Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4

Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Test tangentplan Lineær approximation i en og flere variable Test approximation Differentiabilitet i flere variable Differentialet af en funktion Test differentialet Calculus 1-2006 Uge 37.2-1

Tangentlinje [S] 2.7 Derivatives Figur y y = f(a) + f (a)(x a) (a, f(a)) f(x) x I R, f : I R Calculus 1-2006 Uge 37.2-2

Ligning for tangent [S] 2.7 Derivatives Definition Tangentlinjen for grafen for en funktion y = f(x) i et punkt (a, b), b = f(a) er linjen gennem (a, b), som indeholder tangentvektoren (1, f (a)) til grafen En ligning for tangentlinjen er x (x, f(x)) y b = f (a)(x a) Calculus 1-2006 Uge 37.2-3

Find tangentlinjen [S] 2.7 Derivatives Eksempel 2 Find ligningen for tangentlinjen til y = x 2 8x + 9 i punktet (3, 6). Den afledede er y = 2x 8, y (3) = 2 Ligningen for tangentlinjen er y ( 6) = ( 2)(x 3) eller y = 2x Calculus 1-2006 Uge 37.2-4

Tangentplan [S] 11.4 Tangent planes and linear approximations Figur y D (x, y) f(x, y) 0 x D R 2, f : D R Calculus 1-2006 Uge 37.2-5

Tangentplan [S] 11.4 Tangent planes and linear approx. Definition Tangentplanen til grafen for en funktion z = f(x, y) i et punkt (x 0, y 0, z 0 ), z 0 = f(x 0, y 0 ) er planen gennem (x 0, y 0, z 0 ), som indeholder tangentvektorerne til koordinatkurverne (1, 0, f x (x 0, y 0 )), (0, 1, f y (x 0, y 0 )) x (x, y 0, f(x, y 0 )), y (x 0, y, f(x 0, y)) på grafen Γ f. Calculus 1-2006 Uge 37.2-6

Ligning for tangentplan [S] 11.4 Tangent planes and linear approx. 2 Sætning Antag at f har kontinuerte partielle afledede f x, f y i en lille cirkelskive om (x 0, y 0 ). Tangentplanen for grafen i et punkt (x 0, y 0, z 0 ), z 0 = f(x 0, y 0 ) har ligning Bevis Indsættes z z 0 = f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ) (x, y, z) = (x 0, y 0, z 0 ) + (1, 0, f x (x 0, y 0 )) = (x 0 + 1, y 0, z 0 + f x (x 0, y 0 )) er ligningen opfyldt. Ligeså for den anden tangentvektor. Calculus 1-2006 Uge 37.2-7

Find tangentplan [S] 11.4 Tangent planes and linear... Eksempel 1 Find ligningen for tangentplanen til i punktet (1, 1, 3). Løsning De partielle afledede er z = 2x 2 + y 2 z x = 4x, z y = 2y z(1, 1) = 3, z x (1, 1) = 4, z y (1, 1) = 2 I punktet (1, 1, 3) er tangentplanen givet ved z 3 = 4(x 1) + 2(y 1) Calculus 1-2006 Uge 37.2-8

Tangentplan [S] 11.4 Tangent planes and linear approximations Figur - Eksempel 1 z x y Tangentplan i (1, 1, 3) Calculus 1-2006 Uge 37.2-9

Find endnu en tangentplan [S] 11.4 Tangent planes and linear... Eksempel Find en ligning for tangentplan i (1, 2, f(1, 2)). f = x 3 + x 2 y 3 2y 2 f x = 3x 2 + 2xy 3, f y = 3x 2 y 2 4y f(1, 2) = 1, f x (1, 2) = 19, f y (1, 2) = 4 I punktet (x 0, y 0, z 0 ) = (1, 2, 1) er tangentplanen givet ved z z 0 = f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ) Som giver z 1 = 19(x 1) + 4(y 2) Calculus 1-2006 Uge 37.2-10

Test tangentplan [S] 11.4 Tangent planes and linear... Test Lad f(x, y) = x + xy. Så har grafen for f vandret tangentplan i (0, 0, 0). Løsning Udregningen giver f x = 1 + y, f y = x f x (0, 0) = 1 0 Afkryds: ja nej Calculus 1-2006 Uge 37.2-11

Lineær approximation [S] 3.8 Linear approximations Definition Tangentlinjen for en funktion i en variabel er grafen for en lineær funktion L(x) = f(a) + f (a)(x a) kaldet lineariseringen af f i a. Approximationen f(x) f(a) + f (a)(x a) kaldes den lineære approximation af f for x a. Calculus 1-2006 Uge 37.2-12

Find approximation [S] 3.8 Linear approximations Eksempel Find den lineære approximation af f(x) = x i a = 1. Løsning Lineariseringen er Approximationen er f (x) = 1 2 x, f (1) = 1 2 L(x) = 1 + 1 (x 1) 2 1 x 1 + (x 1), for x 1 2 Calculus 1-2006 Uge 37.2-13

Approximation i to variable [S] 11.4 Tangent planes and lin... 3 4 Definition Tangentplanen er grafen for en lineær funktion L(x, y) = f(a, b) + f x (a, b)(x a) + f y (a, b)(y b) kaldet lineariseringen til f i (a, b). Approximationen f(x, y) f(a, b) + f x (a, b)(x a) + f y (a, b)(y b) kaldes den lineære approximation af f for (x, y) (a, b). Calculus 1-2006 Uge 37.2-14

Brug approximation Eksempel [S] 11.4 Tangent planes and linear approx. f = x 3 + x 2 y 3 2y 2 f x = 3x 2 + 2xy 3, f y = 3x 2 y 2 4y f(1, 2) = 1, f x (1, 2) = 19, f y (1, 2) = 4 I punktet (1, 2) er den lineære approximation f(x, y) 1 + 19(x 1) + 4(y 2) Benyttes til tilnærmelse f(1.1, 1.9) 1 + 19(1.1 1) + 4(1.9 2) = 2.5 Calculus 1-2006 Uge 37.2-15

Test approximation [S] 11.4 Tangent planes and linear... Test Betragt den lineære approximation til funktionen f(x, y) = 1 x 2 + y 1 2 i punktet (x, y) = (1, 1). Den er givet ved (a) f(x, y) 1 1 (x 1) + (y 1). (b) f(x, y) 2xy. 2 4 1 (c) f(x, y) 1 + y. (d) f(x, y) (x 2 + y). 2 Afkryds den rigtige: Løsning Udeluk (b), (c), (d) ved indsættelse af (1, 1). (a) (b) (c) (d) Calculus 1-2006 Uge 37.2-16

Test approximation [S] 11.4 Tangent planes and linear... Test - løsning f(x, y) = 1 x 2 + y 1 2 f x = giver i punktet (1, 1) 2x (x 2 + y) 2, f y = 1 (x 2 + y) 2 f x (1, 1) = 1 2, f y(1, 1) = 1 4 Approximationen af f for (x, y) (1, 1) skrives f(x, y) 1 1 (x 1) + (y 1) 2 4 Calculus 1-2006 Uge 37.2-17

Omskriv differentiabel [S] 11.4 Tangent planes and linear approx. Bemærkning En funktion y = f(x) er differentiabel i a, hvis 5 y = f (a) x + ɛ x hvor ɛ 0, når x 0 Calculus 1-2006 Uge 37.2-18

Tilvækst [S] 11.4 Tangent planes and linear approx. Definition For funktion z = f(x, y) er tilvæksten i (a, b) 6 z = f(a + x, b + y) f(a, b) Eksempel For z = x 2 + y 2 er tilvæksten i (a, b) z = (a + x) 2 + (b + y) 2 (a 2 + b 2 ) Altså z = 2a x + 2b y + x 2 + y 2 Calculus 1-2006 Uge 37.2-19

Differentiabilitet i to variable [S] 11.4 Tangent planes and linear... 7 Definition z = f(x, y) er differentiabel i (a, b), hvis z = f x (a, b) x + f y (a, b) y + ɛ 1 x + ɛ 2 y hvor ɛ 1, ɛ 2 0, når x, y 0 Bemærkning En funktion er differentiabel, når den lineære approximation er god. Calculus 1-2006 Uge 37.2-20

Differentiabilitet som forventet [S] 11.4 Tangent planes and lin... 8 Sætning Antag at f har kontinuerte partielle afledede f x, f y i en omegn af (a, b). Så er f differentiabel i (a, b). Bemærkning I så fald f(a + x, b + y) f(a, b) + f x (a, b) x + f y (a, b) y når x, y 0. Calculus 1-2006 Uge 37.2-21

Brug approximation Eksempel 2 [S] 11.4 Tangent planes and linear approx. f = xe xy f x = e xy + xye xy, f y = x 2 e xy f(1, 0) = 1, f x (1, 0) = 1, f y (1, 0) = 1 I punktet (1, 0) er den lineære approximation xe xy 1 + (x 1) + y Benyttes til tilnærmelse 1.1e 1.1 ( 0.1) 1 + (1.1 1) + ( 0.1) = 1 Calculus 1-2006 Uge 37.2-22

Differentialet [S] 11.4 Tangent planes and linear approximations Definition Differentialet af en funktion y = f(x) er 9 dy = f (x)dx og for funktionen z = f(x, y) 10 Bemærk df = f x (x, y)dx + f y (x, y)dy dz = z z dx + x y dy z dz Calculus 1-2006 Uge 37.2-23

Skriv differentialet Eksempel 4 [S] 11.4 Tangent planes and linear approx. f = x 2 + 3xy y 2 f x = 2x + 3y, f y = 3x 2y dz = (2x + 3y)dx + (3x 2y)dy Benyttes til tilnærmelse f(2, 3) = 13, f x (2, 3) = 13, f y (2, 3) = 0 f(2.05, 2.96) 13 + 13 0.05 + 0 ( 0.04) = 13.65 Calculus 1-2006 Uge 37.2-24

Opgave [S] 11.4 Tangent planes and linear approximations Øvelse 9 f(x, y) = x y Begrund differentiabilitet om (1, 4) og find den lineære approximation. Løsning f x = y, f y = x 2 y er kontinuerte om (1, 4). x y 2 + 2(x 1) + 1 (y 4) 4 når (x, y) (1, 4). Calculus 1-2006 Uge 37.2-25

Opgave fortsat [S] 11.4 Tangent planes and linear approximations Øvelse 9 - fortsat Skrives også Beregn tilnærmelse (1 + x) 4 + y 2 + 2 x + 1 4 y 0.9 4.4 2 + 2( 0.1) + 1 0.4 = 1.9 4 Calculus 1-2006 Uge 37.2-26

Test differentialet [S] 11.4 Tangent planes and linear... Test Givet z = ln(ax + by). Differentialet er: (a) dz = a dx + b dy. (b) dz = a dx + ax+by (c) dz = a ln(ax + by)dx + b ln(ax + by)dy. Løsning Udregningen giver differentialet z x = Afkryds den rigtige: a, z ax+by y = b ax+by dz = z x dx + z y dy b dy. ax+by (a) (b) (c) Calculus 1-2006 Uge 37.2-27

Udvid til mange variable [S] 11.4 Tangent planes and linear approx. Definition Omtalen af tangentplan, lineær approximation og differentialer udvides umiddelbart til funktioner af tre eller flere variable. Funktionen w = f(x, y, z) har tangentplan i punktet (a, b, c, d), d = f(a, b, c) med ligning w d = f x (a, b, c)(x a) + f y (a, b, c)(y b) + f z (a, b, c)(z c) Calculus 1-2006 Uge 37.2-28

Udvid til mange variable [S] 11.4 Tangent planes and linear approx. Definition - fortsat Funktionen w = f(x, y, z) har lineær approximation f(x, y, z) f(a, b, c) + f x (a, b, c)(x a) + f y (a, b, c)(y b) + f z (a, b, c)(z c) og differential dw = w x dx + w y dy + w z dz Calculus 1-2006 Uge 37.2-29

Afsluttende opgave [S] 11.4 Tangent planes and linear approx. Øvelse Find differentialet af w = ln x 2 + y 2 + z 2 Løsning Beregn først w x = = 1 x2 + y 2 + z 2 x x 2 + y 2 + z 2 d x2 + y dx 2 + z 2 Calculus 1-2006 Uge 37.2-30

Afsluttende opgave [S] 11.4 Tangent planes and linear approx. Øvelse - alternativ Løsning Beregn w = ln x 2 + y 2 + z 2 = 1 2 ln(x2 + y 2 + z 2 ) w x = 1 2 1 x 2 + y 2 + z 2x 2 x = x 2 + y 2 + z 2 Calculus 1-2006 Uge 37.2-31

Afsluttende opgave [S] 11.4 Tangent planes and linear approx. Øvelse - fortsat w = ln x 2 + y 2 + z 2 x w x = x 2 + y 2 + z 2 Ved symmetri w y = Differentialet er y x 2 + y 2 + z 2, w z = z x 2 + y 2 + z 2 dw = xdx + ydy + zdz x 2 + y 2 + z 2 Calculus 1-2006 Uge 37.2-32