Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel II side 49 til 100 i Vejen til matematik B2. Der er endvidere stof fra Vejen til matematik A2 bogen side 81-87 Sct. Knud Gmnasium Henrik S. Hansen
Indhold Infinitesimalregning... 1 Overgang fra sammenhænge til væksthastighed... 1 Funktionstilvækst... 2 Grænseværdi... 2 Sekant... 3 Differentialkvotient (differentiering)... 3 Definition af differentialkvotient... 4 Sætning: Differentialkvotienten af en konstant... 4 Sætning: Differentialkvotienten af en potens... 5 Sætning: Differentialkvotienten for en konstant gange funktion... 6 Sætning: Sumregel/differensregel for differentialkvotienten... 7 Sætning: Differentialkvotienten for et produkt (Produktregel)... 8 Sætning: Differentialkvotienten for en brøk (Brøkregel)... 9 Sætning: Differentialkvotienten for en sammensat funktion... 10 Differentiering af grundfunktioner... 11 Tangent... 11 Sætning: Tangentens ligning... 11 Monotoniforhold (monotoniintervaller)... 12 Optimering... 13
Infinitesimalregning Infinitesimalregning er en gren inden for matematikken, grundlagt af Isaac Newton og Gottfried Leibniz med skabelsen af differentialregning. Der var en lang kontrovers om, hvorvidt det var Newton eller Leibniz, der skabte infinitesimalregningen. Den almindelige konsensus er, at begge opdagede den uafhængigt af hinanden, men at Newton kom først, og Leibniz publicerede først. Infinitesimalregning beskæftiger sig med "uendeligt små" ændringer af kontinuerte funktioner, dvs. matematiske funktioner, der beskriver noget, der ændrer sig "glat". Et eksempel er bevægelse; man kan ikke bevæge sig fra et sted til et andet uden at have været alle steder imellem. For at forstå begrebet "uendeligt lille" (differentielt) kan man som analogi betragte fotografering: Vi tænker på et fotografi som et billede taget på et bestemt tidspunkt, men i virkeligheden er billedet eksponeret i et kort tidsrum. Jo kortere man kan gøre eksponeringstiden, jo mindre ser man rstelser etc. Hvis eksponeringstiden kunne gøres uendelig kort, ville billedet blive perfekt. Infinitesimalregningen kan groft sagt opdeles i to intimt relaterede discipliner: Differentialregning og integralregning. Vi vil i det efterfølgende kigge nærmere på differentialregningen. Overgang fra sammenhænge til væksthastighed Vi har tidligere set på begrebet funktion på baggrund af sammenhænge mellem den afhængige variabel og den uafhængige variabel. Hertil kiggede vi lidt på monotoniintervaller. En bestemt vækst f(x) kunne være den som vist på figuren. Det ses at væksten (i graf området) i starten er aftagende, derefter voksende for til sidst igen at være aftagende. Vi nævnte tidligere begrebet monotoniintervaller i denne sammenhæng. Der efter koblede vi begreberne lineærvækst, eksponentielvækst og potensvækst på specielle sammenhænge, som var monotone. 40 36 32 28 24 20 16 12 8 4 (.050773, 4.97474) (3.28256, 38.729) f(x) -0.75-4 0.75 1.5 2.25 3 3.75-8 Nu går vi skridtet videre og kigger på hvor hurtigt at funktioner/sammenhænge vokser til bestemte tidspunkter. (video) Det kunne være interessant at spørge hvor stor væksten var ved punktet P altså ved x=2. Løst sagt: Jo større væksthastigheden er i et punkt, jo stejlere er kurven i det videre forløb. P x 1
Funktionstilvækst Vi får brug for begrebet funktionstilvækst for en funktion ud fra et punkt x 0 i definitionsmængden. Et punkt lidt til højre eller venstre for x 0 på x-aksen kaldes et nabopunkt til x 0. Et sådan punkt betegnes, hvor er en MEGET lille størrelse. Funktionstilvæksten er dermed givet som Tilvæksten kan være negativ, positiv eller 0 afhængig af grafens udseende omkring punktet i x 0. Grænseværdi Grænseværdi har været et centralt begreb i matematikken siden infinitesimalregningens opståen i slutningen af det 17. århundrede. Man siger, at en talfølge x 1,x 2,...,x n,... har grænseværdien x, hvis tallet x n er vilkårligt tæt på x, blot tallets nummer n er tilstrækkelig højt. Dette skrives sædvanligvis lim n x n = x under brug af det latinske ord limes 'grænse'. Kig på, hvor 0 < x og bestem grænseværdien når. Denne bliver. Kan også tit se skrevet som Her bliver akserne asmptoter til grafen. 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 f(x) = 1/x x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 I sammenhæng med differentialregning, så skal man kunne finde en konkret grænseværdi fra begge sider for at en kontinuert funktion kan kaldes differentiabel. Med andre ord: funktionen skal være sammenhængende og glat. (se evt noterne om funktioner) Lav øvelse 1.1 side 53 og side 1 i tillæg til differentialregning.pdf 2
Sekant En sekant er i matematikken en ret linje, der skærer en kurve. Her bruger vi den til at bestemme tangenten og dermed hældningen/differentialkvotienten i et punkt. En ret linje kan bestemmes ud fra to punkter, men en tangent rører jo kun i ét punkt på grafen!! Hvis vi bentter egenskaben for en sekant og vores ne viden om grænseværdier, så kan vi bestemme tangentens hældning til en given x- værdi (og senere tangentens ligning i punktet P). (video) Vi tager fat på vores vækst fra tidligere og zoomer lidt ind omkring x=2 (altså punktet P) 39 37.5 36 34.5 33 31.5 30 28.5 27 25.5 Udgangspunktet er P og Q1. Her udfra kan g(x) bestemmes. Nu holdes P fast og Q1 flttes over Q2 du har vi h(x). Ved at lade Q2 gå mod P, vil den beregnede linje nærme sig tangenten i P (her ). 24 P Y = 15.X + -3. h(x) (3.28256, 38.729) Q2 Q1 22.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3 3.25 3.5 3.75 4 g(x) f(x) x i Se illustrationen af ovenstående i geometer. (programmet) Lav opgave 51 side 96 og opgave 52 side 96 Differentialkvotient (differentiering) Differentialregningen beskæftiger sig med, hvor meget en såkaldt afhængig variabel ændres, hvis der sker små ændringer i den uafhængige variabel. Forholdet mellem ændringerne i hhv. den afhængige og den uafhængige variabel kaldes differenskvotienten, og spiller en central rolle i differentialregningen. Differenskvotienten er funktionstilvæksten divideret med forskellen i x. Når afstanden i x er uendelig lille vil differenskvotienten være lig med differentialkvotienten. Differentialkvotienten er hældningen på tangenten i punktet. Lav opgaver i tillæg til differentialregning.pdf 3
Definition af differentialkvotient En kontinuert* funktion f siges at være differentiabel i et tal, hvis differenskvotienten, har en grænseværdi for Denne grænseværdi kaldes funktionens differentialkvotient i og betegnes eller *En graf kaldes kontinuert hvis dens graf er sammenhængende. Se side 53 for derligere info. Hvis vi kigger på hvordan en sekant beregnes, bliver det tdeligere, at differenskvotienten (hældningen på sekanten) vil blive det samme som (gå imod) differentialkvotienten (hældningen på tangenten), når. Når en funktion differentieres så bestemmes en funktion til bestemmelse af differentialkvotienten til givne x-værdier. I praksis benttes tretrinsreglen til at bestemme differentialkvotienten. (video) 1. Bestem differenskvotienten 2. Reducer udtrkket 3. Bestem, hvis det er muligt, grænseværdien for for Der vil altså gælde jf. ovenstående at for Gennemgå side 59 Lav opgave 53 side 96, opgave 54 side 96, opgave 55 side 96 og opgave 56 side 96 I de næste sætninger kunne vi lige så godt erstatte med, da det vil gælde for alle x i definitionsmængden. Endvidere fordi, at differentiering resulterer i en funktion (den afledede funktion af f(x)), som kan bestemme differentialkvotienter til givne x-værdier. Beviserne føres dog med (for at minde mest mulig om bogen). Lad os starte fra en ende af, og kigge på polnomier hvor vi lader graden stige løbende. Her kigger vi først på en konstant. Sætning: Differentialkvotienten af en konstant Differentialkvotienten af en konstant k er 0: Bevis (video) Hvis vi tegner den grafisk, kan vi se at den ikke vokser på noget tidspunkt, så intuitivt må differentialkvotienten være 0 uanset hvor vi er på grafen 4
, hvor k er konstant Bruger tretrinsreglen 1. 2. 3. Hermed bevist Sætning: Differentialkvotienten af en potens Vi kigger nu på polnomier, hvor vi starter med den lineære som den første. Differentialkvotienten af en potens er for alle reelle tal n givet ved Bevis (video) Funktionen er en potensfunktion. Lad n=1 (her har vi et førstegradspolnomium) Nu har vi funktionen dermed skal Bruger tretrinsreglen 1. 2. 3., hermed bevist med n=1 Lad nu n=2 (her har vi et andengradspolnomium) Nu har vi funktionen dermed skal Bruger tretrinsreglen 1. 2. 3., hermed bevist med n=2 5
Lad nu n=3 Nu har vi funktionen dermed skal Bruger tretrinsreglen 1. 2. 3., hermed bevist med n=3 Det gælder for alle reelle n. NB: HUSK at alle rødder kan skrives som potenser for rødder som ved potenser. Eks. kan, og dermed løses differentialkvotienter. Ligeledes kan Hermed bevist Lav øvelse 3.6 side 64, opgave 58 side 96 og opgave 59 side 96 Sætning: Differentialkvotienten for en konstant gange funktion Hvis g er en differentiabel funktion, og k er konstant, gælder der at: så bliver Bevis (video) Vi har Bruger tretrinsreglen 1. 2. 3. Da g er differentiabel vil den have en grænseværdi for derfor vil vi få, Hermed bevist. (kobling af sætninger) Lav øvelse 3.9 side 66 6
Sætning: Sumregel/differensregel for differentialkvotienten Hvis h og g er differentiable funktioner, så gælder der at: Bevis (video) Vi har Bruger tretrinsreglen 1. 2. ( ) 3. Da g og h er differentiable vil de have en grænseværdi for derfor vil vi få Tilsvarende vil gælde for Hermed bevist Nu kan vi igen vende blikket mod vores graf i starten og væksten i x=2. Der gælder at Vi bestemmer den afledede funktion jf. ovenstående sætninger Når vi så spørger efter væksten til x=2 bestemmes blot Læg mærke til at den afledede er en funktion og differentialkvotienten er et tal. Vi kan tdeligt se at når f (x) er negativ så er f(x) aftagende og når f (x) er positiv er f(x) voksende. (video) Se en illustration af ovenstående i geometer. (programmet) 35 30 25 20 15 10 5-0.75-5 0.75 1.5 2.25 3 3.75-10 -15 f (x) -20-25 P (2,15) f(x) x Når vi senere skal kigge på monotoniintervaller igen, udntter vi at f (x) kan afgøre om f(x) er voksende eller aftagende. Lav øvelse 3.12 side 67, opgave 60 side 96, opgave 61 side 96 og opgave 62 side 96 7
Sætning: Differentialkvotienten for et produkt (Produktregel) Hvis h og g er differentiable, er differentiabel og Bevis (video) Vi bruger tretrinsreglen på ( ) ( ) ( ) ( ) 3. Man kan vise at grænseværdien for et produkt er produktet af grænseværdierne. Vi kan derfor bestemme grænseværdierne for hvert led og hver faktor for sig. Da h og g er differentiable er grænseværdierne for brøkerne og når Da g er kontinuert vil når når Hermed bevist. Lav øvelse 4.5 side 82 A2, opgave 75 side 113 A2 8
Sætning: Differentialkvotienten for en brøk (Brøkregel) Hvis h og g er differentiable og, er differentiabel ( ) Bevis: (video) kan omskrives til Nu kan vi bentte produktreglen til at differentiere. Nu isolerer vi ( ) ( ) Hermed bevist Lav øvelse 4.8 side 83 A2, opgave 76 side 113 A2 9
Sætning: Differentialkvotienten for en sammensat funktion Hvis h og g er differentiabel, er ( ) differentiabel: Bevis: (video) ( ) Vi bentter tretrinsreglen på ( ) Hvis vi forudsætter, at kan vi lave følgende omskrivning: Tilvæksten kalder vi for k og kalder vi for. Da Da g er differentiabel vil samtidig med at vil vi få følgende grænseværdi ( ) ( ) Hermed bevist. Lav øvelse 4.12 side 85 A2, opgave 77 side 113 A2 og opgave 78 side 113 A2 10
Differentiering af grundfunktioner I bogen side 69 B2 eller 79 A2 ses en tabel over differentiering af nogle grundformler. Der vil ikke blive ført bevis for disse. Lav opgave 62, opgave 63 (via TII) og opgave 70 Tangent Nu har vi kigget på den afledede funktion, som til en bestemt -værdi gav en differentialkvotient. Det kan dog i mange henseender være praktisk at kunne bestemme tangentens ligning. Se Illustration af en tangent i geometer. (programmet) Hældningen har vi allerede beskæftiget os med, nemlig differentialkvotienten. Sætning: Tangentens ligning Hvis f(x) er differentiabel og vi har, så vil tangenten i dette punkt have ligningen. Bevis (video) I punktet ( ) har tangenten hældningen jf. definitionen af differentialkvotienten. (x0,f (x0)) f (x) f(x) Sætningen: En ret linje, der har hældningen a og går gennem et punkt ( ) har ligningen Giver os nu: x0 (x0,f(x0)) x Hermed bevist tangent Nu kan vi igen vende blikket mod vores graf i starten og bestemme tangentligningen i x=2. Hældningen bliver og funktionsværdien Tangentligningen bliver t(x) = 15x-3 39 f(x) 36 33 30 P 27 24 21 18 15 12 9 6 3 x -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 34 32 30 28 26 24 22 20 18 t(x) = 15x-3 f(x) P 1.5 1.75 2 2.25 2.5 x Lav øvelse 7.4 side 83, opgave 75 side 98, opgave 77 side 98 og opgave 78 side 98 11
Monotoniforhold (monotoniintervaller) I noterne for funktioner gennemgik vi monotoniintervaller og ekstremaer. Nu har vi fået et nt værktøj til at bestemme dette eksakt. Vi foretager en monotoniundersøgelse. Vi kan se en sammenhæng mellem og grafen til højre. på Funktionsværdierne for f (x) er negative når er aftagende og positive når er voksende. Når har vi en vandret tangent og dermed er væksten 0. (video) Til bestemmelse af monotoniforhold i praksis (monotoniundersøgelse): (3.28, 38.729) 38.5 35 f(x) 31.5 28 24.5 21 17.5 14 10.5 7 (.05, 4.97) 3.5 (3.28, 0) x -0.75 0.75 1.5 2.25 3 3.75-3.5 (.05, 0.) f (x) 1. Bestem den afledede funktion 2. Løs 3. Tegn fortegnslinje udfra resultaterne i (2.) Bestem funktionsværdierne i intervallerne og angiv disse med et tegn som angiver om de er voksende eller aftagende. 4. Konklusion. Se nederst på side 86 i bogen. I vores tilfælde 1. 2.. Dette er et andengradspolnomie og har maks. to rødder. Her er de tidligere bestemt til 3. Så ser fortegnslinjen således ud f (x) - 0 + 0 - --------------------0,05----------------3,28-----------------> x f(x) min max 12
4. Konklusion f(x) er aftagende på intervallet f(x) er voksende på intervallet f(x) er aftagende på intervallet Der er et lokalt minimum i med minimumsværdien Der er et lokalt maksimum i med maksimumsværdien Denne funktion har ingen globale ekstremaer da og Lav øvelse 8.6 side 90, opgave 90 side 99, opgave 91 side 99 og opgave 96 side 99 Optimering Tidligere i vores rapport og afleveringer har vi arbejdet med optimering. Nu kan vi via en monotoniundersøgelse bestemme den optimale værdi. Se eksempel 9.1 side 92 Lav opgave 100 side 100 og bestem minimale materialeforbrug i jeres rapport udfra 13