Vide Om Vid oftere, stop i tide Spørgsmål og svar Idhold Risici og relevas 2 Steffe Aderse Sadsyligheder 5 Per Hedegård Spørgsmål til eksperte 7 Thomas Aderse Til 8 Rasmus Østergaard Pederse E sikker strategi ved roulette 9 Marti Kostatiovitsch Sadsylighed 11 Niels Herik Jese Sadsylighed 11 Lars Rolad Capio Formel for sasylighed for at vide i lotto 13 Guar Bruu Et spil 13 Klaus Olsbjerg Jese Spørgsmål til 15 Simo Ollig Rebsdorf 1
Risici og relevas Steffe Aderse Jeg så med forudrig udsedelse»vide OM«i går på DR2. Udsedelse hadlede om optimale stopregler, sadsyligheder og risici i det hele taget, både i spil og i adre a livets facetter hvor idivider tager beslutiger. Jeg blevet meget forvirret, og overvejede om DR (+ måske de måde spørgsmålet og emet er blevet fremlagt for ekspertere) fuldstædig har misforstået begrebet risici og forvetet gevist/udfald. Poite med at tege e livsforsikrig, eller ikke at gå efter det»maximale«stop tidspukt i Deal or No deal er NETOP at ma ikke ka atage e geemsits-betragtig. Dette begreb»geemsitlig ka det ikke betale sig«som blev beyttet i flæg er fuldstædigt irrelevat. TV2 lader dig ikke spille»deal or No Deal«117 gage for at opå e geemsitlig maksimal pris. Gud lader dig heller ikke dø 117 gage for at fide ud af om det geemsitlig betale sig at tege livsforsikrige. Hele eksemplet med de optimale stopregel på parkerigsplads er derfor også lidt sjovt. Hvad hvis mi koe ligger og er i gag med at føde på hospitalet? Tør jeg så beytte de optimale stopregel? Det kue jo være der ku var 16 ud af de optimale 17 parkerigspladser... Det kue jo være jeg kue komme tættere på hospitalet og å fødsle, eller det kue være jeg bare smed de fora porte, og risikerede at få bile fjeret... Det er jo ikke hver dag at mi koe føder, og her ville jeg ok vælge IKKE at atage e geemsitsbetragtig... Det kue også være mi svigermor der vetede ved biografe... ville jeg så tage e ekstra chace? Dette er oget ma lære på 1 år på ethvert økoomikursus, vist i bjerg af videskabelige artikler og oget som de fleste med e basal ituitio ka sige sig selv. Meesker i IKKE eutrale over risici, og dette har INTET med at fejlvurdere sadsyligheder at gøre. Desude er det stort set ku spil som Kasio og adre meget simple spil ma ku spiller med sig selv hvor»rules ad probabilities of the game«er kedt (selv i et spil så simpelt som Lotto keder du ikke udbetaligere, da de afhæger af idbetaligere). I de fleste adre af livet facetter er det hverke mulige at karakterisere udfald eller sadsyligheder, og derfor har ma stort set ku si INTUITION at hadle ud fra. Mi spørgsmål er så: Hvor relevat er e geemsitsbetragtig hvor ma atager at folk forholder sig eutralt over for risici overhovedet? Svar Die spørgsmål berører ogle meget fudametale problemer, emlig:»hvad er e sadsylighed?«. Der er (midst) tre mulige måder at fortolke sadsyligheder på: (1) De frekvetielle fortolkig. Sadsylighede for e hædelse er lig hyppighede af hædelse i e (lag) række uafhægige getagelser af hædelse. F.eks. 2
hvis 100 kast med e møt giver»kroe«36 gage og»plat«64 gage, så er de (frekvetielle) sadsylighed for»kroe«lig 36 100. I dee fortolkig er sadsylighede for e hædelse, som ikke ka getages ikke defieret. F.eks. hædelse at Store Bælts Broe bliver edsejlet i løbet af de æste 100 år, har ikke e frekvetiel sadsylighed, me faktisk bad Folketiget i si tid et kosuletfirma om at udrege dee sadsylighed. De kom med svaret 5%. Folketiget øskede at bruge dee sadsylighed til at afgøre, om der skulle iværksættes e række (dyre) sikkerhedsforastaltiger ved Store Bælts Broe. Som bekedt blev disse sikkerhedsforastaltiger iværksat ma aså risikoe for at være for stor til at kue igoreres. I 1930 ere forsøgte vo Mises at give e præcis matematisk model for frekvetielle sadsyligheder ude syderlig held modelle ideholdt e række uløselige logiske problemer. (2) De subjektive fortolkig. Sadsylighede for e hædelse er lige de grad af overbevisig, som de perso der fremsætter de, har om hvorvidt hædelse idtræffer. F.eks. kosuletfirmaets sadsylighed på 5% for e edsejlig af Store Bælts Broe i løbet af de æste 100 år, udtrykker firmaets grad af overbevisig om hvorvidt dee hædelse vil fide sted. Subjektive sadsyligheder giver meig for ehver hædelse (også selvom de ikke ka getages), me de er subjektiv: Forskellige persoer ka have forskellige subjektive sadsyligheder for samme hædelse. Nogle sadsyligheder er både frekvetielle og subjektive: Ifølge mit forsikrigsselskab er sadsylighede for, at mit hus edbræder i løbet af æste 1 20.000 år lig. Forsikrigsselskabets sadsylighed er frekvetiel (de er baseret på e lag række observatioer af parcelhuse, der»liger«mit hus). For mig er sadsylighede 1 20.000 subjektiv. Hædelse»mit hus edbræder i løbet af det æste år«ka ikke getages. Til trods herfor tror jeg på sadsylighede og har teget e bradforsikrig (det ville jeg også gøre, selvom de ikke var lovpligtig). I 1933 lavede Kolmogorov e præcis matematisk model for sadsylighedsregige, som i dag er æste eerådede i sadsylighedsregige. Kolmogorovs model er e model for subjektive sadsyligheder: De specificerer ikke hvad sadsylighede for e hædelse er, me de giver de fudametale regler (aksiomer) for regig med sadsyligheder. De subjektive sadsyligheder ideholder de frekvetielle sadsyligheder i de forstad, at vi i Kolmogorovs model faktisk ka bevise at de frekvetielle sadsylighed er lig de subjektive sadsylighed. Mere præcist ka vi bevise de store tals lov: Hvis X 1, X 2,... er uafhægige tilfældige tal med samme middelværdi og samme varias, da vil de»frekvetielle middelværdi«; dvs. geemsittet S = 1 (X 1 + + X ), være ca. lig de fælles middelværdi, år blot atallet af observatioer er tilstrækkelig stor eller på»matematisk«: P ( lim S = µ ) = 1 hvor µ er de fælles middelværdi. (3) A priori fortolkige. A priori sadsylighede for e hædelse er de sadsylighed, som alle foruftige meesker ka ees om. F.eks. i almidelighed går ma 3
udfra at sadsylighede for e 6 er it et slag med e terig er lig 1 6, også ude at lave forsøg med terigkast. A priori sadsyligheder er som regel baseret på ideé om»lige mulige«udfald, og begræset til de hædelser, som alle foruftige meesker ka ees om. De opridelige model for sadsylighedsregige (B. Pascal & P. Fermat, 1654), er etop e model for a priori sadsyligheder. I dag er a priori sadsyligheder grudlaget for Bayes statistik, hvor ma starter med e apriori sadsylighed, udfører et forsøg, og bereger e posteori sadsylighed (ved hjælp af Bayes formel eller variater af dee). For at komme til die kokrete spørgsmål: I»Deal o-deal«er de relevate sadsyligheder frekvetielle for TV2 og de»geemsitlige gevist«er e reel størrelse for TV2 de spiller mage gage. For de ekelte deltager er»kald eller fald«hu/ha spiller ku é gag og de relevate sadsyligheder er således subjektive for de ekelte deltager me til trods herfor må det mest ratioelle være at idrette strategie således, at ma maksimerer si geemsitlige gevist. I hvert fald efter mi overbevisig, som selvfølgelig ka diskuteres, me jeg ka ikke se oge ade ratioal strategi. Faktisk opfattede Jakob Beroulli(1654 1705) i si berømte bog Ars cojectadi (som faktisk ideholder det første bevis for store tals lov, og som blev udgivet i 1713), sadsylighedesregige som e model for»de sude foruft«, emlig som e måde til at tage ratioale beslutiger i e tilfælgig Verde. Parkerigsproblemet: Som altid i sadsylighedsteoretiske modeller er der e række uderliggede atagelser. I parkerigsproblemet lyder de således: (a) Hædelsere»e P-plads er optaget«er uafhægige og har samme sadsylighed, som er kedt, lad os sige p. (b) Atallet af P-pladser er kedt, lad os sige d. (c) Positioe af biografe (eller hospitalet) er kedt, lad os sige udfor P-plads r.. (d) Der er opgivet e omkostig, lad os sige A, ved ikke at komme i biografe (eller på hospitalet). De optimale P-strategi giver et bestem tal, lad os sige r, som ka bereges udfra størrelsere p, d,, og A, og de optimale strategi siger:»passér de første r 1 P-pladser, tag deræst de første ledige P-plads derefter«. De præcise formel for udregige af de kritiske værdi r er eksotisk: ( { log (A d )p d (1 p) + p (1 p) p d} ) r = 1 ceil log p me hvis omkostige A ved ikke at komme i biografe (eller på hospitalet) er meget stor, så er r = 1, og du skal vælge første ledige P-plads. For hædelser i de»virkelige Verde«må ma evaluere sie sadsyligheder: (1) Ete som e frekvetiel sadsylighed. Dette gøres ved observatioer af e række»ligede«hædelser; f.eks. sadsylighede for»mit hus edbræder i løbet af det æste år«; (2) Eller som e subjektiv sadsylighed. Dette ka f.eks. gøres ved simulatioer på e computer, det var de måde, som kosuletfirmaet udregede sadsylighede for hædelse:»store Bælts Broe bliver edsejlet i løbet af de æste 100 år«. 4
Ituitioe er ige hjælp her, og de giver alt for ofte et urealistisk bud på sadsylighede. Lad mig give et simpelt eksempel. E møt kastes ige og ige, dette giver os e række af K er (»kroe«) og P er (»plat«). Lad os betragte første forekomst af PK i de rækkefølge. Da sadsylighede for PK er lig 1 2 1 2 = 1, vil ma ituitivt forvete at PK kommer cirka hver fjerde gag, og at ma således i»sit«skal vete 4 gage 4 på første forekomst af PK. Dette er faktisk korrekt, me udregige er meget lag og»tricket«. Så vidt så godt ituitioe er korrekt. Lad os betragte første forekomst af KK. Da sadsylighede for KK også er lig 1 4, er det klart at ma ligeledes i»sit«skal vete 4 gage på første forekomst af KK eller er det u også det? Geemføres beregigere, som ige er lage og»tricket«, får ma at de geemsitlige vetetid på KK er lig 6. Det er ikke så godt ituitioe er forkert. Mi ituitio siger også at de geemsitlige vetetid på KK skal være 4, me mie beregiger siger at de er lig 6, og desude viser forsøg med møtkast at 6 er korrekt. I sadsylighedsregige er der et hav af ligede eksempler, som viser at vores ituitive forestilliger om sadsyligheder er håbløst forkert og strider mod beregiger (og forsøg!). Husk også at sadsylighedsbegrebet er et yt begreb, som ku har eksisteret i ca. 450 år. Før de tid eksisterede begrebet overhovedet ikke, til trods for at spil har været kedt lige side meesket kravlede ed fra træeree og begydte at gå på to be. Dee lage erfarigsrække udviklede ikke e ituitio om sadsyligheder. Sadsyligheder Per Hedegård I udsedelse siger Hoffma-Jørgese, dels at ma ikke skal stole på si ituitio me på beregigere, og at hvis sadsylighede er 1 6 for at slå e sekser i det første slag, så er de også 1 6 hvis ma efter 100 slag ikke har slået e sekser. Mi ituitio siger mig, at det sidste absolut ikke ka passe. Sadsylighede for at slå 100 ikkeseksere i træk, givet at sadsylighede for e sekser i hvert slag er 1 6, er 1 83millioer altså e tiededel af sadsylighede for at få 7 rigtige i lotto! Jeg ved også matematikeres»ærlige terig«ikke fides i virkelighede, me er e teoretisk fiktio. Ehver rigtig terig er e fysisk virkelig tig, og det skulle være meget mærkeligt, om de var»ærlig«. Hvis jeg efter 100 slag ikke havde set e sekser, ville jeg bestemt komme i tvivl herom og sige, at sadsylighede for at teriger var»ærlig«er gaske lille og derfor og ædre mi sadsylighed for at slå e sekser i slag ummer 101. Ituitio og commo sese syes i dette tilfælde at være mere korrekt ed beregiger baseret på matematiske fiktioer som»ærlige teriger«. 5
Svar I Lotto er e hver give kombiatio overordetlig usadsylig, også de kombiatio der bliver udtrukket. Så usadsylige hædelser idtræffer! Med hesy til terige. Dette er et gammelt problem, som går tilbage til midtea f 1700-tallet, hvor de to matematikere d Alember og Daiel Beroulli diskuterede om hvorvidt terige har»hukommelse«eller ej. Daiel Beroulli påstod, at terige har ige»hukommelse«, og d Alembert påstod, at det havde de. De diskuterede problemet i mere ed 30 år ude at å til eighed. Jeg vil sige at hvis e terig ikke har vist e 6 er i 100 slag, så er de måske skæv, me på de ade side er der blevet spillet så meget teriger i løbet af de sidste cirka 6000 år (så gammel er terige), at det ikke er usadsyligt at e»ærlig terig«på et eller adet tidspukt i disse mage år ikke har vist e 6 er i 100 successive slag. Med hesy til matematiske»fiktioer«. Det er korrekt, at år vi aveder matematik (heruder sadsylighedsregig) på de»virkelige Verde«, så bygger vi på e idealiseret fiktio. Problemet er så om fiktioe fugerer i praksis. Ved at avede matematik, ka vi forudsige hvor og hvorår de æste solformørkelse idtræffer og det gør de! Matematik er ikke e aturvideskabelig discipli. Matematikkes objekt er ikke de»virkelige Verde«, me des objekt er vores ege take. Dette gør matematik til e filosofisk discipli, som af historiske årsager i dag er helagt til de aturvideskabelige fakulteter. Det er oget af et uder at matematikke faktisk fugerer i de»virkelige verde«, og ogle filosoffer går så lagt, at de siger, at matematikke er»natures sprog«. Matematikke fugerer upåklageligt i aturvideskabere, i de forstad at de giver korrekte forudsigelser. Forsikrigsselskabere er det bedste bevis for, at sadsylighedsregige fugerer i de»virkerlige Verde«. Forsikrig og sadsylighedsregig opstod cirka samtidigt (i midte af 1600-tallet), og forsikrig var de første seriøse avedelse af sadsylighedsregige. Gå ud og se forsikrigsselskaberes paladser, hvis sadsylighedsregiges»fiktio«ikke fugerede i de»virkelige Verde«, ville de ligge i ruier! Med hesy til»commo sese«: Faktisk opfattede Jakob Beroulli (1654 1705) i si berømte bog Ars cojectadi (Kuste at gætte udgivet i 1713), sadsylighedsregige som e model for»de sude foruft«, emlig som e måde til at tage ratioale beslutiger i e tilfældig Verde. 6
Spørgsmål til eksperte Thomas Aderse Det er ogle rigtig spædede udregiger der bliver beskrevet i programmet. Især det med terigere. Me jeg har u et spørgmål rettet mod poker, som jeg selv spiller e del. Jeg kue godt tæke mig at vide, hvor meget held spiller id i poker kotra skills. F.eks hvad er held procete, hvis ma spiller e Sit&Go turerig hvor blidse starter 20/40 og stiger hvert 10. miut og der er 10 meesker med. Og sætte det op imod et cash game, hvor blidse ikke stiger. Er det i høj grad emmere at vide pege i cash games eller Sit&gos? Svar Poker er ikke et hazard-spil, i de forstad at i det lage løb vil de spiller der er bedst til at evaluere sadsylighedere og agere korrekt udfra disse sadsyligheder vide. Hvis to spillere er lige gode (eller lige dårlige) til at evaluere sadsylighedere, er spillet et»fair«spil, hvilket betyder de i det lage løb begge vil ede op med e geemsitlig gevist på 0 kr. Så det er umuligt at give et svar på dit spørgsmål, eller rettere svaret afhæger af hvor gode spillere er til at evaluere de relevate sadsyligheder. Held eller uheld er fæomeer, som udviskes over e lag periode. Ikke destomidre har mage spillere de erfarig, at de e give afte sidder i held eller i uheld. Dette er e korrekt observatio, som skyldes de fuldstædige tilfældighed i kortfordelige. Lad os betragte to spillere, som spiller e række spil i løbet af e afte. I sadsylighedsregige siger vi e spiller sidder»i held«, hvis ha/hu har ført (dvs. har haft e positiv gevist) de meste af tide, og sidder»i uheld«, hvis ha/hu har været bagud (dvs. har haft tab) det meste af tide. Atag, at de to spillere er lige dygtige, dvs. sadsylighede er lig 1 for at de ee eller de ade vider et spil. Umiddelbart, vil 2 ma forvete, at år spillere er lige dygtige, så vil de to spillere have ført/været bagud cirka halvdele af spillee. I sadsylighedsregige ka vi bevise de såkaldte arcus-sius lov, som siger at der er e stor sadsylighed for at de ee spiller sidder»i held«og de ade sidder»i uheld«, mes sadsylighede for at de to spillere har ført/været bagud cirka halvdele af spillee er forbløffede lille. Mere præcist, siger arcus-sius love: Hvis F Du spiller e række»fair«spil. Hvis F beteger atallet af gage, du har haft positiv gevist i de første spil, da vil F være de del af tide d har»ført«i de første spil, og der gælder lim P( x F y ) = 1 y 1 dt 0 x y 1. 2π x t(1 t) er cirka 1 2, har du ført/været bagud i cirka halvdele af spillee, hvis F er lille, er stor, dvs. tæt på 1, har di siddet»i held«. dvs. tæt på 0, har du siddet»i uheld«, hvis F 7
Arcus-sius love viser at de geemsitlige værdi af F at 1 2 er de mest usadsylige værdi af F er lige 1 2, me de viser også,, og at 0 og 1 er de mest sadsylige værdier af F. Der betyder at de geemsitlige værdi 1 2, ikke skyldes at F er cirka 1, me at 2 de fremkommer som et geemsit af tal som er æste lig 0 eller æste lig 1. Beviset for arcus-sius love er overordetlig lagt og svært, me de er udtryk for at tilfældigheder opfører sig gaske aderledes ed ma forveter vores ituitio om sadsyligheder leder os ofte på vildspor. Arcus-sius love blev bevis omkrig 1955 af e dask sadsylighedsteoretiker, Erik Sparre Aderse (som iøvrigt var mi første lærer i sadsylighedsregig). Til Rasmus Østergaard Pederse Spiller ma blackjack, roulette og ligede spil hvor oddsee er imod dig bør ma vel kue vide. Jeg meer fx at i blackjack er sadsylighede for at vide omkrig 1 3. Spiller ma u flere spil og fortsætter med at 3 doble idsatse vil ma altid vide mere. Altså i først spil har ma sadsylighede: 1 ( ) 2 1 3 = 1 3, for at vide I adet spil 1 ( ) 2 2 3 = 5 9, altså allerede i adet spil overvejee sadsylighed for at vide. Fortsætter ma dee takegag lidt, vil ma hurtigt se at der er så oplagt sadsylighed for at vide ide ma kommer op på e ustyrlig idsats at ma altid bør vide. Da spillee aldrig taber må der vel være e fejl i det jeg siger. Hvad er galt med dee takegag, hvor ma altid vil komme ud ove ud? Svar I blackjack er oddsee ikke imod dig - de er med dig. Dette skyldes at du keder»dealeres«strategi. De optimale strategi i blackjack blev udreget i begydelse af 1960 ere og de giver spillere e geemsitlig gevist på lidt uder 3% af hedes/has opsætig. Uheldigvis kræver de optimale strategi, at ma ka tælle og huske mage kort (der er cirka 300 mulige kort i e»stack«), dette er dog de midste kust, strategie kræver at ma ka udføre mage og lage beregiger på kort tid. Ma skal derfor helst have e computer til rådighed og helst e såkaldt»talkuser«e almidelig computer er for lagsom. Vedrørede die beregiger. Der er altså sadsylighed 1 for at fide første, adet, 3 tredje spil etc. Der er sadsylighed 2 3 1 3 = 2 ) 9 1 1 3 for at tabe første spil og vide adet spil. I almidelighed er der sadsylighed ( 2 3 for at tabe de 1 første spil og vide det te spil. Disse sadsyligheder bliver overordetlig små år tallet bliver stor. De strategi du omtaler er e variat af de såkaldte martial strategi. Det er e almidelig overtro bladt spillere, at martial strategie er e sikker vider strategi. Jeg vil gere 8
beytte lejlighede til kraftigt at advare mod strategie - i sadsylighedsregige ka vi vise at de med sikkerhed (dvs. 100%) fører til rui! Se også mit svar til Marti Kostatiovitch. E sikker strategi ved roulette Marti Kostatiovitsch Ved roulette ka ma spille på rød og sort. Geviste på disse to spil er idsatse 2. I flg. mi teori, så burde det altså kue lade sig gøre at få et overskud, ved at bruge følgede metode: 1 Sats altid på samme farve. 2 Sats altid det dobbelte af det foregåede spil. Et eksempel: Laveste idsats er 25. 1. Spil laveste idsats. Spil 25 i første spil. Har du vudet, er geviste 50 25 = 25, og du starter fra 1. 2. Har du tabt, så satser du idsats fra sidste spil 2. Spil 50 i adet spil. Har du vudet, er geviste 100 (50+25) = 25, og du starter fra 1. Har du tabt, så starter du fra 2. Spil 100,- i tredje spil. Har du vudet, er geviste 200 (100 + 50 + 25) = 25, og du starter fra 1. Har du tabt, så starter du fra 2. Bordee har altid et loft, me alligevel burde sadsylighede for at ramme loftet være midre ed sadsylighede for at ramme rigtig farve. Har jeg fudet e skudsikker teori, eller er jeg bare blevet blid i mi jagt på e em idtjeig? Svar De strategi du omtaler, har været kedt i århudreder. De går uder avet martigalstrategie. Ordet»martigal«har flere betydiger på dask; f.eks.: (a) Et specielt par bukser med både livrem og seler; (b) Stormskødet til mesasejlet på et sejlskib. Mesasejlet er det agterste sejl på et tre-mastet sejlskib. Det sidder på lags af skibet, i modsætig til storsejlee, som er tværstillet. I stomvejr måtte ma stryge storsejlee og lægge skibet op mod vide, me for at roret kue virke måtte ma sætte et sejl for at give skibet egefart det var mesasejlet, som så blev sikret med et tovværk, som blev kaldt»martigale«. (c) De læderrem, som går fra e hests brige 9
op til hage, og som sal forhidre heste i at»slå«med hovedet og kaste ryttere af. (d) De spilstrategi, som du omtaler i di email. Der er flere adre betydiger af ordet»martigal«. Fælles for dem alle, er at de er e slags sikkerhedsforastaltig. Ordet stammer fra de fraske ladsby Martigaux, hvis idbyggere fra gammel tid er kedt som forsigtige folk. Det er almidelig overtro bladt spillere, at martigalstrategie er e sikker vider strategi. I sadsylighedsregige ka vi bevise, at martigalstrategie med sikkerhed (dvs. med sadsylighed 100%) fører til rui (også selv ude»loft«); medmidre ma har uedelig stor kapital og det er uedelig stor i matematisk betydig meget stor er ikke ok! Det er vist de færreste der har uedelig stor kapital, og hvis ma har ka ma ikke forøge si kapital ved at vide:»uedelig + hvadsomhelst = uedelig«. Så lad være med at beytte martigalstrategie de fører til sikker rui! Som det også blev poiteret i udsedelse, skal ma betvivle si ituitio og stole på sie beregiger, me det forudsætter at ma reger korrekt, og det er ikke så emt. De beregiger der viser at martitalstrategie fører til sikker rui er lage og komplicerede. I sadsylighedsregige ka vi bevise e»lov«som går uder avet Optimal samplig (jeg har ikke fudet e passede dask oversættelse). Optimal samplig-love sige (løst sagt): Hvis ma har edelig kapital og spiller e række spil, hvor oddsee er imod e og ma ikke er clairvoyat (e såda række spil kaldes e supermartigal i sadsylighedsegige), så fides ige strategi, der ka ædre odds. De optimale strategi er simpel me beklagelig:»stop før du begyder«. Abraham de Moivre (1667 1754) udtrykker det meget klart i forordet til si bog Doctrie of Chaces (3. udgave, udgivet i 1756): Your Lordship (her hetydes til de Moivre s ve og velgører Lord Carpeter) does easily percieve, that this doctrie is so far from ecouragig Play, that it is rather a Guard agaist it, by settig a clear Light, the Advatages ad Disadvatages of those Games wherei Chace is cocered. Mere præcist, sigere optimal samplig-love følgede: Lad X 1, X 2,... være e supermartigal af tilfældige tal, og lad σ og τ være stopstrategier, så at τ σ og σ er»optioal for X «, da gælder E(X σ F τ ) X τ. Størrelse E(X σ F τ ) beteger dit bedste bud på, hvad di gevist er til tid σ baseret på al de iformatio du har til tid τ.»optioalitete«af σ er et udtryk for at meget stort tab ikke er tilladt. Formle siger så, at uaset hvorda du vælger di stopstrategi, så er det såda, at jo lægere du veter med at stoppe, jo mere taber du. 10
Sadsylighed Niels Herik Jese Godt gået med parkerigspladse. Selv om jeg var meget god til matematik, forstod jeg aldrig rigtigt sasylighedsberegig. Det har ærgret mig lige side, og det har varet læge, da vi må være æste jævaldrede. Ka du abefale e bog, der ka sætte mig igag med at forstå og berege? Svar Der fides ikke så meget litteratur på dask, som er tilgægelig for lægmad ude professioal hjælp, me jeg ka abefale Erlig Aderses bog Reg på di gevist. På egelsk ka jeg abefale: (1) William Feller: A Itroductio to Probability Theory ad Its Applicatios udgivet af Joh Wiley & Sos. Boge er fra 1950, me de ka stadig købes. (2) Abraham de Moivre: Doctrie of Chaces. Boge er fra 1756, me de ka fås i dag (fotografisk optryk af origiale) på forlaget: America Mathematical Society & Chelsea. Boge er godt ok gammel, me det er e fremragede og meget pædagogisk bog, og de år vidt omkrig i sadsylighedsregige. Sadsylighed Lars Rolad Capio Jeg har et spørgsmål til vedr. sadsylighed. Hvis der er to mulige udfald af et kast. F.eks. ved kast med e møt, hvor der er lige stor sadsylighed for plat som for kroe, er det klart, at ligegyldig hvor mage forudgåede es udfald, der har været, er udfaldet af æste kast stadig lige tilfældigt og med lige stor chace for plat som for kroe. Me samtidig er møte ødt til at stræbe mod e ligelig fordelig ml. plat og kroe, hvis de skal være e ormal møt. Så hvis der har været et stort atal udfald af f.eks. plat, må ormalfordeligs-»krafte«vel på et eller adet tidspukt begyde og»trække«møte mod det modsatte udfald, så e ligelig fordelig af udfaldede opåes. Me da kastet med møte skal være tilfældigt, er dette e umulighed, og derfor syes jeg der er e mystisk modsætig ml. møtes tilfældige udfald og de ligelige sadsylighedsfordelig. Ka du/i løse mysteriet? På forhåd tak! 11
Svar Dit første spørgsmål: Hvis møte har sassylighed 1 for at vise»kroe«og»plat«, 2 så gælder, at ligegyldigt hvad møte har vist de sidste 10.000 gage, da er sadsylighede stadig lige 1 2 for at vide»kroe«og»plat«i kast ummer 10.001. Det er e almidelig overtro, at år blot ma har tilstrækkelig mage observatioer, så er altig ormal fordelt. I sadsylighedsregige ka vi bevise de såkaldte cetrale græseværdi lov som løst sagt, siger at summe af mage»små«og uafhægige tilføldige tal, er approksimativt ormal fordelt; dvs.: Hvis S = X 1 + + X er e sum af»små«tilfældige tal X 1, X 2,..., X, så gælder, uder e række specifikke forudsætiger, at vi har: lim P(x S y) = 1 y e t2 2 dt x y 2 Der fides mage adre fordeliger med dee egeskab (de såkaldte uedelige delelige fordeliger, f.eks. ekspoetial fordelige, Poisso fordelige, gamma fordelige, o.m.a.). Hver af disse fordeliger har deres ege cetrale græseværdi lov. F.eks. hvis S = X 1 + + X er e sum af»små«tilfældige positive tal X 1, X 2,..., X, så gælder, uder e række specifikke forudsætiger, at vi har: x lim P(x S y) = e λ y =x λ! 0 x y og uder e ade række specifikke forudsætiger, har vi lim P(x S y) = λ y x e λt dt 0 x y Så ormal fordelige er ikke så»ormal«edda der er mage adre fordeliger, der fortjeer avet»ormal fordelige«. I sadsylighedsregige ka vi også bevise de såkaldte iterede logaritme lov, som løst sagt siger at i lage perioder (for meget lage observatiosrækker) vil die møtkast være meget lagt væk fra e ligelig fordelig. Mere præcist, hvis S beteger atallet af»kroe«i de første kast, da gælder lim sup S 1 2 = 1 og limif loglog S 1 2 = 1 loglog Faktisk er e»ligelig fordelig«udtagelse sarere ed regle. Tilfældige hædelser opfører sig gaske aderledes ed ma forveter og ligger udefor vores ituitios rækkevidde. I sadsylighedsregige ka vi berege os til, hvorledes tilfældige hædelser opfører sig, me forstå vores resultater det er e gaske ade sag. Efter et lagt liv i sadsylighedsregige ka jeg stadigvæk blive overrasket, og jeg har lært at mi ituitio, selv efter jeg har ser de mage paradokser, som sadsylighedsregige er fuld af, er eledig, me jeg ka rege mig frem til korrekte resultater. 12
Formel for sasylighed for at vide i lotto Guar Bruu Kue jeg få dig til at sede formel for sasylighed for at vide i lotto. Svar Sadsylighede for at have 7 rigtige i lotto (ud af 36 mulige) er lig 1 2 3 4 5 6 7 36 35 34 33 32 31 30 = 1 8347680. I almideligh er sadsylighede for at have alle (= x) rigtige i lotto (ud af mulige) lig ( ) 1 ( 1)1... ( x + 1) ( hvor = x) x 1 2 3... x De adre vider kombiatioer, f.eks. 6 rigtige og 1 forkert er mere bøvlede at skrive op, me du ka fide formlere i Erlig Aderses bog Reg på di gevist. Et spil Klaus Olsbjerg Jese Vide om i aftes fik mig til at tæke på et problem, jeg hørte for e del år side, og som jeg aldrig har fudet e løsig på. Det drejer sig om et simpelt spil. E spiller ka vælge mellem to kuverter. I hver kuvert er et pegebeløb, i de ee et dobbelt så stort beløb som i de ade. Spillere vælger e kuvert, åber de og fider 100 kr. Ha får u at vide at ha gere må vælge om hvis ha vil. Der er aturligvis ige grud til at vælge om, sadsylighede for at spillere valgte kuverte med det store beløb er 50%. Og dog, lad os rege lidt på det. I de ade kuvert er der ete 50 kr eller 200 kr. Så ved at skifte valg, vil spillere i geemsit få 0,5 50kr + 0,5 200kr = 125kr, altså 25% mere ed hvis ha ikke ædrede sit valg. Det må altså være e god strategi at vælge om. Hvis beløbet havde været et adet, lad os sige X kr ville et omvalg i geemsit give spillere 0,5 0,5 X,kr + 0,5 2 X kr = 1,25 X kr, altså stadig 25% mere. Med adre ord, spillere behøver ikke åbe kuverte. Ligegyldig hvilke kuvert ha havde tækt sig at vælge, ville det være smart at vælge de ade!!! Hvor er fejle? 13
Svar Problemet er, at såda ka ma ikke rege med (betigede) middelværdier. Lad os atage at beløbee er et helt atal kroer. Hvis beløbet i de kuvert du vælger er ulige; f.eks.: 201 kr, ved du at det er det lille beløb ( 1 2 2001 = 100,5, som ikke er et helt tal). Så ved at vælge om, er du sikker på at få det store beløb! Dette viser at die udregiger ikke er korrekte. Udregigere ser mere eksotiske ud. Lad os ummerere kovoluttere 0 og 1. Lad X 0 være det tilfældige tal i kovolut r. 0 og lad X 1 = 2X 0 være det tilfældige tal i kovolut r. 1. Vi vælger u e kovolut tilfældigt og uafhægigt af tallee X 0 og X 1 ; dvs. vi vølger et tal σ som ete er 0 eller 1, så at P(σ = 0) = P(σ = 1) = 1 og σ er 2 uafhægig af X 0 og X 1. Da er τ = 1 σ ummeret på de ikke-valgte kovolut og X τ er beløbet i de ikke-valgte kovolut. Vi åber u de valgte kovolut og ser at beløbet er lig x. Dette har sadsylighed P(X σ = x) = 1 2 P(X 0 = x) + 1 2 P(X 0 = x 2 ) Lad A være de geemsitlige værdi af beløbet i de ikke-valgte kovolut. Da er A givet ved formle A = E(1 {X σ =x}x τ ) P(X σ = x) Nu reger vi Så A er givet ved formle E(1 {Xσ =x}x τ ) = E(1 {σ=0,x0 =x}x 1 ) + E(1 {σ=1,x1 =x}x 0 ) = 2xP(σ = 0,X 0 = x) + x 2 P(σ = 1,X 1 = x) = x ( P(X 0 = x) + 1 4 P(X 0 = x 2 )) E(X τ X σ = x) = x 2P(X 0 = x) + 1 4 P(X 0 = x 2 ) P(X 0 = x) + P(X 0 = x 2 ) som i almidelighed hverke er større ed x, midre ed x eller lig med x. For at afgøre om det er e fordel at vælge om, må du kede sadsylighede for at det»lille«tal er lig x. 14
Spørgsmål til Simo Ollig Rebsdorf Tak for e spædede udsedelse. Jeg er selv cad.sciet og ød hele badulje. Me statistik var var aldrig mi stærke side... Så ka ma få lov at se formle for stopstrategier i forb. med parkerig, som så illustrativt blev præseteret i programmet? (og e kort forklarig af de idgåede parametre) På forhåd tak! Svar Parkerigsproblemet: Som altid i sadsylighedsteoretiske modeller er der em række uderliggede atagelser. Her lyder de således: (a) Hædelsere»e P-plads er optaget«er uafhægige og har samme sadsylighed, som er kedt, lad os sige p. (b) Atallet af P-pladser er kedt, lad os sige d. (c) Positioe af biografe er kedt, lad os sige ud for P-plads ummer ; det atages at d, så der fides e P-plads udefor biografe. (d) Der er opgivet e omkostig, lad os sige A, ved ikke at komme i biografe, så at A er større ed afstade fra sidste P-plads til biografe. (Dette krav betyder at du er villig til at tage sidste P-plads, selv om de ligger lagt fra biografe.) De optimale P-strategi giver et bestemt tal, lad os sige r, som ka bereges udfra størrelsere p, d, og A, og de optimale strategi siger:»passér de første r 1 P-pladser, tag deræst de første ledige P-plads derefter«. De præcise formel for udregige af de kritiske værdi r er eksotisk: r = 1 ceil ( { log (A d + )p d (1 p) + p (1 p) p d} ) log p Her betyder x y det største af tallee x og y, og ceil(x) er»gulvet i x es lejlighed«; dvs. det største hele tal midre ed eller lig med x. Hvis omkostige A ved ikke at komme i biografe er meget stor, så er r = 1, og du skal vælge første ledige P-plads. Hvis p 1, dvs. midst havldele af P-pladsere 2 er ledige, da er r = og strategie sider:»kør he til biografe, og se om P-pladse udefor biografe er ledig. Hvis det er tilfældet tager du dee P-plads. Hvis ikke tager du de første ledige P-plads efter biografe, såfremt du ka fide e. I modsat fald opgiver du biografture og går hjem«. 15