Dagens program Afsnit 3.3-3.5 Varians Eksempel: Forventet nytte Kovarians og korrelation Middelværdi og varians af summer af stokastiske variabler Eksempel: Porteføljevalg 1
Beskrivelse af fordelinger Kapitel 3 Fordelinger af stokastiske variabler beskrives kort ved: - Middelværdi (forventet værdi) - Varians (variation) - Kovarians (samvariation mellem to variabler) - Bruges i beskrivelse af fordelinger - Helt centralt når man træffer beslutninger under usikkerhed 2
Middelværdi X numerisk stokastisk variabel med sandsynlighedsfunktion givet ved f (x). Middelværdien af X er givet ved μ X = E (X) = X x xf (x) Der gælder E (a + bx) =a + be (X) 3
Varians Mål for variation eller spredning Definition: X numerisk stokastisk variabel med sandsynlighedsfordeling givet ved f (x). Variansen af X er givet ved Var (X) =E (X μ X ) 2 = X x (x μ X ) 2 f (x) eller som Var (X) =E X 2 (E (X)) 2 4
Bemærk: Ofte betegnes Var (X) :σ 2 eller σ 2 X Vægtet gennemsnit af de kvadrerede afvigelser fra middelværdien Var (X) 0 Standardafvigelsen eller spredningen er defineret som σ X = p σ 2 X = p Var (X). I modsætning til variansen måles standardafvigelsen i samme enhed som den stokastiske variabel X. Resultat: Variansen af Y = a + bx er givet ved Dermed bliver standardafvigelsen σ 2 Y =Var(Y )=Var(a + bx) =b 2 Var (X) σ Y = p Var (Y )= b σ X 5
Eksempe1 1 (kopi fra fra sidst): Fordelingen af X : x 2 1 0 1 2 f (x) 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 E (X) = 2 0.1+( 1) 0.2+0 0.4+1 0.2+2 0.1 =0 Fordelingen er symmetrisk omkring 0 Fordelingen af X : x 2 1 0 1 2 100 f (x) 0.1 0.2 0.39 0.2 0.1 0.01 E (X) = 2 0.1+( 1) 0.2+0 0.39 + 1 0.2+2 0.1+100 0.01 = 1 Vivilnuregnevariansenudidetotilfælde. 6
Fordelingen af X μ X = X : x 2 1 0 1 2 f (x) 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 Variansen: Var (X) =E (X μ X ) 2 =( 2) 2 0.1+( 1) 2 0.2+0 2 0.4+1 2 0.2+2 2 0.1 =1.2 Spredningen: σ X = p Var (X) = 1.2 1.095 7
Fordelingen af X μ X : x 3 2 1 0 1 99 f (x) 0.1 0.2 0.39 0.2 0.1 0.01 Variansen: Var (X) =E (X μ X ) 2 =( 3) 2 0.1+( 2) 2 0.2+( 1) 2 0.4+0 2 0.2+1 2 0.1+99 2 0.01 = 100.2 Spredningen: σ X = p Var (X) = 100.2 10.01 8
Eksempel 3.1a i bogen (fra sidst): Valg: 1.Vælgendørogmodtaggevinstenbagdøren 2. Modtage 9000 kroner X : Gevinsten i spillet x f (x) 2000 1/3 5000 1/3 20000 1/3 Forvalgnr.1harvi: E (X) = 2000 1/3 + 5000 1/3 + 20000 1/3 = 9000 E (X 2 ) = 2000 2 1/3 + 5000 2 1/3 + 20000 2 1/3 = 143000000 9
Dvs. Var (X) =E (X 2 ) E (X) 2 = 143000000 9000 2 = 62000000 Standardafvigelsen: σ X = p Var (X) = 62000000 7874 Nytten af gevinsten er: u (x) =100x bx 2 for x 50.000 og 0.001 b 0.002 (Se Figur 1) Forventet nytte: U E [u (X)] = E 100X bx 2 =100E (X) be X 2 = 100E (X) be (X) 2 b Var (X) Den forventede nytte afhænger kun af den forventede gevinst E (X) og variansen på gevinsten Var (X). For givet forventet gevinst er den forventede nytte mindre, jo større variansen på gevinsten er. 10
Forventet nytte ved valg 1: U 1 = 100E (X) be (X) 2 b Var (X) = 100 9000 b 81000000 b 62000000 Forventet nytte ved valg 2: U 2 100 9000 b 81000000 Vi har at U 1 <U 2 da b>0. Altsåvilmanfortrækkevalg2(detsikrevalg) 11
Hvad sker der, hvis gevinsten ved valg 1 fordobles? Forventet gevinst ved valg 1: E (2X) =2E (X) = 18000 Var (2X) = 4Var(X) Standardafvigelsen: 2 p Var (X) 15748 Forventet nytte ved valg 1: U 1 =100 E (2X) be (4X 2 ) = 100 2E (X) b 4E (X 2 ) =100 18000 b 4 143000000 Forventet nytte ved valg 2 (som før): U 2 =100 9000 b 81000000 12
Vi har så at: U 1 U 2 = 100 9000 b (4 143000000 81000000) = 100 9000 b 491000000 < 0 for b > 0.00183 =0 for b =0.00183 > 0 for b < 0.00183 For b =0.001 : Foretrækker valg 1. For b =0.002 : Foretrækker valg 2. For b =0.0183 : Indifferent 13
Figur 1: Nyttefunktionen u (x) = 100x bx 2 for b =0.001 (blå), b =0.0015 (grøn) og b =0.002 (rød) 14
Figur 2: Forventet nytte af valg 1 når gevinsten fordobles (blå) og valg 2 (9000 kr sikkert) (grøn) som en funktion af b (parameter i nyttefunktionen) 15
Momenter Definitioner: X numerisk stokastisk variabel med sandsynlighedsfordeling givet ved f (x). Det r te moment af X er defineret som E (X r )= X x x r f (x) Det r te centrale moment af X er defineret som E [(X μ X ) r ]= X x (x μ X ) r f (x) Bemærk: Middelværdien af X : 1. moment af X Variansen af X : 2. centrale moment af X 16
Den normerede variabel X er defineret som Der gælder E (X )=0og Var (X )=1 X = (X μ X) σ X 17
Kovarians og korrelation Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007 Sammenhængen mellem to stokastiske variabler X og Y er givet ved den simultane sandsynlighedsfunktion f (x, y). Kovarians og korrelation bruges til at karakterisere dette. Definition: Kovariansen mellem to stokastiske variabler X og Y er givet ved σ XY =Cov(X, Y )=E [(X μ X )(Y μ Y )] = X (x μ X )(y μ Y ) f (x, y) (x,y) Der gælder at: Cov (X, Y )=E (XY ) μ X μ Y Hvis Cov (X, Y )=0siger vi, at X og Y er ukorrelerede. 18
Eksempel 3.4a i bogen: X\Y 1 2 3 4 0 0.1 0 0.1 0 0.2 1 0.3 0.2 0.1 0 0.6 2 0 0.1 0 0.1 0.2 0.4 0.3 0.2 0.1 1 μ X =1og σ 2 X =0.4 μ Y =2og σ 2 Y =0.1 E (XY )=2.2 Cov (X, Y )=E (XY ) μ X μ Y =2.2 1 2=0.2 19
Hvad sker der, hvis vi ser på Cov (10X, 10Y )? E (10X) =10μ X =10 E (10Y )=10μ Y =20 E (10X 10Y ) = 100E (XY )=220 Cov (10X, 10Y )=220 10 20 = 20 = 100 Cov (X, Y ) 20
Vi vil gerne have et mål, der ikke afhænger af hvordan X og Y skaleres. Definition: Korrelation mellem X og Y er givet ved Bemærk at 1 ρ X,Y 1 ρ X,Y = Cov (X, Y ) p Var (X)Var(Y ) = σ XY σ X σ Y 21
Figur 3: Sammenhørende værdier af (X, Y ) hvor alle er lige sandsynlige, positiv korrelation ρ =0.995 22
Figur 4: Sammenhørende værdier af (X, Y ) hvor alle er lige sandsynlige, negativ korrelation ρ = 0.995 23
Figur 5: Sammenhørende værdier af (X, Y ) hvor alle er lige sandsynlige, positiv korrelation ρ =0.293 24
Figur 6: Sammenhørende værdier af (X, Y ) hvor alle er lige sandsynlige, ingen korrelation ρ =0 25
Regneregel: Lineære transformationer af X og Y For U = a + bx og V = c + dy gælder der Cov (U, V ) = bd Cov (X, Y ) ρ (U, V ) = ½ ρ (X, Y ) for bd > 0 ρ (X, Y ) for bd < 0 26
Resultat: Hvis X og Y er uafhængige, da er X og Y ukorrelerede. Det omvendte er ikke nødvendigvis tilfældet. Eksempel 3.4b i bogen: X\Y 0 2 4 0 0.2 0 0.2 0.4 1 0 0.2 0 0.2 2 0.2 0 0.2 0.4 0.4 0.2 0.4 1 μ X =1og μ Y =2 E (XY )=2 Dvs. Cov (X, Y )=0 Men X og Y er ikke uafhængige. 27
Summer af stokastiske variabler Regneregler: X 1,..., X n stokastiske variabler. Der gælder: E (X 1 +... + X n ) = E (X 1 )+... + E (X n ) nx Var (X 1 +... + X n ) = Var (X i )+2 X Cov (X i,x j ) i=1 j6=i To stokastiske variabler X og Y : Var (X + Y )=Var(X)+Var(Y )+2Cov(X, Y ) Specielt gælder der: X 1,..., X n er uafhængige (eller ukorrelerede) stokastiske variabler nx Var (X 1 +... + X n ) = Var (X i ) =Var(X 1 ) +... +Var(X n ) i=1 28
n uafhængige gentagelser af det samme eksperiment: X i : Udfaldet af eksperiment i X 1,X 2,..., X n uafhængige med E (X i )=μ og Var (X i )=σ 2. Dette skrives X i iid N (μ, σ 2 ) Gennemsnittet af X i erne: nx X = 1 n i=1 X i Da gælder: E X Ã! Ã 1 nx = E X i = 1 n! n n E X X i = 1 nx E (X i )= 1 nx μ = 1 n n n nμ = μ i=1 i=1 i=1 i=1 Var Ã! Ã 1 nx X = Var X i = 1 n! n n Var X X 2 i = 1 nx Var (X n 2 i )= 1 nx σ 2 = 1 = 1 n 2 n 2nσ2 n σ2 i=1 i=1 i=1 i=1 29
Eksempel: Porteføljevalg To aktiver A og B med usikkert afkast Stokastiske variabler: X A : Afkast af aktiv A (i %) X B : Afkast af aktiv B (i %) Tabel1:Fordelingenaf(X A,X B ): X A \X B 0.2 0 0.2 0.4 0.1 0.22 0.01 0.01 0.01 0.25 0 0.01 0.22 0.01 0.01 0.25 0.1 0.01 0.01 0.22 0.01 0.25 0.2 0.01 0.01 0.01 0.22 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 1 Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007 30
E (X A )=0.05 og Var (X A )=σ 2 A =0.0125 E (X B )=0.10 og Var (X B )=σ 2 B =0.0500 Cov (X A,X B )=0.021 og ρ (X A,X B )=0.84 Jeg skal investere et beløb i de 2 aktiver. Hvor stor en del skal jeg investere i aktiv A og B? w A : Andel af beløbet investeret i aktiv A w B : Andel af beløbet investeret i aktiv B w A + w B =1 Portefølje: Y = w A X A + w B X B 31
Detforventedeafkastafporteføljen: E (Y )=E (w A X A + w B X B )=w A E (X A )+w B E (X B )=w A 0.05 + (1 w A ) 0.10 Variansen af porteføljen: Var (Y ) = Var(w A X A + w B X B ) = w 2 A Var (X A )+w 2 B Var (X B )+2w A w B Cov (X A,X B ) = w 2 A 0.0125 + (1 w A ) 2 0.0500 + 2w A (1 w A ) 0.021 Dvs. risikoen er σ Y = p Var (Y ) 32
Højst mulige afkast: w A =0 Mindst mulig risiko: w A =1 Vælger 50% af aktiv A og 50% af aktiv B: Forventet afkast: 0.075 Varians: σ 2 Y =0.026 Risiko: σ Y =0.162 Jegvilhaveetforventetafkastpåmindst8%: w A = Risikoen bliver så: Jeg vil højst have en risiko på 15%: σ Y =0.15 dvs. σ 2 Y =0.0225 dvs. w A = Detforventedeafkastbliverså: 33
Figur 7: Forventet afkast af porteføljen Y som en funktion af w A 34
Figur 8: Variansen af porteføljen Y som en funktion af w A 35
Figur 9: Sammenhæng mellem forventet afkast E (Y ) og risiko σ Y 36
To aktiver C og D med usikkert afkast Stokastiske variabler: X C : Afkast af aktiv C (i %) X D : Afkast af aktiv D (i %) Tabel2:Fordelingenaf(X C,X D ): X C \X D 0.2 0 0.2 0.4 0.1 0.01 0.01 0.01 0.22 0.25 0 0.01 0.01 0.22 0.01 0.25 0.1 0.01 0.22 0.01 0.01 0.25 0.2 0.22 0.01 0.01 0.01 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 1 E (X C )=0.05 og Var (X C )=σ 2 C =0.0125 E (X D )=0.10 og Var (X D )=σ 2 D =0.0500 Cov (X C,X D )= 0.021 og ρ (X C,X D )= 0.84 37
Portefølje: Z = w C X C + w D X D Detforventedeafkastafporteføljen: E (Z) =E (w C X C + w D X D )=w C E (X C )+w D E (X D )=w C 0.05 + (1 w C ) 0.10 Risikoen af porteføljen: Var (Z) = Var(w C X C + w D X D ) = wcσ 2 2 C +(1 w C ) 2 σ 2 D +2w C (1 w C )Cov(X C,X D ) = w 2 C 0.0125 + (1 w C ) 2 0.0500 2w C (1 w C ) 0.021 38
Risikoen er mindst når: w σ 2 D Cov (X C,X D ) C = σ 2 C + σ 2 D 2Cov(X C,X D ) = 0.0500 + 0.021 0.0125 + 0.0500 + 2 0.021 0.6794 Hvis vi investerer 67.95% iaktiva og 32.05% iaktivb: Forventede afkast: 0.066 Variansen σ 2 Z 0.00176 og risikoen σ Z 0.042 I forhold til situationen, hvor vi investerer 100% i aktiv C, kan vi opnå større forventet afkast og lavere risiko ved at investere ca. 68% i aktiv C og 32% i aktiv D. 39
Figur 10: Variansen af porteføljen Z som en funktion af w C 40
Figur 11: Sammenhæng mellem forventet afkast E (Z) og risiko σ Z 41
Porteføljer med høj risiko (store tab eller store gevinster): Sammensætte aktiver, der er positivt korrelerede Porteføljer med lav risiko (små tab eller små gevinster): Sammensætte aktiver, der er negativt korrelerede 42
Opsummering Beskrivelse af fordelinger: - Middelværdi (balancepunkt) - Varians og standardavigelse (variation eller spredning) - Kovarians og korrelation (samvariation) Hvornår man skal udregne dette i de betingede fordelinger Hvad sker der under uafhængighed Beslutninger der træffes under usikkerhed: - Vigtige mål: Middelværdi, varians og kovarians Statistisk analyse: - Vigtigt at kunne finde middelværdi og varians af gennemsnit Porteføljevalg: Anvendelse af disse mål 43
Næste gang Mandag gennemgåes: Afsnit 4.1, 4.2 og 4.7 Eksempler på diskrete fordelinger Bemærk: - Afsnit 3.6 er ikke pensum - En liste over overspringelser findes på fagets hjemmeside Husk: - At lave opgaver og SAS-øvelser 44