Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes nogle kompositioner, T 1, T 2,, T m, er en matematisk struktur, S T. Måske kan du allerede her ane en forbindelse mellem en matematisk struktur og universet, for basalt set kan vi jo sige om universet, at det også består af nogle ting (elementarpartikler) samt en række regler for, hvordan de sættes sammen (kræfter). En velkendt struktur fra dagligdagen er alle heltal (S = {n}, n Є N 0 ) med de fire regnearter (T 1 = +, T 2 =, T 3 =, T 4 = / ). Kompositionerne mellem elementerne kan herefter udtrykkes således: (A7.1) ( n ; n ) n i a b c For hver komposition gælder altså, at den som inddata tager to tal og som uddata producerer ét tal. Hvis for eksempel i = 1, n a = 3 og n b = 5, kan vi skrive T 1 (3;5) = 8, hvilket med dagligdags notation er det samme som 3 + 5 = 8. Det, vi opnår ved at skrive T(x;y), er, at vi får udtrykt kompositioner mellem elementer på en helt generel form, der kan anvendes, uanset hvad elementerne og kompositionerne er. Lav for eksempel strukturen P Φ bestående af mængden, P = {m, k, ø}, og en enkelt komposition, Φ. Du kan nu meget ærbart skrive: (A7.2) 1: 2 : 3: 4 : m; k) h; h P m; m) ø k; k) ø m; k) k; m) Sæt så m = mand, k = kvinde, ø = ingenting og Φ = sex, og du har fire sande udsagn om en af menneskenes foretrukne aktiviteter. Prøv om du kan oversætte dem til normalt sprog en mulighed står i denne fodnote 1. Du kan nu lave nogle generaliseringer, der omfatter begge strukturer, S T og P Φ. For eksempel kan du samle T 1, T 3 og Φ i en mængde, der omfatter alle kompositioner, R, for hvilke der gælder, at R(a;b) = R(b;a). For disse tre kompositioner gælder altså, at faktorernes orden er ligegyldig. Du kan også se, at delstrukturen, S T 1,3, altså S med kompositionerne T 1 og T 3, samt hele strukturen P Φ begge er lukkede. (Husk fra kapitel 1, at en mængde siges at være lukket med hensyn til en komposition, hvis resultatet af at udføre kompositionen på mængdens elementer 1 Udsagn 1: hvis en mand har sex med en kvinde, kan de enten få en dreng, en pige eller ingenting, (idet h jo blot repræsenterer et vilkårligt element i P). Udsagn 2: to mænd kan ikke få børn sammen. Udsagn 3: to kvinder kan ikke få børn sammen. Udsagn 4: det er ligegyldigt, hvem der ligger øverst eller står til venstre eller mod nord, eller hvordan m og k nu arrangerer sig. 322

også tilhører mængden). Uanset hvilke heltal jeg lægger sammen eller ganger med hinanden, vil resultatet være et heltal. Uanset hvilke mænd og kvinder, der har sex med hinanden, vil resultatet blive en mand, en kvinde eller ingenting altså elementer, der alle findes i mængden P. At en matematisk struktur kan være lukket er ganske betryggende, for det må vi jo netop kræve af den, hvis den skal være vores univers egentlige, bærende identitet. Hvis vores univers var en åben matematisk struktur, kunne vi jo risikere, at partikler for eksempel kunne vekselvirke på en sådan måde, at de efter vekselvirkningen ikke længere var fysiske objekter. Læg godt mærke til dette, for det siger ganske meget om, hvad det, at universet er en matematisk struktur, egentlig betyder. En åben struktur fører ikke til at noget bare havner uden for universet, men at det kommer til at tilhøre en helt anden eksistentiel kategori end resten af universet. Men lad os nu blive lidt mere konkrete og se på en meget simpel matematisk struktur, nemlig boolsk algebra, der danner basis for al logik, og bagefter forsøge at iklæde den et fysisk antræk. Den boolske algebra vi kan som struktur betragtet kalde den B Θ består af mængden B = {b i } = {0, 1}, hvor 0 betyder falsk og 1 betyder sand, samt otte kompositioner, Θ 1, Θ 2,, Θ 8. For nemheds skyld skal vi dog her nøjes med at se på fem af kompositionerne, (dvs. vi begrænser os til en struktur, vi kan kalde B Θ 5 ). De fem kompositioner, vi vil medtage, ses nedenfor: Generaliseret notation Standardnotation Betydning Θ 1 (b i ) s b i er sand Θ 2 (b i ) f b i er falsk Θ 3 (b i ) b i Ikke b i Θ 4 (b i ;b j ) b i V b j b i eller b j Θ 5 (b i ;b j ) b i Λ b j b i og b j Bemærk indekserne på b. Uanset hvor mange forskellige jeg benytter, kan b kun have to værdier, sand eller falsk. Et enkelt b i angiver, at der er tale om et vilkårligt medlem af mængden B. To b er (b i ;b j ) viser, at der som udgangspunkt er tale om to forskellige medlemmer, (om end det ikke er forbudt, at de er ens). Effekten af de fem kompositioner kan vises ved hjælp af en række sandhedsskemaer : Θ 1 ( sand ): Θ 2 ( falsk ): b i Θ 1 (b j ) 0 1 (sand) 1 1 (sand) b i Θ 2 (b j ) 0 0 (falsk) 1 0 (falsk) Θ 3 ( ikke ): b i Θ 3 (b i ) 0 (falsk) 1 (sand) 1 (sand) 0 (falsk) 323

Θ 4 ( eller ): b i b j Θ 4 (b i ; b j ) 0 (falsk) 0 (falsk) 0 (falsk) 1 (sand) 0 (falsk) 1 (sand) 0 (falsk) 1 (sand) 1 (sand) 1 (sand) 1 (sand) 1 (sand) Θ 5 ( og ): b i b j Θ 5 (b i ; b j ) 0 (falsk) 0 (falsk) 0 (falsk) 1 (sand) 0 (falsk) 0 (falsk) 0 (falsk) 1 (sand) 0 (falsk) 1 (sand) 1 (sand) 1 (sand) Kompositionerne kan nu kædes sammen, så vi kan danne vilkårligt lange udsagn som f.eks.: (A7.3) ( a; ( ( ( b; c)); d))); a, b, c, d B 3 ( 5 4 3 4 eller i den boolske algebras standardnotation: (A7.4) ( a ( b c) d) (Dette udtryk har 16 forskellige kombinationer af sande og falske værdier for a, b, c og d, og hvis ellers jeg har regnet rigtigt, fører 7 af dem til, at det samlede udtryk er sandt, mens 9 fører til, at det er falsk). Hvis hypotesen om, at matematik og fysik er det samme, er sand, har jeg nu skabt et hypotetisk univers, hvis fysiske virkelighed er isomorf ( ensformet ) med den matematiske struktur, B Θ 5. Hvordan ser dette univers så ud? Indledningsvis kan vi konstatere, at et sådant spørgsmål ikke har noget entydigt svar. Den samme matematiske struktur kan iklædes mange forskellige skikkelser. Dette er der ikke noget underligt i tværtimod. Den aktuelle iklædning er jo noget, der, som vi så i kapitel 13, finder sted i den subjektive verdens neurofysiologiske repræsentation. Et menneske vil opleve en given matematisk struktur på én måde, en ålekvabbe på en anden, og et væsen, der lever på overfladen af Venus, på en tredje. Dernæst kan vi også konstatere, at B Θ 5 er en så simpel struktur, at vi i dens isomorfe fysiske univers nok ikke skal forvente at træffe væsener, der er bevidste om deres omverden. Men man har lov til at lege, så her er et bud på, hvad de kunne opleve: A. En tredimensional rumtid med to rumdimensioner og én tidsdimension. B. Fem elementarpartikler: 1. To valuoner, der opbygger alt stof: 1. β s med ladningen s. 2. β f med ladningen f. 2. Tre relatoner, der medierer kræfter: 1. ρ e medierer ellerisme. 2. ρ o medierer ogisme. 3. ρ n medierer ikkisme. Ellerisme og ogisme er kræfter, der binder valuoner sammen, mens ikkisme har betydning for henfald (se nedenfor). 324

C. Seks ladede boloner, der udgør den simpleste form for stof. Hver bolon er opbygget af to valuoner og én relaton. Bolonerne inddeles i to familier afhængigt af, om valuonerne bindes sammen ved hjælp af ellerisme-kraften eller ogisme-kraften. 1. Ω s : β s + ρ o + β s 2. Ω f : β f + ρ o + β f 3. ω f : β s + ρ o + β f 4. E s : β s + ρ e + β s 5. E f : β f + ρ e + β f 6. ε f : β s + ρ e + β f D. Et ikke nærmere bestemt antal kompositroner, b K l. Disse er tungere partikler bestående af boloner bundet sammen med valuoner eller med andre boloner. I sådanne reaktioner er det alene bolonernes antal (b) og ladning (l), der har betydning for den resulterende kompositrons egenskaber. E. Tre henfaldsreaktioner af første orden: 1. ρ e + ρ o ρ n 2. β s + ρ n β f + ρ n 3. β f + ρ n β s + ρ n F. Otte henfaldsreaktioner af anden orden: 1. Ω s + ρ n ω f + ρ n 2. Ω f + ρ n ω f + ρ n 3. ω f + ρ n Ω f + ρ n 4. ω f + ρ n Ω s + ρ n 5. E s + ρ n ε s + ρ n 6. E f + ρ n ε s + ρ n 7. ε s + ρ n E f + ρ n 8. ε s + ρ n E s + ρ n G. Et felt, Π, med to polariteter, Π s og Π f. Bolonerne får deres ladninger ved vekselvirkning med feltet. Jeg har nu beskrevet de basale egenskaber for det boolske univers i vendinger, der svarer til det, vi i vores univers kalder partikelfysik, (men man kunne sikkert forestille sig masser af andre formuleringer). Punkterne A til G er, hvad en boolsk fysiker ville være i stand til at observere på det mest fundamentale niveau. H a un vil sikkert glæde sig over symmetrierne i henfaldsreaktionerne: ω- og ε-partiklerne kan hver især henfalde på to måder, nemlig én der bevarer ladningen, og én der ændrer den. H a un vil uden tvivl bemærke, at alle henfald på nær ét er reversible, og h a un vil måske opstille en hypotese om, at det er det ene irreversible henfald (E1), der gør at processer udvikler sig fra fortid til fremtid, men aldrig omvendt. Den boolske fysiker vil sandsynligvis også undre sig over, hvorfor universet har netop de egenskaber, h a un observerer. Hvorfor to elementarpartikler? Hvorfor tre kræfter? Hvorfor de otte henfaldsreaktioner af anden orden? Det sidste spørgsmål er lettest at besvare: andenordensreaktionerne kan udledes af førsteordensreaktionerne, så snart man har forstået, at boloner er opbygget af valuoner. Men de to andre spørgsmål kræver indsigt på et dybere niveau. Først når fysikeren formulerer en matematisk teori, vil det vise sig, at universets egenskaber er isomorfe med den struktur, vi kaldte B Θ 5. Jeg håber, at du nu har fået en idé om sammenhængen mellem matematik og fysik ud fra hypotesen om, at de to er en og samme ting. Du kan selv lege videre med det boolske univers og prøve at løse følgende små opgaver: 1. Redegør for forbindelsen mellem elementer og kompositioner i B Θ 5 og partikler og kræfter i det boolske univers. 325

2. Ladning er, som man ser, ikke additiv. Uanset hvor mange valuoner, der indgår i en kompositron, er dennes ladning altid s eller f aldrig f.eks. 2s eller 3f eller s. a) Hvorfor er det sådan? b) Vil det undre en boolsk fysiker? 3. På hvor mange forskellige måder kan man danne kompositronen, 4 K s? 4. Er det boolske univers 100% isomorft med B Θ 5, eller er der i de egenskaber, jeg beskrev under punkterne E til G, noget, der ikke kan forklares inden for strukturen? Eller sagt på en anden måde: er B Θ 5 set fra den boolske fysikers synspunkt nu også den endelige Teori Om Alt? 5. Hvor kommer tiden fra, og hvorfor er der to rumdimensioner? 6. Hvilken rolle spiller mon ladningen, l,for makroskopiske strukturer? Du kan se løsningerne på næste side, men lad nu være med at snyde! Giv din egen deduktionsevne og fantasi en chance først. 326

Løsninger 1. Valuonerne er mængden B. De får deres ladninger via feltet Π, hvis to polariteter er kompositionerne Θ 1 og Θ 2 (sand og falsk). Relatonerne ( kræfterne ) ρ e, ρ o og ρ n er kompositionerne Θ 4, Θ 5 og Θ 3 (V, Λ og ). Bolonerne er udsagn af typen b i V b j (=Θ 4 (b i ; b j )) og b i Λ b j (=Θ 5 (b i ; b j )). De tre førsteordenshenfald svarer til henholdsvis??! (se punkt 4), Θ 3 (Θ 1 ) (ikke sand (=falsk)) og Θ 3 (Θ 2 ) (ikke falsk (=sand)). Andenordenshenfaldene fås ved at indsætte en negation i udsagn som b i V b j og b i Λ b j, (b i V b j, b i V b j, b i Λ b j, b i Λ b j, hvor b i og b j hver især kan have værdierne s og f). Kompositronerne er (lange) kæder af udsagn. 2. a) Ladningens egenskaber er en følge af B Θ 5, hvor det ækvivalente fænomen er værdierne sand og falsk. Og disse værdier kan selvfølgelig (i matematisk logik) ikke graderes; enten er noget sandt, eller også er det falsk. Det giver ingen mening at sige, at udsagn A er dobbelt så sandt som udsagn B. b) Den boolske fysiker vil ikke være overrasket. Dels pga. det, der er nævnt under a), dels fordi B Θ 5, der jo er hele den struktur, universet bygger på, kun omfatter boolsk algebra. Aritmetik er derfor et ukendt begreb; der er ingen mulighed for at udtrykke en sætning som a + a = 2a. Men det er muligt, at de boolske matematikere kan udlede eksistensen af en sådan sætning med de meget eksotiske fænomener + og 2. (Det +, der er brugt i henfaldsligningerne er ikke et aritmetisk +, men et symbol for vekselvirker med ). 3. 16. 4. Der er en enkelt ting, der burde få den boolske fysiker til at tvivle på, om B Θ 5 er den fuldstændige beskrivelse. Det drejer sig om henfaldsreaktionen E1 (ρ e + ρ o ρ n ). Relatonerne ρ e, ρ o og ρ n svarer jo til kompositionerne V, Λ og, men der findes i boolsk algebra ikke nogen metakomposition, Θ, der opfylder Θ(Θ 4 ; Θ 5 ) = Θ 3, der ville være isomorf med E1. (En sådan metakomposition skulle have kompositioner som argumenter i stedet for variabler). En teori bygget på B Θ 5 er derfor en tilnærmelse, ligesom vi ved, at kvantemekanik og relativitet er tilnærmelser hos os. 5. Tiden er indsat ganske arbitrært! B Θ 5 kan realiseres lige så godt, hvis alle tre dimensioner opfattes som rumlige dimensioner. Det er kun et spørgsmål om, hvordan de boolske væsener opfatter dimensionerne. At der er to rumdimensioner med en særlig status skyldes, at de lineære partikler (strenge af boloner og relatoner) kræver mindst to dimensioner for at kunne bevæge sig frit mellem hinanden. 6. Dit bud kan være lige så godt som mit! Der er intet, der tyder på, at ladningen spiller nogen fysisk rolle forstået på den måde, af en partikel med ladning s opfører sig på en anden måde end en partikel med ladning f. På den anden side vil alle strukturer, uanset hvor store de er, have en ladning, så måske vil de boolske væsener kunne sanse den. Og deres etik og moral vil måske være baseret på kun at anvende stof med ladning s. 327