Kap. 1: Trigonometriske funktioner og grader.

- - Kap. : Trignmetriske funktiner g grader. Grader sm vinkelmål. Inden vi går i gang med at mtale de trignmetriske funktiner: sinus, csinus g tangens, vil vi først minde m, hvrdan en given vinkel kan måles i grader: Vi tager en vilkårlig cirkel, sm har centrum i vinklens tppunkt, g inddeler den i 60 lige stre dele. Størrelsen af vinklen er da f.eks. 5 (5 grader), hvis vinklens en afskærer 5 af disse dele (se figur.). Cirkeluen AB 5 på figuren har altså længden 60 af hele cirkelperiferien. Hvis vinklen (dvs. vinkelstørrelsen) er v, så er længden af den tilsvarende cirkelue imellem de t vinkelen lig med v af cirkelperiferien. 60 Fig.. Øvelse.. Prøv at undersøge f.eks. via Internettet, hvilke terier, der findes til frklaring af, at man netp har valgt at dele cirkelperiferien i 60 dele (g ikke f.eks. i 00 dele). Sm anført venfr kan vi ruge en vilkårlig cirkel med centrum i vinklens tppunkt. Dette skyldes, at hvis vi tager t frskellige cirkler med radius r g r (se figur.), hvr længden af uestykkerne A B g A B er s g s, så er cirkeludsnittene OA B g OA B ligedannede figurer, s r hvrmed vi har, at:. s r v Og hvis s er af den lille cirkels mkreds, dvs. 60 v s πr, 60 r v r v så er: s s πr πr, r 60 r 60 v dvs. s er af den stre cirkels mkreds. 60 Vinklens størrelse vil derfr i egge tilfælde kunne angives sm v. Fig.. I resten af kapitel vil vi lt anføre vinklens størrelse sm v (eller u sv.) uden gradtegnet, idet det er underfrstået, at vinklerne måles i grader. Vi vil dg frtsat anvende gradtegnet, når der er givet en estemt talværdi, altså f.eks. 5 sm venfr. Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

- 4 - Sinus g csinus. Ordet trignmetri etød prindeligt trekantseregning, men det er efterhånden levet synnymt med en estemt frm fr eregninger i trekanter, nemlig anvendelse af de såkaldte trignmetriske funktiner: sinus, csinus g tangens til at estemme vinkler g sider mm. i trekanter. (Vi skal senere i denne g se på andre anvendelser af disse funktiner, men i dette kapitel drejer det sig kun m trekanter g lignende). Når funktinerne sinus, csinus g tangens ruges i eregninger mm., frkrtes de hhv. sin, cs g tan. (Tangens lev tidligere frkrtet tg, men med regnemaskinernes udredelse lev denne frkrtelse erstattet af tan, idet dette anvendtes på de udenlandsk prducerede regnemaskiner). Alle tre funktiner: sin, cs g tan er funktiner af vinkler, eller rettere: af vinkelstørrelser. De indføres på følgende måde: I et krdinatsystem etragtes t halvlinier l g m, sm udgår fra samme punkt A, g dermed danner en vinkel med tppunkt A. Lad v være vinklen (vinkelstørrelsen) imellem l g m (se figur. a)). De t halvlinier flyttes, så A placeres i krdinatsystemets egyndelsespunkt O, g så halvlinien l falder sammen med den psitive del af. aksen (sm vi i denne sammenhæng vil kalde l ). Hermed falder halvlinien m ven i den på figur. ) viste halvlinie m. Vi ser, at vinklen mellem l g m er den samme sm imellem l g m, dvs. v. Vi indtegner nu en cirkel med radius g med centrum i O ( Enhedscirklen ) (Se figur. c)). Halvlinien m skærer enhedscirklen i et punkt P, sm kaldes retningspunktet fr vinklen v, g hvis krdinater pr. definitin sættes til at være: (cs v, sin v). (læses: csinus til v kmma sinus til v ). m m v l O v l A Fig.. a) Fig.. ) m sin v P (cs v, sin v) O v cs v l Fig.. c) Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

- 5 - cs v g sin v skrives gså sm cs(v) g sin(v). Disse parenteser ( funktinsparenteser ) anvendes fte, når der står mere end lt et gstav sm v efter cs eller sin f.eks. sin( v). Hvis A er navnet på en vinkelspids (vinklens tppunkt), så anføres csinus g sinus til denne vinkel sm: cs( A) g sin( A). Men undertiden skrives lt cs(a) eller cs A, g tilsvarende sin(a) eller sin A. Vedrørende værdien af tallene sin(v) g cs(v) gælder der følgende vigtige sætning: Sætning.. a) Hvis v er en vinkel i en trekant, er 0 < v < 80, hvrmed < cs v < g 0 < sin v. ) Der gælder, at: cs(80 v) cs v g sin(80 v) sin v Øvelse.. Argumentér fr sætning.. (Brug enhedscirklen). Vinkler større end 80 kan nemt tænkes/knstrueres g dermed indtegnes i frindelse med enhedscirklen (hvrdan?). Der findes altså vinkler i intervallet [0, 60 ]. Om sådanne vinkler gælder (vervej!), at: cs v g sin v Hvis vi indfører egreerne psitiv mløsretning (md uret) g negativ mløsretning (med uret), så kan vi gså perere med negative vinkler. Det verlades til læseren at frklare dette nærmere, g at prøve at indtegne en vinkel på f.eks. 0 i frindelse med enhedscirklen. I resten af kapitel vil vi imidlertid nøjes med at se på vinkler i intervallet [0, 60 ]. Eksempel.4. cs- g sin-værdier til givne vinkler kan findes på regnemaskinen/grafregneren. F.eks. har vi: cs( ) 0,958. Det skal her fremhæves, at man gså kan definere csinus g sinus til almindelige tal (disse kaldes i den sammenhæng fr radianer se kapitel ). Og dette er regnemaskinen/ grafregneren gså i stand til at håndtere. Det er derfr vigtigt, at den liver indstillet til at regne med grader!! På TI-8/84-serien fregår dette ved at taste [MODE], v.hj.a. piletasterne gå ned i linien Radian Degree, her markere Degree v.hj.a. piletasterne, g taste [ENTER]. Øvelse.5. Bestem cs(8, ), cs(90 ), cs(9,4 ), sin(5,8 ), sin (0 ), sin(50 ) g sin(90 ) Eksempel.6. Grafregneren kan gså gå den mdsatte vej, altså estemme vinklen, når vi kender cs- eller sinværdien. Dette gøres ved at taste cs - (dvs. [nd] [cs]) eller sin - (dvs. [nd] [sin]). Hvis vi antager, at vinklen v pfylder: 0 < v < 80 sm det l.a. er tilfældet med vinkler i en trekant, så løses ligninger sm: a) sin v 0, 5788 eller ) cs v 0, 5 på følgende måde: Ad a): Ved at trykke sin (0,5788) på regnemaskinen får vi: v 5,66. Og så skulle man tr, at alt var fint g gdt, g at den ukendte vinkel v var fundet. Men hvis vi taster sin(44,64 ), så pdager vi, at det gså giver 0,5788, så vinklen v 44,64 er gså en løsning. Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

- 6 - Dette kan vi frklare ved at etragte den følgende figur samt henvise til sætning. ). 44,64 5,66 Vi ser, at 80 5,66 44,64, hvrmed frmlen: sin(80 v) sin v giver, at de t vinkler har samme sinusværdi. (Retningspunkterne fr de t vinkler ligger symmetrisk m.aksen) Fr ligningen sin v 0, 5788 under frudsætningen: 0 < v < 80 kan vi dermed i alt svare: sin v 0,5788 v 5,66 v 44,64 Fig..4 Ad ): Ved at trykke cs ( 0,5) på regnemaskinen får vi (kntrllér), at: v 97,86. Og da v ligger imellem 0 g 80 er der ikke flere løsninger. (Overvej!!). Øvelse.7. Bestem vinkler v [0 ; 60 ], der er løsninger til hver af de følgende ligninger: cs v 0,5, cs v 0,8, cs v 0,6, cs v 0, sin v 0,, sin v 0,88, sin v Øvelse.8: a) Hvilke værdier kan tallet a antage, hvis ligningen cs(v) a skal have mindst én løsning v? ) Hvilke værdier kan tallet antage, hvis ligningen sin(v) skal have mindst én løsning v? Tangens. sin v Tangens til vinklen v defineres på følgende måde: tan v. cs v Heraf ses straks, at tan v ikke er defineret, hvis cs v 0. Tangens til v er således hverken defineret fr v 90 eller v 70 Øvelse.9. Tangens findes gså på grafregneren. Bestem tallene: tan( ), tan(45 ), tan(7, ), tan(89,9 ), tan(79 ), tan(5 ), tan(9,5 ), tan(00 ), tan(69 ). Kmmentér resultaterne. Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

- 7 - m Q (, tan v) P v O l Fig..5 tan v kan findes i frindelse med enhedscirklen på følgende måde: Tegn linien med ligningen x, dvs. tangenten til enhedscirklen i punktet (,0). Skæringspunktet Q mellem vinklens venstre en m g denne linie har da krdinaterne (, tan v). Bevis: Linien m går igennem punkterne O g P g har derfr hældningskefficienten: sin v 0 a tan v cs v 0 g dermed ligningen: y tan v x. Hvis vi i denne ligning sætter x, får vi punktet: Q (, tan v), hvrmed det ønskede er evist. Bemærk, at hvis vinklen er større end 90, så skal vinklens venstre en frlænges til skæring med linien x sm vist på figur.5 fr at få punktet (, tan v). Øvelse.0. Løs ligningerne: tan v 0,6, tan v 5, tan v,6 g tan v 8,9. Illustrér g kmmentér resultaterne. Øvelse.. Fr hvilke c har ligningen tan(v) c en løsning? Hvad er Vm(tan)? Eksempel.. Opsummerende kan vi vedrørende regnemaskinetasterne sin giver et resultat i intervallet [ 90 ; 90 ] cs giver et resultat i intervallet [0 ; 80 ] tan giver et resultat i intervallet ] 90 ; 90 [ sin, cs g tan anføre, at: Men m det så er det krrekte svar, man får, må afhænge af en nærmere analyse af det givne prlem. (Se f.eks. eksempel.6 a)). Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

- 8 - Retvinklede trekanter. Funktinerne sinus, csinus g tangens kan l.a. anvendes til at eregne ukendte sider eller vinkler i retvinklede trekanter. Lad ABC være en retvinklet trekant (se figur.6 a) ), hvr C 90, g hvr a er længden af siden verfr vinkel A, er længden af siden verfr vinkel B g c er længden af siden verfr vinkel C. Da afstanden imellem t punkter S g T (dvs. længden af liniestykket fra S til T) sm ekendt etegnes med ST, kan vi gså skrive, at: a BC, AC g c AB. a g kaldes den retvinklede trekants kateter, g c kaldes dens hyptenuse. Vi anringe denne trekant i frindelse med enhedscirklen sm vist på figur.6 ), dvs. så A falder sammen med (0,0) g liniestykket AC sammen med den psitive del af. aksen: Fig..6 Hvis vi lader P g Q være de på figur.6 ) angivne punkter, så ser vi, at ABC g APQ er ensvinklede. Da der sm ekendt gælder i ensvinklede trekanter, at frhldet mellem ensliggende sider er lige stre, ser vi (vervej!), at: g PQ AP sin( A) BC AB a c AQ AP cs( A) AC AB c Da vi desuden ved, at tan( A) sin( A) får vi: cs( A) a tan( A) c a c a c c sin( A) cs( A) a c c I alt har vi hermed evist følgende sætning: Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

- 9 - Sætning.. I en retvinklet trekant ABC, hvr C 90, gælder der: a sin( A) (mdstående katete) / (hyptenusen) c cs( A) (hsliggende katete) / (hyptenusen) c A a tan( A) (mdstående katete) / (hsliggende katete) c Fig..7 B a C Denne sætning kan ruges til eregning af ukendte sider eller ukendte vinker i en retvinklet trekant. Bemærk, at der naturligvis gælder tilsvarende frmler fr vinkel B i trekanten!! Eksempel.4. I en retvinklet trekant ABC er A 8,4, C 90 g c,6. Vi vil finde BC g AC, dvs. kateterne a g. Af sætning. ser vi, at a sin(8,4 ) g dermed:,6 a,6 sin(8,4 ),6 0,4756,66 Altså: a,66 A 8,4,6 Fig..8 B a C Siden kan nu findes på tre frskellige måder: ) Ifølge sætning. har vi, at cs(8,4 ) g dermed:,6 cs(8,4 ),6,66,66 ) Ifølge sætning. har vi, at tan(8,4 ) g dermed: tan(8,4 ) ) Ifølge Pythagras har vi:,66 +,6 g dermed:,6,66 Det verlades til læseren at kntrllere, at vi alle tre tilfælde får:,87. Eksempel.5. I en retvinklet trekant DEF er D 90, DE, 7 g EF 6, 9, g vi ønsker at estemme de t ukendte vinkler g den ukendte side.,7 Ifølge sætning. ser vi, at: sin( F) 0, 56 6,9 Da sin (0,56),4, er dette en mulig værdi fr F. Men ifølge eksempel.6 a) skal vi gså undersøge muligheden 80,4 47,57. Da vi imidlertid arejder med en retvinklet trekant, g da vinkelsummen i en trekant er 80, er der kun 90 tilage til de t ikkerette vinkler. Muligheden 47,57 kan derfr ikke ruges, så svaret liver: F,4. Fig..9 Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller E,7 D 6,9 F

- 0 - Herefter kan den sidste vinkel, dvs. E nemt estemmes: E 90,4, dvs. E 57,57 Endelig kan den ukendte side findes l.a. v.hj.a. Pythagras. Det verlades til læseren at kntrllere, at DF 5, 84. Øvelse.6. I en retvinklet trekant PQR, er P 90 g Q 8,. Beregn siderne RP g QP, idet det plyses, at RQ. Øvelse.7. I en retvinklet trekant ABC, hvr A 90, er AB 7, 4 g AC, 6. Beregn de ukendte vinkler g sider. Vilkårlige trekanter. De trignmetriske funktiner sinus g csinus kan gså anvendes til at estemme ukendte vinkler g sider i vilkårlige trekanter, dvs. trekanter, sm ikke frudsættes af have ngle specielle egenskaer sm f.eks., at de er retvinklede. Der er i denne sammenhæng t frmelsæt: sinus-relatinerne g csinus-relatinerne. Vi starter med at se på sinus-relatinerne. Der gælder her følgende sætning: Sætning.8. I en vilkårlig trekant ABC (på figur.0 er tegnet t frskellige muligheder) gælder der: B B c a c a A C A C Fig..0 a) Fig..0 ) ) Arealet af trekanten er givet ved: Areal( ABC) a sin C c sin A a c sin B ) Frhldet mellem sinus til en vinkel g den mdstående side er ens (sinusrelatinerne),dvs.: sin A sin B sin C a c Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

- - Bevis: Ad ): Sm ekendt (ellers se Appendix ) gælder der fr en vilkårlig trekant ABC, at Areal( ABC) Grundlinie Højde hvr en vilkårlig af siderne kan være grundlinien, g hvr højden så er liniestykket, sm står vinkelret på grundlinien (eller dennes frlængelse) g sm går igennem det mdsat liggende punkt. Fr trekanter sm vist på figur.0 er arealet således givet ved: Areal( ABC) a h A h B c h C hvr h, h g h er (længden af) højderne fra hhv. A, B g C (Se figur. a) g )) A B C B B A h B h A h C C h B A h A C h C Fig.. a) Fig.. ) Fr at evise frmlerne i pkt. ) i sætningen, skal vi altså evise (vervej!), at: sin C, c sin A g a sin B h A h B h C Fr en højde, der falder inden i trekanten sm f.eks. h B på figur. a), følger dette af sætning. anvendt på ABD, hvr D er fdpunktet fr højden h B på siden AC (se figur.). Vi ser her, at h B sin(a) g dermed, at: h B c sin A c Og tilsvarende gøres med de øvrige højder. Fr en højde, der falder udenfr trekanten sm f.eks. h B på figur. ), anvender vi gså sætning. på ABD (se figur.). Vi ser her, at h B sin( BAD) g dermed, at: h B c sin( BAD) c hvr BAD er vinklen ved punktet A i ABD (emærk skrivemåden!). B h B D A c c B h B D A Fig.. Fig.. C C Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

- - Da BAD 80 A (vervej!), ser vi, at h B c sin(80 A), g ved anvendelse af sætning. ) får vi endelig, at h B c sin( A) eller krtere anført: h B c sin A. Og tilsvarende gøres med andre højder, der falder udenfr trekanten. Hermed er eviset fr punkt ) gennemført. Ad ): Hvis vi i ligningssystemet a sin C c sin A a c sin B fra punkt ) dividerer veralt med Hermed er sætning.8 evist. a c, så får vi (vervej!): sin A a sin B sin C c Bemærk: a) Sinusrelatinerne gælder gså fr retvinklede trekanter, men det kan fr sådanne edre etale sig at anvende sætning.! ) Sinusrelatinerne kan gså skrives: a sin A sin B c sin C Eksempel.9: Betragt ABC, hvr a, 5 g B 55. (Læseren pfrdres til at lave en skitse). Vi vil estemme de ukendte sider g vinkler. sin A sin B Ud fra sinusrelatinen: får vi (kntrllér!): a sin A sin(55 ) sin(55 ) sin A sin A 0,4949 5 5 Da sin (0,4949) 9,44 er der ifølge eksempel.6 a) t mulige værdier fr A: A 9,44 A 50,56 I dette tilfælde giver det tvetydige svar dg ikke anledning til prlemer, idet vi ved, at B 55 g at vinkelsummen i en trekant er 80, hvrmed muligheden A 50,56 kan udelukkes. Vi finder altså: A 9,44 g dermed C 80 (9,44 + 55 ), dvs. C 95,56. sin C sin B Vi mangler nu kun at finde den ukendte side c. Ud fra sinusrelatinen: får vi: c sin(95,56 ) sin(55 ), hvilket giver s (kntrllér!), at: c 6,075. c 5 Eksempel.0. Om PQR plyses, at p 4, q 5 g P 4. Ud fra sinusrelatinen: Da sin (0,864) sin P p 56,76 sin Q får vi: q sin(4 4 ) sin Q g dermed: sin Q 0,864 5 er der t mulige værdier fr Q: Q 56,76 Q,4 Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

- - I mdsætning til i eksempel.8, kan ingen af disse muligheder udelukkes (kntrllér), hvrmed der er t mulige trekanter PQR, der passer til de pgivne infrmatiner (kntrllér resultaterne!): ) P 4, Q 56,76 g R 8,4, samt r 5,908 ) P 4, Q,4 g R 4,76, samt r,5 På figur.4 er vist, hvrdan disse løsninger hænger sammen. Det ses, at en cirkel med centrum i R g med radius 4 skærer P s venstre en t frskellige steder, svarende til t frskellige mulige placeringer af punktet Q g dermed til de t frskellige sæt værdier af Q g r. Q 4 Q 4 P 5 R Fig..4 Vi kalder de t mulige placeringer af punktet Q fr Q g Q, hvrmed de t mulige trekanter, der pfylder etingelserne er: PRQ g PRQ. Sammenlign med resultaterne fr r g fr R. Øvelse.. Find de ukendte sider g vinkler fr PQR i eksempel.0, idet længden af p ændres til: p 6. Øvelse.. Betragt DEF, hvr d 5,, f 6,9 g F 8,6. Beregn de ukendte sider g vinkler i trekanten. Ukendte sider g vinkler i trekanter kan gså eregnes ved hjælp de såkaldte csinus-relatiner, idet der gælder følgende sætning: Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

- 4 - Sætning.. I en vilkårlig trekant ABC (på figur.5 er tegnet t frskellige muligheder) gælder der: B B c a c a Csinusrelatinerne: a c A a a Fig..5 a) Fig..5 ) + c + c + c cs A ac cs B a cs C C A der gså kan frmuleres således: cs A a cs B a csc + c a c + c ac + c a Bevis: I eviset skal vi se på højden fra punkterne i trekanten, g sm i eviset fr sætning.8 skelner vi imellem m højden falder indenfr eller udenfr trekanten (jfr. figur.5 g.).. C Lad s først se på den situatin, der er givet ved figur.6 Vi ser, at højden h B deler trekanten i t retvinklede trekanter ADB g CDB. Hvis vi ser på ADB, så har vi ifølge sætning., at AD AD cs A g dermed, at: AD c cs A AB c Da AC g DC AC AD, ser vi at: DC c cs A (jfr. figuren). Ved at anvende Pythagras på ADB får vi: c (c cs A) + (h ) g dermed: ( h ) c (c cs A B B ) c B A D c csa h B Fig..6 a -c csa C Ved at anvende Pythagras på CDB får vi: a ( c cs A) + (h ) g dermed: ( h ) a ( c cs A Ved at sætte de t udtryk fr B B ) ( h B ) lig med hinanden får vi: c (c cs A) a ( c cs A) På højre side af lighedstegnet frekmmer kvadratet på en tleddet størrelse ( c cs A) g ved at udregne dette på sædvanlig måde (en af kvadratsætningerne) får vi i alt (kntrllér detaljerne): Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

- 5 - c c c (c cs A) a ( c cs A) (c cs A) a ( + (c cs A) c cs A) (c cs A) a (c cs A) + c cs A c a a + c cs A + c c cs A hvrmed den ønskede frmel i relatin til cs(a) er fremkmmet. På samme måde udledes de øvrige frmler, så længe den tilsvarende højde falder indenfr trekanten. Hvis højden falder udenfr trekanten, kan vi f.eks. have en situatin sm vist på figur.7 (jfr. figur. )). Vi ser, at vi her har t retvinklede trekanter, sm indehlder højden h B, nemlig: ABD g CBD. Sm før vil vi anvende Pythagras på disse t trekanter, men først vil vi finde et udtryk fr AD g fr CD. D A Fig..7 I ABD har vi ifølge sætning., at cs( DAB) AD g dermed: c AD c cs( DAB), hvr vi har anvendt enævnelsen DAB fr at få vinklen ved punktet A i denne trekant. Vi ser hermed gså, at CD + c cs( DAB). I ABD får vi v.hj.a. Pythagras g mskrivning, at: h B c (c cs( DAB)) Og i CBD får vi tilsvarende, at: h B a ( + c cs( DAB)) Ved at sætte de t udtryk fr ( h B ) lig med hinanden g fretagende mskrivninger sm venfr får vi: c (c cs( DAB)) a ( + c cs( DAB)) c c (c cs( DAB)) a ( + (c cs( DAB)) + c cs( DAB)) (c cs( DAB)) a (c cs( DAB)) c cs( DAB) c a c cs( DAB) a + c + c cs( DAB) Dette ligner ikke helt det rigtige resultat. Men vi må her huske på, at der i den sidste frmel står csinus til DAB, sm ligger i ABD, mens vi i sætningen skal have fat på A i ABC. Sm det fremgår af figur.7 har vi: DAB 80 A, hvrmed vi ifølge sætning. ) får: cs( DAB) cs(80 A) cs( A) Hvis vi indsætter dette i den netp eviste frmel: a + c + c cs( DAB), så får vi: a + c + c ( cs( A)) dvs. a + c c cs A hvrmed det ønskede resultat er pnået. På samme måde udledes de øvrige frmler, hvr den tilsvarende højde falder udenfr trekanten. De alternative frmler i csinus-relatinerne fremkmmer ved at islere csinus til vinklen. Dette verlades til læseren sm en øvelse. Hermed er sætning. evist. h B B c a C Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

- 6 - Eksempel.4. Betragt ABC, hvr a, 6 g c 4 (se figur.8). Vi vil gerne estemme trekantens vinkler. Vi emærker, at der ikke er pgivet ngen vinkel, hvrmed sinusrelatinerne ikke kan ringes i anvendelse. Men csinus-relatinerne redder situatinen idet vi har: + c a 6 cs A c hvraf vi ser, at A 6,8. + 4 6 4 0,8958 a + c + 4 6 Tilsvarende ser vi, at: cs B -0,458 B 7,8 ac 4 Endelig kan vinkel C findes enten ved endnu en anvendelse af csinus-relatinerne (kntrllér) eller ud fra, at vinkelsummen i trekant er 80. Vi får: C 6,4. A 4 6 B Fig..8 C Eksempel.5. Lad s prøve at se på prlemstillingen fra eksempel.0 g se, hvrdan csinus-relatinerne virker i denne sammenhæng: Om PQR plyses, at p 4, q 5 g P 4. Ifølge csinus-relatinerne får vi (vervej!): 4 r + 5 r 5 cs(4 ) r 7,445 r + 9 0 dvs. vi skal løse en andengradsligning fr at finde den ukendte side r. Da diskriminanten er 9,64 ser vi, at der er t løsninger. Der er altså tale m et tvetydigt tilfælde. Disse løsninger findes (kntrllér!): r 5,908 r,5, altså præcis de samme værdier sm vi fandt i eksempel.0. Fr at finde vinklerne, kan vi herefter anvende csinus-relatinerne: ),5 + 4 5 cs(q) cs( Q) 0, 548 Q,5,5 4 5,908 + 4 5 ) cs(q ) cs( Q ) 0, 548 Q 56,76 5,908 4 altså præcis de samme resultater sm i eksempel.0 (på nær en afrundingsfrskel på sidste ciffer). Den ukendte vinkel R kan herefter findes ud fra, at vinkelsummen i en trekant er 80. Øvelse.6. I ABC gælder der, at C 0, a 4,4 g 6,65. Beregn de ukendte sider g vinkler. Øvelse.7. I DEF gælder der, at d 6,97, e 4,8 g f 5,6. Beregn de ukendte sider g vinkler. Øvelse.8. I ABC gælder der, at C 8,6, a 5,9 g 7,. Beregn de ukendte sider g vinkler. Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

- 7 - Øvelse.9. Løs prlemstillingen i eksempel.8 v.hj.a. csinus-relatinerne. Bemærk, at hvis det er muligt at ruge csinus-relatinerne i frindelse med estemmelse af en ukendt vinkel, så kan det almindeligvis edst etale sig at ruge disse i stedet fr sinus-relatinerne, idet man da undgår tvetydighed m vinklens størrelse, hvr der ikke er grund til det. Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

- 8 - Kap. : Trignmetriske funktiner g radianer. Radianer sm vinkelmål. I egyndelsen af kapitel så vi på, hvrdan grader sm mål fr en vinkels størrelse defineres. Vi vil nu indføre endnu et vinkelmål. Vi etragter denne gang en speciel cirkel med centrum i vinklens tppunkt, nemlig en cirkel med radius (en enhedscirkel). Vinklens størrelse sættes da lig med længden af den cirkelue, sm vinklen afskærer (se figur.). Vi siger da, at vi har angivet radiantallet fr vinklen. Vi kan således angive følgende definitin: Definitin.. Ved radiantallet v fr en vinkel frstås længden af den cirkelue, sm vinklen afskærer på en enhedscirkel med centrum i vinklens tppunkt. Fig.. Eksempel.. a) Radiantallet fr en ret vinkel er π, idet en ret vinkel afskærer 4 af cirkelperiferien (sm på en enhedscirkel har længden π). ) På nedenstående figur. er afsat vinkler med radiantallene,,, 4 g 5. Fig.. Hvis vi vender tilage til figur., hvrm der gjaldt udtrykket: s s r, g hvis vi her specielt r ser på den situatin, hvr r (dvs. hvis vi etragter en enhedscirkel), så får vi: s s r. Og hvis radiantallet fr den pågældende vinkel er v, så har vi ifølge definitin., at s v, g dermed i alt, at s v r. Vi har dermed evist følgende sætning: Sætning.. En vinkel med radiantallet v, sm anringes med tppunkt i centrum af en cirkel med radius r, vil afskære et uestykke s på denne cirkel med længden: s v r Fig.. r v s Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

- 9 - Vi vil nu finde en mregningsfaktr mellem vinkler angivet i grader g vinkler angivet i radianer. En vinkel på 80 afskærer halvdelen af cirkelperiferien på en enhedscirkel med centrum i vinklens tppunkt (se figur.4). Da enhedscirklens periferi har længden π r π (idet r ), får vi: 80 π radianer, g dermed: π 80 radianer g tilsvarende: radian 80 π Heraf ser vi, at der gælder følgende sætning: Sætning.4. a) En vinkel på v π har radiantallet: v 80 ) En vinkel med radiantallet w har gradtallet: 80 w π Fig..4 Eksempel.5. Der gælder følgende sammenhæng mellem ngle estemte pæne vinklers gradtal g radiantal: Grader 0 0 45 60 90 0 5 50 80 Radiantal 0 π 6 Dette ses v.hj.a. sætning.4, idet vi f.eks. har: 0 π 0 80 radianer π 4 π π π π 4 π π radianer g 6 4 5π 6 π 80 π π 4 5. Det skal emærkes, at de fleste af de regnemaskiner, der anvendes i undervisningen (herunder TI 8/84 serien) har en speciel tast til angivelse af π med et vist (strt) antal decimaler. π er et irratinalt tal, men med 9 decimalers nøjagtighed er π cirka givet ved: π,459654. Eksempel.6. Ifølge sætning.4 har vi, at hvis en vinkel er 8, π, så er radiantallet: 8, 80 0,494 hvis en vinkel har radiantallet,8, så er gradtallet: 80,8 π 4,9 Øvelse.7. a) Omregn følgende vinkler, sm er angivet i grader, til radiantal:, 49,6, 7,4, 4 ) Omregn følgende vinkler, sm er angivet i radiantal, til grader:,, 0,64,,89, 5, Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

- 0 - Sinus g csinus. Sinus g csinus til en vinkel angivet i radianer defineres på præcis samme måde, sm da vinklen var angivet i grader (jfr. kapitel ): Hvis vi har en vinkel af størrelsen v, så placeres vinklens tppunkt i et krdinatsystem i punktet (0,0), således at vinklens højre en falder sammen med den psitive del af.aksen (se figur.5). Vinklens venstre en vil da skære enhedscirklen (med centrum i (0,0)) i et punkt P, sm kaldes retningspunktet fr vinklen. Punktet P s krdinater er pr. definitin lig med (cs v,sin v), dvs. cs v er den værdi, der fremkmmer på.aksen, når P prjiceres ned på.aksen; g tilsvarende med sin v. Fig..5 I frhld til at finde sinus-værdien eller csinus-værdien af en given vinkel, er det altså underrdnet, m vi måler vinklen i radianer eller i grader. sin v g cs v liver de samme tal. Dermed gælder de sætninger, der er vist i kapitel i relatin til trekanter, gså, hvis vinklerne måles i radianer. Øvelse.8. a) Argumentér fr, at der gælder følgende frmler: sin( π v) sin v g cs( π v) cs v ) Vis (v.hj.a. a) samt Pythagras anvendt på passende trekanter ved enhedscirklen), at der gælder: v 0 sin(v) 0 cs(v) π 6 π 4 π π 0 π π 4 5π 6 π 0 Vejledning til π : Afsætn retningspunktet P fr π. Frind P med punktet O (0,0) g E (,0) Gør rede fr, at OPE er ligesidet, g at P s prjektin på OE er midtpunktet af OE. Brug dette. Vejledning til 6 π : Afsætn retningspunktet P fr 6 π. Frind P med punktet O (0,0) g P s spejlillede Q i.aksen. Gør rede fr, at OPQ er ligesidet, g at.aksen skærer PQ i midtpunktet. Brug dette. Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

- - Det skal emærkes, at når vi eskæftiger s med trignmetriske funktiner (sm sinus g csinus), så udelades etegnelsen radianer ftest ved vinkelangivelser. Vi taler således lt m sinus til (sin()) i stedet fr sinus til radianer. Dette stemmer gså fint verens med det følgende, hvr det frklares, hvrdan vi kan finde sinus g csinus til et vilkårligt tal x R. Vi frestiller s en tallinie anragt vinkelret på.aksen i punktet E (,0), således at talliniens nulpunkt falder sammen med punktet E (se figur.6 a)). Derefter vikles tallinien rundt m enhedscirklen, således at den psitive del drejes md urets mløsretning denne retning kaldes den psitive mløsretning, medens den negative del af tallinien drejes med uret dette kaldes den negative mløsretning. (Se figur.6 ) g c)). Fig..6 Der vil dermed fr alle tal x R være en entydig estemt placering på enhedscirklen. Denne placering kaldes retningspunktet fr tallet x, g cs x g sin x defineres ud fra retningspunktet på præcis samme måde sm vist på figur.5. Det ses hermed (vervej!), at: Dm(cs) Dm(sin) R g Vm(cs) Vm(sin) [ ;] Når vi v.hj.a. grafregneren skal finde sinus eller csinus til et tal, skal regnemaskinen være indstillet på radianer, idet dette netp stemmer verens med at finde værdierne til et tal (vervej dette!). Øvelse.9. a) Find placeringen af følgende tal på enhedscirklen (tegn en enhedscirkel g markér punkterne): 0000,, 5,7, 0,, 0, 4567 π, 088, 0,0456 (v.hj.a. en lang række støttepunkter fr grafen!!). ) Find sin(x) fr hver af følgende værdier at tallet x: 507, 8,, c) Skitser grafen fr cs(x), x [ 0;7] Det ses (vervej!), at tallene... x π, x π, x π, x, x + π, x + π, x + π,... alle har samme retningspunkt (liver placeret i samme punkt på enhedscirklen), idet enhedscirklens mkreds er π. Dette kan skrives således: Retningspunkterne fr tallene: x + p π, p Z, er sammenfaldende. Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

- - Vi ser derfr, at der fr alle p Z gælder, at sin( x + p π) sin x cs( x + p π) cs x I denne frindelse siger vi, at sin g cs er peridiske (dvs. gentager sig selv) med periden π. Sinus g csinus får således følgende grafiske illeder (hvr vi gså har anvendt øvelse.9): sin - - - 4 5 6 7 8 9 - cs - - - 4 5 6 7 8 9 - Fig..7 Afslutningsvist skal det mtales, at vi (sm allerede gjrt) kan skrive sin x eller sin(x) efter ehag. Det samme gælder f.eks. sin x eller sin(x). Men j mere kmplekst et udtryk vi har stående sm den variale til funktinen sinus (eller csinus), dest mere nødvendige liver funktinsparenteserne. Se f.eks. sin( x + p π) i det venstående. Her kan parenteserne ikke undværes. Det skal ligeledes emærkes, at vi skriver f.eks. sin x i stedet fr g f.eks. cs (4x) i stedet fr (cs( 4x)), dvs. cs (4x) (sin x), dvs. (cs( 4x)). sin x (sin x), Harmniske funktiner. Funktiner af typen: f(x) A sin(x + c) g g(x) A cs(x + c) hvr A, g c er givne tal (A 0 g 0) kaldes harmniske funktiner. Funktiner af denne type ruges l.a. til at eskrive svingninger af frskellig slags (se kap. 4), g i den sammenhæng siges funktinerne at eskrive harmniske svingninger. Vi vil undersøge etydningen af hvert af tallene A, g c. Men inden vi gør dette, skal det først emærkes, at: vi i det følgende får rug fr at fretage parallelfrskydninger g rette affiniteter fr funktiners grafer. Der henvises i denne sammenhæng til den generelle teri herm i Appendix. Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

- - π π da cs( x) sin x + (jfr. den nedenstående øvelse.5), er cs( x + c) sinx + c + π Hvis vi sætter c c +, så ser vi, at A cs(x + c) A sin(x + c). Funktinen g(x) er altså af typen f(x), hvrfr vi i det følgende kun vil undersøge denne type funktiner. hvis vi ser på funktinen h(x) A sin(x + c) + d, hvr d er et givet tal, så vil grafen fr h(x) fremkmme af grafen fr f(x) ved en parallelfrskydning i.aksens retning (der lægges tallet d til alle funktinsværdier). Måden h(x) g f(x) svinger på er imidlertid den samme, så vi vil i det følgende kun se på f(x). i praktiske anvendelser er tiden ftest den variale. Vi vil derfr i mdeleksempler enævne den variale med et t i stedet fr x, hvrmed vi da ser på funktiner af typen: f(t) A sin( t + c) Øvelse.0. Tegn (v.hj.a. grafregneren eller et graftegningsprgram) graferne fr de tre funktiner: f (x) 0,5 sin(x), f (x) sin(x), f (x) sin( x ) i samme krdinatsystem g prøv at kmmentere resultatet.. tilfælde: A g c 0. I dette tilfælde er funktinsfrskriften givet ved: f(x) sin( x). Det er altså etydningen af, vi vil se nærmere på her. Vi vil først se på et eksempel: f(x) sin(x). Lad ( x, y ) være et vilkårligt punkt på grafen fr f (se figur.8). Da der m et punkt på grafen gælder, at f (x ) y, ser vi, at y sin(x ). Dette etyder gså, at punktet ( x, y ) ligger på grafen fr sin. Vi får således, at grafen fr funktinen f fremkmmer ved at halvere.krdinaten g ehlde.krdinaten fr punkterne på grafen fr funktinen sin. Denne peratin kaldes (sm mtalt i Appendix ) fr en ret affinitet i.aksen med frvandlingstallet. Grafen fr f(x) sin(x) ser dermed ud sm vist på figur.8. Det skal emærkes, at f(x) sin(x) er peridisk med periden π, idet: f (x + π) sin((x + π)) sin(x + π) sin(x) f (x) Fig..8 Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

- 4 - På samme måde fås eksempelvis graferne fr sin(0,7x) g sin(4x): sin(0,7x) sin(x) - - - 4 5 6 7 8 9 - Fig..9 sin(4x) sin(x) - - - 4 5 6 7 8 9 - Fig..0 Vi ser, at sin(4x) svinger 4 gange så hurtigt sm sin(x), g at sin(0,7x) svinger 0,7 gange så hurtigt sm sin(x) svarende til, at graferne fr de t funktiner fremkmmer ved rette affiniteter m 0.aksen med frvandlingstallene 4 hhv. (,486) 0,7 7 Øvelse.. π π Vis, at sin(4x) er peridisk med periden, g at sin(0,7x) er peridisk med periden 0, 7 Generelt gælder der følgende sætning: Sætning. sin(x) svinger gange så hurtigt sm sin(x), g sin(x) er peridisk med periden Bevis: Ifølge sætning A..5, har vi, at grafen fr f(x) sin(x) fremkmmer af grafen fr sin(x) v.hj.a. en x ret affinitet i.aksen med frvandlingstallet. Dette fremgår af, at x x, hvraf det ses, at størrelsen h i sætning A..5 er lig med. Længden af én hel svingning fr sin(x) er altså af længden af én hel svingning fr sin(x), hvrmed det ses, at sin(x) svinger gang så hurtigt sm sin(x). Af samme årsag liver periden fr sin(x) lig med af periden fr sin(x) g den er sm tidligere mtalt π. At funktinen f(x) sin(x) er peridisk med periden π π kan gså indses på følgende måde: Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

- 5 - π π f (x + ) sin((x + )) sin(x + π) sin(x) f(x). Idéen til størrelsen af periden P kan man i øvrigt gså få gennem følgende etragtning: Da sin er peridisk med periden π, skal der gælde, at når.krdinaten frøges med P, så frøges det man π tager sinus til med π. Der skal altså gælde: (x + P) x + π, hvraf vi finder, at P Hermed er sætningen evist. Bemærk, at hvis tiden er den variale, (f.eks. hvis vi ser på en ølge i et givet punkt), så kaldes periden fr svingningstiden T, g der gælder, at T. Svingningstiden er det stykke tid, der π går, fra ølgen er f.eks. i tppen til den igen er i tppen.. tilfælde: c 0. I dette tilfælde er funktinsfrskriften givet ved: f(x) A sin( x). Da etydningen af er gennemgået venfr, er det altså etydningen af A, vi vil se nærmere på her. Tallet A kaldes amplituden fr svingningen. Vi vil først se på et eksempel: g(x) sin(x), dvs. A (g ). Lad (x,y ) være et punkt på grafen fr g (se figur.). Da der m et punkt på grafen gælder, at g (x ) y, ser vi, at y sin(x ). Dette etyder gså, at punktet ( x, y ) ligger på grafen fr sin. Vi får således, at grafen fr funktinen g fremkmmer ved at ehlde.krdinaten g frdle.krdinaten fr punkterne på grafen fr funktinen sin. Denne peratin kaldes (sm mtalt i Appendix ) fr en ret affinitet i.aksen med frvandlingstallet. Grafen fr g(x) sin(x) ser dermed ud sm vist på figur.. Fig.. På samme måde fås eksempelvis graferne fr 0,5sin(0,7x) g,5sin(4x) : sin( 0,7x) 0,5sin(0,7x) -5-4 - - - 4 5 6 7 8 9 - Fig.. Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

- 6 -,5sin(4x) sin( 4x) -5-4 - - - 4 5 6 7 8 9 - - - Fig.. Øvelse.. Tegn graferne fr følgende funktiner (v.hj.a. et graftegningsprgram): ),sin(x) ) cs(0,5x) ) 0,sin(0x ) 4) 5cs(π x) Kmmentér resultaterne g angiv periden fr hver af funktinerne.. tilfælde: c 0. I dette tilfælde er frskriften givet ved: f(x) A sin(x + c). Da etydningen af A g er gennemgået venfr, er det etydningen af c, der skal mtales. Men sm det skal vise sig, spiller værdien af gså en rlle fr etydningen af c. Tallet c kaldes startfasen eller egyndelsesfasen fr svingningen. Eksempel.4. Vi vil estemme udseendet af grafen fr funktinen: f(x) sin(x + ). Vi starter med at se på funktinen h(x) sin(x), hvis udseende er velkendt ifølge venstående eskrivelse af. g. tilfælde. Det ses, at f(x) (x ( )), idet: h h (x ( )) sin((x ( )) sin((x + )) sin(x + ) f(x) Ifølge sætning A.. får vi dermed, at grafen fr f fremkmmer af grafen fr h ved at parallelfrskyde grafen fr h stykket langs.aksen. Se figur.4. h f -5-4 - - - 4 5 6 7 8 9 - - - Fig..4 Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

- 7 - På samme måde sm i eksempel.4 indses (vervej/kntrllér), at: Grafen fr f(x) A sin(x + c) fremkmmer ved at parallelfrskyde c grafen fr h(x) A sin(x) stykket langs.aksen. Øvelse.5. Tegn graferne fr følgende funktiner (v.hj.a. et graftegningsprgram) (Jfr. øvelse.): ),sin(x ) ) cs(0,5x + 0) ) 0,sin(0x 5) 4) 5cs(π x + π) Kmmentér resultaterne. Tangens. Funktinen tangens er sm mtalt i kapitel defineret ved: tan x sin x, g dette gælder uanset cs x m x er en vinkel målt i grader eller radianer, eller m x er et tal. tan x er defineret fr alle de tal x, hvr cs x 0, dvs. Dm(tan) { x R π x + p π, p Z} (Læseren pfrdres til at finde placeringen på enhedscirklen af de tal, hvr tan ikke er defineret!). V.hj.a. en enhedscirkel kan vi, sm mtalt g evist i kapitel, få et indtryk af, hvrdan tan x varierer, når x varierer. På figur.5 er vist retningspunkterne P x g P y fr t tal x g y, samt hvrdan tan x hhv. tan y findes v.hj.a. linien, der går parallelt med.aksen igennem punktet E (,0). tan P y P x (, tanx) E (, tany) Fig..5 Fig..6 Også tan x kan findes på grafregneren (husk at indstille den til radianer ). Ved at udregne en passende mængde støttepunkter, samt ved anvendelse af kendska til Dm(tan) g metden på figur.5, ser vi, at grafen fr tan har et udseende sm vist på figur.6. Vi ser gså (vervej!), at Vm(tan) R. Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

- 8 - Det ser af grafen ud til, at tan er peridisk med periden π, dvs. at der fr alle x Dm(tan) gælder, at tan( x + π) tan x. At dette rent faktisk er tilfældet indses ved at løse nedenstående øvelse. i afsnittet m mskrivningsfrmler fr sinus, csinus g tangens. Øvelse.6. Vis v.hj.a. øvelse.8, at følgende tael ver tangens-værdier er krrekt: v 0 π 6 π 4 π π π π 4 tan(v) 0 i.d. (i.d. etyder: ikke defineret). 5π 6 π 0 Øvelse.7. Der findes en trignmetrisk funktin ctangens (ct), sm er defineret ved: a) Argumentér fr, at Dm(ct) { x R x p π, p Z} ct( x) cs x sin x ) Argumentér fr, at ct( x) tan(x) c) Argumentér fr, at ct(v) fr et givet tal eller en given vinkel v kan findes sm vist på figur.7 Fig.7 d) Find ct(x) fr hver af følgende værdier at tallet x: 5, 8,, e) Skitsér grafen fr ct(x), ] 0; π [ ] π; π [ x π, 088, 0,0456 Trignmetriske grundligninger g uligheder. Ved en trignmetrisk grundligning frstås en ligning af typen: sin(x) a, cs(x), tan(x) c eller skrevet uden funktinsparenteser: sin x a, cs x, tan x c, hvr a, g c er givne tal. Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

- 9 - Da Vm(sin) [ ; ], har ligningen: sin(x) a kun (én eller flere) løsninger, hvis a [ ; ]. Da Vm(cs) [ ; ], har ligningen: cs(x) kun (én eller flere) løsninger, hvis [ ; ] Da Vm(tan) R, har ligningen: tan(x) c (én eller flere) løsninger fr alle c R.. Fr alle tre ligninger gælder, at en egrænsning i definitinsmængden (dvs. krav til værdien af x) kan ændre på såvel eksistensen sm på antallet af løsninger (ses i det følgende). Eksempel.8. Lad s se på ligningen: cs x. Da [ ; ] ser vi, at der må findes en løsning til denne ligning, π π g fra øvelse.8 ved vi da gså, at cs( ), hvrfr tallet er en løsning til ligningen. Da cs er peridisk med periden π, vil der imidlertid være mange andre løsninger (hvis der ikke er sat egrænsninger på x, f.eks. at x [ 0; π ] ). π Vi ser således, at alle tallene: + p π, p Z er løsninger til ligningen. På nedenstående figur.8 a) ses disse løsninger afmærket med et kryds. Men vi ser, at linien: y gså skærer grafen fr cs i en række af punkter, hvis førstekrdinat x π er markeret med en lle. Disse punkter svarer til sm vist på figur.8 ), at x gså er π en løsning til ligningen, g dermed, at alle tallene + p π, p Z er løsninger til ligningen. Vi ser altså i alt, at ligningen cs x har løsningsmængden: D π π A L Cx R x + p π x + p π ; p Z B Bemærk, at det naturligvis er nemmest at finde løsningerne v.hj.a. enhedscirklen sm antydet på figur.8 ), når man samtidig husker på, at cs er peridisk med periden π. Hvis der er en egrænsning på x, så der f.eks. frudsættes, at [ 0; π ] x, så får vi (vervej!) føl- gende løsningsmængde L til ligningen: x Fig..8 cs, [ 0; π ] x : L D C B π 5π, A Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

- 0 - Øvelse.9. Anvend øvelse.8 samt metden i eksempel.8 til at løse følgende ligninger: a) cs( x) ) cs x c) sin x d) sin(x) 0 sin x, x 0; 4π f) cs( x), x [ π; π ] e) [ ] Øvelse.0. Den trignmetriske grundligning tan(x) c løses på principielt samme måde sm ligningerne: cs(x) g sin(x) a, idet man med frdel kan anvende markeringen af tan ved enhedscirklen sm mtalt i relatin til figur.5. Man skal her lt huske på, at tan er peridisk med periden π. Løs v.hj.a. øvelse.6 følgende ligninger: a) x tan( x), x π; π c) x, x 0; π tan ) [ ] tan [ ] I eksempel.8, øvelse.9 g øvelse.0 så vi på situatiner, hvr de trignmetriske grundligninger, der skulle løses, alle havde pæne resultater, sm kunne findes v.hj.a. øvelse.8 g.6. Principielt set løses andre trignmetriske grundligninger sm f.eks. sin x 0,4 på fuldstændig samme måde rtset fra at vi liver nødt til at ruge en regnemaskine/grafregner fr at finde en løsning. Dette giver imidlertid anledning til ngle afgørende kmmentarer m mvendte funktiner. Umiddelart ville man måske sige: sin x 0,4 x sin (0,4), sm så kan findes på regnemaskinen. Men dette er frkert!! Lad s først repetere, hvrnår en given funktin f har en mvendt funktin: Betingelsen er, at f er injektiv, dvs. at der gælder: fr ethvert y Vm(f) findes netp ét x Dm(f), så f(x) y. Og hvis f er injektiv, findes den mvendte funktin ud fra følgende: y f(x) x f (y) (Vedrørende mvendte funktiner generelt: Se Appendix ). Sm det fremgår af det venstående (jfr. l.a. figur.8 a), figur.6 g figur.7), er hverken sin, cs eller tan injektive, så vi kan altså fastslå: Ingen af funktinerne sin, cs g tan har en mvendt funktin! Alligevel kan man på enhver regnemaskine g grafregner til rug i gymnasiet se, at der er taster, hvrpå der står sin, cs g tan. Dette fte frvirrende frhld har sin egrundelse i primært praktiske frhld, sm vi straks skal se. Ingen af funktinerne sin, cs eller tan har sm netp mtalt en mvendt funktin. Men hvis vi indskrænker definitinsmængderne g ser på følgende funktiner: π π π π f(x) sin(x), x ; E, g(x) cs(x), x [ ; π ], h(x) tan(x), x E ; F F så har åde f, g g h en mvendt funktin (jfr. l.a. de følgende figurer.9 a),.0 a) g. a), sm viser graferne af f, g g h). Og det er de mvendte funktiner til f, g g h, der gemmer sig ag tasterne sin, cs g tan på regnemaskinen! Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

- - Da Vm(f ) Dm(f) ses, at tasten enævnt.9). På samme måde ses, at tasten enævnt enævnt tan giver værdier i intervallet E F sin giver værdier i intervallet cs giver værdier i intervallet [ ] π π ; (jfr. figur.0 g.). π π ; E (jfr. figur F ;π, g at tasten 0.5 a sin (a) -/ / f -0.5 - a) ) Fig..9 0.5 g cs () -0.5 / - a) ) Fig..0 4 c tan (c) -/ / - h - - -4 a) ) Fig.. Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

- - Eksempel.. Vi vil i dette eksempel løse ligningen: sin x 0, 4. Ved indtegning på en enhedscirkel (se figur.) ser vi, at der i intervallet [ 0 ; π ] er t løsninger x g x. Når x g x er estemt, får vi de øvrige løsninger ved at lægge p π til (hvr p er et helt tal, dvs. p Z ). Ved anvendelse af figur.9 g den hertil hørende tekst ses, at løsningen x findes v.hj.a. regnemaskinen sm: x sin (0,4) 0,4 Løsningen x findes ud fra, at x π x, hvilket giver: x,70 (Kntrllér!). Fig.. Ligningen sin x 0, 4 har således i alt løsningsmængden: L { x R x 0,4 + p π x,70 + p π, p Z } Hvis der er en egrænsning på x, sm f.eks. i følgende ligning: x 0, 4 0,4;,70 vi løsningsmængden: L { } sin, x [ 0; π ], så får Afslutningsvist skal det emærkes, at man undertiden ser en pskrivning/eregning sm følgende: sin x 0,4 x sin (0,4) x 0,4 hvr regnemaskine-tasten sin anvendes til at finde værdien af x. Dette er sm tidligere nævnt generelt set frkert. Prlemet er, at der i almindelighed ikke gælder ensetydende imellem den første g den anden ligning, idet dette kun krrekt, hvis x er egrænset til intervallet π π ; E. Hvis x kan antage værdier ud ver dette interval, skal der altså følges F andre veje til løsning af ligningen (sm vist venfr!). Hvis man derfr i sine eregninger kmmer til en trignmetrisk grundligning, så skal man tænke: STOP, skriv ikke mere her! Undersøg hvilke egrænsninger der er på den variale, g estem herefter de relevante løsninger v.hj.a enhedscirkel g regnemaskine. Øvelse.. Løs ligningerne: a) cs(x) 0,4, x π π ; E F ) sin(x), c) cs(x) 0,6 Øvelse.. Løs ligningerne: a) x, 54 tan ) tan(x) 0,8 c) tan(x),47, [ π; π ] x Eksempel.4. Vi vil i dette eksempel løse ligningen: cs(0,7x 4) 0,8, 0 x 5 Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

- - Vi emærker straks t ting: Fr det første er der ikke tale m en trignmetrisk grundligning, idet der ikke står csinus til en variael, men csinus til et udtryk indehldende en variael (der er altså tale m en sammensat funktin). Fr det andet er der en særlig egrænsning på denne variale. Dette prlem kan løses ved at indføre en hjælpevariael y 0,7x 4, g så først eregne hvilke egrænsninger der er på denne nye variale. Der gælder her følgende: 0 x 5 0 0,7x 0,7 5 4 0,7x 4 0,7 5 4 4 y 6,5 Vi skal altså i første mgang løse den trignmetriske grundligning: cs(y) 0,8, y [ 4;6,5 ] Det verlades sm en øvelse til læseren at vise, at denne ligning har løsningerne: y 0,645 y 0,645 y 5,697 samt i frindelse hermed at tegne en enhedscirkel, der åde viser indtegning af de relevante retningspunkter fr ligningen g af egrænsningsintervallet [ 4;6,5 ] fr værdien af y. Ved at vende tilage til den variale x får vi dermed følgende resultater: 0,7x 4 0,645 0,7x 4 0,645 0,7x 4 5,697 hvraf vi får (kntrllér!), at: x 4,7950 x 6,66 x,770 Det skal emærkes, at eregningen af såvel egrænsningen på y sm estemmelse af x ud fra de y + 4 fundne y-værdier gså kan gennemføres ved først at knstatere, at: y 0,7x 4 x 0,7 y + 4 idet vi da f.eks. har (vervej!), at: 0 x 5 0 5 4 y 6,5. 0,7 Øvelse.5. Løs ligningen: tan( 5 0,6x) 7,4, x [ 0;0 ] V.hj.a. løsningerne til de trignmetriske grundligninger kan vi nu løse uligheder af typen: cs x a, sin x > a, tan(x) < g lignende trignmetriske grunduligheder. Eksempel.6. Lad s prøve at løse uligheden: sin x >, x [ 0; π ] Det gør vi ved først at løse ligningen: sin x, x [ 0; π ] Sm vist på figur. er løsningerne til denne ligning lig π π med g. Og sm det fremgår af figuren, er løs- Fig.. 4 4 Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

- 4 - π π ningsmængden til uligheden dermed givet ved: E ; F 4 4 x 0; π med, kan løsningsmængden L f.eks. anføres således: Hvis vi ikke har restriktinen [ ] D π π A L Cx + p π p Z x E ; eller B F 4 4 D π π A L Cx R + p π < x < + p π, p Z B 4 4 (Overvej såvel pskrivning sm resultat nærmere!). Eksempel.7. Vi vil løse uligheden: 0 tan x, x [ 0; π ] Ligningen x, x [ 0; π ] g 4,49, g ligningen x 0, x [ 0; π ] tan har løsningerne:,07 tan har løsningerne 0 g π. Ved hjælp af disse løsninger g figur.4 ser vi, at løsningsmængden L til uligheden er: L [ 0;,07 ] [ π; 4,49 ] Øvelse.8. Løs følgende uligheder: a) cs x π π ) < sin x < 0, x ; c) sin x 0,, x [ 0; π ] tan( x) > 0,64, x π; π d) ] [ E F Fig..4 Øvelse.9. Løs følgende uligheder: cs( x), x 0; π sin( x + 5) > 0,74, x a) [ ] ) [ ;,5 ] Omskrivningsfrmler fr sinus, csinus g tangens. Der findes mange mskrivningsfrmler fr de trignmetriske funktiner, herunder såkaldte vergangsfrmler, grundfrmler, additinsfrmler, frmler med delt variael, lgaritmiske frmler. I denne sammenhæng anfører vi først følgende versigtssætning fr sinus g csinus: Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

- 5 - Sætning.0. (Omskrivningsfrmler fr sinus g csinus) Overgangsfrmler: ) sin( x) sin x ) cs( x) cs x ) sin( π x) sin x 4) cs( π x) cs x 5) sin( π + x) sin x 6) cs( π + x) cs x π 7) sin x cs x Grundfrmel: 9) sin x + cs x π π 8) cs x sin x cs x Additinsfrmler: 0) cs( u v) cs u cs v + sin u sin v ) cs( u + v) cs u cs v sin u sin v ) sin( u v) sin u cs v cs u sin v ) sin( u + v) sin u cs v + cs u sin v Frmler med delt variael: 4) cs(u) cs u sin u cs u sin u 5) sin( u) sin u cs u Lgaritmiske frmler: x + y x y x + y x y 6) sin x + sin y sin cs 7) sin x sin y cs sin x + y x y x + y x y 8) cs x + cs y cs cs 9) cs x cs y sin sin Det skal emærkes, at frmlerne 9-9 gså gælder, når vinklerne regnes i grader!! Bevis: Overgangsfrmlerne ) 6): Da retningspunkterne fr x g x ligger symmetrisk mkring.aksen (se figur.5 a)), ser vi, at sin( x) sin x g cs( x) cs x Fig..5 Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

- 6 - Da retningspunkterne fr x g π x ligger symmetrisk mkring.aksen (se figur.5 )), ser vi, at sin( π x) sin x g cs( π x) cs x Da retningspunkterne fr x g π+x ligger symmetrisk mkring (0,0) (se figur.5 c)), ser vi, at sin( π + x) sin x g cs( π + x) cs x Overgangsfrmlerne 7) g 8): Lad P være retningspunktet fr x, g lad P være spejlilledet af P ved en spejling i linien y x. π Sm det fremgår af figur.6, er P retningspunkt fr x. (Overvej, at dette gså er tilfældet med punkterne P g P på figuren). Fig..6 Krdinaterne til P g P er således givet ved: π π P (cs x,sin x) g P (cs x,sin x) Sm ekendt (ellers se Appendix 4) ytter en spejling i linien y x m på. g. krdinaterne til det punkt der spejles. Vi har derfr, at π π sin x cs x g cs x sin x π π π Da der ifølge mskrivningsfrmel ) gælder, at: cs x cs + x cs x, har vi hermed alt i alt vist frmlerne 7) g 8). π π Bemærk, at frmlen: sin x cs x eskriver, at grafen fr sinus er frskudt langs.aksen i frhld til grafen fr csinus, hvilket stemmer fint verens med figur.6. (Jfr. Appendix ). Grundfrmlen 9): Sm ekendt (ellers se Appendix 5) er afstanden mellem t punkter A g B med krdinaterne: A ( x, y) g B ( x, y) givet ved frmlen: AB x) + (y y) (x. Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller

- 7 - Afstanden mellem retningspunktet P (cs x,sin x) fr x g enhedscirklens centrum O (0,0) er radius i enhedscirklen (vervej, lav en figur), dvs. vi har: hvraf vi ser, at: sin x + cs x OP (cs x 0) + (sin x 0), Additinsfrmlerne 0) ): Additinsfrmlen 0): cs( u v) cs u cs v + sin u sin v evises ved at løse nedenstående øvelse.. (Læsere, der har lært m vektrer, kan se et alternativt evis fr frmlen i Appendix 6). De tre øvrige additinsfrmler evises herefter ved passende mskrivninger af frmel 0): Ved at etragte tallet v i stedet fr v, får vi således: cs( u + v) cs(u ( v)) csu cs( v) + sin u sin( v) hvr vi har anvendt vergangsfrmlerne ) g ). csu cs v sin u sin v π Ved at etragte tallet u i stedet fr u, får vi herefter: π π π cs u + v cs u cs v sin u sin v hvr vi har anvendt vergangsfrmlerne 7) g 8). Da vi desuden har, at π π cs u + v cs (u v) sin(u v) ser vi alt i alt, at: sin( u v) sin u cs v cs u sin v. sin u cs v cs u sin v Hvis endelig vi heri indsætter v i stedet fr v, så får vi (vervej), at sin( u + v) sin u cs v + cs u sin v hvrmed additinsfrmlerne 0) ) er evist. Frmler med delt variael 4) g 5): Frmlen: cs(u) cs u sin u fremkmmer af additinsfrmel ), hvr der anvendes v u samt den mtalte skrivemåde, at Frmlen: cs (cs u) cs u g (sin u) sin u (Overvej!) u sin u cs u sin u fremkmmer ved at anvende grundfrmel 9) til at finde hhv. sin u g cs u. (Detaljerne verlades til læseren!). Frmlen: sin( u) sin u cs u fremkmmer af additinsfrmel ) ved at anvende v u. De lgaritmiske frmler 6) 9): x + y x y Hvis vi sætter u g v, hvr x g y er vilkårligt, givne tal, så ser vi, at: x + y x y x + y + x y x u + v + x g x + y x y x + y (x y) y u v y Ved anvendelse af additinsfrmlerne ) g ) får vi hermed: Steen Bentzen: Matematik fr Gymnasiet. Trignmetriske funktiner g matematiske mdeller