Støbnng af plade Køreplan 01005 Matematk 1 - FORÅR 2005 1 Ldt hstorsk baggrund Det første menneske beboede Jorden for over 100.000 år sden. Arkæologske studer vser, at det allerede havde opdaget fænomenet ld og lært at bruge det tl glæde for sg selv. Utrolgt nok tog det mennesket yderlgere 95 tusnde år, før det fandt ud af at bruge lden tl at udvnde metal fra jord-skorpen og bruge det. Tl at begynde med, blev metallet brugt som prydelse, f.eks. kamme, halskæder og armbånd. De var fremstllet guld eller sølv, som er det nemmeste metal at udvnde fra malmen. Så blev det mere almndelge og nyttge kobber fundet, og man fandt frem tl at styrke det ved at blande det med andre metaller tl at fremstlle bronze. Tl allersdst kom jernet - det mest almndelge metal, men også det mest besværlge at arbejde med. I modsætnng tl andre metaller, hvs relatvt lave smeltepunkt gjorde, at man kunne støbe det forme, skulle jern smedes, dvs. opvarmes, for at gøre det blødt og så slå det tl den nødvendge form. Der kom tl at gå adskllge hundrede år, før man fandt en metode tl at opnå temperaturer, der var høje nok tl at holde jernet smeltet længe nok tl, at det kunne blve støbt forme. I 1709 udvklede Abraham Darby koks Coalbrookdale, som meget ofte blver betragtet som den ndustrelle revolutons fødested. Det var koksen, som blev brugt tl at smelte jernet, og som derved gav de store opfndere materalet, hvoraf de kunne fremstlle deres maskner. Den mest revolutonerende var dampmasknen, som blev udvklet af James Watt 1760 erne. Stål, der var blevet fremstllet relatvt små mængder sden 1733, da Benjamn Huntsman udvklede sn smeltedgel proces, blev pludselg mere frt tlgængelg, da Sr Henry Bessemer opfandt sn berømte omformer 1855, som gjorde det mulgt at masseproducere. Dette betød, at revolutonerende opfndelser som elektrske motorer, bler, deselmaskner, undergrundstoge, fotograferng og den trådløse telegraf så dagens lys. Alumnum, som blev ndført metalndustren 1909, tlvejebragte det stærke letvægtsmetal, som skulle gøre det mulgt at tlfredsstlle menneskets store, unverselle ønske om at flyve. I dag bdrager støberndustren tl alle vgtge områder af det moderne samfund herblandt transportndustren, nformatonsteknologen, produkton af fødevarer, telekommunkatonen og energsektoren herunder bl.a. atomkraft. I det 20. århundrede har en række danske opfndelser sat st stærke præg på støberndustren, og dermed en lang række af de ndustrer, som støbererne leverer tl. Mat1 04/05 sde 1
Hvordan støber man et rør? Form, overdel overdel Samlet form Kerne Form, underdel underdel Hulrum tl smelte Støbegods der skal renses Støbegods og evt. bearbejdes der skal renses og evt. bearbejdes Færdgt rør Fgur 1: Skematsk fremstllng af støbeprocessen Den første store danske opfndelse ndenfor støberndustren blev gjort omkrng 1960 af professor Vagn Aage Jeppesen her på DTU. Han opfandt et nyt prncp tl at fremstlle støbeforme sand. Den nye metode gjorde det mulgt at fremstlle præcse forme med en hdtl uhørt hastghed. Patentet blev købt af Dansk Industr Syndkat (Dsa A/S). Dsa vdereudvklede den prototype tl en formemaskne, som Jeppesen havde lavet på DTU, tl den Dsamatc formemaskne, der løbet af 1970erne var med tl at øge støberernes produktvtet en sådan grad, at antallet af støberer blev reduceret med ca. 80 procent. I dag blver 50 % af alt jernstøbegods støbt på danskfremstllede Dsamatc maskner. Ser man på jernstøbegods bler (manfolde, bremsedele, motorblokke, hydraulkkomponenter etc.) så blver 80 % af de støbte jerndele på verdensplan fremstllet på maskner produceret af Dsa Herlev. Det næste store skrdt blev udvklngen af numerske beregnngsmodeller tl at analysere støbeprocesser. En del af de første brugbare modeller tl praktsk, ndustrelt anvendelg procesoptmerng blev løbet af 1970erne og 80erne udvklet et samarbejde mellem det teknske unverstet Aachen og DTU af daværende docent Preben N. Hansen. Det har ført tl udvklngen af det mest benyttede kommercelle softwaresystem tl modellerng af støbeprocesser verden: MAGMAsoft. 2 Hvad er en støbeproces? Støbnng er teoren en smpel proces: Man former et såkaldt negatv af det man ønsker fremstllet et passende formmaterale (stål, sand, keramk el. lgn.) og så fylder man det med smeltet metal, se fgur 1. På trods af denne umddelbare smplctet er det en af de vanskelgste ndustrelle fremstll- Mat1 04/05 sde 2
ngsprocesser at styre, da antallet af procesvarable er uoverskuelgt stort. Derudover er den matematk, som beskrver en støbeproces, temmelg kompleks, hvs det hele skal med. En generel løsnng vl bestå en bestemmelse af prmtve felter som temperaturer, forskydnnger, spændnger, hastgheder, tryk osv. Alt dette kræver løsnng af de styrende dfferentallgnnger. Som nden for andre centrale dele af mekankken er dsse lgnnger meget ofte en eller flere koblede, partelle dfferentallgnnger med en eller flere afhængge varable (f.eks. temperaturen T ) og fre uafhængge varable (tre stedsparametre x, y, z og tden t). Dsse lgnnger udtrykker alle en specel balance eller et bevarelsesprncp, der opstlles under anvendelse af nærmere bestemte fysske størrelser som afhængge varable. Dsse vl f.eks. være spændngerne projektonslgevægtslgnngerne. I denne spørgsmål vl v dog begrænse os tl at betragte varmelednng 1-dmenson, beskrevet v.h.a. den såkaldte varmelednngslgnng. Alle metaller (undtagen Wolfram) er på et eller andet tdspunkt blevet støbt. Det gælder både for dele, der er valset eller trukket fra et råmaterale eller færdgt støbte dele. Alle dsse metaller lever med strukturer og deraf følgende egenskaber, der er blevet grundlagt under støbeprocessen. Man ved, at et materales egenskaber bestemmes, mens det størkner. Kølehastgheden bestemmer metallets ndre krystalstruktur og dermed dets mekanske og korrosonsmæssge egenskaber. Derfor er det essentelt at kende og at kunne styre afkølngen en støbeform. Tl det formål fndes der en mængde relatvt smple matematske utryk. Dsse, der er enten emprsk eller analytsk baserede, anvendes daglgt af ngenører og konstruktører. Lgeledes benytter man som førnævnt også prakss flttgt moderne numerske metoder tl analyse af støbeprocesser og tl at optmere desgn af støbte komponenter. 3 Opstllng af varmelednngslgnngen 3.1 Det statonære tlfælde Den domnerende varmetransportmekansme.f.m. størknngsforløbet en støbeproces er varmelednng, som beskrves v.h.a. af den såkaldte varmelednngslgnng. Denne udtrykker en generel 3- dmensonal dfferentel varmebalance ethvert punkt af det betragtede område. For vores formål er det mdlertd nok at betragte varmelednng 1-dmenson. Betragt nu fgur 2. Varmefluxen (måles Watt, [W]) nd elementet er q(x 0 ) og ud af elementet q(x 0 + x). Derudover er der en varmegenererng elementet, et såkaldt kldeled q gen [W]. Ideen udlednngen af varmelednngslgnngen er nu at opstlle en energbalance for det ovenfor vste element og herefter lade x gå mod nul. Først betragtes det statonære tlfælde. Det betyder, at der kke er nogen tdsvaraton. Et resultat af dette er, at energndholdet elementet kke ændres, ford så vlle temperaturen jo også begynde at ændre sg, og derved kke være konstant tden. Energbevarelse for elementet gver herefter: q(x 0 ) q(x 0 + x) + q gen = 0 (1) 1. Udtryk q(x 0 + x) v.h.a. en Taylorrække udvklet omkrng punktet x 0 og anvend dette energbalancen gvet lgnng (1). Reducer herefter den fremkomne lgnng. Mat1 04/05 sde 3
Fgur 2: Volumenelement for 1-D varmelednng 2. Udtryk varmefluxen, q, lgnngen, der blev opstllet opgave 1, v.h.a. Fourers lov q = ka T (2) x hvor k er varmelednngsevnen [W/mK], og opskrv herved en dfferentallgnng for temperaturen T som funkton af x (jf lgnng (3) nedenfor). Hvad betyder det, at der er tale om en statonær, 1-dmensonal model for dfferentalkvotenten (2)? Den spørgsmål 2 fremkomne lgnng kaldes den statonære varmelednngslgnng 1-D med kldeled, og skrves ( d k dt ) + q gen dx dx = 0 (3) hvor q gen er kldeleddet pr. volumenenhed, [W/m 3 ] 1. I det tlfælde hvor k kke afhænger af temperaturen, vl løsnngen af denne sædvanlge dfferentallgnng af anden orden være uhyre smpel. 3. Løs (3) (brug Maples ) for det en-dmensonale domæne, der er begrænset af x = 0 og x = L med randbetngelserne T (0) = T 1 og T (L) = T 2. Kldeleddet antages at kunne udtrykkes parabolsk som funkton af x, dvs.: q gen = ax 2 + bx + c (4) Et kldeled som det, der ndgår spørgsmål 3 kan bruges tl at smulere den størknngsvarme, der frgves, når et emne størkner. (Frgvelse af latent varme ved fasetransformaton kendes fra vand, der fryser tl s. Her skal der også fjernes varme fra systemet for, at processen kan foregå.) Den smple løsnng tl (3), som er fundet spørgsmål 3, skal bruges senere ved valderngen af den numerske løsnng. 1 De tre apostroffer markerer således, at der er tale om en størrelse pr. volumenenhed - der er kke tale om en dfferentalkvotent. Mat1 04/05 sde 4
3.2 Det nstatonære tlfælde Varmelednngen støbnng er som førnævnt kke en statonær proces. Lgnngen (3) er således kke tlstrækkelg tl at beskrve, hvad der foregår. Betragtes fgur 1 gen, medtages nu, at energndholdet det betragtede element kan ændre sg. Energbalancen, (1), udvdes således tl Q = q(x 0 ) q(x 0 + x) + q gen, (5) hvor Q er energndholdsændrngen pr. td [W] af elementet. For de betragtede forhold vl denne være gvet ved Q = Vρc p T t, (6) hvor V er volumnet og ρc p er varmefylden af det gvne materale. 4. Kombner resultaterne fra spørgsmål 1 og 2 med lgnng (5) og (6). Læg her mærke tl, at nu afhænger temperaturen både af x og tden t, dvs. T = T (x,t). Den herved fremkomne lgnng kaldes den nstatonære varmelednngslgnng 1-D med kldeled. T ρc p = ( k T ) + q gen t x x. (7) Hvs man begrænser sg tl kun at betragte konstante materaledata, samles k og ρc p temperaturlednngstallet, α = k/ρc p, og lgnngen (7) omskrves tl T t = α 2 T x 2 + q gen, (8) ρc p som er den lgnng, der vl danne bass for udvklngen af den numerske model for det nstatonære tlfælde. 4 Opstllng af numerske modeller 4.1 Det statonære tlfælde Først konstrueres en numersk løsnng for det statonære tlfælde, det vl sge lgnng (3). Der antages øvrgt konstante materaledata. Tl dette formål nddeler man ntervallet [0,L] N 1 lge store stykker, således at man får defneret et beregnngsnet med netpunkter med ndex 1,...,N en ndbyrdes afstand x. Temperaturen varmelednngslgnngen antages da gvet ved værderne dsse netpunkter, og man skrver T for temperaturen netpunkt nummer, med = 1...N. Nettet på fgur 3 ndeholder 5 netpunkter. Dette vl normalt være en alt for grov dskretserng af den 1-dmensonale geometr. Typsk behøves betydelgt flere netpunkter for at få en brugbar opløsnng af problemet og dermed en rmelg nøjagtghed. Mat1 04/05 sde 5
Fgur 3: Beregnngsnet 1-D For at arbejde med varmelednngslgnngen ud fra temperaturerne T har man brug for et udtryk - en approksmaton - af den anden ordens afledede af temperaturen netpunkterne. I Lneær Algebra bogens eksempel 1.10, sde 34, er der angvet den såkaldte centrale 3-punkts fnte dfference approksmaton af den anden ordens afledede, som v benytter her: ( d 2 ) T = T 1 2T + T +1 dx 2 x 2, (9) hvor den afledede et ndre netpunkt nummer beregnes ud fra nformaton om temperaturen netpunkterne 1, og + 1. I de næste spørgsmål søges den numerske løsnng for tlfældet spørgsmål (3), det (9) bruges ved dskretserngen af de afledede (3) for de ndre punkter og andre funktoner repræsenteres ved deres funktonsværder netpunkterne. Husk her, at k antages konstant. For at få et veldefneret problem, kræves også en angvelse af randbetngelser. Generelt skal dsse også dskretseres, men tlfældet med en kendt temperatur på randen som spørgsmål 3 er dette kke nødvendgt, da løsnngen selv er gvet på randen. 5. Der betragtes nu et område med længden L = 0.1 m nddelt et ækvdstant net med alt 21 punkter (dvs. med 19 ndre punkter). Opskrv 2 det generelle lneære lgnngssystem, (som blver tr-dagonalt og symmetrsk), der fremkommer ved at anvende (9) på de ndre punkter samt randbetngelser gvet som kendte temperaturer: T 1 = T kendt,a og T N = T kendt,b. Vs, at løsnngen tl lgnngen er entydg (fnd fx egenværderne, eller benyt Lneær Algebra bogens eksempel 3.15, sde 105). 6. Løs lgnngssystemet, der er opstllet ovenfor spørgsmål 5 for tlfældene a = b = c = 0 og T kendt,a = 20,T kendt,b = 100 a = b = 0,c = 1e5 og T kendt,a = 20,T kendt,b = 100 a = 0,b = 1e6,c = 1e5 og T kendt,a = 20,T kendt,b = 100 a = 5e7,b = 1e6,c = 1e5 og T kendt,a = 20,T kendt,b = 100 Præsenter temperaturfelterne som kurver et (x,t )-koordnatsystem 3. Der kan regnes med følgende data, som svarer tl det formsand som bruges sandstøbeprocesser: Varmelednngsevne k = 1W/(mK) Varmefylde ρc p = 2e6 J/(kgK) 2 I Maple defneres matrcen fx ved hjælp af en kommando som "!# $"$%!&, hvorefter matrcens elementer, der kke er nul, gves værder ved hjælp af')( -*)( -løkker; se Maple s+,-. 3 I Maple kan man llustrere en stykkevs lneær kurve gennem 10 punkter./1032#4/1032 ved,"(5#/ /6.7/8032#47/80322:9;03< $$="2&. Mat1 04/05 sde 6
Kommenter resultaterne. I denne forbndelse skal de numerske resultater sammenlgnes med resultaterne fra den analytske løsnng fra spørgsmål 3. De numerske resultaters nøjagtghed bør kommenteres. Under hvlke forudsætnnger er den centrale 3-punkts fnte dfference approksmaton for den 2.ordens afledede eksakt for det betragtede tlfælde? 4.2 Det nstatonære tlfælde Som førnævnt er støbeprocesser kke statonære, derfor må lgnng (3) erstattes af lgnng (7). Der er nu således behov for at dskretsere den 2.ordens afledede stedet x og den 1.ordens afledede tden t. Tl den 2.ordens afledede stedet bruges (9) og tl den 1.ordens afledede tden bruges følgende 2-punkts dfferenstlnærmelse: ( ) T t t Dette ndsættes (8) T t+ t t T t = T t+ t t T t = α T 1 2T + T +1 x 2. (10) + q gen ρc p. (11) Højresden af (11) kan foreskrves på flere måder hvad angår tdsnveauet. Tl det formål ndføres parameteren θ, som kan antage værder fra nul tl en, således: ( ) ( ) T t+ t T t = (1 θ) α T t 1 2T t + T t +1 x 2 + q gen t ρc p +θ α T 1 t+ t t+ t 2T + T+1 t+ t x 2 + q gen t+ t t ρc p (12) V vl her beskæftge os med den forwards og backwards Euler-metode eller den eksplctte og mplctte metode, som de også kaldes:. θ = 0 θ = 1 Forwards Euler (eksplct) Backwards Euler (mplct) Først betragtes den mplctte formulerng, dvs. θ = 1. (12) reduceres da tl T t+ t T t = α t ( x 2 T 1 t+ t 2T t+ t Der ndføres nu følgende konstanter (Fo kaldes Fourer-tallet) Lgnngen (13) kan herefter skrves som T t+ t T t = Fo q t+ t ) + T+1 t+ t + tq gen t+ t. (13) ρc p Fo = α t x 2. (14) ( T t+ t 1 = tq gen t+ t. (15) ρc p 2T t+ t ) + T+1 t+ t + q t+ t. (16) Mat1 04/05 sde 7
Fgur 4: Tme-marchng ved mplct formulerng 1-D I denne lgnng ndgår tre ubekendte lgesom det statonære tlfælde. Dsse tre ubekendte temperaturer afhænger af hnanden, centraltemperaturen på gammelt nveau, som er kendt, samt kldeleddet på nyt nveau, som også er kendt. Dette er llustreret fgur 4. Lgnngssystemet blver således også her tr-dagonalt og symmetrsk 4. Forskellen forhold tl det statonære tlfælde er nu, at der skal løses et tr-dagonalt lgnngsssystem hvert tdsstep. 7. Opskrv formen af det generelle lgnngssystem, som skal løses hvert tdsstep, der fremkommer ved at anvende (16) på de ndre punkter af et nterval [0, L], samt randbetngelser gvet som kendte temperaturer: T 1 = T kendt,a og : T N = T kendt,b. Overvej, om der altd er en løsnng tl denne lgnng, og undersøg om den er entydg. Overvej desuden, hvad der kræves for at løse lgnngerne, hvs for eksempel q gen afhænger af temperaturen. 8. Som spm. 5 og 6 betragtes nu et område med længden 0.1 nddelt et ækvdstant net med N = 21 punkter, og med et kldeled gvet som (4). Løs (16) for de samme fre tlfælde som spm.6. Der kan regnes med et tdsstep, t på 50s, og der kan anvendes samme materaledata som spm.6. Intaltemperaturen sættes først tl T (x,t = 0) = 20 + 800x, og der regnes fra 100 tl 500 tdsskrdt frem. Prøv også at varere både tdsskrdtets størrelse og antallet af tdsskrdt. Brug Maple tl at llustrere den tdslge udvklng (lav evt. en anmaton 5 ). Derefter sættes ntaltemperaturen tl 20 o C; der sker altså et sprng temperaturen højre endepunkt ved tden t = 0. Sammenlgn resultaterne fra spm. 8 med resultaterne fra spm. 6 og overvej under hvlke betngelser den nstatonære varmelednngslng og den statonære varmelednngslgnng har den samme løsnng. 5 Anvendelse af model Nu anvender v de numerske værktøjer udvklet ovenfor tl at smulere støbnng af en stålplade en sandform. Dette udvkles nogle skrdt, det størknngsmodellen først udvkles. Derefter ses 4 Overvej eventuelt koeffcentmatrcens form, hvs Fourertallet Fo afhænger af stedet (dvs. af netpunktet ). 5 I Maple kan man lave en anmaton af 20 plots>7?1@3acbdef"gh#ikj B en kurve for hvert af 20 tdsskrdt ved kommandoenl@"mef"no#ipmq"rsit>7?1@3a UP@3D<VXW"W4YZ"A[J U\@]^M-Q"R_ Q][`Q"D"Ha_ QJ. For nærmere detaljer, se Maple sb Q)F-E. Mat1 04/05 sde 8
der på beregnnger, hvor metal og sand gver varerende materaleparametre, og sluttelgt kobles dette sammen den samlede smulerng af støbeprocessen sandformen. 5.1 Størknng af metal For at modellere frgvelsen af størknngsvarmen benytter v at dette kan ækvvaleres med at varmefylden øges under størknngen (se udlednngen nedenfor). Det betyder, at den energ, der skal fjernes for at et kg kan køles en grad, øges ganske voldsomt. Herved foregår afkølngen meget langsommere end før og man får et plateau på afkølngskurven, der vser temperaturen T som funkton af tden t. Der antages her, at stållegerngen størkner tæt på eutektsk, dvs. at størknngen foregår over et meget snævert temperaturnterval, her valgt tl een grad. Øvre grænse ntervallet betegnes lqudustemperaturen, T lqudus. Over den grænse er materalet smeltet. Nederste grænse kaldes soldustemperaturen, T soldus. Under denne temperatur er materalet størknet (fastformgt). Nedenstående fgur vser andelen f S af størknet materale som funkton af temperaturen ( f S lgger mellem 0 og 1). Mange modeller for størknngen afhænggt af materalet, er gvet ltteraturen. Den lneære sammenhæng er vst for smpelheds skyld. Den forekommer sjældent prakss. Fgur 5: f S (fracton sold) som funkton af temperaturen, her lneær størknngsntervallet. Ved en gven andel størknet, f S, er der frgvet en mængde varme [J/m 3 ], svarende tl f S gange med den samlede størknngsvarme H f [J/kg] gange massefylden ρ [kg/m 3 ], dvs. Q frgvet = f S ρ H f. (17) Der er her gjort den antagelse, at størknngsvarmen er ens for de faser, der dannes under størknngen. 9. Vs, at frgvelsen af størknngsvarmen kan modelleres ved, at modfcere varmefylden størknngsntervallet på følgende måde: c størknng p = c p f S T H f (18) når kldeledet varmelednngslgnngen er gvet som den tdslge afledede af Q frgvet (jf. (17). (Vnk: Anvend, at f S t = f S T T t ). Læg mærke tl, at udtrykket (18) udtrykker, at varmefylden øges under størknngen (hvorfor?). Mat1 04/05 sde 9
I det følgende benyttes (18) tl at modfcere varmefylden hvert tdsskrdt (16) (hvor q = 0), det varmefylden et tdskrdt regnes konstant og gvet ved temperaturen fra det forrge tdsskrdt. For at skre sg, at al størknngsvarmen faktsk frgves under den numerske smulerng, benytter man følgende algortme tl at modfcere temperaturen efter, at lgnngssystemet er løst for et tdsskrdt (men nden tdsskrdtet er slut): hvs T t > T lqudus og T t+ T lqudus så sættes T t+ t = T lqudus ε (19) hvor ε er et llle tal (f.eks. af størrelsesorden 1e-6 tl 1e-8). Herved vl man aldrg komme tl at køre for langt nd størknngsntervallet nden varmefylden blver sat op, eller drekte komme tl at køre hen over det, hvs tdsskrdtet er så stort, at man får en temperaturændrng, der er større end størknngsntervallet. Fejlen, der begås, ved at anvende den vste algortme er forsvndende sammenlgnet med den fejl som begås ved kke at anvende den. For, at kunne modellere det transente forløb rgtgt, er det nødvendgt tl hvert tdsskrdt at have nformaton om temperaturen både tl tden t og tl tden t + t (begge tempearturer ndgår (19)). Dsse kan f.eks. kaldes T gl og T ny. Når et tdsskrdt er færdgregnet, vl de nye temperaturer være de gamle temperaturer for det næste tdsskrdt. Derfor skal de nye temperaturer lægges over de gamle således, at beregnngen er klar tl næste tdsskrdt. I det følgende regnes med følgende data Støbeemne (stål) Varmelednngsevne k = 30 W/(mK) Varmefylde ρc p = 6e6 J/(kgK) Modfceret varmefylde ρc p = 6e9 J/(kgK) for T lqudus T T soldus Soldus-temperatur T soldus = 1100 o C Lqudus-temperatur T lqudus = 1101 o C Intaltemperatur metallet T (x,t = 0) = 1120 o C 10. Modfcer programmet så det kan modellere størknngen af det pladeformede stålemne (med N = 21 og L = 0.1). Randbetngelserne sættes tl T 1 = T N = T gven = 1000 o C, hvor T gven repræsenterer den temperatur, der er rmelg skllefladen mellem sandform og emne lge efter størknngen er færdg (nedenfor tager man højde for hvad der sker sandet). Programmér denne forbndelse en llle algortme, som bestemmer størknngstden, dvs. det tdspunkt hvor temperaturen overalt emnet lge netop er kommet under T soldus. I den forbndelse er det en god de at tænke over hvlket netpunkt emnet, der når størknngstemperaturen sdst, og basere algortmen på det. Fnd størknngstden v.h.a. den numerske model for den ovenfor angvne stålplade. Størknngstden af et pladeformet emne, som størkner ved 1-D varmelednng kan estmeres v.h.a. den såkaldte Chvornovs modullov, der sger, at størknngstden er proportonal med pladetykkelsen anden: t f = C d 2 (20) Konstaten C afhænger af flere forskellge forhold, som v kke vl komme nd på her. 11. Den samlede tykkelse af form og emne halveres nu således, at L = 0.05 m. Alt andet bbeholdes. Bestem gen med den numerske model størknngstden af den nye plade for følgende to tlfælde: t = 2 s, og t = 0.5 s. Mat1 04/05 sde 10
12. Vurder, ved sammenlgnng af resultatet for størknngstden spm. 10 med resultaterne fra spm. 11, overensstemmelsen mellem den numerske model og kvadratsammenhængen Chvornovs modullov. (Konstanten C påvrkes kke af de angvne ændrnger spm.11). Kommenter yderlgere tdsskrdtets ndflydelse på beregnngerne. 13. Man kan passende beregnnger af denne art udnytte symmetregenskaber ved den fysske model. Her vl det fx. være nyttgt at betragte den halve plade, det der åbenlyst er symmetr om mdten af pladen. Herved kan de 21 netpunkter benyttes tl at beregne på den halve plade, og man får bedre nøjagtghed for samme regnearbejde. Symmetrbetngelsen håndteres ved at randbetngelsen x = 0 sættes tl at være adabatsk, dvs. svarende tl en solerede rand, hvor temperatur gradenten er nul. Dette etableres modellen ved, at sætte temperaturen knude 1 lg med temperaturen knude 2. Gennemfør med denne udnyttelse af symmetren de samme beregnnger som spm. 10 og 11. 5.2 Temperaturudvklngen en sandform V betragter nu en sandform, hvor v med 21 netpunkter har dskretseret længden L = 0.1. V vl udnytte symmetren problemet, jf. fgur 6. De 21 netpunkter arrangeres derfor således, at de første 6 modellerer støbeemnet (metal) og de sdste 15 modellerer formen (sand). Dette gver tykkelser af form og emne, som er realstske.f.t. prakss. c c c c c c c c Symmetrakse c c c c c c c c 0 L Fgur 6: Symmetren problemet Materaleparametrene for metallet er gvet ovenfor og for sandet haves: Støbeform (sand) Varmelednngsevne k = 1 W/(mK) Varmefylde ρc p = 2e6 J/(kgK) Intaltemperatur sandet er 25 o C Randbetngelserne på modellen kan under en støbeproces (dvs. den ntelle soldfcerng - kke den endelge afkølng) med rmelghed antages, at være adabatske (dvs. solerede rande hver ende). Dette etableres modellen ved, at sætte temperaturen knude 1 lg med temperaturen knude 2, og temperaturen knude 21 lg med temperaturen knude 20. 14. Overvej, hvordan fnte dfference approksmatonen (9) kan modfceres for at tage hensyn tl ændrngen materaleparametrene fra netpunkt 6 tl netpunkt 7. Foretag tlsvarende overvejelser for (16). Løs herefter spørgsmål 8 for dette tlfælde. Mat1 04/05 sde 11
5.3 Størknng en sandform 15. Modfcér modellen ovenfor for en sandform med støbemene, således at der tages hensyn tl størknnsgvarmen (dvs. kombnér resultaterne fra opgaverne 10 og 14)). 6 Varatoner 16. Vend tlbage tl spm.8. Undersøg hvad sker der med den nstatonære løsnng, når der er gået tlstrækkelg lang td. Sammenlgn med løsnngerne fra spm.6. Kommenter denne sammenlgnng og underbyg eventuelle konklusoner teoretsk. 17. Ekspermentér med løsnng af spørgsmål 8 ved hjælp af den eksplctte (Euler) metode, dvs. sæt θ = 0 formel (12). Her kan beregnngerne anskuelggøres ved følgende fgur: Fgur 7: Eksplct tdsntegraton. Forøg med forskellge tdstep og forskellge antal netpunkter. Overvej ved overvejelser om egenværderne af de tlhørende lgnnger en metode tl at bestemme et godt tdsskrdt. Sammenlgn med den mplctte metode. Dskutér fordele og ulemper ved de to metoder. Mat1 04/05 sde 12