IKKE-LINEÆR OPTIMERING

IKKE-LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER Indhold 1 Konvekse funktioner 1 2 Optimering uden bibetingelser 1 3 Optimering under bibetingelser givet ved ligheder 2 4 Optimering under bibetingelser givet ved uligheder 3 41 Lagrange funktionen 3 42 KuhnTucker vektorer 4 43 KarushKuhnTucker betingelserne 4 5 Optimering under bibetingelser givet ved ligheder og uligheder 5 6 Eksempler 6 7 Matematisk økonomiske modeller 9 Litteratur 11 Vi rekapitulerer nogle fakta om konvekse funktioner 1 Konvekse funktioner Denition 11 Lad A R n være en konveks delmængde En reel funktion f : A R på A er konveks hvis x, y A t [0, 1]: f1 tx + ty 1 tfx + tfy Sætning 12 Lad A R n være en åben konveks delmængde og f : A R en reel C 1 -funktion på A 1 f er konveks x, y A: fy fx + fx x y 2 x er et global minimumspunkt for f fx 0 x A 3 f er konveks x A: 2 fx er positiv semidenit hvis f er C 2 Bevis 1 [2, Sætning 461] 2 Antag fx 0 Da A er en konveks mængde og f er en konveks C 1 -funktion med fx 0 er fx fx + fx x x fx for alle x A 3 [2, Sætning 431, 451] hvor Vi betragter i dette afsnit optimeringsproblemet A er en delmængde af R n f er en reel funktion deneret på A 2 Optimering uden bibetingelser P Minimer f Denition 21 Punktet x er en optimal løsning til P hvis fx fx for alle x A Sætning 22 Antag at A er en åben delmængde af R n og at f er en C 1 -funktion på A Lad x væren en løsning til optimeringsproblemet P Så er fx 0 Dette er en nødvendig betingelse for at x løser P Vi kan opnå en tilstrækkelig betingelse ved at skærpe kravene til f Date: 20 november 2010 1

gradienterne i x { g j x 1 j p} 2 JESPER MICHAEL MØLLER Sætning 23 Antag at A er en åben konveks delmængde af R n og at f er en konveks C 1 -funktion på A Hvis fx 0 så er x en løsnking til optimeringsproblemet P hvor 3 Optimering under bibetingelser givet ved ligheder Vi betragter i dette afsnit optimeringsproblemet P Minimer f under bibetingelserne g 1 0,, g p 0 A er en delmængde af R n f og g 1,, g p er reelle funktioner deneret på A De mulige løsninger er de punkter i A som opfylder alle bibetingelser A 0 {x A g 1 x 0,, g p x 0} Denition 31 Punktet x A er en optimal løsning til P hvis x A 0 og fx fx for alle x A 0 Sætning 32 Lagrange nødvendig betingelse LNB Antag at A er en åben delmængde af R n og at f og g 1,, g p er C 1 -funktioner på A Lad x A 0 være en løsning til P Antag også at x opfylder regularitetsbetingelsen: er lineært uafhængige Så ndes en entydigt bestemt Lagrange multiplier u R p så x, u opfylder Lagrange betingelserne: 1 g j x 0 for 1 j p 2 f + u j g j x 0 eller f x + u j g j x 0 for 1 i p Lagranges sætning giver en nødvendig, men ikke tilstrækkelig, betingelse for at x løser P Hvis vi lægger et koneksitetskrav på så får vi en tilstækkelig betingelse for at x løser P Sætning 33 Lagrange tilstrækkelig betingelse LTB Antag at A er en åben konveks delmængde af R n og at f og g 1,, g p er C 1 -funktioner på A Hvis x, u opfylder Lagrange betingelserne og funktionen A R: x fx + u j g jx er konveks så er x en løsning til P Bevis Antagelsen er at A R: x fx + u j g jx er en konveks funktion med x som stationært punkt, dvs globalt minimumspunkt Sætning 12 Altså er fx + u j g j x fx + u j g j x for alle x A Men g j x 0 for alle x A 0 så her står at fx fx for alle mulige løsninger x A 0 Bemærkning 34 Maksimeringsproblemet P Maksimer f under bibetingelserne g 1 0,, g p 0 løses ved at minimere f under bibetingelserne g 1 0,, g p 0 Hvis x opfylder regularitetskravet og x er en løsning til maksimeringsproblemet, så ndes ifølge Lagrange sætning 32, u så x, u opfylder Lagrange betingelserne 1 g j x 0 for 1 j p 2 f u j g j x 0 eller f x u j g j x 0 for 1 i n Og hvis x, u opfylder Lagrange betingelserne og x fx u j g jx er konveks så er x en løsning til maksimeringsproblemet

IKKE-LINEÆR OPTIMERING 3 hvor 4 Optimering under bibetingelser givet ved uligheder Vi betragter i dette afsnit minimeringsproblemet P Minimer f under bibetingelserne g 1 0,, g p 0 A er en delmængde af R n f og g 1,, g p er reelle funktioner deneret på A De mulige løsninger A 0 {x A g 1 x 0,, g p x 0} er de punkter i A som opfylder alle bibetingelser Hvis x A 0 er en mulig løsning, siger vi at bibetingelsen g j er aktiv i x hvis g j x 0 og slæk i x hvis g j x < 0 Denition 41 Punktet x A er en løsning til P hvis x A 0 og fx fx for alle x A 0 41 Lagrange funktionen Funktionen 42 L: A R p 0 R, x, u fx + u j g j x kaldes for minimeringsproblemets Lagrange funktion Denition 43 Punktet x, u A R p 0 er et saddelpunkt for Lagrange funktionen L hvis for alle x A og alle u 0 Vi analyserer nærmere de to ulighder i Denition 43 Lx, u Lx, u Lx, u Lemma 44 Følgende to betingelser er ækvivalente for x, u A R p 0 : 1 x A 0 og fx Lx, u 2 Lx, u Lx, u for alle u 0 Bevis Vi viser at følgende betingelser er ækvivalente: 1 x A 0 og fx Lx, u 2 g 1 x 0,, g p x 0 0 og u j g jx 0 3 u j u j g jx 0 for alle u 0 4 Lx, u Lx, u for alle u 0 1 2: Klart! 2 3: u j u j g jx u j g j x 0 da u j 0 og g j x 0 3 2: Sæt u i 1 + u i og u j u j for j i Det giver g ix 0 Så er u j g jx 0 Sæt u 0 Det giver u j g j x 0 Altså er u j g jx 0 3 4: Det er klart fordi Lx, u Lx, u fx + u j g j x fx + u j g j x u j g j x u j g j x u j u j g j x 0 for alle u 0 Lemma 45 Følgende to betingelser er ækvivalente for x, u A R p 0 : 1 Lx, u Lx, u for alle x A 2 Lx, u inf x A Lx, u Bevis Klart! Korollar 46 Følgende to betingelser er ækvivalente for x, u A R p 0 : 1 x, u er et saddelpunkt for L 2 x A 0 og fx Lx, u inf x A Lx, u

4 JESPER MICHAEL MØLLER 42 KuhnTucker vektorer Denition 47 Vektoren u 0 er en KuhnTucker vektor for P hvis og inf x A0 fx > inf Lx, x A u inf fx x A 0 Sætning 48 Følgende fem betingelser er ækvivalente for x, u A R p 0 : 1 x er en løsning til P og u er en KuhnTucker vektor 2 x A 0 og fx inf x A0 fx inf x A Lx, u 3 x A 0 og fx inf x A0 fx inf x A Lx, u Lx, u 4 x A 0 og fx inf x A Lx, u Lx, u 5 x, u er et saddelpunkt for Lagrangefunktionen L Hvis de er opfyldt for x, u så er u j g jx 0 for 1 j p Bevis Vi viser at betingelserne er ækvivalente 1 2: Da x er en løsning til P er x A 0 og fx inf x A0 fx og da u er en KuhnTucker vektor er inf x A0 fx inf x A Lx, u 2 1: Klart! 2 3: Vi har fx inf x A Lx, u Lx, u fx hvor den sidste ulighed kommer af at Lx, u fx + u j g jx fx da u j 0 og g jx 0 Derfor er denne kæde af ulighedstegn faktisk en kæde af lighedstegn 3 2: Klart! 3 4: Klart! 4 3: Vi har fx inf Lx, x A u inf Lx, u inf fx x A 0 x A 0 hvor den sidste ulighed kommer af at Lx, u fx når x A 0 Men så er fx inf x A0 fx 4 5: Korollar 46 Hvis betingelserne er opfyldt for x, u så er fx Lx, u fx + u j g j x og derfor er u j g jx 0 Da alle led i denne sum er 0, er de alle faktisk 0 Hvis P har en KuhnTucker vektor u så gælder: x er en løsning til optimeringsproblemet P x, u er et saddelpunkt for Lagrangefunktionen L sådan at vi stedet for at søge efter løsninger x til P kan søge efter saddelpunkter af formen x, u for L 43 KarushKuhnTucker betingelserne KarushKuhnTucker betingelserne må nødvendigvis være opfyldt i en løsning x til optimeringsproblemet P Sætning 49 KarushKuhnTucker nødvendig betingelse KKTNB [1, Theorem 127] Antag at A er en åben delmængde af R n og at f, g 1,, g p er C 1 -funktioner deneret på A og lad x A 0 være en løsning til programmet P Antag også at mindst en af følgende tre regularitetsbetingelser er opfyldt: bibetingelserne g j er ane, g j x a j x b j, for 1 j p bibetingelserne g j er konvekse og der ndes mindst et punkt af A 0 hvor de er alle slække Slater betingelse gradienterne i x for de aktive bibetingelser er lineært uafhængige { g j x 1 j p, g j x 0} Så ndes en vektor u R p sådan at x, u opfylder KarushKuhnTucker betingelserne 1 u j 0 for 1 j p positivitet 2 g j x 0 for 1 j p mulig løsning 3 u j g jx 0 for 1 j p komplementær slæk

4 f + u j g j x 0 eller f x + IKKE-LINEÆR OPTIMERING 5 De tilstrækkelige betingelser bygger igen på konveksitet u j g j x 0 for 1 i n optimalitet Sætning 410 KarushKuhnTucker tilstrækkelig betingelse KKTTB [1, Theorem 128] Antag at A er en åben konveks delmængde af R n og at f, g 1,, g p er C 1 -funktioner deneret på A Hvis x, u opfylder KarushKuhn Tucker betingelserne og funktionen A R: x fx + u j g jx er en konveks funktion på A så er x en løsning til P og u er en KuhnTucker vektor for P Bevis Antag at x, u opfylder KarushKuhnTucker betingelserne Så er Lx, u fx + u j g j x fx Desuden er inf Lx, x A u Lx, u fordi x Lx, u er en konveks C 1 -funktion med stationært punkt, derfor globalt minimumspunkt Sætning 12, x Derfor siger 1 4 i Sætning 48 at x en løsning og u er en KuhnTucker vektor Bemærkning 411 Maksimeringsproblemet P Maksimer f under bibetingelserne g 1 0,, g p 0 løses ved at minimere f under bibetingelserne g 1 0,, g p 0 Hvis x opfylder et af regularitetskravene fra KarushKuhnTuckersætning 49 og x er en løsning til maksimeringsproblemet, så ndes u så x, u opfylder KarushKuhnTucker betingelserne 1 u j 0 for 1 j p positivitet 2 g j x 0 for 1 j p mulig løsning 3 u j g j x 0 for 1 j p komplementær slæk 4 f u j g j x 0 eller f x u g j j x 0 for 1 i n optimalitet Og hvis x, u opfylder ovenstående betingelser og A R: x fx+ u j g jx er konveks så er x en løsning til maksimeringsproblemet Betingelse 3 om komplementær slæk siger at u j 0 hvis g jx 0, dvs hvis den jte bibetingelse er slæk i x Betingelserne 3 og 4 udtrykker at hvis bibetinglese g j er slæk i x så lægger g j ingen hindringer for at øge f hvor 5 Optimering under bibetingelser givet ved ligheder og uligheder Vi betragter i dette afsnit minimeringsproblemet P Minimer f under bibetingelserne g 1 0,, g p 0, h 1 0,, h q 0 A er en delmængde af R n f, g 1,, g p og h 1,, h q er reelle funktioner deneret på A De mulige løsninger er de punkter i A som opfylder alle bibetingelser A 0 {x A g 1 x 0,, g p x 0, h 1 x 0,, h q x 0} Denition 51 Punktet x A er en optimal løsning til P hvis x A 0 og fx fx for alle x A 0 Sætning 52 KarushKuhnTucker nødvendig betingelse KKTNB [1, Theorem 129] Antag at A er en åben delmængde af R n og at f, g 1,, g p og h 1,, h q er C 1 -funktioner deneret på A og lad x A 0 være en løsning til programmet P Antag at følgende regularitetsbetingelse er opfyldt: gradienterne i x for de aktive bibetingelser { g j x 1 j p, g j x 0} { h j x 1 j q} er lineært uafhængige Så ndes en vektor u R p og en vektor v R q sådan at x, u, v opfylder KarushKuhnTucker betingelserne 1 u j 0 for 1 j p og v j R for 1 j q

6 JESPER MICHAEL MØLLER 2 g j x 0 for 1 j p og h j x 0 for 1 j q mulig løsning 3 u j g jx 0 for 1 j p komplementær slæk q 4 fx + u j g j x + vj h j x 0 eller f x + 1 i n optimalitet Eksempel 61 Lagrange sætning 32 6 Eksempler u j g j x + P Minimer x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 under bibetingelserne x 2 1 + x 2 2 + 4x 2 3 1, x 1 + 3x 2 + 2x 3 1 q v j h j x 0 for De mulige løsninger A 0 {x 2 1 + x 2 2 + 4x 2 3 1, x 1 + 3x 2 + 2x 3 1} er kompakt, så den kontinuerte fx 1, x 2, x 3 x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 har både et maksimum og et minimum på A 0 Gradienterne 2x 1 1 2x 2, 3 8x 3 2 er lineært uafhængige i planen {x 1, x 2, x 3 x 1 + 3x 2 + 2x 3 1} og specielt også i hele A 0 Lagrange betingelserne er altså opfyldt i de to ekstremumspunkter ifølge Lagrange sætning 32 Lagrange betingelserne 1 x 2 1 + x 2 2 + 4x 2 3 1, x 1 + 2x 2 + 3x 3 1 2x 1 2x 1 1 0 2 2x 2 + u 1 2x 2 + u 2 3 0 2x 3 8x 3 2 0 har to løsninger, x 1, x 2, x 3, u 1, u 2 3 1,, 0, 1, 0, x 1, x 2, x 3, u 1, u 2 1 10 10 5 ζ, 3 7 ζ, ζ, 5 22, 3 5 11 ζ, ζ 22 som må være minimum f 1 og maksimum f 35 110 af f på A 0 Eksempel 62 [2, Eksempel 2, p 261] P Minimer x 2 2y under bibetingelserne x 2 + y 2 5, y 0 De mulige løsninger A 0 {x 2 + y 2 5, y 0} er kompakt, så den kontinuerte fx, y x 2 2y har både et maksimum og et minimum på A 0 KarushKuhnTucker betingelserne 1 u 0, v 0 2 x 2 + y 2 5, y 0 3 ux 2 + y 2 5 0, vy 0 4 2x 2 + u 2x 2y + v 0 1 0 0 har de tre løsninger x, y, u, v ±2, 1, 1, 0, 0, 5, 1/ 5, 0 Da x, y fx, y + g 1 x, y x 2 2y + x 2 + y 2 5 y 2 2y + 5 er konveks en glad parabel er x, y ±2, 1 et globalt minimum med værdi fx, y 6 Eksempel 63 Ikke-konveks optimering P Minimer 2x x 2 under bibetingelserne x 0, x 3 Da fx 2x x 2 er en sur parabel er minimumspunktet et af endepunkterne for intervallet [0, 3] Da f0 1 og f3 3 er det faktisk x 3 som er løsningen til P KarushKuhnTucker betingelserne 1 u 1 0, u 2 0 2 0 x 3 3 u 1 x 0, u 2 x 3 0 4 2 2x u 1 + u 2 0 er opfyldt for x, u 1, u 2 1, 0, 0, 0, 2, 0, 3, 0, 4 Men det er altså kun det sidste der er et minimumspunkt Det første er et lokalt minimum og det andet er et maksimumspunkt Eksempel 64 Ikke-konveks optimering KarushKuhnTucker betingelserne P Minimer x 2 + y 2 under bibetingelsen x 1 0

IKKE-LINEÆR OPTIMERING 7 Figur 1 Eksempel 66 og Eksempel 62 1 u 0 2 x 1 3 ux 1 0 4 2x 2y + u 1 0 0 0 er opfyldt for x, y, u 0, 0, 0 og x, y, u 1, 0, 2 Ingen af dem er løsninger til P for P har ingen løsninger da objektfunktionen x 2 + y 2 ikke er nedad begrænset på A 0 {x, y x 1} Det havde straks gået meget bedre hvis vi havde forsøgt at minimere f x 2 + y 2 Eksempel 65 Eksamen 07/08 Opg 3 Lad Q være en kvadratisk positiv semidenit n n-matrix, A en m n-matrix og b R m, c R n vektorer Betragt det konveks kvadratiske optimeringsproblem P Minimer c x + 1 2 xt Qx under bibetingelserne Ax b KarushKuhnTucker betingelserne er 1 u 0 2 Ax b 3 u Ax b 0 4 c + Qx + A t u 0 Ifølge Sætning 49 og Sætning 410 er x en løsning til P hvis og kun hvis der ndes u så x, u opfylder KarushKuhnTucker betingelserne Eksempel 66 Konveks optimering [2, Eksempel 1, p 260] KarushKuhnTucker betingelserne er 1 u 0, v 0 2 x + e x y, x 0 3 ux + e x y 0, vx 0 4 1/2 1 + u P Minimer y 1 2 x under bibetingelserne x + e x y 0, x 0 1 e x 1 + v 1 0 0 0 Fra 4 får vi at u 1 og v 1 2 e x Da v 0 er x 0 ikke muligt 3 giver derfor at v 0 Så er 0 v 1 2 e x og x ln2 3 giver nu at y 1/2 + ln2 Det eneste punkt som opfylder betingelserne er x, y, u, v ln2, ln2 + 1 2, 1, 0 Da alle funktioner er konvekse C1 -funktioner er x, y ln2, ln2 + 1 2 faktisk en løsning til P ifølge Sætning Eksempel 67 Lagrange multiplikatorer er skyggepriser for bibetingelser I maksimeringsproblemet Pb Maximer f under bibetingelser g 1 b 1,, g m b m afhænger bibetingelserne af de exogene varible b b 1,, b m Antag at x er en løsning til Pb for et fast b Så ndes et u så x, u opfylder Lagrange betingelsernerne 1 g j x b j 0, 1 j m

8 JESPER MICHAEL MØLLER 2 f m u j g j x 0 eller f u j g j x 0 for 1 i n Hvad sker der hvis vi ændrer b? Kan vi nde løsningen for maksimeringsproblemet Pb som en funktion x, u x, u b af parameteren b? Implicit Funktion Sætning har noget at sige her Lad F : R n R m R m R m R n være funktionen g 1 x b 1 gx b F x, u, b f g m x b m u j g j x x 1 f uj g j x x n f uj g j x gx b f u t g x som består af de m + n Lagrange betingelser set som funktioner af x, u, b Jacobiant matricen for F x, u, b x,u b kan deles op i to blokke som består af de partielle aedte efter de endogene variable x, u og de partielle aedte efter de exogene variable b De partielle aedte efter de endogene variable x, u 68 g b x, u f u t g x, u g 1 x 1 g m x 1 2 x 1x 1 f uj g j 2 x 1x n f uj g j g 1 x n 0 0 g m x n 0 0 g1 x 1 gn x 1 2 x nx 1 f uj g j 2 x nx n f uj g j er en kvadratisk n + m n + m matrix De partielle aedte efter de exogene variable b 69 b E m+n[1, m] g1 x n gn x n g x 0 H f u t g g x t er 1 gange de m første søjler i m + n m + n enhedsmatricen E m+n Antager vi at F x, u, b 0 og x,u x, u er invertibel kan vi anvende Implicit Funktion Sætning Nær x, u, b gælder det at F x, u, b 0 x, u xb, ub for en funktion xb, ub deneret nær b Implicit Funktion Sætning giver x x u 610 + x, u b b 0 eller u b b x, u x, u, b hvor x u I dette tilfælde siger 68, 69 og 610 at g H f u t g b x 1 b 1 x x b n b u 1 u b 1 b 1 u m b 1 x 0 g x t x b u b x 1 b n x n b n u 1 b n u m b n E m+n [1, m] 1 b x, u, b

IKKE-LINEÆR OPTIMERING 9 som giver at g x x b E m, H f u t g x b t g u x b og at m m + n matricen x u 1 1 g E m+n[1, m] [1, m] b x, u x, u H f u t g er de m første søjler i den inverse af m + n m + n-matricen 1 x,u Hvordan ændres x b, u b når b ændres?: x x, u b + b x b, u u b + b x b, u g b + b H f u t g Hvordan ændres fx b når b ændres?: fordi da f fx b + b fx b + u b x 0 x 0 g x t g x t b fx b f x m x b g j x m u j x b u j [j] g x m x b u j [j]e m u 1 [1, m] 1 [1, m] b x g u j j x [i]a betyder række i i matrix A Den økonomiske tolkning er at formlen for x b + b, u b + b beskriver hvordan det optimale produktionsmønster og Lagrangemultiplikatoren ændres ved en ændring i de exogene variable Funktionen fx b giver den optimale nytte opnået ved optimeret produktion under de givne ydre betingelser b Formlen for fx b + b beskriver ændringen i den maximale nytte under en ændring fra b til b + b i de exogene variable Lagrange multiplikatorerne u b kaldes for bibetingelsernes skyggepriser Antag at f er en nytteværdi Vi ser at hvis en parameter b j kan øges til b j + b j for en marginal omkostning som en lavere end skyggeprisen u j så kan det betale sig at gøre det fordi nytteværdien øges med u j b j Læg mærke til at u for komparativ statistik er mere interesant end x fordi systemet af sig selv nder frem til x mens u fortæller hvordan nytteværdien ændres når de exogene variable ændres Det kan feks være et politisk ønske at ændre på fx b Vektoren u fortæller informerer om fx b + b for forskellige valg af b Den størst mulige eekt opnås ved at tage b i samme retning som u 7 Matematisk økonomiske modeller I økonomisk teori antager man at vi har opnået et maksimum og man ønsker at sige noget om hvad der der sker når de exogene variable ændres Vi antager et maksimum er blevet antaget og vi ønsker at sige noget om hvilke konsekvenser vi kan drage af det Eksempel 71 [2, Eksempel 2 p 271] Et elektricitetsværk inddeler året i n perioder Lad x j være produktionen i periode j og p j prisen for elektricitet i den periode, 1 j n Værkets kapacitet k er konstant over hele året Værkets udgifter består af driftsomkostninger Cx Cx 1,, x n, som kun afhænger af produktionsmønsteret x, og kapacitetsomkostninger Dk, som kun afhænger af kapaciteten k Værkets årlige prot er og protmaksimeringsproblemet er πx, k p x Cx Dk P Maksimer πx, k under bibetingelserne 0 x 1 k,, 0 x n k, k 0 Der er her 2n + 1 bibetingelser, x j k og x j 0 for 1 j n, og k 0 Hvis x, k er et årligt produktionsmønster med maksimal prot så er KarushKuhnTucker betingelserne opfyldt: 1 u 1,, u n 0, v 1,, v n 0, w 0 2 0 x i k for 1 i n, og k 0 3 u i x i k 0 og v i x i 0 for 1 i n, og wk 0 4 p i C x u i v i 0 for 1 i n, og D k n i1 u i w 0

10 JESPER MICHAEL MØLLER Lad os antage at kapaciteten k > 0 Vi vil vise at Da k > 0 er w 0 så Ligningerne siger også 0 < x i < k C x p i, 0 < x i k C x p i, D k D k n i1 0 < x i k v i 0 p i C x + u i 0 < x i < k u i 0 v i p i C x u i n i1 p i C x Dvs at i perioder hvor produktionen ligger under den maksimale kapacitet så dækker salgsprisen lige akkurat de marginale driftsomkostninger I perioder med spidsbelastning overstiger salgsprisen de marginale driftsomkostninger med u j Summen af disse overskridelser over alle spidsbelastningsperioder er lig med den marginale kapacitetsomkostning Eksempel 72 Lise lever af hamburgere og cola Prisen for en hamburger er p 1 og prisen for en cola er p 2 Lises indkomst er I Sæt fx 1, x 2 a 1 lnx 1 + a 2 lnx 2 Lises nytteværdi af x 1 hamburgere og x 2 colaer og gx 1, x 2 p 1 x 1 + p 2 x 2 prisen for x 1 hamburgere og x 2 colaer Valget af a 1 og a 2 afspejler Lises preferencer for hamburgere eller colaer og de to konstanter kan have ændre værdier for andre forbrugere Lise er en prisbevidst forbruger og hun har derfor løst optimeringsproblemet PI Maksimer f under bibetingelsen g I Lagrange betingelserne 1 p 1 x 1 + p 2 x 2 I 0 a1 a 2 2 up 1 p 2 0 x 1 x 2 giver at 73 x 1 x 2 I u Ia 1 p 1a 1+a 2 Ia 2 p 2a 1+a 2 a 1+a 2 I fordi a 1 + a 2 up 1 x 1 + up 2 x 2 ui I denne model er den del af indkomsten der bruges på hver af de to goder p 1 x 1 a 1 p 2 x 2, a 2 I a 1 + a 2 I a 1 + a 2 uafhængig af I Hvordan ændres x 1I, x 2I, u I når I ændres?: x 1 x 1 x 2 I + I x 2 I + u u a 1 p 1a 1+a 2 a 2 p 2a 1+a 2 a1+a2 I 2 I a 1+a 2 I Hvordan ændres fx I når I ændres?: Den maksimale nytteværdi I+ Ia 1 p 1a 1+a 2 I+ Ia 2 p 2a 1+a 2 a1+a2 I 2 fx 1I + I, x 2I + I fx 1I, x 2I + a 1 + a 2 I I vokser med en faktor som er omvendt proportional med I Dette ses let direkte i dette tilfælde fordi vi kender de optimale løsninger helt eksplicit 73 Vi kan derfor lave et reality check ved også at bruge metoden fra Eksempel 67: Med p 1 x 1 + p 2 x 2 I F x 1, x 2, I, u a 1 x 1 up 1 a 2 x 2 up 2 I

IKKE-LINEÆR OPTIMERING 11 er p 1 p 2 0 x 1, x 2, u a1 0 p x 2 1 1 0 a2 p x 2 2 2 sådan at 1 [1, 1] x 1, x 2, u p 1 p 2 0 a 1I 2 0 p 1, 0 p 2 2 a1+a22 a 2I 2 p 2 p 2 1 a1+a22 a 1 p 1a 1+a 2 a 2 p 2a 1+a 2 a1+a2 I 2, 1 i+j det A ji det x 1, x 2, u p2 1p 2 2a 1 + a 2 3 a 1 a 2 I 2 ij detae Eksempel 74 Sæt fx 1, x 2 a 1 lnx 1 +a 2 lnx 2 hvor a 1 +a 2 1 og g 1 x 1, x 2 2x 1 +x 2, g 2 x 1, x 2 x 1 +2x 2 Vi forestiller os at fx 1, x 2 er nytteværdien og at g 1 x 1, x 2 og g 2 x 1, x 2 er forbruget af to to resurcer energi og areal ved ved produktion af x 1 enheder af produkt nr 1 og x 2 enheder af produkt nr 2 Der er 300 enheder energienheder og 450 arealenheder til rådighed for produktionen P Maksimer f under bibetingelserne g 1 300, g 2 450 Hvis a 2 er stor, er det en fordel at produce produkt nr 2 som kræver meget jord Derfor vil økonomiens begrænsning ligge i mængden af tilgængelig jord g 2 er aktiv mens skyggeprisen på energi vil være u 1 0 da g 1 ikke er aktiv Hvis a 2 er lille, dvs a 1 er stor, er det en fordel at produce produkt nr 1 som kræver meget energi Derfor vil økonomiens begrænsning ligge i mængden af tilgængelig energi g 1 er aktiv mens skyggeprisen på jord vil være u 2 0 da g 2 ikke er aktiv Hvis a 2 har en mellemværdi så er det en fordel at producere en blanding af de to produkter KarushKuhnTuckerbetingelser 1 u 1 0, u 2 0 2 2x 1 + x 2 300, x 1 + 2x 2 450 3 u 1 2x 1 + x 2 300 0, u 2 x 1 + 2x 2 450 0 4 a1 x 1 2u 1 u 2 0, a2 x 2 u 1 2u 2 0 Overvej hvad betingelse 4 betyder geometrisk på linjerne 2x 1 + x 2 300 og x 1 + 2x 2 450 og i deres skæringspunkt, 50, 200 Se Figur 2 Den økonomiske tolkning af betingelse 3 om komplementær slæk er at hvis energibetingelse g 1 er slæk, g 1 x 1, x 2 < 0, så er der stadig energi til rådighed og derfor er skyggeprisen på energi lig 0, dvs u 1 0 Ved en systematisk behandling af KarushKuhnTuckerbetingelserne må vi gå igennem de re muligheder: u 1 0, u 2 0: Begge bibetingelser inaktive Hverken energi eller jord er fuld udnyttet Det lyder ikke som et sandsynligt maksimum Her er a 1 0 og a 2 0 Umuligt u 1 0, u 2 > 0: Den anden bibetingelse er aktiv Jorden er er fuldt udnyttet, x 1 + 2x 2 450 Her er a 2 8/9 stor u 1 > 0, u 2 0: Den første bibetingelse er aktiv Energi er fuldt udnyttet, 2x 1 + x 2 300 Her er a 2 2/3 lille u 1 > 0, u 2 > 0: Begge bibetingelser er aktive Både energi og jord er fuldt udnyttet Her er 2/3 < a 2 < 8/9 og x 1, x 2 50, 200 Hvis feks a 2 11/12 så er u 1 0 og u 2 > 0 Modellen siger at da u 2 > 0 er al jord er udnyttet, men der er stadig energi som ikke er udnyttet Skyggeprisen på jord er positiv, mens skyggeprisen på energi er u 1 0 da tilførsel af mere energi ikke vil øge objektfunktionen Litteratur 1 Reiner Horst, Panos M Pardalos, and Nguyen V Thoai, Introduction to global optimization, second ed, Nonconvex Optimization and its Applications, vol 48, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2000 MR 1799654 2001h:90001 2 Knut Sydsaeter, Matematisk analyse Bind II, second ed, Universitetsforlaget, Oslo, 1978, Scandinavian University Books MR 502888 80c:00004 Matematisk Institut, Universitetsparken 5, DK2100 København E-mail address: moller@mathkudk URL: http://wwwmathkudk/~moller

12 JESPER MICHAEL MØLLER Figur 2 a 2 11/12 u 1 0, u 2 > 0, a 2 3/4 u 1 > 0, u 2 > 0 og a 2 1/3 u 1 > 0, u 2 0