. Jordan normalform Målet med dette notat er at vise hvorledes man ud fra en given matrix beregner dens Jordan normalform. Definition.. For n og λ C sættes λ 0... 0. 0 λ... J n λ).......... 0....... λ 0........ 0 λ dvs. n n-jordan bloen med λ i diagonalen. Proposition.2. For 0 gælder nullity J n λ) λi) ) { for 0 n n for n. her definerer vi B 0 I for enhver matrix B). Specielt gælder derfor for { nullity J n λ) λi) ) nullity J n λ) λi) ) for n 0 for > n. Beviset overlades til læseren. Pointen er at J n λ) λi er matricen med 0 er på alle pladser pånær pladserne lige over diagonalen der alle er. Udregnes potenser af denne ses at matricen J n λ) λi) er 0 på alle pladser pånær den de pladser der er præcis pladser over diagonalen og disse er alle lig. Vi illustrerer med et 5 5 esempel: 0 0 0 0 0 0 0 0 A J 5 λ) λi 0 0 0 0 0 0 0 0, 0 0 0 0 0 0 0 0 A 2 0 0 0 0 0 0 0 0, 0 0 0 0 A3 0 0 0 0 A 4, A for 5. Vi vil nedenfor anvende følgende notation for at srive matricer på ompat form: Lad for i m, A i være en n i n i -matrix. Sættes n n +... n m får vi en n n blomatrix ved at sætte matricerne A,... A m i diagonalen og 0-matricer på alle andre pladser. Denne
2 matrix vil vi i det følgende betegne A... A m. Vi har altså: A... 0 A... A m..... 0... A m Betragt nu en matrix J på Jordan normalform, dvs. vi har hvor J J ) n λ )... J ) n λ )... J t) a) n λ t )... J t) n λ t ) at) λ,..., λ t C er de forsellige egenværdier for J. ai) er antallet af Jordan bloe hørende til λ i. n i),..., ni) ai) er størrelserne af de ai) Jordan bloe hørende til λ i. Vi viser nu hvordan tallene ai) og n i) an beregnes udfra J. Vi sal nu bruge følgende lille observation om blomatricer, hvis bevis overlades til læseren. Lemma.3. Lad A,..., A m være vadratise matricer. Da gælder: og Bruges dette fås direte A... A m ) A... A m nullitya... A m ) nullitya ) +... + nullitya m ) nullity J λ i I) ) a) t nullity J n ) λ ) λ i I) ) For i er matricen J ) n λ ) λ i I en øvre treants matrix med λ λ i 0 i diagonalen. Dens determinant er derfor forsellig fra 0, så matricen er invertibel og har derfor nullity lig 0. Summen ovenfor giver altså un bidrag for i så vi får ) nullity J λ i I) ) ai) nullity J n i) λ i ) λ i I) ) Bruges nu Proposition.2 fås derfor 2) nullity J λ i I) ) nullity J λ i I) ) ai) { for n i) 0 for > n i) Vi indfører nu lidt mere notation: For i t og lader vi d i) af -Jordan bloe hørende til egenværdien λ i, dvs. d i) optræder blandt tallene n i),..., ni) ai). Bemær at di) d i) +... + di) 2 3) nullity +... ai). Af 2) fås nu J λ i I) ) nullity være antallet betegner antallet af gange 0 for tilstræeligt store og at J λ i I) ) d i) + di) + +...
For fås specielt 4) geo. mult. J λ i ) nullityj λ i I) d i) + di) 2 +... ai), hvilet er en del af vores mål. Benyttes formlen 3) for og + fås ved subtration af de to udtry 5) 2 nullity J λ i I) ) nullity J λ i I) ) nullity J λ i I) +) d i) Vi an nu let vise vores hovedsætning: Sætning.4. Lad A være en vadratis matrix med de forsellige egenværdier λ,..., λ t C. For i t og 0 defineres N i) nullity A λ i ) ). Lad J være en Jordan normalform for A. Da er antallet ai) af Jordan bloe i J hørende til egenværdien λ i givet ved 6) ai) N i) og antallet d i) af -Jordan bloe hørende til λ i i J er givet ved 7) d i) 2N i) N i) N i) + for. Antallet af Jordan bloe samt deres størrelser i en Jordan normalform for A an derfor bestemmes udfra A, så en Jordan normalform for A er entydigt bestemt op til ombytning af bloenes orden. Bevis. Vi ved fra Sætning 9.9 at A har en Jordan normalform, dvs. der findes en invertibel matrix C, så J C AC er på Jordan form. Da fås J λi) C AC λi) C A λi) C hvoraf vi får N i) nullity A λ i I) ) nullity J λ i I) ), vf. opgave 5.2.23. Ligningerne 6) og 7) fås nu direte fra 4) og 5). Den sidste del af sætningen følger direte af den første. Bemærning.5. Følgende observationer vedrørende tallene N i) er ofte nyttige vf. esemplet nedenfor): N i) 0 0 og N i) geo. mult. A λ i ) Talfølgen N i) 0, N i),... er strengt vosende indtil et vist trin, hvorefter den er onstant. Der findes altså et entydigt bestemt) M så N i) 0 < N i) <... N i) M < N i) M N i) M+... Mere præcist gælder M max{n i),..., ni) i) ai) } og N M N i) M+... alg. mult. Aλ i ). Den første påstand følger direte fra definitionen af N i). De sidste påstande bevises som følger: Vi har N i) nullity J λ i I) ), vf. beviset for Sætning.4. Formel 2) giver nu N i) N i) og ydermere at N i) N i) Med M max{n i),..., ni) ai) N i) 0, N i) i) } fås altså N N i) netop hvis > n i) 3 for alle,..., ai). > M. Dette viser at talfølgen,... er strengt vosende indtil den opnår en onstant værdi og at dette netop ser ved det M te trin. Vi mangler således un at beregne denne onstante værdi.
4 Af ) og Proposition.2 fås at for M gælder N i) nullity J λ i I) ) ai) nullity J n i) λ i ) λ i I) ) n i) +... + ni) ai) Det arateristise polynomium for A er givet ved deta λi) detcjc λi) detj λi). Da J λi er en øvre treantsmatrix fås Dermed gælder altså detj λi) λ λ) n) +...+n) a)... λ t λ) nt) +...+nt) at) alg. mult. A λ i ) n i) +... + ni) ai) hvor alg. mult. betegner den algebraise multiplicitet. Kombineres dette med det ovenstående fås altså at for M gælder 8) N i) alg. mult. A λ i ) som påstået Esempel.6. Som esempel betragtes 0 0 matricen: 2 22 6 5 9 6 2 6 0 0 9 6 2 7 5 0 5 0 0 8 5 6 9 5 4 8 4 0 0 6 2 5 7 3 3 6 3 0 A 0 4 8 2 6 2 4 2 0 2 0 2 0 0 0 2 5 3 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 Det arateristise polynomium for A bestemmes enten i hånden eller ved brug af computer) til: deta λi) λ 0 7λ 9 + 29λ 8 575λ 7 + 666λ 6 3276λ 5 dvs. egenværdierne for A er: + 4424λ 4 4048λ 3 + 2400λ 2 832λ + 28 λ ) 3 λ 2) 7, λ, med algebrais multiplicitet alg. mult. A ) 3, og λ 2 2, med algebrais multiplicitet alg. mult. A 2) 7. Vi betragter først λ og beregner tallene: N ) 0 nullity A I) 0) 0, N ) nullity A I) ) 2, N ) nullity A I) ) 3, for 2.
Ifølge Sætning.4 er der altså ialt a) N ) 2 Jordan bloe med λ i diagonalen. For at bestemme hvile størrelser disse to bloe har bruger vi igen Sætning.4 og beregner: Antal bloe: d ) 2N ) N ) 0 N ) 2 2 2 0 3, Antal 2 2 bloe: d ) 2 2N ) 2 N ) N ) 3 2 3 2 3, Antal bloe: d ) 2N ) N ) N ) + 2 3 3 3 0, for 3. Vi har altså: blo af formen: J ) ) og blo af formen: J 2 ) ) 0 Bemærning.5 stemmer fint: den stabile værdi for N ), 0 er netop alg. mult. Aλ ) alg. mult. A ) 3, og denne værdi indtræffer første gang for 2, idet den største Jordan blo med λ i diagonalen er af størrelse 2 2. Vi udfører nu nøagtig samme procedure for λ 2 2: N 2) 0 nullity A 2I) 0) 0, N 2) nullity A 2I) ) 2, N 2) 2 nullity A 2I) 2) 4, N 2) 3 nullity A 2I) 3) 6, N 2) nullity A 2I) ) 7, for 4. Der er altså igen) a2) N 2) 2 Jordan bloe med λ 2 2 i diagonalen. Størrelserne af disse bloe er bestemt ved: Antal bloe: d 2) 2N 2) N 2) 0 N 2) 2 2 2 0 4 0, Antal 2 2 bloe: d 2) 2 2N 2) 2 N 2) N 2) 3 2 4 2 6 0, Antal 3 3 bloe: d 2) 3 2N 2) 3 N 2) 2 N 2) 4 2 6 4 7, Antal 4 4 bloe: d 2) 4 2N 2) 4 N 2) 3 N 2) 5 2 7 6 7, Antal bloe: d 2) 2N 2) N 2) N 2) + 2 7 7 7 0, for 5. Vi har altså: blo af formen: J 3 2) 2 0 2 0 0 0 2 og blo af formen: J 4 2) 0 2 0 0 0 2 0 0 2 0 0 0 2 Igen stemmer Bemærning.5: den stabile værdi for N 2), 0 er netop alg. mult. Aλ 2 ) alg. mult. A 2) 7, og denne værdi indtræffer første gang for 4, idet den største Jordan blo med λ 2 2 i diagonalen er af størrelse 4 4. 5
6 Jordan normalformen for A bliver altså bloene i diagonalen an permuteres, og stregerne er udeluende til for at lette øet): 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 J 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 Kasper K. S. Andersen og Henri Holm