Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Indhold 1 Introduktion 1 2 Afstandsformlen 2 3 Cirklens Ligning 5 3.1 En fejl i beviset?................... 7
Resumé I dette dokument beviser to nemme, men meget fundamentale s¾tninger fra analytisk geometri. 1 Introduktion Det er nok lidt overdrevet at kalde s¾tningerne i dette dokument for s¾tninger. De er nemlig ikke ret meget andet end smarte anvendelser af Pythagoras s¾tning. Men de er s nyttige at huske p at man har oph jet dem til s¾tninger alligevel. Det kan dog varmt anbefales at huske beviserne i stedet for s¾tningerne. P den mde kan man n jes med at huske p Pythagoras s¾tning som er hovedingrediensen i dem begge. Foruds¾tninger For at l¾se disse beviser har du brug for at kende det todimensionale koordinatsystem og vide hvordan man beskriver delm¾ngder ved hj¾lp af ligninger 1. Desuden skal du selvf lgelig kende Pythagoras s¾tning. 1 L¾s om analytisk geometri her. side 1
2 Afstandsformlen Sætning 1. Hvis P og Q er to punkter i det todimensionale koordinatsystem med koordinaterne: P = (x 1 ; y 1 ) og Q = (x 2 ; y 2 ) s er afstanden mellem P og Q givet ved: P Q = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 Bevis. Vi varmer op ved at se p nogle specielle situationer f rst. F rst og fremmest: Hvis de to punkter skulle g hen at v¾re ens 2 alts hvis x 1 = x 2 og y 1 = y 2, s ligger de oven i hinanden. I det tilf¾lde pstr s¾tningen at afstanden mellem punkterne er: P Q = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 = 0 2 + 0 2 = 0 Hvilket m siges at v¾re rigtigt nok. Dern¾st: Hvis punkterne enten har samme x-koordinater eller samme y-koordinater, s svarer det til at de ligger p samme vandrette eller lodrette linje. Lad os se p situationen hvor x-koordinaterne er ens, alts x 1 = x 2. I dette tilf¾lde kan vi tegne et lodret linjestykke mellem de to punkter (se figur 1), og er det ret klart at afstanden imellem dem kan beregnes som afstanden mellem y-koordinaterne, alts: P Q = y 2 y 1 2 Ja, jeg ved at det virker superfjollet. Men nr s¾tningen udtaler sig om to vilkrlige punkter, s er man n dt til at sikre sig at den g¾lder uanset hvordan disse punkter ligger. Ogs de tilf¾lde hvor man aldrig kunne dr mme om at anvende s¾tningen. side 2
(Bem¾rk at vi har brug for den nummeriske v¾rdi, fordi vi ikke kan vide hvilken af y-koordinaterne der er st rst. Og vi har jo ikke lyst til at afstanden bliver et negativt tal.) Figur 1: Afstanden mellem to punkter som har samme x-koordinat. er: S¾tningen pstr i dette tilf¾lde at afstanden mellem punkterne P Q = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 = 0 2 + (y 2 y 1 ) 2 = (y 2 y 1 ) 2 Men det er pr¾cis det samme, fordi kvadratroden af et tal opl ftet i anden potens er det samme som tallets nummeriske v¾rdi. Tilf¾ldet hvor det er y-koordinaterne som er ens hndteres p pr¾cis samme mde. Til sidst er vi klar til at bevise formlen i det rigtige tilf¾lde, nemlig hvor punkterne har forskellige x-koordinater og forskellige y-koordinater. Her laver vi et lille trick: Vi integner punkterne i koordinatsystemet og tilf jer en lodret linje gennem det ene punkt og en vandret linje gennem det andet. Disse to linjer vil sk¾re hinanden i et eller andet punkt som vi kan kalde R. De vil endda danne en ret vinkel i dette punkt, hvorved der opstr en retvinklet trekant. (Se figur 2.) I denne retvinklede trekant kan vi hurtigt bestemme kateternes l¾ngder. (Bem¾rk at dette er pr¾cis samme problem som vi l ste i side 3
Figur 2: Afstanden mellem to punkter i det generelle tilf¾lde. tilf¾ldet hvor P og Q havde samme x-koordinat eller y-koordinat.) Vi har nemlig: og Nu siger pythagoras at: P R = y 2 y 1 RQ = x 2 x 1 dvs. P Q 2 = RQ 2 + P R 2 = x 2 x 1 2 + y 2 y 1 2 P Q = x 2 x 1 2 + y 2 y 1 2 Nu mangler vi kun at indse at de nummeriske v¾rdier uden problemer kan erstattes med almindelige parenteser. Det kan vi fordi et tal og dets nummeriske v¾rdi altid bliver ens nr de opl ftes i anden potens. Man kan sige at opl ftningen i anden potens har en nummerisk v¾rdi indbygget. S derfor kan vi omskrive: P Q = x 2 x 1 2 + y 2 y 1 2 = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 side 4
3 Cirklens Ligning Med den foregende s¾tning i lommen fr vi en vigtig s¾tning mere n¾rmest gratis. Mske b r vi dog starte med at fjerne eventuel forvirring ved at minde om: Definition 2. Nr man i analytisk geometri taler om en cirkel, s mener man punkterne p cirkelperiferien. Alts ikke punkterne inde i cirklens indre. Sætning 3. Hvis a og b er to reelle tal, og R er et ikke-negativt reelt tal, s er cirklen med centrum i punktet P = (a; b) og radius R > 0 givet ved ligningen: (x a) 2 + (y b) 2 = R 2 Sagt med andre ord, s er cirklen f lgende m¾ngde: { (x; y) R 2 (x a) 2 + (y b) 2 = R 2} Bevis. Dette bevis er s kort at man skal passe p ikke at snuble over logikken. Vi nsker en ligning som karakteriserer punkterne p cirklen. Alts en ligning med to ukendte, x og y, som opf rer sig sdan at et punkt (x; y) ligger p cirklen pr¾cis hvis x og y fr ligningen til at v¾re opfyldt. side 5
For at komme i tanker om sdan en skal vi sp rge os selv hvad det er som et punkt P = (x; y) p cirklen opfylder, og som ingen andre punkter opfylder. Det gode svar p dette sp rgsml er: Afstanden til sdan et punkt fra cirklens centrum C = (a; b) er lig med radius, R. Hvis vi skriver dette ned ved hj¾lp af afstandsformlen, s fr vi: dvs. CP = R (x a) 2 + (y b) 2 = R Og det er sdan set en glimrende ligning for cirklen. Den bliver dog lidt nemmere at overskue hvis man laver en enkelt omskrivning ved at opl fte begge sider i anden potens. Dermed fr vi: (x a) 2 + (y b) 2 = R 2 side 6
3.1 En fejl i beviset? Hvis man er typen der t¾nker grundigt over tingene, s kan man godt i et kort jeblik komme til at frygte at den allersidste omskrivning i beviset er forkert! Det er jo ikke rigtigt at en ligning har pr¾cis de samme l sninger nr man opl fter begge sider i anden potens. F.eks. er ligningen x = 7 bestemt ikke den samme ligning som x 2 = 49 Det er korrekt af hvis x = 7 s er x 2 = 49, men den modsatte konklusion g¾lder ikke. (Hvis x 2 = 49 kan x v¾re bde 7 og 7.) Men der er heldigvis ikke noget galt. Vi er bare n dt til at t¾nke lidt mere over hvorfor de to ligninger: og (x a) 2 + (y b) 2 = R (x a) 2 + (y b) 2 = R 2 har pr¾cis de samme l sninger. For det f rste hvis x og y er to tal som fr den verste ligning til at v¾re opfyldt, s er det klart at de ogs fr den nederste til at v¾re opfyldt. Det er af samme grund som at x = 7 medf rer at x 2 = 49 og fordi en opl ftning af en kvadratrod i anden potens altid bare fjerner kvadratroden. Og for det andet: Hvis x og y er to tal som fr den nederste ligning til at v¾re opfyldt, s kan vi uden problemer tage kvadratroden p begge sider, fordi begge sider er ikke-negative. S vi kan konkludere at: (x a) 2 + (y b) 2 = R 2 Men nu str vi men samme problem som tidligere, nemlig at kvadratroden af et tal i anden potens ikke altid giver tallet tilbage, men side 7
derimod den nummeriske v¾rdi af tallet. Vi kan alts umiddelbart kun konkludere at: (x a) 2 + (y b) 2 = R Men eftersom vi heldigvis ved at R ikke er negativ, s er den nummeriske v¾rdi af R helt sikkert det samme som R, og derfor kan vi konkludere at: (x a) 2 + (y b) 2 = R Dermed har vi vist at hvis et punkt opfylder den ene ligning, s opfylder det ogs den anden. Og dermed er de to versioner af cirklens ligning faktisk lige gode, pr¾cis som vi pstod. side 8