln(a b) = ln(a) + ln(b) ( ) a Regneregel 2: ln = ln(a) ln(b) b Regneregel 3: ln(a b ) = b ln(a) så længe begge sider af lighedstegnene er definerede. Opgave 4: Konkluder ud fra det I lavede i opgaven ovenfor, at de samme regneregler gælder for alle logaritmefunktioner uanset deres grundtal. Opgave 5: Løs følegnde ligninger ved hjælp af den naturlige logaritmefunktion: a) 2 1,4 x = 12. c) 4e x = 30. b) e x = 10. Opgave 6: En eksponentialfunktion f(x) = 77 2,3 x kan også skrives på formen f(x) = 77 e kx. Hvad skal k i såfald være? Argumenter for, at alle eksponentialfunktioner kan omskrives til formen f(x) = b e kx. Hvordan beregnes k ud fra fremskrivningsfaktoren? 38 Mikkel Stouby Petersen

Del III Fordobling og halvering

Fordobling og halvering Halvering og fordobling: Oversigt Eksperimentariet I eksperimentariet skal I selv undersøge sammenhænge og udlede formler. Her er fokus på forståelse. Læringsmål: I skal lære a) at eksponentialfunktioner enten har en fordoblings- eller halveringskonstant. b) hvordan fordoblings- eller halveringskonstanten hænger sammen med fremskrivningsfaktoren. Træningslokalet I træningslokalet udvikler man sine færdigheder og øver sig på at bruge teorien til at løse konkrete problemer. Her er fokus på problemløsning. Læringsmål: I skal lære at a) beregne fordoblings- eller halveringskonstanter for eksponentialfunktioner. b) fortolke fordoblings- eller halveringskonstanterne i forhold til en praktisk situation. c) løse konkrete opgaver, hvor fordobling eller halvering indgår. Bevisboden I bevisboden skal man arbejde med at bevise de sammenhænge, som man har brugt på de andre stationer. Her er fokuspå argumentation og ræsonnement. Læringsmål: I skal lære at a) udlede en formel for fordoblings- eller halveringskonstanten. 41 Mikkel Stouby Petersen

Fordobling og halvering Ekstrastationen I skal gå til denne station, hvis I har opnået læringsmålene i de øvrige tre stationer. Her vil der blive arbejdet videre med at give en dybere teoretisk forståelse, og der vil blive indført nye begreber, som skal udforskes. Læringsmål: Her kan I lære a) hvordan fordoblings- og halveringskonstanter kan beregnes for en funktion på formen f(x) = b e kx. 42 Mikkel Stouby Petersen

Fordobling og halvering Eksperimentariet: Niveau 1 Opgave 1: Gå til appletten på http://ggbtu.be/m2980019. a) Diskuter, hvordan appletten fungerer. Hvor kan man aflæse fordoblings- og halveringskonstanten. Hvornår er det T 2, man aflæser, og hvornår er det T1/2? b) Prøv at ændre x. Påvirker det T 2 eller T1/2? c) Hvad med b? Har den betydning? d) Hvad sker der, når man ændrer på a. Hvornår bliver T 2 eller T1/2 lille, og hvornår bliver de store? 43 Mikkel Stouby Petersen

Fordobling og halvering Eksperimentariet: Niveau 2 Opgave 1: Gå til appletten på http://ggbtu.be/m2980019. a) Diskuter, hvordan appletten fungerer. Hvor kan man aflæse fordoblings- og halveringskonstanten. Hvornår er det T 2, man aflæser, og hvornår er det T1/2? b) Prøv at ændre x. Påvirker det T 2 eller T1/2? c) Hvad med b? Har den betydning? d) Hvad sker der, når man ændrer på a. Hvornår bliver T 2 eller T1/2 lille, og hvornår bliver de store? Opgave 2: Lad os sige, at vi har en aftagende eksponentialfunktion med en halveringskonstant på T1/2 og begyndelsesværdi b. a) Udfyld følgende tabel: x 0 1 T1/2 2 T1/2 3 T1/2 n T1/2 f(x) b b 1 2 b) Argumenter for, at en sådan eksponentialfunktion kan skrives som ( x 1 T 1/2 f(x) = b 2) 45 Mikkel Stouby Petersen

Fordobling og halvering Træningslokalet: Niveau 1 Boks 1: Fordobligs- og halveringskonstanter For en voksende eksponential funktion defineres fordoblingskonstanten T 2 = log(2) log(a) og for en aftagende eksponentialfunktion defineres halveringskonstanten T1/2 = log(2) log(a) hvor a i begge tilfælde er fremskrivningsfaktoren. Fordoblingskonstanten har den egenskab, at når x øges med T 2, så fordobles f(x). Halveringskonstanten har den egenskab, at når x øges med T1/2, så halveres f(x). Der gælder desuden, at a T 2 = 2 og a T 1/2 = 1 2. Opgave 1: Udfyld tabllen: a T 2 T1/2 0,3 0,58 0,78 2160 1,15 4 Opgave 2: For en koloni af elefantsæler på 35 sæler oplyses det, at bestanden vokser med 10% om året. a) Hvor mange år går der, før bestanden er fordoblet? Opgave 3: Når γ-stråling med en intensitet på I 0 fra et radioaktivt materiale passerer gennem et plade, så absorberes en del af strålingen, og intensiteten falder til I efter formlen I(x) = I 0 a x, hvor x er pladens tykkelse, og a er en konstant, der afhænger af materialet, som pladen er lavet af. Materialets halveringstykkelse er den tykkelse, som en plade af materialet skal have for at intensiteten halveres. 47 Mikkel Stouby Petersen

Fordobling og halvering For en bestemt type beton er denne halveringstykkelse 3,47 cm. a) Bestem a. b) En kilde (et radioaktivt stof) udsender en stråling på 5,0 nw/m 2 og placeres bag en 1,00 cm tyk plade af denne type beton. Hvor stor er da intensiteten på den anden side af pladen? 48 Mikkel Stouby Petersen

Fordobling og halvering Træningslokalet: Niveau 2 Boks 1: Fordobligs- og halveringskonstanter For en voksende eksponential funktion defineres fordoblingskonstanten T 2 = log(2) log(a) og for en aftagende eksponentialfunktion defineres halveringskonstanten T1/2 = log(2) log(a) hvor a i begge tilfælde er fremskrivningsfaktoren. Fordoblingskonstanten har den egenskab, at når x øges med T 2, så fordobles f(x). Halveringskonstanten har den egenskab, at når x øges med T1/2, så halveres f(x). Der gælder desuden, at a T 2 = 2 og a T 1/2 = 1 2. Opgave 1: Udfyld tabllen: a T 2 T1/2 0,3 0,58 0,78 2160 1,15 4 Opgave 2: For en koloni af elefantsæler på 35 sæler oplyses det, at bestanden vokser med 10% om året. a) Hvor mange år går der, før bestanden er fordoblet? Opgave 3: Når γ-stråling med en intensitet på I 0 fra et radioaktivt materiale passerer gennem et plade, så absorberes en del af strålingen, og intensiteten falder til I efter formlen I(x) = I 0 a x, hvor x er pladens tykkelse, og a er en konstant, der afhænger af materialet, som pladen er lavet af. Materialets halveringstykkelse er den tykkelse, som en plade af materialet skal have for at intensiteten halveres. 49 Mikkel Stouby Petersen

Fordobling og halvering For en bestemt type beton er denne halveringstykkelse 3,47 cm. a) Bestem hvor mange procent af strålingen, der absorberes for hver centimeter af stoffet. b) En kilde (et radioaktivt stof) udsender en stråling på 5,0 nw/m 2 og placeres bag en 1,0 cm tyk plade af denne type beton. Hvor stor er da intensiteten på den anden side af pladen? c) Hvor tyk skal pladen være, hvis man ønsker at fjerne 95% af strålingen? 50 Mikkel Stouby Petersen

Fordobling og halvering Bevisboden: Niveau 1 og 2 Sætning 1: Lad en eksponentialfunktion være givet ved forskriften f(x) = b a x. Hvis funktionen er voksende, er fordoblingskonstanten givet ved T 2 = log(2) log(a). Hvis funktionen er aftagende, er halveringskonstanten givet ved T1/2 = log(2) log(a). Bevis for første halvdel af sætningen: Lad f være voksende. Det betyder, at. 1 At der er tale om en fordoblingskonstant betyder, at f(x + T 2 ) = 2 f(x). Når vi sammenligner med sætningen om eksponentiel vækst, så betyder det, at a T 2 = 2. Hvis vi tager logaritmen på begge sider af dette, så får vi, at log(a T 2 ) = log( 3 ). Vi benytter nu regnereglen om, at log(a n ) = n 4 til at reducere venstresiden: 5 6 = log(2). Vi kan nu isolere T 2 : Dette viser den første del af sætningen. T 2 = log(2) log(a) Opgave 1: Her skal I forsøge at bevise den anden halvdel af sætningen. Tag en tavle og skriv beviset op trin for trin, mens I diskuterer det. a) Her er funktionen aftagende. Hvad betyder det for a? 51 Mikkel Stouby Petersen

Fordobling og halvering b) Argumenter for, at f(x + T1/2) = 1 2 f(x), og konluder, at a T1 /2 = 1 2 c) Isoler T1/2, og vis, at T1/2 = ved at bruge logritmeregnereglerne. log(1) log(2) log(a) d) Beregn log(1), og færdiggør beviset. 52 Mikkel Stouby Petersen

Fordobling og halvering Ekstrastationen Opgave 1: a) Se tilbage i dine papirer. Hvordan kan man bestemme k ud fra a, og hvornår er eksponentialfunktionen voksende eller aftagende? b) Argumenter for, at det ikke gør nogen forskel, hvilken logaritme man bruger i udledningen af T 2 og T1/2, og konkuder, at man også kunne have skrevet formlerne som T 2 = ln(2) ln(a) og T1 /2 = ln(2) ln(a) c) Udled formlerne T 2 = ln(2) k og T1/2 = ln(2) k Opgave 2: Når et radioaktivt stof henfalder, så sker dette efter den såkaldte henfaldslov: N(t) = N 0 e µt, hvor t er tiden i sekunder, N er antallet af kerner, N 0 er antallet af kerner til tiden t = 0, og k er henfaldskontanten. a) Bestem henfaldskonstanten for et stof, hvor halveringstiden er 1500 år. b) Hvor mange procent af kernerne henfalder i løbet af et år? Opgave 3: I en sø breder algerne sig hurtigt om sommeren. En observeres at algevæksten dækker 100 m 2 af søens areal. Blot tre dage senere er 220 m 2 dækket. Det antages, at algevæksten er eksponentiel. a) Opstil en forskrift for algernes udbredelse. b) Hvornår dækker algerne et område på 300 m 2? c) Hvad er fordoblingstiden? Opgave 4: Den radioaktive kulstofisotop kulstof-14 har en halveringstid på 5730 år. I levende organismer bliver kulstoffet hele tiden skiftet ud, og mængden af kulstof-14 er derfor tilnærmelsesvist konstant. Når organismen dør, så stopper fornyelsen af uklstof dog, og mængden af kulstof-14 forsvinder derfor efterhånden som kernerne henfalder. Da man i 1950 fandt liget af Tollund-manden vest for Silkeborg var kun 75,75% af den oprindelige mængde kulstof tilbage. Hvornår døde Tollund-manden? 53 Mikkel Stouby Petersen