dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11

Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7. Idet vi benytter figurens betegnelser, ser vi, at pa = u som en følge af sætning 5.5 og sætning 5.6. Af samme årsag gælder pb = v. Sammen med pc danner de to udpegede vinkler (u og v) en lige vinkel, så derfor gælder: pa + pb + pc = u + v + pc = 180E, dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11 Sætning 5.9 (Kongruenssætning 4): To trekanter er kongruente, hvis de har en side, en hosliggende vinkel og en modstående vinkel parvis lige store. Bevis: Hvis to trekanter har to af deres vinkler parvis lige store, så må alle tre vinkler være parvis lige store, da vinkelsummen i enhver trekant er 180E ifølge sætning 5.8. Det betyder, at trekanterne har en side og de to hosliggende vinkler parvis lige store og trekanterne må derfor være kongruente ifølge sætning 5.2. Sætning 5.10: Hvis to af vinklerne i en trekant er lige store, så er trekanten ligebenet. Bevis: Lad det være givet, at pb = pc i ÎABC. Vi skal vise, at siderne AB og AC så er lige lange. Fra vinkelspidsen A konstrueres vinkelhalveringslinjen (se opgave 17, hvor eksistensen af en vinkelhalveringslinje påvises). Vinkelhalveringslinjens skæringspunkt med linjen gennem B og C kaldes M (at der findes et skæringspunkt mellem B og C følger af A-2 (overvej dette)). Nu er ÎAMB og ÎAMC kongruente, hvilket følger af sætning 5.9, idet de har en side fælles, nemlig AM, og en hosliggende vinkel (pbam = pcam) og en modstående vinkel (pb = pc ) parvis lige store. Af denne kongruens følger specielt, at siderne AB og AC er lige lange, hvilket skulle vises. Figur 12

Ved at sammenholde sætning 5.4 og sætning 5.10 kan vi nu sammenfattende sige, at for de ligebenede trekanter er vinklerne ved grundlinjen lige store (sætning 5.4) og de ligebenede trekanter er de eneste trekanter med denne egenskab (sætning 5.10). Man kalder sætninger som 5.4 og 5.10 for hinandens omvendte sætninger. Definition 5.2: Ved midtnormalen til et linjestykke forstås den linje, som går gennem midtpunktet af linjestykket og står vinkelret på linjestykket. Sætning 5.11: Ved hjælp af resultater fra opgave 16 kan man godtgøre, at der findes netop én midtnormal til hvert linjestykke. Ethvert punkt på midtnormalen til et linjestykke AB har samme afstand til A og B. Bevis: Lad altså linjestykket AB være givet og lad M betegne midtpunktet af linjestykket. Lad nu P betegne et vilkårligt punkt på midtnormalen til AB. Vi skal vise, at AP = BP. Hvis P falder i M er der intet at vise, så vi antager, at P M. Linjerne, der går gennem A og P henholdsvis B og P vil da sammen med PM danne to trekanter, ÎAPM og ÎBPM. Disse to trekanter er kongruente, hvilket følger af sætning 5.1, idet pamp = pbmp (de er nemlig begge 90E, da midtnormalen står vinkelret på AB), og de hosliggende sider er parvis lige store (MP er fælles for de to trekanter og AM = BM, da M er midtpunktet af AB). Af denne kongruens følger specielt, at siderne AP og BP er lige store, hvilket skulle vises. Figur 13 Sætning 5.12: Ethvert punkt, der har samme afstand til to (forskellige) punkter, A og B, ligger på midtnormalen til linjestykket AB. Bevis: Lad P være et punkt, der opfylder PA = PB. Vi skal vise, at P ligger på midtnormalen til AB. Med M betegnes midtpunktet af linjestykket AB (se opgave 16). Hvis P falder i M er der intet at vise, så vi antager, at P M. I det tilfælde kan vi betragte de to trekanter ÎAPM og ÎBPM. Disse to trekanter er kongruente ifølge sætning 5.3, da alle tre sider er parvis lige store (overvej selv hvorfor dette er sandt). Figur 14

Af denne kongruens følger specielt, at pamp = pbmp og da punkterne A, B og M ligger på samme rette linje, må hver af disse vinkler være 90E, hvilket betyder, at linjen gennem P og M står vinkelret på AB i midtpunktet M. Altså er linjen gennem P og M midtnormalen til AB og punktet P ligger på denne linje. Dette afslutter beviset. Sætning 5.11 og sætning 5.12 er hinandens omvendte sætninger og tilsammen udsiger de, at midtnormalen til et linjestykke er det geometriske sted for de punkter i planen, som har samme afstand til to givne punkter. Sætning 5.13: De tre midtnormaler til siderne i en trekant skærer hinanden i samme punkt. Bevis: Vi forestiller os, at midtnormalerne til siderne AB og AC i ÎABC er blevet konstrueret. Disse to midtnormaler skærer hinanden i et punkt P (forklar selv hvorfor de to midtnormaler nødvendigvis må skære hinanden). Opgaven består nu i leveringen af et bevis for, at midtnormalen til BC også går gennem punktet P. Først anvender vi sætning 5.11, der sikrer os, at AP = BP, da P ligger på midtnormalen til AB. Da P ligger på midtnormalen til AC fås af samme sætning, at AP = CP. Af de to netop udledte ligninger kan vi slutte, at BP = CP, dvs. punktet P har samme afstand til punkterne B og C, og dermed fortæller sætning 5.12, at P ligger på midtnormalen til BC. Dermed er sætningen vist. Figur 15 Det fremgår af beviset for sætning 5.13, at AP = BP = CP, så en cirkel med P som centrum gennem A vil også gå gennem trekantens to andre vinkelspidser. Denne cirkel, der eksisterer for alle trekanter, kaldes trekantens omskrevne cirkel. Vi minder om, at dersom en trekant har en vinkel på 90E, så kaldes trekanten for retvinklet. Den rette vinkels hosliggende sider kaldes for kateter, mens den modstående side kaldes hypotenusen. Om retvinklede trekanter får vi brug for følgende kongruenssætning:

Sætning 5.14 (Kongruenssætning 5): To retvinklede trekanter er kongruente, hvis de har hypotenusen og en af kateterne parvis lige store. Bevis: Om de to retvinklede trekanter ÎABC og ÎA 1 B - 1C 1, hvor pc = pc 1 = 90E, antager vi, at BC = B 1 C 1 samt at AB = A 1 B 1. Nu flyttes ÎABC, således at C falder i C 1 og B i B 1 ; dette er muligt på grund af aksiom A-3 og antagelsen om de to lige lange kateter. Vi foretager flytningen, så A og A 1 ligger på hver sin side af linjen gennem B 1 og C 1. Da pc = pc 1 = 90E vil punkterne A, C, C 1, A 1 ligge på en ret linje, og dermed vil der være dannet en trekant ÎABA 1, som tilmed er ligebenet, da hypotenuserne i de to trekanter er lige lange. Figur 16 Af sætning 5.4 anvendt på denne ligebenede trekant følger så, at pa = pa 1, hvilket igen betyder, at de to oprindelige trekanter har alle tre vinkler og to sider parvis lige store. Enhver af sætningerne 5.1, 5.2 og 5.9 kan sikre, at de to retvinklede trekanter er kongruente. Sætning 5.15: Vinkelhalveringslinjen for en vinkel er geometrisk sted for de punkter i planen, der har samme afstand til vinklens ben. Bevis: Når der i sætningen tales om afstanden fra et punkt til en ret linje, så menes der afstanden fra punktet vinkelret ned på linjen. Beviset falder i to dele svarende til beviserne for sætning 5.11 og sætning 5.12. 1) Først antager vi, at m er vinkelhalveringslinje for vinkel A. Med P betegner vi et vilkårligt punkt på m, P A. Fra P nedfældes de vinkelrette på vinklens ben (se opgave 16), fodpunkterne kaldes C henholdsvis B. Betragt nu de to trekanter ÎABP og ÎACP. Figur 17 Disse to trekanter har siden AP fælles, en hosliggende vinkel (pbap = pcap ) og endelig en modstående vinkel (pabp = pacp ) parvis lige store. Det følger derfor af sætning 5.9, at de to trekanter er kongruente. Af denne kongruens følger specielt, at PB = PC, hvilket skulle vises. 2) Antager vi nu omvendt, at P er et punkt, der opfylder PB = PC, hvor B og C er konstrueret på samme måde som i afdeling 1), så skal vi vise, at P ligger på vinkelhalveringslinjen til

vinkel A. Hvis P falder i A er der ikke noget at vise, så vi antager, at P er forskellig fra A. I det tilfælde kan vi betragte de to trekanter ÎABP og ÎACP. Disse to retvinklede trekanter har hypotenusen til fælles og de to kateter PB og PC er lige lange som følge af antagelsen. Derfor følger det af sætning 5.14, at trekanterne er kongruente. Af denne kongruens følger så, at ppab = ppac, dvs. P ligger på vinkelhalveringslinjen. Sætning 5.16: Vinkelhalveringslinjerne til vinklerne i en trekant skærer hinanden i samme punkt. Bevis: Beviset er i princippet identisk med beviset for sætning 5.13 og overlades derfor som en opgave til læseren. Skæringspunktet i sætning 5.16 er centrum for trekantens indskrevne cirkel, idet punktet har samme afstand til trekantens tre sider.