MATRICER LINEÆRE LIGNINGER. Usikkerhedsberegning

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER LINEÆRE LIGNINGER Usikkerhedsberegning med inddragelse af lommeregner (TI89) og programmerne TI-Nspire og Mathcad 0 3 4 3 4 0 3 0 3 0 3 4 = x x x x. udgave 0

FORORD Dette notat giver en gennemgang af de matrixoperationer, der er nødvendige for at løse lineære ligningssystemer. Endvidere gennemgås hvorledes man beregner usikkerheden på et sammensat udtryk Regnemidler: I dette notat er der i eksemplerne vist hvorledes beregningerne skal foretages med lommeregneren TI89" og PC-programmerne TI-Nspire og Mathcad. Disse regnemidler kan foretage de sædvanlige matrixoperationer, hvilket betyder, at der ikke lægges vægt på at øve, hvorledes man beregner eksempelvis en invers matrix. Ønskes bevis for en række af sætningerne i notatet kan henvises til lærebogssystemet B. Hellesen, M. Oddershede Larsen : Matematik for Ingeniører Bind 3 kapitlerne 6, 7 og 8, hvor man også i kapitel 9 kan finde en gennemgang af egenværdier m.m. Bøgerne kan i pdf-format findes på adressen www.larsen-net.dk På denne adresse findes også en række bøger, der behandler forskellige emner indenfor såvel grundlæggende som videregående matematik og statistik. 7. juli 0 Mogens Oddershede Larsen i

INDHOLD Indledning............................................................. Matricer.............................................................. 3 Regneregler for matricer.................................................. 3 4 Matrixregning udført på TI89 og Mathcad.................................... 5 5 Ligningssystem hvor koefficientmatrix er invertibel............................ 6 6 Lineære ligningssystemer................................................. 9 6 Determinant.......................................................... 4 8 Lineære ligningssystemer med parameter................................... 6 9 Cramers sætning....................................................... 8 0 Overbestemt ligningssystem.............................................. 9 Usikkerhedsberegning.................................................. 3 Opgaver................................................................ 9 Facitliste............................................................... 38 Stikord................................................................. 40 ii

. Indledning Indledning Ved problemer, hvis løsning kræver, at man opererer med et større antal sammenhørende lineære ligninger (førstegradsligninger), kan man med fordel anvende matrixregning. Da det matematiske problem i sådanne tilfælde alene er bestemt af de konstanter, der forekommer i ligningssystemet, og ikke af de betegnelser vi giver de variable, er det praktisk ved behandlingen af ligningssystemerne blot at se på skemaer (såkaldte matricer ) indeholdende konstanterne. Eksempelvis vil man ved behandlingen af ligningssystemet 3x 4x3 x4 = 3x x 4x3 x4 = x x3 x4 = 0 x + 3x 3x4 = med fordel kunne se på matricerne 0 3 4 A = 3 4 (ligningssystemets koefficientmatrix ) 0 3 0 3 B = (ligningssystemets højre side ) 0 0 3 4 T = 3 4 0 0 3 0 3 (ligningssystemets totalmatrix ). Større systemer af ligninger forekommer f.eks. ved mange procestekniske beregninger, hvor man opstiller et system af balanceligninger (stofbalancer, energibalancer, økonomiske balancer, osv.), eller ved beregning af modstande og spændinger i elektriske kredsløb. Et meget enkel eksempel herpå er følgende elektriske kredsløb:

Matricer og lineære ligninger Ved benyttelse af Kirchoffs strømlov fås I punktet P: i i + i = 3 0 I punktet Q: i + i i = 3 0 Højre kreds: 0i + 5i = 90 3 Venstre kreds: 0i + 0i = 80 Ligningssystemet der består af 4 ligninger med 3 ubekendte er så simpelt, at man umiddelbart kan løse det. Lidt større kredsløb vil føre til flere ligninger med mange ubekendte, og her vil den følgende matrixteori være nødvendig.. Matricer. Ved en matrix forstås et regulært skema bestående af tal eller bogstavsymboler: De enkelte symboler kaldes matricens elementer, og vil i denne bog være reelle tal. 0 3 4 Matricen A = 3 4 har 4 rækker og 4 søjler. 0 3 0 3 Man siger kort, at den er en 4 gange 4 matrix (4 x 4) matrix Matricer, der som A har lige mange rækker og søjler kaldes kvadratiske. Matricen B = har 4 rækker og søjle (er en (4 x ) matrix). 0 Matricer, der som B kun har søjle, kaldes også for søjlematricer eller søjlevektorer. Ombyttes rækker og søjler i en matrix C, (. række bliver til. søjle,. række bliver til. søjle osv.) fremkommer C s transponerede matrix. 3 0 5 4 Eksempelvis har matricen C = 5 6 0 den transponerede matrix C T = 9 8 3 6 9 7 0 0 8 4 7 T T = Af definitionen følger: ( A ) A. C T

3. Regneregler for matricer T = Er A A kaldes A symmetrisk. En symmetrisk matrix må nødvendigvis være kvadratisk. a a... a a a a Mere generelt skrives en matrix A =...... a a... a n n m m mn De enkelte symboler kaldes matricens elementer, og vil i dette notat være reelle tal. I skemaets m (vandrette) rækker og n (lodrette) søjler indgår m n tal, nummererede med dobbelte indices, således at første index angiver rækkenummer, og andet index angiver søjlenummer. Elementet a rs står således i den r`te række og den s`te søjle. Man siger kort, at A er en m gange n matrix (skrives m x n) Elementerne a, a, a33..., osv. (dvs. elementerne hvor rækkenummeret = søjlenummeret) siges at udgøre matricens diagonal. 3 0 I C = 5 6 0 er c og diagonalen er, 6, 8 3 = 0 9 8 4 7 3 D = 5 6 er symmetrisk, da matricen er symmetrisk om diagonalen. 3 6 7 3. Regneregler for matricer Lighed To m x n matricer A og B kaldes ens (skrives A = B ), hvis tilsvarende elementer i de to matricer er ens. Eksempelvis er A = 3 og ens. B = 3 5 4 5 4 Multiplikation af matrix med tal (skalar). For et vilkårligt reelt tal k og en vilkårlig matrix A defineres k A som en ny matrix, fremkommet ved at alle A`s elementer er multipliceret med k. 6 3 Eksempelvis gælder 3 3 = 3 9. 0 4 0 3

Matricer og lineære ligninger Addition af matricer. Ved summen af to m x n matricer A og B forstås den m x n matrix, der fremkommer ved at tilsvarende elementer i A og B adderes. 3 3 4 Eksempelvis + = 0 3 0 0 Det ses umiddelbart, at A + B = B + A (den kommutative lov gælder) og A + (B + C) = (A + B) + C (den associative lov gælder) Bemærk: Både A og B skal være m x n matricer. Multiplikation af matricer Lad der være givet to matricer A og B, hvor antallet af søjler i A er lig antallet af rækker i B. Elementerne i matricen C = A B beregnes ved en række-søjle multiplikation, dvs. hvis rækkerne i A opfattes som vektorer, og søjlerne i B ligeledes som vektorer, så fremkommer et element i C ved at rækkerne i A multipliceres skalært med søjlerne i B. Følgende eksempel illustrerer dette. Eksempel 3.. Multiplikation af matricer. 0 5 Lad A = og B =. Beregn A B og B A, hvis det er muligt. 3 7 Løsning: 5 ( ) + + ( ) 5 0+ + ( ) 5 ( ) + + ( ) ( ) AB = 3 ( ) + + 7 3 0+ + 7 3 ( ) + + 7 ( ) = 8 0 9 5 B A ikke er defineret. Den nedenfor viste opstilling af matricerne kan gøre regningerne mere overskuelige: - 0 - - Anden faktor 5-3 7-8 0 9-5 Første faktor Produkt Det ses ved udregning, at der gælder A (B+C) = A B+A C (den distributive lov) De fleste af disse regneregler er ganske som regnereglerne for de reelle tal. Bemærk dog, at der ikke gælder nogen kommutativ lov for multiplikation, dvs. vi må normalt forvente, at A B B A 4

4. Matrixregning udført på TI89 og Mathcad 4. Matrixregning udført på TI89, TI-Nspire og Mathcad. Skal man eksempelvis løse 0 sammenhørende ligninger med 0 ubekendte, bliver matricerne meget store, og så er det nødvendigt at benytte et matrixprogram. Selv om TI89 sagtens kan regnemæssigt kan behandle 0 ligninger, så er displayet så lille, at det bliver lidt besværligt at overskue løsningen. Her kan det være en fordel at benytte PCprogrammerne TI-Nspire eller Mathcad med en stor skærm. Eksempel 4.. Regning med matricer ved benyttelse af TI89 og Mathcad. 0 5 Lad A = og B =. Beregn A B og. 3 7 A T Løsning: TI89 Matricerne A og B indtastes: APPS, Data/Matrix editor, New, Udfyld Type = Matrix, Variable = A, antal rækker= og søjler = 3, ENTER, ENTER. Udfyld skemaet med matricen A, Home Nu er matricen A indtastet. Tilsvarende oprettes matricen B. Beregn A B: VAR-Link, A, ENTER,,*,VAR-Link, B, ENTER, ENTER Resultat A B A T Beregn. VAR-Link, A, ENTER,CATALOG,t T, ENTER: Resultat (Facit: se eksempel 3.). Bemærk: a) Ofte er matricerne så store, at man i Historik feltet ikke kan se alle resultater. Så må man flytte feltet nedad ved at holde tasten pil opad (se øverste tastrække) nede samtidig med at man bruger piletasten nedad. b) Hvis man i næste opgave ønsker igen at kalde en Matrix A, så må man i VAR-Link først slette den tidligere definerede matrix A. TI-Nspire Matricerne A og B indtastes: Vælg Beregninger,Skriv a:=, Vælg Matricer og Vektorer,Opret,Matrix, antal rækker=, antal kolonner = 3,OK Udfyld skemaet med matricen A, ENTER Tilsvarende oprettes matricen B Beregn A B: Skriv a*b. Resultat som i eksempel 3. Beregn A T : Skriv a, Vælg Transponerer i menu Mathcad Matricerne A og B indtastes: Skriv A, :, Vælg fra Matrix-paletten, matrix, Rows =, Column = 3, ENTER,indsæt tal. Tilsvarende oprettes matricen B. Beregn A B: Skriv på ny linie A*B= Resultat A B A T Beregn : Skriv A vælg på Matrix-paletten M T, ENTER, Skriv =, Resultat Bemærk: Skal man anvende eksempelvis matricen A i et udtryk, skal udtrykket stå under A. Et elememt i matricen A, der står i -række, søjle benævnes, da første række og søjle har numrene 0. A < 0> angiver første søjle i A. A 0, A T A T 5

Matricer og lineære ligninger 5. Ligningssystem hvor koefficientmatrix er invertibel. Vi vil i dette afsnit betragte lineære ligningssystemer, hvor der er lige mange ligninger og ubekendte, og som har netop én løsning. Et eksempel på et sådant ligningssystem er 3x 4x3 x4 = 3x x 4x3 x4 = x x3 x4 = 0 x + 3x 3x4 = Dette ligningssystem kan nu skrives 0 3 4 x 3 4 x = 0 x3 0 3 0 3 x4 eller kort K X = H, hvor 0 3 4 K = 3 4 er ligningssystemets koefficientmatrix 0 3 0 3 x x X = og H = er ligningssystemets højreside. x3 0 x4 K er kvadratisk, da den har lige mange rækker og søjler For at kunne løse en sådan ligning, ville det være godt, hvis der eksisterede en invers matrix A så A X = B X = A B Ligesom 0 ikke har noget inverst element i de reelle tal, findes der matricer, der ikke har en invers matrix. Ved en invertibel matrix forstås en matrix, der har en invers matrix Ved en singulær matrix, forstås en matrix, der ikke har en invers matrix. Vi vil i dette kapitel kun betragte ligningssystemer, hvor den kvadratiske koefficientmatrix er invertibel. Sammenlignes med en sædvanlig førstegradsligning ax = x = a, a 0 ses, at man må indføre en matrix, som svarer til tallet. 6

5. Ligningssystem hvor koefficientmatrix er invertibel DEFINITION af enhedsmatrix. Ved en enhedsmatrix (skrives E eller ) forstås en kvadratisk n x n matrix, hvor alle elementer i diagonalen er og alle elementer udenfor diagonalen er 0. 0 0 0 0 0 0 Eksempelvis er E 4 = en 4 4enhedsmatrix. 0 0 0 0 0 0 Ved direkte udregning ses, at for en vilkårlig n x n matrix A gælder enhedsmatricen reelle tal. E n E n A E = E A = A, dvs. spiller samme rolle i mængden af kvadratiske n x n matricer, som gør i de DEFINITION af invers (reciprok) matrix. Matricen A, hvis A A = A A = E A A n kaldes invers matrix til matricen Man ser, at spiller samme rolle i forhold til A som f. eks. tallet gør i forhold til tallet. ( = = ). Man kunne forestille sig, at en matrix kunne have flere forskellige inverse matricer. Dette er imidlertid ikke tilfældet: Bevis: Antag, at B og C begge er inverse matricer til A. Vi ville da få B = B E = B ( A C) = ( B A) C = E C = C A dvs. B = C. Ved håndregning at beregne en invers matrix er så tidskrævende, at man altid vil bruge et program (TI89/Mathcad). (Håndregningsmetoden kan ses i Matematik for Ingeniører bind 3,kapitel 7 side 8 eksempel 7.3, hvis man vil vide hvordan). Eksempel 5.. Invers matrix. 0 3 4 Find den inverse matrix til A = 3 4 0 3 0 3 Løsning TI89 Matricen A indtastes som angivet i eksempel 4.. 0 3 6 6 3 3 0 6 7 6 A, ^-, ENTER Resultat: / / / / / 6 3 / 6 5/ 6 / 6 / 4 / 3 / 6 Vælg gul tast + ENTER hvis resultat ønskes som decimalbrøk TI-Nspire Matricen A indtastes som angivet i eksempel 4. A, ^-, ENTER Resultet som ovenfor. Hvis du ønsker decimaltal, så tryk CTRL, ENTER (eller skriv et tal i A som decimaltal). Ønskes eksempelvis kun med decimaler vælg Filer, Indstillinger, Dokumentindstillinger n 7

Matricer og lineære ligninger Mathcad Matricen A indtastes som angivet i eksempel 4.. Skriv A, vælg på Matrix-paletten X - ENTER Skriv = hvis du ønsker resultatet som decimalbrøk. Vælg fra evaluation-paletten hvis du ønsker brøker. A Har man først fundet er det hurtigt at finde løsningen til ligningssystemet A X = B, da AX = B A AX = A B EX = A B X = A B Eksempel 5.. Løsning af ligningssystem 3x 4x3 x4 = 3x x 4x3 x4 = Løs ligningssystemet x x3 x4 = 0 x + 3x 3x4 = Løsning: Vi har A X = B, hvor 0 3 4 x A = 3 4 x X = og B =. 0 x3 0 3 0 3 x4 Matricerne A og B indtastes som angivet i eksempel 4. TI89: X findes ved indtastning af A ^- * B X fremkommer i displayet. Vi får X =. dvs. x =, x =, x3 = 0, x4 = 0 TI-Nspire: X findes ved indtastning af A ^- * B Mathcad: X:= A B ( A kan ses i eksempel 5. ) 8

6. Lineære ligningssystemer 6. Lineære ligningssystemer At et ligningssystem er lineært betyder, at de ubekendte alle er af første grad. Et ligningssystem hvori der forekommer x er således ikke lineært. I kapitel 5 har vi løst ligningssystemer hvor koefficientmatrix var invertibel. Vi vil nu benytte en mere generel metode, som ved såkaldt Gauss-elimination kan løse alle typer af lineære ligningssystemer uanset antallet af ligninger og ubekendte Et eksempel på et sådant ligningssystem er x + 3x x3 = 0 x + 6x 5x3 x4 3x5 = 5x3 + 0x4 + 5x5 = 5 x + 6x + 8x4 + 8x5 = 6 som har n = 4 ligninger med m = 5 ubekendte. Man starter nu med at opskrive ligningssystemets totalmatrix T 3 0 0 0 T = 6 5 3 0 0 5 0 5 5 6 0 8 8 6 Løsningsmetoden er, at man ved passende såkaldte rækkeækvivalente operationer simplificerer ligningssystemet til et system, hvoraf man let kan finde de ubekendte. Rækkeækvivalente operationer. Et lineært ligningssystems løsningsmængde ændrer sig ikke, hvis a) to ligninger ombyttes - svarende til rækkeombytning i totalmatricen T, b) en ligning multipliceres med en konstant k 0 - svarende til at en række i T multipliceres med k 0. c) en ligning L p erstattes af ligningen L p + k L q - svarende til at den q`te række i T multipliceres med k og adderes til den p`te række ( p q ). Dette kaldes en rækkeoperation i T og skrives kort r p + k r q. To matricer A og B er rækkeækvivalente (skrives A B ), hvis de overføres i hinanden ved èn eller flere af de i punkterne a), b) og c) nævnte ændringer. Echelon - matrix Ideen i den såkaldte Gauss elimination er, at man ved rækkeækvivalente operationer omdanner ligningssystemets totalmatrix til en såkaldt echelon-matrix, hvorefter ligningssystemets løsning er nem at finde. 9

Matricer og lineære ligninger 3 4 5 0 0 7 En matrix af typen kaldes en echelon-matrix 0 0 0 3 0 0 0 0 0 (echelon = trinvis opstilling med skrå front). En sådan matrix er karakteriseret ved ) at rækker, som består af lutter 0`er placeret nederst i matricen. og for de øvrige rækker gælder ) at i en række er det første fra 0 forskellige tal i rækken et -tal. Tallet kaldes for rækkens pivotelement, eller ledende -tal. 3) at for to på hinanden følgende rækker vil pivotelementet i den nederste af de to rækker stå længere til højre end pivotelementet i den øverste af de to rækker. Andre eksempler på echelon-matricer er 4 3 6 5 6 6 6 4 0 3, 0 7, 0 0 5 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 Bemærk: Ethvert pivotelement har lutter 0`er under sig. Gauss elimination Det følgende eksempel viser Gauss eliminationsmetode på et mindre ligningssystem: Eksempel 6.. Gauss elimination Løs ligningssystemet x 6x + 4x3 = 0 3x + x 3x3 = 7x 0x + 5x3 = Da der er lige mange ligninger og ubekendte kunne man umiddelbart fristes til at finde den inverse matrix. Forsøges dette fås udskriften ERR: SINGULAR MAT (Dette skyldes, at L3 = L + L, så reelt er der kun ligninger med 3 ubekendte) Vi reducerer nu totalmatrix til echelon-form. 6 4 0 3 5 3 5 3 3 3 3 0 9 4 r 3r r r3 7r 7 0 5 7 0 5 0 9 4 3 5 3 5 0 9 4 0 9 r3 r r 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0

6. Lineære ligningssystemer x 6x + 4x3 = 0 x 3x x3 5 Vi har: 3x + x 3x3 = + = 9 4 x x 3 = 7x 0x + 5x3 = Der er følgelig uendelig mange løsninger, idet en af de variable kan vælges frit. x 4 9 ( 4 9 ) 3 Vælges som fri variabel fås x = + x, x = 5 + 3 + x x eller 3 5 3 4 x = + x, x = + x3, x3 fri 9 3 3 3 For større ligningssystemer er det meget tidsbesparende at benytte et program der kan omdanne en matrix til en echelon matrix. Imidlertid er det her arbejdsbesparende at reducere matricen yderligere ved at skaffe 0'er også over pivotelementerne. Metoden forkortes til rref ( reduced row echelon matrix) Vi viser dette på samme ligningssystemet som i eksempel 6. Eksempel 6.. Gauss elimination ved TI89 og Mathcad. Løs ligningssystemet x 6x + 4x3 = 0 3x + x 3x3 = 7x 0x + 5x3 = Løsning: Totalmatricen indtastes Lad matricens navn være T. TI89: MATH, 4:MATRIX, ENTER, 4:rref, VAR-Link, T, ENTER, ), ENTER 0 5/ 3/ Der fremkommer følgende rref echelon matrix: 0 9 / 4 / 0 0 0 0 4 9 3 5. eraf fås x = + x3, x = + x3, x fri altså samme facit som i eksempel 6.. 3 TI-Nspire: Skriv rref(t) eller benyt Matrix og Vektorer, Reduceret række echelon form, t. Facit som ovenfor Mathcad: Skriv rref (T ) hvis man ønsker brøker eller rref (T )= hvis decimaltal. Anden mulighed er i værktøjslinien at vælge f(x) og i den fremkomne menu vælge Vector and Matrix og derefter rref Et lineært ligningssystem kan have netop løsning, uendelig mange løsninger, eller ingen løsninger. Hvis koefficientmatrix K er invertibel (dvs. K, der har en invers matrix ) så er der netop én løsning (jævnfør eksempel 5.) Hvis K er singulær, så har ligningssystemet uendelig mange løsninger, eller ingen løsninger.

Matricer og lineære ligninger Hvis koefficienterne er konkrete tal som i eksempel 6. er det simpleste at omdanne totalmatrix til en rref-echelonmatrix, og på det grundlag løse ligningssystemet. Det vil så umiddelbart fremgå hvad løsningsmængden er. Indgår der i ligningssystemet en parameter kan man imidlertid komme til at overse et specialtilfælde. Et eksempel herpå vises i eksempel 8.. Eksempel 6.3 Ligningssystemers løsninger Lad der være fundet følgende echelonmatricer 4 3 6 5 6 6 6 4 A= 0 3, B = 0 7, C = 0 0 5, 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 5 4 3 8 D = 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Angiv om det tilsvarende ligningssystem har løsning, ingen løsning eller uendelig mange løsninger. Hvis der er uendelig mange løsninger skal angives antallet af frie variable (variable der kan angives frit) Løsning: A: Netop én løsning, da der er et pivotelement i alle tre rækker i koefficientmatricen. B: Uendelig mange løsninger, da antallet af ubekendte m = 3 er større end antallet af ligninger n =. Antal parametre er m - n = (jævnfør eksempel 6.) C: Ingen løsning, da en række har lutter 0 -er i koefficientmatricen, men et tal forskelligt fra nul på højre side ( 0 x = ). D: Uendelig mange løsninger, da antallet af ubekendte m = 4 er større end antallet af ligninger n =. Antal frie variable er m - n = Rang af matrix Rangen af en matrix er lig med antallet af uafhængige rækker i matricen. Rangen er derfor lig med antallet af ikke-nul rækker i en tilsvarende echelon-matrix. Rangen af A skrives kort ρ( A) eller rang(a). Eksempel 6.3 (fortsat) ρ( A) =3 rang( koefficientmatrix) = 3, antal ubekendte=3 så netop løsning ρ( B ) = rang(koefficientmatrix)=, antal ubekendte =3. 3 - = fri variabel ρ( C ) = 3 rang( koefficientmatrix) = : antal ubekendte =3. Da < 3 så L=Ø ρ( D ) = rang( koefficientmatrix) =: antal ubekendte = 4. 4- = fri variable. Vi vil illustrere de forskellige løsningsmuligheder ved yderligere to eksempler.

6. Lineære ligningssystemer Eksempel 6.4. Netop en løsning (= eksempel 5.) 3x 4x3 x4 = 3x x 4x3 x4 = Løs ligningssystemet x x3 x4 = 0 x + 3x 3x4 = Løsning: Totalmatrix T indtastes 0 3 4 A = 3 4 0 0 3 0 3 0 0 0 0 0 0 rref(t) = 0 0 0 0 0 0 0 Heraf ses, at x =, x =, x = 0, x = 3 4 Eksempel 6.5. Uendelig mange løsninger Løs ligningssystemet x + 3x x3 = 0 x + 6x 5x3 x4 3x5 = 5x3 + 0x4 + 5x5 = 5 x + 6x + 8x4 + 8x5 = 6 Løsning: Totalmatricen er 3 0 0 0 T = 6 5 3 0 0 5 0 5 5 6 0 8 8 6 3 0 4 0 0 0 0 0 0 Totalmatricen indtastes. rref(t) = 0 0 0 0 / 3 0 0 0 0 0 0 Da rang(k) = rang(t) = 3 og antal ubekendte er 5, er der 5-3 = fri variable Vi får: x 5 =, x + x = 0 x = x, 3 3 4 3 4 x + 3x + 4x = 0 x = 3x 4x 4 4 ( x, x, x, x, x ) = ( 3x 4x, x, x, x, ) 3 4 5 4 4 4 3 3

Matricer og lineære ligninger Eksempel 6.6. Ingen løsning Løs ligningssystemet x + x x3 = x + 3x 3x3 = 4 x x3 = x x x3 = Løsning: Totalmatricen er T = 3 3 4 0 0 0 0 0 0 0 rref(t) = 0 0 0 0 0 0 Da rang(k) = 3 < rang(t) = 4 har ligningssystemet ingen løsning. (nederste ligning giver 0 x = ) 7. Determinant 3 Til enhver kvadratisk n n matrix A hører et tal kaldet determinanten for A. Determinanten skrives kort det(a) eller A Vi kender allerede for en matrix determinanten, idet a a a a = a a a a Vi kender også dens geometriske betydning, idet determinanten numeriske værdi er arealet af det r a parallelogram der udspændes af de to rækkevektorer a = og r a a = a a r r Hvis determinanten er 0, vil de to vektorer være parallelle, dvs. a = k a. Det er overkommeligt på tilsvarende måde at udregne determinanten for en 3 3 determinant, hvis numeriske værdi er rumfanget af det parallelepipedum, der udspændes af de tre rækkevektorer. Er determinanten 0 vil rumfanget være 0, dvs. vektorerne ligger i samme plan, hvilket igen vil sige, at den ene vektor kan udtrykkes ved de to andre a r k a r k a r = + 3 Man siger, at de 3 vektorer er lineært afhængige. Generelt gælder, at hvis determinanten 0 er søjlevektorerne (og rækkevektorerne) lineært afhængige. 4

7. Determinant Beregningen af en determinant for en vilkårlig kvadratisk matrix kan principielt udføres på nedenfor beskrevne måde,(se eventuelt Matematik for Ingeniører bind 3, kapitel 8 for nærmere begrundelser), men er antal rækker stort, bliver regningerne så tidskrævende, at man må bruge et program. Værdien af en determinant. Værdien beregnes efter følgende forskrift: ) Man udvælger en bestemt række r eller en bestemt søjle s ) For hvert element i den valgte række eller søjle dannes et produkt af følgende 3 faktorer a rs a) Elementet a rs selv. b) Elementets underdeterminant D rs, dvs. den determinant der fremkommer ved at slette både den række og søjle, hvori elementet indgår. + c) Tallet ( ) r s 3) det(a) r+ r + r + ( ) ar Dr + ( ) ar Dr +... + ( ) arn Drn 4) De fremkomne underdeterminanter opløses på tilsvarende måde, og sådan fortsættes til man når ned på determinanter,som kan udregnes direkte. Eksempel 7. Beregning af determinant ved håndregning 0 3 4 Beregn ved håndregning determinanten D = 3 4 0 0 3 0 3 Løsning: Man finder en række eller søjle med mange 0-er. Her vælges 3 række. 3 4 0 3 3+ Vi har D = ( ) 4 3+ 3 + 0 + ( ) ( ) 3 + 0 3 0 3 3 3 De underdeterminanter efter henholdsvis 3 række og række (fordi der er et 0 i disse rækker). 3+ D = ( ) 4 3+ 3 3 4 + + ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) ( ) + + + 3 + 3 3 3 0 3 0 3 0 4 4 3 3 Vi kan nu udregne de 4 determinanter 3 ( 8 4) 3 ( 8) ( 3) ( 9 ) ( 9 ) = + 60 ( 33 7) = 0 D = ( ) Eksempel 7.. Beregning af determinant med TI89 og Mathcad. 0 3 4 Beregn determinanten D = 3 4 0 0 3 0 3 Løsning: Matricen indtastes. Lad matricens navn være B. TI89: MATH, 4:MATRIX, ENTER, : det( B, ) ENTER Resultat: 0 TI-Nspire: Skriv det(b) Mathcad: Vælg på Matrix-paletten X Indsæt D Det kan vises Sætning 7.. Invertibel matrix A er invertibel det( A) 0 Denne sætning er nyttig til at afgøre om en kvadratisk matrix er invertibel ( benyttes i næste afsnit). 5

Matricer og lineære ligninger 8. Lineære ligningssystemer med parameter. Benytter man eksempelvis Laplacetransformation til løsning af et differentialligningssystem, fremkommer et lineært ligningssystem, hvor koefficienterne sædvanligvis vil indeholde parameteren s, altså ikke alle være reelle tal. Ligningssystemer som indeholder én eller flere parametre vil ofte give anledning til, at der for visse værdier af parametrene vil være specielle løsninger, f.eks. at der ingen løsninger er, eller der er uendelig mange. Regner men i hånden skal man derfor i forbindelse med reduktion til en echelon-matrix være opmærksom på, om man for visse værdier af parameteren dividerer med 0, da det så giver anledning til en undtagelse. Benyttes et program, og er der lige mange ligninger og ubekendte, vil det sikreste være først at finde de værdier af parametrene, hvor determinanten af koefficientmatrix K er nul, da det viser, hvor ligningssystemet er singulært (ikke regulært). Hvis man kun anvender rref-echelon-metoden, kan man risikere at overse en værdi af parameteren a, der gør K singulær. Eksempelvis vil echelon-metoden reducere ( a ) x4 = 5( a ) x4 = 5 og derved vil man overse, at a = gør K singulær. Dette illustreres i eksempel 8. Eksempel 8. Ligningssystem med parameter Find for enhver værdi af parameteren a løsningen til ligningssystemet x + x + ax3 = x + ax3 = x + 6x + 4x3 = 3 Løsning: Da koefficientmatrix er kvadratisk, beregnes først determinanten for koefficientmatrix, for at finde de værdier af parameteren a for hvilke ligningssystemet er singulært. a Koefficientmatrix K = 0 a indtastes på sædvanlig måde. 6 4 Determinanten af K beregnes (som i eksempel 7.): Resultat: K = 8( a ). Heraf ses, at K = 0 a =. Vi må derfor dele op i tilfælde a og a =. Højre side B af ligningssystemet indtastes på sædvanlig måde. Totalmatricen kan nu fås ved ordren augment (K,B) 6

TI 89: rref(augment(k,b) ) Resultat: x augment findes under MATH, Matrix 0 0 3/ ( a ) 0 0 ( a ) 0 0 ( a ) 3 = x = x = ( a ), ( a ), ( a) 3 8. Lineære ligningssystemer med parameter for a Sættes a = ind i totalmatricen (augmenr(k,b), fås analogt echelon-matricen 0 0 0 0 0 0 0 Af nederste ligning 0 x = ses, at ligningssystemet ingen løsning har. 3 TI-Nspire Skriv rref(augment(k,b) resultat som ovenfor Mathcad: rref af en matrix, der indeholder en parameter kan jeg ikke få til at virke. Derfor må vi benytte X:=K - B, hvilket giver ovennævnte løsning, dog skrevet noget mere kompliceret. Vi kan nu sætte a= ind i K og benytte rref(augment(k,b)) (augment kan findes i værktøjslinien at vælge f(x) og i den fremkomne menu vælge Vector and Matrix og derefter augment ) At det virkeligt er nødvendigt først at se på diskriminanten ses af følgende eksempel. Eksempel 8. Ligningssystem med parameter Til beregning af 4 størrelser x, x, x3 og x 4 er opstillet følgende ligningssystem: x x + ( a 3) x3 + ( a + ) x4 = 3 x + x + ( a ) x3 = a ( a ) x + a x + ( a 3) x4 = a 3 x + x + ( a + ) x3 x4 = a Løs ligningssystemet for alle værdier af a. Løsning: Først beregnes determinanten til koefficientmatrix K = a 3 a + a 0 a a 0 a 3 3 a + Koefficientmatrix K og højre side B indtastes på sædvanlig måde. Man får det(k) = a ( a ) ( a + ) Heraf ses, at K er singulær for a = 0, a= og a = -. 7

Matricer og lineære ligninger TI 89+TI-Nspire: Vi får nu totalmatricen T ved T:=augment(K,B) Vi får for a 0 a a 3a + 6 0 a a x = + a 4 x = ( + ) ( + ), ( a + 4) + 8, x = x a( a + ) a( a + ) a( a + ), 3 4 Som det ses ville vi her ikke opdage, at der er en singularitet for a =. Mathcad: Her skrives X:= K B og man finder i princippet ovennævnte løsning, men dog reduceret lidt anderledes Vi indsætter nu a= 0 analogt som i eksempel 8. og finder :Ingen løsninger Derefter indsættes a = - og man finder igen Ingen løsninger 7 Endelig indsættes a= og man finder uendelig mange løsninger x =, x = t, x = 5+ t, x = t 4 = a 3 9. Cramers sætning (determinantmetoden). I kapitel 4 løste vi et ligningssystem med lige mange ligninger og ubekendte hvor koefficientmatrix var invertibel. Dette er den hurtigste metode, hvis man ønsker at finde alle de ubekendte. Hvis man kun ønsker at finde en enkelt variabels værdi f.eks. x 5 kan denne determinantmetode (Cramers metode) dog være velegnet. Endvidere har den stor teoretisk interesse. Cramers sætning. Lad der være givet et ligningssystem A X = B, hvis det( A) 0. x k Den ubekendte findes som forholdet mellem determinanter. Nævneren er determinanten af A og tælleren er determinanten af den matrix, som er A bortset fra, at den k te søjle er erstattet af ligningssystemets højre side. Det følgende eksempel illustrerer metoden. Eksempel 9.. Determinantmetoden eller Cramers metode. Find af ligningssystemet x x + x x3 + x4 = x + 3x 3x3 = 4 x x3 + x4 = x + x + 3x4 = Løsning: x = 4 3 0 0 3 3 3 0 0 0 3 De to matricer svarende til tæller og nævner indtastes benævnes A og B. Man beregner nu det(a)/det(b) Resultat x = 8

. Usikkerhedsberegning 0. Overbestemt ligningssystem I de foregående afsnit har vi antaget, at ligningssystemets konstanter er eksakte tal. I tekniske anvendelser er tallene ofte behæftet med måleusikkerhed og lignende, og så vil løsningen naturligvis heller ikke blive eksakt. For at mindske fejlen, benytter man ofte ekstra ligninger, som vist i følgende eksempel (og løser dem ved mindste kvadraters metode ). Eksempel 0.. Overbestemt ligningssystem. På et laboratorium analyseres en blanding af tre organiske stoffer kvantitativt ved måling af et ultraviolet spektrum. Heraf fås følgende ligningssystem for koncentrationerne c, c og c 3. 00. c + 00. c + 4. 00c3 = 6. 00 00. c + 300. c + 00. c3 = 8. 00 00. c + 00. c + 0. 00c3 = 4. 00 (for overblikkets skyld er her valgt nemme tal). Ligningssystemet har netop én løsning, men da konstanterne er behæftet med uundgåelige småfejl (målefejl m.m.), ønsker man at forbedre nøjagtigheden af løsningen ved at foretage nogle ekstra målinger. Lad os for simpelheds skyld antage, at der kun forekommer yderligere én ligning: 00. c + 300. c + 300. c3 = 0. 00. Den sidste ligning burde være en linearkombination af de tre første, men på grund af målefejlene er dette sjældent tilfældet, så det samlede ligningssystem har normalt ingen eksakt løsning. Opgaven er nu at finde et talsæt ( c, c, c ), som tilfredsstiller ligningssystemet bedst muligt, 3 dvs. således at residualerne (resterne) r, r, r3 og r 4 givet ved r = 00. c + 00. c + 4. 00c3 6. 00 r = 00. c + 300. c + 00. c3 8. 00 () r3 = 00. c + 00. c + 0. 00c3 4. 00 r4 = 00. c + 300. c + 300. c3 0. 00 bliver mindst mulige. Ved mindste kvadraters metode skal talsættet vælges således, at ( 3 4 ) RMS-fejlen r + r + r + r bliver mindst mulig (RMS = root mean square error ). 4 Bemærk, at RMS vedrører fejl på ligningerne og ikke fejl på løsningen ( c, c, c3). ADVARSEL: Det oprindelige ligningssystem må ikke ændres ved at man f.eks. multiplicerer en ligning med 0, da det jo ganger residualet med 0 (ligningen indgår med en anden vægt ) SÆTNING 0. (løsning til overbestemt ligningssystem ). For et overbestemt ligningssystem A X = B vil den løsning, som giver mindst mulig RMS-fejl på ligningssystemet, være en T T eksakt løsning til det såkaldte normalligningssystem A AX = A B, dvs. X A T T = ( A) ( A B) Sætningen anføres uden bevis (se eventuelt Matematik for ingeniører bind 3 side 85-87) 9

Matricer og lineære ligninger T I sætningen indgår A A. Er A eksempelvis 4 3 fås 0 3 3 Det ses, hvad gælder generelt, at matricen Beregning af A T : Se afsnit 4. 4 4 8 8 A T A = 3 3 3 = 8 0 6 0 4 0 3 8 6 6 3 3 Formlerne, der skal anvendes ved benyttelse af regnemidler er: C A T T = A ( A B ) Koefficienter ( ) Residualer:D = A* C - B RMS: RMS = T det( D * D) n A T hvor n er antal rækker i B A er kvadratisk og symmetrisk (om diagonalen). Eksempel 0.. Overbestemt ligningssystem (fortsættelse af eksempel 0.). ) Find den løsning til ligningssystemet 00. c + 00. c + 4. 00c3 = 6. 00 00. c + 300. c + 00. c3 = 8. 00 00. c + 00. c + 0. 00c3 = 4. 00 00. c + 300. c + 300. c3 = 0. 00 som giver mindst mulig RMS-fejl. ) Find endvidere residualerne og RMS-fejlen. Løsning: ) ( T ) X = A A ( A B) T Koefficientmatrix A og højre side B indtastes. T TI89 A A ( T A B ) STO C ( ) T TI-Nspire: ( ) Mathcad: ( T ) C: = A A ( A B) T C = A A ( A B ) 9 / 5 Resultat: som er blevet gemt i matricen C. 3 / 5 Heraf fås c = 8., c =, c = 0. 6 3 T 0

. Usikkerhedsberegning ) Ved håndkraft beregnes resudialerne ved indsætning i de oprindelige ligninger: r = 8. + + 4 0. 6 6 = 0. 0 r = 8. + 3 + 0. 6 8 = 0. 40 r 3 = 8. + + 0 0. 6 4 = 0. 0 r 4 = 8. + 3 + 3 0. 6 0 = 0. 40 0. 0 + 0. 40 + 0. 0 + 0. 40 RMS = 4 Benyttes regnemidler anvendes formlerne Residualer:D = A* C - B det( D * D) RMS: RMS = n TI89: A*C-B STO D RMS: T = 0. 36 0. 3 hvor n =4 er antal rækker i B (ABS(, Math,Matrix, det(d,math,matrix,t*d)/4) TI-Nspire D:=A*C-B RMS:Under matematikskabeloner findes, numerisk tegn * * Mathcad D: A*C_B RMS: Uunder skabelonerne Calculos og Matrix findes de nødvendige tegn Eksempel 0.3 Regressionsmodel Ved et fysisk forsøg har man målt følgende sammenhørende værdier af x og y. x 3 4 5 6 7 8 9 y 5. 3.4.9.7.6.5.4.3. Punkterne tegnes ind i et koordinatsystem Der fås følgende figur: Punkterne ligger næppe på en ret linie, men snarere på en hyperbel. b Man vælger derfor modellen y = a + (). x Bestem ved mindste kvadraters metode konstanterne a og b.

Matricer og lineære ligninger Løsning: Indsættes punkterne i ligning () fås følgende 9 ligninger. b a + = 5. b a + = 34. b a + =. 9 3 b a + =. 7 4 b a + =. 6 5 b a + =. 5 6 b a + =. 4 7 b a + =. 3 8 b a + =. 9 Koefficientmatrix A og højre side B indtastes, og man bestemmer a og b af det overbestemte ligningssystem: ( T ) X = A A ( A B) T 90989. Vi får: dvs. kurven bliver 34989. y = 9 + 35.. x Grafen tegnes i TI89, TI-Ninspire eller Mathcad, sammen med punkterne Nedenfor er kurven indtegnet i Mathcad,, og man ser, at punkterne ligger tilfældigt og tæt omkring kurven. At punkterne ligger tæt og tilfældigt omkring kurven kan også indses ved at beregne residualerne, og eventuelt RMS-fejlen. Ti 89 og TI-Nspire har et udmærket statistikprogram, hvor man bl.a. kan udføre regressionsanalyse på forskellige modeller.

. Usikkerhedsberegning. Usikkerhedsberegning Ved enhver måling kan den fysiske størrelse aldrig måles eksakt. Målingen behæftes altid med en vis usikkerhed. Det kan skyldes usikkerhed på objektet, måleinstrumentet, brugeren af instrumentet osv. Systematiske fejl er fejl, hvor man eksempelvis har glemt at korrigere for temperaturens indflydelse på måling af et stofs hårhed. Er målingen befriet for systematiske fejl, er der kun tilbage tilfældige fejl. Eksempelvis vil der ofte på et instrument være anført en instrumentusikkerhed, som viser hvor nøjagtigt instrumentet kan måle. En sådan usikkerhed kan eksempelvis findes ved at man foretager en måling flere gange eventuelt af forskellige personer.. Maksimal usikkerhed Den maksimale usikkerhed x er så defineret som den numerisk største afvigelse mellem en målt værdi og gennemsnittet. Er eksempelvis en temperatur angivet som 30.45 0 ± 0.05 menes hermed, at i værst tænkelige tilfælde kunne målingen være 30.40 0 eller 30.50 0. Eksempel.. Maksimal usikkerhed Lad x = 53 ± m og y = 5 ± m Den maksimale usikkerhed på x - y er da 3m, dvs. x-y = 8 ± 3 m Den maksimale usikkerhed kan man sædvanligvis let beregne i den konkrete situstion, men for forståelsens skyld vil vi her udlede en formel, der i visse vanskelige tilfælde kan lette beregningen. Lad os først se på det lineære tilfælde, at y = ax+b, hvor a > 0 Har x den maksimale usikkerhed x, så er y + y = a(x+ x) + b]y + y=ax+b + aa x Ved at trække de to ligninger fra hinanden fås, at y=aa x Da vi ønsker, at y > 0, så haves y=*a*a x, hvor a er liniens hældningskoefficient. 60x Hvis der nu er tale om et mere kompliceret som eksempelvis y = x, så er det jo ikke helt x + simpelt at finde den maksimale usikkerhed på y. Hvis x = x 0 + x så vokser både tæller og nævner, og hvad bliver så den maksimale usikkerhed på y. Man gør nu det, at man erstatter kurven med sin tangent i punktet (x 0,y 0 ). Da tangenten jo ligger tæt ved kurven når vi ser på x-værdier tæt ved x 0, så vil fejlen herved være lille, hvis x er lille. dy Da tangentens hældning er differentialkvotienten i x 0, så gælder y = x. dx 3

Matricer og lineære ligninger Eksempel. Maksimal usikkerhed 60x Lad y = x, og lad x= ± x x + Find y=y 0 ± y Løsning: dy Vi finder differentialkvotienten i punktet x =. dx Ti89: differentialet d står over 8-tallet : d(60@x/(x+)-@x,x)*x= Resultat 5.5 den lodrette streg står til venstre i fjerde række for neden og kan læses forudsat at TI-Nspire: Beregninger, differential og integralregning, differentialkvotient i et punkt, Udfyld menu med y og x, ENTER, skriv udtryk ind, ENTER Mathcad: Skriv x := d Nedenunder vælg fra menu Calculus Enter og udfyld parantes med funktionen dx Vi har nu y = 5.5 @ x 60 y 0 = dvs y = ±5.75 @ x + = Nu vil udtryk i praksis sjældent var funktioner af kun variabel Eksempel.3. To variable. Insektpulver sælges i papkartoner. Lad x være vægten af pulveret, mens y er vægten af papkartonen. I middel fyldes der 500 gram insektpulver i hver karton med en maksimal usikkerhed på 5 gram. Kartonen vejer i middel 0 gram med en maksimal usikkerhed på.0 gram. z = x + y er da bruttovægten. Find den maksimale usikkerhed på z. Løsning: Det ses umiddelbart, at den maksimale usikerhed på z er z= x + y. Vi ser vi nu på det lineære tilfælde: z = ax+by+c, hvor a > 0 og b > 0 På samme måde som ved variabel kan vi se, at z = a@ x + b@ y Da vi ønsker, at z > 0, så haves mere generelt, at z=*a*a x +*b*a y Hvis man for funktionen z = f ( x, y) holder y konstant på værdien y 0, så vil f ( x, y0 ) være en funktion af én variabel x. Er denne funktion differentiabel, så kan man på sædvanlig måde finde dens aflede funktion. Denne f kaldes f s partielle afledede med hensyn til x og skrives eller. x ( x, y 0 ) f x ( x, y0 ) f Tilsvarende defineres f s partielle afledede med hensyn til y. y f d f Tegnet læses "blødt d" og markerer, at funktionen har flere variable. Dette indebærer nemlig, at (i modsætning til ) x d x ikke uden videre kan opfattes som en brøk i beregninger. 4

. Usikkerhedsberegning z z Det ses umiddelbart, at for den lineære funktion z = ax+by+c da er = a og = b, dvs vi x y z z har, at z = x + y x y Lad f(x,y) være en differentiabel funktion af variable. Grafen z = f(x,y) for en sådan funktion er i et rumligt x,y,z-koordinatsystem en flade. Lad z = f ( x, y ).(se figur.) 0 0 0 Lad k være skæringskurven mellem planen y = y 0 og grafen for og Tx være tangenten til k med røringspunkt i ( x, y ). Tilsvarende er k 0 0 er skæringskurven mellem planen x x og grafen for f og T y er = 0 tangenten til k. Fig... ( x, y ) 0 0 Tangentplan i Den plan, som er bestemt ved tangenterne T x og T y kaldes tangentplanen for grafen for f i punktet ( x, y ). 0 0 En sådan tangentplan følger fladen tæt i en lille omegn af punktet ( x0, y0 ). Vi kan derfor tillade os, at beregne den maksimale fejl af formlen z f forudsat fejlene x og y er små x x y x + f (, ) ( y x, y ) y 0 0 0 0 f f Koefficienterne og kaldes så f s følsomhed overfor fejl på henholdsvis x og y. x y Ved den relative fejl forstås z z 0 5

Matricer og lineære ligninger Eksempel.4. Fejlvurdering. Et cylindrisk hul med radius r og højde h bores i en metalblok. Man ved, at r = 3 ± 0. cm og h = 0 ± 0. cm ) Find den maksimale absolutte fejl på hullets volumen V = π r h ) Find den maksimale relative fejl på V 3) Har V størst følsomhed overfor r eller overfor h? Løsning. ) Håndregning: V V = π r h og dermed for r = 3 og h = 0, er π r r = 0 = 376. 99 V h = π r og dermed for r = 3 og h = 0, er Den maksimale absolutte fejl på hullets volumen V: V = 8. 7 h + 376. 99 r Indsættes h = 0. og r = 0, fås V = 43.4 ) V = 565.487. Den maksimale relative fejl er dv V = 7. 7% V π h = 9 = 8. 7 3) V har størst følsomhed over for fejl på r, da dv dv = 376. 99 > = 8. 7 dr dh TI89: πar^ah STO v STO står i række for neden, ) d(v,r)*r=3 and h=0 differentialet d står over 8-tallet : den lodrette streg står til venstre i fjerde række for neden og kan læses forudsat at and står i Catalog Resultat 0 π d(v,h)*r=3 and h=0 Resultat 9 π 0A πa0.+9a πa0. Resultat 43.35 ) v r=3 and h=0 Resultat 80 π 43.35/(80 π) = 0.766 =7.7% TI-Nspire: v:=πar^ah d Vælg differentialkvotient og skriv r=3 and h = 0 dr v) Derefter som under TI89 Mathcad: v:=πar^ah Skriv kun : så kommer := skriv r := 3 h:=0 d nedenunder dr v) d dr v) Regningerne foregår nu som ovenfor. Formlen er ikke mere kompliceret end man kan regne den maksimale fejl direkte V = π 3. 0. π 3 0 = 44. 37 44. 4 6

. Usikkerhedsberegning.:Statistisk usikkerhed Ved den statistiske usikkerhed regner man populært sagt med at fejlene til en vis grad ophæver hinanden. Betragter vi således igen eksempel. hvor vi fyldte insektpulver i kartonner Vægten x af pulveret var 500 g ± 5 g og vægten y af kartonet var 0 g ± g. Bruttovægten z = x +y Det er rimeligt at antage, at vægten af pulveret og vægten af papkartonen er uafhængige (påfyldningen kan tænkes at ske maskinelt, uden at den er afhængig på nogen måde af hvilken vægt, kartonen tilfældigvis har). Det må derfor ofte forekomme, at eksempelvis vægten er over 500 g mens det tilsvarende karton har en vægt under 0 g, så bruttovægten ligger tæt ved de 50. Man vil derfor sædvanligvis give z en mindre usikkerhed end den maksimale usikkerhed på 6 g. Denne usikkerhed benævned statistisk usikkerhed og skrives her kort σ(z) (sigma). Hvis z = a@x + b@y +c hvor x og y er statistisk uafhængige størrelser. så kan man vise, at der gælder ophobningsloven σ( z) = a ( σ( x)) + b ( σ( y)) Anvendes loven på bruttovægten z = x + y fås σ( z ) = 5 + = 6 = 5. Vi vil derfor nu sige, at bruttovægten er z = 50 ± 5. Ved mere komplocerede udtryk, vil vi ligesom i afsnit 0. erstatte fladen med sin tangentplan Lad z = f(x,y) være en differentiabel funktion af variable. Da ved vi, at vi kan erstatte a og b i ophobningsloven med de partielle afledede, så vi får f f σ( z) = ( x, y ) ( σ( x)) ( x, y ) ( σ( y)) + x 0 0 0 0 x Eksempel.6. = eksempel.4 Et cylindrisk hul med radius r og højde h bores i en metalblok. Man ved, at r = 3 ± 0. cm og h = 0 ± 0. cm ) Find den statistiske usikkerhed på hullets volumen V = π r h ) Find den relative fejl på V 3) Har V størst følsomhed overfor r eller overfor h? Løsning V ) Fra eksempel.4 haves π og r = 0 = 376. V 99 π h = 9 = 8. 7 Af ophobningsloven følger så, at usikkerheden på V er ( ) ( ) σ( V ) = 376, 99 ( 0. ) + 8. 7 ( 0. ) = 38. ) V = 565.487. Den relative fejl er σ( V ) 38 =. = 0. 0674 = 6. 7% V 565. 485 3) V har størst følsomhed over for fejl på r, da dv dr Ophobningsloven kan udvides til funktioner af mange variable. Til illustration af det vil vi se på følgende eksempel. dv = 376. 99 > = 8. 7 dh 7

Matricer og lineære ligninger Eksempel.7 Usikkerhed på sammensat udtryk Måles trykket P, volumenet V og temperaturen T af en ideal gas, optræder der tilfældige målefejl, som gør værdierne usikre. Beregnes molantallet n nu af ligningen P V P V = n R T n =, bliver værdien af n derfor også usikker. Vi ønsker at kunne R T beregne usikkerheden på n ud fra usikkerhederne på P, V og T. Gaskomstant R = 8. 34 J K mol. P = 3400 Pa, V = 567. m 3, T = 678 K med usikkerheder σ ( P ) = 000 Pa, σ ( V ) = 0. 06 m 3 og σ ( T ) = 3 K. Det kan antages, at måleresultaterne for P, V og T er statistisk uafhængige. a) Find molantallet n, b) Usikkerheden σ ( n) c) Den relative usikkerhed rel( n). Løsning Håndregning: P V 3400 567. a) n = = = 4. mol R T 8. 34 678 n V 567. n P 3400 b) = = = 0. 00006 = = = 895. P R T 8. 34 678 V R T 8. 34 678 n P V = = 3400 567. = 083075. T R T 8. 34 678 n n n σ ( n) = σ ( P) σ ( V ) σ ( T) + P + V T = 0. 00006 000 + 895. 0. 06 + 083075. 3 = 74. mol, σ ( n) 7438. c) Den relative usikkerhed rel( n) = = = 0. 040443 40%.. n 4. Hvorledes man finder partielle afledede i de forskellige regnemidler ses i eksempel.4, så her kun for TI 89 p*v/(8.34*t) STO n a) n v=5.67 and p=3400 and t=678 Resultat n = 4. b) d(n,p) v=5.67 and p=3400 and t=678 STO a d(n,v) d(n,t) v=5.67 and p=3400 and t=678 STO b v=5.67 and p=3400 and t=678 STO c ((a*000)^+(b*0.06)^+(c*3)^) Resultat σ( n ) = 743. c) rel(n) =.743/4. = 0.040 =.4% 8

Opgaver OPGAVER Opgave Idet A = og, skal man undersøge om følgende relationer gælder: 0 B = 0 ) ( A + B) = A + AB + B. ) A B = ( A + B)( A B). Foretag beregningerne uden brug af lommeregner. Opgave 0 0 0 Lad A = og. 0 B = 0 Beregn A + 3B + 5A B, A B T og A B uden brug af lommeregner Opgave 3 3 Lad A =. 3 Udregn A A 9 A og A A 9E, hvor E er en 3 x 3 enhedsmatrix. Opgave 4 3 4 0 Lad A = B og 3, = C = 3 4 3 5 0 Vis, at A B = A C ( trods det at B C ). Opgave 5 Lad A = og. Find. og B = 3 4 T T 3 A, ( B ), ( AB ) ( BA T ) Opgave 6 0 Lad A = 0 0 og B = 0. 0 0 0 0 Find ( ) T T T A + B, B + A, AB, BA, A B, A, B, A og ( ) AB 9

Matricer og lineære ligninger Opgave 7 Find den inverse matrix til hver af de følgende matricer: 0 0 ) ) 3) 5 0 0 0 0 0 Opgave 8 0 3 0 0 Lad A = 0 0. Find og 0 0 0 0 A ( A T ) Opgave 9 0 0 Lad der være givet en invertibel matrix A = 0 0. 0 0 0 0 0 0 Idet B =, skal man løse matrixligningen AX = B. Opgave 0 På et laboratorium analyseres en blanding af 4 organiske stoffer kvantitativt ved måling af et ultraviolet-spektogram. Heraf fås følgende ligningssystem for koncentrationerne c, c, c3 og c 4 ( millimol / liter ) : 5. 00c + 00. c + 00. c4 = 30. 0 6. 00c +. 00c3 + 00. c4 = 50. 0 00. c + 00. c + 5. 00c3 = 33. 0 500. c + 00. c + 500. c4 = 70. 0 Find c, c, c3 og c 4. 30

Opgave x + x + 5x3 + x4 = 3 x + x + 4x3 + x4 = 6 Løs ligningssystemet x + 3x + 3x3 + x4 = 4 3x + 3x + 3x3 = Opgave. Mellem variablene x og y gælder den teoretiske sammenhæng y = A + Bx + Cx 3 + D x Fra laboratoriet er der kommet følgende måledata: x 0 3 y 0 4 3 Opstil 4 ligninger til bestemmelse af konstanterne A, B, C, D og find derpå A, B, C og D. Opgave 3. x + 4x + 3x3 + x4 = x x x3 x4 = Løs ligningssystemet : x + 4x + 6x3 + x4 = 4 x + 4x + 6x3 + 3x4 = 5 Opgave 4. x x x4 = 4 x + x + x3 + 3x4 = Løs ligningssystemet x 3x 3x4 = 3 x x + x3 + x4 = 3 Opgave 5 Man ønsker at fremstille 0 ton af en næringsblanding bestående af 5 komponenter: komponent skummetmælk kartofler æbler sojamel ønsket blanding mængde (ton): x x x 3 x 4 0 Opgaver kulhydrat pr 00 g 5 0 0 5 5 protein pr 00 g 3 3 0 36 5 C-vitamin pr 00 g 0 7 0 6 For at kunne bestemme x, x, x3 og x 4, således at den færdige blanding får det ønskede indhold af kulhydrater, protein og C-vitamin, opstilles ligningssystemet: mængde: x + x + x + x = 0 kulhydrat: protein: 3 4 5x + 0x + 0x + 5x = 50 3 4 3x + 3x + 36x = 60 4 C vitamin: x + 0x + 7x3 = 60 Løs ligningssystemet. 3

Matricer og lineære ligninger Opgave 6 Løs ligningssystemet Opgave 7. Løs ligningssystemet x + 4 x x3 = 5 5x + x 3x3 = x + x + x3 = x + 5x = 7 x + 4 x 3x3 + x4 = 3 x x + x3 + x4 = 3x + x x3 + 3x4 = 4 7x + x x3 + 3x4 = 4 Opgave 8 Indledningen (med petit) kan overspringes, da den ikke er nødvendig for opgavens løsning. Indledning. En fabrik får til opgave at fremstille et produkt, der bl.a. skal indeholde 3. kg af stoffet I, 3.6 kg af stoffet II og 3.3 kg af stoffet III. Råstoffernes A, B, C og D s procentiske indhold af I, II og III fremgår af nedenstående tabel. A B C D I 0% 50% 30% 0 % II 0% 40% 30% 0% III 30% 0% 0% 50% Forudsat at alle råstofferne kan udnyttes, ønsker man at finde de antal kg x, x, x3 og x 4 af henholdsvis A, B. C og D, der skal benyttes ved fremstillingen. Specielt ønskes angivet den af de mulige løsninger, der giver det mindste forbrug af det dyre råstof A. x + 5 x + 3x3 = 3 Givet ligningssystemet x + 4x + 3x3 + x4 = 36 3x + x3 + 5x4 = 33 ) Find den fuldstændige løsning til ligningssystemet. ) Idet det antages, at x 0, x 0, x3 0, og x 4 0, skal man angive den løsning til ligningssystemet, der har den mindste værdi af x. 3

Opgaver Opgave 9 En virksomhed fremstiller 4 typer produkter,, 3 og 4. Under tilblivelsesprocessen skal hvert produkt passere igennem alle virksomhedens 3 afdelinger, men beslaglægger her kapaciteten i forskellig grad: afdeling afdeling afdeling 3 Lad x j enhed af type enhed af type enhed af type 3 enhed af type 4 5 % 0 % 0 % 5 % 0 % 5 % 0 % 5 % 0 % 0 % 5 % 0 % betegne antal producerede enheder af type j i en uge. Såfremt hver afdelings kapacitet skal udnyttes fuldt ud i denne uge, må der gælde: afdeling : 5x + 0x + 0x + 5x = 00 3 4 afdeling : 0x + 5x + 0x + 5x = 00 3 4 afdeling 3: 0x + 0x + 5x3 + 0x4 = 00 ) Vis, at ligningssystemet har en uendelighed af løsninger og angiv herunder den fuldstændige løsning ved hjælp af en parameter t. Hvilke værdier af t kan forekomme i virkeligheden (husk, at x 0, x 0, x3 0, x 4 0 )? ) Hvad er det største antal emner af produkttype 3, som virksomheden kan fremstille pr. uge, når der ikke må være ledig kapacitet i nogen af de 3 afdelinger? ( Bemærk: I det matematiske fag lineær programmering behandles sådanne problemtyper - gerne med mange flere variable, idet der benyttes specielle teknikker i forbindelse med edb ). Opgave 0 Find værdien af determinanten 7 4 6 9 9 3 6 3 3 7 4 4 Opgave a) Beregn determinanten a a 3 a 0 4a + 7 0 0 a + 6 6 3a b) Løs ligningssystemet for alle værdier af parameteren a x + x + ax3 + x4 = ( a 3) x + x + ax3 = ( 4a + 7) x x = ( a + 6) x 6x 3ax3 x4 = 6 33

Matricer og lineære ligninger Opgave a) Beregn determinanten a + a 0 a + 0 D = 0 0 0 a b) Løs nedenstående ligningssystem for de værdier af a, for hvilke determinanten D er 0 ax + x x + ( + a) x = 0 3 4 x + ( a + ) x = x x + x = x 3 3 4 4 + ax = Opgave 3 Der er givet ligningssystemet ax + x + ( a + 3) x3 = 7 ax + 4x + ( 3a + 4) x3 = 3ax + 5x + ( a + 4) x3 = 3 Løs ligningssystemet for de værdier af a, for hvilke ligningssystemet har netop én løsning Opgave 4 Benyt Cramers metode til at finde af nedenstående ligningssystem. x x + x + x3 + x4 = x + x + x3 = 4 3x x = 4x 6x 3x3 x4 = Opgave 5 Benyt Cramers metode til at finde af nedenstående ligningssystem. x 4 x + x x3 + x4 = 0 x + 3x3 = x x3 + x4 = x + x4 = Opgave 6 De tre vinkler i en trekant ABC er målt til 0.53,.34, og.3(radianer). A = 053. Find den løsning til det overbestemte ligningssystem B = 34. π A B = 3. som giver mindst mulig RMS-fejl. Find endvidere residualerne og RMS-fejlen 34

Opgaver Opgave 7 Mellem de variable x, y, z, w gælder den teoretiske sammenhæng w = Ax + By + Cz. Fra laboratoriet er der kommet følgende måledata: x y z w 0 0 0.0 0 0.0 0 0 0. 0 0.9 0. ) Opstil 5 ligninger til bestemmelse af konstanterne A, B, C. ) Find derpå konstanterne A, B, C, idet RMS-fejlen på de 5 ligninger skal være mindst mulig. 3) Find endvidere residualerne og RMS-fejlen. Opgave 8 To tryk p og p samt differencen p p er målt med samme nøjagtighed: p 0 p 5 p p 6 Find p og p bedst muligt. Opgave 9 Der skal fremstilles ton af et produkt ved at blande 3 råvarer (alle tal er i vægt % ): råvare nr råvare nr råvare nr 3 ønsket produkt protein fedt kulhydrat 0 % 30 % 0 % 0 % 0 % 30 % 0 % 0 % 0 % 0 % 0 % 0 % Af råvarer bruges x ton af nr, x ton af nr og x x ton af nr 3. ) Opstil 3 ligninger til bestemmelse af x og x. ) Find derpå x og x, idet RMS-fejlen på de 3 ligninger skal være mindst mulig. 3) Find til sidst residualerne og RMS-fejlen. Opgave 30 x =. x y = Der foreligger følgende ligningssystem: x + y + z = 3. y + z =. ) Vis, at ligningssystemet ikke har nogen eksakt løsning. ) Løs ligningssystemet bedst muligt, (dvs. således at RMS-fejlen bliver mindst mulig ). 35