1 Talteori er ikke direkte nævnt i Fælles Mål 2009 som et fagområde, alle skal arbejde med. Det betyder dog ikke, at talteori nødvendigvis må vælges fra som indhold i skolen. Faktisk kan det tænkes, at dette fagområde kan bidrage til at opfylde en række af de målsætninger, som ikke er knyttet til et bestemt indhold. Mange lærebøger vælger da også at inddrage talteori på mellemtrinnet og de ældste klassetrin. Arbejdskort 1 giver først og fremmest eksempler på dette. Det drejer sig om klip fra lærebøger for 4. til 9. klasse. Hensigten med arbejdskortene i -serien er, at I ser og arbejder med eksempler på talteoretiske emner i skolen får mulighed for at lukke de huller, der er i beviset for tripelsætningen i kapitlet gør jer overvejelser over mulighederne for at arbejde med pythagoræiske tripler i skolen. -serien består af disse arbejdskort: 1 Talteori på forskellige klassetrin 2 Den pythagoræiske tripelsætning
2 1 Talteori på forskellige klassetrin Et emne fra talteorien, som er en del af skolens matematikarbejde, er primtal. Ordet primtal forekommer ganske vist ikke i Fælles Mål 2009. Ej heller betegnelsen sammensat tal. At det forventes, at man arbejder med begge begreber fremgår bl.a. af, at både primtal og sammensatte tal er omtalt i formelsamlingen fra 2010: I de lærebogsklip, der følger, vil man da også kunne se, at primtal direkte eller indirekte spiller en rolle. Hensigten med dette arbejdskort er, at I får ideer til, hvad undervisning i talteori i folkeskolen kan omfatte overvejer undervisningsidéer i forhold til elevernes udvikling af matematiske kompetencer overvejer undervisningsidéer i forhold til princippet om undervisningsdifferentiering får erfaringer med at løse problemer vedrørende talteori.
3 På de følgende sider er udvalgte klip fra Matematik i fjerde og fra systemet Kolorit for 5.-9. klasse. (Alle udgivet på Gyldendal) Læs siderne igennem, og løs et udvalg af opgaverne. Udvælg et af klippene, og overvej, hvilke mål I ville knytte til elevernes arbejde med klippet. Brug evt. Matematiklærerens tænkebobler fra Fælles Mål 2009. Diskuter elevaktiviteterne i jeres udvalgte klip i et differentieringsperspektiv. Er der oplæg, som i sig selv giver gode muligheder for differentiering? Hvilke? Hvordan? Er der oplæg I kan/vil ændre på, så de giver bedre differentieringsmuligheder? Forestil jer, at I skal undervise en lektion eller et modul (90 minutter) på det klassetrin, som jeres udvalgte klip er rettet imod. I jeres baghoved har I et eller flere faglige undervisningsmål for modulet (hvilke?). Jeres opgave er at planlægge modulet, så eleverne får mulighed for at arbejde med disse mål på en differentieret måde. Hvilke aktiviteter vælger I? Hvordan vil I organisere undervisningen? Skitser en plan for lektionen eller modulet.
4 Matematik i fjerde Et arbejde med primtal kan godt startes uden at se på begreber som divisorer mv. Nedenstående klip er fra et afsnit i arbejdsbog 2 til Matematik i fjerde. Afsnittet omhandler primært volumen af kasser, men involverer også forskellige opløsninger af tal i faktorer (hvilket i denne kontekst betyder forskellige kasser med samme volumen). Og så ligger primtal jo lige for!
5
6 Kolorit for femte klasse. Grundbog
7
8 Kolorit for sjette klasse. Grundbog
9 Kolorit for syvende klasse. Grundbog
10
11 Kolorit for ottende klasse. Grundbog
12
13
14
15 Kolorit for niende klasse. Grundbog
16
17 Dette arbejdskort afsluttes med en opgave fra lærereksamen, maj 2003, som også omhandler primtal. Det omtalte bilag findes på næste side. Opgaven giver jer mulighed for at prøve kræfter med jeres egen faglighed indenfor talteori. Løs opgaven.
18
19 2 Den pythagoræiske tripelsætning I almindelighed vil de flest nok snarere knytte begrebet pythagoræiske tripler til geometri og retvinklede trekanter end til talteori. Men ofte viser begreber og resultater fra én gren af matematikken sig nyttige eller måske direkte nødvendige for indsigt i en anden gren af matematikken. Således også her, hvor aritmetikkens fundamentalsætning (og dermed primtalsbegrebet) er nøglen til en fuldstændig kortlægning af samtlige pythagoræiske tripler i denne verden. At behandle den pythagoræiske tripelsætning under emnet talteori er derfor ikke så tosset som det måske umiddelbart lyder. Hensigten med dette arbejdskort er, at I får mulighed for at lukke de huller, der er i beviset for tripelsætningen gør jer overvejelser over den plads et begreb som pythagoræiske tripler kan have i skolens undervisning. Som opvarmning til sætningen om pythagoræiske tripler så vi i kapitlet på nogle hjælpesætninger. En af dem var denne: Hvis (a, b, c) er en pythagoræisk tripel, og q er et rationalt tal, vil triplen (qa, qb, qc) også være en pythagoræisk tripel. I kapitlet skrev vi, at vi med ro i sindet overlod beviset for denne sætning til læseren. Nu er det tiden til at honorere tilliden: Hvilke to betingelser skal være opfyldt for at en tripel (a, b, c) er en pythagoræisk tripel? Formuler gerne i samarbejde med andre en overbevisende forklaring på, at sætningen gælder (dvs. et bevis for sætningen). Selve tripelsætningen er formuleret så den indeholder to påstande kaldet A og B. Påstanden A er: A: For ethvert par u, v af naturlige tal med u > v vil taltriplen (2uv, u 2 v 2, u 2 + v 2 ) være en pythagoræisk tripel.
20 I starten af kapitlets bevis for tripelsætningen står der: Lad os først se på påstanden A: For at bevise den, skal vi vise, at når u og v er naturlige tal med u > v, så vil 2uv, u 2 v 2 og u 2 + v 2 også være naturlige tal, og triplen (2uv, u 2 v 2, u 2 + v 2 ) vil opfylde den pythagoræiske ligning (2uv) 2 + (u 2 v 2 ) 2 = (u 2 + v 2 ) 2 Denne del af beviset overlades til læseren i et arbejdskort. Nu fanger bordet! Bevis påstanden A. Tripelsætningen kan siges at give en algoritme til bestemmelse af samtlige pythagoræiske tripler. Der findes andre algoritmer, som giver pythagoræiske tripler, men de leverer ikke alle pythagoræiske tripler. En af disse algoritmer indgår i opgave 2 fra Folkeskolens afgangsprøve, fsa december 2002. Denne opgave gav anledning til en opgave til lærereksamen i august 2004. De to opgaver kan ses på de to næste sider. Løs de to opgaver. Diskuter hvilke faglige elementer og hvilke faglige kompetencer, der er i spil, når elever løser opgaven fra afgangsprøven. Et emnearbejde i 8. eller 9. klasse, der har pythagoræiske tripler som omdrejningspunkt, har mulighed for at inddrage mange forskellige faglige områder, mange forskellige kompetencer og mange forskellige arbejdsmønstre og metoder. Skitsér en plan for et sådant emnearbejde. Hvordan kan differentiering være en mulighed i jeres forløb? Hvilke aktiviteter skal indgå? <<<<< O >>>>> Og lad os så slutte med en lille én til søndagskaffen: I rammen om Diofant (i kapitlet side 11) citeres en gåde om Diofants levealder: Diofants ungdom varede en sjettedel af hans liv; efter en syvendedel mere blev han gift; han fik skæg efter endnu en tolvtedel. Fem år senere fik han en søn, som levede halvt så længe som faderen, og Diofant døde fire år efter sønnen. Der er egentlig ikke megen talteori i denne opgave men det skal vel ikke forhindre os i at løse den? Med lidt hjælp vil elever i overbygningen også kunne klare den. Hvor gammel blev Diofant?
21
22